PT và BPT chứa căn thức

ph ¬ng ph¸p biÕn ®æi t ¬ng ® ¬ng:
Bµi1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh :
1) x 1 8 3x 1+ = − +
2
2) x 2 4 2-xx− − =
2
3) 3x 9 1 x-2x− + =
2
4) 3x 9 1 x-2x− + =
5) 3x 7- x 1 2+ + =
2 2
6) x 5 x 8 4 5x x+ − + + − =
Bµi2: Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau:
2
1) x 12 7-xx− − <
2
2) 21-4x-x x 3< +
2
3) 1-x 2x 3 5 0x+ − − <
2
4) x 3 10 x-2x− − ≥
2
5) 3 -x 6 2(2x-1) 0x+ + + >
2
6) 3x 13 4 2-x 0x+ + + ≥
7) x 3- 7-x 2x-8+ > 8) 2x 3 x 2 1+ + + ≤
2
9) 2x x 1 x 1+ + > +
10) 2-x 7-x - -3-2x >
11) 11-x- x-1 2≤
4

12) - 2-x 2
2-x
<
2
x 16 5
13) x-3
3 x-3x
−
+ >
−
14) 1-4x 2x 1≥ +
2
1 3 1 1
16) -
x 4 x 2
− <
2
1 1 4 3
17) -
x 2 x 4
> −
18)
3
3 3
x 5 x 6 2x 11+ + + = +
19)
3 3
3
x 1 3x 1 2x 1+ + + = −
20)

3 3
3
x 1 x 2 x 3 0+ + + + + =
21)
3 3
1 x 1- x 2 + + =
23)
( )
2 2
x 3 x 4 x 9− − ≤ −
24)
2 2
x 4x 3 2x 3x 1 x 1− + − − + ≥ −
25)
2 2 2
x 3x 2 x 6x 5 2x 9x 7+ + + + + ≤ + +
26)
2 2 2
x 3x 2 x 4x 3 2 x 5x 4− + + − + ≥ − +
27)
1
3 x x 1
2
− − + >
28)
3x +1 2x -3≤
29)
2 2
x - 4x +3 < 2x - 10x + 11
30)

2
x - x - 1 3 - x≤
31)
4 - 1 - x > 2 - x
32)
x + 3 < 1 - x
33)
2
x + x - 6 < x - 1
34)
2
5x + 61x < 4x + 2
35)
2x - 1 2x - 3≤
36)
2
x + 6x + 8 2x + 3≤
37)
2
x - 4x - 12 x - 4≤
38)
x - 3. x + 1 +3 > 0
39)
2
x - 3x - 10 < x - 2
40)
2
x - 16 2x - 7≤
41)
2

2x - 1 > 1 - x
42)
2
x - 5x - 14 2x - 1≥
43)
2
x - x- 12 x- 1≥
44)
2
x - 4x - 12 2 3x> +
45)
2
-x - 8x -12 > x + 4
46)
2
-x + 6x - 5 > 8 - 2x
47)
2
x + 4x - 5 > x
48)
2 2
(x - x) > x - 2
49)
− +
4 2
x 2 1 > 1 - xx
50)
2
x - 3x + 2 > 2x - 5
51)

2
x - 4x + 5 + 2x 3≥
52)
(x + 1)(4 - x) > x - 2
53)
2
-x + 6x -5 > 8-2x
54)
2
2x - 6x + 1 - x + 2 > 0
55)
≥
2- x + 4x -3
2
x
56)
2
2x - 4
> 1
x - 3x - 10
57)
x + 5
< 1
1-x
58)
2
51- 2x -x
< 1
1- x
59)

2
1 1
>
2x - 1
2x + 3x - 5
60)
2
1 - 1 - 4x
< 3
x
61)
2
8 - 2x - x
> 1
x + 2
62)
x - 1- x- 2 > x -3
63)
3x + 4 + x - 3 4x + 9≤
64)
5x - 1 - 3x - 2 - x - 1 > 0
65)
x + 3 2x - 8 + 7 - x≥
66)
x + 5 - x + 4 > x + 3
67)
5x - 1 - x - 1 > 2x - 4
68)
2 2
4 - x + 1- x < 2

