Tài liệu BÀI TẬP TÍCH PHÂN BỘI pdf

Chương 5. TÍCH PHÂN BỘI.
A. TÍCH PHÂN HAI LỚP.
§1. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN HAI LỚP
MỘT VÀI TÍNH CHẤT ĐƠN GIẢN .
•
1. Định nghĩa :
•
Cho hàm số z = f(x,y), xác định trên miền D đóng, giới nội.
•
+ Chia D thành các miền con D
k
( k = 1, 2, …, n) không dẫm lên
nhau, gọi ΔS
k
là diện tích của D
k
.
•
+ Trong mỗi miền D
k
chọn điểm M
k
(x
k
,y
k
).
•
+ Lập tổng:
•

+ Tìm giới hạn:
•
Nếu giới hạn tồn tại thì nó được gọi là tích phân hai lớp của f(x,y)
trên D.
•
Kí hiệu:

( )
n
•
∑
n
k k
k=1
σ = f M ΔS
max ( ) 0 max ( ) 0
.
k k
n
d D d D
→∞ →∞
→ →
• =
∑
n
k k
n n
k=1
limσ lim f(M )ΔS
max ( ) 0 max ( ) 0

( , )
k k
n
D
d D d D
f x y dxdy
→∞ →∞
→ →
• = =
∑
∫∫
n
k k
n n
k=1
limσ lim f(M )ΔS

Định lí Fubini :
•
1. Nếu hàm số z = f(x,y) liên tục trên D là miền chữ
nhật: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, thì:
•
2. Nếu hàm số z = f(x,y) liên tục trên
•
D;{(x,y):a ≤ x ≤ b, φ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}, thì:
•
3. Nếu hàm số z = f(x,y) liên tục trên
•
D;{(x,y): a ≤ y ≤ b, φ(y) ≤ x ≤ ψ(y)}, thì:
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

b d d b
D a c c a
f(x,y)dxdy = dx f(x,y)dy = dy f(x,y)dx.
φ
ϕ
∫∫ ∫ ∫
(x)
b
D a (x)
f(x,y)dxdy = dx f(x,y)dy.
φ
ϕ
∫∫ ∫ ∫
(y)
d
D c (y)
f(x,y)dxdy = dy f(x,y)dx.

2
1
0

2. Định nghĩa:

Thể tích khối trụ:
•
1) Nếu f(x,y) liên tục và không âm trên
•
D: {(x,y):a ≤ x ≤ b; c ≤ x ≤ d} thì:
•

2) Nếu f(x,y) liên tục và không âm trên
•
D: {(x,y):a ≤ x ≤ b; φ(x) ≤ x ≤ ψ(x)}, và φ(x), ψ(x) liên tục
trên [a; b] thì:
•
3) Nếu f(x,y) liên tục và không âm trên
•
D: {(x,y):c ≤ y ≤ d; φ(y) ≤ x ≤ ψ(y)}, và φ(y), ψ(y) liên tục
trên [c; d] thì:
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
b d d b
D a c c a
V = f(x,y)dxdy = dx f(x,y)dy = dx f(x,y)dx.
.
φ
ϕ
∫∫ ∫ ∫
(x)
b
D a (x)
V = f(x,y)dxdy = dx f(x,y)dy
.
φ
ϕ
∫∫ ∫ ∫
(y)
d
D c (y)
V = f(x,y)dxdy = dy f(x,y)dx

Tính chất của tích phân
•
Hàm số f(x), g(x) liên tục trên miền đóng, giới nội D, ta có:
•
Nếu D được chia thành hai miềm D
1
, D
2
không trùng lấp
nhau, thì:
[ ]
∫∫ ∫∫ ∫∫
D D D
a) af(x)+bg(x) dx = a f(x)dx +b g(x)dx
.
∫∫ ∫∫ ∫∫
1 2
D D D
b) f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx
(≤ ∀ ∈
⇒ ≤
∫∫ ∫∫
D D
c) f(x,y) g(x,y) x,y) D
f(x,y)dxdy g(x,y)dxdy.
.
∫∫
d) S(D) = 1dxdy
D

•
4) Gọi M, m là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(x,y) trên
D thì:
•
5) Nếu f(x,y) liên tục trên D là miền đóng, giới nội thì:
là giá trị trung bình của f(x,y) trên D.
0 0
(
∃ ∈
∫∫
0 0
D
x ,y ) D: f(x,y)dxdy = f(x ,y ).S(D).
≤ ≤
∫∫
D
m.S(D) f(x,y)dxdy M.S(D).
∫∫
D
1
. f(x,y) dxdy
S(D)

2. Các ví dụ: Tính các tích phân bội:
Làm sao để
tính ây ???đ
Các em hãy tính tích phân
sau?

∫∫

D
I = xsinydxdy,D =ΔOAB : O(0;0),A(π;0),B(π;π)
.
•
Cách giải:
•
D:{0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤x}
∫ ∫ ∫
π x π
0 0 0
π
I = xdx sinydy = (x - xcosx)dx = +2.
2

2. Các ví dụ: Tính các tích phân bội:
Làm sao để
tính ây ???đ
π
∫∫
D
I = sinydxdy,D : {2y = x,y = 2x,x = }
.
•
Cách giải:
2
2
x
x
∫ ∫ ∫
π 2x π

0 0
I = dx sinydy = (cos -cos2x)dx = 2.
Các em hãy tính tích phân sau?
π
∫∫
D
I = sinydxdy,D : {2y = x,y = 2x,x = }
≤ ≤ ≤ ≤
x
D: {0 xπ, y 2x}
2

