Kiến thức và quan niệm của giáo viên toán THPT về các khía cạnh khác nhau của xác suất

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
---  ---

NGUYỄN THỊ HỒNG LAN

KIẾN THỨC VÀ QUAN NIỆM CỦA GIÁO VIÊN
TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỀ XÁC SUẤT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
THEO ĐỊNH HƢỚNG NGHIÊN CỨU

Huế, năm 2019


ĐẠI HỌC HUẾ
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
---  ---

NGUYỄN THỊ HỒNG LAN

KIẾN THỨC VÀ QUAN NIỆM CỦA GIÁO VIÊN
TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG VỀ XÁC SUẤT

Chun ngành: LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MƠN TỐN
Mã số: 8140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
THEO ĐỊNH HƢỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. Trần Kiêm Minh

Huế, năm 2019


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả
nghiên cứu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và
chưa từng được cơng bố trong bất kỳ một cơng trình nào khác.

Tác giả
NGUYỄN THỊ HỒNG LAN


Lời Cảm Ơn
Luận văn được hồn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo của
Thầy giáo, PGS.TS. Trần Kiêm Minh. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và tri
ân sâu sắc đến Thầy đã giúp tơi hồn thành luận văn này.
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn các q thầy, cơ giáo trong Khoa Tốn, đặc
biệt là q thầy, cô giáo trong tổ Phương Pháp đã giảng dạy và truyền thụ cho tôi
rất nhiều kiến thức trong suốt thời gian tôi học tập tại Trường Đại học Sư phạm
Huế. Sau cùng tôi cũng xin gửi lời cám ơn đến Phòng đào tạo Sau đại học, các
anh, chị, bạn bè, đồng nghiệp, gia đình đã giúp đỡ tơi trong suốt quá trình học tập
và thực hiện luận văn.

Xin trân trọng cảm
ơn!
Tác giả
NGUYỄN THỊ HỒNG LAN

DANH MỤC CÁC VIẾT TẮT

KCC: Kiến thức nội dung chung
SCK: Kiến thức nội dung đặc thù
HCK: Kiến thức nội dung theo chiều ngang
KCS: Kiến thức về việc học của học sinh
KCT: Kiến thức về việc dạy
KCC: Kiến thức chương trình
GV: Giáo viên
THPT: Trung học phổ thông


PHỤ LỤC
Chƣơng 1. ĐẶT VẤN ĐỀ ......................................................................................................... 3
1.1. Sơ lƣợc lịch sử xác suất .............................................................................................................. 3
1.2. Tầm quan trọng của xác suất trong chƣơng trình tốn phổ thơng ............................................. 4
1.3. Khó khăn của giáo viên tốn khi dạy chủ đề xác suất................................................................. 6
1.4. Nghiên cứu về kiến thức nghiệp vụ của giáo viên toán ............................................................... 7
1.4.1. Nghiên cứu của Shulman ............................................................................................................................. 8
1.4.2. Nghiên cứu của Fennema và Franke .......................................................................................................... 9
1.4.3. Nghiên cứu của Ball và cộng sự ................................................................................................................. 12

1.5. Nghiên cứu về quan niệm và niềm tin của giáo viên ................................................................. 12
1.6. Ghi nhận và đặt vấn đề nghiên cứu ............................................................................................................. 13

Chƣơng 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ............................................................................................. 15
2.1. Các quan niệm khác nhau về xác suất ...................................................................................... 15
2.2. Các khái niệm liên quan đến xác suất ...................................................................................... 16
2.3. Xác suất có điều kiện................................................................................................................ 17

2.4. Phân loại các kiểu kiến thức để dạy học theo Ball và cộng sự ................................................... 19
2.4.1. Kiến thức nội dung chung (Common Content Knowledge, CCK) ......................................................... 20
2.4.2. Kiến thức nội dung đặc thù (Specialized Conetnt Knowledge, SCK) .................................................... 21
2.4.3. Kiến thức nội dung theo chiều ngang (Horizon Content Knowledge, HCK) ........................................ 21
2.4.4. Kiến thức về việc học của học sinh (Knowledge of Content and Student, KCS) .................................. 22
2.4.6. Kiến thức về chƣơng trình (Knowledge of Content and Curriculum, KCC) ............................................. 24

2.5. Kiến thức của giáo viên để dạy học chủ đề xác suất ................................................................. 24
2.5. Kiến thức để dạy học và mơ hình năng lực dạy học của giáo viên ............................................ 25
2.6. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu ................................................................................................ 26
2.6.1. Mục tiêu của nghiên cứu ............................................................................................................................ 26
2.6.2. Câu hỏi nghiên cứu..................................................................................................................................... 27

Chƣơng 3. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .......................................................................... 28
3.1. Ngữ cảnh và mục tiêu của thực nghiệm.................................................................................... 28
3.2. Nội dung thực nghiệm .............................................................................................................. 28
3.3 Phân tích tiên nghiệm ............................................................................................................... 32
3.4. Phát triển một khung nội dung và mã hóa dữ liệu.................................................................... 38

Chƣơng 4. KẾT QUẢ ............................................................................................................. 45
4.1. Định hƣớng phân tích kết qủa thực nghiệm ............................................................................. 45
4.2. Thống kê định lƣợng ................................................................................................................ 45


4.3. Phân tích kiểu kiến thức nội dung chung và đặc trƣng của giáo viên về khái niệm xác suất ..... 49
4.4. Phân tích kiến thức nội dung chung, kiến thức nội dung đặc thù, kiến thức về việc học của học
sinh về các khái niệm liên quan đến xác suất .................................................................................. 63
4.5. Phân tích đặc trƣng kiến thức của giáo viên về khái niệm xác suất có điều kiện ...................... 81
4.6. Quan niệm, niềm tin của GV về chủ đề xác suất trong mơn tốn phổ thơng hiện nay .............. 83

Chƣơng 5. KẾT LUẬN ........................................................................................................... 86
5.1. Trả lời và kết luận cho các câu hỏi nghiên cứu ......................................................................... 86
5.2. Đóng góp của nghiên cứu, hạn chế và hƣớng phát triển của đề tài ........................................... 91

TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................................... 93


