Định thức wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
KHOA TỐN

------

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỊNH THỨC WRONXKI
VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT
PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN

Giáo viên hướng dẫn
Sinh viên thực hiện
Lớp
Khoa
Chuyên ngành:

- Đà Nẵng, 5/2017-

: TS.Lê Hải Trung
: Nguyễn Thị Thanh Ngân
: 13ST
: Toán
: Sư phạm Toán


LỜI CẢM ƠN
Được sự phân cơng của khoa Tốn trường Đại học Sư
phạm Đà Nẵng, và sự đồng ý của giáo viên hướng dẫn cho phép
tơi tiến hành làm khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Định thức
Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân”.

Tơi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến sự tận tình giảng
dạy, hướng dẫn của qúy thầy, cơ giáo khoa Tốn. Đặc biệt cho
phép tôi gởi lời biết ơn đến thầy giáo, TS. Lê Hải Trung là
người trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu.
Trong thời gian nghiên cứu, ban thân tơi đã khắc phục
mọi khó khăn để hồn thành khóa luận. Tuy nhiên vì thời gian
có hạn, kiến thức cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót.
Kính mong các thầy cơ giáo và các bạn góp ý bổ sung, giúp đỡ
để bản thân tơi hồn thiện hơn nữa đề tài này.
Xin chân thành cảm ơn!
Đà Nẵng, tháng 5 năm 2017
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thị Thanh Ngân


Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 3
1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................... 3
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................... 3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................. 4
4. Phạm vi nghiên cứu ................................................................................. 4
5. Phương pháp nghiên cứu ......................................................................... 4
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài ................................................ 4
7. Cấu trúc đề tài.......................................................................................... 5
CHƢƠNG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ................................................................. 7
1.1. Các khái niệm cơ bản ........................................................................... 7
Định nghĩa 1.1. ............................................................................................ 7
Định nghĩa 1.2 ............................................................................................. 7

Định nghĩa 1.3 ............................................................................................. 7
Định lý 1.1. (Về sự tồn tại và duy nhất nghiệm) ......................................... 8
1.2. Tính chất của tốn tử vi phân tuyến tính .............................................. 9
1.3. Tính chất của nghiệm cho phương trình vi phân thuần nhất................ 9
1.4. Tính chất ............................................................................................. 10
Định nghĩa 1.4. .......................................................................................... 10
Định nghĩa 1.5. .......................................................................................... 10
Định lý 1.2. ................................................................................................ 10
Định nghĩa 1.6.. ......................................................................................... 11
Định lý 1.3. (Về nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp n hệ số
biến) ................................................................................................................... 11

GVHD: TS. Lê Hải Trung

-1-

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân


Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân
CHƢƠNG II. ĐỊNH THỨC WRONXKI VÀ ỨNG DỤNG TRONG
PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ......................................................................... 14
2.1. Định thức Wronxki ............................................................................. 14
Định nghĩa 2.1. .......................................................................................... 14
Định lý 2.1. ................................................................................................ 14
Hệ quả 2.1.................................................................................................. 15
Định lý 2.2. ............................................................................................... 15
Nhận xét..................................................................................................... 20
Định lý 2.3. (Đồng nhất thức Abel)........................................................... 20
2.2. Ứng dụng ............................................................................................ 22

2.3. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2 ............................. 23
2.4. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 3 ............................. 26
KẾT LUẬN ...................................................................................................... 35
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 36

GVHD: TS. Lê Hải Trung

-2-

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân


Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, Giải tích Tốn học đã có sự biến đổi mạnh mẽ. Trong đó, lĩnh
vực phương trình vi phân và phương trình sai phân là một phương trình tốn
học nhằm biểu diễn mối quan hệ giữa một hàm chưa biết (một hay nhiều
biến) với đạo hàm của nó (có cấp khác nhau), không ngừng được phát triển
nghiên cứu rộng rãi trong tốn học thuần túy. Phương trình vi phân xuất hiện
trên cơ sở phát triển của khoa học, kỹ thuật và những u cầu địi hỏi của thực
tế, nó là một bộ mơn tốn học cơ bản vừa mang tính lý thuyết cao, vừa mang
tính ứng dụng rộng. Nhiều bài tốn cơ học, vật lý, kinh tế dẫn đến sự nghiên
cứu các phương trình vi phân tương ứng. Ngành tốn học này đã góp phần
xây dựng lý thuyết chung cho các ngành tốn học và khoa học khác. Nó có
mặt và góp phần nâng cao tính hấp dẫn lý thú, tính đầy đủ sâu sắc, tính hiệu
quả giá trị của nhiều ngành như tối ưu, điều khiển tối ưu, giải tích số, tính
tốn khoa học…
Một trong những cơng cụ để chứng minh tính độc lập của một hệ n hàm

