He thong ly thuyet DS On thi vao 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (720.58 KB, 45 trang )

(1)Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 HỆ THỐNG Ch¬ng tr×nh «n thi vµo líp 10 PHẦN ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ 1 : RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Phần 1: Kiến thức cần nhớ Các dạng bài tập có liên quan đến biểu thức hữu tỉ, căn bậc hai, căn bậc ba. 1. D¹ng 1 : Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc h÷u tØ - Khi thùc hiÖn rót gän mét biÓu thøc h÷u tØ ta ph¶i tu©n theo thø tù thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n : Nh©n chia tríc, céng trõ sau. Cßn nÕu biÓu thøc cã c¸c dÊu ngoÆc th× thùc hiÖn theo thø tù ngoÆc trßn, ngoÆc vu«ng, ngoÆc nhän. - Với những bài toán tìm giá trị của phân thức thì phải tìm điều kiện của biến để phân thức đợc xác định (mẫu thức phải khác 0) 2. Dạng 2 : Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa. A - Biểu thức có dạng B xác định (có nghĩa) khi B 0 - Biểu thức có dạng A xác định (có nghĩa) khi A 0 A B xác định (có nghĩa) khi B > 0 - BiÓu thøc cã d¹ng  A 0  xác định (có nghĩa) khi  C  0  A 0  A  B C xác định (có nghĩa) khi C 0 B C. A  - BiÓu thøc cã d¹ng. - BiÓu thøc cã d¹ng 3. D¹ng 3 : Rót gän c¸c biÓu thøc chøa c¨n bËc hai, c¨n bËc ba LÝ thuyÕt chung: a) Các công thức biến đổi căn thức. A. 1). 2. A. AB  A. 2). A B. 3). . B ( víi A 0 vµ B  0). A (víi A 0 vµ B > 0) B. 2. A B A. 4) 5) A. A. 6). 7). 8). B (víi B 0) 2. B  A B (víi A 0 vµ B 0) B  A B A B. 2. A B (víi A < 0 vµ B 0).  1 B  A. AB (víi AB 0 vµ B 0). B B. C  A B. C. (víi B > 0). . A B A B. 2. . 2. (víi A 0 vµ A  B ). Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 1.

(2) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10. C A  B. C . . A  B A B. . (víi A 0 , B 0 vµ A B). 9) *) Lu ý: §Ó rót gän biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai ta lµm nh sau : - Quy đồng mẫu số chung (nếu có) - §a bít thõa sè ra ngoµi dÊu c¨n (nÕu cã) - Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã) - Thực hiện các phép tính lũy thừa, khai căn, nhân, chia , … theo thứ tự đã biết để làm xuất hiện các căn thức đồng dạng - Cộng, trừ các biểu thức đồng dạng (các căn thức đồng dạng) b) Các hằng đẳng thức quan trọng, đáng nhớ: 1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. ( a  b)2 a  2 a.b  b. (a,b 0). 2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ( a  b)2 a  2 a.b  b 3) a2 - b2 = (a + b).(a - b). (a,b 0). a  b ( a  b).( a . b). (a,b 0). 4) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 5) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 3 3 2 2 6) a  b (a  b)(a  ab  b ). a a  b b  a3  b 3 . 3.     a. . b. 3. ( a  b)(a . ab  b) (a,b 0). 3 3 2 2 7) a  b (a  b)(a  ab  b ). a a  b b  a3 . 3.  a   b. b3 . 3. ( a . b)(a  ab  b) (a,b 0). 8) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 2 9) ( a  b  c) a  b  c  2 ab  2 ac  2 bc. (a,b,c 0). a2  a 10) 11) 11/ x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 12/ x13+x23=(x1+x)3-3x1x2(x1+x2). Lu ý: - Khi giải các bài toán vận dụng hằng đẳng thức, chúng ta phải vận dụng các hằng đẳng thức theo cả hai chiÒu khai triÓn vµ thu gän mét c¸ch linh ho¹t. - Hai đa thức bằng nhau với mọi giá trị của biểu thức khi tất cả các hệ số của chúng đều tơng ứng b»ng nhau - Một đa thức bằng đa thức không khi tất cả các hệ số của nó đều bằng không PHẦN2: Bµi To¸n rót gän biÓu thøc. 1) C¸ch gi¶i: RÚT GỌN BIỂU THỨC Bớc 1. Tìm ĐKXĐ của biểu thức đã cho. Bớc 2. Quy đồng mẩu thức các phân thức, rồi thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để đa biểu thức đã cho về dạng đơn giản hơn. Một số lu ý: - Trớc khi quy đồng mẫu thức hay thực hiện các phép tính, nếu có thể thì nên rút gọn phân thức trớc. Kết quả sau khi biến đổi các biểu thức hữu tỷ cũng cần đợc rút gọn. - Các phép tính với đa thức cũng có đầy đủ các tính chất của các số thực ( giao hoán, kết hợp, phân phối). - Khi gi¶i c¸c bµi to¸n liªn quan tíi gi¸ trÞ cña ph©n thøc cÇn chó ý t×m §KX§ cña ph©n thøc. 2) VÝ dô: Rót gän biÓu thøc: A =. √x − 2 − 2 x √ − 1 √ x+1 x −1. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 2.

(3) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 ¿ x≥0 √ x −1 ≠ 0 √ x +1≠ 0 x −1 ≠ 0 ⇔ ¿ x ≥0 Gi¶i: BiÓu thøc A cã nghÜa ⇔ √x≠1 ∀x x≠1 ⇔ ¿ x ≥0 x≠1 ¿{{{ ¿ ⇒ §KX§ cña biÓu thøc lµ x ≥ 0 vµ x ≠ 1 . √x − 2 − 2 Khi đó ta có: A = √ x − 1 √ x+1 x −1 √ x( √ x +1) − 2 (√ x −1) − 2 ¿ ( √ x −1)(√ x+ 1) ( √ x +1)( √ x −1) ( √ x −1)( √ x +1) √ x ( √ x+1)−2( √ x − 1) −2 ¿ ( √ x −1)( √ x+ 1) x + √ x − 2 √ x+ 2− 2 ¿ ( √ x −1)( √ x+1) x − √x ¿ ( √ x −1)( √ x+1) √ x (√ x −1) ¿ ( √ x −1)( √ x+1) x ¿ √ √ x +1 3/. C¸c d¹ng to¸n liªn quan. Dạng 1. Bài toán tìm x để biểu thức P = m (m là hằng số) a c Bíc 1. Sö dông tÝnh chÊt = ⇔ a. d=b .c để làm mất mẩu của phơng trình. b d Bớc 2. Giải phơng trình vừa thu đợc để tìm đợc x. Bíc 3. §èi chiÕu ®iÒu kiÖn vµ chän nghiÖm hîp lÝ.. VÝ dô 1: Cho A =. √x √x− 1. a) A = 2.. (víi x b) A =. 0 vµ x 2 3. 1). Tìm các giá trị của x để: c) A =. −. 1 2. Gi¶i: Ta cã: a) A = 2. b) A =. ⇔. √ x =2 ⇔ √ x=2( √ x − 1)⇔ √ x=2 √ 2− 2⇔ 2=2 √ x − √ x ⇔ √ x=2. √ x −1. ⇔ x = 4 (TM§K) VËy víi x = 4 th× A =2. 2 x 2 ⇔ √ = ⇔ 3 √ x=2( √ x −1)⇔ 3 √ x=2 √ x −2 ⇔ √ x=− 2 3 √ x −1 3 2 Vậy không có giá trị nào của x để A = . 3. (V« nghiÖm). Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 3.

(4) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 c) A = − 1 ⇔ √ x =− 1 ⇔2 √ x=− ( √ x −1 ) ⇔ 2 √ x=1− √ x ⇔3 √ x=1 ⇔ √ x= 1 2 √ x −1 2 3 1 ⇔ x= (TM§K) 9 1 1 VËy víi x = th× A = − . 9 2 Chú ý: Trong trờng hợp nếu bài toán cha cho giá trị của P thì các em cần dựa giả thiết của bài toán để t×m P råi tiÕn hµnh gi¶i nh b×nh thêng. |P|=m(m≥ 0)⇔ P=m ¿ P=−m +) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2 2 P =k ⇔ P=k ¿ P=−k +) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 3 VÝ dô 2: Cho P = (víi x 0 và x  4). Tìm các giá trị của x để: 2 − √x 1 a) |P|=1 . b) P2= . c) P2=3 P . 4 Gi¶i: |P|=1⇔ P=1 ¿ P=−1 a) Ta cã: ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 3 =1 ⇔ 3=2− √ x ⇔ 1=− √ x ⇔ √ x=− 1 (V« nghiÖm) Trêng hîp 1. Víi P=1 ⇔ 2− √ x 3 =−1 ⇔ 3=−(2 − √ x )⇔ 3=√ x − 2⇔ √ x=5 ⇔ x=25 (TM) Trêng hîp 2. Víi P=− 1⇔ 2 −√ x VËy víi x = 25 th× |P|=1 . 1 2 P= ⇔ 4 1 P= 2 ¿ b) Ta cã: 1 P=− 2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 1 3 1 = ⇔ 6=2− √ x ⇔4=− √ x ⇔ √ x=− 4 (V« nghiÖm) Trêng hîp 1. Víi P= ⇔ 2 2 −√ x 2. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 4.

(5) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 1 3 1 =− ⇔ 6=−(2 − √ x) ⇔6=√ x −2 ⇔ √ x=8 ⇔ x=64 (TM) Trêng hîp 2. Víi P=− ⇔ 2 2 − √x 2 1 VËy víi x = 64 th× P2= . 4 P2=3 P ⇔ P2 − 3 P=0 ⇔ P(P −3)=0 ⇔ P=0 ¿ P=3 b) Ta cã: ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 3 =0 ⇔ 3=0 (V« nghiÖm) Trêng hîp 1. Víi P=0 ⇔ 2 −√ x 3 =3⇔ 3=3 (2− √ x )⇔ 3=6 − 3 √ x ⇔3 √ x=3 ⇔ √ x=1 Trêng hîp 2. Víi P=3 ⇔ 2 −√ x ⇔ x=1 (TM) VËy víi x = 1 th× P2=3 P . Dạng 2. Bài toán tìm x để biểu thức P < m hoặc P > m, hoặc P m, hoÆc P m (víi m lµ h»ng sè) Bớc 1. Chuyển m sang vế trái, để vế phải bằng 0. Bớc 2. Quy đồng mẩu thức các phân thức rồi làm gọn vế trái. Bớc 3. Xác định dấu của tử hoặc mẩu của vế trái, từ đó có đợc một bất phơng tr×nh đơn giản (không chứa mẩu). Bớc 3. Giải bất phơng trình trên để tìm đợc x. Bíc 4. §èi chiÕu ®iÒu kiÖn vµ chän nghiÖm hîp lÝ. VÝ dô: Cho A = √ x − 1 (víi x 0). Tìm các giá trị của x để: √ x+1 1 2 1 a) A > . b) A < c) A . 3 5 2 Gi¶i: Ta cã: 3( x −1) √ x+ 1 > 0 a) A > 1 ⇔ √ x −1 > 1 ⇔ √ x −1 − 1 >0 ⇔ √ − 3 √ x +1 3 √ x +1 3 3( √ x+1) 3( √ x+1) 3( √ x − 1)−( √ x +1) 2 x −4 ⇔ >0 ⇔ √ >0 ⇔ 2 √ x − 4 >0 (v× 3( √ x+ 1)>0 ) 3( √ x+1) 3( √ x +1) ⇔ 2 √ x> 4 ⇔ √ x >2 ⇔ x>4 (TM§K) 1 VËy víi x > 4 th× A > . 3 5( x − 1) 2( √ x +1) b) A < 2 ⇔ √ x −1 < 2 ⇔ √ x −1 − 2 <0 ⇔ √ − <0 5 √ x +1 5 √ x+ 1 5 5 ( √ x+1) 5 ( √ x+1) 5( √ x − 1) −2( √ x +1) 3 x −7 ⇔ <0 ⇔ √ <0 ⇔ 3 √ x −7 <0 (v× 5( √ x+ 1)>0 ) 5 ( √ x +1) 5( √ x+ 1) 7 49 ⇔ 3 √ x< 7 ⇔ √ x< ⇔ x< 3 9 49 Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc 0 x< . 9 49 2 VËy víi 0 x< th× A < . 9 5 2( x − 1) (√ x +1) c) A 1 ⇔ √ x −1 ≤ 1 ⇔ √ x −1 − 1 ≤ 0 ⇔ √ − ≤0 2 √ x+ 1 2 √ x+ 1 2 2(√ x +1) 2( √ x +1) 2( √ x −1) −( √ x +1) x −3 ⇔ ≤0 ⇔ √ ≤0 ⇔ √ x −3 ≤ 0 (v× 2( √ x+1)>0 ) 2( √ x +1) 2( √ x +1) ⇔√ x≤3⇔ x≤9. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 5.

