DE THI HSG TOAN 8 CO DAP AN

<span class='text_page_counter'>(1)</span>C©u I: (2 ®iÓm) 1  x 1  1 A  2  : 2   x  x x  1  x  2x  1 a) Rót gän biÓu thøc: 3 2 b) Xác định các hệ số a, b để đa thức f(x) = x  ax  b chia hết cho đa thức x  x  6 C©u II: (2 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 15x 12 4   1 2 a) x  3x  4 x  4 x  1 x x  2   x  1  x  1 24 b)  C©u III: (2 ®iÓm) 1 1 1   0 x y z a) Cho x, y, z là các số khác không và đôi một khác nhau thỏa mãn: . yz xz xy A 2  2  2 x  2yz y  2xz z  2xy . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x 2  2x  2011 x2 b) Cho biÓu thøc M = víi x > 0 Tìm x để M có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. C©u IV: (3 ®iÓm )  1200 . Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB, hai đờng Cho h×nh thoi ABCD cã BAD th¼ng DM vµ BC c¾t nhau t¹i N, CM c¾t AN t¹i E. Chøng minh r»ng: 2 a) AMD ∽ CDN vµ AC AM.CN b) AME ∽ CMB . C©u V: (1 ®iÓm) 3 3 5 5 2 2 Cho a , b lµ c¸c sè d¬ng tháa m·n: a  b a  b . Chøng minh r»ng: a  b 1  ab. §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm: Néi Dung. PhÇn §KX§ a) Rót gän A: 1®. 1  x 1  1 A  2   : x 2  2x  1 x  x x  1    1 1  x 1 A   :  x  x  1 x  1   x  1 2  . b) 1®. a) 1®. A. 1  x  x  1 . x  x  1 x  1. A. x 1 x. §iÓm 0,25 ® ,25 ® 0,25 ®. 2. 2 f(x) chia hÕt cho x  x  6  f(x) chia hÕt cho (x + 3)(x -2)  f(- 3) = 0   3a  b 27 (1) T¬ng tù ta cã f(2) = 0  2a  b  8 (2) Trừ hai vế của (1) cho (2) ta đợc: - 5a = 35  a  7 Thay a = - 7 vào (1) tìm đợc b = 6 §KX§: x  4 ; x 1. 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ®. 0,25 ®.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 15x 12 4   1 x  3x  4 x  4 x  1 15x 12 4    1  x  4  (x  1) x  4 x  1. 0,25 ®.  15x 12  x  1  4  x  4   x 2  3x  4. 0,25 ®. 2. 0,25 ®. 2.  x  4x 0  x 0  x  x  4  0    x  4. x = 0 (tháa m·n ®/k) ; x = - 4(kh«ng tháa m·n ®/k) VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = 0. b) 1®. x  x  2   x  1  x  1 24.  x  x  1  x  2   x  1 24. . . 2. 0,25 ®. . 2.  x  x x  x  2 24 2 §Æt x  x = t . Ph¬ng tr×nh trë thµnh: t  t  2  24. 0,25 ®.  t 2  2t  24 0 Giải phơng trình tìm đợc t = - 4 ; t = 6. 0,25 ® 2. 1  15   x 2  x  4 0   x    0 2 4 4  * Víi t = - 4 => x  x  4 (ph¬ng. 0,25 ®. tr×nh v« nghiÖm).   * Víi t = 6 => Giải phơng trình đợc: x= - 2 ; x = 3. x 2  x 6  x  2 x  3 0. a) 1®. 1 1 1 yz  xz  xy   0  0  yz  xz  xy 0 xyz Tõ gi¶ thiÕt: x y z (v×. x,y,z >0).  yz  xy  xz  x 2  2yz x 2  yz  xy  xz  x  z   x  y  2 T¬ng tù ta cã: z  2xy =  z  x   z  y  y 2  2xz =  y  z   y  x . A. Khi đó:. b) 1®. Ta cã:. yz xz xy    x  z   x  y  y  z   y  x  z  x   z  y. . yz  y  z   xz  z  x   xy  x  y   x  z  x  y  y  z. . yz  y  z   xz  x  z   xy   x  z    y  z    x  z  x  y  y  z. . yz  y  z   xz  x  z   xy  x  z   xy  y  z   x  z  x  y  y  z. . x x  z  y  z  y y  z  x  z  x  z  x  y  y  z. .  