số nhằm xây dựng hệ nghiệm cơ sở cho phương trình vi phân tuyến tính cấp n
hệ số biến thiên là sử dụng định thức Wronxki. Định thức Wronxki cịn có
nhiều ứng dụng khác như giúp xác định một nghiệm còn lại của phương trình
vi phân tuyến tính cấp n,…
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về khái niệm và nghiên cứu một số ứng dụng của định thức
Wronxki trong việc giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp n hệ
số biến thiên.

GVHD: TS. Lê Hải Trung

-3-

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân


Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận.
- Nghiên cứu các tài liệu, bài báo liên quan đến phương trình vi phân,
định thức Wronxki.
- Nghiên cứu một số ứng dụng của định thức Wronxki trong việc giải
phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất.
4. Phạm vi nghiên cứu
- Đề tài tập trung nghiên cứu tìm nghiệm cịn lại của phương trình vi
phân tuyến tính thuần nhất cấp hai và cấp ba.
- Nghiên cứu về các tính chất cơ bản của phương trình vi phân tuyến tính
thuần nhất cấp n hệ số biến.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình nghiên cứu

đề tài và thực hiện theo quy trình như sau:
(1) Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa kiến thức.
(2) Thu thập các tài liệu có liên quan đến phương trình vi phân và định
thức Wronxki.
(3) Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.
(4) Trao đổi và thảo luận với giáo viên hướng dẫn.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như tài liệu cho những
ai quan tâm đến phương trình vi phân và ứng dụng của định thức Wronxki
trong phương trình vi phân.

GVHD: TS. Lê Hải Trung

-4-

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân


Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân
7. Cấu trúc đề tài
Chương I. Cơ sở lý thuyết
1.1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1. (Phương trình vi phân)
Định nghĩa 1.2. (Nghiệm của phương trình vi phân)
Định nghĩa 1.3. (Phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ số biến
thiên)
Định lý 1.1. (Về sự tồn tại và duy nhất nghiệm)
1.2. Tính chất của tốn tử vi phân tuyến tính
1.3. Tính chất của nghiệm cho phương trình vi phân thuần nhất
1.4. Tính chất

Định nghĩa 1.4 (Phụ thuộc tuyến tính)
Định nghĩa 1.5 (Độc lập tuyến tính)
Định lý 1.2
Định nghĩa 1.6 (Hệ nghiệm cơ sở)
Định lý 1.3 (Về nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp n
hệ số biến)
Chương II. Định thức Wronxki và ứng dụng trong phương trình vi phân
2.1. Định thức Wronxki
Định nghĩa 2.1
Định lý 2.1
Hệ quả 2.1
Định lý 2.2

GVHD: TS. Lê Hải Trung

-5-

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân


Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân
Định lý 2.3 (Đồng nhất thức Abel)
2.2. Ứng dụng
2.3. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2
2.4. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 3
Tài liệu tham khảo

GVHD: TS. Lê Hải Trung

-6-

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân


Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân

CHƢƠNG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1. Phương trình có dạng





F x, y, y,..., y( n )  0 ,

(1.1)

được gọi là phương trình vi phân thường cấp n, trong đó y  y( x ) là hàm cần
phải tìm.
Định nghĩa 1.2. Hàm y   ( x ) được gọi là nghiệm của phương trình vi phân
(1.1)

nếu

như

trong

phương

trình

(1.1)

khi

thay

y   ( x ), y   ( x ),..., y( n)   ( n) ( x) ta nhận được:





F x, ( x ), ( x ),..., ( n) ( x )  0 .

