20 đề và đáp án bồi dưỡng học sinh giỏi môn TOÁN lớp 8

Bồi dưỡng HSG Tốn 8
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TOÁN 8 ( ĐỀ 1)
Câu 1: Cho bốn số dương a, b, c, d . Chứng minh rằng:
1

a
b
c
d



2
abc bcd cd a d a b

Câu 2: Cho a, b là hai số tự nhiên. Biết rằng a chia cho 5 dư 3 và b chia cho 5 dư 2. Hỏi tích a.b
chia cho 5 dư bao nhiêu ?
2bc  b 2  c 2  a 2  4 p  p  a 
Câu 3: Cho a  b  c  2 p . Chứng minh :

Câu 4: Cho các số nguyên a1 , a2 , a3 ,..., an . Đặt S  a1  a2  a3  ...  an và P  a1  a2  a3  ...  an
Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.
3

3

3

3

1
4
1 1
4
�
 �
xy  x  y  2
x
y
x

y
Câu 5: a) Cho x, y > 0. Chứng minh rằng
và
1
1
 �16
b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =1. Chứng minh rằng ac bc
x2  2 x  3
A
x2  2 .
Câu 6: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

Câu 7: Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy khơng có điểm chung với hình bình hành.
Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ là các đường vng góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy.
Tìm hệ thức liên hệ độ dài giữa AA’, BB’, CC’ và DD’ .
Câu 8: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và một đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam
giác. Từ các đỉnh A, B, C và trọng tâm G ta kẻ các đoạn AA’, BB’, CC’ và GG’ vng góc với
đường thẳng d. Chứng minh hệ thức: AA’ + BB’ +CC’ = 3GG’.

Câu 9: Cho tam giác ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác đó.
HA ' HB ' HC '


1
a) Chứng minh: AA' BB ' CC ' ;
AA ' BB ' CC '


�9
b) Chứng minh: HA' HB ' HC '
;

Câu 10: Cho tam giác ABC (AC > AB). Lấy các điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm trên các cạnh AB,
AC sao cho BD = CE. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE, BC. Cmr: Tỉ số KE : KD
không phụ thuộc vào cách chọn điểm D và E.

…………...HẾT…………

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 1


Bồi dưỡng HSG Tốn 8
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TOÁN 8 ( ĐỀ 2)
Câu 1: a) Chứng minh rằng: 21  39 chia hết cho 45
n 2
n
2 n 1

b) Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n ta có: 5  26.5  8 M59 .
30

M

21

x5  2 x 4  2 x3  4 x 2  3x  6
x2  2x  8

Câu 2: Cho biểu thức
a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức M bằng 0.
Câu 3: Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số nguyên.
2 x3  x 2  2 x  5
A
2x  1
M   x  a   x  b   x  b   x  c    x  c   x  a   x2

Câu 4: Cho biểu thức

Tính M theo a, b, c biết rằng

x

 2x
Câu 5: Giải phương trình:

2

1
1
1
a b c
2
2
2

 x  2016   4  x 2  3 x  1000   4  2 x 2  x  2016   x 2  3x  1000 
2

2

Câu 6: Tìm giá trị của biến x để:
P

1
2

Q

x2  x  1
2

x  2x  6 đạt giá trị lớn nhất
x  2x  1 đạt giá trị nhỏ nhất
a)
b)
Câu 7: Cho hình vng ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME  AB, MF  AD .
a) Chứng minh DE = CF; DE  CF

b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất?

Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH  AC . Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm
của CD, N là trung điểm của BH.
a) Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành;
b) Tính góc BMK.
Câu 9: Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy
1
S DEF � S ABC
2
hai điểm E và F.Chứng minh rằng
.Với vị trí nào của hai điểm E và F thì S DEF đạt giá

trị lớn nhất?
Câu 10: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ là AB, đáy lớn là CD. Qua A kẻ đường thẳng song
song với BC cắt đường chéo BD ở E, qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường chéo AC
ở F.
a) Chứng minh rằng tứ giác DEFC là hình thang cân;
b) Tính độ dài EF nếu biết AB = 5cm, CD = 10cm.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 2


Bồi dưỡng HSG Toán 8
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

……………HẾT …………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN 8 ( ĐỀ 3)
�  x  1 2
1  2x2  4x

1 � x2  x
R�


�: 3
2
3
x

1
x

1
3
x

x

1


�
�
�
�x  x
Câu 1: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức R được xác định;
b) Tìm giá trị của x để giá trị của R bằng 0;
R 1
x

c) Tìm giá trị của

để

.

Câu 2: Chứng minh:
10
11
12
a) A  2  2  2 chia hết cho 7.
b)

B   6n  1  n  5    3n  5   2n  1

chia hết cho 2, với n �Z .

3
2
c) C  5n  15n  10n chia hết cho 30, với n �Z .
2
2
2
a  b  c
d) Nếu a  x  yz; b  y  xz; c  z  xy thì D  ax  by  cz chia hết cho 
.
4
3
2

e) E  x  4 x  2 x  12 x  9 là bình phương của một số nguyên, với x �Z .

F   x 2  x  1

2018

  x 2  x  1

2018

f)
chia hết cho 
8n
4n
2n
n
g) G  x  x  1 chia hết cho x  x  1 , với n �N .
Câu 3: a) Tìm GTLN của

2

x  1

.

A x4  2 x4 

b) Tìm GTNN của biểu thức

B

9x
2

2  x x , với 0  x  2

Câu 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D,
đường phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E.
a) Chứng minh DE // BC.
b) Gọi I là giao điểm của DE với AM. Chứng minh ID = IE.

0
�
Câu 5: Cho tam giác vuông cân ABC, A  90 .Trên cạnh AB lấy điểm M, kẻ BD  CM , BD cắt CA
ở E. Chứng minh rằng:
a) EB.ED = EA.EC;
2
b) BD.BE  CA.CE  BC

�

c) ADE  45
Câu 6: Cho hình vng ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC.Qua E kẻ tia Ax vng góc với AE,
Ax cắt CD tại F.Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K.Đường thẳng kẻ qua E,song song với
AB cắt AI ở G. Chứng minh rằng:
a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi;
0

2
b) AKF : CAF , AF  FK .FC ;

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 3


Bồi dưỡng HSG Toán 8
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh: EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi.
Câu 7: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau ở E. Các tia phân giác của các góc ACE và DBE
�
�
�  BAC  BDC
BKC
2
cắt nhau ở K. Chứng minh rằng:

…………....HẾT…………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN 8 ( ĐỀ 4 )

a bc a  c b bc a


a
,
b
,
c
c
b
a

Câu 1: Cho ba số
khác 0 thỏa mãn đẳng thức:
.
� b�
� c�
� a�
P�
1 �
1 �
1 �
�
�
a
b
c�
�
�
�
�
�
Tính giá trị của biểu thức:

Câu 2: Cho a1 , a2 , a3 ,..., a2018 là 2018 số thực thoả mãn
Tính S 2018  a1  a2  a3  ...  a2017  a2018

ak 

2k  1

k

2

 k

2

, với k  1, 2,3,..., 2018 .