(6) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc 0 x 9. 1 VËy víi 0 x 9 th× A . 2 Chó ý: +) |P|=P ⇔ P ≥ 0 . +) |P|=− P ⇔ P ≤0 . +) |P|> P ⇔ P<0 . +) √ P> P ⇔ 0< P<1 . +) √ P 1 . 1 VÝ dô 2. Cho biÓu thøc: P = (với x ≥ 0 và x ≠ 1 ). Tìm tất cả các giá trị của x để: 1 − √x a) |P|=P . b) |P|=− P . c) √ P P Gi¶i: 1 ≥ 0 ⇔ 1 − √ x >0 ⇔ √ x <1 ⇔ x<1 . a) Ta cã: |P|=P ⇔ P ≥ 0 ⇔ 1− √ x Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc: 0 ≤ x <1 . VËy víi 0 ≤ x <1 th× |P|=P . 1 ≤ 0 ⇔ 1− √ x <0 ⇔ √ x >1 ⇔ x >1 (tho¶ m·n §KX§) b) Ta cã: |P|=− P ⇔ P ≤0 ⇔ 1 −√ x VËy víi x > 1 th× |P|=− P . c) Ta cã: √ P 1⇔ 1 >1 ⇔ 1 − 1> 0 ⇔ 1 − 1 − √ x >0 . 1 −√ x 1− √ x 1− √ x 1 − √ x 1−(1 − √ x) x ⇔ >0 ⇔ √ >0 ⇔1 − √ x> 0 ⇔ √ x<1 ⇔ x <1 . 1 −√ x 1− √ x Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc: 0 ≤ x <1 . VËy víi 0 ≤ x <1 th× √ P P ⇔ 0 ≤ P<1 ⇔ P≥ 0 P<1 ⇔ 1 ¿ ≥0 1− √ x 1 <1 1 −√ x ⇔ d) Ta cã: . ¿ 1 − √ x >0 1 − 1<0 1− √ x ⇔ ¿ √ x <1 1 1− √ x − <0 1 − √ x 1− √ x ¿{. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 6.

(7) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 ⇔ x <1 √x <0 1 − √x ⇔ ¿ x< 1 1 − √ x <0 (kh«ng tån t¹i x) ⇔ ¿ x< 1 √ x >1 ⇔ ¿ x< 1 x >1 ¿{ Vậy không có giá trị nào của x để √ P> P . D¹ng 3. Bµi to¸n so s¸nh biÓu thøc P víi m (m lµ h»ng sè) Bíc 1. TÝnh P – m = ? Bớc 2. Nhận xét dấu của hiệu P – m để có kết quả so sánh. +) NÕu P – m > 0 th× P > m. +) NÕu P – m < 0 th× P < m. +) NÕu P – m = 0 th× P = m. VÝ dô: Cho P = √ x − 1 (víi x > 0). H·y so s¸nh P víi 1. √x Gi¶i: Ta cã: P – 1 = √ x − 1 −1= √ x − 1 − √ x = √ x −1 − √ x = − 1 √x √x √x √x √x −1 V× < 0 ⇒ P – 1 < 0 ⇒ P < 1. √x D¹ng 4. Bµi to¸n Chøng minh biÓu thøc P < m (m lµ h»ng sè) víi mäi gi¸ trÞ cña x thuéc §KX§. Bíc 1. TÝnh P – m = ? Bớc 2. Nhận xét dấu của hiệu P – m để có điều phải chứng minh. +) NÕu P – m > 0 th× P > m. +) NÕu P – m < 0 th× P < m. +) NÕu P – m = 0 th× P = m. VÝ dô: Cho P = √ x +1 (víi x > 0). Chøng minh r»ng: P > 1 víi mäi gi¸ trÞ cña x > 0. √x Gi¶i: Ta cã: P – 1 = √ x +1 −1= √ x +1 − √ x = √ x+1 − √ x = 1 √x √x √ x √x √x 1 V× víi x > 0 th× √ x > 0 ⇒ > 0 ⇒ P – 1 > 0 ⇒ P > 1. (®pcm) √x Dạng 5. Bài toán tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên (nguyên dơng) Loại I. Bài toán tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên. C¸ch gi¶i: Bớc 1. Biến đổi biểu thức P về dạng: n P= m ± ( Víi m, n Z, f(x) lµ biÓu thøc chøa x) f (x) n n Bớc 2. Biện luận:Vì m  Z nên để P nguyên thì ph¶i nguyªn, mµ nguyªn th× “f(x) f (x) f (x) ph¶i lµ íc cña n”. Bớc 3. Giải các phơng trình: f(x) = Ư(n) để tìm đợc x. Bíc 4. §èi chiÕu ®iÒu kiÖn vµ chän nghiÖm hîp lÝ. VÝ dô 1: Cho P = √ x+2 (víi x 0 vµ x 1). Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên. √x− 1 ( x −1)+3 √ x −1 3 3 Gi¶i: Ta cã: P = √ x+2 = √ = + =1+ √x− 1 √ x −1 √ x −1 √ x − 1 √x−1. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 7.

(8) §Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn th× lµ íc cña 3.. Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 3 3 ph¶i nhËn gi¸ trÞ nguyªn, mµ √x− 1 √x− 1. nguyªn th×. √ x −1 ph¶i. ⇔ √ x −1=1 ¿ x − 1=− 1 √ ¿ √ x −1=3 ¿ √ x − 1=−3 ¿ √ x=2 ¿ √ x=0 ¿ √ x=4 ¿ √ x=−2(VN) ¿ x =4 (TMDK ) ¿ x=0( TMDK) ¿ x=16( TMDK) ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ¿ VËy víi x = 0, x = 4 vµ x = 16 th× P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. √ x (víi x VÝ dô 2: Cho M = 0 vµ x 4). Tìm các giá trị của x để M nhận giá trị √x− 2 nguyªn d¬ng. √ x = (√ x − 2)+2 = √ x −2 + 2 =1+ 2 Gi¶i: Ta cã: M = √x− 2 √ x −2 √ x −2 √ x − 2 √x − 2. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 8.

(9) §Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn th×. lµ íc cña 2.. ⇔ x −2=1 √ ¿ √ x − 2=− 1 ¿ √ x −2=2 ¿ √ x − 2=− 2 ¿ x=3 √ ¿ √ x=1 ¿ √ x=4 ¿ √ x=0 ¿ x=9(TMDK) ¿ x=1(TMDK) ¿ x=16(TMDK) ¿ x=0(TMDK) ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ¿. Víi x = 9 th× M =. Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 2 2 ph¶i nhËn gi¸ trÞ guyªn, mµ √x − 2 √x− 2. nguyªn th×. √ x −2 ph¶i. √9 = 3 =3 > 0 (TM). √9 − 2 3 −2 √1 = 1 =−1<0 (lo¹i) Víi x = 1 th× M = √ 1 −2 1− 2 √16 = 4 =2 > 0 (TM) Víi x = 16 th× M = 16 √ −2 4 −2 √0 = 0 =0 (lo¹i) Víi x = 0 th× M = √0 − 2 0 −2. VËy víi x = 9 vµ x = 16 th× M nhËn gi¸ trÞ nguyªn d¬ng. Loại II. Bài toán tìm các giá trị của x (x bất kì) để biểu thức P nhận giá trị nguyên. C¸ch gi¶i: Bớc 1. Nhân chéo rồi đặt √ x= y ( y ≥0) để đa biểu thức P về dạng một phơng trình bậc 2 cã Èn lµ y vµ tham sè P. Bớc 2. Tìm P để phơng trình bậc hai ẩn y trên có nghiệm không âm. Bíc 3. Chän c¸c gi¸ trÞ P nguyªn trong tËp hîp c¸c gi¸ trÞ cña P võa t×m ë bíc 2. Bớc 4. Thay P vừa tìm đợc vào biểu thức đã cho để tìm đợc x. Bíc 5. §èi chiÕu §KX§ chän nghiÖm hîp lÝ. VÝ dô: Cho biÓu thøc P = 6 √ x (víi x 0) x+ 1 Gi¶i: Ta cã : P = 6 √ x ⇔ P (x+1)=4 √ x ⇔ P . x −6 √ x + P=0 (1) x+ 1 Đặt: √ x= y (ĐK: y ≥ 0 ) khi đó phơng trình (1) trở thành: P. y 2 − 6 y + P=0 (2). Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 9.

(10) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 Trêng hîp 1. NÕu P=0 th× 6 √ x =0 ⇔ √ x=0 ⇔ x =0 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) x+ 1 Trêng hîp 2. NÕu P≠ 0 ph¬ng tr×nh (2) lµ mét ph¬ng tr×nh bËc hai Èn y cã: −3 ¿2 − P . P=9 − P2 b a=P ; b=−6 ; c=P ; b ' = =−3 vµ b ' ¿2 − ac=¿ 2 Δ ' =¿ Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm ⇔ ph¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm kh«ng ©m: ⇔ Δ' ≥0 b − ≥0 a c ≥0 a ⇔ ¿ 9 − P2 ≥0 . 6 ≥0 P 1 ≥ 0(∀ P) ⇔ ¿ P2 ≤ 9 P> 0 ⇔0< P ≤ 3 ¿{{ §Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn th× P= {1 ; 2; 3 } Víi P=1 ⇔ 6 √ x =1 ⇔6 √ x=x +1 ⇔ x − 6 √ x +1=0⇔ x=17 ±12 √ 2 (TM§K) x +1 6 Víi P=2 ⇔ √ x =2 ⇔3 √ x=x +1 ⇔ x −3 √ x +1=0 ⇔ x = 7 ± √ 5 (TM§K) x +1 2 6 x Víi P=3 ⇔ √ =3 ⇔ 2 √ x=x +1 ⇔ x − 2 √ x +1=0 ⇔ x =1 (TM§K) x +1 VËy víi x = 0, x = 1, x = 7 ± √ 5 , x = 17 ±12 √ 2 th× biÓu thøc P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. 2 D¹ng 6. Bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P. a) Kh¸i niÖm: +) NÕu P(x) m (m lµ h»ng sè) th× m gäi lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P(x). +) NÕu P(x) k (k lµ h»ng sè) th× k gäi lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña P(x). b) C¸ch gi¶i: Lo¹i 1. Trêng hîp biÓu thøc P cã d¹ng lµ mét ®a thøc P=ax +b √ x+ c . Bớc 1. Biến đổi biểu thức P về dạng: P = ± [ f ( x ) ] 2+ m ( f ( x) lµ biÓu thøc chøa biÕn x vµ m lµ mét h»ng sè) Bớc 2. Lập luận để có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. Bớc 3. Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”. Bíc 4. KÕt luËn. VÝ dô 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P ¿ x − 2 √ x+3 ( x ≥ 0) Gi¶i: √ x −1 ¿2 +2 Ta cã: P ¿ x − 2 √ x+ 3=(x − 2 √ x+ 1)+2=¿ √ x −1 ¿2 +2 ≥2 ⇒ V× √ x −1 ¿2 ≥0 ⇒ ¿ P 2 . ¿ DÊu “=” x¶y ra khi √ x −1=0 ⇔ x=1 . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 2. Đạt đợc khi x=1 . VÝ dô 2. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: M = 2+3 √ x − x (x ≥ 0). Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 1.

(11) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 Gi¶i: 3 2 17 + 2 4 2 2 2 17 V× √ x − 3 ≥ 0 ⇒ − √ x − 3 ≤0 ⇒ − √ x − 3 + 17 ≤ 17 ⇒ P . 4 2 2 2 4 4 3 9 DÊu “=” x¶y ra khi √ x − =0 ⇔ x = . 2 4 17 9 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P b»ng . Đạt đợc khi x= . 4 4 k Lo¹i 2. Trêng hîp biÓu thøc cã d¹ng P= ( a , b , c , k lµ h»ng sè, x ≥ 0 ) ax +b √ x+ c C¸ch gi¶i. Bíc 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mÈu thøc: f ( x)=ax+b √ x +c vµ ®iÒu kiÖn dÊu “=” x¶y ra. Bớc 2. Căn cứ vào dấu của hằng số k để suy ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của P. Bíc 3. KÕt luËn. Lu ý. +) Nếu k >0 thì P đạt giá trị lớn nhất ⇔ f ( x) đạt giá trị nhỏ nhất và ngợc lại. +) Nếu k <0 thì P đạt giá trị lớn nhất ⇔ f ( x) đạt giá trị lớn nhất và ngợc lại. 1 VÝ dô 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P= ( x≥0 ) x − √ x +1 Gi¶i: 2 Ta cã: x − √ x +1= x − 2. √ x . 1 + 1 + 3 = √ x − 1 + 3 2 4 4 2 4 2 2 V×: √ x − 1 ≥ 0⇒ √ x − 1 + 3 ≥ 3 . 2 2 4 4 1 1 1 4 4 ⇒ = ≤ = ⇒P≤ 2 3 . DÊu “=” x¶y ra ⇔ √ x − 1 =0 ⇔ √ x= 1 ⇔ x= 1 . x − √ x +1 1 3 3 3 2 2 4 √x− + 2 4 4 4 1 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P b»ng . Đạt đợc khi x= . 3 4 1 VÝ dô 2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M = ( x≥0 ) − x +2 √ x +1 Gi¶i: √ x − 1¿ 2+2 Ta cã: − x +2 √ x +1=−( x −2 √ x +1)+ 2=−¿ √ x −1 ¿2 +2 ¿ −¿ V× 2 . √ x −1 ¿2 +2 ≤2 ⇒ ¿ √ x −1 ¿2 ≤ 0⇒ − ¿ −¿ DÊu “=” x¶y ra khi √ x −1=0 ⇔ √ x=1 ⇔ x=1 . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức M bằng 1. Đạt đợc khi x=1 . Lo¹i 3. Trêng hîp biÓu thøc cã d¹ng P= a √ x+ b . ( a , b , c , d lµ h»ng sè x ≥ 0 ) c √ x +d Bớc 1. Biến đổi biểu thức P về dạng: n P= m+ (m, n Z, f(x) lµ biÓu thøc chøa x) f (x) Bíc 2. BiÖn luËn: Trêng hîp 1. “n > 0”. 3 9 9 Ta cã: M ¿ −( x −3 √ x − 2)=− x − 2. √ x . + − 2− =− 2 4 4. [(. (. ). (. ). (. (. ). (. (. ) (. (. ] (. ). √x −. ). ). ). ). ). Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 1.

