De thi HSG toan 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 SỐ 1 Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ) Bài 1: ( 2,0 đ ) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 6x3 + 13x2 + 4x – 3 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)( x +6) Bài 2: ( 2,0 đ) x 2  2 x  2 x  1  2 0. a) Giải phương trình : b) Giải bất phương trình : x2 – x - 2 < 0 Bài 3: ( 2,5 đ) a) Biết a – b = 7 .Tính giá trị của biểu thức :. a 2  a  1  b 2  b  1  ab  3ab  a  b 1. b) Chứng minh rằng : x x xn 1  y y yn * Nếu và x,y,n > 0 thì a b c   2 * Nếu a,b,c là 3 cạnh của tam giác thì : b  c c  a a  b. Bài 4: ( 2,0 đ) Lấy điểm O trong tam giác ABC .Các tia AO,BO,CO cắt BC,AC,AB lần lượt tại OA OB OC   2 AP BQ CR P,Q,R Chứng minh rằng :. Bài 5 : ( 1,5 đ) Trên cạnh AB của hình vuông ABCD ,lấy tùy ý điểm E. tia phân giác của góc CDE cắt BC tại K . Chứng minh : AE + KC = DE ………………………………………………………………………. ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 SỐ 2 Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ) 4 3 2 Bài 1: Cho đa thức P(x) = 2 x  7 x  2 x  13x  6 a) Phân tích P(x) thành nhân tử b) C/m rằng : P(x) 6  x  Z. x 4  x3  x 2  2 x  2 4 3 2 Bài 2: Cho phân thức F(x) = x  2 x  x  4 x  2. a) Rút gọn F(x) b) Xác định x để phân thức F(x)min = ? a b  c a c  b b c  a   c b a Bài 3: Cho 3 số a,b,c 0 thỏa mãn đẳng thức : (a  b)(b  c )(c  a ) abc Tính giá trị của P = Bài 4: Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) vẽ CE  AB và CF  AD. C/m rằng : AB.AE + AD.AF = AC2 Bài 5 : Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng 1. Trên cạnh AB và AD lần lượt lấy các điểm M,N  sao cho chu vi  AMN bằng 2 .Tính MCN ?. ………………………………………………………………………..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 SỐ 3. Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ) Bài 1: ( 2,0 đ ) 3 3 3 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a  b  c  3abc x y b) Tìm giá trị của biểu thức : A = x  y biết x2 – 2y2 = xy.  y 0; x  y 0 . n3  2n 2  1 3 2 Bài 2: ( 2,0 đ) Cho biểu thức : B = n  2n  2n  1 a) Rút gọn A b) Tìm các số nguyên n để B là biểu thức nguyên Bài 3: ( 2,0 đ) Giải các phương trình sau : 7 x2  x  2 5 x  x 1 a) 2 x  x  1  2 0 b) Bài 4: ( 1.5 đ) Cho tam giác ABC .vuông tại A có BC cố định ,đường cao AH .Gọi D là hình chiếu của H trên AC, E là hình chiếu của H trên AB . Chứng minh rằng : Diện tích ADHE lớn nhất khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân Bài 5 : ( 2,5 đ) Cho hình vuông ABCD cạnh là a ,lấy điểm I trên cạnh AB .Đường thẳng DI cắt đường thẳng BC tại E. Đường thẳng CI cắt đường thẳng AE tại M . và cắt đường thẳng AD tại P .Đường thẳng BM cắt AP tại K .Đặt AI = x BM cắt DE tại F a) Tính BE và AP theo a và x b) Suy ra AK = AI c) Chứng tỏ rằng khi I di động trên cạnh AB ,F di động trên một đường cố định .Hãy giới hạn đường đó ………………………………………………………………………. ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 SỐ 4. Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ) Bài 1: ( 2,0 đ ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 2 2 x  1   4 x  2   3  a) 3 3 3 a  b   b  c   c  a   b) x2  2x  3 2 Bài 2: ( 2,0 đ) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : A = x  2 1 1 1  a  b  c      1 a b c Bài 3: ( 3,0 đ) a)Cho ba số a,b,c khác 0 thỏa mãn :. a. 10. Tính P =.  