NW49 KIỂM TRA cực TRỊ hàm số đề THEO MA TRẬN TRẮC NGHIỆM GV

NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN

TRƯỜNG  THPT
--------------------------TRẮC NGHIỆM

ĐỀ THI THỬ:2019-2020

KIỂM TRA CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
NĂM HỌC 2020 - 2021
Thời gian: 45 phút

y = f ( x)
( a; b) và x0 Ỵ ( a; b) . Tìm mệnh đề đúng trong
Câu 1. Cho hàm số
xác định và liên tục trên
các mệnh đề sau.
f ¢( x0 ) = 0
y = f ( x)
x
A. Nếu
thì hàm số
đạt cực trị tại 0 .
y = f ( x)
f ¢( x0 ) = 0
x
B. Nếu hàm số
đạt cực trị tại 0 thì
.
f ¢( x0 ) = 0
f ¢( x0 ) > 0, " x Î ( x0 ; b)
f ¢( x0 ) < 0, " x Ỵ ( a; x0 )

y = f ( x)
C. Nếu
và
và
thì hàm số

x
đạt cực tiểu tại 0 .
f ¢( x0 ) = 0
f ¢( x0 ) > 0, " x ẻ ( x0 ; b)
f Â( x0 ) < 0, " x Ỵ ( a; x0 )
y = f ( x)
D. Nếu
và
và
thì hàm số
x
đạt cực đại tại 0 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là lý thuyết về cực trị của hàm số.
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Xem lại khái niệm cực trị.
Lời giải
Chọn C
y = f ( x)
Câu 2. Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Tìm số điểm cực trị của hàm số
A. 3 .
B. 2 .

y = f ( x)

.

C. 1 .
Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn tìm số điểm cực trị của hàm số
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Biết nhận dạng điểm cực trị của đồ thị.
3. HƯỚNG GIẢI:
Đếm số điểm cực trị của đồ thị suy ra số điểm cực trị của hàm số.
Lời giải
Chọn A
Hàm số có 3 điểm cực trị.
TÀI LIỆU ƠN THi THPT QUỐC GIA

D. 0 .

y = f ( x)

khi biết đồ thị.

Trang 1


ĐỀ THI THỬ:2019-2020

NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN THPT

Câu 3. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

y=

1 3
x − x2 − x − 1
3
bằng

5 2
A. 3 .

2 10
10 2
B. 3 .
C. 3 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Khoảng cách giưa hai điểm cực trị.
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
AB =

( xB − x A )

2

+ ( yB − y A )

2 5
D. 3 .

2

+) Độ dài đoạn thẳng
.
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
2
Ta có y′ = x − 2 x − 1 .
x = 1+ 2
y′ = 0 ⇔ 
 x = 1 − 2 ,

suy

ra

hai

điểm

cực

trị

của

đồ

thị

hàm

số

là


−8 − 4 2  
−8 + 4 2 
10 2
A 1 + 2;
;
B
1
−
2;
÷

÷
AB =
÷ 
÷
3
3

 
 . Vậy
3 .

y = f ( x)
Câu 4. Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình sau.

Tìm điểm cực đại của hàm số trên.
A. - 1 .
B. 1 .
C. 0 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Tìm cực trị của hàm số.
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
+ Định nghĩa cực trị của hàm số:
x ∈K
Giả sử hàm số f xác định trên tập K và 0
. Ta nói:
•

x0

D. 2 .

( a; b ) chứa x0 sao cho ( a; b ) ⊂ K
là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng

f ( x ) > f ( x0 ) , ∀x ∈ ( a; b ) \ { x0 }

f ( x0 )

được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f .
( a; b ) chứa x0 sao cho ( a; b ) ⊂ K

• x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng
và

. Khi đó

f ( x ) < f ( x0 ) , ∀x ∈ ( a; b ) \ { x0 }
f ( x0 )
và
. Khi đó
được gọi là giá trị cực đại của hàm số f .
+ Điều kiện để hàm số đạt cực trị.
x
x
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm 0 . Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm 0 thì
f ' ( x0 ) = 0
Trang 2

.
TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA


NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN

• Nếu

f ′( x) > 0

trên khoảng

ĐỀ THI THỬ:2019-2020

( x0 − h; x0 )

và

f ′( x) < 0

trên khoảng

( x0 ; x0 + h )

thì

x0

là một

f ( x) .
điểm cực đại của hàm số
f ′( x) < 0
( x − h; x0 ) và f ′ ( x ) > 0 trên khoảng ( x0 ; x0 + h ) thì x0 là một
• Nếu
trên khoảng 0
f ( x) .
điểm cực tiểu của hàm số
3. HƯỚNG GIẢI:
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại x = 0 .

Câu 5. Dạng của đồ thị của hàm số bậc ba

y = ax3 + bx 2 + cx + d (a < 0) trong trường hợp phương

trình y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt là:
y
y

x

x

O

O

A. Hình 1.

B. Hình 2.

y

y

x
x

O

O

C. Hình 3.

D. Hình 4.
Lời giải

Chọn A

y = ax3 + bx 2 + cx + d (a < 0) trong trường hợp phương trình

Vì hàm số bậc ba
nghiệm phân biệt nên đồ thị dạng Hình 1.

y ' = 0 có 2

[ −10;10] để hàm số y = x3 + mx + 2 có
Câu 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
cực trị?
A. 10.
B. 11.
C. 12.
D. 9.
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Tìm điều điện để hàm số bậc 3 có cực trị.
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
+ Cho hàm số

f ′ ( x)
từ

( −)

y = f ( x)

đổi dấu từ
sang

( +)

( +)
thì

K \ { x0 }
x
liên tục và có đạo hàm trên khoảng K hoặc
. Nếu qua 0 ,

sang

x0

( −)

thì

x0

là điểm cực đại của hàm số. Nếu qua

x0

,

f ′( x)

đổi dấu

là điểm cực tiểu của hàm số.

TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA

Trang 3


ĐỀ THI THỬ:2019-2020

NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN THPT

+ Hàm số bậc ba có 2 cực trị hoặc khơng có cực trị.
3
2
( a ≠ 0 ) có hai điểm cực trị ⇔ Phương trình y′ = 0 có 2
+ Hàm số y = ax + bx + cx + d ,

∆′ = b 2 − 3ac
(cơng thức tính nhanh ∆′ của đạo hàm: y′
)
3
2
( a ≠ 0 ) khơng có cực trị ⇔ y′ = 0 vơ nghiệm hoặc có

+ Hàm số y = ax + bx + cx + d ,
⇔ ∆ y′ ≤ 0
nghiệm duy nhất
.
3. HƯỚNG GIẢI:
∆
B1: Tính y′ và y′ .
∆ >0
B2: Giải điều kiện y′
.
B3: Đối chiếu điều kiện và kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
y′ = 3 x 2 + m .
nghiệm phân biệt

⇔ ∆ y′ > 0

∆ y′ = −12m

.
3
Hàm số y = x + mx + 2 có cực trị khi và chỉ khi y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ −12m > 0 ⇔ m < 0 mà m ∈ ¢; m ∈ [ −10;10] nên m ∈ { −10; −9; −8;...; −1} .
Vậy có 10 giá trị của m thỏa mãn điều kiện để bài.
3
Trắc nghiệm: y = x + mx + 2
3
∆′ = b 2 − 3ac = −3m > 0 ⇔ m < 0

Hàm số y = x + mx + 2 có cực trị khi và chỉ khi y′
mà

m ∈ ¢; m ∈ [ −10;10]

m ∈ { −10; −9; −8;...; −1}
nên
.
m
Vậy có 10 giá trị của
thỏa mãn điều kiện để bài.
Câu 7. Cho hàm số
điểm cực trị?

A. 4 .

y = f ( x)

có đồ thị như hình bên dưới. Trên đoạn

[ −3;3]

hàm số đã cho có mấy

B. 2 .

C. 5 .
D. 3 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là một bài tốn xác định số điểm cực trị dựa vào đồ thị.

2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Với bảng biến thiên:
f ′( x)
x
x

đổi dấu từ + (dương) sang − (âm) qua điểm 0 thì 0 là điểm cực đại.
f ′( x)

đổi dấu từ − (âm) sang + (dương) qua điểm x0 thì x0 là điểm cực tiểu
Với đồ thị hàm số:
Trang 4

TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA


NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN

ĐỀ THI THỬ:2019-2020

 Đồ thị “đi lên” rồi “đi xuống” thì đây là cực đại.
 Đồ thị “đi xuống” rồi “đi lên” thì đây là cực tiểu.
3. HƯỚNG GIẢI:
B1: Quan sát sự thay đổi chiều biến thiên của đồ thị hàm số tại các điểm x = −1 , x = 1 và
x=3
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
[ −3;3] hàm số có 3 điểm cực trị là x = −1 , x = 1 và x = 3 vì
Dựa vào đồ thị ta thấy, trên đoạn

khi đi qua ba điểm này đồ thị hàm số thay đổi chiều biến thiên.
y = f ( x)
Câu 8. Cho hàm số
có đạo hàm trên ¡ . Khẳng định nào sau đây đúng?:
A. Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì đạo hàm đổi dấu khi x đi qua x0 .
B. Nếu đạo hàm đổi dấu khi x đi qua x0 thì hàm số đạt cực đại tại x0 .
f ′ ( x0 ) = 0
x
C. Nếu
thì hàm số đạt cực trị tại 0 .
f ′ ( x0 ) = f ′′ ( x0 ) = 0
x
D. Nếu
thì hàm số khơng đạt cực trị tại 0 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: nhận biết về lí thuyết cực trị
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
3. HƯỚNG GIẢI:
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Câu 9. Cho hàm số

y = f ( x)

f ′ ( x ) = ( x − 1) ( 2 − x ) ( x 2 − 1)
3

có đạo hàm

. Hỏi đồ thị hàm số

y = f ( x)

có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn đếm số cực trị của hàm số biết biểu thức đạo hàm.
Phương pháp: Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn hoặc bội lẻ của đạo hàm.
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
+ Đạo hàm không đổi dấu qua nghiệm kép hoặc nghiệm bội chẵn nên hàm số khơng có cực trị
tại những nghiệm đó.
3. HƯỚNG GIẢI:
B1: Tìm nghiệm của đạo hàm.
B2: Đếm số nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ rồi kết luận số cực trị.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B

f ′ ( x ) = ( x − 1) ( 2 − x ) ( x 2 − 1) = ( x − 1) 4 ( 2 − x ) ( x + 1)
3

 Ta có

.

x = 1

f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = −1
 x = 2

.
TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA

Trang 5


ĐỀ THI THỬ:2019-2020

NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN THPT

 TrongÅđó x = 1 là nghiệm kép.
 Vậy hàm số có hai cực trị.
Câu 10. Cho hàm số

y = f ( x)

f '( x)
xác định, liên tục trên ¡ có đạo hàm
như hình vẽ bên.
y

4

2

-2

x

O
-1

1

2

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
A. x = −1
B. x = 1

C. x = −2
D. x = 2
Phân tích lời giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn tìm cực trị của hàm số.
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
f ' ( x)
đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực đại tại x0
+ Nếu

f ' ( x)

đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0

+ Nếu
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C

f '( x)
y = f ( x)
Từ đồ thị hàm số
ta có BBT của hàm số
như sau

Dựa vào BBT ta có x = −2 là điểm cực tiểu của hàm số.
1
y = x 3 − mx 2 + ( m 2 − m − 1) x
3
Câu 11. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
đạt cực đại tại x = 1 .
A. m = 0 .
B. m = 3 .
C. m ∈ ∅ .
D. m = 2 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tại
2. KIẾN THỨC CN NH:
ỡù f '( x0 ) = 0
ù
ắắ
đ x0
ớ
ùù f ''( x0 ) < 0
f x
ỵ
là điểm cực đại của ( ) .

x0

.

