DE KIEM DINH HS KHA GIOI MON TOAN 8 PGD DIEN CHAU NAM HOC 2009-2010

Phòng Giáo dục và đào tạo Diễn Châu
Đề kiểm Định chất lợng học sinh khá,giỏi
năm học 2009 2010
Môn: Toán - lớp 8 (Thời gian làm bài 120 phút)

Bi 1:(4 điểm) Cho biu thc M =






+
+

+

2
1
36
6
4
3
2
xx
xx
x
:

+

+
2
10
2
2
x
x
x
a. Rỳt gn M
b.Tìm x nguyên để M đạt giá lớn nhất.
Bi 2:(3 điểm) Cho biu thc: A = ( b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- 4b
2
c
2

a. Phõn

tớch biu thc A thnh nhõn t.
b. Chng minh: Nu a, b, c l di cỏc cnh ca mt tam giỏc thỡ A < 0.
Bi 3:(3 điểm)
a. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau :
A = x
2
+ 2y
2
2xy - 4y + 2014
b. Cho cỏc s x,y,z tha món ng thi:
x + y + z = 1: x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 v x
3
+ y
3
+ z
3
= 1.
Tớnh tng: S = x
2009
+y
2010
+ z

2011
Bài 4:(3 điểm)
a. Giải phơng trình:
209
1
2
++ xx
+
3011
1
2
++ xx
+
4213
1
2
++ xx
=
18
1

b. Giải phơng trình với nghiệm là số nguyên:
x( x
2
+ x + 1) = 4y( y + 1).
Bi 5:(7 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn có các đờng cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.
a. Tính tổng:
HD HE HF
AD BE CF

+ +
b. Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC
2
c. Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF.
d. Trên các đoạn HB,HC lấy các điểm M,N tùy ý sao cho HM = CN.
Chứng minh đờng trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định.
Hết
Họ và tên thi sinh Số báo
danh
Phòng Giáo dục và đào tạo Diễn Châu
Hớng dẫn chấm môn toán 8
Bài
Nội dung
Điểm
1 a






+
+

+

2
1
36
6

4
3
2
xx
xx
x
=






+
+


+ 2
1
)2(3
6
)2)(2(
2
xxxxx
x
=
2( 2) ( 2)
( 2)( 2)
x x x
x x

+ +
+
=
6
( 2)( 2)x x

+








+

+
2
10
2
2
x
x
x
=
2
( 2)( 2) (10 )
2
x x x

x
+ +
+
=
6
2x +

M =
6
2
.
)2)(2(
6 +
+
x
xx
=
x2
1
0,5
0,5
0,5
0,5
b
+ Nếu x

2 thì M

0 nên M không đạt GTLN.
+ Vậy x

2, khi đó M có cả Tử và Mẫu đều là số dơng, nên M
muốn đạt GTLN thì Mẫu là (2 x) phải là GTNN,
Mà (2 x) là số nguyên dơng

2 x = 1

x = 1.
Vậy để M đạt GTLN thì giá trị nguyên của x là: 1.
0,5
0,5
0,5
0,5
2 a
A = ( b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- 4b
2
c
2
= ( b
2
+ c
2

- a
2
- 2bc)( b
2
+ c
2
- a
2
+ 2bc)
=
2 2
( )b c a



2 2
( )b c a

+

= (b + c a)(b + c + a)(b c a)(b c + a)
0,5
0,5
0,5
b
Ta cú: (b+c a ) >0 ( BT trong tam giỏc)
Tơng tự: (b + c +a) >0 ; (b c a ) <0 ; (b + c a ) >0
Vy A< 0
0,5
0,5

0,5
3 a
A = x
2
- 2xy + y
2
+y
2
- 4y + 4 + 2010 = (x-y)
2
+ (y - 2)
2
+ 2010
Do (x-y)
2


0 ; (y - 2)
2


0
Nờn:(x-y)
2
+ (y - 2)
2
+ 2010

2010
Du ''='' xảy ra

x y = 0 v y 2 = 0

x = y = 2.
Vy GTNN ca A l 2010 tại x = y =2
0,5
0,5
0,5
b
Ta cú: (x + y + z)
3
= x
3
+ y
3
+ z
3
+ 3(x + y)(y + z)(z + x)
kt hp cỏc iu kin ó cho ta cú: (x + y)(y + z)(z + x) = 0