b10   b 4  c 4   a 2010  c 2010 . x  5 x  7 x  9 x  11    2005 2003 2001 1999 b) Giải bất phương trình : Bài 4: ( 2.0 đ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) .Gọi BD là đường phân giác trong của tam giác ABC ,dựng đường trung trực của đoạn thẳng BD cắt đường thẳng AC tại M . a/ Chứng minh : Hai tam giác MAB và MBC đồng dạng . b/ Tính độ dài đoạn thẳng MD .Khi AD = 4 cm , DC = 6 cm Bài 5 : ( 1,5 đ) Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD,BM,CN .Gọi H là trực tâm của tam giác ABC HD HM HN DB MC NA    . . Chứng minh rằng : AD BM CN DC MA NB.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 SỐ 5. Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ) Bài 1: ( 2,0 đ ) a) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : x2 – x – 2009.2010 b) Tìm số tự nhiên n để : n3 – 3n2 – 3n – 1 chia hết cho n2 + n + 1 Bài 2: ( 2,0 đ) Giải và biện luận phương trình ẩn số y : 1 1 1 1    a b y a b  y Bài 3: ( 2,0 đ) 3 2 3 2 a)Cho a  3ab 5 và b  3a b 10 .Tính a2 + b2 2 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x  y  xy  x  y Bài 4: ( 2.0 đ) Cho đoạn thẳng AB và điểm I nằm giữa hai điểm A và B .Trong cùng một mặt phẳng bờ AB, kẻ hai tia Ax và By vuông góc với AB .Trên Ax lấy điểm C ,tia vuông góc với IC tại I cắt By tại D . a/ Chứng minh : AC.DB = IA.IB b/ Ba điểm A,B,C cố định ,xác định vị trí của I để diện tích tứ giác ABDC đạt giá trị lớn nhất Bài 5 : ( 2,0 đ) Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AD và BC của hình chữ nhật ABCD .Trên tia đối của tia DC lấy điểm P bất kì .Giao điểm của AC với đường PM là Q   Chứng minh rằng : QNM = MNP. …………………………………………………………………………….. ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 SỐ 6. Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ) Bài 1: ( 2,5 đ ) a) Chứng tỏ biểu thức sau đây dương với mọi x 1 2   1  x3   1  x3   1 x  A    x  x : 2   1 x   1 x   1 x. 2. b) Cho a,b,c là các số chính phương .Chứng minh rằng : Bài 2: ( 2,0 đ) Giải các phương trình sau : x  2010  x  x  2010  a) 1 1 x 2  2  y 2  2 4 x y b) Bài 3: ( 2,0 đ) a)Tìm GTNN của.  a  b   b  c   c  a  12. B = xy(x – 2)(y + 6) + 12x2 – 24x + 3y2 + 18y + 36 2  x 2  x  1 1 3 x2 1 b) Chứng minh rằng : Bài 4: ( 2.0 đ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao BD và CE cắt nhau tại H .Trên HB và HC 0   lần lượt lấy M và N sao cho AMC  AMB 90 . a/ Chứng minh : ABD ACE b/ Chứng minh : AMN cân Bài 5 : ( 1,5 đ)Cho tam giác ABC với AB = 4 cm, AC = 8cm, BC = 6cm .Hai tia phân giác trong AD và BE cắt nhau tại O .Chứng minh rằng đoạn thẳng nối điểm O với trọng tâm G của tam giác ABC song song với BC..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ……………………………………………………………………………… ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 SỐ 7. Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ) Bài 1: ( 2,5 đ ) a)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 1 2 ( x  y 2 )2  2 x2 y 2 4 2 2 M = ( x  1)  ( x  x  1) N= 2 b)Rút gọn và tính giá trị của biểu thức : x ( x  5)  y ( y  5)  2( xy  3) f ( x, y )  x( x  6)  y ( y  6)  2 xy ( với x  y 2010 )  x  y  z 0  12 4 2010 Bài 2: a) Cho 3 số x,y,z thỏa mãn  xy  yz  xz 0 .Tính giá trị biểu thức P = ( x  1)  y  ( z  1) 2 2 x  1  ( x  3) 2  b) Tìm GTNN của A = 1 1 1 1  2  2  2 Bài 3: Giải các phương trình : a) x  9 x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 3. 3. 1  3  3  x  2    x  7   (9  x) 0  2  b)  3 Bài 4: ( 2.0 đ) Cho tam giác ABC có chu vi bằng 18 cm.Trong đó BC là cạnh lớn nhất.Đường phân giác MA 1 NA 3   góc B cắt AC tại M sao cho MC 2 .Đường phân giác góc C cắt AB tại N sao cho NB 4 .Tính các cạnh ABC Bài 5 : ( 1,5 đ)Cho ABC vuông tại A,kẻ đường cao AH.Gọi D,E lần lượt là hình chiếu của H Trên cạnh AB và AC . a) C/m : BD.CE.BC =AH 3 b) Giả sử SABC = 2SADHE chứng minh : ABC vuông cân ……………………………………………………………………………… ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 SỐ 8. Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ). Bài 1: ( 2,0 đ ) x  2   x  3  x  4   x  5   1 a)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : . 1 1 1 3    b)Cho a > 0 , b > 0, c > 0 .Chứng minh : b  c c  a a  b a  b  c. Bài 2: ( 2,0 đ) 2x  5 y a) Cho x,y thỏa mãn x> 0 > y >0 và x2 + 3y2 = 4xy .Tính x  2 y 2010 x 2  2 x  1 x2 b)Cho x ≠ 0 Tìm GTNN của A =. Bài 3: ( 2,5 đ) 2. x  2   x  3  x  4  12 a) Giải phương trình :  ab  2  x  a 2b   b  2a  x b) Giải và biện luận phương trình : . Bài 4: ( 2.0 đ). ( ẩn là x ).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Cho tứ giác ABCD .Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD tại P và đường thẳng qua B song song với AD cắt AC tại Q Chứng minh rằng : PQ // CD Bài 5 : ( 1,5 đ) Cho ABC Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = 3DA .trên BC lấy điểm E sao cho BE = 4EC .Gọi F là giao điểm của AE và CD Chứng minh rằng : FD = FC .. ……………………………………………………………. ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 SỐ 9. Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ). Bài 1: ( 2,0 đ ) 3 2 a)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : x  3x  9 x  5 x2  3 b)Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị biểu thức x  2 là số nguyên. Bài 2: ( 2,0 đ) a) Tìm các số x,y,z sao cho :. x 2  5 y 2  4 xy  10 x  22  x  y  z  26 0. 2 2 2 2 b)Cho 7 x  8 xy  7 y 10 . Tìm GTLN và GTNN của A = x  y Bài 3: ( 2,5 đ) Giải các phương trình :. a).  x  2   x  2   x 2  10  72 x 2  4 x  2 x  2 1 0. b) Bài 4: ( 2.0 đ). . 0. Cho tam giác ABC có A 90 , D là một điểm nằm giữa A và C ,qua C dựng CE vuông gócvới đường thẳng BD tại E .Chứng minh rằng : a) Tam giác ADE đồng dạng tam giác BDC b) AB.CE + AE.BC = AC.BE Bài 5 : ( 1,5 đ) . 0. Cho tam giác ABC có A 90 , D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D trên AB và AC a) Xác định vị trí của D để tứ giác AEDF là hình vuông b) Xác định vị trí của D để tổng : 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. ……………………………………………………….. ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 SỐ 10 ( ĐỨC THỌ ). Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ) 3 3 3 Bµi 1: 1) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a  b  c  3abc 3 2 3 2 2 2 2) Cho a  3ab 5 vµ b  3a b 10 . TÝnh S = a  b 8 4 2 Bµi 2: 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  2x  x  2x  2 0 6 n 2011 2) Cã tån t¹i hay kh«ng sè nguyªn d¬ng n sao cho n  26 21 23  1 33  1 20113  1   ...  3 3 20113  1 Bµi 3: Rót gän biÓu thøc A = 2  1 3  1. Bµi 4: Cho ABC vu«ng t¹i A, cã AB < AC. KÎ ph©n gi¸c AD. Gäi M vµ N lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña D trªn AB vµ AC. BN c¾t CM t¹i K, AK c¾t DM t¹i I, BN c¾t DM t¹i E, CM c¾t DN t¹i F. 1) Chøng minh r»ng EF // BC 2) Chøng minh r»ng K lµ trùc t©m cña AEF  3) TÝnh sè ®o cña BID Bµi 5: Cho a, b, c, d, e > 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn a + b + c + d + e = 4..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> P.  a  b  c  d  a  b  c   a  b . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc. abcde. ............................................................................................................... ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 SỐ 11 ( TAM ĐẢO ). Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ) a2 b2 c2 a b c   1   0 Câu 1 (1,5 điểm). Cho b  c c  a a  b . Chứng minh rằng: b  c c  a a  b Câu 2 (2 điểm). Rút gọn biểu thức: bc ca ab a) A= + + (a − b)(a −c ) (b − c)(b − a) (c −a)(c −b) 6. b) B =. 