NGUYÊN HÀM
3
Câu 1: (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018). Nguyên hàm của hàm số f ( x) x x là
1 4 1 2
x x C.
2
A. x x C .
B. 3 x 1 C.
C. x x C .
D. 4
2x 1
f ( x)
( x 2) 2 trên
Câu 2: (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2019). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2; �
4
khoảng
2
2
3
là
1
C.
x2
A.
3
2ln( x 2)
C.
x2
C.
1
C.
x2
B.
3
2ln( x 2)
C.
x2
D.
2ln( x 2)
2ln( x 2)
ln 1 x2 2017x
x
f x
Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số
ln x2 1 1008ln �
ln x2 1 1�
�
�.
A.
1
ln x2 1 2016ln �
ln x2 1 1�
�
�
C. 2
.
ln �
. 2 e
�ex
�
�
�
� ?
2
ln x 1 2016ln �
ln x2 1 1�
�
�.
B.
1
ln x2 1 1008ln �
ln x2 1 1�
�
�
D. 2
.
x2 1
�4 x2 �
f x x3 ln �
2�
�4 x �?
Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số
�4 x2 � 2
�x4 16 � �4 x2 � 2
4
x ln �
ln �
� 2x
�
�
� 2x
4 x2 �
4 � �4 x2 �
�
�
A.
.
B.
.
2
4
2
�4 x � 2
�x 16 � �4 x � 2
x4 ln �
2x
ln �
�
�
� 2x
2�
4 x �
4 � �4 x2 �
�
�
C.
.
D.
.
sin x
I �
dx
sin x cos x ?
Câu 5: Tìm
1
I x ln sin x cos x C
I x ln sin x cos x C
2
A.
.
B.
.
1
I x ln sin x cos x C
I x ln sin x cos x C
2
C.
.
D.
.
cos4 x
I � 4
dx
sin x cos4 x ?
Câu 6: Tìm
�
� 2 sin2x �
1�
1
I �x
ln �
C
�
�
�
2�
2 2 �
2 sin2x �
�
�
�
�
A.
.
�
� 2 sin2x �
1�
1
I �x
ln �
C
�
�
� 2 sin2x �
�
2�
2
2
�
�
�
� .
C.
I x
B.
I x
D.
� 2 sin2x �
1
ln �
C
�
�
2 2 �
� 2 sin2x �
.
� 2 sin2x �
1
ln �
�
� C
2 2 �
2
sin2
x
�
�
.
x 1
Q�
dx
x
1
Câu 7: Tìm
?
A.
Q x2 1 ln x x2 1 C
.
B.
Q x2 1 ln x x2 1 C
.
Trang 1
C.
Q ln x x2 1 x2 1 C
.
D. Cả đáp án B,C đều đúng.
n
x
T �
dx
2
x x3
xn
1 x
...
2! 3!
n! ?
Câu 8: Tìm
�
x2
xn �
T x.n! n!ln �
1 x ... � C
2!
n! �
�
A.
.
�
x2
xn �
T x.n! n!ln �
1 x
... � C
2!
n! �
�
B.
.
�
x2
xn �
T n!ln �
1 x ... � C
2!
n! �
�
C.
.
�
x2
xn �
T n!ln �
1 x ... � xn.n! C
2!
n! �
�
D.
.
T �
n
Câu 9: Tìm
dx
x
n
1
1
n
�1
�
T � n 1� C
�x
�
A.
n1
?
1
n
�1
�
T � n 1� C
�x
�
B.
C.
T xn 1
1
n
C
1
D.
T xn 1 n C
.
2
Câu 10: Tìm
H
A.
C.
x dx
H �
2
x sin x cos x
?
x
tan x C
cos x x sin x cos x
x
H
tan x C
cos x x sin x cos x
H
.
B.
.
D.
x
tan x C
cos x x sin x cos x
x
H
tan x C
cos x x sin x cos x
.
.
1 2 x
R �2
dx
x 2 x ?
Câu 11: Tìm
tan2t 1 1 sin2t
1
�x �
R
ln
C
t arctan � �
2
4 1 sin2t
2
�2 �.
A.
với
tan2t 1 1 sin2t
1
�x �
R
ln
C
t arctan � �
2
4 1 sin2t
2
�2 �.
B.
với
C.
R
tan2t 1 1 sin2t
ln
C
2
4 1 sin2t
t
1
�x �
arctan � �
2
�2 �.
với
tan2t 1 1 sin2t
1
�x �
R
ln
C
t arctan � �
2
4 1 sin2t
2
�2 �.
D.
với
Câu 12: Tìm
F �
xnexdx
?
n1
n
F e �
x nx n n 1 xn2 ... n! 1 x n! 1 � xn C
�
�
A.
.
n1
n
x �n
n1
n2
F e x nx n n 1 x ... n! 1 x n! 1 � C
�
� .
B.
x
C. F n!e C .
x
D.
n
n1
F xn nxn1 n n 1 xn2 ... n! 1
n1
2x 1 2ln x .x ln x
G�
dx
2
x2 x ln x
2
Câu 13: Tìm
1
1
G
C
x x ln x
A.
.
x n! 1 ex C
n
.
2
?
B.
G
1
1
C
x x ln x
.
Trang 2
C.
G
1
1
C
x x ln x
.
D.
G
1
1
C
x x ln x
.
7x 1 dx
�
2019
2x 1
?
2017
K
Câu 14: Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của
2018
2018
2018
18162 2x 1
7x 1
1 �7x 1�
2018
.�
�
18162 2x 1
18162
2
x
1
�
�
A.
.
B.
.
2018
2018
2018
2018
18162 2x 1
7x 1
18162 2x 1
7x 1
C.
18162 2x 1
18162 2x 1
2018
.
D.
g x
Câu 15: Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của
ln2x x ln2
x
ln
1999
x
1
x
1
A.
.
ln x
x
ln
2016
x
1
x
1
C.
.
.
ln x
x 1
2
?
ln x
x
ln
1998
x
1
x
1
B.
.
ln x
x
ln
2017
x
1
x
1
D.
.
h x
Câu 16: Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của
1
1
ln x ln xn lnn x 2016
n
A. n
.
1
1
ln x ln xn lnn x 2016
n
C. n
.
2018
1 ln x
x .ln x. xn lnn x
1 n
?
1
1
ln x ln xn lnn x 2016
n
B. n
.
1
1
ln x ln xn lnn x 2016
n
D. n
.
f x x3 x2 2 x
Câu 17: Nguyên hàm của
là:
1 4
4
1 4 1 3 4 3
x x3
x3 C
x x
x C
3
3
3
A. 4
.
B. 4
.
1 4
2
1
1
2
x x3
x3 C
x4 x3
x3 C
3
3
3
C. 4
.
D. 4
.
1
2
f x
3 3
x
x
Câu 18: Nguyên hàm của
là:
4
2 x 3 x2 3x C
3 2
3
A. 2 x 3 x 3x C .
B.
.
1
1
4
x 33 x2 3x C
x 3 x2 3x C
3
C. 2
.
D. 2
.
1
dx
�
Câu 19: Nguyên hàm x 7x 6
là:
2
1 x 1
ln
C
5
x
6
A.
.
1
ln x2 7x 6 C
5
C.
.
1 x 6
ln
C
5
x
1
B.
.
1
ln x2 7x 6 C
D. 5
.
2x3 6x2 4x 1
� x2 3x 2 dx là:
Câu 20: Nguyên hàm
x 1
1 2
x 2
1 2
x 1
x 2
x2 ln
C
x2 ln
C
x ln
C
x ln
C
x
2
2
x
1
2
x
2
x
1
A.
. B.
. C.
. D.
.
Trang 3
3x 3
dx
2
x 2
là:
2ln x 1 ln x 2 C
A.
.
2ln x 1 ln x 2 C
C.
.
