Luận văn sư phạm Hàm tử ext trong phạm trù các không gian lồi địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM T.P HỒ CHÍ MINH
-------------------

NGUYỄN THỊ THANH HÀ

HÀM TỬ EXT
TRONG PHẠM TRÙ ABEN

Chuyên ngành
Mã số

: Đại số và lý thuyết số
: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :
TS. TRẦN HUYÊN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2006


LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên , tôi xin gởi đến T.S Trần Huyên, Khoa Toán, Trường Đại học Sư
Phạm Tp. Hồ Chí Minh – người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình
hoàn thành luận văn này lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong trường Đại học Sư Phạm
Tp. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học
tập cũng như tìm tòi các tài liệu cho việc nghiên cứu.

Tôi xin gởi lời cảm ơn đến quý thầy cô, các bạn đồng nghiệp, cũng như
ban lãnh đạo trường Đại học Giao Thông –Vận Tải, đặc biệt là thầy Nguyễn Văn
Tấn và T.S Phan Dân đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn
thành luận văn này.
Vì kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót,
rất mong được sự chỉ bảo chân thành của các thầy, các cô và các bạn.


-1-

MỤC LỤC
Trang
Mục lục ……………………………………………………………………………………………………………………………. 01
Mở đầu ……………………………………………………………………………………………………………………………….02
Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị. ……………………………………………………………………………04
§1. Khái niệm phạm trù ……………………………………………………………………………………………………..04
§2. Modun và đồng cấu ……………………………………………………………………………………………………..23
§3. Hàm tử Ext trongphạm trù modun …………………………………………………………………………. 27
Chương 2 : Phạm trù Aben ………………………………………………………………………………………..36
§1. Phạm trù cộng tính

……………………………………………………………………………………………………..36

§2. Phạm trù tiền aben

……………………………………………………………………………………………………..45

§3. Phạm trù aben …………………………………………………………………………………………………………………..49
Chương 3 : Hàm tử Ext trong phạm trù aben ………………………………………………..66
§1. Phân lớp các dãy khớp ngắn ………………………………………………………………………………………..66

§2. Tích dãy khơp ngắn với một cấu xạ …………………………………………………………………………..68
§3. Cấu trúc nhóm Aben cho Ext(C,A) …………………………………………………………………………..79
§4. Xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù aben ………………………………………………………….83
Phần kết luận …………………………………………………………………………………………………………………..86
Tài liệu tham khảo

……………………………………………………………………………………………………..88


-2-

MỞ ĐẦU

Trong cuốn Homology, bằng việc tính toán cụ thể trên các phần tử,
Saunders MacLane đã xây dựng được hàm tử Ext trong phạm trù modun. Bây
giờ nếu ta thay phạm trù modun bởi phạm trù aben, là phạm trù mà trên phương
diện nào đó có thể xem là sự mở rộng đến cấp độ “phạm trù”ø của phạm trù
aben thì liệu rằng ta có thể xây dựng được hàm tử Ext trong đó hay không ? Với
ý tưởng này, chúng tôi đã cố gắng phân tích , đánh giá con đường chứng minh
của MacLane dưới góc độ của phạm trù và tìm cách nâng các kết quả trong đó
lên cho phạm trù aben. Qua đó, chúng tôi đã xây dựng được hàm tử Ext trong
phạm trù aben và đó cũng là mục đích chính của cuốn luận văn này.
Bố cục luận văn được chia thành 3 chương
¾ Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ bản về lý
thuyết phạm trù liên quan đến đề tài và lấy phạm trù modun làm minh họa cho
các khái niệm đã nêu. Đồng thời chúng tôi cũng trình bày một cách khái quát
con đường xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù modun qua đó lấy làm cơ sở cho
việc xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù aben.
¾ Chương 2 : Phạm trù aben.

Mục đích của chương này là nghiên cứu phạm trù aben và một số tính
chất của nó cần dùng cho việc xây dựng hàm tử Ext. Trong chương này chúng tôi
xây dựng lại khái niệm về phạm trù aben từ từ thông qua các kiểu phạm trù:
phạm trù cộng tính → phạm trù tiền aben → phạm trù aben, qua đó thấy rõ
phạm trù aben là sự mở rộng theo cấp độ “phạm trù” của phạm trù modun.


-3-

¾

Chương 3 : Xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù aben.
Dựa vào cách xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù modun chúng tôi đã

thiết lập con đường hoàn toàn tương tự để xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù
aben. Đó là : phân lớp các dãy khớp ngắn, xây dựng tích dãy khớp ngắn và các
cấu xạ, cấu trúc nhóm aben cho Ext(C,A) và cuối cùng là xây dựng hàm tử Ext.


-4-

CHƯƠNG 1:

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.
§1.KHÁI NIỆM VỀ PHẠM TRÙ.

