ĐỀ 21-TỔNG ÔN TẬP GIAI ĐOẠN I

ĐỀ SỐ 21
ĐỀ RÈN LUYỆN MƠN TỐN 12

HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA

Trắc nghiệm: 50 câu
Thời gian: 90 phút

Câu 1.

Câu 2.

Nội dung:
Giải tích: Đến phương trình mũ-logarit.
Hình học: Đến hết chương 2.

1
Cho hàm số y = x3 − 4 x 2 − 8 x − 8 có hai điểm cực trị là x1 , x2 . Tính tổng x1 + x2 ?
3
A. x1 + x2 = −12 .
B. x1 + x2 = 8 .
C. x1 + x2 = −8 .
D. x1 + x2 = −4 .

Hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là
đúng?

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

A. Hàm số đã cho khơng có giá trị cực đại
B. Hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị.
C. Hàm số đã cho khơng có giá trị cực tiểu.
D. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị
Gọi R, S , V lần lượt là bán kính, diện tích và thể tích của khối cầu. Công thức nào sau đây sai?
4
A. V =  R 3 .
B. S =  R2 .
3
C. 3V = S.R.
D. S = 4 R2 .
Cho hàm đa thức bậc bốn y = f ( x) có đờ thị như hành vẽ bên dưới. Số
nghiệm phương trình 3 f ( x) = 2 là
A. 4 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 1 .
Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số
y = (m + 2) x3 + 3x2 + mx − 6 có 2 cực trị ?
A. m  (−3;1) \ −2 .
B. m (−3;1) .
D. m   −3;1 .

C. m (−; −3)  (1; +) .
Câu 6.

Tập xác định của hàm số y = ( x + 2 )
A. ( −2; + ) .

Câu 7.

B.

−2

là
C.  −2; + ) .

.

D.

\ −2 .

Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng ( −; +  ) .
x

 3+ 2
A. y = 
 . B. y =
4



(

)

x

3− 2 .

x

2
C. y =   .
e

x

 3+ 2
D. y = 
 .
3


HOÀNG XUÂN NHÀN 221


Câu 8.

Tìm tất cả giá trị của m để hàm số y = mx4 + (m2 − 4m + 3) x2 + 2m −1 có ba điểm cực trị.
A. m  (1;3) .
B. m  ( 0;1)  ( 3; + ) .
C. m  ( −; 0 ) .

Câu 9.

Câu 10.

D. m  ( −;0 )  (1;3) .

Một hình trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình vng. Khi đó diện tích
tồn phần của hình trụ đó là
A. 6 r 2
B. 2 r 2 .
C. 8 r 2 .
D. 4 r 2 .
Tính diện tích xung quanh của một hình trụ có chiều cao 20 m , chu vi đáy bằng 5 m .
B. 50 m2 .

A. 50 m2 .

C. 100 m2 .

D. 100 m2 .

Câu 11.

Cho hàm số y = mx4 + (m −1) x2 + m . Gọi T là tập hợp tất cả giá trị thực của m làm cho hàm số
có đúng một cực trị. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. T = (−;0]  [1; +) .
B. T = (−;1] .
C. T = (0; +)
D. T = [0;1].

Câu 12.

Để hàm số y =
A. (0; 2) .

Câu 13.

Câu 14.

x 2 + mx + 1
đạt cực đại tại x = 2 thì tham số m thuộc khoảng nào sau đây ?
x+m
B. (−4; −2) .
C. (−2;0) .
D. (2; 4) .

Tập xác định của y = ln ( − x 2 + 5 x − 6 ) là
A. ( −; 2 )  ( 3; +  ) .

B. ( 2; 3) .

C. ( −; 2  3; +  ) .

D.  2; 3 .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a 3 . Thể
tích của khối chóp S.ABCD là:
a3
A. a3 3
B.
4

Câu 15.
Câu 16.

Câu 17.

Câu 18.

C.

a3 3
3

Hàm số y = 2 x − x2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −;1) .
B. (1; 2 ) .
C. (1; + ) .

