Phương pháp newton suy rộng cho bài toán bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN HỌC
----------

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

PHƯƠNG PHÁP NEWTON SUY RỘNG
CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN

Sinh viên thực hiện: Văn Bá Công – Lớp 16CTUDE
Giảng viên hướng dẫn: TS. Phạm Qúy Mười

--- Đà Nẵng, tháng 6 năm 2020 ---


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN
*****

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

PHƯƠNG PHÁP NEWTON SUY RỘNG
CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN

Sinh viên thực hiện: Văn Bá Công – Lớp 16CTUDE
Giảng viên hướng dẫn: TS. Phạm Qúy Mười

Đà Nẵng, tháng 6 năm 2020


LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan những kết quả được trình bày trong khóa luận tốt
nghiệp này là cơng trình nghiên cứu của riêng em. Các kết quả và số liệu
trong đề tài nghiên cứu là trung thực được trích dẫn nguồn đầy đủ hoặc
chưa từng công bố trong bất kỳ cơng trình của ai khác. Kết quả bài báo
viết chung với các tác giả khác đều nhận được sự nhất trí của các đồng
tác giả khi đưa vào luận văn tốt nghiệp.
Đà Nẵng, tháng 6 năm 2020
Tác giả
Văn Bá Công


LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp này được hồn thành tại khoa Toán trường đại
học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng. Sau một thời gian tích cực học tập và
nghiên cứu, dưới sự chỉ bảo tận tình của thầy giáo hướng dẫn, đến nay
luận văn của em đã hoàn thành.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến TS. Phạm Qúy Mười, người
đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cơ giáo
đã tận tình dạy bảo em trong suốt thời gian học tập tại Khoa Toán học.
Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và tập thể lớp
16CTUDE đã giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện cho em hồn thành khóa
luận tốt nghiệp này.
Tác giả

Văn Bá Công


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Tích vơ hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5. Tập lồi - Nón lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6. Toán tử và toán tử chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7. Điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8. Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
1.8.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8.2. Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng
thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON SUY RỘNG CHO
PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG TRƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1. Đạo hàm nghiêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2. Một số tính chất của hàm khả vi nghiêng . . . . . . . . . . . . .17
2.2. Phương pháp Newton suy rộng cho phương trình khơng trơn 22


CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP NEWTON SUY RỘNG CHO
BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN . . . . . . . . . . . . 27
3.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2. Một số tính chất của tốn tử Φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3. Thuật toán Newton suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4. Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Bài toán bất đẳng thức biến phân là một bài toán quan trọng trong
toán học ứng dụng, được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1966 khi Philip
Hartman và Guido Stampacchia công bố những nghiên cứu đầu tiên của
mình về bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải các bài toán biến
phân, bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên trong lý thuyết
phương trình đạo hàm riêng. Bài tốn bất đẳng thức biến phân có quan
hệ mật thiết với các bài toán tối ưu khác và bài toán bù phi tuyến là một
trường hợp đặc biệt của bài toán bất đẳng thức biến phân[2, 5, 6].
Gần đây việc nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân bao hàm
nhiều lớp bài toán quan trọng thuộc các lĩnh vực khác nhau như bài toán
tối ưu, bài toán bù, bài toán điểm bất động của Brouwer, lý thuyết trị
chơi, bài tốn cân bằng Nash, bài tốn cân bằng mạng giao thơng,... Các
nhà nghiên cứu cũng chỉ ra rằng nhiều bài toán thực tế trong các lĩnh vực
kinh tế, đời sống và kỹ thuật có thể mơ tả được dưới dạng bài toán bất
đẳng thức biến phân[2, 6].
Cho tới nay, việc nghiên cứu bài tốn bất đẳng thức biến phân ln
nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngồi
nước. Hai hướng nghiên cứu chính về bài toán bất đẳng thức biến phân
là nghiên cứu về các vấn đề định tính như: Sự tồn tại nghiệm, cấu trúc
tập nghiệm, tính ổn định,...và nghiên cứu về định lượng như đề xuất các

