Tài liệu Parabol cơ bảm đến nâng cao doc

C. Parabol
I. định nghĩa và phơng trình
1. Định nghĩa: trong mặt phẳng, cho đờng thẳng và một điểm
F không thuộc . Tập các điểm M trong mặt phẳng sao cho khoảng
cách từ M đến F bằng khoảng cách từ M đến là một Parabol nhận F
làm tiêu điểm và làm đờng chuẩn. Số p bằng khoảng cách từ F đến
đợc gọi là tham số tiêu.
2. Phơng trình chính tắc
Nếu ta chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho điểm
p
F,0
2




và đờng
thẳng có phơng trình: x =
p
2

, thì trong hệ trục đó, Parabol có
phơng trình dạng:
y
2
= 2px


3. Một số tính chất
a) Parbol y
2

= 2px là hình không bị chặn, có 1 trục đối xứng Ox,
đó là đờng thẳng qua tiêu điểm và vuông góc với đờng chuẩn.
Parabol không có tâm đối xứng.
b) Nếu điểm M
o
(x
o
, y
o
) thuộc Parabol, thì M
o
F là bán kính qua
tiêu điểm M
o
F = x
o
+
p
2
.
c) Tâm sai của Parbol e = 1
II. Tiếp tuyến
Cho Parbol (P) có phơng trình y
2
= 2px (p > 0).
1. Nếu điểm M
o
(x
o
, y

o
)

(P) thì tiếp tuyến tại điểm M
o
của (P)
có phơng trình dạng: y
o
y = p(x + x
o
).
2. Đờng thẳng

có phơng trình Ax + By + C = 0 tiếp xúc với
(P): y
2
= 2px khi và chỉ khi ta có
B
2
p = 2AC

1
3. Nếu điểm M
o
(x
o
, y
o
) không thuộc Parbol, thì để có tiếp tuyến
qua điểm M

o
, cần và đủ là
2
o
y > 2px
o
. Khi đó có hai tiếp tuyến qua
điểm M
o
. Cách viết phơng trình tiếp tuyến nh sau:
Cách 1.
Giả sử T (x
1
, y
1
) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm. Khi
đó phơng trình tiếp tuyến có dạng:
y
1
y = p(x + x
1
)
Ta tìm (x
1
, y
1
) bởi hệ:
2
11 11
1o o 1 o o o

y 2px vì T(x , y ) (P)
yy p(x x ) vì tiếp tuyến qua M (x , y )

=


=+



Cách 2
. Xét đờng thẳng (

) qua điểm M
o
(x
o
, y
o
). Phơng trình
(

) có dạng: A (x

x
o
) + B(y

y
o

) = 0 hay Ax + By

(Ax
o
+ By
o
) =
0, (

).
Đờng thẳng (

) tiếp xúc với (P): y
2
= 2px khi và chỉ khi: B
2
p =

2A (Ax
o
+ By
o
) hay B
2
p + 2ABy
o
+ 2x
o
A
2

= 0.
Từ đây, ta tìm đợc A, B sai khác một hằng số tỷ lệ.
III. Luyện tập
1. Cho Parabol y
2
= 2px, M
o
(x
o
, y
o
) là điểm trên mặt phẳng sao
cho
2
oo
y 2px
>
. Từ M kẻ hai tiếp tuyến đến Parabol, tại các tiếp điểm
T
1
và T
2
. Hãy viết phơng trình đờng thẳng T
1
T
2
.
Lời giải:
Giả sử T
1

(x
1
, y
1
), T
2
(x
2
, y
2
). Khi đó tiếp tuyến tại T
1
có phơng
trình dạng: y
1
y = p (x + x
1
). Theo giả thiết tiếp tuyến đo qua M
o
(x
o
,
y
o
), nên ta có:
y
o
y
1
= p (x

o
+ x
1
) (1)
Tơng tự, tiếp tuyến tại T
2
(x
2
, y
2
) có phơng trình dạng: y
2
y = p
(x + x
1
); Do tiếp tuyến này qua M
o
(x
o
, y
o
) nên ta có:
y
o
y
2
= p (x
o
+ x
2

) (2)

2
Xét đờng thẳng

: y
o
y = p (x + x
0
). Do các hệ thức (1) và (2).
Ta có T
1
(x
1
, y
1
), T
2
(x
2
, y
2
)



. Do đó phơng trình T
1
T
2

là: y
o
y =
p (x + x
o
).
2. Cho Parabol y
2
= 2px, tìm tập hợp các điểm M, từ đó có thể kẻ
đợc hai tiếp tuyến tới Parabol và hai tiếp tuyến đó vuông góc.
Lời giải
: Giả sử M (X, Y) và

là đờng thẳng qua M và có hệ số
góc k. Phơng trình của

có dạng: y

Y = k(x

X) hay kx

y + (Y

kX) = 0. Đờng thẳng

tiếp xúc với Parabol khi và chỉ khi:
p = 2k (Y

kX) hay

2X.k
2


2Yk + p = 0 (1)
Theo giả thiết, qua M(X, Y) có hai tiếp tuyến với Parabol và hai
tiếp tuyến đó vuông góc, nên phơng trình (1) có 2 nghiệm k
1
, k
2
mà
k
1
. k
2
=

