Sử dụng phần mềm toán học maple thiết kế bài giảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TIN
----------

PHAN THỊ HOÀNG LINH

SỬ DỤNG PHẦN MỀM TOÁN HỌC
THIẾT KẾ BÀI GIẢNG KHẢO SÁT VÀ
VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Sử dụ ng phầ n mề m toán họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 1

Luận v


Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh

MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Ngày nay, cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật trên thế giới đang trên đà phát
triển với những bước tiến vượt bậc và các thành tựu của chúng, nhất là trong lĩnh
vực công nghệ thông tin (CNTT), đã nhanh chóng được ứng dụng vào nhiều mặt
của đời sống xã hội, trong đó bao gồm cả hoạt động giáo dục và đào tạo. Với ngành
giáo dục, CNTT đang tạo ra một cuộc cách mạng về nhiều lĩnh vực chẳng hạn như

giáo dục mở, giáo dục từ xa… trong đó phải kể đến vai trị khơng thể phủ nhận của
CNTT trong việc đổi mới nội dung và phương pháp giảng dạy. Đây là vấn đề xu thế
tất yếu của dạy học hiện đại.
Nắm bắt kịp thời xu thế ấy, từ thập niên 90 của thế kỷ XX, Đảng, Nhà nước và
ngành giáo dục nước ta đã đặc biệt quan tâm đến vấn đề ứng dụng CNTT nhằm thúc
đẩy quá trình đổi mới phương pháp dạy học và góp phần nâng cao hiệu quả giáo
dục và đào tạo. Sự quan tâm trên thể hiện rõ trong tinh thần của nghị quyết TW II,
Khóa VIII: “Đổi mới phương pháp giáo dục – đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một
chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các
phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học”. Tinh thần
này đã được cụ thể hóa trong các Chỉ thị 58-CT/TW của Bộ Chính trị (17/10/2000)
và Chỉ thị 29/2001/CTBGD&ĐT của Bộ trưởng Bộ Giáo dục đào tạo (30/7/2001)
về việc tăng cường giảng dạy, đào tạo và ứng dụng công nghệ thông tin trong ngành
giáo dục giai đoạn 2001 – 2005. Trong đó nhấn mạnh “Ứng dụng và phát triển
CNTT trong giáo dục và đào tạo sẽ tạo ra một bước chuyển cơ bản trong quá trình
đổi mới nội dung, chương trình, phương pháp giảng dạy, học tập và quản lý giáo
dục…Phấn đấu thực hiện đẩy mạnh ứng dụng CNTT trong giáo dục và đào tạo ở tất
cả các cấp học, bậc học, ngành học theo hướng sử dụng CNTT như là một công cụ
hỗ trợ đắc lực cho đổi mới phương pháp giảng dạy, học tập ở tất cả các mơn học”.

Sử dụ ng phầ n mề m tốn họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 2

Luận v


Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hồng Linh
Có thể nói rằng việc đổi mới nội dung và phương pháp dạy học với sự hỗ trợ của

CNTT, mà cụ thể là ứng dụng máy tính hay phần mềm máy tính vào dạy học chính
là xu hướng chính trong cơng nghệ dạy học và học hay công nghệ giáo dục trong
thời gian tới.
Sử dụng phần mềm máy tính vào dạy học có nhiều ưu điểm, trong đó có hai
tính cách vượt trội hẳn so với cách dạy truyền thống: cung cấp thông tin phong phú,
sinh động hơn; tăng cường mối tương tác trong giảng dạy, chuyển tải và khai thác
khối lượng kiến thức tới học sinh dễ dàng hơn. Hơn nữa, việc ứng dụng phần mềm
máy tính vào dạy học sẽ nâng cao tính tích cực, tự thân vận động trong người học
và khi thầy dạy “thầy dạy bằng đa phương tiện, trị học bằng đa giác quan” thì vai
trị người thầy lúc này chỉ giữ chức năng định hướng, tư vấn; còn người học tùy vào
năng lực, điều kiện và nhu cầu của bản thân sẽ đầu tư một khoảng thời gian và công
sức hợp lý để đạt được mục đích mà mình mong muốn.
Đặc điểm tư duy của thanh thiếu niên rất phong phú với máy tính, họ có thể
nhanh chóng nắm vững kĩ năng sử dụng máy tính và phần mềm máy tính để áp
dụng cho việc học tập. Giờ dạy học với máy tính nếu được thiết kế hợp lí có thể
giúp đạt được những mục tiêu của đổi mới phương pháp dạy học hiện nay như: Việc
học tập của học sinh thực sự được diễn ra trong hoạt động và bằng hoạt động. Tạo
ra hứng thú, tính độc lập, tính tích cực học tập cho người học. Đồng thời rèn luyện
tư duy tốn học… Ngồi ra, việc sử dụng phần mềm Toán học vào dạy học có thể
tạo ra những hiệu quả mà cách dạy học truyền thống khó có thể tạo ra được như:
Việc dễ dàng thay đổi giá trị tham số trong các câu lệnh hay việc sử dụng khả năng
chuyển đổi của đồ thị giúp người học rất dễ nhận biết được những yếu tố khơng đổi.
Đó chính là khái niệm, tính chất mà người dạy cần truyền tải tới người học. Giáo
viên có thể giúp học sinh tạo ra những ví dụ trực quan sinh động găn liền toán học
với thực tiễn, làm cho các khái niệm toán học trừu tượng trở nên gần gũi, dễ hiểu.
Phần mềm dạy học cho phép thực hiện những tính tốn và vẽ đồ thị phức tạp, đồ sộ

