Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Dương Minh Hùng - TOANMATH.com

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.52 MB, 89 trang )

(1)Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Chương 1: Ⓐ. §➊. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. Tóm tắt lý thuyết ①. Hàm số sin. . Hàm số sin: ➊. Định nghĩa: Qui tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx sin: R  R x. sinx được gọi là hàm số sin,. Kí hiệu y = sinx. ➋. Tính chất:  . Tập xác định Tập giá trị:. . Hàm số tuần hoàn với chu kì. . Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng. . ,có nghĩa là. khoảng . . , có nghĩa. ,. với. .. và nghịch biến trên mỗi .. là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng (Hình 1).. Hình 1. . Một số giá trị đặc biệt:   . St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 1.

(2) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. ②. Hàm số cos . Hàm số côsin: ➊. Định nghĩa: Qui tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx cos: R  R x. cosx được gọi là hàm số. cos, Kí hiệu y = cosx. ➋. Tính chất:  Tập xác định  Tập giá trị:. . ,có nghĩa là.  Hàm số tuần hoàn với chu kì. . , có nghĩa.  Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng , . với. .. và nghịch biến trên mỗi khoảng. .. là hàm số chẵn, đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng (Hình 2).. Hình 2. Ta có. nên đồ thị của hàm số bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số. được suy ra từ đồ thị hàm số theo vectơ. .Một số giá trị đặc biệt:  . .. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 2.

(3) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. ③. Hàm số tan . Hàm số tan: ➊. Định nghĩa: Hàm số tan là hàm số được xác định bởi công thức: (cosx  0). y= Kí hiệu là y = tanx.. ➋. Tính chất: . Tập xác định:.  . Tâp giá trị là R. Hàm số tuần hoàn với chu kì. . Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng. . , có nghĩa. . .. là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng. làm đường tiệm cận. (Hình 3). Hình 3. . Một số giá trị đặc biệt :   . . .. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 3.

(4) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. ④. Hàm số cot . Hàm số tan: ➊. Định nghĩa: Hàm số cot là hàm số được xác định bởi công thức: y=. (sinx  0). Kí hiệu là y = cotx.. ➋. Tính chất: . Tập xác định:.  . Tập giá trị: . Hàm số tuần hoàn với chu kì. . Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng. . là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng làm đường tiệm cận (Hình 4).. . , có nghĩa. . .. Hình 4 . Một số giá trị đặc biệt : . .. . .. . .. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 4.

(5) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Ⓑ. Phân dạng bài tập. ➊.Dạng 1. Tìm tập xác định. .Ghi nhớ . xác định. . xác định. . xác định. . xác định.. . xác định. xác định.. . xác định. xác định và. . xác định. xác định và. . .. . Bài tập minh họa:. . Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số y  tan( x  ) 6 Lời giải  .    2  k Điều kiện: cos( x  )  0  x    k  x  6 6 2 3  2  TXĐ: D   \   k , k    .  3 . Câu 2: Tìm tập xác định của hàm số y  cot 2 (. 2  3x) 3. Lời giải  . 2 2 2   3 x)  0   3 x  k  x  k 3 3 9 3   2  TXĐ: D   \   k , k   . 3  9  Điều kiện: sin(. Câu 3: Tìm tập xác định của hàm số y . . . tan 2 x   cot(3x  ) sin x  1 6 Lời giải.   x    k 2 sin x  1    2  Điều kiện:    sin(3 x  )  0   x    k 6 18 3   k    Vậy TXĐ: D   \    k 2 ,   ; k   18 3  2 . Câu 4: Tìm tập xác định của hàm số y . tan 5 x sin 4 x  cos 3x Lời giải. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 5.

(6) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. .   Ta có: sin 4 x  cos 3x  sin 4 x  sin   3x  2   x    7x    2 cos    sin    2 4  2 4. . .     cos 5 x  0  x  10  k 5    x    Điều kiện: cos     0   x   k 2 2  2 4   k 2   7x    sin     0  x   14  7    2 4  k 2    k  Vậy TXĐ: D   \   ;  k 2 ,   . 14 7  10 5 2. ➋.Dạng 2. Tuần hoàn, chu kỳ. .Ghi nhớ  Hàm số. là một hàm số tuần hoàn với chu kì.  Hàm số. là một hàm số tuần hoàn với chu kì.  Hàm số. là một hàm số tuần hoàn với chu kì.  Hàm số. là một hàm số tuần hoàn với chu kì.  Nếu hàm số. chỉ chứa các hàm số lượng giác có chu kì lần lượt là thì hàm số.  Nếu hàm số. có chu kì. là bội chung nhỏ nhất của. tuần hoàn với chu kì T thì hàm số. . (c là hằng số). cũng là hàm số tuần hoàn với chu kì T. . Bài tập minh họa: Câu 1: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau: y  cos 2 x  1 . Lời giải  . 1  cos 2 x 1 1  1  cos 2 x  . 2 2 2 2  . Do đó f là hàm số tuần hoàn với chu kì   2 Ta biến đổi: y  cos 2 x  1 . 2  2  Câu 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau: y  sin  x  .cos  x  . 5  5 . Lời giải St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 6.

(7) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung.  . 2  2  1 4  Ta biến đổi: y  sin  x  .cos  x   sin  x  . 5  5  2 5  2 5 Do đó f là hàm số tuần hoàn với chu kì    . 4   2   5. Câu 3: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau: y  cos x  cos. . 3.x. . Lời giải   . . Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn  có số thực dương  thỏa : f  x     f  x   cos  x     cos 3  x     cos x  cos 3 x m cos   1   2n vô lí, do x  0  cos   cos 3  2     3 n cos 3  1  3  2 m m m, n    là số hữu tỉ. n Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn.. Câu 4: Chứng minh rằng hàm số sau là hàm số tuần hoàn và tìm chu kì của nó: y . 1 . sin x. Lời giải  Tập xác định: D   \ k , k   .  Ta xét đẳng thức f  x     f  x  . 1 1   sin  x    sin x. sin  x    sin x. .     thì sin x  1 và do đó sin      1      k 2 , k  . 2 2 2 2   Số dương nhỏ nhất trong các số T là 2 . 1 1   f  x  Rõ ràng x  D, x  k 2  D, x  k 2  D và f  x  k 2   sin  x  k 2  sin x  Chọn x .  Vậy f là hàm số tần hoàn với chu kì   2 .. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 7.

(8) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. ➌.Dạng 3. Tính chẵn, lẻ. .Ghi nhớ  cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx  sin2(-x) =. = (-sinx)2 = sin2x. . Tìm chu kỳ của hàm số . Bước 1 : Tìm TXĐ. . Bước 2 : Chứng minh. . Bước 3 : Tính f(-x) , so sánh với f(x) . Có 3 khả năng:. của hàm số là tập đối xứng, nghĩa là. . Chú ý: Hàm y=sinx, y=tanx, y=cotx là hàm số lẻ. y=cosxlà hàm chẵn . Bài tập minh họa: Câu 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số 9   {. y  f  x   sin  2 x   2  . |. y  f  x   tan x  cot x. Lời giải {. Tập xác định D   , là một tập đối xứng. Do đó x  D thì  x  D .. . 9        Ta có f  x   sin  2 x    sin  2 x   4   sin  2 x    cos 2 x . 2  2 2     Có f   x   cos  2 x   cos 2 x  f  x  .. . Vậy hàm số f  x  là hàm số chẵn.. .   cos x  0  x   k  |. Hàm số có nghĩa   (với k , l   ). 2 sin x  0  x  l. .   Tập xác định D   \   k , l k , l    , là một tập đối xứng. Do đó x  D thì 2  x  D Ta có f   x   tan   x   cot   x    tan x  cot x    tan x  cot x    f  x  .. . Vậy hàm số f  x  là hàm số lẻ.. . Câu 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số y  tan 7 2 x.sin 5 x Lời giải . Hàm số có nghĩa khi cos 2 x  0  2 x .  2.  k  x . St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155.  4. . k ,k  . 2. 8.

(9) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. .   k  Tập xác định D   \   , k    , là một tập đối xứng. Do đó x  D thì 4 2  x  D . Ta có f   x   tan 7 (2 x).sin(5 x)  tan 7 2 x.sin 5 x  f  x  .. . Vậy hàm số f  x  là hàm số chẵn.. . ➍.Dạng 4. GTLN-GTNN. .Ghi nhớ . ;0. sin2 x. 1 ; A2 + B. B.  . Hàm số y = f(x) luôn đồng biến trên đoạn. . Hàm số y = f(x) luôn nghịch biến trên đoạn. thì. thì.  . Bài tập minh họa: Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau. 1. y  4sin x cos x  1. 2. y  4  3sin 2 2 x Giải. 1. Ta có y  2 sin 2x  1 . Do 1  sin 2x  1  2  2 sin 2 x  2  1  2 sin 2 x  1  3.  1  y  3 .   * y  1  sin 2 x  1  2 x    k 2   x    k  . 2 4. * y  3  sin 2 x  1  x .   k . 4. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 , giá trị nhỏ nhất bằng 1 . 2. Ta có: 0  sin2 x  1  1  4  3sin2 x  4 * y  1  sin 2 x  1  cos x  0  x .   k . 2. * y  4  sin 2 x  0  x  k . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 , giá trị nhỏ nhất bằng 1 . Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau y  sin x . 1 trong khoảng 0  x   sin x. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 9.

(10) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Giải Vì 0  x   nên 0  sin x  1 ,do đó sin x . 1 sin x. Vậy hàm số đạt giá trị , lớn nhất là 0 tại sin x  1  x . Ⓒ Câu 1:. Bài tập trắc nghiệm Tìm tập xác định của hàm số y . 1 2x . sin 2 x. {. D   \ k , k   .   }. D   \   k , k    . 2  . Câu 2:. Tìm tập xác định của hàm số y    {. D   \   k 2 , k    . 2  }. D   \   k 2 , k   .. Câu 3:. 3 cos x  1 |. D   \ k 2 , k   . ~. D   \   k , k   .. |. k | k   .. Tìm tập xác định D của hàm số y  {. D   \ k 2 , k   ..   }. D   \   k 2 , k    . 2 . Câu 5:.    ~. D   \   k 2 , k    .  2 . Tập xác định D của hàm số y  tan 3 x là  k  {. D   \  , k   .  3 . Câu 7:. Tìm tập xác định của hàm số y .     }.   k 2 | k    . ~.   k | k    . 2  2 . 1 . 1  sin x |. D   \   k 2 , k   .. }. D   \ k , k  .. Câu 6:.   |. D   \   k 2 , k 2 , k    . 2      ~. D   \  k , k    . 2  . Tập xác định của hàm số y  sin x  1 là {.  .. Câu 4:.  . 2. tan x . sin x  1.   k  |. D   \   , k   . 3 6    ~. D   \   k , k    . 2 . {. ..   |.  \   k 2 , k    . 2 .   }.  \   k , k    . 2 . ~.  \ k , k   ..   Tập xác định của hàm số y  tan  2 x   là 6      k   , k   . {.  \   k , k    . |.  \  2 2   6 . St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 10.

(11) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung.   }.  \   k , k    . 6  Câu 8:.  k  , k   . ~.  \   6 2 . Tìm tập xác định của hàm số y  1  cos x  cot x .. |.   ;1 .. {.  \ k , k   ..   }.  \   k , k    .` 2  Câu 9:. ~.  1;1 \ 0 .. sin x  1 có tập xác định là 3  sin x   {.  \   k 2 | k    2  Hàm số y . |.  .   ~.   k 2 | k    . 2 . }.  . Câu 10: Tìm tập xác định của hàm số y . 1  cos x . 1  sin x   |.  \   k 2 | k    . 2   ~.  \ k 2 | k   .. {.  \ k | k   . }.  . Câu 11: Tập xác định của hàm số y     {.  \ k , k    .  2  }.  \ k , k   .. cot x là cos x  1. Câu 12: Tập xác định của hàm số f  x  .    {.  \  2k  1 k    . 2   }.  \ k k   .. 1 là 1  cos x. Câu 13: Tìm tập xác định D của hàm số y . |.  \  2k  1  k   . ~.  \ k 2 k   .. 1   sin  x   2 . {. D  R \ (2k  1) , k  .  . }. D  R \ (2k  1) Câu 14: Hàm số y . .  , k   2 . tan 2 x có tập xác định là 1  tan x. {.  ..   }.  \   k | k    . 2 .   |.  \   k , k    . 2  ~.  \ k 2 , k   ..  k  , k    2 . |. D  R \ . ~. D  R \ k , k .    |.  \   k | k    . 2 4      ~.  \   k ,  k | k    . 2 2 4 . St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 11.

(12) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. x 2 là: Câu 15: Tập xác định của hàm số y  cos x  1 {.  \ k k   . 3  cot. |.  \ k 2 k   .   ~.  \   k 2 k    . 2 . }.  \   k 2 k   . Câu 16: Cho các hàm số. 1. y  sin 3x .  2 .  4. y  1  sin x .  5. y. tan x  3 .  3 cos 2 x  2. y. y. 2 cos x  1 . sin 2 x  1. 2 cos x  3 . sin x  1. Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số có tập xác định là  {. 4 . |. 1. }. 3 . Câu 17: Tập xác định của hàm số y . cos x  2 là 1  sin x. {.  \ k | k   . }.  \ k 2 | k   . Câu 18: Tập xác định của hàm số y . ~. 2.    |.  \   k | k    .  2     ~.  \    k 2 | k    .  2 . 1 là s inx  1.   {.  \   k 2 , k    . 2     }.  \    k , k    .  2 . s inx  1 là s inx  2 |.  2;   .    |.  \   k 2 , k    .  2 . ~.  .. Câu 19: Tập xác định của hàm số y  {.  2;    Câu 20: Hàm số y  {. x .  2. }.  \ 2 .. ~.  .. }. x  k 2 .. ~. x . 2 sin x  1 xác định khi 1  cos x.  k 2 .. |. x  k ..  2.  k. Câu 21: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? {. Các hàm số y  sin x, y  cos x, y  cot x đều là hàm số chẵn. |. Các hàm số y  sin x, y  cot x, y  tan x đều là hàm số lẻ. }. Các hàm số y  sin x, y  cot x, y  tan x đều là hàm số chẵn. ~. Các hàm số y  sin x, y  cos x, y  cot x đều là hàm số lẻ. Câu 22: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? {. y  cot 4 x . |. y  tan 6 x .. }. y  sin 2 x .. ~. y  cos x .. Câu 23: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung? {. y  tan x . |. y  cos x . }. y  sin x . ~. y  cot x . Câu 24: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? {. y  cos x . |. y  tan x . }. y  sin x . St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. ~. y  cot x . 12.

(13) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Câu 25: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? {. y  1  sin x . |. y  x.tan x . }. y  sin 5 x . Câu 26: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? {. y  2sin x . |. y  2sin 2 x .. ~. y  cos x.sin 2 x .. }. y  sin x  cos x . ~. y  2 cos x. Câu 27: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn trên  ?   {. y  sin   x  . |. y  tan x . }. y  sin x . 2 .   ~. y  sin  x   . 6 . 1 . Phát biểu nào sau đây đúng? cos x {. Hàm số có tập xác định là  \ 0 .. Câu 28: Cho hàm số y . |. Đồ thị của hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.   }. Hàm số đó là hàm số lẻ trên D   \   k , k    . 2   ~. Hàm số đó là hàm số lẻ trên  . Câu 29: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? {. y  x 2 cos x . |. y  sin 2 x . }. y  sin 2 x .. ~. y  cos 2 x .. Câu 30: Trong các hàm số sau, hàm số nào không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ?   1   {. y  sin  x    tan  x   . |. y  tan x  . 4 4 sin x   }. y  sin 4 x  cos 4 x . ~. y  cos x . Câu 31: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn. {. y  cot x . |. y  sin x .. }. y  tan x .. ~. y  cos x .. Câu 32: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm chẵn?   {. y  cos  x   . |. y  sin x . }. y  1  sin x . 3 . ~. y  sin x  cos x .. Câu 33: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? {. y  tan x . |. y  sin x . }. y  cos x .. ~. y  cot x .. Câu 34: Hàm số nào sau đây là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T   ? {. y  sin x . |. y  2 sin x . }. y  sin 2 x .. ~. y  2  sin x .. Câu 35: Hàm số nào sau đây tuần hoàn với chu kì T  {. y  tan. x . 3. |. y  tan. x . 2.  2. ?. }. y  tan 3 x .. ~. y  tan 2 x .. Câu 36: Chọn khẳng định sai? {. Hàm số y  tan x  sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 . |. Hàm số y  cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 . }. Hàm số y  cot x  tan x là hàm số tuần hoàn với chu kì  . ~. Hàm số y  sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì  ..   Câu 37: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số y  cot  3x   là 6  2  {.  . |. . }. . 3 3. ~. 2 .. Câu 38: Khẳng định nào sau đây đúng? St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 13.

(14) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. {. Hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kì  . |. Hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kì 2 . }. Hàm số y  cos x tuần hoàn với chu kì.  2. .. ~. Hàm số y  cot x tuần hoàn với chu kì  . Câu 39: Trong bốn hàm số: 1 y  cos 2 x ;  2  y  sin x ;  3 y  tan 2 x ;  4  y  cot 4 x có mấy hàm số tuần hoàn với chu kỳ  ? {. 3 . |. 2 .. }. 0 .. ~. 1.. Câu 40: Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau? {. y  cos x tuần hoàn với chu kỳ  . |. y  cos x là hàm nghịch biến trên  0;   . }. y  cos x là hàm chẵn. Câu 41: Hàm số y  {. T .  . 2. ~. y  cos x có tập xác định  .. 1 1  có chu kì là: 2 1  tan x 1  cot 2 2 x |. T  2  .. Câu 42: Chu kì tuần hoàn của hàm số y  cot x là {.  . |. 2 .. }. T   .. ~. T  4 .. }. k , ( k   ).. ~. k 2 , ( k   ).. Câu 43: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số y  tan x là |. . {. 2. }..  2. ~. 3. Câu 44: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số y  cos x {. T .  2. .. |. T   .. }. T  2 .. ~. T  2 .. Câu 45: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  3cos 2 x  5 lần lượt là {. –8 và –2 . |. 2 và 8 . }. –5 và 3 . ~. –5 và 2 ..   Câu 46: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  7  2sin  x   lần lượt là 4  {. 4 và 7 . |. 5 và 9 . }. 2 và 7 . ~. 2 và 2 . Câu 47: Tìm tập giá trị của hàm số y  2 cos 3 x  1 . {.  3;1 .. |.  3; 1 .. }.  1;3 .. ~. 1;3 .. Câu 48: Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  3cos x  4 là {. 7 .. |. 5 .. }. 8 .. ~. 6 ..   Câu 49: Giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  3sin  x   là:  4 {. 0. |. -3. }. 3.. ~. -1.. Câu 50: Hàm số y  sin x có tập giá trị là: {.  .. |.  1;1 .. }.   ;   .. ~.  0;  . 1 }.  . 2. ~. 3 .. Câu 51: Giá trị lớn nhất của hàm số y  2 sin x  1 là {. 1 .. |. 1.. Câu 52: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  4 sin x  3  1 lần lượt là St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 14.

