Về kiểu đa thức dạy của mô đun hữu hạn sinh trên vành noether địa phương (luận văn thạc sĩ toán học)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN THỊ HUYỀN THƢƠNG

VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY
CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH
NOETHER ĐỊA PHƢƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN THỊ HUYỀN THƢƠNG

VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY
CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH
NOETHER ĐỊA PHƢƠNG
Ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 8 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ h

khoa học: GS.TS. Lê Thị Thanh Nhàn

THÁI NGUYÊN - 2020


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi xin cam đoan mọi sự giúp đỡ
cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thơng tin trích dẫn
trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, tháng 09 năm 2020
Tác giả

Nguyễn Thị Huyền Thƣơng

i


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tụy của Cô giáo, GS.
TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới cơ.
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể các thầy cơ giáo trong
khoa Tốn, Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã dạy bảo, tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này tơi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã ln
động viên, giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập và thực hiện luận văn tốt
nghiệp.
Thái Nguyên, tháng 09 năm 2020
Tác giả

Nguyễn Thị Huyền Thƣơng

ii


Mục lục

Lời cam đoan.................................................................................................................................................................

i

Lời cảm ơn........................................................................................................................................................................

ii

Mục lục .................................................................................................................................................................................

iii

Mở đầu ..................................................................................................................................................................................

1

Chƣơng 1 Kiểu đa thức của môđun ..................................................................................................

3

1.1 Chiều và độ sâu của môđun ...................................................................................................

3

1.2 Môđun đối đồng điều địa phương ...................................................................................

8

1.3 Vành và môđun Cohen – Macaulay ..............................................................................

11

1.4 Kiểu đa thức của môđun ............................................................................................................

20

Chƣơng 2 Kiểu đa thức dãy của môđun .....................................................................................

29

2.1 Lọc chiều của môđun ....................................................................................................................

29

2.2 Vành và môđun Cohen – Macaulay dãy ..................................................................

34

2.3 Kiểu đa thức dãy của môđun ................................................................................................

38

2.4 Kiểu đa thức dãy qua đầy đủ và địa phương hóa ............................................

44

Kết luận................................................................................................................................................................................

49

Tài liệu tham khảo..................................................................................................................................................

50

iii


Mở đầu
Cho (R, m) là vành Noether địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh
với dim(M ) = d. Ta ln có dimR (M ) ≥ depthR (M ). Nếu dimR (M ) =
depthR (M ) thì ta nói M là Cohen-Macaulay. Lớp mơđun Cohen-Macaulay
đóng vai trị trung tâm trong Đại số giao hoán và xuất hiện trong nhiều lĩnh
vực khác nhau của Tốn học. Lớp mơđun này đã được đặc trưng thông qua
những lý thuyết quen biết như địa phương hóa, đầy đủ hóa, số bội, đối đồng
điều địa phương. Để phân loại cấu trúc của các môđun hữu hạn sinh trên
vành địa phương, N. T. Cuong [3] năm 1992 đã giới thiệu khái niệm kiểu đa
thức của môđun M , ký hiệu là p(M ), thông qua các hiệu số giữa độ dài và
số bội ứng với lũy thừa của các phần tử của một hệ tham số của M . Nếu ta
quy ước bậc của đa thức 0 là −1 thì M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi
p(M ) = −1. Khi M không là Cohen-Macaulay, p(M ) được xem là khoảng
cách từ M đến lớp môđun Cohen-Macaulay. Theo nghĩa nào đó, p(M ) càng
lớn thì cấu trúc của M càng xa với cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay.
Một tính chất quan trọng của mơđun Cohen-Macaulay là tính chất
khơng trộn lẫn. Cụ thể, nếu M là Cohen-Macaulay thì dim(R/p) = d với
mọi p ∈ AssR (M ). Để nghiên cứu các môđun trộn lẫn M , người ta xét

đến lọc chiều của M , đó là dãy các mơđun con {Di }, trong đó D0 = M
và Di là mơđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn dimR (Di−1 ) với mọi
i ≥ 1. Ta nói M là Cohen-Macaulay dãy nếu mỗi thương Di−1 /Di là CohenMacaulay. Rõ ràng mỗi môđun M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M
là môđun Cohen-Macaulay dãy và 0 ⊂ M là lọc chiều của M . Khái niệm
môđun Cohen-Macaulay dãy lần đầu được giới thiệu bởi R. Stanley năm
1996 cho các mơđun hữu hạn sinh phân bậc, sau đó được nghiên cứu bởi
P. Schenzel [10] và N. T. Cuong, L.T. Nhan [4] cho trường hợp môđun hữu
hạn sinh trên vành địa phương. Để mở rộng khái niệm kiểu đa thức một
cách tự nhiên, năm 2016, L. T. Nhan, T. D. Dung và T. D. M. Chau [8] đã
định nghĩa kiểu đa thức dãy của M , ký hiệu là sp(M ), là số lớn nhất trong
các kiểu đa thức p(Di−1 /Di ). Rõ ràng, M là Cohen-Macaulay dãy khi và
chỉ khi sp(M ) = −1. Khi M không là Cohen-Macaulay dãy, sp(M ) được
xem như là khoảng cách từ môđun M đến lớp mơđun Cohen-Macaulay dãy.
Mục đích của luận văn là nghiên cứu kiểu đa thức dãy của môđun hữu
hạn sinh trên vành Noether địa phương. Trong luận văn này, chúng tơi trình
bày chi tiết một số kết quả trong bài báo [8]: A measure of non-sequential
1


Cohen-Macaulayness of finitely generated modules, J. Algebra, 468 (2016),
275-295. Để tiện theo dõi và đối sánh, luận văn cũng trình bày chi tiết các
kết quả về kiểu đa thức trong bài báo của N. T. Cuong [3]. Trong suốt luận
văn, bên cạnh các khái niệm và kết quả, tác giả của luận văn đưa ra nhiều
ví dụ minh họa cụ thể.
Luận văn gồm 2 chương. Chương 1 trình bày kiểu đa thức của môđun.
Trong các tiết đầu của Chương 1, chúng tôi nhắc lại kiến thức cần thiết về
chiều, độ sâu, môđun đối đồng điều địa phương. Tiết 1.4 dành để làm rõ
cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay và các môđun liên quan. Tiết 1.5 giới
thiệu khái niệm kiểu đa thức và các kết quả đã biết về kiểu đa thức trong
bài báo của N. T. Cuong [3].

