DE KSCL HOC SINH GIOI MON TOAN 9 2012 2013

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG THCS QU¶NG MINH. ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI KHỐI 9 NĂM HỌC: 2012 – 2013 Môn: TOÁN Thời gian: 150 (không kể thời gian giao đề) Nhận xét của giáo viên. Họ và tên: ……………………….. Lớp …. Điểm. Câu 1: Giải các phương trình sau: 2 2 a) x  7 x  x  7 x  8 12. b) x  x  2 2 x  1 2 c) x  3  5  x x  8 x  18 3 2 d) 2 x  5x  8x  3 0. 1 1 1   2 Câu 2: a) Cho biết a b c và a  b  c abc ;. Tính giá trị của biểu thức: b) Cho. x ab . A 2011 . 1  a  1 b  2. 2. 1 1 1   a2 b2 c2 .. 2 2 ; y a 1  b  b 1  a ( Với ab > 0). Hãy tính y theo x. Câu 3: 3. 3. 3. Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn điều kiện:  x  y    y  z    z  x  210 . Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tổng. x y  y z  z x. .. Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC. Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O. Chứng minh rằng: a) OA.OB = OC.OH; b) Góc OHA có số đo không đổi; c) Tổng BM.BH + CM.CA không đổi. Câu 5: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho n  1;6n  1; 20n  1 đều là các số chính phương.. ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………….

<span class='text_page_counter'>(2)</span> …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….

<span class='text_page_counter'>(3)</span> …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… Híng dÉn chÊm ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI KHỐI 9 NĂM HỌC: 2012 – 2013. m«n: TOÁN Câu. 1 (2 đ). Nội dung trình bày. Điểm. 2 2 a) Đặt x  7 x  8 t (1), ta có PT t  t  20 0 giải PT tìm t sau đó thay vào (1) ta được x = - 1; x = 8.. b) Đưa PT về dạng: . . 2. x  1  1  x  2 0  x 2. 0,5 0,5 0,5. VT : x  3  5  x 2 VP : x 2  8 x  18 2  VT VP 2  x 2. c) Nhân 2 vế của PT với 22; sau đó đặt t = 2x ta có: t3 – 5t2 + 16t - 12 = 0.. 0,5. 1 t 1  x  2. giải PT ta có. 2 (2đ). 1 1 1   2  a b c a)Từ GT: . 2. 1 1 1  1 1 1  a b c      4  2  2  2  2   4 a b c  a b c  abc . 0,5. 1 1 1 1 1 1  2  2  2 4  2  2  2 2 2 a b c a b c (vì a  b  c abc ). Vậy. A 2011 . 1 1 1   a 2 b 2 c 2 2011  2 2013. 0,5 0,5. 2 2 2 2 b) Ta có x  y 1  y x  1. do ab > 0 nên x > 1 và y 0 suy ra x2 – 1 > 0 2 Vì vậy: y  x  1 khi a > 0, b > 0.. 0,5. 2. y  x  1 khi a < 0, b < 0.. 3 (2đ). Đặt: x – y = a; y – z = b; z – x = c; khi đó a, b, c là các số nguyên và a + b + c = 0 suy ra c = - (a + b). 0,5  a 3  b3  c3  3ab  a  b  3abc 3. (1) 3. 3. Theo (1)  210  x  y    y  z    z  x  3  x  y   y  z   z  x . 0,5.   x  y   y  z   z  x  70. Do 70 phân tích thành tích của ba số nguyên có tổng bằng không là ( 2).(- 5).7 nên (x – y), (y – z), (z – x) là các số nguyên thuộc tập hợp.   2;  5;7.  x  y  y  z  z  x   2   5  7 14. .. 0,5 0,5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Vậy GTLN, GTNN của tổng 4. x y  y z  z x. bằng nhau và bằng 14.. O. (2đ) A H. M. B. K. C. a) BOH đồng dạng COA (gg)  OA.OB OC.OH b) Theo phần a ta có. OA.OB OC .OH . OA OH  OC OB (1). 0,5 0,25. OHA và OBC có góc O chung (2). Từ (1) và (2) OHA đồng dạng với OBC (cgc)  OHA OBC (không đổi). 0,5. c) Vẽ MK vuông góc BC BKM đồng dạng BHC (gg)  BM .BH BC.BK (3). 0,25. CKM đồng dạng CAB (gg)  CM .CA BC.CK (4). 0,25. 2 Cộng vế với vế (3) và (4) ta có BM .BH  CM .CA BC (không đổi). 0,25. 5. Chứng minh 2 nhận xét sau:. (2 đ). - NX1: Không có số chính phương nào chia cho 3 dư 2;. 0,5. - NX2: Một số chính phương lẻ khi chia cho 8 luôn có số dư là 1. (HS chứng minh được mỗi NX cho 0,25đ) -Nếu. n 3k  1 k  N . thì n + 1 = 3k + 2 không là số chính phương ( NX1). -Nếu n = 3k + 2 thì 20n + 1 = 60k + 41 không là số chính phương (NX1) Suy ra n chia hết cho 3 (1) Theo NX2 vì 6n + 1 là số chính phương lẻ nên 6n + 1 chia cho 8 dư 1, do đó 6n chia hết cho 8  3n4  n4  n  1 là số chính phương lẻ  n  1 chia cho 8 dư 1  n8 (2). 0,5. Vì (3; 8) = 1 nên từ (1) và (2) suy ra n24 *Nếu n = 24 thì 20n + 1 = 481 không phải là số chính phương. 0,5. *Nếu n = 48 thì n + 1 = 49 = 72 6n + 1 = 289 = 172 20n + 1 = 961 = 312 vậy n = 48 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề bài. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>

<span class='text_page_counter'>(6)</span>