LỜI GIỚI THIỆU

Nghiên cứu về kiến thức của giáo viên để dạy học là một lĩnh vực quan trọng
trong đào tạo và phát triển nghiệp vụ cho giáo viên. Shulman (1986) đã quan tâm
đến các kiểu kiến thức nào mà một người giáo viên cần có để dạy học hiệu quả.
Shulman (1986) phân chia thành ba lĩnh vực kiến thức chủ yếu: kiến thức nội dung,
kiến thức sư phạm, và kiến thức về chương trình. Kể từ cơng trình có tính tiên
phong này của Shulman, nhiều nghiên cứu đã quan tâm đến việc phân loại và đánh
giá các kiểu kiến thức khác nhau của người giáo viên để dạy học toán hiệu quả.
Trong các nghiên cứu này, nổi bật là chương trình nghiên cứu về kiến thức của giáo
viên để dạy toán của Ball và cộng sự (Hill, Schilling & Ball, 2004; Ball, Thames, &
Phelps, 2008; Hill et al. 2008). Ball, Thames, & Phelps (2008) đã có đóng góp quan
trọng trong lĩnh vực nghiên cứu này bằng cách phân biệt chi tiết các kiểu kiến thức
khác nhau mà người giáo viên cần có để dạy học tốn hiệu quả, cịn gọi là mơ hình
MKT. MKT bao gồm sáu kiểu kiến thức là kiến thức nội dung chung, kiến thức nội
dung đặc thù, kiến thức nội dung theo chiều ngang, kiến thức về việc học của học
sinh, kiến thức về việc dạy, kiến thức chương trình. Trong đó, đóng góp quan trọng
nhất của Ball và cộng sự là sự chỉ rõ kiểu kiến thức nội dung đặc thù, là một kiểu
kiến thức chỉ đặc thù cho việc dạy học một nội dung tốn nào đó, rất cần thiết để
người giáo viên dạy học hiệu quả nội dung đó. Mơ hình MKT đã được nhiều nhà
nghiên cứu vận dụng và phát triển để nghiên cứu các kiểu kiến thức của giáo viên
cần có để dạy học hiệu quả nhiều chủ đề khác nhau trong toán học.
Nghiên cứu đánh giá và phát triển kiến thức của giáo viên để dạy học toán hiệu

quả dựa trên mơ hình về các kiểu kiến thức của Ball và cộng sự là hướng nghiên cứu
đang được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm. Nghiên cứu của chúng tôi cũng nằm
trong xu hướng đó. Mục tiêu của nghiên cứu này là đánh giá kiến thức và quan niệm
của giáo viên về xác suất. Đưa ra những kết luận có ý nghĩa đối với việc dạy học
xác suất hiện nay ở phổ thông cũng như việc đào tạo giáo viên tốn phổ thơng.
Luận văn được chia làm 5 chương. Chương 1 đề cập đến tổng quan các nghiên
cứu về kiến thức của giáo viên để dạy học. Chúng tôi tập trung vào các cơng trình
1


của Shulman (1986), Fennema & Franke (1992), và của Ball và cộng sự. Từ đó,
chúng tơi đặt ra vấn đề nghiên cứu.
Chương 2 trình bày chi tiết hơn khung lý thuyết về mơ hình phân loại các kiểu
kiến thức của giáo viên để dạy học. Chúng tơi phân tích rõ đặc trưng của mỗi loại
kiến thức, cụ thể hoá vào các khái niệm của xác suất. Cuối chương này, chúng tôi
đặt ra các câu hỏi nghiên cứu.
Chương 3 dành cho việc trình bày phương pháp nghiên cứu. Chúng tơi mơ tả
ngữ cảnh thực nghiệm, phiếu thực nghiệm và tiến hành phân tích tiên nghiệm các
nhiệm vụ tốn đặt ra.
Chương 4 trình bày các kết quả thực nghiệm. Chúng tơi phân tích định tính và
định lượng kết quả thực nghiệm. Dựa vào khung lý thuyết là mơ hình MKT của Ball
và cộng sự, chúng tôi tập trung vào nghiên cứu đặc trưng kiến thức nội dung chung,
kiến thức nội dung đặc thù và quan niệm của giáo viên về chủ đề xác suất trong
chương trình phổ thơng hiện nay.
Trong chương 5, chúng tôi trả lời cho các câu hỏi và mục tiêu nghiên cứu đặt
ra, thảo luận những đóng góp của nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài.

2

Chƣơng 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Sơ lƣợc lịch sử xác suất
Mặc dù xác suất có một lịch sử tương đối ngắn so với các phần khác của toán
học. Nhưng các trị chơi may rủi lại có một lịch sử rất dài. Ví dụ, các ngơi mộ Ai
Cập được khai quật từ năm 3500 trước Cơng ngun có chứa các trị chơi bằng ván
ném xương astragali (David, 1998), và quyển 1 của sử thi Mahabharata của Ấn Độ
giáo đề cập đến một vương quốc bị mất trong trò chơi súc sắc khơng cơng
bằng. Tuy nhiên, có rất ít hồ sơ tồn tại của nghiên cứu định lượng về xác suất trước
khoảng năm 1600.
Sau năm 1600 nhiều nhà khoa học đã quan tâm đến xác suất một cách có hệ
thống như các tác phẩm ban đầu bao gồm bản thảo của Cardano về các trị chơi may
rủi, các tính tốn của Galileo về tổng số ba con xúc xắc, trao đổi giữa Fermat và
Pascal từ cuốn sách của Huygens về các trò chơi may rủi (David, 1998). Năm
1713 nghiên cứu của Jacob Bernoulli Conjectandi, bao gồm hoán vị, kết hợp và các
vấn đề bên ngồi trị chơi, giờ đây được coi là sự khởi đầu của lý thuyết toán học về
xác suất.
Lý thuyết xác suất được De Moivre mở rộng trong Học thuyết cơ
hội (1756). Quan trọng đối với luận án này, De Moivre đã định nghĩa cho các sự kiện
độc lập và các sự kiện phụ của xác suất. De Moivre cũng đã đưa ra các định nghĩa
cho xác suất có điều kiện và tổng quát quy tắc nhân. Năm 1763, Bayes đã xem xét
một vấn đề về phân phối nhị thức được rút ra từ cuốn sách của De Moivre. Về sau
này được gọi là định lí Bayes. Ơng cũng đề xuất một quy tắc suy luận để tìm ra cơ hội
xác suất thành công thực sự chưa biết nằm giữa hai giá trị, trong các ký hiệu hiện
đại P (a < θ Trong thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20, lý thuyết xác suất tiếp tục phát triển. Vào
năm 1880, nhà xác suất Venn đã mở rộng vòng tròn Eulerian thành biểu đồ
Venn. Đến thế kỷ 20, Komolgorov (1933) đã mã hóa các tiên đề thường được sử
dụng như ngày nay: Xác suất phải là không âm; khơng gian mẫu đầy đủ có xác suất là

