DE THAM KHAO HSG LOP NAM HOC 20122013
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (102.47 KB, 4 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) Ngày thi: 16/12/2012 ( Đề thi gồm có 01 trang). Câu 1: ( 6 điểm) Cho biểu thức P =. 1 2x x 1 2x x x x 1 : x 1 x 1 x x 1 x . a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của P biết. x 7 4 3. c) Tìm giá lớn nhất của a để P > a. Câu 2: ( 4 điểm) Cho các số a, b, c, x, y, z thoả mãn điều kiện: x by cz , y ax cz , z ax by , 1 1 1 2 x y z 0 . Chứng minh 1 a 1 b 1 c .. Câu 3: ( 4 điểm) Cho n số nguyên dương (không nhất thiết khác nhau) trong đó có số 68. Trung bình cộng của n số đó bằng 56. Khi bỏ số 68 đó đi thì trung bình cộng của n-1 số còn lại bằng 55. a) Tìm n; b) Số lớn nhất trong n số đã cho có thể bằng bao nhiêu? Câu 4: ( 4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp nửa đường tròn đường kính BC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác các nửa đường tròn đường kính AB và AC. Chứng minh rằng tổng diện tích hai hình trăng khuyết giới hạn bởi ba nửa đường tròn bằng diện tích tam giác ABC. 2 (diện tích hình tròn có bán kinh là r được tính bởi công thức S = .r ). Câu 5: ( 2 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh là a. Gọi M, N, P là ba điểm lần lượt lấy trên các cạnh BC, CD và DA sao cho tam giác MNP là tam giác đều. a) Chứng minh: CN2 – AP2 = 2 DP.BM. b) Xác định vị trí của M, N, P sao cho tam giác MNP có diện tích bé nhất. ( Hết).
<span class='text_page_counter'>(2)</span> HƯỚNG DẪN THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 02 trang) Câu 1 a) *Điều kiện P có nghĩa x 1; x 0 1 2x x 1 2x x x x 1 : 1 x x 1 x 1 x x P= 2 x 1 ( x 1)(2 x 1) x (2 x 1)( x 1) (1 x ) x (1 x )(1 x ) (1 x )(1 x x) = : 2 x 1 (2 x 1) x (2 x 1) (1 x ) x (1 x (1 x x) = : 2 x1 1 x x x x (2 x 1) (1 x ) x (1 x )(1 x x) = : 2 x1 (1 x )(1 x x) (2 x 1) = . (1 x ) x . 1 b). =. xx x. * Tính giá trị của P biết. x 7 4 3. 2 Ta có x 7 4 3 = (2 3) x 2 3 , do đó:. 1 c). P=. 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm. 0,75 điểm 0,75 điểm. xx x =3. P= * Tìm giá lớn nhất của a để P > a 1. 6 điểm. 1 xx x 1 2 x x =. 1 x. 1 điểm x 1 1 P 1. . 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi P = x = x x 1 , không thoả mãn điều kiện. vậy P>1. Do đó giá trị lớn nhất của a để P > a là a =1. Câu 2. 1 điểm. 4 điểm Cộng vế với vế của các đẳng thức ta được: x y z 2(ax by cz ) Do x y z 0 nên ax by cz 0. 1 điểm. Cộng 2 vế của các đẳng thức lần lượt cho ax, by, cz ta được:. 1 điểm. (a 1) x ax by cz;(b 1) y ax by cz;(c 1) z ax by cz. 1 1 1 x y z Suy ra: 1 a 1 b 1 c ax by cz ax by cz ax by cz =. 1 điểm.
<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1 điểm. x yz 2 = ax by cz Câu 3 a) b). 4 điểm 1 điểm. 56n 68 55 n 13 Ta có n 1 Tổng của 13 số đã cho bằng : 56.13 = 728. Trong 13 số đó có một số 68, tổng của 12 số còn lại bằng: 728-68 = 660. Số lớn nhất trong 12 số còn lại đạt được nếu 11 số bằng 1, khi đó số lớn nhất bằng: 660 -11 = 649. 1 điểm 1 điểm 1 điểm. Câu 4. 4 điểm 0,5 điểm. Đặt BC = 2a; CA = 2b; AB = 2c. 1 Diện tích tam giác ABC là S1= 2 .2b. 2c = 2bc. Diện tích 3 nửa hình tròn đường kính AB, AC, BC lần lượt là: 1 2 1 2 1 2 c b a S2 = 2 ; S3 = 2 ; S4 = 2 Tổng diện tích hai hình trăng khuyết là: S = S1 + S2 + S3 – S4 1 1 1 2 1 2 (c 2 b 2 ) a 2 a a 2 S = 2bc + 2 = 2bc + 2 - 2 = 2bc= S1 (đpcm). 0,5 điểm 1,5 điểm 0,5 điểm 1 điểm. Câu 5 a) Ta có MN2 = MC2 + CN2 = (a - BM)2 + CN2 . Lại có: MP2 = AB2 + (BM – AP2 ) = a2 + (BM – AP2 )2. (a - BM)2 + CN2 = a2 + (BM – AP2 ). BM2 – 2aBM + CN2 = BM2 – 2BM.AP + AP2 CN2 – AP2 = 2a BM – 2BM.AP = 2BM( a – AP) = 2 BM. DP 2 Vậy CN – AP2 = 2BM. DP b). 2 điểm 1 điểm. MP 2 3 4 Ta có: SMNP = , do đó SMNP nhỏ nhất MP ngắn nhất MP = a MP// AB Khi đó: PND = MCN ND = NC a 3 N là trung điểm CD còn CM = DP = 2 .. D. 1 điểm. C. N. P A. M.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> B (Hết).
<span class='text_page_counter'>(5)</span>