(15) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. {.. 2 và 2 .. |. 4 2 và 8 .. ~. 4 2 1 và 7 .. }. 2 và 4 .. Câu 53: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2  cos 2 x là {. 2 và  1 .. |. 2 và 0 .. }. 2 và 1 .. ~. 3 và 1 ..  3 5  ;  có đồ thị như hình vẽ. Tìm những giá trị x để Câu 54: Cho hàm số y  sin x trên đoạn  2   2 hàm số nhận giá trị âm.. {.   ;0  ;  ; 2  .. |.  0;   ..  3  ~.  ; 2  .  2 . }.  ; 2  .. Câu 55: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y  3  2 cos2 x lần lượt là {. ymax  5, ymin  1 . |. ymax  1, ymin  1 . }. ymax  3, ymin  1 . ~. ymax  5, ymin  1 . Câu 56: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y  2 cos x  sin x . {. M . 11 . 2. |. M  5 .. ~. M  6 .. }. M  3 .. Câu 57: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 cos 2 x  1   3  trên đoạn   ;  . khi đó M .m bằng  6 8  |. 2  2 2.. {.  1 .. }. 2  2.. ~. 2 2  2.. Câu 58: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  4 sin x  3  1 lần lượt là {. 4 2  1 và 7 .. |. 4 2 và 8 .. Câu 59: Tập giá trị hàm số y  5sin x  12 cos x là {.  12;5 .. |.  13;13 .. 2 và 2 .. }. 2 và 4 .. ~.. }.  17;17  .. ~.  13;13 .. Câu 60: Hàm số y  4  11cos 3 x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương? {. 15. . |. 14 . }. 13 . ~. 23 . Câu 61: Giá trị lớn nhất của hàm số y  5sin 2 x  12cos 2 x là {. 10 . |. 12 . }. 17 .. ~. 13 .. Câu 62: Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào? y -5 -3. 2. -. -2 -3 2. {. y  cot x .. |. y  sin 2 x .. -. 3. 2 O. 1 . . 2. 2. 2. 5. 3. x. 2. 2. }. y  sin x .. ~. y  cos 2 x .. Câu 63: Cho đồ thị với x    ;   . Đây là đồ thị của hàm số của hàm số nào? St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 15.

(16) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. {. y  cos x .. |. y   cos x .. }. y  sin x .. ~. y  cos x .. Câu 64: Dựa vào đồ thị của hàm số y  sin x , hãy tìm số nghiệm của phương trình: sin x   5 5  trên đoạn  ; . 2   2. |. 6 .. {. 4 .. }. 10 .. 1 2018. ~. 5 .. Câu 65: Hình bên là một phần đò thị của hàm số nào sau đây?. {. y  cos. 2x . 3. |. y  sin. 2x . 3. }. y  cos. 3x 2. ~. y  sin. 3x . 2. Câu 66: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 3x 2x {. y  sin . |. y  sin . 2 3. }. y  cos. 3x . 2. ~. y  cos. 2x . 3. Câu 67: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau. {. Hàm số y  cos x tuần hoàn với chu kì 2 .   |. Hàm số y  sin x nghịch biến trên khoảng  ;   . 2    }. Hàm số y  cot x đồng biến trên khoảng  ;   . 2  St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 16.

(17) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. ~. Hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kì  . Câu 68: Hàm số y  tan x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?  3    3   {.  0;   . |.   ;   . }.   ;  . 2  2  2 2. ~.  2 ;   .. Câu 69: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? {. Hàm số y  cot x đồng biến trên khoảng  0;   ..  3 5  |. Hàm số y  sin x đồng biến trên khoảng  ;  .  2 2  }. Hàm số y  sin x nghịch biến trên khoảng  ; 2  .    ~. Hàm số y  cos x đồng biến trên khoảng   ;  .  2 2. Câu 70: Cho hàm số y  sin x . Khẳng định nào dưới đây sai? {. Hàm số đã cho là hàm lẻ.. |. Hàm số đã cho có tập giá trị là  1;1 .. }. Hàm số đã cho đồng biến trên  0; 2  .. ~. Hàm số đã cho có tập xác định  ..  3  Câu 71: Cho ba hàm số y  s in x; y  cos x ; y  tan x . Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên  0;   2  ? {. 1 . |. 3 . }. 0 . ~. 2 . Hướng dẫn giải bài tập trắc nghiệm. Câu 1:. Tìm tập xác định của hàm số y . 1 2x . sin 2 x.   |. D   \   k 2 , k 2 , k    . 2      ~. D   \ k , k    . 2   Lời giải. {. D   \ k , k   .   }. D   \   k , k    . 2  . Hàm số xác định  sin 2 x  0  x  k.  2. ..    Vậy D   \ k , k    .  2  Câu 2:. Tìm tập xác định của hàm số y    {. D   \   k 2 , k    . 2  }. D   \   k 2 , k   .. 3 cos x  1 |. D   \ k 2 , k   . ~. D   \   k , k   . Lời giải. Điều kiện cos x  1  0  cos x  1  x    k 2 , k   Suy ra tập xác định D   \   k 2 , k   . Câu 3:. Tập xác định của hàm số y  sin x  1 là {.  .. |. k | k   ..     }.   k 2 | k    . ~.   k | k    . 2 2     Lời giải. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 17.

(18) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Điều kiện: sin x  1  0  sin x  1  sin x  1 x.  2.  k 2 , k   ..   Tập xác định D    k 2 | k    2  Câu 4:. Tìm tập xác định D của hàm số y  {. D   \ k 2 , k   ..   }. D   \   k 2 , k    . 2  y. 1 . 1  sin x |. D   \   k 2 , k   ..    ~. D   \   k 2 , k    .  2  Lời giải. 1 xác định khi 1  sin x  0. 1  sin x. Có  1  sin x  1 , x    1  sin x  0 x   . Do đó 1  sin x  0  1  sin x  0  sin x  1  x .  2.  k 2 , k   ..   Vậy D   \   k 2 , k    . 2 . Câu 5:. Tập xác định D của hàm số y  tan 3 x là  k  {. D   \  , k   . 3  .   k  |. D   \   , k   . 6 3     ~. D   \   k , k   . 2  Lời giải. }. D   \ k , k  .. Điều kiện: cos3x  0  3x . .  k  x . . 2 6   k  Tập xác định: D   \   , k   . 3 6  Câu 6:. Tìm tập xác định của hàm số y . . k 3.  k  .. tan x . sin x  1. {.  ..   |.  \   k 2 , k    . 2    }.  \   k , k    . 2  ~.  \ k , k   . Lời giải.   x   k  cos x  0   2  Hàm số xác định   sin x  1  x    k 2  2.  k  . St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 18.

(19) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung.   Vậy tập xác định của hàm số là: D   \   k , k    . 2  Câu 7:.   Tập xác định của hàm số y  tan  2 x   là 6    {.  \   k , k    . 2    k     , k   . |.  \  6 2      }.  \   k , k    . 6   k  , k   . ~.  \   6 2  Lời giải.     k  , k  . Điều kiện: cos  2 x    0  2 x    k  x   6 6 2 6 2    k  , k   . Do đó tập xác định D   \   6 2  Câu 8:. Tìm tập xác định của hàm số y  1  cos x  cot x . {.  \ k , k   . |.   ;1 ..   }.  \   k , k    . 2  ~.  1;1 \ 0 . Lời giải 1  cos x  0 cos x  1 Hàm số xác định     x  k , k   . sin x  0  x  k. Tập xác định của hàm số D   \ k , k   . Câu 9:. sin x  1 có tập xác định là 3  sin x   k 2 | k    . Hàm số y .  {.  \  2 |.  . }.  .   ~.   k 2 | k    . 2 . Lời giải +) Ta có: sin x 1  0, x  và 3  sin x  2 > 0, x  +) Nên hàm số xác định khi và chỉ khi sin x  1  0  x . St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155.  2.  k 2 , k   .. 19.

(20) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. 1  cos x . 1  sin x. Câu 10: Tìm tập xác định của hàm số y  {.  \ k | k   ..   |.  \   k 2 | k    . 2  }.  . ~.  \ k 2 | k   .. Lời giải. 1  cos x 0   Hàm số xác định   1  sin x  sin x  1  x   k 2 2  1  sin x  0. k   ..   Vậy tập xác định của hàm số là:  \   k 2 | k    . 2  Câu 11: Tập xác định của hàm số y .    {.  \ k , k    .  2 . cot x là cos x  1. }.  \ k , k   ..   |.  \   k , k    . 2  ~.  \ k 2 , k   .. Lời giải. sin x  0  x  k Điều kiện xác định của hàm số là    k , l     x  k , k   . cos x  1  x  l 2 Vậy, tập xác định của hàm số y  Câu 12: Tập xác định của hàm số f  x  .    {.  \  2k  1 k    . 2   }.  \ k  k   .. cot x là  \ k , k   . cos x  1. 1 là 1  cos x |.  \  2k  1  k   . ~.  \ k 2 k   . Lời giải. Điều kiện: 1  cos x  0  cos x  1  x  k 2 , k   . Vậy tập xác định của hàm số là: D   \ k 2 k   . Câu 13: Tìm tập xác định D của hàm số y . {. D  R \ (2k  1) , k  .  . }. D  R \ (2k  1). .  , k   2 . 1   sin  x   2 .  k  , k    2 . |. D  R \ . ~. D  R \ k , k  Lời giải. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 20.

(21) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Hàm số y . 1   sin  x   2 .  . xác định khi sin  x  Câu 14: Hàm số y . . . . .   0  x   k  x   k  x  (1  2k ) , k  . 2 2 2 2. tan 2 x có tập xác định là 1  tan x.    |.  \   k | k    . 2 4      ~.  \   k ,  k | k    . 2 2 4 . {.  .   }.  \   k | k    . 2 . Lời giải.    x  4  k 2    cos 2 x  0  x k      4 2. Hàm số xác định  cos x  0   x   k   2  tan x  1   x    k     2  x  4  k  x 2 là: Câu 15: Tập xác định của hàm số y  cos x  1 {.  \ k k   . 3  cot. |.  \ k 2 k   ..   ~.  \   k 2 k    . 2  Lời giải. }.  \   k 2 k   ..  x x  x  k 2 sin  0   k  2   x  k , k   . Điều kiện:  2  x    k 2 cos x  1  x    k 2 Vậy D   \ k k   . Câu 16: Cho các hàm số. 1. y  sin 3x .  2 . 4. y  1  sin x .  5. y. tan x  3 .  3 cos 2 x  2 y. y. 2cos x  1 . sin 2 x  1. 2 cos x  3 . sin x  1. Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số có tập xác định là  {. 4 .. |. 1.. 1. y  sin 3x.  2. y. }. 3 . Lời giải. ~. 2. có D   .. cos x  0 tan x  3  có điều kiện là  2  x   k ,  k    . 2 cos x  2 2 cos x  2  0. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 21.

(22) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. 2cos x  1 có D   . sin 2 x  1.  3. y. 4. y  1  sin x có điều kiện là sin x  1 luôn đúng  x   ..  5.  2 cos x  3 0 2 cos x  3   y có điều kiện là  sin x  1  x  k 2 ,  k    . sin x  1 2 sin x  1  0. Vậy các hàm số 1 ,  3 ,  4  có tập xác định là  . Câu 17: Tập xác định của hàm số y . cos x  2 là 1  sin x.    |.  \   k | k    .  2     ~.  \    k 2 | k    .  2  Lời giải. {.  \ k | k   . }.  \ k 2 | k   .. Điều kiện: 1  sin x  0  sin x  1  x  .  2.  k 2.  k  ..    Vậy tập xác định của hàm số là D   \   k 2 | k    .  2  Câu 18: Tập xác định của hàm số y . 1 là sinx  1.   {.  \   k 2 , k    . 2      }.  \    k , k    .  2 .    |.  \    k 2 , k    . 2  . ~.  . Lời giải. 1  xác định khi: s inx  1  0  s inx  1  0  x   k 2 2 sinx  1    TXĐ: D   \    k 2 , k    .  2  Hàm số y . s inx  1 là s inx  2 |.  2;   . Câu 19: Tập xác định của hàm số y  {.  2;   . }.  \ 2 .. ~.  .. Lời giải Ta có 1  s inx  1, x   . Do đó s inx  2  0, x   . Vậy tập xác định D   Câu 20: Hàm số y  {. x .  2. 2 sin x  1 xác định khi 1  cos x.  k 2 .. |. x  k  .. }. x  k 2 .. ~. x .  2.  k. Lời giải Hàm số xác định khi và chỉ khi 1  cos x  0  cos x  1  x  k 2 với k   . Câu 21: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 22.

(23) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. {. Các hàm số y  sin x, y  cos x, y  cot x đều là hàm số chẵn. |. Các hàm số y  sin x, y  cot x, y  tan x đều là hàm số lẻ. }. Các hàm số y  sin x, y  cot x, y  tan x đều là hàm số chẵn. ~. Các hàm số y  sin x, y  cos x, y  cot x đều là hàm số lẻ. Lời giải Các hàm số y  sin x, y  cot x, y  tan x đều là hàm số lẻ. Câu 22: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? {. y  cot 4 x . |. y  tan 6 x .. }. y  sin 2 x .. ~. y  cos x .. Lời giải Hàm số y  cos x có tập xác định D   . Ta có x  D   x  D . Và y   x   cos   x   cos x  y  x  . Vậy hàm số y  cos x là hàm số chẵn. Câu 23: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung? {. y  tan x . |. y  cos x . }. y  sin x . ~. y  cot x . Lời giải Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Nên hàm số y  cos x có đồ thị đối xứng qua trục tung. Câu 24: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? {. y  cos x . |. y  tan x . }. y  sin x . Lời giải. ~. y  cot x .. Hàm số y  cos x có tập xác định là  và cos   x   cos x x   y  cos x là hàm số chẵn. Hàm số y  sin x , y  tan x , y  cot x là hàm số lẻ. Câu 25: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? {. y  1  sin x . |. y  x.tan x . }. y  sin 5 x . Lời giải. ~. y  cos x.sin 2 x .. Xét hàm số y  f  x   sin 5 x có tập xác định D   . x     x   Ta có  5 5  f   x   sin   x    sin x   f  x . Vậy hàm số y  sin 5 x là hàm số lẻ. Xét hàm số y  f  x   1  sin x có tập xác định D   . x     x   Ta có  ,  f   x   1  sin   x   1  sin x.  f   x   f  x  .   f   x    f  x . Vậy hàm số y  1  sin x là hàm số không chẵn, không lẻ.. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 23.

(24) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung.  Xét hàm số y  f  x   x.tan x có tập xác định D   \   k , k    . 2  x  D   x  D Ta có  .  f   x     x  . tan   x   x. tan x  f  x . Vậy hàm số y  x.tan x là hàm số chẵn. Xét hàm số y  f  x   cos x.sin 2 x có tập xác định D   . x     x   Ta có  2 2  f   x   cos   x  sin   x   cos x sin x  f  x . Vậy hàm số y  cos x.sin 2 x là hàm số chẵn. Câu 26: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? {. y  2sin x . |. y  2sin 2 x .. }. y  sin x  cos x . ~. y  2cos x Lời giải. Nhận xét, cả 4 đáp án đều có tập xác định là D   là tập đối xứng. Đáp án. {. f  x   2sin x , f   x   2sin   x   2sin x.  f   x    f  x  . Vậy y  2sin x là hàm số lẻ. - Đáp án |. f  x   2sin 2 x , f   x   2sin  2 x   2sin 2 x.  f   x    f  x  . Vậy y  2sin 2 x là hàm số lẻ. - Đáp án }. f  x   sin x  cos x , f   x   sin   x   cos   x    sin x  cos x.  f  x   f   x  . Vậy y  sin x  cos x là hàm số không chẵn không lẻ. - Đáp án ~. f  x   2 cos x , f   x   2 cos   x   2cos  x .  f  x   f   x  . Vậy y  2cos x là hàm số chẵn. Câu 27: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn trên  ?   {. y  sin   x  . |. y  tan x . }. y  sin x . 2  Lời giải.   ~. y  sin  x   . 6 .   y  sin   x   cos x là hàm số chẵn trên  . 2  1 . Phát biểu nào sau đây đúng? cos x {. Hàm số có tập xác định là  \ 0 .. Câu 28: Cho hàm số y . |. Đồ thị của hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.   }. Hàm số đó là hàm số lẻ trên D   \   k , k    . 2  St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 24.

(25) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. ~. Hàm số đó là hàm số lẻ trên  . Hàm số y . Lời giải. 1 là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận tung làm trục đối xứng. cos x. Câu 29: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? {. y  x 2 cos x . |. y  sin 2 x . }. y  sin 2 x . Lời giải. ~. y  cos 2 x .. Hàm số y  sin 2 x là hàm số lẻ vì: Hàm số có tập xác định là  nên x     x   và y   x   sin 2   x    sin 2 x   y  x  . Câu 30: Trong các hàm số sau, hàm số nào không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ?   1   {. y  sin  x    tan  x   . |. y  tan x  . 4 4 sin x   }. y  sin 4 x  cos 4 x . ~. y  cos x . Lời giải Ta có. Xét hàm số. Rõ ràng. , tập xác định. không là tập đối xứng, chẳng hạn. nhưng. .. Nên hàm này không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ. Câu 31: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn. {. y  cot x . |. y  sin x .. }. y  tan x . Lời giải. ~. y  cos x .. Hàm số y  cos x là hàm số chẵn. Hàm số y  tan x ; y  cot x ; y  sin x là hàm số lẻ. Câu 32: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm chẵn?  {. y  cos  x   . |. y  sin x . }. y  1  sin x . 3  Lời giải. ~. y  sin x  cos x .. TXĐ: ! x ! x  !. Và y(x)  sin  x    sin x  sin x  y  x  Vậy hàm số trên là hàm số chẵn Câu 33: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? {. y  tan x . |. y  sin x . }. y  cos x . Lời giải. ~. y  cot x .. Hàm số y  tan x, y  sin x, y  cot x là các hàm số lẻ. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 25.