D.

a3 3
2

D. ( 0;1) .

Khối trụ trịn xoay có đường kính đáy là 2a , chiều cao là h = 2a có thể tích là:
A. V =  a3 .
B. V = 2 a 2 h .
C. V = 2 a2 .
D. V = 2 a3 .
3

Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = x 3 + trên ( 0; + ) .
x
4
A. m = 4 3 .
B. m = 2 3 .
C. m = 4
D. m = 2
Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên
và đồ thị hàm số
y = f  ( x ) trên

như hình vẽ. Mệnh đề nào đúng?

A. Hàm số y = f ( x ) có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.
B. Hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.
C. Hàm số y = f ( x ) có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.
D. Hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.
Câu 19.

Cho phương trình 4log25 x + log x 5 = 3 . Tích các nghiệm của
phương trình là bao nhiêu?
HỒNG XUÂN NHÀN 222


A. 5 5 .

C. 2 2 .

B. 3 3 .

D. 8 .

Câu 20.

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a , AD = a 2 . Biết SA ⊥ ( ABCD )

Câu 21.

và góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng đáy bằng 45°. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng:
a3 6
A. a3 2
B. 3a3
C. a3 6
D.
3
Cho log2 5 = a ; log5 3 = b . Tính log 24 15 theo a và b .

a (1 + b )
a (1 + 2b )
b (1 + 2a )
a
.
B.
.
C.
.
D.
.
ab + 1
ab + 3

ab + 1
ab + 3
Gọi A và B là các điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x4 − 2 x2 − 1. Tính diện tích S của tam
giác OAB ( O là gốc tọa độ)
A. S = 2 .
B. S = 4 .
C. S = 1 .
D. S = 3 .
Biết hai điểm M (0;2), N (2; −2) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d .
Tính giá trị của hàm số tại x = −2.
A. y(−2) = 2 .
B. y(−2) = 22 .
C. y(−2) = 6 .
D. y(−2) = −18 .
1
Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 + (m + 3) x 2 + 4(m + 3) x + m3 − m đạt
3
cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn −1  x1  x2 .
A.

Câu 22.

Câu 23.

Câu 24.

 7

A. m   − ; −3 .
 2



Câu 26.

 7

 7 
C. m   − ; −3  .
D. m   − ;0  .
 2

 2 
2y
15
Cho x , y là hai số thực dương, x  1 thỏa mãn log x y =
, log 3 5 x = . Tính giá trị của
5
y
2
2
P= y +x .
A. P = 17 .
B. P = 50 .
C. P = 51.
D. P = 40 .
4
2
Giá trị m để đờ thị hàm y = x + 2mx −1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích

Câu 27.

bằng 4 2 là:
A. m = 2 .
B. m = −4 .
C. m = −2 .
Phương trình: log 3 ( 3 x − 2 ) = 3 có nghiệm là

Câu 25.

 7 
B. m   − ;0  .
 2 

D. m = 1.

29
11
25
.
B. x = .
C. x =
.
D. 87 .
3
3
3
Tìm tập nghiệm S của phương trình log 3 ( 2 x + 1) − log 3 ( x − 1) = 1 .
A. x =

Câu 28.

B. S = 3 .

A. S = 4 .
Câu 29.

Câu 30.

C. S = −2 .

D. S = 1 .

Kí hiệu M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 9 − x2 . Tính giá trị
của biểu thức S = 2M 2 + m3.
A. S = 9 .
B. S = 63 .
C. S = −9 .
D. S = 18 + 54 2 .
Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vng có cạnh huyền bằng a 2 . Tính diện tích
xung quanh S xq của hình nón đó.
A. S xq =

 a2 3
3

.

B. S xq =

 a2 2

2

.

C. S xq =

 a2 2
6

.

D. S xq =

 a2 2
3

.

HOÀNG XUÂN NHÀN 223


Câu 31.

Câu 32.

Câu 33.

Câu 34.

  

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin3 x − cos 2x + sin x + 2 trên khoảng  − ;  .
 2 2
23
1
A. 5
B.
C. 1
D.
27
27
x
x−1
x
Cho phương trình 25 − 20.5 + 3 = 0 . Khi đặt t = 5 , ta được phương trình nào sau đây?
A. t 2 − 3 = 0 .
B. t 2 − 4t + 3 = 0 .
1
C. t 2 − 20t + 3 = 0 .
D. t − 20 + 3 = 0 .
t
Nếu cạnh của hình lập phương tăng lên gấp 2 lần thì thể tích của hình lập phương đó sẽ tăng lên
bao nhiêu lần?
A. 9 .
B. 8 .
C. 6 .
D. 4 .
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , đáy là tam giác đều cạnh a. Biết SB = a 5 , khoảng cách

từ trung điểm của SA đến mặt phẳng ( SBC ) là:
A.