1
�x 1 x 2dx
Câu 22: Nguyên hàm
là:
�
Câu 21: Nguyên hàm x
3
A.
x 2
C.
x 2
3
x 1
3
x 1
3
C
C
.
.
sin2x cosx dx là:
Câu 23: Nguyên hàm �
1
cos2x sin x C
A. 2
.
1
cos2x sin x C
C. 2
.
e2x1 2
�3 ex dx
Câu 24: Nguyên hàm
là:
5
x
5
5 3x1 2 3
5 3x1 2 3x
e e C
e e C
3
3
A. 3
. B. 3
.
B.
D.
B.
D.
2ln x 1 ln x 2 C
2ln x 1 ln x 2 C
x 2
3
x 2
3
x 1
3
x 1
3
.
.
C
C
.
.
B. cos2x sin x C .
D. cos2x sin x C .
5 53x1 2 x3
e e C
3
C. 3
.
5 53x1 2 3x
e e C
3
D. 3
.
�
sin 2x 3 cos 3 2x �
�
�dx là:
Câu 25: Nguyên hàm �
2cos 2x 3 2sin 3 2x C
2cos 2x 3 2sin 3 2x C
A.
.
B.
.
2cos 2x 3 2sin 3 2x C
2cos 2x 3 2sin 3 2x C
C.
.
D.
.
�
sin2 3x 1 cos x�
dx
�
�
Câu 26: Nguyên hàm �
là:
1
x 3sin 6x 2 sin x C
x 3sin 6x 2 sin x C
A. 2
.
B.
.
1
1
x 3sin 3x 1 sin x C
x 3sin 6x 2 sin x C
C. 2
.
D. 2
.
1
f x x 1 2
F x
x . Nguyên hàm của f x biết
Câu 27: Gọi
là nguyên hàm của hàm số
F 3 6
là:
2
1 1
2
1 1
3
3
F x
F x
x 1
x 1
3
x 3.
3
x 3.
A.
B.
2
1 1
2
1 1
3
3
F x
F x
x 1
x 1
3
x 3.
3
x 3.
C.
D.
f x 4x3 2 m 1 x m 5
là nguyên hàm của hàm số
, với m là tham số thực.
f x
F 1 8
F 0 1
Một nguyên hàm của
biết rằng
và
là:
4
2
F x x 2x 6x 1
F x x4 6x 1
A.
B.
.
4
2
F x x 2x 1
C.
.
D. Đáp án A và B.
x
�2 dx
Câu 29: Nguyên hàm của x 1 là:
Câu 28: Gọi
F x
Trang 4
A.
ln t C
2
, với t x 1
B.
1
ln t C
2
C. 2
, với t x 1.
ln t C
2
, với t x 1.
1
ln t C
2
D. 2
, với t x 1.
sin3 x cos3 x dx ?
Câu 30: Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của �
3
sin2x sin x cos x C
2
2
A. 3cos x.sin x 3sin x.cos x C .
B. 2
.
� �
� �
3 2sin2x sin �x � C
3 2sin x.cos x.sin �x � C
� 4� .
� 4� .
C.
D.
x � t
Câu 31: Với phương pháp đổi biến số
1 2
t C
A. 2
.
ln2x
�x
, nguyên hàm
2
B. t C .
dx
bằng:
2
C. 2t C .
2
D. 4t C .
1
dx
x � t , nguyên hàm �
x2 1 bằng:
Câu 32: Với phương pháp đổi biến số
1 2
t C
A. 2
.
1
tC
B. 2
.
Câu 33: Với phương pháp đổi biến số
A. sint C .
B. t C .
D. t C .
2
C. t C .
x � t
1
I �
dx
2
x
2
x
3
, nguyên hàm
bằng:
C. cost C .
D. t C .
I �
tan x cot x dx
Câu 34: Theo phương pháp đổi biến số với t cos x, u sin x , nguyên hàm của
là:
ln t ln u C
ln t ln u C
ln t ln u C
ln t ln u C
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2sin x 2cos x
I �3
dx
x � t
1 sin2x
Câu 35: Theo phương pháp đổi biến số
, nguyên hàm của
là:
3
A. 2 t C .
3
B. 6 t C .
3
D. 12 t C .
3
C. 3 t C .
I �
x ln xdx
Câu 36: Nguyên hàm của
bằng với:
2
x
ln x �
xdx C
A. 2
.
1
x2 ln x �xdx C
2
C.
.
x2
1
ln x �xdx C
2
B. 2
.
D.
x2 ln x �
xdx C
.
I �
x sin xdx
Câu 37: Nguyên hàm của
bằng với:
x cos x �
cos xdx C
x cos x �
cos xdx C
A.
B.
x cos x �
cos xdx C
x cos x �
cosxdx C
C.
D.
I �
x sin2 xdx
Câu 38: Nguyên hàm của
là:
1
2x2 x sin2x cos2x C
A. 8
.
1�2 1
�
�x cos2x x sin2x � C
� .
C. 4 � 2
I �
e dx
1
1
cos2x x2 x sin2x C
4
B. 8
.
D. Đáp án A và C đúng.
x
Câu 39: Họ nguyên hàm của
là:
Trang 5
x
A. 2e C .
2x
C. e C .
x
B. e .
x
D. e C .
e 1 x dx
�
là:
x
Câu 40: Họ nguyên hàm của
A. I e xe C .
x
x
I ex
B.
1 x
xe C
2
.
I
C.
1 x
e xex C
2
.
x
x
D. I 2e xe C .
I �
x sin x cos2 xdx
Câu 41: Nguyên hàm của
là:
1
2
I 1 x cos3 x t t3 C, t sin x
I 1 x cos3 x t t3 C, t sin x
3
3
A.
.
B.
.
1
2
I 1 x cos3 x t t3 C, t sin x
I 1 x cos3 x t t3 C, t sin x
3
3
C.
.
D.
.
ln cos x
I � 2
dx
sin x
Câu 42: Họ nguyên hàm của
là:
A.
C.
cot x.ln cos x x C
cot x.ln cos x x C
2
Câu 44:
A. 1.
B.
.
D.
cot x.ln cos x x C
cot x.ln cos x x C
.
.
a 3 b 4
x x C
4
có dạng 3
, trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:
B. 1.
C. 9 .
D. 32 .
�1 3 1 3 5 �
a 4 b 6
dx
�
�
x x C
�3 x 5 x �
�
�
� có dạng 12
6
, trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:
36
1 3
B. 12 .
C. 5
.
D. Không tồn tại.
x
Câu 43: �
A. 2 .
.
2x3 dx
2
�2x x 1 x ln x dx
Câu 45:
hữu tỉ. Giá trị a bằng:
A. 3.
a
có dạng 3
B. 2 .
3
x2 1
b 2
1
x ln x x2 C
6
4
, trong đó a, b là hai số
C. 1.
D. Khơng tồn tại.
�3
1 1 3 �
a 4 1 1 3
b
x
x
1
dx
�
�
2
�
x
x
�
�
x
2
� có dạng 4
x
2
3
Câu 46: �
hai số hữu tỉ. Giá trị b, a lần lượt bằng:
A. 2; 1.
3
x 1 C
, trong đó a, b là
B. 1; 1.
C. a, b ��
D. 1; 2 .
a x1 2 b
x2 5x 4
7x 3
e
sin2x C
x
1
e
�
e
cos2
x
dx
2
Câu 47: �
có dạng 6
, trong đó a, b là hai số hữu
tỉ. Giá trị a, b lần lượt bằng:
A. 3; 1.
2a 1 x
�
3
Câu 48:
2a 1 x
�
3
B. 1; 3.
bx2 dx
bx2 dx
A. 1; 3.
(2 e
Câu 49: Tính �
C. 3; 2 .
D. 6; 1.
, trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Biết rằng
3 4
x x3 C
4
. Giá trị a, b lần lượt bằng:
1
;1
B. 3; 1.
C. 8 .
D. a, b ��
3x 2
A.