Sử dụ ng phầ n mề m toán họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 3

Luận v


Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh
mà bằng cơng cụ giấy, bút khó có thể thực hiện được. Đồng thời phần mềm dạy học
làm tăng khả năng cảm thụ vẻ đẹp của toán học.
Hàm số là một chủ đề khơng dễ dạy và nó ln được xem là then chốt, kiến
thức về hàm tạo thành một tuyến chủ yếu trong chương trình tốn học phổ thơng.
Hơn nữa vẽ và khảo sát hàm số ln là bài tốn quan trọng và là phần không thể
thiếu trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi tuyển sinh đại học. Học sinh không phải lúc
nào cũng gặp những hàm số đơn giản, để có thể vẽ và khảo sát một cách dễ dàng.
Chính vì vậy, một thiết bị hỗ trợ đối với học sinh trong việc học tập và giáo viên
trong việc giảng dạy ở lĩnh vực này là rất cần thiết.
Nhằm tạo điều kiện thuận lợi giúp các thầy cô giáo và các bạn học sinh trong
việc dạy và học bộ môn này, chúng tôi đã nghiên cứu đề tài “Sử dụng phần mềm
toán học thiết kế bài giảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số”. Đề tài này ngồi việc
bảo vệ luận văn tốt nghiệp cuối khóa học, thì nó cịn là một trở thủ đắc lực cho
chúng tơi trong việc giảng dạy sau này.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Phần mềm này với mục đích là hướng vào hai đối tượng chính đó là thầy giáo
dạy tốn và học sinh học tốn.
Đối với giáo viên dạy tốn thì nó là một cơng cụ hỗ trợ đắc lực giúp cho người
thầy giáo giảng dạy mơn tốn ( với chủ đề khảo sát hàm số ), đồng thời nó giúp để
giải quyết một số lượng lớn các bài tập ngay tại lớp mà các phương pháp dạy truyền
thống trước đây khơng có được. Nó khơng những tiết kiệm được thời gian ghi chép
ở trên bảng mà cịn có thể giành được nhiều thời gian hơn cho việc minh họa các ví
dụ, mở rộng bài tốn, giảng giải được nhiều bài tập hơn nhằm đem lại hứng thú,
sinh động trực quan và dễ hiểu.

Đối với học sinh học tốn thì nó có thế giúp cho các em tự học, tự nghiên cứu
phần bài tập ở nhà để củng cố thêm kiến thức, nó cịn giúp cho các em giải bài tập

Sử dụ ng phầ n mề m toán họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 4