phương pháp, thuật tốn giải, tính hội tụ của các thuật toán,...
Với mong muốn nghiên cứu sâu hơn về bài toán bất đẳng thức biến
phân và được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn em chọn đề tài:"Phương
pháp Newton suy rộng cho bài toán bất đẳng thức biến phân" làm khóa
luận tốt nghiệp của mình. Khóa luận tập trung nghiên cứu một phương
pháp Newton suy rộng dựa trên khái niệm đạo hàm nghiêng và áp dụng
phương pháp này vào giải bài toán bù phi tuyến - Một trường hợp cụ thể


2

của bài toán bất đẳng thức biến phân. Hơn nữa, khóa luận cũng nghiên
cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.
Nội dung của khóa luận được trình bày trong 3 chương. Ngồi ra, khóa
luận cịn có phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo.
Chương I: Cơ sở lý thuyết: Chương này, trình bày một số kiến thức cơ
bản về khơng gian Banach, khơng gian Rn , tích vơ hướng, tập lồi, toán tử
chiếu, điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân[1, 2, 3, 4, 5, 6].
Một số kết quả quan trọng về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán
bất đẳng thức biến phân đã được viết thành bài báo khoa học và đăng
trên tạp chí khoa học trường đại học Sư Phạm Đà Nẵng[7].
Chương II: Phương pháp Newton suy rộng cho phương trình khơng
trơn. Chương này, trình bày định nghĩa đạo hàm nghiêng và tính chất
hàm khả vi nghiêng. Tiếp theo, áp dụng phương pháp Newton suy rộng
để giải phương trình khơng trơn[3, 8].
Chương III: Phương pháp Newton suy rộng cho bài toán bất đẳng thức
biến phân: Chương này, trình bày phương pháp Newton suy rộng để giải
bài toán bù phi tuyến[2, 9].
Hướng nghiên cứu tiếp là ứng dụng phương pháp Newton suy rộng vào
các bài toán khác nhau và nghiên cứu phương pháp tựa Newton suy rộng...

2. Mục tiêu và phương pháp nghiên cứu
Nhằm hiểu thấu đáo về bài toán bất đẳng thức biến phân, sự tồn tại
nghiệm, nghiệm duy nhất từ đó nghiên cứu tìm ra các phương pháp giải
bài tốn. Ngồi ra, em mong muốn sẽ đưa ra được những kết quả mới
nhằm đóng góp phần nào đó cho mảng nghiên cứu này.
Trong khóa luận này, em sử dụng phương pháp nghiên cứu các tài liệu
đã có liên quan đến bài toán cần nghiên cứu. Trước tiên, em thu thập các
bài báo khoa học[8, 9] của những tác giả đi trước liên quan đến bài toán
bất đẳng thức biến phân bù phi tuyến. Sau đó, tìm ra nhứng vấn đề cịn
mới để đi tìm lời giải, cuối cùng sử dụng phương pháp Newton suy rộng
để giải bài toán này.


3

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là sự tồn tại, duy nhất nghiệm của bài toán bất
đẳng thức biến phân và phương pháp Newton suy rộng để giải bài toán.
Phạm vi Nghiên cứu là các khía cạnh liên quan đến bài tốn bất đẳng
thức biến phân cụ thể là bù phi tuyến trong không gian Rn .
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Các kết quả nghiên cứu của đề tài góp phần bổ sung thêm các kết quả
lý thuyết của bài toán bất đẳng thức biến phân. Đồng thời, đề tài cũng
đóng góp vào việc tìm hiểu phương pháp Newton suy rộng để giải bài tốn
bất đẳng thức biến phân.
Bài nghiên cứu có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên,
học viên và các nghiên cứu sinh đang nghiên cứu về mảng này.


