Bài giảng: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

GIẢI TÍCH 12
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

§7 Khảo sát một số hàm phân thức hữu tỉ

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 tồn bộ:
• Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.
• Định hướng thực hiện các hoạt động
• Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
• Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
• Chép lại các chú ý, nhận xét
• Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải
như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng
em hãy viết u cầu theo mẫu:
• Nơi dung chưa hiểu
• Hoạt động chưa làm được
• Bài tập lần 1 chưa làm được
• Bài tập lần 2 chưa làm được
• Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ để nhận
2


được giải đáp.

3

Đ7 khảo sát một số hàm phân thức hữu tỉ
A. bài giảng
1. Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Với hàm số:
(H): y =
ta lần lợt có:

ax + b
, với c ≠ 0, D = ad − bc ≠ 0
cx + d

d
a. Tập xác định D = Ă \{ }.
c
b. Sự biến thiên của hàm số:
Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các ®êng tiƯm cËn:
lim y = a nªn y = a là đờng tiệm cận ngang.
x
c
c
d
lim
d
là đờng tiệm cận đứng.
x y = nên x =
c
c
Bảng biến thiªn:

ad − bc
y' =
.
cx + d
- NÕu D = ad bc > 0 hàm số đồng biến trên D.
- NÕu D = ad − bc < 0 ⇒ hàm số nghịch biến trên D.
Lập bảng biến thiên:

Trờng hợp D > 0
x
y'



+

d/c

+
+

+
a
a

y c
c
Dựa vào bảng biến thiên đa ra kết luận về các khoảng đồng biến của hàm số
và hàm số không có cực trị.

Trờng hợp D < 0
x
y'





d/c

+


+
a
a

y c
c
Dựa vào bảng biến thiên đa ra kết luận về các khoảng nghịch biến của hàm
số và hàm số không có cực trị.
c. Đồ thị: Do có hai trờng hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị của hàm
số có hai dạng sau đây:

4


Víi D > 0

Víi D < 0

x= − d/c
I

x= − d/c
y= a/c

I

y= a/c

Một số tính chất của hàm số hữu tỉ
bậc nhất trên bậc nhất

Tích chất 1: Đồ thị nhận giao điểm của hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng.
Tích chất 2: Không có bất cứ đờng tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đi qua tâm đối
xứng I.
Tích chất 3: M là điểm tuỳ ý thuộc đồ thị hàm số. Nếu tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm
cận tại A, B thì:
a. M là trung điểm AB ;
b. IAB có diện tích không đổi ;
c. Tích các khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận là mét h»ng sè.
TÝch chÊt 4: Tam gi¸c néi tiÕp Hyperbol (H)
a. NÕu ∆ABC néi tiÕp trong Hyperbol (H) (A, B, C không thẳng hàng
thuộc đồ thị hàm số ) thì trùc t©m H cđa ∆ABC cịng thc (H).
b. NÕu ∆ABC vuông tại A nội tiếp trong (H) thì B, C thuộc hai nhánh
của Hyperbol (H).
c. Nếu xét tập hợp các tam giác vuông có chung đỉnh góc vuông và
cùng nội tiếp trong một đờng Hyperbol (H) thì tất cả các cạnh huyền
của chúng song song với nhau (hay cùng vuông gãc víi mét tiÕp

tun ).
TÝch chÊt 5: TiÕp tun cđa Hyperbol (H)
a. Hai tiÕp tun cđa (H) kh«ng bao giê vu«ng gãc víi nhau.
b. Hai tiÕp tun song song cđa (H) có các tiếp điểm đối xứng nhau
qua tâm của (H).
Tích chất 6: Hyperbol (H) và đờng tròn. Nếu một đờng tròn (C) cắt (H) tại bốn điểm
sao cho hai điểm trong 4 điểm đó là các đầu mút đờng kính của đờng
tròn, thì hai điểm còn lại đối xứng nhau qua tâm của (H) và ngợc lại.
Hoạt động

Thí dụ 1:



Chứng minh các tính chất trên.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =

2x + 1
.
x2

Giải
Ta lần lợt có:

5


1. Hàm số xác định trên D = Ă \ { 2} .
2. Sự biến thiên của hàm số:

Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:
lim y = 2 nên y = 2 là đờng tiệm cận ngang.
x

lim y = nên x = 2 là đờng tiệm cận đứng.
x 2



Bảng biến thiên:
5
y' =
< 0 với mọi xD
(x 1)2

y=2 2 I
O
2
2
2

hàm số nghịch biến trên D.
2

+
+
+
x=2
2
+

y
2

3. Đồ thị của hàm số: Lấy thêm các điểm A(0; 1) và B(1; 0).
x
y'



y

x

Nhận xét: Các em học sinh khi quan sát hình vẽ trên sẽ rút ra đợc phơng
pháp để vẽ đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, cụ thể vì các dạng hàm số
này luôn đơn điệu trên miền xác định của nó và luôn nhận giao điểm của hai đờng
tiệm cận làm tâm đối xứng nên để vẽ đúng đồ thị của nó các em học sinh hÃy thực
hiện nh sau:
a. Trong phần 3 (Đồ thị của hàm số) chúng ta lấy hai điểm A, B thuộc một
nhánh của đồ thị (có hoành độ lớn hơn hoặc nhỏ hơn giá trị của tiệm cận
đứng).
b. Vẽ hệ toạ độ cùng với hai đờng tiệm cận với lu ý để tâm đối xứng I ở giữa
hình.
c. Vẽ nhánh đồ thị chứa hai điểm A, B tựa theo hai tiƯm cËn.
d. LÊy hai ®iĨm A’, B’ theo thø tù ®èi xøng víi A, B qua I, råi thùc hiện vẽ
nhánh đồ thị chứa A, B.
Hoạt động

x2
.

2x + 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
b. Chứng minh rằng giao điểm I của hai đờng tiệm cận của
đồ thị là tâm đối xứng của nó.
c. Tuỳ theo giá trị của m hÃy biện luận số nghiệm của phơng
x2
= m.
trình
2x + 1
Cho hàm số (H) : y =

2. Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhÊt

Víi hµm sè:
6


y=

ax 2 + bx + c
, víi ad ≠ 0, tử, mẫu không có nghiệm chung
dx + e

ta lần lợt có:
Viết lại hàm số dới dạng:
y = f(x) = x + +


.
dx + e

e
a. Tập xác định D = Ă \{ }.
d
b. Sự biến thiên của hàm số:
Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:
lim y = .
x

lim y = nên x = e là đờng tiƯm cËn ®øng.
d
lim [y − (αx + β)] = 0 nên y = x + là đờng tiệm cận xiên.
x e / d

x



Bảng biến thiên:
y' = −

γd
α(dx + e)2 − γd
=
,
(dx + e)2
(dx + e)2

DÊu cña đạo hàm là dấu của tam thức g(x) = (dx + e)2 d.
Vậy phơng trình y' = 0 hoặc vô nghiệm hoặc có hai nghiệm phân biệt. Do đó

hàm số hoặc không có cực trị hoặc có hai cực trị.
Lập bảng biến thiên:
x
e/d
+
y'
y
Dựa vào bảng biến thiên đa ra kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch
biến và cực trị của hàm số.
c. Đồ thị: Do có bốn trờng hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị của hàm
số có bốn dạng.

I

I

I
I

7


Một số tính chất của hàm phân thức hữu tỉ
bậc hai trên bậc nhất

Tích chất 1:

Tích chất 2:

Hàm số đồng biÕn trªn D khi:

 e
− ∉ D
.
 d
y ' ≥ 0, x D

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi:
Phơng trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt khác
Khi đó:

2ax 0 + b
.
d
Phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số
1
có dạng y = (2ax + b).
d
Hàm số có hai cực trị trái dấu
e
Phơng trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt khác và phơng
d
2
trình ax + bx + c = 0 vô nghiệm.
Hàm số có hai cùc trÞ cïng dÊu
e
⇔ y' = 0 cã hai nghiệm phân biệt khác và phơng trình ax2 +
d
bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Đồ thị nhận giao điểm I của hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng.
M là điểm tuỳ ý thuộc đồ thị hàm số. Ta có:

a. Tích các khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận là một hằng số.
b. Nếu tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B thì:
M là trung điểm AB.
IAB có diện tích không đổi.



Tích chất 3:

Tích chất 4:

Tích chất 5:
Tích chất 6:

Hoạt động

Giá trị cực trị của hàm số tại x0 là y(x0) =

Chứng minh các tính chất trên.

Thí dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =



8

e
.
d

x 2 + 2x + 2
.
x +1

Giải
Ta lần lợt có:
1. Hàm số xác định trên D = Ă \ { 1} .
2. Sự biến thiên của hàm số:
Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:
lim y = −∞ ; lim y = +∞ .
x →−∞
x →+∞


lim y = nên x = 1 là đờng tiệm cận
đứng.
lim[y (x + 1)] = 0 nên y = x + 1 là đờng tiệm

y

x 1

B

x



21

cận xiên.
Bảng biÕn thiªn:
1
x + 2x
=
,
(x + 1)2
(x + 1)2
2

y' = 1 −

y=x+1

x = 0
y' = 0 ⇔ x2 + 2x = 0
.
x = 2
x
2
1
y'
+
0


CĐ
+
y

2




A

2
I O
2
5/2

x

x=1
0
0
CT
2
5

+
+
+



5

3. Đồ thị của hàm số: Lấy thêm các điểm A 3; ữ, B 1; ữ .

2
2





Nhận xét: Các em học sinh khi quan sát hình vẽ trên sẽ rút ra đợc phơng
pháp để vẽ đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất, cụ thể vì các dạng hàm số
này luôn nhận giao điểm của hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng nên để vẽ đúng
đồ thị của nó các em học sinh hÃy thực hiện nh sau:
Khả năng 1: Nếu hàm số có cực trị thì trong phần 3 (Đồ thị của hàm số) chúng ta
lấy hai ®iĨm A, B ®èi xøng víi nhau qua I, tõ ®ã:
a. VÏ hƯ to¹ ®é cïng víi hai ®êng tiƯm cận với lu ý để tâm đối xứng I ở giữa
hình.
b. Vẽ nhánh đồ thị chứa điểm A và cực trị tơng ứng tựa theo hai tiệm cận.
c. Vẽ nhánh đồ thị chứa điểm B và cực trị tơng ứng tựa theo hai tiệm cận.
Khả năng 2: Nếu hàm số không có cực trị chúng ta lấy hai điểm A, B thuộc một
nhánh của đồ thị (có hoành độ lớn hơn hoặc nhỏ hơn giá trị của tiệm cận đứng).
a. Vẽ hệ toạ độ cùng với hai đờng tiệm cận với lu ý để tâm đối xứng I ở giữa
hình.
b. Vẽ nhánh đồ thị chứa hai điểm A, B tựa theo hai tiƯm cËn.
c. LÊy hai ®iĨm A’, B’ theo thø tù ®èi xøng víi A, B qua I, råi thực hiện vẽ
nhánh đồ thị chứa A, B.
Hoạt động

Cho hàm sè (H) : y =

2x 2 + 5x + 4
.

x+2

9


a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
b. Chứng minh rằng giao điểm I của hai đờng tiệm cận của
đồ thị là tâm đối xứng của nó.
c. Tuỳ theo giá trị của m hÃy biện luận số nghiệm của phơng
trình 2x2 (m 5)x 2m + 4 = 0.

bài tập lần 1
Bài tập 1: Cho hàm số (H) : y =

x+2
.
x 1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Tìm m để phơng trình x + 2 = m x 1 có hai nghiệm trái dấu.
Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm A của đồ thị với trục tung.
Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị đà cho, biết rằng tiếp tuyến đó song
song với tiếp tuyến tại điểm A. Giả sử tiếp tuyến này tiếp xúc với (H) tại
A, chứng tỏ rằng A và A’ ®èi xøng víi nhau qua giao ®iĨm I cđa hai đờng
tiệm cận.
Bài tập 2: Cho hàm số:
a.
b.
c.
d.

(H) : y = f(x) =

x +1
.
x 1

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Từ đó, suy ra đồ thị hàm số
y=

x 1
.
x +1

b. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đờng thẳng y = mx 2m + 3 luôn đi
qua một điểm cố định của đờng cong (H).
c. M là điểm tuỳ ý thuộc đồ thị hàm số. Giả sử tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm
cận tại A, B. Chứng minh rằng:
M là trung điểm AB.
IAB có diện tích không ®ỉi víi I lµ giao ®iĨm cđa hai tiƯm cËn.
 Tích các khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cËn lµ mét h»ng sè.
Bµi tËp 3: Cho hµm sè:
(H m ) : y =

x 1
.
xm

a. Với giá trị nào của m hàm số đồng biến trên khoảng (; 0) ?
b. Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm (2; 1) làm tâm đối xứng.

c. Với kết quả ở câu b) hÃy:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.


10

Tìm phép tịnh tiến biến đồ thị (H) thành đồ thị của hàm số y =

3x − 8
.
x −3




Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị để khoảng
cách giữa chúng là nhỏ nhất.

Bài tËp 4: Cho hµm sè (H) : y =

x2 − 2
.
x

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Từ đồ thị (H) suy ra đồ thị hàm số y =

x2 2
.
x

c. M là điểm tuỳ ý thuộc đồ thị hàm số. Chứng minh rằng tích các khoảng
cách từ M tới hai đờng tiệm cận là một hằng số.
d. Giả sử tiếp tuyến tại điểm M cắt hai tiệm cận tại A, B. Chứng minh rằng:
M là trung điểm AB.
IAB có diện tích không đổi với I là giao điểm của hai tiệm cận.
e. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (H) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua
điểm E(2; 2).
Bài tập 5: Cho hµm sè (H) : y =

2x 2 − x + 1
.
1 x

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Từ đồ thị (H) suy ra đồ thị
hàm số y =

2x 2 x + 1
.
x 1

b. Tìm m để phơng trình 2x2 + (m − 1)x − m + 1 = 0 cã hai nghiệm x 1, x2
thoả mÃn:
x1, x2 trái dấu.
1 < x1 < 2 < x2 < 3.
c. T×m hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị để khoảng cách
giữa chúng là nhỏ nhất.
Bài tập 6: Cho hµm sè:
(H m ) : y =

x 2 + mx + 1
.
x+m

a. Với m = 1 khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số. Từ đồ thị
x2 x + 1
(H) suy ra đồ thị hàm số y =
.
x + 1
b. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và hai ®iĨm ®ã n»m vỊ hai phÝa cđa ®êng th¼ng ®êng thẳng (d): x + y = 0.

Chú ý: Các bài tập này sẽ đợc trình bày trong phần Bài giảng nâng cao.

11


Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 1.000.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT
ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

12

bài giảng nâng cao
Bài toán 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất.

Cho hàm số (H) : y =

Ví dụ 1:

a.
b.
c.
d.

x+2
.
x 1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Tìm m để phơng trình x + 2 = m x 1 có hai nghiệm trái dấu.
Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm A của đồ thị với trục tung.
Viết phơng trình tiếp tuyến của ®å thÞ ®· cho, biÕt r»ng tiÕp tuyÕn ®ã song
song với tiếp tuyến tại điểm A. Giả sử tiếp tuyến này tiếp xúc với (H) tại
A, chứng tỏ rằng A và A đối xứng với nhau qua giao điểm I của hai đờng
tiệm cận.



Giải
a. Ta lần lợt có:
1. Hàm số xác định trên D = Ă \ { 1} .
2. Sự biến thiên của hàm số:

Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các ®êng tiƯm cËn:
lim y = 1 nªn y = 1 là đờng tiệm cận ngang.
x

lim y = nên x = 1 là đờng tiệm cận đứng.
x 1



Bảng biến thiên:
3
y' =
< 0 với mọi xD
(x 1)2

y=m
y=1

y
2
2I
O

hàm số nghịch biến trên D.
2
2
x
2

+

+
+
2
1
+
x=2
y
1

3. Đồ thị của hàm số: Lấy thêm các điểm A ( 0; 2 ) và B(2; 0).
b. Vì x = 1 không là nghiệm của phơng trình nên ta biến đổi phơng trình về dạng:
x+2
=m.
x 1
Nhận xét rằng số nghiệm của phơng trình chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm
x+2
số y =
với đờng thẳng y = m. Ta lần lợt có:
x 1
x
y'

13


1. Đồ thị hàm số y =

x+2
gồm hai phần:
x 1

Phần đồ thị (H) ở phía trên trục Ox.
Lấy đối xứng phần đồ thị (H) ở phía trục Ox qua Ox.
2. Từ đồ thị, suy ra để phơng trình có hai nghiệm trái dấu điều kiện là 1 < m < 2.
c. Phơng trình tiếp tuyến tại A có d¹ng:
(d A ) : y + 2 = y'(0) .x ⇔ (d A ) : y = −3x − 2 .
d. TiÕp tun song song víi (dA) nªn cã hƯ số góc k = 3.
Hoành độ tiếp điểm A của tiếp tuyến với đồ thị (H) là nghiệm của phơng tr×nh:
−3
x −1 = 1
x = 2
= −3 ⇔ (x − 1)2 = 1 ⇔ 
⇔
2
(x − 1)
 x − 1 = −1
 x = 0 lo¹i

⇒ A ' ( 2; 4 ) A và A đối xứng với nhau qua I.
Khi đó, phơng trình tiếp tuyến tại điểm A cã d¹ng:
(d A ' ) : y − 4 = y '(2) .(x − 2) ⇔ (d A ' ) : y = −3x + 10.
Cho hµm sè:

VÝ dơ 2:

(H) : y = f(x) =

x +1
.
x 1

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Từ đó, suy ra đồ thị hàm số
y=

x 1
.
x +1

b. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đờng thẳng y = mx 2m + 3 luôn đi
qua một điểm cố định của đờng cong (H).
c. M là điểm tuỳ ý thuộc đồ thị hàm số. Giả sử tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm
cận tại A, B. Chứng minh rằng:
M là trung điểm AB.
IAB có diện tích không đổi với I là giao điểm của hai tiệm cận.
Tích các khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận là một hằng số.



Giải
a. Ta lần lợt có:
1. Hàm số xác định trên D = Ă \ { 1} .
2. Sự biến thiên của hàm số:
Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:
y
lim y = 1 nên y = 1 là đờng tiệm cận ngang.
x
lim y = nên x = 1 là đờng tiệm cận đứng.
x 1

14

Bảng biến thiên:

1 I
O

1
1
x = 1

y

1

x

=
1

x=1


y' =

−2
< 0 víi mäi x∈D
(x − 1)2

⇒ hµm sè nghịch biến trên D.

x
y'



1
+

+
+

1

+
1

3. Đồ thị của hàm số: Lấy thêm các điểm A(0; 1) và B(1; 0).
x 1
Hàm số y =
đợc viết lại dới dạng:
x +1
x + 1 ( −x) + 1
=
= f(−x) ,
y=
− x − 1 ( x) 1
nên đồ thị của nó đợc suy ra bằng cách lấy đối xứng đồ thị (H) qua trục Oy (đờng nét
đứt).
b. Giả sử N(x0 ; y0) là điểm cố định của đờng thẳng y = mx 2m + 3, ta cã:
y0 = mx0 − 2m + 3, ∀m ⇔ m(x0 − 2) + 3 − y0 = 0, ∀m

x0 − 2 = 0
x0 = 2
⇔
⇔
⇒ N(2; 3)∈(H).
3 − y 0 = 0
 y0 = 3
VËy, víi mäi giá trị của m, đờng thẳng y = mx + m luôn đi qua điểm cố định N(2; 3)
của đờng cong (H).
a +1
c. M là điểm tuỳ ý thuộc đồ thị, giả sử M có hoành độ bằng a, khi đó M a;
ữ
a 1
và phơng trình tiÕp tuyÕn t¹i M cã d¹ng:
2
a +1
(d): y − y(a) = y'(a)(x − a) ⇔ (d): y = −
2 (x a) +
(a 1)
a 1
Ta lần lợt:
Toạ độ giao điểm A của tiếp tuyến tại M và tiệm cận đứng là nghiệm của hệ phơng trình:
x = 1
x = 1


 a +3
2
a +1 ⇔ 
a + 3 ⇔ A 1;


÷.
 a −1 
y = a −1
 y = − (a − 1) 2 (x − a) + a 1


Toạ độ giao điểm B của tiếp tuyến tại M và tiệm cận ngang là nghiệm của hệ
phơng tr×nh:
y = 1
 x = 2a − 1

2
a +1 ⇔ 
⇔ B(2a − 1; 1).

y = 1
 y = − (a − 1) 2 (x − a) + a − 1

Từ đó, ta lần lợt nhận thấy:
y

15

Với hai điểm A, B thì:
x A + x B = 1 + 2a − 1 = 2a = 2x M

M là trung điểm của AB.

a+3
a +1
y A + y B = a − 1 + 1 = 2. a − 1 = 2y M

DiÖn tÝch tam giác IAB đợc xác định bởi:
1 a +3
4
1
1 . 2a − 1 − 1 =
. a − 1 = 4.
SIAB = IA.IB =
2 a 1
a 1
2
Tích khoảng cách từ M tíi hai ®êng tiƯm cËn b»ng:
2
a +1
= 2.
a −1 .
−1 = a −1 .
a −1
a −1

Cho hµm sè:

VÝ dơ 3:

(H m ) : y =

x 1
.
xm

a. Với giá trị nào của m hàm số đồng biến trên khoảng (; 0) ?
b. Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm (2; 1) làm tâm đối xứng.
c. Với kết quả ở câu b) hÃy:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.

3x 8
.
x 3



Tìm phép tịnh tiến biến đồ thị (H) thành đồ thị của hàm số y =



Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị để khoảng
cách giữa chúng là nhỏ nhất.



Giải

a. Miền xác định D = Ă \{m}.
Trớc hết là hàm số cần xác định trên (0; +), điều kiện là m 0. (*)
Đạo hàm:
1 m
y' =
.
(x m)2
Hàm số đồng biến với trên (0; +) khi:
y' 0, x(0; +) và dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
(*)

1 m > 0 ⇔ m < 1 ⇔ 0 ≤ m < 1. .
VËy, víi 0 ≤ m < 1 thoả mÃn điều kiện đầu bài.
b. Đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(m; 1), suy ra m = 2.
c. Với m = 2, hàm số có dạng:
x 1
y=
.
x2
Ta lần lợt có:
1. Hàm số xác định trên D = Ă \ { 2} .
2. Sự biến thiên của hàm sè:
16




Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:
lim y = 1 nên y = 1 là đờng tiệm cận ngang.
x

lim y = nên x = 2 là đờng tiệm cận đứng.
x 2



Bảng biến thiên:
1
y' =
< 0 với mọi xD
(x 2)2


2

I
2

x

+

1

y

O 1

+

+

x=2

y=1 1
1/2

hàm số nghịch biến trên D.
x
y'

y

+

1



1
3. Đồ thị của hàm số: Lấy thêm các điểm A 0; ữ và B(1; 0).
2
r
ã Giả sử với phép tịnh tiến theo vectơ v(a; b) biến đồ thị (H) thành đồ thị hàm số
3x 8
y=
. Với phép tịnh tiến này, hàm số của đồ thị (H) cã d¹ng:
x −3
(x + a) − 1
(1 − b)x + a − 1 − b(a − 2)

y+b=
⇔ y=
(x + a) − 2
x+a−2
1 − b = 3
b = −2

⇒ a − 1 − b(a − 2) = −8 ⇔ 
.
a = −1
a − 2 = −3

r
VËy, víi vect¬ v( −1; − 2) thoả mÃn điều kiện đầu bài.

ã

Xét hai điểm A, B thuộc hai nhánh của đồ thị, ta có:

x + 1  
x2 + 1 
A  2 − x1 ; 1
÷, B  2 + x 2 ;
÷.
− x1  
x2 

Suy ra:
AB = ( 2 + x 2 )


2

2

 x + 1 − x1 + 1 
− ( 2 − x1 )  +  2
−
÷

− x1 
 x2
2

2

1 
2
 1
1
2
= ( x 2 + x1 ) +  + ÷ = ( x 2 + x1 )  1 + 2 2 ÷
x1 x 2 

 x 2 x1 
C «si

≥ 4x1x 2 .

2
= 8.

x1 x 2

17


Suy ra MinAB = 2
 x1 = x 2

1 ⇔

1 = x 2 x 2
1 2


2 , đạt đợc khi:
x1 = x 2

⇔ x1 = x 2 = 1.
 4
 x1 = 1


VËy, hai ®iĨm A(1; 0), B(3; 2) thoả mÃn điều kiện đầu bài.
Bài toán 2: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất.

Cho hàm số (H) : y =

Ví dụ 1:

x2 2

.
x

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Từ đồ thị (H) suy ra đồ thị hàm số y =

x2 2
.
x

c. M là điểm tuỳ ý thuộc đồ thị hàm số. Chứng minh rằng tích các khoảng
cách từ M tới hai đờng tiệm cận là một hằng số.
d. Giả sử tiếp tuyến tại điểm M cắt hai tiệm cận tại A, B. Chứng minh rằng:
M là trung điểm AB.
IAB có diện tích không đổi với I là giao điểm của hai tiệm cận.
e. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (H) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua
điểm E(2; 2).
y
Giải
y=x

2
x

a. Viết lại hàm số dới dạng (H) : y = x .
Ta lần lợt có:
1. Hàm số xác định trên D = Ă \ { 0} .
2. Sự biến thiên của hàm số:
Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực
và các đờng tiÖm cËn:

lim y = −∞ ; lim y = +∞ .
x →−∞
x →+∞
lim y = ∞ nªn x = 0 là đờng tiệm cận đứng.
x 0



18

lim(y x) = 0 nên y = x là đờng tiệm cận xiên.
x
Bảng biÕn thiªn:
2
y' = 1 + 2 > 0, ∀x ∈ D hàm số đồng biến trên D.
x
x
0
+
y'
+
+
+
+
y


B I

1

O
−1

1

2

A

x


3. Đồ thị của hàm số: Lấy thêm các điểm A ( 1; − 1) , B ( 2; 1) .
b. Ta cã:
 x2 − 2
víi x>0
x2 − 2  x

y=
= 2
.
x
 − x − 2 víi x<0


x
x2 − 2
Tõ đó, đồ thị hàm số y =
gồm hai phần:

x
Phần ®å thÞ (H) víi x > 0.
 LÊy ®èi xøng phần đồ thị (H) với x < 0 qua trục Ox.



2

c. M là điểm tuỳ ý thuộc đồ thị, giả sử M có hoành độ bằng a thì M a; a ữ và khi
a
đó khoảng cách từ M tới tiệm cận đứng, tiệm cận xiên là:
2

a a ữ
2
2
= 2 không đổi.
a =
d1 = a,
d1.d 2 = a .

d2 =
a
a
1+1
d. Phơng trình tiếp tuyến tại M víi (H) cã d¹ng:
2
2

(d) : y = 1 + 2 ÷( x − a ) + a − .

a
 a
Ta lần lợt:
Toạ độ giao điểm A của (d) và tiệm cận đứng là nghiệm của hệ:
x = 0
x = 0
4



2
2 ⇔
4 ⇔ A  0; − ÷.


a

y = − a
 y = 1 + a 2 ÷( x a ) + a a




Toạ độ giao điểm B của (d) và tiệm cận xiên là nghiệm cđa hƯ:
y = x
 x = 2a

⇔ B(2a; 2a).
2
2 ⇔



 y = 2a
 y = 1 + a 2 ÷( x − a ) + a − a



Tõ ®ã, ta lần lợt nhận thấy:
Với hai điểm A, B thì:
xA + xB = 2a = 2xM ⇒ M lµ trung điểm của AB.
Diện tích tam giác IAB đợc xác ®Þnh bëi:
1 4
1
1
·
S = IA.IB.sin AIB = |yA − yI||xB − xI| = − . 2a = 4.
2 a
2
2
e. TiÕp tuyÕn (d) ®i qua E, suy ra:
2
2
4 4

2 = 1 + 2 ÷( 2 − a ) + a − ⇔ 2 − = 0 ⇔ a = 1.
a 
a
a
a


Khi đó, phơng trình tiếp tuyến có dạng (d): y = 3x − 4.



19


Cho hµm sè (H) : y =

VÝ dơ 2:

2x 2 x + 1
.
1 x

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Từ đồ thị (H) suy ra đồ thị
hàm số y =

2x 2 x + 1
.
x 1

b. Tìm m để phơng trình 2x2 + (m − 1)x − m + 1 = 0 có hai nghiệm x 1, x2
thoả mÃn:
x1, x2 trái dÊu.
 1 < x1 < 2 < x2 < 3.
c. Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị để khoảng cách
giữa chúng là nhỏ nhất.

Giải
a. Viết lại hàm số dới dạng:
(H) : y = 2x 1

2
.
x 1

Ta lần lợt có:
1. Hàm số xác định trên D = Ă \ { 1} .
2. Sự biến thiên của hàm số:
Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiÖm cËn:
lim y = +∞ ;
lim y = −∞ .
x
x +
lim y = nên x = 1 là ®êng tiÖm cËn ®øng.
x →1

lim [ y − (−2x − 1) ] = 0 = 0 nªn y = −2x 1 là đờng tiệm cận xiên.
x



Bảng biến thiên:
2

x = 0
, y' = 0 ⇔ −x2 + 2x = 0 ⇔ 

.
( x − 1)
x = 2
x −∞
0
1
2
3
+∞
y'
0
0
−
+
+
−
CT
C§
+∞
+∞
y
−8
1
−7
−∞
−∞
3. §å thị của hàm số: Lấy thêm các điểm A ( −1; 2 ) , B ( 3; − 8 ) .
2x 2 x + 1
Hàm số y =
đợc viết l¹i díi d¹ng:

x −1
2x 2 − x + 1
= −f(x),
y=−
1− x
nên đồ thị của nó đợc suy ra bằng cách lấy đối xứng đồ thị (H) qua trục Ox.
Đề nghị bạn đọc tự vẽ đồ thị.
b. Biến đổi phơng trình vỊ d¹ng:
y ' = −2 +

20

2


2x2 − x + 1 = (1 − x)m.
(*)
NhËn thÊy x = 1 không phải là nghiệm của phơng trình nên ta biến đổi tiếp:
2x 2 x + 1
= m.
x 1
Từ đó, nghiệm của phơng trình chính ứng với hoành độ giao điểm của đồ thị (H)
với đờng thẳng y = m. Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
Phơng trình có hai nghiệm x1, x2 trái dấu khi m > 1.
Phơng trình có hai nghiệm x1, x2 tho¶ m·n 1 < x1 < 2 < x2 < 3 khi m < −8.
c. XÐt hai ®iĨm A, B thuộc hai nhánh của đồ thị, ta có:

2
2
A 1 − x1 ; 2x1 − 3 + ÷, B 1 + x 2 ; − 2x 2 − 3 ữ.

x1
x2


Từ đó:
AB = ( 1 + x 2 )

2

= ( x 2 + x1 )


2  
2 
− ( 1 − x1 )  +  −2x 2 − 3 − ÷−  2x1 − 3 + ÷

x2  
x1  




2

2

2
2



1  

2
1
1
= ( x 2 + x1 ) 1 + 4 1 +
+ 4  x 2 + x1 +
+ ÷
÷
x 2 x1 

 x1 x 2  




2


8
4  C «si
8
4 
2
= ( x 2 + x1 )  5 +
+ 2 2 ÷ ≥ 4x1x 2 .  5 +
+ 2 2÷
x1 x 2 x1 x 2 
x1x 2 x1 x 2 





4  C «si 
4
= 4  5x1x 2 + 8 +
+ 8 ÷ = 16
÷ ≥ 4  2 5x1x 2 .

÷
x1x 2 
x1x 2




Suy ra MinAB = 4

)

5+2 .

5 + 2 , đạt đợc khi:

x1 = x 2

4 ⇔ x1 = x2 =

5x1x 2 = x x


1 2

4

4
.
5

Vậy, hai điểm A, B cần tìm có hoành độ tơng ứng là 1
Ví dụ 3:

(

4

4
,1+
5

4

4
.
5

Cho hàm số:
(H m ) : y =

x 2 + mx + 1
.

x+m

a. Víi m = 1 khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số. Từ đồ thị
x2 x + 1
(H) suy ra đồ thị hàm số y =
.
x + 1
b. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và hai điểm đó nằm về hai phía của đờng thẳng đờng thẳng (d): x + y = 0.

21




Giải
a. Với m = 1, hàm số có dạng:
1
x2 + x + 1
⇔ (H) : y = x +
.
(H) : y =
x +1
x +1
Ta lần lợt có:
1. Hàm số xác định trên D = Ă \ { 1} .
2. Sự biến thiên của hàm số:
Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiÖm cËn:
lim y = −∞ ; lim y = +∞ .
y
x →−∞

x →+∞
lim y = ∞ nªn x = −1 là đờng tiệm
x 1

3/2B

cận đứng.
3 2 1
lim(y x) = 0 nên y = x là đờng tiệm
O
x
cận xiên.
I
y=x+1
3
Bảng biến thiên:
2
7/2
A
1
x + 2x
y' = 1
=
,
(x + 1) 2
(x + 1) 2
x=−1
y' = 0 ⇔ x2 + 2x = 0 ⇔ x = 0 hc x = −2.
x
0

2
1
+
y'
+
0
0
+


CĐ
CT
+
+
y
1

3

7 3

3. Đồ thị của hàm số: Lấy thêm các điểm A 3; ữ, B 1; ữ.
2 2

2
x x +1
Hàm số y =
đợc viết lại díi d¹ng:
−x + 1

x

( −x ) 2 + ( −x ) + 1
y=
= f ( −x ) ,
( −x ) + 1
nên đồ thị của nó đợc suy ra bằng cách lấy đối xứng đồ thị (H) qua trục Oy (đờng nét
đứt).
b. Miền xác định D = Ă \{m}.
Đạo hàm:
x 2 + 2mx + m 2 − 1
y' =
,
(x + m) 2
y' = 0 ⇔ f(x) = x2 + 2mx + m2 − 1 = 0 ⇔ x1, 2 = m 1 D.
Tức là y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt thuộc D và đổi dấu qua hai nghiệm này, do
đó hàm số luôn có cực đại và cực tiểu

22


Tới đây, ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Để A, B nằm vế hai phía của trục Ox điều kiện là:
yA.yB < 0 (m 2)(−m + 2) < 0 ⇔ m2 − 4 < 0 ⇔ m < 2.
VËy, víi m < 2 tho¶ mÃn điều kiện đầu bài.
Cách 2: Các điểm cực trị có hoành độ thoả mÃn:

x1 + x 2 = −2m
.


