Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán hình học phẳng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA
CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
NĂM HỌC: 2015-2016

ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG
Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học tự nhiên
Sinh viên thực hiên: Trần Thị Như Quỳnh
Dân tộc:

Kinh

Lớp, khoa: KHTN
Ngành học:

Nam, Nữ: Nữ

Năm thứ: 2

Sư phạm Toán học

Giáo viên hướng dẫn:

Ths. Trần Thanh Phong

Số năm đào tạo: 3

Thủ Dầu Một, tháng 3 năm 2016


UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT

CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
1. Thông tin chung:
- Tên đề tài: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI
TỐN HÌNH HỌC PHẲNG
- Sinh viên thực hiện: Trần Thị Như Quỳnh
- Lớp: C14TO03
Khoa: KHTN
Năm thứ: 2
số năm đào tạo: 3
- Người hướng dẫn: Ths. Trần Thanh Phong
2. Mục tiêu đề tài:
Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài tốn hình học
phẳng. Phân biệt được hệ tọa độ affine và hệ tọa độ trực chuẩn. Nhận biết được bài
tốn affine và bài tốn Euclide. Từ đó rút ra những ưu điểm của mỗi hệ tọa độ.
3. Tính mới và sáng tạo:
- Tuy khơng phải là đề tài mới mẻ với nhiều người, nhưng đây là một đề tài có
tính chất quan trọng cần được khai thác nghiên cứu sâu và đưa vào giảng dạy.
- Dù vậy, đây là một đề tài khá hấp dẫn và nhiều điều mới mẻ với chúng tôi. Qua
đây, chúng tôi đã tích lũy cho bản thân thêm những kiến thức và kinh nghiệm về việc
giải các bài tốn hình học cổ điển, biết cách áp dụng kiến thức về hệ tọa độ để giải

quyết những bài toán phức tạp.
4. Kết quả nghiên cứu:
- Đưa ra được nhiều hướng chứng minh cho một bài tốn. Từ các cơng đoạn
chứng minh phức tạp đưa về đơn giản dễ hiểu và dễ áp dụng để thấy được sự hiệu quả
và cần thiết trong việc áp dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học cổ điển.
- Phân loại được các dạng tốn thường gặp đối với hai hệ tọa độ là affine và trực
chuẩn. Đưa ra các ví dụ cụ thể và nhận xét cho từng trường hợp.
- Đưa ra được các dấu hiệu nhận biết khi nào thì dùng hệ tọa độ affine khi nào thì
sử dụng hệ tọa độ trực chuẩn.
- Đồng thời lồng vào đó là các nhận xét về ưu điểm và nhược điểm khi sử dụng 2
hệ tọa độ này trong một số trương hợp đặc biệt.


UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT

CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

THƠNG TIN VỀ SINH VIÊN CHỊU TRÁCH
NHIỆM CHÍNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
I.

SƠ LƯỢC VỀ SINH VIÊN
Họ và tên: Trần Thị Như Quỳnh
Sinh ngày: 10/07/1995
Ảnh 4×6
Nơi sinh:
Nam Đàn – Nghệ An
Lớp:

C14TO03
Khóa: 2014 - 2017
Khoa:
Khoa Học Tự Nhiên
Địa chỉ liên hệ:
Số nhà 8/8, Tân Lập, Đơng Hịa, Dĩ An, Bình Dương
Điện thoại: 0967521271
Email:


II.


QUÁ TRÌNH HỌC TẬP
Năm thứ 1: 2014 - 2015

Ngành học: Sư Phạm Toán
Kết quả xếp loại học tập:
Sơ lược thành tích:


Năm thứ 2:

Giỏi

2015 - 2016

Ngành học: Sư Phạm Tốn
Kết quả xếp loại học tập:
Sơ lược thành tích:

Xác nhận của lãnh đạo khoa
(ký, họ và tên)

Khoa: Khoa Học Tự Nhiên

Khoa:Khoa Học Tự Nhiên
Giỏi

Ngày 25 tháng 3 năm 2016
Sinh viên chịu trách nhiệm chính
thực hiện đề tài
(ký, họ và tên)

Trần Thị Như Quỳnh


5. Đóng góp về mặt kinh tế - xã hội , giáo dục và đào tạo, an ninh, quốc
phòng và khả năng áp dụng của đề tài:
- Đề tài sẽ là một tài liệu tham khảo rất bổ ích cho sinh viên, giáo viên ngành sư phạm
Toán để hiểu sâu hơn về ứng dụng của phương pháp tọa độ vào giải tốn hình học
phẳng, có thêm kiến thức về phương pháp này để áp dụng vào giải tốn hình phẳng
cũng trong công tác giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi sau này.
- Và sẽ là tài liệu thú vị cho những ai muốn tìm hiểu thêm kiến thức về hình học giải
tích trên hệ tọa độ affine trong q trình học tập hiện tại.
Ngày 25 tháng 3 năm 2016
Sinh viên chịu trách nhiệm chính
thực hiện đề tài
(ký, họ và tên)

Trần Thị Như Quỳnh
6. Nhận xét của người hướng dẫn về những đóng góp khoa học của sinh viên
thực hiện đề tài (phần này do người hướng dẫn ghi):
Đây là đề tài khá thú vị và vừa sức với nhóm sinh viên ngành Toán của hệ cao
đẳng sư phạm. Các bài tốn hình học giải tích trong chương trình THPT hiện tại được
ra trong hệ tọa độ cho trước. Đối với các bài tốn hình học thuần túy, muốn giải bằng
phương pháp tọa độ thì người làm tốn phải chọn hệ tọa phù hợp. Đề tài này đã cho
thấy rằng một số bài tốn hình học thuần túy giải bằng phương pháp tọa độ cho ta lời
giải chặt chẽ và ngắn gọn hơn. Với phương pháp này, bài tốn hình học chuyển thành
bài toán đại số và sử dụng kiến thức đại số để giải quyết. Các bài toán trong đề tài
được chọn lọc sao cho cách giải nhanh nhất là sử dụng phương pháp tọa độ.