Mt trong cỏc tha s ca tớch (x + y)(y + z)(z + x) phi bng 0
Gi s (x + y) = 0, kt hp vi /k: x + y + z = 1

z = 1, lại kt
hp vi /k: x
2
+ y
2
+ z
2

= 1

x = y = 0.
Vy trong 3 s x,y,z phi cú 2 s bng 0 v 1 s bng 1,
Nờn tng S luụn cú giỏ tr bng 1.
0,5
0,5
0,5
4
a
Phơng trình đợc biến đổi thành: (Với ĐKXĐ:
{ }
4; 5; 6; 7x
)
1 1 1
( 4)( 5) ( 5)( 6) ( 6)( 7)x x x x x x
+ +
+ + + + + +
=
1
18


(
1 1
4 5x x

+ +
) + (
1 1

5 6x x

+ +
) + (
1 1
6 7x x

+ +
) =
1
18

1 1
4 7x x

+ +
=
1
18


(x + 4)(x +7) = 54

(x + 13)(x 2) = 0

x = -13 hoặc x = 2 (Thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy nghiệm của phơng trình là: S =
{ }
13;2
0,5

0,5
0,5
0,5
b
+ Phơng trình đợc biến đổi thành: (x + 1)(x
2
+ 1) = (2y + 1)
2
+ Ta chứng minh (x + 1) và (x
2
+ 1) nguyên tố cùng nhau !
Vì nếu d = UCLN (x+1, x
2
+ 1) thì d phải là số lẻ (vì 2y+1 lẻ)



2
1
1
x d
x d
+


+

M
M

2
2
1
1
x x d
x d
x d

+

+


+

M
M
M

1
1
x d
x d
+




M
M

2
dM
mà d lẻ nên d = 1.
+ Nên muốn (x + 1)(x
2
+ 1) là số chính phơng
Thì (x+1) và (x
2
+ 1) đều phải là số chính phơng
Đặt:
2 2
2
1
1
x k
x t

+ =


+ =




(k + x)(k x) = 1

1
0

k
x
=


=

hoặc
1
0
k
x
=


=

+ Với x = 0 thì (2y + 1)
2
= 1

y = 0 hoặc y = -1.(Thỏa mãn pt)
Vậy nghiệm của phơng trình là: (x;y) =
{ }
(0;0),(0; 1)
0,25
0,25
0,25
0,25
5

O
K
I
N
M
E
H
F
A
D
B
C
0,5
a
Trớc hết chứng minh:
HD
AD
=
( )
( )
S HBC
S ABC
Tơng tự có:
( )
( )
HE S HCA
BE S ABC
=
;
( )

( )
HF S HAB
CF S ABC
=
Nên
HD HE HF
AD BE CF
+ +
=
( ) ( ) ( )
( )
S HBC S HCA S HAB
S ABC
+ +



HD HE HF
AD BE CF
+ +
= 1
0,5
0,5
0,5
0,5
b Trớc hêt chứng minh

BDH
:

BEC


BH.BE = BD.BC
Và

CDH
:

CFB

CH.CF = CD.CB.


BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC
2
(đpcm)
0,5
0,5
0,5
0,5
c
Trớc hết chứng minh:

AEF
:

ABC

ã

ã
AEF ABC=
Và

CDE
:

CAB


ã
ã
CED CBA=




ã
ã
AEF CED=
mà EB

AC nên EB là phân giác của góc DEF.
Tơng tự: DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE.
Vậy H là giao điểm các đờng phân giác của tam giác DEF
nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm)
0,5
0,5
0,5
d Gọi O là giao điểm của các đờng trung trực của hai đoạn MN và

HC, ta có

OMH =

ONC (c.c.c)


ã
ã
OHM OCN=
.(1)
Mặt khác ta cũng có

OCH cân tại O nên:
ã
ã
OHC OCH=
.(2)
Từ (1) và (2) ta có:
ã
ã
OHC OHB=

HO là phân giác của góc BHC
Vậy O là giao điểm của trung trực đoạn HC và phân giác của góc
BHC nên O là điểm cố định.
Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O.
0,25
0,25
O,25

0,25
Chú ý:
+ Hớng dẫn chấm này có 3 trang, chấm theo thang điểm 20.
+ Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.
+ Bài số 5 phải có hình vẽ đúng mới chấm.
+ Mọi cách làm khác đúng cũng cho điểm tối đa tơng ứng với từng nội dung
của bài đó.