ỡù f '( x0 ) = 0
ù
ắắ
đ x0
ớ
ùù f ''( x0 ) > 0
ỵ

f x
là điểm cực tiểu của ( ) .
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B

Trang 6

TÀI LIỆU ƠN THU THPT QUỐC GIA


NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN

ĐỀ THI THỬ:2019-2020

2
2
 Ta có y′ = x − 2mx + m − m − 1 .
y ′′ = 2 x − 2 m .

 y′ ( 1) = 0
1 − 2m + m 2 − m − 1 = 0
m 2 − 3m = 0
x =1⇔ 
⇔
⇔
y′′ ( 1) < 0
2 − 2m < 0



m > 1
 Hàm số đạt cực đại tại
m = 0

⇔   m = 3 ⇔ m = 3
m > 1

.
Câu 12. Tìm tất cả các giá trị của
điểm cực trị dương.

m để hàm số

y=

 m < −2
 m > −1
A. 

.

1 2
x − ( m 2 + 3m + 2 ) x + 2019m3 − 1
2
có một

B. −2 < m < −1 .
C. m > 2 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa điều kiện.
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
3. HƯỚNG GIẢI:
B1: Tính đạo hàm, tìm nghiệm của đạo hàm.
B2: Dùng điều kiện về điểm cực trị để tìm m .
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A

D. m < 1 .

1 2
x − ( m 2 + 3m + 2 ) x + 2019m3 − 1
2
 Hàm số
xác định trên ¡ và có
y′ = x − ( m 2 + 3m + 2 )
y=

′

 Ta có: y = 0 ⇔ x = m + 3m + 2 .
2

 m < −2
⇔ m 2 + 3m + 2 > 0 ⇔ 
 m > −1 .
 Hàm số có một điểm cực trị dương
Câu 13. Số giá trị nguyên của m để hàm số
tiểu trái dấu là
A. 3 .
B. 4 .

y = x3 −

5 2
x − 2x + 1− m
2
có giá trị cực đại và giá trị cực

C. 5 .
D. 6 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn tìm tham số để hàm số có cực trị kèm giả thiết theo y .
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
2.1 Một số qui tắc tính đạo hàm:
( x n ) ′ = nx n−1 .

( u ± v ) ′ = u ′ ± v′ .
TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA

Trang 7


ĐỀ THI THỬ:2019-2020

NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN THPT

( ku ) ′ = ku ′

( k là hằng số).
2
2.2 Hàm số y = ax + bx + cx + d có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu khi và chỉ khi
3

y ( x1 ) .y ( x2 ) < 0
x ,x
phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 và
.
3. HƯỚNG GIẢI:
B1: Tìm y ′ và giải phương trình y ′ = 0 hoặc tìm tham số để phương trình y ′ = 0 có hai
x ,x
nghiệm phân biệt 1 2 .
y ( x1 ) , y ( x2 )
B2: Tính
.
y ( x1 ) .y ( x2 ) < 0
B3: Giải điều kiện
và kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải

Chọn D
2
 Ta có y′ = 3x − 5 x − 2 ;
x = 2
2
′
y = 0 ⇔ 3x − 5 x − 2 = 0 ⇔ 
x = − 1
3.

 Với x = 2 thì y = −5 − m .
Với

x=−

1
73
y=
−m
3 thì
54
.

 73

⇔ ( −5 − m )  − m ÷ < 0
 54

 Hàm số có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu
73

54 . Do m ∈ ¢ nên m ∈ { −4; −3; −2; −1;0;1} .
 Vậy có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
⇔ −5 < m <

3
2
Câu 14. Đồ thị của hàm số y = x − 3 x − 9 x + 1 có hai điểm cực trị A và B . Điểm nào dưới đây thuộc
đường thẳng AB .

N ( 1; −10 )
Q −1;10 )
.
C.
.
D. (
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn tìm đường thẳng nối hai điểm cực trị.
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
( a ≠ 0) .
Phương trình đường thẳng AB có dạng d : y = ax + b
3. HƯỚNG GIẢI:
3
2
B1: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = x − 3 x − 9 x + 1 để tìm toạ độ của hai điểm A và B .
( a ≠ 0) .
B2: Gọi phương trình đường thẳng AB có dạng d : y = ax + b
B3: Từ A ∈ d và B ∈ d lập thành hệ phương trình hai ẩn.
A.

P ( 1;0 )

.

B.

M ( 0; −1)

B4: Giải hệ, từ đó ta được phương trình đường thẳng AB .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
Trang 8

TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA


NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN

ĐỀ THI THỬ:2019-2020

3
2
 Ta có y = x − 3 x − 9 x + 1 , TXĐ: D = ¡ .
 x = −1 ⇒ y = 6
⇔
2
 x = 3 ⇒ y = −26 .
 Suy ra y′ = 3x − 6 x − 9 , xét y′ = 0
 Bảng biến thiên

 A ( −1;6 )

3
2
B ( 3; −26 )
y
=
x
−
3
x
−
9
x
+
1
 Với A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
, suy ra 
.

( a ≠ 0) .
 Gọi phương trình đường thẳng AB có dạng d : y = ax + b
6 = − a + b
a = −8
⇔

b = −2 .
 Ta có hệ phương trình −26 = 3a + b
 Suy ra đường thẳng AB có phương trình y = −8 x − 2 .

 Vậy điểm

N ( 1; −10 )

thuộc đường thẳng AB .

