bai-giang-trong-tam-toan-12 đề bài

 

HDEDUCATION


                                             MỤC LỤC 
NỘI DUNG

Trang 

PHẦN 1: GIẢI TÍCH

 

CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 

BÀI 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

1 

Dạng 1: Cho hàm số y  f  x  . Tìm các khoảng đồng biến và nghịc biến của hàm số

4 

Dạng 2: Dựa vào bảng biến thiên, tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm s

6 

Dạng 3: Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  hoặc y  f   x  . Tìm các khoảng đồng biến,

7 

nghịch biến của hàm số
Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên tập xác định

9 

Dạng 5: Tìm tham số m để hàm số đông biến và nghịch biến trên tập con của 

 

BÀI 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Cho hàm số y  f  x  . Tìm các điểm cực đại, cực tiểu, giá trị cực đại giá trị cực

12 
13 

tiểu
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị

14 

Dạng 3: Dựa vào bảng xét dấu của f   x  , bảng biến thiên của đồ thị hàm số f  x  . Tìm các

15 

điểm cực trị của hàm số
Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số có cực trị

20 

Dạng 5: Cho hàm số f   x  hoặc đồ thị hàm số f   x  . Tìm các điểm cực trị của hàm số

22 

BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

25 

Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên  a, b

25 

Dạng 2: Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số y  f  x  . Tìm GTLN, GTNN

30 

Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN trên khoảng hoặc nửa khoảng

35 

BÀI 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

39 


Dạng 1: Dựa vào định nghĩa tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

40 

Dạng 2: Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số tìm các đường tiệm cân

42 

Dạng 3: Cho hàm số y  f  x  . Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

46 

Dạng 4: Bài tốn tìm tham số m liên quan đến đường tiệm cận

50 

BÀI 5. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

53 

Dạng 1 : Cho đồ thị hàm số. Tìm hàm số

54 

Dạng 2: Cho bảng biến thiên. Yeu cầu tìm hàm số

61 

Dạng 3: Cho bảng biến thiên, đồ thị hàm số . Tìm các tham số thuộc hàm số y  f  x 

64 

BÀI 6. TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ VÀ TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ

68 

Dạng 1: Tương giao của hai đồ thị

68 

Dạng 2: Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên biện luận số nghiệm của phương trình

71 

Dạng 3: Dựa vào bảng biến thiên. Biện luận số nghiệm của phương trình

72 

Dạng 4: Phương trình tiếp tuyến tại điểm

76 

Dạng 5 : Tiếp tuyến có hệ số góc

77 

Dạng 6 : Phương trình tiếp tuyến đi qua

81 

CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

83 

BÀI 1. LŨY THỪA

83 

Dạng 1: Tính, rút gọn và biến đổi biểu thức

84 

Dạng 2: So sánh đẳng thức và bất đẳng thức đơn giản

87 

BÀI 2. HÀM SỐ LŨY THỪA 

91 

Dạng 1. Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số

93 

Dạng 2: Tính đạo hàm

96 

Dạng 3. Sự biến thiên và nhận dạng đồ thị hàm số

98 

BÀI 3. LOGARIT 

105 


Dạng 1. Tính tốn về logarit

107 

Dạng 2. So sánh hai số logarit

111 

Dạng 3 : Đẳng thức logarit

114 

BÀI 4. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT 

120 

Dạng 1. Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số

121 

Dạng 2. Tính đạo hàm và giới hạn

123 

Dạng 3. So sánh, Đẳng thức, bất đẳng thức

125 

Dạng 4. GTLN và Gtnn của hàm số

129 

Dạng 5. Nhận dạng đồ thị

132 

BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 

139 

Dạng 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số

139 

Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ

142 

Dạng 3. Phương pháp logarit hóa, mũ hóa

146 

Dạng 4: Sử Dụng Tính Đơn Điệu Hàm Số

148 

BÀI 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT 

148 

Dạng 1: Đưa về cùng cơ số

149 

Dạng 2: Phương pháp mũ hóa và logarit hóa

153 

Dạng 3: Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ

158 

CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

163 

BÀI 1. NGUYÊN HÀM
Dạng 1: Nguyên Hàm Đa Thức
Dạng 2: Nguyên Hàm Phân Thức
Dạng 3: Nguyên Hàm Căn Thức
Dạng 4: Nguyên Hàm hàm số lượng giác
Dạng 5: Nguyên Hàm Hàm Mũ, Loga

163 
164 
168 

172 
176 
178 


Dạng 6: Ngun Hàm Từng Phần

179 

BÀI 2.TÍCH PHÂN
Dạng 1: Tích Phân Hữu Tỉ

183 
186 

Dạng 2. Tích phân vơ tỉ

190 

Dạng 3: Tích Phân Lượng Giác

195 

Dạng 4: Tích Phân Từng Phần

197 

Dạng 5: Tích Phân Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
Dạng 6: Tích Phân Hàm Hợp Hàm Ẩn
BÀI 3. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC TÍCH PHÂN

Dạng 1: Tính Diện Tích Giới Hạn Bởi 1 Đồ Thị
Dạng 2: Tính Diện Tích Giới Hạn Bởi 2 Hai Đồ Thị
Dạng 3: Tính Thể Tích Vật Thể Trịn Xoay Dựa Vào Định Nghĩa
Dạng 4: Tính Thể Tích Vật Thể Trịn Xoay Khi Quay Hình Phẳng Giới Hạn Bởi 1 Đồ Thị
Dạng 5: Ứng Dụng Tích Phân Trong Vật Lý

203 
205 
208 
 
 
 
 
 