3

1; và xác suất kết hợp của vô số các tập hợp rời rạc bằng tổng các xác suất của tập
hợp riêng lẻ.
1.2. Tầm quan trọng của xác suất trong chƣơng trình tốn phổ thơng
Xác suất ngay từ ban đầu khơng có định nghĩa theo tốn học, xác suất là từ đề
cập đến sự xuất hiện của sự thật. Sau này xác suất được định nghĩa là từ tuyên bố về
niềm tin ( Xác suất của Hồi, 2015).Thống kê ban đầu cũng khơng có định nghĩa theo
tốn học, thống kê được coi là một phần của khoa học chính trị. Số liệu thống kê đề
cập đến việc thu thập và phân loại các sự kiện của một cộng đồng.
Thực chất tốn học, xác suất và thống kê có mối quan hệ đan xen. Cả thống kê
và xác suất là các ngành khoa học tốn học địi hỏi các cơng cụ toán học như cảm
giác số, số học và đại số. Xác suất theo tiên đề tốn học khơng có bất kỳ ý kiến chủ
quan cũng khơng có bất kỳ giải thích triết học. Xác suất phải sử dụng khơng gian
mẫu, chuỗi lũy thừa, tích phân…Thống kê ngồi sử dụng các kiến thức tốn học thì
thống kê cũng sử dụng các kiến thức về xác suất như: biến đổi cơ hội, tần suất tương
đối, tính độc lập, giá trị dự kiến…Ngược lại xác suất cũng sử dụng các số liệu thống
kê, đặc biệt là khi thu thập dữ liệu để cung cấp cơ sở cho việc gán xác suất tiên
nghiệm.
Xác suất là một lĩnh vực toán học rất quan trọng và ngày càng có nhiều ứng
dụng trong thực tế cuộc sống hằng ngày. Vị trí của xác suất được mơ tả ở sơ đồ sau:

Trong đó thực tế là vấn đề chúng ta đang quan tâm, từ thực tế chúng ta có các số liệu
cụ thể để xây dựng mơ hình thống kê. Trên cơ sở mơ hình thống kê, sử dụng lý
thuyết xác suất để có các phân tích và các kết luận về vấn đề thực tế. Từ đó đưa ra
những cảnh báo hoặc giúp chúng ta có những quyết định chính xác khoa học.

4

Chương trình tốn phổ thơng các nước, từ bậc tiểu học đến bậc trung học phổ
thông, ngày càng chú trọng đến mạch kiến thức xác suất và thống kê. Điều này được
lý giải bởi tính hữu ích của xác suất đối với cuộc sống hằng ngày, vai trị cơng cụ của
nó đối với các mơn học khác, sự cần thiết của các kiến thức ngẫu nhiên cơ bản trong
nhiều ngành nghề và vai trò quan trọng của suy luận xác suất trong việc ra quyết định
(Gal, 2005; Franklin et al. 2005; Jones, 2005; Batanero & Diaz, 2012). Trước đây,
nhiều chương trình tốn phổ thơng các nước trình bày xác suất (và thống kê) chủ yếu
theo tiếp cận dựa trên công thức. Tiếp cận dạy học như vậy dẫn đến kết quả nhiều
học sinh không được chuẩn bị kiến thức tốt cho việc học xác suất và thống kê ở Đại
học, hay khơng có được nền tảng suy luận xác suất tốt. Nhiều chương trình xác suất
phổ thơng hiện hành (chẳng hạn ở Pháp) thúc đẩy tiếp cận dạy học xác suất định
hướng dữ liệu. Trong tiếp cận như vậy, học sinh được mong đợi thực hiện thí nghiệm
hoặc mơ phỏng, đặt ra câu hỏi và phỏng đoán, thu thập và phân tích dữ liệu từ thí
nghiệm, kết luận chấp nhận hay bác bỏ phỏng đốn dựa trên dữ liệu có được
(Parzysz, 2003; Batanero & Diaz, 2012).
Ở Việt Nam chương trình phổ thông lưu hành từ năm 2006, xác suất và thống
kê chỉ chiếm một phần rất nhỏ, khoảng 1,5% thời lượng của chương trình. Xác suất
và thống kê khơng có ở tiểu học. Các kiến thức về thống kê chỉ được trình bày lần
đầu và duy nhất ở THCS là ở lớp 7. Chương trình tốn THCS khơng giới thiệu kiến
thức về xác suất. Chương trình tốn THPT giới thiệu về thống kê ở lớp 10, giới thiệu
về xác suất ở lớp 11. Kiến thức xác suất được trình bày chủ yếu theo quan niệm cổ
điển, chú trọng tính cân bằng xác suất. Gần đây Bộ giáo dục và đào tạo đã thấy tầm
quan trọng của xác suất và thống kê. Do đó, trong chương trình tốn phổ thơng áp
dụng từ năm 2020, xác suất, thống kê cùng với số, đại số và một số yếu tố giải tích;
Hình học và đo lường là ba mạch kiến thức xuyên suốt trong chương trình mơn tốn
từ lớp 1 đến lớp 12. Thời lượng thống kê và xác suất đã tăng lên so với trước đây: cấp
tiểu học chiếm từ 3% - 5% thời lượng chương trình, cấp THCS và THPT khoảng 14%
thời lượng chương trình. Trong chương trình mơn tốn sắp được áp dụng, kiến thức
về khái niệm xác suất được chú trọng hơn; như tính ngẫu nhiên, tính cân bằng…Kiến
thức về xác suất cũng phong phú hơn, ngoài xác suất cổ điển cịn có xác suất có điều