1 1 − x 6+ 6 −2 x x. ( ) ( ) ( x + 1x ) + x + x1 x+. 3. 3. 3. Câu 3 (2 điểm). Cho x, y là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2   2 2 1 x 1 y 1  xy DB 1 = , điểm O nằm Câu 4 (2 điểm). Cho tam giác ABC, điểm D nằm trên cạnh BC sao cho DC 2 OA 3 = . Gọi K là giao điểm của BO và AC. Tính tỷ số AK : KC. trên đoạn AD sao cho OD 2 Câu 5 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trực tâm H. Một đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ tự ở P và Q sao cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng tam giác MPQ cân tại M.. ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 SỐ 12 ( OLIMPIC ). Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ). Bµi 1. Ph©n tÝch thµnh nh©n tö. a) a3 +2 a2 −13 a+10 2. 2. 2. 2. b) (a  4b  5)  16(ab 1) Bµi 2. Cho 3 sè tù nhiªn a, b, c. Chøng minh r»ng nÕu a + b + c chia hÕt cho 3 th× a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hÕt cho 6. Bµi 3. a) Cho a – b = 1. Chøng minh a2 + b2. 1 2. b) Cho 6a – 5b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4a2 + 25b2 Bµi 4. §a thøc bËc 4 cã hÖ sè bËc cao nhÊt lµ 1 vµ tho¶ m·n f(1) = 5; f(2) = 11; f(3) = 21. TÝnh f(-1) + f(5). Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC). M lµ trung ®iÓm cña AC, trªn BM lÊy ®iÓm N sao cho NM = MA; CN c¾t AB t¹i E. Chøng minh:.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> a) Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN. b). NC NB = +1 AN AB. ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 SỐ 13 ( QUẾ SƠN ). Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ). Bài 1: ( 2,5 điểm). 1 x2  x  2 2x  4 A  2  x  2 x  7 x  10 x  5. a. Cho: - Thực hiện rút gọn A. - Tìm x nguyên để A nguyên. b. Chứng minh: a + b = c thì a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 Bài 2: ( 1,5 điểm) a. Chứng minh: a2 + b2 + c2  ab + ac + bc với mọi số a, b, c. b. Chứng minh. bc ac ab + + ≥ a+ b+c a b c. với mọi số dương a, b, c.. Bài 3: (1,5 điểm) Giải phương trình:. 2. 2. 2. 2. x +4 x+6 x +16 x +72 x +8 x +20 x +12 x + 42 + = + x +2 x+ 8 x+4 x +6. Bài 4: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD. M là điểm trên đường chéo BD. Hạ ME góc với AB và MF vuông góc với AD. a. Chứng minh DE  CF; EF = CM b. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui. c. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.. Bài 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là phân giác. Đường thẳng qua trung điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F. Chứng minh BF = CE. ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 SỐ 14. Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ). Bài 1: ( 2,0 đ ) x  2   x  3  x  4   x  5   1 a)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : . 1 1 1 3    b)Cho a > 0 , b > 0, c > 0 .Chứng minh : b  c c  a a  b a  b  c. Bài 2: ( 2,0 đ) 2x  5 y a) Cho x,y thỏa mãn x> 0 > y >0 và x2 + 3y2 = 4xy .Tính x  2 y 2010 x 2  2 x  1 x2 b)Cho x ≠ 0 Tìm GTNN của A =. Bài 3: ( 2,5 đ) 2. x  2   x  3  x  4  12 a) Giải phương trình :  ab  2  x  a 2b   b  2a  x b) Giải và biện luận phương trình : . Bài 4: ( 2.0 đ). ( ẩn là x ).

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Cho tứ giác ABCD .Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD tại P và đường thẳng qua B song song với AD cắt AC tại Q Chứng minh rằng : PQ // CD Bài 5 : ( 1,5 đ) Cho ABC Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = 3DA .trên BC lấy điểm E sao cho BE = 4EC .Gọi F là giao điểm của AE và CD Chứng minh rằng : FD = FC ..

<span class='text_page_counter'>(9)</span>