7
7
5a  b 3b  2a
a � ,b �
P

3
2 và 2a  b  7 . Tính giá trị của biểu thức
3a  7 2b  7
Câu 3: a) Biết

b) Biết b ��3a và 6a  15ab  5b  0 . Tính giá trị của biểu thức
2

2

Q

2a  b 5b  a

3a  b 3a  b

Câu 4: a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta ln có bất đẳng thức sau:
x 2  y 2  z 2  t 2 �x  y  z  t 

. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

4
4
3
3
b) Chứng minh rằng với x, y bất kỳ, ta có: x  y �xy  x y

Câu 5: Rút gọn:
k
k 2
k 1
a) M  90.10  10  10 , k �N ;

b)

N   202  182  ...  22    192  17 2  ...  12 

.

15
14
13
12
2
Câu 6: Tính giá trị của biểu thức P  x  2018 x  2018 x  2018 x  ...  2018 x  2018 x  2018 ,

với x  2017 .

Câu 7: Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, K
là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự ở M, N. Cmr:
MA MB

a) ND NC ;
c) MA  MB, NC  ND

MA MB

b) NC ND

Câu 8: Cho hình thang ABCD (AB // CD). AB = 28, CD=70, AD=35, vẽ một đường thẳng song
song với hai cạnh đáy, cắt AD,BC theo thứ tự ở E và F. Tính độ dài EF, biết rằng DE = 10.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 4


Bồi dưỡng HSG Toán 8
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 9: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi I là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường
thẳng qua I và song song với AC cắt AB ở K. Đường thẳng qua I và song song với AB cắt AM, AC
theo thứ tự ở D, E. Chứng minh rằng DE =BK.
Câu 10: Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của CD,CB. Gọi O là giao điểm của AE
2
OD  OF
3
và DF ; OA = 4OE;

. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.

…………....HẾT…………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN 8 ( ĐỀ 5)

Câu 1: Tìm x, y biết :
2
2
a) x  2 x  y  4 y  5  0

x  2 y   x 2  2 xy  4 y 2   0
x  2 y   x 2  2 xy  4 y 2   16


b)
và
x2 

1
1
 y2  2  4
2
x
y

c)
2
Câu 2: Giải và biện luận nghiệm của phương trình m x  1  x  m theo m .
Câu 3: Giải các phương trình:
a)

 x  2   x  2   x 2  10   72
2

b) Giải phương trình:
Câu 4: Giải phương trình:

2

�x 2  4 �
�x  2 �
�x  2 �
3�

25

20
�2
� 0
�
�
�
�x  1 �
�x  1 �
�x  1 �

x 2  99 x  1 x 2  99 x  2 x 2  99 x  3 x 2  99 x  4 x 2  99 x  5 x 2  99 x  6






99
98
97
96
95
94
a)
2 x
1 x
x
1 

2018 2019
b) 2017

32
B   3  1  32  1  34  1  38  1  316  1
Câu 5: a) So sánh hai số A  3  1 và

20192  20182
2019  2018
D
20192  20182
2019  2018 và
b)
2
2
Câu 6: Cho x, y là hai số khác nhau, biết x  y  y  x .

2
2
Tính giá trị của biểu thức A  x  2 xy  y  3x  3 y
C

Câu 7: Đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh đối AB, CD của tứ giác ABCD cắt các đường
IA KB

thẳng AD, BC theo thứ tự ở I, K. Cmr: ID KC .

Câu 8: Qua M thuộc cạnh BC của tam giác ABC vẽ các đường thẳng song song với hai cạnh kia.
Chúng cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự ở H, K. Cmr:
AH AK

a)Tổng AB AC khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cạnh BC.

b)Xét trường hợp tương tự khi M chạy trên đường thẳng BC nhưng không thuộc đoạn thẳng BC.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 5


Bồi dưỡng HSG Toán 8
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 9: Cho tam giác ABC đều cạnh a, M là một điểm bất kỳ ở trong tam giác ABC.
MA  MB  MC 

a 3
2

Chứng minh rằng:

Câu 10: Cho hình vng ABCD. Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M, N sao cho DN = BM.
Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM cắt nhau tại F. Cmr:
a) Tứ giác ANFM là hình vng;
�

�

b) Điểm F nằm trên tia phân giác của MCN và ACF  90 ;
c) Ba điểm B, O, D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang ( O là trung điểm của AF )
0

……………...HẾT.…………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 6 )
3
3
2
2
Câu 1: Cho a  b  c  0 . Chứng minh rằng: a  b  a c  b c  abc  0
2
2
2
Câu 2: Cho x  y  z  10 . Tính giá trị của biểu thức:

P   xy  yz  zx    x 2  yz    y 2  xz    z 2  xy 
2

2

2

2

.

Câu 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
5
5
4
a) x  x  1 ;
b) x  x  1
8
8
7
c) x  x  1 ;
d) x  x  1
1 1 1
1
  
Câu 4: Chứng minh rằng nếu ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện: a  b  c  2018 và a b c 2018
thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2018.

Câu 5: Giải các phương trình sau:
b2
x2

a

b2  x 2
x 2  b2 ( Phương trình ẩn x )
a)

1
1
1
10

L 

 x  2000   x  2001  x  2001  x  2002 
 x  2009   x  2010  11
x  a2 x 

b)

 2009  x    2009  x   x  2010    x  2010 
2
2
2009  x    2009  x   x  2010    x  2010 

c)
2

Câu 6: a) Cmr :

2



19
49

 x  1  x  2   x  3  x  4  �1

� 1�
� 1�
1 �
1  ��9
�
�
b) Cho các số dương a và b thỏa mãn điều kiện a  b  1 . Cmr : � a �� b �

Câu 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Lấy điểm D trên cạnh BC sao
cho BD = 2DC. Cmr: BM vuông góc với AD.
Câu 8: Cho tam giác ABC vng tại A ( AB < AC ), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 6


Bồi dưỡng HSG Tốn 8
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Đường vng góc với BC tại D cắt AC tại E.
a) Chứng minh rằng : AE = AB ;
AHM .
b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính �
Câu 9:Cho tam giác ABC vng tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên
AB, AC.
3
a) Chứng minh: BD.CE.BC  AH ;
b) Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đơi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC
vng cân.
Câu 10: Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H, trên cạnh BH lấy điểm M và trên đoạn CH lấy

0
�
�
điểm N sao cho AMC  ANB  90 . Chứng minh rằng: AM = AN.

……………. ..HẾT. …………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN 8 ( ĐỀ 7)
Câu 1: Chứng minh rằng:
95
94
93
2
31
30
29
2
a) Đa thức M  x  x  x  ....  x  x  1 chia hết cho đa thức N  x  x  x  ....  x  x  1
b) Đa thức

P  x   1985.

x3
x2
x
 1979  5.
3
2
6 có giá trị nguyên với mọi x là số nguyên.

