Tính ổn định và mặt phẳng pha của hệ otonom

1


Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn - TS.
Lê Hải Trung - đã có nhiều ý kiến đóng góp quý báu và định hướng trong
suốt quá trình làm thực hiện đề tài. Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn
chân thành đến các thầy cơ trong khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Đại học Đà Nẵng, gia đình và bạn bè đã động viên và tạo điều kiện để
luận văn hoàn thành.

2


Mục lục

Lời cảm ơn

2

Lời nói đầu

6

0.1

Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

0.2

Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

0.3

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . .

7

0.4

Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

0.5

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài . . . . . . . . . .

8

0.6

Cấu trúc luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1 Tính ổn định và mặt phẳng pha của hệ otonom

1.1

1.2

Hệ otonom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
9

1.1.1

Khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.2

Ví dụ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Ảnh pha của hệ otonom . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.1

Ảnh pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.2

Ví dụ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3

Tính chất của điểm tới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4

Sự ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.5

Sự ổn định tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3


2 Ứng dụng phần mềm toán học Matlab vào giải một số bài
tập

29

2.1

Cách sử dụng phần mềm Matlab để vẽ ảnh pha của hệ otonom 29

2.2

Ứng dụng phần mềm Matlab vẽ ảnh pha và trường véc tơ
để xét tính chất của điểm tới hạn của một số hệ otonom .
2.2.1

Tìm điểm tới hạn của hệ otonom đã cho và so sánh
với các ảnh pha của từng hệ . . . . . . . . . . . . .

2.2.2

30

30

Tìm nghiệm cân bằng x(t) = x0 của các phương trình
vi phân cấp 2 đã cho x + f (x; x ) = 0. Dùng máy
tính vẽ ảnh pha và trường véc tơ của hệ phương trình
vi phân tương đương x = y; y = f (x; y). Xét xem
điểm (0;0) là tâm, điểm yên ngựa hay điểm xoắn của
hệ?

2.2.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Giải hệ tuyến tính các bài tập sau và xét xem điểm
tới hạn (0;0) là ổn định, ổn định tiệm cận hay khơng
ổn định? Dùng máy tính vẽ ảnh pha và trường véc
tơ của hệ đã cho và xét tính ổn định hay khơng ổn
định của từng điểm tới hạn. Bằng trực giác hãy xác
định điểm tới hạn là điểm nút, điểm yên ngựa, tâm

2.2.4

hoặc điểm xoắn hay không? . . . . . . . . . . . . .
dx
dy
Cho hệ
= F (x; y);
= G(x; y). Giải phương
dt
dt
dy
G(x; y)
trình
=
để tìm các quỹ đạo của hệ. Dùng
dx F (x; y)
vi tính vẽ ảnh pha và trường véc tơ của hệ, từ đó bằng

38

trực giác xác định tính chất và sự ổn định của điểm
tới hạn (0;0) của hệ đã cho . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận

41
45

4


Tài liệu tham khảo

46

Phụ lục

47

5


Lời nói đầu

0.1

Lý do chọn đề tài
Trong thực tế, nhiều hiện tượng tự nhiên, các vấn đề kỹ thuật, hệ

thống điều khiển được mơ tả bởi các phương trình vi phân toán học, đặc
biệt là hệ điều khiển tự động hay cịn gọi là hệ otonom. Tính ổn định và
mặt phẳng pha là hai đặc trưng quan trọng của hệ otonom.
Tính ổn định là một bộ phận quan trọng của hệ otonom. Nó được ứng
dụng ngày càng nhiều ở các lĩnh vực khác nhau, nhất là trong kinh tế, kỹ
thuật, sinh thái học và môi trường học. Với lý do đó, nó đang được phát
triển theo hai hướng ứng dụng và lý thuyết. Muốn biết một hệ có ổn định
hay khơng ngồi việc giải bằng lý thuyết, ta cịn có thể xét tính ổn định
của nó bằng trực giác thơng qua mặt phẳng pha của hệ.
Một mặt phẳng pha là một màn hình hiển thị hình ảnh của một số đặc
điểm của một số loại phương trình vi phân, nó là một phiên bản 2 chiều
của các n -chiều không gian chung pha.
Mặt phẳng pha rất hữu ích trong việc hình dung các tính chất của các
đối tượng của các hệ thống vật lý, đặc biệt, hệ thống dao động chẳng hạn
như mơ hình động vật ăn thịt-con mồi. Những mơ hình này có thể "xoắn
ốc" dần về gốc tọa độ, "xoắn ốc" hướng tới vô cùng... Điều này rất hữu
ích trong việc xác định nếu các động thái ổn định hay không.
6