(12) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 +) P đạt giá trị lớn nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất. +) P đạt giá trị nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất. n (Vì: Để P đạt giá trị lớn nhất thì phải đạt giá trị lớn nhất tức là f(x) phải đạt f (x) n giá trị nhỏ nhất. Còn để P đạt giá trị nhỏ nhất thì phải đạt giá trị nhỏ nhất f (x) tức là f(x) phải đạt giá trị lớn nhất). Trêng hîp 2. “n < 0”. +) P đạt giá trị lớn nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất. +) P đạt giá trị nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất. Bớc 3. Tiến hành tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của f(x) để có đợc giá trị lớn nhất hoÆc nhá nhÊt cña P. Bớc 4. Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”. Bíc 5. KÕt luËn. VÝ dô 1: Cho P = √ x +3 (víi x  0). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P. √ x +1 ( x +1)+2 √ x+1 2 2 Gi¶i: Ta cã: P = √ x +3 = √ = + =1+ √ x +1 √ x +1 √ x+1 √ x +1 √ x +1 Ta thấy: Vì ở đây n = 2 > 0 nên: Để P đạt giá trị nhỏ nhất thì √ x+1 phải đạt giá trị lớn nhất. V×: √ x 0 ⇒ √ x+1 ≥1 . DÊu “=” x¶y ra khi x = 0. ⇒ Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña √ x+1 lµ 1 √0+ 3 =3 . ⇒ Gi¸ trÞ lín nhÊt cña P lµ: √0+ 1 Vậy: Giá trị lớn nhất của P là 3, đạt đợc khi x = 0. VÝ dô 2: Cho M = √ x − 1 (víi x 0). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M. √ x+2 ( x+2)−3 √ x +2 −3 −3 Gi¶i: Ta cã: M = √ x − 1 = √ = + =1+ √ x+2 √ x+ 2 √ x +2 √ x +2 √ x +2 Ta thấy: Vì ở đây n = - 2 < 0 nên: Để M đạt giá trị nhỏ nhất thì √ x+2 phải đạt giá trị nhỏ nhất. V×: √ x 0 ⇒ √ x+2 ≥ 2 . DÊu “=” x¶y ra khi x = 0. ⇒ Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña √ x+2 lµ 2.  Gi¸ trÞ lín nhÊt cña M lµ: √ 0 −1 =− 1 2 √ 0+2 1 VËy: Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M lµ − , đạt đợc khi x = 0. 2 Lo¹i 4. Trêng hîp ph©n thøc cã d¹ng P= a . x +b √ x +c . ( a , b , c ,m , n lµ h»ng sè, x ≥ 0 ) m √ x+ n Bớc 1. Biến đổi biểu thức P về dạng: k + m ( f ( x) lµ biÓu thøc chøa biÕn x vµ k ; f ( x)>0 ) P = ± f ( x)+ f (x ) k Bớc 2. áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dơng f (x) và rồi từ đó tìm đợc f (x) gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P. Bớc 3. Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”. Bíc 4. KÕt luËn. x +3 VÝ dô 1: Cho A = (víi x 0). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. √ x +1 ( x − 1)+ 4 ( √ x +1)( √ x −1) 4 4 Gi¶i: Ta cã: A = x +3 = = + =√ x −1+ √ x +1 √ x +1 √ x+1 √ x +1 √ x+1 4 ¿( √ x +1)+ +(− 2) √ x+1 4 áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dơng ( √ x+1) và ta đợc: √ x +1. [. ]. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 1.

(13) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 4 4 ( √ x+1)+ ≥ 2 ( √ x +1). =2 √ 4=4 ( √ x+1) √ x +1 4 +(−2) ≥ 4+(−2)=2 ⇒ ( √ x+1)+ √ x +1 ⇒ A 2 . √ x+1 ¿2=4 ⇔ √ x +1=2 ⇔ √ x=1 ⇔ x=1 DÊu “=” x¶y ra khi 4 (√ x +1)= ⇔¿ √ x +1 Vậy: Giá trị nhỏ nhất của A là 2, đạt đợc khi x = 1. x +12 VÝ dô 2: Cho B = (víi x 0). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B. √ x +2 ( x − 4)+16 ( √ x +2)( √ x − 2) 16 16 Gi¶i: Ta cã: A = x +12 = = + =√ x −2+ √ x +2 √ x+2 √ x +2 √ x+ 2 √ x +2 16 ¿( √ x +2)+ +(−4 ) √ x+2 16 áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dơng ( √ x+2) và ta đợc: √ x +2 16 16 ( √ x+2)+ ≥ 2 ( √ x+2). =2 √ 16=8 ( √ x +2) √ x +2 9 +(− 4)≥ 8+(− 4)=4 ⇒ ( √ x+2)+ √ x +2 ⇒ A 4 . √ x+2 ¿2=16 ⇔ √ x+2=4 ⇔ √ x =2⇔ x=4 DÊu “=” x¶y ra khi 16 ( √ x +2)= ⇔¿ √ x +2 Vậy: Giá trị nhỏ nhất của A là 4, đạt đợc khi x = 4. PHÇN3 : Bµi tËp.. √. √. XEM ĐỀ CƯƠNG ÔN THI VÀO 10 CHUY£N §Ò 2: PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH A.PHƯƠNG TRÌNH -BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT I . KIẾN THỨC CƠ BẢN : 1.Phương trình bậc nhất một ẩn -Quy đồng khử mẫu. -Đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0). -Nghiệm duy nhất là. x. b a. *)Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình) Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0. Song giá trị cụ thể của a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình.. x. b a .. -Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất -Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm. -Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm 2.Phương trình tích. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 1.

(14) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10. Để giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành ph ần c ủa nó.  A  x  0    B  x  0  C x 0    Chẳng hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = 0 3.Phương trình chứa ẩn ở mẫu .: Gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu. 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: Bíc 1: T×m §KX§ cña ph¬ng tr×nh. Bớc 2: Quy đồng mẫu thức hai vế và khử mẫu. Bớc 3: Giải phơng trình vừa nhận đợc. Bớc 4: Đối chiếu nghiệm tìm đợc với ĐKXĐ, loại các giá trị không thoả mãn, các giá trị thoả mãn ĐK là nghiệm của phơng trình đã cho.  Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu. * Đặt ĐK để phơng trình có nghĩa; * Quy đồng mẫu thức chung và khử mẫu; * Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh bËc hai; * KiÓm tra ®iÒu kiÖn vµ kÕt luËn. 4.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối. A khi A 0 A   A khi A  0 Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức:. Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.  A nÕu A 0 A   A nÕu A < 0 - §Þnh nghÜa: - C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh.  . f ( x ) 0  f ( x ) 0 f ( x ) k( k  0)  f ( x ) k.  f ( x ) g( x ) f ( x )  g( x )    f ( x )  g( x )  2. Hay. f ( x )  g( x )   f ( x )  g( x ). 2. , ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch.   f ( x ) 0   g( x ) 0      f ( x ) g( x )  f ( x ) g( x )   f ( x ) 0   g( x ) 0   f ( x )  g( x ) f ( x )  g( x ) f ( x ) g( x )  <=>   hoÆc <=>    g( x ) 0  HoÆc <=>  f ( x ) g( x ) hoÆc f ( x )  g( x ). Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 1.

(15) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10.  g( x ) 0  2 2  f ( x )  g( x ) HoÆc <=>  2 2 A  B  A B  A  B A  A A A. - Chó ý:. ;. vµ. 5. Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: 4. 2. ax  bx  c 0 (a 0)  §Æt x2 = t ( t 0 ), ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng trë thµnh ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t : 2. at  bt  c 0 (*)  Gi¶i ph¬ng tr×nh (*), lÊy nh÷ng gi¸ trÞ thÝch hîp tháa m·n t 0  Thay vào đặt x2 = t và tìm x = ? 6. Ph¬ng tr×nh bËc cao a) Ph¬ng tr×nh bËc ba d¹ng: ax3 + bx2 + cx + d = 0 Hớng dẫn: Nhẩm nghiệm (nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ớc của hạng tử tự do d) hoặc dùng sơ đồ Hooc- ne hoặc dùng máy tính để tìm nhanh nghiệm nguyên của phơng trình, khi đã biết một nghiệm thì dễ dàng ph©n tÝch VT díi d¹ng tÝch vµ gi¶i ph¬ng tr×nh tÝch (hoÆc chia ®a thøc) b) Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 Híng dÉn: Ph¬ng ph¸p t¬ng tù nh ph¬ng tr×nh bËc ba trªn c) Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng: 2 c   x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 (víi d =  a  ). Ph¬ng ph¸p: Víi x = 0, thay vµo ph¬ng tr×nh vµ kiÓm tra xem x = 0 cã lµ nghiÖm hay kh«ng ? c Với x 0. Chia cả hai vế cho x2, sau đó ta đặt t = x + ax d) Ph¬ng tr×nh bËc 4 d¹ng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (víi a + b = c + d = m) ab  cd 2 Ph¬ng ph¸p: §Æt t = x2 + mx + e) Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx2 (víi ab = cd = k) Ph¬ng ph¸p: k Chia c¶ hai vÕ cho x2. §Æt t = x + x. 7. C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn.( tham khảo) C1. Ph¬ng ph¸p t¸ch ra c¸c gi¸ trÞ nguyªn. C2. Ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm nguyªn riªng. §Þnh lÝ: Ph¬ng tr×nh ax + by = c víi a, b, c nguyªn, (a; b) = 1. NÕu (x0; y0) lµ mét nghiÖm nguyªn th× ph¬ng tr×nh cã c¸c nghiÖm nguyªn d¹ng: C3. Phơng pháp bất đẳng thức. C4: Ph¬ng ph¸p ®a vÒ c¸c íc sè. VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh 7x + 4y = 23. HDÉn gi¶i. 23 −7 x x −1 Biểu thị y qua x ta đợc: y = (hoÆc y = 5 – x + =6 − 2 x + 4 4. ¿ x=x 0 +at y= y 0 + bt . ¿{ ¿. 3−3x ). 4. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 1.

(16) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 ¿ ¿ ¿ 3− 4 t x= x=4 t+1 x=1 3 Suy ra y=− 7 t+4 (t Z) (hoÆc ). Vì x, y dơng nên t = 0, do đó y=4 . y =4+ 7 t ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ 1 1 1 VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: (1) + = x y 2 HDÉn gi¶i. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ c¸c íc sè nguyªn. x+ y 1 (1) ⇔ = ⇔ (x - 2)(y - 2) = 4 = 2.2 = (-2).(-2) = 1.4 = (-1).(-4). xy 2 Xét các khả năng xảy ra với (x - 2) và (y - 2), ta đợc các cặp giá trị (x; y) thoả mãn là: (4; 4), (6; 3), (3; 6). 7. C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ.. * Ph¬ng tr×nh d¹ng. √ f (x )=g(x ). (1).  g ( x) 0(2) f ( x) g ( x)   2  f ( x)  g ( x)  (3)  Sơ đồ giải: Giải (3) rồi đối chiếu với điều kiện(2) để loại nghiệm không thích hợp, nghiệm thích hợp là nghiệm của phơng trình đã cho. * Ph¬ng tr×nh d¹ng. √ f (x )+ √ g (x)=h(x).  Sơ đồ giải:- Đặt đk có nghĩa của phơng trình f ( x )≥ 0 g( x )≥ 0 h ( x) ≥0 - B×nh ph¬ng 2 vÕ , rót gän ®a vÒ d¹ng(1) * Ph¬ng tr×nh d¹ng. f ( x )  g ( x )  h( x ).  Sơ đồ giải:.  f (x) 0  g(x) 0 h(x) 0 - §Æt ®k cã nghÜa cña ph¬ng tr×nh  -Bình phơng hai vế(có thể chuyển vế hợp lí rồi bình phơng) sau đó cần phải đối chiếu nghiệm vừa tìm đợc với điều kiện! *)Lu ý: Hầu hết khi giải phơng trình chứa ẩn trong căn, ta cần xác định điều kiện có nghĩa của phơng trình và các điều kiện tơng đơng. Nếu không có thể thử lại trực tiếp. II .BÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn. *D¹ng 1 BPT bËc nhÊt mét Èn lµ BPT cã d¹ng ax + b > 0 (hoÆc ax + b < 0, ax + b 0, ax + b 0), trong đó x là ẩn, a và b là các số đã cho, a 0. Ta xÐt BPT d¹ng ax + b > 0. b + NÕu a > 0, BPT cã nghiÖm x > . a b + NÕu a < 0, BPT cã nghiÖm x < . a. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 1.

(17) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 A *D¹ng 2: BPT ph©n thøc >0 ,BPT tÝchA.B>0 B  A  0   B  0  A  0  B 0 *Cách giải: Mỗi bất phơng trình tơng đơng với 2 hệ bpt :    f ( x)  a f ( x ) a    f ( x) a *D¹ng 3:  f ( x)  a f ( x)  a   |f (x)|< a ⇔ − a<f (x)<a  f ( x)   a hoÆc *D¹ng 4: B /HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I : Kiến thức cần nhớ by=c {ax+ a ' x+ b ' y=c '.  Dạng tổng quát :.  Số các nghiệm của hệ: a b ≠ ⇔ Hệ có nghiệm duy nhất + Nếu a' b ' a b c = ≠ ⇔ Hệ vô nghiệm + Nếu a' b ' c ' a b c = = ⇔ Hệ có vô số nghiệm + Nếu a' b ' c '  Các phương pháp giải hệ phương trình: 1. Phương pháp thế: - Từ một phương trình của hệ biểu thị một ẩn (chẳng hạn ẩn x) theo ẩn kia - Thay biểu thức của x vào phương trình còn lại để tìm y - Thay y vừa tìm được vào biểu thức của x để tìm x KL : Nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được Ví dụ 1 : Giải các hệ phương trình sau : (1) 2 x +3 y=6 a) x + y=3 (2) Từ phương trình (2) ta có: x = 3 – y (*) Thay x = 3 – y vào phương trình (1) ta được : 2(3 - y) + 3y = 6 6 – 2y + 3y = 6 ⇒ y = 0 Thay y = 0 vào phương trình (*) ta được : x = 3 x=3 Vậy nghiệm của hệ là: y=0 (1) 2 x + y=5 b) 4 x −5 y=3 (2) Từ phương trình (1) ta có : y = 5 – 2x (*) Thay y = 5 – 2x vào phương trình (2) ta được : 4x – 5 (5 – 2x) = 3 4x -25 + 10x = 3 14x = 28 ⇒ x=2 Thay x = 2 vào (*) ta được : y = 5 – 2.2 ⇒ y=1 x=2 Vậy nghiệm của hệ là : y=1. {. {. {. {. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 1.