kiện.
5


1.3. Khó khăn của giáo viên tốn khi dạy chủ đề xác suất
Một trong những khó khăn đối với giáo viên tốn khi dạy xác suất chính là bản
chất tri thức luận của khái niệm này. Mở đầu cho cuốn sách Tính tốn xác suất của
mình xuất bản năm 1908, Poincare vào chương thứ nhất với câu:“Hầu như người ta
không thể đưa ra một định nghĩa hoàn hảo cho xác suất”. Tất nhiên là trước đó chưa
có định nghĩa theo tiên đề của Kolmogorov (1933). Nhưng ngay cả vào năm 1970,
khi mà định nghĩa tiên đề đã được Kolmogorov đưa ra, Finetti vẫn viết (bằng chữ in)
trong lời đề tựa cho cuốn sách về Lý thuyết xác suất của ông rằng “KHƠNG TỒN
TẠI XÁC SUẤT”.
Hiểu khái niệm xác suất khơng phải là dễ. Phải chăng xác suất là một phần của
những đối tượng vật chất cụ thể mà người ta có thể cầm nắm? Hiển nhiên là khơng.
Đó là một khái niệm để giải thích cho điều “nhận thức” hay “tri giác” được. Ở đây
Emile BOREL đã lưu ý rằng “phải xem xác suất tương tự như số đo các đại lượng
vật lý, nghĩa là khơng bao giờ có thể biết nó một cách chính xác mà chỉ với một sự xấp
xỉ nào đó”. Như vậy, khơng thể nghĩ một cách đơn giản rằng khái niệm xác suất mà ta
sẽ dạy cho học sinh chỉ là cách tiếp cận của đại số tổ hợp, bao gồm việc liệt kê các cơ
hội xuất hiện một biến cố ngay sau khi cho rằng các biến cố là đồng khả năng xảy ra.
Và như thế thì càng khơng thể nghĩ là việc dạy học xác suất khơng có vấn đề gì.
PGS TS Lê Thị Hồi Châu, Khoa Tốn - Tin học Trường Đại học Sư phạm TP
HCM. Trong bài báo “Những chướng ngại, khó khăn trong dạy học khái niệm xác
suất” đã trình bày 3 chướng ngại khi dạy học khái niệm xác suất đó là khái niệm ngẫu
nhiên. Ngẫu nhiên là gì? Ngẫu nhiên là cái mà ta không biết? Ngẫu nhiên là do thần
thánh? Ngẫu nhiên là trật tự của thế giới mà ta nhìn thấy? Chướng ngại thứ hai chính
là bản thân khái niệm xác suất. Chướng ngại thứ ba đến từ quan niệm của học sinh.
Các em cho rằng xác suất của một biến cố là 1/2 . Bởi chỉ có 2 trường hợp là xảy ra
hoặc khơng xảy ra biến cố đó. Ví dụ xác suất sinh con trai là 1/2, nhưng thực tế khảo

sát thì xác suất là lớn hơn 1/2. Hoặc một quan niệm khác gắn liền với bản chất của sự
ngẫu nhiên. Khi lặp lại cùng một phép thử ngẫu nhiên, người ta nghĩ rằng một biến cố
đã gặp nhiều lần thì bây giờ sẽ tiếp tục xuất hiện, đồng thời cũng muốn làm sao để tạo
ra những biến cố đã từ lâu không thấy. Hai quan niệm sai lầm này về luật số lớn hoàn

6


toàn mâu thuẫn với nhau, nhưng cả hai vẫn được nghĩ đến trong cùng một tình huống
…. Bài báo cũng đã trình bày về 3 khó khăn trong dạy học xác suất. Khó khăn của sự
chuyển hóa sư phạm; thế khơng lối thốt trong việc chọn khái niệm xác suất nào vào
trường phổ thơng. Khó khăn đến từ quan niệm của giáo viên; vì ở trường sư phạm
giáo viên được học xác suất theo quan điểm tiên đề, theo hướng tiếp cận này giáo
viên khó thấy được ý nghĩa của xác suất trong đời sống. Khó khăn gắn với mơ hình
hóa thực tế; xác suất – thống kê là bộ mơn tốn gắn với thực tế, giáo viên cần một mơ
hình thực tế tốt để giúp học sinh hiểu sâu sắc khái niệm, nhưng khó đánh giá mơ hình
nào là thích đáng cho các khái niệm xác suất khác nhau.
Việc dạy học xác suất là gặp nhiều chướng ngại và cũng nhiều khó khăn,
nhưng các nghiên cứu đã chỉ ra nhiều chương trình hiện tại chưa đào tạo giáo viên
đầy đủ cho nhiệm vụ dạy học xác suất (Begg và Edwards, 1999; Franklin và Mewsinh, 2006; Borim và Coutinho, 2008; Chick và Pierce 2008). Ngay cả khi nhiều
giáo viên trung học tiềm năng có chun ngành tốn học, họ thường chỉ học thống kê
lý thuyết (toán học) và xác suất (theo tiên đề trong toán học) trong đào tạo của
họ. Rất ít nhà tốn học được đào tạo chun mơn về thống kê ứng dụng, thiết kế điều
tra xác suất hoặc mơ phỏng hoặc phân tích dữ liệu từ các cuộc điều tra này. Những
giáo viên này cũng cần được đào tạo về kiến thức sư phạm liên quan đến việc dạy
xác suất, trong đó các nguyên tắc chung có giá trị cho hình học, đại số hoặc các lĩnh
vực khác của tốn học khơng thể ln ln được áp dụng. Nghiên cứu cho thấy rằng
sách giáo khoa và tài liệu giáo trình được phân loại trước cho giáo viên có thể khơng
hỗ trợ đủ. Đơi khi họ trình bày một quan điểm quá hẹp về các khái niệm (ví dụ, chỉ
có cách tiếp cận cổ điển đối với xác suất được chỉ ra). Ngoài ra, các ứng dụng của

xác suất bị giới hạn trong các trò chơi may rủi. Các định nghĩa của các khái niệm xác
suất là không chính xác hoặc khơng đầy đủ.
1.4. Nghiên cứu về kiến thức nghiệp vụ của giáo viên toán
Trong phần này, chúng tơi điểm qua ba hướng nghiên cứu chính về kiến thức
của giáo viên tốn để dạy học. Chúng tơi tham khảo chủ yếu từ Trần Văn Thương
(2019).

7


1.4.1. Nghiên cứu của Shulman
Kiến thức của giáo viên là yếu tố rất quan trọng và ảnh hưởng nhiều đến thực
hành dạy học của họ và thành tích học tập của học sinh họ giảng dạy. Shulman (1986)
được xem là tác giả tiên phong mở đường cho các nghiên cứu về kiến thức của giáo
viên cần thiết cho việc giảng dạy. Shulman cho rằng vào thời điểm đó, có ít nghiên
cứu chú ý đến vai trò của kiến thức nội dung của giáo viên đến việc dạy học của họ.
Những câu hỏi như giáo viên quyết định về những nội dung cần dạy như thế nào?
Làm thế nào để biểu đạt những nội dung cần dạy đó? Làm thế nào để giải quyết
những hiểu sai của học sinh về nội dung tốn học nào đó?... là trọng tâm chú ý của
Shulman và những nghiên cứu hướng đến các kiểu kiến thức cần có của giáo
viên.Theo Petrou & Goulding (2011), Shulman đã đề xuất phân loại khác nhau các
kiểu kiến thức của giáo viên như sau:
• Kiến thức sư phạm tổng quát
• Kiến thức về đặc điểm của người học
• Kiến thức về ngữ cảnh dạy học
• Kiến thức về mục tiêu và giá trị giáo dục
• Kiến thức nội dung
• Kiến thức chương trình
• Kiến thức nội dung sư phạm
Bốn kiểu kiến thức đầu tiên đề cập đến các khía cạnh tổng quát của kiến thức

