PT BPT co chua can thuc LTDH

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Tài liệu LTĐH TOÁN – PT, BPT CÓ CHỨA CĂN THỨC. Lưu hành nội bộ. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC −−−−−−−  Kiến thức cơ bản: ▪. ▪. ▪. ▪. f ( x) =. ïì f ( x) ³ 0 g ( x) Û ïí (hoặc g( x )  0 ) ïïî f ( x) = g ( x). ìï f ( x) ³ 0 ïï ìï g ( x) ³ 0 ï f ( x) = g ( x) Û í g ( x) ³ 0 Û íï ïï ïï f ( x) = [g ( x) ]2 2 î ïï f ( x) = [g ( x)] ïî ìï f ( x) ³ 0 ïï ï f ( x) < g ( x) Û í g ( x) ³ 0 ïï ïï f ( x) < [g ( x)]2 ïî éïì g ( x) < êïí êï f ( x) ³ ïî f ( x) > g ( x) Û êê êìïï g ( x) ³ êí êëïïî f ( x) >. 0 0. (I ). 0 g 2 ( x). nghiệm của BPT đã cho là hợp của nghiệm hệ (I) với. ( II ). hệ (II). ● Các cách giải phương trình căn thức thường sử dụng:  Phương pháp 1: Biến đổi về dạng cơ bản  Ví dụ: Giải phương trình:. 3x 2  9 x  1  x  2  0 Giải:. 3x 2  9 x  1  x  2  0  3x 2  9 x  1  2  x 2  x  0  2 2 3 x  9 x  1  4  4 x  x x  2  1  x  3   x 2  x   1   2 1 Vậy phương trình có nghiệm: x   2  Bài tập: Giải các phương trình sau:. . 6  4x  x2  x  4  0. . 2x  6x2  1  x  1. . 4  3 10  3 x  x  2. . x ( x  1)  x ( x  2)  2 x 2. GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN. -1-. Cell phone: 0935228284.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Tài liệu LTĐH TOÁN – PT, BPT CÓ CHỨA CĂN THỨC. Lưu hành nội bộ.  Phương pháp 2: Đặt điều kiện (nếu có) và nâng lũy thừa để khử căn thức  Ví dụ: Giải phương trình:. 2 x  9  4  x  3x  1 Giải:. 2 x  9  4  x  3 x  1 (1) 2 x  9  0 1  Điều kiện:  4  x  0    x  4 3 3 x  1  0 .  2 x  9  3x  1  4  x. (1). x  0 (nhận)   x  11 3 .  2 x  9  2 x  5  2 (3 x  1)(4  x )  (3 x  1)(4  x )  2  3 x 2  11x  0.  11  Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  0;   3  Bài tập: Giải các phương trình sau: . x 5  x 3  2. . x 1  x  6  x  9. . x  9  5  2x  4. . 5x  1  3x  2  x  1  0.  Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình hoặc hệ phương trình đại số:  Ví dụ: Giải phương trình: ( x  5)(2  x )  3 x 2  3x Giải:. ( x  5)(2  x )  3 x 2  3x (1)  x  3 Điều kiện: x 2  3x  0   x  0. (1)  ( x 2  3 x )  10  3 x 2  3x t  2(n) Đặt t  x 2  3 x (t  0) . Phương trình trở thành: t 2  3t  10  0   t  5(l ) x  1 t  2  x 2  3x  2  x 2  3x  4  0   (nhận)  x  4 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  4;1.  Bài tập: Giải các phương trình sau: . x  1  4  x  ( x  1)(4  x )  5.  3x 2  15x  2 x 2  5x  1  2  3( x  2)2 ( x  1)  2 x 3  3 x 2  3  8  0  2 x  3  x  1  3 x  2 2 x 2  5 x  3  16 . x  1  3  x  ( x  1)(3  x )  2. . 2 x 2  5 x  2  2 2 x 2  5x  6  1. . 3  x  x2  2  x  x 2  1. . x2  x  4  x2  x  1  2 x2  2 x  9. GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN. -2-. Cell phone: 0935228284.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Tài liệu LTĐH TOÁN – PT, BPT CÓ CHỨA CĂN THỨC. Lưu hành nội bộ.  Phương pháp 4: Biến đổi phương trình về dạng tích số: A.B=0 hoặc A.B.C=0 x2  Ví dụ: Giải phương trình:  3x  2  1  x 3x  2 Giải: 2 x  3x  2  1  x (1) 3x  2 3 Điều kiện: 3x  2  0  x  2 (1)  x 2  3x  2  (1  x ) 3 x  2  ( x  1)( x  2)  (1  x ) 3 x  2  0  ( x  1) ( x  2)  3 x  2   0   x  1 x  1      x  2 ....  