Chương 2 là nội dung chính của luận văn, trình bày kiểu đa thức dãy
của môđun. Tiết 2.1 bàn về lọc chiều của môđun. Tiết 2.2 trình bày khái
niệm mơđun Cohen-Macaulay dãy và các tính chất của mơđun này. Tiết 2.3
giới thiệu khái niệm kiểu đa thức dãy và các kết quả về kiểu đa thức dãy
trong bài báo [8].

2


Chương 1
Kiểu đa thức của môđun
Mục tiêu của chương này là trình bày khái niệm kiểu đa thức của mơđun
được giới thiệu bởi N. T Cuong [3] và các tính chất của kiểu đa thức trong
mối liên hệ với chiều của đồng điều địa phương của mơđun đó.

1.1

Chiều và độ sâu của môđun

Trong suốt tiết này, cho R là vành giao hốn Noether và M là R-mơđun
hữu hạn sinh. Để tiện theo dõi, trước khi trình bày khái niệm vành và môđun
Cohen-Macaulay, chúng ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất về chiều,
độ sâu.
Khái niệm chiều Krull sau đây được định nghĩa cho các vành giao hoán
Noether và các mơđun hữu hạn sinh trên vành giao hốn Noether (không
nhất thiết là vành địa phương). Đặt AnnR (M ) = {x ∈ R | xM = 0}. Khi
đó AnnR (M ) là iđêan của R.
Định nghĩa 1.1.1. Một dãy các iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ · · · ⊂ pn của

R, trong đó pi = pi+1 với mọi i, được gọi là một dãy nguyên tố độ dài n.

Chiều Krull của R (gọi tắt là chiều của R), ký hiệu là dim(R), là cận trên
của các độ dài của các dãy nguyên tố trong R. Chiều của môđun M , ký
hiệu là dimR (M ), được định nghĩa là chiều của vành R/ AnnR (M ).
Vành Z các số ngun có chiều bằng 1 vì các iđêan nguyên tố của vành
này là 0 và pZ với p là số nguyên tố. Vành Z12 có chiều bằng 0 vì vành này
chỉ có hai iđêan ngun tố (cũng là tối đại), đó là 2Z12 và 3Z12 .
3


Chú ý rằng vành giao hốn Noether có thể có chiều vô hạn. Chẳng
hạn, cho T = k[x1 , · · · , xn , · · · ] là vành đa thức vô hạn biến trên trường
k. Gọi m1 , · · · , mn , · · · là dãy các số nguyên dương sao cho mi − mi−1 <
mi+1 − mi với mọi i. Gọi pi là iđêan nguyên tố của T sinh bởi các biến xj
với mj ≤ j ≤ mj+1 . Gọi S là giao của các phần bù của tất cả các pi , tức là
S = (R \ pi ). Khi đó vành địa phương hóa TS là vành giao hốn Noether
i∈N

có chiều vơ hạn (theo Ví dụ 1, phần Phụ lục A1, cuốn sách Vành địa phương
của M. Nagata).
Vành Noether địa phương ln có chiều hữu hạn (xem Hệ quả 1.3.7).
Vì thế chiều của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương luôn là số hữu
hạn.
Với mỗi iđêan I của R, ta kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của
R chứa I. Vì M là hữu hạn sinh nên ta có SuppR (M ) = VarR (AnnR (M )).
Do R là vành Noether nên ta có min SuppR (M ) = min AssR (M ) (theo [7,
Định lý 6.5]). Vì thế min AssR (M ) = min Var(AnnR (M )). Do đó chiều của
mơđun M có thể được tính thơng qua chiều của các iđêan nguyên tố liên
kết như sau

dimR (M ) = max{dim(R/ p) | p ∈ AssR (M )}.

Tiếp theo là mối liên hệ giữa chiều của M và đầy đủ m-adic M của M.
Nhắc lại rằng họ các R-môđun con {mn M }n=1,2,... của M làm thành một
cơ sở lân cận của 0 trong M. Cơ sở này của 0 xác định trên M một tôpô gọi
là tơpơ tuyến tính m-adic sinh bởi họ {mn M }n=1,2,... . Khi M được trang bị
một tơpơ, ta có thể định nghĩa các dãy Cauchy trên M tương tự trên tập các
số thực như sau. Một dãy các phần tử (xn ) của M được gọi là dãy Cauchy
nếu với mọi N ∈ N, tồn tại n(N ) ∈ N thỏa mãn xn+1 − xn ∈ mN M, với
mọi n ≥ n(N ). Ta nói hai dãy (xn ), (yn ) các phần tử của M là tương đương,
kí hiệu là (xn ) ∼ (yn ), nếu với mọi N ∈ N, tồn tại n(N ) ∈ N thỏa mãn
xn − yn ∈ mn M với mọi n ≥ n(N ). Ký hiệu X là tập các dãy Cauchy của
M . Dễ dàng kiểm tra được quan hệ ∼ là một quan hệ tương đương trên X .
Ta gọi tập thương M := X/ ∼ là đầy đủ m-adic của M. Trên M , với mỗi
(xn ), (yn ) ∈ M , với mỗi r ∈ R, ta định nghĩa hai phép toán sau

(xn ) + (yn ) = (xn + yn ),
r.(xn ) = (r.xn ).
Dễ dàng kiểm tra được với hai phép tốn này M có cấu trúc R-mơđun. Nếu
M = R thì R được gọi là vành đầy đủ m-adic của R. Hơn nữa, M là một R4


mơđun. Khi đó mối liên hệ giữa chiều của M và M là dimR (M ) = dimR (M ),
xem [7].
Ví dụ 1.1.2. Cho k là một trường. Ký hiệu R1 := k[x1 , · · · , xd ] là vành đa
thức và R2 := k[[x1 , · · · , xd ]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức d biến
trên trường k. Chú ý rằng R1 không là vành địa phương, R2 là vành địa
phương với iđêan cực đại duy nhất là (x1 , · · · , xd ) và R2 là vành đầy đủ
của vành địa phương (R1 )(x1 ,··· ,xd ) . Khi đó ta có dim(R1 ) = dim(R2 ) = d và

dim(Z[x1 , · · · , xd ]) = d + 1 (theo [7, Định lý 15.4]). Ta có
dim(R2 ) = dim(R1 )(x1 ,··· ,xd ) = d.

