Về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (353.01 KB, 36 trang )
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
TIÊU THỊ HỒI ÂN
VỀ SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN
KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
Người hướng dẫn: TS.LÊ VĂN DŨNG
Đà Nẵng - 2014
LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo Lê Văn Dũng, là thầy hướng dẫn, đã giới thiệu
đề tài, cung cấp tài liệu và hướng dẫn tận tình trong suốt quá trình em thực hiện đề tài
của mình.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm khoa Tốn cùng các Thầy cơ
khoa Tốn trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng đã tạo điều kiện, quan tâm, giúp đỡ em
trong suốt thời gian học tập và hoàn thành tốt luận văn.
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, các bạn cùng lớp động viên,. . . tất cả
những người đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ em hoàn thành tốt luận văn này.
Đà Nẵng, tháng 06 năm 2014
Sinh viên
Tiêu Thị Hoài Ân
MỤC LỤC
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Những kí hiệu dùng trong khóa luận
6
1 Kiến Thức Cơ Sở
7
1.1
Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3
Các tham số đặc trưng của Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4
Các phân phối xác suất quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
14
2.1
Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2
Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3
Tính duy nhất của hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4
Quan hệ giữa các khái niệm hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5
Khả tích đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6
Hội tụ theo moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7
Hội tụ của tổng các dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.8
Tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3
LỜI MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết xác suất ngày nay đã trở thành một ngành toán học lớn, chiếm vị trí quan
trọng về cả lý thuyết lẫn thực hành. Trong đó, sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên theo
một số nghĩa khác nhau đóng vai trị then chốt trong việc nghiên cứu các định lý giới hạn.
Việc thường xuyên sử dụng phân phối thông thường (ngày nay ít được sử dụng kể từ
khi máy tính có thể làm việc được với nhiều số trong khoảng thời gian hợp lý) trên thực
tế dựa vào trung bình cộng của một vài phép đo trong mẫu là xấp xỉ chuẩn khi mẫu đủ
lớn,vv, . . . Tất cả những điều này tạo nên khái niệm hội tụ. Cho X1 , X2 , . . . là các biến
ngẫu nhiên. Có thể nói gì về tổng Sn của chúng nếu số các số hạng tăng dần, n → ∞ số
lớn nhất max{X1 ,X2 , . . . , Xn } khi n → ∞, còn giới hạn của dãy tổng thì sao?, hàm của
dãy hội tụ như thế nào?
Do đó, để có thể mở rộng cũng như củng cố thêm vốn kiến thức về sự hội tụ của dãy
biến ngẫu nhiên của mình, em đã chọn nghiên cứu đề tài: "Về sự hội tụ của dãy biến ngẫu
nhiên".
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận văn này chính là các dạng hội tụ (hội tụ hầu chắc chắc,
hội tụ theo xác suất, hội tụ theo r-trung bình, hội tụ theo phân phối, hội tụ đầy đủ) của
dãy các biến ngẫu nhiên.
4. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài không đi sâu vào tất cả các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên mà chỉ đưa ra
các khái niệm về hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên (như hội tụ hầu chắc chắc, hội tụ
theo xác suất, hội tụ theo r-trung bình, hội tụ theo phân phối, hội tụ đầy đủ), cũng như
nghiên cứu về các định lý, bổ đề,. . . liên quan đến các dạng hội tụ đó.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài.
Hệ thống hóa các dạng hội tụ được đề cập trong khóa luận.
Hỏi, trao đổi và tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
Về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
SV: Tiêu Thị Hồi Ân
6. Ý nghĩa khoa học
Tìm hiểu về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên nhằm phục vụ tốt cho đề tài này.
Là một tài liệu tham khảo phục vụ cho việc dạy và học môn lý thuyết xác suất và
thống kê trong trường cao đẳng, đại học.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, bố cục bao gồm 2 chương :
• Chương 1 Kiến thức cơ sở.
+ Giới thiệu sơ lược về không gian xác suất.
+ Biến ngẫu nhiên và các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên .
+ Giới thiệu về các phân phối xác suất quan trọng.
• Chương 2 Đề cập về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên.
Do thời gian thực hiện khóa luận khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên khi làm khóa
luận khơng tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Em mong nhận được sự góp ý và những
ý kiến phản biện của quý thầy cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn!
Đà Nẵng, tháng 06 năm 2014
Sinh viên
Tiêu Thị Hoài Ân
5
NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG KHĨA LUẬN
N
R
Tập hợp các số nguyên dương
Tập hợp các số thực
An i.o
lim supn→∞ An
F (x−) limt→x− F (t)
log(x)
logarit cơ số e của x
+
log (x) max{log(x), 0}
[x]
Số nguyên lớn nhất không vượt quá x.
6
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1
1.1.1
Khơng gian xác suất
Phép thử
Trong tốn học có những khái niệm khơng có định nghĩa mà chỉ có thể mơ tả chúng
bằng những hình ảnh hoặc tư duy trực quan. Chẳng hạn trong hình học các khái niệm
điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những khái niệm khơng có định nghĩa. Trong xác suất,
khái niệm phép thử là khái niệm cơ bản khơng có định nghĩa. Ta có thể hiểu phép thử là
việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản nào đó để quan sát một hiện tượng có xảy
ra hay khơng. Phép thử được gọi là ngẫu nhiên nếu ta không thể dự báo trước chính xác
kết quả nào sẽ xảy ra khi ta thực hiện phép thử đó.
1.1.2
Khơng gian mẫu
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên được gọi là
không gian mẫu. Ta thường kí hiệu là Ω.
Cho khơng gian mẫu Ω. Ta chỉ xét 1 lớp F các tập con của Ω thỏa mãn 3 điều kiện:
+ ∅ ∈ F.
+ Nếu A ∈ F thì Ac ∈ F .
+ Nếu A1 , A2 , ... , An , ... ∈ F thì
∞
n=1 An
∈ F.
Lớp F như vậy được gọi là σ -đại số các tập con của Ω.
1.1.3
Độ đo xác suất
Một hàm tập hợp P : F → R được gọi là độ đo xác suất nếu thỏa mãn 3 điều kiện sau:
+ Với mọi A ∈ F , 0 ≤ P(A) ≤ 1.
+ P(Ω) = 1.
+ Nếu A1 ,A2 ,... ,An ,... đôi một không giao nhau(Ai ∩ Ai = ∅ với mọi i = j) thì P (
∞
∞
n=1 An )
=
P (An ).
n=1
7
Về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
SV: Tiêu Thị Hồi Ân
Khi đó mỗi phần tử của F được gọi là biến cố và P (A) được gọi là xác suất xảy ra biến
cố (A). Bộ ba (Ω, F, P ) gọi là không gian xác suất.
1.1.4
Bổ đề Borel - Cantelli
Định lý 1.1 (Bổ đề Borel - Cantelli thứ nhất). Cho {An , n ≥ 1} tùy ý. Khi đó,
∞
P (An ) < ∞ ⇒ P (An i.o.) = 0.
n=1
Trong đó,
An i.o. = lim sup An .
n→∞
∞
∞
lim sup An =
n→∞
Am .
n=1 m=n
Định lý 1.2 (Bổ đề Borel - Cantelli thứ hai). Cho {An , n ≥ 1} độc lập. Khi đó,
∞
P (An ) = ∞ ⇒ P (An i.o.) = 1.
n=1
1.2
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.3. Cho không gian xác suất (Ω, F, P ). Ánh xạ X : Ω → R được gọi là biến
ngẫu nhiên nếu X là hàm đo được, tức là với mọi a ∈ R, {ω ∈ Ω : X(ω) < a} ∈ F .
1.2.1
Hàm phân phối xác suất
Định nghĩa 1.4. Cho biến ngẫu nhiên X , hàm số F (x) = P (X < x), x ∈ R được gọi là
hàm phân phối xác suất của X .
1.2.2
Biến ngẫu nhiên độc lập
Cho n biến ngẫu nhiên X1 , ..., Xn xác định trên cùng một khơng gian mẫu có các hàm
phân phối xác suất lần lượt là F1 (x), ..., Fn (x). Ta nói các biến ngẫu nhiênX1 , ..., Xn độc lập
nếu với mọi x1 , ..., xn ∈ R ta có:
P (X1 < x1 , ..., Xn < xn ) = F1 (x1 )...Fn (xn )
1.2.3
Biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục
Ta gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc, nếu nó có miền giá trị hữu hạn hoặc vơ hạn đếm
được. Nếu biến ngẫu nhiên X có miền giá trị x1 , x2 , . . . , xn , ... thì bảng số:
X
P
x1
x2
P (X = x1 ) P (X = x2 )
8
...
xn
...
... P (X = xn ) ...
Về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
SV: Tiêu Thị Hoài Ân
được gọi là bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X.
Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu tồn tại một hàm số
f : R → R khả tích khơng âm sao cho với mọi y ∈ R,
y
F (y) =
f (x)dx,
−∞
trong đó : F (y) là hàm phân phối của X .
Khi đó, f (x) được gọi là hàm mật độ của X .
1.3
1.3.1
Các tham số đặc trưng của Biến ngẫu nhiên
Kỳ vọng tốn
Cho biến ngẫu nhiên X xác định trên khơng gian xác suất (Ω; F; P ), khả tích Lebesgue.
Kì vọng của X , kí hiệu là E(X), được xác định bởi:
E(X) =
XdP.
Ω
+ Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất:
x1
p1
X
P
thì E(X) =
... xn ...
... pn ...
x2
p2
xk p k .
k
+ Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f (x) thì:
+∞
E(X) =
xf (x)dx.
−∞
1.3.2
Phương sai
Cho biến ngẫu nhiên X , số V ar(X) = E(X − E(X))2 được gọi là phương sai của biến
ngẫu nhiên X.
+ Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất:
X
P
x1
p1
x2
p2
... xn ... ...
... pn ... ...
2
2
x k pk −
thì V ar(X) =
k
xk p k
.
k
9
Về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
SV: Tiêu Thị Hoài Ân
+ Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f (x) thì:
+∞
x2 f (x)dx −
V ar(X) =
−∞
1.3.3
+∞
2
xf (x)dx .
−∞
Độ lệch tiêu chuẩn
Độ lệch tiêu chuẩn của biến ngẫu nhiên X , kí hiệu σ (X) được xác định bởi công thức:
σ (X) =
1.3.4
V ar(X).
Trung vị
Số thực m được gọi là trung vị của biến ngẫu nhiên X nếu thỏa mãn P (X < m) ≤ 0.5
và P (X > m) ≤ 0.5.
Kí hiệu là: med(X) = m.
1.4
1.4.1
Các phân phối xác suất quan trọng
Phân phối Bernoulli
* Định nghĩa
Cho Biến ngẫu nhiên rời rạc X có miền giá trị E = {0, 1} được gọi là có phân phối
Bernoulli với tham số θ (0 < θ < 1) nếu có hàm mật độ xác suất:
f (x) = θx (1 − θ)1−x , x ∈ E = {0, 1}.
Kí hiệu là : X ∼ Ber(θ).
* Tính chất
Nếu X ∼ Ber(θ) thì :
+ E(X) = θ.
+ D(X) = θ(1 − θ).
1.4.2
Phân phối Nhị Thức
* Định nghĩa.
Biến ngẫu nhiên rời rạc X có miền giá trị E = {0, 1, 2, . . . , n} được gọi là có phân phối
nhị thức với tham số n và θ nếu có hàm mật độ :
f (x) = Cnx θx (1 − θ)n−x , x ∈ E.
Kí hiệu là : X ∼ Bin(n, θ).
10
Về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
SV: Tiêu Thị Hồi Ân
* Tính chất
Nếu X ∼ Bin(n, θ) thì :
+ E(X) = nθ.
+ D(X) = nθ(1 − θ).
1.4.3
Phân phối Poisson
* Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên rời rạc X có miền giá trị E = N = {0, 1, 2, .., n, ...} được gọi là có phân
phối Poison với tham số θ nếu có hàm mật độ xác suất :
f (x) = e−θ
θx
, x ∈ E = {0, 1, 2, .....} .
x!
Kí hiệu là : X ∼ P o(θ).
* Tính chất
Nếu X ∼ P o(θ) thì :
+ Nếu X ∈ P o(a) thì E (X) = V ar (X) = a.
+ Nếu X1 , X2 độc lập, X1 ∼ P o (a1 ) và X2 ∼ P o (a2 ) thì :
X = X1 + X2 ∼ P o(a1 ) với a = a1 + a2 .
1.4.4
Phân phối Đều
* Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất:
f (x) =
1
b−a
0
nếu x ∈ [a, b],
nếu x ∈
/ [a, b],
được gọi là có luật phân phối đều trên đoạn [a, b].
Kí hiệu là : X ∼ U [a, b].
* Tính chất
Nếu X ∼ U [a, b] thì :
a+b
.
2
(a − b)2
+ D(X) =
.
12
+ E(X) =
11
Về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
1.4.5
SV: Tiêu Thị Hoài Ân
Phân phối Beta
* Hàm Gamma
+∞
tx−1 e−t dt.
Γ(x) =
0
* Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên X có phân phối Beta với tham số a và b nếu có hàm mật độ:
f (x) = dbeta(x) =
Γ (a + b)
Γ (a) Γ (b)
0
xa−1 (1 − x)b−1
nếu x ∈ [0, 1],
nếu x ∈
/ [0, 1].
Kí hiệu là : X ∼ Beta(a, b).
* Tính chất
Nếu X ∼ Beta(a, b) thì :
+ E(X) =
+ D(X) =
1.4.6
a
.
(a + b)
ab
(a + b + 1) (a + b)
2
= E(X)
E (1 − X)
.
(a + b + 1)
Phân phối Gamma
* Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối Gamma với tham số a và b (a > 0, b > 0) nếu
có hàm mật độ
f (x) =
ba a−1 −bx
x e , x > 0.
Γ(a)
Kí hiệu là : X ∼ Γ(a, b).
* Tính chất
Nếu X ∼ Γ(a, b) thì :
a
b
a
+ D(X) = 2 .
b
+ E(X) = .
1.4.7
Một số bất đẳng thức
Định lý 1.5 (Bất đẳng thức Markov). Cho X là biến ngẫu nhiên. Khi đó, với mọi ε > 0
và r > 0, ta có: P (|X − E(X)|r > ε) ≤
E|X − E(X)|r
.
εr
Trong trường hợp r = 2, bất đẳng thức trên còn được gọi là Bất đẳng thức Chebyshev.
12
Về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
SV: Tiêu Thị Hoài Ân
Định lý 1.6 (Bất đẳng thức cr ). Nếu X, Y ∈ Lr với r > 0, thì
E|X + Y |r ≤ cr E|X|r + cr E|Y |r .
Trong đó,
cr =
1
2r−1
với 0 < r ≤ 1,
với r > 1.
Định lý 1.7 (Bất đẳng thức Minkowski). Cho p ≥ 1, giả sử X và Y là các biến ngẫu
nhiên, sao cho E|X|p < ∞ và E|Y |p < ∞. Khi đó:
X +Y
p
≤ X
p
+ Y
p.
Định lý 1.8. Cho X là biến ngẫu nhiên với trung bình hữu hạn, và A, An , n ≥ 1, là tập đo
được tùy ý. Khi đó:
(i) |µX ({|X| > n})| ≤ µ|X| ({|X| > n}) → 0 khi n → ∞.
(ii) Nếu P (An ) → 0 khi n → ∞, thì |µX (Xn )| ≤ µ|X| (An ) → 0 khi n → ∞.
13
CHƯƠNG 2
VỀ SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN
2.1
Các định nghĩa
Trong lý thuyết xác suất có một vài khái niệm hội tụ. Ở đây, khóa luận này chỉ trình
bày 5 khái niệm trong số các khái niệm đó. Xét X1 ,X2 , . . . là dãy các biến ngẫu nhiên.
Định nghĩa 2.1. Xn hội tụ hầu chắc chắn (a.s) đến biến ngẫu nhiên X khi n → ∞
nếu:
P ({ω : Xn (ω) → X(ω) khi n → ∞}) = 1.
a.s
Kí hiệu: Xn −−→ X khi n → ∞.
Để định nghĩa trên có nghĩa ta cần phải chứng tỏ tập hội tụ:
{ω : Xn (ω) → X(ω) khi n → ∞}
là tập đo được.
Tập hợp này có thể được viết lại :
∞
∞
{|Xi − X| ≤ ε}, (1.1)
A=
ε>0 m=1 i=m
Tập hợp này không nhất thiết phải đo được. Tuy nhiên ta có thể biểu thị tập hợp hội tụ
theo cách tương đương khác là:
∞
∞
∞
|Xi − X| ≤
B=
n=1 m=1 i=m
1
. (1.2)
n
Khi đó B là tập đo được, do đó định nghĩa trên có nghĩa.
Vì vậy ta có mệnh đề sau đây được sử dụng để kiểm tra sự hội tụ hầu chắc chắn.
a.s
Mệnh đề 2.2. Cho X1 , X2 , . . . là các biến ngẫu nhiên. Khi đó Xn −−→ X khi n → ∞ khi và
chỉ khi:
14
Về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
∞
∞
SV: Tiêu Thị Hoài Ân
∞
|Xi − X| ≤
P (B) = P
n=1 m=1 i=m
∞ ∞
1
n
|Xi − X| ≤
= lim P
n→∞
1
n
m=1 i=m
∞
n→∞ m→∞
1
n
|Xi − X| ≤
= lim lim P
i=m
= 1.
hay tương đương với
∞
∞
∞
c
|Xi − X| >
P (B ) = P
n=1 m=1 i=m
∞ ∞
|Xi − X| >
= lim P
n→∞
1
n
m=1 i=m
∞
|Xi − X| >
= lim lim P
n→∞ m→∞
1
n
i=m
1
n
= 0.
a.s
Mệnh đề 2.3. Cho X1 , X2 , . . . là các biến ngẫu nhiên. Khi đó Xn −−→ X khi n → ∞ khi và
chỉ khi với mọi ε > 0,
∞
∞
∞
{|Xi − X| ≤ ε}
P
m=1 i=m
= lim P
m→∞
{|Xi − X| ≤ ε}
= 1,
{|Xi − X| > ε}
= 0.
i=m
hoặc khi và chỉ khi với mọi ε > 0,
∞
∞
∞
{|Xi − X| > ε}
P
m=1 i=m
= lim P
m→∞
i=m
Định nghĩa 2.4. Xn hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X khi n → ∞ nếu, với mọi
ε > 0,
P (|Xn − X| > ε) → 0 khi n → ∞.
p
Ký hiệu: Xn →
− X khi n → ∞.
Định nghĩa 2.5. Xn hội tụ theo r-trung bình đến biến ngẫu nhiên X khi n → ∞ nếu:
E|Xn − X|r → 0 khi n → ∞.
L
r
Ký hiệu: Xn −→
X khi n → ∞.
Định nghĩa 2.6. Cho C(FX ) = {x : FX (x) liên tục tại x}. Xn hội tụ theo phân phối đến
biến ngẫu nhiên X khi n → ∞ nếu:
FXn (x) → FX (x) khi n → ∞, với mọi x ∈ C(FX ).
15
Về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
SV: Tiêu Thị Hoài Ân
d
Ký hiệu: Xn →
− X khi n → ∞.
Định nghĩa 2.7. Xn hội tụ đầy đủ đến biến ngẫu nhiên X khi n → ∞ nếu:
∞
P (|Xn − X| > ε) < ∞, với mọi ε > 0.
n=1
c
Ký hiệu: Xn →
− X khi n → ∞.
Nhận xét 2.8. Hội tụ hầu khắp nơi cũng được gọi là hội tụ với xác suất 1.
Nhận xét 2.9. Định nghĩa 2.5 với r = 2 được gọi là hội tụ theo bình phương trung bình.
Nhận xét 2.10. Dãy biến ngẫu nhiên trong Định nghĩa 2.6 không nhất thiết phải xác
định trên cùng một khơng gian xác suất.
2.2
Các ví dụ
P
Ví dụ 2.11. Cho Xn ∼ Γ(n, n). Ta sẽ chỉ ra rằng Xn −
→ 1 khi n → ∞.
1
n
Đầu tiên, chúng ta để ý rằng EXn = 1và V arXn = . Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev,
với mọi ε > 0 , ta có:
P (|Xn − 1| > ε) ≤
1
→ 0 khi n → ∞.
nε2
Ví dụ 2.12. Cho X1 , X2 , . . . độc lập, cùng phân phối xác suất với hàm mật độ xác suất
chung:
f (x) =
αx−α−1 ,
0,
nếu x > 1,
nếu x ≤ 1,
trong đó, α > 0. Đặt Yn = n−1/α · max1≤k≤n Xk , n ≥ 1. Ta sẽ chỉ ra rằng Yn hội tụ theo phân
phối khi n → ∞ và xác định giới hạn phân phối.
Để giải bài tốn này, đầu tiên ta tính toán hàm phân phối:
x
αy −α−1 dy = 1 − x−α , với x > 1,
F (x) =
1
nếu x ≤ 1.
0,
Từ đó, với mọi x > 1,
FYn (x) = P ( max Xk ≤ xn1/α )
1≤k≤n
n
(Xk ≤ xn1/α )) = P (X1 ≤ xn1/α ) . . . P (Xn ≤ xn1/α )
= P(
k=1
= (F (xn1/α ))n = 1 −
1
nxα
16
n
−α
→ e−x
khi n → ∞.
Về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
SV: Tiêu Thị Hồi Ân
Ví dụ 2.13. (Luật số lớn) Cho X1 , X2 , . . . là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối
xác suất với kì vọng µ và phương sai hữu hạn σ 2 , và đặt Sn = X1 + X2 + · · · + Xn , n ≥ 1.
Luật số lớn nói rằng:
Sn P
−
→ µ khi n → ∞.
n
Để chứng minh điều này, ta cho ε tùy ý, và áp dụng bất đẳng thức Chebyshev:
P
Sn
−µ >ε
n
≤
σ2
→ 0 khi n → ∞.
nε2
Ví dụ 2.14. Ví dụ này liên quan đến xấp xỉ Poisson của phân phối nhị thức. Để minh
họa một cách đơn giản, ta giả sử Xn ∈ Bin n,
λ
n
với λ > 0, thì:
d
Xn →
− P o(λ) khi n → ∞.
Với k cho trước, ta có:
Cnk
2.3
λ
n
k
1−
λ
n
n−k
→ e−λ
λk
khi n → ∞.
k!
Tính duy nhất của hội tụ
Trong phần này, ta đi chứng tỏ tính duy nhất của hội tụ (đầy đủ, hầu chắc chắn, theo
xác suất, hoặc theo r-trung bình) của dãy biến biến ngẫu nhiên theo nghĩa sau đây: Nếu
Xn → X và Xn → Y thì X = Y hầu như chắc chắn, tức là P (X = Y ) = 1 (hoặc tương
đương, P ({ω : X(ω) = Y (ω)}) = 0). Đối với hội tụ theo phân phối, tính duy nhất của hội
d
tụ theo nghĩa FX (x) = FY (x) với mọi x, kí hiệu là X = Y .
Định lý 2.15. Cho X1 , X2 , . . . là dãy các biến ngẫu nhiên. Nếu Xn hội tụ đầy đủ, hầu như
chắc chắn, theo xác suất, theo r-trung bình, hay trong phân phối khi n → ∞, khi đó biến
ngẫu nhiên giới hạn đó là duy nhất.
a.s
a.s
Chứng minh. Đầu tiên, ta giả sử rằng Xn −−→ X và Xn −−→ Y khi n → ∞. Đặt:
NX = {ω : Xn (ω)
X(ω) khi n → ∞}
NY = {ω : Xn (ω)
Y (ω) khi n → ∞}
và
Với ω ∈
/ NX ∪ NY ,
|X(ω) − Y (ω)| ≤ |X(ω) − Xn (ω)| + |Xn (ω) − Y (ω)| → 0 khi n → ∞,
do đó, X = Y (a.s).
p
p
Tiếp theo, giả sử Xn →
− X, Xn →
− Y khi n → ∞, và cho ε > 0 tùy ý. Khi đó,
17
Về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
P (|X − Y | > ε) ≤ P |X − Xn | >
SV: Tiêu Thị Hoài Ân
ε
ε
+ P |Xn − Y | >
2
2
→ 0 khi n → ∞,
do đó, P (X = Y ) = 1.
Tính duy nhất của hội tụ đầy đủ theo sau bởi phép cộng được suy ra từ bất đẳng thức
sau:
∞
∞
ε
ε
+
P |Xn − Y | >
2
2
n=1
∞
P (|X − Y | > ε) ≤
n=1
P |X − Xn | >
n=1
< ∞,
với mọi ε > 0.
L
L
r
r
Bây giờ, giả sử rằng Xn −→
X và Xn −→ Y khi n → ∞. Bất đẳng thức cr cho thấy:
E|X − Y |r ≤ cr (E|X − Xn |r + E|Xn − Y |r ) → 0 khi n → ∞,
do đó, E|X − Y |r = 0, hay X − Y = 0 (a.s).
d
d
Cuối cùng, giả sử rằng Xn →
− X và Xn →
− Y khi n → ∞, và đặt x ∈ C(FX ) ∩ C(FY ); Vì
(C(FX) ∩ C(FY ))c là tập không quá đếm được nên theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
|FX (x) − FY (y)| ≤ |FX (x) − FXn (x)| + |FXn (x) − FY (x)| → 0 khi n → ∞,
chứng tỏ rằng FX (x) = FY (x), ∀x ∈ C(FX ) ∩ C(FY ). Do tính liên tục trái của hàm phân
phối xác suất, suy ra FX (x) = FY (x) với mọi x.
2.4
Quan hệ giữa các khái niệm hội tụ
Định lý 2.16. Cho X và X1 , X2 , . . . là các biến ngẫu nhiên. Ta có mối quan hệ giữa các
khái niệm hội tụ như sau:
c
Xn →
− X
⇒
a.s
Xn −−→ X
p
⇒
Xn →
− X
d
⇒
Xn →
− X
⇑
Lr
Xn −→ X
c
a.s
Chứng minh. I. Xn →
− X ⇒ Xn −−→ X .
c
p
Ngay từ bổ đề Borel-Cantelli và Mệnh đề 2.3, lưu ý rằng Xn →
− X ⇒ Xn →
− X , khi
tổng các số hạng hội tụ tiến đến 0.
p
a.s
II. Xn −−→ X ⇒ Xn →
− X.
Theo Mệnh đề 2.3, ta có được điều này, vì:
∞
lim P (|Xi − X| > ε) ≤ lim P
m→∞
L
m→∞
{|Xi − X| > ε}
i=m
p
r
III. Xn −→
X ⇒ Xn →
− X.
Đây là hệ quả của bất đẳng thức của Markov:
18
= 0 với mọi ε > 0.
Về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
P (|Xn − X| > ε) ≤
p
SV: Tiêu Thị Hoài Ân
E|Xn − X|r
→ 0 khi n → ∞ với mọi ε > 0.
εr
d
IV. Xn →
− X ⇒ Xn →
− X.
Cho ε > 0, khi đó:
FXn = P (Xn ≤ x) = P ({Xn ≤ x} ∩ {|Xn − X| ≤ ε}) + P ({Xn ≤ x} ∩ {|Xn − X| > ε})
≤ P ({X ≤ x + ε} ∩ {|Xn − X| ≤ ε}) + P (|Xn − X| > ε)
≤ P (X ≤ x + ε) + P (|Xn − X| > ε),
Do đó, dùng sự hội tụ trong xác suất, ta được:
lim sup FXn (x) ≤ FX (x + ε).
n→∞
Tương tự, ta cũng có:
lim inf FXn (x) ≥ FX (x − ε).
n→∞
Hai quan hệ sau cùng đúng với mọi x và với mọi ε > 0. Để chứng minh sự hội tụ theo
phân phối, cuối cùng ta giả sử x ∈ C(FX ) và cho ε → 0. Vì x ∈ C(FX ) tùy ý, ta được:
FX (x) = FX (x−) ≤ lim inf FXn (x) ≤ lim sup FXn (x) ≤ FX (x).
n→∞
n→∞
Ví dụ sau đây sẽ được dùng để chứng tỏ điều này.
Ví dụ 2.17. Cho α > 0, X1 , X2 , . . . là dãy biến ngẫu nhiên xác định bởi:
P (Xn = 0) = 1 −
1
1
và P (Xn = n) = α , n ≥ 1.
α
n
n
Các phát biểu theo sau đều đúng:
p
Xn →
− 0
khi n → ∞
ngay cả khi không độc lập,
Xn −−→ 0
a.s
khi n → ∞
khi và chỉ khi α > 1,
Xn →
− 0
c
khi n → ∞
khi và chỉ khi α > 1,
Lr
khi n → ∞
khi và chỉ khi α > r.
Xn −→ 0
Hội tụ trong xác suất là hệ quả của lập luận:
P (|Xn | > ε) = P (Xn = n) =
1
→ 0 khi n → ∞.
nα
Cơ sở của lập luận đầy đủ và hầu như chắc chắn từ bổ đề Borel-Cantelli, khi đó:
19
Về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
SV: Tiêu Thị Hoài Ân
∞
< +∞ khi
= +∞ khi
P (|Xn | > ε) =
n=1
α > 1,
α ≤ 1.
Đối với hội tụ trung bình,
1
1
+ nr · α
α
n
n
với r < α,
→ 0,
r−α
=n
= 1,
với r = α, khi n → ∞.
→ +∞, với r > α.
E|Xn |r = 0r · 1 −
Ví dụ 2.18. Tung một đồng xu, gọi X là số mặt ngửa xuất hiện. Đặt X2n = X và
X2n−1 = 1 − X, n ≥ 1. Khi đó, X, X1 , X2 , . . . là các biến ngẫu nhiên có cùng phân phối xác
d
suất nên Xn →
− X khi n → ∞. Tuy nhiên, Xn
p
X khi n → ∞.
Giải. Ta có hàm phân phối xác suất của X là:
nếu x < 0,
0
F (x) = 0.5 nếu 0 ≤ x < 1,
1
nếu x ≥ 1.
Ta có:
FX2n (x) = P (X < x) = F (x),
FX2n−1 (x) = P (1 − X < x) = 1 − P (X < 1 − x) = 1 − F (1 − x) = F (x).
d
Do đó, Xn →
− X khi n → ∞.
Mặt khác, với mọi ε > 0, ta có:
P (|X2n − X| < ε) = 1 → 0 khi n → ∞,
nên Xn
2.4.1
p
X khi n → ∞.
Định lý đảo
Định lý 2.19. Nếu X1 , X2 , . . . là dãy biến ngẫu nhiên độc lập và c là hằng số, thì:
c
a.s
Xn →
− c ⇔ Xn −−→ c khi n → ∞.
Chứng minh. Theo Định lý 2.16, ta chỉ cần chứng minh chiều ngược lại.
a.s
Bây giờ, giả sử Xn −−→ c. Đặt An = {|Xn − c| > ε}, ta có:
∞
P (An i.o.) = 0 ⇒
P (An ) < ∞ (Theo Bổ đề Borel-Cantelli thứ 1)
n=1
∞
c
⇒
P (|Xn − c| > ε) < ∞ ⇒ Xn →
− c.
n=1
20
Về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
SV: Tiêu Thị Hoài Ân
Định lý 2.20. Cho X1 , X2 , . . . là các biến ngẫu nhiên và c là một hằng số. Khi đó,
p
d
Xn →
− c khi n → ∞ ⇔ Xn →
− c khi n → ∞.
d
Chứng minh. Theo Định lý 2.16, ta chỉ cần chứng minh chiều ngược lại. Giả sử Xn →
− c
khi n → ∞, và cho ε > 0. Khi đó, ta có:
P (|Xn − c| > ε) = 1 − P (c − ε ≤ Xn ≤ c + ε)
= 1 − FXn (c + ε) + FXn (c − ε) − P (Xn = c − ε)
≤ 1 − FXn (c + ε) + FXn (c − ε) → 1 − 1 + 0
= 0 khi n → ∞,
khi FXn (c + ε) → FX (c + ε) = 1, FXn (c − ε) → FX (c − ε) = 0 và c + ε, c − ε ∈ C(FX ) = {x : x =
c}.
p
Định lý 2.21. Cho X1 , X2 , . . . là các biến ngẫu nhiên sao cho Xn →
− X khi n → ∞. Khi
đó, tồn tại một dãy không giảm {nk , k ≥ 1} của số nguyên dương, sao cho:
c
Xnk →
− X khi n → ∞,
đặc biệt,
a.s
Xnk −−→ X khi n → ∞.
Chứng minh. Theo giả thiết, ta có một dãy con khơng giảm, {nk , k ≥ 1}, sao cho:
Do đó,
P |Xnk − X| >
1
.
2k
P |Xnk − X| >
1
2k
∞
k=1
Khi
< ∞.
1
< ε với mọi ε > 0 với mỗi k > log(1/ε)/ log 2, thì:
2k
∞
P (|Xnk − X| > ε) < ∞.
k=1
Định lí được chứng minh.
p
Định lý 2.22. Cho X1 , X2 , . . . là dãy biến ngẫu nhiên đơn điệu. Giả sử Xn →
− X khi n → ∞.
Khi đó,
a.s
Xn −−→ X khi n → ∞.
21
Về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
SV: Tiêu Thị Hoài Ân
Chứng minh. Theo Định lý 2.21, tồn tại một dãy con {Xnk , k ≥ 1} hội tụ hầu chắc chắn đến
X . Khơng mất tính tổng qt, ta giả sử rằng X1 , X2 , . . . là dãy tăng và với ω ∈ {Xnk → X}.
Khi đó, với mọi ε > 0, tồn tại k0 (ω), sao cho:
X(ω) − Xnk (ω) < ε với mọi k ≥ k0 (ω).
Do tính chất đơn điệu, ta có:
X(ω) − Xn (ω) < ε với mọi n ≥ k0 (ω),
lập thành sự hội tụ hầu như chắc chắn.
2.5
Khả tích đều
Hội tụ theo xác suất không nhất thiết dẫn tới hội tụ theo trung bình. Câu hỏi đặt ra
là liệu có tồn tại các điều kiện đảm bảo một dãy biến ngẫu nhiên hội tụ trong xác suất
(hoặc hầu chắc chắn, hoặc theo phân phối) cũng sẽ hội tụ theo r- trung bình khơng? Và
khả tích đều là khái niệm phù hợp cho vấn đề này.
Định nghĩa 2.23. Dãy X1 , X2 , . . . được gọi là khả tích đều nếu:
sup E|Xn |I{|Xn | > a} → 0 khi a → ∞.
n
Nói cách khác, X1 , X2 , . . . được gọi là khả tích đều nếu:
|x|dFXn (x) → 0 khi a → ∞.
sup
n
|x|>a
Nhận xét 2.24. Giả sử rằng X1 , X2 , . . . có hữu hạn trung bình, bao hàm E|Xn |I{|Xn | >
a} → 0 khi a → ∞ với mọi n đuôi của tích phân hội tụ hội tụ về 0. Yêu cầu dãy là khả tích
đều nghĩa là đi của tích phân đều tiến đến 0 với mọi số của dãy.