(26) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Hàm số y  cos x là hàm số chẵn Câu 34: Hàm số nào sau đây là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T   ? {. y  sin x . |. y  2sin x . }. y  sin 2 x . Lời giải. ~. y  2  sin x .. Xét hàm số y  sin 2 x ta có: y  x     sin  2  x      sin  2 x  2   sin 2 x  y  x  , x  . Do đó hàm số y  sin 2 x tuần hoàn với chu kỳ T   . Câu 35: Hàm số nào sau đây tuần hoàn với chu kì T  {. y  tan. x . 3. |. y  tan. x . 2.  2. ?. }. y  tan 3 x .. ~. y  tan 2 x .. Lời giải.   Ta có: Hàm số y  tan 2 x có tập xác định là D  \   k  . 2 4 a) x  D ta có x .  2. D.     b) y  x    tan 2  x    tan  2 x     tan 2 x . 2 2   Giả sử có số 0  T .  2. thỏa mãn cả hai tính chất a) và b) sao cho: y  x  T   y  x . Với x  0 ta có tan 2T  tan 0  T  0T .  2. 0. Suy ra T .  2.  2.  k  1  .  2.  k. 1 1   k   k  0  T  trái với điều giả sử. 2 2 2. là số dương nhỏ nhất thỏa mãn cả hai tính chất a) và b).. Vậy hàm số y  tan 2 x tuần hoàn với chu kì T .  2. .. Câu 36: Chọn khẳng định sai? {. Hàm số y  tan x  sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 . |. Hàm số y  cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 . }. Hàm số y  cot x  tan x là hàm số tuần hoàn với chu kì  . ~. Hàm số y  sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì  . Lời giải Hàm số y  sin x và y  cos x tuần hoàn với chu kì 2 . Hàm số y  tan x và y  cot x tuần hoàn với chu kì  . Nên khẳng định sai là D ..   Câu 37: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số y  cot  3 x   là 6  St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 26.

(27) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. {.  .. |.. 2 . 3. }..  3. .. ~. 2 .. Lời giải.    Hàm số y  cot  3 x   có chu kỳ tuần hoàn là . 3 6  Câu 38: Khẳng định nào sau đây đúng? {. Hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kì  . |. Hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kì 2 . }. Hàm số y  cos x tuần hoàn với chu kì.  2. .. ~. Hàm số y  cot x tuần hoàn với chu kì  . Lời giải Hàm số y  sin x và y  cos x tuần hoàn với chu kì 2 . Hàm số y  tan x và y  cot x tuần hoàn với chu kì  . Câu 39: Trong bốn hàm số: 1 y  cos 2 x ;  2  y  sin x ;  3 y  tan 2 x ;  4  y  cot 4 x có mấy hàm số tuần hoàn với chu kỳ  ? {. 3 . |. 2 .. }. 0 . Lời giải. ~. 1.. Hàm số y  cos 2 x tuần hoàn với chu kỳ  . Hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kỳ 2 . Hàm số y  tan 2 x tuần hoàn với chu kỳ Hàm số y  cot 4 x tuần hoàn với chu kỳ.  2.  4. . .. Câu 40: Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau? {. y  cos x tuần hoàn với chu kỳ  . |. y  cos x là hàm nghịch biến trên  0;   . }. y  cos x là hàm chẵn.. ~. y  cos x có tập xác định  . Lời giải. Vì hàm số y  cos x tuần hoàn với chu kỳ 2 . Câu 41: Hàm số y  {. T .  . 2. 1 1  có chu kì là: 2 1  tan x 1  cot 2 2 x |. T  2  .. }. T   .. ~. T  4 .. Lời giải Ta có:. 1 1 1  cos 2 x 1 cos 4 x   cos2 x  sin 2 2 x   2 2 1  tan x 1  cot 2 x 2 2 1 1  cos 4 x  cos 2 x 1 2 2 y. Do hàm số y1  cos 4 x có chu kì T1 . 2  2  , hàm số y2  cos 2 x có chu kì T2   4 2 2. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 27.

(28) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Vậy hàm số đã cho có chu kì T   Câu 42: Chu kì tuần hoàn của hàm số y  cot x là {.  . |. 2 . }. k  , ( k   ). Lời giải. ~. k 2 , ( k   ).. Dựa vào sách giáo khoa, T   là chu kì tuần hoàn của hàm số y  cot x . Câu 43: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số y  tan x là {. 2. |. . }..  2. ~. 3. Lời giải Theo tính chất của hàm số y  tan x. Câu 44: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số y  cos x {. T .  2. .. |. T   .. }. T  2 .. ~. T  2 .. Lời giải Chọn. ~ Hàm số lượng giác: y  cos x có chu kỳ là 2 . Câu 45: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  3cos 2 x  5 lần lượt là {. –8 và –2 .|. 2 và 8 .}. –5 và 3 .~. –5 và 2 . Lời giải Ta có. 1  cos 2 x  1  8  3cos 2 x  5  2  8  y  2 +/ y  8  cos 2 x  1  x .  2.  k. +/ y  2  cos 2x  1  x  k Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  3cos 2 x  5 lần lượt là –8 và –2..   Câu 46: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  7  2sin  x   lần lượt là 4  {. 4 và 7 . |. 5 và 9 . }.  2 và 7 . ~.  2 và 2 . Lời giải       Ta có: 1  sin  x    1  2  2 sin  x    2  5  7  2 sin  x    9 4 4 4    Từ đó ta có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đã cho lần lượt là 5 và 9 . Câu 47: Tìm tập giá trị của hàm số y  2 cos 3 x  1 . {.  3;1 .. |.  3; 1 .. }.  1;3 .. ~. 1;3 .. Lời giải Tập xác định : D   . Ta có:  1  cos 3 x  1   1  2 cos 3 x  1  3  1  y  3 . Mà hàm số đã cho liên tục trên D   . Vậy tập giá trị của hàm số là  1;3 . St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 28.

(29) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Câu 48: Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  3cos x  4 là {. 7 . |. 5 . }. 8 . Lời giải. ~. 6 .. Do 1  cos x  1 x   nên 1  3cos x  4  7 ,  x   . Nên max y  7 đạt được khi cos x  1  x  k 2 .  k   .. min y  1 đạt được khi cos x  1  x    k 2  k   . . Suy ra max y  min y  8 . . .   Câu 49: Giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  3sin  x   là:  4 {. 0. |. -3. }. 3. Lời giải     Ta có: 1  sin  x    1  3  3sin  x    3  4  4   Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3sin  x   là -3  4 Câu 50: Hàm số y  sin x có tập giá trị là: |.  1;1 .. {.  .. ~. -1.. }.   ;   .. ~.  0;  . Lời giải Hàm số y  sin x có tập giá trị trong đoạn  1;1 Câu 51: Giá trị lớn nhất của hàm số y  2 sin x  1 là {. 1 .. |. 1.. 1 }.  . 2 Lời giải. ~. 3 .. Vì sin x  1 ,  x   nên y  2 sin x  1  3 ,  x   . y  3 khi sin x  1  x .  2.  k 2 ,  k    .. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y  2 sin x  1 là 3 . Câu 52: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  4 sin x  3  1 lần lượt là {.. 2 và 2 .. |. 4 2 và 8 .. ~. 4 2  1 và 7 .. }. 2 và 4 . Lời giải. Đặt sin x  t  1  t  1 . Xét hàm số y  4 t  3  1 có y  . 2  0 t   1;1 t 3. Do đó max y  y 1  7 ; min y  y  1  4 2  1 . 1;1.  1;1. Câu 53: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2  cos x là 2. {. 2 và  1 .. |. 2 và 0 .. }. 2 và 1 .. ~. 3 và 1 .. Lời giải.  x   , 0  cos 2 x  1   1   cos 2 x  0  1  y  2 St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 29.

(30) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung.  3 5  ;  có đồ thị như hình vẽ. Tìm những giá trị x để Câu 54: Cho hàm số y  sin x trên đoạn  2   2 hàm số nhận giá trị âm.. {.   ;0  ;  ; 2  .. |.  0;   .. }.  ; 2  ..  3  ~.  ; 2  .  2 . Lời giải Trên các khoảng   ;0  ;   ; 2  đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành nên hàm số nhận giá trị âm. Câu 55: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y  3  2 cos2 x lần lượt là {. ymax  5, ymin  1 . |. ymax  1, ymin  1 . }. ymax  3, ymin  1 . ~. ymax  5, ymin  1 . Lời giải Ta có 0  cos2 x  1  2  2cos2 x  0  1  3  2cos2 x  3 . Vậy ymax  3, ymin  1 . Câu 56: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y  2 cos x  sin x . {. M . 11 . 2. |. M  5 .. }. M  3 .. ~. M  6 .. Lời giải 1  2  Ta có: y  2 cos x  sin x  5  cos x  sin x   5 cos  x    với góc    0;2  thỏa 5  5  2 1 mãn cos   . ;sin   5 5 Do đó: y  5 hay giá trị lớn nhất của hàm số là M  5 khi. cos  x     1  x    k 2 ,  k   . Câu 57: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 cos 2 x  1   3  trên đoạn   ;  . khi đó M .m bằng  6 8  {.  1 . |. 2  2 2. }. 2  2. ~. 2 2  2. Lời giải   3    3  x   ;   2 x   ;   6 8   3 4  . 2 1 2  cos 2 x   2  2 cos 2 x  1  1 2 2 2. M . 2  1; m  2  M .m  2  2. 2. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 30.

(31) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Câu 58: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  4 sin x  3  1 lần lượt là {. 4 2  1 và 7 .. |. 4 2 và 8 .. }. 2 và 4 . Lời giải. ~.. 2 và 2 .. y  f  x   4 sin x  3 .. Có 1  sin x  1  2  sin x  3  4  2  sin x  3  2  4 2  1  4 sin x  3  1  7 . Có 4 sin x  3  1  4 2  1  x  .  2.  k 2 ; 4 sin x  3  1  7  x .  2.  k 2 .. Vậy min f  x   4 2  1 , max f  x   7 . x. x. Câu 59: Tập giá trị hàm số y  5 sin x  12 cos x là {.  12;5 .. |.  13;13 .. }.  17;17  .. ~.  13;13 .. Lời giải.  5sin x  12 cos x  Ta có: y  5sin x  12 cos x  13.   13    13.  sin  sin x  cos  cos x   13cos  x   . . với sin  . 5 12  , cos    13 13 . Lại có: 1  cos  x     1  13  13cos  x     13 Vậy tập giá trị hàm số y  5sin x  12 cos x là  13;13 Câu 60: Hàm số y  4  11cos 3 x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương? {. 15. . |. 14 . }. 13 . ~. 23 . Lời giải Ta có:  1  cos x  1  1  cos 3 x  1   11   11cos 3 x  11   7  4  11cos 3 x  15. Suy ra các giá trị nguyên của hàm số y  4  11cos 3 x là: S  7; 6; 5;....; 0;1; 2;...;15 . Nên có tất cả 23 giá trị nguyên. Câu 61: Giá trị lớn nhất của hàm số y  5sin 2 x  12cos 2x là {. 10 . |. 12 . }. 17 . Lời giải. ~. 13 .. Cách 1 Ta có: M   là giá trị lớn nhất của hàm số y  5sin 2 x  12cos 2 x trên  nếu x0  sao cho y  x0   M và M  y  x  ,  x   .. Suy ra phương trình 5 sin 2 x  12 cos 2 x  M phải có nghiệm. Phương trình 5 sin 2 x  12 cos 2 x  M 2 2 2 2  M  5  12  169  13  13  M  13 . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y  5sin 2 x  12cos 2x bằng 13 .. có. nghiệm. Câu 62: Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 31.

(32) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung y -5 -3. 2. -. -2 -3. -. 3. 2 O. 2. {. y  cot x .. . 1 . 2. 2. 2. 5. 3. x. 2. 2. |. y  sin 2x .. }. y  sin x . Lời giải. ~. y  cos 2x .. Câu 63: Cho đồ thị với x    ;   . Đây là đồ thị của hàm số của hàm số nào?. {. y  cos x .. |. y   cos x .. }. y  sin x .. ~. y  cos x .. Lời giải Cách 1: Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm  0;  1 và   ; 1 . Thay các điểm trên vào các hàm số ở các phương án thì chỉ có phương án B thỏa mãn. Cách 2: Từ hình vẽ ta suy ra hàm số đồng biến trên đoạn  0;   . Trong các phương án chỉ có hàm số ở phương án B thỏa mãn. Câu 64: Dựa vào đồ thị của hàm số y  sin x , hãy tìm số nghiệm của phương trình: sin x   5 5  trên đoạn  ; . 2   2. {. 4 .. |. 6 .. Nhìn đồ thị ta thấy, đường thẳng y   5 5   2 ; 2  tại 5 điểm phân biệt.. }. 10 . Lời giải. 1 2018. ~. 5 .. 1 cắt đồ thị hàm số y  sin x trên đoạn 2018. Câu 65: Hình bên là một phần đò thị của hàm số nào sau đây?. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 32.

(33) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. {. y  cos. 2x . 3. |. y  sin. 2x . 3. }. y  cos. 3x 2. ~. y  sin. 3x . 2. Lời giải.  3  Quan sát đồ thị hàm số đi qua điểm  ;0   4  Suy ra đó là đồ thị hàm số y = cos. 2x . 3. Câu 66: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, ~.. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? {. y  sin. 3x . 2. |. y  sin. 2x . 3. }. y  cos. 3x . 2. ~. y  cos. 2x . 3. Lời giải Ta thấy đồ thị hàm số đã cho đối xứng qua trục Oy nên hàm số cần tìm là hàm số chẵn, loại hai phương án A và |. Ta lại có y  3   1 mà cos. 2(3 )  cos  2   1 cho nên ta chọn phương án ~. 3. Câu 67: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau. {. Hàm số y  cos x tuần hoàn với chu kì 2 .   |. Hàm số y  sin x nghịch biến trên khoảng  ;   . 2    }. Hàm số y  cot x đồng biến trên khoảng  ;   . 2  ~. Hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kì  . Lời giải   Hàm số y  cot x nghịch biến trên khoảng  ;   . 2 . Câu 68: Hàm số y  tan x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?  3    3   {.  0;   . |.   ;   . }.   ;  . 2  2  2 2 Lời giải St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. ~.  2 ;   .. 33.

(34) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung.   Tập xác định: D   \   k , k    . 2 .     Hàm số y  tan x đồng biến trên khoảng    k ;  k  nên đồng biến trên khoảng 2  2   3    ; . 2  2 Câu 69: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? {. Hàm số y  cot x đồng biến trên khoảng  0;   ..  3 5  |. Hàm số y  sin x đồng biến trên khoảng  ;  .  2 2  }. Hàm số y  sin x nghịch biến trên khoảng  ; 2  .    ~. Hàm số y  cos x đồng biến trên khoảng   ;  .  2 2 Lời giải. Ta có các lưu ý sau: * Hàm số y  cot x nghịch biến trên mỗi khoảng mà nó xác định..     * Hàm số y  sin x đồng biến trên mỗi khoảng    k 2 ;  k 2  và nghịch biến trên 2 2    3    mỗi khoảng   k 2 ;  k 2  . 2 2   * Hàm số y  cos x đồng biến trên mỗi khoảng    k 2 ; k 2  và nghịch biến trên mỗi khoảng  k 2 ;   k 2  . Câu 70: Cho hàm số y  sin x . Khẳng định nào dưới đây sai? {. Hàm số đã cho là hàm lẻ.. |. Hàm số đã cho có tập giá trị là  1;1 .. }. Hàm số đã cho đồng biến trên  0; 2  .. ~. Hàm số đã cho có tập xác định  .. Lời giải • Hàm số y  sin x có tập xác định: D   . • Hàm số y  sin x có tập giá trị: T   1;1 . Ta có: x     x   . Mà y   x   sin   x    sin x   f  x  . Do đó hàm số y  sin x là hàm lẻ.      3 • Hàm số y  sin x đồng biến trên khoảng   ;  và nghịch biến trên  ;  2 2 2 2.  . . Vậy đáp án C sai.  3  Câu 71: Cho ba hàm số y  s in x; y  cos x ; y  tan x . Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên  0;   2  ? {. 1 . |. 3 . }. 0 . ~. 2 . Lời giải St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 34.

(35) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung.     3  Hàm số y  s in x đồng biến trên  0;  và nghịch biến trên  ;  .  2 2 2    Hàm số y  cos x nghịch biến trên  0;  .  2. Hàm số y  tan x gián đoạn tại.  2. ..  3 Vậy không có hàm số nào đồng biến trên  0;  2. Chương 1: Ⓐ.  . . §➋. PT LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN. Tóm tắt lý thuyết. ➊.Phương trình sinx = a  . a > 1: PT vô nghiệm a  1: PT có các nghiệm . x = arcsina + k2, k  Z; . x =  – arcsina + k2, k  Z. Chú ý:  .  f ( x )  g( x )  k 2  (k  Z ) sinf(x) = sing(x)    f ( x )    g( x )  k 2   x = β0 + k3600 (k  Z) sinx = sin0   0 0 0  x = 180 -β + k360. Các trường hợp đặc biệt:.  .sinx = 1  x = 2 + k2  .sinx = –1  x = – 2 + k2. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 35.

(36) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. ➋. Phương trình cosx = a . a > 1: PT vô nghiệm. . a  1: PT có các nghiệm .x = arccosa + k2, k  Z; .x = – arccosa + k2, k  Z. Chú ý:  . cosf(x) = cosg(x)  f(x) =  g(x) + k2, k  Z cosx = cos0  x =  0 + k3600, k  Z. Các trường hợp đặc biệt: .cosx = 1  x = k2 .cosx = –1  x =  + k2.  ➌. Phương trình tanx = a.  .  ĐK: x  2 + k (k  Z). PT có nghiệm x = arctana + k, k  Z;. Chú ý:  . tanf(x) = tang(x) f(x) = g(x) + k, k  Z tanx = tan0  x = 0 + k1800, k  Z. Các trường hợp đặc biệt:.  .tanx = 1  x = 4 + k.  .tanx = –1  x = – 4 + k. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 36.

(37) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. ➍. Phương trình cotx = a  . ĐK: x  k (k  Z). PT có nghiệm x = arccota + k, k  Z;. Chú ý:  . cotf(x) = cotg(x)  f(x) = g(x) + k, k  Z cotx = cot0  x = 0 + k1800, k  Z. Các trường hợp đặc biệt:.  .cotx = 1  x = 4 + k  .cotx = –1  x = – 4 + k  2. Ⓑ. Phân dạng bài tập. ①. Dạng 1: Phương trình sinx = a . Bài tập minh họa: Câu 1:. Tập nghiệm của phương trình sin x  0 là   {. S    k 2 , k    . 2 . |. S  k , k   ..    ~. S     k 2 , k    .  2  Lời giải. }. S  k 2 , k   .. Ta có: sin x  0  x  k , k   . Câu 2:. Nghiệm của phương trình s inx . 5  k . 6 6 }. x     k 2 ; x   5  k 2 . 6 6. {. x . . 1 là 2.  k ; x . |. x  .  6.  k 2 .. ~. x    k 2 ; x  5  k 2 . 6. 6. Lời giải    x   k 2 1  6 s inx    5 2   k 2 x   6. Câu 3:.  3  Tập nghiệm của phương trình sin  x    là 4 2  5   {. S    k 2 ,  k 2 | k    . 12 12 . St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 37.