3

3
3
Câu 2: a)Xác định số hữu tỉ k để đa thức A  x  y  z  kxyz chia hết cho đa thức x  y  z

b) Tìm đa thức bậc ba
đều dư 6 và

P  x

P  1  18
P

, biết rằng khi chia

P  x

cho

 x  1 , cho  x  2  , cho  x  3

�x  1
x2  x
1
2  x2 �
:


�
�
x2  2 x  1 � x

x 1 x2  x �

Câu 3: Cho biểu
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P .
P

1
2 .

b) Tìm x để
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x  1
Câu 4: . Rút gọn các phân thức:
A

a)

x
B

x 3  y 3  z 3  3xyz

 x  y

2

  y  z   z  x
2

2

;

Câu 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

b)

2

 y 2    y 2  z 2    z 2  x2 
3

 x  y

3

3

  y  z   z  x
3

3

3

 a  x  y3   a  y  x3   x  y  a3

Câu 6: Chứng minh rằng:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 7

Bồi dưỡng HSG Toán 8
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a 2 b2 c2 c b a
 2 2�  
2
a
b a c
a) b c
8
7
2
b) x  x  x  x  1  0

Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngồi tam giác đó các tam giác ABD và ACF lần
lượt vuông cân tại B và C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF.
2
Cmr: a) AH =AK ;
b) AH  BH .CK
Câu 8: Cho tam giác ABC, một đường thẳng cắt các cạnh BC, AC theo thứ tự ở D và E . và cắt
cạnh BA ở F. Vẽ hình bình hành BDEH. Đường thẳng qua F và song song với BC cắt AH ở I.
Cmr: FI = DC
Câu 9: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD và đường trung tuyến AM. Qua điểm I thuộc AD
vẽ IH vng góc với AB, IK vng góc với AC. Gọi N là giao điểm của HK và AM.
Cmr : NI vng góc với BC.
Câu 10: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H. Một đường thẳng đi qua H cắt các cạnh
AB, AC theo thứ tự ở P và Q sao cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC.
Cmr: HM vng góc với PQ.

……………...HẾT……………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN 8 ( ĐỀ 8)
A   x 2  1  9  x 2  1  21 x 2  1  x 2  31

4

Câu 1: Chứng tỏ rằng đa thức:
giá trị của biến x .

Câu 2: a) Rút gọn phân thức:

A

3

2

luôn không âm với mọi

x 40  x30  x 20  x10  1
x 45  x 40  x 35  �
�
�
 x5  1

B

x24  x20  x16  ...  x4  1

x26  x24  x22  ...  x2  1
1 1 1�
  � 1
 a  b  c �
�

�a b c � .
Câu 3: Cho các số a, b, c khác 0, thoả mãn
 a 23  b23   a5  b5   a 2019  b2019 

b) Rút gọn phân thức:

Tính giá trị của biểu thức

Câu 4: Giải các phương trình sau:
1 1 1
2
2017
1 � 2017 2016
2
1
�1 1
  �
�
�


�
�

.x 

�
�
�



�  �
�
x  x  1 2019
2018 �
1
2
2016 2017 ; b) 3 6 10
a) �2 3
�
�
 98.99  .x
 1.2  2.3  3.4  �
59  x 57  x 55  x 53  x 51  x
 2018




 5
323400
43
45
47
49
c) 41
;
d)
1
1

1
1
1
 2
 2
 2

2
e) x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 x  11x  30 8 .

Câu 5: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng: x  y  z

 x  y   y  z   z  x   8 xyz .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 8


Bồi dưỡng HSG Tốn 8
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
2
2
2
2
2
Câu 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2a b  4ab  a c  ac  4b c  2bc  4abc .

Câu 7: Hình chữ nhật ABCD có M, N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Gọi E là một điểm
bất kỳ thuộc tia đối của tia DC, K là giao điểm của EM và AC. Cmr: MN là tia phân giác của góc
KNE .

Câu 8: Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB. Từ đỉnh D kẻ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt
đường chéo AC tại M và cắt cạnh đáy AB tại K. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt đường
chéo BD tại I và cắt cạnh AB tại F. Qua F kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh bên BC tại P.
2
Cmr: a) MP / / AB .
b) Ba điểm M, I, P thẳng hàng.
c) DC  AB.MI
Câu 9: Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt đường chéo BD ở E và cắt
các đường thẳng BC, DC theo thứ tự ở K, G. CMR:
2
a) AE  EK .EG ;
1
1
1


b) AE AK AG

c) Khi đường thẳng thay đổi nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị khơng đổi.
Câu 10: Cho tam giác ABC đều, các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AC, AB sao cho
AD = BE. Gọi M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Vẽ MH // CD, MK //BE (H �AB; K �AC).
Cmr: Khi M chuyển động trên cạnh BC thì tổng MH + MK có giá trị khơng đổi.

……………. ..HẾT. .……………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN 8 ( ĐỀ 9)
Câu 1: Phân tích thành nhân tử:
a  b  c
a) 

  a  b  c   4b 2

2

;

a  b  c   b  c  a   c  a  b2 
2

b)

2

a
c)

2

2

2

2

2

 b2    c 2  a 2    b2  c 2 
3

3

3

Câu 2: Thực hiện phép tính:
A

a)

1  2.36
1  36
53


23.36  23.53 8  93  125  183  103

b)

B

x y  xy  xy
x  y  x 2 y  xy 2  x  y
3

3

.

3

3

a2

b2
c2
a
b
c


0


1
Câu 3: Cho b  c c  a a  b . Chứng minh rằng: b  c c  a a  b
1 1 1
1 1 1
  2
 2  2 2
2
Câu 4: Chứng minh rằng nếu a b c
và a  b  c  abc thì a b c

Câu 5: a) Tìm số có hai chữ sơ mà bình phương của nó bằng lập phương của tổng các chữ số của
nó.
b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng nếu cộng ba tích, mỗi tích của hai trong ba số đó thì
được 26.
c) Tìm bốn số ngun dương liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 120
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 9


Bồi dưỡng HSG Toán 8
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3

a 2  b 2  c 2  �a  b  c
4
Câu 6: Cmr: a)
4
4
b) a  b  2 �4ab

Câu 7: Cho tam giác ABC vng tại A có đường phân giác BD cắt đường cao AH tại I
a) Chứng minh: tam giác ADI cân.
b) Chứng minh: AD.BD  BI .DC
c) Từ D kẻ DK vng góc BC tại K. Tứ giác ADKI là hình gì? Chứng minh điều ấy.
Câu 8: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E, F theo thứ tự chia trong các cạnh AB,
BC, CA theo cùng một tỉ số. Cmr: AE = DF; AE  DF.
2
AB  CD
3
Câu 9: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có diện tích S,
. Gọi E,F theo thứ tự là trung

điểm của AB,CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Tính diện tích
tứ giác EMFN theo S.
Câu 10: Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của BC. Điểm N trên cạnh CD sao cho
CN =2 ND. Gọi giao điểm của AM, AN với BD là P, Q. Cmr:

S APQ 

1
S AMN
2

…………...HẾT…………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN 8 ( ĐỀ 10)
Câu 1: Tìm GTNN của:
a)

A x

16
 2007, x  3
x3
;

b)

B

x 2  2 x  2018
, x �0
2018 x 2
;

5n  11
4n  13 là số tự nhiên;
Câu 2: a) Xác định n �N để
3
2
b) Chứng minh rằng: B  n  6n  19n  24 chia hết cho 6
1
1
1

S  n 

 ... 
2.5 5.8
 3n  1 .  3n  2 

c)

C

x 3  2000
,x  0
x

A

c) Tính tổng

Câu 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

x
a)
x
c)

2

 x   2  x 2  x   15

2

 3x  1  x  3x  2   6

2

;

2

;

x
b)
x
d)

2
2

 2 x   9 x 2  18 x  20
2

;

 8 x  7   x  3  x  5   15

f k  k 3  2k 2  15
g k  k 3
Câu 4: Tìm tất cả các số tự nhiên k để đa thức  
chia hết cho  

Câu 5: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện: 3x  y  1
2
2
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  3x  y ;
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N  xy

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 10


Bồi dưỡng HSG Toán 8
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 6: Cho x, y, z thỏa điều kiện x  y  z  0 và xy  yz  zx  0 .