x  z   x  y   y  z  1  x  z   x  y  y  z . x 2  2x  2011 2011x 2  2.2011x  20112  x2 2011x2 M=. 0,25 ®. 0,25 ®. 0,25 ®. 0,25 ®. 0,25 ® 0,25 ®.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> . 0,25 ®. x 2  2.2011x  1  20112  2010x 2 2011x 2.  x  2011  DÊu “=” xÊy ra. 2. 2.  2010x 2  x  2011 2010 2010    2 2 2011x 2011x 2011 2011 2   x  2011 0  x 2011. 0,25 ®. (tháa m·n). VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ. 2010 2011. đạt đợc khi x 2011. A E M. N B. D. 0,25 ®. C. a) 1,5 ®. 0,25 ® 0,25 ®.  AMD vµ  CDN cã   AMD CDN. * XÐt. ( so le trong).   ADM CND ( so le trong)   AMD ∽  CDN ( g. g ) * V×  AMD ∽  CDN  AM . CN = AD . CD 0 0   V× BAD 120  CAD 60  ACD  AD = CD = AC  AM . CN = AC. 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ®. đều. 2. V× AM . CN = AC2 theo (a) AM AC   AC CN. 0,25 ®. 0   Chøng minh MAC ACN 60   MAC ∽  CAN ( c . g . c)    ACM CNA   ACM  ECN 600. 0,25 ® 0,25 ®. b) 1,25 ® Mµ. 0,25 ®.   CNA  ECN 600  AEC 600 XÐt AME vµ CMB cã     AME BMC MBC 600 ( đối đỉnh); AEM  AME ∽ CMB ( g . g)  . 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ®. a 2  b2 1  ab  a 2  b 2  ab 1. . .   a  b  a 2  b2  ab  a  b  3. 1®. 0,25 ®. 3.  a  b a  b. . . . .  a 3  b3 a 3  b3  a  b  a 5  b 5 3 3. 5. 5.  2a b ab  a b.   ab  a. .  ab a 4  2a 2 b 2  b 4 0 2.  b2. . 2. 0. đúng.  a, b > 0. . 0,25 ®.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Ví dụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu: 2. 2. a b c x y z + + =0 ; + + =1 thì x y z a b c. 2. x y z + 2 + 2 =1 2 a b c a b c ayz+ bxz+ cxy + + =0⇒ =0 ⇒ ayz+ bxz+cxy =0 Giải: x y z xyz x y z x y z 2 + + =1 ⇒ + + a b c a b c 2 2 2 x y z ayz+ bxz +cxy + 2 + 2 + 2. =1 2 abc a b c x2 y2 z2 ⇒ 2 + 2 + 2 =1 a b c ;. (. ). 1.. Phân tích đa thức thành nhân tử : a. x 2 − x −12 b. x 2+ 8 x +15 c. x 2 −6 x −16 d. x 3 − x 2 + x +3 2. Phân tích đa thức thành nhân tử : 2 2 ( x − x ) −2 ( x 2 − x ) −15 . 3. Phân tích đa thức thành nhân tử 1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x - y)a3. 2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc. 3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz. 4. Tìm x,y thỏa mãn: x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14. 5. Cho a +| b + c + d = 0. Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd). 6. Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2). 7. Chứng minh rằng với x,y nguyên thì : A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) là số chính phương. 