Luận v


Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh
một cách nhanh chóng, chính xác với một khối lượng lớn các bài tập ở nhà để qua
đó tạo cho các em thêm niềm tin và khơng cịn cảm giác sợ học tốn nữa. Ngồi ra,
phần mền này cịn có thể dành cho những ai quan tâm đến học toán ở bậc trung học
phổ thơng.
Chương trình gồm có 2 chức năng cơ bản: chức năng thứ nhất là giới thiệu
phần lý thuyết cơ bản của bài giảng, chức năng thứ hai là giải các bài tập và vẽ đồ
thị. Đây là chức năng quan trọng của chương trình và cũng là mục đích cần hướng
đến của việc dạy học và học tốn theo xu hướng hiện đại, đó là “ học tốn là để làm
bài tập cịn dạy tốn là dạy cách làm bài tập”.
3. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Tập trung nghiên cứu vào phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm
số của chương trình lớp 12. Chúng tôi nghiên cứu sâu vào các dạng khảo sát hàm
bậc ba, bậc bốn trùng phương, hàm phân thức bậc một trên một và bậc hai trên một.
Còn các dạng khác thì chương trình sẽ thơng báo “Khơng phải chương trình cần
khảo sát”.
4. CƠNG CỤ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
Hiện nay có khơng ít phần mềm chun dụng có khả năng hỗ trợ hiệu quả giáo
viên, học sinh, sinh viên trong dạy học tốn. Maple là một trong những ví dụ điển

hình. Với những khả năng tính tốn và biểu diễn hiện có, Maple đã có thể đáp ứng
phần lớn nhu cầu hỗ trợ cho giảng dạy và học tập của cả thầy lẫn trị. Maple là cơng
cụ hỗ trợ cho thầy trình bày các minh họa với chất lượng cao, giảm bớt thời gian
làm những công việc thủ công, vụn vặt, dễ nhầm lẫn… để có điều kiện đi sâu vào
các vấn đề bản chất của bài giảng. Có thể nói Maple là trợ thủ đắc lực trong nhà
trường. Chính vì vậy, chúng tơi đã sử dụng phần mềm tốn học Maple để thực hiện
đề tài của mình.

Sử dụ ng phầ n mề m toán họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 5

Luận v


Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh

CHƯƠNG 1
GIỚI THIỆU PHẦN MỀM MAPLE
1.1. SƠ LƯỢC VỀ MAPLE
Bộ phần mềm Maple có nguồn gốc là của cơng ty hỗn hợp hợp tác giữa
Canada và Đức. Hiện nay, Maple đã có đến Version 16, Maple là bộ phần mềm
phục vụ cho việc hỗ trợ dạy toán và học toán từ sơ cấp đến cao cấp. Bao hàm phần
lớn các lĩnh vực của toán học hiện đại và cổ điển, cho phép lập trình để liên kết các
kết quả tính tốn với giao diện thân thiện.
Nếu như máy tính bỏ túi chỉ tính tốn với số cụ thể, Maple lại thực hiện được
tính tốn số lẫn tính tốn hình thức. Từ rút gọn biểu thức, tính giớn hạn, vẽ đồ thị
hàm số, lấy đạo hàm hàm số tại điểm bất kỳ, tìm ngun hàm ở phổ thơng, cho đến
khai triển Taylor, tìm nghiệm giải tích của phương trình vi phân (dạng cơ bản), tính

định thức, giải hệ phương trình tuyến tính (có tham số) ở đại học.
Cịn về vẽ hình, Maple minh họa xuất sắc đồ thị hai chiều lẫn mặt cong trong
không gian ba chiều, đồ thị tọa độ cực, tham số, hàm ẩn. Hơn nữa, Maple cịn có
khả năng cho hình chạy sống động.
Thực tế, Maple đang làm thay đổi cách suy nghĩ, dạy và học Toán ở nhà
trường trong thời đại mới.
1.2. MỘT SỐ CHỨC NĂNG TÍNH TỐN TRÊN MAPLE
1.2.1. Phép đơn giản biểu thức:

Sử dụ ng phầ n mề m toán họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 6

Luận v


Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh
1.2.1.1. Cú pháp chung:
simplify(expr)
Trong đó: expr là biểu thức
1.2.1.2. Ví dụ minh họa :
Đơn giản biểu thức : y=

2 x 2  3x  5
x 1

Tại dấu nhắc lệnh ta gõ vào dòng lệnh : [>simplify((2*x^2-3*x-5)/(x+1)); và nhấn
dấu Enter. Ngay lập tức bạn sẽ có kết quả như mong muốn sau :

1.2.2. Giải phương trình:
1.2.2.1. Cú pháp chung:
solve(equations, variables)
Trong đó :equatons là phương trình hay các phương trình, variables là biến hay là
các biến.
1.2.2.2. Ví dụ minh họa:
Giải phương trình : x 2  4 x  3  0
Tại dấu nhắc lệnh ta gõ vào dòng lệnh :
[>solve(x^2+4*x+3,x);
và nhấn dấu Enter. Ngay lập tức bạn sẽ có kết quả như mong muốn sau :