3x
) dx
4 3x 1 6x
e e C
3
6
B.
4x
4 3x 5 6x
e e C
3
6
Trang 6
4
1
4x e3x e6x C
3
6
C.
dx
Câu 50: Tính
C
A. 1 x
�1 x
D.
4x
4 3x 1 6x
e e C
3
6
thu được kết quả là:
B. 2 1 x C
Câu 51: Họ nguyên hàm của hàm số
1 2
x 2 1 x2 C
3
A.
1 2
x 1 1 x2 C
C. 3
f x
2
C
1 x
C.
D. 1 x C
x3
1 x2 là:
1 2
x 1 1 x2 C
3
B.
1
x2 2 1 x2 C
D. 3
dx
F (x) �
x 2ln x 1
Câu 52: Tính
A. F (x) 2 2ln x 1 C
1
F (x)
2ln x 1 C
4
C.
B. F (x) 2ln x 1 C
1
F (x)
2ln x 1 C
2
D.
1
f x x2 �3x ��
�
x là
Câu 53: Nguyên hàm của hàm số
x4 3x2
x3 3x2
ln x C
ln x C
2
2
A. 4
B. 3
x4 3x2
ln x C
2
C. 4
x3 3x2
ln x C
2
D. 3
�1
�
; ��
�
�là:
Câu 54: Nguyên hàm của hàm số y 3x 1 trên �3
3 2
3 2
2
3
x xC
x x C
3x 1 C
A. 2
B. 9
C. 2
1
D. 9
3x 1
3
C
x3
F (x) �4 dx
x 1
Câu 55: Tính
A.
F (x)
F (x) ln x4 1 C
1
ln x4 1 C
4
B.
1
1
F (x) ln x4 1 C
F (x) ln x4 1 C
3
2
C.
D.
3
4
x
1 d(x 1) 1
dx � 4
ln x4 1 C
4
�
x
1
4
x
1
4
Ta có:
Câu 56: Một nguyên hàm của hàm số y sin3x
1
cos3x
A. 3
B. 3cos3x
f (x)
1
cos3x
D. 3
C. 3cos3x
5 2x4
x2
. Khi đó:
Câu 57: Cho hàm số
2x3 5
f
(
x
)
dx
C
�
3 x
A.
f (x)dx 2x
�
B.
3
5
C
x
Trang 7
C.
f (x)dx
�
2x3 5
C
3 x
D.
f (x)dx
�
2x3
5lnx2 C
3
2
Câu 58: Một nguyên hàm của hàm số: f (x) x 1 x là:
3
1
1
F (x)
1 x2
F (x)
1 x2
3
3
A.
B.
2
2
x
1
F (x)
1 x2
F (x)
1 x2
2
2
C.
D.
2
2
Câu 59: Họ các nguyên hàm của hàm số y sin2x là:
1
cos2x C
A. cos2x C
B. 2
C. cos2x C
1
cos2x C
D. 2
� �
f x 2x 3cos x, F � � 3
f x
�2 �
Câu 60: Tìm nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn điều kiện:
2
2
F (x) x2 3sin x 6
F (x) x2 3sin x
4
4
A.
B.
2
F (x) x 3sin x
4
C.
2
F (x) x 3sin x 6
4
D.
1
f (x) 2x
F( ) 1
2
sin x thỏa mãn
4
Câu 61: Một nguyên hàm F(x) của hàm số
là:
2
2
F(x) cotx x2
F(x) cotx x2
16
16
A.
B.
2
2
F(
x
)
c
ot
x
x
2
16
C. F(x) cotx x
D.
2
Câu 62: Cho hàm số
2
f x cos3x.cos x
A. 3sin3x sin x
Câu 63: Họ nguyên hàm
A. cot x x C
. Một nguyên hàm của hàm số
sin4x sin2x
sin4x sin2x
4
4
B. 8
C. 2
f x
f x cot2 x
của hàm số
là :
cot
x
x
C
cot
x xC
B.
C.
bằng 0 khi x 0 là:
cos4x cos2x
8
4
D.
F x
D. tan x x C
x
x
Câu 64: Hàm số F (x) e e x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây ?
1
f (x) ex e x x2
x
x
2
A. f (x) e e 1
B.
1
f (x) ex e x x2
x
x
f
(
x
)
e
e
1
2
C.
D.
22x.3x.7x dx
Câu 65: Tính �
84x
22x.3x.7x
C
C
A. ln84
B. ln4.ln3.ln7
1
(x2 3x )dx
�
x
Câu 66: Tính
3
2
A. x 3x ln x C
x3 3 2 1
x 2 C
x
C. 3 2
x
C. 84 C
x
D. 84 ln84 C
x3 3 2
x ln x C
B. 3 2
x3 3 2
x ln| x| C
D. 3 2
Trang 8
Câu 67: Một nguyên hàm của hàm số
3
1
(2x 1) 1 2x
(2x 1) 1 2x
A. 4
B. 3
1
2 là :
3
(1 2x) 1 2x
C. 2
3
(1 2x) 1 2x
D. 4
2x1dx
Câu 68: Tính �
2x1
C
A. ln2
3.2x1
C
C. ln2
x1
D. 2 .ln2 C
f (x) 1 2x, x
x1
B. 2 C
x
Câu 69: Hàm số F (x) e tan x C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào
1
1
f (x) ex
f (x) ex
2
sin x
sin2 x
A.
B.
� e x �
f (x) ex �
1
�
cos2 x �
�
C.
D.
f x ex
1
cos2 x
f (x)dx ex sin2 x C
Câu 70: Nếu �
thì f (x) là hàm nào ?
x
2
x
x
A. e cos x
B. e sin2x
C. e cos2x
f (x)
x
D. e sin2x
x3 1
x2 biết F(1) = 0
Câu 71: Tìm một nguyên hàm F(x) của
x2 1 1
x2 1 3
F (x)
F (x)
2 x 2 B.
2 x 2
A.
F (x)
x2 1 1
2 x 2
C.
D.
Câu 72: Tìm hàm số F(x) biết rằng F’(x) = 4x – 3x + 2 và F(-1) = 3
F x x4 �x3 2x 3
F x x4 �x3+2x 3
A.
B.
F x x4 �x3 2x 3
F x x4 x3 2x 3
C.
D.
3
Câu 73: Nếu
x
A. e x
F x
x2 1 3
2 x 2
F (x)
2
x
x
là một nguyên hàm của f (x) e (1 e ) và F (0) 3 thì F (x) là ?
x
x
x
B. e x 2
C. e x C
D. e x 1
2
Câu 74: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2x x 1 là:
3
2
3
3
x2 1 C
2 x2 1 C
x2 1 C
3
A.
B.
C.
1
D. 3
2
Câu 75: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2x 1 x là:
3
1
3
3
1 x2 C
1 x2 C
2 1 x2 C
3
A.
B.
C.
2x
f (x)
x2 1 là:
Câu 76: Họ nguyên hàm của hàm số
1
C
2
2
2
x
1
C
2
x
1
A.
B.
C. 2 x 1 C
D.
2
3
x
2
1 C
3
1 x
2 3
C
2
D. 4 x 1 C
3
Câu 77: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2x 1 2x là:
A.
33 1 2x
6
33 1 2x
C.
3
6
3
33 1 2x
12
33 1 2x
12
6
C
B.
D.
4
8
33 1 2x
6
C
33 1 2x
8
4
33 1 2x
14
33 1 2x
14
7
C
7
C
Trang 9
f (x)
Câu 78: Họ nguyên hàm của hàm số
ln x2 4
2
C
2ln x 4 C
2
A.
B.
2x
x 4 là:
2
C.
ln x2 4 C
D.
