Tài liệu Giáo trình Cơ học môi trường liện tục pdf

PHÁƯN II: CÅ HC MTLT
CHỈÅNG I: MÄÜT SÄÚ KHẠI NIÃÛM CÅ BN.
§1. TEN XÅ V CẠC PHẸP TÊNH XÅ.
1.Âënh nghéa:
Ten xå l trỉåìng håüp riãng ca hãû thäúng pháưn tỉí, cạc thnh pháưn ca
nọ l hàưng säú hồûc hm säú xạc âënh trong hãû cå såí â cho våïi phẹp
biãún âäøi hãû ta âäü cạc thnh pháưn ny thay âäøi theo mäüt quy lût
xạc âënh.
Vê dủ:
-Ten xå hảng 0:
hm âäúi våïi cạc biãún trong khäng
gian.
(
n21
x,...,x,xF
)
)()(
Fx,...,x,xFX,...,X,XF
n21n21
==

(F l âải lỉåüng vä hỉåïng)
-Ten xå hảng 1:
Nãúu mäüt âäúi tỉåüng
biãøu diãùn cạc vẹc tå cå såíú A
r
i
E
r

l ten xå hảng 1.

AEAA
i
i
r
r
r
→=
Khi thay âäøi hãû ta âäü:
'
ii
EE
rr
→
ta cọ:

''
i
j
jj
EAEAA
rr
r
==
, trong âọ liãn hãû
ij
AA &'
ii
j
j'
AbA =









∂
∂
=
j
i
i
j
x
X
b

Ta gi l cạc thnh pháưn phn biãún ca A ten xå hảng 1.
i
A
-Ten xå hảng hai v hảng cao.
Âäúi tỉåüng
, khi thay âäøi hãû ta âäü ta cọ:
ji
ij
EETT
rr

=
l ten xå hảng 2.
TTb.bT
pqj
q
i
p
'ij
→=
ij
T
: cạc thnh pháưn phn biãún.
mlkji
ijklm
EEE.E.ETT
rrrrr
=

→=
m
t
l
r
k
p
j
q
i
s
sqprtijklm

bbbbbTT
T l ten xå hảng 5.

2.Pheùp bióỳn õọứi toỹa õọỹ & veùctồ cồ sồỳ.
a)Pheùp bióỳn õọứi toỹa õọỹ.
i
x : bióỳn ồ le
i
X : bióỳn Lagrange
()
321
,, XXXxX
ii
=

j
i
i
j
j
j
i
i
X
x
a,dX
X
x
dx

=


=

i
j
aJ =
ởnh thổùc ma trỏỷn pheùp bióỳn õọứi Jacọbien
Pheùp bióỳn õọứi ngổồỹc laỷi.
j
i
i
j
j
j
i
i
x
X
bdx
x
X
dX


=

= ;
Trong õoù laỡ nghởch õaớo cuớa
i
j
b
i
j
a




=




=
0
1
x
X
.
X
x
b.a
i
k
k
j

j
i
j
k
i
j
Kyù hióỷu Crọnecke
ki
ki

=
b) ọỳi vồùi veùctồ cồ sồỳ:
,
ii
E,E
rr
:
i
i
x
r
E


=
r
r
;
i
i

dx.Erd
r
r
=

j'
j
j
,
j
dx.Erd;
x
r
E
r
r
r
r
=


=

i
ji
,
i
a.EE
r
r

=
,
i
E
r
goỹi veùc tồ cồ sồỳ hióỷp bióỳn.
=
ji
j,i
E.Egg
rr
g laỡ ten xồ mótrờc
ổa vaỡo veùc tồ cồ sồỳ mồùi trong

i
x
j
iji
EgE
rr
=

Coỡn trong
i
X
q
pqp
EgE
rr
=

'

Mọựi quan hóỷ nhổ sau
i'p
E&E
rr
ip
i
'p
EbE
rr
=

caùc veùc tồ cồ sồỳ phaớn bióỳn
i

r
c)Ten xồ họựn hồỹp.
phaớn bión
ji
ij
EETT
rr
=
ij
T

ji
ij
EETT

rr
=
hióỷp bión
ij
T
→=
j
ij
i
EETT
rr
T l ten xå häùn håüp
j
i
T
3)Cạc phẹp tênh ca ten xå

a)Phẹp cäüng: Chè thỉûc hiãûn âỉåüc våïi cạc ten xå cng hảng cng báûc
αβ
βα
AaaA
jiij
..
'
=