4

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chương này, trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Banach,
không gian Rn , tích vơ hướng, tập lồi, tốn tử chiếu, điểm bất động, bài
toán bất đẳng thức biến phân. Những kiến thức này sẽ được sử dụng ở
phần sau, việc chứng minh các tính chất, định lý trong chương này người
đọc có thể tham khảo ở các tài liệu[1, 2, 3, 4, 5, 6]. Một số kết quả quan
trọng về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân đã được viết thành bài báo khoa học và đăng trên tạp chí khoa học
trường đại học Sư Phạm Đà Nẵng[7].
1.1. Không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1. [Không gian định chuẩn]. Cho X là một không gian
vecto trên R và || · || : X → R là một hàm số thỏa mãn:
1. ∀x ∈ X : ||x|| ≥ 0; ||x|| = 0 khi và chỉ khi x = 0.
2. ||λx|| = |λ|||x||, với mọi λ ∈ R, x ∈ X .
3. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, với mọi x, y ∈ X .
Khi đó, cặp (X, || · ||) được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn hay
gọi là khơng gian định chuẩn và hàm số || · || được gọi là một chuẩn trên

X.
Định nghĩa 1.1.2. [Sự hội tụ theo chuẩn]. Cho (X, || · ||) là một không
gian định chuẩn. Dãy (xn )n ⊂ X được gọi là hội tụ đến x trong không
gian X nếu lim ||xn − x|| = 0.
n→∞

Định nghĩa 1.1.3. [Dãy Cauchy]. Cho (xn )n là một dãy trong không gian
định chuẩn (X, || · ||). (xn )n được gọi là một dãy Cauchy nếu ∀ε > 0, ∃no ∈

N sao cho mọi n, m ≥ no ta có ||xn − xm || < ε.
Tính chất. Trong khơng gian định chuẩn X , mọi dãy hội tụ là Cauchy
cịn dãy Cauchy thì chưa chắc hội tụ. Trong trường hợp ngược lại là đúng
thì khơng gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach.


5

Định nghĩa 1.1.4. [Không gian Banach]. Cho (X, || · ||) là không gian
định chuẩn. Nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ về một điểm thuộc
X thì X được gọi là không gian Banach.
1.2. Không gian Rn
Định nghĩa 1.2.1. Ta ký hiệu Rn là tập hợp các bộ có thứ tự gồm n số
thực, Rn = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) : xi ∈ R}. Khi n = 1, thì R1 là tập hợp
các số thực R. Khi n = 2, thì R2 là tập hợp các cặp số thực (x1 , x2 ) hay
tập hợp các điểm của mặt phẳng có tọa độ (x1 , x2 ). R2 được gọi là không
gian 2 chiều và các điểm của R2 thường được ký hiệu là (x, y) thay cho
(x1 , x2 ). Khi n = 3, thì R3 là tập hợp các bộ ba số thực (x1 , x2 , x3 ) hoặc
tập hợp các điểm trong không gian. R3 được gọi là không gian 3 chiều
và các điểm trong không gian thường được ký hiệu là (x, y, z) thay cho

(x1 , x2 , x3 ). Rn được gọi là không gian n chiều với mỗi phần tử của nó gọi
là một điểm hay véctơ. Nếu x = (x1 , x2 , ..., xn ) là một điểm của Rn thì
x1 , x2 , ..., xn cũng gọi là các tọa độ điểm x.
Định nghĩa 1.2.2. Khoảng cách giữa hai điểm x = (x1 , x2 , ..., xn ) và
y = (y1 , y2 , ..., yn ) của không gian Rn là số thực.

d(x, y) := ||x − y|| =

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + ... + (xn − yn )2 .

Tính chất 1.1. Với mọi điểm x, y, z của Rn , ta có:
(i) d(x, y) ≥ 0 và d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y ,
(ii) d(x, y) = d(y, x),
(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z).
1.3. Tích vơ hướng
Định nghĩa 1.3.1. Trong khơng gian Rn , tích vơ hướng của hai vectơ:
x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) là số thực được ký hiệu và xác định
bởi:

x, y := x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn .
Tính chất:
(1) x, y = y, x , ∀x, y ∈ Rn ,
(2) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y ∈ Rn ,
(3) αx, y = α x, y , ∀α ∈ R, ∀x, y ∈ Rn ,
(4) x, x > 0, ∀x = 0 và x, x = 0 ⇐⇒ x = 0.


