Khoá luận tốt nghiệp Cử nhân khoa học hệ chính quy ngành khí tượng: Phương pháp dự báo quỹ đạo bão biển đông bằng mô hình chính áp

Đại học quốc gia hà nội
Trường Đại học khoa học tự nhiên

Khố luận tốt nghiệp
Cử nhân khoa học hệ chính quy ngành khí tượng

Phương pháp dự báo quỹ đạo bão biển
đơng bằng mơ hình chính áp
Nguời hướng dẫn: Th.S Nguyễn Minh Trường
Người thực hiện: Nguyễn Thị Huệ

Hà nội – 2008

0


Lời cảm ơn
Trong suốt thời gian thực hiện bản Khoá luận tốt nghiệp này, tôi đã nhận được
rất nhiều sự giúp đỡ từ các thầy cơ giáo trong Khoa Khí Tượng, Thuỷ Văn, Hải
Dương Học, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên - ĐHQG Hà Nội.
Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo thạc sỹ Nguyễn
Minh Trường, người đã trực tiếp hướng đẫn chỉ bảo tận tình cho tơi từ những bước
đầu thực hiện tới ngày hồn thành khố luận.
Tơi cũng xin cảm ơn các thầy cô trong khoa, các cán bộ khoa về sự nhiệt tình
chỉ bảo.
Và cuối cùng tơi xin cảm ơn gia đình và bạn bè, những người đã ln cổ vũ, trao
đổi, góp ý và giúp đỡ tơi trong suốt thời gian học tập.
Do sự hạn chế cả về mặt kiến thức của tôi, cũng như thời gian thực hiện khố
luận nên khơng thể tránh được những thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý
kiến chân thành của các bạn để khố luận được hồn thiện hơn.

Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội ngày 22/05/2007
Sinh viên

NGUYễN THị Huệ

1


Mục Lục
Mở Đầu…………………………………………………………………………….2
Chương 1 TổNG QUAN Về BãO Và CáC PHƯƠNG PHáP Dự BáO
BãO…………………………………………………………...................................3
1.1. Định nghĩa, phân loại xoáy thuận nhiệt đới……………………………………3
1.2 Những điều kiện hình thành bão…………………………………………..........4
1.3 Các giai đoạn phát triển của bão………………………………………………..5
1.4 Sự di chuyển của bão và cấu trúc của bão nhiệt đới…………...........................6
1.5 Các phương pháp dự báo bão…………………………………………………7
1.5.1 Phương pháp thống kê………………………………...........................7
1.5.2

Phương

pháp

synop……………………………………………...........7
1.5.2.1 Phương pháp dòng dẫn đường…………………........................7
1.5.2.2 Phương pháp hệ thống hướng di chuyển của bão…………….7
1.5.3 Phương pháp số trị………………………………………………..........9
1.5.4 Phương pháp dự báo tổ hợp…………………………………………10

1.5.4.1: Lý thuyết……………………………………………………10
1.5.4.2. Phương pháp………………………………………………..10
a/ Vị trí nhiễu động……………………………………………...11
b/ Nhiễu động dựa trên EOF….………………………………….12
Chương 2. MƠ HìNH CHíNH áP………………………………….………..17
2.1 Tổng Quan về mơ hình………………………………………………………..17
2.1.1 Khái niệm về khí quyển chính áp, khí quyển tà áp…………………..17
2.1.2 Các phương trình cơ bản……………………………………………..17
2.2 Đặc trưng của dịng chính áp………………………………………………….18
2.2.1 Thành phần khơng đổi………………………………………………..18
2.2.2 Miền khơng đổi………………………………………………………19
2.2.3 Trao đổi năng lượng chính áp……………………………………......19
2.3 Cấu trúc mơ hình và điều kiện biên……………………………………….......20
2.4 Điều kiện ban đầu…………………………………………………………......21
2.5 Mơ tả mã nguồn của mơ hình………………………………………………....21

2


Mở ĐầU

Bão là một hiện tượng thời tiết nguy hiểm mà con người luôn phải đối mặt. Đặc
biệt ở vùng nhiệt đới, bão xảy ra với tần suất lớn và gây nhiều thiệt hại về người và
của. Bão thường được hình thành trên các vùng biển nhiệt đới nơi có rất ít số liệu quan
trắc, nên việc dự bão thường gặp rất nhiều khó khăn. Vấn đề thiết yếu đặt ra là làm thế
nào dự báo được quỹ đạo bão cũng như vị trí đổ bộ của bão nhằm đề ra cơng tác phịng
chống. Trên thế giới từ thập kỉ 60 trở lại đây nhiều mơ hình số trị dự báo xoáy thuận
nhiệt đới đã được phát triển với mục đích nghiên cứu và dự báo nghiệp vụ.
ở Việt Nam trước đây và hiện nay, công tác dự báo bão vẫn chủ yếu dựa vào các
phương pháp truyền thống và Synop. Phương pháp này phụ thuộc nhiều vào trình độ

và kinh nghiệm người dự báo, vì vậy sai số gặp phải thường rất lớn. Tuy vậy trong
những năm gần đây, nhiều nỗ lực áp dụng thử nghiệm các mơ hình số cho dự báo bão
đã đem lại một số kết quả khả quan. Với bản khố luận này tơi xin trình bày những
hiểu biết về mơ hình chính áp cho dự báo quỹ đạo bão, và kết quả thử nghiêm với cơn
bão KaiTak-29/10, 30/10, 31/10 năm 2005.
Để hoàn thành được báo cáo này tôi xin gửi lời cám ơn chân thành đến Thạc sỹ Thầy giáo: Nguyễn Minh Trường – đã giúp đỡ rất nhiều về mặt kiến thức và tài liệu
quý báu.

3


Chương 1
TổNG QUAN Về BãO Và CáC PHƯƠNG PHáP Dự BáO BãO.

1.1. Định nghĩa, phân loại xoáy thuận nhiệt đới.