Bình thường phương trình (1.1) có khơng chỉ một nghiệm mà có vơ số
nghiệm.
Định nghĩa 1.3. Phương trình dạng
y( n)  P1( x )y( n1)  ...  Pn1( x)y ' Pn ( x)y  f ( x) ,

(1.2)

trong đó Pi ( x ), i  1, n , f ( x ) là những hàm cho trước, y  y( x ) là hàm cần phải
tìm, y(i ) , i  0, n là đạo hàm cấp i của hàm y( x ) , được gọi là phương trình vi
phân tuyến tính cấp n. Ở đây các hàm Pi ( x ), i  1, n được gọi là hệ số của
phương trình, hàm f ( x ) được gọi là vế phải của phương trình.

GVHD: TS. Lê Hải Trung

-7-

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân


Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân
Nếu như phương trình (1.2) với f ( x )  0 thì nó được gọi là phương trình
vi phân tuyến tính khơng thuần nhất. Khi f ( x )  0 thì khi đó phương trình
(1.2) trở thành:
y( n)  P1 ( x )y( n1)  ...  Pn1( x)y ' Pn ( x)y  0 ,

(1.3)

được gọi là phương trình thuần nhất tương ứng với (1.2).
dn
d n1
Kí hiệu L  n  P1 n1  ...  Pn , khi đó phương trình (1.2) viết được
dx
dx

dưới dạng
L  y   y( n)  P1 ( x )y( n1)  ...  Pn1( x )y ' Pn ( x ) ,

(1.4)

được gọi là phương trình vi phân dạng tốn tử.
Phương trình dạng (1.3):
y( n)  P1 ( x )y( n1)  ...  Pn1( x )y ' Pn ( x )  0 ,

được gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp

với hệ số biến

P1 ( x ), P2 ( x ),..., Pn ( x ) .

Định lý 1.1. (Về sự tồn tại và duy nhất nghiệm)
Giả sử trong phương trình vi phân thường cấp n (1.2) với điều kiện đầu
tại điểm:
x  x0 , y  y0 , y  y0 , ..., y( n1)  y0( n1) ,

(1.5)

các hàm P1 ( x ), P2 ( x ),..., Pn ( x ), f ( x ) xác định và liên tục trong khoảng (a, b)
nào đó, điểm x0  (a, b) . Khi đó trong (a, b) tồn tại duy nhất một nghiệm

y  y( x ) của phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện (1.5).





Chứng minh. Ta viết phương trình (1.2) dạng y( n)  F x, y, y,..., y( n1) .

GVHD: TS. Lê Hải Trung

-8-

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân

Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân





Vì F x, y, y,..., y( n1)  P1( x )y( n1)  ...  Pn1( x )y ' Pn ( x )y  f ( x ),
do đó

F
  Pk ( x ) .
y ( nk )

Vì vậy x   ,     a, b  thì

F
 N (theo tính chất liên tục của
y ( nk )

Pk ( x ) ).



 



n 1

 F x, y , y  ,..., y ( n1)  F x, y , y  ,..., y ( n1)  N  y (i )  y (i ) .
i 0

Tức là điều kiện Lipchitz thỏa mãn trên đoạn  ,     a, b    duy
nhất nghiệm y( x ) của phương trình (1.2) trong khoảng x0  h  x0  x0  h .
Nghiệm được xác định như vậy sẽ tồn tại trong khoảng (a, b).
1.2. Tính chất của tốn tử vi phân tuyến tính
1. Nếu như các hàm y1 ( x )  y1 , y2 ( x )  y2 n lần khả vi trong (a, b) thì
L  y1  y2   L  y1   L  y2  .

2. Với mọi hàm y  y( x ) vi phân cấp n trong (a, b) và với số  

bất

kỳ ta có L  y    L  y  .
1.3. Tính chất của nghiệm cho phƣơng trình vi phân thuần nhất
1. Nếu y1  y1 ( x ) và y2  y2 ( x ) là các nghiệm của phương trình vi phân
thuần nhất cấp n (1.3) thì y1  y2  y cũng là nghiệm của (1.3).
2. Nếu y  y( x ) là nghiệm của (1.3) thì với mọi  

bất kỳ  y cũng

là nghiệm của (1.3).