Trước ứng dụng rộng rãi và tầm quan trọng của tính ổn định của hệ
thống cùng với sự gợi ý và động viên của thấy giáo hướng dẫn - tiến sĩ Lê
Hải Trung, tôi đã lựa chọn đề tài "Về tính ổn định và mặt phẳng pha của
hệ otonom".

0.2

Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu về tính ổn định và mặt phẳng

pha của hệ otonom đồng thới ứng dụng của phần mềm toán học Matlab
trong việc phác thảo ảnh pha và trường véc tơ của hệ otonom, từ đó xem
xét tính ổn định của nó.

0.3

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là mặt phẳng pha và tính ổn định của hệ otonom.
Phạm vi nghiên cứu là hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.

0.4

Phương pháp nghiên cứu

• Thu thập các bài báo khoa học, các giáo trình của các tác giả liên quan
đến hệ otonom.
• Sử dụng phần mềm Matlab để vẽ ảnh pha và trường véc tơ phục vụ
cho việc nghiên cứu tính ổn định của hệ otonom.

7


0.5

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề
tài

• Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến
tính ổn định và mặt phẳng pha của hệ otonom nhằm xây dựng tài liệu

cho những ai muốn nghiên cứu về hệ otonom.
• Đưa ra một số ví dụ đặc sắc và giải chi tiết một số bài tập liên quan.

0.6

Cấu trúc luận văn

• Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ bản về hệ otonom như khái niệm,
điểm tới hạn, nghiệm cân bằng, tính ổn định và ổn định tiệm cận của
hệ otonom.
• Chương 2: Trình bày lời giải chi tiết một số bài tập về tìm điểm tới
hạn, nghiệm cân bằng của một số hệ otonom và ứng dụng phần mềm
Matlab để vẽ ảnh pha và trường véc tơ của các hệ đó, phục vụ cho việc
xét tính ổn định của hệ.

8


Chương 1
Tính ổn định và mặt phẳng pha của
hệ otonom
1.1

Hệ otonom

1.1.1

Khái niệm chung

Nhiều hiện tượng tự nhiên được mô tả bởi hệ gồm hai phương trình vi

phân cấp một hai chiều, còn gọi là hệ otonom, dưới dạng sau:

 dx = F (x; y),


dt
dy
dt

(1.1)

= G(x; y),

trong đó t là biến độc lập, ở đây x = x(t), y = y(t). Sự vắng mặt của biến
t ở vế phải của hệ (1.1) làm cho việc phân tích hệ dễ hơn và việc nhận
nghiệm của hệ cũng dễ thấy hơn. Chúng ta giả thiết rằng các hàm F và G
là những hàm khả vi liên tục trong miền D nào đó của mặt phẳng Oxy,
còn gọi là mặt phẳng pha của hệ (1.1). Theo định lý về sự tồn tại và duy
nhất nghiệm thì tại t0 cho trước ta xác định điểm (x0 ; y0 ) thuộc D luôn tồn
tại nghiệm duy nhất x = x(t), y = y(t) cùng xác định trên khoảng (a; b)
9


chứa t0 và thỏa mãn các điều kiện đầu sau đây:
x(t0 ) = x0 ; y(t0 ) = y0 .