6

1.4. Hàm nhiều biến
Định nghĩa 1.4.1. Cho D là tập con khác rỗng của Rn . Ánh xạ f :

D ⊂ Rn → R xác định bởi x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ D → u = f (x) =
f (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ R được gọi là hàm số n biến số xác định trên D. Khi đó,
D được gọi là miền xác định của hàm số f , x1 , x2 , ..., xn được gọi là các
biến số độc lập. Nếu xem x1 , x2 , ..., xn là các tọa độ của một điểm M ∈ Rn
trong một hệ tọa độ nào đó thì cũng có thể viết u = f (M ).
Trong trường hợp thường gặp n = 2 hay n = 3 người ta dùng kí hiệu
z = f (x, y) hay u = f (x, y, z).

Định nghĩa 1.4.2. [Đạo hàm riêng]. Giả sử {e1 , e2 , ..., en } là cơ sở chính
tắc trong không gian Rn , U là một tập hợp mở trong Rn và f: U → R là
một hàm số n biến số x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ U.
Nếu giới hạn:

f (x + tei ) − f (x)
,
t→0
t
tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng thứ i của hàm
f tại x hay đạo hàm riêng theo biến xi của hàm f tại x và ký hiệu là:
∂f
Di f (x) hay fxi (x) hay
(x).
∂xi
Định nghĩa 1.4.3. Hàm số f xác định trên một tập mở U thuộc Rn được
gọi là khả vi tại điểm x ∈ U nếu tồn đó dãy {xk } hội tụ đến x∗ khi x → 0.
3.4. Ví dụ số
Trong phần này, tơi trình bày cách viết các hàm trong môi trường
MATLAB để giải các ví dụ số bằng phương pháp Newton suy rộng.
Ví dụ 3.4.1. Tìm
 x ∈ R sao cho:
x ≥ 0,
F (x) ≥ 0, trong đó: F (x) = x3 + 3x.

xF (x) = 0,
Giải.
Nghiệm chính xác: xF (x) = 0 ⇐⇒ x(x3 + 3x) = 0 ⇐⇒ x = 0.
Phương pháp Newton suy rộng.
Ta có: F (x) = x3 + 3x ⇒ F (x) = 3x + 3

Khởi tạo vòng lặp: xk+1 = xk −

1
Φo (xk ) Φ(xk ).

Trong đó, Φ(x) = ϕλ (x, F (x)) =
với λ được chọn bằng 1.

(x − F (x))2 + λx.F (x) − x − F (x),


37


2(x − F (x)) + λF (x)


−1


2 + λxF (x)

2
(x
−
F
(x))





−2(x − F (x)) + λx

+
− 1 F (x),
o
2 + λxF (x)
⇒ Φ (x) =
2
(x
−
F
(x))




nếu (x, F (x)) = (0, 0),






−1 − F (x), nếu (x, F (x)) = (0, 0),
và [Φo (x)]−1 là nghịch đảo của Φo (x).
Chương trình Matlab.
Hàm F .
function v=F(x)
% F function

v= x^3+3*x;

Hàm F đạo hàm.
function v=F_dh(x)
% F dao ham function
v= 3*x+3;

Hàm Φ.
function v=Phi(x,lamda)
% Phi nho function
v= sqrt((x-F(x))^2+lamda*x*F(x))-x-F(x);

Hàm Φ đạo hàm.
function v=Phi_dh(x,lamda)
% function
if [x F(x)]==[0 0]
v=-1-F_dh(x);
else
v=(2*(x-F(x))+lamda*F(x))/(2*sqrt(x-F(x))^2+lamda*x*F(x))-1
+((-2*(x-F(x))+lamda*x)/(2*sqrt(x-F(x))^2+lamda*x*F(x))-1)*F_dh(x);
end
end

Chương trình chính.
epsilon=1e-6;
lamda = 1;
max_iter = 1000;
x0=1;
k=0;