3x2
x3 4 là:
Câu 79: Họ nguyên hàm của hàm số
3ln x3 4 C
3ln x3 4 C
ln x3 4 C
A.
B.
C.
sin x
f (x)
cos x 3 là:
Câu 80: Họ nguyên hàm của hàm số
ln cos x 3
C
ln cos x 3 C
2ln cos x 3 C
2
A.
B.
C.
4ln x2 4 C
f (x)
Câu 81: Họ nguyên hàm của hàm số
x
A. e 3 C
f (x)
Câu 82: Họ nguyên hàm của hàm số
C.
4ln cos x 3 C
2ln ex 3 C
D.
ln ex 3 C
ln x
x là:
ln2 x
C
C. 2
B. ln x C
A. ln x C
2
D.
ln x3 4 C
ex
ex 3 là:
x
B. 3e 9 C
f (x)
D.
x2
Câu 83: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2x2
1
1 x2
C
.2 C
x2
A. ln2.2
B. ln2
ln x
C
D. 2
là:
ln2
2
x
C. 2
C
2
x
D. ln2.2 C
2x
ln(x2 1)
2
x
1
Câu 84: Họ nguyên hàm của hàm số
là:
1 2 2
1 2 2
ln (x 1) C
ln (x 1) C
2
ln(
x
1)
C
A. 2
B.
C. 2
f (x)
1 2 2
ln (x 1) C
D. 2
f (x)dx F (x) C.
f (a x b)dx
Câu 85: Cho �
Khi đó với a 0, ta có �
bằng:
1
1
F (a x b) C
F (a x b) C
A. 2a
B. a.F (a x b) C
C. a
D. F (a x b) C
2
Câu 86: Một nguyên hàm của hàm số: f (x) x 1 x là:
3
1
1
F (x)
1 x2
F (x)
1 x2
3
3
A.
B.
2
2
x
1
F (x)
1 x2
F (x)
1 x2
2
2
C.
D.
x x 1
Câu 87: Tính �
x 1
A.
5
5
x 1
4
3
dx
2
2
là :
x 1
4
C
x5 3x4
x2
3
x C
4
2
C. 5
2x
�x2 9 4 dx
Câu 88: Tính
là:
B.
5
5
x 1
4
4
C
x5 3x4
x2
3
x
C
4
2
D. 5
Trang 10
A.
1
5 x2 9
5
C
B.
1
3 x2 9
3
C
C.
x
2
4
9
5
C
2
Câu 89: Hàm số nào là một nguyên hàm của f(x) = x. x 5 ?
3
3
3
1 2
1 2
2
2
2
F
(
x
)
(
x
5)
F
(
x
)
(
x
5)
F x (x 5)2
3
2
A.
B.
C.
cos x.sin2 x.dx
Câu 90: Tính �
3sin x sin3x
3cos x cos3x
sin3 x
C
C
C
12
12
A.
B.
C. 3
dx
�
Câu 91: Tính x.ln x
A. ln x C
B. ln| x| C
C. ln(lnx) C
f x
Câu 93: Họ nguyên hàm của hàm số
x
x
ln cot C
ln tan C
2
2
A.
B.
ln cosx C
B.
Câu 97: Kết quả của
A. x ln x x C
Câu 98: Tìm
9
3
C
3
2
2
D. F (x) 3(x 5)
2
D. sinx.cos x C
D. ln| lnx| C
C.
f x tan x
f x xex
2
D. ln(x 1)
1
sin x là:
ln tan
x
C
2
D.
ln sin x C
là:
tan2 x
C
C. 2
D.
x2 x
e C
C. 2
x
x
D. xe e C
C. x ln x C
D. x ln x x C
C. x ln x C
D. x ln x x C
ln cosx C
là:
x
B. e C
x
x
A. xe e C
Câu 96: Kết quả của
A. x ln x x C
1
ln(x2 1)
C. 2
ln cosx C
Câu 95: Nguyên hàm của hàm số
2
2
Câu 92: Một nguyên hàm của
1
ln x 1
2ln x2 1
A. 2
B.
A.
D.
x
1
x
x 1 là:
f (x)
Câu 94: Họ nguyên hàm của hàm số
ln xdx
�
là:
B. Đáp án khác
xln xdx
�
là:
B. Đáp án khác
x sin2xdx
�
ta thu được kết quả nào sau đây?
1
1
x sin2x cos2x C
2
B. 4
1
1
x sin2x cos2x
2
D. 4
A. x sin x cos x C
C. x sin x cos x
x
cos2 x là :
Câu 99: Một nguyên hàm của
x tan x ln cosx
x tan x ln cosx
A.
B.
x
f x
sin2 x là :
Câu 100: Một nguyên hàm của
f x
C.
x tan x ln cosx
D.
x tan x ln sin x
Trang 11
A.
x cot x ln sinx
B.
x cot x ln sin x
x tan x ln sin x
D.
ex 3x 2 x 1
I �
dx
x 1 ex. x 1 1
Câu 101: Tìm
?
x
I x ln e . x 1 1 C
I x ln ex. x 1 1 C
A.
.
B.
.
x
x
I ln e . x 1 1 C
I ln e . x 1 1 C
C.
.
D.
.
C.
x tan x ln cosx
J �
ex .sinxdx
Câu 102: Tìm
?
x
e
J cos x sin x C
2
A.
.
C.
J
ex
J sin x cos x C
2
B.
.
x
e
J sin x cos x 1 C
2
D.
.
ex
sin x cos x C
2
.
----------------------------------------------ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Câu 1: Chọn D
Hướng dẫn:
Câu 2: Chọn D
Hướng dẫn:
2x 1
( x 2) 2
Đặt t x 2 � dt dx
2x 1
2(t 2) 1
2t 3
�2 3 �
f ( x)dx �
dx � 2
dt � 2 dt �
dt
� 2�
2
�
( x 2)
t
t
�t t �
3
3
3
2ln t C 2 ln x 2
C 2 ln x 2
C
t
x2
x2
(Do x+2 > 0)
f ( x)
Câu 3:
Hướng dẫn:
ln 1 x2
x
2017x
I �
dx
x2 1 �
� 2
ln �ex
. e
�
�
�
Đặt
ln 1 x2
I �
� 2
ln �ex
.
�
+Ta có :
+ Đặt :
x�
ln 1 x 2017�
�dx
dx �
dx � �
�
�
�
�
x 1 �ln 1 x lne� x 1 �ln 1 x 1�
e
�
�
�
x
2017x
x2 1
t ln 1 x2 1� dt
2
xln 1 x2 2017x
2
2
2
2
2x
dx
1 x2
t 2016
1 � 2016 � 1
�I �
dt �
1
dt t 1008ln t C
�
�
2t
2 �
t � 2
1
1
1
� I ln x2 1 1008ln �
ln x2 1 1� C ln x2 1 1008ln �
ln x2 1 1� C
�
�
�
�
2
2
2
Vậy đáp án đúng là đáp án D.
Câu 4:
Hướng dẫn:
Trang 12
16 x
�
�4 x 2 � �
du 4
�
u ln �
�
x 16
2 � �
�
�4 x �� �
4
x
x 4 16
�
�
3
v
4
�dv x dx
� 4
4
Đặt :
�4 x 2 � �x 4 16 � �4 x 2 �
�x 4 16 � �4 x 2 � 2
��
x 4 ln � 2 �
dx �
ln � 2 � �
4 xdx �
ln � 2 � 2 x C
�
�
�4 x � � 4 � �4 x �
� 4 � �4 x �
Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Câu 5:
Hướng dẫn:
cos x
T �
dx
sin x cos x
Đặt :
sin x
cos x
sin x cos x
� I T �
dx �
dx �
dx x C1
1
sin x cos x
sin x cos x
sin x cos x
Ta lại có :
sin x
cos x
sin x cos x
I T �
dx �
dx �
dx
sin x cos x
sin x cos x
sin x cos x
d sin x cos x
� I T �
ln sin x cos x C2
2
sin x cos x
� 1
�I 2 x ln sin x cos x C
�I T x C1
�
�
�
�
1
�I T ln sin x cos x C2
�
T x ln sin x cos x C
1 ; 2
� 2
Từ
ta có hệ:
Vậy đáp án đúng là đáp án D .