(18) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 2. Phương pháp cộng : - Biến đổi các hệ số của cùng một ẩn sao cho có giá trị tuyệt đối bằng nhau - Cộng hoặc trừ từng vế của hệ để khử đi một ẩn - Giải phương trình tìm ẩn chưa khử - Thay giá trị vào một phương trình của hệ để tìm ẩn còn lại KL : nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau : x+ 2 y =14 ¿ a) (1) ¿(2) ¿ − x+ 3 y =−9 Cộng từng vế của hệ ta được : 5y = 5 ⇒ y=1 Thay y = 1 vào phương trình (1) ta được : x + 2.1 = 14 ⇒ x=12 Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (12; 1). {. {−53xx++44yy=11 =3. (1) (2) Trừ từng vế của hệ ta được : -8x = 8 ⇒ x=−1 Thay x = -1 vào phương trình (2) ta được: 5.(-1) + 4y = 3 ⇔ 4y = 8 ⇒ y=2 x =−1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là : y=2 3. Chú ý : ax+ by=c a / Với hệ phương trình a ' x+ b ' y=c ' +Nếu a = a’ hoặc b = b’ ta nên sử dụng phép cộng từng vế +Nếu a = -a’ hoặc b = -b’ ta nên sử dụng phép trừ +Nếu các hệ số a; a’; b; b’ bằng 1 hoặc -1 thì ta nên dùng phương pháp thế + Nếu các hệ số a; a’; b; b’ khác ±1 và không có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì ta đi tìm BCNN (a;a’) hoặc BCNN (b; b’) b/ Một số bài tập về hệ pt chứa tham số  Chú ý : Với bài tập dạng tìm điều kiện của tham số để nghiệm của hệ thoả mãn một điều kiện α nào đó ta làm như sau: + Coi tham số như số đã biết + Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y).Nghiệm (x; y) phụ thuộc vào tham số + Giải các phương trình (Bất phương trình) của biểu thức chứa tham số Ví dụ: Cho hệ phương trình: (1) x −2 y=0 mx −3 y=2 (2) a) Giải hệ với m = -2 b) Tìm m để hệ có nghiệm dương - Giải (1) x −2 y=0 a) Với m = -2 ta có hệ : − 2 x −3 y=2 (3) Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào (3) ta được: 2 4 -2.2y – 3y = 2 ⇒ y=− thay vào (*) ⇒ x=− 7 7 4 x=− 7 Vậy nghiệm của hệ là : 2 y=− 7 b)Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào phương trình (2) ta được: b). {. {. {. {. {. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 1.

(19) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 2 m.2y – 3y = 2 ⇔ y (2 m− 3)=2 ⇒ y= 2 m−3 4 Thay vào (*) ta được : x= 2m −3 4 >0 x >0 ⇔ 2 m−3 ⇒ 2m – 3 > 0 Để hệ có nghiệm y> 0 2 >0 2 m−3 3 ⇒ m> 2 3 Vậy với m > thì hệ phương trình có nghiệm dương 2 II. Bµi tËp. C/ ph¬ng tr×nh bËc hai PHẦN I: KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG *Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý khi a = 0 phương trình trở thành bậc nhất một ẩn .. {. {. A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Các dạng và cách giải Dạng 1: c = 0 khi đó.  x 0  1  ax  bx 0  x  ax+b  0   b x  a  2. Dạng 2: b = 0 khi đó.  1  ax 2  c 0  x 2 . c a. c c x  0 a . -Nếu a thì c 0 a -Nếu thì phương trình vô nghiệm. Dạng 3: Tổng quát CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT. CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN. 2.  ' b'2  ac.  b  4ac.   0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 . b  ; 2a. x2 . b  2a.  0 : phương trình có nghiệm kép b x1 x 2  2a   0 : phương trình vô nghiệm.  '  0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt  b'  '  b'  ' ; x2  a a  ' 0 : phương trình có nghiệm kép  b' x1 x 2  a  '  0 : phương trình vô nghiệm x1 . Dạng 4: Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vô tỉ và dạng đặt ẩn phụ, còn dạng chứa ẩn ở mẫu và dạng tích .. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 1.

(20) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10. 2.Hệ thức Viet và ứng dụng -Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:. b  S  x  x  1 2  a  P x x  c 1 2  a u  v S  2 uv P  S 4P . -Nếu có hai số u và v sao cho Sx + P = 0.. thì u, v là hai nghiệm của phương trình x2 –. c -Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = 1; x2 = a . c  -Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = -1; x2 = a . 3.Điều kiện có nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (1) (a ≠0) (1) có 2 nghiệm  0 ; có 2 nghiệm phân biệt   0 . a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu: . {. Δ≥ 0 c >0 a. b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương : . c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm:. {. Δ≥ 0 c >0 a b − >0 a. {. Δ≥ 0 c >0 a −b <0 a. d) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu: a.c < 0 (1) có 2 nghiệm : ac < 0 hoặc P < 0. * Một số hệ thức khi áp dụng hệ thức Vi-ét:. . 2 2 2 Tổng bình phương các nghiệm: x1  x2 ( x1  x2 )  2 x1 x2 = S2 – 2P. 1 1 x x S   1 2  x1 x2 P. Tổng nghịch đảo các nghiệm: x1 x2. . 1 1 x12  x22 S2  2P    2 2 2 x x ( x x ) P2 . 1 2 1 2 Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm:. . Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 2.

(21) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 2 2  Bình phương của hiệu các nghiệm: ( x1  x2 )  ( x1  x2 )  4 x1 x2 = S2 – 4P. x 3  x23  ( x1  x2 )3  3x1 x2 ( x1  x2 )  Tổng lập phương các nghiệm: 1 = S3 – 3PS 2 Ví dụ: Cho phương trình x – 12x + 35 = 0. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 1 1  2 2 2 3 3 a) x1  x2 . b) x1 x2 . c) ( x1  x2 ) d) x1  x2 Giải: Phương trình có  ' = 1 > 0  pt có 2 nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): b   S x1  x2  a 12   P  x x  c  35 1 2  a . x12  x22 ( x1  x2 )2  2 x1 x2. = S2 – 2P = 122 – 2.35 = 74. 1 1 x x S 12   1 2  x1 x2 P = 35 . b) x1 x2 ( x  x )2  ( x1  x2 )2  4 x1 x2 S2 -4P c) 1 2 = 122 – 4.35 = 4. 3 3 3 d) x1  x2  ( x1  x2 )  3x1 x2 ( x1  x2 ) = S3 – 3PS = 123 – 3.35.12 = 468. a). 4.Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập đối với tham số:(Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x 1, x2 không phụ thuộc vào tham số). * Phương pháp giải:  Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm (  '  0 ;  0 hoặc a.c < 0). b  S x1  x2  a   P x x c 1 2 a  Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình  .  Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ giữa S và P  Đó là hệ thức độc lập với tham số. 5.Tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó.. a) x1  x 2 ;. b) x12  x 2 2 m;. d) x12  x 2 2 h;. e) x13  x 23 t; .... c). 1 1  n x1 x 2. Trong những trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và phương pháp giải hệ phương trình. B.MỘT SỐ VÍ DỤ. CHUY£N §Ò 3 Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 2.

(22) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 Phần I. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình : + Bước 1: Lập phương trình (Hệ phương trình) - Chọn ẩn và xác định ĐK cho ẩn (nếu có) (Thông thường bài toán hỏi cái gì ta chọn cái đó làm ẩn) - Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và qua đại lượng đã biết ( Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng để biểu thị) -Tìm mối liên quan giữa các số liệu để lập phương trình (Chú ý đến tình huống bài toán – giả thiết- để lập phương trình) + Bước 2: Giải phương trình (Hệ phương trình) + Bước 3: Chọn kết quả thích hợp – Trả lời  Chú ý : Trong một bài toán thông thường liên quan đến 3 đại lượng. Một đại lượng đã biết, một đại lượng chưa biết mà bài toán yêu cầu tim, một đại lượng chưa biết có liên quan đến tình huống bài toán Phần II. Một số bài toán 1/Dạng toán chuyển động Loại 1. Bài toán chuyển động trên bộ. 1) KiÕn thøc cÇn nhí. – Bài toán chuyển động có ba đại lợng chính là: Vận tốc (v), quảng đờng (s) và thời s s gian (t). Trong đó: s=v . t , v = , t= . t v – Trong 3 đại lợng đó, chỉ có một đại lợng là đã biết, hai đại lợng còn lại là cha biÕt. – Trong mæi bµi to¸n thêng cã hai mèi liªn hÖ chÝnh. +) Mối liên hệ thứ nhất giúp ta tính đợc một trong các đại lợng cha biết. +) Mối liên hệ còn lại giúp ta lập đợc phơng trình của bài toán. 2) Chó ý: +) Nếu hai vật chuyển động, khởi hành cùng một lúc thì vật về đích sau đi mất nhiều thêi gian h¬n. +) Nếu hai vật chuyển động, về đích cùng một lúc thì vật khởi hành trớc đi mất nhiều thêi gian h¬n. +) Nếu hai vật chuyển động, khởi hành và về đích cùng một lúc thì vật nghỉ lại đi ít thêi gian h¬n. +) Nếu hai vật chuyển động, khởi hành từ hai vị trí A và B ( A ≠ B ) đi ngợc chiều nhau thì tổng quãng đờng chúng đi đợc kể từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau bằng quãng đờng AB. * Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ PT: + Bước 1: Lập hệ phương trình - Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn ( ghi rõ đơn vị của ẩn). - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết - Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài toán để lập hệ phương trình. + Bước 2: Giải hệ phương trình + Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết quả thích hợp và trả lời * Các kiến thức liên quan: Công thức: S = v.t (s là quãng đường, v là vận tốc, t là thời gian) II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài tập 1: Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm 1giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ô tô tại A Bảng phân tích tóm tắt. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 2.

(23) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 S(km) Dự định Nếu xe chạy chậm Nếu xe chạy nhanh. V(km/ h). x. T(giờ) y. x. 35. y+2. x. 50. y-1. Giải: Gọi x km) là độ dài quãng đường AB ( x > 35) Thời gian dự định để đi đến B lúc 12h trưa là y (h), ( y >1 ) Nếu xe chạy với vận tốc 35 (km/h) thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định, ta có phương trình: x = 35(y+2) (1) Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm 1giờ so với dự định ta có phương trình: x= 50(y - 1) (2) x=35( y+ 2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x =50( y −1). {. Giải hệ phương trình ta được:. {x y=8 =350. (TMĐK). Vậy quãng đường AB là 350 km và thời điểm xuất phát của ô tô tại A là: 12 - 8 = 4 (h) Bài tập 2: Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh, cách nhau 150 km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm 5km/h và vận tốc của ô tô B giảm đi 5km/h thì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc của ô tô B. Lập bảng tóm tắt như bài toán 1, sau đó giải. Giải: Gọi vận tốc của ô tô A là x (km/h), (x > 5) vận tốc của ô tô B là y (km/h), ( y > 5) Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh, cách nhau 150 km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ ta có phương trình: 2x + 2y = 150(1) Vận tốc của ô tô A sau khi tăng thêm 5km/h là: x + 5 (km/h) Vận tốc của ô tô B sau khi giảm 5km/h là : y - 5 (km/h) Vì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc của ô tô B nên ta có phương trình: x + 5 = 2(y- 5) ⇔ x - 2y = - 15 (2) 2 x +2 y=150 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x −2 y=− 15 x=45 Giải hệ phương trình ta được: (TMĐK) y=30 Vậy vận tốc của ô tô A là 45 km/h, vận tốc của ô tô B là 30 km/h Loại 2. Bài toán chuyển động trên sông.. {. {. Chuyển động có dòng nước : Vx = Vthực - Vn Vngược = Vthực - Vn I. KIẾN THỨC CƠ BẢN - Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ PT: + Bước 1: Lập hệ phương trình - Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn ( ghi rõ đơn vị của ẩn). - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 2.