Câu 15. Biết rằng đồ thị hàm số

y=

x2 − 2 x + 2
x −1
có hai điểm cực trị là A và B . Phương trình của

đường thẳng AB là
B. x + y + 1 = 0 .
C. 2 x − y − 2 = 0 .
D. x − y + 2 = 0 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ
A. x − y − 1 = 0 .

ax 2 + bx + c
y=
b′x + c′ .
thị hàm số
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Sử dụng công thức nhớ nhanh đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
ax 2 + bx + c
2ax + b

d:y=
b′x + c′ là
b′ .
3. HƯỚNG GIẢI:
B1: Tìm tập xác định của hàm số.
B2: Tính đạo hàm, chúng tỏ đạo hàm có hai nghiệm phân biệt, lập bảng biến thiên kết luận các
điểm cực trị của đồ thị.
B3: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Lời giải
Chọn C
D = R \ { 1}
Tập xác định của hàm số
.
2
x = 0
x − 2x
2
′
y
=
0
⇔
x
−
2
x
=
0
⇔
y′ =

x = 2
( x − 1) 2 ; phương trình

Đạo hàm
.
y=

TÀI LIỆU ƠN THi THPT QUỐC GIA

Trang 9


ĐỀ THI THỬ:2019-2020

NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN THPT

Bảng biến thiên hàm số

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A(0; −2) và B (2; 2) , do vậy đường thẳng
AB :

x y+2
=
⇔ AB : 2 x − y − 2 = 0
2
4
.

Vậy AB : 2 x − y − 2 = 0 .
Câu 16. Hàm số

hàm số

f ( x)
f ( x)

f ' ( x ) = −2 ( x − 1)
xác định và liên tục trên ¡ và có đạo hàm

2

( x + 1) . Khi đó

.

A. Đạt cực tiểu tại điểm x = −1 .
C. Đạt cực đại tại điểm x = −1 .

B. Đạt cực tiểu tại điểm x = 1 .
D. Đạt cực đại tại điểm x = 1 .

Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn tìm cực trị của hàm số.
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
( a; b ) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên ( a; b ) hoặc
Giả sử hàm số f bliên tục trên khoảng

( a; b ) \ { x0 }
f ′( x)
- Nếu

x
x
đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua 0 thì f đạt cực tiểu tại 0 .

f ′( x)
- Nếu
đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0 .
3. HƯỚNG GIẢI:
y = f ( x)
Để tìm cực trị của hàm số
, ta thực hiện các bước như sau:
- B1: Tìm tập xác định của hàm số.
- B2: Tính y′ . Tìm các điểm mà tại đó y′ = 0 hoặc y′ không xác định.

- B3: Lập bảng xét dấu y′ - bảng biến thiên (tìm lim tại vơ cùng, tại x 0 mà y’ không xác định –
giới hạn một bên). Từ đó kết luận các điểm cực trị của hàm số.
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
 x = −1
2
f ' ( x ) = 0 ⇔ −2 ( x − 1) ( x + 1) = 0 ⇔ 
.
x
=
1

Ta có
Bảng biến thiên của hàm số

Trang 10

f ( x)

.

TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA


NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN

ĐỀ THI THỬ:2019-2020

.
Suy ra hàm số đã cho đạt cực đại tại x = −1 .
Câu 17. Cho hàm số

y = f ( x)

f ′( x)
liên tục trên R có đồ thị
như hình vẽ.

(

)

g ( x ) = f −x2 + x
Số điểm cực tiểu của hàm số

là
A. 1 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 2 .
Phân tích hướng dẫn giải
y = f ( x)
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn: Cho hàm số
(Đề có thể cho bằng hàm, đồ thị,
f x , f '( x)
y = f ( u)
bảng biến thiên của ( )
). Tìm số điểm cực trị của hàm số
trong đó u là
một hàm số đối với x
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
+) xo là điểm cực trị của hàm số g ( x) nếu g ′( x ) đổi dấu khi qua xo .

+) Giả sử hàm số

x0

thì

( ) đạt cực trị tại điểm x . Khi đó, nếu y = f ( x )

y=f x

0

có đạo hàm tại điểm

( )

f ′ x0 = 0.

+ Số cực trị của hàm số là số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình:
3. HƯỚNG GIẢI:
y ' = u '. f ' ( u )
Bước 1. Tính đạo hàm
u ' = 0
y' = 0 ⇔ 
 f '( u ) = 0
Bước 2. Giải phương trình
Bước 3.Tìm số nghiệm đơn và bội lẻ hoặc các điểm mà y ' không xác định.

( )

f ′ x = 0.

Kết luận
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A

TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA

Trang 11

ĐỀ THI THỬ:2019-2020

 Ta có

NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN THPT

g ( x ) = f ( − x 2 + x ) ⇒ g ′ ( x ) = ( −2 x + 1) f ′ ( − x 2 + x )

.

1

1

x = 2
x = 2
 −2 x + 1 = 0


⇒ g ′ ( x ) = 0 ⇔ ( −2 x + 1) f ′ ( − x 2 + x ) = 0 ⇔ 
⇔ − x2 + x = 0 ⇔  x = 1
2
 f ′ ( − x + x ) = 0
 2
x = 0
− x + x = 2



.

  −2 x + 1 > 0

2
  f ′ ( − x + x ) > 0
2
g ′ ( x ) > 0 ⇔ ( −2 x + 1) f ′ ( − x + x ) > 0 ⇔ 
  −2 x + 1 < 0
 ′
2
 f ( −x + x) < 0



 Do đó

1

1
 x < 2
 x < 2

 
− x2 + x > 2
 x > 1
x < 0
 2


⇔   − x + x < 0 ⇔    x < 0 ⇔  1

 < x <1


2
1

  x > 1
 x >
2
2


 0 < − x 2 + x < 2
0 < x < 1




.