Câu 6:
Hướng dẫn:
sin4 x
T� 4
dx
sin x cos4 x
Đặt :
cos4 x
sin4 x
sin4 x cos4 x
� I T � 4
dx � 4
dx � 4
dx x C1
4
4
sin x cos x
sin x cos x
sin x cos4 x
1
Mặt khác :
cos4 x
sin4 x
cos4 x sin4 x
I T � 4
dx
dx
dx
�
�
sin x cos4 x
sin4 x cos4 x
sin4 x cos4 x
cos2 x sin2 x
cos2x
� I T �
dx �
dx
2
2
1 2
1 2sin x.cos x
1 sin x
2
� 2 sin2x �
2cos2x
1
� I T �
dx
ln �
� C2
2
2
�
2 sin 2x
2 2 �
� 2 sin2x �
� 1�
�
� 2 sin2x �
1
�I �x
� C
ln �
�
�
I T x C1
� 2 sin2x �
�
� 2�
2
2
�
�
�
�
�
�
� 2 sin2x �
��
1
�
I
T
ln
C
�
�
�
�
� 2 sin2x �
�
1
1
� 2 sin2x � 2 �
2
2
�
� C
T
x
ln
�
�
�
�
�
� 2�
�
2 2 �
2 sin2x �
1 ; 2
�
�
�
�
�
Từ
ta có hệ :
Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Câu 7:
Hướng dẫn:
�
x �1
x 1
�0 � �
x 1
x 1
�
Điều kiện :
Trường hợp 1 : Nếu x �1 thì
Trang 13
x 1
x 1
x
1
Q�
dx �
dx �
dx �
dx x2 1 ln x x2 1 C
2
2
2
x 1
x 1
x 1
x 1
Trường hợp 2: Nếu x 1 thì
x 1
1 x
1
x
Q�
dx �
dx �
dx �
dx ln x x2 1 x2 1 C
2
2
2
x 1
x 1
x 1
x 1
Vậy đáp án đúng là đáp án D.
Câu 8:
Hướng dẫn:
Đặt
x2 x3 x4
xn
x2 x3
xn1
...
� g�
x
1
x
...
2! 3! 4!
n!
2! 3!
n 1 !
g x 1 x
Ta có :
g x g�
x
xn
� xn n! g x g�
x
n!
n!.�
g x g�
� g�
�
x �dx n!.x n!ln n!x n!ln �1 x x2 ... xn � C
�
�T � �
dx n!�
1
�
�
�
�
2!
n! �
g x
g
x
�
�
�
�
�
Vậy đáp án đúng là đáp án B .
Câu 9:
Hướng dẫn:
T�
n
Ta có :
Đặt :
t
dx
x
n
1
n 1
x n1
1
1
�1
�n
�
�
dx �
x n1 � n 1� dx
1
n 1
1
�x
�
�1
�
�1
�n
xn1.n � n 1�
1
�
�
n
�x
�
�x
�
dx
1
n
1� dt n1 nx n1
n
x
x
1
1
�1
�n
1 1 n1
�T �
t dt t n C � n 1� C
n
�x
�
Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Câu 10 :
Hướng dẫn:
Ta có :
x2
xcos x
x
H�
dx �
.
dx
2
2
xsin x cos x
xsin x cos x cos x
�
x
�
xsin x cosx
u
�
du
dx
�
cos
x
2
�
�
cos
x
�
d xsin x cosx � �
xcos x
1
�
�
dv
dx
v
2
2
�
�
xsin x cos x
xsin x cosx
xsin x cos x
Đặt �
x
1
1
x
�H
.
� 2 dx
tan x C
cos x xsin x cosx
cos x xsin x cos x
cos x
Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Câu 11:
Hướng dẫn:
� �
t ��
0; �
x 2cos2t
� 2�
Đặt
với
�
dx 4sin2t.dt
�
� 2 x
2 2sin2t
�
2 2cos2t
Ta có : � 2 x
4sin2 t sin t
4cos2 t cost
Trang 14
1
sin t
2sin2 t
1 cos2t
� R � 2 .
.4sin2t.dt � 2 dt � 2
dt
4cos 2t cost
cos 2t
cos 2t
1
1
tan2t 1 1 sin2t
� R � 2 dt �
dt
ln
C
cos2t
2
4 1 sin2t
cos 2t
Vậy đáp án đúng là đáp án A .
Câu 12 :
� x
x
x
�
�
�
� �
ex f x �
�
� e . f x e . f x C e �f x f x � C
Lưu ý : ta ln có điều sau
Hướng dẫn:
F�
ex �xn n.xn1 n xn1 n 1 xn 2 n n 1 xn 2 n 2 xn 3 ... n! 1
�
� F ex �
xn nxn1 n n 1 xn 2 ... n! 1
�
n1
n1
x 1 n! 1
n
�
dx
�
n
x n! 1 �
�
Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Câu 13:
Hướng dẫn:
Ta có :
2x2 1 2ln x .x ln2 x
G �
x
2
xln x
2
2
�
x2 2xln x ln2 x�
x x2
x ln x x x 1
�
�
dx �
dx �
dx
2
2
x2 x ln x
x2 x ln x
�1
x 1 �
1
x 1
1
�
�
�G �
dx �
dx
J
2
2
2
�x x x ln x �
x
x
x
x
ln
x
�
�
x 1
J�
dx
2
x x ln x
�
�
x 1
�J
�
dx
2
� �
�
x x ln x
�
�
Xét nguyên hàm :
+ Đặt :
t x ln x � dt 1
1 x 1
x
x
1
1
1
�J �
dt
C
C
2
t
x ln x
t
1
1
1
G
J
C
x
x x ln x
Do đó :
Vậy đáp án đúng là đáp án A .
Câu 14:
Hướng dẫn:
7x 1
K�
2x 1
Ta có :
t
Đặt
2017
2017
�7x 1�
1
dx �
dx
�
� .
2019
2
�2x 1� 2x 1
7x 1
9
dt
1
� dt
dx �
dx
2
2x 1
9 98x 1 2
2x 1
2018
1 2017
t 2018
1 �7 x 1 �
t
dt
C
.�
� C
�
9
18162
18162 �2 x 1 �
Vậy đáp án cần chọn là đáp án D.
Câu 15:
Hướng dẫn:
�K
Trang 15
�
1
�
u ln x
du dx
�
�
�
x
1
��
�
dv
dx
2
�
�v 1
x
1
�
� x 1
Đặt
�S
ln x
1
ln x �1
1 � lnx
1
dx
�
dx
�
dx
�dx �
�
�
x 1
x 1
x 1
x
x 1
x x 1
�x x 1�
� S
ln x
ln x
x
ln x ln x 1 C
ln
C
x 1
x 1
x 1
.
Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Câu 16:
Hướng dẫn:
1 ln x
1 ln x
1
1 ln x
1
L �1n
dx � 2 . n1
dx � 2 .
dx
n
n
n
n
x
x
ln x � lnn x �
x .ln x. x ln x
x .ln x. x ln x
1
�
�
x � xn �
Ta có :
Đặt :
t
ln x
1 ln x
� dt
dx
x
x2
dt
tn1dt
�L� n
�
t t 1
tn t n 1
n
. n1dt
+ Đặt u t 1� du nt
�L
1
du
1 �1
1�
1
1
u1
�
�
du .�
ln u 1 ln u �
C .ln
C
�
�
�
n�
n
u
1
u
n
n
u
u u 1
�
�
lnn x
n
1
t
1
1
lnn x
� L .ln n
C .ln nx
C .ln n
C
n
n
n
t 1
ln x
ln x xn
1
xn
n
Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Câu 17:
Phân tích:
Ta có:
x
�
3
x2 2 x dx
1 4 1 3 4 3
x x
x C
4
3
3
.