Định lý 2.25. Các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , . . . là khả tích đều khi và chỉ khi:
(i) supn E|Xn | < ∞;
(ii) với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0, sao cho với mọi tập A ∈ F mà P (A) > δ,
supn |Xn |I{A} < ε.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử rằng đầu tiên ta có dãy X1 , X2 , . . . là dãy khả tích đều.
Khi đó, ta có:
E|Xn | = E|Xn |I|Xn | ≤ a + E|Xn |I{|Xn | > a} ≤ a + 1,
22
Về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
SV: Tiêu Thị Hoài Ân
với a đủ lớn, suy ra (i).
Tiếp theo, cho ε và tập A sao cho P (A) < δ . Khi đó, ta có:
E|Xn |I{A} = E|Xn |I{A ∩ {|Xn | ≤ a}} + E|Xn |I{A ∩ {|Xn | > a}}
≤ aP (A) + E|Xn |I{|Xn | > a} ≤ aδ + ε/2 < ε,
với aδ < ε/2.
Điều kiện đủ. Giả sử có các điều kiện (i) và (ii), ta đặt An = {|Xn | > a}, áp dụng bất
đẳng thức Markov và (i), ta có:
P (An ) ≤
supn E|Xn |
E|Xn |
≤
< δ đều trong n,
a
a
với a đủ lớn. Vì vậy, do (ii) nên:
E|Xn |I{|Xn | > a} = E|Xn |I{An } < ε đều trong n.
Do đó, {Xn ; n ≥ 1} là dãy khả tích đều.
Định lý 2.26. Cho X1 , X2 , . . . là các biến ngẫu nhiên, giả sử:
sup E|Xn |p < ∞ với p > 1.
n
Khi đó, {Xn , n ≥ 1} khả tích đều.
Đặc biệt, nếu {|Xn |p , n ≥ 1} khả tích đều với p > 1 thì {Xn , n ≥ 1} cũng khả tích đều.
Chứng minh. Ta có:
sup E|Xn |I{|Xn | > a} ≤ sup a1−p E|Xn |p I{|Xn | > a} ≤ sup a1−p E|Xn |p
n
=a
n
1−p
n
p
sup E|Xn | → 0 khi a → ∞.
n
Định lý 2.27. Cho X1 , X2 , . . . là các biến ngẫu nhiên và g là một hàm tăng không âm sao
cho g(x)/x → ∞ khi x → ∞ . Nếu
sup Eg(Xn ) < ∞,
n
thì {Xn , n ≥ 1} khả tích đều.
Chứng minh. Theo giả thiết, ta có:
g(x)
> b với mọi x > a(b) > 0.
x
Do đó, cho ε > 0,
1
1
E|Xn |I{|Xn | > a} ≤ Eg(Xn )I{|Xn | > a} ≤ sup Eg(Xn ) < ε,
b
b n
23
Về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
SV: Tiêu Thị Hoài Ân
độc lập theo n nếu b đủ lớn, với mọi a > a(b).
Định lý 2.28. Giả sử X1 , X2 , . . . là các biến ngẫu nhiên sao cho:
|Xn | ≤ Y hầu chắc chắn với mọi n,
Trong đó, Y là một biến ngẫu nhiên khả tích xác định. Khi đó, {Xn , n ≥ 1} là khả tích đều.
Chứng minh. Ta có:
E|Xn |I{|Xn | > a} ≤ EY I{Y > a} → 0 khi a → ∞,
độc lập (do đều trong) n.
Hệ quả 2.29. Cho X1 , X2 , . . . là dãy các biến ngẫu nhiên. Nếu
E sup |Xn | < ∞,
n
thì {Xn , n ≥ 1} khả tích đều.
Định lý 2.30. Cho X1 , X2 , . . . là các biến ngẫu nhiên sao cho:
|Xn | ≤ Yn hầu chắc chắn với mọi n,
trong đó, Y1 , Y2 , . . . là các biến ngẫu nhiên khả tích dương. Nếu {Yn , n ≥ 1} khả tích đều thì
{Xn , n ≥ 1} khả tích đều.
Bổ đề 2.31. Cho X1 , X2 , . . . là các biến ngẫu nhiên. Nếu {Xn , n ≥ N > 1} khả tích đều thì
{Xn , n ≥ 1}.
Chứng minh. Giả sử,
sup E|Xn |I{|Xn | > a} < ε với a > a0 .
n≥N
Hơn nữa, cho 1 ≤ n < N,
E|Xn |I{|Xn | > a} < ε với a > an .
Kết hợp tất cả lại, ta được:
sup E|Xn |I{|Xn | > a} < ε với a > max{a0 , a1 , a2 , . . . , aN −1 }.
n≥1
Hay nói cách khác tổng của hai dãy khả tích đều là khả tích đều.
Định lý 2.32. Nếu {Xn , n ≥ 1} và {Yn , n ≥ 1} khả tích đều, thì {Xn + Yn , n ≥ 1} cũng khả
tích đều.
24