(38) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. 5    |. S    k 2 ,   k 2 | k    . 12  12  5    }. S    k 2 ,  k 2 | k    . 12  12  7   ~. S    k 2 ,   k 2 | k    . 12 12 . Lời giải.      x    k 2 x   k 2    3  4 3 12 Ta có sin  x      k   4 2   x        k 2  x  5  k 2   4 3 12 Câu 4:. Nghiệm của phương trình sin x.cos x  {. x  k 2 ; k   . k |. x  ; k  . 4  }. x   k ; k   . 4 ~. x  k ; k   . Ta có: sin x.cos x . Câu 5:. 1 là 2. Lời giải. 1    sin 2 x  1  2 x   k 2  x   k 2 2 4.  k   ..   Nghiệm của phương trình sin  x    0 là 3    {. x    k  k    . |. x    k 2  k    . 3 3  }. x   k 2  k    . ~. x  k  k   . 6 Lời giải     sin  x    0  x   k  x   k  k    . 3 3 3 . ②. Dạng 2: Phương trình cosx = a . Bài tập minh họa: Câu 1:. Giải phương trình sau 2 cos x  2  0 .  {. x    k 2 , k   . 4  }. x    k 2 , k   . 4. |. x .  4. ~. x  .  k 2 , k   ..  4.  k , k   .. Lời giải Ta có: 2 cos x  2  0  cos x . 2    cos x  cos  x    k 2 , k   . 2 4 4. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 38.

(39) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Câu 2:. Nghiệm của phương trình cos x  {. x   }. x  . 2  k 2 ; k   . 3. . 3. 3 2 3  cos x  cos  x    k 2 ; k   . 2 3 3. Phương trình lượng giác cos 3 x  cos {. x  .  15.  15.  3x  .  15.  k 2  x  . Nghiệm của phương trình cos x   {. x  . .  k 2. 3 2 }. x    k 2 3. . có nghiệm là 15  k 2  k 2 |. x    . }. x    . 45 3 45 3 Lời giải.  k 2 .. Ta có cos 3 x  cos Câu 4:. 5  k ; k   . 6 5 ~. x    k 2 ; k   . 6 Lời giải. |. x  .  k ; k   .. Ta có cos x   Câu 3:. 3 là 2.  45. . |. x  . k   ..  45. . k 2 . 3. k 2 . 3. 1 là 2. k   .. ~. x . ~. x  .  6. . 6.  k 2. k   ..  k. k   .. Lời giải 2   x  3  k 2 1 Ta có cos x     k   . 2  x   2  k 2  3. Câu 5:. Tập nghiệm của phương trình cos x .  3  {.   k 2 k    .  4  5    |.   k 2 ;  k 2 k    . 4  4   3  }.   k 2 k    .  4 . 2 là 2.    ~.   k 2 k    .  4 . Lời giải.   x   k 2  2  4 cos x   cos x  cos   ,k  . 2 4  x     k 2  4 ③. Dạng 3: Phương trình tanx = a St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 39.

(40) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. . Bài tập minh họa: Câu 1:. Tập nghiệm của phương trình tan x  1  0 là      {. S    k 2 , k    . |. S    k , k    . 4 4           }. S    k , k    . ~. S    k 2 , k    . 4 4     Lời giải. tan x  1  0  tan x  1  x   Câu 2:. Câu 3:.  4.  k , k   .. Nghiệm của phương trình tan 2 x  1  0 là:       {. x   k . |. x   k . }. x   k . ~. x   k . 8 4 8 2 4 2 Lời giải    tan 2 x  1  0  tan 2 x  1  2 x   k  x   k . 4 8 2 Nghiệm của phương trình tan x  cot x là    {. x   k  k    . |. x    k 2  k    . 4 2 4   }. x   . ~. x   k  k    . 4 4 Lời giải.      tan x  cot x  tan x  tan   x   x   x  k  x   k ( k   ). 2 4 2 2  Câu 4:. 5  Số nghiệm của phương trình tan  2 x  6  {. 3 . |. 8 . 5  tan  2 x  6 .    3  0 trên khoảng  0;3  là  }. 4 . ~. 6 . Lời giải. 5   k     k  x   k   .   3  0  2x  6 3 4 2 . x   0;3   0 .  4. . k 1 11 k  3    k   k  0;1; 2;3; 4;5 . 2 2 2. Vậy phương trình có 6 nghiệm trên khoảng  0;3  . Câu 5:. Tất cả các nghiệm của phương trình tan x  cot x là    {. x   k , k   . |. x   k 2 , k   . 4 4 4    }. x   k , k   . ~. x   k , k   . 4 4 2 Lời giải sin x  0  Điều kiện   sin 2 x  0  x  m , m   2 cos x  0      tan x  cot x  tan x  tan   x   x   x  k  x   k  k    thỏa mãn điều 2 4 2 2  kiện.. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 40.

(41) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. ④. Dạng 4: Phương trình cotx = a . Bài tập minh họa: Câu 1:.   Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cot  x    3 là 6  5   {. . |. . }. . 6 3 6 Lời giải. ~..  12. ..      cot  x    3  x    k  x   k , k   . 6 6 6 3  Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là Câu 2:.  3. .. Tất cả các nghiệm của phương trình cot  x  15o   3  0 là: {. x  75o  k 360o ,  k   .. |. x  45o  k 360o ,  k   .. }. x  75o  k180o ,  k   .. ~. x  45o  k180o ,  k   .. Lời giải Ta có: cot  x  15   3  0  cot  x  15   3 o. o.  x  15o  30o  k180o  x  45o  k180o ,  k   . Nghiệm của phương trình đã cho là: x  45o  k180o ,  k   . Câu 3:. Câu 1:.   Số nghiệm của phương trình cot  x    1  0 trên khoảng   ;3  là 4  {. 2 . |. 3 . }. 1. ~. 4 Lời giải      Ta có: cot  x    1  0  x     k  x    k  k    . 4 4 4 2   1 7 ycbt      k  3    k  , mà k   nên k  0;1; 2;3 . 2 2 2 Bài tập rèn luyện Nghiệm của phương trình s inx  1 là 2 5 {. x   k  ; x   k . 6 6  5 }. x    k 2 ; x    k 2 . 6 6. . Câu 2:. Câu 3:. |. x     k 2 . ~. x . Giải phương trình sau 2 cos x  2  0 .. .  6. . {. x    k 2 , k   . 4. |. x . }. x  . ~. x  . . 4.  k 2 , k   .. Nghiệm của phương trình cos x  {. x  . 2  k 2 ; k   . 3. 4. 3 là 2. |. x  . St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 6.  k 2 ; x . 5  k 2 . 6.  k 2 , k   ..  4.  k , k   .. 5  k ; k   . 6 41.

(42) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. }. x   Câu 4:.  k ; k   .. 3. ~. x  . Phương trình lượng giác cos 3x  cos {. x  . Câu 5:. .  15.  k 2 .. . có nghiệm là 15  k 2  k 2 |. x    . }. x    . 45 3 45 3. Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai?  {. sin x  1  x    k 2 . 2 }. sin x  0  x  k 2 ~. sin x  1  x . Câu 6:. }. x  . Câu 8:. ~. x .  45. . k 2 . 3. |. sin x  0  x  k ..  2.  k 2 .. Nghiệm của phương trình 2 sin x  1  0 là {. x  . Câu 7:. 5  k 2 ; k   . 6.    x   6  k 2 |.  ,k  .  x  7  k 2  6    x  3  k 2 ~.  ,k  .  x  2  k 2  3. 2  k 2 , k   . 3.  6.  k 2 , k   .. 8  k 2 , k   là một họ nghiệm của phương trình nào sau đây? 3 {. 2 cos x  1  0 . |. 2 sin x  1  0 . }. 2 cos x  1  0 . ~. 2sin x  3  0 . x. Phương trình tan x  tan  ,  thuộc  có nghiệm là {. x    k 2  k    . |. x    k 2 ; x      k 2  k   . }. x    k  k    . ~. x    k 2 ; x    k 2  k    .. Câu 9:. Nghiệm của phương trình sin x  0 là {. x . . 2.  k 2 , k   . |. x . . 2.  k , k   . }. x  0 .. Câu 10: Nghiệm của phương trình cos x   {. x  . .  k 2. 3 2 }. x    k 2 3. k   . k   .. 1 là 2. |. x   ~. x  .  6. . 6. ~. x  k , k   ..  k 2  k. k   . k   ..  3  Câu 11: Tập nghiệm của phương trình sin  x    là 4 2  5   {. S    k 2 ,  k 2 | k    . 12 12    5    |. S    k 2 ,   k 2 | k    . 12 12   5    }. S    k 2 ,  k 2 | k    . 12  12   7    ~. S    k 2 ,   k 2 | k    . 12 12   St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 42.

(43) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung.   Câu 12: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cot  x    3 là 6  5   {. . |. . }. . 6 3 6  2x   Câu 13: Phương trình sin     0 có nghiệm là  3 3  k 3 {. x     k   . 2 2 2 k 3 }. x    k   . 3 2 Câu 14: Tập nghiệm của phương trình cos x .  3  {.   k 2 k    .  4   3  }.   k 2 k    .  4 . 2 là 2. Câu 15: Phương trình cos x  0 có nghiệm là  {. x   k  k    . 2  }. x   k 2  k    . 2. |. x .  6. ~..  12. ..  k  k    .. ~. x  k  k   .. 5    |.   k 2 ;  k 2 k    . 4  4     ~.   k 2 k    .  4  |. x  k 2 ~. x  k . k   . k    .. Câu 16: Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm?   2  {. tan x  99 . |. cos  2 x    . 2 3  3 }. cot 2018 x  2017 . ~. sin 2 x   . 4 Câu 17: Nghiệm của phương trình sin x.cos x . 1 là 2. {. x  k 2 ; k   . }. x .  4. |. x .  k ; k   .. k ; k  . 4. ~. x  k ; k   .. Câu 18: Phương trình 2sin x  3  0 có tập nghiệm là    {.    k 2 , k    . |.  6  5    k 2 , k    . }.   k 2 , ~. 6 6 .       k 2 , k    .  3  2    k 2 , k    .   k 2 , 3 3 . Câu 19: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? {. cos x  0  x .  2.  k 2 .. }. cos x  1  x    k 2 .. |. cos x  1  x  k 2 . ~. cos x  0  x .  2.  k ..   Câu 20: Nghiệm của phương trình sin  x    0 là 3  St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 43.

(44) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. {. x   }. x .  6.  3.  k  k    ..  k 2  k    .. |. x  .  3.  k 2  k    .. ~. x  k  k   .. Câu 21: Trong các phương trình sau có bao nhiêu phương trình có nghiệm? 1  2 1 3 sin x  ; sin x  ; sin x  2 2 2 {. 0 .. |. 1.. }. 3 .. ~. 2 .. Câu 22: Tập nghiệm của phương trình 2 cos x  1  0 là       {. S     k : k    . |. S    k 2 : k    .  3   6        }. S    k 2 : k    . ~. S    k : k    .  3   6  Câu 23: Tập nghiệm của phương trình tan x  1  0 là      {. S    k 2 , k    . |. S    k , k    .  4  4       }. S    k , k    . ~. S    k 2 , k    .  4  4  Câu 24: Tập nghiệm của phương trình sin 3x  1  0 là       {.   k , k    . |.   2k , k    .  2   2  2       }.   k 2 , k    . ~.   k , k   . 3  6   6  Câu 25: Tất cả các nghiệm của phương trình cot  x  15o   3  0 là: {. x  75o  k 360o ,  k   .. |. x  45o  k 360o ,  k   .. }. x  75o  k180o ,  k   .. ~. x  45o  k180o ,  k   .. Câu 26: Tập nghiệm của phương trình sin x  0 là   {. S    k 2 , k    . |. S  k , k   . 2     }. S  k 2 , k   . ~. S    k 2 , k    .  2  Câu 27: Họ nghiệm của phương trình cot(2 x  300 )  3 là: {. x  900  k1800 .. |. x  300  k1800 .. Câu 28: Khẳng định nào sau đây là sai?  {. sin x  1  x   k 2 . 2 }. c os x   1  x    k  . Câu 29: Phương trình cos x  m có nghiệm khi: {. m  1 . |. m  1 . Câu 30: Nghiệm của phương trình sin 2 x  1 là k {. x  k . |. x  . 2. }. x  300  k 900 .. ~. x  600  k1800 .. |. sin x  0  x  k . ~. cosx  0  x . }. m  1 .. }. x . St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155.  2.  2 k ..  2.  k .. ~. m  1 .. ~. x .  2.  k . 44.

(45) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Câu 31: Nghiệm của phương trình tan 2 x  1  0 là:   {. x   k . |. x   k . 8 4. }. x . Câu 32: Nghiệm của phương trình 2 cos 2 x  2 . {. x  k 2 .. |. x    k 2 .. }. x .  8.  2. k. . .. ~. x .  k .. ~. x . 2. Câu 35: Cho phương trình sin x . 2. 2. ..  k 2 .. ~. 2cos x  3  0 .. Câu 36: Phương trình cos x  cos 2  k 2 . 3.  3.    x  6  k 2 }.   x  5  k 2  6. |. x  . . 2. ~. x    k 2 . 2. có nghiệm là.  3.  k .. }. x  .  3.  k 2 .. Câu 37: Trong các phép biến đổi sau, phép biến đổi nào sai? {. sin x  1  x . ~. sin x  0 .. 1 , nghiệm của phương trình là: 2.    x  6  k 2 |.   x     k 2  6.    x  6  k 2 {.   x    k 2  2. {. x . . . .  k  k    là nghiệm của phương trình nào sau đây 2 {. cos 2 x  0 . |. cos 2 x  1 . }. sin x  1 .. Câu 34: Cho x . 4. k. .  k 2  k    là nghiệm của phương trình nào sau đây 3 {. 2cos x  3  0 . |. cos 2 x  1 . }. 2sin x  3  0 .. Câu 33: Cho x . .  k 2 , k   .. |. tan x  1  x .   x   k 2 , k    1 3 }. cos x    . 2  x     k 2 , k    3. ~. x .  4.  3.  k 2 ..  k , k   .. ~. sin x  0  x  k 2 , k   .. Câu 38: Nghiệm của phương trình sin 2 x  1  0 là   {. x    k , k  . |. x   k 2 , k  . . 4 2   }. x   k , k  . ~. x    k 2 , k  . 4 2 Câu 39: Phương trình 2 cos x  1 có một nghiệm là {. x  . . 2. .. |. x . . 2. .. Câu 40: Giải phương trình cos x  1 . k {. x  , k . 2  }. x   k 2 , k   . 2 Câu 41: Phương trình cos x  0 có nghiệm là:  {. x   k   k    . 2. }. x .  3. ~. x   .. .. |. x  k  , k   . ~. x  k 2 , k   .. |. x  k 2. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. k   . 45.

(46) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. }. x .  2.  k 2. k   .. ~. x  k . Câu 42: Phương trình nào sau đây vô nghiệm? {. tan x  3  0 . }. sin x  3  0 .. k   .. |. 2 cos 2 x  cos x  1  0 . ~. 3sin x  2  0 .. Câu 43: Gọi  là nghiệm trong khoảng  ; 2  của phương trình cos x . 3 a , nếu biểu diễn   2 b. a là phân số tối giản thì ab bằng bao nhiêu? b |. ab  6 . }. ab  66 . ~. ab  30 .. với a , b là hai số nguyên và {. ab  42 .. Câu 44: Nghiệm của phương trình: sin 4 x  cos 5 x  0 là.    x  2  k 2 {.  . |.  x     k 2  18 9    x   2  k 2 }.  . ~.  x    k 2  18 9.    x  2  k .   x     k  18 9    x  2  k 2 .   x     k 2  9 9. Câu 45: Trong khoảng  0;   phương trình cos 4 x  sin x  0 có tập nghiệm S bằng.    7  {. S   ; ;  .  6 10 10    2 3 7  }. S   ; ; ; .  3 3 10 10 .   3  |. S   ;  .  6 10    5 3 7  ~. S   ; ; ;  .  6 6 10 10 . Câu 46: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình cos {. x . 3  k 3 , k   . 2. }. x  k , k   .. ~. x . x  0. 3. |. x .  2. 3  k 6 , k   . 2.  k , k   .. Câu 47: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 2 x  cos x  0 trong khoảng  0; 2  bằng T . Vậy T bằng bao nhiêu? {. T   .. |. T . 7 . 6. }. T . 4 . 3. ~. T  2 ..   Câu 48: Số nghiệm của phương trình cot  x    1  0 trên khoảng   ;3  là 4  {. 2 . |. 3 . }. 1. ~. 4  Câu 49: Cho  AOC   AOF  như hình vẽ dưới đây. Nghiệm của phương trình 2sin x  1  0 được 6 biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 46.

(47) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. |. Điểm C , điểm F . ~. Điểm E , điểm F .. {. Điểm E , điểm D . }. Điểm D , điểm C . Câu 50: Nghiệm của phương trình tan x  cot x là {. x . . 4. }. x  . k.  4. . 2.  k   .. |. x   ~. x . .. Câu 51: Phương trình sin x  {. 10.. .  4. 4.  k 2  k    ..  k  k    .. 1 có bao nhiêu nghiệm trên đoạn  0; 20  ? 2 |. 11. }. 21.. ~. 20.. Câu 52: Số nghiệm của phương trình cos 2 x  1  0 trên đoạn  0;1000  là {. 1000 .. |. 999 .. }. 2000 .. 2017  Câu 53: Tập các giá trị của tham số m để phương trình 2 sin  x  2   3 3 {.  1;1 . |.  1;1 . }.   ;  .  2 2. Câu 54: Phương trình sin 2 x  {. 18.. ~. 1001.    3m  0 có nghiệm là   2 2 ~.   ;  .  3 3. 1  15 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng  0; 2 2  |. 16. }. 14..  ?  ~. 12.. Câu 55: Phương trình cot x  3 có bao nhiêu nghiệm thuộc  2018 , 2018  ? {. 2018 .. |. 4035 .. Câu 56: Phương trình cos  x  30  .  x  k 360 {.  .  x  60  k 360  x  30  k 2 }.  .  x  90  k 2 Câu 57: Phương trình sin 2 x  . }. 4037 .. ~. 4036 .. 1 có các nghiệm là 2.    x  6  k 360 |.  .  x     k 360  2  x  30  k 360 ~.  .  x  90  k 360 1 có hai họ nghiệm có dạng x    k và x    k , k   2. 3    2 2    0     . Khi đó, tính    ? 4 4   2   2 25  2 {. . |. . }. . 3 3 72 St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 25  2 ~. . 72. 47.