Hãy tính giá trị của biểu thức:

S   x  1

2017

 y 2018   z  1

2019

Câu 7: Hai đội bóng bàn của hai trường A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đấu thủ của đội A
phải lần lượt gặp các đối thủ của đội B một lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội.
Tính số đấu thủ của mỗi đội.
Câu 8: Cho góc xOy và điểm M cố định thuộc miền trong của góc. Một đường thẳng quay quanh M
cắt tia Ox, Oy theo thứ tự ở A,B. Gọi S1, S2 theo thứ tự là diện tích của tam giác MOA, MOB.
1 1


S
S2 không đổi.
1
Cmr:

Câu 9: Cho tam giác ABC. Các điểm D,E,F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo tỉ số
1:2. Các điểm I, K theo thứ tự chia trong các cạnh ED, FE theo tỉ số 1:2. Chứng minh: IK //BC.
Câu 10: Cho hình thang ABCD (AB//CD), M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và
BD, K là giao điểm của BM và AC.
a) Chứng minh IK// AB.
b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E, F. Cmr: EI =IK = KF.

………...HẾT……………

ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN 8 ( ĐỀ 11)
x2
y2
x2 y 2
P


 x  y   1 y  x  y   1 x  1 x  1 y 

Câu 1: Cho
a) Tìm ĐKXĐ của P , rút gọn P
b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P  2
Câu 2: Xác định các số hữu tỉ a và b sao cho:
4
2
a) x  4 chia hết cho x  ax  b ;

4
3
x  1
b) ax  bx  1 chia hết cho 
.
2

Câu 3: Phân tích các đa thức thành nhân tử:

x
a)

2

 4 x  8  3x  x 2  4 x  8  2 x 2
2

;

b) x  2 xy  y  x  y  12
n
n
n
Câu 4: Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: A  20  16  3  1
chia hết cho 323
2

2

Câu 5: Chứng minh rằng:

3
2
a) x  4 x  1  3 x với x �0 ;
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 11


Bồi dưỡng HSG Toán 8
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x  1  x  3  x  4   x  6   9 �0

b)
;
2
2
2
c) a  4b  4c �4ab  4ac  8bc
Câu 6: Rút gọn biểu thức:
M

 x  1  x  2   x  3  x  4   1

x2  5x  5
1
1
2
4
8
16
N






2
4
8
1  x 1  x 1  x 1  x 1  x 1  x16
b)

a)

Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm K sao cho


.
AH = HK. Vẽ
�
a) Gọi M là trung điểm của BE. Tính BHM
.
KE  BC E �AC

GB
AH

b) Gọi G là giao điểm của AM vói BC. Chứng minh: BC HK  HC .
0
�
Câu 8:Cho tam giác ABC, A  90 , đường cao AH, đường trung tuyến BM cắt AH tại I.
�
ACB

Giả sử BH = AC. Chứng minh: CI là tia phân giac của

.

Câu 9:

0
�
a) Cho tam giác ABC có A  120 , AB  3cm, AC  6cm. Tính độ dài đường phân giác AD.

1
1
1


�
b) Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn AD AB AC . Tính BAC .
Câu 10: Cho tam giác ABC có AB  6cm, AC  8cm , các đường trung tuyến BD và CE vng

góc với nhau. Tính độ dài BC.
…………...HẾT…………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN 8 ( ĐỀ 12)
2
2
2
4
4
4
Câu 1: Cho a + b + c = 0 và a  b  c  1 . Tính giá trị của biểu thức M  a  b  c

Câu 2: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn 2 x  3 y  7 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Q

8 3

x y

2
2
b) Tìm GTLN của A   x  y  xy  x  y

a2 b2
�a b �
 2  4 �3 �  �
2
�b a �
Câu 3:Chứng minh với mọi số thực a, b khác 0 ta ln có bất đẳng thức sau: b a

Câu 4: Giải các phương trình sau:
x  3
a) 

3

  x  1  56
3

 

b) 
4
3
2
c) x  3x  4 x  3 x  1  0
4

4

x  6  x  8  16

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 12


Bồi dưỡng HSG Toán 8
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------P  x   2 x 4  7 x 3  2 x 2  13x  6

Câu 5: Cho đa thức
a) Phân tích

P  x

thành nhân tử

b) Chứng minh rằng
A

P  x  M6

với mọi x �Z .

x  2x 1
x3  3x  2
4

2

Câu 6: Cho phân thức
a) Rút gọn A.
b) Tính x để A  1
Câu 7: Cho hình vng ABCD. Trên tia BC lấy điểm M nằm ngoài đoạn BC và trên tia CD lấy
điểm N nằm ngoài đoạn CD sao cho BM = DN. Đường vng góc với MA tại M và đường vng
góc với NA tại N cắt nhau ở F. Chứng minh:
a) AMFN là hình vng;
b) CF vng góc với CA.
Câu 8: Cho hình vng ABCD có giao điểm các đường chéo là O. Kẻ đường thẳng d bất kỳ qua O.
Chứng minh rằng: Tổng các bình phương các khoảng cách từ bốn đỉnh của hình vng đến đường
thẳng d là một số không đổi.
x y
2

2

 x  y
�

2

2
Câu 9: a) Chứng minh BĐT:
b) Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm O ở trong tam giác vẽ
OD  BC  D �BC  , OE  CA  E �CA  , OF  AB  F �AB 

.

Tìm vị trí của điểm O để tổng OD  OE  OF đạt giá trị nhỏ nhất.
2

2

2

0
� �
Câu 10: Cho hình thang vng ABCD có A  D  90 , AB  7cm, DC  13cm, BC  10cm . Đường
trung trực của BC cắt đường thẳng AD ở N. Gọi M là trung điểm của BC. Tính MN.

………...HẾT……………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TOÁN 8 ( ĐỀ 13)
a2
 b 2  c 2 �ab  ac  2bc
Câu 1: a) Chứng minh: 4
a 4  b 4  c 4 �abc  a  b  c 

b) Chứng minh:
c) Chứng minh:

1 1

1
1
  ...  2

2
5 13
2
n   n  1

d) Chứng minh:

1 1
1
1
  ... 