của giáo viên, và đó không phải là trọng tâm của các nghiên cứu của Shulman, vì
Shulman chỉ tập trung vào kiến thức liên quan trực tiếp đến nội dung toán học được
dạy. Ba kiểu kiến thức còn lại, là kiến thức nội dung, kiến thức chương trình và kiến
thức nội dung sư phạm, liên quan trực tiếp đến những khía cạnh nội dung tốn của
kiến thức giáo viên, là những vấn đề còn chưa được chú ý đúng mức trong nghiên
cứu về dạy học, theo Shulman. Shulman (1986) gọi kiến thức nội dung là kiến thức
nội dung môn học (Subject Matter Knowledge), bao gồm kiến thức về nội dung môn
học và cách thức tổ chức, cấu trúc của nó. Shulman cho rằng nghĩ về kiến thức nội
dung môn học phải vượt lên trên kiến thức về những khái niệm hay sự kiện của một
8


lĩnh vực. Kiến thức chương trình là kiến thức về những hướng dẫn giảng dạy, về sách
giáo khoa, cũng như kiến thức về những chủ đề và những cách thức trong đó những
chủ đề này được trình bày. Kiểu kiến thức cuối cùng, và cũng là kiểu kiến thức có
tính mới và có ảnh hưởng nhất, đó là kiến thức nội dung sư phạm (PCK). Shulman
(1986) quan niệm kiến thức nội dung sư phạm PCK là tập hợp của kiến thức về nội
dung và kiến thức về sư phạm đặc thù cho việc dạy học. PCK bao gồm những dạng
biểu diễn đặc thù cho nội dung tốn, những ví dụ và ứng dụng mà giáo viên sử dụng
để làm cho học sinh dễ hiểu hơn, cùng với những chiến lược dạy học để giúp học sinh
vượt qua khó khăn. Với khái niệm kiến thức nội dung sư phạm PCK, Shulman muốn
nhấn mạnh không phải chỉ đơn thuần là kiến thức nội dung, cũng không đơn thuần là
kiến thức sư phạm, mà phải là một sự kết hợp của hai kiểu kiến thức này trong dạy
học. Tính hữu dụng của kiến thức nội dung sư phạm PCK được thể hiện qua việc
ngay khi được Shulman (1986) giới thiệu, nó đã được nhiều nhà nghiên cứu thích
nghi, điều chỉnh, sử dụng, phát biểu lại khái niệm này. Chẳng hạn, Meredith (1995)
cho rằng một khung nội dung rộng hơn, mở rộng của kiến thức nội dung sư phạm
PCK, là cần thiết. Cho dù cơng trình của Shulman (1986) là mang tinh tiên phong và
ảnh hưởng lớn đến lĩnh vực nghiên cứu kiến thức của giáo viên, nhiều nhà nghiên cứu
sau này đã cho rằng sự phân loại các kiểu kiến thức giáo viên của Shulman là chưa đủ

rõ và đủ để có thể thực hành trong nghiên cứu. Theo Ball và cộng sự (Ball, Thames,
& Phelps, 2008), sự phân biệt giữa khái niệm kiến thức nội dung và kiến thức nội
dung sư phạm theo Shulman thường chưa được rõ ràng. Hơn nữa, Shulman chưa chú
trọng đến sự tương tác giữa các kiểu kiến thức này (Hashweh, 2005). Nó chưa cho
thấy bản chất động của kiến thức, mà kiến thức của giáo viên thường phát triển qua
những tương tác trong lớp học với học sinh liên quan đến nội dung toán học hướng
đến (Fennema & Franke, 1992).
1.4.2. Nghiên cứu của Fennema và Franke

Fennema & Franke (1992) cho rằng sự phân loại của Shulman (1986) chưa chú
trọng đến bản chất động của kiến thức. Mô hình quan niệm về kiến thức giáo viên của
hai tác giả này dựa trên sự phân loại của Shulman, nhưng tập trung hơn vào khía cạnh
tương tác và động của bản chất kiến thức của giáo viên. Họ đề xuất một mơ hình về

9


kiến thức của giáo viên có thể được sử dụng để mơ tả những gì giáo viên cần trong
thực hành giảng dạy.
Fennema & Franke (1992) cho rằng kiến thức toán để dạy học bao gồm bốn
thành phần:
• Kiến thức nội dung
• Kiến thức sư phạm
• Kiến thức về nhận thức của học sinh
• Niềm tin của giáo viên

Hình 1.1. Mơ hình kiến thức của giáo viên theo Fennema & Franke (1992)

Trọng tâm của mơ hình này là nhấn mạnh đến kiến thức của giáo viên khi nó
xuất hiện trong ngữ cảnh lớp học, bởi vì quan niệm chủ đạo của Fennema & Franke

(1992) về kiến thức giáo viên là nhấn mạnh khía cạnh tương tác của kiến thức. Trong
một ngữ cảnh cho trước, kiến thức nội dung toán của giáo viên có liên quan đến kiến
thức sư phạm và hiểu biết về nhận thức của học sinh về nội dung tốn học đó, kết hợp
với niềm tin của giáo viên để tạo nên một tập hợp kiến thức cho phép xác định các
thực hành dạy học và hành vi của giáo viên trong lớp học. Ngoài ra, các tác giả này

10


cho rằng kiến thức có bản chất động và gợi ý rằng dạy học là một q trình trong đó
giáo viên có thể thay đổi kiến thức hiện tại của họ và tạo ra các kiến thức mới.
Theo Fennema & Franke (1992, p. 162), kiến thức nội dung toán của giáo viên
bao gồm: “kiến thức về các khái niệm, quy trình và các quá trình giải quyết vấn đề
trong lĩnh vực mà giáo viên dạy. Nó bao gồm kiến thức về các khái niệm nền tảng
cho các quy trình, mối liên hệ qua lại giữa các khái niệm, và cách thức các khái niệm
và quy trình này được sử dụng trong quá trình giải quyết vấn đề” (tác giả dịch).
Thành phần kiến thức sư phạm đề cập đến kiến thức của giáo viên về các quy trình
dạy học như các chiến lược lập kế hoạch hiệu quả, các nghi thức quen thuộc trong lớp
học, kỹ thuật quản lý ứng xử trong lớp, kỹ thuật tạo động cơ… Từ quan niệm này của
Fennema & Franke (1992), có thể nói rằng khái niệm kiến thức sư phạm của hai tác
giả này liên quan với kiểu kiến thức sư phạm tổng quát của Shulman, trong đó chứa
đựng những chiến lược và nguyên lý chung về quản lý lớp học. Thành phần kiến thức
về nhận thức của học sinh, theo Fennema & Franke (1992), bao gồm kiến thức về
việc học sinh tư duy và học nội dung tốn đó như thế nào, cũng như hiểu biết về các
quy trình mà học sinh sẽ sử dụng, và những khó khăn, thuận lợi mà học sinh sẽ gặp
phải. Theo sự phân loại của Shulman, quan niệm về việc học của học sinh được xem
như là một phần của kiểu kiến thức sư phạm của giáo viên. Nhưng theo mơ hình của
Fennema & Franke (1992), kiểu kiến thức này là một kiểu kiến thức riêng, tách khỏi
kiểu kiến thức sư phạm. Tuy vậy, một vấn đề chia sẻ chung của cả hai mơ hình, đó là
kiến thức về việc học sinh tư duy và học như thế nào là yếu tố có vai trị trung tâm