38
error =1e10;
Mx=[x0];
Merror=[];
while (error>epsilon)& ((kx1=x0-(1/Phi_dh(x0,lamda))*Phi(x0,lamda);
error = norm(x1-x0);
x0=x1;
k=k+1;
Mx=[Mx x0];
Merror=[Merror error];
end
plot(Merror);

k

xk

[Φo (xk )]−1 .Φ(xk )

0

1

0.959704478815089

1

0.0402955211849114

0.0401012176032284

2 0.000194303581682986 0.000194298974775891
3

4.60690709566019e-09

4.60690709307015e-09

4

2.59003236525970e-18

0

5

0

0

Bảng 3.1: Các bước trong vòng lặp Newton suy rộng cho Ví dụ 3.4.1 với x0 = 1 và λ = 1.

Hình 3.1: x0 = 1 và λ = 1.


39

Nhận xét.

1. Từ Bảng 3.1, ta thấy xk hội tự đến x∗ = 1 rất nhanh, chỉ sau năm
vòng lặp.
2. Nhìn vào Hình 3.1 ta thấy khi chọn x0 = 1 và λ = 1 thì ta thấy sự
hội tụ của giải thuật qua đồ thị.
Ví dụ 3.4.2.
 Tìm x ∈ R sao cho:
x ≥ 0,
F (x) ≥ 0, trong đó: F (x) = 6x3 + 5x2 + 4x.

xF (x) = 0,
Giải.
Nghiệm chính xác: xF (x) = 0

⇐⇒ x(6x3 + 5x2 + 4x) = 0 ⇐⇒ x = 0.
Phương pháp Newton suy rộng.
Ta có: F (x) = 6x3 + 5x2 + 4x ⇒ F (x) = 18x2 + 15x + 4.
Khởi tạo vòng lặp: xk+1 = xk − [Φo (xk )]−1 .Φ(xk ).
Trong đó, Φ(x) = ϕλ (x, F (x)) =

(x − F (x))2 + λx.F (x) − x − F (x),

với λ được chọn bằng 0,5.

2(x − F (x)) + λF (x)


−1




2 (x − F (x))2 + λxF (x)




−2(x − F (x)) + λx

+
− 1 F (x),
o
2 + λxF (x)
⇒ Φ (x) =
2
(x
−
F
(x))




nếu (x, F (x)) = (0, 0),






−1 − F (x), nếu (x, F (x)) = (0, 0),
và [Φo (x)]−1 là nghịch đảo của Φo (x).

Chương trình Matlab.
Hàm F .
function v=F(x)
% F function
v= 6*x^3+5*x^2+4*x;

Hàm F đạo hàm.


40
function v=F_dh(x)
% F dao ham function
v= 18*x^2+15*x+4;

Hàm Φ.
function v=Phi(x,lamda)
% Phi nho function
v= sqrt((x-F(x))^2+lamda*x*F(x))-x-F(x);

Hàm Φ đạo hàm.
function v=Phi_dh(x,lamda)
% function
if [x F(x)]==[0 0]
v=-1-F_dh(x);
else
v=(2*(x-F(x))+lamda*F(x))/(2*sqrt(x-F(x))^2+lamda*x*F(x))-1
+((-2*(x-F(x))+lamda*x)/(2*sqrt(x-F(x))^2+lamda*x*F(x))-1)*F_dh(x);
end
end

Chương trình chính.
epsilon=1e-6;
lamda = 1;
max_iter = 1000;
x0=1;
k=0;
error =1e10;
Mx=[x0];
Merror=[];
while (error>epsilon)& ((kx1=x0-(1/Phi_dh(x0,lamda))*Phi(x0,lamda);
error = norm(x1-x0);
x0=x1;
k=k+1;
Mx=[Mx x0];
Merror=[Merror error];
end
plot(Merror);


41

k

xk

[Φo (xk )]−1 .Φ(xk )

0

2

1.98778501891130

1

0.0122149810887027

0.0121976028228381

2 1.73782658645892e-05 1.73782298269247e-05
3 3.60376645212391e-11 3.60376645210841e-11
4 1.54980042580052e-22

0

5

0

0

Bảng 3.2: Các bước trong vòng lặp Newton suy rộng cho Ví dụ 3.4.2 với x0 = 2 và λ = 0.5.

xk

k
λ = 0.5

λ=3

0

2

2

1

0.0122149810887027

0.0677772310613032

2 1.73782658645892e-05

0.00176683921305690

3 3.60376645212391e-11 1.34375889648190e-06
4 1.54980042580052e-22 7.79482956342507e-13
5

0

2.62330960865816e-25

7

0

0

Bảng 3.3: Các bước trong vịng lặp Newton suy rộng cho Ví dụ 3.4.2 với x0 = 2 và λ được
chọn tùy ý.


42

Nhận xét.
1. Từ Bảng 3.2, ta thấy xk hội tự đến x∗ = 0 rất nhanh, chỉ sau năm
vòng lặp. Còn đối với Bảng 2.2, khi x0 = 2 và λ được chọn tùy ý thì ta
thấy xk hội tự đến x∗ = 0 sau một số vịng lặp.
2. Nhìn vào Hình 3.2 và Hình 3.3 ta thấy khi chọn λ = 0.5 thì tốc độ
hội tụ sẽ nhanh hơn khi chọn λ = 3.
Ví dụ 3.4.3. Tìm x =(x1 , x2 ) ∈ R2 sao cho
x1 ≥ 0,
x2 ≥ 0,

x1 F1 (x) + x2 F2 (x) = 0.
Trong đó F = (F1 , F2 ) và F1 (x) = 4x21 + 2x2 , F2 (x) = 4x22 + 2x1 .
Giải.
Nghiệm chính xác: x1 F1 (x) + x2 F2 (x) = 0 là x = (0, 0).
Phương pháp Newton suy rộng.
Khởi tạo vòng lặp:

xk+1 = xk − [Φ (xk )]−1 .Φ(xk ).
Trong đó,

Φ(x) =

ϕ(x1 , F1 (x))

ϕ(x2 , F2 (x))

,

khả vi nghiêng với hàm nghiêng cho bỡi:

Φo (x) = A(x) + B(x)F (x),


43

và [Φo (x)]−1 là nghịch đảo của Φo (x).
Trong đó:

a1 (x)

0

A(x) =

,
0

a2 (x)

b1 (x)

0

0

b2 (x)

∂F1

B(x) =

,


F (x) = 

∂F1
∂x1
∂F2
∂x1

∂x2
∂F2
∂x2

,

với λ được chọn bằng 1.

∗ TH 1: Nếu:(x, F (x)) = (0, 0) ta có:
1 (x)
a1 (x) = √2(x1 −F1 (x))+λF
2

1
− 1; b1 (x) = √−2(x1 −F1 (x))+λx
2

− 1,

2 (x)
a2 (x) = √2(x2 −F2 (x))+λF
2

2
− 1; b2 (x) = √−2(x2 −F2 (x))+λx
2

− 1.

2

2

(x1 −F1 (x)) +λx1 F1 (x)

(x2 −F2 (x)) +λx2 F2 (x)

2

2

(x1 −F1 (x)) +λxi F1 (x)

(x2 −F2 (x)) +λx2 F2 (x)

∗ TH 2: Nếu:(x, F (x)) = (0, 0) ta có:
a1 (x) = −1, a1 (x) = −1, b1 = −1, b2 = −1.
Chương trình Matlab.
Hàm F 1
function v=F1(x)
% F1 function
v= 4*x(1)^2+2*x(2);

Hàm F 2
function v=F2(x)
% F1 function
v= 4*x(2)^2+2*x(1);

Hàm F đạo hàm
function v=F_dh(x)
% F dao ham function
v= [8*x(1) 2; 2 8*x(2)];


44

Hàm ϕ
function v=phi_n(a,b,lamda)
% phi nho function
v= sqrt((a-b)^2+lamda*a*b)-a-b;

Hàm Φ
function v=Phi(x,lamda)

% Phi function
v=[phi_n(x(1),F1(x),lamda);phi_n(x(2),F2(x),lamda)];

Hàm a1
function v=a1(x,lamda)
% a1 function
if x(1)==0&F1(x)==0
v=-1;
else
v= (2*(x(1)-F1(x))+lamda*F1(x))/(2*sqrt((x(1)-F1(x))^2+lamda*x(1)*F1(x)))-1;
end

Hàm a2
function v=a2(x,lamda)
% a2 function
if x(2)==0&F2(x)==0
v=-1;
else
v= (2*(x(2)-F2(x))+lamda*F2(x))/(2*sqrt((x(2)-F2(x))^2+lamda*x(2)*F2(x)))-1;
end

Hàm b1
function v=b1(x,lamda)
% a1 function
if x(1)==0&F1(x)==0
v=-1;
else
v= (-2*(x(1)-F1(x))+lamda*x(1))/(2*sqrt((x(1)-F1(x))^2+lamda*x(1)*F1(x)))-1;
end

Hàm b2
function v=b2(x,lamda)
% b2 function
if x(2)==0&F2(x)==0
v=-1;
else
v= (-2*(x(2)-F2(x))+lamda*x(2))/(2*sqrt((x(2)-F2(x))^2+lamda*x(2)*F2(x)))-1;


45
end

Hàm A
function v=A(x,lamda)
% A function
v=[a1(x,lamda) 0;0 a2(x,lamda)]
end

Hàm B
function v=B(x,lamda)
% B function
v=[b1(x,lamda) 0;0 b2(x,lamda)]
end

Hàm Φ đạo hàm
function v=Phi_dh(x,lamda)
% Phi function
v= A(x,lamda)+B(x,lamda)*F_dh(x);

Chương trình chính

epsilon=1e-6;
lamda = 1;
max_iter = 1000;
x0=[2;2];
k=0;
error =1e0;
Mx=[x0];
Merror=[];
Mphi=[];
while (error>epsilon)& (ktg1=Phi(x0,lamda);
tg=Phi_dh(x0,lamda)\tg1;
x1=x0-tg;
error = norm(x1-x0);
x0=x1;
Mx=[Mx x0];
Mphi=[Mphi tg1];
Merror=[Merror error];
k=k+1;
end
plot(Mphi(1,:));
hold on
plot(Mphi(2,:),’--’);

Bảng 3.4: Các bước trong vòng lặp Newton suy rộng cho Ví dụ 3.4.3 với x0 = (2; 2)T và


46
λ = 1.
xk

k
λ=1

λ=3

0

(2; 2)T

(2; 2)T

1

(0.04423444678; 0.04423444678)T

(0.1101822726; 0.1101822726)T

2

(0.0006664585140; 0.0006664585140)T

(0.005031944354; 0.005031944354)T

3

(1.870837911e − 07; 1.870837911e − 07)T

(1.542418069e − 05; 1.542418069e − 05)T

4

(1.479287217e − 14; 1.479287217e − 14)T

(1.479760289e − 10; 1.479760289e − 10)T

5

(0; 0)T

(1.362087295e − 20; 1.362087295e − 20)T

6

(0; 0)T

(0; 0)T

Bảng 3.5: Các bước trong vịng lặp Newton suy rộng cho Ví dụ 3.4.3 với x0 = (2; 2)T và λ
được chọn tùy ý.

Nhận xét.
1. Từ Bảng 3.4, ta thấy xk hội tự đến x∗ = 0 rất nhanh, chỉ sau năm
vòng lặp. Còn đối với Bảng 3.5, khi x0 = (2; 2)T và λ được chọn tùy ý thì
ta thấy xk hội tự đến x∗ = (0; 0)T sau một số vòng lặp.
2. Nhìn vào Hình 3.4 và Hình 3.5 ta thấy khi chọn λ = 1 thì tốc độ hội
tụ sẽ nhanh hơn khi chọn λ = 3.