Xác nhận của lãnh đạo khoa
(ký, họ và tên)

Ngày 25 tháng 3 năm 2016
Người hướng dẫn
(ký, họ và tên)

Trần Thanh Phong


TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

Thủ Dầu Một, ngày 25 tháng 3 năm 2016

Kính gửi: Ban tổ chức cuộc Giai thưởng “ Tài năng khoa học trẻ Đại học
Thủ Dầu Một”.
Tên chúng tôi là:
1.
Trần Thị Như Quỳnh
Sinh ngày 10 tháng 7 năm 1995
Sinh viên năm thứ: 2
Tổng số năm đào tạo: 3
Lớp, khoa: Lớp C14TO03, Khoa: KHTN
Ngành học: Sư phạm Toán học
2.
Phan Thị Thanh Vân
Sinh ngày 29 tháng 09 năm 1995
Sinh viên năm thứ: 2
Tổng số năm đào tạo: 3
Lớp, khoa: Lớp C14TO03, Khoa: KHTN
Ngành học: Sư phạm Toán học
3.
Nguyễn Văn Tiền
Sinh ngày tháng năm
Sinh viên năm thứ: 2
Tổng số năm đào tạo: 3
Lớp, khoa: Lớp C14TO03, Khoa: KHTN
Ngành học: Sư phạm Tốn học
Thơng tin cá nhân của sinh viên chịu trách nhiệm chính:
Địa chỉ liên hệ:
Số nhà 8/8, khu phố Tân Lập, phường Đơng Hịa, Dĩ An, Bình
Dương.
Số điện thoại (cố định, di động): 0967521271
Địa chỉ email:

Chúng tôi làm đơn này kính đề nghị Ban tổ chức cho chúng tơi được gửi đề tài
nghiên cứu khoa học để tham gia xét giải thưởng “Tài năng khoa học trẻ Đại học
Thủ Dầu Một” năm 2016.


Tên đề tài:
ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN
HÌNH HỌC PHẲNG
Tơi (chúng tơi) xin cam đoan đây là đề tài do tôi (chúng tôi) thực hiện dưới sự
hướng dẫn của Ths. Trần Thanh Phong; đề tài này chưa được trao bất kỳ một giải
thưởng nào khác tại thời điểm nộp hồ sơ và không phải là luận văn, đồ án tốt
nghiệp.
Nếu sai tôi(chúng tôi) chịu trách nhiệm trước khoa và Nhà trường.

Xác nhận của lãnh đạo khoa
thực hiện đề tài
(ký, họ và tên)

Ngày 25 tháng 3 năm 2016
Sinh viên chịu trách nhiệm chính
(ký, họ và tên)

Trần Thị Như Quỳnh


MỤC LỤC
1. Tính cấp thiết của đề tài ................................................................................................. 2
2. Mục tiêu đề tài:............................................................................................................... 3
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu, cách tiếp cận và phƣơng pháp nghiên cứu: ................ 3

4. Sản phẩm và khả năng ứng dụng: .................................................................................. 3
5. Nội dung ......................................................................................................................... 4
CHƢƠNG 1. ......................................................................................................................... 4
1. Hệ tọa độ affine trong mặt phẳng. .............................................................................. 4
1.1. Mục tiêu affine trong mặt phẳng. ........................................................................ 4
1.1.1. Định nghĩa: ...................................................................................................... 4
1.1.2. Tọa độ vectơ: ................................................................................................... 4
1.1.3. Tọa độ điểm: ..................................................................................................... 5
2. Đƣờng thẳng................................................................................................................ 5
2.1. Phƣơng trình đƣờng thẳng trong hệ tọa độ affine trong mặt phẳng: .................. 5
2.2. Ứng dụng hệ tọa affine để giải một số bài toán. ..................................................... 6
2.2.1. Dạng 1: Bài toán chứng minh các điểm thẳng hàng........................................ 6
2.2.2. Dạng 2: Bài toán chứng minh đƣờng thẳng đi qua một điểm cố định. ........ 15
2.2.3. Dạng 3: Bài tốn tìm quỹ tích. ...................................................................... 18
CHƢƠNG 2. ....................................................................................................................... 20
1. Hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng ...................................................................... 20
1.1. Hệ tọa độ trực chuẩn ......................................................................................... 20
1.2. Tính chất của hệ tọa độ trực chuẩn ................................................................... 20
2. Đƣờng thẳng.............................................................................................................. 21
3. Đƣờng tròn ................................................................................................................ 21
4. Phƣơng trình của ba đƣờng conic ............................................................................. 22
5. Ứng dụng hệ tọa trực chuẩn để giải một số bài toán ............................................... 23
5.1. Dạng 1: Bài toán liên quan đến khoảng cách, chứng minh vng góc. ............ 23
5.1.1. Các bài toán liên quan đến tam giác. ............................................................. 23
5.1.2. Bài toán liên quan đến các tứ giác đặc biệt ................................................... 27
5.2. Dạng 2: Bài toán liên quan đến 3 điểm thẳng hàng. ......................................... 31
5.3. Dạng 3: Bài toán liên quan đến điểm cố định. .................................................. 34
5.4. Dạng 4: Bài tốn tìm quỹ tích. .......................................................................... 38
5.4.1. Quỹ tích là đƣờng thẳng ................................................................................ 38
5.4.2. Quỹ tích là đƣờng trịn................................................................................... 39

5.4.3. Quỹ tích là một đƣờng conic ......................................................................... 41
6. Dấu hiệu nhận biết để sử dụng hệ tọa độ affine và hệ tọa độ trực chuẩn. ................ 46
6.1. Các yếu tố nhận biết việc sử dụng hệ tọa độ affine. ......................................... 46
6.2. Các yếu tố nhận biết việc sử dụng hệ tọa độ trực chuẩn. .................................. 46
7. Tài liệu tham khảo ........................................................................................................ 47

