Bài tập xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ôn thi THPT môn Toán

<span class='text_page_counter'>(1)</span>15. XÁC ĐỊNH VECTO PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG. DẠNG. Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA. 1. 15.. PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1. XÁC ĐỊNH VECTO PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. Xác định véc-tơ pháp tuyến của phương trình mặt phẳng. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P ) trong không gian có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B 2 + C 2 > 0. Nếu phương trình mặt phẳng (P ) có dạng Ax + By + Cz + D = 0 thì một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng là #» n = (A; B; C). #» Nếu mặt phẳng (P ) vuông góc với giá của véc-tơ #» n 6= 0 thì véc-tơ #» n là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P ). #» #» Nếu î #»mặt ó phẳng (P ) song song hoặc chứa giá của hai véc-tơ không cùng phương a , b thì véc-tơ #» a , b là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P ). Nếu mặt phẳng đi qua điểm M (a; b; c) và nhận #» n = (A; B; C) là một véc-tơ pháp tuyến thì phương trình của mặt phẳng là A(x − a) + B(y − b) + C(z − c) = 0.. 2. BÀI TẬP MẪU. Ví dụ 1. (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (α) : 3x+ 2y − 4z + 1 = 0. Véc-tơ nào sau đây là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (α)? A #» n 2 = (3; 2; 4). B #» n 3 = (2; −4; 1). C #» n 1 = (3; −4; 1). D #» n 4 = (3; 2; −4). Lời giải. Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán nhận biết véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng có phương trình cho trước. 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Xác định các hệ số A, B, C, D trong phương trình dạng tổng quát Ax + By + Cz + D = 0 của mặt phẳng (α). B2: Khi đó một véc-tơ pháp tuyến của (α) là #» n = (A; B; C). LỜI GIẢI CHI TIẾT. Phương trình mặt phẳng (α) có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 với A = 3; B = 2; C = −4; D = 1. Suy ra (α) có #» n 4 = (3; 2; −4) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (α). Chọn phương án D. h Geogebra Pro. Trang 157.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 15. XÁC ĐỊNH VECTO PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG. 3. PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN. Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : x − 4y + 3z − 2 = 0. Một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P ) là A #» B #» C #» D #» n 2 = (1; 4; 3). n 3 = (−1; 4; −3). n 4 = (−4; 3; −2). n 1 = (0; −4; 3). Lời giải. (P ) có véc-tơ pháp tuyến là #» n = (1; −4; 3) nên #» n 3 = (−1; 4; −3) = − #» n cũng là véc-tơ pháp tuyến của (P ). Chọn phương án B. Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) :. x y z + + = 1. Véc-tơ nào dưới 1 2 3. đây là một véc-tơ pháp tuyến của (P )? A #» B #» C #» D #» n = (6; 3; 2). n = (2; 3; 6). n = (1; 2; 3). n = (3; 2; 1). Lời giải. x y z Ta có (P ) : + + = 1 ⇔ 6x + 3y + 2z − 6 = 0 ⇒ (P ) có một véc-tơ pháp tuyến #» n = (6; 3; 2). 1. 2. 3. Chọn phương án A Câu 4. Toạ độ một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) đi qua ba điểm M (2; 0; 0), N (0; −3; 0), P (0; 0; 4) là A (2; −3; 4). B (−6; 4; −3). C (−6; −4; 3). D (−6; 4; 3). Lời giải. 1 1 1 x y z 1 #» Ta có (α) : + + = 1 có 1 véc-tơ pháp tuyến là n = ;− ; = − · #» n 1 với #» n 1 = (−6; 4; −3). 2. −3. 4. 2. 3 4. 12. Nên #» n 1 = (−6; 4; −3) cũng là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (α). Chọn phương án B. Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(2; −1; 3), B(4; 0; 1) và C(−10; 5; 3). Véc-tơ nào dưới đây là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)? A #» n = (1; 2; 2). B #» n = (1; −2; 2). C #» n = (1; 8; 2). D #» n = (1; 2; 0). Lời giải. î # » # »ó # » # » Ta có AB = (2; 1; −2), AC = (−12; 6; 0), AB, AC = (12; 24; 24). 