DEDA HSG MON TOAN 8 HUYEN HOANG HOA NAM HOC 20112012

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- 2012 MÔN THI: TOÁN - LỚP 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề). Bài 1: (3,0 điểm). 2 5  x  1  2x  1   : 2  2  1  x x  1 1  x x 1   Cho biểu thức A =. a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để A > 0. Bài 2: (4,0 điểm). a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x: 7   3x  4   ( 6 x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1)  x y b) Tính giá trị biểu thức P = x  y . Biết x 2 – 2 y 2 = x y. ( x + y ≠ 0, y ≠ 0).. Bài 3: (4,0 điểm). a) Giải phương trình: x6 – 7x3 – 8 = 0 b) Chứng minh rằng: Nếu 2n + 1 và 3n + 1 (n  N) đều là các số chính phương thì n chia hết cho 40. Bài 4:(6,0điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh ABD  ACE. b) Chứng minh BH.HD = CH.HE. c) Nối D với E, cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a, b. Bài 5: (3.0điểm). a) Giải phương trình: (8x – 4x2 – 1).(x2 + 2x + 1) = 4(x2 + x + 1) 2.  ab  1    b) Cho hai số a, b thoả mãn a + b ≠ 0. Chứng minh rằng: a2 + b2 +  a  b  ≥ 2.. ……………………………………HẾT………………………………… Họ và tên thí sinh:……………………………………… Giám thị 1:……………………… Số báo danh:……………………….. Giám thị 2:………………………..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ. Bài. HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011- 2012 MÔN THI: TOÁN - LỚP 8. Nội dung a) (2,0 điểm) KXĐ: x ≠ ± 1. Bài 1 (3,0điểm). Bài 2. 1 x  2  2x  5  x 1  2x : 2 1  x2 x 1 A= 2 2 x 1 2 .  2 = x  1 1  2x 1  2x 1 b) (1,0 điểm) A > 0  1 – 2x > 0  x < 2 1 Đối chiếu ĐKXĐ, ta được - 1 ≠ x < 2 . 7   3x   4 a) (2,0 điểm) ( 6 x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1)  7  77 = 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2 + 7x – 3x + 4 = 4. 2 2 2 2 (4,0điểm) b) (2,0 điểm) x – 2y = xy  x – xy – 2y = 0  (x + y)(x – 2y) = 0 Vì x + y ≠ 0 nên x – 2y = 0  x = 2y. 2y  y y 1   Khi đó A = 2 y  y 3 y 3. a) (2,0 điểm) Ta có x6 – 7x3 – 8 = 0  (x3 + 1)(x3 – 8) = 0  (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = 0 (*) 1 3 Do x2 – x + 1 = (x – 2 )2 + 4 > 0 và x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 > 0 với. mọi x, nên (*)  (x + 1)(x – 2) = 0  x {- 1; 2} b) (2,0 điểm) Do 2n + 1 là số chính phương lẻ nên 2n + 1 chia cho 8 Bài 3 dư 1, suy ra n là số chẵn. Vì 3n + 1 là số chính phương lẻ nên 3n + 1 chia cho 8 dư 1, suy ra (4,0điểm) 3n  8  n  8 (1) Do 2n + 1 và 3n + 1 đều là số chính phương lẻ nên có tận cùng bằng 1; 5; 9 do đó khi chia cho 5 thì có dư là 1; 0; 4 Mà (2n + 1) + (3n + 1) = 5n + 2 , do đó 2n + 1 và 3n + 1 khi chia cho 5 đều dư 1. Suy ra 2n  5 và 3n  5  n  5 (2) Từ (1) và (2)  n  BCNN(5; 8) hay n  40. Điểm 0,25đ 0,75đ 1,0đ 0,5 đ 0,5đ. 2,0đ. 0,75đ 0,75đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a) (2,0điểm) Chứng minh được. A. 2,0đ D. ABD  ACE.. E H. B. C. Bài 4. b) (2,0điểm) Chứng minh được BHE  CHD (6,0điểm) Suy ra BH.HD = CH.HE. c) (2,0điểm) Khi AB = AC = b thì ABC cân tại A Suy ra được DE // BC. . 1,0đ 1,0đ 0,25đ. DE AD  BC AC. 0,25đ. AD.BC  DE = AC. Gọi giao điểm của AH và BC là F  AF  BC, a FB = FC = 2 a2 DC BC BC.FC   DC  AC = 2b DBC  FAC FC AC AD.BC ( AC  DC ).BC AC  DE = AC = 2 a (b  ).a a (2b 2  a 2 ) 2b b 2b 2 = =. 0,25đ 0,5đ. . Bài 5 (3,0điểm). a) (1,5điểm). Nhận thấy x = - 1 không phải là nghiệm của phương trình. 2. 0,5đ. 0,25đ. 2. 8x  4x  1 x  x 1  2 4 x  2x 1 Với x ≠ - 1 PT đã cho tương đương với x2  x 1 4 x 2  4 x  4 3( x 2  2 x  1)  ( x 2  2 x  1)   2 2 4( x 2  2 x  1) Ta có x  2 x  1 4( x  2 x  1) 3 ( x  1) 2 3   2 = 4 4( x  1) 4 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0  x = 1(1) 8 x  4 x 2  1 3  4( x 2  2 x  1) 3 3    ( x  1)2  4 4 4 4 . Đẳng thức xảy ra Lại có:. khi và chỉ khi x – 1 = 0  x = 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra phương trình chỉ có nghiệm x = 1 b) (1,5điểm). 0,25đ. 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2.  ab  1    Ta có a2 + b2 +  a  b  ≥ 2  (a2 + b2)(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 2(a + b)2.  (a + b)2 [(a + b)2 – 2ab] – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 0  (a + b)4 – 2ab(a + b)2 – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 0  (a + b)4 – 2(a + b)2(ab + 1) + (ab + 1)2 ≥ 0  [(a + b)2 – ab - 1]2 ≥ 0 suy ra đpcm.. 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>