của việc dạy học hiệu quả. Ý tưởng này cùng phù hợp với những nghiên cứu về sau.
Chẳng hạn, theo Marks(1990), kiến thức về nhận thức của học sinh bao gồm hiểu biết
về các quá trình nhận thức của người học, các quy luật hiểu biết đặc trưng ở học sinh,
những lỗi sai thường gặp, khả năng lý giải hiểu biết của học sinh về nội dung.
Fennema & Franke (1992) xem kiến thức của giáo viên đồng thời vừa có bản
chất tương tác và động. Kiến thức của giáo viên để dạy học được phát triển trong một
ngữ cảnh cụ thể, và thường phát triển qua tương tác giữa chủ thể với học sinh trong
lớp học. Trong mơ hình về kiến thức giáo viên của họ, tất cả các khía cạnh của kiến
thức giáo viên và niềm tin là có liên hệ với nhau, và tất cả phải được xem xét đến để
hiểu được q trình dạy học tốn.
11


1.4.3. Nghiên cứu của Ball và cộng sự
Kể từ công trình có tính tiên phong của Shulman, nhiều nghiên cứu đã quan
tâm đến việc phân loại và đánh giá các kiểu kiến thức khác nhau của người giáo viên
để dạy học tốn hiệu quả. Trong các nghiên cứu này, có thể nói nổi bật là chương
trình nghiên cứu về kiến thức của giáo viên để dạy học toán của Ball và cộng sự (Hill,
Schilling & Ball, 2004; Ball, Thames, & Phelps, 2008; Hill et al. 2008). Ball,
Thames, & Phelps (2008) đã có đóng góp quan trọng bằng cách phân biệt chi tiết sáu
kiểu kiến thức khác nhau mà người giáo viên cần có để dạy học tốn hiệu quả, cịn
gọi là mơ hình Kiến thức tốn để dạy học (Mathematical Knowledge for Teaching,
MKT). Trong chương 2, chúng tơi sẽ trình bày chi tiết hơn mơ hình MKT và xem như
là một khung lý thuyết để thiết kế thực nghiệm và phân tích kết quả nghiên cứu của
chúng tơi.
1.5. Nghiên cứu về quan niệm và niềm tin của giáo viên
Quan niệm và niềm tin của giáo viên thuộc về quan điểm cá nhân của mỗi giáo
viên. Niềm tin của GV về toán học và việc dạy học toán sẽ tác động đến kiến thức về
chủ đề môn học và phương pháp dạy học của GV khi thực hành dạy học toán. Quan
điểm cá nhân của giáo viên là một trong những lĩnh vực quan trọng quyết định năng

lực sư phạm. O‟Day cùng các cộng sự chỉ ra rằng năng lực sư phạm sẽ phát triển
thơng qua q trình dạy học trên bốn lĩnh vực là kiến thức, kĩ năng, khuynh hướng và
quan điểm cá nhân. Trong đó kiến thức và kĩ năng có sự tác động qua lại và vẫn có
khoảng cách về niềm tin của giáo viên để họ quyết định nên đưa kiến thức như thế
nào và quyết định tiến hành dạy học như thế nào. Khuynh hướng của GV liên quan
đến thái độ của họ về HS, những mong đợi của họ về thành tích học tập cùng với sự
phát triển của các em, niềm tin về thành công của HS và sự tận tâm của bản thân.
Năng lực dạy học của GV phụ thuộc vào quan điểm cá nhân về việc học của bản thân
cũng như niềm tin của họ về vai trị của mình trong các lớp học.
Khi nghiên cứu về thái độ và niềm tin của giáo viên trong dạy chủ đề xác suất,
Steinbring (1990) cho rằng điều quan trọng là giáo viên toán học phải hiểu bản chất
đặc biệt của kiến thức ngẫu nhiên. Trong khi việc dạy toán truyền thống dựa trên số
lượng khái niệm phân cấp và tích lũy, được học theo trình tự tuyến tính. Kiến thức

12


ngẫu nhiên phức tạp hơn nên các vấn đề mang tính hệ thống và ngẫu nhiên phải bao
gồm nhiều hoạt động diễn giải hơn các lĩnh vực khác của toán học. Chẳng hạn, để
hiểu biến ngẫu nhiên là gì, một người cần phải giả định một mơ hình cho tính ngẫu
nhiên, một khái niệm liên quan đến nhiều cách giải thích triết học. Ngồi ra, giáo viên
cũng có quan điểm cá nhân về nội dung và mục tiêu giảng dạy quan trọng là gì, từ đó
việc dạy giúp học sinh nhận được ở cấp độ tương tự. Chương trình giảng dạy có thể
khác nhau đáng kể tùy thuộc vào việc giáo viên có quan điểm tĩnh so với quan điểm
năng động của tốn học hoặc liệu giáo viên có thích dạy tốn chính thức so với các
ứng dụng tốn học hay khơng (Eichler, 2008).
Khi tìm hiểu các nghiên cứu về quan điểm và niềm tin của giáo viên đối với
xác suất, chúng tơi nhận thấy có nhiều nghiên cứu tương đối đáng tin cậy làm thước
đo thái độ về thống kê, như: khảo sát thái độ đối với Thống kê (SATS) (Schau,
Stevens, Dauphinee, & Del Vecchio, 1995), dự án giới thiệu thang đo về tính hiệu