1 î # » # »ó AB, AC = (1; 2; 2). ⇒ (ABC) có một véc-tơ pháp tuyến là #» n = 12. Chọn phương án A Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2; −1; 5), B(1; −2; 3). Mặt phẳng (α) a đi qua hai điểm A, B và song song với trục Ox có véc-tơ pháp tuyến #» n = (0; a; b). Khi đó tỉ số b. bằng h Geogebra Pro. Trang 158. 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1. Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 2x − 3z + 4 = 0. Véc-tơ nào dưới đây có giá vuông góc với mặt phẳng (P )? A #» n 3 = (2; −3; 4). B #» n 1 = (2; 0; −3). C #» n 2 = (3; 0; 2). D #» n 4 = (2; −3; 0). Lời giải. Véc-tơ #» n 1 = (2; 0; −3) có giá vuông góc với mặt phẳng (P ) vì là một véc-tơ pháp tuyến của (P ). Chọn phương án B.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 15. XÁC ĐỊNH VECTO PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG. A −2.. 3 2. B − .. C. 3 . 2. PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1. D 2.. Lời giải.. # » #» BA = (1; 1; 2); i = (1; 0; 0) là véc-tơ đơn vị của trục Ox. î # » #»ó Vì (α) đi qua hai điểm A, B và song song với trục Ox nên BA, i = (0; 2; −1) là một véc-tơ pháp a tuyến của (α). Do đó = −2. b. Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA. Chọn phương án A Câu 7. Cho hai điểm M (1; 2; −4) và M 0 (5; 4; 2) biết M 0 là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (α). Khi đó mặt phẳng (α) có một véc-tơ pháp tuyến là A #» B #» C #» D #» n = (2; 1; 3). n = (2; 3; 3). n = (3; 3; −1). n = (2; −1; 3). Lời giải. Do M 0 là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (α) nên mặt phẳng (α) vuông góc với véc-tơ # » M M 0 = (4; 2; 6). Suy ra #» n = (2; 1; 3) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (α). Chọn phương án A Câu 8. Trong không gian Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (3; −1; 1) và có véc-tơ pháp tuyến #» n = (3; −2; 1)? A x − 2y + 3z + 13 = 0. B 3x + 2y + z − 8 = 0. C 3x − 2y + z + 12 = 0. D 3x − 2y + z − 12 = 0. Lời giải. Mặt phẳng đi qua điểm M (3; −1; 1) và có véc-tơ pháp tuyến #» n = (3; −2; 1) có phương trình là 3(x − 3) − 2(y + 1) + (z − 1) = 0 ⇔ 3x − 2y + z − 12 = 0. Chọn phương án D Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 5; −2), B(3; 1; 2). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . A 2x + 3y + 4 = 0. B x − 2y + 2z = 0. C x − 2y + 2z + 8 = 0. D x − 2y + 2z + 4 = 0. Lời giải. Gọi (α) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . # » Ta có AB = (2; −4; 4) là một véc-tơ pháp tuyến của (α). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇒ I(2; 3; 0). Mặt phẳng (α) đi qua điểm I và có véc-tơ pháp tuyến #» n = (2; −4; 4) nên có phương trình là 2(x − 2) − 4(y − 3) + 4(z − 0) = 0 ⇔ x − 2y + 2z + 4 = 0.. Chọn phương án D Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng (Oyz)? A x = y + z. B y − z = 0. C y + z = 0. D x = 0. Lời giải.. h Geogebra Pro. Trang 159.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 15. XÁC ĐỊNH VECTO PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG. PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1. Mặt phẳng (Oyz) đi qua O(0; 0; 0) và nhận #» n = (1; 0; 0) làm véc-tơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (Oyz) là x = 0. Chọn phương án D Câu 11. Trong không gian Oxyz , gọi (α) là mặt phẳng đi qua điểm M (1; 1; 1) và vuông góc với hai mặt phẳng (β) : 2x + y + 2z + 5 = 0; (γ) : 3x + 2y + z − 3 = 0 Mặt phẳng (α) tạo với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz một tứ diện có thể tích bằng 1 121 1 121 A . B . C . D . 9. 6. 3. Lời giải. Mặt phẳng (β) : 2x + y + 2z + 5 = 0 có véc-tơ pháp tuyến là Mặt phẳng (γ) : 3x + 2y + z − 3 = 0 có véc-tơ pháp tuyến là. 2. #» n β = (2; 1; 2). #» n = (3; 2; 1). γ. Chọn phương án A Câu 12. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau song song với trục Oz ? A (α) : z = 0. B (P ) : x + y = 0. C (Q) : x + 11y + 1 = 0. D (β) : z = 1. Lời giải. #» Trục Oz có một véc-tơ chỉ phương là k = (0; 0; 1), nếu một mặt phẳng song song với trục Oz thì #» véc-tơ pháp tuyến #» n của mặt phẳng đó phải vuông góc với véc-tơ k , tức là #» n = (a; b; 0) với a, b ∈ R 2 2 và a + b > 0. Cả hai mặt phẳng (P ), (Q) cùng thỏa điều kiện trên. Mặt khác, vì O ∈ (P ) và O ∈ / (Q) nên mặt phẳng (P ) chứa trục Oz (loại), mặt phẳng (Q) song song với trục Oz (nhận). Chọn phương án C Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (α) : x + y − z + 1 = 0 và (β) : − 2x + my + 2z − 2 = 0. Tìm m để (α) song song với (β). A Không tồn tại m. B m = −2. C m = 2. D m = 5. Lời giải. Mặt phẳng (α) có véc-tơ pháp tuyến là #» n 1 = (1; 1; −1) và A(0; 0; 1) ∈ (α). #» Mặt phẳng (β) có véc-tơ pháp tuyến là n 2 = (−2; m; 2).. h Geogebra Pro. Trang 160. 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1. 2 1 2 Vì 6= 6= nên (β) và (γ) cắt nhau. 3 2 1 Do mặt phẳng (α) vuông góc với hai mặt phẳng (β) và (γ) nên (α) chứa hoặc song song với giá của hai véc-tơ #» n β và #» n γ.   Vậy mặt phẳng (α) có một véc-tơ pháp tuyến là #» n α = #» n β , #» n γ = (1 − 4; 6 − 2; 4 − 3) = (−3; 4; 1). Mà (α) đi qua điểm M (1; 1; 1) nên (α) có phương trình là −3(x − 1) + 4(y − 1) + 1(z − 1) = 0 hay (α) : − 3x + 4y + z − 2 = 0.  2   1  Suy ra (α) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A − ; 0; 0 ; B 0; ; 0 ; C(0; 0; 2). 3 2 1 1 2 1 1 Từ đó thể tích tứ diện OABC là VOABC = · OA · OB · OC = · − · · 2 = . 6 6 3 2 9.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 15. XÁC ĐỊNH VECTO PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG. PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1.   −2 = m = 2 6= −2 #» #» 1 1 −1 1 ⇔ không tồn tại m. Để (α) k (β) thì n 1 , n 2 cùng phương và A ∈ / (β) ⇔  − 2 6= 0 Vậy không tồn tại m để (α) k (β). Chọn phương án A Câu 14. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai mặt phẳng (P ) : nx + 7y − 6z + 4 = 0, (Q) : 3x + my − 2z − 7 = 0. Tìm giá trị của m, n để hai mặt phẳng (P ), (Q) song song với nhau. 7 3. A m = , n = 1.. 3 7. 7 3. B m = , n = 9.. C m = 9, n = .. Lời giải.. ® #». Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA. Hai mặt phẳng (P ), (Q) song song với nhau ⇔ ∃k ∈ R sao cho. n 1 = k · #» n2. 7 3. D m = , n = 9.. 4 6= k · (−7). (∗).. với #» n 1 = (n; 7; −6), #» n 2 = (3; m; −2).    n=9     n = 3k 7 Xét #» n 1 = k · #» n 2 ⇔ 7 = km ⇔ m = thoả hệ điều kiện (∗).   3     − 6 = −2k k=3. Chọn phương án D Câu 15. Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P ) : x − 3y + 2z + 1 = 0, (Q) : (2m − 1)x + m(1 − 2m)yn+ (2m −o4)z + 14 = 0. Tìm m để (P ) và (Q) vuông nhau. n góc3 o n3o 3 A m ∈ −1; − . B m ∈ {2}. C m ∈ 1; − . D m∈ . 2. 2. 2. Lời giải. Mặt phẳng (P ) : x − 3y + 2z + 1 = 0 có một véc-tơ pháp tuyến là #» n 1 = (1; −3; 2). Mặt phẳng (Q) : (2m − 1)x + m(1 − 2m)y + (2m − 4)z + 14 = 0 có một véc-tơ pháp tuyến là #» n2 = (2m − 1; m − 2m2 ; 2m − 4).  m=1 (P ) ⊥ (Q) ⇔ #» n 1 · #» n 2 = 0 ⇔ 2m − 1 − 3(m − 2m2 ) + 4m − 8 = 0 ⇔ 6m2 + 3m − 9 = 0 ⇔  3 m=− . 2. Chọn phương án C Câu 16. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(10; 2; −2), B(15; 3; −1). Xét mặt phẳng (P ) : 10x + 2y + mz + 11 = 0, m là tham số thực. Tìm tất cả giá trị của m để mặt phẳng (P ) vuông góc với đường thẳng AB . A m = −2. B m = 2. C m = −52. D m = 52. Lời giải. # » Ta có AB = (5; 1; 1); véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P ) : #» n = (10; 2; m). 10 2 m # » Để (P ) ⊥ AB thì AB cùng phương với #» n ⇒ = = ⇒ m = 2. 5. 1. 