* Định nghĩa.
Theo Atkinson (1971) “Bão là xốy thuận qui mơ synop khơng có front phát
triển trên miền biển nhiệt đới hay cận nhiệt đới ở mực bất kì và có hồn lưu xác định".
Bão là hệ thống hồn lưu có dạng gần trịn với gradien khí áp ngang và tốc độ
gió rất lớn. Trong nghiệp vụ và trong thực tế người ta phân biệt áp thấp nhiệt đới khi
tốc độ gió cực đại ở trung tâm nhỏ hơn 17,1m/s và bão khi tốc độ gió ở trung tâm lớn
hơn hoặc bằng 17,1m/s.
Ban đầu bão là một vùng áp thấp với dịng khí xốy vào tâm vùng áp thấp ngược
chiều kim đồng hồ ở bắc bán cầu. Trong những điều kiện thuận lợi thì vùng áp thấp này
có thể khơi sâu thêm, gió ở vùng trung tâm mạnh lên trở thành áp thấp nhiệt đới và sau
đó là bão. Trong bão giai đoạn phát triển ổn định có thể thấy mắt bão, khu vực 30 40km với áp thấp nhất, lặng gió hay gió yếu. Do trong mắt bão có dịng giáng nên nhiệt
độ ở đây cao hơn xung quanh, ít mây hay quang mây.
Theo tốc độ gió mạnh nhất ở gần trung tâm tổ chức khí tượng thế giới qui định
phân loại xoáy thuận nhiệt đới thành:

- áp thấp nhiệt đới (tropical depression): Xốy thuận nhiệt đới với hồn lưu mặt đất
giới hạn một hay một số đường đẳng áp khép kín và tốc độ gió lớn nhất ở vùng trung
tâm từ 10,8-17,2m/s (cấp 6-7).
- Bão nhiệt đới (tropical storm): Bão với các đường đẳng áp khép kín và tốc độ gió lớn
nhất ở gần vùng trung tâm từ 17,2-24,4m/s (cấp8-cấp9).
- Bão mạnh (Severe tropical Storm): Bão với tốc độ gió lớn nhất vùng gần trung tâm từ
24,5-32,6m/s (cấp 10-cấp 11)

4


- Bão rất mạnh (Typhoon/Hurricane): Bão với tốc độ gió lớn nhất ở vùng gần trung tâm
từ 32,7m/s trở lên (cấp 11).
Khoảng 2/3 số cơn bão đạt tới cường độ mạnh. Phân bố theo mùa của bão tương
tự với phân bố bão và bão mạnh. Hơn 80% bão đạt tới trạng thái áp thấp và sau đó tăng
cường thành bão mạnh.
1.2 Những điều kiện hình thành bão
Theo Palmen (1956) có 4 điều kiện cơ bản hình thành bão:
-

Khu vực đại dương có diện tích đủ lớn với nhiệt độ mặt biển cao (từ 26- 27 oC)
và tầng kết bão ổn định lớn đủ để nâng lớp khơng khí gần mặt đất lên cao và
đưa khơng khí tương đối ẩm và nóng hơn khí quyển xung quanh lên cao, ít nhất
từ mực khoảng 1km (40.000 bộ). Nhiệt độ lớn cũng bảo đảm bốc hơi mạnh cung
cấp năng lượng ngưng kết cho hệ thống bão.

-

Thơng số Coriolis có giá trị đủ lớn tạo xốy. Bão thường hình thành trong đới
giới hạn bởi vĩ độ 5-20o vĩ hai bên xích đạo.

-

Dịng cơ bản có chênh lệch tốc độ gió mực 1,5 và 12km nhỏ (dưới 3m/s) bảo
đảm sự tập trung ban đầu của dịng ẩn vào khu vực bão.

-

Ngồi những điều kiện trên thì mặt đất phải có nhiễu động ban đầu, thường đó
là các áp thấp trên dải hội tụ nhiệt đới và ở phần trên tầng đối lưu là khu áp cao
có các dịng khí phân kỳ. Trên biển Đơng vào mùa bão các điều kiện nói trên
đều thỏa mãn, chỉ cần sự phối hợp của các điều kiện đó là bão có thể hình thành.
Hình thế synop thường thấy khi bão hình thành trên biển Đơng là áp thấp trên
dải hội tụ nhiệt đới ở mực thấp và có tâm nằm ở rìa sống trên cao của cao áp cận
nhiệt Tây Thái Bình Dương.

1.3 Các giai đoạn phát triển của bão.
Thời gian tồn tại của bão là khoảng thời gian từ khi bão hình thành đến khi bão
tan hoặc bão di chuyển đến vùng vĩ độ cao, trở thành xoáy thuận ngoại nhiệt đới. Toàn
bộ thời gian sống của bão bao gồm 4 giai đoạn sau:

5


 Giai đoạn hình thành
ở giai đoạn này thời tiết khơng ổn định, với gió giật nhiều hướng khác nhau,
là nhân tố kích thích sự hình thành của bão nhiệt đới. Trên một diện tích rộng
lớn, xảy ra sự giảm áp suất khí quyển, nhưng tâm áp thấp ban đầu chưa rõ, độ
cong xoáy thuận tăng dần, phân bố theo khơng gian của xốy thuận nhiệt đới
chưa đối xứng.

 Giai đoạn trưởng thành
Giai đoạn này người ta gọi là giai đoạn bão non. Thường thì áp thấp nhiệt
đới phát triển thành bão phải trải qua vài ba ngày, nhưng cũng có trường hợp đột
biến chỉ sau 12h, thậm chí chỉ sau vài giờ áp thấp nhiệt đới đã thành bão, có mắt
bão rõ ràng. Trong giai đoạn bão non, áp suất khơng khí giảm nhanh chóng, tốc
độ gió tăng lên đáng kể, phạm vi gió mạnh mở rộng đến bán kính 40-50km, mây
dày đặc, cường độ mưa tăng lên. Giai đoạn này, bão phát triển đến độ cao 5-9km
(tương đương với mực khí áp 500-300mb). Cấu trúc của bão trong giai đoạn này
có hình dạng cân đối nhất.
 Giai đoạn phát triển cao nhất
Trong giai đoạn này áp suất giảm xuống đến giá trị thấp nhất và khơng có
khả năng giảm nữa. Gió bão đã tăng lên đến mức cực đại và giữ ở mức ổn định.
ở giai đoạn này, mắt bão được hình thành và trở nên sắc nét. Phạm vi gió mạnh
và mưa lớn được mở rộng, đặc biệt là về phía bên phải tâm bão theo hướng di
chuyển của bão. Sự cân đối của bão bị mất dần. Kích thước của bão ở giai đoạn
này thay đổi trong một khoảng lớn.
 Giai đoạn bão tan
Sau khi bão đổ bộ vào bờ, đi sâu vào đất liền, suy yếu dần hoặc bão di
chuyển về phía Đơng Bắc, những tính chất riêng biệt của bão nhiệt đới mất dần.
Sự tan dần của bão trong quá trình di chuyển về phía Bắc là do bão đi vào vùng
nước biển lạnh hơn, đặc biệt là khi bão đi vào đất liền, ma sát mặt đệm lớn, làm