quả của giáo viên (Harrell-Williams, Sorto, Pierce, Lesser, & Murphy, 2014), công cụ
về khung thống kê GAISE (Franklin và cộng sự, 2007)... Tuy nhiên, các nghiên cứu
về thái độ xác suất rất ít. Một cơng cụ đo lường thái độ về xác suất đã được công bố:
Bản kiểm kê thái độ xác suất của Tan, Harji và Lau (2011). Các nhà nghiên cứu
Malaysia này đã tạo ra công cụ này bằng cách lấy Bản kiểm kê thái độ khoa học và
tốn học được cơng bố trực tuyến (Học viện công nghệ Rochester, 1999) và thay
đổi toán học thành xác suất trong các câu hỏi toán học. Mặc dù được xây dựng hiệu
quả, nghiên cứu của họ khơng cung cấp nhiều bằng chứng về tính hợp lệ. Quan niệm
và niềm tin là các thành tố quan trọng trong năng lực dạy học của giáo viên về dạy
học nói chung và về dạy chủ đề xác suất nói riêng. Nhưng chưa có nhiều nghiên cứu
đánh giá về vấn đề này.
1.6. Ghi nhận và đặt vấn đề nghiên cứu
Những năm gần đây giáo dục Việt Nam chuyển từ phương pháp dạy học theo
nội dung sang phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực người học. Với
xu hướng dạy học mới, cần phải chú trọng đến phát triển năng lực dạy học, mà cốt
lõi là các kiểu kiến thức để dạy học toán của giáo viên hiện nay. Việc xem xét đánh

13


giá, phát triển kiến thức của giáo viên để dạy học một chủ đề tốn nào đó là rất cần
thiết và có ý nghĩa, góp phần nâng cao kiến thức và năng lực dạy học của họ.
Tìm hiểu về chương trình tốn học phổ thơng các nước phát triển trên thế giới
như Mĩ, Pháp, chúng tôi nhận thấy họ rất chú trọng đến mạch kiến thức thống kê và
xác suất. Phương pháp dạy học và khái niệm xác suất được giới thiệu rất đa dạng và
phong phú. Đối với chương trình mơn tốn phổ thơng mới sẽ được áp dụng từ năm
2020, Việt Nam cũng đã chú trọng hơn về mạch kiến thức xác suất cả về thời lượng
lẫn nội dung kiến thức.
Nhiều nghiên cứu cũng đã chỉ ra dạy học chủ đề xác suất gặp nhiều chướng
ngại và khó khăn. Trong bối cảnh giáo dục Việt Nam, chưa có nghiên cứu nào quan

tâm đến khía cạnh kiến thức và quan niệm của GV THPT về chủ đề xác suất. Nghiên
cứu kiến thức và quan niệm của GV về xác suất giúp chúng tôi đánh giá được kiến
thức của GV đang ở mức độ nào? Đánh giá mức độ linh hoạt trong vận dụng kiến
thức như thế nào? Họ quan niệm như thế nào về chủ đề xác suất họ đang dạy? Từ đó
cho thấy mức độ đáp ứng của GV về nội dung và phương pháp dạy học chủ để xác
suất trong tình hình mới.
Chính vì thế, nghiên cứu kiến thức và quan niệm của GV THPT về chủ đề xác
suất là vấn đề cần thiết, khoa học, và có ý nghĩa thực tiễn, góp phần chuẩn bị cho việc
triển khai chương trình mơn tốn phổ thơng mới năm 2020.

14


Chƣơng 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1. Các quan niệm khác nhau về xác suất
Quan niệm cổ điển: Các vấn đề xác suất đầu tiên được liên kết với các trò
chơi may rủi, trong đó khả năng trang bị là điều tự nhiên trong nhiều trường hợp. Vì
lý do này, Laplace đề nghị giảm tất cả các sự kiện trong một thử nghiệm ngẫu nhiên
xuống một số trường hợp đồng khả năng xảy ra và coi xác suất đó chỉ là một phân
số có tử số là số các trường hợp thuận lợi và mẫu số là số của tất cả các trường hợp
có thể xảy ra ; xem Laplace (1985, trang 28).
Xác xuất của biến cố A:

( )

( )
( )

Hạn chế của quan điểm này đã được chỉ ra, bởi vì nó chỉ được ứng dụng khi
chơi một trị chơi may rủi, nó khó có thể được tìm thấy các ứng dụng khác ngồi

các trị chơi may rủi.
Quan niệm tần suất: Sự hội tụ của tần suất cho một sự kiện, sau một số
lượng lớn các thử nghiệm ngẫu nhiên giống hệt nhau được quan sát. Bằng chứng
của Bernoulli cho thấy giá trị ổn định tiến gần đến xác suất cổ điển, được hiểu xác
suất là một đặc điểm khách quan của các sự kiện ngẫu nhiên.
Quan niệm tần suất xem rằng xác suất được bao hàm trong chính thực nghiệm
ngẫu nhiên, và xuất hiện như là tần suất ổn định, khi thực nghiệm ngẫu nhiên được
lập lại một cách độc lập trong cùng các điều kiện giống nhau. Quan niệm tần suất
thường được sử dụng khi các điều kiện trong quan niệm cổ điển (quan niệm Laplace)
không thoả mãn, chẳng hạn như điều kiện đồng khả năng của các biến cố sơ cấp.
Quan niệm tần suất có thể được sử dụng cho mọi phép thử và không cần điều kiện
đồng khả năng.
Quan niệm chủ quan: Đối lập với hai quan niệm xác suất ở trên, quan niệm
chủ quan về xác suất cho rằng xác suất của một biến cố ngẫu nhiên là mức độ tin
cậy (của mỗi cá nhân) tiên nghiệm đặt lên tình huống ngẫu nhiên, tiến triển cùng
với dữ liệu thực nghiệm, hướng đến một xác suất có điều kiện (Ramsey, 1926; De
Finetti, 1974). Quan niệm này cho rằng khả năng của một sự kiện luôn liên quan
đến một hệ thống kiến thức nhất định và do đó khơng nhất thiết phải giống nhau đối
15


với tất cả mọi người. Thực tế là các thử nghiệm lặp đi lặp lại khơng cịn cần thiết đã
được sử dụng để mở rộng các ứng dụng của lý thuyết xác suất. Tuy nhiên, tranh cãi
về tình trạng khoa học của các kết quả phụ thuộc vào phán đoán cá nhân vẫn còn.
Quan niệm tiên đề: Trong suốt thế kỷ 20, các nhà toán học đã liên tưởng đến
sự phát triển của lý thuyết toán học về xác suất. Quan điểm của Borel về xác suất
như một loại biện pháp đặc biệt đã được Kolmogorov sử dụng, người đã áp dụng
các tập hợp và lý thuyết đo lường để đưa ra một tập hợp tiên đề thỏa đáng, được các
trường phái chấp nhận bất kể cách giải thích triết học của họ về bản chất của xác
suất. Lý thuyết xác suất đã chứng minh tính hiệu quả của nó trong nhiều trường

hợp.
Xác suất của biến cố A trên không gian mẫu Ω là số p(A)∈ [0 ;1] thỏa
– TĐ1: P(Ω) = 1
– TĐ 2: Nếu A1, …. An xung khắc thì:
P  A1  A2 ...  An   P  A1   P  A2   ...  P  An 

