Tiết 39: Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

BI GING MễN TON
tiết 39: phương trình mặt phẳng

Người thực hiện: Nguyễn Thị Vân


Trong hệ tọa độ Oxy

Vấn đề véc tơ pháp tuyến trong hệ Oxyz
n ( A;B;C )

n ( A;B )




P

Định lý:Trong hệ tọa độ Oxy
đều lý:Trong trình độ Oxyz mọi
Địnhcó phươnghệ tọadạng:
Ax phẳng đều có 2+ B2
mặt +By + C = 0,Aphương trình dạng:
Tại sao đường thẳng trong không
Mặt phẳng trong không
Ax ngược lại mọi phương trìnhC2 0
+By + Cz + D = 0,A2+ B2+
Và
gian có thể chọn được một một véc
gian không thể chọn được véc
Và ngược+C = 0, với A2 +B2tơ 0

ax +Bx lại mọi phương trìnhpháp tuyến?

tơ pháp tuyến?
Ax +By +Cz + D = 0, phẳng
đều là ph trinh một mặt
với A2 +B2+C2 0đều là ph trinh một
mặt phẳng


véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng

Tiết 39

phương trình tổng quát của mặt phẳng
1.Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
n

n ( A;B;C )

( A;B;C ) là véc tơ pháp tuyến cña mp (P)


{

n

n

≠

0

⊥ (P)



{

A2+ B2 + C2 ≠ 0
n ⊥ (P)

P
kn

Các véc tơ k n cũng là véc tơ pháp tuyến
2.Phương trình tổng quát của mặt phẳng
a.Định lý:Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ (x;y;z)
Thỏa mÃn một phương trình dạng: Ax +By + Cz + D= 0 (*),
với A2 + B2+C2 0
Ng
Và ngược lại:
h
ghi etúm
tt
Tập hợp tất cả các điểm có tọa độ thỏa mÃn phương trình (*) là một:
mặt phẳng


Trong hƯ täa ®é Oxyz

{

n ( A;B;C )

Qua M0 ( x0;y0 ;z0)
1Vtpt n ( A;B ;C)
•
•
2
2
2
A +B +C ≠ 0
M(x0 ;y0;z0)
M (x ;y;z)
P
M (x ;y;z) ∈ (P) ⇔ n ⊥ M M
0
⇔ A(x– x0) +B(y– y0)+ C (z-z0) = 0
Ng­ỵc l¹i
Ax
⇔ + By+ C z - Ax0 – B y0 – C z0 = 0 M (x ;y;z) tháa m·n pt
(P) thỏa mÃn

Đặt bằng D
Ax + By+ C z + D = 0

Ax +B y + Cz + D = 0 (*)
Chän M0(x0 ; y0 ; z0) tháa (*)
Cã: Ax0 +B y0 + Cz0 + D = 0 (**)
=>

A(x– x0) +B(y– y0)+ C (z-z0) = 0
=> n ( A;B;C ) ⊥ M0M
M∈mp qua M0 vu«ng gãc víi n


Trong hƯ täa ®é Oxyz
(P) tháa m·n

{

Qua M0 ( x0;y0 ;z0)

1Vtpt
A +B +C 0
2

2

2

n ( A;B ;C)

Phương trình
Ax + By+ Cz -Ax0 - B y0 – C z0 = 0

Ngược lại
Ngược lại
Từ pt: Ax + By+ C z + D = 0
Với: A2+B2+C2 0
Chọn được: M0(x0 ; y0 ; z0) thỏa (*)

Và một véc tơ pháp tuyến
n ( A;B;C )

Bài 1: Trong hệ toạ độ Oxyz cho
A( -1; 3; 0),B( 5; -7 ; 4)
Viết phương trình mặt phẳng trung
trực của đoạn AB
Bài giải
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực AB
Qua I ?
(2;-2;2)
(P) thỏa mÃn
1Vtpt AB=?
n (6;-10;4)
Phương trình (P):

{

3x-5y +2z – 20 = 0


Trong hƯ täa ®é Oxyz
Qua M0 ( x0;y0 ;z0)
(P) tháa mÃn
1Vtpt n ( A;B ;C)
A2+B2+C2 0

{

Phương trình

Ax + By+ Cz -Ax0 - B y0 – C z0 = 0

Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng
Đi qua 3 điểm
Đi qua 3 điểm
A(-1;0;0) ,,B(0;2;0),C (0;0;-5)
A(-1;0;0) B(0;2;0),C (0;0;-5)
Bài giải
Vtpt n = [AB;AC]
AB = ( 1; 2 ; 0)
AC = ( 1; 0 ; -5)
Vtpt n = [AB;AC] = (-10 ; 5 ; -2)
(ABC) qua A(-1; 0; 0 )
Pt.(ABC) lµ : 10x – 5y + 2z – 10 = 0


Trong hƯ täa ®é Oxyz
Qua M0 ( x0;y0 ;z0)
(P) tháa mÃn
1Vtpt n ( A;B ;C)
A2+B2+C2 0

