de thi HSG 6

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2011 - 2012 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút (Không kể thời gian phát đề) ----------------------------Bài 1: ( 2 điểm) 1. Thực hiện tính A bằng cách nhanh( hợp lý) nhất: 2010 x 2011  1005 A = 2010 x 2010 1005. 2. Thực hiện phép tính:. ( 23 )(1 − 25 ) . ..(1 − 992 ). B = 33 1 − Bài 2: (2 điểm). Cho M = 2 + 22 + 23 + … + 220 a. Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5. b. Tìm chữ số tận cùng của M. Bài 3: ( 2 điểm ) 1. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho : n+5 ⋮ n–2 2. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho : (2x + 1)(y – 3) = 10 Bài 4: ( 3 điểm) 1. Cho đoạn thẳng AB = a , điểm C nằm giữa A và B, điểm M là trung điểm của AC , điểm N là trung điểm của CB. Hãy chứng tỏ rằng MN =. a 2. .. 2. Hình thang vuông ABCD có góc A và góc D vuông. Đường chéo AC cắt đường cao BH tại I. So sánh diện tích tam giác IDC và diện tích tam giác BHC. Bài 5 (1 điểm) Cho A = 3.(22+1).(24+1).(28+1).(216+1) Không làm phép tính, hãy rút gọn biểu thức rồi tìm số tận cùng của A.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ------------------------------HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: ( 2 điểm) 1) Thực hiện tính A bằng cách nhanh (hợp lý) nhất: 2010 x 2011  1005 2010 x (2010 1)  1005 2010 x 2010  2010  1005  2010 x 2010  1005 2010 x 2010  1005 2010 x 2010 1005 A= = 2010 x 2010 1005 1 2010 x 2010  1005 =. 2) Thực hiện phép tính:. ( 23 )(1 − 25 ) . ..(1 − 992 ). B = 33 1 −. = 33.. 1 3 5 97 . . ... 3 5 7 99. = 33.. 1 99. =. 1 3. Bài 2: (2 điểm) Cho M = 2 + 22 + 23 + … + 220 a) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5 : M = 2 + 22 + 23 + … + 220 = (2 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + … + (217 + 218 + 219 + 220) = 2.(1 + 2 + 22 + 23 ) + 25.(1 + 2 + 22 + 23) + … +217.(1 + 2 + 22 +23) = 2. 15 + 25.15 + …+ 217.15 = 15. 2(1 + 24 + …+ 216) = 3 . 5 .2 .(1 + 24 + …+ 216) ⋮ 5 b) Tìm chữ số tận cùng của M: Dễ thấy M ⋮ 2 ; M ⋮ 5 mà ƯCLN( 2; 5) = 1 nên M ⋮ 10. Do đó M tận cùng bằng chữ số 0. Bài 3: ( 2 điểm ) 1) Ta có : n + 5 = (n – 2) + 7 ⋮ n – 2 ⇒ ⇒ n–2 Ư(7) = { ±1 ;± 7 } n–2 1 -1 7 -7 n 3 1 9 -5 Vậy : n. 7 ⋮. n–2. { 3 ; 1; 9 ; − 5 }. 2) Ta có x , y N nên (2x + 1) và (y - 3) là các ước của 10. Hơn nữa 2x + 1 > 0 và là số lẻ nên 10 = 1 . 10 = 5 . 2 Do đó :. ¿ 2 x +1=1 y − 3=10 ¿{ ¿. ¿ 2 x +1=5 hoặc y −3=2 ¿{ ¿.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Suy ra :. ¿ x=0 y=13 ¿{ ¿. ¿ x =2 y=5 ¿{ ¿. hoặc. Bài 4: ( 3 điểm) 1) M là trung điểm của AC nên : AM = MC = N là trung điểm của CB nên : CN = NB = Suy ra : MC + CN =. 1 .AC 2 1 .CB 2. 1 ( AC + CB ) 2. C nằm giữa A và B nên C nằm giữa M và N . C nằm giữa M và N ⇒ MC + CN = MN C nằm giữa A và B ⇒ AC + CB = AB = a Do đó : MN =. a . 2. 2) Nối BD. Ta có : SBDC = SADC ( cùng đáy DC và chiều cao BH bằng AD) SBDH = SDBA (=. 1 S ) 2 ABHD. ;. SDBA = SIAD ( cùng đáy AD và chiều cao bằng nhau). Do đó : SBHC = SBDC – SBDH = SBDC - SDBA = SADC – SIAD = SIDC Vậy : SBHC = SIDC . Bài 5 (1 điểm) Rút gọn A ta có: A = 3(22+1).(24+1).(28+1).(216+1) = (4-1).(22+1).(24+ 1).(28+1).(216+1) = [(22 - 1).(22+1)] x (24+ 1).(28+1).(216+1) = (24-1).(24+1).(28+1).(216+1) = (28-1).(28+1).(216+1) = (216-1)(216+1) = 232 - 1 Biết 232 tận cùng là 2  A = 232 – 1 tận cùng bằng 1 (ĐS).

<span class='text_page_counter'>(4)</span>