Với d ≥ 3, M = R2 /(x1 , x22 ) ∩ (x53 ) thì AssR2 (M ) = {(x1 , x2 ), (x3 )}. Vì thế

dimR2 (M ) = max{dim(R2 /(x1 , x2 )), dim(R2 /(x3 ))} = d − 1.
Định nghĩa 1.1.3. Một phần tử x ∈ R được gọi là ước của 0 đối với
môđun M nếu tồn tại m ∈ M , m = 0 sao cho xm = 0. Một dãy các
phần tử x1 , · · · , xt của vành R được gọi là một M -dãy chính quy có độ
dài t nếu M = (x1 , · · · , xt )M và mỗi xi không là ước của 0 đối với môđun

M/(x1 , · · · , xi−1 )M .
Chú ý rằng khi (R, m) là vành địa phương, mỗi hoán vị của M -dãy chính
quy là M -dãy chính quy (điều này khơng cịn đúng khi vành cơ sở khơng là
vành địa phương), xem [7].
Cho R := k[[x, y, z]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức với k là một
trường. Khi đó x, y, z là một R-dãy chính quy, trong khi đó dãy x, x + y, y
khơng là dãy chính quy vì y là ước của 0 trong R/(x, x + y) = R/(x, y).
Trong trường hợp đơn giản, ta có thể dùng định nghĩa để kiểm tra một dãy
phần tử có là dãy chính quy. Trong trường hợp tổng quát, ta biết rằng tập
các ước của 0 đối với M là hợp của các iđêan nguyên tố liên kết của M , điều
này hỗ trợ cho việc xem xét một dãy phần tử có là chính quy hay khơng.
Ví dụ sau minh họa điều này.
5


Ví dụ 1.1.4. Với R := k[[x, y, z]] và M = R/(x2 , z 5 ) ∩ (y 3 , z 2 ) thì x + y là
phần tử M -chính quy. Thật vậy, vì AssR (M ) = {(x, z), (y, z)} và x + y ∈
/

(x, z), x + y ∈
/ (y, z) nên x + y không là ước của 0 đối với M . Rõ ràng
M = (x + y)M . Vì thế x + y là M -chính quy.

Định nghĩa 1.1.5. Cho I là một iđêan của R. Một dãy các phần tử

x1 , · · · , xt ∈ I được gọi là một M -dãy chính quy tối đại trong I nếu
x1 , · · · , xt là M -dãy chính quy và không tồn tại phần tử y ∈ I sao cho
x1 , · · · , xt , y là M -dãy chính quy.
Cho I là một iđêan của R. Chú ý rằng mỗi M -dãy chính quy trong I
đều có thể mở rộng thành một M -dãy chính quy tối đại trong I . Hơn nữa,
các M -dãy chính quy tối đại trong I đều có chung độ dài (xem [7]). Độ dài
chung này được gọi là độ sâu của M trong I và được ký hiệu là depth(I, M ).
Khi (R, m) là vành địa phương, độ sâu của M trong m được gọi là độ sâu
của M và được ký hiệu là depthR (M ).
Từ đây đến hết tiết này, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa
phương và M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều dimR (M ) = d.
Nhận xét 1.1.6. Theo Bổ đề Nakayama, nếu M = 0 và I là iđêan chứa
trong m thì M = IM . Vì thế một dãy x1 , · · · , xt ∈ m là M -dãy chính quy
nếu và chỉ nếu mỗi xi không là ước của 0 đối với môđun M/(x1 , · · · , xi−1 )M .
Vì tập các ước của 0 đối với M là hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M ,
nên một phần tử x ∈ m là phần tử M -chính quy nếu và chỉ nếu x ∈
/ p với
mọi p ∈ AssR (M ). Do đó depthR (M ) = 0 nếu và chỉ nếu m ∈ AssR (M ). Rõ
ràng nếu x là phần tử M -chính quy thì depthR (M/xM ) = depthR (M ) − 1.
Sau đây là một số tính chất của độ sâu.
Bổ đề 1.1.7. depthR (M ) ≤ dim(R/ p) với mọi p ∈ AssR (M ). Đặc biệt,

depthR (M ) ≤ dimR (M ).
Chứng minh. Ta ln có dimR (M ) = max{dim(R/ p) | p ∈ AssR (M )}.
Ta sẽ chứng minh depth(M ) ≤ dim(R/ p) với mọi p ∈ AssR (M ). Thật
6

vậy, cho p ∈ AssR (M ). Ta chứng minh bằng quy nạp theo dim(R/ p). Nếu

dim(R/ p) = 0 thì m = p và do đó m ∈ AssR (M ). Theo Nhận xét 1.1.6, ta
có depthR (M ) = 0.
Giả sử dim(R/ p) > 0. Nếu m ∈ AssR (M ) thì theo chứng minh trên
ta có depthR (M ) = 0, do đó kết quả là đúng. Giả sử m ∈
/ AssR (M ). Theo
Định lý tránh nguyên tố, tồn tại a ∈ m sao cho a ∈
/ p với mọi p ∈ AssR (M ).
Do đó a là M -chính quy. Ta khẳng định rằng tồn tại q ∈ AssR (M/aM ) sao
cho q ⊇ p +Ra. Giả sử ngược lại, khi đó p ⊆ q với mọi q ∈ AssR (M/aM ).
Khi đó, theo Định lý tránh nguyên tố, tồn tại phần tử b ∈ p sao cho

b ∈
/ q với mọi q ∈ AssR (M/aM ). Ta suy ra b là phần tử M/aM -chính
quy. Vì thế dãy a, b là M -dãy chính quy. Vì hốn vị của dãy chính quy
là dãy chính quy nên b, a cũng là M -dãy chính quy. Vì thế b là M -chính
quy. Do p ∈ AssR (M ) nên b ∈
/ p. Điều này là vô lý, khẳng định được
chứng minh. Do vậy tồn tại q ∈ AssR (M/aM ) sao cho aR + p ⊆ q. Vì

a ∈
/ p nên dim(R/ q) < dim(R/ p). Vì thế theo giả thiết quy nạp ta có
depthR (M/aM ) ≤ dim(R/ q) < dim(R/ p). Theo Nhận xét 1.1.6, ta có
depthR (M ) = depthR (M/aM ) + 1 ≤ dim(R/ q) + 1 ≤ dim(R/ p).