69)
≤
4 2 4 2 2
x +x -1 + x -x +1 2x
70)
x+3 - x-1< x-2
71)
x+1 - x-1 x≤
72)
5x+1 - 4x-1 3 x≤
73)
x+1 > 3- x+4
74)
x+2 - 3-x< 5-2x
75)
2 2 2
x +x+1+ x - x+1 2x +6x+2≥
76)
6x + 1 - 2x + 3 < 8x - 4x + 2
77)
x + x + 9 x + 1 + x + 4≥
78)
3 3
12 - x + 14 + x 2≥
79)
3 3
4 - x + x + 8 2≥
80)
2
x 1 - x < 0

81)
2
2
9x - 4
0
5x - 1
≤
82)
( )
2
2x - 5 2x - 5x + 2 0≤
83)
2 2
(x - 4x + 3) x - 4 > 0
84)
2
(x-1)
x(x + 2) 0
(x-2)
≥
85)
2 2
(x - 3x) 2x - 3x - 2 0≥
86)
2 2
( 2) x + 4 x - 4x − ≤
87)
2
2
3(4x -9)

2x +3
3x - 3
≤
88)
2 2
(x - 3) x + 4 x -9≤
89)
2
2
9x - 4
3x+2
5x - 1
≤
90)
2 2
x(x - 4) 4x - x 4 - (2 - x)≥
91)
2
x
- 3x - 2 1 - x
3x - 2
≥
92)
2
2 2
2
x
x - x - 4+ 4 -x
2 - 4 - x
≤

93)
x+3
4x+1 - 3x-2
5
≤
94)
≤
2
2 2
2
x
3x - 2x +1 - 25 - x
5 + 25 - x
95)
2
2
40
x + x +16
x +16
≤
96)
2 2
3x +5x+7 - 3x +5x+2 >1
97)
2
2
4x
< 2x + 9
(1 - 1 + 2x )
98)

2x
> 2x + 2
2x + 1 - 1
99)
2 2
4(x + 1) < (2x + 10)(1 - 3 + 2x)
100)
2
2
2x
x + 21
(3 - 9 + 2x )
≤
101)
2
2
x
> x - 4
(1 + 1 + x )
102)
2 2
9(x + 1) (3x + 7)(1 - 3x + 4)≤
103)
(x-1) 2x - 1 3(x-1)
104)
2x
> 2x + 2
2x + 1 - 1
105)
2

2
x
> x - 4
(1 + 1 + x )
106)
2
2
4x
< 2x + 9
(1 - 1 + 2x )
107)
2
2
2x
x + 21
(3 - 9 + 2x )

108)
2 2
4(x + 1) < (2x + 10)(1 - 3 + 2x)
109)
2 2
x + 4x (x + 4) x - 2x + 4
110)
2 2
9(x + 1) (3x + 7)(1 - 3x + 4)
ph ơng pháp đặt ẩn phụ:
Bài1: Giải các phơng trình :
2 2
1) 3x 5 8- 3x 5 1 1x x+ + + + =

2 2
2) x 9- x 7 2+ =
21 x 21 21
3)
x
21 x 21
x
x
+ +
=
+
2 2 2
4) 3x 6 16 2 2 x 2 4 x x x x+ + + + = + +
5)
( )
(x 5)(x-2) 3 x x 3 0+ + + >
6)
2
(x 1)(x 4) 5 x 5 28x+ + < + +
7)
2 2
3x 5 7- 3x 5 2 1x x+ + + +
8)
2
(x 4)(x 1)-3 x 5 2 6 x+ + + + =
9)
( ) ( )
2
4 4 x 2 x x 2x 8 +
10)

2 2
2x x 5x 6 10x 15+ > +
11)
2 2
2x 4x 3 3 2x x 1+ + >
12)
2
6 (x - 2)(x - 32) x - 34x+48
13)
2
x(x + 3) 6 - x - 3x
14)
2
(x +4)(x +1) - 3 x +5x+2<6
15)
2 2
x - 4x - 6 2x - 8x+12
16)
2
2x(x-1) +1 > x - x+1
17)
2
(x +1)(x +4) < 5 x +5x+28
18)
2 2
x + 2x + 5 4 2x + 4x+3
19)
2 2
2x + x -5x -6 >10x+15
20)

4x x-1 3
- >
x-1 4x 2
21)
x x+1
- 2 >3
x+1 x
22)