1


1. Tính cấp thiết của đề tài
Vào thế kỉ thứ III trƣớc CN, vào thời Ơclit thì những khái niệm và phƣơng pháp
chứng minh suy luận trong hình học đã đƣợc đƣa ra mà đến bây giờ vẫn còn đƣợc
giảng dạy và áp dụng trong cuộc sống. Nhƣng phƣơng pháp suy luận logic, chặt chẽ
kết hợp với phƣơng pháp thực nghiệm đo đạc thực tế này cần phải sử dụng trực giác
để công nhận một số điều cần thiết và hiển nhiên. Ví dụ ngƣời ta cơng nhận tổng 3 góc
của một tam giác là 180˚ hay mọi góc vng đều bằng nhau. Việc cơng nhận này
muốn chính xác cần có kèm theo chứng minh mọi phép phân chia và cách vẽ đều cho
ta tổng các góc là duy nhất hay khơng? Việc đo giá trị của góc có cần giới thiệu thêm
tiên đề nào hay không?... Nhƣng hiện nay những phần lí luận dài dịng khơng cần thiết,
những khái niệm và phƣơng pháp chứng minh đƣợc đƣa ra rõ ràng, chặt chẽ, dễ hiểu
hơn thơng qua mơn Hình học giải tích.
Hình học giải tích là mơn học cơ bản của cả chƣơng trình PTTH và ở bậc CĐ,ĐH
nhất là đối với chƣơng trình sƣ phạm. Đặc trƣng của mơn học này chính là dùng
phƣơng pháp tọa độ để giải các bài tốn hình học. Việc đƣa phƣơng pháp tọa độ vào
nghiên cứu hình học giúp các học sinh, sinh viên tránh khỏi những sai lầm của trực
giác, thoát li khỏi những lí luận dài dịng, phức tạp, khó hiểu. Tuy vậy, trên thị trƣờng
sách tham khảo lẫn mạng internet cịn chƣa thật sự có nhiều tài liệu nghiên cứu sâu về
vấn đề này, nếu có thì cũng chỉ là hình học phẳng với tọa độ trực chuẩn (hay cịn gọi là
hệ tọa độ Descarter vuông) ở bậc THPT mà ít đi sâu vào hệ tọa độ affine. Trong khi
đó, đối với hệ tọa độ afine có những ƣu thế và thực hiện phép toán đơn giản hơn so với

hệ tọa độ trực chuẩn. Đặc biệt đối với các bài tốn về hình học phẳng khó, nếu chỉ giải
quyết bằng hình học thuần túy sẽ là điều khơng thể, nhƣng lại đơn giản nếu chọn cho
nó một hệ trục tọa độ phù hợp để đƣa về một bài toán đại số thuần túy sau đó chỉ cần
giải quyết bằng việc tính tốn, biến đổi và kết luận nhờ vào kiến thức đại số. Vậy vấn
đề đặt ra là phải chọn hệ trục tọa độ nhƣ thế nào để việc tính tốn trở nên đơn giản
nhất ?. Vì thế thơng qua đề tài nghiên cứu này, chúng em sẽ trình bày định nghĩa cách
xây dựng hệ trục tọa độ, cùng phƣơng pháp chọn trục tọa độ hợp lí đối với một số
dạng tốn cụ thể trong hình học phẳng từ đó cung cấp cho HS, SV, GV một tài liệu
tham khảo hữu dụng và trang bị cho mình những hƣớng tƣ duy mới, một cơng cụ giải
tốn mới đơn giản hóa cho những bài tốn hình học phẳng phức tạp.
Hơn nữa nhƣng năm gần đây, ở các kì thi quan trọng cấp quốc gia nhƣ thi học sinh
giỏi, thi đại học...có những bài tốn khó trong hình học phẳng địi hỏi phải áp dụng
phƣơng pháp tọa độ mới có thể giải quyết đƣợc nên yêu cầu đặt ra về tài liệu tham
khảo đối với vấn đề này là rất cần thiết cho cả học sinh, sinh viên, giáo viên và giảng
2


viên. Chính vì vậy, nghiên cứu “ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG” là một đề tài rất quan trọng, mang
tính cấp thiết và có ý nghĩa ứng dụng lâu dài.
2. Mục tiêu đề tài:
Nghiên cứu ứng dụng của phƣơng pháp tọa độ để giải một số bài tốn hình học
phẳng. Phân biệt đƣợc hệ tọa độ affine và hệ tọa độ trực chuẩn. Nhận biết đƣợc bài
toán affine và bài toán Euclide. Từ đó rút ra những ƣu điểm của mỗi hệ tọa độ.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu, cách tiếp cận và phƣơng pháp nghiên cứu:
-

Đối tƣợng nghiên cứu: Hệ tọa affine, hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng. Các

bài tốn hình học phẳng giải bằng phƣơng pháp tọa độ.

- Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu các bài tốn hình học cổ điển trong mặt phẳng
và các bài tốn trong [1], [2], [3], [4] có thể giải quyết bằng phƣơng pháp tọa độ.
- Cách tiếp cận và phƣơng pháp nghiên cứu: Đọc kỹ và nắm vững phần lý thuyết
về cách xây dựng hệ tọa độ affine và hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng. Lựa chọn,
phân loại lớp các bài tốn và có thể sáng tạo thêm một số bài tốn mới. Sử dụng
phƣơng pháp phân tích, tổng hợp.
4. Sản phẩm và khả năng ứng dụng:
Qua việc nghiên cứu đề tài giúp cho sinh viên sƣ phạm Tốn có thể dùng làm tài
liệu tham khảo để hiểu sâu hơn về ứng dụng của phƣơng pháp tọa độ vào giải tốn
hình học phẳng, có thêm kiến thức về phƣơng pháp này để áp dụng vào giải tốn hình
phẳng cũng trong công tác giảng dạy, bồi dƣỡng học sinh giỏi sau này. Chúng em có
thêm kiến thức về hình học giải tích trên hệ tọa độ affine trong quá trình học tập hiện
tại.