Đổi biến trong tích phân hai lớp:
•
Giacobian của một ánh xạ:
•
Giả sử U là tập hợp mở trong R
2
và ánh xạ
•
Xác định bởi: Φ(u, v) = (x(u,v),y(u,v)), trong đó hai
hàm số x(u,v), y(u,v) liên tục và có đạo hàm riêng liên
tục trên U.
•
Giacobian của một ánh xạ Φ kí hiệu:
→
2
Φ:U R
∂ ∂
∂ ∂

∂ ∂
∂ ∂
x x
(u,v) (u,v)
D(x,y)
u v
J(u,v) = =
y x
D(u,v)
(u,v) (u,v)
u v

•
Định lí :
•
Giả sử U là tập hợp mở trong R
2
và ánh xạ
•
Xác định bởi: Φ(u, v) = (x(u,v),y(u,v)), trong đó hai
hàm số x(u,v), y(u,v) liên tục và có đạo hàm riêng liên
tục trên U = Φ(D). Ta có:
•
Ví dụ:
•
Tính:
•
Lời giải: Đặt u = x - y, v = 2x – y ta có:
→
2

Φ :U R
( )
∫∫ ∫∫
Φ(D) D
f(x,y)dxdy = f x(u,v),y(u,v) | J(u,v)| dudv
∈ ≤ ≤ ≤ ≤
∫∫
2
D
I = (x +2y)dxdy, D = {(x,y) R :1 x + y 2, 1 2x - y 3}
∂ ∂ ∂ ∂
⇒ ⇒
∂ ∂ ∂ ∂
 
⇒
 
 
∫∫ ∫ ∫ ∫
2 3 2
D 1 1 1
1 1
u+ v 2u- v x 1 x 1 y 2 y 1 1
3 3
x = ,y = = , = , = , = J|u,v) = = -
2 1
3 3 u 3 v 3 u 3 v 3 3
3 3
u+ v 2u- v 1 1 1 11
I = +2 - dudv = du (5u- v)dv = (10u - 4)du =
3 3 3 9 9 9

Đổi biến trong tọa độ cực:
•
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x,y).
•
Gọi
•
Ta có:
•
Nếu f(x,y) liên tục trên Φ(D) với D : {0 ≤ θ ≤ 2π, r ≥ 0}
•
Thì:
•
Ví dụ 1: Tính:
•
Lời giải:
•
Đổi tọa độ cực:
≤ ≤
 
⇒ ⇒
 
≥
 
uuur uuur
x = rcosθ 0 θ 2π
r =| OM|,θ = (Ox,OM) M(r,θ) ,
y = rsinθ r 0
∀ ≠
-rsinθ cosθ

J(θ,r) = = -r, r 0.
rcosθ sinθ
( )
.
∫∫ ∫∫
Φ(D) D
f(x,y)dxdy = f rcosθ,rsinθ rdθdr
2 2
2 2x y− −
∈ ≤
∫∫
2
D
I = e dxdy, D = {(x,y) R : x + y 1}
1
≤ ≤
 
 
≤ ≤
 
 
⇒
 ÷
 
∫∫ ∫ ∫
2 2
2π 1
-r -r
D 0 0
x = rcosθ 0 θ 2π

,D :
y = rsinθ 0 r
1
I = e rdθdr = dθ e rdr = π 1-
e

Ví dụ 2: Tính diện tích hình elip:
•
Lời giải:
•
Đổi tọa độ cực suy rộng:
2 2
≤
2 2
x y
(E): + 1
a b
1
2
0
;|
1
≤ ≤
 
 
≤ ≤
 
⇒
 
=

 ÷
 
∫∫ ∫∫
∫ ∫
E D
2π 1
0 0
x = arcosθ 0 θ 2π
,D : J|= abr
y = brsinθ 0 r
S(E) = dxdy = abrdθdr
r
= ab dθ rdr = 2abπ πab
2

Tính thể tích vật thể:
•
1. Thể tích của mặt trụ giới hạn trên bởi mặt
•
z = f(x,y) ≥ 0, giới hạn dưới bởi mặt z = o, giới hạn
xung quanh bởi mặt trụ song song với Oz và có
đường chuẩn là biên của D:
•
2. Giả sử D là tập hợp đo được trong R
2
, φ
1
, φ
2
là hai

hàm số liên tục với mọi (x,y) trên D.
•
Gọi :
•
Ta có:
∈ ∈ ≤ ≤
3 2
1 2
B = {(x,y,z) R :(x,y) R ,φ (x,y) z φ (x,y)}
∫∫
2 1
D
V = [φ (x,y)-φ (x,y)]dxdy
∫∫
D
V = f(x,y)dxdy

•
Ví dụ:
•
Tính thể tích của elipxoit:
•
Lời giải:
•
Mặt phẳng z = 0 chia elipxoit ra 2 phần bằng
nhau:
 
⇒ ≤
 
 

⇒
∫∫
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
D
x y x y
z = c 1- - D = (x,y): + 1
a b a b
x y
V = 2c 1- - dxdy
a b
≤
2 2 2
2 2
x y z
(E): + + 1
a b c
( )
;|
1
≤ ≤
 
 
≤ ≤
 
⇒
∫ ∫
1

2π 1
3
2 2
2
0 0
0
x = arcosθ 0 θ 2π
,D : J|= abr
y = brsinθ 0 r
4 4
V = 2abc dθ 1-r rdr = abcπ 1-r = πabc.
3 3