Chu de 2 PHAN TICH DA THUC THANH NHAN TU 1

<span class='text_page_counter'>(1)</span>“SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”. Chủ đề 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (1) ! 1. Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. VD: a) 2x2 + 5x - 3 = (2x - 1).(x + 3) b) x - 2. √x. y +5. √ x - 10y = [( √ x ) – 2 y √ x ] + (5 √ x - 10y) = √ x ( √ x - 2y) + 5( √ x - 2y) = ( √ x - 2y)( √ x 2. + 5). 2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phương ph¸p 1: ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG LÝ thuyÕt: Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác. a) Phương pháp đặt nhân tử chung được dùng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung. Cụ thể: AB + AC + AD = A( B + C + D) b) C¸c bước tiÕn hµnh: -Bước 1: Phát hiện nhân tử chung và đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc. -Bước 2: ViÕt c¸c h¹ng tö trong ngoÆc b»ng c¸ch chia tõng h¹ng tö cña ®a thøc cho nh©n tö chung. VD1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) B = 17x3y - 34x2y2 + 51xy3 b) D = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by). .  . . c) 3 x − y -5x y − x. Giải: a) B = 17x3y - 34x2y2 + 51xy3 Þ B = 17xy( x2 - 2xy + 3y2) b)D = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) Þ D = 2x2(ax + 2by + ax - by) = 2x2(2ax + by).. .  .  . . . . . . .  . . c) 3 x − y -5x y − x =3 x − y -5x − x − y =3 x − y +5x x − y = x − y 3+5x. VD2: Tìm x , biết:. . x=3 x−3=0 ⇔[ ⇔[ 1 5 x−1=0 x= 5. 1 Vậy giá trị cần tìm là: x = 3, x= 5 BÀI TẬP: 1) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö :. a) 2x2 + x b) 16x2(x - y) -10y(y - x) c) 14x2 – 21xy2 + 28x2y2 f ) x 2-3x+xy-3y e) 3x2-3xy-5x+5y 2) Tìm x, biết:. . . x x −2 +x-2=0 VD2: Giải phương trình: x + √2 x - 3 = 0 Giải: Ta có: x + √ 2 x -3 = 0  (1+ √ 2 ) x -3 = 0. 3  (1+ √ 2 ) x = 3  x= 1+ √ 2. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là : S = GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 1. {. 3 1+ √ 2. }. d ) 2(x + 3) – x(x + 3).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” BÀI TẬP: Giải phương trình:. a) (x - 1)(5x + 3) = (3x - 8)(x - 1). b) 5x(x - 3) + 10(x - 3) = 0. Phương pháp 2: DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC LÝ thuyÕt: Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức. a) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức được dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức. b) Các hằng đẳng thức quan trọng 3 3 2 2 1. a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 6. a  b (a  b)(a  ab  b ) 2. a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 an + bn =(a + b)(an-1 - an-2b + ... - abn-2 + bn-1). 3. a2 - b2 = (a + b).(a - b) 3 2 2 3 3 4. a + 3a b + 3ab + b = (a + b) 7. a3  b3 (a  b)(a2  ab  b2 ) 5. a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3. an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + ... + abn-2 + bn-1).. 