3


5. Nội dung
CHƢƠNG 1.

HỆ TỌA ĐỘ AFFINE TRONG MẶT PHẲNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG.
1. Hệ tọa độ affine trong mặt phẳng.
1.1.

Mục tiêu affine trong mặt phẳng.

1.1.1. Định nghĩa:




Trong mặt phẳng, chọn một điểm O và hai vectơ không cộng tuyến i và j . Khi đó
 

bộ ba ( O; i ; j ) đƣợc gọi là một mục tiêu affine, hay còn gọi là hệ tọa độ affine.( h.1)
 

Căp thứ tụ hai vectơ (i ; j ) gọi là cơ sở vectơ của hệ tọa độ.
Ta kí hiệu mục tiêu đó là Oxy, với Ox, Oy là các đƣờng thẳng đi qua O và có vectơ




chỉ phƣơng lần lƣợt là i và j (h.2).
Điểm O gọi là gốc tọa độ, các đƣờng thẳng Ox và Oy gọi là các trục tọa độ, Ox là
trục hoành và Oy là trục tung.


j

O


j


i

Hình 1

1.1.2. Tọa độ vectơ:


i

O
Hình 2

 

Xét mặt phẳng với mục tiêu affine (O; i ; j ) .







Một vectơ u bất kỳ của mặt phẳng đƣợc phân tích theo hai vectơ cơ sở i và j , tức






là ta có duy nhất cặp số ( x; y ) sao cho : u  xi  yj .


Khi đó cặp số (x; y) đƣợc gọi là tọa độ của vectơ u đối với mục tiêu đã cho và viết:



u = (x; y) hoặc u (x; y).
 



Ta có: u = (x; y)  u (x; y)  u  xi  yj .

Dễ thấy:

4


-

Hai véc tơ bằng nhau khi và chỉ khi tọa độ của chúng bằng nhau.

-

Nếu u  ( x; y) , v  ( x '; y ') và k   thì u  v  ( x  x' ; y  y' ) và ku  (kx; ky)


Nếu u  ( x; y) và v  ( x' ; y' ) là các vectơ khác 0 cộng tuyến với các tọa độ

-





của chúng tỉ lệ : x : x '  y : y ' , hay một cách tƣơng đƣơng

x
x'

y
0
y'

1.1.3. Tọa độ điểm:
- Trên mặt phẳng cho hệ tọa độ affine Oxy, với mọi điểm M bất kì của mặt
phẳng, tọa độ của vectơ OM đƣợc gọi là tọa độ của điểm M đối với mục tiêu đã cho
và viết:
M = (x; y) hoặc M(x;y).
Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của điểm
Nếu M = (x; y) và N = ( x '; y ') thì MN  ON  OM  ( x ' x; y ' y)
2. Đƣờng thẳng.
2.1.

Phƣơng trình đƣờng thẳng trong hệ tọa độ affine trong mặt phẳng:

Giả sử mặt phẳng cho hệ tọa độ afine

O; e1 , e2  và

cho đƣờng thẳng d đi qua

điểm M 0 ( x0 , y0 ) có vectơ chỉ phƣơng u  (a, b)
Giả sử M (x; y)∈ d
Phƣơng trình tham số của đƣởng thẳng d: M 0 M  tu

 x  x0   t

(1)
 y  y0   t
Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng d :
-

Bằng cách khử tham số t giữa hai phƣơng trình của (1) ta có phƣơng trình tổng

qt của đƣờng thẳng d có dạng : Ax + By + C = 0 với A  B  0
Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng theo đoạn chắn. Giả sử đƣờng thẳng m đi
qua điểm A(a; 0) trên trục Ox và đi qua điểm B(0; b) trên trục Oy. Ta có phƣơng trình
2

tổng qt của đƣờng thẳng m là:

2

x y
 1
a b

Nhận xét : Nếu cần phải viết phƣơng trình tham số hay tổng quát của đƣờng thẳng
đi qua hai điểm và thì ta có vectơ là vectơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng ta cần tìm.
5


Do đó: M(x; y)∈ (AB)  AM  k AB , ta có phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng
AB:

 x  x A  k ( xB  x A )

 y  y A  k ( yB  y A )
Từ đó ta dễ dàng lập đƣợc phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng AB dƣới dạng:

x  xA
y  yA

xB  xA yB  y A
2.2.

Ứng dụng hệ tọa affine để giải một số bài toán.

Chủ yếu là có 3 dạng tốn cơ bản:
2.2.1. Dạng 1: Bài toán chứng minh các điểm thẳng hàng.
Đối với bài tốn về chứng các điểm thẳng hàng ta có thể đi theo hai hướng chứng
minh đó là: chứng minh hai vectơ tạo bởi ba điểm đó cộng tuyến với nhau( hay còn
gọi là cùng phương với nhau ). Cách 2, là viết phương trình đường thẳng đi qua hai
điểm, sau đó chứng minh cho tọa độ điểm thứ 3 thỏa mãn phương trình đường thẳng
đó.
Bài 1. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm đối xứng của A qua B. Trên
cạnh AC lấy điểm K sao cho AK =

2
AC. Chứng minh rằng ba điểm I, G, K thẳng
5

hàng .
Giải:





Chọn hệ tọa độ affine A; AB, AC ta có tọa độ các điểm:
A(0, 0), B(1, 0), C(0, 1), I(2, 0), K(0,

2
), G
5

I

1 1
 , .
3 3

Cách 1: Ta lập phƣơng trình đƣờng thẳng IK:

B

x y
 1  x  5y  2  0
2 2
5

G
A

Thay tọa độ điểm G vào phƣơng trình (IK) ta có:

1 5
  2  0 nên G ∈ (IK).
3 3
6

K

C


Vậy 3 điểm I, G, K thẳng hàng .
 1 1 
Cách 2: KG   , 
 3 15 




KI   2,

2 
3 

Ta có: KG  6 KI
Suy ra hai véctơ KG, KI cùng phƣơng
Vậy 3 điểm I, G, K thẳng hàng .
 Cách làm theo chứng minh suy luận.
Lấy D là trung điểm của AK.