 Bảng biến thiên

 Vậy hàm số có 1 điểm cực tiểu.
3
2
( C ) . Đường thẳng đi qua điểm A ( −1,1) và
Câu 18. Cho hàm số y = x − 6 x + 9 x − 2 có đồ thị là
C
vng góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của ( ) là
1

3
1
3
y = x+
y = − x+
2
2.
2
2.
A. y = x + 3 .
B.
C.

D. x − 2 y − 3 = 0 .

Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn viết phương trình đường thẳng liên quan đến phương trình
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba.
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

y = ax3 + bx 2 + cx + d , ( a ≠ 0 )
- Cho hàm số bậc ba
, nếu hàm số bậc ba có hai điểm cực trị thì
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị được xác định như sau:
3
2
2
+) Thực hiện phép chia đa thức: y = ax + bx + cx + d cho y′ = 3ax + 2bx + c được thương là
q ( x)

Trang 12

và phần dư là

r ( x ) = mx + n

, ta được:
y = y′.q ( x ) + r ( x )
TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA


NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN

ĐỀ THI THỬ:2019-2020

y = mx + n chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba.

Khi đó
3. HƯỚNG GIẢI:
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
2
1
y = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 2 =  x − ÷ 3x 2 − 12 x + 9 + ( −2 x + 4 )
2
3
3
 y′ = 3 x − 12 x + 9 ,

(

)

( C)

có phương trình là y = −2 x + 4 .
1
y = x+b
2
 Đường thẳng vuông góc với y = −2 x + 4 có phương trình
.
1
3
1 = . ( −1) + b ⇔ b =
A ( −1;1)
2
2.
 Đường thẳng qua
suy ra
1
3
y = x+
2
2.
 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là
 Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của

12
7

2
6
Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x + ( m − 5) x + ( m − 25) x + 1 đạt

cực đại tại x = 0 ?
A. 8

B. 9

D. 10

C. Vô số
Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TỐN: Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại điểm
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Điểm
đổi dấu khi đi qua

f ′ ( x)

x0

x0

,cụ thể: Điểm

x0

cho trước.

là điểm cực trị của hàm số khi

x0

f ′ ( x0 ) = 0

là điểm cực đại của hàm số khi

đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua

x0

, điểm

x0

và

f ′ ( x)

f ′ ( x0 ) = 0

và

là điểm cực tiểu của hàm số khi

f ′ ( x0 ) = 0

f ′ ( x)
x

và
đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua 0 .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
11
6
2
5
 y ' = 12 x + 7(m − 5) x + 6(m − 25) x .
11
 m = 5 ⇒ y ' = 12 x . Khi đó y ' = 0 ⇔ x = 0 là nghiệm bội lẻ, đồng thời dấu của y’ đổi từ âm
sang dương, nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số, do đó khơng thỏa mãn, m = 5 loại.
6
5
 m = −5 ⇒ y ' = x (12 x − 70) = 0 ⇒ x = 0 là nghiệm bội chẵn, do đó y’ khơng đổi dấu khi đi

qua x = 0 , m = −5 loại.
m ≠ ±5 ⇒ y ' = x 5 12 x 6 + 7(m − 5) x + 6(m 2 − 25)  = x5 .g ( x)

6
2
g ( x)
với g ( x) = 12 x + 7( m − 5) x + 6( m − 25) , ta thấy x = 0 không là nghiệm của
.
x
=
0
Để hàm số đạt cực đại tại
thì y’ phải đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x = 0 , xảy ra

lim g ( x) < 0

 x → 0−
⇔ 6(m 2 − 25) < 0 ⇔ −5 < m < 5

lim
g
(
x
)
<
0
 +
khi và chỉ khi  x →0
.
TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA

Trang 13


ĐỀ THI THỬ:2019-2020

NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN THPT

m = { −4; −3;...;3; 4}
 m nguyên nên
. Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn bài toán.
Câu 20. Cho hàm số
y = f ( x) + m

y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
có đúng ba điểm cực trị?

 m ≤ −1

A.  m ≥ 3 .

 m ≤ −3
 m = −1
m ≥ 1

B. 
.
C.  m = 3 .
D. 1 ≤ m ≤ 3 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng toán về cực trị của hàm chứa giá trị tuyệt đối.
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
y = f ( x)

- Đồ thị của hàm
suy ra từ đồ thị của hàm y = f ( x) : Giữ nguyên phần đồ thị ở trên
trục hoành, phần đồ thị bên dưới trục hoành lấy đối xứng lên trên.
- Điểm cực trị của hàm số là những điểm thuộc tập xác định của hàm số mà tại điểm đó hàm số
chuyển từ đồng biến sang nghịch biến hoặc ngược lại.
3. HƯỚNG GIẢI:
- Vẽ được đồ thị y = f ( x) + m , sau đó vẽ y = f ( x) + m
- Dựa vào đồ thị suy ra điều kiện cần có của m
Lời giải

Chọn A
Từ đồ thị hàm số y = f ( x) ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x) + m như sau



Trường

hợp

1:

−3 + m < 0 < 1 + m ⇔ −1 < m < 3

pt

f ( x) + m = 0

có

3

nghiệm

a < x1 < b < x2 < c < x3 và bảng biến thiên của hàm số y = f ( x) + m như sau:

Hàm số có 5 điểm cực trị, khơng thỏa mãn u câu đề bài
Trang 14

TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA

NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN

ĐỀ THI THỬ:2019-2020

 Trường hợp 2: 1 + m ≤ 0 ⇔ m ≤ −1 pt f ( x) + m = 0 có 1 nghiệm c ≥ x3 và bảng biến thiên của
hàm số y = f ( x) + m như sau:

Hàm số có 3 điểm cực trị.
 Trường hợp 3: −3 + m ≥ 0 ⇔ m ≥ 3 pt f ( x) + m = 0 có 1 nghiệm a ≤ x1 và bảng biến thiên của
hàm số

y = f ( x) + m

như sau:

Hàm số có 3 điểm cực trị.
Kết luận: m ≤ −1 hoặc m ≥ 3

S

Câu 21. Gọi

là

tập

hợp

tất

cả

y = x − ( 2m + 3) x − ( m − 4 ) x + m + 8
3

các

giá

trị

của

2

có hai điểm cực trị

tham

x1 , x2

số

m

thỏa mãn

để

hàm

số

y ( x1 ) . y ( x2 ) = 0

.