8. a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 VD1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) A = x2 - 4 b) B = x2 + 2xy + y2 - 25. .  . . d ) a +b 2- a −b. c) C = (x + y)2 - 2(x + y) + 1. e ) 2x-2y-x2 +2xy-y 2. 2. Giải: a) A = x2 - 4 ⇒ A = x2 - 22 = (x - 2)(x + 2). b) B = x2 + 2xy + y2 - 25 ⇒ B = (x + y)2 - 52 = (x + y + 5)(x + y - 5). c) C = (x + y)2 - 2(x + y) + 1 ⇒ C = [( x + y) - 1] 2 = ( x + y - 1)2. .  . . .  .   a +b −  a −b = a +b +a −b  a +b −a +b =2a.2b=4ab. d ) a +b 2- a −b 2 = a +b + a −b. . .  . .  . . .  . . . e ) 2x-2y-x 2 +2xy-y 2 = 2x-2y - x2 −2xy +y 2 =2 x −y - x −y 2 = x −y 2 − x − y = x −y 2 −x + y. d ) x 2 + 4x + 4 - y2 2. 2 VD2: Giải phương trình: ( x+1 ) =4 ( x −2 x +1 ) Giải: Ta có:. ( x+1 )2=4 (x 2 −2 x+1 )⇔ x 2 +2 x +1=4 x 2−8 x + 4 ⇔ x 2 +2 x−4 x 2 +8 x=4−1 ⇔−3 x 2 +10 x=3 ⇔−3 x2 +9 x+ x −3=0 ⇔−3 x ( x−3)+1 .( x−3 )=0 x=3 x −3=0 x =3 ⇔( x−3 )(−3 x +1)=0⇔[ ⇔[ ⇔[ 1 −3 x +1=0 −3 x=−1 x= 3 1 ;3 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S={ 3 } BÀI TẬP: 1. Giải phương trình:. a) (x2 + 2x + 1) - 9 = 0 2 2 2. Tính: g ) 2xy-x -y +16. b) x3 - 1 = x(x - 1) f ) x 3 + 2x2 y + x y 2 - 9x. Phương pháp 3: NHÓM CÁC HẠNG TỬ LÝ thuyÕt: Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ. Phương ph¸p nµy thường được dïng cho nh÷ng ®a thøc cÇn ph©n tÝch thµnh GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” nhân tử cha có nhân tử chung hoặc cha áp dụng ngay được hằng đẳng thức mà sau khi nhóm các hạng tử đó hoặc biến đổi sơ bộ rồi nhóm lại thì xuất hiện hằng đẳng thức hoặc có nhân tử chung, cụ thể: Bước 1: Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm. Bước 2: Nhóm để áp dụng phương pháp hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung. Bước 3: §Æt nh©n tö chung cho toµn ®a thøc. VD: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : c) x2-2xy+y2-9 a) A = xy - xz - y + z b) B = x2 + y2 - z2 + 2xy + 2z - 1 d) 8x3 + 4x2 - y3 - y2 Giải: a) A = xy - xz - y + z ⇒ A = (xy - xz) - (y - z ) = x(y - z) - (y - z) = (y - z)(x - 1) b) B = x2 + y2 - z2 + 2xy + 2z - 1 = (x2 + 2xy + y2) - (z2 - 2z + 1) = (x + y)2- (z - 1)2 =[ ( x + y )− ( z −1 ) ][ ( x + y ) + ( z−1 ) ]. . . . . . . = (x + y - z + 1)(x + y + z - 1)..  . . . c) x2-2xy +y2 -9= x2 -2xy+ y2 -9= x −1 2-32 = x −1+3 x −1−3 = x +2 x − 4. d) 8x3 + 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2) 3 2   2 x   y 3    4 x 2  y 2   2 x  y    2 x   2 xy  y 2    2 x  y   2 x  y     .  2 x  y   4 x 2  2 xy  y 2  2 x  y  BÀI TẬP: 1. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö :. a) P = 5x2 - 5xy - 10x + 10y. c ) x 2 +4x-2xy-4y+y 2. b) B = (a2 + b2)xy + (x2 + y2)ab.. 2. Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm) a) xy  y x  x  1. a3 . b). b 3  a 2b . ab 2. Phư¬ng ph¸p 4: T¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö; hoÆc thªm, bít cïng mét h¹ng tö 1. LÝ thuyÕt *) Lí thuyết chung: Phương pháp này nhằm biến đổi đa thức để tạo ra những hạng tử thích hợp để nhóm hoặc sử dụng hằng đẳng thức: *) C¸c trưêng hîp: a, Trưêng hîp ®a thøc d¹ng ax2 + bx + c ( a, b, c Î Z; a, b, c ¹ 0) - NÕu  - NÕu  - NÕu  +) +). TÝnh :  = b2 - 4ac: = b2 - 4ac < 0: Đa thức không phân tích đợc. = b2 - 4ac = 0: §a thøc chuyÓn vÒ d¹ng b×nh phư¬ng cña mét nhÞ thøc bËc nhÊt = b2 - 4ac > 0  = b2 - 4ac = k2 ( k Î Q) ®a thøc ph©n tÝch ®ưîc trong trưêng Q( số hữu tỉ) .  = b2 - 4ac ¹ k2 ®a thøc ph©n tÝch ®ưîc trong trưêng sè thùc R.. c −b Nhaåm tìm 2 soá x1, x2 sao cho : x1. x2 = a vaø x1+ x2 = a Khi đó: P(X) == ax2 + x1x + x2x + c = (x- x1)(x- x2) **Hoặc nhầm nghiệm:. c - NÕu a + b + c = 0 th× (*) cã 1 nghiÖm lµ x1 = 1, nghiÖm kia lµ x2 = a GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”. −c - NÕu a - b + c = 0 th× (*) cã 1 nghiÖm lµ x1 = - 1; nghiÖm kia lµ x2 = a b, Trưêng hîp ®a thøc tõ bËc 3 trë lªn: - NhÈm nghiÖm cña ®a thøc: +) NÕu tæng c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö b»ng 0 Þ ®a thøc cã nghiÖm b»ng 1. +) NÕu tæng c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö bËc lÎ Þ ®a thøc cã nghiÖm b»ng - 1. - Lưu ý: Định lý: " Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ước của hạng tử tự do. Nếu. p ®a thøc cã nghiÖm h÷u tØ d¹ng q. th× p lµ ưíc cña h¹ng tö tù do, q lµ ưíc dư¬ng cña hÖ sè cña h¹ng tö cã bËc cao nhÊt". - Khi biết một nghiệm của đa thức ta có thể dùng phép chia đa thức, hoặc dùng sơ đồ Hooc – ne để hạ bậc cña ®a thøc. 2. Ví dụ VD1: x 2-3x+2 Ta thấy: x 1+x 2 =3, x1.x 2=2 ⇒x1=2, x 2 =1 Vậy: x2-3x+2 = x −2 x −1. . b) y  3 y  2  y . . . y  2 y 2  y. .  . y1  2.  . y1 . y 2. . . y1. c) 2x2 - 3x + 1 = 2x2 - 2x - x +1 = 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1) a ) x 2 +x- 6. BÀI TẬP: e) x2 - 7xy + 12y2. b ) x 2+ 5x+6. c ) x 2- 4x+3. d ) x 2 - x- 6. f) x3 – 7x – 6. VD2: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử: (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1) Giải:Vì x5 + x3 + x2 + 1= x3(x2 + 1) + x2 + 1 = (x2 + 1)(x3 + 1) nên (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1) = (x2 + 1)(x3 + 1):(x3 + 1) = (x2 + 1) BÀI TẬP: 1. Tính: (x2 - 5x + 6):(x - 3) x 2 +xy-y 2. 2x 2 -3x+1 b) x 2 +x-2. 2 x 2+ xy − y 2 a) 2x 2 -3xy+y 2 2) Rút gọn các phân thức sau: 2 x 2−3 xy + y 2. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử: VD1:. a) 4x4 + 81= 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2= (4x4 + 36x2 + 81) - (6x)2= (2x2 + 9)2- (6x)2= (2x2 + 9 - 6x)(2x2 + 9 + 6x) 2. b) x2 + 4 = x2 + 4x + 4 - 4x = (x + 2)2 - 4x = (x + 2)2. 2 x x 2 - =. . x 2 x2 x 2. VD2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : 5x2 + 6xy + y2. Giải : C¸ch 1: T¸ch 6xy thµnh 5xy + xy cã: 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2 ) = 5x(x + y) + y(x + y)= (5x + y)(x + y).. C¸ch 2: Thªm 4x2 vµo 5x2 råi bít 4x2 ta cã : 5x2 + 6xy + y2 = 9x2 + 6xy + y2- 4x2 = (9x2 + 6xy + y2)- 4x2= (3x + y)2 - (2x)2= (5x + y)(x + y). VD3: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : x3 + 3x2 - 4 GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 4. .