CHƯƠNG 4. SỐ PHỨC

242 

BÀI 1. SỐ PHỨC

242 

BÀI 2. CỘNG, TRÙ, NHÂN SỐ PHỨC

242 

BÀI 3. PHÉP CHIA SỐ PHỨC

242 

Dạng 1. Phần Thực – Phần Ảo & Các Phép Tốn
Dạng 2: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện
Dạng 3. Biểu diễn số phức
Dạng 4. Tập hợp
BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Dạng 1 : Phương trình bậc hai hệ số thực
Dạng 2 : Phương trình quy về phương trình bậc hai

243 
247 
248 
254 
262 
262 
263 


 

PHẦN 2: HÌNH HỌC
CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN

267 

BÀI 1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN

280 

BÀI 2. KHÁI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

287 

BÀI 3. KHÁI NIỆM VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

288 

Dạng 1. Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy

294 

Dạng 2 : Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy

296 

Dạng 3: Khối chóp đều

299 

Dạng 4: Khối chóp có hình chiếu lên mặt phẳng đáy
Dạng 5: Một số dạng khác

300 
300 

Dạng 6. Thể tích lăng trụ đứng, lăng trụ đều

301 

Dạng 7. Thể tích lăng trụ xiên

305 

CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ KHỐI TRỤ

 

BÀI 1. MẶT NÓN – HÌNH NĨN – KHỐI NĨN

308 

BÀI 2. MẶT TRỤ_HÌNH TRỤ_ KHỐI TRỤ

315 

BÀI 3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU

321 

CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

 

BÀI 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

328 

BÀI 2. MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

344 

BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

356 

 


BÀI 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng.
1) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng K
 Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng K thì f ' ( x ) ³ 0, "x Ỵ K.
 Nếu hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng K thì f ' ( x ) £ 0, "x Ỵ K.
2) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng K
 Nếu f ¢ ( x ) > 0 với mọi

x

thuộc K thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K .

 Nếu f ¢ ( x ) < 0 với mọi

x

thuộc K thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên K .

 Nếu f ' ( x ) = 0 với mọi

x

thuộc K thì hàm số f ( x ) không đổi trên K (hàm số y = f ( x ) còn gọi

là hàm hằng trên K ).
3) Định lý mở rộng
Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên K . Nếu f ' ( x ) ³ 0 ( f ' ( x ) £ 0 ), "x Î K và f ' ( x ) = 0 chỉ tại một
số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K .
Chú ý: f ¢ ( x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm. Tuy nhiên một số hàm số có f ' ( x ) = 0 tại vô hạn
điểm nhưng các điểm rời rạc thì hàm số vẫn đơn điệu.
Ví dụ: Hàm số y = 2 x - sin 2 x .
Ta có y ' = 2 - 2 cos 2 x = 2 (1 - cos 2 x ) ³ 0, "x ẻ .
y  = 0 1 - cos 2 x = 0  x = k p (k Ỵ  )

có vơ hạn điểm làm cho y ' = 0 nhưng các điểm đó rời rạc nên

hàm số y = 2 x - sin 2 x đồng biến trên .
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng1:Chohàmsố y  f  x  . Tìmcáckhoảngđồngbiếnvànghịcbiếncủahàmsố
1. Phương pháp:
2. Các ví dụ
Câu 1:

Cho hàm số y =

2 x -1
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x -1

A. Hàm số đã cho đồng biến trên  .
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên  .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định.
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định
Lời giải
Chọn D
Tập xác định: D =  \ {1} . Đạo hàm: y / =

-1
2

( x -1)

< 0, "x ¹ 1.

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (-¥;1) và (1;+¥) .

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133

1


Câu 2:

Cho hàm số y =

x3
- x 2 + x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
3

A. Hàm số đã cho đồng biến trên  .
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên (-¥;1) .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên (1;+¥) và nghịch biến trên (-¥;1) .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên (-¥;1) và nghịch biến (1;+¥) .
Lời giải
Chọn A
Đạo hàm: y / = x 2 - 2 x + 1 = ( x - 1)2 ³ 0, "x Ỵ  và y / = 0  x = 1 .
Suy ra hàm số đã cho luôn đồng biến trên  .
Câu 3:

Hàm số y = x 3 - 3 x 2 - 9 x + m nghịch biến trên khoảng nào được cho dưới đây?
A. (-1;3)

B. (-¥;-3) hoặc (1;+¥) .

C. 

D. (-¥;-1) hoặc (3;+¥ ) .
Lời giải

Chọn A
Ta có: y / = 3 x 2 - 6 x - 9.
Ta có y / £ 0  3 x 2 - 6 x - 9 £ 0  -1 £ x £ 3 .
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-1;3) .
Câu 4:

Hàm số y = 2 x 4 + 1 đồng biến trờn khong no?
ổ
1ử

A. ỗỗỗ-Ơ;- ữữữ
ố

2ứ

ổ 1
ử
C. ỗỗỗ- ; +Ơữữữ

B. (0;+Ơ)

ố 2

ø

D. (-¥;0 )

Lời giải
Chọn B
Ta có y ' = 8 x 3 > 0  x > 0 .
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;+¥) .
Câu 5:

Cho hàm số y = 2 x 4 - 4 x 2 . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng (-¥;-1) và (0;1) .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-¥;-1) và (1;+¥) .
C. Trên các khoảng (-¥;-1) và (0;1) , y ' < 0 nên hàm số đã cho nghịch biến.
D. Trên các khoảng (-1;0 ) và (1;+¥) , y ' > 0 nên hàm số đã cho đồng biến.
Lời giải
Chọn B

éx = 0

Ta có y ' = 8 x 3 - 8 x = 8 x ( x 2 -1); y ' = 0  êê

ë x = 1

.