KẾT LUẬN

Khóa luận tốt nghiệp này đã tập trung nghiên cứu về "Bài toán bất
đẳng thức biết phân và phương pháp Newton suy rộng cho bài toán bù
phi tuyến". Cụ thể là đã đạt được các kết quả sau:
1. Nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân và đưa ra các kết quả
mới về sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân. Các kết quả mới về tính duy nhất nghiệm của bài toán và việc ứng
dụng các kết quả này vào nghiên cứu sự hội tụ của giải thuật số đã được
đăng trong bài báo khoa học trên Tạp chí khoa học[7].
2. Nghiêng cứu đạo hàm nghiêng và tính chất hàm khả vi nghiêng. Từ
đó, đưa ra các ví dụ minh họa và áp dụng phương pháp Newton suy rộng
để giải phương trình khơng trơn.
3. Nghiên cứu phương pháp Newton suy rộng cho một trường hợp cụ
thể của bài toán bất đẳng thức biến phân (bài toán bù phi tuyến) trong
Rn và đưa ra một số ví dụ minh họa cho sự hội tụ của phương pháp.
Hướng nghiên cứu tiếp theo của khóa luận là:
+ Nghiên cứu sự hội tụ tồn cục của phương pháp Newton suy rộng.
+ Nghiên cứu hàm N CP (F ) là hàm minimum ϕ(a, b) = min{a, b}.
+ Ứng dụng phương pháp Newton suy rộng vào các bài toán khác nhau
và nghiên cứu phương pháp tựa Newton ...
Mặc dù có nhiều cố gắng, nỗ lực trong việc tìm tịi và nghiên cứu nhưng
do kiến thức cịn hạn chế và thời gian khơng cho phép nên khóa luận khơng
thể khơng tránh khỏi những thiếu sót về cả nội dung và hình thức. Em rất
mong nhận được những ý kiến đóng góp q báu từ phía các thầy cơ giáo
và các bạn sinh viên để khóa luận tốt nghiệp của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!


48

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt
[1] Phan Huy Khải, Đỗ Văn Lưu (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất bản khoa
học và kỹ thuật.
[2] Phạm Ngọc Anh (2015), Các phương pháp tối ưu và ứng dụng, Nhà
xuất bản Thông tin và Truyền thơng.
[3] Phạm Q Mười, Ngơ Thị Thanh Bình (2013), “ Đạo hàm Newton và
phương pháp Newton nửa trơn”, Tạp chí khoa học và công nghệ ĐH
Đà Nẵng, số 8, trang 157-161.
[4] Phạm Quý Mười (2020),Giáo trình Lý thuyết tối ưu, Trường Đại Học
Sư Phạm Đà Nẵng (Tài liệu lưu hành nội bộ).
[5] Văn Bá Công (2019), Phương pháp Newton nửa trơn cho bài toán bất
đẳng thức biến phân, Báo cáo đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên,
Trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng.
[6] Trần Việt Anh (2018), Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân tập
nghiệm của bài toán chấp nhận tách suy rộng, Luận án tiến sĩ, Đại
Học Quốc Gia Hà Nội.
Tiếng Anh
[7] Van Ba Cong, Pham Quy Muoi, Duong Xuan Hiep, Phan Duc Tuan
(2018), “Some new results in the existence and uniqueness of the solution to the variational inequality problem and its application”, Tạp
chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng , số 31,
trang 66-72.
[8] Xiaojun Chen, Zuhair Nashed, Liqun Qi, “Smoothing Methods And
Semismooth Methods For Nondiferentiable Operator Equations”, Society for Industrial and Applied Mathematics , No.4, trang 1200–1216.


49

[9] Christian Kanzow, Helmut Kleinmichel (1998), “A new class of Semismooth Newton-Type Methods for Nonlinear Complementarity Problems”, Computational Optimization and Applications , No.11, trang

227–251.
[10] D.Kinderlehrer and G.Stampacchia (1980), An introduction to variational inequality and applications, Academic Press.