Mệnh đề sau đây cho ta cơng thức tính độ sâu của môđun khi chuyển
qua đầy đủ m-adic và mở rộng chuỗi luỹ thừa hình thức (xem [7]).
Mệnh đề 1.1.8. Cho I là iđêan của R. Các phát biểu sau là đúng.
(i) depthR (I, M ) = depthR (I R, M );

(ii) depth(R[[x1 , · · · , xt ]]) = t + depth(R).

7


Ví dụ 1.1.9. Cho R = k[[x, y, z]] với k là trường. Với M := R/(x2 , z) ∩

(y, z) và N = R/(x2 ) ∩ (y, z 2 ), ta có dimR (M ) = depthR (M ) = 1 và
dimR (N ) = 2, depthR (N ) = 1. Thật vậy, vì AssR (M ) = {(x, z), (y, z)}
nên dimR (M ) = 1. Do x + y ∈
/ (x, z) và x + y ∈
/ (y, z) nên x + y là M -chính
quy. Suy ra depthR (M ) > 0. Vì thế dimR (M ) = depthR (M ) = 1. Tương
tự, ta có AssR (N ) = {(x); (y, z)}. Vì thế

dimR (N ) = max{dimR (R/(x), dimR (R/(y, z))} = 2.
Vì depthR (N ) ≤ dimR (R/ p) với mọi p ∈ AssR (N ) nên depthR (N ) ≤ 1. Do

x+y ∈
/ (x) và x + y ∈
/ (y, z) nên x + y là N -chính quy. Vậy depthR (N ) = 1.

1.2

Môđun đối đồng điều địa phương

Trong tiết này ta nhắc lại khái niệm và một số tính chất của mơđun đối
đồng điều địa phương trình bày trong cuốn sách [1].
Định nghĩa 1.2.1. Cho I là iđêan của R và L, N là các R-môđun. Đặt

ΓI (L) =

n≥0 (0 :L

I n ). Cho f : L → N là đồng cấu giữa các R-môđun và

f ∗ : ΓI (L) → ΓI (N ) là đồng cấu cảm sinh từ f cho bởi f ∗ (x) = f (x) với
mọi x ∈ ΓI (L). Khi đó, ΓI (−) là một hàm tử hiệp biến, tuyến tính, khớp
trái từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các R-môđun. Hàm tử ΓI (−)
được gọi là hàm tử I -xoắn.
Định nghĩa 1.2.2. Một R-môđun L được gọi là môđun nội xạ nếu với mỗi
đơn cấu f : N −→ N và mỗi đồng cấu g : N −→ L, luôn tồn tại đồng cấu h:

N −→ L sao cho g = hf. Một giải nội xạ của R-môđun L là một dãy khớp
các R-môđun
α

f0

f1

f2

0 −→ L−→E0 −→E1 −→E2 −→ . . .
8


trong đó mỗi Ei là một mơđun nội xạ. Chú ý rằng mọi mơđun đều có giải
nội xạ.
Định nghĩa 1.2.3. Cho L là một R-môđun và I là iđêan của R. Môđun

dẫn suất phải thứ i của hàm tử I -xoắn ΓI (−) ứng với M được gọi là môđun
đối đồng điều địa phương thứ i của L với giá I và được ký hiệu là HIi (L).
Để tính mơđun HIi (L) ta lấy một giải nội xạ của L
f0

α

f1

f2

0 −→ L−→E0 −→E1 −→E2 −→ . . .
rồi tác động hàm tử I -xoắn vào ta được đối phức
f∗

f∗

f∗

0
1
2
0 −→ ΓI (E0 )−→Γ
I (E1 )−→ΓI (E2 )−→ . . . .

∗
), với mỗi i ≥ 0. Chú ý rằng môđun này
Khi đó HIi (L) = Ker(fi∗ )/ Im(fi−1

khơng phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của L.

Sau đây là một số tính chất của mơđun đối đồng điều địa phương.
Mệnh đề 1.2.4. Cho L là R-môđun. Các khẳng định sau là đúng.
(i) ΓI (L) ∼
= HI0 (L).
(ii) Nếu 0 → L → L → L → 0 là dãy khớp ngắn các R-mơđun thì tồn
δ

tại các đồng cấu nối HIi (L ) →i HIi+1 (L ) với mỗi i ≥ 0 sao cho ta có
dãy khớp dài

0 →ΓI (L ) → ΓI (L) → ΓI (L ) →
→ HI1 (L ) → HI1 (L) → HI1 (L ) → HI2 (L ) → . . .
Một số tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa phương là tính
triệt tiêu trong mối quan hệ với tính I -xoắn, độ sâu và chiều của mơđun.
Đầu tiên là tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương trong mối
quan hệ với tính I -xoắn. Ta gọi L là I -xoắn nếu L = ΓI (L).
9


Mệnh đề 1.2.5. Cho L là R-môđun. Các phát biểu sau là đúng.
(i) HIi (L) là môđun I xoắn với mọi i ≥ 0;
(ii) Nếu L là I -xoắn thì HIi (L) = 0 với mọi i > 0. Đặc biệt với mỗi Rmơđun L, ta có HIj (HIi (L)) = 0 với mọi i ≥ 0 và với mọi j > 0.
Mệnh đề trên cho ta kết quả sau đây.
Hệ quả 1.2.6. Với mỗi R-môđun L, đặt L = L/ΓI (L). Khi đó ta có

HIi (L) ∼
= HIi (L) với mọi số tự nhiên i ≥ 1.
Từ nay đến hết tiết này, ta giả thiết (R, m) và vành địa phương và M
là R-môđun hữu hạn sinh.
Tiếp theo là tính triệt tiêu và khơng triệt tiêu của mơđun đối đồng điều