Suy ra:
BD là đƣờng trung bình của  AIK.
Suy ra: BD // KI
(1).
Trên AC lấy N sao cho: AN 
Suy ra: AK 

3
AC .
5

2
AN .
3

Do G là trọng tâm của  ABC nên AG 
Suy ra :

2
AM .
3

AG AK
theo định lý Ta-let đảo ta có: MN // GK .

AM AN

Ta lại có: NC  DN 

(2)

2
AC suy ra MN là đƣờng trung bình của  BCD.
5

Suy ra: MN // BD .
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra GK // MN và KI // MN .
Theo tiên đề Ơ-clit suy ra 3 điểm I, G, K thẳng hàng.
Nhận xét: Từ 3 cách giải bài tốn trên ta có thể thấy rõ được sự hữu ích của việc
dùng hệ tọa độ affine để giải bài tốn loại này, nó làm cho bài tốn trở nên vơ cùng
đơn giản mà bất kì học sinh nào cũng có thể dễ dàng làm được. Nhưng với phương
pháp giải suy luận truyền thuống, chúng ta cần phải vẽ thêm hình, phải biết nhìn ra
chỗ nào cần để chứng minh, việc này thì khơng phải dễ dàng mà học sinh giỏi cũng ít
có khả năng làm được.
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, J, K là các điểm xác định bởi các hệ thức
AI  aAB, AJ  bAC , AK  cAD . Tìm hệ thức liên hệ giữa các số a, b, c để cho ba

điểm I, J, K thẳng hàng.

7


Giải:
Chọn hệ tọa độ afin { A; AD , AB }, ta có:
A(0,0), D(1,0), B(0,1), C(1,1).
AI  0. AD  a. AB

 I (0, a )

AK  c. AD  0. AB

 K (c,0)

AJ  b. AC  b. AD  b. AB  J (b, b)

Phƣơng trình đƣờng thẳng IK:

x y
  1.
c a

Ba điểm I, J, K thẳng hàng ⇔ điểm J thuộc đƣờng thẳng IK.

b b
1 1 1
  1 ⇔   là hệ thức cần tìm.
c a
c a b
Nhận xét: Đối với những bài tốn dạng này chúng ta chỉ có thể giải theo hai cách là
dùng phương pháp vectơ hoặc phương pháp tọa độ cịn với phương pháp chứng minh
suy luận thì lại hồn tồn khơng khả thi trong trường hợp này. Song nếu dung phương
pháp vectơ cũng không đơn giản để thành thạo việc biến đổi biểu thức vectơ cũng đòi
hỏi sự nhanh nhạy tư duy không kém phương pháp suy luận. Điều này càng cho thấy
sự hiệu quả của phương pháp tọa độ khi chỉ cần chọn 1 hệ tọa độ đúng ta hồn tồn
có thể sử dụng kiến thức giải tích cơ bản để giải quyết bài toán thuận lợi dễ dàng.
Do đó:

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh DC chọn điểm E sao cho

1
1
DC và trên cạnh DB chọn điểm F sao cho DF 
DB với n > 0. Chứng
n
n 1
minh rằng ba điểm A, F, E thẳng hàng.
DE 





Giải: Chọn hệ tọa độ affine A; AB, AD , ta có: A(0, 0), B(1, 0), D (0, 1), C (1, 1).
Từ DE 

1
1 
DC ta suy ra E  ,1 .
n
n 

Và DF 

1
n 
 1
DB ta suy ra F 
,
.

n 1
 n 1 n 1 

D

n 
 1
1 
,
Do đó: AF 
 và AE  ,1 .
 n 1 n 1 
n 

E

C

F

A

B

AF và AE là hai vectơ cùng phƣơng (hay cộng tuyến ) vì ta có.

Vậy ba điểm A, F, E thẳng hàng.
Nhận xét: Bài tập này cũng hoàn toàn tương tự bài tập 2 cho thấy việc chọn hệ tọa
độ hoàn thoàn đơn giản bài toán rất nhiều.
8

Bài 4. Cho tứ giác lồi ABCD . Gọi I và K lần lƣợt là trung điểm của AD và BC.
Chứng minh rằng các trung điểm các đƣờng chéo của hai tứ giác ABKI và CDIK là
bốn đỉnh của một hình bình hành hoặc bốn điểm thẳng hàng.
Giải:





Chọn hệ tọa độ afin A; AB, AD .
Ta có A(0, 0), B(1, 0), D(0, 1).
Giả sử: C(a, b).
Vì I là trung điểm của AD nên I(0,

1
).
2

a 1 b 
, .
 2 2

Vì K là trung điểm của BC nên K 

Gọi M, N, P, Q lần lƣợt là trung điểm của các đƣờng chéo AK, BI, CI, DK. Ta tìm
đƣợc tọa độ của các điểm đó nhƣ sau:
 a  1 b   1 1   a 2b  1   a  1 b  2 
M