(24) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 - Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài toán để lập hệ phương trình. + Bước 2: Giải hệ phương trình + Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết quả thích hợp và trả lời - Các kiến thức liên quan: Công thức: S = v.t (s là quãng đường, v là vận tốc, t là thời gian). Công thức : Vt xuôi = Vt + Vn Vt ngược = Vt – Vn II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Ví dụ 1: Một ôtô đi quãng đường 80 km. Nếu xe tăng vận tốc thêm 20 km / h thì về đích sớm hơn dự định 2 h . Tính vận tốc dự định của ôtô? 3 -GiảiPhân tích bài toán: - Đại lượng đã biết: quãng đường = 80 km - Đại lượng phải tìm: Vận tốc - Đại lượng chưa biết có liên quan: Thời gian 2 h - Tình huống bài toán để lập phương trình: Nếu xe tăng vận tốc thêm 20 km / h thì về đích sớm hơn 3 Bước 1 : Lập phương trình + Chọn ẩn và đặt ĐK cho ẩn: Gọi vận tốc dự định của ôtô là x km / h (x > 0) + Biểu thị đại lượng chưa biết qua ẩn và qua đại lượng đã biết: 80 h Thời gian dự định đi là : x Xe tăng thêm vận tốc 20 km / h : x + 20 (km/h) 80 h Thời gian thực tế xe đi là : x +20 + Mối liên quan giữa các số liệu ta lập phương trình: 2 h . Ta có phương trình: Xe về đích sớm hơn dự định 3 80 80 2 − = x x+20 3 ⇔ 80 . 3 .( x+20) −80 . 3 . x=2 . x .(x +20) ⇔ x 2 +20 x − 2400=0 Δ' =100+2400=2500; ⇒ √ Δ '=50 x =− 10+50=40 ⇒ 1 x 2=−10 −50=−60 x1 = 40 (thoả mãn) ; x2 = -60 (loại) Vậy vận tốc dự định của ôtô là 40 km / h 2.Toán về quan hệ giữa các số: KIẾN THỨC CƠ BẢN * Nhắc lại các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 8: + Bước 1: - Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết - Lập các phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng. + Bước 2: Giải phương trình + Bước 3: Chọn kết quả thích hợp và trả lời. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 2.

(25) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 *Giải hệ phương trình: + Bằng phương pháp thế: - Biểu thị một ẩn (giả sử x) theo ẩn kia từ một trong hai phương trình của hệ. - Thay biểu thức của x vào phương trình kia rồi tìm giá trị của y. - Thay giá trị của y vừa tìm được vào biểu thức của x để tìm giá trị của x. + Bằng phương pháp cộng đại số: -. Biến đổi để các hệ số của một ẩn (giả sử x) có giá trị tuyệt đối bằng nhau. Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình để khử ẩn x. Giải phương trình tìm được có một ẩn y, và tìm y. Thay giá trị y vừa tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm giá trị của x. Kết luận nghiệm của hệ phương trình.. * Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Tương tự như giải bài toán bằng cách lập trình bậc nhất một ẩn, chỉ khác là : - Phải chọn hai ẩn số - Lập một hệ hai phương trình. - Giải bằng hai cách phương pháp thế, hoặc phương pháp cộng đại số như nói trên. * Nhắc lại công thức liên hệ giữa số bị chia, số chia, thương và số dư Số bị chia = (số chia) x (thương) + (số dư); (Số dư < số chia) * Nhắc cách viết số có hai chữ số dưới dạng một tổng (cấu tạo số) nếu a là chữ số hàng chục, b là chữ số hàng đơn vị thì ab = 10a + b Với a, b  N và 1 a 9;0≤ b 9 Tæng qu¸t: an a n− 1 an −2 . . . a1 a0=10n . an +10n −1 . an −1 +10n − 2 . an − 2+. . .+10 . a1 +a 0 . II. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và dư là 124. Giải: Gọi số lớn hơn là x và số nhỏ là y (ĐK: x, y N; y >124) Theo đề bài tổng hai số bằng 1006 nên ta có phương trình x + y= 1006 (1) Vì lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 dư là 124 nên ta có phương trình: x = 2y + 124 (2) x + y =1006 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x =2 y +124 x =712 Giải hệ phương trình ta được: (TMĐK) y=294 Vậy số lớn là 712; số nhỏ là 294.. { {. Bài tập 2: Một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì ta được một số mới lớn hơn số đã cho là 63. Biết tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Giải: Gọi chữ số hàng chục là x và chữ số hàng đơn vị là y ĐK: x, y  N; 1 x, y  9 Theo đề bài ta có số đã cho là : xy = 10x + y Đổi chỗ hai chữ số cho nhau, ta được số mới là yx = 10y + x Nếu đổi chỗ hai chữ số ban đầu thì ta được một số mới lớn hơn số ban đầu là 63 nên ta có: (10y + x) (10x + y) = 63 (1) Biết tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99 nên ta có: (10x + y) + (10y + x) = 99 (2). Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 2.

(26) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình ta được:. {x=1 y=8. (10 y + x ) − ( 10 x+ y )=63 ( 10 x+ y )+ (10 y + x )=99. {. (TMĐK). Vậy số đã cho là 18. 3.Toán năng suất: I. KIẾN THỨC CƠ BẢN * Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ PT: + Bước 1: Lập hệ phương trình - Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn ( ghi rõ đơn vị của ẩn). - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết - Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài toán để lập hệ phương trình. + Bước 2: Giải hệ phương trình + Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết quả thích hợp và trả lời * Kiến thức liên quan: Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, cần phải “Phiên dịch ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số”, tức là cần biểu thị các đại lượng trong bài toán theo ẩn và các số đã biết rồi thiết lập hệ phương trình diễn đạt sự tương quan giữa các đại lượng trong bài toán. Để làm tốt công việc “phiên dịch” này, hãy chú ý đến các công thức có liên quan đến bài toán như: Củng giống nh bài toán chuyển động. – Bài toán năng suất có ba đại lợng chính là: Số sản phẩm (p), năng suất (n) và thời gian (t). Trong đó: Tổng sản lượng = Năng suất x Thời gian = Năng suất x số người – Trong 3 đại lợng đó, chỉ có một đại lợng là đã biết, hai đại lợng còn lại là cha biết. – Trong mæi bµi to¸n thêng cã hai mèi liªn hÖ chÝnh. +) Mối liên hệ thứ nhất giúp ta tính đợc một trong các đại lợng cha biết. +) Mối liên hệ còn lại giúp ta lập đợc phơng trình của bài toán. p p , t= . p=n . t , n= t n Dạng bài toán làm chung, làm riêng thường phải phân tích được: - Năng suất làm riêng được một phần của công việc . - Thiết lập phương trình khi làm riêng công việc - Thiết lập phương trình khi làm chung công việc. Dạng bài toán năng suất liên quan đến phần trăm: x 100 x 100  x x%    100 và tăng vượt mức x% tức là : 100 100 100 (§èi víi bµi n¨ng suÊt chóng ta nªn gi¶i b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh) II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1: Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu? Bảng phân tích Đội. Thời gian Hoàn thành công việc (ngày). Đội A. x. Đội B. y. Hai đội. 24. Năng suất 1 ngày 1 x 1 y 1 24. Giải. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 2.

(27) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 Gọi x (ngày) là số ngày để đội A làm một mình hoàn thành toàn bộ công việc, y (ngày) là số ngày để đội B làm một mình hoàn thành toàn bộ công việc (Điều kiện x, y > 24). Mỗi ngày: 1 Đội A làm được x (công việc) 1 Đội B làm được y (công việc) Do mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B nên ta có phương trình: 1 1 1 3 1 1,5. y  x = 2.y x = (1) 1 Hai đội làm chung trong 24 ngày thì xong công việc nên mỗi ngày 2 đội cùng làm thì được 24 (công việc), 1 1 1 y x + = 24 ta có phương trình: (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 1 3 1 = . x 2 y (II) 1 1 1 + = x y 24 Giải hệ phương trình ta được : x = 40 và y = 60 (TMĐK) Vậy đội A làm một mình trong 40 ngày thì hoàn thành toàn bộ công việc. Đội B làm một mình trong 60 ngày thì hoàn thành toàn bộ công việc Bài tập 3: Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình đội II làm việc, do cải tiến cách làm năng suất của đội hai tăng gấp đôi, nên họ đã làm xong phần vịêc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên. Lập bảng phân tích đại lượng:. {. Đội. Thời gian HTCV. Đội I. x ( ngày). Đội II. y (ngày). Hai đội. 12 (ngày). Năng xuất 1 ngày 1 x (CV) 1 y (CV) 1 12 (CV) Giải. Gọi thời gian đội I làm một mình (với năng suất ban đầu) để hoàn thành công việc là x (ngày), ( x > 12) Thời gian đội II làm một mình (với năng suất ban đầu) để hoàn thành công việc là y (ngày), (y > 12) 1 1 Mỗi ngày đội I làm được x (công việc), đội II làm được y (công việc). Hai đội làm chung trong 12 ngày thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình: 1 1 1 y x+ = 12 (1). Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 2.

(28) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 8 2  Hai đội làm trong 8 ngày được 12 3 ( công việc), do cải tiến cách làm năng suất của đội hai tăng gấp đôi 2 2 2 7 7 1  . 1   y 3 được y , nên họ đã làm xong phần vịêc còn lại trong 3,5 ngày, ta có phương trình: 3 y 2  y = 21 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 1 1 1     x y 12 1 1 1  y 21   x + 21 = 12  x = 28  x 28  Giải hệ phương trình, ta được:  y 21 (TMĐK) Vậy: Với năng suất ban đầu, để hoàn thành công việc đội I làm trong 28 ngày, đội II làm trong 21 ngày. Bài tập 1: Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi năm ngoái mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc? Bảng phân tích đại lượng. Năm ngoái Năm nay Đơn vị 1 x (tấn) 115x% (tấn) Đơn vị 2 y (tấn) 112 y% (tấn) Giải Hai đơn vị 720 (tấn) 819 (tấn) Gọi x (tấn) là số tấn thóc thu hoạch được năm ngoái của đơn vị 1, y (tấn) là số tấn thóc thu hoạch được năm ngoái của đơn vị 2 (x; y > 0) Năm ngoái cả hai đội thu hoạch được 720 (tấn) ta có phương trình: x + y = 720 (1) Năm nay đội 1 thu hoạch được 115% (tấn) thóc, đội 2 thu hoạch được 112% (tấn) thóc, tổng 2 đội thu hoạch được 819(tấn) ta có phương trình: 115% x + 112% y = 819 (2). Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:  x  y 720   x  y 720 115 112  x  y  819  100 100 115 x  112 y 81900 x=420 Giải hệ phương trình, ta được: (TMĐK). y=300 Vậy năm ngoái đội 1 thu hoạch được 420 (tấn) thóc. Đội 2 thu hoạch được 300 (tấn) thóc. 1 Bài tập 4: Hai máy cày có công suất khác nhau cùng nhau làm việc, hai máy cày đã cày được 6 cánh đồng trong 15 giờ. Nếu máy thứ nhất làm một mình trong 12 giờ, máy thứ hai làm một mình trong 20 giờ thì cả hai sẽ cày được 20% cánh đồng. Hỏi nếu mỗi máy làm việc riêng thì có thể cày xong cánh đồng? Lập bảng phân tích tóm tắt như bài 1 sau đó giải Thời gian Khối lượng công việc Khối lượng công việc Khối lượng công việc của máy 1 của máy 1 của máy 1, 2 Máy 1 và máy 2 cùng 15 1 15 làm 15 giờ x y 6. {. Máy 1 làm 12 giờ Máy 2 làm 20 giờ. 12 x. 20 y. 1 5. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 2.

(29) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 Giải Gọi thời gian máy thứ nhất cày một mình xong cánh đồng là x (h); thời gian máy thứ hai cày một mình xong cánh đồng là y (h); (ĐK: x, y > 20) 15 Hai máy cày đã cùng cày cánh đồng trong 15 giờ, nên một giờ máy thứ nhất cày được là x (cánh đồng), 15 một giờ máy thứ hai cày được y (cánh đồng) 15 15 1   nên ta có phương trình : x y 6 (1) 20 12 Theo đầu bài ta có 12 giờ máy thứ nhất cày được là x (cánh đồng), 20 giờ máy thứ hai cày được là y (cánh đồng) 20 12 1 nên ta có phương trình: x + y = 5 (2) 15 15 1  x  y 6   12  20  1  x y 5 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình Giải hệ phương trình, ta có x = 300 ; y = 200 (TMĐK) Vậy máy cày thứ nhất làm một mình mất 300 giờ ; máy cày thứ hai làm một mình mất 200 giờ. 4.Toán có nội dung hình học, hóa học : I. KIẾN THỨC CƠ BẢN * Nhắc lại các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 8: + Bước 1: - Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết - Lập các phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng. + Bước 2: Giải phương trình + Bước 3: Chọn kết quả thích hợp và trả lời * Các kiến thức liên quan: * Công thức chu vi diện tích hình chữ nhật, hình tam giác. Chu vi hình chữ nhật có các cạnh a, b : C = (a +b).2 - Diện tích HCN có cạnh a, b: S = a.b - Toán nồng độ %: Ta nói nồng độ dung dịch x% thì hiểu rằng trong 100 gam dung dịch có x gam chất tan. III. BÀI TẬP ÁP DỤNG 3 Bài tập 1. Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng 7 chiều dài, nếu giảm chiều dài 1m, tăng chiều rộng 1m thì diện tích hình chữ nhật là 200m2 . Tính chu vi, diện tích hình chữ nhật ban đầu? Giải: 3 Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (m), thì chiều rộng là 7 x (m), (Điều kiện x> 0) 3 Vì hình chữ nhật có chiều rộng bằng 7 chiều dài, và giảm chiều dài 1m, tăng chiều rộng 1m thì diện tích hình chữ nhật là 200 m2 nên ta có phương trình: 3 (x-1)( 7 x+1) = 200. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 2.