Phần này ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản về phạm trù và những tính chất có
liên quan đến đề tài.
1.1.1. Khái niệm phạm trù :
Một phạm trù

P được cấu thành bởi một lớp các đối tượng nào đó mà ta

gọi hình thức là các vật, sao cho mỗi cặp sắp thứ tự các vật ( A, B ) xác định được
duy nhất một tập hợp ứng với MorP ( A, B ) các cấu xạ có nguồn là A và đích là

B , đồng thời với bộ ba có thứ tự bất kỳ các vật ( A, B, C ) , một luật hợp thành
được xác định cho các cấu xạ của MorP ( A, B ) và MorP ( B, C ) , cụ thể là với bất
kỳ cặp cấu xạ

(α , β ) ∈ MorP ( A, B) × MorP ( B, C )

xác định được tích

β α ∈ MorP ( A, C ) . Ngoaøi ra các điều kiện sau cần được thoả mãn:
• PT1: Nếu hai cặp vật ( A, B ) và ( A' , B ' ) là khác nhau thì hai tập hợp cấu xạ
MorP ( A, B ) và MorP ( A' , B ' ) là rời nhau.

• PT2: Đối với mỗi bộ ba cấu xạ (α , β , γ ) ∈ MorP ( A, B ) × MorP ( B, C )
× MorP (C , D) luật hợp thành có tính chất kết hợp, tức là γ ( βα ) = (γβ )α .

• PT3: Tồn tại các cấu xạ đồng nhất 1A cho mỗi vật A, là cấu xạ mà với

α ∈ MorP ( A, B) , β ∈ MorP (C , A) ta luôn có α1A = α và 1A β = β .
Ví dụ chúng ta có:
-

Phạm trù

Ens các tập hợp mà vật là các tâïp hợp, cấu xạ là ánh xạ và

luật hợp thành các cấu xạ là luật hợp thành các ánh xạ.
-

Phạm trù Gr các nhóm mà vật là các nhóm, các cấu xạ là các đồøng cấu


-5-

nhóm và phép hợp thành là phép lấy tích các đồng cấu.
-

Phạm trù

Ab các nhóm giao hoán mà vật là các nhóm giao hoán, các

cấu xạ là các đồng nhóm.
1.1.2. Nguyên tắc đối ngẫu :
Phạm trù đối (hay đối ngẫu) của một phạm trù A là một phạm trù A*,có
cùng các vật như

A và sao cho MorA*(A, B) = MorA(B, A) với mọi cặp vật

( A, B) và hợp thành trong
f khi xét trong

A* được xác định bởi

g * f * = ( fg ) * ( f * laø cấu xạ

A*). Ta có thể kiểm tra lại dễ dàng các tiên đề PT1, PT2, PT3

của phạm trù.
Rõ ràng (A*)*= A nên với mỗi khái niệm định nghóa cho một phạm trù
đều có khái niệm đối ngẫu, tức chính khái niệm đó nhưng xét trong phạm trù
đối ngẫu với nó. Cũng như thế, bất kỳ mêïnh đề p nào được chứng minh trong
phạm trù A chỉ dựa vào các tiên đề phạm trù thì đều có mệnh đề đối ngẫu p*
đúng trong phạm trù A*. Trong thực tế, để chuyển từ một khái niệm hay một
mệnh đề qua các đối ngẫu của nó là đảo ngược tất cả các mũi tên liên quan tới
trong khái niệm hay mệnh đề đó.
1.1.3. Đẳng xạ :
Cấu xạ θ : A → B được gọi là một đẳng xạ nếu tồn tại cấu xạ ε : B → A
sao cho εθ = 1A vaø θε = 1B .
Dễ thấy rằng cấu xạ ε trong định nghóa trên là duy nhất và là một đẳng xạ.
Ta gọi nó là cấu xạ ngược của cấu xạ của θ và viết là ε = θ −1 .
Hai vật A, B của một phạm trù P được gọi là hai vật tương đương nếu có
θ

một đẳng xạ θ : A → B . Khi đó ta kí hiệu θ : A ≅ B hay A ≅ B .


-6-

1.1.4. Đơn xạ :
Cấu xạ f : A → B được gọi là đơn xạ nếu với mọi cặp cấu xạ α , β có đích
là A, đẳng thức fα = fβ kéo theo α = β .
Mệnh đề 1.1.4.
i) Nếu f , g đều là đơn xạ thì gf (nếu được xác định) cũng là đơn xạ .
ii) Nếu gf đơn xạ thì f đơn xạ.
Chứng minh :

i)

Giả sử f , g đều là đơn xạ.
Gọi α , β là cặp cấu xạ thoả ( gf )α = ( gf ) β . Do tính chất đơn xạ của f và

g ta tức khắc suy ra được α = β . Vậy gf là đơn xạ.
ii) Giả sử gf là đơn xạ .
Gọi α , β là cặp cấu xạ thoả fα = fβ . Khi đó ta có ( gf )α = ( gf ) β , maø gf
là đơn xạ nên α = β . Vậy f là đơn xạ. ª
Ta có đối ngẫu với khái niệm đơn xạ là khái niệm toàn xạ :
1.1.4*. Toàn xạ :
Một cấu xạ f : A → B được gọi là toàn xạ nếu với mọi cặp α , β có nguồn
là B , đẳng thức αf = βf kéo theo α = β .
Mệnh đề 1.1.4*.
i)

Nếu f , g đều là toàn xạ thì gf (nếu được xác định) cũng là toàn xạ.

ii)

Nếu gf toàn xạ thì g toàn xạ.

Chứng mịnh :
Bằng phép lấy đối ngẫu của việc chứng minh mệnh đề 1.1.4, ta có thể dễ dàng


-7-

kiểm tra tính đúng đắn của mệnh đề 1.1.4*. ª
1.1.5. Song xạ :

Một cấu xạï được gọi là song xạ nếu nó vừa là đơn xạ vừa là toàn xạ.
Mệnh đề 1.1.5.
Một đẳng xạ là một song xạ.
Chứng minh :
Giả sử f : A → B là đẳng xạ. Khi đó tồn tại cấu xạ f
ff

−1

= 1B , f

−1

−1

: B → A thoả

f = 1A .

