Giaitich2.Tichphanboi [Autosaved]

Chương 2: TÍCH PHÂN BỘI


2.1. Tích phân phụ thuộc tham số
2.1.1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số
a) ĐN: Cho hàm số f(x,y) xác định trên hình chữ nhật
[a,b]x[c,d] thỏa mãn f(x,y) khả tích theo biến x và trên
[a,b] với mỗi 𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑] . Khi đó, hàm số
𝑏
𝑔 𝑦 ≔ 𝑎 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 Được gọi là hàm tích phân phụ
thuộc vào tham số y. Hàm số g(y) xác định và có các
tính chất sau:

b) Tính chất:
TC1: (Tính chất liên tục) Nếu hàm f(x,y) liên tục trên
hình chữ nhật [a,b]x[c,d] , thì hàm số g(y) liên tục trên
đoạn [c,d]


Chú ý 2.2. Nếu hàm f(x,y) liên tục trên hình chữ nhật  a, b  c, d  , các hàm
số   y  ,   y  liên tục trên  c, d  và a    y   b, a    y   b, y  c, d 
Thì hàm số g  y  :

  y

f  x, y  dx liên tục trên đoạn [c,d]


 y

Ví dụ 2.3. Cho hàm số f(x) liên tục trên [0,1]. Chứng minh rằng

y2 f  x
g  y  :  2
dx
2
x y
0
1

liên tục trên  0, 

Bài giải: Giả sử y0  0 , tồn tại số c,d sao cho 0  c  y0  d   . Ký hiệu

D : 0,1   c, d  . Theo giả thiết f(x) liên tục trên [0,1], nên hàm dưới dấu tích
y2 f  x
phân 2
liên tục trên D. Theo định lý 2.1, hàm g(y)liên tục trên [c,d], nên
2
x y
hàm g(y) liên tục tại y0. Vậy g(y) liên tục trên khoảng  0, 


TC2: (Tính chất khả vi). Cho hàm số f(x,y) liên tục
theo biến x trên [a,b] với mỗi y∈ [𝑐, 𝑑] và đạo hàm
riêng 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) liên tục trên hình chữ nhật D =
[a,b]x[c,d] . Khi đó
𝑏

𝑏

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 ⟹ 𝑔′ 𝑦 =

𝑔 𝑦 ≔
𝑎

𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
𝑎

Chú ý 2.5. Nếu hàm f(x,y) có đạo hàm riêng 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) liên tục
trên hình chữ nhật D = [a,b]x[c,d] , các hàm số 𝛼 𝑥, 𝑦 , 𝛽(𝑥, 𝑦)
khả vi trên [c,d]và a ≤ 𝑎 𝑦 ≤ 𝑏; a ≤ 𝛽 𝑦 ≤ 𝑏; ∀𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑]
Thì hàm số 𝑔 𝑦 ≔

𝛽(𝑦)
𝑓
𝛼(𝑦)

𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 Khả vi trên đoạn [c,d] và

𝛽(𝑦)

𝑔′ 𝑦 ≔

𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓 𝛽 𝑦 , 𝑦 . 𝛽 ′ 𝑦 − 𝑓 𝛼 𝑦 , 𝑦 . 𝛼 ′ 𝑦
𝛼(𝑦


VD: Tìm đạo hàm của hàm số
𝜋

𝑔 𝑦 = 0 2 ln 𝑦 2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 (𝑦 > 1)
Giải: (HV đọc tài liệu trang 44)
TC3: Nếu hàm f(x,y) liên tục trên miền D = [a,b]x[c,d] thì
𝒅 𝒃
(𝒂𝒇
𝒄

𝒙, 𝒚 𝒅𝒙)𝒅𝒚 =

𝒃 𝒅
( 𝒇
𝒂 𝒄

𝒙, 𝒚 𝒅𝒚)𝒅𝒙

(Đây là công thức đổi thứ tự tích phân trong TP kép)
2.1.2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
(HV đọc tài liệu trang 45 – 50)