Câu 35.

Câu 36.

Câu 37.

Câu 38.

Câu 39.

Câu 40.

2a 57
19

B.

a 3
4

C.

a 57
19

D.

a 57
19

Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I , góc IOM = 45 và cạnh IM = a . Khi quay
tam giác OIM quanh cạnh góc vng OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón trịn
xoay. Khi đó, diện tích xung quanh của hình nón trịn xoay đó bằng
 a2 2
A.  a2 3 .
B.  a 2 .
C.  a 2 2 .
D.
.
2
Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 4.9x −13.6x + 9.4x = 0 .
13
1
A. T = 2 .
B. T = 3 .
C. T = .
D. T = .
4
4
x
x
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 9 − 8.3 + 3 = m có đúng hai nghiệm
thuộc khoảng ( log 3 2;log 3 8 ) .
A. −13  m  −9 .
B. −9  m  3 .
C. 3  m  9 .
D. −13  m  3 .
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều. Mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng vng góc
với mặt phẳng đáy và tam giác SAB vuông tại S, SA = a 3, SB = a . Tính thể tích hình chóp
S.ABC.

a3
a3
a3
a3
A.
B.
C.
D.
4
3
6
2
3
2
Gọi S là tập hợp tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = − x + mx − (m2 + m + 1) x đạt giá trị
nhỏ nhất trên [ − 1;1] bằng −6. Tính tổng bình phương các phần tử của S.
A. 5.
B. 1.
C. 8.
D. 13
3R
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng
. Mặt phẳng ( ) song song với trục
2
R
của hình trụ và cách trục một khoảng bằng . Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt
2
phẳng ( ) .
A.

2R2 3
.
3

B.

3R 2 3
.
2

C.

3R 2 2
.
2

D.

2R2 2
.
3

HOÀNG XUÂN NHÀN 224


Câu 41.

Phương trình ( 4 x )

log8 x

+ x log8 ( 4 x ) = 4 có tập nghiệm là:

1 
1 1
 1
B.  ;8  .
C.  ;  .
D. 2;  .
2 
2 8
 8
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng. Cạnh SA = a và vng góc với mặt phẳng
đáy. Góc giữa mặt phẳng ( SCD ) và mặt phẳng đáy bằng 45°. Gọi O là giao điểm của AC và BD.

A. 2;8 .

Câu 42.

Tính khoảng cách d từ điểm O đến mặt phẳng ( SBC ) .
a 2
a 2
a
3a
B. d =
C. d =
D. d =
2
4
2

2
Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số
1
y = x3 − ( m + 1) x 2 + ( m2 + 2m ) x − 3 nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .
3
A. S =  −1; 0  .
B. S =  .
C. S = −1 .
D. S =  0;1 .
Cho hình trụ đứng có hai đáy là hai đường trịn tâm O và tâm O , bán
kính bằng a , chiều cao hình trụ bằng 2a . Mặt phẳng đi qua trung
điểm OO và tạo với OO một góc 30 , cắt đường trịn đáy tâm O
theo dây cung AB . Độ dài đoạn AB là:
2a
A. a .
B.
.
3
4 3
2 6
a.
a.
C.
D.
9
3
Khối cầu nội tiếp hình tứ diện đều có cạnh bằng a thì thể tích khối cầu
là:
a 3 6
a 3 3

A.
.
B.
.
144
216
a 3 3
a 3 6
C.
.
D.
.
96
124
Cho hàm số y = f ( x ) biết hàm số f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) và hàm số y = f  ( x ) có đờ thị như

A. d =
Câu 43.

Câu 44.

Câu 45.

Câu 46.

hình vẽ . Đặt g ( x ) = f ( x + 1) . Kết luận nào sau đây đúng?
A. Hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 3; 4 ) .
B. Hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 0;1) .
C. Hàm số g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 2; +  ) .
D. Hàm số g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 4;6 ) .

HOÀNG XUÂN NHÀN 225


Câu 47.

Câu 48.

Có 4 viên bi hình cầu có bán kính bằng 1 cm. Người ta đặt 3 viên
bi tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt bàn. Sau đó dán chặt 3
viên bi đó lại và đặt 1 viên bi thứ 4 tiếp xúc với cả 3 viên bi trên
như hình vẽ dưới đây. Gọi O là điểm thuộc bề mặt của viên bi thứ
tư có khoảng cách đến mặt bàn là lớn nhất. Khoảng cách từ O đến
mặt bàn bằng
6+2 6
7
A.
.
B. .
3
2
3+ 2 6
4 6
C.
.
D.
.
3
3
2

Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn đẳng thức ( xy − 1) 22 xy −1 = ( x2 + y ) 2x + y . Tìm giá
trị nhỏ nhất ymin của y .
A. ymin = 3 .

Câu 49.

B. ymin = 3 .

C. ymin = 1.

Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f  ( x ) như hình vẽ.

D. ymin = 2 .

Cho bất phương trình 3 f ( x )  x3 − 3 x + m ( m là tham số thực).
Điều kiện cần và đủ để bất phương trình 3 f ( x )  x3 − 3 x + m
đúng với mọi x   − 3; 3  là
A. m  3 f (1) .
C. m  3 f ( 0 ) .
Câu 50.

( )
D. m  3 f ( 3 ) .

B. m  3 f − 3 .

Cho cấp số cộng ( an ) , cấp số nhân ( bn ) , thỏa mãn a2  a1  0 , b2  b1  1 và hàm số

f ( x) = x3 − 3x sao cho f (a2 ) + 2 = f (a1 ) và f ( log 2 b2 ) + 2 = f ( log 2 b1 ) . Tìm số nguyên dương

n nhỏ nhất sao cho bn  an − ( n − 2022 ) .
A. 17.
B. 12.

C. 15.

D. 13.

____________________HẾT____________________

HOÀNG XUÂN NHÀN 226


ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 21
1
B
11
A
21
A
31
B
41
D

2
D
12
B
22

A
32
B
42
C

3
B
13
B
23
D
33
B
43
C

4
A
14
C
24
C
34
C
44
D

5
A

15
B
25
B
35
C
45
A

6
D
16
D
26
C
36
A
46
B

7
D
17
C
27
A
37
A
47
A

8
D
18
A
28
A
38
D
48
D

9
A
19
A
29
A
39
C
49
D

10
D
20
D
30
B
40

B
50
B

Lời giải câu hỏi vận dụng cao đề số 21
Câu 44. Cho hình trụ đứng có hai đáy là hai đường tròn tâm O và tâm O , bán kính bằng a , chiều cao
hình trụ bằng 2a . Mặt phẳng đi qua trung điểm OO và tạo với OO một góc 30 , cắt đường
trịn đáy tâm O theo dây cung AB . Độ dài đoạn AB là:

A. a .

B.

2a
.
3

C.

4 3
a.
9

D.

2 6
a.
3

Hướng dẫn giải:

B

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của OO và AB .
Ta có: ( OO; ( ABM ) ) = ( OO; MN ) = OMN = 30 .
Tam

giác

OMN

vuông tại
a 3
 ON = a.tan 30 =
. Khi đó:
3

O

có

N

ON = OM .tan OMN

a 2 2 6a
Choïn
→D
AB = 2 NB = 2 OB − ON = 2 a −
=

. ⎯⎯⎯
3
3
Câu 45. Khối cầu nội tiếp hình tứ diện đều có cạnh bằng a thì thể tích khối cầu là:
2

2

O

A

M

O'

2

HỒNG XN NHÀN 227


A.

a 3 6
.
216

B.

a 3 3

.
144

a 3 3
.
96
Hướng dẫn giải:

C.

D.

a 3 6
.
124

Gọi I, r lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện đều ABCD cạnh a, khi đó :
1
1
1
1
VABCD = VI . ABC + VI . ACD + VI . ABD + VI . BCD = r.SABC + r.SACD + r.SABD + r.S BCD
3
3
3
3
3VABCD
1
.
VABCD = r ( SABC + SACD + SABD + SBCD )  r =

3
SABC + SACD + SABD + SBCD
a3 2
a2 3
= a2
; SABC + SACD + S ABD + S BCD = 4S ABC = 4.
4
12
3
a 2
3
a 6
Do vậy: r = 212 =
, suy ra thể tích khối cầu nội tiếp tứ diện là: V =
12
a 3

Ta có: VABCD =

3.

4 3 a 3 6
r =
.
3
216

Choïn
⎯⎯⎯
→A

Câu 46. Cho hàm số y = f ( x ) biết hàm số f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) và hàm số y = f  ( x ) có đờ thị như
hình vẽ . Đặt g ( x ) = f ( x + 1) . Kết luận nào sau đây đúng?

A. Hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 3; 4 ) .
B. Hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 0;1) .
C. Hàm số g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 2; +  ) .
D. Hàm số g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 4;6 ) .

Hướng dẫn giải:
x +1  5
x  4

Ta có: g  ( x ) = f  ( x + 1) . Xét g  ( x )  0  f  ( x + 1)  0  
.
1  x + 1  3 0  x  2
2  x  4
Suy ra : g  ( x )  0  
. Vậy hàm số g ( x ) đồng biến trên các khoảng ( 0; 2 ) , ( 4; +  ) và
x  0
Choïn
→B
nghịch biến trên khoảng ( −; 0 ) , ( 2; 4 ) . ⎯⎯⎯
Câu 47. Có 4 viên bi hình cầu có bán kính bằng 1 cm. Người ta đặt 3 viên bi tiếp xúc nhau và cùng tiếp
xúc với mặt bàn. Sau đó dán chặt 3 viên bi đó lại và đặt 1 viên bi thứ 4 tiếp xúc với cả 3 viên bi

HOÀNG XUÂN NHÀN 228


trên như hình vẽ dưới đây. Gọi O là điểm thuộc bề mặt của viên bi thứ tư có khoảng cách đến

mặt bàn là lớn nhất. Khoảng cách từ O đến mặt bàn bằng

A.

6+2 6
.
3

7
.
2

B.

3+ 2 6
.
3
Hướng dẫn giải:

C.

D.

4 6
.
3

Nhận xét: Tâm A , tâm B , tâm C , tâm L của bốn mặt cầu lập thành một tứ diện đều cạnh bằng
2 cm. Tức là, tứ diện LABC đều cạnh bằng 2 cm.
2 2 3 2 3

=
Xét tam giác đều ABC có: KC = .
; xét tam giác vng LKC , có
3 2
3
2

2 3
2 6
.
LK = LC − KC = 2 − 
 =
3
 3 
2

2

2

2 6
6+2 6
Choïn
→A
+1 =
. ⎯⎯⎯
3
3
2
Câu 48. Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn đẳng thức ( xy − 1) 22 xy −1 = ( x2 + y ) 2x + y . Tìm giá

Khoảng cách từ O đến mặt bàn: d = OL + LK + KH = 1 +

trị nhỏ nhất ymin của y .
A. ymin = 3 .

B. ymin = 3 .
C. ymin = 1.
Hướng dẫn giải:

D. ymin = 2 .

HOÀNG XUÂN NHÀN 229


( xy − 1) 22 xy −1 = ( x 2 + y ) 2 x + y

 xy − 1  0  xy  1 .
Nhận xét: 
2
x2 + y
 0, y  0
( x + y ) 2
2
2
Ta có ( xy − 1) 22 xy −1 = ( x2 + y ) 2x + y  ( 2 xy − 2 ) 22 xy −1 = ( x2 + y ) 2x + y +1
2

 f ( 2 xy − 1) = f ( x 2 + y + 1) với f ( t ) = ( t − 1) 2t , t  0 là hàm số đặc trưng.
Ta có: f  ( t ) = 2t ( t ln 2 − ln 2 + 1)  0, t  0

( do 1 − ln 2  0 ) .

Suy ra: f ( t ) là đờng biến trên

( 0; + ) . Vì vậy: f ( 2 xy − 1) = f ( x 2 + y + 1)  2 xy − 1 = x 2 + y + 1  ( 2 x − 1) y = x 2 + 2 .

1
x2 + 2
. Do đó: y =
.
2
2x −1
2 ( x2 − x − 2)
1
x2 + 2
1

Xét hàm số y =
, x  . Ta có: y =
= 0  x = 2  do x   .
2
2
2x −1
2

( 2 x − 1)
Vì y  0 và x2 + 2  0 nên 2 x − 1  0  x 

Bảng biến thiên:

Choïn
→D
Suy ra giá trị nhỏ nhất của y là ymin = 2 . ⎯⎯⎯
Câu 49. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f  ( x ) như hình vẽ. Cho bất phương trình

3 f ( x )  x3 − 3 x + m ( m là tham số thực). Điều kiện cần và đủ để bất phương trình
3 f ( x )  x3 − 3 x + m đúng với mọi x   − 3; 3  là



A. m  3 f (1) .

(

)

B. m  3 f − 3 .

C. m  3 f ( 0 ) .

D. m  3 f

( 3) .

HOÀNG XUÂN NHÀN 230


Hướng dẫn giải:
Ta có: 3 f ( x )  x3 − 3x + m  3 f ( x ) − x 3 + 3x  m

Đặt g ( x ) = 3 f ( x ) − x 3 + 3x .
Ta có: g  ( x ) = 3 f  ( x ) − 3x 2 + 3 = 0  f  ( x ) = x 2 − 1 .
Nghiệm của phương trình g  ( x ) = 0 là hoành độ giao điểm
của đồ thị hàm số y = f  ( x ) và parabol y = x2 −1 . (Xem
hình vẽ).
x = 0
Dựa vào đờ trên, ta có: f  ( x ) = x 2 − 1  
.
x
=

3


Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x   − 3; 3   m  min g ( x ) = g
 − 3; 3 



( 3) = 3 f ( 3) .

Choïn
⎯⎯⎯
→D

Câu 50. Cho cấp số cộng ( an ) , cấp số nhân ( bn ) , thỏa mãn a2  a1  0 , b2  b1  1 và hàm số

f ( x) = x3 − 3x sao cho f (a2 ) + 2 = f (a1 ) và f ( log 2 b2 ) + 2 = f ( log 2 b1 ) . Tìm số nguyên dương

n nhỏ nhất sao cho bn  an − ( n − 2022 ) .

A. 17.
B. 12.
C. 15.
Hướng dẫn giải:

D. 13.

Định hướng: Ta cần tìm cơng thức tổng quát của các dãy số ( an ) và ( bn ) dựa vào những dữ
kiện đã cho trước khi tìm n thơng qua bn  an − ( n − 2022 ) .

d = a2 − a1  0
Ta có: a2  a1  0  
với d là công sai cập số cộng.
a2 = a1 + d
Khi đó: f (a2 ) + 2 = f (a1 )  f (a1 + d ) + 2 = f (a1 )  ( a1 + d ) − 3(a1 + d ) + 2 = a13 − 3a1
3

a1 = 0


a = 0
.
 3 a1 d  a1 + d  + (d − 1)2 (d + 2) = 0  
 1
2


d
=
1

d
−
1
=
0
(
)
+
+


0
 + 

0
Do vậy: an = a1 + (n − 1)d = n − 1 .
b2

q =  1
b1
Ta lại có: b2  b1  1  
. Suy ra: log 2 (b2 ) = log 2 ( b1q ) = log 2 b1 + log 2 q .
b = b q
 2 1
Đặt t2 = log2 b2  0, t1 = log2 b1  0, m = log2 q  0  t2 = t1 + m .
HOÀNG XUÂN NHÀN 231


Khi đó: f (t2 ) + 2 = f (t1 )  t23 − 3t2 + 2 = t13 − 3t1  ( t1 + m ) − 3 ( t1 + m ) + 2 = t13 − 3t1
3

log b = 0
t = 0
b = 1
 2 1
 1
 3 m . t1 .(t1 + m) + (m − 1) 2 (m + 2) = 0   1
.
log
q
=
1
m
=
1
q
=
2
+ 0
+



2
+
0
Do vậy: bn = b1.q n −1 = 2n −1 .
Ta có: bn  an − ( n − 2022 )  2n −1  n − 1 − n + 2022  2n −1  2021  n − 1  log 2 2021  10,98 .
Choïn
→B

Suy ra n  11,98 . Vì n nguyên dương và nhỏ nhất nên n = 12 . ⎯⎯⎯

HOÀNG XUÂN NHÀN 232