Gọi α 1 , β1 là cặp cấu xạ thoả fα 1 = fβ 1 . Suy ra f −1 ( fα 1 ) = f −1 ( fβ 1 ) hay

α 1 = β1 . Điều này chứng tỏ f là đơn xạ.
Gọi α 2 , β 2 là cặp cấu xạ thoả α 2 f = β 2 f . Suy ra (α 2 f ) f

−1

= (β 2 f ) f

−1

hay

α 2 = β 2 . Điều này chứng tỏ tính chất toàn xạ của f .
Vậy f là song xạ. ª
1.1.6. Vật con :
Vật A' được gọi là vật con của A nếu tồn tại cấu xạ f : A' → A là đơn xạ.
Khi đó f được gọi là cấu xạ nhúng A' vào A .
Nói chung có thể có nhiều đơn xạ từ A' đến A nên khi nói A' là vật con
của A ta cần chỉ rõ theo cấu xạ nhúng nào. Và vì vậy để kí hiệu vật con A' của

A theo cấu xạ nhúng f : A' → A ta sử dụng cặp ( A' , f ) .
Ta kí hiệu P(A) là lớp tất cả các vật con của A trong phạm trù P . Trong
mỗi lớp P(A) có thể đưa vào quan hệ thứ tự tự nhiên như sau:
Vật con ( A'1 , i1 ) được xem là đứng trước (hay nhỏ hơn) vật con ( A' 2 , i2 )


-8-

của A nếu tồn tại cấu xạ λ : A'1 → A' 2 sao cho i1 = i2 λ .
λ
2
⎯→
A' 2 ⎯⎯→
A)
( i1 : A'1 ⎯

i

Khi đó, ta viết A'1 ≤ A' 2 hoặc i1 ≤ i2 . Đôi khi ta cũng viết A'1 ⊂ A' 2 hay
A' 2 ⊃ A'1 . Ta cũng chú ý rằng, do i1 , i2 là đơn xạ nên cấu xạ λ là duy nhất và

cũng là đơn xạ.
1.1.6*. Vật thương :
Vật A" được gọi là vật thương của A nếu tồn tại cấu xạ g : A → A" là toàn
xạ . Khi đó g được gọi là cấu xạ chiếu A lên A" .
Cũng xảy ra tình hình tương tự như đối với vật con, một vật A" có thể đồng
thời được coi là các vật thương khác nhau tuỳ theo cách chọn các cấu xạ chiếu
khác nhau. Vì vậy để chính xác vật thương A" của A theo cấu xạ chiếu g thì ta
cũng dùng cặp ( A", g ) để kí hiệu vật thương A" theo cấu xạ chiếu g : A → A" .
Ta kí hiệu Q(A) là lớp tất cả các vật thương của A . Tương tự như trong
P(A), ta đưa vào trong lớp Q(A) quan hệ thứ tự như sau:
Vật thương ( A"1 , j1 ) được xem là đi trước (hay nhỏ hơn) vật
thương ( A"2 , j 2 ) nếu tồn tại cấu xạ σ : A"2 → A"1 maø j1 = σj 2 .
σ
2
( j1 : A ⎯⎯→
A"2 ⎯
⎯→
A"1 )

j

1.1.7. Vật phổ dụng :
- Vật A được gọi là vật đầu của phạm trù P nếu tập Mor ( A, X ) có đúng
một phần tử với bất kỳ vật X thuộc P.
- Vật B được gọi là vật cuối của phạm trù

P nếu tập Mor ( X , B) có

đúng

một phần tử với bất kỳ vật X thuộc P.
- Các vật đầu, vật cuối gọi chung là vật phổ dụng của phạm truø P.


-9-

Mệnh đề 1.1.7.
Các vật đầu (vật cuối ) của phạm trù P, nếu có, là tương đương nhau.
Chứng minh :
Gọi A, A' là hai vật đầu của phạm trù P. Theo định nghóa vật đầu, ta có :
Mor ( A, A) = 1 A , Mor ( A' , A' ) = 1 A' , Mor ( A, A' ) = {θ : A → A'}, Mor ( A' , A) = {ε : A' → A}

Khi đó εθ = 1 A ,θε = 1 A' . Điều đó chứng tỏ A và A' là hai vật đương đương.
Tính tương đương của các vật cuối trong phạm trù P cũng được chứng minh
hoàn toàn tương tự. ª
1.1.8. Vật không, cấu xạ không :
- Một vật được gọi là vật không của phạm trù

P nếu nó vừa là vật đầu,

vừa là vật cuối trong phạm trù P và được kí hiệu là O.
- Một cấu xạ có thể phân tích qua vật không gọi là cấu xạ không.
Trong phạm trù có vật không, với mỗi cặp vật ( A, B) có một cấu xạ duy
nhất A → O và một cấu xạ duy nhất O → B , hợp thành của chúng là cấu xạ
không duy
nhất từ A đến B , kí hiệu là 0AB ( hay 0 nếu không sợ nhầm lẫn).
Từ định nghóa vật không và cấu xạ không, ta dễ dàng kiểm tra được các kết
quả sau :
Mệnh đề 1.1.8.1.
Trong phạm trù có vật không, cấu xạ O → A bao giờ cũng là đơn xạ và cấu

xạ A → O bao giờ cũng là toàn xạ.