2.2.Tích phân kép
2.2.1. Định nghĩa
Cho h/s z=f(x,y) xác định trên miền đóng bị chặn 𝐷 ⊂ 𝑅 2
- Chia miền D tùy ý (ký hiệu P) thành n mảnh nhỏ D1, D2, …,
Dn có các diện tích tương ứng là ∆𝐷1 , ∆𝐷2 ,…, ∆𝐷𝑛
- Chọn một điểm tùy ý 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ∈ 𝐷𝑖 , ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑛
Khi đó, tổng 𝜎𝑛 = 𝑛𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )∆𝐷𝑖
Được gọi là tổng tích phân của hàm f(x,y) trên miền D. Ta
định nghĩa đường kính của tập hợp 𝐷𝑖 được xác định bởi
𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐷𝑖 = 𝑠𝑢𝑝 𝐴𝐵: 𝐴 ∈ 𝐷𝑖 , 𝐵 ∈ 𝐷𝑖

Ký hiệu ∆𝑝 = 𝑚𝑎𝑥 𝑑𝑖𝑎𝑚𝐷1 , 𝑑𝑖𝑎𝑚𝐷2 , … , 𝑑𝑖𝑎𝑚𝐷𝑛 )
Nếu giới hạn 𝐼 = lim 𝜎𝑝 Tồn tại, không phụ thuộc vào
∆𝑝→0

phép chia P và phép chọn điểm (xi, yi) thì I được gọi là
tích phân kép của hàm f(x,y) trên miền D và được ký
hiệu là:
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
D


• Một số chú ý:
1) D được gọi là miền lấy tích phân, x,y là biến tích
phân. Nếu tích phân trên tồn tại, ta nói rằng hàm
số f(x,y) khả tích trên miền D.
2) Người ta chứng minh được rằng, nếu f(x,y) liên tục
trên miền D đóng và chị chặn thì hàm f(x,y) khả tích
trên miền D.

2.2.2. Các tính chất
Tích phân kép cũng có tính chất tương tự như tích phân xác
định với các giả thiết là các tích phân dưới đây đều tồn tại.
• Nếu f(x,y) = 1, thì 𝐷 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑆𝐷 là diện tích
của miền D
•
f x, y ± g x, y dxdy = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 ± 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
• 𝑘𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑘 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
với k = const
• Nếu D chia thành 𝐷1 , 𝐷2 sao cho 𝑖𝑛𝑡 𝐷1 ∩ 𝐷2 = ∅ thì
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

2.2.2. Tính chất: Tích phân kép cũng có tính chất
tương tự như tích phân xác định với các giả thiết là các
tích phân dưới đây đều tồn tại.
1) Nếu f(x,y) = 1, thì  f  x, y dxdy là diện tích của miền D
D

2)   f  x, y   g  x, y   dxdy   f  x, y  dxdy   g  x, y  dxdy
D

D

D

3)  kf  x, y  dxdy  k  f  x, y  dxdy
D

với k = const

D

4)Nếu D chia thành 2 mảnh nhỏ D1, D2 sao cho int  D1  D2   
,thì

5)Nếu
, thì

 f  x, y  dxdy   f  x, y  dxdy   f  x, y  dxdy
D

f  x, y   g  x , y    x , y   D
D

 f  x, y  dxdy   g  x, y  dxdy
D

D

D


• (Định lý giá trị trung bình). Nếu f(x,y) liên tục trên miền D đóng
và bị chặn có diện tích dt  D    0,   , thì tồn tại điểm x 0 , y 0  D
sao cho f  x 0 , y 0   1
f  x, y  dxdy

dt  D  D






2.2.3. Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ đề các
a) Nếu miền lấy tích phân D là hình chữ nhật
Định lý Fubini (Xem tài liệu trang 53)
Ta có công thức rút ra từ định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên D =
[a,b]x[c,d] thì:
𝒃

𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚 =
𝑫

𝒅

𝒅

( 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚)𝒅𝒙 =
𝒂

𝒄

𝒃

( 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙)𝒅𝒚
𝒄

𝒂

VD1: Tính tích phân 𝐼 = 𝐷 𝑥 2 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 với D = [0,1]x[0,2]
Giải: (HV đọc t liệu trang 54)

VD2: Tính tích phân 𝐼 =

𝑑𝑥𝑑𝑦
,
𝐷 (𝑥+𝑦)2

với D = [1,2]2

Giải: (HV tự giải, 1 hv trình bày); kết quả 𝐼 =

9
𝑙𝑛 8


b) Miền tích phân là miền bất kỳ bị chặn
Giả sử miền 𝐷 = 𝑥, 𝑦 : 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑦1 (𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑦2 (𝑥)
các hàm số 𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥) khả tích trên [a,b], 𝑦1 (𝑥)≤ 𝑦2 (𝑥),
∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] , giả sử hàm số f(x,y) khả tích trên D. Nếu ∀𝑥 ∈
𝑎, 𝑏 , h/s 𝑦 → 𝑓(𝑥, 𝑦) khả tích trên [𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥)] thì h/s
𝑥→𝐼 𝑥 =

𝑦2 (𝑥)
𝑓
𝑦1 (𝑥)

𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 khả tích trên [a,b] Khi đó:
𝑏

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝐷

𝑏

𝐼 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎

VD1: Tính tích phân 𝐼 =

𝑦2 (𝑥)

(
𝑎

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦)𝑑𝑥
𝑦1 (𝑥)

𝑥2
𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷 𝑦2

D được giới hạn bởi các đường x =2, y = x, xy = 1
Giải: (HV đọc tài liệu trang 56)
VD2: Tính 𝐼 = 𝐷 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦
D = { y = x, y = x + 1, y = 1, y = 3 }
Giải: HV tự giải, kết quả I = 14


2.2.5. đổi biến trong tích phân kép
a)Cơng thức đổi biến Xét tp kép I   f  x, y  dxdy
D

với hàm f  x, y  liên tục trên miền D. Giả sử phép đổi biến
 x  x  u, v 
 x, y    u , v  : 
 y  y  u, v 

thỏa mãn các giả thiết:

i) Phép đổi biến trên là một song ánh từ D' vào miền D hay

 x, y   D  u, v   D'
ii) Các hàm số x  u, v  và y  u, v  liên tục trên miền D‘
của hệ trục tọa độ O 'uv
.
'
'
xu xv
iii) Định thức Jacobi
J  ' '  0  u, v   D '





yu yv

Khi đó

I   f  x, y  dxdy   f  x  u , v  , y  u , v   J dudv
'
D

D


Ví dụ1. Tính tích phân I   xyddxdy
D

trong đó miền D được giới hạn bởi các
đường cong y  x, y  2 x, y 2  x, y 2
Giải: (HV đọc tài liệu trang 58)
VD2: Tính

 3x

(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐼=
𝐷

Với D là miền giới hạn bởi các đường y = -x,
y = -x +3, y =2x – 1, y = 2x + 1
Giải: HV tự giải, 1hv trình bày


b) Đổi biến trong tọa độ cực
Xét hệ tọa độ cực có cực O trùng gốc O của hệ (oxy), trục
cực ox trùng trục hồnh ox
Khi đó tọa độ M(x,y) và M(r,𝜑) được liên hệ bởi công thức:
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑; 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
Nếu 𝑟 > 0, 0 ≤ 𝜑 < 2𝜋 thì 2CT trên xác định 1 song ánh
giữa tọa độ đề các và tọa độ cực (riêng r = 0 và𝜑 tùy ý)
Áp dụng CT đổi biến ta có CT đổi biến trong tọa độ cực là:
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝐷

𝑓(𝑟cos𝜑, 𝑟sin𝜑)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑
𝐷′

- Nếu miền D trong tọa độ cực xđ bởi:
𝜑1 ≤ 𝜑 ≤ 𝜑2 ; 𝑟1 (𝜑) ≤ 𝑟 ≤ 𝑟2 (𝜑)
Thì

𝐷

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 =

𝜑2
𝑟2 (𝜑)
𝑑𝜑 𝑟 (𝜑) 𝑓
𝜑1
1

𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑟𝑑𝑟


𝜑 = 𝜑2
y

𝑟 = 𝑟2 (𝜑)

𝜑 = 𝜑1
𝑟 = 𝑟1 (𝜑)

o

x

VD1: Tính tích phân

𝐼=

𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷

𝑥 2 +𝑦 2 +1

trong đó 𝐷 = 𝑥, 𝑦 : 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1
Giải: HV đọc tài liệu trang 59
VD2: Tính 𝐼 =
2 + 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 ; 𝐷 𝑙à 𝑚𝑖ề𝑛 𝑥đ 𝑏ở𝑖:
𝑥
𝐷
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑦 ≥ 0, 𝑥 2 + 𝑦 2 − 1 ≤ 0,
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
Giải: (HV tự giải, 1h/v trình bày, GV chữa)


2.2.7. Ứng dụng của tích phân kép
•Tính thể tích
Thể tích của vật thể hình trụ tạo bởi mặt 𝑍 = 𝑓 𝑥, 𝑦 ≥
0, ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 , liên tục trên miền D và các đường sinh song
song với Oz được tính bởi cơng thức.

𝑉=

𝐷

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 (2.5)

VD: Tính thể tích của hình tạo bởi các mặt:
𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 1, 𝑧 = 0

Bài giải: Theo giả thiết, ta xác định
𝐷 = 𝑥, 𝑦 : 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 1 , 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑦 2
Theo công thức (2.5), ta có 𝑉 =

𝐷

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 =

𝐷

(𝑥 2 +


Bài tập:
1) Tính thể tích của phần hình trụ giới hạn bởi mặt
𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑥 nằm trong mặt cầu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4

2) Tính I =

𝐷

4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 dxdy ; D xác định bởi
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 ≤ 0, 𝑦 ≥ 0

• Tính diện tích hình phẳng
Từ định nghĩa của tích phân, ta thấy rằng diện tích
miền 𝐷 ⊂ 𝑅 2 được xác định bởi cơng thức

𝑆𝐷 =

𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦

(2.6)

VD: Tính diện tích miền D giới hạn bởi các đường
cong:
(𝑥 − 1)2 +𝑦 2 = 1; (𝑥 − 2)2 +𝑦 2 = 4; 𝑦 = 𝑥; 𝑦 = 0


Giải: chuyển sang tọa độ cực
Đặt 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑; 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑; 𝑘ℎ𝑖 đó 𝐷 → 𝐷′
𝜋
′
𝐷 = 𝑟, 𝜑 ; 0 ≤ 𝜑 ≤ , 2𝑐𝑜𝑠𝜑 ≤ 𝑟 ≤ 4𝑐𝑜𝑠𝜑
4
𝜋
4

𝑆𝐷 =

𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝐷

4𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑑𝜑
0

2𝑐𝑜𝑠𝜑

3(𝜋 + 2)
𝑟𝑑𝑟 =
4

• Tính diện tích mặt cong
Cho mặt cong 𝑆 ; 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) có các đạo hàm
riêng 𝑓𝑥′ , 𝑓𝑦′ tồn tại và liên tục trên miền D. Khi đó,
1 + 𝑓𝑥′2 + 𝑓𝑦′2 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑡 𝑆 =
𝐷

• Ý nghĩa cơ học của tích phân kép
(HV đọc tài liệu trang 62-64)


2.3. Tích phân bội ba
2.3.1. Định nghĩa
Cho hàm 3 biến số 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) xác định trên miền khối 𝑉 ⊂ 𝑅 3
đóng và bị chặn

- Phân hoạch P khối V thành n khối nhỏ 𝑉1 , 𝑉2, …,𝑉𝑛 . Ký hiệu
∆𝑉𝑖 là thể tích của khối 𝑉𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
- Tron mỗi khối ∆𝑉𝑖 lấy 1 điểm tùy ý 𝑀𝑖 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖
- Tổng 𝐼𝑛 = 𝑛𝑖=1 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 ∆𝑉𝑖 gọi là tổng tích phân của hàm
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) trên V
- Nếu khi 𝑛 → ∞ sao cho 𝑚𝑎𝑥𝑑𝑖 → 0, (𝑑𝑖 là đường kính của ∆𝑉𝑖 )
mà 𝐼𝑛 → 𝐼 xác định không phụ thuộc cách chia miền V và cách lấy
điểm 𝑀𝑖 thì I gọi là TP bội 3 của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) trên miền 𝑉

Ký hiệu:

𝑉

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉


Chú ý:
1) Nếu hàm số liên tục trên miền V đóng và bị chặn trên
Oxyz, thì tồn tại I (hay ta cịn nói hàm khả tích trên V).
2) Nếu 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) là khối lượng riêng của vật thể V thì tích
phân bội 3 là khối lượng của vật thể V

3) Nếu 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 thì 𝑉 𝑑𝑉 = 𝑉 (𝑉 𝑡ℎể 𝑡𝑖𝑐ℎ 𝑚𝑖ề𝑛 𝑉)
4) TP bội 3 có các t/c tương tự TP kép
5) Có thể chia V bởi các mf // với các mf tọa độ, khi đó
các khối nhỏ ∆𝑉𝑖 nói chung là các hình chữ nhật, khi đó
𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 và ta viết
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 =
𝑉

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑉


2.3.2. Cách tính tích phân bội 3 trong hệ tọa độ đề các
Tương tự như tính TP kép, ta đưa về 3 TP đơn liên tiếp
- Nếu miền V giới hạn bởi các mặt 𝑍1 𝑥, 𝑦 , 𝑍2 (𝑥, 𝑦) trong đó
𝑍1 𝑥, 𝑦 , 𝑍2 (𝑥, 𝑦) là những hàm liên tục trong miền D, với D
là hình chiếu của V lên mf (oxy)
Khi đó: 𝑰 =

𝑫

𝒅𝒙𝒅𝒚

𝒛𝟐 (𝒙,𝒚)
𝒇
𝒛𝟏 (𝒙,𝒚)

𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒛

- Nếu 𝐷 = 𝑥, 𝑦 : 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏; 𝑦1 (𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑦2 (𝑥)
khi đó ta có:

𝑰=

𝒃
𝒚𝟐 (𝒙)
𝒛𝟐 (𝒙,𝒚)
𝒅𝒙 𝒚 (𝒙) 𝒅𝒚 𝒛 (𝒙,𝒚) 𝒇

𝒂
𝟏
𝟏

VD1: Tính 𝐼 =

𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒛

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑉 (1+𝑥+𝑦+𝑧)3

V là miền giới hạn bởi các mf tọa độ và mf x + y + z = 1
Giải: GV hướng dẫn h/v giải


Giải: ta có 𝑉: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1; 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 − 𝑥; 0 ≤ 𝑧 ≤ 1 − 𝑥 − 𝑦
1

⟹𝐼=

1−𝑥

𝑑𝑥
0

1−𝑥−𝑦

𝑑𝑦
0

0

𝑑𝑧
1
5
= 𝑙𝑛2 −
3
(1 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
2
16

VD2: Tính
𝐼=

𝑉

2𝑧 3 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, 𝑉 =

𝑥, 𝑦, 𝑧 : 0 ≤ 𝑧 ≤

4 − 𝑥2 − 𝑦2

Giải: HV đọc tài liệu trang 66
2.3.3. Đổi biến trong tích phân bội 3
a) Cơng thức đổi biến: xét TP 𝑉 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 trong đó f
liên tục trên V
𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣, 𝑤)
Thực hiện phép đổi biến 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑤)
𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤)

Giả sử rằng:
1) 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤) là các hàm liên
tục cùng với đhr cấp 1 của chúng trên miền đóng V’ của kg
Ouvw
2) Cơng thức (*) xác định 1 song ánh từ V’ lên V của mf (oxy)
3) Định thức hàm Jacobi
′
𝑥𝑢′ 𝑥𝑣′ 𝑥𝑤
𝐷(𝑥,𝑦,𝑧)
𝐽 = 𝐷(𝑢,𝑣,𝑤) = 𝑦𝑢′ 𝑦𝑣′ 𝑦𝑤′ = 0 trong miền V’ khi đó ta
′
𝑧𝑢′ 𝑧𝑣′ 𝑧𝑤
có CT

𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 =
𝑽

𝒇 𝒙 𝒖, 𝒗, 𝒘 , 𝒚 𝒖, 𝒗, 𝒘 , 𝒛 𝒖, 𝒗, 𝒘
𝑽′

𝑱 𝒅𝒖𝒅𝒗𝒅𝒘