, , N  , , P ,
,
,Q

4   4
4 
 4 4 2 4  2
 1 a 1 b 
 1 a 1 b 
,
,
 , PQ 

4 
4 
 4
 4

Ta có: MN 

Do đó : MN  PQ .
Vậy bốn đỉnh M, N, Q, P thẳng hàng hoặc tạo nên mơt hình bình hành.
Nhận xét: Xét 3 điểm thẳng hàng đã khó, trong trường hợp xét 4 điểm thẳng hàng
càng tốn thời gian và khó khăn hơn khi dùng phương pháp chứng minh suy luận.
Không những vậy đây cịn là bài tốn có hai trương hợp xảy ra. Vậy câu hỏi đặt ra
nữa là nếu chỉ làm theo phương pháp suy luận thì có thể giải đủ được hết trường hợp
của bài toán khi mà chứng minh suy luận chính là dựa vào hình vẽ, trực giác và suy
luận? Điều này hồn tồn rất khó đối với học sinh và ngay cả giáo viên cũng thế.
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD. Trên đƣờng chéo BD ta lấy điểm P. Gọi I là điểm
đối xứng của C qua P. Đƣờng thẳng song song BC và đi qua I cắt đƣờng thẳng AB tại

E. Đƣờng thẳng song song với AB và đi qua I cắt AD tại F. Chứng minh 3 điểm P, E, F
thẳng hàng.
Giải:
9






Chọn hệ tọa độ affine B; BC , BA ta có: B(0, 0), C(1, 0), A(0, 1), D(1, 1).
Phƣơng trình đƣờng thẳng BD: y = x .

E

I

Điểm P ∈ BD nên giả sử P (p, p) .
Vì P là trung điểm của CI nên :

B

F

P

D

xC  x1


x

P

 x1  2 xP  xC
 x  2 p 1
2

 1

 y1  2 p
 y1  2 yP  yC
 y  yC  y1
P

2

Do đó ta có: E (0, 2p), F (2p – 1, 1).

A

C

Suy ra: EF  (2 p -1,1- 2 p) , EP  ( p,  p) .
Vì

2 p 1 1  2 p

nên EF và EP cùng phƣơng hay 3 điểm P, E, F thẳng hàng.
p

p

Vậy 3 điểm P, E, F thẳng hàng.
Bài 6. Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AB, CD cắt nhau tại E , các cạnh đối
diện AD, BC cắt nhau tại F. Gọi M, N, P lần lƣợt là trung điểm của các đoạn AC, BD,
EF. Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.





Giải: Chọn hệ toạ độ afin A; AB, AD .
1 1
Ta có: A(0,0), B(1,0), D(0,1), N  ,  .
2 2

Giả sử E(e,0), F(0,f)  P  ,  .
2 2
e f

Phƣơng trình đƣờng thẳng DE :
x y
  1  x  ey  e . (1)
e 1

Phƣơng trình đƣờng thẳng EF:
x y
  1  fx  y  f (2)
1 f

Ta có C = DE  BF. Giải hệ phƣơng trình gồm (1) và (2) ta có :

10


e(1- f )

 xC  1- ef


 y  f (1- e)
 C
1- ef

e(1- f )

 xM  2(1- ef )
Do đó : 
 y  f (1- e)
M

2(1- ef )


 1 e(1- f ) 1 e(1- e)   1- e
1- f 
 MN   , ,


 2 2(1- ef ) 2 2(1- ef )   2(1- ef ) 2(1- ef ) 

Ta suy ra: MN 

1 e 1 f 
và NP  
,
2 
 2

1
NP . Vậy 3 điểm M, N, P thẳng hàng.
1  ef

Bài 7. Cho tam giác ABC. Gọi O là giao điểm các đƣờng phân giác trong của tam
giác đó, O1 là giao điểm của AO với phân giác ngồi của góc B. Giả sử các điểm H và
K là hình chiếu của O1 và O lên BC. Điểm I là đối xứng của K qua tâm O. Chứng minh
A, I, H thẳng hàng.
Giải:





Chọn hệ tọa độ afin B; BC , BA .
Ta có: B(0,0); C(1,0); A(0,1)
Phƣơng trình đƣờng thẳng AC: x + y = 1
Phƣơng trình đƣờng thẳng BC: y = 0
Phƣơng trình đƣờng thẳng AB: x = 0
Áp dụng cơng thức đƣờng phân giác, ta tìm
đƣợc đƣờng phân giác của góc ABC:





x  y 1 x

2
1
x  y 1  2 x
 x  y 1   2 x

 x  y  1  2 x
 (1  2) x  y  1  0 (1)

 (1  2) x  y  1  0 (2)

Thế điểm B, C vào (1) ta đƣợc:
[(1+ 2 ).0 + 0 – 1].[1+ 2 – 1] < 0.
Từ phƣơng trình (1) suy ra phƣơng trình đƣờng phân giác trong của góc BAC :

1 2  x  y 1  0 .
Ta có: O = (AO1)

BE  O 

.

 2 2 2 2 
1

;

1

11


K thuộc BC, K có tọa độ (x, 0).


Ta có OK  BC nên OK .BC  0   x 


Suy ra K (

1
1 
;
 .(1,0)  0 .
2 2 2 2 

1
;0) .
2 2

Ta có O là trung điểm của IK nên I (

1
1 ;

).
2 2 2 2

AO1  O1  1 ;  1  .

Ta có: O1 = (BO1)

 2

2

H thuộc BC, H có tọa độ (x, 0).
Ta có O1H  BC nên :

1
1 

O H .BC  0   x 
;
 .(1,0)  0
1
2
2

 1

H 
; 0
 2


Ta có:
 1

AH  

 2

 1
 2 
AI  
;

 2 2 2 2 



;  1

Ta thấy: AH 



2
2 2

AI .

Suy ra: A, I, H thẳng hàng.
Bài 8. Giả sử tứ giác ABCD có AD = BC, AC và BD cắt nhau tại O. Phân giác các
góc DAB và CBA cắt nhau tại I. Chứng minh rằng trung điểm của các đoạn AB, CD và

OI cùng thuộc 1 đƣờng thẳng.
Giải:





Chọn hệ tọa độ affine A; AB, AD .
12


Ta có: A (0; 0), B (1; 0), D (0; 1).
Khi đó tia phân giác AI có phƣơng trình là: y = x.
Phƣơng trình đƣờng thẳng (AB) là: y = 0.
Giả sử điểm C (a; b) thì:

BC (a  1, b)  ( BC ) : (a  1) y  bx  b  0 .
 a b 1 
Do M, Q lần lƣợt là trung điểm của cạnh BC và AD nên tọa độ điểm M  ,

2 2 
1



và điểm Q  , 0  .
2 
Phƣơng trình đƣờng thẳng MQ là:
Phƣơng trình đƣờng thẳng BD :
Vì BC = AD nên ta có :

2(b+1)x + 2(1-a)y - b - 1 = 0.
x + y – 1= 0.