2.2. Các khái niệm liên quan đến xác suất
Tính cân bằng: Như chúng tơi đã đề cập trong phần lịch sử, các tác giả đầu
tiên về xác suất đã viết thường xuyên về các trò chơi may rủi. Đối với các thiết bị
trong các trò chơi may rủi như thẻ bài và súc sắc, nhìn chung mọi kết quả đều được
cho là có cùng xác suất. Ví dụ: nếu có sáu quả bóng trong một túi, các giải pháp được
công bố hầu như luôn cho rằng cơ hội chọn mỗi quả bóng là 1/6. Các kết quả có thể
có như vậy được gọi là cơng bằng . Giả định rằng tất cả các tình huống có kết quả
cơng bằng được gọi là đồng khả năng. Trong các trường hợp khác, các tác giả bao
gồm Laplace đã áp dụng đồng khả năng để đơn giản hóa các tính tốn. Tuy nhiên,
nhiều q trình ngẫu nhiên là không công bằng; mỗi kết quả không xảy ra với cơ hội
như nhau. Trong những tình huống này, khả năng trang bị sẽ dẫn đến câu trả lời
khơng chính xác. Nhiều trẻ nhỏ tin sai các thí nghiệm ngẫu nhiên là ln cơng bằng.
Một nhóm thiểu số đáng kể của học sinh trung học, ngay cả những người có nền tảng
xác suất đáng kể, vẫn tồn tại niềm tin này (Lecoutre, 1992).

16


Sự ngẫu nhiên: Từ ngẫu nhiên có thể được hiểu là lạ hoặc bất thường. Sự
ngẫu nhiên không đến từ một q trình đã biết; nó phát sinh mà khơng biết lý do.
Nhưng trong xác suất, một quá trình trở nên ngẫu nhiên khi không gian mẫu của các
kết quả có thể được biết và phân phối xác suất được xác định dựa trên các khả năng
trong không gian mẫu. Kết quả cá nhân là khơng ảnh hưởng, nó được biết đến từ một
phân phối thường xuyên. Xây dựng một biến ngẫu nhiên khơng phải là hỗn loạn hoặc

khơng có kế hoạch. Ví dụ, tung con súc sắc 6 mặt một lần ta có khơng gian mẫu là
{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Khi đó ta có thể thu được kết quả là mặt 1 chấm, hoặc mặt 2 chấm,
hoặc mặt 3 chấm … hoặc mặt 6 chấm xuất hiện. Hoặc ta được kết quả là mặt chẵn
chấm xuất hiện hoặc mặt lẻ chấm xuất hiện….Khơng có trường hợp mặt 0 chấm hoặc
7 chấm … xuất hiện. Tất cả các trường hợp xảy ra hoặc không xảy ra của việc tung
con súc sắc đều được gọi là sự ngẫu nhiên.
Độc lập: Một thuật ngữ khác đòi hỏi sự chú ý cẩn thận đến các định nghĩa là
sự độc lập . Đối với xác suất của các sự kiện, các từ phụ thuộc và độc lập có cùng ý
nghĩa như chúng đã xuất hiện trong những năm 1700. Hai sự kiện phụ thuộc nếu xác
suất của một trong hai sự kiện xảy ra bị thay đổi bởi sự xảy ra của sự kiện kia (De
Moivre, 1756, p. 6). Hai sự kiện là độc lập nếu sự xuất hiện của một sự kiện không
ảnh hưởng đến xác suất của sự kiện kia. Khi hai sự kiện A và B độc lập, xác suất của
chúng bằng tích của các xác suất riêng lẻ: P(AB) = P(A).P(B). Khi các sự kiện có xác
suất khác khơng, tính độc lập cũng có thể được thể hiện một cách có điều kiện; xác
suất có điều kiện của sự kiện A, với sự xuất hiện của sự kiện B, phải bằng xác suất vô
điều kiện của Sự kiện A: P ( A | B ) = P ( A ).
2.3. Xác suất có điều kiện
Thực ra mọi xác suất P(A) đều có điều kiện, vì sự kiện A (biến cố A) xảy ra
khi thực hiện một bộ điều kiện xác định. Tuy nhiên, nếu ngoài bộ điều kiện đó ra cịn
có thêm điều kiện khác thể hiện bằng việc xuất hiện B nào đó, thì người ta đưa ra một
khái niệm mới: xác suất có điều kiện của A biết rằng đã xảy ra B, ký hiệu là P  A B  .
Bằng trực giác ta cũng thấy rằng khi có B với P(B) > 0 thì nói chung khả năng xuất
hiện A cũng thay đổi. Đặc biệt nếu AB = ∅ thì khả năng đó triệt tiêu, cịn nếu B ⇒A
thì khả năng đó trở thành tất yếu. Vậy với điều kiện đã có B, người ta xác định khả

17


năng xuất hiện A nào đó là tỉ lệ với P(AB), tức là số có dạng kP(AB), k > 0. Để xác
định hằng số k, ta chọn A = B. Khi đó P  B B  = 1 mà P  B B  = P  A B  = k. P(AB)

= k.P(B) =1 suy ra k 
P  A B 

1
. Vậy xác suất của biến cố A với điều kiện B là
P  B

P  AB 
.
P  B

CƠNG THỨC XÁC SUẤT CĨ ĐIỀU KIỆN: Xác suất của biến cố A với điều kiện B là
P  A B 

P  AB 
P  B

Từ công thức có điều kiện ta suy ra cơng thức nhân xác suất và cơng thức cộng xác
suất
CƠNG

THỨC

NHÂN

XÁC

P  AB   P  A P  B A  P  B  P  A B 

SUẤT:

Đặc biệt: Nếu A, B là hai sự kiện độc lập thì P  A B  = P(A) hoặc P  B A  P  B  nên
ta có
P(AB) =P(A).P(B)

CƠNG

THỨC

CỘNG

XÁC

Nếu A, B là hai sự kiện sung khắc

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)

P(A+B) = P(A) + P(B)

SUẤT:

thì

Nếu trong một phép thử có khơng gian mẫu là Ω ta có nhóm các sự kiện A1, A2 ,… An
xung khắc từng đôi một và A1∪A2∪,…∪An = Ω (được gọi là nhóm đầy đủ). Sau đó có
thêm sự kiện H nào đó: Ta có H=
A1H+A2H+…AnH =∑

Ai

P( H )  i 1 P  Ai  P  H Ai 
n

18