1 hay
pp
1X
2X 2
= = M (X, Y) thuộc đờng
chuẩn của Parabol.
3. Cho Parabol (P) có phơng trình y
2
= 10x và điểm
5
I,5
2

nằm trền (P). Một góc vuông thay đổi quanh I và hai cạnh của góc
vuông đó cắt (P) tại M, N khác I. Chứng minh rằng đờng thẳng MN
luôn qua điểm cố định.
Lời giải
. Giả sử M (10 m
2
, 10m), N(10n
2
, 10n).
Khi đó
2
5
IM 10m ,10m 5
2




JJJG

2
5
IN 10n ,10n 5
2

JJG

Ta có
IM

IN IM.IN 0 =
JJJGJJG JJJGJJG
()()
22
55
10m 10n 10m 5 10n 5 0
22

+


=
()( )
()()
22
25
4m 1 4n 1 25 2m 1 2n 1 0
4
+=
(2m 1) (2n 1) [(2m + 1)(2n + 1) + 4] = 0

3
Vì M,N khác I, nên
11

m,n
22
, nên


IM IN (2m 1)(2n 1) 4 0 + ++=
JJJGJJG
4 mn + 2(m + n) + 5 = 0 (1)
Đờng thẳng MN có phơng trình:
2
22
x10m y 10m
10n 10m
10n 10m

=



x (m + n)y + 10mn = 0 (2)
Thay 2(m + n) = 5 4mn từ (1) vào (2), ta có: phơng trình
MN:
2x + (5 + 4mn)y + 20 mn = 0
hay 4mn. (y + 5) + (2x + 5y) = 0
Dễ thấy đờng thẳng MN luôn qua điểm
25
A,5
2

III. Bài tập tự giải
1. Đề thi Đại học Mỏ địa chất (1998)
Cho Parabol y
2
= 64x (P) và đờng thẳng : 4x + 3y + 46 = 0.
Xác định điểm M trên Parabol sao cho khoảng cách từ M đến là
nhỏ nhất.
Đáp số: M (+9, 24).
2. Đề thi Đại học Kinh tế quốc dân 1996.
Cho Parabol y = ax
2
(a > 0) (P)

a) Đờng thẳng có phơng trình y = ax + 2a cắt Parabol tại hai
điểm. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đờng thẳng .
b) Cho điểm A(a, a
3
, đờng thẳng (d) song song với tiếp tuyến tại
A của Parabol, cắt Parabol tại hai điểm MN.
Tính tỷ số diện tích của tam giác AMN và diện tích của hình
phẳng chắn bởi (d) và Parabol.
Đáp số: a) diện tích bằng
9
a
2
(đvdt)

4
b)
3
4

3. Cho Parabol (P) y
2
= 4x. Một đờng thẳng bất kỳ qua tiêu
điểm của Parabol và cắt (P) tại hai điểm A, B. Chứng minh rằng tích
các khoảng cách từ A, B đến trục của Parabol là một đại lợng không
đổi.
4. Cho (P): y
2
= 2px, tiêu điểm F. là tiếp tuyến của (P) tại tiếp
điểm M (x
o
, y
o
).
a) Chứng minh rằng chân đờng vuông góc hạ từ F tới nằm trên
tiếp tuyến tại đỉnh O của Parabol.
b) Chứng minh rằng điểm k đối xứng với điểm F qua nằm trên
đờng chuẩn của (P). Chứng tỏ rằng k là hình chiếu của M (x
o
, y
o
)
lên đờng chuẩn (D).
c) Đờng thẳng cắt trục Ox tại L. Chứng minh rằng O là trung
điểm của NL, ở đó N là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox.

d) Pháp tuyến tại M của Parabol cắt Ox tại Q. Chứng minh rằng
đoạn NQ không đổi, khi M thay đổi trên (P).
5. Các đề 2, 8, 12, 23, 30, 36, 146, 150 trong bộ đề thi tuyển sinh
đại học.

Phần II. Phơng pháp tọa độ trong không gian.
Bài 1
. Véc tơ và tọa độ trong không gian.
I. Nhắc lại lý thuyết
1. Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc trong không gian: Hệ thống
ba trục tọa độ chung gốc O, đôi một vuông góc với nhau đợc gọi là
hệ trục tọa độ Đề các vuông góc trong không gian. Kí hiệu Oxyz hay
{ }
123
O, e , e , e
JJGJJGJJG
, ở đó
123
e,e,e là các véctơ đơn vị định hớng trục.
JJGJJGJJG
Trục Ox gọi là trục hoành
Trục Oy gọi là trục tung
Trục Oz gọi là trục cao

2. Tọa độ của điểm và của véc tơ

5