- 10 -

Mệnh đề 1.1.8.2.
Nếu một trong hai cấu xạ là cấu xạ không thì hợp thành của chúng, nếu có,
cũng là cấu xạ không.
Các khái niệm dẫn xuất đầu tiên của khái niệm vật không trong một phạm
trù là khái niệm hạt nhân và đối hạt nhân của một cấu xạ. Để xây dựng khái
f
niệm hạt nhân của cấu xạ A ⎯
⎯→
B trong phạm trù có vật không C, trước hết ta

xây dựng phạm trù Cf như sau:
-

u
A trong C thoã mãn điều kiện fu = 0 .
Vật là cấu xạ H ⎯⎯→

-

β
u
v
Cấu xạ từ vật H ⎯⎯→
A tới H ' ⎯
⎯→

A là cấu xạ H ⎯⎯→
H ' trong

C

sao cho vβ = u .
Vật cuối trong phạm trù

Cf , nếu có, được gọi là hạt nhân của cấu xạ

f
f
A ⎯⎯→
B . Cụ thể ta có định nghóa hạt nhân của cấu xạ A ⎯⎯→
B như sau:

1.1.9 . Hạt nhân.
f
Hạt nhân của cấu xạ A ⎯⎯→
B là cặp ( K , i ) , trong đó i : K → A sao cho:

i)

fi = 0 .

u
A maø fu = 0 thì tồn tại duy nhất cấu xạ
ii) Với mỗi cấu xaï H ⎯⎯→

β

H ⎯⎯→
K sao cho u = iβ .

Haït nhân của cấu xạ f được kí hiệu là Kerf .
Từ định nghóa về hạt nhân và tính duy nhất của vật phổ dụng trong một
phạm trù, tức khắc suy ra rằng, các hạt nhân của cùng cấu xạ f , nếu có, là
tương đương nhau. Hơn nữa ta có:


- 11 -

Mệnh đề 1.1.9.1.
f
i
⎯→
A là hạt nhân của cấu xạ A ⎯⎯→
B thì i đơn xạ.
Nếu K ⎯

Chứng minh :
Cho u , v : K ' → K với iu = iv . Ta cần chứng minh u = v .
Đặt g = iu = iv . Khi đó ta có

fg = 0 nên do tính phổ dụng của Kerf = ( K , i ) ,

β
K thoaû g = iβ . Do tính duy nhất của β nên
tồn tại duy nhất cấu xạ K ' ⎯⎯→

u=v=β.

Vậy i đơn xạ. ª
Mệnh đề 1.1.9.2.
Nếu f đơn xạ thì Ker f = 0 .
Chứng minh:
f
Giả sử A ⎯⎯→
B là đơn xạ. Ta coù : O → A → B = 0 .

Giả sử K → A → B = 0 . Theo định nghóa vật O, tồn tại cấu xạ duy nhất
K → O thoả K → O → A = 0 . Khi đó K → A → B = K → O → A → B = 0 . Ta
f
B đơn xạ nên K → A = K → O → A .
lại có A ⎯⎯→

Vậy Kerf = 0 .ª
Mệnh đề 1.1.9.3.
Nếu g đơn xạ thì Ker f = Ker gf .
Chứng minh :

• Giả sử u : K → A là hạt nhân của cấu xạ f .Ta cần chứng minh u : K → A là
hạt nhân của gf .
Ta có : gfu = g 0 = 0 .


- 12 -

Giả sử u ': K ' → A

là cấu xạ thoả gfu '= 0 . Khi đó fu '= 0 (do g đơn xạ).

Ngoài ra, do u : K → A là hạt nhân của f nên tồn tại duy nhất cấu xạ : K ' → K
thoả u ' = uα .
Điều này chứng tỏ u : K → A là hạt nhân của gf .

• Ngược lại cho u : K → A là hạt nhân của gf . Ta cần chứng minh u : K → A
là hạt nhân của f .
Ta có gfu = 0 nên suy ra fu = 0 (do g đơn xạ).
Với u ': K ' → A thoả fu '= 0 , ta có gfu '= 0 . Hơn nữa do u : K → A là hạt
nhân của gf nên tồn tại duy nhất cấu xạ α : K ' → K thoả u ' = uα . Vậy
u = Ker f .ª

Mệnh đề 1.1.9.4.
f
A ⎯⎯→
B

Nếu biểu đồ

↓ α (1) ↓ β

là giao hoán và các cấu f , f ' có hạt nhân

f'
A' ⎯⎯→
B'

thì tồn tại duy nhất cấu xạ γ : Ker f → Ker f ' để cho biểu đồ sau giao hoán :
f
Ker f → A ⎯⎯→

B

↓γ

↓α

↓β

(2)

f'
Ker f ' → A' ⎯⎯→
B'

Chứng minh :
Ta có Ker f → A → A' → B' = Ker f → A → B → B' = 0 (do tính giao hoán
của hình vuông (1) ) nên theo tính phổ dụng của hạt nhân của cấu xạ f ' , tồn tại
duy nhất cấu xạ γ : Ker f → Ker f ' làm cho biểu đồ (2) giao hoán.ª
Bây giờ ta chuyển sang khái niệm đối ngẫu của khái niệm hạt nhân, đó là
khái niệm đối hạt nhân.