6


cho năng lượng (nhiệt ẩm) của bão bị tiêu hao đi nhiều, nên bão yếu đi nhanh
chóng.
1.4 Sự di chuyển của bão và cấu trúc của bão nhiệt đới
 Sự di chuyển của bão nhiệt đới
Hiện nay hầu hết các nhà khí tượng đều cho rằng bão nhiệt đới chuyển động dưới

ảnh hưởng của nội lực và ngoại lực. Nội lực xuất hiện ngay trong hồn lưu xốy của
bão, nội lực có xu hướng kéo bão ở mọi vĩ độ lệch về cực. Khi bản thân nội lực rất lớn
bão có thể di chuyển độc lập, khơng phụ thuộc vào ngoại lực. Ngoại lực là lực được
sinh ra do không khí xung quanh tác động lên mọi phần tử của bão và lơi kéo nó đi.
Trong vùng nhiệt đới trường (nơi sinh ra ngoại lực lớn nhất) có tính chất quyết định sự
di chuyển của bão. Ngoại lực là nguyên nhân chính làm cho bão di chuyển với tốc độ
lớn hơn hoặc chậm hơn, lệch hướng lên phía Bắc hoặc xuống phía Nam và gây ra tính
phức tạp trong chuyển động bão.
 Cấu trúc của bão nhiệt đới
Cấu trúc ngang: Mắt bão là vùng thời tiết yên tĩnh lặng gió nằm ngay trung tâm
bão. Mặt cắt ngang cho thấy bão có thể hình trịn hoặc hình elip tùy theo độ nghiêng
của trục bão so với phương nằm ngang. Kích thước của bão thay đổi theo từng giai
đoạn phát triển của bão. Bề mặt nó rộng 35-55km trong giai đoạn đầu. ở giai đoạn
mạnh nhất, đường kính mắt bão giảm xuống chỉ cịn trung bình khoảng 18-30km.
Cấu trúc thẳng đứng: Hiện nay qua khảo sát bằng máy bay, ảnh vệ tinh, người ta
kết luận rằng bão có các trung tâm áp thấp sau đó phát triển sâu xuống và xuất hiện
trên tầng cao hơn. Hồn lưu xốy thuận của bão phát triển theo chiều cao. Nhìn chung
cấu trúc thẳng đứng của bão khá đối xứng qua trục mắt bão. Trục này có thể thẳng
đứng hoặc nghiêng tùy thuộc vào cơn bão.
1.5 Các phương pháp dự báo bão.
1.5.1 Phương pháp thống kê.
Phương pháp thống kê có ưu điểm là mang tính chất khách quan, đơn giản, khả
năng ứng dụng lớn nhất là khi máy tính điện tử phát triển.
Xét hai phương pháp: Phương pháp quán tính và phương pháp khí hậu.
- Phương pháp quán tính: Dựa trên giả thiết là hiệu ứng tổng hợp của các
lực tác dụng đến cơn bão trong thời đoạn đã qua sẽ tiếp tục tác động tới xu
thế trong thời kì cần dự báo.
- Phương pháp khí hậu: Được thực hiện trên cơ sở các kết quả thống kê
nhiều năm đối với quỹ đạo bão. Theo quỹ đạo nhiều năm trên mạng ô vuông
kinh vĩ nhất định ta xác định được quỹ đạo trung bình nhiều năm theo từng

tháng. Đường nối các điểm có tần suất lớn nhất sẽ được xác định là quỹ đạo
trung bình nhiều năm. Tốc độ dịch chuyển của bão có thể tính dựa trên tập
số liệu trung bình của các chùm quỹ đạo bão.

7


1.5.2 Phương pháp synop
Phương pháp synop là phương pháp sử dụng chính trong dự báo nghiệp vụ ở
nước ta hiện nay. Với kinh nghiệm các hình thế synop kết hợp sử dụng với thông tin bổ
trợ từ các sản phẩm dự báo của các mơ hình số, ảnh mây vệ tinh…các nhà dự báo đã
đưa ra những bản tin tốt trong phần lớn trường hợp.
Trong dự báo quỹ đạo bão, phương pháp synop dựa vào hai phương pháp chính:
Phương pháp dòng dẫn đường và phương pháp hệ thống dự báo đường đi của bão.
1.5.2.1 Phương pháp dòng dẫn đường.
Dựa trên cơ chế bão di chuyển theo nguyên tắc dòng dẫn đường. Đối với các
cơn bão yếu sử dụng mực dòng dẫn là 700mb, các cơn bão mạnh sử dụng mực dịng
dẫn 500mb. Sử dụng dịng dẫn có thể xác định được hướng và tốc độ di chuyển của
bão, từ đó dự báo quỹ đạo bão trong tương lai.
1.5.2.2 Phương pháp hệ thống hướng di chuyển của bão.
Năm 1998 Cars và Elsbery dựa trên kết quả phân tích 287 cơn bão trong thời kì
10năm đã hệ thống hố và tính tần suất đối với 4 mơ hình Snop cơ bản quy định các
khả năng di chuyển của bão ở Tây Thái Bình Dương trong đó có biển Đơng.
+ Mơ hình chuẩn (60%)
Rãnh ôn đới dịch chuyển tới miền nhiệt đới tách áp cao cận nhiệt thành
hai bộ phận phía đơng và phía tây. Tuỳ theo khu vực dịng khí thịnh hành ở
các khu vực bão di chuyển tới mà các quỹ đạo bão khác nhau.
Nhìn chung các đường quỹ đạo có xu thế nằm theo hướng đông đông
nam và tây tây bắc.

Hình 1.1: Mơ hình hướng cực

8


+ Mơ hình hướng cực (30%)
Sự mở rộng của sống yếu giữa hai bộ phận áp cao và kéo dài theo hướng
tây nam – đông bắc của bộ phận áp cao phía đơng cũng như sự xuất hiện
dịng khí thịnh hành hướng cực ở phía tây phần biến dạng này hoặc sự mạnh
lên của dịng khí ở phần cực tây của bộ phận áp cao phía đơng.
Ban đầu bão di chuyển theo hướng tây nam – đông bắc trong khu vực
dịng khí hướng cực sau đó di chuyển về hướng đơng bắc và đơng khi tiến
vào khu vực ơn đới.