Vẽ phác họa bảng biến thiên và kết luận được rằng hàm số
● Đồng biến trên các khoảng (-1;0 ) và (1;+¥) .
● Nghịch biến trên các khoảng (-¥;-1) và (0;1) .
Câu 7:

Cho hàm số y =

2 x -1
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x +2

A. Hàm số đã cho đồng biến trên .
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133

2


B. Hàm số đã cho đồng biến trên  \ {-2}.
C. Hàm số đã cho đồng biến trên (-¥;0 ).
D. Hàm số đã cho đồng biến trên (1; +¥).
Lời giải
Chọn D

Tập xác định: D =  \ {-2}. Đạo hàm y  =

5
2

( x + 2)

> 0, "x ạ -2.

Vy hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; -2 ) và (-2; +¥) .
Suy ra hàm số đồng biến trên (1; +¥). Chọn D
Bình luận: Hàm số đồng biến trên tất cả các khoảng con của các khoảng đồng biến của
hàm số. Cụ thể trong bài toán trên:
 Hàm số đồng biến trên (-2; +¥) ;
 (1; +¥) Ì (-2; +¥) .
Suy ra hàm số đồng biến trên (1; +¥ ).
Câu 8:

Cho hàm số y = 1 - x 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên [0;1] .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên toàn tập xác định.
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên [0;1] .
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên toàn tập xác định.
Lời giải
Chọn C
Tập xác định D = [-1;1] . Đạo hàm y ' =

-x
1- x 2

; y'=0  x =0.

Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên [0;1] .
Câu 9:

Cho hàm số y = x - 1 + 4 - x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên (1; 4 ).
æ 5ử
B. Hm s ó cho nghch bin trờn ỗỗỗ1; ữữữ.
ố 2ứ

ổ5 ử
C. Hm s ó cho nghch bin trờn ỗỗỗ ;4 ÷÷÷.
è2 ø

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên .
Lời giải
Chọn C
Tập xác định: D = [1; 4 ]. Đạo hàm y ' =

1

-

1

.

2 x -1 2 4 - x
ìï x Ỵ (1; 4 )

5
Xét phương trình y ' = 0  x -1 = 4 - x  ớù
ắắ
x = ẻ (1; 4 ) .
ùù x - 1 = 4 - x
2
ỵ
ỉ5 ư
Vẽ bảng biến thiên, suy ra c hm s nghch bin trờn khong ỗỗỗ ;4 ÷÷÷.
è2 ø

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133

3


Dạng2:Dựavàobảngbiếnthiên,tìmcáckhoảngđồngbiến,nghịchbiếncủahàm
số
1. Phương pháp:
2. Các ví dụ
Câu 1:

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau:

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?
I. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-¥; -5) và (-3; -2 ) .
II. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-¥;5) .
III.Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-2; +¥) .
IV.Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-¥; -2 ) .
A. 1

B. 2

C. 3
Lời giải

D. 4

Chọn A
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-¥; -2 ) ;
nghịch biến trên khoảng (-2; +¥) .
Suy ra II. Sai; III. Đúng; IV. Đúng.
Ta thấy khoảng (-¥; -3) chứa khoảng (-¥; -5) nên I Đúng.
Vậy chỉ có II sai.
Câu 2:

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là
đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-2; +¥) và (-¥; -2 ).
B. Hàm số đã cho đồng biến trên (-¥; -1) È (-1;2 ).
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;2 ).
D. Hàm số đã cho đồng biến trên (-2;2 ) .
Lời giải
Chọn C
Vì (0;2 ) Ì (-1;2 ) , mà hàm số đồng biến trên khoảng (-1;2 ) nên suy ra C đúng.

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133

4

Câu 3:

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là
đúng?

ỉ
1ư
A. Hàm số đã cho đồng biến trờn cỏc khong ỗỗỗ-Ơ;- ữữữ v (3; +Ơ ).
ố

2ứ

ổ 1
ử
B. Hm s ó cho ng bin trờn khong ỗỗỗ- ; +Ơữữữ.
ố 2

ứ

C. Hm s ó cho nghch bin trờn khong (3; +¥).
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-¥;3) .
Lời giải
Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hm s
ổ
ổ 1 ử
1ử
ng bin trờn cỏc khong ỗỗỗ-Ơ;- ữữữ v ỗỗỗ- ;3ữữữ .

ố
ố 2 ứ
2ứ
Nghch bin trờn khoảng (3;+¥ ) .

Câu 4:

Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục trên  \ {- 2} và có bảng biến thiên như hình dưới
đây

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (- 3; - 2 ) È (- 2; -1).
B. Hàm số đã cho có giá trị cực đại bằng -3.
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-¥; - 3) và (-1; + ¥ ).
D. Hàm số đã cho có điểm cực tiểu là 2.
Lời giải
Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên, ta có nhận xét sau
Hàm số nghịch biến trên khoảng (- 3; - 2 ) và (- 2; -1)  A sai (sai chỗ dấu È ).
Hàm số có giá trị cực đại yC Đ = - 2  B sai.
Hàm số đồng biến khoảng (-¥; - 3) và (-1; +¥)  C đúng.
Hàm số có điểm cực tiểu là -1  D sai.