Tính tổng các phần tử của tập S .
A. −3 .

B. 3 .

−

4
3.

C.
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn cực trị chứa tham số.
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
+)

D.

−

22
3 .

( c)′ = 0 .

( xn ) ′ = nxn−1 .
+)
3. HƯỚNG GIẢI:
B1: Tính đạo hàm của hàm số. Từ đó tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị.
B2: Xác định điều kiện bài toán.
B3: Giải điều kiện bài toán từ đó xác định các giá trị của tham số m .
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
y ′ = 3 x 2 − 2 ( 2m + 3 ) x − m + 4
 Ta có
.

TÀI LIỆU ƠN THi THPT QUỐC GIA

Trang 15


ĐỀ THI THỬ:2019-2020



Hàm

số

có

NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN THPT

hai

điểm

cực

trị

⇔ y′ = 0

có

hai

nghiệm

phân

biệt


−15 − 273
m <
8
⇔

−15 + 273

2
m >
⇔ ∆′ = ( 2m + 3) − 3 ( 4 − m ) > 0 ⇔ 4m 2 + 15m − 3 > 0
8

.
3
2
y ( x1 ) . y ( x2 ) = 0
y = x − ( 2m + 3 ) x − ( m − 4 ) x + m + 8
 Theo giả thiết
suy ra đồ thị hàm số
tiếp xúc với trục hoành.
⇒ x 3 − ( 2m + 3) x 2 − ( m − 4 ) x + m + 8 = 0
có nghiệm kép.

⇔ ( x + 1)  x 2 − 2 ( m + 2 ) x + m + 8 = 0

có nghiệm kép.
 x = −1
( x + 1)  x 2 − 2 ( m + 2 ) x + m + 8 = 0 ⇔  2
 x − 2 ( m + 2) x + m + 8 = 0 .
 Ta có

x2 − 2 ( m + 2) x + m + 8 = 0

 Trường hợp 1: phương trình
nghiệm x = −1 .
Với

x =1→ m = −

có hai nghiệm phân biệt có một

13
3 .

 x = −1
14
11
x + x+ =0⇔ 
13
 x = − 11
3
3
m=−
3 .

3 có phương trình
Với
13
m=−
3 thỏa mãn.
Do đó
2

 Trường hợp 2: Phương trình

x2 − 2 ( m + 2) x + m + 8 = 0

có nghiệm kép khác −1

∆′ = ( m + 2 ) 2 − ( m + 8 ) = 0  m 2 + 3m − 4 = 0
m = 1


⇔
⇔
⇔

13
 m = −4
13

m ≠ −
m ≠ −
3

3

.
 13

22
S =  − ; −4;1
−
3

 . Vậy tổng các phần tử của S là 3 .
Do đó

y = x 3 + ( m + 3) x 2 − ( 2 m + 9 ) x + m + 6
( C ) . Tìm giá trị thực của tham số
Câu 22. Cho hàm số
có đồ thị

m để ( C ) có hai điểm cực trị và khoảng cách từ O đến đường thẳng nối hai điểm cực trị lớn
nhất.
3 2
2 .
A.
B.
C. m = −3 ± 6 2 .
D. m = −6 ± 6 2 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng cực trị hàm số bậc ba chứa tham số có yếu tố hình học.
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
a ≠ 0
⇔

3
2
∆ y′ > 0
a) Hàm số y = ax + bx + cx + d có hai cực trị
m = −6 ±

3 2
2 .

m = −3 ±

3
2
b) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số y = ax + bx + cx + d có phương trình:

Trang 16

TÀI LIỆU ƠN THU THPT QUỐC GIA


NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN

ĐỀ THI THỬ:2019-2020

2
b2 
bc
∆ : y =  c − ÷x + d −
3  3a 
9a
c) Điểm cố định mà họ đường cong m. f ( x; y ) + g ( x; y ) = 0 luôn đi qua với mọi giá trị tham số

 f ( x; y ) = 0

m là nghiệm của hệ phương trình:  g ( x; y ) = 0
3. HƯỚNG GIẢI:
Tìm điều kiện để hàm số có 2 cực trị, sau đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
trị, từ đó tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách bằng cách xét điểm cố định mà đường thẳng ln
đi qua.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải

Chọn A
y = x 3 + ( m + 3) x 2 − ( 2m + 9 ) x + m + 6

. Tập xác định D = ¡ .
2
y ' = 3 x + 2 ( m + 3 ) x − ( 2m + 9 )

.
⇔
y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt
 Để hàm số có 2 điểm cực trị
⇔ ∆ ' = ( m + 3) + 3 ( 2m + 9 ) = ( m + 6 ) > 0 ⇔ m ≠ −6
2

2

.
 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị trên là:
2
b2 
bc −2m 2 − 24m − 72
2m 2 + 24m + 81
∆ : y =  c − ÷x + d −
=
x+
3
3a 
9a
9
9


2m 2 + 24m
⇔ y=−
( x − 1) − 8x + 9
9
I ( 1;1)
 Nhận thấy đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định là
.

d ( O; ∆ ) ≤ OI = 2

, dấu bằng xảy ra OI ⊥ ∆ .
−2m 2 − 24m − 72
k1 =
9
 Đường thẳng ∆ có hệ số góc là:
, đường thẳng OI có hệ số góc là:
 Ta có:

k2 = 1 .
2m 2 + 24m + 72
−12 ± 3 2
= 1 ⇔ 2m 2 + 24m + 72 = 9 ⇔ m =
9
2

.
4
2
Câu 23. Cho hàm số y = x − 2mx + 1 − m . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm.
OI ⊥ ∆ ⇒ k1.k2 = −1 ⇔