địa phương liên quan đến chiều và độ sâu của môđun.
Định lý 1.2.7. Cho I là iđêan của R. Các phát biểu sau là đúng
(i) depth(I, M ) = min{i | HIi (M ) = 0}.
(ii) dimR (M ) = max{i | Hmi (M ) = 0}.
(iii) depthR (M ) = min{i | Hmi (M ) = 0}.
(iv) Hmi (M ) = 0 với mọi i > dimR (M ).
Một trong những lớp môđun đối đồng điều địa phương quan trọng đó
là lớp mơđun đối đồng điều địa phương Artin. Định lý sau đây khẳng định
rằng môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại luôn là Artin.
Định lý 1.2.8. Cho (R, m) là vành địa phương và M là R-môđun hữu hạn
sinh với dimR (M ) = d. Khi đó Hmi (M ) là Artin với mọi số nguyên i ≥ 0
và HId (M ) là Artin với mọi iđêan I của R.
Phần tiếp theo trình bày tính chất chuyển qua đầy đủ của mơđun đối
đồng điều địa phương Artin với giá cực đại. Cho (R, m) là vành địa phương
và M là R-môđun hữu hạn sinh. Nhắc lại rằng nếu A là R-mơđun Artin, thì
10


A có cấu trúc tự nhiên là R-mơđun Artin với tích vơ hướng xác định như
sau: Cho u ∈ A và x ∈ R, trong đó x có đại diện là dãy Cauchy (xn ) ⊆ R.
Vì Ru = {au | a ∈ R} là một môđun con của A, nên nó là Artin. Rõ ràng
Ru là hữu hạn sinh. Do đó Ru có độ dài hữu hạn. Vì thế tồn tại số tự
nhiên t sao cho mt u = 0. Do (xn ) là dãy Cauchy nên tồn tại n0 ∈ N sao cho
xn − xm ∈ mt với mọi m, n > n0 . Suy ra (xn − xm )u = 0, tức là xn u không
đổi khi n ≥ n0 . Từ đây ta có thể định nghĩa tích vơ hướng xu := xn u với
n ≥ n0 .
Vì mơđun đối đồng điều địa phương Hmi (M ) là R-môđun Artin theo
Định lý 1.2.8, nên Hmi (M ) có cấu trúc tự nhiên là R-mơđun Artin.
Định lý 1.2.9. Cho (R, m) là vành địa phương và M là R-mơđun hữu hạn
sinh. Khi đó với mọi số ngun i ≥ 0 ta có

Hmi R (M ) ∼
= Hmi (M ) ⊗R R ∼
= Hmi (M ).
Bổ đề sau cho ta thông tin về chiều của môđun đối đồng điều địa phương
Hmi (M ) trên vành đầy đủ m-adic của R.
Bổ đề 1.2.10. [9, Tính chất 2.4] Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Khi đó

dim(R/ AnnR (Hmi (M )) ≤ i.

1.3

Vành và môđun Cohen-Macaulay

Trong tiết này, giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương và M là
R-môđun hữu hạn sinh với dimR (M ) = d. Ta có dimR (M ) ≥ depthR (M )
(xem Bổ đề 1.1.7). Điều này dẫn đến định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.3.1. Môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu

M = 0 hoặc depthR (M ) = dimR (M ). Vành R được gọi là vành CohenMacaulay nếu R xét như R-môđun là Cohen-Macaulay.
Chú ý rằng khái niệm môđun Cohen-Macaulay được định nghĩa tổng
quát cho trường hợp môđun hữu hạn sinh trên vành giao hốn Noether
(khơng nhất thiết địa phương). Tuy nhiên, trong luận văn này chúng ta chỉ
xét trường hợp vành cơ sở là địa phương.
11


Ví dụ 1.3.2. Cho k là một trường và d ≥ 3 là số nguyên.
(i) Cho R = k[[x, y, z]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức 3 biến trên
trường k. Khi đó vành R là vành Cohen-Macaulay; M = R/((x2 , z) ∩

(y, z)) là R-môđun Cohen-Macaulay; N = R/(x2 ) ∩ (y, z 2 ) không là
R-môđun Cohen-Macaulay.
(ii) Cho R = k[[x1 , . . . , xd ]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức d biến trên

k và M = R/((x21 , x52 ) ∩ (x22 , x23 , . . . , x2d )). Khi đó, R là vành CohenMacaulay; dimR (M ) = d − 2, depthR (M ) = 1. Đặc biệt, M là Rmôđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu d = 3.
Chứng minh.

(i) Do dim(R) = depth(R) = 3 nên R là vành Cohen-

Macaulay. Theo Ví dụ 1.1.9, ta có dimR (M ) = depthR (M ) = 1 nên

M là R-mơđun Cohen-Macaulay. Vì dimR (N ) = 2 và depthR (N ) = 1
nên N không là môđun Cohen-Macaulay.
(ii) Do dim(R) = depth(R) = d nên R là vành Cohen-Macaulay. Ta có

AssR (M ) = {(x1 , x2 ); (x2 , x3 , . . . , xd )}.
Suy ra

dimR (M ) = max{dim R/(x1 , x2 ); R/(x2 , x3 , . . . , xd )}
= max{d − 2, 1} = d − 2.
Hơn nữa, depthR (M ) ≤ dimR (R/ p) với mọi p ∈ AssR (M ). Điều này
dẫn đến depthR (M ) ≤ 1. Vì x1 +x3 ∈
/ (x1 , x2 ) và x1 +x3 ∈
/ (x2 , . . . , xd )
nên x1 + x3 là M -chính quy. Vậy depthR (M ) = 1. Suy ra M là môđun
Cohen-Macaulay khi và chỉ khi dimR (M ) = depthR (M ), hay d = 3.