()
n,1j,i,, =βα

αβ

βα
BaaB
jiij
..
'
=

()
εβαβ
βα
BAaaBA
jiijij
+=+
''

b)Nhán våïi mäüt vä hỉåïng
()
β
α
α
β
λ=λ AabjA
j
j'
i

c)Phẹp nhán x








n
m
A
x








+
+
=








qn
pm
C

q
p
B
Trong âọ m,p chè láưn phn biãún
cn n,q hiãûp biãún
Vê dủ:
αβ
βα
= AaaA
ji
'
ij

γ
γ
BbB
kk
.
'
'
=
x x
,
ij
A
βα
==
ji,
k,
ij

k'
aaCB
γ
γ
Bb
k
,

våïi
γ
αβγ
βα
= C.b.a.aC
k
,j,i,
k,
ij
γ
αβ
γ
αβ
= BAC


k,,
ij
k,
ij
B.AC =

d) Phẹp cün.
Nãúu trong mäüt ten xå häùn håüp khi cho mäüt chè säú trãn bàòng chè säú
dỉåïi thç hảng ca tenxå gim âi hai.
Cho tenxå A våïi cạc thnh pháưn
, nãúu k=j ta cọ:
k,
ij
A


β
αβ
αγ
αβγ
αγ
αβγ
βα
=δ== AaA.aAba.aA
i
k
i
k
,ki
k,
ik
Ten xå hảng 1.
→
β
αβ
A

Phẹp nhán cọ sỉû rụt gn (n-2) gi phẹp cün.

CHỈÅNG II: CHUØN VË V BIÃÚN
DẢNG. TEN XÅ BIÃÚN DẢNG.
§1. CHUØN VË V BIÃÚN DẢNG
1.Chuøn vë.

Xẹt mäitrỉåìng liãn tủc tải cọ dảng v tải t cọ dảng S
0t =
0
S
321321
XXX0&xxx0
l hai hãû ta âäü Âãư cạcvng gọc
Xd:SQ,P
000
r
∈

Sau khi chuøn dëch v biãún dảng
xd:PQ
r
→

Tênh hiãûu:
XdXdxd.xdXdxd
2
2
rr
rr

r
r
−=−



kk i
dx dx dX dX=−
i
Theo Lagrange:
i
i
k
k
dX
X
x
dx
∂
∂
=

ji
j
k
i
k
2
dXdX
X

x
X
x
xd
∂
∂
∂
∂
=
r

jiijii
2
dXdXdXdXXd δ==
r

Thay vo ta cọ:
jiij
j
k
i
k
2
2
dXdX
X
x
X
x
Xdxd

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
δ−
∂
∂
∂
∂
=−
r
r

jiij
dXdXE2=

Våïi
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
δ−

∂
∂
∂
∂
=
ij
j
k
i
k
ij
X
x
X
x
2
1
E
gi l ten xå biãún dảng hỉỵu hản Grin
Theo Å le:
jiij
2
dx.dxxd δ=
r

ji
j
k
i
k

2
dxdx
x
X
x
X
Xd
∂
∂
∂
∂
=
r

jiijji
j
k
i
k
ij
2
2
dxdx.L2dx.dx
x
X
x
X
Xdxd =
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−δ=−
r
r

våïi
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−δ=
j
k

i
k
ijij
x
X
x
X
2
1
L
gi l ten xå biãún dảng hỉỵu hản Amàngxi
2.Biãøu diãùn ten xå biãún dảng qua chuøn vë
.
Ta cọ vẹc tå chuøn vë ca pháưn tỉí :
0
P