A. m = 1 .

B. m = 2 .
C. m = 0 .
D. m = −1 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn tìm tham số trong phần cực trị của hàm bậc bốn trùng
phương.
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA

Trang 17


ĐỀ THI THỬ:2019-2020

NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN THPT

4
2
 Hàm số bậc bốn trùng phương y = ax + bx + c có ba điểm cực trị khi ab < 0 .
OB ⊥ AC

O ( 0;0 )
 Gốc tọa độ
là trực tâm tam giác khi và chỉ khi OA ⊥ BC , với A , B , C là ba điểm

cực trị của đồ thị.
4
2
 Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực

b3 + 8a − 4abc = 0

ab < 0
tâm khi 
.
3. HƯỚNG GIẢI:
B1: Tìm điều kiện (*) cho m để hàm số có ba điểm cực trị.
B2: Tìm tọa độ ba điểm cực trị
B3: Dựa vào giả thiết cho tam giác là tam giác gì từ đó ta áp dụng tính chất của tam giác đó để
thiết lập các phương trình có liên quan đến tham số m .
B4: Giải các phương trình lập được suy ra giá trị của tham số m .
B5: Kiểm tra các giá trị m tìm được với điều kiện (*) để chọn m phù hợp.
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
 TXĐ: D = ¡ .
x = 0
y′ = 0 ⇔  2
3
2
y′ = 4 x − 4mx = 4 x ( x − m )
x = m .
 Ta có
. Cho
( 1) .

 Hàm số có ba cực trị ⇔ m > 0
Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là:

(

)

A ( 0;1 − m )

,

(

m ; −m 2 − m + 1
.
uuu
r
uuur
2
OB
=
−
m
;
−
m
−
m
+
1

AC = m , − m 2
⇒
,
 Ta có tam giác ABC cân tại A nên AO ⊥ BC
C

(

)

(

),

B − m ; − m2 − m + 1

)

uuur uuur
 Do đó tam giác ABC nhận O làm trực tâm ⇔ OB ⊥ AC ⇔ OB. AC = 0
m = 0
⇔
3
2
⇔ m 4 + m3 − m 2 − m = 0 ⇔ m ( m + m − m − 1) = 0
 m = ±1 .
( 1) ta suy ra m = 1 .
 Kết hợp với
Cách 2 :
4

2
 Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực
b3 + 8a − 4abc = 0

ab < 0
tâm khi 
.
 Chứng minh công thức :
x = 0
y′ = 0 ⇔ 
x = − b
3
2a .

Ta có y ′ = 4ax + 2bx ,
Trang 18

TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA


NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN

ĐỀ THI THỬ:2019-2020

Hàm số có ba cực trị ⇔ ab < 0 .
 −b b 2

 −b b 2

B 

;−
+ c÷
C
−
;
−
+
c

÷
÷  2 a 4a
÷
2a 4a
A ( 0; c )




Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là
,
,
uuu
r  −b b 2
 uuur 
−b b 2 
OB = 
;−
+c÷
AC
=

−
;− ÷

÷
2
a
4
a
2
a
4a ÷

,



 Ta có tam giác ABC cân tại A nên AO ⊥ BC

uuur uuur
⇔
OB
×AC = 0
ABC
O
⇔
OB
⊥
AC
 Do đó tam giác
nhận

làm trực tâm
⇔



b b2  b2
b  b2
−  − + c ÷ = 0 ⇔ 1 −  − + c ÷ = 0 ⇔ b 3 + 8a − 4abc = 0
2 a 4a  4a
2  4a



.

 Áp dụng cho hàm số y = x − 2mx + 1 − m với a = 1 , b = −2m , c = 1 − m .
 m > 0
⇔ m =1

3
−2m ) + 8 − 4 ( −2m ) ( 1 − m ) = 0
(


 Ta có
.
Câu 24. Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị của hàm đạo hàm y = f '( x ) như hình vẽ và f (b) = 1 ;
f (c) = −2 .
4

Số giá trị nguyên của
trị là
A. 8 .

m ∈ [ −5;5]

2

để hàm số

g ( x) = f 2 ( x) + 4 f ( x) + m + 1

có đúng 5 điểm cực

B. 10 .

C. 9 .
D. 7 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn tìm điểm cực trị của hàm ẩn chứa giá trị tuyệt đối
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
+ Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số:
( a; b ) nếu với mọi x1 , x2 ∈ ( a; b ) mà x1 < x2 thì
- Hàm số y = f ( x ) gọi là đồng biến trên khoảng
f ( x1 ) < f ( x2 )

( a; b ) nếu với mọi x1 , x2 ∈ ( a; b ) mà x1 < x2
- Hàm số y = f ( x) gọi là nghịch biến trên khoảng
thì

f ( x1 ) > f ( x2 )

- Hàm số y = f ( x) gọi là đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng

( a; b ) ta

nói hàm số

y = f ( x ) đơn điệu trên khoảng ( a; b )
+ Định lí: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

( )

( )

f' x ≥0
f' x =0
- Nếu
với mọi x ∈ K và
chỉ tại một số hữu hạn điểm x ∈ K thì hàm số f
đồng biến trên K .

TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA

Trang 19


ĐỀ THI THỬ:2019-2020

NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN THPT

( )

( )

f' x ≤0
f' x =0
- Nếu
với mọi x ∈ K và
chỉ tại một số hữu hạn điểm x ∈ K thì hàm số
f nghịch biến trên K .
+ Định nghĩa cực trị của hàm số:
x ∈K
Giả sử hàm số f xác định trên tập K và 0
. Ta nói:

( a;b) chứa x0 sao cho ( a;b) ⊂ K
- x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng

( )

( )

( ) { } . Khi đó f ( x )

và

f x > f x0 , ∀x ∈ a;b \ x0

và

f x < f x0 , ∀x ∈ a;b \ x0

được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f
a;b
x
x
( a;b) ⊂ K
- 0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng
chứa 0 sao cho

( )

( )

0

( )

( ) { } . Khi đó f ( x )

được gọi là giá trị cực đại của hàm số f .
y = f ( x ) , ( C1 ) ; y = g ( x ) , ( C2 )
0

+ Sự tương giao: Cho hàm số
f ( x) = g ( x ) , (*)
Xét phương trình:

( C ) & ( C2 )

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị 1
3. HƯỚNG GIẢI:
y = f ( x)
B1: Lập bảng biến thiên của hàm số
2
B2: Tìm điểm cực trị của hàm số h( x) = f ( x) + 4 f ( x) + m + 1 và sự tương giao của hàm số
y = h ( x)

với trục hoành

2
B3: Xét sự tương giao của đồ thị hàm số t( x) = f ( x) + 4 f ( x) và đường thẳng y = −m − 1
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
y = f ( x)
 Ta có bảng biến thiên của hàm số

2
 Xét hàm số h( x) = f ( x) + 4 f ( x) + m + 1
Ta có h'( x) = 2 f ( x) f'(x) + 4 f '( x)

 f '( x ) = 0
 x = a; x = b
h'( x) = 2 f ( x) f'(x) + 4 f '( x) = 0 ⇔ 
⇔
 f ( x ) = −2
x = c < a
Khi đó:
h x

Vậy h'( x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt, suy ra ( ) có 3 điểm cực trị.
2
 Xét h( x) = 0 ⇔ f ( x) + 4 f ( x) = −1 − m (∗).
g( x) = f 2 ( x) + 4 f ( x) + m − 1
 Để
có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi PT (∗) có 2 nghiệm đơn
hoặc nghiệm bội lẻ phân biệt.
2
 Xét hàm số t( x) = f ( x) + 4 f ( x) .

Trang 20

TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA


NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN

ĐỀ THI THỬ:2019-2020

 f '( x) = 0
 x = a; x = b
t'( x) = 2 f ( x) f'(x) + 4 f '( x) = 0 ⇔ 
⇔
 f ( x) = −2
x = c < a
Ta có
Ta có t(c) = −4; t (b) = 5
 Ta có bảng biến thiên của t(x):

Từ YCBT ⇔ t( x) = − m − 1 có hai nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ phân biệt

 − m − 1 > t ( a) > 5
 m < −6


⇔  − 4 < − m − 1 ≤ 5 ⇔  −6 ≤ m < 3

⇔ m ∈ [ −5;5] ; m ∈ ¢ ⇔ m ∈ { −5, −4, −3, −2, −1, 0,1, 2} . Vậy có 9 giá trị nguyên của m thỏa
mãn yêu cầu bài toán.
Câu 25. Cho f ( x) là hàm đa thức bậc 6 sao cho đồ thị hàm số y = f ′( x ) như hình vẽ

Tìm số điểm cực trị của hàm số
A. 2 .
B. 5 .

(

y = g ( x) = f x 2 + 4 x + 5

).

C. 3 .
D. 1 .
Phân tích Lời giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn tìm cực trị của hàm hợp khi biết đồ thị của hàm số
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
3. HƯỚNG GIẢI:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm

g = f ( u ( x) )

D = ( a1 ; a2 ) ∪ ( a3 ; a4 ) ∪ ... ∪ ( an −1; an )

Bước 2: Xét sự biến thiên của
đơn giản).

u = u ( x)

, giả sử ta được tập xác định

. Ở đây có thể là a1 ≡ −∞; an

≡ +∞

.

và hàm y = f ( x) (B2 có thể làm gộp trong B3 nếu nó

 x; u = u ( x ) 
[ u; g = f (u )] .
Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa 
và
Bảng này thường có 3 dịng giả sử như sau

TÀI LIỆU ƠN THi THPT QUỐC GIA

Trang 21


ĐỀ THI THỬ:2019-2020

NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN THPT

Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
Cách 1: PP tự luận truyền thống

f ′( x)
 Đầu tiên ta nhận xét tại x = 3 và x = 4 đồ thị
tiếp xúc trục Ox nên ta có
x = 2
f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 3
 x = 4
trong đó x = 3 , x = 4 là nghiệm kép.
 Ta có

y = g ( x) = f ( x 2 + 4 x + 5 )

, nên

 x = −2
g′ ( x ) = ( 2x + 4) f ′ x2 + 4x + 5 = 0 ⇔ 
2
 f ′ x + 4 x + 5 = 0 .
t = 2
f ′ ( t ) = 0 ⇔ t = 3
t = 4
 Xét phương trình
,ta loại hai nghiệm t = 3 và t = 4 do nghiệm kép
không là điểm cực trị.

2
 Từ t = 2 ; x + 4 x + 5 = 2 ⇔ x = −1 ∨ x = −3 .

(

)

(

)

g ( x)
 Tóm lại hàm số
có ba điểm cực trị là x = −1; x = −2; x = −3 .
Cách 2: (PP ghép trục)
BBT cùa hàm số

y = f ( x)

2
Đặt u = x + 4 x + 5


 u′ = 2 x + 4
u ′ = 0 ⇔ x = −2 ⇒ u = 1
 BBT của u

Trang 22

TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA

NHĨM WORD  BIÊN SOẠN TỐN



BBT của hàm số

 Vậy hàm số

ĐỀ THI THỬ:2019-2020

y = g ( x) = f ( x 2 + 4 x + 5) = f ( u )

y = g ( x) = f ( x 2 + 4 x + 5)

TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA

có ba điểm cực trị.

Trang 23