(30) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 67 Giải phương trình ta được x1 = 21(TMĐK) x2 = - 3 (loại) Vậy chiều dài hình chữ nhật là 21m, chiều rộng là 9m. Chu vi hình chữ nhật ban đầu là (21+ 9) 2= 60m Diện tích hình chữ nhật ban đầu là 21. 9 = 189m2 Bài tập 2: Cho một lượng dung dịch 10% muối. Nếu pha thêm 200 gam nước thì được một dung dịch 6%. Hỏi có bao nhiêu gam dung dịch đã cho. Giải Gọi số gam dung dịch đã cho là x (g), (Điều kiện x>0) Vậy số gam dung dịch sau khi đổ thêm 200 gam nước là x + 200 (g). Vì trước và sau khi đổ thêm nước lượng muối không đổi, do đó ta có phương trình 6% . (x + 200) = 10%x  6x + 1200 = 10x  x = 300 (TMĐK) Vậy số dung dịch đã cho là 300gam. 5.Toán làm chung làm riêng công việc: Toán làm chung, làm riêng: -Coi toàn bộ công việc là 1 (đv) - Giả sử công nhân A hoàn thành công việc trong x giờ 1 ⇒ 1 giờ công nhân A sẽ làm được công việc x - Công nhân B hoàn thành công việc trong y giờ 1 ⇒ 1 giờ công nhân B làm được công việc y -Cả hai người làm trong t giờ thì hoàn thành công việc 1 ⇒ 1 giờ cả hai người làm được công việc t 1 1 1 + = ⇒ Ta có phương trình : x y t VÝ Dô2: Hai vßi níc cïng ch¶y ®Çy mét bÎ kh«ng cã níc trong 3h 45ph . NÕu ch¶y riªng rÏ , mçi vßi ph¶i ch¶y trong bao l©u míi ®Çy bÓ ? biÕt r»ng vßi ch¶y sau l©u h¬n vßi tríc 4 h . Gi¶i Gäi thêi gian vßi ®Çu ch¶y ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ x ( x > 0 , x tÝnh b»ng giê ) Gäi thêi gian vßiíau ch¶y ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ y ( y > 4 , y tÝnh b»ng giê ) 1 1 giờ vòi đầu chảy đợc ( bÓ ) x 1 1 giờ vòi sau chảy đợc ( bÓ ) y 1 1 1 giờ hai vòi chảy đợc + ( bÓ ) (1) x y. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 3.

(31) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 15 Hai vßi cïng ch¶y th× ®Çy bÓ trong 3h 45ph = h 4 15 4 Vậy 1 giờ cả hai vòi chảy đợc 1: = ( bÓ ) ( 2) 4 15 Tõ (1) vµ (2) ta cã ph¬ng tr×nh 1 + 1 = 4 x y 15 Mặt kh¸c ta biÕt nÕu ch¶y mét m×nh th× vßi sau ch¶y l©u h¬n vßi tríc 4 giê tøc lµ y - x = 4 VËy ta cã hÖ ph¬ng tr×nh   x 6 (a)    x 6  y 10 1 1 4         x  2,5 4 x 2  14 x  60 0 2 x 2  7 x  30 0    x  2,5   x y 15    (b )    y x  4  y  x 4   y x  4  y x  4    y 1,5 HÖ (a) tho¶ m·n ®k cña Èn HÖ (b) bÞ lo¹i v× x < 0 VËy Vßi ®Çu ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ trong 6 h Vßi sau ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ trong 10 h 6.Dạng toán qui về đơn vị Bµi tËp : Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc . NÕu lµm riªng rÏ , mçi ngêi nöa viÖc th× tæng sè giê lµm viÖc lµ 12h 30ph . Nếu hai ngời cùng làm thì hai ngời chỉ làm việc đó trong 6 giờ. Nh vậy , làm việc riêng rẽ cả công viÖc mçi ngêi mÊt bao nhiªu thêi gian ? Gi¶i Gọi thời gian ngời thứ nhất làm riêng rẽ để xong nửa công việc là x ( x > 0 ) Gọi thời gian ngời thứ hai làm riêng l;ẻ để xong nửa công việc là y ( y > 0 ) 1 Ta cã pt : x + y = 12 (1) 2 1 thời gian ngời thứ nhất làm riêng lẻ để xong công việc là 2x => 1 giờ ng ời thứ nhất làm đợc c«ng 2x viÖc 1 Gọi thời gian ngời thứ hai làm riêng lẻ để xong công việc là 2y => 1 giờ ngời thứ hai làm đợc c«ng 2y viÖc 1 1 1 1 1 giờ cả hai ngời làm đợc c«ng viÖc nªn ta cã pt : + = (2) 6 2x 2y 6 ¿ 1 x + y=12 2 1 1 1 + = 2x 2 y 6 ⇔ ¿ x=5 Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ pt : 15 y= 2 ¿ 15 x= 2 y =5 ¿{ ¿ VËy nÕu lµm viÖc riªng rÏ c¶ c«ng viÖc mét ngêi lµm trong 10 giê cßn ngêi kia lµm trong 5 giê 7. Bµi to¸n phÇn tr¨m (%) , d©n sè (§èi víi bµi to¸n phÇn tr¨m chóng ta nªn gi¶i b»ng c¸ch lËp hÖ ph¬ng tr×nh) 1) KiÕn thøc cÇn nhí. Trong bài toán phần trăm thờng có sự thay đổi về số lợng sản phẩm giữa hai lần sản xuất, sự thay đổi này thờng đợc biểu diển dới dạng tăng hay giảm lợng %. Lu ý: +) NÕu s¶n xuÊt thø hai t¨ng (vît møc) a% so víi lÇn s¶n xuÊt thø nhÊt th× sè s¶n. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 3.

(32) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 100+a phẩm lần hai ( P2 ) đợc tính theo công thức: P2= . P1 100 +) NÕu s¶n xuÊt thø hai gi¶m (gi¶m møc) b% so víi lÇn s¶n xuÊt thø nhÊt th× sè s¶n 100− b phẩm lần hai ( P2 ) đợc tính theo công thức: P2= . P1 100 2) C¸ch gi¶i: Bíc 1. Gäi x vµ y lÇn lît lµ sè s¶n phÈm mµ Tæ I (Nhãm I, §éi I…) vµ Tæ II (Nhãm II, Đội II…) sản xuất đợc trong lần sản xuất thứ nhất, rồi đặt điều kiện cho x, y. Bớc 2. Tính số sản phẩm mà Tổ I, Tổ II sản xuất đợc trong lần sản xuất thứ hai theo x và y. Bớc 3. Dựa vào hai mối liên hệ của bài toán để lập hệ phơng trình. Bớc 4. Giải hệ phơng trình vừa lập, đối chiếu điều kiện rồi kết luận. Ví dụ 1. Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai tổ I vợt mức 15% và tổ II vợt mức 10% so với tháng thứ nhất. Vì vậy hai tổ đã sản xuất đợc 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy ? Gi¶i: Gọi x là số chi tiết máy mà tổ I sản xuất đợc trong tháng thứ nhất (điều kiện: 0< x <900 ) Gọi y là số chi tiết máy mà tổ II sản xuất đợc trong tháng thứ nhất (điều kiện: 0< y <900 ) 115 23 Khi đó: Trong tháng thứ hai tổ I sản xuất đợc . x= x (chi tiÕt m¸y) 100 20 110 11 Trong tháng thứ hai tổ II sản xuất đợc . y = y (chi tiÕt m¸y) 100 10 Vì trong tháng thứ nhất cả hai tổ sản xuất đợc 900 chi tiết máy nên ta có phơng trình: (1) x+ y=900 Vì sang tháng thứ hai cả hai tổ sản xuất đợc 1010 chi tiết máy nên ta lại có phơng trình: 23 11 x+ y=1010 hay 23 x+22 y=20200 (2) 20 10 ¿ x + y =900 23 x+22 y=20200 ⇔ KÕt hîp (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ y=900 − x 23 x+22( 900 − x)=20200 ¿{ ¿ ⇔ y =900 − x 23 x+19800 −22 x=20200 (tho¶ m·n) ⇔ ¿ x=400 y=500 ¿{ Vậy tháng thứ nhất tổ I sản xuất đợc 400 sản phẩm và tổ II sản xuất đợc 500 sản phẩm 8 / C¸c bµi tËp cã néi dung kiÕn thøc lÝ Khối lượng = Khối lượng riêng x thể tích (m = D.V ) Nhiệt lương thu vào = nhiệt lượng toả ra. (. (. ). ). CHUY£N §Ò IV : ĐỒ THỊ VÀ HÀM SỐ i.KiÕn thøc c¬ b¶n 1.Hµm sè a. Kh¸i niÖm hµm sè - Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số tơng ứng của x và x đợc gọi là biến số - Hµm sè cã thÓ cho bëi b¶ng hoÆc c«ng thøc b. §å thÞ hµm sè - Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn phơng trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ) c. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến * Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R -. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 3.

(33) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 NÕu x1 < x2 mµ f(x1) > f(x2) th× hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn trªn R 1.1Hµm sè bËc nhÊt a. Kh¸i niÖm hµm sè bËc nhÊt - Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trớc và a 0 b. TÝnh chÊt Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau: - §ång biÕn trªn R khi a > 0 - NghÞch biÕn trªn R khi a < 0 c. §å thÞ cña hµm sè y = ax + b (a 0) Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đờng thẳng - Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đờng thẳng y = ax, nếu b = 0 * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) Bớc 1. Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy. Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành Bớc 2. Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b d. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’ 0). Khi đó a a ' d // d '   b b ' + -. d ' d '  A  a a ' + a a ' d d '   b b ' + + d  d '  a.a '  1 e. Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b (a 0)  Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox. - Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b và có tung độ dơng  Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b - Hệ số a trong phơng trình y = ax + b đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax +b f. Một số phơng trình đờng thẳng - §êng th¼ng ®i qua ®iÓm M0(x0;y0)cã hÖ sè gãc k: y = k(x – x0) + y0 -. x y  1 - §êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(x0, 0) vµ B(0; y0) víi x0.y0 0 lµ x0 y0 1.2 Hµm sè bËc hai a. §Þnh nghÜa - Hµm sè cã d¹ng y = ax2 (a 0) b. TÝnh chÊt - Hµm sè y = ax2 (a 0) x¸c ®inh víi mäi gi¸ trÞ cña c thuéc R vµ: + Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0 + Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0 c. §å thÞ cña hµm sè y = ax2 (a 0) - Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng + Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị + Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị 2.KiÕn thøc bæ xung 2.1 Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2). Khi đó - Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bởi công thức -. AB  ( xB  x A ) 2  ( yB  y A ) 2 Tọa độ trung điểm M của AB đợc tính bởi công thức x  xB y  yB xM  A ; yM  A 2 2. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 3.

(34) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 2.2 Quan hệ giữa Parabol y = ax (a 0) và đờng thẳng y = mx + n (m 0) Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đờng thẳng (d): y = mx + n. Khi đó - Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình  y ax 2   y mx  n - Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình ax2= mx + n (*) - Sè giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*) + NÕu (*) v« nghiÖm th× (P) vµ (d) kh«ng cã ®iÓm chung + NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau + NÕu (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt 2. 3) Khái niệm về đồ thị hàm số. §å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c cÆp gi¸ trÞ tơng ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng toạ độ. Chú ý: Dạng đồ thị: a) Hµm h»ng. Đồ thị của hàm hằng y = m (trong đó Đồ thị của hàm hằng x = m (trong đó x là biến, m   ) là một đờng thẳng y là biến, m   ) là một đờng thẳng lu«n song song víi trôc Ox. lu«n song song víi trôc Oy.. b). c). Đồ thị hàm số y = ax ( a 0 ) là một đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các điểm) luôn đi qua gốc toạ độ.. *) Cách vẽ: Lấy một điểm thuộc đồ thị khác O(0 ; 0), chẳng hạn điểm A(1 ; a). Sau đó vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm O(0 ; 0) và A(1 ; a) ta đợc đồ thị hàm số y = ax ( a 0 ) Đồ thị hàm số y = ax + b ( a,b 0 ) là một đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các b ®iÓm) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; b) vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm ( a , 0).. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 3.

(35) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10. *) C¸ch vÏ: Cã hai c¸ch vÏ c¬ b¶n +) Cách 1: Xác định hai điểm bất kì nào đó thuộc đồ thị, chẳng hạn nh sau: Cho x = 1 => y = a + b, ta đợc A(1 ; a + b) Cho x = -1 => y = - a + b, ta đợc A(-1 ; - a + b) Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm A và B ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b (. a,b 0 ) +) Cách 2: Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ, cụ thể: Cho x = 0 => y = b, ta đợc M(0 ; b)  Oy.  b  b a Cho y = 0 => x = , ta đợc N( a ; 0)  Ox Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm M và N ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b ( a,b 0 ) Đồ thị hàm số y = ax2 ( a 0 ) là một đờng cong Parabol có đỉnh O(0;0). Nhận trục Oy làm trục đối xứng - §å thÞ ë phÝa trªn trôc hoµnh nÕu a > 0. - §å thÞ ë phÝa díi trôc hoµnh nÕu a < 0.. d). y. y. O a>0. 6) *) + + + + *) +. x đờng thẳng Vị trí tơng đối của hai. x. a<0. O. Hai đờng thẳng y = ax + b ( a 0 ) và y = a’x + b’ ( a' 0 ) Trïng nhau nÕu a = a’, b = b’. Song song víi nhau nÕu a = a’, b b’. C¾t nhau nÕu a a’. Vu«ng gãc nÕu a.a’ = -1 . Hai đờng thẳng ax + by = c và a’x + b’y = c’ (a, b, c, a’, b’, c’ ≠ 0). a  b  c b' c' Trïng nhau nÕu a ' + a  b  c b' c' Song song víi nhau nÕu a ' + a  b b' C¾t nhau nÕu a '. 7) Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b ( a 0 ) và trục Ox. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 3.