12

Chú ý rằng chiều và độ sâu của môđun được bảo tồn qua đầy đủ m-adic
(xem tiết 1.1). Vì thế ta có kết quả sau.
Mệnh đề 1.3.3. M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi M là Cohen-Macaulay.
Một tính chất quan trọng của mơđun Cohen-Macaulay là tính chất
khơng trộn lẫn. Theo cuốn sách "Vành địa phương" của M. Nagata, M
được gọi là không trộn lẫn nếu dim(R/P) = d với mọi P ∈ AssR (M ).
Mệnh đề 1.3.4. Nếu M là Cohen-Macaulay thì M khơng trộn lẫn. Trong
trường hợp này, dim(R/ p) = d với mọi p ∈ AssR (M ).
Chứng minh. Do M là R-môđun Cohen-Macaulay nên M là R-môđun CohenMacaulay. Suy ra depthR (M ) = d. Cho P ∈ AssR (M ). Khi đó theo Bổ đề
1.1.7, ta có

d = depthR (M ) ≤ dim(R/P) ≤ dimR (M ) = d.
Suy ra dim(R/P) = d. Lập luận tương tự ra suy ra dim(R/ p) = d với mọi
p ∈ AssR (M ).
Chú ý rằng phát biểu ngược lại của Mệnh đề 1.3.4 khơng cịn đúng nữa.
Ví dụ sau đây chỉ ra rằng tồn tại những môđun không trộn lẫn và khơng là
Cohen-Macaulay.
Ví dụ 1.3.5. Cho k là trường, d ≥ 2 là số nguyên và R = k[[x1 , . . . , xd ]]
là vành các chuỗi lũy thừa hình thức theo d biến trên k. Khi đó R-mơđun

M := (x1 , . . . , xd )R là không trộn lẫn và dimR (M ) = d, depthR (M ) = 1.
Do đó, M khơng là mơđun Cohen-Macaulay.
Chứng minh. Vì R là miền ngun nên Ass(R) = {0}. Do M = 0 nên

∅ = AssR (M ) ⊆ Ass(R). Vì thế AssR (M ) = {0}. Vậy M không trộn lẫn
và dimR M = d.

13

Theo Hệ quả 1.2.4(ii), từ dãy khớp 0 → M → R → R/M → 0 ta có
dãy khớp dài

0 → Hm0 (M ) → Hm0 (R) → Hm0 (R/M ) → Hm1 (M ) → Hm1 (R) → . . .
trong đó m = (x1 , . . . , xd )R là iđêan cực đại của R. Vì R là vành CohenMacaulay nên depth(R) = dim(R) = d. Do đó Hmi (R) = 0 với mọi i = d.
Suy ra Hm0 (M ) = 0. Chú ý rằng dim(R/M ) = 0. Vì thế Hm0 (R/M ) = 0. Do

Hm1 (R) = 0 (vì d ≥ 2) nên Hm1 (M ) ∼
= Hm0 (R/M ). Vì thế Hm1 (M ) = 0. Theo
Định lý 1.2.7(iii) ta có depthR (M ) = 1.
Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu tính Cohen-Macaulay có bảo tồn
khi chuyển qua địa phương hóa tại các iđêan nguyên tố. Trước khi trả lời
câu hỏi này, chúng ta nhắc lại Định lý đa thức Hilbert - Samuel về chiều
của môđun. Nhắc lại rằng một iđêan q = R của R được gọi là iđêan nguyên
sơ nếu với mọi x, y ∈ R, xy ∈ q và x ∈
/ q, luôn tồn tại n ∈ N sao cho
n
y ∈ q . Đặt Rad(q) = {x ∈ R | ∃n ∈ N để xn ∈ q}. Khi đó Rad(q) là một
iđêan của R chứa q . Nếu q là một iđêan nguyên sơ, thì p := Rad(q) là một
iđêan nguyên tố của R. Trong trường hợp này, ta gọi q là iđêan p-nguyên
sơ. Nếu q là m-ngun sơ thì M/qn M có độ dài hữu hạn (khi đó ta có thể
xem R (M/qn M ) như một hàm theo biến nguyên dương n.)
Định lý 1.3.6. (Xem [7, Định lý 13.4]) Cho q là một iđêan m-nguyên sơ.
Khi đó,

R (M/q

n

M ) là một đa thức với hệ số hữu tỷ khi n đủ lớn và

dimR (M ) = deg

R (M/q

n

M)

= inf{t | ∃x1 , . . . , xt ∈ m,

R (M/(x1 , . . . , xt )M )

< 0}.

Định lý trên dẫn đến hệ quả thú vị sau.
Hệ quả 1.3.7. Các phát biểu sau là đúng
(i) Chiều của vành địa phương (R, m) luôn là một số hữu hạn.
(ii) dimR (M/xM ) ≥ d − 1 với mọi x ∈ M. Đẳng thức xảy ra nếu x là
phần tử M -chính quy.
14


Chứng minh. (i) Vì R là vành giao hốn Noether, nên m là iđêan hữu
hạn sinh. Do đó tồn tại x1 , . . . , xt ∈ m sao cho m = (x1 , . . . , xt )R. Vì
R (M/ m M )

< ∞, nên

R (M/(x1 , . . . , xt )M )

< ∞. Do đó theo Định lý đa

thức Hilbert-Samuel ta suy ra dimR (M ) ≤ t < ∞.
(ii) Cho x ∈ m . Giả sử dimR (M/xM ) = k < d − 1, ta cần tìm mâu
thuẫn. Đặt M1 = M/xM. Theo Định lý 1.3.6, tồn tại x1 , . . . , xk ∈ m sao
cho

R (M1 /(x1 , . . . , xk )M1 )

< ∞. Do đó

R (M/(x, x1 , . . . , xk )M )

< ∞.

Theo Định lý 1.3.6 ta có d = dimR (M ) ≤ k + 1. Do đó d − 1 ≤ k, điều này
là mâu thuẫn.
Bây giờ chúng ta chỉ ra rằng tính Cohen-Macaulay bảo tồn qua địa
phương hóa.
Mệnh đề 1.3.8. M là R-môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu Mp là

Rp -môđun Cohen-Macaulay với mọi p ∈ SuppR (M ).
Chứng minh. Nếu M = 0 thì khơng có gì phải chứng minh. Giả thiết M = 0.
Ta chứng minh chiều đảo trước. Giả sử Mp là Rp -môđun Cohen-Macaulay
với mọi p ∈ SuppR (M ). Khi đó Mm là Rm -mơđun Cohen-Macaulay. Chú ý
rằng Rm ∼
= M. Vì thế M là R-mơđun Cohen-Macaulay.
= R và Mm ∼

Ta chứng minh chiều thuận. Cho p ∈ SuppR (M ). Khi đó Mp = 0. Ta
chứng minh Mp là Cohen-Macaulay bằng quy nạp theo d := dimR (M ). Vì