2
9 25
 2n  1 4

với n  N , n 1 .

với n  N , n 1

�a 2 b 2 � �a b �
� 2  2 � �  ��0
a
b
e) Cho và cùng dấu. Chứng minh: �b a � �b a �
3

3
Câu 2: a) Cho x  y  1 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x  y

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 13


Bồi dưỡng HSG Tốn 8
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
2
b) Tìm GTNN của B  5 x  2 y  4 xy  2 x  4 y  2023

Câu 3: Phân tích các đa thức thành nhân tử:
4
3
2
4
3
2
a) 4 x  4 x  5 x  2 x  1 ;
b) 3x  11x  7 x  2 x  1
Câu 4: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số abcd , biết rằng nó là một số chính phương, số abcd chia hết
cho 9 và d là một số nguyên tố.
x. y
5
x 2  2 xy  y 2

A

2
2

x 2  2 xy  y 2
Câu 5: a) Cho x  y 8 , hãy tính
x2  y2  z 2
x y z
B

2
 
 ax  by  cz 
b) Cho a b c , hãy tính
�
x 2  3x
3 �� 1
6x
�
P  �3
 2
:
 3
��
�
2
2
�x  3x  9 x  27 x  9 ��x  3 x  3x  9 x  27 �

Câu 6: Cho biểu thức:
a) Rút gọn P ;
b) Với x  0 thì P khơng nhận những giá trị nào?
c)Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng AD vng góc với BC tại D. Đường phân giác BE

FD EA

cắt AD tại F. Chứng minh: FA EC

Câu 8: Cho tam giác ABC. Kẻ phân giác trong và ngoài của góc B cắt AC ở I và D ( lần lượt theo
thứ tự A, I, C, D ). Từ I và D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở M và N.
a) Tính AB và MN, biết MI = 12cm, BC = 20cm.
b) Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt BI tại E và cắt BD tại F. Chứng minh:
BI .IC  AI .IE và CE  CF
Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia
Bx, Cy vng góc với cạnh BC. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA, trên tia Cy lấy điểm E sao
cho CE = CA. Gọi G là giao điểm của BE và CD, K và L lần lượt là giao điểm của AD, AE với cạnh
BC. a) Chứng minh rằng CA = CK ; BA = BL.
b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự tại I, J. Gọi H là hình chiếu
vng góc của G lên BC. Chứng minh IHJ là tam giác vuông cân.
Câu 10: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD chia cạnh đối diện thành các đoạn thẳng
BD = 2cm, DC = 4cm. Đường trung trực của AD cắt đường thẳng BC tại K. Tính độ dài KD.

………...HẾT……………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN 8 ( ĐỀ 14)

Câu 1: Cho a là một số gồm 2n chữ số 1 , b là một số gồm n  1 chữ số 1 , c là một số gồm n chữ
số 1

 n �N * . Cmr:

a  b  6c  8 là một số chính phương .

M
N

32 x  19

 2
Câu 2: Cho x  1 x  2 x  x  2 . Tính M .N ?
Câu 3: Cho ba số dương a, b, c

a) Chứng minh rằng:

1
�a

 a  b  c �
�

1 1�
 ��9
b c� ;

a
b
c
3


�
b) Chứng minh rằng: b  c c  a a  b 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 14


Bồi dưỡng HSG Toán 8

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ab x bc x ca x
4x



1
c
a
b
a bc
c) Giải phương trình:
� 8x2
x3
3x
1 �
Q  1 2
:� 3
 2

�
2
x  5 x  6 �4 x  8 x 3 x  12 x  2 �

Câu 4: Cho biểu thức:
a) Rút gọn Q ;
b) Tìm các giá trị của x để Q  0, Q  1 ;
c) Tìm các giá trị của x để Q  0 .

3
3

3
Câu 5: Cho a  b  c  0 , chứng minh: P  a  b  c  3abc �0 .

Câu 6: Tìm số nguyên dương n để n  1 và 4n  29 là số chính phương.
Câu 7: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, AD là đường phân giác. Biết AC = 9cm,
AB = 6cm, diện tích tam giác ABC là 24cm2. Tính diện tích tam giác ADM.
Câu 8: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng
song song với AM, cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F.
a)Chứng minh khi điểm D chuyển động trên cạnh BC thì tổng DE + DF có giá trị khơng đổi.
b)Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt EF ở K. Chứng minh rằng K là trung điểm của EF
Câu 9: Cho các tam giác ABC, I là giao điểm của ba đường phân giác. Đường thẳng vng góc với
CI tại I cắt AC, BC theo thứ tự ở M, N. Cmr:
a) Tam giác AIM đồng dạng với tam giác ABI.
2

AM �AI �
� �
BN
�BI � .
b)

Câu 10: Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 2a, M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D, E theo
� B
�
thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho DME
.
a) Cmr: BD.CE không đổi.
b) Cmr: DM là tia phân giác của góc BDE
c) Tính chu vi tam giác AED nếu ABC là tam giác đều.

………...HẾT…………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 ( ĐỀ 15)
A

a 2  4a  4
a 3  2a 2  4a  8

Câu 1: Cho phân thức:
a) Rút gọn A ;
b) Tìm a �Z để A có giá trị nguyên.

1 ��4 1 �
� 2 1 �� 2 1 �
�
: x  2 � a
M  �x 4  4 ��
: x  4�
�x  2 ��
x
x
x
x �theo a .
�
��
�
�
��
Câu 2: Cho
. Tính

Câu 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau :
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 15


Bồi dưỡng HSG Toán 8
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2

�a  b c  d �

�
�� a  c   b  d 
2 �
a) � 2
;

b) ab  bc  ca �0 khi a  b  c  0 .
Câu 4: Một đồn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ơ tơ. Nếu mỗi ơ tơ chở 22 học sinh thì cịn thừa
1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ơ tơ thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ơ tơ cịn lại. Biết mỗi ơ tơ
chỉ chở khơng được q 32 người, hỏi ban đầu có bao nhiêu ơ tơ và có tất cả bao nhiêu học sinh đi
tham quan?
ab
bc
ca


a
,
b
,
c

Câu 5: a) Cho
là ba số dương khác 0 thỏa mãn: a  b b  c c  a ( Với giả thiết các tỉ số
ab  bc  ca
M 2
a  b2  c 2 .
đều có nghĩa ). Tính:

b) Tìm số tự nhiên n khác 0, biết:

2
� 2 �
� 2 ��
1
1
... �
1
�
�
�
�
�
� 2.3 �
� 3.4 � � n  n  1

� 2017
�
� 6045
�
.

