TAI LIEU HOC TAP TOAN 11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (258.71 KB, 12 trang )

Tài liệu học tập 11 NH: 2019-2020

Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PTLG

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
sin 2 x  1  cos 2 x
2
2
 sin x  cos x  1   2
2
cos x  1  sin x
1
1
 1  tan 2 x  tan 2 x 
1

2
cos x
cos 2 x
1
1
 1  cot 2 x  cot 2 x 
1

2
sin x
sin 2 x
1
 tan x.cot x  1  cot x 
tan x

4
4
2
2
sin x  cos x  1  2sin x cos x
 6
6
2
2
sin x  cos x  1  3sin x cos x

sin 3 x  cos3 x   sin x  cos x 1  sin x cos x 
 3
3
sin x  cos x   sin x  cos x 1  sin x cos x 
II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Góc I
Góc II
Góc III
Góc IV
+
+
sin x


cos x
+
+



tan x
+
+


cot x
+
+


III. MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT
 Hai cung đối nhau
cos   x   cos x
sin   x    sin x

tan   x    tan x

cot   x    cot x

 Hai cung bù nhau
sin   x   sin x

cos   x    cos x

tan   x    tan x

cot    x    cot x

 Hai cung phụ nhau



sin   x   cos x
2




cos   x   sin x
2




tan   x   cot x
2

 Hai cung hơn nhau 



cot   x   tan x
2


sin   x    sin x

cos   x    cos x

tan   x   tan x

cot   x   cot x

 Hai cung hơn nhau


2

GV: HUỲNH THỊ SÂM

Trang 1

Tài liệu học tập 11 NH: 2019-2020

Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PTLG



sin   x   cos x
2




cos   x    sin x
2





tan   x    cot x
2

 Với k là số ngun thì ta có:
sin  x  k 2   sin x



cot   x    cot x
2


cos  x  k 2   cos x

tan  x  k   tan x cot  x  k   cot x
sin  x  y   sin x cos y  cos x sin y

IV. CÔNG THỨC CỘNG
sin  x  y   sin x cos y  cos x sin y

cos  x  y   cos x cos y  sin x sin y

cos  x  y   cos x cos y  sin x sin y

tan  x  y  

tan x  tan y
1  tan x tan y

tan  x  y  

tan x  tan y
1  tan x tan y

Đặc biệt:

sin 2 x  2sin x cos x

TH1: Công thức góc nhân đơi: cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  2 cos 2 x  1  1  2sin 2 x

2 tan x
 tan 2 x 
1  tan 2 x

1  cos 2 x
1  cos 2 x
;cos 2 x 
Hệ quả: Công thức hạ bậc 2: sin 2 x 
2
2
sin 3 x  3sin x  4sin 3 x
TH2: Công thức góc nhân ba: 
3
cos 3 x  4cos x  3cos x
V. CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG
x y
x y
1
cos x  cos y  2 cos
cos

cos x cos y  cos  x  y   cos  x  y  
2
2
2
x y
x y
1
cos x  cos y  2sin
cos
sin x sin y   cos  x  y   cos  x  y  
2
2
2
x y
x y
1
sin x  sin y  2sin
cos
sin x cos y  sin  x  y   sin  x  y  
2
2
2
x y
x y
1
sin x  sin y  2cos
sin
cos x sin y  sin  x  y   sin  x  y  
2
2

2
Chú ý:





 sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x  
4
4






 sin x  cos x  2 sin  x     2 cos  x  
4
4



GV: HUỲNH THỊ SÂM

Trang 2

Tài liệu học tập 11 NH: 2019-2020

Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PTLG

u  v  2k
 sin u  sin v  
u    v  k 2

u  v  k 2
 cos u  cos v  
u  v  k 2

u  v  k

 tan u  tan v  

u  2  k
Đặc biệt:
sin x  0  x  k

sin x  1  x 


2

cos x  0  x 

 k 2

sin x  1  x  

u  v  k
 cot u  cot v  

u  k


2

 k 2


2

 k

cos x  1  x  k 2
cos x  1  x    k 2

Chú ý:
 Điều kiện có nghiệm của phương trình sin x  m và cos x  m là: 1  m  1
 Sử dụng thành thạo câu thần chú “Cos đối – Sin bù – Phụ chéo” để đưa các phương trình dạng sau về phương
trình cơ bản:


sin u  cos v  sin u  sin   v 
2




cos u  sin v  cos u  cos   v 
2


sin u   sin v  sin u  sin  v 

cos u   cos v  cos u  cos   v 

cos 2 x  1 cos x  1
 Đối với phương trình  2
khơng nên giải trực tiếp vì khi đó phải giải 4 phương trình

sin x  1
sin x  1

cơ bản thành phần, khi đó việc kết hợp nghiệm sẽ rất khó khăn. Ta nên dựa vào cơng thức sin 2 x  cos 2 x  1 để
cos 2 x  1 sin x  0
biến đổi như sau:  2

 sin 2 x  0
cos x  0
sin x  1

1
 2
cos x  2
 2 cos 2 x  1  0
 Tương tự đối với phương trình 

 cos 2 x  0
2
sin 2 x  1
1  2sin x  0


2

Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản.
u  v  2k
 sin u  sin v  
u    v  k 2

u  v  k 2
 cos u  cos v  
u  v  k 2

u  v  k

 tan u  tan v  

u  2  k

GV: HUỲNH THỊ SÂM

u  v  k
 cot u  cot v  
u  k

Trang 3

Tài liệu học tập 11 NH: 2019-2020

Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PTLG

Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau


2

a) cos  x    
4
2




b) 2sin  2 x    3  0
6


……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

Bài 2. Giải các phương trình lượng giác sau.



a) sin x  sin  2 x  
4






b) sin  x    cos  2 x  
6
4



……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

GV: HUỲNH THỊ SÂM

Trang 4

Tài liệu học tập 11 NH: 2019-2020

Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PTLG

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………





c) tan  3x    tan  x  
4
6








d) cot  2 x    tan   x   0
4

6


……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

…………………………………………………
…………………………………………………
Dạng 2. Phương trình bậc hai chứa một hàm số lượng giác
2

sin u( x) 
sin u( x) 





cos u( x) 
cos u( x) 


Là phương trình có dạng : a
b
c 0
 tan u( x)
 tan u( x) 




cot u( x) 
cot u( x) 
sin u( x) 


cos u( x) 

Cách giải: Đặt t 
ta có phương trình : at 2  bt  c  0
 tan u( x)


cot u( x) 
Giải phương trình này ta tìm được t , từ đó tìm được x

sin u( x) 
Khi đặt t  
 , ta co điều kiện: t  1;1
cos u( x) 

Bài 3. Giải các phương trình lượng giác sau.

GV: HUỲNH THỊ SÂM

Trang 5

Tài liệu học tập 11 NH: 2019-2020
a) 4 cos 2 x  2



Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PTLG



b) 2 cos 2 x  5sin x  4  0

3  1 cos x  3  0

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

c)





d) 4 sin 2 x  12sin x  7  0

3 tan 2 x  1  3 tan x  1  0

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………........

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………........

………………………………………………........

GV: HUỲNH THỊ SÂM

Trang 6

Tài liệu học tập 11 NH: 2019-2020

Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PTLG

DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX
 Dạng phương trình: a sin x  b cos x  c
 Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a 2  b 2
a
b
c

sin x 
cos x 
a 2  b2
a2  b2
a2  b2
a
b
c
 cos  ,
 sin  . Khi đó PT  sin  x    
 x?
C1: Đặt

a2  b2
a2  b2
a 2  b2
a
b
c
 sin  ,
 cos  . Khi đó PT  cos  x    
 x?
C2: Đặt
a2  b2
a 2  b2
a 2  b2
 Điều kiện có nghiệm của phương trình: a 2  b2  c 2
 Chú ý: Khi phương trình có a  c hoặc b  c thì dùng cơng thức góc nhân đơi và sử dụng phép nhóm
nhân tử chung.