(36) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 Giả sử đờng thẳng y = ax + b ( a 0 ) cắt trục Ox tại điểm A. Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b ( a 0 ) là góc tạo bởi tia Ax và tia AT (với T là một điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b có tung độ dơng). - Nếu a > 0 thì góc  tạo bởi đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc tính theo công thức nh sau: tg a (cần chứng minh mới đợc dùng). - Nếu a < 0 thì góc  tạo bởi đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc tính theo c«ng thøc nh sau:.  1800   với tg  a (cần chứng minh mới đợc dùng).. y y. T. T (a < 0). (a > 0). A. .  O. II .. x Ph©n. A chi tiÕt O d¹ng bµi tËp.  x. D¹ng 1: NhËn biÕt hµm sè D¹ng 2: TÝnh gi¸ trÞ cña hµm sè, biÕn sè. Dạng 3: Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến. a) Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b ( a 0 ). - Nếu a > 0 thì hàm số y = ax + b luôn đồng biến trên  . - NÕu a < 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n nghÞch biÕn trªn  . b) Hàm bậc hai một ẩn số y = ax2 ( a 0 ) có thể nhận biết đồng biến và nghịch biÕn theo dÊu hiÖu sau: - Nếu a > 0 thì hàm đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0. - Nếu a < 0 thì hàm đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0. Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số §å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c cÆp gi¸ trÞ tơng ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng toạ độ. Chú ý: Dạng đồ thị: a) Hµm h»ng. Đồ thị của hàm hằng y = m (trong đó Đồ thị của hàm hằng x = m (trong đó x là biến, m   ) là một đờng thẳng y là biến, m   ) là một đờng thẳng lu«n song song víi trôc Ox. lu«n song song víi trôc Oy.. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 3.

(37) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10. b). Đồ thị hàm số y = ax ( a 0 ) là một đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các điểm) luôn đi qua gốc toạ độ.. *) Cách vẽ: Lấy một điểm thuộc đồ thị khác O(0 ; 0), chẳng hạn điểm A(1 ; a). Sau đó vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm O(0 ; 0) và A(1 ; a) ta đợc đồ thị hàm số y = ax ( a 0 ) c). Đồ thị hàm số y = ax + b ( a,b 0 ) là một đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các b ®iÓm) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; b) vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm ( a , 0).. *) C¸ch vÏ: Cã hai c¸ch vÏ c¬ b¶n +) Cách 1: Xác định hai điểm bất kì nào đó thuộc đồ thị, chẳng hạn nh sau: Cho x = 1 => y = a + b, ta đợc A(1 ; a + b) Cho x = -1 => y = - a + b, ta đợc A(-1 ; - a + b) Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm A và B ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b (. a,b 0 ) +) Cách 2: Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ, cụ thể: Cho x = 0 => y = b, ta đợc M(0 ; b)  Oy.  b  b a , ta đợc N( a ; 0)  Ox Cho y = 0 => x = Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm M và N ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b ( a,b 0 ). Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 3.

(38) d). Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 Đồ thị hàm số y = ax2 ( a 0 ) là một đờng cong Parabol có đỉnh O(0;0). Nhận trục Oy làm trục đối xứng - §å thÞ ë phÝa trªn trôc hoµnh nÕu a > 0. - §å thÞ ë phÝa díi trôc hoµnh nÕu a < 0.. y. y. O a>0 x. x. a<0. O D¹ng 5: §iÓm thuéc và không thuộc đồ thị hàm số. *) Điểm thuộc đờng thẳng. - §iÓm A(xA; yA)  (d): y = ax + b (a 0) khi vµ chØ khi yA = axA + b - §iÓm B(xB; yB)  (d): y = ax + b (a 0) khi vµ chØ khi yB= axB + b *) §iÓm thuéc Parabol : Cho (P) y = ax2 ( a 0 ) - §iÓm A(x0; y0)  (P)  y0 = ax02. - §iÓm B(x1; y1)  (P)  y1  ax12. Dạng 6: Xác định hàm số Dạng 7: Xác định điểm cố định của hàm số *) Ph¬ng ph¸p: Để tìm điểm cố định mà đờng thẳng y = ax + b ( a 0 ; a,b có chứa tham số) luôn đi qua víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m, ta lµm nh sau:  Bớc 1: Gọi điểm cố định là A(x0; y0) mà đờng thẳng y = ax + b luôn đi qua với mọi giá trị cña tham sè m  Bớc 2: Thay x = x0; y = y0 vào hàm số đợc y0 = ax0 + b, ta biến đổi về dạng <=> A( x0 ,y0 ).m  B( x0 ,y0 ) 0 , đẳng thức này luôn đúng với mọi giá trị của tham số m hay ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm m  Bớc 3: Đặt điều kiện để phơng trình có vô số nghiệm.  A(x 0 ,y 0 ) 0   A( x0 ,y0 ).m  B( x 0 ,y0 ) 0  B(x 0 ,y 0 ) 0 ) ( , cã v« sè nghiÖm Dạng 8: Tìm giao điểm của hai đồ thị 8.1: Tìm giao điểm của hai đờng thẳng. Giao điểm của hai đờng thẳng (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2  y a1x  b1  y  a 2 x  b2 Lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh  8.2: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol với đờng thẳng. Cho (P) : y = ax2 (a 0) vµ (d) : y = mx + n.  Xét phơng trình hoành độ giao điểm ax2 = mx + n.  Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m x.  Thay giá trị x vừa tìm đợc vào hàm số y = ax2 hoặc y = mx + n ta tìm đợc y. + Giá trị của x tìm đợc là hoành độ giao điểm. + Giá trị của y tìm đợc là tung độ giao điểm. 8.3: Tìm số giao điểm của đờng thẳng và Parabol. Cho (P) : y = ax2 (a 0) vµ (d) : y = mx + n. Xét phơng trình hoành độ giao điểm ax2 = mx + n. (*) + Ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm (  < 0)  (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung.  + Ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm kÐp (  = 0) (d) tiÕp xóc víi (P).  + Ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt (  > 0 hoÆc ac < 0) (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. 8.4: Tìm giá trị của một tham số khi biết giao điểm của hai đờng thẳng. 8.5: Tìm giá trị của 2 tham số khi biết giao điểm của hai đờng thẳng. 8.6: Tìm giá trị của tham số khi biết số giao điểm của Parabol và đờng thẳng. Cho (d) : y = ax + b vµ (P): y = a’x2 (a’ 0)(a’, a, b cã chøa tham sè) Xét phơng trình hoành độ giao điểm a’x2 = ax + b. (*). Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 3.

(39) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 + (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung.  Ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm (  < 0) + (d) tiÕp xóc víi (P)  Ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm kÐp (  = 0). Nghiệm kép là hoành độ điểm tiếp xúc + (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt  Ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiệm phân biệt (  > 0 hoặc ac < 0). Hai nghiệm đó là hoành độ cña hai giao ®iÓm 8.7: Tìm giá trị của tham số khi biết toạ độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng. Cho (d): y = ax + b vµ (P): y = a’x2 (a’ 0) (a’, a, b cã chøa tham sè) Tìm giá trị của tham số để (d) và (P) cắt nhau tại A(xA; yA). Cách làm: Thay tọa độ của A vào hàm số của (d); (P) để tìm giá trị của tham số. Dang 9: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm 9.1: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) trong đó xA  xB và yA  yB. Ph¬ng ph¸p: Gọi phơng trình đờng thẳng (d) cần lập đi qua A và B có dạng y = ax + b (a  0). Do A (d) thay x = xA; y = yA vµo y = ax + b ta cã yA = axA + b (1) Do B (d) thay x = xB; y = yB vµo y = ax + b ta cã yB = axB + b (2). y A ax A  b  y axB  b Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:  B Giải hệ phơng trình này tìm đợc a, b và suy ra phơng trình đờng thẳng (d) cần lập 9.2: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua M(x0 ; y0) và có hệ số góc là k.  Bớc 1: Phơng trình đờng thẳng có hệ số góc k có dạng y = kx + b y kx0  b  Bíc 2: §êng th¼ng nµy ®i qua M(x0 ; y0) => 0 b y0  kx0 => kx  y0  kx0  Bớc 3: Phơng trình đờng thẳng cần tìm là y = 9.3: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A(m; yA) và B(m; yB) trong đó yA  yB. Ph¬ng ph¸p: Do A(m; yA)  (d): x = m; Do B(m; yB)  (d) : x = m; Vậy phơng trình đờng thẳng cần lập là: (d): x = m 9.4: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A(xA; n) và B(xB; n) trong đó xA Ph¬ng ph¸p: Do A(xA; n)  (d): y = n; Do B(xB; n)  (d) : y = n; Vậy phơng trình đờng thẳng cần lập là: (d): y = n.  xB.. 2. y ax (a 0). 9.5: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A(xA ; yA) và tiếp xúc với đờng cong  Bíc 1: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cÇn lËp lµ y = a’x + b’ 2 y ax (a 0)  Bớc 2: Đờng thẳng này tiếp xúc với đờng cong 2 khi và chỉ khi phơng trình hoành độ giao điểm ax a ' x  b' có nghiệm kép. Ta cho mét hÖ thøc gi÷a a’ vµ b’ (1).  0 , t×m ra. y a 'x A  b'  Bíc 3: §êng th¼ng ®i qua A(xA ; yA) => A (2)  Bớc 4: Từ (1) và (2) ta có một hệ phơng trình hai ẩn là a’ và b’. Giải hệ tìm đợc a’ và b’ => phơng trình cần lËp 2. 9.6: Lập phơng trình đờng thẳng có hệ số góc là k và tiếp xúc với đờng cong  Bớc 1: Phơng trình đờng thẳng cần tìm giả sử là y = ax + b Vì đờng thẳng có hệ số góc là k nên a = k => y = kx + b. y ax (a 0). Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 3.

(40) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 2. y ax (a 0 ).  Bớc 2: Đờng thẳng y = kx + b tiếp xúc với đờng cong ®iÓm 2 2 kx  b ax  ax  kx  b 0 cã nghiÖm kÐp. <=> phơng trình hoành độ giao.  0(  ' 0). Cho => b = ?  Bíc 3: Tr¶ lêi D¹ng 10: Ba ®iÓm th¼ng hµng 10.1: Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng.  Bớc 1: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm.  Bớc 2: Chứng minh điểm còn lại thuộc đờng thẳng vừa lập. 10.2: Tìm giá trị của tham số để ba điểm thẳng hàng.  Bớc 1: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm có toạ độ đơn giản nhất.  Bớc 2: Thay toạ độ của điểm còn lại vào phơng trình đờng thẳng vừa lập. Giải phơng trình và tìm tham sè. Dạng 11: Ba đờng thẳng đồng qui 11.1: Chứng minh ba đờng thẳng đồng qui.  Bớc 1: Tìm giao điểm của hai đờng thẳng.  Bớc 2: Chứng minh giao điểm đó thuộc đờng thẳng còn lại. 11.2: Tìm giá trị của tham số để ba đờng thẳng đồng qui.  Bớc 1: Tìm giao điểm của hai đờng thẳng đơn giản nhất.  Bớc 2: Thay toạ độ giao điểm trên vào phơng trình đờng thẳng còn lại. Giải phơng trình và tìm tham số. Dạng 12: Vị trí tơng đối của hai đồ thị của hai hàm số 12.1: Vị trí tơng đối của hai đồ thị của hai hàm số bậc nhất Cho hai đờng thẳng : (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2.  a1  a2  +) (d1) // (d2) a1 = a2   +) (d1) (d2) a1 = a2 vµ b1 = b2  +) (d1)  (d2) a1.a2 = -1 (phải chứng minh mới đợc dùng) +) (d1) c¾t (d2). 12.2: Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Cho (d1): y = a1x + b1 vµ (d2): y = a2x + b2.  a1  a2 (1)  b1 b2 (2). §Ó (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung th× Gi¶i (1) Gi¶i (2) vµ chän nh÷ng gi¸ trÞ tho¶ m·n (1). 12.3: Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục hoành. Cho (d1): y = a1x + b1 vµ (d2): y = a2x + b2.  a1 a2 (1)    b1  b2 (2) a a  1 2. §Ó (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoµnh th× Lu ý: Chỉ nên áp dụng khi hai phơng trình đều chứa tham số. Dạng 13: Xác định giá trị của tham số m để đờng thẳng y = ax + b cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tạo thµnh mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng c  Bớc 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác thì ta có điều kiện cần là:. a 0, b 0 => ®iÒu kiÖn cña m.  Bớc 2: Tìm giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A và B lần l ợt là giao điểm của đồ thị với trục tung vµ trôc hoµnh.  b ;0 a ).  A(0 ; b) vµ B(  Bíc 3: XÐt tam gi¸c vu«ng OAB cã. 1 OA.OB  1 b .  b c 2 2 a. SOAB = => m = ? (kiÓm tra víi ®iÒu kiÖn ë bíc 1) Dạng 14: Xác định giá trị của tham số m để đờng thẳng y = ax + b cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tạo thành một tam giác cân C¸ch 1:  Bớc 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác thì ta có điều kiện cần là:. a 0, b 0 => ®iÒu kiÖn cña m  Bớc 2: Tìm giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A và B lần l ợt là giao điểm của đồ thị với trục tung vµ trôc hoµnh. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 4.