Hình 1.2: Mơ hình hướng cực
+ Mơ hình hồn lưu gió mùa.
Tương tự như mơ hình hướng cực nhưng ở phía tây củ bộ phận biến dạng
của áp cao phía đơng là vịng hồn lưu gió mùa ngược chiều kim đồng hồ. Do
tác động của vịng hồn lưu này mà quỹ đạo hướng cực sẽ di chuyển hướng về
phía tây theo theo vịng hồn lưu từ đơng sang tây nằm giữa bộ phận áp cao phía
tây và dịng hồn lưu gió mùa trong khu vực sống thịnh hành.

Hình 3: Mơ hình vịng hồn lưu gió mùa.

G: Tâm vịng gió mùa
---- Ranh giới khu vực
 Khu vực tốc độ gió cực đại

9

+ Mơ hình bão kép.
Bão phía tây nằm trong khu vực dịng hướng xích đạo sẽ di chuyển về
phía tây nam và có khả năng tiến vào khu vực sống thịnh hành, tiếp đó di
chuyển từ đơng sang tây.
Cơn bão phía đơng nằm trong khu vực dịng hướng cực sẽ di chuyển về
phía tây bắc, cũng có khả năng tiến vào khu vực gió tây ơn đới và di chuyển về
phía đơng bắc.

Hình 1.4: Mơ hình bão kép.

1.5.3 Phương pháp số trị
Phương pháp số trị được xây dựng dựa trên việc phân tích các hệ phương trình
thuỷ nhiệt động lực học trong mơi trường khí quyển kết hợp với những cấu trúc và di
chuyển của bão. Đặc điểm của phương pháp này là mơ tả được nhiều q trình vật lí
tác động đến chuyển động của bão trong q trình tương tác và phát triển của chúng,
song lại đòi hỏi về điều kiện số liệu và phương tiện tính tốn tương đối lớn.
1.5.4 Phương pháp dự báo tổ hợp
Nhằm mục đích nâng cao chính xác của sản phẩm số trị mà vẫn giữ được tính
khách quan vốn có của nó, trên thế giới tại những trung tâm lớn đã xây dựng các hệ
thống dự báo tổ hợp bão (EPS) từ sản phẩm của một lượng lớn các mơ hình số khác
nhau hiện đang được sử dụng nghiệp vụ. Nội dung phương pháp này là tạo ra một tổ
hợp các thành phần dự báo bằng nhiều phương pháp khác nhau sau đó sử dụng các đặc
trưng thống kê tổ hợp các kết quả dự báo của các thành phần tham gia tổ hợp để đưa ra
một kết quả dự báo tốt nhất có thể.
1.5.4.1: Lý thuyết
Phương pháp dự báo tổ hợp bao gồm vị trí nhiễu bão ban đầu và mơi trường quy
mô lớn mà một cơn bão tồn tại. Vị trí nhiễu được cung cấp bởi việc quan sát bão từ
những hướng khác nhau trên một khoảng cách nhỏ. Phương pháp phân tích tương quan
trực giao (EOF) được dùng để tìm ra những mode phát triển nhanh trong trạng thái ban

đầu. Nó chỉ ra rằng mơ hình dự báo, trong đó ám chỉ cả quỹ đạo bão và những biến vật

10


lí khác, thì rất nhạy cảm với vị trí ban đầu, cường độ và môi trường quy mô lớn của
bão. Kết quả cũng chỉ ra nhiễu trên cơ sở EOF là những mode lớn nhanh, và có thể làm
giảm những phân tích khơng chắc chắn ban đầu.
Dự báo bão thu được từ thống kê tổ hợp tượng tự một cải tiến lớn trong dự báo
quỹ bão. Cho những dự báo cường độ, dự báo tổ hợp cung cấp toàn cảnh của dự báo.
Phân bố không gian của xác suất những biến dự báo tạo ra một thứ có thể tìm thấy mơ
hình dự báo.
1.5.4.2. Phương pháp
Đã từ lâu người ta đã nhận ra rằng có hai nguồn chính cho những sai số dự báo
trong những mơ hình dự báo số (NWP):
 Sự thiếu sót những mơ hình số: Phát sinh từ sự khác nhau giữa mơ
hình số và khí quyển thực- đó là sự xấp xỉ mơ hình từ khí quyển động
lực và vật lí.
 Sự hiểu biết chưa đầy đủ trạng thái ban đầu của khí quyển. Ví thực tế
trạng thái đầu của khí quyển thực sẽ khơng bao giờ được quan sát một
cách đủ chính xác, do sai số dụng cụ đo và mạng lưới quan sát còn
thấp chưa đáp ứng được nhu cầu.
Thời gian gần đây nhờ sử dụng những siêu máy tính và những hiểu biết tốt hơn
về vật lí khí quyển đã cải tiến kĩ năng dự báo.
Có thể thừa nhận rằng có ba nhân tố trong trạng thái đầu của một mơ hình dự
báo số mà ảnh hưởng đến độ chính xác tới độ chính xác của dự báo bão là:
 Dịng dẫn mơi trường quy mô lớn,
 Cường độ của cơn bão,
 Độ chính xác của việc quan trắc vị trí cơn bão
Việc loại bỏ hay làm giảm sự thiếu chính xác của một trong ba nhân tố tại trạng

thái ban đầu sẽ mang lại một kết quả tốt hơn trong được bão. Do đó, việc tạo ra những
nhiễu tổ hợp ban đầu sẽ làm xuất hiện những nhân tố đó. Nói một cách khác, cả vị trí
ban đầu và nhiễu quy mơ lớn thì đều quan trọng cho dự báo tổ hợp bão.
a/ Vị trí nhiễu động.
Bảng 1.1: Sai số vị trí bão trong những quan trắc khác nhau

Phương pháp
quan trắc
Sai số vị trí (km)