M = 0 nên d ≥ 0. Nếu d = 0 thì SuppR (M ) = {m}. Ta có Rm ∼
= R và
Mm ∼
= M. Vì thế Mm là Rm -môđun Cohen-Macaulay.
Cho d > 0 và giả sử kết quả đã đúng cho các mơđun Cohen-Macaulay
có chiều nhỏ hơn d. Nếu p ∈ min SuppR (M ) thì dimRp (Mp ) = 0. Hiển
nhiên depthRp (Mp ) = 0. Vì thế, Mp là Rp -mơđun Cohen-Macaulay. Bây
giờ ta giả thiết p ∈
/ min SuppR (M ). Khi đó, dim(R/ p) < dimR (M ) = d
và dimRp (Mp ) > 0. Vì M là R-mơđun Cohen-Macaulay, nên theo Mệnh
15


đề 1.3.4, các iđêan nguyên tố liên kết của M đều có chiều d. Suy ra, p ∈
/

AssR (M ) và p ⊆ q với mọi q ∈ AssR (M ). Do AssR (M ) là tập hữu hạn
nên theo Định lý Tránh nguyên tố, tồn tại x ∈ p sao cho x ∈
/ q với mọi
q ∈ AssR (M ). Suy ra x là phần tử M -chính quy. Đặt N = M/xM. Do M
là Cohen-Macaulay chiều d nên depthR (N ) = d − 1. Do x là M -chính quy
nên theo Hệ quả 1.3.7(ii), ta có dimR (N ) = dimR (M ) − 1 = d − 1. Vì thế

N là Cohen-Macaulay. Do đó giả thiết quy nạp áp dụng được cho N. Vì
Mp = 0 và x ∈ p nên theo Bổ đề Nakayama ta có Np = Mp /xMp = 0. Suy
ra p ∈ SuppR (N ). Theo giả thiết quy nạp, Np là Cohen-Macaulay. Do đó
theo Hệ quả 1.3.7(ii) ta có

depthRp (Mp )−1 = depthRp (Mp /xMp ) = dimRp (Mp /xMp ) = dimRp (Mp )−1.
Suy ra Mp là Rp -môđun Cohen-Macaulay.
Tiếp theo chúng ta chỉ ra rằng tính Cohen-Macaulay cũng được bảo
tồn khi chia cho một dãy chính quy.
Mệnh đề 1.3.9. Cho x1 , . . . , xr ∈ m là một dãy chính quy. Khi đó M
là Cohen-Macaulay (chiều d) nếu và chỉ nếu M/(x1 , . . . , xr )M là CohenMacaulay (chiều d − r).
Chứng minh. Bằng quy nạp theo r, ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp

r = 1 là đủ. Giả sử x là phần tử M -chính quy . Khi đó depthR (M/xM ) =
depthR (M ) − 1 và dimR (M/xM ) = dimR (M ) − 1 theo Hệ quả 1.3.7(ii).
Suy ra M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu dimR (M ) = depthR (M ) = d,
nếu và chỉ nếu

dimR (M/xM ) = depthR (M ) = d − 1,
nếu và chỉ nếu M/xM là Cohen-Macaulay (chiều d − 1).
16


Trong Tiết 1.2, chúng ta đã trình bày các đặc trưng đồng điều của độ
sâu và chiều như sau

depthR (M ) = min{i ∈ N | Hmi (M ) = 0};
dimR (M ) = max{i ∈ N | Hmi (M ) = 0}.
Từ đây, ta có ngay đặc trưng đồng điều của môđun Cohen-Macaulay. Đặc
trưng này là một công cụ rất hữu hiệu để kiểm tra một mơđun có là CohenMacaulay hay không.
Định lý 1.3.10. M là một R-môđun Cohen-Macaulay (chiều d) nếu và chỉ
nếu Hmi (M ) = 0 với mọi số tự nhiên i < d.
Ví dụ 1.3.11. Cho k là một trường và R := k[[x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ]] là
vành các chuỗi lũy thừa hình thức theo 2n biến với hệ số trên k. Với M =

R/(x1 , . . . , xn ) ∩ (y1 , . . . , yn ), ta có M không trộn lẫn, dimR (M ) = n và
depthR (M ) = 1. Đặc biệt, M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu n = 1.
Chứng minh. Vì AssR (M ) = {(x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )} nên

dimR (M ) = max{dim(R/(x1 , . . . , xn ), dim(R/(y1 , . . . , yn ))} = n.
Vì R là đầy đủ nên M là không trộn lẫn. Ta đặt I := (x1 , . . . , xn ) và

J := (y1 , . . . , yn ), m = (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ). Từ dãy khớp
0 → R/(I ∩ J) → R/I ⊕ R/J → R/(I + J) → 0
ta có dãy khớp dài

0 → Hm0 (R/(I ∩ J)) → Hm0 (R/I ⊕ R/J) → Hm0 (R/(I + J))
→ Hm1 (R/(I ∩ J)) → Hm1 (R/I ⊕ R/J) → Hm1 (R/(I + J)) → . . .
Vì dim(R/(I + J)) = 0 nên Hm0 (R/(I + J)) = 0 và Hmi (R/(I + J)) = 0 với
mọi i = 0. Chú ý rằng từ dãy khớp

0 → R/I → R/I ⊕ R/J → R/J → 0
17


ta suy ra dim R/I ⊕ R/J = max{dim(R/I), dim(R/J)} = n. Vì R/I
và R/J là các vành Cohen-Macaulay nên Hmi (R/I) = 0 và Hmi (R/J) =

0 với mọi i = n. Do Hmi (R/I ⊕ R/J) ∼
= Hmi (R/I) ⊕ Hmi (R/J) nên suy
ra Hmi (R/I ⊕ R/J) = 0 với mọi i = n. Vì thế Hm0 (R/(I ∩ J)) = 0 và

Hm1 (R/(I ∩ J)) = 0. Do đó depthR (M ) = 1. Vì thế M là Cohen-Macaulay
nếu và chỉ nếu n = 1.

Để trình bày đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay qua số bội, trước
hết ta nhắc lại khái niệm hệ tham số và số bội.
Theo Định lý 1.3.6, ta có

d = inf{t | ∃x1 , . . . , xt ∈ m,

R (M/(x1 , . . . , xt )M )

Vì thế tồn tại d phần tử x1 , . . . , xd ∈ m sao cho
Từ đây ta có khái niệm hệ tham số như sau.

< ∞}.