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133

5


Dạng3:Dựavàođồthịhàmsố y = f ( x ) hoặc y = f '( x ) .Tìmcáckhoảngđồngbiến,
nghịchbiếncủahàmsố
Câu 1:

Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định
nào sau đây là sai?

A. Hàm số đồng biến trên (1; + ¥).
B. Hàm số đồng biến trên (-¥; -1) và (1; + ¥).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1).
D. Hàm số đồng biến trên (-¥; -1) È (1; +¥).
Lời giải
Giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị ta có kết quả: Hàm số đồng biến trên (-¥;-1) và (1;+¥) , nghịch biến
trên (-1;1) nên các khẳng định A, B, C đúng.
Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) thì khng nh D sai.
Vớ d: Ta ly -1,1 ẻ (-Ơ; -1), 1,1 ẻ (1; +Ơ) : -1,1 < 1,1 nhng f (-1,1) > f (1,1).
Câu 2:

Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây
là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên (-¥;0 ) và (0;+¥) .
B. Hàm số đồng biến trên (-1;0 ) È (1; +¥).
C. Hàm số đồng biến trên (-¥; -1) và (1; + ¥).
D. Hàm số đồng biến trên (-1;0 ) và (1; + ¥).
Lời giải
Chọn D
Từ dáng điệu của đồ thị ta nhận thấy trong khoảng (-1;0);(1; +¥) dáng điệu của hàm số là
đi lên nên hàm số đồng biến trên (-1;0 );(1; + ¥).
Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) thì khẳng định B sai.
Câu 3 :

Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) xác định, liên tục trên  và f ' ( x ) có đồ thị như
hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133

6


y

O 1
3

-1

x

-4

A. Hàm số đồng biến trên (1; +¥).
B. Hàm số đồng biến trên (-¥;-1) và (3; +¥).
C. Hàm số nghịch biến trên (-¥; -1).
D. Hàm số đồng biến trên (-¥; -1) È (3; +¥).
Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị của hàm số f ' ( x ) , ta có nhận xét:
 f ' ( x ) đổi dấu từ ''+ '' sang ''- '' khi qua điểm x = -1.
 f ' ( x ) đổi dấu từ ''- '' sang ''+ '' khi qua điểm x = 3.
Do đó ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy B đúng.

Dạng4:Tìmthamsốmđểhàmsốđồngbiếntrêntậpxácđịnh
1. Phương pháp:
2. Các ví dụ
Câu 1:

Tìm tất các các giá trị thực của tham số
tập xác định
A. m £ 1.

B. m ³ 3.

m

để hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + m đồng biến trên

C. -1 £ m £ 3.
Lời giải

D. m < 3.

Chọn B
TXĐ: D =  . Đạo hàm y ' = 3 x 2 + 6 x + m .
ì
ì
ïa > 0
ï3 > 0
ï

 m ³ 3.
í
ï
ïD ' £ 0 ï
ï9 - 3m £ 0
ỵ
ỵ

Ycbt  y ' ³ 0, "x Ỵ  ( y ' = 0 có hữu hạn nghiệm)  ïí

Chọn B
Cách giải trắc nghiệm. Quan sát ta nhận thấy các giá trị m cần thử là:
 m = 3 thuộc B & C nhưng không thuộc A,D.
 m = 2 thuộc C & D nhưng không thuộc A,B.
● Với m = 3  y = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 3  y ' = 3 x 2 + 6 x + 3 = 3 ( x + 1)2 ³ 0, "x Ỵ  .
Do đó ta loại A và D.
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133

7


● Với m = 2  y = x 3 + 3 x 2 + 2 x + 2  y ' = 3 x 2 + 6 x + 2 .
Phương trình y ' = 0  3 x 2 + 6 x + 2 = 0 có D > 0 nên m = 2 không thỏa nên loại C.
Câu 2:

1
3

Cho hàm số y = x 3 - mx 2 + (4 m - 3) x + 2017 . Tìm giá trị lớn nhất của tham số thực
hàm số đã cho đồng biến trên  .

A. m = 1 .
B. m = 2 .

C. m = 4 .
Lời giải

m

để

D. m = 3 .

Chọn D
Tập xác định D =  . Đạo hàm y ' = x 2 - 2mx + 4 m - 3 .
Để hàm số đồng biến trên   y ' ³ 0, "x Ỵ  ( y ' = 0 có hữu hạn nghiệm)
 D ' = m 2 - 4m + 3 £ 0  1 £ m £ 3 .

Suy ra giá trị lớn nhất của tham số
Câu 3:

m

thỏa mãn ycbt là m = 3.

Cho hàm số y = -x 3 - mx 2 + (4 m + 9 ) x + 5 với
của

m

m

là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên

để hàm số nghịch biến trên khoảng (-¥; +¥) ?

A. 4.

B. 6.

C. 7.
Lời giải

D. 5.

Chọn C
TXĐ: D =  . Đạo hàm y ' = -3 x 2 - 2mx + 4 m + 9.
Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-¥; +¥) thì  y ' £ 0, "x Î  ( y ' = 0 có hữu
m Î
hạn nghiệm)  D ' £ 0  m 2 + 3 (4 m + 9 ) £ 0  -9 £ m £ -3 ¾¾¾
 m = {-9; -8;...; -3}.