(48) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Câu 58: Số nghiệm của phương trình: cos 2 x   {. 4 .. |. 1.. 1 thuộc khoảng  ; 2  là 2 }. 2 . ~. 3 .. Câu 59: Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 2cos2 x  1 ? 2 2 {. cos x  . |. sin x  . }. tan 2 x  1 . ~. tan x  1 . 2 2. 5   Câu 60: Số nghiệm của phương trình tan  2 x    3  0 trên khoảng  0;3  là 6   {. 3 . |. 8 . }. 4 . ~. 6 . Câu 61: Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết  AOC   AOF  30, E , D lần lượt là các điểm đối xứng của C , F qua gốc O. Nghiệm của phương trình 2 sin x  1  0 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?. {. Điểm C , điểm D. }. Điểm C , điểm F .. |. Điểm E , điểm F . ~. Điểm E , điểm D.. Câu 62: Số nghiệm của phương trình 2sin x  3  0 trên đoạn đoạn  0; 2  là {. 3.. |. 1.. }. 4.. ~. 2.. Câu 63: Nghiệm của phương trình sin 2 x  cos x  0 là  k    x   2  2  x   2  k 2 {.  |.  (k  ) . (k  ) .  x     k 2  x    k 2   6 3 2 3      x  2  k 2  x   2  k }.  ~.  (k   ) . (k  ) .  x    k  x    k 2   6 3 4 Câu 64: Tập nghiệm của phương trình 2cos 2 x  1  0 là  2    2  {. S    k 2 ,   k 2 , k    . |. S    2k ,   2k , k    . 3 3 3   3        }. S    k ,   k , k    . ~. S    k ,   k  , k    . 3 6 3  6  Câu 65: Phương trình 2cos x  1  0 có tập nghiệm là       {.    k 2 , k    . |.    k 2 , k    . 3 6            }.   k 2  k    ,  l 2  l    . ~.   k 2  k    ,   l 2  l    . 6 6 3   3  St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 48.

(49) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung.    Câu 66: Cho hàm số y  x sin x , số nghiệm thuộc   ;2  của phương trình y   y  1 là  2  {. 2. |. 0. }. 1. ~. 3.. Câu 67: Nghiệm của phương trình sin x.cos x . 1 là 2. {. x  k 2 ; k   . }. x .  4. |. x .  k ; k   .. k ; k  . 4. ~. x  k ; k   .. Câu 68: Phương trình tan 3 x  tan x có nghiệm là {. x  k .. |. x  k 2 .. Câu 69: Phương trình m cos 2 x  1 có nghiệm khi m  1 {. m  0 . |.  .  m  1. }. x  k.  2. ~. x . .. }. m  1 ..  2.  k .. ~. m  1 ..   Câu 70: Tập nghiệm của phương trình sin  x   cos    x là:  3    1    1  {.   k , k    . |.   k , k    . }.   k , k    . ~.   k , k    . 12  12  2  2  Câu 71: Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm? {. 3sin x  1  0 . |. 2 cos 2 x  cos x  1  0 . }. 5 tan x  3  0 ~. 3 cos x  5  0 . Câu 72: Phương trình sin 2 x  {. 18.. 1 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng 2 |. 16. }. 14..  15  0; 2 .  ?  ~. 12..   Câu 73: Cho phương trình 3sin  2 x    1  m có nghiệm khi m   a; b . Khi đó b  a bằng 5  {. 6. |. 0. }. 2. ~. 4. Câu 74: Tập nghiệm S của phương trình cos 3 x  cos x là {. S  k , k  .  k  }. S   , k    . 3  .  k  |. S   , k    . 2      ~. S    k , k    . 2  .      Câu 75: Phương trình sin  2 x    1 có mấy nghiệm trong nửa khoảng   ;  ? 2   2 2 {. 0 . |. 2 . }. 1. ~. 3 .    Câu 76: Phương trình cos 3 x  sin x có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn   ;  ?  2 2 {. 0 . |. 2 . }. 3 . ~. 1. Câu 77: Tất cả các nghiệm của phương trình tan x  cot x là    {. x   k , k   . |. x   k 2 , k   . 4 4 4    }. x   k , k   . ~. x   k , k   . 4 4 2 St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 49.

(50) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung.   3 Câu 78: Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin  3 x    4 2  bằng. {..  9. |.. ..  6. .. }. .  6. ~. . ..  9. .. 1   có dạng x   k và x    k , k   ; 2 m n với m, n là các số nguyên dương. Khi đó m  n bằng {. 4. |. 3. }. 5. ~. 6.. Câu 79: Biết các nghiệm của phương trình cos 2 x  . Câu 80: Phương trình 2 sin x  m  0 vô nghiệm khi m là: {. 2  m  2 .. |. m  2 .. Câu 81: Số nghiệm của phương trình {. 4..  m  2 }.  . m  2. sin 3x  0 trên đoạn 0;   là: 1  cos x. |. 2.. }. 3.. ~. Vô số..   Câu 82: Số nghiệm của phương trình sin  x    1 thuộc đoạn  0; 2  là 4  {. 2 . |. 0 . }. 1. x  x   Câu 83: Giải phương trình  2 cos  1  sin  2   0 . 2  2   2  k 2,k   . 3  }. x    k 4 ,k   . 3.  3 2 ~. x    k 4,k   . 3. Câu 84: Giải phương trình 2cos x  1  0 .. }. x  . . . 6.  k 2 , k   .. |. x . 3.  2 , k   .. ~. x  . . ~. 3 .. |. x    k 2, k   .. {. x  . {. x  . ~. m  2 .. 3.  k 2 , k   ..  3.  k 2 , k   .. Câu 85: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3sin 2 x  m 2  5  0 có nghiệm? {. 6. |. 2. }. 1. ~. 7. Câu 86: Tính tổng các nghiệm trong đoạn  0;30 của phương trình: tan x  tan 3x {. 55 .. |.. 171 . 2. }. 45 .. ~.. 190 . 2. Câu 87: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin x  sin 2 x  0 trên đoạn  0;2  . {. 4 .. |. 5 .. }. 3 .. Câu 88: Phương trình: cos x  m  0 vô nghiệm khi m là: {. 1  m  1 . |. m  1 . }. m  1 .. ~. 2 . ~. m  1; m  1. Câu 89: Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là 2 điểm M, N ?. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 50.

(51) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. {. 2sin2x  1.. |. 2cos2x  1.. }. 2sin x  1.. ~. 2cos x  1.. Câu 90: Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin 3 x  cos x  0 trên  0;   . {.. 5 . 8. |..  3. }.  .. .. ~. 2 .. Câu 91: Cho phương trình sin 2 x  sin x  2 m cos x  m  0, m là tham số. Số các giá trị nguyên của  7  m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt trên  ; 3  là  4  {. 0 . |. 2 . }. 3 . ~. 1.  3   Câu 92: Cho phương trình sin  2 x    sin  x  4 4   của phương trình trên. 7 {. . |.  . 2.   . Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng  0;   . }.. 3 . 2. ~.. Câu 93: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 8sin x.cos x.cos 2 x  3  0 là bằng {. 12.. |. 13.. }. 14. BẢNG ĐÁP ÁN.  4. .. m . Khi đó m  n n. ~. 11. 1.D. 2.C. 3.A. 4.B. 5.C. 6.B. 7.A. 8.C. 9.D. 10.C. 11.A. 12.B. 13.A. 14.D. 15.A. 16.B. 17.C. 18.D. 19.A. 20.A. 21.D. 22.C. 23.C. 24.D. 25.D. 26.B. 27.C. 28.C. 29.A. 30.D. 31.C. 32.C. 33.C. 34.B. 35.C. 36.C. 37.D. 38.C. 39.C. 40.D. 41.A. 42.C. 43.C. 44.A. 45.D. 46.A. 47.D. 48.D. 49.D. 50.A. 51.D. 52.A. 53.D. 54.B. 55.D. 56.D. 57.A. 58.C. 59.C. 60.D. 61.A. 62.D. 63.B. 64.C. 65.A. 66.D. 67.C. 68.A. 69.B. 70.B. 71.D. 72.B. 73.A. 74.B. 75.C. 76.C. 77.D. 78.C. 79.D. 80.C. 81.C. 82.C. 83.D. 84.D. 85.B. 86.C. 87.B. 88.D. 89.C. 90.D. 91.D. 92.B. 93.C. Hướng dẫn giải St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 51.

(52) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Câu 1:. Câu 2: Câu 3: Câu 4:.    x   k 2 1  6 s inx    5  2   k 2 x   6. 2    cos x  cos  x    k 2 , k   . 2 4 4 3 2 3 Ta có cos x    cos x  cos  x    k 2 ; k   . 2 3 3    k 2 Ta có cos 3 x  cos .  3 x    k 2  x    15 15 45 3. Ta có: 2 cos x  2  0  cos x . Câu 5:. Câu 6:. Câu 7:.   x    k 2  1 6 2sin x  1  0  sin x     ,k  . 2  x  7  k 2  6 2 1 2 3 8   ;sin x  sin  .  k 2 , k   ta có: cos x  cos 3 2 3 2 3 8 Do đó x   k 2 , k   là một họ nghiệm của phương trình 2 cos x  1  0 . 3. Với x . Câu 8: Câu 9: sin x  0  x  k , k   . Câu 10: 2   x  3  k 2 1 Ta có cos x     k   . 2  x   2  k 2  3      x    k 2 x   k 2    3  4 3 12 Câu 11: Ta có sin  x      k   4 2   x        k 2  x  5  k 2   4 3 12       Câu 12: cot  x    3  x    k  x   k , k   . 6 6 6 3   Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là  2x   Câu 13: Ta có sin     0  3 3 2x     k 3 3 2x      k 3 3  2 x    k 3  k 3  x  k   . 2 2. . 3. ..   x   k 2  2  4 Câu 14: cos x   cos x  cos   ,k  . 2 4  x     k 2  4 St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 52.

(53) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Câu 15: Theo công thức nghiệm đặc biệt thì cos x  0  x .  2.  k  k    ..   2 2  vô nghiệm.  1 là nên phương trình cos  2 x    3 2 3  1   Câu 17: Ta có: sin x.cos x   sin 2 x  1  2 x   k 2  x   k 2 2 4    x  3  k 2 3  k   . Câu 18: 2 sin x  3  0  sin x  2  x  2  k 2  3 Câu 16: Vì. k   .. Câu 19: Ta có:  cos x  0  x .  2.  k ..  cos x  1  x  k 2 .  cos x  1  x    k 2 . Đáp án sai : cos x  0  x .  2.  k 2 ..     Câu 20: sin  x    0  x   k  x   k  k    . 3 3 3  1  2 Câu 21: Do y  sin x có tập giá trị là  1;1 nên các phương trình sin x  ;sin x  có 2 2 1 3 1 3 nghiệm; phương trình sin x  vô nghiệm do 1 2 2 1  Câu 22: Ta có 2 cos x  1  0  cos x   x    k 2 , k   . 2 3  Câu 23: tan x  1  0  tan x  1  x    k , k   . 4   2 Câu 24: Ta có phương trình sin 3x  1  0  sin 3x  1  3 x    k 2  x    k ,k  . 2 6 3 2    Vậy tập nghiệm của phương trình là   k , k   . 3  6  o o Câu 25: Ta có: cot  x  15   3  0  cot  x  15   3.  x  15o  30o  k180o  x  45o  k180o ,  k   . Nghiệm của phương trình đã cho là: x  45o  k180o ,  k   . Câu 26: Ta có: sin x  0  x  k , k   . Câu 27: Lời giải cot(2 x  30 )  3  2 x  30  30  k1800  x  300  k 900  k   0. 0. 0. Câu 28: Lời giải Ta có: cos x   1  x    k 2 . Suy ra C là đáp án sai Câu 29: Lời giải Phương trình cos x  m có nghiệm khi m  1 do 1  cos x  1 . Câu 30: Lời giải St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 53.

(54) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Pt  cos x  0  x .  2.  k . Vậy chọn D. Câu 31: tan 2 x  1  0  tan 2 x  1  2 x .  4.  k  x .  8. k.  2. .. Câu 32: Ta có: 2 cos 2 x  2  cos 2 x  1  2 x    k 2  x  x .  2.  k , k  .   x   k 2  3  3  sin   Câu 33: Ta có: 2sin x  3  0  sin x   k   2 3  x      k 2  2  k 2  3 3  Câu 34: Ta có: cos 2 x  1  2 x    k 2  x   k  k    2     x   k 2 x   k 2   1  6 6 Câu 35: sin x   sin x  sin    ,k Z 2 6  x      k 2  x  5  k 2  6 6  Câu 36: cos x  cos.  3. x.  3.  k 2. Câu 37:. Ta có sin x  0  x  k , k   , nên đáp án D sai.   Câu 38: * Ta có: sin 2 x  1  0  sin 2 x  1  2 x   k 2 ; k    x   k ; k   . 2 4 Câu 39: 2 cos x  1  cos x .  1     cos    x    k 2, k   . Vậy x  là một nghiệm của pt 3 2 3 3. đã cho. Câu 40: Ta có cos x  1  x  k 2 , k   .. .  k  k    . 2 Câu 42: + Phương trình sin x  3  0  sin x  3  phương trình sin x  3  0 vô nghiệm.  cos x  1  phương trình + Phương trình 2 cos 2 x  cos x  1  0    cos x   1  2 2 2 cos x  cos x  1  0 có nghiệm. + Phương trình tan x  3  0  tan x  3  x  arctan  3  k  phương trình Câu 41: Theo công thức nghiệm đặc biệt thì cos x  0  x . tan x  3  0 có nghiệm. 2 2 mà 1   1 nên phương trình 3sin x  2  0 có nghiệm. 3 3 3  Câu 43: Phương trình cos x   x    k 2  k    . 2 6. + Phương trình sin x . Với x   ; 2   x . 11 . Suy ra a  11 và b  6 . 6. Vậy ab  66 .. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 54.

(55) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung.   x   k 2    2 Câu 44: sin 4 x  cos 5 x  0  cos 5 x   sin 4 x  cos  4 x     . 2   x     k 2  18 9  2  x  k    6 3 Câu 45: cos 4 x  sin x  0  cos 4 x   sin x  cos  x     .  2    x    k 2  10 5   5 3 7  Suy ra trong khoảng  0;   phương trình đã cho có tập nghiệm là S   ; ; ;  .  6 6 10 10  x x  3 Câu 46: Ta có cos  0    k  x   k 3 , k   . 3 3 2 2  x  k 2  2 x  x  k 2 2 Câu 47: cos 2 x  cos x  0  cos 2 x  cos x   .   xk 2  x  k 3  2 x   x  k 2 3  2 4 Với x   0; 2   x  . ;x  3 3 2 4 Vậy T    2 . 3 3      Câu 48: Ta có: cot  x    1  0  x     k  x    k  k    . 4 4 4 2  ycbt    .  2.  k  3  . 1 7  k  , mà k   nên k  0;1; 2;3 . 2 2.    x   6  k 2 1 Câu 49: 2 sin x  1  0  sin x   k   . 2  x  7  k 2  6  7 Các cung lượng giác x    k 2 , x   k 2 lần lượt được biểu diễn trên đường tròn 6 6 lượng giác bởi các điểm F và E .      Câu 50: tan x  cot x  tan x  tan   x   x   x  k  x   k ( k   ). 2 4 2 2  Câu 51: Cách 1:    x  6  k 2 1 Ta có sin x    , với k  . 2  x  5  k 2  6  1 119 +) 0   k 2  20    k  . Lại có k   nên k  0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 . 6 12 12 5 5 115 +) 0   k 2  20    k  . Lại có k   nên k  0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 . 6 12 12 1 Vậy phương trình sin x  có 20 nghiệm trên đoạn  0; 20  . 2 Cách 2:. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 55.

(56) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. 1 có 2 nghiệm, tương 2 tự với  2 ; 4  ,  4 ; 6  ,...18 ; 20 . Có 10 đoạn như vậy, trên mỗi đoạn có 2 nghiệm. Dùng đường tròn lượng giác, trên đoạn  0; 2  phương trình sin x . nên suy ra phương trình đã cho có 2.10=20 trên  0; 20   chọn đáp án ~. Câu 52: cos 2 x  1  0  cos 2 x  1  2 x    k 2  x  Ta có: 0 . .  k  1000  . 2 Ta được k  0;1; 2;...999 ..  2.  k , k   .. 1 1999 . k 2 2. Có 1000 giá trị k , ứng với 1000 nghiệm của phương trình trên  0;1000  . 2017  2017  3m   Câu 53: Ta có: 2 sin  x  có nghiệm   3m  0  sin  x   2  2  2   3m 2 2 1    m  . khi và chỉ khi 1   2 3 3      2 x  6  k 2  x  12  k 1  Câu 54: Ta có: sin 2 x   sin 2 x  sin     k   . 2 6  2 x      k 2  x  5  k   6 12   Trường hợp 1: x   k  k    . 12 15  15 1 89 k Vì 0  x   0   k   k  k  0;1; 2;3; 4;5; 6; 7 . 2 12 2 12 12 Vậy có tất cả có 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 1 có 8 nghiệm là:  13 25 37 49 61 73 85 ; x ; x ; x ; x ; x ; x . x ; x 12 12 12 12 12 12 12 12 5  Trường hợp 2: x   k  k    . 12 15 5 15 5 85 k Vì 0  x  0  k   k  k  0;1; 2;3; 4;5; 6; 7 . 2 12 2 12 12 Vậy có tất cả có 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 2 có 8 nghiệm là: 5 17 29 41 53 65 77 89 ; x ; x ; x ; x ; x ; x ; x x 12 12 12 12 12 12 12 12  15  Vậy trên khoảng  0;  phương trình đã cho có tất cả là 16 nghiệm. 2  . Câu 55: cot x  3.  2018 . 1  x  . . 6.  k , k   , mà 2018  x  2018 ..  k  2018  2018 . 1 1 1  k  2018  2018   k  2018  , k   . 6 6 6. 6 Suy ra 2018  k  2017 , k   . Vậy 1 có 4036 nghiệm thuộc  2018 , 2018  .. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 56.

(57) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Nhận xét: Hàm số y  cot x tuần hoàn với chu kì T   , nên trên mỗi đoạn có độ dài bằng một chu kì thì phương trình cot x  3 có đúng một nghiệm. Mà đoạn  2018 ; 2018  được chia làm 4036 đoạn có độ dài bằng 1 chu kì dạng  2018 ;  2017  ,  2017 ;  2016  , …,  2017 ; 2018  nên phương trình đã cho có 4036 nghiệm. Câu 56: Ta có: cos  x  30  .  x  30  60  k 360  x  30  k 360 1   , k  2  x  30  60  k 360  x  90  k 360.     2 x    k 2 x    k   1 6 12 Câu 57: sin 2 x      k   . 2  2 x  7  k 2  x  7  k   6 12 2 7     ,     2  2  . 12 12 3 Câu 58: Cách 1: 1 2  cos 2 x    2 x    k 2  x    k , k   . 2 3 3  2 4 4 +) Xét  k   ; 2    k   k  1  x  . 3 3 3 3  4 7 5 +) Xét   k   ; 2    k   k  2  x  . 3 3 3 3 1 Vậy phương trình cos 2 x   có 2 nghiệm trên  ; 2  . 2 Cách 2: Hàm số y  cos 2 x là hàm số tuần hoàn với chu kì T   . Trên mỗi khoảng có độ dài bằng chu kì thì phương trình cos 2 x  m,  1  m  1, m  0  luôn có đúng hai nghiệm. Do đó trên  ; 2  thì phương trình cos 2 x   Câu 59: 2 cos 2 x  1  cos 2 x . 1 có đúng hai nghiệm. 2. 1 1   2  1  tan 2 x  2  tan 2 x  1 . 2 2 cos x. 5  5   k  Câu 60: tan  2 x     k  x   k   .   3  0  2x  6  6 3 4 2   k 1 11 k x   0;3   0    3    k   k  0;1; 2;3; 4;5 . 4 2 2 2 Vậy phương trình có 6 nghiệm trên khoảng  0;3  .. Câu 61:.   x   k 2  1 6 Ta có: 2 sin x  1  0  sin x    ,k . 5 2  x    k 2  6 St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 57.