Máy bay thám sát
Radar
bão
~ 20
20 ~ 50

Hình ảnh vệ tinh
~ 110

Bảng 1.1 chỉ ra vị trí ban đầu của một cơn bão có sai số nằm trong khoảng
50km. Nhiều nhà nghiên cứu đã chứng minh được rằng độ chính xác độ chính xác của
vị trí bão tại trạng thái đầu quyết định dự báo quỹ đạo bằng mô hình số. Để kết hợp các
vị trí chưa chính xác trong trạng thái đầu, ta có thể xáo trộn các vị trí đã phân tích bằng
cách dịch chuyển từ vị trí của nó 50km về phía Bắc, Nam, Đơng, Tây ( hình 1.5).
Vì vậy bằng cách dời từ vị trí ban đầu, sẽ sinh ra 5 tổ hợp trạng thái đầu. Đó là
cách đơn giản nhất để xáo trộn vị trí bão. Nó hàm ý rằng phân bố sai số vị trí bão là

11

đồng đều, tức là sai số vị trí ban đầu khơng ưu tiên cho bất kì một hướng cụ thể nào.
Hơn nữa thật khó để xác định rõ sai số vị trí ưu tiên ban đầu từ phân tích của trung tâm
dự báo thời tiết hạn vừa Châu Âu (ECMWF) bởi vì nó được dùng cho dự báo hạn vừa
quy mơ lớn, mà lại ít hoặc khơng cung cấp thơng tin về vị trí bão.

Hình 1.5: Biểu đồ sơ lược các vị trí ban đầu của bão.

b/ Nhiễu động dựa trên EOF:
Phương pháp trường nhiễu động đưa ra ở đây thực tế dựa trên việc tích phân mơ
hình trong những ngày đầu tiên, để nhiễu động lớn lên tuyến tính. Hình 1.6 chỉ ra giản
đồ của phương pháp này. Các thủ tục của phương pháp này có thể được mơ tả như sau:
+ Thêm các nhiễu ngẫu nhiên với độ lớn được so sách với sai số dự báo của
phân tích chuẩn.
+ Tích phân mơ hình với đầy đủ tính vật lí của nó trong 36h, bắt đầu từ
đường chuẩn (không nhiễu động) dù rằng trạng thái ban đầu nhiễu động.
Đầu ra của kết quả dự báo sẽ thể hiện cho từng 3h đồng hồ.
+ Trừ dự báo chuẩn từ dự báo nhiễu động tương ứng thu được các dự báo
cho trường sai phân chuỗi thời gian.
+ Thực hiện một phân tích EOF cho các trường sai phân chuỗi thời gian
trên trường ta quan tâm. Những nghiệm đó (các véctơ riêng) mà các hệ
số EOF của nó tăng nhanh theo thời gian được xem như là các mode lớn
nhanh, và do vậy, có thể được dùng như các nhiễu động ban đầu cho việc
dự báo tổ hợp.
+ Các trạng thái ban đầu của một tổ hợp được tạo ra bằng cách thêm hay
bớt các nhiễu động dựa trên EOF từ phân tích chuẩn.

12


Hình 1.6: Biểu đồ

sơ lược sự sinh ra
của một nhiễu cơ
sở EOF

Phương
pháp này được
gọi là “phương
pháp nhiễu động
dựa trên EOF”.
Vì phương pháp
nhiễu động dựa
trên EOF được
tính tốn trên
khoảng thời gian
từ 0 – 36h nhưng được ứng dụng cho giá trị thời gian ban đầu, giả thiết dòng cơ bản
tiến triển chậm. Nó đặc biệt đúng cho mơi trường nhiệt đới. Khi sự quan tâm của việc
nghiên cứu này nằm trong sự tác động của việc dự báo tổ hợp trong hệ thống thời tiết
nhiệt đới, ví như bão, chúng ta nên ứng dụng phương pháp này trên toàn khu vực nhiệt
đới. Nhìn chung khơng giống với các nhiễu động vĩ độ trung bình, trường gió trong
dịng quy mơ lớn thì quan trọng hơn trong trường độ cao địa thế vị trong khu vực nhiệt
đới. Để giảm nhu cầu dùng máy tính, chỉ có trường gió và trường nhiệt độ được đưa ra
từ phân tích EOF. Phân tích nhiệt độ sẽ được tiến hành bằng việc sử dụng phân tích
thang độ EOF, đó là việc phân tích một EOF phức sẽ được dùng để điều khiển bằng
hướng trường gió, vì nó cho phép dự báo của thay đổi pha. Hơn nữa, chỉ mode riêng
EOF tương ứng với giá trị riêng lớn nhất sẽ được dùng trong nghiên cứu. Nếu nó ứng
dụng trong phương pháp này với từng thành phần của năm tổ hợp đã được tạo ra từ các
nhiễu động vị trí, thì nó sẽ có 3 trường hợp cho mỗi vị trí, đó là ngun bản dương và
âm của nhiễu động dựa trên EOF. Một tổng có 15 trường hợp tổ hợp được tạo rạ dựa
trên các trường và các vị trí của các nhiễu động.
Một số vấn đề khác đưa ra mà phải được giải quyết với độ lớn của các nhiễu

động. Như đã xét đến ở trên, các mode lớn nhanh sẽ chi phối trong trường ban đầu,
mặc cho các độ lớn ban đầu nhỏ như thế nào đi nữa. Bởi nó là mẫu khơng phải là độ
lớn mà xác định tốc độ tăng lên của các mode đó. Nói cách khác, ngay cả một mode
chết có thể có độ lớn lớn tại trạng thái ban đầu. Tuy nhiên, nó sẽ bị khử đi trong suốt
q trình tích phân mơ hình và trở nên giảm một cách đáng kể về độ lớn. Đó là lí do để
thừa nhận rằng các nhiễu động có bậc giá trị độ lớn có thể so sánh với sai số dự báo
3h, xung quanh 3ms-1 cho trường gió và 0.60K cho trường nhiệt độ.
Tơi sẽ miêu tả biểu diễn tốn học của phương pháp nhiễu động EOF. Đặt ọu và

ọv (ọu > 0 theo hướng tây đông, ọv > 0 theo hướng nam bắc) là các thành phần sai

13


phân của trường gió, đó là sai phân giữa đường dự báo nhiễu động và dự báo chuẩn tại
các khoảng 3h. Sau đó một véctơ phức tại một điểm lưới Gaussian có thể được viết
bằng cách kết hợp ọu và ọv như sau:

ọws,t = ọus,t + iọvs,t

(1.1)

ở đây ọu và ọv được xác định như sau:

ọus,t = ups,t – ucs
ọvs,t =,t vps – vcs,t

(1.2)
(1.3)
Kí hiệu p và c biểu thị nhiễu (perturbed) hay chuẩn ( control), và s và t là kí hiệu của

khơng gian và thời gian.
Tồn bộ dữ liệu có thể được biểu diễn như ma trận chữ nhật TxS như sau:
 w11 , w12 ...w1S 


 w21 , w22 ...w2 S 
W =

....