Bài 4. Giải các phương trình lương giác sau.
a) cos x  3 sin x  2

b) 2sin x  2cos x  6

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

GV: HUỲNH THỊ SÂM

Trang 7

Tài liệu học tập 11 NH: 2019-2020

Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PTLG

………………………………………………
c)

………………………………………………
d) sin x  cos x  2 sin 5 x

3 cos 3x  sin 3x  2

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………
………………………………………………
DẠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN BẬC HAI VỚI SINX VÀ COSX
 Dạng phương trình: a sin 2 x  b sin x cos x  c.cos 2 x  d với a, b, c  0
 Cách giải:
Cách 1:+ Xét cos x  0 có là nghiệm phương trình khơng? (Nếu cos x  0 có nghiệm thì suy ra



 k , k  
2
+ Xét cos x  0 , chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta được:
x

a tan 2 x  b tan x  c  d 1  tan 2 x   tan x  x

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất với sin 2x và cos 2x (dạng 1)

Bài 5. Giải phương trình lượng giác sau
a) 2 sin 2 x  sin x cos x  3cos 2 x  0
GV: HUỲNH THỊ SÂM

b) 2 sin 2 x  3sin x cos x  cos 2 x  0

Trang 8

Tài liệu học tập 11 NH: 2019-2020

Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PTLG

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

. ……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

c) sin 2 x  10sin x cos x  21cos 2 x  0

d) 2 sin 2 x  5sin x cos x  3cos 2 x  0

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

GV: HUỲNH THỊ SÂM

Trang 9

Tài liệu học tập 11 NH: 2019-2020

Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PTLG

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

…………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………
………………………………………………

………………………………………………





e) sin 2 x  1  3 sin x cos x  3 cos 2 x  0

f) 3sin 2 x  2sin 2 x  5cos 2 x  2

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………
……………………………………………

………………………………………………
g) 3sin 2 2 x  sin 2 x cos 2 x  4 cos 2 2 x  2
GV: HUỲNH THỊ SÂM

h) 3sin 2 2 x  sin 2 x cos 2 x  4 cos 2 2 x  2
Trang 10

Tài liệu học tập 11 NH: 2019-2020

Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PTLG

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

Bài tập tự luyện.
Bài 6. Giải các phương trình lượng giác sau.




a) sin  2 x    sin x  0
3






c) sin  2 x    sin  2 x    0
4
3



2

b) sin  x 
3


3

d) cos  x 
4



  cos 2 x  0





  cos  2 x    0
4



Bài 7. Giải các phương trình lượng giác sau.
a)

c) 2sin 2 x  3 sin 2 x  1  0

3 cos x  sin x  2

d) cos 2 x  3 sin 2 x  1  sin 2 x

b) cos x  3 sin x  2

Bài 8. Giải các phương trình lượng giác sau.
a) sin 3x  3 cos 3x  2sin 2 x
GV: HUỲNH THỊ SÂM

Trang 11

Tài liệu học tập 11 NH: 2019-2020

Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PTLG





b) sin  x    2sin x  3 cos  x  
6
6


Bài 9. Giải các phương trình lượng giác sau.
a) 2sin 2 x  3 3 sin x cos x  cos 2 x  2

c) 4sin 2 x  3 3 sin 2 x  2 cos 2 x  4

b) sin 2 x  sin x cos x  2 cos 2 x  0

d) 2 cos 2 2 x  3 3 sin 2 x cos 2 x  4  4sin 2 2 x

Bài 10. Giải các phương trình lượng giác sau.
a) sin 5 x  sin 3 x  sin x  0
b) cos x  cos 3 x  sin 4 x
c) sin 2 x  cos 2 x  2sin 2 x  1
d) 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0

GV: HUỲNH THỊ SÂM

Trang 12

TAI LIEU HOC TAP TOAN 11

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về