(58) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm C , điểm D . Câu 62: Tự luận     x   k 2 x   k 2   3   3 3 2 sin x  3  0  sin x   sin x  sin      ,k  2 3  x      k 2  x  2  k 2   3 3  - Xét x   k 2 3   5 1 5 0  x  2  0   k 2  2    k 2   k k 0 3 3 3 6 6  Chỉ có một nghiệm x    0; 2  3 2 - Xét x   k 2 3 2 2 4 1 2 0  x  2  0   k 2  2    k 2   k  k 0 3 3 3 3 3 2 Chỉ có một nghiệm x    0; 2  3 Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn  0; 2  .. sin 2 x  cos x  0  2 sin x.cos x  cos x  0  cos x.(2sin x  1)  0.    x  2  k    x    k 2  cos x  0  cos x  0  2     x    k 2   (k  Z ) 1  sin x   6  2sin x  1  0  x    k 2   2  2 3  x  7  k 2  6 2    2x   k 2 x   k   1 2   3 3   Câu 64: Ta có 2 cos 2 x  1  0  cos 2 x    cos  k  . 2   2 3 2 x    k 2 x   k Câu 63:. . Câu 65: 2 cos x  1  0  cos x . 3. . 3. 1   cos 2 3.    x  3  k 2  k   .  x     k 2  3 Câu 66: Ta có y '  s inx  x cos x y ''  cos x  cos x  x sin x  2 cos x  x sin x Do đó   x   k 2  1 3 y   y  1  2 cos x  1  cos x    k  Z  2  x     k 2  3 St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 58.

(59) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Trường hợp 1. Với x .  3.  k 2  k  Z .   5 5    Do x    ; 2  nên    k 2  2    k  2 3 12 6  2   Suy ra k  0 ta được x  . 3  Trường hợp 2. Với x    k 2  k  Z  3   1 7    Do x    ; 2  nên     k 2  2    k  2 3 12 6  2   5 Suy ra k  0 ta được x   ; k  1 ta được x  . 3 3   5    Vậy có 3 nghiệm thuộc   ;2  của phương trình y   y  1 là x  ; x   ; x  . 3 3 3  2  1    sin 2 x  1  2 x   k 2  x   k 2 2 4 cos 3 x  0   Câu 68: Điều kiện:   x  k  k   . 6 3 cos x  0  Ta có: tan 3 x  tan x  3 x  x  k  x  k . 2 Kết hợp với điều kiện ta được x  k   k   . Câu 67: Ta có: sin x.cos x .  k   .. m  0 m  1   m 1  . Câu 69: Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi  1  m  1  m 1  Câu 70: Ta có:        sin  x   cos    x  sin  x   sin     x  sin  x  sin    x  3    2 3  6      x    x  k 2 1  6   x   k, k   .  12    x      x  k 2 VL  6 Câu 71: 3cos x  5  0  cos x . 5 . 3. Ta có 1  cos x  1 nên phương trình vô nghiệm..      2 x  6  k 2  x  12  k 1  Câu 72: Ta có: sin 2 x   sin 2 x  sin    2 6  2 x      k 2  x  5  k   6 12  Trường hợp 1: x . . 12.  k. k   .. k   .. 15  15 1 89 k  0   k   k  k  0;1; 2;3; 4;5; 6; 7 . 2 12 2 12 12 Vậy có tất cả có 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 1 có 8 nghiệm là:  13 25 37 49 61 73 85 ; x ; x ; x ; x ; x ; x . x ; x 12 12 12 12 12 12 12 12. Vì 0  x . St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 59.

(60) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung.  Trường hợp 2: x . 5  k 12. k   .. 15 5 15 5 85 k 0  k   k   k  0;1; 2;3; 4;5; 6; 7 . 2 12 2 12 12 Vậy có tất cả có 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 2 có 8 nghiệm là: 5 17 29 41 53 65 77 89 ; x ; x ; x ; x ; x ; x ; x x 12 12 12 12 12 12 12 12  15  Vậy trên khoảng  0;  phương trình đã cho có tất cả là 16 nghiệm. 2      m 1   Câu 73: Ta có: 3sin  2 x    1  m  sin  2 x    5 5 3   m 1  1  2  m  4. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1  3 Suy ra: b  a  6.  x  k 3x  x  k 2 k  x Câu 74: Phương trình: cos 3x  cos x    k   . k  x  2 3x   x  k 2  2 k    Kết luận: Vậy phương trình tập nghiệm S   , k    . 2         Câu 75: Ta có: sin  2 x    1  2 x    k 2  x   k . 2 2 2 8      5 3    Do x    ;      k     k  2 8 2 8 8  2 2. Vì 0  x . Mặt khác do k    k  0  x  Vậy phương trình có nghiệm x . . 8. .. . 8.      x  k 3 x   x  k 2    8 2 2 Câu 76: Ta có cos 3 x  sin x  cos 3 x  cos   x    .   2     x    l 3 x    x  l 2  2  4          5 3 x   k    ;      k     k   k  1; 0 . 8 2  2 2 2 8 2 2 4 4 3     Vậy họ nghiệm này có hai nghiệm thuộc đoạn   ;  là x   , x  . 8 2  2 2     1 3    x    l    ;       l     l   l  0 . 4 2 4 2 4 4  2 2     Vậy họ nghiệm này có một nghiệm thuộc đoạn   ;  là x   . 4  2 2 .    Vậy phương trình ban đầu có ba nghiệm thuộc đoạn   ;  .  2 2 sin x  0  Câu 77: Điều kiện   sin 2 x  0  x  m , m   2 cos x  0      tan x  cot x  tan x  tan   x   x   x  k  x   k 2 4 2 2  kiện. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155.  k    thỏa mãn điều. 60.

(61) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung.     7 k 2 3 x    k 2 x      3 4 3 36 3 ; k; l   Câu 78: sin  3 x      4 2 3 x    2  l2  x  11  l2    4 3 36 3 TH1: x  0 ; x lớn nhất  17  k  1; x   36 13 Chọn  x 36  l  1; x   13  36 TH2: x  0 ; x nhỏ nhất  7  k  0; x  36 7 Chọn  x 36  l  0; x  11  36 13 7  Khi đó tổng cần tìm là:    . 36 36 6 2    2x   k 2 x   k   1 2 3 3 Câu 79: cos 2 x    cos 2 x  cos    k   2 3  2 x   2  k 2  x     k   3 3  m  n  33  6 . m m Câu 80: +) 2 sin x  m  0  sin x  , phương trình có nghiệm khi 1   1  2  m  2 2 2  m2 m m +) 2 sin x  m  0  sin x  , phương trình vô nghiệm khi 1  2 2  m  2 Chọn đáp án C Câu 81: ĐKXĐ: cosx  1  x  k 2 , k   . sin3 x k Khi đó:  0  sin3 x  0  3 x  k  x  ,k  . 1  cosx 3  2 Mà 0  x   nên x  0, x  , x  , x   . Kết hợp với điều kiện, suy ra nghiệm của 3 3  2 phương trình trên đoạn  0;   là x  , x  ,x  . 3 3      Câu 82: Ta có sin  x    1  x    k 2  x   k 2 , k   . 4 4 2 4   Vì x   0; 2   x  .  Phương trình có 1 nghiệm trên đoạn  0; 2  4 x  2 cos  1  0 1  x  x   2 Câu 83: Ta có :  2 cos  1  sin  2   0   . 2  2   sin x  2  0 (2)  2 x x 1 x  2 Giải 1 : 2 cos  1  0  cos      k 2  x    k 4 , k   . 2 2 2 2 3 3 x Giải  2  : sin  2  0 , phương trình vô nghiệm. 2 2 Vậy phương trình có họ nghiệm là x    k 4 , k   . 3. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 61.

(62) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Câu 84: Ta có: 2 cos x  1  0  cos x . 1     cos    x    k 2 , k   . 2 3 3. Câu 85: Phương trình đã cho tương đương với phương trình sin 2 x  Vì sin 2 x   1;1 nên. m2  5 3.  2 2  m   2 m2  5   1;1  m2   2;8   3  2  m  2 2. Vậy nên có 2 giá trị chọn B Câu 86: Lời giải.   x   k  cos x  0   2  Điều kiện để phương trình có nghĩa  * cos 3x  0  x    k  6 3 k Khi đó, phương trình 3x  x  k  x  so sánh với đk 2  x  k 2  x    k 2 , x   0;30  k  0;...; 4  x 0;  ; 2 ;....;9   Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn  0;30 của phương trình là: 45 . 2k  x  2 x   x  k 2  Câu 87: Ta có sin x  sin 2 x  0  sin 2 x  sin   x     ,k, l   . 3   2 x    x  l 2  x    2l Vì x  0;2  nên 0  x  2 .. k  0  x  0   k  1  x  2 2 k 2k 3  + Với x  . Ta có 0  .  2  0  k  3 . Suy ra  4 3 3 k  2  x  3   k  3  x  2 1 1 + Với x    2l . Tương tự 0    2l  2    l  . Suy ra l  0  x   . 2 2 Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho trên  0;2  là 5 .. m  1 Câu 88: Theo lý thuyết phương trình cos x  m vô nghiệm khi:  . m  1 Câu 89: Ta thấy 2 điểm M và N là các giao điểm của đường thẳng vuông góc với trục tung tại 1 điểm với đường tròn lượng giác ⇒ M và N là các điểm biểu diễn tập nghiệm của 2 1 phương trình lượng giác cơ bản: sin x   2sin x  1 ⇒ Đáp án. }. 2   3 x  x   k 2    2 Câu 90: Ta có: sin 3 x  cos x  0  sin 3 x  sin  x     2  3 x  3  x  l 2  2. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 62.

(63) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung.    x   4  k  k,l   .  x  3  l   8 2   k  1  0   4  k   k   Mà x   0;   nên  . Do  nên l  0 3    l   0  l  l  1  8 2 3  x  4  3 3 3 7  x  T     2 .  8 4 8 8   x  7 8  Câu 91: Phương trình đã cho tương đương với phương trình 1  cos x  (1)   2cos x -1 sin x - m   0   2 sin x  m (2). có 1 nghiệm là x . 8  7  trên  ; 3  3  4 .   m  1  3 m  2 Suy ra    2  m   ; 0    2 .  3   Câu 92: Ta có: sin  2 x    sin  x  4 4   + Xét x    k 2  k    ..  3   x    k 2  2 x  4  x  4  k 2     x    k 2  3   2 x     x   k 2 6 3   4 4. Do 0  x    0    k 2    . 1  k  0 . Vì k   nên không có giá trị k . 2. 2  k   . 6 3  2 1 5 Do 0  x    0   k      k  . Vì k   nên có hai giá trị k là: 6 3 4 4 k  0; k  1 .. + Xét x . .  k   .. k. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 63.

(64) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung.  Với k  0  x . . . 6 5 .  Với k  1  x  6. 5 . 6 6  5 Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng  0;   là:   . 6 6 Câu 93: Tập xác định: D   .. Do đó trên khoảng  0;   phương trình đã cho có hai nghiệm x . . và x . Ta có: 8sin x.cos x.cos 2 x  3  0  4sin 2 x.cos 2 x  3  2 sin 4 x  3  sin 4 x . 3 2.   k    4 x  3  k 2  x  13  2    k   .  4 x  2  k 2  x    k   3 6 2 Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là. m  1   m  n  14 . 13 n  13. . St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 64.

(65) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Chýõng 1: Ⓐ. §➌. PT LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP. Tóm tắt lý thuyết. ➊. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác . Định nghĩa:  . Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là pt có dạng: at + b = 0, Trong đó a, b là các hằng số (a  0), t là một trong các hàm số lượng giác..  Ví dụ: 2sinx – √3 = 0; 2cosx – 3 = 0; √3tanx + 1 = 0; cotx -1 = 0 . Cách giải: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản. Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) 2sinx – 3 = 0;. b) √3tanx + 1 = 0 Hướng dẫn giải:. a) 2sinx – 3 = 0 sinx = > 1: phương trình vô nghiệm b) √3tanx + 1= 0  tanx = –  x = – + 𝑘𝜋 √ .PT đưa về PT bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) 5cosx – 2sin2x = 0. b) 8sinx.cosx.cos2x = –1 Hướng dẫn giải:. a) 5cosx – 2sin2x = 0 cosx(5 – 4sinx) = 0 b) 8sinx.cosx.cos2x = –1 2sin4x = –1 Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: a) 2cos2x – 1 = 0. b) sinx + sin2x + sin3x = 0. c) sinx + cosx = 1. Hướng dẫn giải: a) 2cos2x – 1 = 0 cos2x = 0 b) sinx + sin2x + sin3x = 0  sin2x(2cosx + 1) = 0 c) sinx + cosx = 1 √2sin 𝑥 + = 1. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 65.

(66) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. ➋. PT bậc hai đối với một hàm số lượng giác . Định nghĩa: PT bậc hai đối với một HSLG là PT có dạng: at2 + bt + c = 0; trong đó a, b, c là các hằng số (a  0), t là một HSLG. Ví dụ : a) 2sin2x + 3sinx – 2 = 0. b) 3cos2x – 5cosx + 2 = 0. c) 3tan2x – 2√3tanx + 3 = 0. d) 3cot2x – 5cotx – 7 = 0. . Cách giải    a) b) c) d). Đặt t = sinx (cosx, tanx, cotx) Đưa về PT: at2 + bt + c = 0 Chú ý: Nếu đặt t = sinx (cosx) thì cần có điều kiện –1  t  1 𝑡 = sin𝑥, − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1 2sin2x + 3sinx – 2 = 0 2𝑡 + 3𝑡 − 2 = 0 𝑡 = cos𝑥, − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1 2 3cos x – 5cosx + 2 = 0 3𝑡 − 5𝑡 + 2 = 0 𝑡 = tan𝑥 3𝑡 − 2√3𝑡 + 3 = 0 𝑡 = cot𝑥 3𝑡 − 5𝑡 − 7 = 0. . Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: a) 2sin + √2sin − 2 = 0 b) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 c) cos2x + sinx + 1 = 0 d) √3tan2x – (1 + √3)tanx + 1=0. Hướng dẫn giải: a) b) c) d). 𝑡 = sin ,. −1≤𝑡 ≤1. 2𝑡 + √2𝑡 − 2 = 0 𝑡 = cos𝑥, − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1 2𝑡 − 3𝑡 + 1 = 0 𝑡 = sin𝑥, − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1 −𝑡 + 𝑡 + 2 = 0 𝑡 = tan𝑥 √3𝑡 − (1 + √3)𝑡 + 1 = 0. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 66.

(67) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 67.

(68) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. ➌. PT bậc nhất đối với sinx và cosx . Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx  sinx + cosx = √2sin 𝑥 +. = √2cos 𝑥 −.  sinx – cosx = √2sin 𝑥 −. = −√2cos 𝑥 +.  asinx+bcosx=√𝑎 + 𝑏 .sin(x+)  với cos = , sin = √. √. . PT dạng asinx + bcosx = c  Nếu a = 0, b  0 hoặc a0, b=0 thì đưa về PTLG cơ bản.  Nếu a  0, b  0 thì dùng công thức biến đổi ở trên đưa về PTLG cơ bản. 2.  Điều kiện có nghiệm: 𝑎2 + 𝑏 ≥ 𝑐2. Cách giải: Chia hai vế của (1) cho 𝑎2 + 𝑏2 , ta được . (1) ⇔. . Vì. √. √. sin𝑥 + +. √. √. cos𝑥 =. √. = 1 nên ta đặt. sin𝜑 = cos𝜑 =. . Phương trình trở thành:sin𝑥sin𝜑 + cos𝑥cos𝜑 = √. . Đặt cos𝛼 =. √. √ √. ⇔ cos(𝑥 − 𝜑) =. √. ta được phương trình lượng giác cơ bản giải được.. . Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: a) b) c) d). sinx + √3cosx = 1 √3sin3𝑥 − cos3𝑥 = √2 3cosx + 4sinx = –5 2sin2x – 2cos2x = √2. Hướng dẫn giải: a)  2sin 𝑥 +. =1. b)  2sin 3𝑥 −. = √2. c)  cos(x + ) = –1 , với cos = d) sin 2𝑥 −. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. =. 68.

(69) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Ⓑ. Phân dạng bài tập. ①. Dạng 1: Phương trình bậc nhất theo 1 hàm số lượng giác Câu 1: Phương trình 2sin𝑥 − 1 = 0 có tập nghiệm là {. 𝑆 =. + 𝑘2𝜋;. + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ .. |. 𝑆 =. + 𝑘2𝜋; −. }. 𝑆 =. + 𝑘2𝜋; − + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ .. ~. 𝑆 =. + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ .. + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ .. Lời giải. Ta có: 2sin𝑥 − 1 = 0 ⇔ sin𝑥 = ⇔ sin𝑥 = sin ⇔ Câu 2:. 𝑥 = + 𝑘2𝜋 𝑥=. + 𝑘2𝜋. 𝑘∈ℤ.. Phương trình cot𝑥 + √3 = 0 có các nghiệm là {. 𝑥 = + 𝑘. 2𝜋 (𝑘 ∈ ℤ).. |. 𝑥 = + 𝑘. 𝜋 (𝑘 ∈ ℤ).. }. 𝑥 = − + 𝑘. 2𝜋 (𝑘 ∈ ℤ).. ~. 𝑥 = − + 𝑘. 𝜋 (𝑘 ∈ ℤ).. Lời giải Ta có: cot𝑥 + √3 = 0 ⇔ cot𝑥 = −√3 ⇔ cot𝑥 = cot −. ⇔ 𝑥 = − + 𝑘. 𝜋 (𝑘 ∈ ℤ).. Câu 3: Phương trình sin𝑥 = cos𝑥 có số nghiệm thuộc đoạn [−𝜋; 𝜋] là {. 3.. |. 5.. }. 2.. ~. 4.. Lời giải Ta có sin𝑥 = cos𝑥 ⇔ tan𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 = + 𝑘𝜋, (𝑘 ∈ ℤ). Theo đề 𝑥 ∈ [−𝜋; 𝜋] ⇔ −𝜋 ≤ + 𝑘𝜋 ≤ 𝜋 ⇔ − ≤ 𝑘 ≤ . Mà 𝑘 ∈ ℤ ⇒ 𝑘 ∈ {−1; 0}. Vậy có 2 nghiệm thỏa yêu cầu bài toán. Câu 4: Số nghiệm trên đoạn [0; 2𝜋] của phương trình sin2𝑥 − 2cos𝑥 = 0 là {. 4.. |. 3.. }. 2.. ~. 1.. Lời giải. Ta có: sin2𝑥 − 2cos𝑥 = 0 ⇔ 2sin𝑥cos𝑥 − 2cos𝑥 = 0 ⇔ 2cos𝑥(sin𝑥 − 1) = 0 ⇔. cos𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. sin𝑥 = 1. Nghiệm trên đoạn [0; 2𝜋] ứng với 0 ≤ + 𝑘𝜋 ≤ 2𝜋 ⇔ − ≤ 𝑘 ≤ . St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 69.