GVHD: TS. Lê Hải Trung

-9-

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân

Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân
3. Nếu y1  y1 ( x ) , y2  y2 ( x ) ,..., yn  yn ( x ) là nghiệm của phương trình
(1.3) thì y  1y1( x )   2 y2 ( x )  ...   n yn ( x ) cũng là nghiệm của phương trình
(1.3), trong đó  i , i  1, n là các hằng số bất kỳ.
1.4. Tính chất
Phương trình L[y]  f ( x ) vẫn cịn là tuyến tính cấp

nếu ta dùng phép

thế biến x    
Phương trình L[y]  f ( x ) vẫn cịn là tuyến tính cấp n nếu ta dùng phép
thế y  V ( x)Z   ( x ) .
Trong đó V, Z,

là các hàm khả vi liên tục n lần theo x, Z – hàm mới

phải tìm và V ( x)  0,x  (a, b) .
Định nghĩa 1.4. Một hệ các hàm số yi  yi ( x ), i  1, n được gọi là phụ thuộc
tuyến tính trong khoảng (a, b) , nếu như tồn tại các hằng số  i , i  1, n không
n

đồng thời bằng 0 để cho đẳng thức

 y
i 1

i i

 0 được thỏa mãn.

Định nghĩa 1.5. Một hệ các hàm số yi  yi ( x ), i  1, n được gọi là độc lập
tuyến tính trong khoảng (a, b) , nếu như từ

n

 y
i 1

i i

 0 suy ra i  0, i  1, n .

Định lý 1.2. Để hệ hai hàm y1  y1 ( x )  0 , y2  y2 ( x )  0 là độc lập tuyến tính
trong khoảng (a, b) thì điều kiện cần và đủ là:
y1 ( x )
 const.
y2 ( x )

GVHD: TS. Lê Hải Trung

- 10 -

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân


Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân
Chứng minh.
Điều kiện cần: Ta giả sử điều ngược lại:

y1 ( x )
 C   y1  Cy2  0 . Biểu
y2 ( x )

thức cuối chứng tỏ y1 , y2 phụ thuộc tuyến tính, điều này trái với giả thiết. Từ
đây ta có điều phải chứng minh.
Điều kiện đủ: Ta giả sử điều ngược lại: y1 , y2 là phụ thuộc tuyến tính, do đó
tồn tại C1  0, C2  0 để cho đẳng thức C1y1  C2 y2  0 được thỏa mãn. Từ
đây ta nhận được:
y1
C
  2  const,
y2
C1

điều này trái với giả thiết của điều kiện đủ. Từ đây ta nhận được điều phải
chứng minh.
Định nghĩa 1.6. Mọi hệ gồm n nghiệm yi  yi ( x), i  1, n độc lập tuyến tính
của phương trình vi phân thuần nhất (1.3 ) được gọi là hệ nghiệm cơ sở.
Định lý 1.3. (Về nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân cấp n hệ số
biến)
Xét phương trình vi phân
y( n)  P1( x )y( n1)  ...  Pn1( x)y  Pn ( x)y  f ( x) ,

(1.6)

trong đó các hệ số Pi ( x ) và f ( x )  0 xác định và liên tục trên một khoảng

(a, b) nào đó. Giả sử y1 ( x ), y2 ( x ),..., yn ( x ) là một hệ nghiệm cơ sở của
phương trình vi phân thuần nhất cấp n:

y( n)  P1( x )y( n1)  ...  Pn1( x )y  Pn ( x )y  0 ,

GVHD: TS. Lê Hải Trung

- 11 -

(1.7)

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân


Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân
khi đó
u  c1y1 ( x )  c2 y2 ( x )  ...  cn yn ( x ) ,

trong đó c1 , c2 ,..., cn là các hằng số tùy ý, là nghiệm tổng quát của (1.7).
Kí hiệu Y  Y  x  là một nghiệm riêng của (1.6) thì nghiệm tổng quát
của phương trình vi phân khơng thuần nhất (1.6) có dạng:

y Y  u.

(1.8)

Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh (1.8) là nghiệm của (1.6). Thật
vậy:
L  y   L Y  u   L Y   L u  f ( x )  0  f ( x ).