Sai lầm hay gặp là '' Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-¥; +¥) thì
 y ' < 0, "x Ỵ  '' . Khi đó ra giải ra -9 < m < -3 và Chọn D

Câu 4:

m 3
x - 2 x 2 + (m + 3) x + m . Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m để hàm số
3

Cho hàm số y =
đồng biến trên 
A. m = -4

B. m = 0

C. m = -2
Lời giải

D. m = 1

Chọn D
TXĐ: D =  . Đạo hàm: y ' = mx 2 - 4 x + m + 3 .
Yêu cầu bài toán  y ' ³ 0, "x Ỵ  ( y ' = 0 có hữu hạn nghiệm):
TH1. ● m = 0 thì y ' = -4 x + 3 ³ 0  x £
ìa = m > 0
ï
TH2. ● ïí
2

ï
ï
ỵD ' y ' = -m - 3m + 4 £ 0

Suy ra giá trị
Câu 5:

m

3

4

(không thỏa mãn).

 m ³ 1.

nhỏ nhất thỏa mãn bài toán là m = 1.

Cho hàm số y = (m + 2)

x3
- (m + 2 ) x 2 + (m - 8) x + m 2 -1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số
3

thực m để hàm số nghịch biến trên .
A. m < -2 .
B. m > -2 .

C. m £ -2 .
Lời giải

D. m ³ -2 .

Chọn C
Ta có y ' = (m + 2 ) x 2 - 2 (m + 2 ) x + m - 8 .
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133

8

Yêu cầu bài toán  y ' £ 0, "x Î  ( y ' = 0 có hữu hạn nghiệm):
TH1 ● m + 2 = 0  m = -2 , khi đó y ' = -10 £ 0, "x Ỵ  (thỏa mãn).
ìïa = m + 2 < 0
ìïm + 2 < 0
 ïí
 m < -2 .
TH2 ● íï
ïïD ' = (m + 2 )2 - (m + 2 )(m - 8) £ 0 ï
ỵï10 (m + 2 ) £ 0
ỵ

Hợp hai trường hợp ta được m £ -2.

Dạng5:Tìmthamsốmđểhàmsốđơngbiếnvànghịchbiếntrêntậpconcủa  .
1. Phương pháp:
2. Các ví dụ
Câu 1:

Cho hàm số y = x 3 - (m + 1) x 2 - (2 m 2 - 3m + 2 ) x + 2 m (2 m - 1) . Tìm tất cả các giá trị thực của
tham số

m

để hàm số đã cho đồng biến trên éë 2; +¥ ) là

A. m < 5

B. -2 £ m £

3

2

C. m > -2

D. m <

3
2

Lời giải
Chọn B
Ta có y / = 3 x 2 - 2 (m + 1) x - (2 m 2 - 3m + 2 ).
Xét phương trình y / = 0 có D/ = (m +1) + 3(2m 2 - 3m + 2) = 7 (m 2 - m +1) > 0, "m Ỵ .
2

Suy ra phương trình y / = 0 ln có hai nghiệm x1 < x 2 với mọi

m

.

Để hàm số đồng biến trên éë 2; +¥)  phương trình y / = 0 có hai nghiệm x1 < x 2 £ 2
ìï( x1 - 2 ) + ( x 2 - 2 ) < 0 ìï x1 + x 2 < 4
 ïí
 ïí
ïï( x1 - 2 )( x 2 - 2 ) ³ 0
ïï x1 x 2 - 2 ( x1 + x 2 ) + 4 ³ 0
ỵ
ỵ
ì 2 (m + 1)

ï
ï
<4
ìïm < 5
ï
ï
ï
3
3
ï
í
 ïí
3  -2 £ m £ .
2
ï
ï
2
2
m
£
£
+
2
m
3
m
2
(
) 2 (m + 1)
ï

ïï
ï
2
ỵ
- 2.
+4 ³0
ï
ï
3
3
ï
ỵ

Câu 2:

Tìm tất cả các giá trị của

m

để hàm số y = x 3 - 3 (m + 1) x 2 + 3m (m + 2 ) x nghịch biến trên

đoạn [0;1].
A. m £ 0.

B. -1 < m < 0.

C. -1 £ m £ 0.
Lời giải

D. m ³ -1.

Chọn C
Đạo hàm y ¢ = 3 x 2 - 6 (m + 1) x + 3m (m + 2 ) = 3. éëê x 2 - 2 (m + 1) x + m (m + 2 )ùûú .
Ta có D ' = (m + 1)2 - m (m + 2 ) = 1 > 0, "m Ỵ  .
Do đó y ¢ = 0 ln có hai nghiệm phân biệt x = m, x = m + 2.
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, để hàm số nghch bin trờn [0;1]ơắ [0;1] è [m ; m + 2 ]
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133

9


ïìm £ 0
 ïí
 -1 £ m £ 0.
ïïỵm + 2 ³ 1

Câu 3:

1
3

Biết rằng hàm số y = x 3 + 3 (m -1) x 2 + 9 x + 1 (với

m

là tham số thực) nghịch biến trên khoảng

( x1 ; x 2 ) và đồng biến trên các khoảng giao với ( x1 ; x 2 ) bằng rỗng. Tìm tất cả các giá trị của

m

để

x1 - x 2 = 6 3. ?