<span class='text_page_counter'>(5)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” Giải: 3. 2. 2. C¸ch 1: x3 + 3x2 - 4 = x3 + 4x2 - x2 - 4x + 4x - 4 = ( x −x ) + ( 4 x −4 x ) + ( 4 x−4 ) = x2(x - 1)+ 4x( x - 1) + 4(x - 1) = (x - 1)(x + 2)2. C¸ch 2: x3 + 3x2 - 4 = x3 - x2 + 4x2 – 4 =. ( x 3 −x2 ) + ( 4 x 2−4 ) =x 2 ( x−1 ) +4 ( x2 −1 ) =x 2 ( x −1 )+ 4 ( x−1 ) ( x +1 ) ¿ ( x−1 ) [ x2 +4 ( x +1 ) ]= ( x −1 ) ( x 2 + 4 x +4 ) = (x - 1)(x + 2)2 C¸ch 3:.   . . .  .   .  .  .      . .  .  . x3+3x2 -4=x 3-1+3x2-3= x 3-1 + 3x2 -3 = x −1 x2 +x +1 +3 x2 −1 = x −1 x 2 +x +1 +3 x −1 x +1 = x −1 x 2 +x +1+3 x +1 = x −1 x 2 +x +1+3x +3 = x −1 x 2 +4x +4 = x −1 x +2.  . VD4: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1= (x7 - x) + (x2 + x + 1)= x(x6 - 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1)= x(x - 1)(x3 + 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x - 1)(x3 + 1) + 1]= (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 – x + 1) *) Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+1 + x3m+2 + 1 đều chứa thừa số x2 + x + 1 BÀI TẬP: Tính: a4 + 16. Phư¬ng ph¸p 5: Dïng phÐp chia ®a thøc (nhÈm nghiÖm) 1. LÝ thuyÕt: - §a thøc f(x) chia hÕt cho ®a thøc g(x) khi vµ chØ khi: f(x)= g(x).q(x) (q(x) lµ thư¬ng cña phÐp chia) *) §Æc biÖt : f(x) chia hÕt cho x - a <=> f(a) = 0. Do đó, ta có thể dung phương pháp nhẩm nghiệm: Thay x = a nào đó, nếu f(a) = 0 thì x = a là một nghiệm. 2. Ví dụ VD 1 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : x4 - 2x3 + x2 - 4. Giải: §a thøc trªn nÕu cã nghiÖm h÷u tØ th× nghiÖm sÏ lµ ưíc cña 4..  ¦(4) =  ThÊy x = - 1 lµ nghiÖm nªn : x4 - 2x3 + x2 - 4= (x + 1)(x3 - 3x2 + 4x - 4). Mµ g(x) = x3 - 3x2 + 4x - 4 cã x = 2 lµ nghiÖm . Do vËy g(x) = (x - 2)(x2 – x + 2). Víi ®a thøc : x2 – x + 2 cã  = 1- 8 = - 7 < 0 nªn ®a thøc nµy kh«ng ph©n tÝch ®ưîc trªn R. Do vËy: x4 - 2x3 + x2 - 4 = (x + 1)(x - 2)(x2 – x + 2). 1; 2; 4. VD2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : A = 3x3 + 2x2 + 2x – 1. 1 Gi¶i: NhÈm ®ưîc nghiÖm x = 3 Nên A = (3x - 1) ( x2 + x + 1). VUI TOÁN HỌC “XÂY TƯỜNG” GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 5. 2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” Em hãy “ xây bức tường” ở hình bên dưới bằng cách điền các phân số thích hợp vào các “viên gạch” theo quy tắc sau: a = b + c. 6 17 4 17 1 17. −4 17 −7 17. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 11 17. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>