(1.2)

Các phương trình x = x(t), y = y(t) mơ tả đường cong nghiệm dưới
dạng tham số trong mặt phẳng pha, mọi đường cong nghiệm như vậy được

gọi là một quỹ đạo của hệ (1.1). Mỗi quỹ đạo của hệ (1.1) đi qua một điểm
của miền D.
Điểm (x∗ ; y∗ ) được gọi là điểm tới hạn của hệ (1.1) nếu:
F (x∗ ; y∗ ) = G(x∗ ; y∗ ) = 0.

(1.3)

Điểm (x∗ ; y∗ ) là điểm kỳ dị nếu như các hàm:
x(t) = x∗ , y(t) = y∗ ,

(1.4)

đều thỏa mãn các phương trình của hệ (1.1) và các hàm đó được gọi là
một nghiệm cân bằng của hệ. Quỹ đạo của nghiệm cân bằng (1.4) chỉ gồm
một điểm (x∗ ; y∗ ).
Trong một số tình huống thực tế, những điểm rất đơn giản này cùng
với các quỹ đạo là đối tượng được quan tâm nhiều nhất. Chẳng hạn, giả
sử hệ (1.1) đặc trưng cho hai đàn gia súc với số lượng x(t), y(t) sống trong
cùng một môi trường và cạnh tranh nhau về cùng loại thức ăn và con mồi.
Giả sử x(t) chỉ số lượng thỏ, y(t) chỉ số lượng sóc ở cùng thời điểm t. Khi
đó, một điểm tới hạn (x∗ ; y∗ ) của hệ thể hiện số lượng hằng số x∗ của thỏ
và số lượng hằng số y∗ của sóc sao cho các số lượng đó cùng tồn tại song
song trong mơi trường. Nếu (x0 ; y0 ) khơng là điểm tới hạn thì khơng thể có
các số lượng hằng số x0 , y0 lần lượt của thỏ và sóc cùng chung sống, một
hoặc cả hai sẽ phải thay đổi theo thời gian.

10


1.1.2

Ví dụ 1

Tìm các điểm tới hạn của hệ:

 dx = 14x − 2x2 − xy,
dt
dy

= 16y − 2y 2 − xy.

(1.5)

dt

Lời giải: Xét phương trình sau mà điểm tới hạn phải là nghiệm của hệ:

 14x − 2x2 − xy = x(14 − 2x − y) = 0,
 16y − 2y 2 − xy = y(16 − 2y − x) = 0.
Suy ra:
x = 0, 14 − 2x − y = 0,

(1.6)

y = 0, 16 − 2y − x = 0.

(1.7)

và:

Nếu x = 0 và y = 0: từ (1.6) suy ra y = 8.
Nếu y = 0 và x = 0: từ (1.7) suy ra x = 7.
Nếu x = 0, y = 0, ta có hệ:

 2x + y = 14,
 2y + x = 16.
Suy ra, x = 4, y = 6.
Vậy hệ đã cho có 4 điểm tới hạn là (0;0);(0;8);(7;0);(4;6).
Nếu gọi x(t), y(t) lần lượt là số lượng thỏ và sóc. Nếu các số lượng ấy
là hằng số thì hệ (1.5) chỉ có 3 khả năng xảy ra:
- Khơng có thỏ, chỉ có 8 sóc.
- Có 7 thỏ, khơng có sóc.
- Có 4 thỏ và 6 sóc.
Vậy điểm tới hạn (4;6) cho biết khả năng duy nhất mà thỏ và sóc cùng
tồn tại với số lượng cùng khác 0.
11


Hình 1.1: Trường véc tơ và ảnh pha của hệ (1.5).