Giải hệ phương trình:

 x2  4 x  3  0

x  3y  0

Tại dấu nhắc lệnh ta gõ vào dòng lệnh :
[> solve([x^2+4*x+3,x-3*y],{x,y});
và nhấn dấu Enter. Ngay lập tức bạn sẽ có kết quả như mong muốn sau :

Sử dụ ng phầ n mề m toán họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 7

Luận v


Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh

1.2.3. Tính đạo hàm của hàm số một biến:
1.2.3.1. Cú pháp chung:
diff(f, [x1$n])
Trong đó: f là hàm số
x1 là biến
n là bậc
1.2.3.2. Ví dụ minh họa :
Tính đạo hàm bậc nhất: x3  3x 2  7 x  5
Tại dấu nhắc lệnh ta gõ vào dòng lệnh : [>diff(x^3-3*x^2+7*x-5,x$1); và nhấn
dấu Enter. Ngay lập tức bạn sẽ có kết quả như mong muốn sau :

x3 5x 7
Tính đạo hàm bậc hai:
x2 5
Tại dấu nhắc lệnh ta gõ vào dòng lệnh : [>diff((x^3-5*x-7)/(x^2-5),x$2); và
nhấn dấu Enter. Ngay lập tức bạn sẽ có kết quả như mong muốn sau :

1.2.4. Vẽ đồ thị:
Để vẽ đồ thị trong mặt phẳng, ta nạp chức năng chuyên dụng cho vẽ đồ thị
bằng lệnh: with(plots).
1.2.4.1. Cú pháp chung:

Sử dụ ng phầ n mề m toán họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 8

Luận v

Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh
plot(expr, range,option)
Trong đó:

expr: là biểu thức biểu diễn một hay nhiều hàm số cần vẽ.
range: là tham biến xác định vùng vẽ đồ thị
option: là tổ hợp của những tùy chọn hết sức phong phú, cụ thể là cho

ẩn hoặc hiển thị các trục của hệ tọa độ, chọn kiểu và màu cho đồ thị, chọn số lượng
điểm để sinh đồ thị…
1.2.4.2. Ví dụ minh họa:

x3
Vẽ đồ thị hàm số y = sin(x) và y = x trong khoảng [0,2] với màu lần lượt
6
là đỏ và xanh, kiểu biểu diễn đồ thị lần lượt là kiểu điểm và đường.
Tại dấu nhắc lệnh ta gõ vào dòng lệnh : [>solve(x^2+4*x+3,x); và nhấn dấu Enter.
Ngay lập tức bạn sẽ có kết quả như mong muốn sau :
with(plots):
plot([sin(x),x-x^3/6],x=0..2,color=[red,blue],style=[point,line]);

Sử dụ ng phầ n mề m toán họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 9

Luận v

Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh

1.2.5. Vận động của đồ thị:
Đây thực chất là sự biến thiên của đồ thị theo hàm số.
Để vẽ đồ thị hàm số y=t*sin(t*x) khi x nhận giá trị trong khoảng [-П..П] và t thay
đổi trong khoảng [-2..2] ta thực hiện lệnh:
Animate(t*sin(x*t),x=-Pi..Pi,t=-2..2, color=blue)
1.3. LẬP TRÌNH TRÊN MAPLE
1.3.1. Lệnh điều kiện if:
1.3.1.1. Cấu trúc cú pháp:
if <conditional expression> then <statement sequence>
| elif <conditional expression> then <statement sequence>|
| else <statement sequence> |

Sử dụ ng phầ n mề m toán họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 10

Luận v


Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh
end if;
1.3.1.2. Chức năng:
Trong câu lệnh trên, nếu điều kiện <conditional expression> là đúng thì
chuỗi biểu thức đứng sau then được thực hiện, nếu trái lại thì điều kiện expression> sau từ khố elif sẽ được kiểm tra, nếu nó đúng thì chuỗi lệnh tương
ứng sau then được thực hiện, cứ tiếp tục cho đến khi các điều kiện expression> đều khơng thỏa mãn, thì các biểu thức sau lệnh else được thực hiện.