R (M/(x1 , . . . , xd )M )

< ∞.

Định nghĩa 1.3.12. Một hệ (x1 , . . . , xd ) các phần tử trong m được gọi là
một hệ tham số của M nếu

R (M/(x1 , . . . , xd )M )

< ∞.

Cho x = (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của M. Chú ý rằng với mỗi
iđêan I của R, căn Rad(I) là giao của các iđêan nguyên tố chứa I. Sử dụng
tính chất này, ta có thể chứng minh rằng

Rad(AnnR (M/(x1 , . . . , xd )M )) = Rad(AnnR (M ) + (x1 , . . . , xd )R)).
Vì R (M/(x1 , . . . , xd )M ) < ∞ nên Rad(AnnR (M/(x1 , . . . , xd )M )) = m .

Từ đó ta suy ra AnnR (M ) + (x1 , . . . , xd )R là một iđêan m-nguyên sơ. Đặt
q = AnnR (M ) + (x1 , . . . , xd )R. Khi đó qn M = (x1 , . . . , xd )n M với mọi
n ∈ N. Vì vậy theo Định lý 1.3.6, R (M/(x1 , . . . , xd )n M ) là một đa thức
(theo biến n) với hệ số hữu tỷ khi n
0. Hiển nhiên đa thức này nhận giá
trị nguyên với mọi biến nguyên.
Định nghĩa 1.3.13. Cho x = (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của M. Gọi

a0 là hệ số cao nhất của đa thức

n
R (M/(x1 , . . . , xd ) M )

khi n đủ lớn. Số bội

của x ứng với M được ký hiệu là e(x; M ) (hoặc e(x1 , . . . , xd ; M )) và được
xác định bởi công thức e(x; M ) = a0 d!
18


Dưới đây ta tính tốn một ví dụ đơn giản.
Ví dụ 1.3.14. Cho k là một trường và R = k[[x, y]] là vành các chuỗi lũy
thừa hình thức trên k. Khi đó (x2 , y 3 ) là hệ tham số của R. Với mọi số nguyên

n ≥ 1 ta có

2 3 n
R (R/(x , y ) R)

= 3n2 + 3n. Vì thế e(x2 , y 3 ; R) = 3.2 = 6.

Chứng minh. Ta có Rad((x2 , y 3 )R)n = (x, y)R = m là iđêan cực đại của R.
Vì thế Mn = R/(x2 , y 3 )n R có cấu trúc R/ m-mơđun và do đó là R/ m-không
gian véctơ. Suy ra
2 3 n
R (R/(x , y ) R)

Ta có M0 = 0 nên

R (M0 )

{1, x, y, y 2 , xy, xy 2 }. Do đó

= dimk (R/(x2 , y 3 )n R).

= 0. Với n = 1 thì R/(x2 , y 3 )R có một cơ sở là
2 3
R (R/(x , y )R)

= 6, hay

R (M1 )

= 6.

Với n = 2 thì R/(x2 , y 3 )2 R có một cơ sở là

{1, x, x2 , x3 , y, y 2 , y 3 , y 4 , y 5 , xy, xy 2 , xy 3 , xy 4 , xy 5 , x2 y, x2 y 2 , x3 y, x3 y 2 }.
Suy ra

R (R/(x

2

, y 3 )2 R) = 18, hay

R (M2 )

Theo Định lý 1.3.6, bậc của đa thức

= 18.

R (R/(x

2

, y 3 )n R) khi n đủ lớn chính

bằng dim(R) = 2. Vì thế đa thức có dạng an2 + bn + c. Từ đó ta có hệ
phương trình



a.02 + b.0 + c = 0




a.12 + b.1 + c = 6






a.22 + b.2 + c = 18
Giải hệ ta được a = 3, b = 3, c = 0. Vậy đa thức Hilbert của R ứng với
iđêan (x2 , y 3 ) là 3n2 + 3n. Vì thế số bội của R ứng với hệ tham số x2 , y 3 là

e(x2 , y 3 ; R) = a0 . dim(R)! = 3.2! = 6.

19


Ta có một số tính chất quen biết của số bội như sau (xem [7]): Cho
x = (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của M. Khi đó e(x; M ) > 0 và
e(xn1 1 , . . . , xnd d ; M ) = n1 . . . nd e(x; M ) với mọi số nguyên dương n1 , . . . , nd .
Hơn nữa e(x; M ) ≤ R (M/(x1 , . . . , xd )M ).
Định lý sau đây cho ta một đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay thông
qua số bội.
Định lý 1.3.15. Các phát biểu sau là tương đương.
(i) M là Cohen-Macaulay.
(ii) Tồn tại một hệ tham số x của M sao cho
(iii) Với mọi hệ tham số x của M ta có

1.4

R (M/xM )

R (M/xM )

= e(x; M ).

= e(x; M ).

Kiểu đa thức của môđun

Trong suốt tiết này, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương
và M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều dimR (M ) = d.
Cho x = (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của M. Với n = (n1 , . . . , nd ) là
một bộ số nguyên dương, ta đặt

IM x (n) :=

n1
nd
R (M/(x1 , . . . , xd )M )

− n1 . . . nd e(x; M ),

trong đó e(x; M ) là số bội của M ứng với x đã định nghĩa trong Tiết
1.3. Chúng ta xét IM x (n) như là một hàm của các biến nguyên dương
n = (n1 , . . . , nd ). Năm 1985, R. Y. Sharp và M. Hamich đã hỏi rằng liệu
IM x (n) là đa thức theo các biến n1 , . . . , nd với hệ số hữu tỷ khi n1 , . . . , nd
đủ lớn. Câu trả lời là không đúng, các phản ví dụ đã được xây dựng bởi
J. L. Garcia Roig và D. Kirby trong một cơng trình đăng trên tạp chí
Mathematika năm 1986. Năm 1990, N. T. Cường đã đưa ra một điều kiện
cần và đủ để hàm này là đa thức.
Mặc dù hàm IM x (n) nhìn chung khơng là đa thức khi n1 , . . . , nd đủ lớn
nhưng nó là một hàm khơng âm và bị chặn trên bởi các đa thức. Điều này
được thể hiện thông qua bổ đề sau (xem [7]).

Bổ đề 1.4.1. Cho x = (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của M và n =

20