1.2

Ảnh pha của hệ otonom

1.2.1

Ảnh pha

Nếu điểm đầu (x0 ; y0 ) khơng là điểm tới hạn thì quỹ đạo tương ứng là một
đường cong trong mặt phẳng Oxy, được tạo nên bởi các điểm (x(t); y(t))

khi t biến thiên.
Mọi quỹ đạo (khơng gồm quỹ đạo chỉ có một điểm) là một đường cong
khơng suy biến, khơng tự cắt.
Ta có thể biểu thị tính chất nghiệm của hệ (1.1) bằng cách vẽ ảnh pha,
tức ảnh pha là một bức tranh trên mặt phẳng pha về các điểm tới hạn
và các quỹ đạo khơng suy biến. Đồng thời, chúng ta có thể vẽ trường dốc
bằng cách vẽ các đoạn thẳng điển hình với độ dốc:

12


dy
G(x; y)
y
=
=
,
dx x
F (x; y)
hoặc tạo ra trường có hướng bằng cách vẽ các véc tơ đặc trưng có cùng
hướng với véc tơ (F (x, y); G(x, y)) tại mỗi điểm (x; y). Trường véc tơ thể
hiện hướng dọc theo một quỹ đạo để "đi theo dịng" của hệ.
Hình 1.1 thể hiện trường véc tơ và ảnh pha của hệ thỏ và sóc ở ví dụ
1. Các mũi tên của trường véc tơ thể hiện hướng chuyển động của điểm
(x(t); y(t)). Chúng ta thấy rằng khi số lượng thỏ x0 = 4 và số lượng sóc
y0 = 6 thì điểm (x(t); y(t)) chuyển động dọc theo một quỹ đạo đó tiến tới
điểm (4;6) khi t tăng lên.

1.2.2
Xét hệ

Ví dụ 2

 x = x − y,
 y = 1 − x2 .

(1.8)

Dễ thấy hệ có hai điểm tới hạn là (-1;-1) và (1;1). Trường véc tơ được
thể hiện trong hình 1.2 gợi lên ý tưởng rằng các quỹ đạo tựa tròn, đi ngược
chiều kim đồng hồ quanh điểm (-1;-1), trong khi một số quỹ đạo đến điểm
(1;1) còn một số quỹ đạo khác thì lùi xa khởi điểm đó. Các quan sát này
được xác thực bởi ảnh pha của hệ (1.8) được cho ở hình 1.3.

13


Hình 1.2: Trường véc tơ của

Hình 1.3: Ảnh pha của hệ

hệ (1.8)

(1.8).

1.3

Tính chất của điểm tới hạn

Người ta đặc biệt quan tâm tới tính chất của các quỹ đạo ở gần một

điểm tới hạn riêng lẻ của hệ otonom. Trong phần cịn lại của mục này ta
minh họa điều đó bằng các ví dụ đơn giản.
Ví dụ 3. Xét hệ tuyến tính otonom:

dx

dt = −x,
 dy = ky(k = const).

(1.9)

dt

Hệ này chỉ có duy nhất một điểm tới hạn là (0;0). Nghiệm của hệ, với điều
kiện đầu x0 , y0 là:
x(t) = x0 e−t ; y(t) = y0 ekt .

(1.10)

y = y0 ekt = y0 xk0 (x0 e−t )−k = bx−k ,

(1.11)

Nếu x0 = 0 thì:

14


trong đó: b = y0 xk0 . Bản chất của điểm tới hạn phụ thuộc vào tham số k là
dương hay âm.

• Trường hợp 1: k < 0
Nếu k < 0 thì từ (1.10) chúng ta thấy: điểm (x(t); y(t)) dẫn tới gốc
tọa độ theo các đường y = bx−k khi t → +∞. Hình dạng của đường
cong phụ thuộc vào độ lớn của k:
y0
) là đường thẳng đi qua
x0
điểm (x0 ; y0 ). Các đường quỹ đạo là các đường thẳng, được mô tả

– Nếu k = −1: Khi đó y = bx (Với b =

ở hình 1.4:

Hình 1.4: Một nút thích hợp; các hướng dần đến gốc tọa độ nên nó là một
nút chìm.
– Nếu k < −1 và x0 , y0 cùng khác 0: Khi đó, đường cong:
y = bx−k ,
15


có tiếp tuyến tại gốc tọa độ chính là trục y. Ảnh pha được mơ tả
ở hình 1.5 ứng với k = −2, quỹ đạo là các đường parabol. Nói một
cách chính xác: Quỹ đạo là các bán trục tọa độ x cùng với các nửa
bên trái và các nửa bên phải của parabol này.