(70) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Vì 𝑘 ∈ ℤ nên chọn 𝑘 = 0, 𝑘 = 1 . Vậy trên đoạn [0; 2𝜋] phương trình đã cho có 2 nghiệm. ②. Dạng 2: Phương trình bậc 2 theo một hàm số lượng giác . Bài tập minh họa: Câu 1:. Nghiệm của phương trình lượng giác: 2sin 𝑥 − 3sin𝑥 + 1 = 0 thỏa điều kiện 0 ≤ 𝑥 < {. 𝑥 = .. |. 𝑥 = .. }. 𝑥 =. ~. 𝑥 =. là. .. Lời giải 𝜋 ⎡𝑥 = 2 + 𝑘2𝜋 sin𝑥 = 1 ⎢ 𝜋 1 ⇔ ⎢𝑥 = + 𝑘2𝜋 ; 𝑘 ∈ ℤ. 2sin 𝑥 − 3sin𝑥 + 1 = 0 ⇔ 6 sin𝑥 = ⎢ 2 5𝜋 ⎢ 𝑥= + 𝑘2𝜋 ⎣ 6 nên chỉ có nghiệm 𝑥 = .. Vì 0 ≤ 𝑥 < Câu 2:. Tập nghiệm 𝑆 của phương trình cos 𝑥 − 3cos𝑥 = 0 là {. 𝑆 = − }. 𝑆 =. . .. |. 𝑆 =. + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ .. ~. 𝑆 =. + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ . Lời giải. Chọn D cos 𝑥 − 3cos𝑥 = 0 ⇔ Câu 3:. cos𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. cos𝑥 = 3(𝐿). Tập nghiệm của phương trình sin 𝑥 − 5sin𝑥 + 4 = 0 là {. 𝑆 =. |. 𝑆 = {𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}.. + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ .. }. 𝑆 = {𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}.. ~.𝑆 =. + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ .. Lời giải Ta có: sin 𝑥 − 5sin𝑥 + 4 = 0 ⇔. sin𝑥 = 1 . sin𝑥 = 4 (𝐿). sin𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 = + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. Câu 4:. Tổng các nghiệm thuộc khoảng (0; 𝜋) của phương trình 2cos 5𝑥 + 3cos5𝑥 − 5 = 0 là {. .. |.. .. }.. 𝟑𝝅 𝟓. ~.. .. 𝟗𝝅 𝟓. Lời giải cos5𝑥 = 1 𝑘2𝜋 5 2cos 5𝑥 + 3cos5𝑥 − 5 = 0 ⇔ ⇔ 5𝑥 = 𝑘2𝜋 ⇔ 𝑥 = ;𝑘 ∈ ℤ cos5𝑥 = − (𝐿) 5 2 Vì 𝒙 thuộc khoảng (0; 𝜋) nên có 2 nghiệm thỏa mãn là 𝑥 = Vậy tổng các nghiệm bằng. ;𝑥 =. .. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 70.

(71) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. ③. Dạng 3: Phương trình a.sinx+b.cosx=c . Bài tập minh họa: Câu 1: Nghiệm của phương trình cos𝑥 + sin𝑥 = 1là 𝑥 = + 𝑘𝜋 𝑥 = + 𝑘𝜋 {. . |. . 𝑥 = 𝑘𝜋 𝑥 = 𝑘2𝜋. }.. 𝑥 = + 𝑘2𝜋 𝑥 = 𝑘2𝜋. .. ~.. 𝑥 = + 𝑘2𝜋 𝑥 = 𝑘𝜋. .. Lời giải. Ta có cos𝑥 + sin𝑥 = 1 ⇔ √2cos 𝑥 − ⇔. 𝑥 − = + 𝑘2𝜋 𝑥 − = − + 𝑘2𝜋. ⇔. = 1 ⇔ cos 𝑥 −. 𝑥 = + 𝑘2𝜋 𝑥 = 𝑘2𝜋. =. √. , 𝑘 ∈ ℤ.. Câu 2: Nghiệm của phương trình sin𝑥 + √3cos𝑥 = √2 là {.𝑥 = − + 𝑘2𝜋; 𝑥 = }.𝑥 = + 𝑘2𝜋; 𝑥 =. |.𝑥 = −. + 𝑘2𝜋.. + 𝑘2𝜋; 𝑥 =. + 𝑘2𝜋.. ~.𝑥 = − + 𝑘2𝜋; 𝑥 = −. + 𝑘2𝜋.. + 𝑘2𝜋.. Lời giải Ta có sin𝑥 + √3cos𝑥 = √2 ⇔ sin𝑥 +. √. cos𝑥 =. = sin ⇔. Câu 3: Tìm số nghiệm 𝑥 ∈ − {. 4.. ;−. 𝑥+ =. + 𝑘2𝜋. ⇔ cos sin𝑥 + sin cos𝑥 = sin. 𝑥=−. 𝑥 + = + 𝑘2𝜋 ⇔ sin 𝑥 +. √. ⇔. + 𝑘2𝜋. 𝑥+ =. của phương trình √3sin𝑥 = cos. |. 3.. }. 1. Lời giải. + 𝑘2𝜋. ,(𝑘 ∈ ℤ). − 2𝑥 ? ~. 2.. Ta có: 3𝜋 − 2𝑥 ⇔ √3sin𝑥 + sin2𝑥 = 0 ⇔ √3sin𝑥 + 2sin𝑥cos𝑥 = 0 2 𝑥 = 𝑘𝜋 ⎡ 5𝜋 sin𝑥 = 0 𝑥 = + 𝑘2𝜋 ⎢ 5𝜋 ⇔ ⇔ sin𝑥 √3 + 2cos𝑥 = 0 ⇔ , 𝑘 ∈ ℤ. 6 ⎢ cos𝑥 = cos 5𝜋 6 ⎢ 𝑥=− + 𝑘2𝜋 ⎣ 6 √3sin𝑥 = cos. + Ta có: 𝑥 = 𝑘𝜋 ∈ − 𝑥=. 3𝜋 𝜋 3𝜋 𝜋 3 1 ;− ⇔− ≤ 𝑘𝜋 < − ⇔ − ≤ 𝑘 < − ⇔ 𝑘 = −1(𝑑𝑜 𝑘 ∈ ℤ). 2 2 2 2 2 2. 5𝜋 3𝜋 𝜋 3𝜋 5𝜋 𝜋 14 8 + 𝑘2𝜋 ∈ − ;− ⇔− ≤ + 𝑘2𝜋 < − ⇔ − ≤𝑘<− ⇔𝑘 6 2 2 2 6 2 12 12 = −1(𝑑𝑜 𝑘 ∈ ℤ).. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 71.

(72) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. 𝑥=−. 5𝜋 3𝜋 𝜋 3𝜋 5𝜋 𝜋 4 2 + 𝑘2𝜋 ∈ − ;− ⇔− ≤− + 𝑘2𝜋 < − ⇔ − ≤𝑘< ⇔𝑘 6 2 2 2 6 2 12 12 = 0(𝑑𝑜 𝑘 ∈ ℤ).. Vậy phương trình √3sin𝑥 = cos. − 2𝑥 có 3 nghiệm 𝑥 ∈ −. ;−. .. ④. Dạng 4: Phương trình lượng giác có chứa tham số. . Bài tập minh họa: Câu 1:. Điều kiện để phương trình: 3sinx + mcosx = 5 vô nghiệm là m ≤ −4 {. . |. m > 4. }. m < −4. m≥4 Lời giải. ~. −4 < m < 4.. Phương trình 3sin𝑥 + 𝑚cos𝑥 = 5 vô nghiệm khi và chỉ khi 3 + 𝑚 < 5 ⇔ 𝑚 < 16 ⇔ −4 < 𝑚 < 4. Câu 2:. Tập hợp tất cả các giá trị của 𝑚 để phương trình (𝑚 + 1)sinx − 3cos𝑥 = 𝑚 + 2 có nghiệm là {. (3; +∞). |. (−∞; 3). }. [3; +∞). ~. (−∞; 3]. Lời giải Phương trình có nghiệm khi (𝑚 + 1) + 3 ≥ (𝑚 + 2) ⇔ −2𝑚 ≥ −6 ⇔ 𝑚 ≤ 3.. Câu 3:. Điều kiện của 𝑚 để phương trình 𝑚sin𝑥 − 3cos𝑥 = 5 có nghiệm là. 𝑚 ≤ −4 {. 𝑚 ≥ √34. |. −4 ≤ 𝑚 ≤ 4. }. ~. 𝑚 ≥ 4. 𝑚≥4 . Lời giải Điều kiện có nghiệm của phương trình là: 𝑚sin𝑥 − 3cos𝑥 = 5 là 𝑚 + 9 ≥ 25 ⇔. Câu 4:. 𝑚 ≤ −4 . 𝑚≥4. Tìm tất cả các giá trị của tham số 𝑚 để phương trình 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑚𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 2𝑚 vô nghiệm? 𝑚≤0 𝑚<0 {. . |. 0 ≤ 𝑚 ≤ . }. 0 < 𝑚 < . ~. 𝑚 > . 𝑚≥ Lời giải. Ta có: 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑚𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 2𝑚 ⇔ 𝑚𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 2𝑚 − 1 (1) Điều kiện phương trình (1) vô nghiệm là: 𝑚 + 1 < (2𝑚 − 1) ⇔ 3𝑚 − 4𝑚 > 0 ⇔ 𝑚<0 𝑚> . 𝑚<0 Vậy với 𝑚 > thì phương trình trên vô nghiệm.. Câu 5:. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số 𝑚 thuộc đoạn [0; 10] để phương trình (𝑚 + 1)sin𝑥 − cos𝑥 = 1 − 𝑚 có nghiệm. {. 21. |. 18. }. 20. ~. 11. Lời giải. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 72.

(73) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Phương trình (𝑚 + 1)sin𝑥 − cos𝑥 = 1 − 𝑚có nghiệm ⇔ (𝑚 + 1) + (−1) ≥ (1 − 𝑚) ⇔ 𝑚 ≥ − . Vì 𝑚 nhận giá trị nguyên thuộc đoạn [0; 10] nên có 11 giá trị 𝑚 thỏa mãn yêu cầu bài toán.. Ⓒ Câu 1:. Bài tập rèn luyện Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm: 1 1 {. 3 sin x  2 . |. cos 4 x  . 4 2 }. 2sin x  3cos x  1 .. Câu 2:. Câu 3:. Câu 4:. Câu 5:. ~. cot 2 x  cot x  5  0 .. Tìm nghiệm của phương trình 2sin x  3  0 . {. x  ..  3  x  arcsin  2   k 2   |.  k   .  3  x    arcsin    k 2 2 .  3  x  arcsin  2   k 2   }.   k   .  3  x   arcsin    k 2 2 . ~. x   .. Nghiệm của phương trình sin 2 x  4 sin x  3  0 là  {. x    k 2 , k   . 2 .  }. x   k 2 , k   . ~. x  k 2 , k   2. |. x    k 2 , k  . Phương trình nào sau đây vô nghiệm? {. tan x  3 .. |. sin x  3  0 .. }. 3sin x  2  0 .. ~. 2 cos 2 x  cos x  1  0 .. Giải phương trình 3sin 2 x  2cos x  2  0 .  {. x   k , k   . 2. |. x  k , k   .. }. x  k 2 , k   .. ~. x .  2.  k 2 , k   .. Câu 6:. Nghiệm của phương trình lượng giác sin 2 x  2sin x  0 có nghiệm là:   {. x  k 2 . |. x  k . }. x   k . ~. x   k 2 . 2 2. Câu 7:. Nghiệm của phương trình 2 sin 2 x – 3sin x  1  0 thỏa điều kiện: 0  x  {. x .  6. .. |. x .  4. .. }. x . St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155.  2. ..  2. .. ~. x  .  2. .. 73.

(74) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Câu 8:. Nghiệm dương bé nhất của phương trình: 2sin 2 x  5sin x  3  0 là:   3 5 {. x  . |. x  . }. x  . ~. x  . 6 2 2 6. Câu 9:. Phương trình cos 2 x  4sin x  5  0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng  0;10  ? {. 5 .. |. 4 .. ~. 3 .. }. 2 .. Câu 10: Phương trình lượng giác cos 2 x  2cos x  3  0 có nghiệm là: {. x  k 2 .. |. x  0 .. }. x . .  k 2 .. 2. ~. Vô nghiệm.. Câu 11: Cho phương trình: cos 2 x  sin x  1  0 * . Bằng cách đặt t  sin x  1  t  1 thì phương trình * trở thành phương trình nào sau đây? 2 {. 2t  t  0 .. 2 |. t  t  2  0 .. 2 }. 2t  t  2  0 .. 2 ~. t  t  0 .. Câu 12: Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn  0;10  của phương trình sin 2 2 x  3sin 2 x  2  0 . {.. 105 . 2. |.. 105 . 4. }.. 297 . 4. ~.. 299 . 4. Câu 13: Số nghiệm của phương trình 2sin 2 2 x  cos 2 x  1  0 trong  0;2018  là {. 1009 .. |. 1008 .. }. 2018 .. ~. 2017 .. Câu 14: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cos 2 x  cos x  0 thỏa mãn điều kiện 0  x   .   {. x  . |. x  0 . }. x   . ~. x  . 2 4 Câu 15: Nghiệm của phương trình 3 cos 2 x  – 8 cos x – 5 là {. x  k .. |. x    k 2 .. }. x  k 2 .. Câu 16: Giải phương trình 2sin 2 x  3 sin 2 x  3   {. x    k . |. x   k . 3 3. }. x . ~. x  . 2  k . 3. ~. x .  2.  k 2 .. 5  k . 3. Câu 17: Giải phương trình sin 2 x  sin 2 x tan 2 x  3 . {. x  .  6.  k .. |. x  .  6.  k 2 .. }. x  .  3.  k .. ~. x  .  3.  k 2 .. Câu 18: Giải phương trình 4  sin 4 x  cos 4 x   5cos 2 x. {. x  .  6.  k .. Câu 19: Giải phương trình cos   x  k 3   {.  x    k 3 .  4  5 x    k 3  4. |. x  .  24. . k 2. .. }. x  .  12. . k 2. .. ~. x  .  6. . k 2. .. 4x  cos 2 x . 3.   x  k   |.  x    k .  4  5 x    k  4.  x  k 3 }.  .  x     k 3  4. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155.  x  k 3 ~.  .  x   5  k 3  4. 74.

(75) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Câu 20: Nghiệm của phương trình: sin x  cos x  1 là {. x  k 2 ..  x  k 2 |.  .  x    k 2  2. }. x .  4.  k 2 .. Câu 21: Phương trình 2sin 2 x  3 sin 2 x  3 có nghiệm là  2 4 {. x   k . |. x   k . }. x   k . 3 3 3 Câu 22:.    x  4  k 2 ~.  .  x     k 2  4. ~. x . 5  k . 3. Điều kiện có nghiệm của pt a.sin 5 x  b.cos 5 x  c là {. a 2  b 2  c 2 .. |. a 2  b 2  c 2 .. }. a 2  b 2  c 2 .. ~. a 2  b 2  c 2 .. Câu 23: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm: 1 1 {. 3 sin x  2 . |. cos 4 x  . 4 2 }. 2sin x  3cos x  1 . ~. cot 2 x  cot x  5  0 . Câu 24: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 5sin x  12 cos x  m có nghiệm? {. 13 .. |. Vô số.. }. 26 .. ~. 27 ..  Câu 25: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y  s inx  sin( x  ) bằng a và b . Khi đó 3 S  a  b  ab có giá trị bằng {.. 3. |. 2. }. 3. ~.  3. Câu 26: Cho phương trình 2 m sin x cos x  4 cos 2 x  m  5 , với m là một phần tử của tập hợp. E  3;  2; 1;0;1; 2 . Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm? {. 3 .. |. 2 .. }. 6 ..  3  Câu 27: Số nghiệm thuộc   ;   của phương trình  2  {. 3 .. |. 1.. ~. 4 ..  3  3 sin x  cos   2 x  là:  2 . }. 2 .. ~. 0 .. Câu 28: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là:  5  3 {. x    k 2 ; x  |. x    k 2 ; x   k 2 .  k 2 . 12 12 4 4  2  5 }. x   k 2 ; x  ~. x    k 2 ; x    k 2 .  k 2 . 3 3 4 4 Câu 29: Tìm giá trị nguyên lớn nhất của a để phương trình a sin 2 x  2 sin 2 x  3a cos 2 x  2 có nghiệm {. a  3 |. a  2 }. a  1 ~. a  1 Câu 30: Nghiệm của phương trình cos x  sin x  1 là:   {. x  k 2 ; x   k 2 . |. x  k ; x    k 2 . 2 2   }. x   k ; x  k 2 . ~. x   k ; x  k . 6 4 Câu 31: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m sin St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. x x  cos  5 có nghiệm. 2 2 75.

(76) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. m  2 {.  .  m  2. Câu 32: Phương trình. m  2 |.  .  m  2. . . 3  1 sin x .    x   4  k 2 {.  .  x    k 2  6. . }. 2  m  2 .. ~. 2  m  2 .. . 3  1 cos x  3  1  0 có các nghiệm là:..    x   2  k 2 |.  .  x    k 2  3.    x   6  k 2 }.  .  x    k 2  9.    x   8  k 2 ~.  .  x    k 2  12. Câu 33: Tìm số các giá trị nguyên của m để phương trình m cos x   m  2  sin x  2m  1  0 có nghiệm. {. 0 Câu 34:. |. 3. }. vô số. ~. 1. Nghiệm của phương trình 3 sin x  cos x  0 là:    {. x    k . |. x    k . }. x   k . 6 3 3. ~. x .  6.  k .. Câu 35: Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng  0;   của phương trình: 2 cos 3 x  sin x  cos x .  {. . |. 3 . 2. }.. 3 . 2. ~.  .. Câu 36: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10 để phương trình.     sin  x    3 cos  x    2m vô nghiệm. 3 3   {. 21. |. 20. }. 18.. ~. 9.. Câu 37: Cho phương trình m sin x  4cos x  2m  5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm? |. 7 .. {. 4 .. }. 6 .. ~. 5 .. Câu 38: Phương trình: 3sin 3x  3 sin 9 x  1  4sin 3 3x có các nghiệm là:.  2  x   6  k 9 {.  .  x  7  k 2  6 9.  2  2      x   9  k 9  x   12  k 9  x   54  k 9 |.  . }.  . ~.  .  x  7  k 2  x  7  k 2  x    k 2    9 9 12 9 18 9. Câu 39: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình sin nghiệm? {. m  3 hoặc m  1 .. x x   m  1 .cos  5 vô 2 2. |. 1  m  3 .. }. m  3 hoặc m  1 .~. 1  m  3 . Câu 40: Hàm số y  {. 1. .. 2 sin 2 x  cos 2 x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? sin 2 x  cos 2 x  3 |. 2. }. 3.. ~. 4.. Câu 41: Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình 4 sin x  m  4 cos x  2m  5  0 có nghiệm là:. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 76.