Các biểu thức điều kiện conditional expression được sử dụng trong câu lệnh if
phải được tạo thành từ cá bất đẳng thức, các đẳng thức ( các phép toán quan hệ ),
các biến số, các phép toán logic, các hàm có giá trị trả lại là giá trị logic. Nếu khơng
sẽ sinh ra lỗi.
1.3.2. Vịng lặp While:
1.3.2.1. Cấu trúc cú pháp:
While <conditional expression>
do <sequention expressions>
od;
1.3.2.2. Chức năng:
Vòng lặp while cho phép lặp chuỗi các câu lệnh giữa do và od khi mà điều
kiện conditional expression vẫn còn đúng. Điều kiện conditional expression được
kiểm tra ngay tại đầu mỗi vịng lặp, nếu nó thỏa mãn thì các câu lệnh expressions> bên trong được thực hiện, sau đó lại tiếp tục kiểm tra điều kiện
conditional expression cho đến khi điều kiện khơng cịn thỏa mãn nữa.
Vịng lặp while thường được sử dụng khi số lần lặp một hay một chuỗi biểu
thức là không xác định rõ ràng, đồng thời ta muốn các biểu thức đó cần được lặp
trong khi một điều kiện nào đó cịn được thỏa mãn.

Sử dụ ng phầ n mề m toán họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 11

Luận v


Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh
Điều kiện conditional expression trong vòng lặp phải là biểu thức boolean, tức
là giá trị của nó có thể đúng hoặc sai, nếu khơng sẽ sinh lỗi.

Trong trường hợp muốn thốt khỏi từ giữa vịng lặp, ta có thể thực hiện bằng
cách dùng các câu lệnh RETUN, break hoặc quit.
1.3.3. Vòng lặp for:
1.3.3.1. Cấu trúc cú pháp:
for name from start by change to finish
do
statement sequence
od;
Hoặc dạng phát biểu khác:
for name in expression
do
statement sequence
od;
1.3.3.2. Chức năng:
Vòng lặp for được dùng để lặp một chuỗi các biểu thức được đặt giữa do và
od, mỗi lần lặp tương ứng với một giá trị phân biệt của biến chỉ số name đứng sau
từ khóa for. Ban đầu, giá trị start được gán cho biến chỉ số. Nếu giá trị của biến
name nhỏ hơn hay bằng giá trị finish thì chuỗi lệnh nằm giữa do và od được thực
hiện, sau đó biến name được gán giá trị tiếp theo bằng cách cộng thêm vào nó giá
trị change ( name:= name + change). Sau đó, biến name được so sánh với finish
để quyết định xem việc thực hiện chuỗi lệnh có được tiếp tục nữa khơng. Q trính
so sánh biến chỉ số name và thực hiện chuỗi lệnh được lặp liên tiếp cho đến khi giá

Sử dụ ng phầ n mề m toán họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 12

Luận v

Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh
trị của biến name lớn hơn giá trị finish. Giá trị cuối cùng của biến name sẽ là giá trị
vượt quá finish đầu tiên.
Chú ý: nếu các từ khóa from start hoặc by change bị bỏ qua thì mặc định
from 1 by 1 được dùng.
Vòng lặp for – in – do – od thực hiện việc lặp với mỗi giá trị mà biến chỉ số
name lấy tự biểu thức expression đã cho. Chẳng hạn vòng lặp này được sử dụng
hiệu quả khi mà giá trị của biến name là một phần tử của một tập hợp hoặc dánh
sách.
Trong trường hợp muốn thốt khỏi từ giữa vịng lặp, ta có thể dùng các câu
lệnh break,quit, RETUN giống như vòng lặp while.
1.3.4. Thiết lập một thủ tục:
Chúng ta có thể làm việc với Maple bằng hai chế độ khác nhau: Chế độ tương
tác trực tiếp thơng qua việc nhập từng dịng lệnh đơn lẻ ngay tại dấu nhắc và nhận
được ngay kết quả của lệnh đó. Chế độ thủ tục được thực hiện bằng việc đóng gói
một dãy các lệnh xử lí cùng một công việc vào trong một thủ tục (Procedure) duy
nhất, sau đó ta chỉ cần gọi thủ tục này và Maple tự động thực hiện các lệnh có trong
chu trình đó một cách tuần tự và trả lại kết quả cuối cùng.
Khai báo một thủ tục:
Procedure_name:=proc(parameter_sequence)
[local local_sequence]
[global global_sequence]
[options options_sequence]
statement_sequence;
end;

Sử dụ ng phầ n mề m toán họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 13