Xxu
r
rr
−=
hay
iii
Xxu
−=

Theo biãún Lagrange:
ij
j
i

j
i
ij
j
i
j
i
X
u
X
x
X
x
X
u
δ+
∂
∂
=
∂
∂
⇒δ−
∂
∂
=
∂
∂

Cn theo Å le ta cọ:
ij

j
i
j
i
j
i
ij
j
i
x
u
x
X
x
X
x
u
δ+
∂
∂
−=
∂
∂
⇒
∂
∂
−δ=
∂
∂

Thãú vo ten xå
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
δ−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
δ+
∂

∂
=
ij
i
k
ij
j
k
ij
X
u
X
u
2
1
E


⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂

+
∂
∂
+
∂
∂
=
j
k
i
k
i
j
j
i
X
u
X
u
X
u
X
u
2
1

Ten xå
⎟
⎟
⎠

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=
j
k
i
k
i
j
j
i
ij
x
u
x
u
x

u
X
u
2
1
L

§2.TEN XÅ BIÃÚN DẢNG BẸ V TEN XÅ QUAY.
1.Ten xå biãún dảng bẹ
.
B quạ cạc säú hảng nh báûc cao âäúi våïi
i
k
x
u
∂
∂
ta cn lải nhỉ sau:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂

∂
=ε→
i
j
j
i
ijij
X
u
X
u
2
1
E

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=→
i

j
j
i
ijij
x
u
x
u
2
1
lL

Gi l ten xå biãún dảng bẹ, âáy l ten xå âäúi xỉïng hảng 2:

jiijjiij
ll, =ε=ε




2.Ten xồ quay.
udu
rr
+
Ta coù
vaỡ
u
r
laỡ veùc tồ chuyóứn vở cuớa chuyóứn vở
tổồng õọỳi giổợa laỡ:

00
Q&P
00
P&Q
00
PQ
uuud
rrr
=

iPiQi
uudu
00
=

Khai trióứn
()
jijijj
i
j
j
i
i
j
j
i
j
j
i
i

dXdX
X
u
X
u
2
1
X
u
X
u
2
1
dX
X
u
du +=

+










+


=


=

=
i
j
j
i
ij
X
u
X
u
2
1
goỹi laỡ ten xồ quay Lagrange
Coỡn õọỳi vồùi bióỳn le:

=
i
j
j
i
ij
x
u
x
u
2
1
~
goỹi laỡ ten xồ quay le
Ten xồ quay laỡ ten xồ phaớn õọỳi xổùng.
jiijjiij
~~
; ==

Nón coù thóứù vióỳt dổồùi daỷng ma trỏỷn

=
0
0
0
2313
2312
1312
ij
Trong õoù:
32
123
23
u1u
2X X


= =

==
1
3
3
1
132
X
u
X
u
2
1

==
2
1
1
2
212
X
u
X
u
2
1


Hay:
urot
rr
2
1
=

Trong trổồỡng hồỹp chuyóứn vở beù thỗ toỹa õọỹ õỏửu vaỡ cuọỳi cuớa mọỹt phỏửn tổớ
rỏỳt gỏửn nhau nón gradien chuyóứn vở theo Lagrange vaỡ le gỏửn bũng
nhau.
nón
vaỡ
ijij
l=
ijij
~
=

Ta thổồỡng duỡng bióỳn daỷng beù õi nghión cổùu vỏỷt rừn bióỳn daỷng.
3.Yẽ nghộa vỏỷt lyù cuớa ten xồ bióỳn daỷng beù vaỡ ten xồ quay
.
a)Ten xồ bióỳn daỷng nhoớ.
3
3
33
2
2
22
1
1
11
X
u
;
X

u
;
X
u


=


=


=


Thaỡnh phỏửn
X
Xx
1
X
x
1
X
x
X
u
2
2
2
2

22



=


=


=


=

goỹi : phỏn tọỳ thúng truỡng truỷc Vỏỷy chờnh laỡ
00
QPX =
2
X
22

bióỳn daỷng daỡi tố õọỳicuớa phỏn tọỳ theo
2
X
tổồng tổỷ
: hay bióỳn daỷng daỡi tố õọỳi vồùi truỷc
332211
,,
ii

i
X
Caùc thaỡnh phỏửn khọng nũm trón õổồỡng cheùo










+


=
3
2
2
3
32
X
u
X
u
2
1

===


=


tg
'PQ
Q'Q
x
u
X
u
2
3
2
3

===


=


tg
'PM
M'M
x
u
X

u
3
2
3
2

Nón
()
3232
2
1
2
1
=+=

ij

goỹi gocù trổồỹt trón mỷt phúng
ji
XX0
nón goỹi bióỳn daỷng trổồỹt.
(
ji
ij

)

b)Ten xå quay
()
βαβαω

2
1
2
1
2
1
2
1
3
2
2
3
32
−=−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
X
u