BC  AD  1

Phƣơng trình đƣờng phần giác của góc ABC là:
bx  (a  1) y  b
y

BC
AD
 bx  (a  1) y  b  y

 bx  (a  2) y  b  0 1




 bx  ay  b  0

 2

Thay tọa độ điểm A, C vào vế trái (1) sau đó nhân với nhau ta đƣợc:
b.  b   b2  0 nên phƣơng trình đƣờng thẳng BI là: - bx + (a - 2)y + b = 0.

Phƣơng trình đƣờng thẳng AC là: bx – ay = 0.
Ta lại có: O  AC  BD ; I  AI  PI .
Nên tọa độ điểm O là nghiệm của hệ phƣơng trình:
a


x

 x  y 1  0
x  1 y

ab



bx  ay  0
b(1  y )  ay  0
y  b

ab
b 
 a
 O
,

 ab ab 

Và tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phƣơng trình:

13




b

2ab
b
y

2ab


y  x
y  x



bx  (a  2) y  b  0
bx  (a  2) x  b  0


x

b
b


,

 2ab 2ab 

I

Do P là trung điểm của đoạn thẳng OI nên tọa độ điểm P là:
1

b
a  1
b
b 
P 


, 
 .
 2  2  a b a b  2  2  a b a b 

Thay tọa độ điểm P vào phƣơng trình đƣờng thẳng MQ ta có:

1
b
a 
1
b
b 
2.  b  1 . 


 b 1
  2. 1  a  . 
2 2ab ab 
2  2  a  b a  b 
(b  1)b (1  a)b (b  1)a (1  a)b





 b 1
2ab 2ab
a b
a b
b
1

(b  1  1  a) 
 ba  a  b  ab   b  1
2ab
ab
 b  1  b 1  0
Suy ra: P  MQ .
Vậy P, Q, M thẳng hàng.
Nhận xét: Bài toán 3 điểm thẳng hàng là một bài tốn phổ biến trong hình học
song nó cũng là một bài tốn khó khơng phải dễ dàng giải quyết cho nhiều ngƣời.
Đặc biệt với chứng minh suy luận thì đa số bài toán này đƣợc giải theo hai hƣớng
là 3 điểm tạo thành góc bẹt hoặc là tạo thành 2 đƣờng thẳng cùng song song với đt
thứ 3 đòi hỏi phải có sự tinh tế, nhạy bén phát hiện vấn đề giải quyết. Nếu dữ kiện
bài tốn ít thì bài tốn thật sự khó và trở nên bế tắc nhất là khi gắn với các tỉ lệ với
tham số là chữ cái. Nhƣng phƣơng pháp tọa độ đã giải quyết những khó khăn đó
rất đơn giản bằng cách chỉ cần chọn một hệ trục tọa độ hợp lí, viết phƣơng trình
đƣờng thẳng đi qua hai điểm và chứng minh điểm thứ 3 thỏa mãn phƣơng trình
hoặc chứng minh 2 vecto tạo bởi ba điểm đó cộng tuyến. Đây hồn tồn áp dụng
những kiến thức giải tích thơng thƣờng mà ai cũng có thể giải đƣợc.

14

2.2.2. Dạng 2: Bài toán chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định.
Bài 9. Cho tam giác ABC, từ một điểm P thay đổi nằm trong mặt phẳng của tam
giác ta kẻ các đƣờng thẳng song song với CA, CB lần lƣợt cắt CB, CA tại Q và R.
Đƣờng thẳng d nối Q với trung điểm I của CA cắt đƣờng thẳng d’ nối R với trung điểm
J của CB tại S. Chứng minh rằng đƣờng thẳng PS luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Giải:
Chọn hệ tọa độ afin {C; CA, CB }. Ta có:
1
2

C(0, 0), A(1, 0), B(0, 1), I( , 0), J(0,

1
).
2

Giả sử : P(a,b) ⇒ R(a, 0), Q(0, b).
Phƣơng trình đƣờng thẳng QI:

x y
 1
1 b
2
Phƣơng trình đƣờng thẳng RI:

x y
 1
a 1
2
Phƣơng trình chùm đƣờng thẳng tâm S xác định bởi hai đƣờng thẳng QI và RI có

y
x
dạng: m(2 x   1)  n(  2 y  1)  0 với m và n không đồng thời bằng 0.
b
a
Đƣờng thẳng PS thuộc chùm và đi qua điểm P(a, b) nên tọa độ (a, b) thõa mãn
phƣơng trình đƣờng thẳng PS. Do đó ta có: ma + mb = 0.
Chọn m = - b ⇒ n = a ta đƣợc phƣơng trình đƣờng thẳng PS là:
x – y + a(2y – 1) – b(2x – 1) = 0.
Muốn cho đƣờng thẳng này không phụ thuộc vào tọa độ (a, b) của P ta cần có:
 2 y 1  0
1

 2 x 1  0 ⇒ x = y =
2
x  y 0


1
2

Vậy điểm cố định cần tìm là trung điểm M của đoạn AB có tọa độ x = y = .
Bài 10. Cho tam giác ABC, cho hai điểm M, N lần lƣợt lấy trên các cạnh AB và AC
sao cho MB = h MA và NC  k NA với h + k = -1. Chứng minh rằng đƣờng thẳng MN
luôn luôn đi qua một điểm cố định.
15


Giải:





Chọn hệ tọa độ afin A; AB, AD .
Ta có A(0, 0), B(1,0), C(0, 1).
Theo giả thiết ta có:
MB
MB
AM  MB 1  h
h
 h 

1
MA
AM
AM
1
 AM 
AB
1 h
1

Vậy điểm M có tọa độ là 
,0 .
 1 h 

Tƣơng tự:

NC

NC
AN  NC 1  k
1
k 
 k 

 AN 
AC .
1
1 k
NA
AN
AN

1 
Vậy điểm N có tọa độ là  0,
.
1 k




Phƣơng trình đƣờng thẳng MN là:

x
y

1
1
1

1 h 1 k

 1  h  x  1  k  y  1  0.
 x – hx  y – ky – 1  0.