Luận v


Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh
Trong đó:
parameter_sequence: là một dãy các kí hiệu, ngăn cách nhau bởi các dấu phẩy,
chứa các tham biến truyền cho thủ tục.
local_sequence: là dãy các tên biến được khai báo là biến cục bộ trong thủ tục.
global_sequence: là dãy các tên biến tồn cục có giá trị sử dụng ngay cả bên
ngoài thủ tục.
options_sequence: là dãy các tùy chọn cho một thủ tục.
statement_sequence: là dãy các câu lệnh do người lập trình đưa vào.
1.4. THIẾT KẾ GIAO DIỆN TRÊN MAPLE
Bắt đầu từ Version 8, Maple hỗ trợ phần viết giao diện thân thiện bằng cách
nạp chức năng chuyên dụng gọi là Maplet như sau: with(Maplets).
Gói Maplets bao gồm nhiều gói con là: Elements, Tools, Examples và một
hàm cấp cao là Display.
Elements chứa các thành phần: Window Body Elements, Layout Elements,
Menubar Elements, Toolbar Elements, Command Elements…
 MenuBar Elements: dùng để thiết kế menu
 Toolbar Elements: dùng để thiết kế thanh công cụ
 Command Elements: gồm các hành động để đáp ứng lại các hành động
của người sử dụng (click chuột, nhập giá trị hay thay đổi giá trị trong
khung nhập…) như: CloseWindow (đóng 1 cửa sổ), RunWindow (xuất
hiện một cửa sổ), ShutDown (đóng chương trình)…
 Window Body Elements: dùng để thiết kế Window (cửa sổ), Button
(nút lệnh), CheckBox (ô chọn), ComboBox, DropDownBox (hộp đổ

Sử dụ ng phầ n mề m toán họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 14

Luận v


Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh
xuống), Label (nhãn), MathML Viewer (khung hiển thị các biểu thức
toán học), Plotter (khung hiển thị đồ thị)…
Cú pháp chung:
element_name[refID](opts)
Trong đó,
 element_name: có thể là Window, Button, CheckBox, Label,
ComboBox, DropDownBox…
 refID: là tên của các thành phần
 opts: chứa các tùy chọn về kích thước (height, width), tiêu đề (title),
màu nền (background)..
1.4.1. Tạo cửa số cho chương trình:
Cú pháp:
Window[refID](opts)
Trong đó:


refID: là tên cửa sổ



opts: chứa các tùy chọn về kích thước (height, width), tiêu đề (title),

cách sắp xếp các thành phần trong cửa sổ (layout)…

1.4.2. Tạo nút lệnh:
Cú pháp:
Button[refID](opts)
Trong đó:
 refID: là tên nút lệnh

Sử dụ ng phầ n mề m toán họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 15

Luận v


Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh
 opts: chứa các tùy biến về màu nền (background), tên xuất hiện trên nút
(caption), hành động xảy ra khi nút được nhấn (onclick)…
 Layout Elements: mô tả cách sắp xếp các thành phần trong cửa sổ. Có
hai cách sắp xếp là BoxLayout và GridLayout.
Cú pháp:
BoxLayout[refID](opts, element_content) hoặc
GridLayout[refID](opts, element_content)
Trong đó:
 refID: là tên của BoxLayout
 opts: chứa các tùy biến về màu nền (background), đóng khung (border),
tiêu đề (caption)…
 element_content: chứa các BoxColumn, hoặc BoxRow. Trong đó
BoxColumn bố trí các thành phần theo cột, cịn BoxRow bố trí các

thành phần theo dịng.

Sử dụ ng phầ n mề m tốn họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 16

Luận v


Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh

CHƯƠNG 2
LÝ THUYẾT KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
2.1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
2.1.1. Tập xác định:
Định nghĩa: Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao
cho biểu thức f(x) có nghĩa.
Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số y 

3x  1
x  5x  6
2

Giải:
Biểu thức f ( x) 

3x  1
có nghĩa khi x 2  5x  6  0 tức khi x  2 và x  3 .
x  5x  6

2

Vậy tập xác định của hàm số là D = R\ {2,3}.
2.1.2. Tính đơn điệu của hàm số:
2.1.2.1. Định nghĩa:
Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y =
f(x) xác định trên khoảng K. Ta nói:
 Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến (hay tăng) nếu với mọi cặp x1, x2
thuộc K mà x1 < x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )

 Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến (hay giảm) nếu với mọi cặp x1, x2
thuộc K mà x1 < x2 thì f(x1) lớn hơn f(x2), tức là
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )

Sử dụ ng phầ n mề m toán họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 17

Luận v


Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh

Luận v

Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên khoảng (a,b) là xét xem hàm số đó
đồng biến hay nghịch biến trên khoảng này.
Ta thường biểu diễn sự biến thiên của hàm số dưới dạng bảng gọi là bảng

biến thiên của hàm số.

x

a

b

y

Hàm số đồng biến trên (a,b)
x

a

b

y

Hàm số nghịch biến trên (a,b)

2.1.2.2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu:
Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f’(x)>0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f’(x)<0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
c) Nếu f’(x)=0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
Ví dụ: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: y= 2 x 4  1
Ta có: y= 2 x 4  1
TXĐ: R

Sử dụ ng phầ n mề m toán họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 18


Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh

Luận v

y’ = 8x3
y' dương khi x > 0, âm khi x < 0.
Chiều biến thiên của hàm số được cho trong bảng sau, gọi là bảng biến thiên
của hàm số:

x

-∞

y

+∞

0
-

0

+

y'
1

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;1), đồng biến trên khoảng (1; +∞).
2.1.3. Cực trị của hàm số:
2.1.3.1. Khái niệm cực trị của hàm số:
Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp £(£  ¡ ) và x0  £.
a) x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b)
chứa điểm x0 sao cho x  (a; b)  £ và f( x )f( x0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.
b) x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b)
chứa điểm x0 sao cho x  (a; b)  £ và f( x )>f( x0 ) với mọi x  (a; b) \{ x0 }. Khi đó
f( x0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.
Điểm cực đại và điểm cực trị gọi chung là điểm cực trị.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.
2.1.3.2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị:

Sử dụ ng phầ n mề m tốn họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 19


Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh
Định lí 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu f có đạo hàm tại x0
thì f’( x0 ) = 0.
2.1.3.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị :
Định lí 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm
trên các khoảng (a; x0 ) và ( x0 ;b). Khi đó:
a) Nếu f’(x) < 0 với mọi x  (a; x0 ) và f’(x) > 0 với mọi x (x0 ; b) thì hàm số f

đạt cực tiểu tại điểm x0 .
b) Nếu f’(x) > 0 với mọi x  (a; x0 ) và f’(x) > 0 với mọi x (x0 ; b) thì hàm số f
đạt cực đại tại điểm x0 .
Nói một cách khác:
a) Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực
tiểu tại điểm x0.
b) Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực
đại tại điểm x0.
Nếu f’(x) > 0 với mọi x  (a; x0 ) và f’(x) > 0 với mọi x (x0 ; b) thì hàm số f đạt cực
đại tại điểm Áp dụng dấu hiệu 1 ta có quy tắc 1 sau đây để tìm các điểm cực trị của
một hàm số.
Quy tắc 1:
1. Tìm f ’(x)
2. Tìm các điểm xi ( i=1,2,…) tại đó hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục
nhưng khơng có đạo hàm.
3. Xét dấu f’(x). Nếu f’(x) đồi dấu khi x qua điểm xi thì hàm số đạt cực trị tại
xi.

Sử dụ ng phầ n mề m toán họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 20

Luận v


Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh

Luận v

3
Ví dụ: Tìm điểm cực trị của hàm số f ( x)  3x   5
x

Giải:
Hàm số xác định với mọi x ≠ 0, x ¡ \{0}
Ta có: f '( x)  3 

3
x2

Từ đó: f '( x)  0  x  1 hoặc x  3
Lập bảng biến thiên:

x

-∞

y’

-1
+

0
-1

0

+∞

1

-

-

0

+∞

+
+∞

y
-∞

-∞

11

Từ bảng biến thiên ta thấy x = -1 là điểm cực đại và x = 1 là điểm cực tiểu của
hàm số đã cho.
Định lí 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm
x0 , f '( x0 )  0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 .

a) Nếu f ''( x0 )  0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 .
b) Nếu f ''( x0 )  0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0 .
Quy tắc 2:
1. Tìm f ’(x).

Sử dụ ng phầ n mề m toán họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 21


Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh
2. Tìm các điểm xi ( i=1,2,…) của phương trình f’(x)=0.
3. Tìm f ''( x) và tính f ''( xi ) .
Nếu f ''( xi ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi
Nếu f ''( xi ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi
1
4
Ví dụ: Tìm điểm cực trị của hàm số f ( x)  x3  x2  3x 
3
3

Giải:
Ta có : f '( x)  x2  2x  3
f '( x)  0  x  1 hoặc x  3
f ''( x)  2 x  2

Vì f ''(1)  4  0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm x  1, f (1)  3.
2
Vì f ''(3)  4  0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  3, f (3)  7 .
3

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x  1 , giá trị cực đại của hàm số là f (1)  3 .
2
Hàm số đạt cực đại tại điểm x  3 , giá trị cực đại của hàm số là f (3)  7 .