1 � 1 �
1
� 1 �
� 1 ��
�
M  .�
1
1
1
... �
1
�
�
�
�
�
�
2 � 1.3 �
� 2.4 �
� 3.5 � � 2017.2019 �
c) Tính:

Câu 6: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC, điểm M nằm giữa A và D. Gọi I, K theo thứ tự
là trung điểm của MB và MC. Gọi E là giao điểm của DI và AB, F là giao điểm của DK và AC.
Cmr: EF //IK.
Câu 7: Cho hình vng ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy điểm G, H thứ tự thuộc
�

cạnh BC, CD sao cho GOH  45 . Gọi M là trung điểm của AB. Cmr:
a) Tam giác HOD đồng dạng với tam giác OGB;

b) MG //AH
Câu 8: Cho tam giác ABC và hình bình hành AEDF có E �AB, F �AC , D �BC . Tính diện tích của
0

hình bình hành, biết rằng S EBD  3cm , S FDC  12cm .
Câu 9: Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh bằng 2. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD,
2

2

DC. Gọi I, H theo thứ tự là giao điểm của AF với BE, BD. Tính S EIHD

 . Gọi O là giao điểm của AC với BD và I là
Câu 10: Cho hình thang ABCD 
giao điểm của DA với CB. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
AB / /CD, AB  CD

OA  OB IA  IB

a) Chứng minh: OC  OD IC  ID .
b) Chứng minh: Bốn điểm I ; O; M ; N thẳng hàng.
c) Giả sử 3AB  CD và diện tích hình thang ABCD bằng S. Hãy tính diện tích tứ

giác IAOB theo S.

………...HẾT……………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN 8 ( ĐỀ 16)
8
7
6

5
4
Câu 1: Chứng minh rằng M  n  4n  6n  4n  n chia hết cho 16, với n �Z

2  ab  2 
a
b
 3
 2 2
Câu 2: a) Cho a  b  1 và ab �0 . Chứng minh: b  1 a  1 a b  3
3

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 16


Bồi dưỡng HSG Toán 8
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2

�x � 5
x  � �
�x  1 � 4
b) Giải phương trình:
2

1988
1987
Câu 3: Tìm các số nguyên dương n để n  n  1 là số nguyên tố.
Câu 4: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác

a)Chứng minh rằng:

b)Chứng minh rằng:

ab  bc  ca �a 2  b 2  c 2  2  ab  bc  ca 

 a  b  c

2

 3  ab  bc  ca 

thì tam giác đó là tam giác đều.

2
2
Câu 5: a) Tìm GTNN của A  x  y biết x  y  4
2
B  x4   3  x 
b) Tìm GTNN của
C   x  1  x  3  x  5   x  7 
c) Tìm GTNN của
x
D  x 
2
x  2019 

d) Tìm GTLN của
với x  0

E

a3 a 2 a
 
24 8 12 với a là một số tự nhiên chẵn. Hãy chứng tỏ E có giá trị nguyên.

Câu 6: Cho biểu thức
Câu 7: a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện: abc  2019 . Chứng minh rằng:
2019a
b
c


1
ab  2019a  2019 bc  b  2019 ca  c  1
2017
2017
�x 2018  y 2018 .
b) Cho x  y  2 . Chứng minh rằng: x  y

Câu 8: Cho hình vng ABCD, trên tia đối của tia CD lấy điểm E. Đường thẳng đi qua A và vng góc với
BE tại F, nó cắt DC tại G. Gọi H, I, J, M, K lần lượt là giao điểm của GF với BC, EF với HD, EA với HC,
AB với HD, AE với DH.
DG GF
BC.EF

; CE 
GF . Từ đó suy ra DG  CE �2CD và EG �3CD
8.1.a) Chứng minh: AD EF
S ABCD
b) Tìm GTLN của S AEG
8.2.a) Chứng minh: BHA  CEB và DAE  CDH

b) Chứng minh: AE  DH
c) Chứng minh: AI / / DJ / / GB
d) Chứng minh: AFB đồng dạng với ABH ; AFD đồng dạng với ADH
�
ADH .
Từ đó có nhận xét gì về AFD
và �
2
8.3.a) Chứng minh: KD  KI .KH
b) Chứng minh: EJ.EK .HJ  HK .HD.EC
c) Chứng minh: HJ .HC.EK  EI .EF.HK

BM
8.4. Chứng minh: Khi E thay đổi trên tia đối của tia CD thì CJ là không đổi.
8.5. Qua bài này, các em hãy khai thác thêm nhiều tính chất mới thú vị.

………...HẾT…………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN 8 ( ĐỀ 17)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 17


Bồi dưỡng HSG Toán 8
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------x
2x  3y
M

y2
x6
Bài 1. Cho 3 y  x  6 . Tính giá trị của biểu thức
1 1 1

1 2
 2  2  ...  2 
2
2 3 4
n
3 với n  N , n 2
Bài 2. a) Chứng minh:
1 1 1
1
1
K  3  3  3  ...  3 
3 4 5
n 12 với n  N , n 3
b) Chứng minh:
3
5
7
2n  1
P


 ... 
, n �N *
2
2
2
2
1.2 
2.3
3.4 




�
n
n

1
�


�
�
Bài 3. Cho biểu thức
H

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P tại n  99 .
4
2
Bài 4. Cho đa thức E  x  2017 x  2016 x  2017 .
a) Phân tích đa thức E thành nhân tử;
x2  x  1  1
b) Tính giá trị của E với x là nghiệm của phương trình:
.

Bài 5. So sánh A và B , biết:

A   2017 2016  20162016 

Q   2 x  3  4 2 x  3  7
2

Bài 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của

2017

;

B   2017 2017  20162017 

2016

.

và các giá trị của x tương ứng.

�
D �AB 
Bài 7. Cho ABC cân tại A với A là góc nhọn; CD là đường phân giác ACB 
; qua D kẻ

BD 

1
EC
2
.

đường vng góc với CD , đường này cắt đường thẳng CB tại E . Chứng minh:

Bài 8. Cho tứ giác ABCD . Đường thẳng qua A song song với BC , cắt BD tại P và đường thẳng
qua B song song với AD cắt AC tại Q . Chứng minh PQ // CD .
0
�
Câu 9. Cho hình thang ABCD, đáy AD và BC, có A  90 , E là giao điểm của hai đường chéo, F là
hình chiếu của E lên AB.
a) Chứng minh ∆ BFC ∆ AFD .

b) Gọi K là giao điểm của AC và DF. Chứng minh KE.FC = CE.FK.
Câu 10. Cho ba số x, y, z.
2
2
2
a) Chứng minh x  y  z �xy  yz  zx ;

x yz
 673
3
b) Khi
. Chứng minh xy  yz  zx �2019 .

………...HẾT…………
BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MƠN TỐN FILE WORD Zalo 0946095198
160 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6=100k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 6 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k
250 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7=150k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 7 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k
220 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8=120k; 50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 8 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k
250 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 HUYỆN=150k; 200 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 CẤP TỈNH=100k
70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 (2019-2020)=100k;
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 18

Bồi dưỡng HSG Tốn 8
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------80 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TỐN 9 CÁC HUYỆN CỦA TỈNH VĨNH PHÚC=100k
(Các đề thi HSG cấp huyện trở lên)

ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN 8 ( ĐỀ 18)
3
Câu 1: a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x  19 x  30

12n  3  n �N 
b) Chứng minh: 9n  2 và
là hai số nguyên tố cùng nhau.

6
4
3
2
c) Chứng minh: số có dạng n  n  2n  2n với n �N và n  1 không phải là số chính
phương.