Do h + k = -1 => h= -1 – k.Thay vào phƣơng trình của MN ta có :
x – hx + y – (-1 – k)y – 1=0.
 x + 2y + h(y – x) – 1=0.

(1)

Muốn cho MN đi qua một điểm cố định ,ta cần buộc điều kiện sao cho phƣơng trình
(1) khơng bị lệ thuộc vào tham số h.Ta có:

y  x  0
y  x
1

x y .

3
 x  2 y  1  0 3 y  1
1 1

Nhƣ vậy điểm cố định mà MN luôn luôn đi qua là điểm có tọa độ  ,  .
3 3
Do đó G là trọng tâm của tam giác ABC.

16

Bài 11. Cho tam giác ABC. Gọi E và F là hai điểm xác định bởi AE 
AF 

1
AB,
k

1
AC với k ≠ 0 và k ≠ -1. Chứng minh rằng khi k thay đổi đƣờng thẳng EF
k 1

luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Giải:





Chọn hệ tọa độ afin A; AB, AC .Ta có:


1

 1



, 0 .
A(0,0), B(0,1), C(1,0), E  0,  , F 

 k
 k 1 

Đƣờng thẳng EF có phƣơng trình là:
x
y
  1.
1
1
k 1 k
  k  1 x  ky  1.
 k  x  y   x – 1  0. 1

Phƣơng trình (1) là phƣơng trình của một chùm đƣờng thẳng xác định bởi hai
đƣờng thẳng lần lƣợt có phƣơng trình là:

x  y  0 x  1


x

1

0

 y  1
Vậy đƣờng thẳng EF luôn luôn đi qua điểm cố định D(1,-1) là tâm của chùm đƣờng
thẳng xác định bởi phƣơng trình một nói trên.
Nhận xét: Bài tập đi qua điểm cố định là một trong những bài tốn khó. Nếu giải
bằng phƣơng pháp chứng minh suy luận chúng ta cần phải xác định chính xác

điểm cố định đó là điểm nào, có những tính chất gì sau đó mới đi tìm các yếu tố liên
quan đến điểm cố định cần xét. Từ đó ta chứng mình đƣờng thẳng đó đi qua điểm
cố định nhờ các yếu tố vừa xác định. Điều này rất khó để xét đốn và làm đƣợc bài
chứng minh nhƣ vậy thì hồn tồn phải có kinh nghiệm giải bài tập. Trong khi đó
nếu xét trên hệ tọa độ affine chúng ta chỉ cần tìm phƣơng trình của họ đƣờng thẳng
cần xét và tìm điều kiện để họ này đi qua một điểm cố định khi đó ta có thể xác định
đƣợc điểm cố định là điểm nào. Đặc biệt trong bài toán này khi dạy ở THCS khi
ứng dụng tọa độ chƣa đƣợc học ta cũng có thể áp dụng điều này để dự đốn chính
xác điểm cố định sau đó chứng minh suy luận theo chƣơng trình thì sẽ dễ dàng và
cho ta hƣớng làm chính xác hơn.
17


2.2.3. Dạng 3: Bài tốn tìm quỹ tích.
Bài 12. Trong mặt phẳng cho hai đƣờng thẳng (d1) và (d2) cắt nhau và một điểm P
không nằm trên hai đƣờng thẳng đó. Hai đƣờng thẳng phân biệt thay đổi (d) và (d’),
qua P và cắt cả (d1) và (d2). Ta gọi A = (d) ∩ (d1), B = (d) ∩ (d2), A’ = (d’) ∩ (d1), B’ =
(d’) ∩ (d2). Tìm quỹ tích giao điểm M của hai đƣờng thẳng AB’ và A’B.
Giải:
Gọi O là giao điểm của d1 và d2. Lấy hai điểm I và J lần lƣợt nằm trên d1 và d2 sao
cho OP  OI  OJ .
Đặt OI  i , OJ  j.
Ta chọn mục tiêu afin là (O; i , j ) .
Khi đó điểm P có tọa độ (1,1).
Giả sử các giao điểm có tọa độ là:
A = (a, 0), B = (0, b),
A’ = (a’, 0), B’ = (0, b’).

Khi đó đƣờng thẳng (d) có phƣơng trình :

1 1
 1
a b

Mà (d) cũng đi qua P(1, 1) nên ta có:
Phƣơng trình đƣờng thẳng (d’) :

x y
 1
a b
(1)

x y
 1 .
a' b'

1 1
(2)
 1
a' b'
Các đƣờng thẳng AB’ và A’B lần lƣợt có phƣơng trình:
x y
x y
và
(4)
  1 (3)
 1
a b'
a' b
Điểm M là giao điểm của AB’ và A’B khi và chỉ khi nó có tọa độ (x, y) thõa mãn cả

hai hệ phƣơng trình (3) và (4), suy ra nó thõa mãn phƣơng trình sau đây ( bằng cách
trừ hai phƣơng trình đó):
Tƣơng tự ta có:

x y
 a  b '  1  1 1   1 1 
   x     y  0

 x  y  1  a a'   b' b 
 a ' b

(5)

Chú ý rằng, từ hai điều kiện (1) và (2) ta suy ra ( bằng cách trừ hai đẳng thức đó ):
18