8. Biết a - b = 7. Tính giá trị của biểu thức sau: a2 ( a+1 ) −b 2 ( b − 1 )+ ab −3 ab ( a − b+1 ). 9.. ¿ x + y + z=1 2 2 2 x + y + z =1 Cho x,y,z là 3 số thỏa mãn đồng thời: 3 3 3 . Hãy tính giá trị biếu thức x + y + z =1 ¿ {{ ¿ P = ( x − 1 )17 + ( y −1 )9 + ( z −1 )1997 .. 10. a.Tính 12 − 22+3 2 − 4 2+. ..+ 992 − 1002+ 1012 . b.Cho a + b + c = 9 và a2 + b2 + c2 = 53. Tính ab + bc + ca. 11. Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Hãy tính giá trị của Biếu thức : S = (x-1) 2005 + (y - 1)2006 + (z+1)2007 12.. Cho 3 số a,b,c thỏa điều kiện :. Tính Q = (a25 + b25)(b3 + c3)(c2008 - a2008). 1. Phân tích đa thức thành nhân tử : a. x 2 − x −12= ( x − 4 ) ( x+ 3 ) c. x 2 −6 x −16=( x+ 2 )( x −8 ) 2. Phân tích đa thức thành nhân tử :. 1 1 1 1 + + = . a b c a+b+ c b. d.. x 2+ 8 x +15=( x+3 )( x +5 ) x 3 − x 2 + x +3=( x +1 ) ( x 2 −2 x +3 ).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 2. ( x 2 − x ) −2 ( x 2 − x ) −15=( x 2 − x −5 )( x2 − x +3 ). .. 3. Phân tích đa thức thành nhân tử 1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x-y)a3. ¿ ( x − y )( x − a )( y −a )( x + y +a ) 2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc. ¿ ( a+b )( b+c ) ( c+ a ) 3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz. ( x+ y )( y + z ) ( z+ x ) x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14. 4.. ⇔ ( x −1 )2+ ( 2 y −3 )2∨+ ( z − 2 )2 5. Từ a + b + c + d = 0 ⇒ ( a+ b )3=− ( c+ d )3 Biến đổi tiếp ta được :a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd). x3 + y 3 + z 3=3 xyz ⇒ 3 3 3 ( x + y + z )( x 2 + y 2 + z 2 )=3 xyz ( x 2+ y 2 + z 2 ) ⇔ x 5+ y 5+ z 5 − xyz ( xy+ yz+ zx ) =3 xyz ( x 2 + y 2 + z 2) 6. Nếu x + y + z = 0 thì : ⇔ 2 ( x 5+ y 5+ z5 ) −2 xyz ( xy + yz+zx )=6 xyz ( x 2 + y 2 + z 2) ; () −2 xyz ( xy +yz +zx )=xyz ( x 2+ y 2+ z 2 ) Nhưng: ( x+ y+ z )2 =0 ⇒−2 xyz ( xy +yz +zx )=x 2 + y 2+ z2 (**) Thay (**) vào (*) ta được: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2). 7.. Với x,y nguyên thì : A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) 2. ¿ ( x 2+5 xy+ 5 y 2 ). a2 ( a+1 ) −b 2 ( b − 1 )+ ab −3 ab ( a − b+1 )=( a− b )2 ( a −b+ 1 ) ¿ x + y + z=1 x 3+ y3 + z 3=1 ⇒ ( x + y + z )3 − x 3 − y 3 − z 3=3 ( x+ y )( y + z ) ( z+ x ) ¿{ ¿. 8.. Biến đổi. 9.. Từ. x+ y=0 ¿ y + z=0 ¿ z+ x=0 ¿ ¿ ¿ ¿. ⇒ P=− 2. 10.. 11.. Sử dụng hằng đẳng thức a2 - b2 ; S -=5151 Sử dụng hằng đẳng thức (a + b + c)2; P = 14 Từ giả thiết suy ra: x2 + y2 + z2 = 0 suy ra : x = y = z = 0;S = 0. 12.. Từ:. a. b.. Tính được Q = 0. 1 1 1 1 + + = . : (a + b)(b + c)(c + a) = 0 a b c a+b+ c.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>