(77) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. |. 6. {. 5. }. 10. ~. 3. Câu 42: Tìm m để phương trình m sin x  5cos x  m  1 có nghiệm. {. m  12 .. |. m  6. }. m  24 .. ~. m  3 .. Câu 43: Với giá trị lớn nhất của a bằng bao nhiêu để phương trình a sin 2 x  2 sin 2 x  3a cos 2 x  2 có nghiệm? 11 8 {. 2 . |. . }. 4 . ~. . 3 3 Câu 44: Để phương trình m sin 2 x  cos2x  2 có nghiệm thì m thỏa mãn. m  3 |.  .  m   3. {. m  1.. m  2 }.  .  m   2. ~. m  1..    Câu 45: Tìm m để phương trình 2sin x  m cos x  1  m có nghiệm x    ;   2 2 3 3 {. 1  m  3 . |.   m . }. 1  m  3 . ~. m  . 2 2 Câu 46: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2sin 2 x + msin2x = 2m vô nghiệm? m  0 {.  . m  4 3 . |. 0  m . 4 . 3. }. 0  m . m  0 ~.  . m  4 3 . 4 . 3. Câu 47: Điều kiện để phương trình m.sin x  3cos x  5 có nghiệm là: {. m  4 ..  m  4 ~.  . m  4. }. m  34 .. |. 4  m  4 .. cos x  2sin x  3 có nghiệm. 2 cos x  sin x  4 2 |. 0  m  1 }. m2 11. Câu 48: Tìm m để phương trình m  {. 2  m  0. ~. 2  m  1. Câu 49: Để phương trình: sin 2 x  2  m  1 sin x  3m  m  2   0 có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là: 1  1  m  {. 2 2.  1  m  2. 1  1  m  |. 3 3.  1  m  3.  2  m  1 }.  . 0  m  1.  1  m  1 ~.  . 3  m  4. Câu 50: Cho phương trình: sin x cos x sin x  cos x  m  0 , trong đó m là tham số thự}. Để phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là 1 1 {. 2  m    2 . |.   2  m  1 . 2 2 1 1 }. 1  m   2 . ~.   2  m  1 . 2 2 ĐÁP ÁN 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. C. A. C. B. C. B. A. A. A. A. A. A. C. A. B. B. C. A. A. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 77.

(78) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. B. A. A. C. D. C. A. C. A. B. A. A. B. D. A. C. C. C. D. D. B. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. A. A. D. B. A. D. A. C. B. D. HƯỚNG DẪN GIẢI. Câu 1. Lời giải Chọn C Phương trình 2sin x  3cos x  1 có 22  32  12 . Vậy phương trình 2sin x  3cos x  1 có nghiệm. Câu 2. Lời giải Chọn A Ta có: 2 sin x  3  0  sin x . 3  1 nên phương trình vô nghiệm. 2. Câu 3. Lời giải Chọn C. sin x  1 . sin 2 x  4sin x  3  0   sin x  3 Với sin x  1  x .  2.  k 2 , k   .. Với sin x  3 phương trình vô nghiệm. Câu 4. Lời giải Chọn B Ta có: 1  sin x  1 nên phương trình sin x  3  0  sin x  3 vô nghiệm. Câu 5. Lời giải Chọn C Ta có 3sin 2 x  2cos x  2  0  3cos 2 x  2 cos x  5  0  cos x  1  x  k 2 , k   . Câu 6. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 78.

(79) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Lời giải Chọn B. sin x  0 Ta có sin 2 x  2sin x  0  sin x  sin x  2   0   . sin x  2 Vì 1  sin x  1 nên chỉ có sin x  0 thỏa mãn. Vậy ta có. sin x  0  x  k ,  k    . Câu 7. Lời giải Chọn A.    x  2  k 2  sin x  1  2    x   k 2  k    2 sin x – 3sin x  1  0  1  sin x  6   2  x  5  k 2 6  Vì 0  x .  2. nên nghiệm của phương trình là x .  6. .. Câu 8. Lời giải Chọn A. sin x  3 2sin x  5sin x  3  0   sin x  1  2 2.   x   k 2  1 6 .  sin x    2  x  5  k 2  6 Câu 9. Lời giải Chọn A. sin x  1  PT đã cho  2 sin 2 x  4 sin x  6  0    x    k 2 ,  k    . 2 sin x  3 VN  Theo đề: x   0;10   0  .  2.  k 2  10 . 1 21 k . 4 4. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 79.

(80) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Vì k   nên k  1; 2;3; 4;5 . Vậy PT đã cho có 5 nghiệm trên khoảng  0;10  . Câu 10. Lời giải Chọn A Ta có cos 2 x  2 cos x  3  0. Đặt cos x  t với điều kiện 1  t  1, ta được phương trình bậc hai theo t là t 2  2t  3  0. *. Phương trình * có hai nghiệm t1  1 và t2  3 nhưng chỉ có t1 thỏa mãn điều kiện. Vậy ta có cos x  1  x  k 2 ,  k   .. Câu 11. Lời giải Chọn A cos 2 x  sin x  1  0  1  2 sin 2 x  sin x  1  0  2 sin 2 x  sin x  0  2t 2  t  0 .. Câu 12. Lời giải Chọn A sin 2 x  1  Ta có: sin 2 2 x  3sin 2 x  2  0    sin 2 x  1  x    k , k   . 4 sin 2 x  2 (loại). Theo đề bài: 0  .  4.  k  10 . Vậy tổng các nghiệm là: S . 1 41 k  k  1, 2,...,10 . 4 4. 3  3   3  105 .      ...    9   4  4 2   4 . Câu 13. Lời giải Chọn C. . . 2 Ta có 2sin 2 2 x  cos 2 x  1  0  2 1  cos 2 x  cos 2 x  1  0  2cos 2 2 x  cos 2 x  3  0. cos 2 x  1      cos 2 x  1  2x    k 2  k  Z   x   k 3 cos 2 x  ( ko t / m) 2  2 Để x  0;2018   0 . . 1 1  k  2018 , k  Z    k  2018  , k  Z 2 2 2. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 80.

(81) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung.  k  0;2017 , k  Z . Khi đó phương trình có 2018 nghiệm. Vậy chọn đáp án 𝐶. Câu 14. Lời giải Chọn {..   x   k  cos x  0  Ta có cos x  cos x  0    2   cos x  1  x  k 2 2. Với x .  2.  k , do 0  x   nên ta được x .  2.  k   .. .. Với x  k 2 , do 0  x   nên không có x nào thỏa mãn. Câu 15. Lời giải Chọn B cos x  1 3 cos x  – 8 cos x – 5  3cos x  8 cos x  5  0    x    k 2  k    . cos x   5  1 3  2. 2. Câu 16. Lời giải Chọn B Ta có 2sin 2 x  3 sin 2 x  3  1  cos 2 x  3 sin 2 x  3.  3 sin 2 x  cos 2 x  2 . 3 1 sin 2 x  cos 2 x  1 2 2.       sin  2 x    1  2 x    k 2  x   k . 6 6 2 3  Câu 17. Lời giải Chọn C ĐK: cos x  0  x .  2.  k .. sin 2 x  sin 2 x tan 2 x  3 . sin 4 x  sin 2 x cos 2 x  3  sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x   3cos 2 x cos 2 x.  tan 2 x  3  tan x   3  x  .  3.  k (tm).. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 81.

(82) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Câu 18. Lời giải Chọn A 4  sin 4 x  cos 4 x   5 cos 2 x  4 1  2 sin 2 x cos 2 x   5 cos 2 x.  4  2sin 2 2 x  5cos 2 x  4  2 1  cos 2 2 x   5cos 2 x  2 cos 2 2 x  5 cos 2 x  2  0. 1  cos 2 x       2  cos 2 x  cos  2 x    k 2  x    k .  3 3 6 cos 2 x  2 (l ) Câu 19. Lời giải Chọn A cos. 4x 4 x 1  cos 2 x 2x 2x  cos 2 x  cos   2 cos 2.  1  cos 3. 3 3 2 3 3. 2x  2x 2x 2x 2x 2x   2  2 cos 2  1  1  4 cos3  3cos  4 cos3  4 cos 2  3cos  3  0 3 3 3 3 3 3  .  2x   3  k 2  x  k 3 2x  cos  1    3  2 x     k 2   x     k 3 .   6 4 2x 3 3  cos      2 x 5  5  3 2   x    k 2  k 3  3 6  4 Câu 20. Lời giải Chọn B.   sin x  cos x  1  2 sin  x    1 4      x  k 2  x  4  4  k 2  1   .  sin  x      x    k 2   4 2   x      k 2  2  4 4. Câu 21. Lời giải Chọn A Phương trình tương đương. 3 sin 2 x  cos 2 x  2.      sin  2 x    1  2 x   1  x   k 6 6 3  St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 82.

(83) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Câu 22. Lời giải Chọn A Áp dụng công thức điều kiện để phương trình bậc nhất với sin và cos có nghiệm Câu 23. Lời giải Chọn C Phương trình 2sin x  3cos x  1 có 22  32  12 . Vậy phương trình 2sin x  3cos x  1 có nghiệm. Câu 24. Lời giải Chọn D Phương trình 5sin x  12cos x  m có nghiệm khi và chỉ khi 52   12   m 2  m 2  169 2.   13  m  13 .. Suy ra có 27 số nguyên m để phương trình 5sin x  12 cos x  m có nghiệm. Câu 25. Lời giải Chọn C. 1 3 3 3 Ta có y  s inx  s inx  cos x  s inx  cosx . 2 2 2 2 3 3 Gọi y0 là một giá trị của hàm số khi đó phương trình y0  s inx  cosx có nghiệm khi và chỉ khi 2 2 9 3 12 y0 2      3  y0  3 . 4 4 4. Suy ra a   3, b  3 Vậy S  a  b  ab  3 Câu 26. Lời giải Chọn A Ta có 2 m sin x cos x  4 cos 2 x  m  5  m sin 2 x  4. 1  cos 2 x  m5 2.  m sin 2 x  2 cos 2 x  m  3 . Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi m 2  4   m  3   m  2. 5 . 9. Vậy có ba giá trị của m  E để phương trình đã cho có nghiệm. Câu 27. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 83.

(84) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Lời giải Chọn C Ta có.  3  3 sin x  cos   2 x   3 sin x  sin  2 x     2 .  3 sin x   sin 2 x  3 sin x  2sin x cos x sin x  0  x  k     k   . cos x   3  cos 5  x   5  k 2  6  2 6  3   3  Bài ra x    ;   nên k    ;    k  1  x   .  2   2  5 7  3  .  k 2    ;    k  1  x   6 6  2  5  3    k 2    ;    k   x  . 6  2   3  Do đó số nghiệm thuộc   ;   của phương trình đã cho là 2 .  2  Câu 28. Lời giải Chọn A 1 3 2    sin x  3 cos x  2  sin x  cos x   cos .sin x  sin .cos x  sin 2 2 2 3 3 4.      x    k 2 x    k 2      3 4 12  sin  x    sin    k   .  3  5  3 4  x     k 2 x  k 2   3 4 12 Câu 29. Lời giải Chọn B 1  cos 2 x 1  cos 2 x  2sin 2 x  3a 2 2 2  a  a cos 2 x  4sin 2 x  3a  3a cos 2 x  4  4sin 2 x  2a cos 2 x  4  4a * a sin 2 x  2 sin 2 x  3a cos 2 x  2  a.  *. 2 8 có nghiệm khi 42  4a 2   4  4 a   12a 2  32a  0  12 a 2  32a  0  0  a  . 3. Do a   và là số lớn nhất nên a  2 . Câu 30. Lời giải Chọn A. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 84.

(85) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung.     x  4  4  k 2   2   cos x  sin x  1  2 sin  x    1  sin  x     4 4 2    x    3  k 2  4 4.  x  k 2  k   .  x    k 2  2 Câu 31. Lời giải Chọn A 2 m  2 Điều kiện có nghiệm của phương trình là: m 2  12  5  m 2  4   .  m  2. Câu 32. Lời giải Chọn B Phương trình tương đương. .  . . 3 sin x  cos x  sin x  3 cos x  3  1  0.           2sin  x    2sin  x    1  3  4 cos  x   .sin     1  3 6 3 12      3   3 1      5   cos  x     cos  x    cos   12  2 2 12     12     x   2  k 2   x    k 2  3 Câu 33. Lời giải Chọn D Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: m 2   m  2    2m  1  2m 2  3  0   2. 2. 3 3 m 2 2. Vậy có 1 giá trị nguyên. Câu 34. Lời giải Chọn A. 3 sin x  cos x  0 . 3 1     . sin x  .cos x  0  sin  x    0  x   k  x    k  k  Z  . 2 2 6 6 6 . St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 85.

(86) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Câu 35. Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có:.   x    k    8 2 cos 3 x  sin x  cos x  cos 3 x  cos  x     4  x    k   16 2. Vì x   0;   nên nhận x . k   .. 7  9 , x , x . 8 16 16. Câu 36. Lời giải Chọn C. . Phương trình vô nghiệm  12   3. . 2.  m  1 2   2m   4m 2  4  0   . m  1. m    m  10; 9; 8;...; 2; 2;...;8; 9;10   có 18 giá trị. m 10;10 . Câu 37. Lời giải Chọn C Điều kiện. để. phương. trình. m 2  16   2m  5   3m 2  20m  9  0  2. Vậy m  1, 2, 3, 4, 5, 6 .. m sin x  4cos x  2m  5. có. nghiệm. là. 10  73 10  73 m . 3 3. Câu 38. Lời giải Chọn D Ta có 3sin 3 x  3 cos 9 x  1  4sin 3 3 x   3sin 3 x  4sin 3 3 x   3 cos 9 x  1.    k 2   9 x    k 2 x     1  3 6 54 9 .  sin 9 x  3 cos 9 x  1  sin  9 x       3 2  9 x    5  k 2  x    k 2   3 6 18 9 Câu 39. Lời giải Chọn D Phương trình sin. x x   m  1 .cos  5 vô nghiệm khi 2 2. a 2  b 2  c 2  1   m  1  5  m 2  2m  3  0  1  m  3 . 2. Câu 40. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 86.

(87) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Lời giải Chọn B Ta có y . 2 sin 2 x  cos 2 x   y  2  sin 2 x   y  1 cos 2 x  3 y. . sin 2 x  cos 2 x  3. Điều kiện để phương trình có nghiệm   y  2    y  1   3 y   7 y 2  2 y  5  0 . 2.  1  y . 2. 2. 5 y   y  1; 0 nên có 2 giá trị nguyên. 7. Câu 41. Lời giải Chọn A 4 sin x  m  4  cos x  2m  5  0  4 sin x  m  4 cos x  2m  5 .. Phương trình có nghiệm khi 42  m  4  2m  5  0  3m 2  12m  7  0 2. . 2. 6  57 6  57 m  3 3. . . Vì m   nên m  0,1,2, 3, 4 . Vây tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm là 10 . Câu 42. Lời giải Chọn A Phương trình có nghiệm  m 2  25   m  1  2m  24  m  12 . 2. Câu 43. Lời giải Chọn D Ta có: a sin 2 x  2sin 2 x  3a cos 2 x  2  a.  4sin 2 x  2a cos 2 x  4  4a * .. 1  cos 2 x 1  cos 2 x  2 sin 2 x  3a 2 2 2. Phương trình * có nghiệm  16  4a 2   4  4a   12 a 2  32 a  0  0  a  2. 8 . 3. Câu 44. Lời giải Chọn B. St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 87.

(88) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. m sin 2 x  cos2x  2 . m m 1 2. sin 2x .  sin  2 x    . có nghiệm khi. 1 m 1 2 2. cos 2 x . 2 m2  1. m2  1. m  3 1  . m2  1  m   3 2. Câu 45. Lời giải Chọn A x    Đặt t  tan , do x    ;  suy ra t   1;1 . 2  2 2. Phương trình trở thành tìm m để phương trình Ta có. 4t 1 t 2  m .  1  m có nghiệm thuộc đoạn  1;1 . 1 t2 1 t2. 1 1 4t 1 t 2  m .  1  m  m  t 2  2t   f  t  . 2 2 2 2 1 t 1 t. Hoành độ đỉnh là t0  2 loại. Ta có f  1  3 và f 1  1 . Suy ra 1  f  t   3 . Vậy ta chọn đáp án {. Câu 46. Lời giải Chọn D Ta có: 2sin 2 x + msin2x = 2m  msin2x - cos2x = 2m - 1 1 m  0 2 Điều kiện phương trình 1 vô nghiệm là: m 2  1   2m  1  3m 2  4m  0   . m  4 3  m  0 Vậy với  thì phương trình trên vô nghiệm. m  4 3 . Câu 47. Lời giải Chọn A.  m  4 Điều kiện để phương trình m.sin x  3cos x  5 có nghiệm là 32  m2  52  m2  16   . m  4 Câu 48. Lời giải St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 88.

(89) Tài liệu giảng dạy, học tập Lớp 11 năm 2021– FB Duong Hung. Chọn C Ta có 2 cos x  s inx  4  0, x   nên cos x  2sin x  3 m  cos x  2 sin x  3  m  2 cos x  sin x  4  2 cos x  sin x  4.   2m  1 cosx-  m  2  s inx  4m  3  0 (1) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi.  2 m  1   m  2  2. 2.   4 m  3   11m 2  24 m  4  0  2. 2 m2 11. Câu 49. Lời giải Chọn B. t  3m sin x  3m  Đặt t  sin x  t 2  2  m  1 t  3m  m  2   0   t  m  2 sin x  m  2 1  1  m  1  3m  1   3 Để phương trình có nghiệm thì  3  1  m  2  1 1  m  3  Câu 50. Lời giải Chọn D. . . Đặt sin x  cos x  t t  2  sin x cos x . t2 1 . Khi đó ta có phương trình 2. t2 1  t  m  0  t 2  2t  2 m  1  0  *  2. Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình *  có nghiệm.     2  2m  0   2  s  1  2 m  1 1   2 t    2; 2        2  m  1. 1 2 m  2  f  2  1  2 2  2m  0  2   f 2  1  2 2  2m  0 .    . St-bs: FB: Duong Hung - Liện hệ Word xinh Zalo: 0774860155. 89.

(90)

Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Dương Minh Hùng - TOANMATH.com

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về