2
 x1 .x 2 = m − 1

§Ĩ A, B nằm vế hai phía của trục Ox điều kiện là:
yA.yB < 0 ⇔ (2xA + m)(2xB + m) < 0
⇔ 4xAxB + 2m(xA + xB) + m2 < 0 ⇔ 4(m2 − 1) − 4m2 + m2 < 0
⇔ m2 − 4 < 0 ⇔ m < 2.
VËy, víi m < 2 thoả mÃn điều kiện đầu bài.
Cách 3: Để A, B n»m vÕ hai phÝa cđa trơc Ox ®iỊu kiện đồ thị hàm số không cắt trục
Ox, tức phơng trình:
y = 0 vô nghiệm x2 + mx + 1 = 0 v« nghiƯm
⇔ ∆ < 0 ⇔ m2 − 4 < 0 ⇔ m < 2.
VËy, víi m < 2 thoả mÃn điều kiện đầu bài.
C. bài tập rèn luyện
hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Bài tập 1: Cho hàm số:

x+2
.
x2
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số đều lập với hai đờng tiệm
cận một tam giác có diện tích không đổi.
c. Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đờng tiềm
cận một tam giác có chu vi bé nhất.
Bài tập 2: Cho hàm số:
3x + 2
y=
.

x 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Tìm trên đồ thị hàm số tát cả những điểm có các toạ độ là nguyên.
Bài tập 3: Cho hàm số:

(C): y =

(3m + 1)x m 2 + m
.
x+m
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b. Với giá trị nào của m thì tại giao điểm của đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến sẽ
song song với đờng thẳng y = x + 1.

(Cm): y =

23


Bài tập 4: Cho hàm số:

x 1
.
x2
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Tìm những điểm trên đồ thị (C) có hoành độ lớn hơn 2 sao cho tiếp tuyến tại
điểm đó tạo với hai ®êng tiƯm cËn mét tam gi¸c cã chu vi nhá nhÊt.
mx + 1
Bµi tËp 5: Cho hµm sè (Cm): y =
, với m 1.

x+m
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 2.
b. Tìm các điểm cố định của họ (Cm).
Bài tập 6: Cho hàm số:
2x
(C): y =
.
x +1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Tìm các cặp điểm trên đồ thị (C) mà các tiếp tuyến tại ®ã song song víi nhau.
Bµi tËp 7: Cho hµm sè:
x +1
(C): y =
.
x3
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Tìm toạ độ các giao điểm của các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết rằng
tiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng y = x + 2005.
Bµi tËp 8: Cho hµm sè:
(m − 2)x − (m 2 − 2m + 4)
(Cm): y =
.
x−m
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 3.
b. Tìm những điểm trên mặt phẳng toạ độ mà đồ thị của hàm số không thể đi qua
dù m lấy giá trị bất kì nào.
Bài tËp 9: Cho hµm sè:
(3m + 1)x − m 2 + m
(Cm): y =
.

x+m
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b. Tìm những điểm trên đờng thẳng x = 1, sao cho không thể có giá trị nào của m
để đồ thị của hàm số đi qua.
Bài tập 10: Cho hàm số (C) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
1
(C): y = , (d): y = ax + b.
x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Tìm a, b để đờng thẳng (d) tiếp xúc với (C). Giả sử điều kiện đợc thoả mÃn. Khi
đó (d) cắt Ox, Oy tại A, B hÃy:
- Chứng tỏ rằng tam giác OAB có diện tích không đổi.
- Chứng tỏ rằng trung điểm của AB là tiếp điểm của (d) với (C).
- Khi nào thì khoảng cách từ gốc toạ độ O đến (d) lµ lín nhÊt ?

(C): y =

24


hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

Bài tập 1: Cho hàm số:

x2 + x 5
.
x2
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. CMR tích các khoảng cách từ một điểm M bất kì trên đồ thị (C) đến các đờng
tiệm cận là một hằng số không phụ thuộc vị trí điểm M.

c. Tìm hai ®iĨm A, B thc hai nh¸nh kh¸c nhau cđa ®å thị để khoảng cách giữa
chúng là nhỏ nhất.
Bài tập 2: Cho hàm số:
x2
y=
.
x 1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm hai điểm A, B nằm trên đồ thị và đối xứng nhau qua đờng thẳng (d): y =
x − 1.
Bµi tËp 3: Cho hµm sè:

(C): y =

x 2 + 2x + 1
.
x +1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b. Giải thích vì sao phơng trình
x 2 + 2x + 1
= m(x + 1)
x +1
víi m > 1 có hai nghiệm phân biệt có tổng không ®ỉi.
Bµi tËp 4: Cho hµm sè:
x 2 + mx − m + 8
(Cm): y =
.
x 1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. Khi đó hÃy chứng minh rằng đồ thị
hàm số nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

b. Tuỳ theo m hÃy khảo sát sự biến thiên của hàm số.
Bài tËp 5: Cho hµm sè:
x 2 + mx + 1
(Cm): y =
.
x+m
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
b. Tìm m để hàm số đồng biÕn víi x > 2.
Bµi tËp 6: Cho hµm sè:
x 2 + mx 1
(Cm): y =
.
x 1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
b. Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 1) làm tâm đối xứng.

y=

25