Phương pháp collocation với cơ sở b spline bậc năm giải phương trình truyền nhiệt một chiều

(16):

của hệ phƣơng trình (15) ta đƣợc hệ phƣơng trình
A

H

với A là ma trận 5 đƣờng chéo
6
0 0
0
...
0 
 54 60


 101 135 105 1 0
0
...
0 
 4
2
4

 1
26 66 26 1
0
...
0 



...
...
 ...

A

...
...
...


 0
...
0
1 26 66 26
1 


105 135 101 
 0
...
0
0 1

4
2
4 
 0
...

0
0 0
6
60 54 


(16)


TẠP CHÍ KHOA HỌC  SỐ 4/2016

133

H

.

2.2. Sự ổn định
Ch ng ta sẽ chứng minh hệ phƣơng trình sai phân (10) ổn định Von – Neumann.
Đặt

n

} với

{

√

là số mode. Khi đó phƣơng trình (10) trở thành:

1


. exp 2ih  exp 2ih  1 . exp ih  exp ih  1
2
2
 2
2
2
2
. exp 2ih  exp 2ih  . exp ih  exp ih 
2 
2
2

21 cos 2 (h)  1 cos(h)  1  1
2

.
2
2
22 cos (h)   2 cos(h)    2
2

1
 1
2
Để tìm miền giá trị của  ta xét hàm số: y 


22 x 2  2 x  2  2
2
21x 2  1x 

Với: 1  x  1.
Đạo hàm của y ta có:

y, 

120h 2 t(2x 2  6x  7)
.
[(h 2  10)x 2  (13h 2  10)x  16h 2  20t]2

Dễ thấy: y‟(x) > 0, với 1  x  1. Nên y đồng biến trên khoảng đã cho.
Mặt khác ta nhận đƣợc:

8h 2  40t
 1
 y(1)  2
8h  40t

 y(1)  1.


Do đó: 1  y(x)  1, x [-1, 1]    1.
Vậy (10) ổn định vô điều kiện.
2.3. Kết quả số
Xét phƣơng trình truyền nhiệt:

134

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI

u xx  u t  0, 0  x  1,

(17)

Với điều kiện đầu:
u(x,0)  sin(x),

(18)

Các điều kiện biên:
u(0, t)  u(1, t)  0, t  0,

2
u x (0, t)  exp - t

2
u x (1, t)  exp - t

u xx (0, t)  u xx (1, t)  0.

(19)

 

Bài tốn (17), (18), (19) có nghiệm đ ng: u(x, t)  exp -2 t sin x.
Kết quả số cho theo các bảng sau:

Bảng 2. So sánh kết quả số với t  0,0001;h  0,0125
x

0,3

0,6

0.9

t
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,1
0,2

0,3
0,4
0,5

Nghiệm xấp xỉ
0,30302
0,11315
0,04218
0,01574
0,00588
0,00221
0,00084
0,00033
0,00014
0,35725
0,13302
0,04958
0,01849
0,00691
0,00259
0,00098
0,00038
0,00016
0,11628
0,04322
0,01612
0,00602
0,00226

Nghiệm đúng

0,30153
0,11238
0,04186
0,01561
0,00582
0,00217
0,00081
0,00030
0,00011
0,35446
0,13211
0,04924
0,01835
0,00684
0,00255
0,00095
0,00035
0,00014
0,11519
0,04293
0,01600
0,00596
0,00222


TẠP CHÍ KHOA HỌC  SỐ 4/2016
0,6
0,7
0,8
0,9

135
0,00086
0,00033
0,00014
0,00007

0,00083
0,00031
0,00012
0,00004

Bảng 3. So sánh kết quả với t = 0,5 v t  0, 0001
Nghiệm xấp xỉ

Nghiệm đúng

x
h = 0,05

h = 0,025

h = 0,1667

h = 0,0125

0,1

0,00230

0,00228

0,00226

0,00226

0,00222

0,2

0,00430

0,00429

0,00428

0,00428

0,00423

0,3

0,00589

0,00589

0,00589

0,00588

0,00582

0,4

0,00691

0,00692

0,00691

0,00691

0,00684

0,5

0,00726

0,00727

0,00727

0,00726

0,00719

0,6

0,00691

0,00692

0,00691

0,00691

0,00684

0,7

0,00589

0,00589

0,00589

0,00588

0,00582

0,8

0,00430

0,00429

0,00428

0,00428

0,00423

0,9

0,00230

0,00228

0,00227

0,00226

0,00223

Hình 1. Đồ thị của h m cơ sở B-spline bậc 5


136

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐƠ HÀ NỘI

Hình 2. Đồ thị đạo h m của B – spline bậc 5

Hình 3. Đồ thị mặt nghiệm xấp xỉ

3. KẾT LUẬN
Bài báo đã trình bày phƣơng pháp collocation trong đó sử dụng hệ cơ sở B – spline
bậc năm giải xấp xỉ phƣơng trình truyền nhiệt một chiều. Sự ổn định của hệ phƣơng trình
sai phân tƣơng ứng đã đƣợc chứng minh. Đồng thời qua ví dụ khẳng định tính hiệu quả của
phƣơng pháp.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.

G. Arora, R. C. Mittal, B. K. Singh (2014), “Numerical solution of BBM – Burger equation
with quartic B – spline collocation method”, J. of Engineering, Special issue on ICMTEA
2013 conference, December, pp.104-116.


TẠP CHÍ KHOA HỌC  SỐ 4/2016
2.

3.
4.

5.
6.

137

Behnam Sepehrian, Mahmood Lashami (2008), “A numerical solution of the Burgers
equation using quintic B – spline”, Proceeding of the World Congress on Engineering, Vol.
III, WCE 2008, London, U.K. .
Duygu Dӧnmer Demiz, Necdet Bildik (2012), “The numerical solution of Heat problem using
cubic B – spline”, Applied Mathematics, 2(4), pp.131-135.
Joan Goh, Ahmad Abd. Majid, and Ahmad Jzani Md. Ismail (2012), “Cubic B – spline
collocation method for one – dimensional Heat and advection – diffusion equations”, J. of
Applied Mathematics, Vol., Article IO 458710.
A. A. Karawia, “Two algorithms for solving a general backward pentadiagonal linear
systems”, />P. M. Prenter (2008), “Spline and variational methods”, Dover Publications, New York.

QUINTIC B – SPLINE COLLOCATION METHOD
FOR ONE – DIMESIONAL HEAT EQUATION
Abstract: This paper discusses solving one the dimensional heat equation. Numerical
solutions are obtained by collocation method based on quintic B – spline. The stability
analysis of the scheme is examined by the Von Neumann approach. On the other hand, a
comparative study between the numerical and the exact is illustrated.
Keywords: Collocation method, B – spline, Finite element method