- 13 -

1.1.9*. Đối hạt nhân :
f
j
B là một cấu xạ B ⎯⎯→
L sao cho :
Đối hạt nhân của một cấu xạ A ⎯⎯→

i) jf = 0
v
ii) Với mỗi cấu xạ B ⎯
⎯→
M nghiệm đúng vf = 0 thì tồn tại duy nhất cấu

γ
M thoả v = γ j .
xạ L ⎯⎯→

Đối hạt nhân của cấu xạ f được kí hiệu là Co ker f .
Các đối hạt nhân của một cấu xạ, nếu có, xê xích nhau một đẳng xạ.
Lấy đối ngẫu của mệnh đề 1.1.9.1, 1.1.9.2 và 1.1.9.3 ta có các mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.1.9.1*.
j
f
L là đối hạt nhân của A ⎯⎯→
B thì j toàn xạ .
Nếu B ⎯⎯→

Mệnh đề 1.1.9.2*
Nếu f toàn xạ thì Co ker f = 0 .
Mệnh đề 1.1.9.3*.
Nếu g toàn xạ thì Co ker f = Co ker fg .
1.1.10. Đẳng hoá :
Trong một phạm trù bất kỳ, cho hai cấu xạ f , g : A → B .
Ta noùi u : E → A là một đẳng hoá hay hạt nhân của cặp ( f , g ) nếu :
i) fu = gu .
ii) Với mỗi cấu xạ u ': E ' → A nghiệm đúng fu ' = gu ' thì tồn tại duy nhất

cấu xạ α : E ' → E sao cho u ' = uα .
Khi đó ta kí hiệu u = Equ ( f , g ) hoaëc u = Ker ( f , g ) .


- 14 -

Mệnh đề 1.1.10.
Nếu u là đẳng hoá của ( f , g ) thì u là đơn xạ .
Chứng minh :
Giả sử uv = uv' = h . Ta coù fuv = guv . Suy ra fh = gh .
Do u

là đẳng hoá của cặp ( f , g ) nên tồn tại duy nhất cấu xạ α thoả

h = uα .Vì vậy, do tính duy nhất của α nên α = v = v' .

Điều này chứng tỏ u đơn xạ. ª
1.1.10 *. Đối đẳng hoá :
Trong một phạm trù bất kỳ, cho hai cấu xạ f , g : A → B .
Ta noùi v : B → F là một đối đẳng hoá hay đối hạt nhân của cặp ( f , g )
nếu :
i) vf = vg .
ii) Với mỗi cấu xạ v': B → F ' nghiệm đúng v' f = v' g thì tồn tại duy nhất
cấu xạ γ : F → F ' sao cho v' = γv .
Khi đó ta kí hiệu v = Coequ ( f , g ) hoaëc v = Co ker ( f , g ) .
Mệnh đề 1.1.10*.
Nếu v là đối đẳng hoá của cặp ( f , g ) thì v là toàn xạ.
1.1.11. nh :
nh của của cấu xạ f : A → B là vật con nhỏ nhất của B mà qua đó f có
thể phân tích được.

Nói cách khác, ảnh của f là một đơn xạ u : I → B sao cho :
i) f = uv với một v : A → I nào đó .

v
u
( f : A⎯
⎯→
I⎯
⎯→
B)


- 15 -

ii) Với mỗi đơn xạ u ': I ' → B nghiệm đúng f = u 'v' (với v': A → I ' ) thì tồn
tại duy nhất cấu xạ γ : I → I ' sao cho u = u ' γ .
Aûnh cuûa f : A → B được kí hiệu là Im f .
Từ định nghóa về ảnh của một cấu xạ hiển nhiên ta có tính chất sau :
Mệnh đề 1.1.11.
Nếu f : A → B là đơn xạ thì Im f = f .
1.1.11*. Đối ảnh :
Đối ảnh của f : A → B là vật thương nhỏ nhất của A mà qua đó f có thể
phân tích được. Tức đối ảnh của f là một toàn xạ v : A → J sao cho :
i) f = uv với một u : J → B nào đó .

v
u
( f : A⎯
⎯→
J⎯

⎯→
B)

ii) Với mỗi toàn xạ v': A → J ' nghiệm đúng f = u 'v' (với u ': J ' → B) thì
tồn tại duy nhất cấu xạ γ : J ' → J sao cho v = γv' .
Đối ảnh của f : A → B được kí hiệu là Coim f .
Mệnh đề 1.1.11*.
Nếu f : A → B là toàn xạ thì Coim f = f .
1.1.12. Níu :
Cho f 1 : A1 → B, f 2 : A2 → B là hai cấu xạ cùng đích B .
p

2
P ⎯⎯→
A2

Biêåu đồ

↓

p1

(1)

↓

f2

được gọi là níu nếu :

f

1
A1 ⎯⎯→
B

i)

f1 p1 = f 2 p 2 .