 w , w ...w 
T2
TS 
 T1

Ma trận tương quan được định nghĩa như
H=

1
W*W
T

Trong đó W* biểu thị ma trận chuyển vị của W. Rõ ràng, H (Hermitian)là một ma trận
đối xứng và được định nghĩa là:
H = H*
H là đối xứng, và được cấu thành bởi các thành phần phức, ngoại trừ đường chéo là các
số thực. Thành phần đường chéo tỷ lệ với động năng của nhiễu động cho từng điểm
lưới.
Giả sử ei và ởi là các véctơ riêng và giá trị riêng của ma trận H, và các vectơ

riêng ei xuất phát từ độ lớn của các giá trị riêng ởi . Sau đó ma trận W của mảng dữ
liệu có thể được khai triển trên mối quan hệ với các véctơ riêng cơ sở ei:
W = YE
ở đây ma trận E gồm các véctơ hàng của ei, là một hàm chỉ biểu diễn không
gian, thường được xác định bằng EOF. Ma trận Y chứa các hệ số cho véctơ riêng khác
nhau tại các điểm thời gian khác nhau và là một hàm chỉ biểu biểu diễn bởi thời gian. ở
đây Y được gọi là thành phần chính (PC-Principal Component). Các mode lớn nhanh
được chọn một cách dễ dàng bằng cách khai căn các hệ số EOF. Các mode đó mà các
hệ số của nó tăng nhanh theo thời gian sẽ được biểu thị bằng các mode lớn nhanh và
được chọn.

14


Thời gian CPU của phương pháp này có thể được so sánh với phương pháp
véctơ nuôi dưỡng của Trung tâm dự báo môi trường quốc gia Mĩ (NCEP). Cho mỗi vị
trí nhiễu động của bão, chỉ tích phân một cặp mơ hình, bắt đầu từ chuẩn và phân tích
nhiễu động một cách ngâu nhiên cần thiết để tạo ra các nhiễu động cơ sở EOF. Do đó,
phương pháp này có khả thi cho quá trình dự báo bão.

15


Chương 2
MƠ HìNH CHíNH áP

2.1 Tổng Quan về mơ hình
Mơ hình chính áp dựa vào tính chất của bảo tồn xốy. Một vài thử nghiệm đã
được thực hiện với mơ hình chính áp và có ích cho việc dự báo gió ở vùng nhiệt đới ở
một vài mực nơi có độ phân kỳ nhỏ nhất.

2.1.1 Khái niệm về khí quyển chính áp, khí quyển tà áp
Khí quyển chính áp là khí quyển mà mật độ chỉ là hàm của áp suất:
  f (P )
(2.1)
Khí quyển tà áp là khí quyển mà mật độ là hàm của áp suất và nhiệt độ:
  f  P, T 
(2.2)
2.1.2 Các phương trình cơ bản
WBAR là mơ hình dựa trên việc giải hệ phương trình nước nơng. Coi khí quyển
như là một lớp chất lỏng mỏng. Gần đúng có thể chấp nhận được vì kích thước ngang
của khí quyển lớn hơn nhiều so với chiều thẳng đứng.
Trước hết ta viết các phương trình chuyển động mơ hình chính áp, có cơ sở là
chuyển động không nhớt, đồng nhất và không nén được của chất lỏng quanh trục trái
đất. Trên hệ toạ độ áp suất (x,y,p), chuyển động ngang của dịng chính áp có thể được
viết như sau:
u
u
u
z
u
v
 g  fv
t
x
y
x
v
v
v
z

u v
 g
 fu
t
x
y
y

(2.3)
(2.4)

Với u,v là hai thành phần vận tốc gió ngang, z là độ cao của áp suất bề mặt được
tính đến, f tham số coriolis. Cho chuyển động không phân kì (nondivergent) thì phương
trình liên tục được viết như sau:
u v

0
x y

(2.5)

Phương trình xốy cho dịngchính áp có thể nhận được bằng cách vi phân (2.3)
theo y, và (2.4) theo x và cộng vế với vế ta nhận được:



f
u
v
v

0
(2.6)
t

với  

x

y

y

u v

là xoáy tương đối, tham số coriolis phụ thuộc vào vĩ độ (2.6) có thể
x y

được viết lại như sau:

16


d
 a 0
dt

(2.7)

Với  a  f là xoáy tuyệt đối, phương trình trạng thái đơn giản đó là xốy tuyệt đối
được bảo toàn dọc theo chuyển động của phần tử.

Xét mối quan hệ của các thành phần gió với hàm dịng như sau:

y

v 
x
u  

(2.8)
(2.9)

Khi đó (2.6) được biến thành:
 2
 2   2 



 
t
y x
x y
x

(2.10)

Hoặc đơn giản hơn là:
 2

   J  , 2   
(2.11)

t
x
f
với J là tốn tử jacơbiên và   . Phương trình (2.11) là khung cơ bản cho mơ hình,
y





nhưng vẫn cưa đưa ra mơ tả đầy đủ trạng thái của chất lỏng vì trường áp chưa xác định.
Dùng phương trình cân bằng phi tuyến để đóng kín hệ.
   

2 gz . f  2 J 
,
 x y 

(2.12)

(2.12) xác định trường độ cao từ hàm dòng và cùng với (2.11) tạo thành một hệ đóng
kín cho sự phát triển của dịng chính áp khơng phân kì. Phương trình (2.12) mơ tả một
cách chính xác luật cân bằng ngược phi tuyến khi nó xác định độ cao địa thế vị từ
trường gió.
2.2 Đặc trưng của dịng chính áp
2.2.1Thành phần khơng đổi
Tương đối dễ dàng chỉ ra rằng trong suốt quá trình phát triển của dịng chính áp
khơng phân kì, thì tất cả năng lượng của xốy tuyệt đối được bảo tồn dọc theo sự
chuyển động của chất lỏng. Thêm vào hai vế của (2.11) cùng một đại lượng
được:

1 n 1 d
a
 a 0
n
dt

(2.13)

Hoặc
d n
 a 0
dt

(2.14)