Hình 1.5: Một nút khơng thích hợp vì tất cả các hướng tiếp xúc với một
đường cong đơn; chúng dần đến gốc tọa độ nên nó là một nút chìm.
– Nếu −1 < k < 0 và x0 , y0 cùng khác 0: Khi đó, các ảnh pha tương
tự như hình 1.5, với điểm khác biệt là đường cong:
y = bx−k ,

tiếp xúc với trục x tại gốc tọa độ. Các điểm tới hạn được mô tả ở
các hình 1.4 và 1.5 được gọi là điểm nút.
∗ Điểm nút:
Điểm tới hạn (x∗ ; y∗ ) của hệ otonom (1.1) được gọi là điểm nút,
nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
16


· Mọi quỹ đạo đều tiến tới (x∗ ; y∗ ) khi t → +∞ hoặc mọi quỹ
đạo đều rời xa (x∗ ; y∗ ) khi t → +∞.
· Mọi quỹ đạo đều tiếp xúc với đường thẳng đi qua (x∗ ; y∗ ) tại
(x∗ ; y∗ ).
Một điểm nút như trên được gọi là nút chính thường hay nút
chính.
· Nếu mọi quỹ đạo đều đi đến điểm nút thì nó được gọi là nút
lõm (hay nút chìm).
· Nếu mọi quỹ đạo đều lùi xa điểm nút thì nó được gọi là nút
nguồn.
∗ Điểm hình sao: Nếu cứ mỗi cặp quỹ đạo đối diện khác nhau
khơng có cặp nào tiếp xúc với đường thẳng đi qua điểm tới hạn
thì điểm nút chính được gọi là điểm hình sao hay điểm sao.
∗ Nút phi chính: Mọi quỹ đạo trừ ra một cặp quỹ đạo đối diện,
đều tiếp xúc với một đường thẳng đi qua điểm tới hạn thì nút
đó gọi là nút phi chính.
Như vậy, gốc tọa độ trong hình 1.4 là một điểm nút lõm chính
thường và là điểm hình sao. Cịn ở hình 1.5 thì gốc tọa độ là một
điểm nút chìm phi chính.
• Trường hợp 2: k > 0
Điểm yên ngựa: Khi k > 0 thì các quỹ đạo giống với các quỹ đạo
khi k = 1, được mơ tả ở hình 1.6. Nếu x0 , y0 cùng khác 0 thì quỹ đạo

tương ứng ở hình 1.6 là một nhánh của hypepol cân:
xy = b,
và |y(t)| → +∞ khi t → +∞. Nếu x0 = 0 hoặc y0 = 0 thì quỹ đạo
là bán trục hypebol. Điểm (x(t); y(t)) dần đến gốc tọa độ theo trục x
17


rồi lại xa gốc tọa độ theo trục y khi t → +∞. Vậy có hai quỹ đạo dần
đến điểm tới hạn (0;0) nhưng chúng đều không bị chặn khi t → +∞.
Điểm tới hạn như miêu tả ở trên gọi là điểm yên ngựa (Hình 1.6).

Hình 1.6: Điểm yên ngựa: Các quỹ đạo tương tự các đường viền của một
điểm yên ngựa trên mặt phẳng pha

1.4

Sự ổn định

• Điểm tới hạn ổn định: Điểm tới hạn (x∗ ; y∗ ) của hệ otonom (1.1)được
gọi là ổn định nếu điểm đầu (x0 ; y0 ) đủ gần (x∗ ; y∗ ) thì điểm (x(t); y(t))
ln ln gần điểm (x∗ ; y∗ ) với mọi t > 0.
Theo ngôn ngữ ε, δ và theo ký hiệu véc tơ: Đặt X(t) = (x(t); y(t)),
X0 = (x0 ; y0 ), X∗ = (x∗ ; y∗ ) thì khoảng cách từ điểm X0 đến điểm X∗
là:
|X0 − X∗ | =

(x0 − x∗ )2 + (y0 − y∗ )2 .
18

Như vậy, điểm tới hạn X∗ được gọi là ổn định nếu:
∀ε > 0, ∃δ > 0 : |X0 − X∗ | < δ ⇒ |X(t) − X∗ | < ε, ∀t > 0.

(1.12)

Chú ý rằng, điều kiện (1.12) hiển nhiên được thỏa mãn nếu X(t) →
X∗ khi t → +∞, như trong trường hợp điểm nút lõm. Nút lõm có
|X0 − X(t)| < ε, ∀t > 0 do đó nó là điểm nút ổn định. Vậy các điểm
nút lõm được mơ tả ở hình 1.4 và hình 1.5 là các điểm nút ổn định.
• Điểm tới hạn khơng ổn định nếu nó khơng là điểm ổn định tức là
∃ε > 0, ∀δ > 0 : |X0 − X∗ | < δ và |X(t) − X∗ | ≥ ε, ∃t > 0.
Điểm yên ngựa (0;0) ở hình 1.6 là điểm tới hạn khơng ổn định vì điểm
(x(t); y(t)) tiến tới vơ hạn khi t → +∞. Vì vậy, khơng thỏa mãn điều
kiện (1.12).
• Ví dụ 3. (tiếp theo) Thay đổi vế phải của (1.10), chúng ta xét hệ:

dx

dt = x,
(1.13)
 dy = ky(k = const).
dt

Nghiệm của hệ là x(t) = x0 et , y(t) = y0 ekt .
Khi k = 1 và k = 2, các quỹ đạo được thể hiện tương ứng ở hình
1.4 và hình 1.5, nhưng chiều các mũi tên thì ngược lại, để cho điểm
(x(t); y(t)) dần tới vô hạn khi t → +∞. Ở mỗi trường hợp, điểm nút
(0;0) là một điểm nút nguồn, là điểm nút không ổn định.
Nếu điểm tới hạn là (x∗ ; y∗ ), khi đó nghiệm cân bằng x(t) = x∗ , y(t) =
y∗ được gọi là nghiệm ổn định hay không ổn định tùy thuộc vào bản

chất của điểm tới hạn. Khi áp dụng vào thực tế thì tính ổn định của
nghiệm cân bằng thường đóng vai trị quyết định.
Chẳng hạn, giả sử x(t), y(t) lần lượt là số lượng thỏ và sóc (tính bằng
đơn vị 100). Chúng ta sẽ thấy điểm tới hạn (4;6) trong hình 1.1 là
19


điểm ổn định. Vì vậy, nếu số lượng ban đầu của thỏ và sóc lần lượt xấp
xỉ 400 con và 600 con thì tại mọi thời điểm trong tương lai, số lượng
thỏ và sóc vẫn là 400 con và 600 con. Như vậy, hiệu quả thực tế của
tính ổn định là: Các thay đổi nhỏ (có thể do tỉ lệ sinh tử) trong môi
trường cư dân cân bằng sẽ không làm đổ vỡ tính cân bằng. Các quỹ
đạo vẫn gần điểm cân bằng nhưng không dần tới điểm cân bằng, như
được trình bày ở ví dụ 4.
• Ví dụ 4. Giả sử một vật khối lượng m dao động không bị hãm, với
hằng số Hooke sao cho hàm vị trí x(t) thỏa mãn phương trình vi phân:
x + ω 2 x = 0,
dx
là vận tốc của vật, chúng ta sẽ có hệ
dt

 dx = y,
dt
(1.14)
 dy = −ω 2 x.
dt

trong đó ω 2 = k/m. Gọi y =
phương trình:

Với nghiệm tổng quát của hệ là:

Gọi C =

√

x(t) = A cos ωt + B sin ωt,

(1.15)

x(t) = −Aω sin ωt + Bω cos ωt.

(1.16)

A2 + B 2 ; A = C cos α ;B = C sin α, chúng ta viết lại nghiệm

(1.15), (1.16) dưới dạng:
x(t) = C cos(ωt − α),

(1.17)

x(t) = −ωC sin(ωt − α).

(1.18)

Có thể thấy mỗi quỹ đạo là một đường elip có phương trình
x2
y2
+
= 1.

C 2 (ωC)2
20

(1.19)


1
). Với mỗi điểm x0 , y0 khác gốc
2
tọa độ, trong mặt phẳng xy, đều nằm trên một trong những elip này.
Hình 1.7 mơ tả ảnh pha (với ω =

Và mỗi nghiệm x(t), y(t) đi theo đường elip qua điểm đầu x0 , y0 theo
2π
chiều kim đồng hồ, với chu kỳ là P =
(từ (1.17),(1.18) có thể thấy
ω
rằng x(t + P ) = x(t), y(t + P ) = y(t), (∀t) ). Vậy mỗi nghiệm không
tầm thường của hệ (1.14) là hàm tuần hoàn, mỗi quỹ đạo của hệ là
một đường cong kín, đơn bao lấy điểm tới hạn (0; 0).

1
Hình 1.7: Trường véc tơ và các quỹ đạo của hệ x = y; y = − x. Điểm
4
(0;0) là tâm ổn định.

21


Hình 1.8: Nếu (x0 ; y0 ) thuộc đường trịn tâm O, bán kính δ thì điểm

(x(t); y(t)) thuộc đường trịn tâm O, bán kính ε.
Hình 1.8 mơ tả một quỹ đạo elip điển hình của Ví dụ 4, với bán trục
bé là δ và bán trục lớn ε. Khi điểm (x0 , y0 ) nằm trong đường tròn, tâm
O(0; 0), bán kính bằng ε. Chúng ta thấy rằng nếu điểm đầu x0 , y0 nằm
cách gốc một khoảng (δ) thì điểm (x(t), y(t)) ln cách gốc một khoảng
ε. Vậy điểm (0; 0) là điểm tới hạn ổn định của hệ x = y; y = −ω 2 x.
Một điểm tới hạn ổn định được bao bởi các quỹ đạo kín tuần hồn,
được gọi là tâm. Vậy:
• Tâm: Điểm tới hạn được gọi là tâm nếu nó là điểm tới hạn ổn định
được bao quanh bởi các quỹ đạo kín, tuần hoàn. Suy ra mọi tâm đều
ổn định.

22


1.5

Sự ổn định tiệm cận

• Tiệm cận ổn định (ổn định tiệm cận): Điểm tới hạn (x∗ ; y∗ ) được
gọi là ổn định tiệm cận nếu là điểm ổn định và mọi quỹ đạo đủ gần
(x∗ ; y∗ ) đều tiến tới (x∗ ; y∗ ) khi t → +∞. Hay:
∃δ > 0 : |X − X∗ | < δ, lim X(t) = X∗ ,
t→+∞

(1.20)

trong đó X0 = (x0 ; y0 ); X∗ = (x∗ ; y∗ ); X(t) = (x(t); y(t)) là nghiệm
thỏa mãn điều kiện đầu X(0) = X0 .
• Nhận xét: Các điểm nút đươc thể hiện ở hình 1.4 và 1.5 là ổn định

tiệm cận vì mọi quỹ đạo đều tiến tới điểm tới hạn (0; 0) khi t → +∞.
Tâm (0; 0) được thể hiện ở hình 1.7 là ổn định nhưng khơng ổn định
tiệm cận. Vì dù với quỹ đạo rất bé (bé tùy ý) thì một điểm di chuyển
trên quỹ đạo đó vẫn không thể tiến tới gốc tọa độ. Vậy, ổn định tiệm
cận mạnh hơn ổn định bình thường.
Giả sử x(t) và y(t) là các lượng cư dân cùng chung sống và gọi (x∗ , y∗ )
là một điểm ổn định tiệm cận. Nếu (x0 ; y0 ) là một điểm đủ gần (x∗ ; y∗ )
thì:
lim x(t) = x∗ ; lim y(t) = y∗ .