A. m = -1

B. m = 3

C. m = -3 , m = 1 .
Lời giải

D. m = -1 , m = 3

Chọn D
Ta có y / = x 2 + 6 (m -1) x + 9 .
Yêu cầu bài toán  y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 thỏa mãn x1 - x 2 = 6 3
ìïD/ > 0
ìï /
ïïï
ïíD > 0
/
í

 D/ = 27
ïï x1 - x 2 = 2 D = 6 3 ïï D/ = 3 3
ïỵ
ïï

a
ỵ
ém = 3
2
2
.
 9 (m - 1) - 9 = 27  (m -1) = 4  ê
ê m = -1
ë

Câu 4:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

để hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + m giảm trên đoạn có

độ dài lớn nhất bằng 1 ?
A. m = -

9
4

B. m = 3

C. m £ 3

D. m =

9
4

Lời giải
Chọn D
Ta có y ' = 3 x 2 + 6 x + m .
u cầu bài tốn  y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 thỏa mãn x1 - x 2 = 1
ïïìD ' = 9 - 3m > 0 ìïm < 3
ì
m <3
ï
ï
ï
9
ïï
ï
ï
 í D'
í
í
9 m=
9 - 3m
ïï2
ï
ï
=1
4
m
=
=1 ï

ï2.
ïï
ïỵ
4
3
ï
ỵï
ỵ a

Câu 5:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

.

để hàm số y =

x -1
nghịch biến trên khoảng
x -m

(-¥;2 ) ?

B. m ³ 1

A. m > 2

C. m ³ 2

Lời giải

D. m > 1

Chọn C
Ta có y ' =

-m + 1
2

(x - m )

.

Với -m + 1 < 0  m > 1 thì y ' < 0, "x ¹ m  hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng
(-¥;m ) và (m ; +¥) .

Ycbt  (-¥;2 ) Ì (-¥; m )  m ³ 2 : (thỏa mãn).
Cách 2. Ta có y ' =

-m + 1
2

(x - m )

.

ìï-m + 1 < 0
ïì y ' < 0, "x < 2 ìïï-m + 1 < 0
ùỡm > 1

ớ
ùớ
ùớ
m 2.
ù
ù
ù
ạ
-Ơ
ẻ
+Ơ
m
;2
m
2;
ạ
x
m
(
)
[
)
ùợùm 2
ỵï
ỵï
ỵï

Ycbt  ïí

LỚP TỐN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133

10


Câu 6:

Cho hàm số y =
nguyên của
A. 5

m

mx - 2m - 3
với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị
x -m

để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S
B. 4
C. Vơ số.
D. 3
Lời giải

Chọn D
Ta có y ' =

-m 2 + 2 m + 3
2

(x - m )

.

Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác nh thỡ y ' > 0, "x ạ m
m ẻ
-m 2 + 2 m + 3 > 0  -1 < m < 3 ắắắ
m = {0;1;2}.
m ẻ
Sai lầm hay gặp là cho y ' ³ 0, "x ¹ m  -1 £ m £ 3 ¾¾¾
 m = {-1;0;1;2;3}.

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133

11


BÀI 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) ( a có thể là -¥ , b có th l +Ơ )
v x 0 ẻ (a; b) .
1. Định lí 1
Nếu tồn tại số h sao cho f ( x ) < f ( x 0 ) với mọi x Ỵ ( x 0 - h; x 0 + h ) và x ¹ x 0 thì ta nói
hàm số f ( x ) đạt cực đại tại điểm x 0 . Khi đó:
 x 0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f ( x ).
 f ( x 0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f ( x ).
 Nếu tồn tại số h sao cho f ( x ) > f ( x 0 ) với mọi x Ỵ ( x 0 - h; x 0 + h ) và x ¹ x 0 thì ta nói
hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x 0 . Khi đó:
 x 0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f ( x ).
 f ( x 0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f ( x ).
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực
trị phải là một điểm trong tập xác định K.

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị).
2. Chú ý
Giá trị cực đại (cực tiểu) f ( x 0 ) của hàm số f nói chung khơng phải là giá trị lớn nhất
(giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên tập xác định K mà f ( x 0 ) chỉ là giá trị lớn nhất (giá
trị nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng (a, b) Ì K và (a, b) chứa x 0 .
Nếu f ¢ ( x ) không đổi dấu trên tập xác định K của hàm số f thì hàm số f khơng có cực trị.
Nếu x 0 là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f đạt cực trị tại
điểm x 0 và điểm có tọa độ ( x 0 ; f ( x 0 )) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f .

3. Định lý 2
ì
ï f '(x0 ) = 0
¾¾
 x 0 là điểm cực đại của f ( x ) .
● ïí
ï
ï
ỵ f '' ( x 0 ) < 0

ìï f ' ( x 0 ) = 0
¾¾
 x 0 là điểm cực tiểu của f ( x ) .
● ïí
ïï f '' ( x 0 ) > 0
ỵ

4. Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số bậc ba
y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d là y = mx + n , trong đó mx + n là dư thức trong phép chia
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133

12


f (x )

cho f ' ( x ) .

B.PHÂNLOẠIVÀPHƯƠNGPHÁPGIẢIBÀITẬP
Dạng1:Chohàmsố y  f  x  . Tìmcácđiểmcựcđại,cựctiểu,giátrịcựcđạigiátrịcực
tiểu
1. Phương pháp
2. Các ví dụ
Câu 1:

Giá trị cực đại yCD của hàm số y = x 3 - 3 x + 2 là?
A. yCD = 4 .

B. yCD = 1 .

C. yCD = 0 .

D. yCD = -1.

Lời giải.
Chọn A
é x = -1  y = 4

Ta có y ' = 3 x 2 - 3 = 0  êê

ëx = 1  y = 0

.

Do đó giá trị cực đại của hàm số là yCD = 4 .
Câu 2:

Tìm điểm cực trị x 0 của hàm số y = x 3 - 5 x 2 + 3 x + 1 .
1
3

A. x 0 = -3 hoặc x 0 = - .
C. x 0 = 0 hoặc x 0 = -

B. x 0 = 0 hoặc x 0 =

10
.
3

10
.
3
1
3

D. x 0 = 3 hoặc x 0 = .
Lời giải.

Chọn D
éx = 3

ê
2
2
ê
=
+
=

+
=

'
3
10
3;
'
0
3
10
3
0
y
x
x
y
x
x
Ta có
1. .
êx =

3
ëê

Câu 3:

Tìm điểm cực đại x 0 của hàm số y = x 3 - 3 x + 1 .
A. x 0 = -1 .