ii) Với mỗi cặp cấu xaï p '1 : P ' → A1 , p ' 2 : P ' → A2 nghiệm đúng


- 16 -

⎧ p'1 = p1γ
f1 p '1 = f 2 p ' 2 thì tồn tại duy nhất cấu xạ γ : P' → P thoả ⎨
.
⎩ p' 2 = p 2γ
Mệnh đề 1.1.12.1.
Trong níu (1), nếu f1 là đơn xạ thì p 2 cũng là đơn xạ.
Chứng minh :
Giả sử p 2 u = p 2 v .
Ta coù f1 p1u = f 2 p 2 u = f 2 p 2 v = f1 p1v , suy ra p1u = p1v (do f1 đơn xạ). Ngoài ra,
do f 2 p 2 u = f1 p1u neân theo điều kiện (ii) của một níu, tồn tại duy nhất cấu xạ α
⎧ p1u = p1α
. Do tính duy nhất của α nên u = v = α . Vậy p 2 là đơn xạ .ª
thỏa ⎨
⎩ p 2 u = p 2α

Mệnh đề 1.1.12.2.
p2
P ⎯⎯→
A2

Cho biểu đồ

↓

với f 1 = Ker g .

f2

f1
g
A1 ⎯⎯→
B⎯
⎯→
Q

Hình vuông trên có thể bổ sung thành níu khi và chỉ khi p 2 = Ker gf 2 .
Chứng minh :

•

Điều kiện cần : Giả sử ta có thể bổ sung hình vuông thành níu như sau :
2
P ⎯⎯→
A2
p

↓

p1

↓

f2

.

f1
g
A1 ⎯⎯→
B⎯
⎯→
Q

Ta cần chứng minh p 2 = Ker gf 2 .
v
⎯→
A2 là cấu xạ nghiệm đúng
Ta coù ( gf 2 ) p 2 = ( gf 1 ) p1 = 0 p1 = 0 . Goïi K ⎯

( gf 2 )v = 0 . Suy ra g ( f 2 v) = 0 .Do f 1 = Ker g nên tồn tại duy nhất cấu xạ
h : K → A1 thoaû f 2 v = f 1 h .


- 17 -

Theo tính chất

níu của hình vuông, suy ra tồn tại duy nhất cấu xạ

⎧h = p1u
u : K → P thoả : ⎨
⎩v = p 2 u (1)
Đẳng thức (1) chứng tỏ p 2 = Ker gf 2 .
Điều kiện đủ : Giả sử p 2 = Ker gf 2 .
Ta coù gf 2 p 2 = 0 nên theo tính phổ dụng của f 1 = Ker g , tồn tại duy nhất
p

2
P ⎯⎯→
A2

cấu xạ p1 : P → A1 thoaû f 2 p 2 = f1 p1 . Do đó hình vuông

↓

↓

p1

f2

là

f

1
A1 ⎯⎯→
B

giao hoán.
u

2
K ⎯⎯→
A2

Giả sử ta có hình vuông ↓ u1

↓

f2

là giao hoán .

f

1
A1 ⎯⎯→
B

Khi đó gf 2 u 2 = gf1u1 = 0 mà p 2 = Ker gf 2 nên tồn tại duy nhất cấu xạ

α : K → P thoả u 2 = p 2α . Khi đó f1u1 = f 2 u 2 = f 2 p 2α = f1 p1α mà f1 là đơn xạ
nên u1 = p1α .
p

2
P ⎯⎯→
A2

Vậy hình vuông ↓

↓

p1

f2

là níu . ª

f

1
A1 ⎯⎯→
B

Hệ quả 1.1.12.3.
f
Ker f ⎯
⎯→ A ⎯⎯→
B

Trong biểu đồ giao hoán

↓α

β
↓ β , nếu B ⎯⎯→
B ' là đơn

f'
Ker f ' ⎯
⎯→ A' ⎯⎯→
B

xạ thì hình vuông bên trái là níu.
Chứng minh :


- 18 -

Vì β

là đơn xạ nên Ker f = Ker βf = Ker f 'α . Theo mệnh đề 1.1.12.2

suy ra điều phải chứng minh.

ª

Theo cách đối ngẫu với khái niệm níu, ta có khái niệm buông như sau:
1.1.2*. Buoâng :
Cho g 1 : B → A1 , g 2 : B → A2 là hai cấu xạ cùng nguồn B.
g

1

B ⎯⎯→
A1

Biểu đồ

↓ g 2 (2) ↓ q1

được gọi là buông nếu :

q

2
A2 ⎯⎯→
Q

i) q1 g1 = q 2 g 2 .
nghiệm đúng

ii) Với mỗi cặp cấu xạ q '1 : A1 → Q' , q ' 2 : A2 → Q'

⎧q '1 = γq1
q '1 g1 = q ' 2 g 2 thì tồn tại cấu xạ duy nhất γ : Q → Q' thoả ⎨
.
⎩q ' 2 = γq 2

Mệnh đề 1.1.12*.1.
Trong biểu đồ buông (2), nếu g1 là toàn xạ thì q 2 cũng là toàn xạ.
Ta chuyển sang khái niệm tổng trực tiếp và tích trực tiếp của hai vật :
1.1.13. Tổng trực tiếp :
Ta nói tổng trực tiếp của hai vật A1 và A2 là vật A nếu tồn tại hai cấu xạ

i1 : A1 → A, i2 : A2 → A sao cho với mọi cặp

i1

i2

A

A1

cấu xạ f1 : A1 → X , f 2 : A2 → X thì có duy

⎧ f1 = αi1
.
nhất cấu xạ α : A → X thoả ⎨
⎩ f 2 = αi 2

A2

α

f1

f2
X

Khi đó ta kí hiệu A = A1 ⊕ A2 vaø (i1 , i2 ) được gọi là cặp cấu xạ nhúng xác
định tổng trực tieáp A1 ⊕ A2 .