Đáp án đúng là A.
Câu 18:
Phân tích:
Ta có:
1
2
1
� 12
�
�1
�
2
3
3
2
3
dx
x
2
x
3
dx
2
x
3
x
3x C 2 x 33 x2 3x C
�
�
�
� �
�
�
�
3
x
�x
�
�
�
.
Đáp án đúng là A.
Câu 19:
Phân tích:
Ta có:
1
1
1 �1
1 �
1
1
x 6
dx �
dx �
dx ln x 6 ln x 1 C ln
C
�
�
�
5 �x 6 x 1�
5
5 x 1
x 7x 6
x 1 x 6
2
.
Đáp án đúng là B.
Trang 16
Câu 20:
Phân tích:
Ta có:
2x3 6x2 4x 1
�
1
�
�
1
1 �
x 2
2x 2
dx �
2x
dx x2 ln
C
�
�
�
�
� x2 3x 2 dx �
x 2 x 1�
x 1
x 3x 2 �
�
�
Đáp án đúng là D.
Câu 21:
Phân tích:
Ta có:
�2
3x 3
3x 3
1 �
dx �
dx �
dx 2ln x 1 ln x 2 C
�
�
2
x 2
1 x x 2
�1 x x 2 �
�
x
Đáp án đúng là B.
Câu 22:
Phân tích:
Ta có:
1
�x 1
dx � x 2 x 1 dx
x 2
x 2
3
x 1
3
.
C
.
Đáp án đúng là C.
Câu 23:
Phân tích:
Ta có:
sin2x cos x dx 21cos2x sin x C
�
.
Đáp án đúng là C.
Câu 24:
Phân tích:
Ta có:
� 2x 1
�
x
x
�2x1 x3
�35x 1
�
�
e2x1 2
5 35x1 2 3x
3
3
�e 2 �
dx
dx
e
2
e
dx
e
2
e
dx
e e C
�
�
�
�
�3 ex
�
x
�
� �
�
�
� x
� �
3
3
�
�
�
�
e3 �
�e3
.
Đáp án đúng là D.
Câu 25:
Phân tích:
Ta có:
�
sin 2x 3 cos 3 2x �
�
�
�dx 2cos 2x 3 2sin 3 2x C .
Đáp án đúng là A.
Câu 26:
Phân tích:
Ta có:
�
1 cos 6x 2
�
sin 3x 1 cos x�
dx �
�
�
�
�
�
2
2
�
�
�
1 1
� 1
cos x�
dx �
cos 6x 2 cos x�
dx x 3sin 6x 2 sin x
�
2
2
2
�
�
�
�
Đáp án đúng là A.
Câu 27:
Phân tích:
Ta có:
�
1� 2
dx
2 �
� 3
� x 1
�
x
�
Theo đề bài, ta lại có:
F x
2
3
x 1
3
x 1
3
1
C
x
.
F 3 6 �
2
3
3 1
3
1
1
C 6� C
3
3.
1 1
x 3.
Trang 17
Đáp án đúng là B.
Câu 28:
Phân tích:
Ta có:
�
4x
�
�
3
2 m 1 x m 5�
dx x4 m 1 x2 m 5 x C
�
.
Lại có:
�
�
C1
C1
�F 0 1 �
��
��
�
1 m 1 m 5 C 8 �
m 1
�F 1 8 �
F x x4 6x 1
Vậy
Đáp án đúng là B.
Câu 29:
Phân tích:
.
2
Đặt t x 1� dt 2xdx .
x
1 1
1
� �2
dx ... �dt ln t C
2 t
2
x 1
.
Đáp án đúng là C.
Câu 30:
Phân tích:
Ta có:
sin
�
3
� �
3
3 2
x cos3 x dx 3cos x.sin2 x 3sin x.cos2 x C sin2x sin x cos x C
sin2xsin �
x � C
2
2
� 4�
.
Đáp án đúng là C.
Câu 31:
Phân tích:
1
1
dx � dt dx
2x
x .
Đặt
ln2x
1
� � dx ... �
tdt t2 C
x
2
.
t ln2x � dt 2.
Đáp án đúng là A.
Câu 32:
Phân tích:
� �
1
x tan t,t ��
; �� dx
dt
2
2
2
cos
t
�
�
Ta đặt :
.
1
� �2
dx ... �
dt t C
x 1
.
Đáp án đúng là D.
Câu 33:
Phân tích:
Ta biến đổi:
1
I �
dx
2
4 x 1
.
� �
x 1 2sin t,t ��
, �� dx 2costdt
2 2�
�
Đặt
.
�I �
dt t C
.
Đáp án đúng là D.
Câu 34:
Phân tích:
Trang 18
sin x
cos x
dx � dx
tan x cot x dx �
�
cos x
sin x .
Ta có:
sin x
1
I 1 � dx
t cos x � dt sin xdx � I 1 �dt ln t C1
cos x . Đặt
t
Xét
.
cos x
1
I 2 � dx
u sin x � du cos xdx � I 2 �du ln u C2
sin x . Đặt
u
Xét
.
� I I 1 I 2 ln t ln u C
Đáp án đúng là A.
Câu 35:
Phân tích:
Ta có:
2 sin x cos x
2sin x 2cos x
I �
dx �
dx
3
2
1 sin2x
3
sin x cosx
Đặt
t sin x cos x � dt sin x cos x dx
.
.
1
3
2
1
� I � dt 2.
t C 63 t C
3 2
� 2�
t
1 � �
� 3�
.
Đáp án đúng là B.
Câu 36:
Phân tích:
Ta đặt:
�
1
du dx
�
�
u ln x
�
x
��
�
dv xdx � x2
�
v
� 2
.
�I �
xln xdx
x2
1
ln x �xdx
2
2
.
Đáp án đúng là B.
Câu 37:
Phân tích:
Ta đặt:
�
u x
�
du dx
��
�
dv sin xdx �
v cos x
�
.
�I �
xsin xdx xcos x �
cos xdx
.
Đáp án đúng là C.
Câu 38:
Phân tích:
Ta biến đổi:
�1 cos2x �
1
1
1
1
I �
xsin2 xdx �
x�
dx �
xdx �
xcos2xdx x2 �
x cos2xdx C1
�
2
2
4
21 4 2 4 3
� 2
�
I1 �
xcos2xdx
I1
.
�
du dx
�
u x
�
�
�
� 1
dv cos2x �
v sin2x
�
� 2
Đặt
.
� I1 �
xcos2xdx
1
1
1
1
xsin2x �
sin2xdx xsin2x cos2x C
2
2
2
4
.
Trang 19
1� 1
�
1
1
1
� I �x2 cos2x xsin2x� C 2x2 2xsin2x cos2x C cos2x x2 xsin2x C
4� 2
8
8
4
�
.
Đáp án đúng là C.
Câu 39:
Phân tích:
Ta có:
I �
exdx ex C
.
Đáp án đúng là D.
Câu 40:
Phân tích:
Ta có:
I �
ex 1 x dx �
exdx �
ex xdx ex C1 �
xexdx
1 2 43
I1
Xét
I1 �
e xdx
Đặt
�
u x
�
du x
�� x
�
x
dv e dx �
v e
�
.
x
.
.
� I 1 xex �
xexdx � I 1
1 x
xe C2
2
.
1
� I ex xex C
2
.
Đáp án đúng là B.