B. x 0 = 0 .

C. x0 = 1 .

D. x 0 = 2 .

Lời giải.
Chọn A
é x = -1  y (-1) = 3

Ta có y ' = 3 x 2 - 3 = 3 ( x 2 -1); y ' = 0  êê

êë x = 1  y (1) = -1

.

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1 .
Câu 4:

Tìm các điểm cực trị của đồ thị của hàm số y = x 3 - 3x 2 .
A. (0;0 ) hoặc (1; -2 ) .

B. (0;0 ) hoặc (2;4 ) .

C. (0;0 ) hoặc (2; -4 ) .

D. (0;0 ) hoặc (-2; -4 ) .
Lời giải.

Chọn C
éx = 0  y = 0
..
ë x = 2  y = -4

Ta có y ' = 3 x 2 - 6 x = 3 x ( x - 2 ); y ' = 0  êê
Câu 5:

Biết rằng hàm số y = x 3 + 4 x 2 - 3x + 7 đạt cực tiểu tại x CT . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
1
3

A. x CT = .

B. x CT = -3 .

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133

1
3

C. x CT = - .

D. x CT = 1 .

13


Lời giải.
Chọn A
é x = -3
ê
Ta có y ' = 3 x + 8 x - 3; y ' = 0  ê
1 .
êx =
êë
3
2

1
3

Vẽ bảng biến thiên, ta kết luận được x CT = .
Câu 6:

Gọi yCD , yCT lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y = x 3 -3x . Mệnh đề
nào sau đây là đúng?
3
2

A. yCT = 2 yCD .

B. yCT = yCD .

C. yCT = yCD .

D. yCT = -yCD .

Lời giải.
Chọn D
é x = 1  y (1) = -2

Ta có y ' = 3 x 2 - 3; y ' = 0  êê

êë x = -1  y (-1) = 2

Câu 7:

. Do đó yCT = -yCD .

Gọi y1 , y2 lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y = x 3 - 3 x 2 - 9 x + 4 .
Tính P = y1 .y2 .
A. P = -302 .

B. P = -82 .

C. P = -207 .
Lời giải.

D. P = 25 .

Chọn C
é x = 3  y (3) = -23

Ta có y ' = 3 x 2 - 6 x - 9; y ' = 0  êê

êë x = -1  y (-1) = 9

.

Suy ra P = y1 . y 2 = 9. (-23) = -207 .
Câu 8:

Cho hàm số y = -x 4 + 2 x 2 + 3 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và khơng có điểm cực tiểu.
B. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và khơng có điểm cực đại.
C. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.
D. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.
Lời giải.
Chọn D
éx = 0
ê
Ta có y ' = -4 x + 4 x = -4 x ( x -1); y ' = 0  êê x = 1 .
ê
ë x = -1
3

2

Vẽ phát họa bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.
ìa = -1
ï
¾¾

 ab < 0 ¾¾
 đồ thị hàm số có ba điểm cực trị.
Cách 2. Ta có íï
ï
ï
ỵb = 2

Vì a = -1 < 0 nên đồ thị có dạng chữ M. Từ đó suy ra đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và
2 điểm cực đại.
Dạng2:Viếtphươngtrìnhđườngthẳngđiquacácđiểmcựctrị
1. Phương pháp
2. Các ví dụ

LỚP TỐN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133

14


Câu 1:

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
y = -2 x 3 + 3x 2 +1 .
A. y = x -1.

B. y = x + 1.

C. y = -x +1.

D. y = -x -1.

Lời giải.
Chọn B
éx = 0  y = 1
.
ëx = 1  y = 2

Ta có y ¢ = -6 x 2 + 6 x ; y ¢ = 0  êê

Suy ra đồ thị hàm số đã hai điểm cực trị là A (0;1) và B (1;2 ) .
Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là đường thẳng AB có phương trình
y = x + 1.

Cách 2. Lấy y chia cho

y' ,

ta được

1ỉ
1ư
 y = ỗỗ x - ữữữ y  + x + 1 .
3 ỗố
2ứ

Suy ra phng trỡnh ng thng i qua hai điểm cực trị là phần dư trong phép chia, đó là
y = x +1 .
Câu 2:

Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 - 9 x + m . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
của đồ thị hàm số.

A. y = -8 x + m .

B. y = -8 x + m - 3 .

C. y = -8 x + m + 3 .

D. y = -8 x - m + 3 .
Lời giải.

Chọn B
é x = -1  y = 5 + m

Ta có y ' = 3 x 2 - 6 x - 9; y ' = 0  êê

ë x = 3  y = -27 + m

.

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là A (-1;5 + m ) và B (3;-27 + m ) .
Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm A, B có phương trình y = -8 x + m - 3 .
Câu 3:

Tìm giá trị thực của tham số

m

để đường thẳng d : y = (2 m - 1) x + 3 + m vng góc với

đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x 3 - 3x 2 +1 .
1

2

A. m = - .

3
2

1
4

B. m = .

3
4

C. m = .

D. m = .

Lời giải.
Chọn D
é x = 0  y (0 ) = 1

 y ¢ = 0  êê
Xét hàm y = x 3 - 3x 2 +1 , có y ¢ = 3 x 2 - 6 x ¾¾

êë x = 2  y (2 ) = - 3

.