(41) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 . A(0 ; b) vµ B(.  b ;0 a ) b b a.  Bíc 3: Tam gi¸c OAB c©n <=> OA = OB <=> (*) Giải phơng trình (*) ta tìm đợc giá trị của m (kiểm tra điều kiện ở bớc1) Cách 2: Đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác cân khi và chỉ khi đ ờng thẳng y = ax + b song song với đờng thẳng y = x hoặc song song với đờng thẳng y = - x Dạng 15: Xác định giá trị của tham số để giao điểm của hai đờng thẳng ax + by = c và a’x + b’y = c’ nằm trong các góc phần t của hệ trục tọa độ.  Bớc 1: Tìm tọa độ giao điểm A(x ; y) của hai đờng thẳng, chính là nghiệm của hệ phơng trình:.  ax  by c  a 'x  b'y c '  Bíc 2:. +) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thø I th× ®iÒu kiÖn lµ:. +) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thø II th× ®iÒu kiÖn lµ:. x  0  y  0 x  0  y  0. +) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thø III th× ®iÒu kiÖn lµ:. x  0  y  0 x  0  y  0. +) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thø IV th× ®iÒu kiÖn lµ:  Bíc 3: T×m m = ? D¹ng 16: Xác định giá trị tham số để đa thức f(x) = Ax + B bằng đa thức 0.  Bíc 1: §a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc 0 <=> Bớc 2: Giải hệ này tìm đợc giá trị của tham.  A 0   B 0. Chuyên đề v : bất đẳng thức và các bài toán tìm gtln, gtnn I. Phơng pháp chứng minh bất đẳng thức HS n¾m v÷ng: 1. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña B§T. 1.1: a > b ⇔ a + c > b + c. ¿ ac> bc , ∀ c >0 1.2: a > b ⇔ ac< bc , ∀ c <0 ¿{ ¿ 1.3: a > b, b> c ⇒ a > c. 1.4: a > b, c > d ⇒ a + c > b + d. 1.5: a > b > 0, c > d > 0 ⇒ ac > bd. 1.6: a > b > 0 ⇒ an > bn. 1.7: a > b > 0 ⇒ √a > √b . 2. Phơng pháp chứng minh trực tiếp dùng định nghĩa: * §N: A B  A- B  0 Nªn khi chøng minh A B ta:. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 4.

(42) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 - LËp hiÖu A-B -Chứng tỏ rằng A-B 0 bằng cách biến đổi A-B thành tích của những thừa số kh«ng ©m hoÆc tæng c¸c b×nh ph¬ng.v.v. VÝ dô: Chøng minh r»ng 2(a2+b2) (a+b)2  a,b Gi¶i: XÐt hiÖu 2(a2+b2) -(a+b)2=a2-2ab+b2=(a-b)2 0  a,b. Theo định nghĩa  2(a2+b2) (a+b)2 (đpcm) Bµi tËp vËn dông 1) CMR: (a+b)2 4ab 2) CMR: NÕu a b th× a3 b3 x2  2 2 x 2 x  1 2 2 2  3) CMR: a +b +c ab+bc+ca 4) CMR: 3. Phơng pháp biến đổi tơng đơng  Để chứng minh A B, ta dùng tính chất của BĐT, biến đổi tơng đơng BĐT cần chứng minh đến một đẳng thức đã biết là đúng 1 1 4   x, y  0 x y x  y VÝ dô: CMR : 1 1 4 x+y 4 2 2       x + y  4 xy   x - y  0 xy x y Gi¶i: x y x  y 1 1 4   x, y  0 §óng x, y,  0 nªn x y x  y (®pcm) Bµi tËp vËn dông x2  4x  5  0x x2 1 1) CMR: p2  q2  pq 3) CMR: NÕu p,q>0 th×: p  q 2006 2007   2006  2007 2006 5) CMR: 2007 1 7) CMR: NÕu 2x+4y=1 th× : x2+y2  20. a2 1  a 4 2) CMR: a  1 2 4) CMR: 3x2+y2+z2 2x(y+z+1) x, y, z 1 6) CMR: NÕu x+4y=1 th× : x2+4y2  5. x2  4 x  8)Cho a0.Gi¶ sö x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 4.Phơng pháp sử dụng giả thiết hoặc một BĐT đã biết. 1 0 4 4 2a 2 .CMR: x1  x2 2  2. a b  ab a, b 0 - Sö dông B§T C«sy: 2 2 ax  by   a 2  b 2   x 2  y 2  x, y  - Sö dông B§T Bunhiac«psci: - C¸c hÖ qu¶ cña B§T C«sy: 1 1 4   x, y  0 x y x  y +) +). 1 4  x, y xy  x  y  2. 1 1 1 9    x, y, z x y z x  y  z +) Ví dụ: Cho 3 cạnh của  ABC có độ dài lần lợt là a,b,c và chu vi là 2p=a+b+c. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 4.

(43) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 1 1 1  1 1 1   2     a b c CMR: p  a p  b p  c 1 1 4   x, y  0 Gi¶i: ta cã p-a, p-b, p-c >0 nªn ¸p dông B§T x y x  y , ta cã: 1 1 4 1 1 4 1 1 4   ;   ;   p a p b c p b p c a p c p a b  1 1 1   1 1 1  2    4      dpcm a b c  p a p b p c  Ghi chú: Khi sử dụng BĐT nào để giải thì cần chứng minh trớc rồi mới vận dụng Bµi tËp vËn dông: 1 1  2 6 2 Bµi 1:Cho 2 sè d¬ng a,b tho¶ m·n a+b=1. CMR: ab a  b (cã thÓ hái: T×m GTNN cña biÓu thøc A= 1 1  ab a 2  b 2 ) 1 1 1   2 2 4a  4b 8ab  a  b  2 Bµi 2:Cho 2 sè d¬ng a,b. CMR: x2  y 2 2 2 x  y Bµi 3: Cho x>y, xy=1. CMR: 1 1 1   x y 2 .T×m GTNN cña biÓu thøc A= x  y Bµi 4:Cho x>0; y>0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn II. T×m GTLN &GTNN cña mét biÓu thøc  Ph¬ng ph¸p 1: Biến đổi biểu thức đã cho sao cho có chứa số hạng là lũy thừa bậc chẵn ( là một biểu thức không âm) rồi tùy theo dấu trớc biểu thức đó là dơng (hay âm) mà biểu thức đã cho là nhỏ nhất (hay lớn nhất). Ch¼ng h¹n:. −b a −b A=-(ax+b)2+M M th× maxA =M khi vµ chØ khi x= a VÝ dô1: T×m GTNN cña biÓu thøc A= m2-6m+11. Ta cã: A= m2-6m+11=(m-3)2+2 . Do =(m-3)2 0 nªn A==(m-3)2+2 2 dÊu “=” x¶y khi m-3=0  m=3. VËy GTNN cña A lµ 2 khi m=3. VÝ dô 2: T×m GTLN cña biÓu thøc B= -4x2-8x+5 Ta cã: B= -4x2-8x+5=-(4x2+8x-5)=-[(2x+1)2-6]=- (2x+1)2+6 6 A=(ax+b)2+m m th× minA=m khi vµ chØ khi x=. . VËy GTLN cña B lµ 6 khi 2x+1=0  x=-1/2. Ph¬ng ph¸p 2:Ph¬ng ph¸p t×m miÒn gi¸ trÞ cña mét hµm sè VÝ dô: T×m GTLN & GTNN cña biÓu thøc:. x 2 +1 2 x + x+ 1. 2. x +1 , ta cÇn t×m GTNN&GTLNcña y? 2 x + x+ 1  y(x2+x+1)=x2+1  (y-1)x2+yx+y-1=0 (1) - §©y lµ ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x +) y-1=0  y=1: (1) cã d¹ng:x=0 (kh«ng cã GTLN hay GTNN) +) y -1 0  y 1: §Ó tån t¹i GTNN & GTLN th× (1) ph¶i cã nghiÖm   0. 2 2  y 2  = y2-4(y-1)2=(-y+2)(3y-2) 0  3  GTNN lµ 3 GTLN lµ 2. §Æt y=. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 4.

(44) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 y y   Khi đó x= 2( y  1) 2(1  y ) với y=2/3 thì x=1 víi y=2 th× x=-1 2 VËy: GTNN lµ 3 Khi x=1 ; GTLN lµ 2 Khi x=-1  Phơng pháp 3: Phơng pháp dùng bất đẳng thức Côsi: a+b + víi a ≥ 0 ; b ≥0 ta cã ≥ √ ab Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b. 2 2 2  Hệ quả: + Nếu a+b =S thì √ ab ≤ S ⇔ ab ≤ S . Vậy ab đạt GTLN là S ⇔a=b 2 4 4 + Nếu ab =P thì a+b 2 √ P .Vậy a+b đạt GTNN là 2 √ P ⇔ a=b VÝ dô: Cho biÓu thøc. P=. 8 √ ( x+3 )( 5 − x ). Gi¶i : Tõ -3<x<5 P>0. §Æt E= P đạt GTNN thì E đạt GTLN . với -3<x<5 Tìm x để P đạt GTNN.Tìm GTNN đó..  x  3  5  x   x  3  5  x . đạt GTLN. 8 4 2 dÊu‘=’khi (x+3)=(5-x) x=1(TM)..  x  3  5  x  XÐt (x+3)+(5-x)=8 (h»ng sè)  8 8 P  2  x  3  5  x  4  . GTLN của P là 2 và đạt đợc khi x=1 IIi bµi tËp. 4 ab Bµi 1: Cho hai sè d¬ng a, b. CMR: a + b . 1+ ab ¿ a+ b ≥2 √ ab HD gi¶i: Ta cã: 1+ab ≥ 2 √ ab (B§T Cosi) ⇒ (a + b)(1 + ab) 4ab suy ra §PCM. DÊu “=” x¶y ra khi ¿{ ¿ ¿ a=b vµ chØ khi 1=ab hay a = b = 1. ¿{ ¿ Bµi 2: Cho 4 sè a, b, c, d. CMR: (a2 + b2)(c2 + d2) (ac + bd)2 (Bất đẳng thức Bunhiacopxki) HD gi¶i: Khai triÓn hai vÕ vµ ®a vÒ: (bc - ad)2 0 (luôn đúng) suy ra BĐT cần chứng minh luôn đúng. a c DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi bc = ad ⇔ . = b d ¿ 2 a+3 b=5 Bµi 3: T×m hai sè a, b biÕt r»ng: 2 a2 +3 b2=5 ¿{ ¿ HD gi¶i: Ta cã: 25 = (2a + 3b) 2 = ( √ 2. √ 2a+ √3 . √ 3 a )2 [( √ 2 )2 + ( √ 3 )2].[( √ 2 a )2 + ( √ 3 a 2 2 2 ) ] = 5.(2a + 3a ) Suy ra 2a2 + 3a2 5. DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi √2 = √ 3 hay a = b. VËy a = b = 1. √2 a √ 3 b a a+k Bµi 4: Cho a, b, k lµ c¸c sè d¬ng, a < b. CMR: (1). <¿ b b+k HD giải: Xét hiệu VT - VP ta đợc: k(a - b) < 0 ⇔ a < b. BĐT này đúng, vậy (1) đúng. Bµi 5: CMR: a2 + b2 + 4 ab + 2(a + b) (1). Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 4.

(45) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 HD giải: Xét hiệu VT - VP ta đợc: (a - b)2 + (a - 2)2 + (b - 2)2 0 đúng. DÊu “=” x¶y ra khi a = b = 2. m m n n Bµi 6: CMR ∀ a > b > 0, m > n, ta cã: a m −bm > a n−bn (1). a +b a +b m m m n n n a +b 2b a +b 2b 2 bn 2 bm . Chia VT cho bn, chia VP HD gi¶i: (1) ⇔ − > − > ⇔ am +b m am + bm a n+ bn an +bn an +bn am +b m cho bm n m a m a n . Ta đợc an < a m ⇔ > b b b b Bµi 7: (TH 04 - 05). Cho 0 < x < 1. 2 1 4 x +1 1. CMR: x(1 - x) (1). 2. T×m GTNN cña A = . 2 4 x (1 − x) 1 2 HD gi¶i. 1. (1) ⇔ x− ≥ 0 luôn đúng. 2 4 x 2+ 1 1 1 2 2. Tõ x(1 - x) x suy ra A . ⇒ x (1 - x) 1 4 4 x 4 4 4 A 16x + 2. 16 x . 4 = 2.8 = 16 (B§T Cosi). DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi 16x = x x x 1 , mµ ⇔ x= ± 2 1 Cho 0 < x < 1 suy ra x = . 2 2 Bµi 8. (TH 09 - 10). Cho x, y, z tho¶ m·n y2 + yz + z2 = 1 - 3 x . 2 T×m GTLN vµ GTNN cña biÓu thøc: A = x + y + z. 2 HD gi¶i. y2 + yz + z2 = 1 - 3 x ⇔ 2y2 + 2yz + 2z2 = 2 - 3x2 ⇔ (x + y + z)2 + (x - y)2 + (x - z)2 = 2 2 2. DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = z ⇔ (x + y + z)2 = -[(x - y)2 + (x - z)2] + 2 x+y+z ⇒ - √2 √ 2 . VËy GTLN lµ √ 2 , GTNN lµ - √ 2 khi x = y = z. 2 Bµi 9: (TH 05 - 06). Cho x - y 0. CMR x2 + y2 + xy −1 ≥2 . x− y 2 2 xy −1 2 HD gi¶i. x2 + y2 + xy −1 = x2 - 2xy + y2 + 2(xy - 1) + xy −1 +2 = (x - y + ) +2 x− y x− y x− y 2. 7 3(b 2+1) b Bµi 10: (TH 06 - 07). Cho b > 0. CMR: + 2 2 2b b +1 2 2 2 3(b +1) b b b +1 5(b +1) . HD gi¶i. Ta cã: = + + + 2 2 2 b 4b b +1 b +1 4 b 2 5 (b +1) 5 .2 b 5 . b b2 +1 b b2 +1 Ta cã (B§T Cosi). L¹i cã b2 + 1 2b ⇒ + ≥ . =1 ≥ = 4b 4 2 b2 +1 4 b b 2+ 1 4 b 2 5 7 3(b +1) b DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi b = 1. VËy 1+ = . + 2 2 2 2b b +1. () (). ( ). √. (. (. ). ). (. ). √. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ néi. 4.

(46)

He thong ly thuyet DS On thi vao 10

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về