Câu 41:
Phân tích:
Ta đặt:
�
u x
�
du dx
��
�
2
du sin xcos x �
u cos3 xdx
�
.
�I �
xsin xcos2 xdx xcos3 x �
cos3 xdx C1
14 2 43
I1
�
Xét 1 �
Đặt t sin x � dt cos xdx .
I cos xdx cos x 1 sin x dx
3
2
.
.
1
� I1 �
1 t2 dt t t3 C2
3
.
1
� I xcos3 x I 1 xcos3 x t t3 C
3
.
Đáp án đúng là A.
Câu 42:
Phân tích:
Ta đặt:
�
u ln cos x
�
du tan xdx
�
��
�
dx
v cot x
dv
�
�
sin2 x
�
.
� I cot x.ln cos x �
dx cot x.ln cos x x C
.
Đáp án đúng là B.
Câu 43.
Phân tích:
Cách 1:
Trang 20
x
�
2
Theo đề, ta cần tìm
Ta có:
x
�
2
2x3 dx
. Sau đó, ta xác định giá trị của a .
1
1
2x3 dx x3 x4 C
3
2
.
x
�
2
x3 dx
a 3 b 4
x x C
a 1, b 2.
4
có dạng 3
thì
Suy ra để
Vậy đáp án chính xác là đáp án B.
Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ.
a 3 b 4
x x C
4
Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào 3
. Sau đó, với mỗi a của các đáp án ta lấy đạo hàm
a 3 b 4
x x C
4
của 3
.
Ví dụ:
a 3 b 4
2 3 b 4
2 3 b 4
x x C
x x C
x x C
a
2
3
4
3
4
4
A.Thay
vào
ta được
. Lấy đạo hàm của 3
:
�
�2 3 b 4
�
2
3
� x x C � 2x bx
x2 2x3 2x2 bx3 ,x ��
4
�3
�
, vì khơng tồn tại số hữu tỉ b sao cho
nên ta loại
đáp án A.
a 3 b 4
1 3 b 4
1 3 b 4
x x C
x x C
x x C
4
4
4
B.Thay a 1 vào 3
ta được 3
. Lấy đạo hàm của 3
:
�
�1 3 b 4
�
2
3
� x x C � x bx
x2 2x3 2x2 bx3 ,x��
4
�3
�
, vì tồn tại số hữu tỉ b sao cho
( cụ thể b 2��)
nên ta nhận đáp án B.
a 3 b 4
b
b
x x C
3x3 x4 C
3x3 x4 C
4
4
4
C.Thay a 9 vào 3
ta được
. Lấy đạo hàm của
:
�
� 3 b 4
�
3x x C � 9x2 bx3
�
9x2 2x3 2x2 bx3 ,x��
4
�
�
, vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho
nên ta loại
đáp án C.
a 3 b 4
32 3 b 4
32 3 b 4
x x C
x x C
x x C
4
4
4
D.Thay a 32 vào 3
ta được 3
. Lấy đạo hàm của 3
:
�
�32 3 b 4
�
2
3
x
x
C
�
� 32x bx
32x2 2x3 2x2 bx3 ,x��
3
4
�
�
, vì khơng tồn tại số hữu tỉ b sao cho
nên ta
loại
đáp án D.
Chú ý:
2
2
3
2
3
2
3
2
3
Ta chỉ cần so sánh hệ số của x ở 2 vế của đẳng thức x 2x 2x bx ; 9x 2x 2x bx ;
32x2 2x3 2x2 bx3 và có thể loại nhanh các đáp án A, C, D.
Sai lầm thường gặp:
A. Đáp án A sai.
Một số học sinh không đọc kĩ đề nên tìm giá trị của b . Nên khoanh đáp án A.
C. Đáp án C sai.
Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm như sau:
x
�
2
2x3 dx 3x3 8x4 C
x
�
2
.
2x3 dx 3x3 8x4 C
Vì thế, a 9 để
Học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm.
D. Đáp án D sai.
a 3 b 4
x x C
4
có dạng 3
.
Trang 21
Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm như sau:
x
�
2
2x3 dx 3x3 8x4 C
.
Học sinh không đọc kĩ yêu cầu đề bài nên tìm giá trị b .
x
�
2
2x3 dx
a 3 b 4
x x C
4
có dạng 3
thì b 32 .
Để
Thế là, học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm.
Câu 44.
Phân tích:
Cách 1:
�1
�x
�
�3
Theo đề, ta cần tìm �
Ta có:
3
1 3 5 �
x �
dx
�
5
� . Sau đó, ta xác định giá trị của a .
�1 3 1 3 5 �
1
1 3 6
x �
dx x4
x C
�x
�
�3
�
5
30
�
� 12
.
�1
�x
�
�3
3
1 3 5 �
1 3
a 4 b 6
x �
dx
a 1��, b
��.
x x C
�
5
� có dạng 12
5
6
thì
Suy ra để �
Vậy đáp án chính xác là đáp án D.
Cách 2: Dùng phương pháp loại trừ.
a 4 b 6
x x C
a
12
6
Ta thay giá trị của ở các đáp án vào
. Sau đó, với mỗi a của các đáp án ta lấy đạo hàm
a 4 b 6
x x C
6
của 12
.
Ví dụ:
a 4 b 6
1 4 b 6
1 4 b 6
x x C
x x C
x x C
6
6
6
A.Thay a 1 vào 12
ta được 12
. Lấy đạo hàm của 12
:
�1
�1 4 b 6
�
3
5
1 3 1 3 5 1 3
� x x C � x bx
x
x x bx5 ,x ��
6
�12
� 3
b
3
5
3
, vì khơng tồn tại số hữu tỉ
sao cho
nên ta
loại đáp án A.
a 4 b 6
b
b
x x C
x4 x6 C
x4 x6 C
a
12
12
6
6
6
B.Thay
vào
ta được
. Lấy đạo hàm của
:
�
�4 b 6
�
3
5
1 3 1 3 5
x
x
C
�
� 4x bx
x
x 4x3 bx5 ,x��
� 6
�
5
, vì khơng tồn tại số hữu tỉ b sao cho 3
nên ta
loại đáp án B.
C. Loại đáp án C.
36
1 3 ��
Ta có thể loại nhanh đáp án C vì 5
và a��.
Vậy đáp án chính xác là đáp án D.
Sai lầm thường gặp:
A. Đáp án A sai.
Một số học sinh khơng đọc kĩ đề nên sau khi tìm được giá trị của a ( khơng tìm giá trị của b ).Học sinh
khoanh đáp án A và đã sai lầm.
B. Đáp án B sai.
Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm và chỉ tìm giá trị của a như sau:
6 1 3
�1 3 1 3 5 �
1 4
1 3 6
4
x
x
dx
3
�
x
6
�
x
C
x
x6 C
�
�
�
�3
�
5
3
5
5
�
�
.
Trang 22
6 1 3
�1 3 1 3 5 �
4
a 4 b 6
x
x
dx
x
x6 C
�
�
�
x x C
�3
�
5
5
�
6
Vì thế, a 12 để �
có dạng 12
.
Thế là, học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm.
C. Đáp án C sai.
Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm và chỉ tìm giá trị của b do khơng đọc kĩ yêu
cầu bài toán:
6 1 3
�1 3 1 3 5 �
1 4
1 3 6
4
x
x
dx
3
�
x
6
�
x
C
x
x6 C
�
�
�
�3
�
5
3
5
5
�
�
.
6 1 3
�1 3 1 3 5 �
4
a 4 b 6
x
x
dx
x
x6 C
�
�
�
x x C
�3
�
5
5
�
�
6
có dạng 12
.
36
b
1 3
5
Vì thế,
để
Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm.
Câu 45.