x  1  3x  2  2  x  3 x  2  4  4 x  x 2 . So với điều kiện ban đầu ta được: x=1. Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  1  Bài tập: Giải các phương trình sau:  x  2 7  x  2 x  1   x 2  8x  7  1 . 2 x 2  8 x  6  x 2  1  2( x  1).  Phương pháp 5: Quy phương trình chứa căn thức về hệ phương trình không chứa căn thức  Ví dụ: Giải phương trình: 3. 3. x  2  3 x  3  3 2x  1 Giải:. x  2  3 x  3  3 2 x  1 (1). Đặt u  3 x  2; v  3 x  3.  u  0  3   v  5  3 3 3 3 u  v  3 u 3  v3 u  3uv(u  v)  v  u  v uv(u  v)  0  v  0 (1)    3 3  3 3    u  3 5 3 3 u  v  5 u  v  5 u  v  5    u  v  0  3 3  u  v  5 x  2  0 u  0 Do đó:    x2 3 x  3  5  v  5  v  0 x  3  0   x  3   3 u   5  x  2  5 5 5 1 u  v  0 u   v  3 3  v3   x  3   x    3 3 2 2 2 u  v  5  v  v  5  1 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  2; 3;   2   Bài tập:. GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN. -3-. Cell phone: 0935228284.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Tài liệu LTĐH TOÁN – PT, BPT CÓ CHỨA CĂN THỨC. Lưu hành nội bộ. Giải các phương trình sau: . 3. x  34  3 x  3  1. .  2( x 2  2)  5 x 3  1 3. 2  x  1 x 1. . 3. (2  x )2  3 (7  x )2  3 (7  x )(2  x )  3 3. (.  x+. 3. x 1  3 x  2  3 2x  3.  2( x 2  3 x  2)  3 x 3  8. .  x 35 - x 3 x +. 3. ). 35 - x 3 = 30. 17 - x 2 + x 17 - x 2 = 9.  Phương pháp 6: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất của phương trình: Ta thường sử dụng các tính chất sau: Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình f (x) c có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). Do đó nếu tồn tại x0(a,b) sao cho f (x0 ) c thì x0 là nghiệm duy nhất của phương trình f (x) c Tính chất 2: Nếu hàm f là hàm tăng trong khỏang (a,b) và hàm g là hàm giảm trong khoảng (a,b) thì phương trình f (x) g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a,b) . Do đó nếu tồn tại x0 (a,b) sao cho f (x0 ) g(x0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình.  Ví dụ: Giải phương trình: x 5 + x 3 -. 1- 3x + 4 = 0 Giải:. Điều kiện: x  1 . Đặt f  x   x 5  x 3  1  3x  4  0 . 3 Ta có: f   x   5 x 4  3x 2 . 1 3  0 x   f (x) đồng biến trên , 1  . 3  3 2 1  3x. . Mặt khác f (1)  0 nên phương trình f (x)  0 có nghiệm duy nhất x  1. ● Các cách giải bất phương trình căn thức thường sử dụng:  Phương pháp 1: Biến đổi về dạng cơ bản:  Ví dụ 1: Giải bất phương trình:. x2 - 4 x + 3 < x + 1 Giải:. ìï x 2 - 4 x + 3 ³ 0 é1 ïï ê < x£ 1 2 ï x - 4x + 3 < x + 1 Û í x + 1 > 0 Û ê3 ïï ê ïïî x 2 - 4 x + 3 < x 2 + 2 x + 1 êëx > 3 æ1 ù Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = çç ;1úÈ [3; + ¥ ) èç3 úû  Ví dụ 2: Giải bất phương trình:. ( x + 1)(4 - x) > x - 2 Giải:. éìï ( x + 1)(4 - x) ³ 0 êïí êï x - 2 < 0 ïî ( x + 1)(4 - x) > x - 2 Û êê ....... Û êïìï x - 2 ³ 0 êí 2 êëïïî - x + 3 x + 4 > x 2 - 4 x + 4. é- 1 £ x < 2 ê ê 7 ê0 < x < êë 2. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = [- 1;2)È (0;7)  Bài tập tương tự:. GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN. -4-. Cell phone: 0935228284.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Tài liệu LTĐH TOÁN – PT, BPT CÓ CHỨA CĂN THỨC. Lưu hành nội bộ. Giải các bất phương trình sau:. a. x 2 + 3 x + 3 < 2 x + 1 b. 8 + 2 x - x 2 > 6 - 3 x c. 2 x 2 - 6 x + 1 - x + 2 > 0 d. 4 -. 1- x >. 2- x.  Phương pháp 2: Đặt điều kiện (nếu có) và nâng lũy thừa để khử căn thức:  Ví dụ : Giải bất phương trình: x + 11 - 2 x - 1 ³ x - 4 (1) Giải:. ïìï x + 11 ³ 0 ï Điều kiện: í 2 x - 1 ³ 0 Û x ³ 4 ïï ïïî x - 4 ³ 0 (1) Û x + 11 ³ x - 4 + 2x - 1. Û x + 11 ³ 3 x - 5 + 2 ( x - 4)(2 x - 1) Û. ( x - 4)(2 x - 1) £ 8 - x. ......... éx £ - 12 Û ê êë5 £ x £ 8 Kết hợp điều kiện ta được: 5 £ x £ 8 . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = [5;8]  Bài tập tương tự: Giải các bất phương trình sau:. a. x - 1 -. x- 6 £. x- 9. b. x + 3 +. x+ 2-. 2x + 4 > 0. c. x +. x+ 1<. d. x + 3 ³. 6x - 1. 2x - 8 +. 7- x.  Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số:  Ví dụ : Giải bất phương trình: 2 x 2 + 4 x + 3 3 - 2 x - x 2 > 1 (1) Giải: 2 Điều kiện: 3 - 2 x - x ³ 0 Û - 3 £ x £ 1. (1) Û 3 - x 2 - 2 x + 3 > 1 + 2(- x 2 - 2 x + 3) - 6 (2). - x 2 - 2 x + 3 (t ³ 0) . Bất phương trình (2) trở thành: 5 2t 2 - 3t - 5 < 0 Û - 1 < t < 2 5 5 So sánh điều kiện t ³ 0 ta được: 0 £ t < Þ - x 2 - 2 x + 3 < Û 4 x 2 + 8 x + 13 > 0, " x Î ¡ 2 2 So với điều kiện ban đầu ta được tập nghiệm của bất phương trình (1) là: S = [- 3;1] Đặt t =.  Bài tập tương tự:. GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN. -5-. Cell phone: 0935228284.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Tài liệu LTĐH TOÁN – PT, BPT CÓ CHỨA CĂN THỨC. Lưu hành nội bộ. Giải các bất phương trình sau:. a. 3 x 2 + 5 x + 4 -. 3x 2 + 5 x + 2 > 1. b. 3 x 2 + 6 x + 4 < 2 - 2 x - x 2 3 1 d .3 x + < 2x + - 7 2x 2 x. c. x( x - 4) - x 2 + 4 x + ( x - 2) 2 < 2.  Phương pháp 4: Biến đổi bất phương trình về dạng tích số hoặc thương:  Ví dụ : Giải bất phương trình: ( x 2 - 3 x ) 2 x 2 - 3 x - 2 ³ 0 (1) Giải:. é 1 êx £ Điều kiện: 2 x - 3 x - 2 ³ 0 Û ê 2 ê êëx ³ 2 1 1  TH1: Với x = hoặc x = 2 thì (1) thỏa mãn. Suy ra x = ; x = 2 là nghiệm của (1) 2 2 éx £ 0 1  TH2: Với x < hoặc x>2 thì (1) Û x 2 - 3 x ³ 0 Û ê êëx ³ 3 2 2. 1 hoặc x ³ 3 2 1 Vậy nghiệm của bất phương trình là: x £ - ; x = 2; x ³ 3 2 So sánh điều kiện ta được: x < -.  Bài tập tương tự: Giải các bất phương trình sau:. 51 - 2 x - x 2 b. <1 1- x. x+ 5- 3 a. <1 x- 4 12 + x - x 2 c. ³ x - 11. 12 + x - x 2 2x - 9. d.. 2( x 2 - 16) x- 3. +. x- 3 >. 7- x x- 3. Nguyên tắc thành công: Suy nghĩ tích cực; Cảm nhận đam mê; Hành động kiên trì !. Bí ẩn của thành công là sự kiên định của mục đích! Chúc các em học sinh THÀNH CÔNG trong học tập! Biên soạn và chỉnh lý: GV - Th.s Huỳnh Phúc Hải  Email: ;  ĐT: 0935.228284 – 0905.228284 – 096.4455112. GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN. -6-. Cell phone: 0935228284.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>