Tiếp theo ta sẽ chứng minh đây chính là nghiệm tổng quát của (1.6), hay
nói cách khác, với mỗi điều kiện đầu:
x0  (a, b), y  x0   y0 , y  x0   y0 ,..., y( n1)  x0   y0( n1) , (1.9)

ta cần chỉ ra được sự tồn tại của  c1 ,..., cn  để cho hàm y  c1y1  ...  cn yn  Y
thỏa mãn (1.9). Xét hệ:
c1y10  c2 y20  ...  cn yn 0  Y0  y0 ,

  c2 y20
  ...  cn yn 0  Y0  y0 ,
c1y10

  c2 y20
  ...  cn yn 0  Y0  y0 ,
c1y10
...

( n 1)
( n 1)
c1y10
 c2 y20
 ...  cn yn( n01)  Y0( n1)  y0( n1) .


(1.10)

Đây là hệ phương trình đại số với các ẩn là ci , i  1,2,..., n, trong đó
yi 0  yi ( x0 ), i  1,2,..., n, yi(0k )  yi( k )  x0  . Định thức của hệ (1.10) chính là

GVHD: TS. Lê Hải Trung

- 12 -

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân


Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân
detW , mặt khác y1 ,..., yn là hệ nghiệm cơ sở của (1.7), nghĩa là tồn tại

nghiệm ci ,i  1,2,..., n của hệ (1.10).
Do đó nghiệm tổng qt của phương trình vi phân khơng thuần nhất
(1.6) có dạng:
y Y u.

GVHD: TS. Lê Hải Trung

- 13 -

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân


Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân

CHƢƠNG II. ĐỊNH THỨC WRONXKI
VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
2.1. Định thức Wronxki
Định nghĩa 2.1. Giả sử hàm yi  yi ( x ), i  1, n , (n – 1) lần khả vi trong
khoảng (a,b). Khi đó định thức:

W ( x) 

y1 ( x )
y1 ( x )

y2 ( x )
y2 ( x )

...

...
...

yn ( x )
yn ( x )

,

y1( n1) ( x ) y2( n1) ( x ) ... yn( n1) ( x )

được gọi là định thức Wronxki (hoặc Wronxkian).
Định lý 2.1. Nếu hệ y1 ( x ), y2 ( x ),..., yn ( x ) , (n – 1) lần khả vi trên (a,b) là phụ
thuộc tuyến tính thì W ( x )  0  x  (a, b) .



Chứng minh. Giả sử hệ yi i  1, n





lần khả vi trên (a,b) và phụ



thuộc tuyến tính, khi đó tồn tại ci i  1, n không đồng thời bằng 0 để cho
n

 c y ( x)  0 x  (a, b)
i 1

(2.1)

i i

Đạo hàm cả hai vế của hệ thức trên (n – 1) lần cho ta:
c1y1  c2 y2  ...  cn yn  0
c1y1  c2 y2  ...  cn yn  0
...
c1y1( n1)  c2 y2( n1)  ...  cn yn( n1)  0

GVHD: TS. Lê Hải Trung

- 14 -

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân


Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân
Kết hợp các biểu thức nhận được với (2.1) và cố định x  x0  (a, b) ta
nhận được hệ phương trình đại số cấp n:
c1y10  c2 y20  ...  cn yn 0  0


  c2 y20
  ...  cn yn 0  0
c1y10

  c2 y20
  ...  cn yn 0  0
c1y10
...

( n 1)
( n 1)
c1y10
 c2 y20
 ...  cn yn( n01)  0,


(2.2)

trong đó các hệ số ci (i  1, n) được coi là ẩn cần phải tìm của hệ (2.2).
Theo giả thiết ci (i  1, n) khơng đồng thời bằng 0, do đó định thức của
hệ (2.2) phải bằng 0.
Mặt khác định thức của hệ (2.2) chính bằng

W ( x0 ) 

y10

y10
...

( n 1)
y10

y20

y20

...

yn 0
yn 0

...