Phân tích:
Cách 1:
Theo đề, ta cần tìm
Ta có:
2x
�
2x
�
x2 1 x ln x dx
. Sau đó, ta xác định giá trị của a .
x2 1 xln x dx �
2x x2 1dx �
xln xdx
Để tìm
2x
�
x 1 xln x dx
2
.
I1 �
2x x 1dx
2
ta đặt
và
I2 �
xln xdx
và tìm I 1 , I 2 .
* 1 �
.
Dùng phương pháp đổi biến.
I 2x x2 1dx
2
t2 x2 1, xdx tdt
Đặt t x 1, t �1 ta được
.
Suy ra:
2
2
I1 �
2x x2 1dx �
2t2dt t3 C1
3
3
3
x2 1 C1
, trong đó C1 là 1 hằng số.
* 2 �
.
Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần.
I xln xdx
�
1
du dx
�
�
u ln x
�
x
��
�
dv
xdx
1
�
�
v x2
�
2
Đặt
, ta được:
1
1
1
1
1
1
1
I2 �
xln xdx �
udv uv �
vdu x2 ln x �x2 � dx x2 ln x �
xdx x2 ln x x2 C2
2
2
x
2
2
2
4
.
2x x 1 xln x dx I I 23 x 1 C 21x ln x 41 x C 23 x 1 21 x ln x 41 x C .
�
a
b
1
x 1 x ln x x C
2x x 1 xln x dx
�
6
4
Suy ra để
có dạng 3
thì a 2��, b 3��.
2
3
2
1
2
2
2
1
Vậy đáp án chính xác là đáp án B.
Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ.
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
3
a
b
1
x2 1 x2 ln x x2 C
2
4
Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào 3
. Sau đó, với mỗi a của các đáp
3
a
b
1
x2 1 x2 ln x x2 C
2
4
án ta lấy đạo hàm của 3
.
Khơng khuyến khích cách này vì việc tìm đạo hàm của hàm hợp phức tạp và có 4 đáp án nên việc tìm đạo
hàm trở nên khó khăn.
Trang 23
Sai lầm thường gặp:
A. Đáp án A sai.
Một số học sinh khơng đọc kĩ đề nên chỉ tìm giá trị của b . Học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm.
C. Đáp án C sai.
Một số học sinh chỉ sai lầm như sau:
I1 �
2x x2 1dx
*
.
Dùng phương pháp đổi biến.
2
t2 x2 1, tdt 2xdx
Đặt t x 1, t �1 ta được
.
Suy ra:
1
1
I1 �
2x x2 1dx �
t2dt t3 C1
3
3
3
x2 1 C1
, trong đó C1 là 1 hằng số.
1 2
1
x ln x x2 C2
2
4
Học sinh tìm đúng
theo phân tích ở trên.
3
1
1
1
1
2
2
2
x
x
1
x
ln
x
dx
I
I
x
1
C1 x2 ln x x2 C2
1
2
�
3
2
4
3
I2
2
�2x x 1 xln x dx
a
có dạng 3
Suy ra để
Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm.
D. Đáp án D sai.
Một số học sinh chỉ sai lầm như sau:
3
x2 1
1 2
1
x ln x x2 C
2
4
.
3
b
1
x2 1 x2 ln x x2 C
a 1, b 3
6
4
thì
.
I1 �
2x x2 1dx
*
.
Dùng phương pháp đổi biến.
2
t2 x2 1, tdt 2xdx
Đặt t x 1, t �1 ta được
.
Suy ra:
1
1
I1 �
2x x2 1dx �
t2dt t3 C1
3
3
3
x2 1 C1
, trong đó C1 là 1 hằng số.
1 2
1
x ln x x2 C2
2
4
Học sinh tìm đúng
theo phân tích ở trên.
3
1
1 2
1 2
1
2
2
�2x x 1 xln x dx I 1 I 2 3 x 1 C1 2 x ln x 4 x C2 3
I2
2x x 1 xln x dx có dạng 3a
�
3
x2 1
1 2
1
x ln x x2 C
2
4
.
3
b
1
1
x2 1 x2 ln x x2 C
a 1��, b ��
6
4
3
Suy ra để
thì
.
b
Thế là, học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm do tính sai giá trị của .
2
Câu 46.
Phân tích:
Cách 1:
�3
�x
�
�
Theo đề, ta cần tìm �
Ta có:
�3
�x
�
�
�
x 1
x 1
1 1 3 �
dx
�
2 �
x2
� . Sau đó, ta xác định giá trị của a .
� 3 1 1 3 �
1 1 3 �
dx
dx �x 1dx
�
�x 2
�
�
�
2 �
2 �
x2
x
�
�
�
.
� 3 1 1 3 �
I1 �
dx
�x 2
�
2x x 1 xln x dx
� x
I
x 1dx
2 �
�
�
�
Để tìm
ta đặt
và 2 �
và tìm I 1 , I 2 .
� 3 1 1 3 �
I1 �
dx
�x 2
�
� x
2 �
�
�
*Tìm
.
2
Trang 24
� 3 1 1 3 �
1
1 1 3
I1 �
dx x4
x C1
�x 2
�
� x
�
2 �
4
x
2
�
, trong đó C1 là 1 hằng số.
I 2 �x 1dx
*Tìm
.
Dùng phương pháp đổi biến.
2
Đặt t x 1,t �0 ta được t x 1, 2tdt dx .
3
2
2
I 2 �x 1dx �
2t2dt t3 C2
x 1 C2
3
3
Suy ra
.
3
�3
1 1 3 �
1 4 1 1 3
2
1
1 1 3
2
x
x
1
dx
I
I
x
x
C
x
1
C2 x4
x
x 1
�
�
1
2
1
�
2
�
�
2 �
4
x
2
3
4
x
2
3
x
�
�3
1 1 3 �
3
a 4 1 1 3
b
dx
�x x 1 2
�
�
x
x
x
1
C
�
�
2 �
x
�
x
2
3
Suy ra để
có dạng 4
thì
a 1��, b 2��.
3
Vậy đáp án chính xác là đáp án D.
Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ.
3
a 4 1 1 3
b
x
x
x 1 C
a, b
x
2
3
Ta thay giá trị của
ở các đáp án vào 4
. Sau đó, với mỗi
ở các
3
a
b
1
x2 1 x2 ln x x2 C
2
4
đáp án A, B, D ta lấy đạo hàm của 3
.
a, b
Sai lầm thường gặp:
A. Đáp án A sai.
Một số học sinh không chú ý đến thứ tự
B. Đáp án B sai.
Một số học sinh chỉ sai lầm như sau:
b, a
nên học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm.
*Tìm 2 �
.
Dùng phương pháp đổi biến.
I
x 1dx
2
Đặt t x 1,t �0 ta được t x 1, tdt dx .
3
1
1
I 2 �x 1dx �
t2dt t3 C2
x 1 C2
3
3
Suy ra
.
3
�3
1 1 3 �
1
1 1 3
1
1
1 1 3
1
dx I 1 I 2 x4
x C1
x 1 C2 x4
x
x 1
�x x 1 2
�
�
�
2 �
4
x
2
3
4
x
2
3
x
�
�
�3
1 1 3 �
3
a 4 1 1 3
b
dx
�x x 1 2
�
�
x
x
x
1
C
�
�
2 �
x
�
x
2
3
Suy ra để
có dạng 4
thì
a 1��, b 1��.
Thế là, học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm.
C. Đáp án C sai.
Một số học sinh chỉ sai lầm như sau:
*Tìm
I 2 �x 1dx
I 2 �x 1dx
�3
�x
�
�
Suy ra �
.
1
2 x 1
x 1
a,b
C2
.
1 1 3 �
a 4 1 1 3
b
dx
�
x
x
2 �
x2
� khơng thể có dạng 4
x
2
3
3
x 1 C
, với
a, b��
.
Nên khơng tồn tại
thỏa u cầu bài tốn.
Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm.
Câu 47.
Trang 25
3