1. Chọn phương án B Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho ba mặt phẳng (α) : x+y+z−6 = 0; (β) : mx−2y+z+m−1 = 0; (γ) : mx + (m − 1)y − z + 2m = 0. Tìm m để ba mặt phẳng đó đôi một vuông góc. A m = 1. B m = −3. C m = −1. D m = 3. h Geogebra Pro. Trang 161.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 15. XÁC ĐỊNH VECTO PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG. PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1. Lời giải. Ta có: mặt phẳng (α), (β), (γ) lần lượt có véc-tơ pháp tuyến là #» n α = (1; 1; 1); #» n β = (m; −2; 1); #» nγ = (m; m − 1; −1). Để ba mặt phẳng này đôi một vuông góc thì: ® ® ® #» n α ⊥ #» nβ ⇒ #» n α ⊥ #» nγ. #» nα · #» n · α. #» nβ = 0 ⇒ #» nγ = 0. m−2+1=0. m+m−1−1=0. ⇒ m = 1.. Chọn phương án A Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P ) và (Q) tương ứng có phương trình là 3x − 6y + 12z − 3 = 0 và 2x − my + 8z + 2 = 0, với m là tham số thực. Tìm m để mặt phẳng (P ) song song với mặt phẳng (Q) và khi đó tính khoảng cách d giữa hai mặt phẳng (P ) và (Q). 2 21. 2 21 2 D m = 4 và d = √ . 21. A m = −4 và d = √ .. B m = 2 và d = √ .. Lời giải. Mặt phẳng (P ) và (Q) có véc-tơ pháp tuyến lần lượt là #» n 1 = (3; −6; 12) và #» n 2 = (2; −m; 8).    3 = k · 2 k = 3 #» #» #» #» 2 Để (P ) k (Q) thì n 1 cùng phương n 2 , tức là ∃k 6= 0, n 1 = k n 2 ⇒ − 6 = k · (−m) ⇒    m = 4. Chọn M0 (1; 0; 0) ∈ (P ). Khi đó: d ((P ), (Q)) = d (M0 ; (Q)) =. 12 = k · 8 |2 · 1 − 4 · 0 + 8 · 0 + 2|. p. 22 + (−4)2 + 82. 2 =√ . 21. Chọn phương án D Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 2x + y + 2z − 3 = 0 và điểm A(2; −1; 0). Tìm tọa độ điểm B thuộc trục Oz sao cho độ dài đoạn hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB lên 4 (P ) bằng √ .  5 6       3 6 3 A B 0; 0; . B B 0; 0; − . C B 0; 0; − . D B 0; 0; . 5. 5. 5. 5. Lời giải. B. A ϕ. H. # » Gọi B(0; 0; b) ∈ (Oz) ⇒ AB = (−2; 1; b) và véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P ) là #» n = (2; 1; 2). # » AB · #» n. Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng AB và (P ), ta có: sin ϕ = # ». AB · | #» n|. =√. |2b − 3| √ . b2 + 5 · 9. Gọi H lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên (P ). Vì A ∈ (P ) nên AH là hình chiếu vuông góc của AB lên (P ).. h Geogebra Pro. Trang 162. 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1. 1 21. C m = 4 và d = √ ..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 15. XÁC ĐỊNH VECTO PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG. ⇒ AH = AB · cos ϕ =. √. b2. Å +5·. 1−. ã2. 2b − 3. √ √ b2 + 5 · 9. PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1. √ 5b2 + 12b + 36 4 = =√ . 3 5. 6 6 ⇔ b = − ⇒ B 0; 0; − . 5 5. . . Chọn phương án C Câu 20. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : x−2y−2z = 0 và hai điểm A(1; 1; 1), B(2; 2; 2). Gọi A1 , B1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên (P ). Tính độ dài đoạn thẳng A1 B1 . √ √ √ A A1 B1 = 3. B A1 B1 = 6. C A1 B1 = 1. D A1 B1 = 2. Lời giải. # » Ta có AB = (1; 1; 1), véc-tơ pháp tuyến của (P ) là #» n = (1; −2; −2). √ 3 1 ◊ (P )) = √ √ = √ . ⇒ AB = 3; sin(AB, 3·. 9. Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA. √ ◊ Vậy A1 B1 = AB · cos(AB, (P )) = 3 ·. 3. Å 1−. 1 √ 3. ã2 =. √. 2.. Chọn phương án D. h Geogebra Pro. Trang 163.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 15. XÁC ĐỊNH VECTO PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG. PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1.  BẢNG ĐÁP ÁN  1. B 11. A. 2. B 12. C. 3. A 13. A. 4. B 14. D. 5. A 15. C. 6. A 16. B. 7. A 17. A. 8. D 18. D. 9. D 19. C. 10. D 20. D. 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1. h Geogebra Pro. Trang 164.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>