Câu 2. a) Chứng minh rằng:

A   2n  1  2n  1

chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n .

2
b) Tìm các số nguyên n để B  n  n  13 là số chính phương?
Câu 3. Giải các phương trình sau:

a)

x 2  x  2  3x  7  0
x 1  2x  3  x  4

b)
Câu 4. Với a, b, c  0 . Hãy chứng minh các BĐT:
ab bc
 �2b
a) c a
;

ab bc ca
 
�a  b  c
b) c a b
;
4
2
x  x 1
E
2
x2
Câu 5. a) Cho x  4 x  1  0 . Tính
x2
x
F 4
a
2
x  x 2  1 theo a

b) Cho x  x  1
. Tính

a 3  b3 b 3  c 3 c 3  a 3


�a  b  c
2bc
2ca
c) 2ab
.

Câu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  1  xy , trong đó x, y là các số thực thoả mãn điều kiện:
x 2013  y 2013  2 x1006 y1006 .

Câu 7. Cho tam giác ABC có AB  AC  BC và chu vi bằng 18cm. Tính độ dài các cạnh của tam
giác ABC, biết các độ dài đều là số nguyên dương và BC có độ dài là một số chẵn.
Câu 8. Cho tam giác ABC có AC = 3AB và số đo của góc A bằng 600. Trên cạnh BC lấy điểm D sao
�

0

cho ADB = 30 . Trên đường thẳng vng góc với AD tại D lấy điểm E sao cho DE = DC (E và A
cùng phía với BC). Chứng minh rằng AE//BC.
Câu 9.Cho tam giác ABC, M là trung điểm của AC và các đường thẳng AD, BM và CE
đồng qui tại K ( K �AM ; D �BC;E �AB) . Hai tam giác AKE và BKE có diện tích là 10 và 20.

Tính diện tích tam giác ABC.
Câu 10. Cho tam giác ABC. Gọi Q là điểm trên cạnh BC (Q khác B, C). Trên AQ lấy điểm P (P
khác A, Q). Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB, AC tại M, N.

AM AN PQ


 1.
AB
AC
AQ
a) Chứng minh rằng:

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 19


Bồi dưỡng HSG Toán 8
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------AM . AN .PQ 1

b) Xác định vị trí điểm Q để AB. AC . AQ 27 .

-------------HẾT---------------

ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN 8 ( ĐỀ 19)

2
Câu 1. a) Cho a  b �2 . Chứng minh rằng: a  b �2 .
2

b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh: 
c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

4a a  b   a  1  a  b  1  b 2 �0

Chứng minh:

abc � b  c  a   a  c  b   a  b  c 

Câu 2. a) Cho a1 , a2 ,..., a2 m , m �N * thoả mãn a1  a2  ...  a2 m .
Tìm GTNN của biểu thức
b) Cho

A  x  a1  x  a2  ...  x  a2 m1  x  a2 m

a1 , a2 ,..., a2 m 1 , m  N , m

Tìm GTNN của biểu thức

2

thoả mãn

a1  a2  ...  a2 m 1

.
.

B  x  a1  x  a2  ...  x  a2 m 2  x  a2 m 1

1

4

P

Câu 3. Rút gọn biểu thức:

3

4

 4   5  4   9  4  ...  21  4 
4

4

.

4

 4   7 4  4   114  4  ...  234  4 

2x
3x

1
2
x  4 x  7 2  x  5x  7 
2

Câu 4. Giải phương trình:
2
2
Câu 5.Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho m  n �5 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Q  m  n  mn  1 .
Câu 6.Tìm các số nguyên tố p sao cho 7p + 1 bằng lập phương một số tự nhiên.
Câu 7. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD. Gọi G là giao
điểm của đường thẳng đi qua E vng góc với AD với đường thẳng đi qua F vng góc với BC. So sánh GA
và GB.
�
A  90 

Câu 8.Cho tam giác ABC cân tại A
, có BH là đường cao, BD là phân giác của góc
0

�
ABH  H , D �AC 

BH
1
. Chứng minh rằng: CD .

a
b
c
3


�
Câu 9. a) Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng: b  c c  a a  b 2
 D �BC 

b) Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác trong của góc A

. Gọi ka là

 E �AC  và
F �AB 
là khoảng cách từ E đến BA ( hoặc BC), gọi CF là phân giác trong của góc C 
và kc là

khoảng cách từ D đến AB ( hoặc AC). Tương tự, gọi BE là phân giác trong của góc B
kb

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 20


Bồi dưỡng HSG Toán 8
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------khoảng cách từ F đến CA ( hoặc CB). Gọi ha , hb , hc tương ứng là 3 chiều cao kẻ từ các đỉnh A, B, C

k a kb kc
 
h
hb hc .
a
của tam giác đã cho. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức
0
�
Câu 10. Cho hình bình hành ABCD có A  90 . Dựng các tam giác vuông cân tại A là BAM và DAN (B và
N cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AD, D và M cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng AC
vng góc với MN.

-------------HẾT---------------

ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN 8 ( ĐỀ 20)
PHỊNG GD&ĐT HUYỆN TUY AN
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
LỚP 8 THCS
NĂM HỌC 2018-2019

Môn thi : TỐN
Thời gian: 150 phút.
(Khơng kể thời gian phát đề)
Sớ báo danh:
Chữ ký thí sinh:
…………….
…………………..

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có 02 trang)

Họ và tên thí sinh:
……………………………………………….

2
1 ��
10  x 2 �
� x
M  �2



:
x

2

�
��
x2 �
�x  4 2  x x  2 ��
Câu 1.(4,0 điểm) Cho biểu thức
1
x 
2.
a) Rút gọn biểu thức M .
b) Tính giá trị của M , biết
c)Tìm giá trị của x để M  0 .
d) Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị ngun.

Câu 2.(4,0 điểm)
3
3
3
a) Phân tích đa thức A  a  b  c  3abc thành nhân tử. Từ đó suy ra điều kiện của a, b, c để
a 3  b3  c 3  3abc .
1 1 1
yz zx xy
  0
B 2  2  2
x
y

z .
b) Cho x y z
.Tính giá trị của biểu thức sau:
3
3
3
c) Cho x, y , z là ba số thực khác 0, thỏa mãn x  y  z �0 và x  y  z  3 xyz .
C

Tính

x 2019  y 2019  z 2019

 x  y  z

2019

.
3

3

3

x - 2018) +( x - 2019) - ( 2 x - 4037) = 0
d) Giải phương trình sau: (
.

Câu 3.(4,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
g  x   x2  x  1

K

3  4x
2 x2  2

f x  x 4  ax 2  b
b) Xác định các hệ số hữu tỉ a và b sao cho  
chia hết cho

.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 21


Bồi dưỡng HSG Tốn 8
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0
�
Câu 4.(3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có A  120 . Đường phân giác của góc D đi qua trung

điểm I của cạnh AB.
a) Chứng minh: AB  2 AD .
b) Kẻ AH  DC ( H �DC ) . Chứng minh: DI  2 AH .
c) Chứng minh: AC  AD .
Câu 5.(3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, kẻ các đường cao BD và CE. Qua C kẻ đường
thẳng vng góc với cạnh AC, đường thẳng này cắt đường thẳng AB tại điểm F.
CE BE

a) Chứng minh: AB  AE.AF .
b) Chứng minh: CF BF .