4
6x 12x 12x
- - 2. 0
x-2 x-2 x-2
23)
3 6
x-2 x-2 x-2
+2. + -4 0
x+1 x+1 x+1

24)
5 1
5 x + < 2x+ +4
2x
2 x
25)
2 1
4 x + < 2x+ +2
2x
x
26)

3 1
3 x + < 2x+ -7
2x
2 x
27)
3
x > 1 + x-1
28)
3 2
(x + 1) + (x + 1) + 3x x+1 > 0
29)
x - 1 + x + 3 + 2 (x - 1)(x + 3) > 4 - 2x
30)
2 2
x + 1- x x. 1- x
31)
x + 5 + -x - 3 < 1 + (x + 5)(-x - 3)
32)
2
x 35
x+ >
12
x -1
33)
2
7x+7 + 7x-6 + 2 49x +7x- 42 <181-14x
34)
2
2x
x+ >3 5

x -4
35)
2
2x + x + x + 7 + 2 x + 7x 35
36)
2
2
1 3x
+1>
1-x
1-x
37)
2 2 2
x - 4x + 6 + x - 4x + 8 2x - 8x + 32
38)
2
2 2
2 2
5a
2(x+ x +a )
x +a

39)
2 2
x -1 2x x +2x
40)
2 2
x -1 2x x -2x
41)
2

x-1 x( x-1 - x) + x - x
42)
2
2
1 3x
+ 1 >
1 - x
1 - x
43)
3 3
(4x - 1) x +1 2x + 2x + 1≤
44)
2
2x +12x +6 - 2x -1 > x +2
45)
x - 1 + x + 3 + 2 (x - 1)(x + 3) > 4 - 2x
46)
2
2x - 6x + 8 - x x - 2≤
47)
x + 5 + -x - 3 < 1 + (x + 5)(-x - 3)
48)
3 2 2
x - 2x + x x x + x - 2x≥
49)
2
7x+7 + 7x-6 +2 49x +7x-42 <181-14x
50)
≤
2

2x -10x+16 - x-1 x-3
51)
≥
4
2 3x -2+ x+2 3 (3x -2)(x+2)
52)
2
1 x+1 (x+1)
x- + < 2x-1+
2 4 8
53)
2 2
x + 1- x x. 1- x≤
54)
2
1 1
2+
x
1- x
≥
55)
2
x 3 5
x +
2
x - 1
≥
56)
2 5 5
(1 - x ) + 1x ≤

57)
2
2x
x + > 3 5
x - 4
58)
2
2 2
2 2
5a
2(x + x + a ) (a 0)
x + a
≤ ≠
Ph ¬ng ph¸p hµm sè:
1)
x+1 + 2x+3 > 5
2)
x+9 + 2x+4 > 5
3)
2x+1 > 7 - x
4)
3
1 - x < x + 5
5)
2 3
x + 1 1 - 2x + x - x≤
6)
2 2
x - 2x + 3 - x - 6x + 11 > 3 - x - x - 1
7)

2
x + x - 1 1≥
8)
2
x - 1 + x - 1 (x + 1)(3 - x)≥
9)
2 2 2 2
3x - 7x + 3 + x - 3x + 4 > x - 2 + 3x - 5x - 1
Ph ¬ng ph¸p ®¸nh gi¸:
(Đánh giá bằng BĐT):
1)
2 2
x + x - 1 + x - x +1 x+1≤
2)
2
x
1 + x + 1 - x 2 +
4
≤
3
3)
≤
2 2
x - x -1+ x + x -1 2
4)
1 + x - 1 - x x≤
5)
2 2
2x + 4 + 2 2 - x 2 6≥
6)

2
2x - 10x + 16 - x - 1 x - 3≤
7)
2 4 2
2 x - x + x + 1 - x 1 + 2≥
8)
x + 2 x - 1 + x - 2 x - 1 2≤

9)
2 2 4 3 2
(2x - 3x + 1) - 4x - 20x + 25x < 2x + 1
10)
3
2 3
x - 2 2 - x≤

11)
x x 2
- >
1 - x + x 1 - x - x x

(Đánh giá bằng đạo hàm):
1)
≤
5 5
(1 -x) + (1 +x) 4 2
2)
2
x
1 + x + 1 - x 2 -

4
≤

3)
3
2002
3x +1 + 2x +4 < 3 - x
189
4)
3 2
2x + 3x + 6x + 16 > 2 3 + 4 - x

5)
2 2 3
23
x + (1 - x )
27
≥