{

Phương trình
Ax + By+ Cz -Ax0 - B y0 – C z0 = 0

Bài 3 : Viết phương trình mặt phẳng
Đi qua 3 điểm
Đi qua 3 điểm

A(-1;0;0) ,,B(0;2;0),C (0;0;-5)
A(-1;0;0) B(0;2;0),C (0;0;-5)
Bài giải
y
z
x
+
+
-5
-1
2

=1

Ph.trình (ABC) :
10 x -5y + 2z -10 = 0


Trong hệ tọa độ Oxyz
Qua M0 ( x0;y0 ;z0) Bài 3 : Viết phương trình mặt phẳng
(P) thỏa mÃn
1Vtpt n ( A;B ;C) đi qua điểm M (3;0 ;-1) và song song
0
A2+B2+C2 0
với mặt phẳng (Q) có phương trình:
Phương tr×nh
4x -3y +7z +1 = 0

{

Ax + By+ Cz -Ax0 - B y0 C z0 = 0

n

Bài giải
Mặt phẳng ()
Qua M0( 3;0;-1)
1vtpt ( 4;-3;7)

P
Q

=> Phương trình ():
4x 3y +7z -5 = 0

( 4;-3; 7 )


§i qua A(2;-3;1) vµ B ( 0 ; 1 ; -2)
Cho mặt phẳng (P) thỏa mÃn :

(Q)_có pt: 3x + 5y - 4z + 7 = 0
KÕt luËn nµo sau đây đúng?
a) Véc tơ u = ( 3 ; 5 ; -4) là véc tơ pháp tuyến của (P).
b) VÐc t¬ v = ( -2 ; 4 ; -3) là véc tơ pháp tuyến của (P).
c) Véc tơ n = [ u ,v] = (1; 17 ; 22) lµ véc tơ pháp tuyến của (P).


§i qua A(2;-3;1) vµ B ( 0 ; 1 ; -2)
Viết pt mặt phẳng (P) thỏa mÃn :

(Q)_có pt: 3x + 5y - 4z + 7 = 0

Bài giải
Vì (P) ⊥ (Q) => (P) cã 1 vtcp u (3;5;-4)V× (P) qua A(2;-3;1) và B(0;1;-2)

Nên (P) có một vtcp khác là AB ( -2;4; -3)
=> Véc tơ n = [ u ,AB] = (1; 17 ; 22) là véc tơ pháp tuyến của (P).
(P) Qua A(2;-3;1)
=> Phương trình (P) là x +17y +22 z +27 = 0


Bài tập 5:
Trong hệ tọa độ Oxyz
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q)_ lần
Qua M0 ( x0;y0 ;z0) lượt có phương trình:
(P) thỏa mÃn
1Vtpt n ( A;B ;C) 3x + 2y -5z +4 = 0, x-7y +6z -1 = 0
A2+B2+C2 0
Một điểm M0 ( 1;-4;0).
Viết phương trình mặt phẳng( ) qua M0
Phương trình
và đồng thời vuông góc với cả hai mỈt
Ax + By+ Cz -Ax0 - B y0 – C z0 = 0
phẳng (P) và (Q).
* Mặt phẳng (P) (Q)
Bài giải:
Nếu nQ = ( A,B,C) (Q)
Vì () ⊥ (P) => (α) cã 1 vtcp u (3;2;-5)
Th× mp (P) cã 1 vtcp

uP = ( A,B,C) // (P)
V× (α) ⊥ (Q) => (α) cã 1 vtcp v (1;-7;6)
*) (P) // (Q) chung vtpt
[u,v] = (- 23; -7 ; -23) ≠ 0

{

Chän vtpt cđa (α) lµ n (23; 7;23)
(α) qua M0(1;-4 ; 0)
=> Ph.trình () là 23x +7y +23z +5 = 0


H×nh thøc thø nhÊt :Cho trùc tiÕp

n

( A;B;C )


TH1:

ã A(x1;y1;z1)
ã B(x2;y2;z2)

P
n

= AB

(P)

Hình thức thứ hai :cho gián tiÕp


Hình thức thứ hai :cho gián tiếp
TH2:

u

n =[u ;v]

v
P
u // hoặc nằm trên (P)
v // hoặc nằm trên (P)
u và v không cùng phương
n =[u ;v]


Hình thức thứ hai :cho gián tiếp

TH3:

nQ = ( A,B,C) ⊥ (Q)
Q

nP = ( A,B,C) ⊥ (Q)
P
(P) // (Q)
Ph.tr×nh (Q) :Ax + By +Cz + D1 = 0

=> Ph.tr×nh (P) : Ax +By +Cz +D2 = 0


Chó ý:

nQ = ( A,B,C) ⊥ (Q)
Q
nP = ( A,B,C) // (P)

P


I.Lý thuyết :
ãNắm vững bài toán cơ bản về
viết phương trình mặt phẳng.
(Phải biết một điểm của mặt phẳng
và một Vtpt của mặt phẳng)
ãNắm vững cách xác định một véc tơ
chỉ phương của mặt phẳng
ãNắm vững cách xác định một véc tơ
pháp tuyến của mặt phẳng
IãBài tập:
Từ 1 đến 8 trang82 vµ 83 (Sgk)


Xin chân thành cảm ơn các thầy (cô) và các em học sinh

Xin chào và hẹn gặp lại !

10


0