0
� �
Câu 6.(2,0 điểm) Cho hình thang vng ABCD ( A  D  90 ) và DC  2 AB , H là hình chiếu của D
trên AC và M là trung điểm của đoạn HC. Chứng minh: BM  MD .
2

-------------HẾT--------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 1
Câu 1: Cho bốn số dương a, b, c, d . Chứng minh rằng:
a
b
c
d



2
abc bcd cd a d a b
a
a
a


 1
Vì a, b, c, d  0 ta có: a  b  c  d a  b  c a  c ;
c
c
c



 3
a bc d cd a c a
;
1

b
b
b


 2
abcd bcd bd
d
d
d


 4
abcd d ab d b

Lấy (1), (2), (3) và (4) cộng vế theo vế, thu gọn ta được điều phải chứng minh.
( Chú ý : Dạng tương tự : Cho bốn số dương a, b, c, d .
a
b
c
d




Chứng minh rằng: a  b  c b  c  d c  d  a d  a  b có giá trị khơng ngun )

Câu 2: a chia cho 5 dư 3 nên tồn tại số tự nhiên m sao cho a  5m  3 (1)
b chia cho 5 dư 2 nên tồn tại số tự nhiên n sao cho b  5n  2 (2)




Từ (1) và (2) suy ra
Suy ra a.b chia cho 5 dư 1.

a.b  5m  3 5n  2  ...  5  5mn  2m  3n  1  1

Câu 3: Ta có : 2 p  a  b  c
Do đó,

4 p  p  a   2 p  2 p  2a 

  a  b  c   a  b  c  2a   ...  2bc  b 2  c 2  a 2

KL :…
Câu 4: Cho các số nguyên a1 , a2 , a3 ,..., an . Đặt S  a1  a2  a3  ...  an và P  a1  a2  a3  ...  an
Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.
HD: Xét hiệu: S  P
3

3

3

3

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 22


Bồi dưỡng HSG Toán 8
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a 3  a   a  1 a  a  1 M6
a

Chứng minh:
với mọi số ngun .
Sau đó sử dụng tính chât chia hết của một tổng suy ra đpcm.

1
4
1 1
4
�
 �
xy  x  y  2
Câu 5: a) Cho x, y > 0. Chứng minh rằng x y x  y và

HD: Dùng biến đổi tương đương.
1
1
 �16
b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =1. Chứng minh rằng ac bc
1
1
4

1
4
16
�‫�׳‬
4
4
16
ac bc ac  bc
c  a  b
c  a b 1

Theo câu a, ta có:

Dấu “ =”

a, b, c  0
a , b, c  0
�
�
1
�
ab
�
�
�
a

b

c


1
a

b

1

c
�
�
�
4
��
��
��
ac  bc
ab
1
�
�
�
c
�
�
� 2
c ba
c  1 c
�
�

Câu 6: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
HD: + Tìm GTLN:

A

x2  2 x  3
x2  2

2
2
x  1

x 2  2 x  3 2  x  2    x  1
A

 2 2
�2
x2  2
x2  2
x 2
2

Ta có:

 
Dấu “ =”
Suy ra GTLN(A) = 2 � x  1 .
+ Tìm GTNN:
2

� x 1  0 � x  1

2
2
x2  2x  3 2x2  4x  6  x  2   x  2
1  x  2
1
A


  2
�
2
2
2
x 2
2 x 2
2
2.  x  2 
2.  x  2 
2

Ta có:

�  x  2   0 � x  2
2

Dấu “ =”

1
Suy ra GTNN(A) = 2 � x  2

Câu 7: Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy khơng có điểm chung với hình bình hành.
Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ là các đường vng góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy.
Tìm hệ thức liên hệ độ dài giữa AA’, BB’, CC’ và DD’ .
HD: C/m: AA ' CC '  BB ' DD '  2OO '

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 23


Bồi dưỡng HSG Toán 8
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------A

B

O

D

C

A'

x D'

B'

C'

O'

y

Câu 8:
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và một đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác.
Từ các đỉnh A, B, C và trọng tâm G ta kẻ các đoạn AA’, BB’, CC’ và GG’ vng góc với đường
thẳng d. Chứng minh hệ thức: AA’ + BB’ +CC’ = 3GG’.
A
M

HD: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và GC.
Kẻ MM '  d và NN '  d .
G

N

Chỉ ra:

C

B

d
M' A'

B'

N'

G'

C'

MM ' 
NN ' 

1
 AA ' BB '  1
2
;

GG ' 

1
 MM ' NN '  2 
2
;

1
 GG ' CC '  3
2

Từ (1), (2) và (3) biến đổi suy ra đpcm.

Câu 9: Cho tam giác ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác đó.

C'

HA ' HB ' HC '



1
a)A Chứng minh: AA' BB ' CC '
HA ' S HBC HB ' S HAC HC ' S HAB

;

;

B'
AA
'
S
BB
'
S
CC
'
S ABC
ABC
ABC
Ta có:
H

B

C

A'

HA ' HB ' HC ' S HBC S HAC S HAB S ABC






1
AA'
BB
'
CC
'
S
S
S
S
ABC
ABC
ABC
ABC
Suy ra
1 1 1�
 a  b  c �
�   ��9
�a b c �
b)C/ m BĐT phụ :

Dấu «= » � a  b  c  0

* Chú ý: Dấu «= » � ABC đều.
Câu 10:

A

D

E
K

B

C

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 24


Bồi dưỡng HSG Toán 8
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------KE
HD: Để làm xuất hiện một tỉ số bằng KD ta vẽ qua D đường thẳng DG // AC. Theo hệ quả của đl
KE KC EC


Talet, ta có: KD KG DG

Mà BD = EC (gt)
KE BD

 1
Do đó, KD DG

DB DG
DB AB

�

 2
DG AC
Mặt khác, BA AC
KE AB

Từ (1) và (2) suy ra KD AC ( không đổi) (đpcm)

…………...HẾT …………

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 2
30
21
Câu 1: a) Chứng minh rằng: 21  39 chia hết cho 45.
30
21
HD: Đặt M  21  39

Nhận xét 45 = 5.9 mà 5 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau (1)
Vậy để c/m M M45 ta cần c/m M M5 và M M9
Thật vậy,
21
(Vì 

30



M  2130  39 21   2130  130   39 21   1

 130  M 21  1 M5

 39
và

21

  1

21

21

 M5 (2)

 M 39   1  M5 )

30
21
Mặt khác, 21M3 � 21 M9 và 39M3 � 39 M9 . Do đó, M M9 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm.

* Chú ý:

a

n

 bn  M a  b 

n 2
n
2 n 1
b) Chứng minh rằng: Với mọi sớ tự nhiên n ta có: 5  26.5  8 M59 .

Ta có:

5n  2  26.5n  82 n 1  51.5n  8.64 n  59.5n  8.  64 n  5n  M
59

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trang: 25