,

( n 1)
y20
... yn( n01)

nhận được tại mọi x0  (a, b) : W ( x0 )  0 . Như vậy W ( x)  0 ( x (a, b)) .
Hệ quả 2.1. Nếu W ( x)  0 tại x nào đó thuộc (a,b) thì hệ hàm

y ( x), y ( x),..., y (x) độc lập tuyến tính trên (a,b).
1

2

n

Định lý 2.2. Với mỗi hệ nghiệm cơ sở y1 ( x ), y2 ( x ),..., yn ( x ) , của phương trình
vi phân thuần nhất cấp n:
y( n)  P1 ( x )y( n1)  ...  Pn1( x )y ' Pn ( x )y  0,

GVHD: TS. Lê Hải Trung

- 15 -

(2.3)

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân


Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân
hay L[y]  0 thì định thức Wronxki:

W ( x) 

y1 ( x )
y1 ( x )

y2 ( x )
y2 ( x )

...

...
...

yn ( x )

yn ( x )

 0,

(2.4)

y1( n1) ( x ) y2( n1) ( x ) ... yn( n1) ( x )

tại mỗi điểm x  (a, b) .
Chứng minh. Lấy một hệ nghiệm cơ sở tùy ý yi ( x ), i  1, n của phương trình
vi phân thuần nhất cấp n (2.3) và ta giả sử định thức Wronxki của nó bằng 0
tại một điểm x0  (a, b) nào đấy, như vậy:
y10

y10
...

( n 1)
y10

y20

y20

...
...

yn 0
yn 0

 0,

(2.5)

( n 1)
y20
... yn( n01)

ở đây yi 0  yi ( x0 ), i  1, n, yi(0k )  yi( k )  x0  , k  0, n  1 . Xét hệ (thuần nhất) n
phương trình đại số:
c1y10  c2 y20  ...  cn yn 0  0

  c2 y20
  ...  cn yn 0  0
c1y10

  c2 y20
  ...  cn yn 0  0
c1y10
...

( n 1)
( n 1)
c1y10
 c2 y20
 ...  cn yn( n01)  0.


(2.6)

Do định thức Wronxki của (2.6): W ( x0 )  0 , do đó (2.6) có một nghiệm





khác khơng c1* , c2* ,..., cn* , khi đó ta có:

GVHD: TS. Lê Hải Trung

- 16 -

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân


Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân
c1* y10  c2* y20  ...  cn* yn 0  0
 *
  c2* y20
  ...  cn* yn 0  0
c1 y10
 *
  c2* y20
  ...  cn* yn 0  0
c1 y10
...

( n 1)
( n 1)
c1* y10

 c2* y20
 ...  cn* yn( n01)  0.


(2.7)

Xét hàm y*  c1* y1  c2* y2  ...  cn* yn , là nghiệm của phương trình (2.3).
Từ (2.7) ta nhận được:
y0*  y* ( x0 )  0, y0*  y* ( x0 )  0,..., y0( n1)*  y( n1)* ( x0 )  0 .

Khi đó theo định lý 1.1 (về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương
trình vi phân cấp n ) ta có y*  0  y1 , y2 ,..., yn là phụ thuộc tuyến tính, điều
này mâu thuẫn với giả thiết y1 , y2 ,..., yn là hệ nghiệm cơ sở của phương trình
(2.3) độc lập tuyến tính. Từ đây ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.1. Xác định hệ các hàm số sau là phụ thuộc tuyến tính hay độc lập
tuyến tính: f ( x )  2 x 2 và g( x )  x 4
Cách 1. Dựa vào định nghĩa:
Xét 1 (2 x 2 )  2 ( x 4 )  0
 x 2 (21   2 .x 2 )  0

Giả sử hệ trên phụ thuộc tuyến tính. Do đó tồn tại 1 ,  2 khơng đồng
thời bằng 0 để 21  2 .x 2  0, x  0
x  1  21   2  0
x  2  21  4 2  0.