t→+∞

t→+∞

(1.21)

Tức là khi t → +∞ thì x(t) và y(t) dần tới số lượng dân cư cân bằng
là x∗ , y∗ chứ không phải chỉ ở gần các giá trị ấy.
Đối với một hệ cơ khí đã nêu ở Ví dụ 4, mỗi điểm cân bằng tại giá trị
đại diện cho một tình trạng cân bằng của hệ, nếu vận tốc y = x và
gia tốc y = x đồng thời triệt tiêu thì vật giữ ngun trạng thái nghỉ
và khơng có lực nào tác động lên vật. Sự ổn định của điểm tới hạn đặt
câu hỏi: Liệu có khi nào vật:
– Quay lại điểm cân bằng khi t → +∞?
23


– Chỉ ở gần điểm cân bằng mà không tiến tới điểm cân bằng?
– Chuyển dịch ra xa điểm cân bằng?
Trong trường hợp 1, điểm tới hạn (cân bằng) là ổn định tiệm cận.

Trong trường hợp 2, điểm tới hạn là ổn định nhưng không ổn định
tiệm cận. Ở trường hợp 3, điểm tới hạn không ổn định. Một viên đá
đặt trên đỉnh quả bóng là một ví dụ về điểm tới hạn khơng ổn định.
Một vật trên một lị xo bị hãm thể hiện sự ổn định tiệm cận của hệ cơ
khí. Một vật trên một lị xo khơng bị hãm (trong Ví dụ 4) là một ví
dụ về hệ ổn định nhưng khơng ổn định tiệm cận.
Ví dụ 5. Trong Ví dụ 4, giả sử m = 1, k = 2 và giả sử vật được gắn
liền với một bình với hệ số cản c = 2. Hàm dịch chuyển x(t) của vật
thỏa mãn phương trình vi phân cấp hai:
x (t) + 2x (t) + 2x(t) = 0.

(1.22)

Đặt y = x , chúng ta có hệ phương trình vi phân cấp 1 tương đương:

dx

dt = y,
(1.23)
 dy = −2x − 2y.
dt
Hệ (1.23) có điểm tới hạn là (0;0). Phương trình đặc trưng của (1.22)
là r2 + 2r + 2 = 0 có nghiệm là −1 + i và −1 − i. Do đó, nghiệm tổng
quát của hệ (1.23) là:
x(t) = e−t (A cos t + B sin t) = C(e−t cos(t − α)),

(1.24)

√
π

y(t) = e−t [(B − A) cos t − (A + B) sin t)] = −C 2(e−t sin(t − α + )),
4
(1.25)
√
B
với C = A2 + B 2 , α = tan−1 .
A
24


Chúng ta thấy rằng x(t), y(t) chuyển các giá trị dương sang âm và cùng
dẫn tới 0 khi t → +∞.
Như vậy, một quỹ đạo điển hình, xoắn ốc hướng về gốc (0;0) như được
mơ tả ở hình 1.9. Từ (1.24) và (1.25) dễ thấy điểm (x(t); y(t)) dần tới
gốc (0;0) khi t → +∞. Nên (0;0) là điểm ổn định tiệm cận của hệ:

dx

dt = y,
 dy = −2x − 2y.
dt

Hình 1.9: Một điểm ổn định kiểu xoắn ốc và một quỹ đạo gần nó

• Điểm ổn định xoắn (Điểm xoắn lõm): Điểm tới hạn được gọi là
điểm ổn định xoắn nếu nó là một điểm ổn định tiệm cận mà các quỹ
đạo chuyển động xoắn ốc quanh nó và tiến đến nó. Nếu các quỹ đạo
chuyển động xa dần nó thì nó gọi là điểm khơng ổn định xoắn (nguồn
xoắn).
Nếu các mũi tên ở hình 1.9 có chiều ngược lại, chúng ta sẽ thấy quỹ

đạo đi xa dần gốc tọa độ. Khi đó, điểm tới hạn (0;0) trở thành điểm
25