3

2.1.4. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2.1.4.1. Định nghĩa:
Giả sử hàm số f được xác định trên tập hợp £ (£  ¡ )
a) Nếu tồn tại một điểm x0  £ sao cho f ( x)  f ( x0 ) với mọi x£
thì số M  f ( x0 ) được coi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên £, kí hiệu là

M  max f(x) .
xD

Sử dụ ng phầ n mề m toán họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 22

Luận v


Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh
b) Nếu tồn tại một điểm x0  £ sao cho f ( x)  f ( x0 ) với mọi x£
thì số m  f ( x0 ) được coi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên £, kí hiệu là

m  min f(x) .
xD

2.1.4.2. Quy tắc:
a) Tìm các điểm x1, x2 ,..., xm thuộc (a;b) tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0
hoặc khơng có đạo hàm.
b) Tính f (x1 ), f (x2 ),..., f (xm ), f (a) và f (b)

c) So sánh các giá trị tìm được: Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn
nhất của f ' trên đoạn  a; b , số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của

f trên đoạn  a; b .
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: f ( x)  4  x2
Giải:
Tập xác đinh của hàm số là [-2;2]. Hiển nhiên 0  f ( x)  2 với mọi x[-2;2]
f ( x)  0  x  2 và f ( x)  2  x  0 .

Do đó:

min

x 2;2

4  x2  0 .

m ax 4  x 2  2

x 2;2

2.1.5. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
2.1.5.1. Tiệm cận ngang, tiệm cận đứng:

Sử dụ ng phầ n mề m toán họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 23

Luận v

Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh
Định nghĩa 1: Đường thẳng y  y0 được gọi là đường tiệm cận ngang ( gọi tắt là
tiệm cận ngang ) của đồ thị hàm số y  f ( x) nếu
lim f ( x)  y0 hoặc lim f ( x)  yo
x 

x 

2
Ví dụ: Cho hàm số: y  2 x 1
x2 3x 2

2 1
2 x2  1
2
x
Ta có lim

  và lim 2
x2 x  3x  2
x1 x2 3x2

Cho nên đồ thì hàm số có hai tiệm cận đứng là x  1 và x  2 .
Định nghĩa 2: Đường thẳng x  x0 được gọi là đường tiệm cận đứng ( gọi tắt là
tiệm cận đứng ) của đồ thị hàm số y  f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau
được thỏa mãn:

lim f ( x)   ; lim f ( x)  

x  x0

x  x0

lim f ( x)   ; lim f ( x)  

x  x0

x  x0

Ví dụ : Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  2 x1 .
x2
Giải:
Hàm số đã cho có tập xác định là ¡ \ 2 .
Vì lim y  2 và lim y  2
x 

x 

Nên đường thẳng y  2 là tiệm cận ngang của đồ thị. ( khi x   và khi x  )
Vì lim y   và lim y  
x2

x2

Nên đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị ( khi x  2 và khi x  2 )

Sử dụ ng phầ n mề m toán họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 24

Luận v


Trầ n Thị Thắ m & Phan Thị Hoàng Linh

2.1.5.2. Đường tiệm cận xiên:
Định nghĩa:
Đường thẳng y  ax  b , a  0 , được gọi là đường tiệm cận xiên ( gọi tắt là tiệm
cận xiên ) của đồ thị hàm số y  f ( x) nếu
lim  f ( x)  (ax  b  0

x 

hoặc lim  f ( x)  (ax  b  0
x 

Ví dụ: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số: f ( x)  2x  1  1 .
x 2
Giải:
Đồ thị hàm số: f ( x)  2x  1  1
x 2
có tiệm cận xiên là đường thẳng y  2 x  1 ( khi x   và khi x  ) vì:
1
1
 0 và lim  f ( x)  (2x 1)  lim
0
x x  2

x
x x  2

lim  f ( x)  (2x 1)  lim

x

Sử dụ ng phầ n mề m toán họ c thiế t kế bài giả ng khả o sát và vẽ đồ thị hàm
số

Trang 25

Luận v