Dễ dàng ta có 1   2  0  vơ lý.
Vậy hệ trên độc lập tuyến tính.
GVHD: TS. Lê Hải Trung

- 17 -

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân


Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân
Cách 2. Dựa vào hệ quả:
2x2
W (x) 
4x

x4
 8x 5  4 x 5  4 x 5
3
4x

Ta có W ( x )  0, x  0 , do đó hệ trên là độc lập tuyến tính.
Ví dụ 2.2. Xét phương trình y  y  0
Phương trình có hai nghiệm y1  e x , y2  e x
Cách 1. Dựa vào định nghĩa, xét 1e x   2e x  0 .
Giả sử hệ nghiệm trên phụ thuộc tuyến tính. Do đó tồn tại 1 ,  2 không
đồng thời bằng 0 để 1e x   2e x  0, x  0 .
x  1  1.e 
x  1 

1
e

2

 0   2  1e2 ,

(2.8)

  2 .e  0  1   2e2  0 .

(2.9)

e

Từ (2.8) và (2.9)  1  1e4  0  1 (1  e4 )  0
 1  0   2  0 (vô lý).

Vậy y1 , y2 độc lập tuyến tính.
Cách 2. Dựa vào hệ quả:
 ex
W  y1 , y2   det  x
e

e x 
  2  0
e  x 

 y1 , y2 độc lập tuyến tính.

Đây là hệ nghiệm cơ bản vì phương trình là tuyến tính cấp hai.
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình là y( x )  C1e x  C2e x .
GVHD: TS. Lê Hải Trung

- 18 -

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân


Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân
Ví dụ 2.3. Xác định hệ các hàm số sau là phụ thuộc tuyến tính hay độc lập
3

tuyến tính: f ( x )  x 1 và g( x )  x 2
Cách 1. Dựa vào định nghĩa:
3
2

Xét 1.x   2 .x  0
1

Giả sử hệ trên phụ thuộc tuyến tính. Do đó tồn tại 1 ,  2 không đồng
3
2

thời bằng 0 để 1.x   2 .x  0, x  0
1

x  1  1   2  0
1
x  2  1  2 2 2  0.
2

Dễ dàng ta có 1   2  0  vô lý.
Vậy hệ trên độc lập tuyến tính.
Cách 2. Dựa vào hệ quả:

W ( x) 

x

1

x

2

x

3
2

3 12
x
2

1

3  12
5  12
2
 x x  x
2
2

Ta có W ( x )  0, x  0 , do đó hệ trên là độc lập tuyến tính.

Từ các ví dụ với hai cách giải trên có thể thấy rằng dựa vào hệ quả về
định thức Wronxki cho ta kết quả đơn giản và nhanh chóng hơn nhiều so với
dựa vào định nghĩa. Từ đó dễ dàng tiếp tục thực hiện các yêu cầu khác của bài
toán.

GVHD: TS. Lê Hải Trung

- 19 -

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân


Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân
Nhận xét
Hệ các hàm có định thức Wronxki đồng nhất bằng 0 khơng nhất thiết
phụ thuộc tuyến tính.
Nói cách khác hệ quả 2.1 chỉ là điều kiện cần để hệ hàm khả vi phụ
thuộc tuyến tính.



Chẳng hạn xét x 3 , x

3

 có W(x)  0 , nhưng độc lập tuyến tính trên (a,b)

tùy ý khi a, b trái dấu.
Định lý 2.3. (Đồng nhất thức Abel)
Giả

sử

W(x)

là

định

thức

Wronxki

của

hệ

n

nghiệm

y ( x), y ( x),..., y (x) của phương trình thuần nhất
1

2

n

y( n)  P1 ( x )y( n1)  ...  Pn1( x)y ' Pn ( x)y  0 ,

(2.10)

Khi đó
 P dx
W ( x )  W ( x0 )e  1 .

(2.11)

Chứng minh. Vì y là tổ hợp tuyến tính của hệ nghiệm y1 , y2 ,..., yn nên ta có:
y1 ( x )
y2 ( x )
y1 ( x )
y2 ( x )
W  y1 , y2 ,..., yn , y  
...
y1( n1) ( x ) y2( n1) ( x )
y1( n ) ( x )
y2( n ) ( x )

...
...

yn ( x )
yn ( x )

y( x )
y( x )
 = 0.

... yn( n1) ( x ) y ( n1) ( x )

... yn( n ) ( x )
y(n) ( x )

Khai triển theo cột cuối cùng của định thức trên ta nhận được:

GVHD: TS. Lê Hải Trung

- 20 -

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân


Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân
y1
y1
...

y2
y2

y1( n2)
y1( n1)

...
...

yn
yn

y2( n2) ... yn( n2)

y2( n1) ... yn( n1)

y1
y1
y ( n )  ...
y1( n2)
y1( n)

y2
y2

yn
yn

y ( n1)  ...  0 .