17

1 n 1
 a ta
n


Vậy trong một vùng kín thì ta có thể đánh dấu được những giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của xốy tuyệt đối trong tích phân thời gian của mơ hình chính áp khơng phân
kì.
2.2.2 Miền khơng đổi
Dịng chính áp khơng phân kì bảo tồn một số lượng lớn, quan trọng nhất được
biết như là bình phương khơng đổi. Đó là, trung bình bình phương xốy và trung bình
động lượng trên một đơn vị khối lượng. Trung bình năng lượng của xốy tuyệt đối cịn
lại khơng đổi trong mơ hình. Để chỉ ra điều này thì (2.14) được viết lại như sau:

 n


 a 
u an 
v an
t
x
y





 

(2.15)

Tích phân trên một miền đóng ta được:


t 

n
a

D

 

 
. v an 0

(2.16)

D

Vì vậy,


t 

n
a

0

(2.17)

D

Động nămg có thể nhận được đơn giản bằng cách thêm u vào hai vế (2.3) và v
vào hai vế (2.4) rồi cộng kết quả thì ta được:
k
 v. k  gz 
t

(2.18)

Với k = (u2 + v2)/2 động năng. Bằng cách viết phương trình này dạng thơng lượng và

tích phân trong miền đóng thì được:

kdxdy 0
t 
D

Note: Bình phương trung bình xốy và động năng trong mơ hình là những đại
lượng khơng đổi. Một hệ quả quan trọng được rút ra từ những sự bảo toàn này là trung
bình số sóng cũng bảo tồn.
2.2.3 Trao đổi năng lượng chính áp.
Một cơ chế quan trọng cho sự hình thành và tồn tại của những nhiễu động trong
động lực chính áp bao gồm độ đứt vận tốc trong vận tốc cong. Sự bảo tồn xốy tuyệt
đối hàm ý rằng trong q trình chuyển động có sự trao đổi giữa độ đứt, độ cong và vận
tốc trái đất. Khái niệm độ bất ổn định xoáy là một sự tuyến tính hố đơn giản của
những thay đổi này. Năng lượng chủ yếu trao đổi trong động lực chính áp là biến đổi từ
năng lượng thế năng sang động năng xoáy và ngược lại. Từ (2.3) và (2.4), những thay
đổi này có thể được biểu diễn như sau:
K e
 '
 k z .k e  u 
u v'
t
y

 

18

(2.20)

K z
 '
 k e .k z  u 
u v'
t
y

(2.21)

K t K e K z


t
t
t

(2.22)

 

ở đây kí tự [ ] và [ ] đại diện cho trung bình theo đới và theo kinh tuyến, dấu
phảy là đạo hàm từ trung bình. Đây là một cách tốt để điều khiển sự trao đổi năng
lượng này và giải thích cho sự phát triển những xốy này.
2.3 Cấu trúc mơ hình và điều kiện biên.
Như đã đề cập trước đây mô hình chính áp dựa trên cơ sở tích phân phương
trình (2.11) và (2.12) với điều kiện biên xấp xỉ. Công nghệ số bao gồm việc viết các
phương trình chính trong vi phân hữu hạn tương ứng tại từng điểm riêng biệt theo
khơng gian và thời gian.Các phương trình này được giải trên một khơng gian lưới
ngang có quy luật.

Một vấn đề ở đây là giới hạn miền lưới mơ hình phải xác định rõ điều kiện biên.
Lời giải cho các phương trình chính phụ thuộc vào tính liên tục giá trị trên biên. Kết quả
quan trọng nhất từ sự xử lý biên là làm nhiễu dự báo bởi sóng nội trọng trường phản xạ
trở lại miền từ các biên. Cho mơ hình chính áp khơng phân kì, sự xác định điều kiện
biên khơng là vấn đề chính khi nội sóng trọng trường không được sinh ra. Trong trường
hợp này một sự liên tục tuần hoàn theo hướng đới được lấy từ trường ban đầu, và được
duy trì trong quá trình tích phân. Cỏ bản thì bao gồm việc mở rộng miền tích phân bằng
việc thêm vào một vài điểm lưới hướng đới. Tại biên phía Nam - Bắc, vi phân xác định
sẽ được áp dụng. Cho ví dụ mà ta có thể dùng là.
 ( x , y B , t )   ( x, y B , t o )
(2.23)
Hoặc
ỉ(x, yB, t) =  ( x, y B , t o ) / dx
D

(2.24)

D

với to là thời gian ban đầu. Trong (2.23) thường dùng dọc theo biên Bắc và Nam. Điều
kiện biên được dùng trong việc giải phương trình loại Poisson.
2.4 Điều kiện ban đầu.
Dạng vi phân xác định của phương trình dự báo (2.11) yêu cầu một trường
đường dòng ban đầu đặc biệt để dự báo. Được làm một cách đơn giản qua việc giải
phương trình Poisson.
 2 
(2.25)
Cho các thành phần gió, khi đó xốy tương đối sẽ được tính bằng cách sử dụng
sấp xỉ sai phân trung tâm,
 ij 

v (i 1, j )  v( i  1, j )
2x



19

u ( i , j 1)  u ( i , j  1)
2 y

(2.26)


Tính tuần hồn theo hướng Đơng Tây được sử dụng. Giá trị tại biên Bắc và Nam
được tính bằng việc dùng ngoại suy tuyến tính. Trường hàm dịng ban đầu được tính
bằng cách giải (2.25) với điều kiện biên như trên. Xốy nhận được từ trường gió dùng
phương trình (2.26).

20


2.5 .Một số thuật tốn dùng trong mơ hình
Trong khí tượng những phương trình cơ bản thống trị hồn lưu khí quyển, nói
chung đều là những hệ phương trình vi phân phi tuyến. Nó khơng có nghiệm giải tích
(analytica solution) nên phải được giải bằng phương pháp số (numerical methods).
Hầu hết những toán tử gặp phải trong việc giải các phương trình này là những dạng đạo
hàm bậc nhất và bậc hai, Jacobian và Laplacian. Những toán tử này đều là những đạo
hàm riêng.
2.5.1. Sai phân không gian

Gần đúng của những đạo hàm riêng tại một điểm cho trước được dựa vào
biểu diễn Taylor của biến số quanh điểm đó. Những giá trị của biến được xem là đã
biết tại những điểm rời rạc trong không gian và những tổ hợp khác nhau của những
biểu diễn Taylor có thể tạo ra độ chính xác khác nhau trong việc ước lượng những đạo
hàm của hàm số.
Giả sử một hàm u(x) được biết tại những điểm rời rạc trong không gian,
những điểm này được phân chia đều nhau cách nhau là một khoảng x . Đạo hàm của
u(x) có thể nhận được bằng cách sai phân hữu hạn. Nếu x dương thì biểu diễn Taylor
của u(x) quanh điểm x được cho bởi :
u ( x  x) u ( x) 

du x d 2 u x 2
d n u x n
 2
 ...  n
dx x 1! dx x 2!
dx x n!