- 19 -

Định nghóa trên có thể mở rộng cho họ vật {A j , j ∈ J } : tổng trực tiếp của
họ {A j , j ∈ J } là một vật A nếu tồn tại họ cấu xaï {i j : A j → A, j ∈ J } sao cho
với mỗi vật X và họ các cấu xạ { f j : A j → X / j ∈ J }, đều có duy nhất cấu xạ

α : A → X thoả f j = αi j .
X

1.1.13*. Tích trực tiếp :
f2

f1

Ta nói tích trực tiếp của hai vật A1 và A2 là vật A
nếu tồn tại hai cấu xạ p1 : A → A1 , p 2 : A → A2

α

A2

A1

A

sao cho với mọi cặp cấu xạ f1 : X → A1 và

p2

p1

⎧ f1 = p1α 1
f 2 : X → A2 thì có duy nhất cấu xạ α : X → A thoả ⎨
⎩ f 2 = p 2α

.

Khi đó ta kí hiệu A = A1 × A2 và ( p1 , p 2 ) được gọi là cặp cấu xạ chiếu xác
định tích trực tiếp A1 × A2 .
Tương tự, ta cũng có thể mở rộng định nghóa này cho họ vật {A j , j ∈ J }:
tích trực tiếp của họ

{p
{α

{A

j

, j ∈ I } là một vật A nếu tồn tại họ cấu xạ

j

: A → Aj , j ∈ J }

j

: X → A j / j ∈ J }, đều có duy nhất cấu xạ α : X → A thoaû f j = p jα , ∀j ∈ J .

sao

cho

với

mỗi

vật

X và

họ

các

cấu

xạ

Từ tính chất phổ dụng của cặp cấu xạ nhúng (i1 , i2 ) và cặp cấu xạ chiếu
( p1 , p 2 ) mà ta có định nghóa về cấu xạ chéo và cấu xạ tổng trong một phạm trù

có tổng trực tiếp và tích trực tiếp như sau :
1.1.14. Cấu xạ tổng :
Cấu xạ ∇ : A ⊕ A → A được gọi là cấu xạ tổng
nếu ∇ được sinh nhờ tính phổ dụng của cặp
cấu xạ nhúng (i1 , i2 ) đối với cặp cấu xạ (1 A ,1 A ) .

A

i1

i2

A⊕ A

A

∇
1A

1A
A


- 20 -

Tức ∇ là cấu xạ được xác định duy nhất làm biểu đồ trên giao hoán.
1.1.14*. Cấu xạ chéo :
A

Cấu xạ Δ : A → A × A được gọi là cấu xạ chéo
nếu Δ được sinh ra nhờ tính phổ dụng của cặp cấu xạ

1A

1A

chiếu ( p1 , p 2 ) đối với cặp cấu xạ (1 A ,1 A ) .Tức Δ là

Δ
A

cấu xạ được xác định duy nhất làm cho biểu đồ

p2

bên giao hoán .
Nhận xét :
Trong

phạm

trù

có

α 1 : A1 → B1 , α 2 : A2 → B2 .

tổng

trực

tiếp,

A

A

cho

p1

hai

cấu

xạ

:

Gọi (i1 , i2 ) và ( j1 , j 2 ) lần lượt là các cặp cấu

xạ nhúng xác định tổng trực tiếp A1 ⊕ A2 và B1 ⊕ B2 .
Khi đó theo tính phổ dụng của cặp cấu xạ nhúng (i1 , i2 ) , tồn tại duy nhất
cấu xạ α : A1 ⊕ A2 → B1 ⊕ B2 làm cho biểu đồ sau giao hoaùn :
i1
A1

A1 ⊕ A2

i2

A2

α
j 2α 2

j1α 1
B1 ⊕ B2

Cấu xạ α ở trên được gọi là tổng trực tiếp của hai cấu xạ α 1 , α 2 . Cụ thể hơn ta
định nghóa :
1.1.15. Tổng trực tiếp hai cấu xạ :
Trong phạm trù có tổng trực tiếp, cho hai cấu xạ:

α 1 : A1 → B1 , α 2 : A2 → B2 .
Ta nói tổng trực tiếp của hai cấu xạ α 1 và α 2 là một cấu xạ, kí hiệu
α 1 ⊕ α 2 , được xác định duy nhất làm cho biểu đồ sau giao hoaùn


- 21 -

i

i

1
2
A1 ⎯⎯→
A1 ⊕ A2 ←⎯⎯
A2

↓ α1

⎧ j α = (α 1 ⊕ α 2 )i1
, tức là : ⎨ 1 1
⎩ j 2α 2 = (α 1 ⊕ α 2 )i2

↓ α1 ⊕ α 2 ↓ α 2

j

j

1
2
B1 ⎯⎯→
B1 ⊕ B2 ←⎯⎯
B2

Mệnh đề 1.1.15.
Trong phạm trù có tổng trực tiếp, cho các cấu xạ α 1 : A1 → B1 , α 2 : A2 → B2 ,

β1 : B1 → C1 , β 2 : B2 → C 2 .Khi đó: (α 1 ⊕ α 2 )( β1 ⊕ β 2 ) = α 1 β 1 ⊕ α 2 β 2 .
Chứng minh :
Gọi (i1 , i2 ) , ( j1 , j 2 ) , (q1 , q 2 ) lần lượt là các cặp cấu xạ nhúng xác định
tổng trực tiếp A1 ⊕ A2 , B1 ⊕ B2 vaø C1 ⊕ C 2 . Ta có biểu đồ sau giao hoán :
i

i

1
2
A1 ⎯⎯→
A1 ⊕ A2 ←⎯⎯
A2

↓ α1

↓ α1 ⊕ α 2

j

↓ α2
j

1
2
B1 ⎯⎯→
B1 ⊕ B2 ←⎯⎯
B2

↓

↓ β1 ⊕ β 2

β1

↓ β2

q

q

1
2
C1 ⎯⎯→
C1 ⊕ C 2 ←⎯⎯
C2

Khi đó :

( β1 ⊕ β 2 )(α 1 ⊕ α 2 )i1 = ( β 1 ⊕ β 2 )( j1α 1 ) = q1 ( β 1α 1 )
( β1 ⊕ β 2 )(α 1 ⊕ α 2 )i2 = ( β 1 ⊕ β 2 )( j 2α 2 ) = q 2 ( β 2α 2 )

Điều đó chứng tỏ ( β1 ⊕ β 2 )(α 1 ⊕ α 2 ) là tổng trực tiếp hai cấu xạ β1α 1 và β 2α 2
hay (α 1 ⊕ α 2 )( β 1 ⊕ β 2 ) = α 1 β1 ⊕ α 2 β 2 . ª
1.1.16. Dãy khớp :
Trong phạm trù có hạt nhân và có ảnh, một dãy cấu xạ liên tiếp
i −1
i
i +1
… Ai −1 ⎯⎯
⎯
→ Ai ⎯⎯→
Ai +1 ⎯⎯
⎯
→ Ai + 2 → ...
f

f

f

được gọi là dãy khớp nếu hạt nhân mỗi cấu xạ là ảnh của cấu xạ đứng trước:
Kerf i +1 = Im f i , ∀i

.


- 22 -

1.1.17. Khái niệm hàm tử
Cho hai phạm trù P và P’ . Một hàm tử hiệp biến F từ P đến P’là một quy
tắc cho tương ứng với mỗi vật A của phạm trù P một vật F ( A) của P’, và với
mỗi cấu xạ α : A → B trong

P một cấu xạ T (α ) : T ( A) → T (B) trong P’sao

cho:

•

HT1:

F (1A ) = 1F ( A ) với mỗi vật A thuộc P .

•

HT2:

F (βα ) = F (β )F (α )

với mỗi cặp cấu xạ (α , β ) ∈ MorP ( A, B ) × MorP (B, C ) thuộc P .
Khái niệm hàm tử phản biến cũng được định nghóa tương tự, chỉ khác là
với mỗi cấu xạ α : A → B
T (α ) : T ( B) → T ( A)

trong

trong

P

thì tương ứng một cấu xạ

P’ và điều kiện HT2 được thay bởi :

F (βα ) = F (α )F ( β ) , với mỗi cặp cấu xạ (α , β ) ∈ MorP ( A, B ) × MorP (B, C ) thuộc

P.
Sau đây ta lấy phạm trù modun làm minh hoạ cho các khái niệm được nêu ở
trên.


- 23 -

§2. MODUN VÀ ĐỒNG CẤU .
Định nghóa 1.2.1
Cho R là vành có đơn vị (kí hiệu là 1). Nhóm cộng giao hoán X sẽ được gọi
là R-modun trái nếu đã xác định được một tác động trái từ vành R vào X (tức có
ánh xạ μ : R × X → X mà kết quả μ (r , x) ta kí hiệu đơn giản như một tích rx ),
thêm vào đó các điều kiện sau cần được thoả mãn :

• M1:

1. x = x

, ∀x ∈ X

• M2: (rs ) x = r ( sx) , ∀r , s ∈ R, ∀x ∈ X .

• M3: (r + s ) x = rx + sx , ∀r , s ∈ R, ∀x ∈ X .
• M4:

r ( x + y ) = rx + ry , ∀r ∈ R, ∀x, y ∈ X .

Định nghóa 1.2.2.
Cho X , Y là các R-modun. nh xạ f : X → Y được gọi là R-đồng cấu nếu
các đòi hỏi sau được thoả mãn :

•

f ( x1 + x 2 ) = f ( x1 ) + f ( x 2 ) , ∀x1 , x 2 ∈ X .

•

f (rx) = rf ( x)

, ∀r ∈ R, ∀x ∈ X .

Tập hợp tất cả các R-modun trái và các R-đồng cấu hình thành nên một
phạm trù - phạm trù các R-modun trái (lớp các vật là các R-modun trái, các
cấu xạ là các R-đồng cấu, luật hợp thành là phép lấy tích hai đồng cấu ). Phạm
trù các R-modun trái ta sẽ kí hiệu bởi

R

Mod hay đơn giản Mod khi không cần

phân định với các phạm trù modun khác.
Về việc phân loại các đồng cấu modun, ta có các khái niệm : đơn cấu, toàn

cấu, đẳng cấu. Đó là các đồng cấu đồng thời là đơn ánh ( nếu đơn cấu), toàn ánh
(nếu toàn cấu), song ánh (nếu đẳng cấu). Ta cũng dễ dàng kiểm tra rằng, các