X
u


α
: gọc quay phán täú
00
QP
: gọc quay phán täú
β
00
MP
do âọ
α
2
1
gọc quay âỉåìng chẹo ca phán täú
quanh trủc khi quay gọc .
0
P
0
B
0000
MBQP
1
X
00
QP
Cn
β

2
1
gọc quay ngỉåüc lải ca âỉåìng chẹo
quanh trủc khi quay gọc
β
.
100000
MBQPBP ∈
1
X
00
MP
Nhỉ váûy
32
ω
biãøu thë sỉû quay cạc âỉåìng chẹo cng gọc quay ca
phán täú quanh trủc
00
BP
0000
MBQP
1
X
Ta cọ
iiPiQ
duuu
00
+=

( ) ( )
j
P
ijj
P
ijiP
dxdxu
00
0
ωε
++=

hay
ωε
++= uuuu
00
PQ
rrrr

Trong âọ
ω
ω
rr
=u
ud
r
∧

§3TRẢNG THẠI BIÃÚN DẢNG TẢI LÁN CÁÛN TẢI MÄÜT
ÂIÃØM.

Trảng thại biãún dảng tải 1 âiãøm ca MTLT âỉåüc biãøu thë bàòng mäüt ten
xå hảng hai âäúi xỉïng
ij
ε

1.Quy lût biãún âäøi khi thay âäøi hãû ta âäü.

Âäúi våïi hãû ta âäü Âãư cạc ngỉåìi ta cọ cäng thỉïc biãún âäøi.
mnjnimij
aa ε=ε

ijnjmimn
bb ε=ε

våúi
, cn
(
j
'
iij
X,xcosa =
)
jiij
ab =
ọỳi vồùi hóỷ toỹa õọỹ cong:
j
b
j
a
i

i
j
i
i
j






=


=
'
,
'

2.Bióỳn daỷng chờnh, phổồng chờnh, Bỏỳt bióỳn cuớa traỷng thaùi bióỳn daỷng.

Taỷi mọỹt õióứm cuớa MTLT traỷng thaùi bióỳn daỷng õổồỹc õỷc trổng bồới ten xồ
bióỳn daỷng
thỗ bao giồỡ ta cuợng coù thóứ xaùc õởnh õổồỹc taỷi õióứm õoù coù 3
phổồng vuọng goùc vồùi nhau chố coù bióỳn daỷng daỡi kyù hióỷu
ij

(
IIIIIIIIIIII
,,

)
>>
. Caùc giaù trở laỡ bióỳn daỷng daỡi cổỷc
trở goỹi laỡ bióỳn daỷng chờnh.
IIIIII
,,
Coỡn phổồng caùc bióỳn daỷng chờnh goỹi phổồng chờnh trón caùc mỷt phúng
vuọng goùc phổồng chờnh khọng coù bióỳn daỷng trổồỹt. Bióỳn daỷng chờnh laỡ
nghióỷm cuớa phổồng trỗnh sau:
() () ()
0
3
3
2
23
1
=+


: bỏỳt bióỳn cuớa ten xồ bióỳn daỷng vồùi.
321
,,
332211ii1

++==

()
1131
1333
3323

3222
2212
2111
ijijjjij2
2
1


+


+


==

332313
322212
312111
3



=


=++=

= ,
dV

dVdV
332211
0
0
õọỹ bióỳn õọứi tố õọỳi thóứ tờnh
Thay
vaỡo phổồng trỗnh:
()


()
()
()
()
()
()





=++
=++
=++



0nnn
0nnn
0nnn

333223113
332222112
331221111

Vồùi caùc phổồng chờnh.
321
2
3
2
2
2
1
nn,n1nnn =++