(2.27)

du x d 2 u x 2
d n u x n
 2
 ...  ( 1) n n
dx x 1! dx x 2!
dx x n!

(2.28)

Hay nếu x âm thì :

u ( x  x) u ( x ) 

 Đạo hàm bậc nhất
Từ những biểu diễn này có ba cơng thức khác nhau để xác định đạo hàm bậc
nhất của hàm u(x) và trong khí tượng thường được gọi tương ứng là 3 dạng sai phân
sau :


Sai phân tiến (Forward difference):

21


du ( x)
u ( x  x )  u ( x)

  ( x)
dx x
x



(2.29)

Sai phân lùi (backward difference):
du ( x)
u ( x)  u ( x  x)

  (x)
dx x

x



(2.30)

Sai phân trung tâm ( centered difference):
du ( x)
u ( x  x )  u ( x  x)

  ( x 2 )
dx x
2 x

(2.31)

ở đây  (x) và  (x 2 ) là sai số với độ chính xác bậc nhất và bậc hai của x
Trong đó sai phân tiến và sai phân lùi cho độ chính xác bậc nhất ,sai phân trung
tâm có độ chính xác bậc hai.
Ngồi ra người ta cịn dùng ước lượng độ chính xác bậc bốn của đạo hàm bậc
nhất cho các hàm số, có dạng sai phân là :
du ( x)
dx

x

4  u ( x  x)  u ( x  x)  1  u ( x  2x )  u ( x  2x) 
 
  3 


3
2x
4x

(2.32)

 Đạo hàm bậc hai
Đối với đạo hàm bậc hai thì ước lượng độ chính xác bậc hai của u(x) có thể rễ
ràng nhận được bằng cách cộng (2.27) và (2.28) với nhau ta được :
u ( x  x)  u ( x  x) 2u ( x)  2

d 2 u x 2
d 4 u x 4
d 2 n u x 2 n

2

...

2
dx 2 x 2!
dx 4 x 4!
dx 2 n x 2n!

(2.34)

Đối với đạo hàm bậc hai với độ chính xác bậc bốn là :
d 2u
dx 2


x

1
x 2

4
1
 5

  2 u ( x)  3  u ( x  x )  u ( x  x)  12  u ( x  2x)  u ( x  2x) 

  (x 4 )

(2.35)
Trong dự báo thời tiết số đo độ chính xác bậc bốn chính xác hơn độ chính xác bậc
hai nên sơ đồ độ chính xác bậc bốn được sử dụng nhiều hơn.
 . Toán tử Laplacian
Laplacian của một hàm u(x) được định nghĩa như sau :

22


2 u ( x, y ) 

 2u  2u

x 2 y 2

(2.36)

Và xuất hiện trong nhiều phương trình chuẩn đốn và dự báo (diagnostic and
prognostic equations) trong khí tượng. Sự vận dụng tương tự hữu hạn của nó được
nhận thấy là rất thiết thực đối với nhiều bài toán. Phát triển công thức sai phân hữu hạn
của Laplacian được dựa vào biểu diễn Taylor hai chiều quanh một điểm (a,b).
u ( a, b)
u ( a, b) ( x  a ) 2  2 u (a, b)
u ( x, y ) u (a, b)  ( x  a)
 ( y  b)

x
y
2!
x 2


( y  b) 2  2 u ( a , b )
 2 u ( a, b)

(
x

a
)(
y

b
)
 ...
2!

xy
y 2

(2.37)

Giả sử một lưới điều hòa phân bố theo hướng x và y thì ta cịng có được biểu
diễn Taylor của hàm u(xh, yh) quanh điểm (x,y) dưới dạng


h2 

 )u ( x, y )  (  ) 2 u ( x, y )  ...
x y
2! x y

(2.38)

u ( x  h, y  h) u ( x, y )  h(



h2 

 )u ( x, y )  (  ) 2 u ( x, y )  ...
x y
2! x y

(2.39)

u ( x  h, y  h) u ( x, y )  h(



h2 
 2

)u ( x, y )  ( 
) u ( x, y )  ...
x y
2! x y

(2.40)

u ( x  h, y  h) u ( x, y )  h(



h2 
 2

)u ( x, y )  ( 
) u ( x, y )  ...
x y
2! x y

(2.41)

u ( x  h, y  h) u ( x, y )  h(

ở đây h là khoảng cách giữa hai điểm lưới liên tiếp. Tương tự bốn phương

trình khác có thể viết cho u(x, y+h), u(x-h, y), u(x, y-h), u(x+h, y) quanh điểm (x, y).
Từ các phương trình (2.38), (2.39), (2.40), (2.41) ta thu được :
u ( x  h, y  h)  u ( x  h, y  h)  u ( x  h, y  h)  u ( x  h, y  h) 4u ( x, y )
2
+ 2h (

 2u  2u
h4 4
 4u
h6
 4u
6
2

)

(

u

4
)

(

u

12

)   (h 8 )

2
2
2
2
2
2
6
180
x
y
 x y
 x y

(2.42)
Sử dụng bốn khai triển khác ta có tổng :

23


u ( x, y  h)  u ( x  h, y )  u ( x, y  h)  u ( x  h, y ) 4u ( x, y )  h 2 (

 2u  2u

)
x 2  2 y

h 4  4u  4u
h 6 6u 6u
( 4  4)
( 6  6 )   (h 8 )

12 x
360 x
y
y

(2.43)

Laplacian 5 diểm với độ chính xác bậc hai là :
u(x, y+h)

u(x,y)




u(x-h, y)


u(x+h, y)


u(x, y-h)
2 u 

1
u ( x, y  h)  u ( x  h, y )  u ( x, y  h)  u ( x  h, y )  4u ( x, y )   ( h 8 )
h2





(2.44)
Tương tự , sử dụng (2.42) và (2.43) ta thu được Laplacian 9 điểm với độ
chính xác bậc hai :
u(x-h, y+h)

u(x+h,y+h)







u(x,y)












u(x-h, y+h)

u(x+h, y-h)

24