Suy ra A (0;1), B (2; - 3) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.




Suy ra đường thẳng AB có một VTCP là AB = (2; - 4 ) ¾¾
 VTPT n AB = (2;1).


Đường thẳng d : y = (2 m - 1) x + 3 + m có một VTCP là nd = (2 m - 1; - 1).
 

3
4

Ycbt  n AB .nd = 0  2. (2m -1) -1 = 0  m = .
Dạng3:Dựavàobảngxétdấucủa f '  x  ,bảngbiếnthiêncủađồthịhàmsố f  x  .Tìm
cácđiểmcựctrịcủahàmsố
1. Phương pháp
2. Các ví dụ
LỚP TỐN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133

15


Câu 1:

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  với bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hỏi hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2.
Chọn A
Nhận thấy

B. 1.

y'

D. 0.

đổi dấu khi qua x = -3 và x = 2 nên hàm số có 2 điểm cực trị. ( x = 1

khơng phải
là điểm cực trị vì
Câu 2:

C. 3.
Lời giải.

y'

không đổi dấu khi qua x = 1 ).

Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có ba giá trị cực trị.
C. Hàm số có hai điểm cực trị.

B. Hàm số có ba điểm cực trị.

D. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1.
Lời giải.

Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có các nhận xét sau:
 Hàm số có ba điểm cực trị, gồm các điểm x = -1, x = 1, x = 0 vì đạo hàm y ¢ đổi dấu đi
qua các điểm đó.
 Hàm số đạt cực đại tại x = 0 , đạt cực tiểu tại x = 1.
(đáp án A sai vì hàm số chỉ có hai giá trị cực trị là yCD = -3 và yCT = -4 . Nói đến đồ thị
hàm số thì khi đó mới có ba điểm cực trị là A (0; -3), B (-1;4 ), C (1; -4 ). .
Câu 3:

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục tại x 0 và có bảng biến thiên sau:

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu.
B. Hàm số có một điểm cực đại, khơng có điểm cực tiểu.
LỚP TỐN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133

16


C. Hàm số có một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu.
D. Hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu.
Lời giải.
Chọn D
● Tại x = x 2 hàm số y = f ( x ) không xác định nên không đạt cực trị tại điểm này.
● Tại x = x1 thì dễ thấy hàm số đạt cực đại tại điểm này.
● Tại x = x 0 , hàm số khơng có đạo hàm tại x 0 nhưng liên tục tại x 0 thì hàm số vẫn đạt
cực trị

tại x 0 và theo như bảng biến thiên thì đó là cực tiểu.
Vậy hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu.
Câu 4:

Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên  \ {x1 } , có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và khơng có điểm cực đại.
B. Hàm số đã cho khơng có cực trị.
C. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
D. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và khơng có điểm cực tiểu.
Lời giải.
Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy
 f ¢ ( x ) đổi dấu từ " + " sang " - " khi đi qua điểm x 1 nhưng tại x1 hàm số f ( x ) không
xác định nên x 1 khơng phải là điểm cực đại.
 f ¢ ( x ) đổi dấu từ

"- "

sang

"+ "

khi đi qua điểm x 2 suy ra x 2 là điểm cực tiểu của hàm

số.
Câu 5:

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau:

Hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5. .

B. 3. .

LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133

C. 4. .
Lời giải.

D. 2.

17


Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại một điểm duy
nhất
và đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) có 3 điểm
cực trị.
Câu 6:

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu
điểm cực trị?

A. 0.

B. 1.

C. 3.
Lời giải.

D. 2.

Chọn D
Dễ nhận thấy hàm số có một điểm cực trị là điểm cực tiểu tại x = 1.
Xét hàm số f ( x ) trờn khong

ổ 1 1 ửữ
ỗỗ- ; ữ ,
ỗố 2 2 ữứ

ổ 1 ử ổ 1ử
x ẻ ỗỗ- ;0 ữữữ ẩ ỗỗ0; ữữữ .
ỗố 2 ứ ỗố 2 ø

ta có f ( x ) < f (0 ) với mọi

Suy

ra x = 0 là điểm cực đại của hàm số. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.
Câu 7:

Hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu
điểm cực trị?

A. 3 .

B. 2 .

C. 1 .
Lời giải.

Chọn A
Dễ nhận thấy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua

D. 0 .

Oy.

Vấn đề nằm ở chỗ là điểm có đồ thị gấp khúc có phải là điểm cực trị của đồ thị hàm số
hay khơng? Câu trả lời là có (tương tự lời giải thích như câu 25).
Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị, gồm 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại.
Câu 8:

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu
điểm cực trị?

LỚP TỐN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133

18


y

2

‐1

A. 2.

B. 3.

O

1

x

C. 4.
Lời giải.

D. 5.

Chọn D
Theo định nghĩa cực trị thì từ đồ thị ta nhận thấy hàm số có 5 điểm cực trị.
Câu 9:

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu
điểm cực trị?
y

‐1

1

O

x

-1

-2

A. 2.

B. 3.

C. 4.
Lời giải.

D. 5.

Chọn D
Theo định nghĩa cực trị thì từ đồ thị ta nhận thấy hàm số có 5 điểm cực trị.
Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên đoạn [-2;2] và có đồ thị là đường cong trong
hình vẽ bên. Hàm số f ( x ) đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?

A. x = -2 .

B. x = -1 .

C. x = 1 .
Lời giải.

D. x = 2.

Chọn B
LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133

19