(2.12)

y2( n2) ... yn( n2)
y2( n) ... yn( n)

y1
y1
Đạo hàm W ( x )  W  y1 , y2 ,..., yn   ...
y1( n2)
y1( n1)
y1
y1
dW
 ...

dx
y1( n2)
y1( n )

...
...

y2
y2

y2
y2

...
...

( n 2)
2
( n 1)
2

... y
... y

yn
yn

theo
y
y

...
...

ta có

( n 2)
n
( n 1)
n

yn
yn

y2( n2) ... yn( n2)
y2( n ) ... yn( n )

Từ (2.12) ta có:
W ( x )y ( n ) 

dW ( n1)
y
 ...  0 ,
dx

(2.13)

Vì hệ nghiệm y1 ( x ), y2 ( x ),..., yn ( x ) độc lập tuyến tính nên W ( x)  0 ,
chia 2 vế của (2.13) cho W ( x ) ta có phương trình tuyến tính thuần nhất
dW
y ( n )  dx y ( n1)  ...  0 .

W (x)

(2.14)

dW
Đồng nhất (2.10) và (2.14) ta được P1   dx ,
W (x)

hay

GVHD: TS. Lê Hải Trung

- 21 -

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân


Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân
dW
  P1.W .
dx

Tích phân phương trình vi phân tách biến này ta thu được
x



W ( x )  C.e

 P1dx

x0

.

Chọn x  x0  W ( x0 )  C . Do đó:
 P dx
W ( x )  W ( x0 )e  1 ,

ở đây W(x0) là giá trị của định thức Wronxki tại x0  (a, b) .
2.2. Ứng dụng
Đồng nhất thức Abel cho phép ta tìm nghiệm thứ n, độc lập tuyến tính
với n  1 nghiệm độc lập tuyến tính đã biết của phương trình tuyến tính cấp n,
bằng cách giải phương trình vi phân cấp n – 1.
Nếu biết một nghiệm khơng tầm thường y1 của phương trình tuyến tính
thuần nhất
y( n)  P1 ( x )y( n1)  ...  Pn1( x)y ' Pn ( x)y  0 ,

(2.15)

thì ta có thể giảm cấp của phương trình thuần nhất bằng cách đổi biến. Đặt
y  y1  udx . Khi đó các tính tuyến tính và thuần nhất của nó vẫn được bảo

toàn.
Thật vậy, đặt z   udx  z  u và y  y1z .

(2.16)

Thay vào phương trình thuần nhất (2.15) ta có:
a0 ( x )z( n)  a1( x )z( n1)  ...  an ( x )z  0 ,

GVHD: TS. Lê Hải Trung

- 22 -

(2.17)

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân


Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân
Ta có y  y1 nên từ (2.16) suy ra z  1 là một nghiệm của (2.17). Do đó
an ( x )  0 .

(2.17) có thể viết lại:
a0 ( x )z( n)  a1( x )z( n1)  ...  an1( x )z  0 .

(2.18)

Lại có z '  u , khi đó (2.18) trở thành
a0 ( x)u( n1)  a1( x)u( n2)  ...  an1( x)u  0 ,

(2.19)

(2.19) chính là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n  1 .
2.3. Phƣơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2
Xét phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2
y  P( x )y  Q( x )y  0 ,

(2.20)

với hệ số biến P( x ), Q( x ) được mặc định xác định và liên tục trên một
khoảng (a, b) nào đó. Biết y1  y1 ( x ) là một nghiệm của phương trình.
Giả sử y2 là một nghiệm độc lập tuyến tính với y1 sao cho
W[y1, y2 ]( x0 )  1 .

Khi đó
y1y2  y1y2 W ( x ) 1   P ( x )dx
 2  2e
,
y12
y1
y1

Tức là
 y2  1   P ( x )dx
.
   2e
y
y
 1
1

GVHD: TS. Lê Hải Trung

- 23 -

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân