bat dang thuc vao lop 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề bất đẳng thức A. kiÕn thøc cÇn nhí: I. Tính chất cơ bản của BĐT: a) a < b, b < c  a < c b) a < b  a +c < b+ c. c) a< b  a.c < b.c (với c > 0) a< b  a.c > b.c (với c < 0) d) a < b và c < d  a+c < b + d. e) 0 < a < b và 0 < c < d  a.c < b.d a  b  a 2 n 1  b 2n 1. f). 0< g). 2 n 1. 0a b . a  2 n 1 b 2n. a  2n b. II. BĐT Cauchy: (Cô–si) ab . a b c 3 1 a + 2 a Hệ quả: , abc . . a  b  a2n  b2n. a b . Đẳng thức.  n   n   n    n . ab . . . . a b a,b 0 2. a b 2 xảy ra khi và chỉ khi a = b.. a, b, c 0 a  0. Bất đẳng thức Cô-si mở rộng: Cho n số không âm: a1; a2; …; an.. Ta có: a1  a2  ...  an n a a1a2 ...an. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 a2 ... an. III. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối a) |x| 0, |x| x, |x| -x b) |x|  a  -a  x  a ( với a > 0) |x|  a  x  -a hoặc x  a c) |a|-|b|  |a+b|  |a| + |b|. IV. BĐT Bunhinacôpxki Cho a, b, x, y là các số thực, ta có: (a 2  b 2 )( x 2  y 2 )  (ax + by)2 a b  Đẳng thức xảy ra khi: x y.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Tổng quát: Cho 2n số thực: a1 , a2 ,.., an ; b1 , b2 ,.., bn Ta có: | a1b1  a2b2  ..  anbn |  (a12  a22  ..  an2 )(b12  b22  ..  bn2 ) a a1 a2  ..  n bn Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: b1 b2. V. BĐT Becnuli Cho a > -1, n  N* : (1+ + a)n  1 + na. Đẳng thức xảy ra khi a = 0 hoặc n = 1 B. Những bài toán về bất đẳng thức và phơng pháp gi¶i. Dạng 1 : Dùng phép biến đổi tơng đơng – Dùng định nghĩa * Ph¬ng ph¸p : A B ⇔ A - B 0 Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh đúng . * Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1 : Cho c¸c sè d¬ng a, b tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: a + b = 1 . Chøng minh r»ng: (1+. 1 )( 1 + a. 1 ) b. 9.. Chøng minh: Ta cãã : ( 1 +. 1 )(1+ a a+1 a. ⇔. 1 ) b .. 9. b+1 b. 9. ⇔ ab + a + b + 1 ⇔ a+b+1. 9ab 8ab. 8ab. ⇔ 1. 4ab ⇔ ( a + b )2. ( v× a + b = 1 ) 0. +. 1 1+b 2. 4ab (2). 1 . Chøng minh r»ng : 1 1+ a2. ( v× ab > 0 ). ⇔ 2. ⇔ ( a + b )2. Bµi 2 : Cho ab. (1). 2 1+ ab. ( v× a + b = 1 ).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chøng minh: Ta cã : ⇔ (. 1 1+ a2 1 1+ a2. + -. 1 1+b 2. 2 1+ ab. 1 1 )+( 1+ ab 1+b 2. ⇔. ab − a2 (1+a2 )(1+ab). ab  b 2 2 + (1  b )(1  ab). ⇔. a(b − a) (1+a2 )(1+ab). +. ⇔. (b − a)[ ( 1+ b ) a - (1 + a )b ] 2 2 (1 + a )(1 +b )(1 +ab). ⇔. (b − a)(a2 +ab2 −b − a2 b) (1+a2 )(1+b2 )(1+ab). ⇔. (b − a)(b −a)(ab− 1) (1+a 2)(1+b 2)(1+ab). ⇔. b − a¿ 2 (ab −1) ¿ ¿ ¿. (1) -. 0. 0. b( a− b) (1+b2 )(1+ab). 2. 1 ) 1+ ab. 0. 2. 0 0 0. 0. (2). Bất đẳng thức ( 2 ) luôn đúng với mọi ab 0 .Do đó bất đẳng thức ( 1 ) đợc chøng minh Bµi 3 : Cho a , b , c , d , e lµ c¸c sè thùc . Chøng minh r»ng : a) a2 + b2 + 1. ab + a + b. b) a2 + b2 + c2 + d2 + e2. a(b+c+d+e). Chøng minh: a) Ta cã : a2 + b2 + 1 ab + a + b, 0 ⇔ 2 ( a2 + b2 + 1 ) - 2 ( ab + a + b ) 0 ⇔ ( a2 - 2ab + b2 ) + ( a2 - 2a + 1 ) + ( b2 - 2b + 1 ) 0 ⇔ ( a - b )2 + ( a - 1 )2 + ( b - 1 )2 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi a , b . Nên ta có điều phải chøng minh . DÊu " = " x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = 1. b) Ta cã : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b+c+d+e).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ⇔. a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - ab - ac - ad - ae 0 0 ⇔ 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae ⇔ (a2 - 4ab + 4b2) + ( a2 - 4ac + 4c2) + (a2 - 4ad + 4d2) + (a2 - 4ae + 4e2) 0 0 ⇔ ( a - 2b )2 + ( a - 2c )2 + ( a - 2d )2 + ( a - 2e )2 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi a , b , c , d , e . Nên ta có điều ph¶i chøng minh . DÊu " = " x¶y ra khi vµ chØ khi a = 2b = 2c = 2d = 2e 4 4 3 3 Bµi 4 : Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc a, b tuú ý ta cã: a  b a b  b a . Chøng minh: a 4  b4 a3b  b3a 4 3 4 3 ⇔ a − a b +b − b a ≥ 0 ⇔ a 3 (a −b)−b 3 (a −b) ≥ 0 ⇔ (a − b)(a3 −b 3) ≥0 a − b ¿2 .(a2 +ab+b 2)≥ 0 ¿ ¿ b b2 3 b2 a −b ¿ 2 . a2 +2 . a. + + ≥0 2 4 4 ¿ b 2 3 b2 2 a− b ¿ . a+ + ≥ 0(∗) 2 4 ⇔¿. [(. ). ]. [( ) ]. (*) đúng với mọi số thực a, b tuỳ ý nên: a 4  b 4 a3b  b3a. (®fcm). Bµi 5: a) Chứng minh 2(a4 + b4) > ab3 + a3b + 2a2b2 với mọi a, b. b) Chứng minh a) Ta có. a 2  b 2  2ab  b2. > a, với a > b > 0. Chøng minh: 2(a4 + b4) > ab3 + a3b + 2a2b2  4(a4 + b4) > 2ab3 + 2a3b + 4a2b2  ( b4 – 2ab3 + a2b2) + (a4 – 2a3b + a2b2) + (3a4 + 3b4 –. 6a2b2)  0 (b2 – ab)2 + (a2 – ab)2 + 3(a2 – b2)2  0 Vậy bất đẳng thức đã cho đúng. . b) Với a > b > 0 thì. a 2  b 2  2ab  b 2 > a. (đúng).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 2. 2. 2. (a - b ) + (2ab – b ) + 2. . a. 2. 2b(a - b) + 2 Vậy bất đẳng thức đã cho đúng. Bµi 6: Chứng minh các bất đẳng thức sau: . a. 2.  b 2 2ab  b 2. .  b 2 2ab  b 2. . . >0. . > a2. (đúng). 2. a). a 2  b  c 2 ab  bc  ca. với mọi a, b, c.. a 8  b8  c 8 1 1 1    3 3 3 a b c a b c (a > 0, b > 0, c > 0) b) c). a). a 2  b2  c 2  d 2  e2 a  b  c  d  e  Chøng minh:. với mọi a, b, c, d, e.. 2. 2. a  b  c 2 ab  bc  ca.  a 2  b2  c 2  ab  bc  ca 0  2a 2  2b 2  2c 2  2ab  2bc  2ca 0. .  .  . .  a 2  b 2  2ab  b 2  c 2  2bc  a 2  c 2  2ca 0 2. 2. 2.   a  b    b  c    c  a  0 2. 2 2 Do đó a  b  c ab  bc  ca. là bất đẳng thức đúng.. b) Áp dụng câu a) ta có: a8 + b8 + c8  a4b4 + b4c 4 + c4a4 = (a2b2)2 + (b2c 2)2 + (c2a2)2   (a2b2) (b2c 2) + (b2c 2)(c2a2) + (c2a2)(a2b2) = a2b2c 2(a2 + b2 + c2)  a2b2c 2(ab +bc + ca) Do đó. a8  b8  c8 a 2b2c 2 (ab  bc  ca )   a3b3c 3 a 3b3c3. a 8  b8  c 8 1 1 1    a 3b3c 3 a b c. a) a2 + b2 + c2 + d2 + e2  a(b + c + d +e)  a2 + b2 + c2 + d2 + e2 – a(b + c + d +e)  0  a2 + b2 + c2 + d2 + e2 – ab – ac – ad – ae  0.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>  a2 2   a2 2   a2 2   a2 2     b  ab     c  ac     d  ad     e  ae  0 4  4  4  4  2. 2. a  a  a    b   c   2  2  2. 2. 2.  a  d     e  0  2 . (Bất đẳng thức đúng) Do đó a2 + b2 + c2 + d2 + e2  a(b + c + d +e) là bất đẳng thức đúng. Bµi 7: Tìm các số nguyên a, b, c thỏa mãn:. a 2  b 2  c 2 ab  3b  2c  4. Chøng minh: Theo giả thiết a, b, c nguyên nên suy ra:. a 2  ab  b 2  3b  3  c 2  2c  1 0. 2. 2. b 2  b    a    3   1   c  1 0 2  2  b b a  ; 1; c 1. 2 2 Suy ra. Hay a = 1; b = 2; c = 1. Bµi 8: Với 4 số a, b, c, d thỏa mãn các điều kiện a2 + b2 = 2 và (a – d)(b – c) = 1 2. Chứng minh rằng: c  d Khi nào dấu “=” xảy ra?. 2.  2ad  2bc  2ab  2 Chøng minh:. 2. 2. c  d  2ad  2bc  2ab  2. (1).  c 2  d 2  2ad  2bc  2ab  2 0 (1) 2. 2.   b  c    a  d   2ab 2  b  c   a  d   2ab 2  2ab 2. 2. 2.   b  c    a  d   2ab a 2  b2  2ab   a  b  0. Bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) đúng.. (2).

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  a 2  b 2 2   a  d   b  c  1   a  d  b  c   a b Dấu “=” xảy ra khi .  a 2 b 2 1  2 2  a  d   b  c  1  c d . Bµi 9: Cho a, b, c là các số thực lớn hơn hay bằng 1 chứng minh rằng:. 1 1 2   a) 1  a 1  b 1  ab 1 1 1 3    3 b) 1  a 1  b 1  c 1  abc Chøng minh:. 1 1 2   a) 1  a 1  b 1  ab 1   1 1   1       1 b  0 1  a 1  ab 1  ab     a . . b. a. 1 a 1.  . b. . . ab. b. . . . a. 1 b 1.  .  . . ab. . . a   b  a  ab b    1  b   1  a  1  ab 2. ab  1    0  1  b   1  a   1  ab  b. b. a. Vì a, b 1 nên tử số 0 (đpcm). a) Áp dụng kết quả trên ta có:. 1 1 2   1  a 1  b 1  ab. . 0. . a   0.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 1 1 2   1  c 1  3 abc 1  6 abc 4  1  1 1 1 3 3     2    6 4 1  a 1  b 1  c 1  3 abc 1  ab 1  abc   4 4   3 1  12 a 4b 4c 4 1  abc Do đó:. 1 1 1 3 4 1 3       1  a 1  b 1  c 1  3 abc 1  3 abc 1  3 abc 1  3 abc ( đpcm). Bµi 10: Chứng minh:. 1 1 2   1  a 2 1  b 2 1  ab a 1; b 1. Chøng minh: Xét hiệu. 1 1 2 1   1 1   1           1  a 2 1  b 2 1  ab  1  a 2 1  ab   1  b 2 1  ab . . . . a  b  a  1  b2  b  a  b  1  a 2 ab  a 2 ab  b 2    1  a 2  1  ab  1  b 2  1  ab  1  a 2 1  b 2  1  ab . . . . . . . 2.  b  a   ab  1 0   1  a 2   1  b2   1  ab  Vì ( a 1; b 1. ) Bµi 11:  x, y, z chøng minh r»ng : a) x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 xy+ yz + zx b) x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 2xy – 2xz + 2yz c) x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 +3 2 (x + y + z). . .

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Chøng minh: a) Ta xÐt hiÖu x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - xy – yz - zx = 1 .2 .( x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - xy – yz – zx) 2. y − z ¿2 x − z ¿2 +¿ ≥ 0 đúng với mọi x;y;z  R x − y ¿ 2+ ¿ ¿ ¿. = 1 2. V× (x-y)2 0 víix ; y DÊu b»ng x¶y ra khi x=y (x-z)2 0 víix ; z DÊu b»ng x¶y ra khi x=z (y-z)2 0 víi z; y DÊu b»ng x¶y ra khi z=y VËy x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 xy+ yz + zx DÊu b»ng x¶y ra khi x = y =z b)Ta xÐt hiÖu x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) ❑2 0 đúng với mọi x;y;z  R VËy x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 2xy – 2xz + 2yz đúng với mäi x;y;z  R DÊu b»ng x¶y ra khi x+y=z c) Ta xÐt hiÖu x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 +3 – 2( x+ y +z ) = x ❑2 - 2x + 1 + y ❑2 -2y +1 + z ❑2 -2z +1 = (x-1) ❑2 + (y-1) ❑2 +(z-1) ❑2 0 Bµi 12: chøng minh r»ng : a). a2 +b2 a+ b ≥ 2 2. 2. ( ). a2 +b2 +c 2 a+ b+c ≥ 3 3. (. ;b). c) H·y tæng qu¸t bµi to¸n Chøng minh: 2. 2. a +b a+b − 2 2 2 2 2 2 ( a + b ) a + 2ab+ b2 − 4 4 1 2 2 2 ( 2 a +2 b − a −b 2 −2 ab ) 4 1 ( a −b )2 ≥ 0 4 a2 +b2 a+ b 2 ≥ 2 2. a) Ta xÐt hiÖu = = = VËy. 2. ( ). ( ). DÊu b»ng x¶y ra khi a=b b)Ta xÐt hiÖu. 2. ).

<span class='text_page_counter'>(10)</span> a2 +b2 +c 2 a+b+ c 2 − 3 3 = 1 [ ( a − b ) 2 + ( b − c )2 + ( c − a ) 2 ] ≥ 0 9 2 2 2 2 VËy a +b +c ≥ a+ b+c 3 3. (. ). (. ). DÊu b»ng x¶y ra khi a = b =c c)Tæng qu¸t a21 +a22 +. .. .+a2n a1 +a2 +. .. .+an ≥ n n. (. ). 2. Tóm lại các bớc để chứng minh A B tho định nghĩa Bíc 1: Ta xÐt hiÖu H = A - B Bớc 2:Biến đổi H=(C+D) ❑2 hoặc H=(C+D) ❑2 +….+(E+F) ❑2 Bíc 3:KÕt luËn A  B Bµi 13: (chuyªn Nga- Ph¸p 98-99) Chứng minh m,n,p,q ta đều có m ❑2 + n ❑2 + p ❑2 + q ❑2 +1 m(n+p+q+1) Chøng minh: m2 m2 m2 m2 − mn+n2 + − mp+ p2 + − mq+q2 + − m+1 ≥ 0 4 4 4 4 2 2 2 2 m m m m ⇔ − n + − p + − q + −1 ≥ 0 (luôn đúng) 2 2 2 2 ⇔. (. (. )(. )(. )(. )(. DÊu b»ng x¶y ra khi. )(. )(. m −n=0 2 m − p=0 2 m −q=0 2 m −1=0 2. ). ). m 2 m p= 2 m q= 2 m=2. { { ⇔. n=. ⇔. Bµi 14:: Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng 2. a) a2 + b ≥ ab 4. b) a2 +b 2+1 ≥ ab+a+ b c) a2 +b 2+ c 2+ d2 + e2 ≥ a ( b +c +d +e ) Chøng minh: 2. a) a2 + b ≥ ab. 4 2 ⇔ 4 a +b ≥ 4 ab 2 ⇔ ( 2 a −b ) ≥ 0 2. 2. 2. ⇔ 4 a − 4 a+b ≥ 0. (bất đẳng thức này luôn đúng). {n=m=2 p=q=1.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 2. VËy a2 + b ≥ ab. (dÊu b»ng x¶y ra khi 2a=b). 4 2 b) a +b 2+1 ≥ ab+a+ b ⇔2(a2 +b2 +1)> 2(ab+ a+b) 2 2 2 2 ⇔ a − 2ab+ b +a −2 a+1+b − 2b +1≥ 0 2 b −1 ¿ ≥0 2 a −1 ¿ +¿ Bất đẳng thức cuối đúng. 2 a −b ¿ + ¿ ⇔¿ VËy a2 +b 2+1 ≥ ab+a+ b. DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=1. c). a2 +b 2+ c 2+ d2 + e2 ≥ a ( b +c +d +e ) ⇔ 4 (a 2+ b2+ c 2+ d 2+ e2 )≥ 4 a ( b+c + d+ e ) ⇔ ( a 2 − 4 ab+ 4 b 2) + ( a2 − 4 ac+ 4 c 2 ) + ( a2 − 4 ad + 4 d 2 ) + ( a 2 − 4 ac +4 c2 ) ≥ 0 ⇔ ( a −2 b )2 + ( a− 2 c )2 + ( a− 2 d )2+ ( a− 2 c )2 ≥ 0. Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh Bµi 15: Chøng minh r»ng: ( a10 +b 10) ( a2+ b2 ) ≥ ( a8 +b 8 )( a4 + b4 ) Chøng minh: 10 10 2 2 8 8 4 ( a +b ) ( a + b ) ≥ ( a +b )( a + b4 ) ⇔ a12 +a10 b2 +a 2 b10 +b 12 ≥ a12+ a8 b4 + a4 b 8+ b12 ⇔ a8 b2 ( a 2 − b2 ) +a2 b8 ( b 2 − a2 ) ≥0 0 ⇔ a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 ⇔ a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4). Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh Bµi 16: cho x.y =1 vµ x.y Chøng minh 2. 0. x2 + y2 x− y. 2 √2. Chøng minh:. 2. x +y 0 ⇒ x2+y2 2 √2 v× :x y nªn x- y x− y 0 ⇔ x2+y2+2- 2 √ 2 ⇒ x2+y2- 2 √ 2 x+ 2 √ 2 y. 2 √ 2 ( x-y). x+ 2 √ 2 y -2. 0 v× x.y=1 nªn 2.x.y=2 ⇔ x2+y2+( √ 2 )2- 2 √ 2 x+ 2 √ 2 y -2xy 2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải ⇒ (x-y- √ 2 ). chøng minh Bài 17: Chứng minh bất đẳng thức sau: a2 +b2 + c2 + d2 + 1 a + b + c + d §¼ng thøc x¶y ra khi nµo? Chøng minh: Ta cã:. 1 2 1 2 2 1 ≥ 0 ⇔ a −a+ ≥ 0 ⇔ a + ≥ a(1) 2 4 4. ( ) a−.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 1 b2 + ≥ b(2) 4 1 c2 + ≥ c (3) 4 1 d 2 + ≥ d(4) 4. t¬ng tù ta cã:. Cộng các đẳng thức (1); (2); (3) và (4) ta đợc: a2 +b2 + c2 + d2 + 1 c + d (dfcm) DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi: a=b=c=d = 1. a+b+. 2. Bµi 18 : Cho ba sè thùc a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a + b + c = 0 Chøng minh r»ng: a3 + a2c – abc + b2c + b3 = 0 Chøng minh: Ta cã: a + b + c = 0 => c = -(a +b) a3 + a2c – abc + b2c + b3 = 0 ⇔a 3+b3 +a2 c +b2 c − abc=0 ⇔ a3 +b3 −(a+b)( a2 +b2 )− abc=0 ⇔ (a+b)( a2 − ab+b 2 − a2 − b2 )− abc=0 ⇔ −ab (a+b)−abc=0 ⇔ −ab .(− c) −abc=0 ⇔ abc −abc=0 ⇔ 0=0 (∗). (*) đúng nên: a3 + a2c – abc + b2c + b3 = 0 (đfcm) 2 2 Bµi 19 : Cho a + b = 2. H·y chøng minh: a  b 2 Chøng minh: Ta cã: a + b = 2 => b = 2 - a 2. a 2  b 2 2. 2. 2. 2. 2. 2− a ¿ −2 ≥ 0 ⇔ a + 4 − 4 a+ a − 2≥ 0 ⇔ 2 a − 4 a+2 ≥ 0 ⇔ a −2 a+1 ≥ 0 ¿ 2 a −1 ¿ ≥0 (∗) ¿ 2 ⇔ a +¿ a 2  b 2 2. (*) đúng nên Bµi 20 : Chøng minh r»ng ta lu«n cã: x4 + y4 + z2 + 1 2x(xy2 – x + z +1) Chøng minh: x4 + y4 + z2 + 1 2x(xy2 - x + z +1) 0 ⇔ x4 + y4 + z2 + 1 - 2x2y2 + 2x2 - 2xz – 2x 4 2 2 4 2 2 2 0 ⇔ (x - 2x y + y ) + (x - 2xz + z ) + (x - 2x + 1) 2 2 2 2 2 0 víi mäi x, y, z. (®fcm) ⇔ (x - y ) + (x - z) + (x - 1). 2 Bµi 21 : Cho a, b, c lµ ba sè thùc: (ab  bc  ca) 3abc(a  b  c) Chøng minh: (ab  bc  ca)2 3abc(a  b  c) ⇔ a2 b 2+ b2 c2 + c2 a2 +2 ab2 c+ 2 a2 bc+2 abc 2 ≥ 3 abc( a+b+ c).

<span class='text_page_counter'>(13)</span> ¿ ⇔ a2 b 2+ b2 c2 + c2 a2 +2 abc( a+b+ c) ≥3 abc (a+ b+c ) ⇔ a2 b2 +b 2 c 2 +c 2 a2 ≥ abc (a+b +c)( ∗) ¿. XÐt a = b = c = 0 (*) 0 = 0 (§óng) XÐt a2b2c2 0 (*). ) 1 1 1 1 1 1 1 ( a 2 b2 +b 2 c 2 +c 2 a2 ) ≥ abc( 2a+b+c ⇔ 2+ 2+ 2 ≥ + + 2 2 2 2 a b c a b c a b c ab bc ac 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 ⇔ 2 + 2 + 2 ≥ + + ⇔ 2 − + 2 + 2 − + 2 + 2 − + 2 ≥0 a b c ab bc ac a ab b b bc c a ac c 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ⇔ − + − + − ≥ 0 (**) a b b c a c (ab  bc  ca )2 3abc(a  b  c ) 2. (. (. )(. )(. )(. )(. ). ). (**) đúng nên: Bµi 22 : Chøng minh r»ng:. (®fcm). (ax+by)2 ( a 2  b 2 )( x 2  y 2 ), x, y, a, b  R. Chøng minh: 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. ( ax+ by ) ≤ ( a +b ) (x + y )⇔ a x +b y +2 abxy ≤ a2 x 2 +a 2 y 2 +b2 x 2+ b2 y 2 ay ¿2 ≥ 0 ⇔ ( bx − ay )2 ≥ 0(∗) ¿ 2 bx ¿ − 2 bx . ay +¿ ⇔ 2 abxy ≤ a2 y 2+ b2 x 2 ⇔ ¿. (*) đúng với mọi x, y, a, b thuộc R. Nên: (ax+by)2 ( a 2  b 2 )( x 2  y 2 ), x, y, a, b  R (®fcm). Bµi 23 : Cho a b, x  y. CMR: ax+by  a  b   x  y     2  2  2 . Chøng minh: ax+by  a  b   x  y     2  2  2 . ⇔. ax + by ax +ay + bx+ by ≥ ⇔ 2 ax+2 by ≥ ax+ ay+ bx + by 2 4. ⇔ ax + by − ay − bx ≥0 ⇔ a(x − y )− b(x − y)≥ 0 ⇔( x − y ) ( a −b ) ≥ 0 ¿ a ≥b x≥ y ⇔ Do ¿ a −b ≥ 0 x − y ≥0 ¿{ ¿. _______________.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> ( x − y) ( a −b ) ≥ 0(∗) ax+by  a  b   x  y     2  2   2  (®fcm) (*) đúng, nên: a 2  b2  c 2  d 2  (a  c)2  (b  d )2. Bµi 24 : Chøng minh:. Chøng minh: 2. b+ d ¿ a+c ¿2 +(¿ ¿) ¿ ¿2 ¿ ¿ √¿ ¿ ¿ 2 2 2 ⇔ ( √ a + b + √ c 2+ d 2 ) ≥ ¿. Trờng hợp 1: ac + bd <0 suy ra: (*) đúng Trêng hîp 2: ac+ bd ≥ 0 (∗) ⇔ ( a 2+ b2 ) (c 2 +d 2 )≥ a2 c 2+ b2 d 2+2 abcd ⇔ a2 c 2 +a 2 d 2 +b2 c 2 +b2 d 2 ≥ a2 c 2+ b2 d 2+ 2abcd ⇔a 2 d 2 +b2 c 2 − 2abcd ≥ 0 ⇔( ad − bc)≥0 (**) 2 2 2 2 2 2 (**) đúng, (*) đúng nên: a  b  c  d  (a  c)  (b  d ) 2 2 2 2 Bµi 25 : Chøng minh r»ng: ( x  y  z ) 3( x  y  z ) , x, y, z  R Chøng minh:. ( x+ y+ z )2 ≤3 (x 2+ y 2 + z 2 )⇔ x 2 + y 2 + z 2+ 2 xy+2 yz+2 xz ≤ 3 x 2+2 y 2 +2 z 2 ⇔( x 2 − 2 xy+ y 2)+( x 2 −2 xz + z 2)+( y 2 −2 yz+ z 2) ≥ 0 y − z ¿2 ≥ 0. . .. . ∀ x , y , z ∈ R (∗) ¿ x − z ¿ 2+ ¿ 2 x− y¿ +¿ ⇔¿ 2 2 2 2 (*) đúng, nên: ( x  y  z ) 3( x  y  z ) , x, y, z  R (đfcm). Bµi 26 : Chøng minh r»ng, nÕu a 0; b 0 th×: a  b a 2  b 2 a 3  b3 .  2 2 2. Chøng minh: a  b a 2  b 2 a 3  b3 .  2 2 2.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 2. 2. a+b a +b a+b ( 2 . ≤ . a −ab+ b2 ) 2 2 2 ¿ a+b 2 a2+ b2 ⇔ a − ab+b 2 − ≥0 2 2. ⇔. (. ). a+b 2 a2 −2 ab+2 b2 −a 2 − b2 ≥0 2 2 a −b ¿2 ≥ 0. . .. ..(∗) 2 2 a+b (a − 2ab+ b ) ⇔ . ≥0 ⇔ ( a+b ) . ¿ 2 2 ⇔. (. ). a  b a 2  b 2 a 3  b3 .  2 2 (*) đúng với mọi a 0; b 0 nên: 2 (®fcm) x y  x  y  0 1  x 1 y Bµi 27 : Chøng minh r»ng, nÕu th×. Chøng minh: Do: x  y 0 nên: 1 + x >0 ; 1 + y> 0 do đó: x y  1 x 1 y. ⇔ x (1+ y )≥ y (1+ x) ⇔ x + xy − y − xy ≥ 0 ⇔ x − y ≥0 ⇔ x ≥ y (∗). x y  (*) đúng nên: 1  x 1  y (đfcm). Bµi 28 : Chøng minh r»ng: a b  2 a. NÕu a, b lµ hai sè cïng dÊu th×: b a a b  2 b. NÕu a, b lµ hai sè tr¸i dÊu: b a. Chøng minh: a) Ta cã: (a - b) ab>0. nªn:. 2. 2. 2. 0 ⇔a + b ≥ 2 ab >0 a b a 2+ b2 2 ab + = ≥ =2( dfcm) b a ab ab. a b  2 b a. b) 2. a− b ¿ ≥0 ; ∀ a , b 2 2 2 a b a +b a + b2 ⇔ + = ≤ 2 ⇔ab ≥ 2. ab ⇔ a2+ b2 ≥ 2 ab ⇔ a2 − 2ab+ b2 ≥0 ⇔ ¿ b a ab ab x Bµi 29 : Chøng minh r»ng víi x>1 ta cã 2 √x− 1. (. ).

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Chøng minh: 2. x −2 ¿ ≥ 0 ; ∀ x >1(dfcm) x 2 2 ≥ 2⇔ x ≥ 2 √ x − 1 ⇔ x ≥ 4 x −4 ⇔ x − 4 x +4 ≥0 ⇔ ¿ √x− 1 Bµi 30 : Cho a + b + c = 0 vµ abc 0 . Chøng minh r»ng:. 1 1 1  2  2 0 2 2 2 2 b  c  a c  a  b a  b2  c2 Chøng minh: 2. b +c ¿ 2 ¿ 2 b +c 2 − ¿ Ta cã: 1 1 = 2 2 2 b +c − a ¿ 1 1 1 1 ; 2 2 2 =− T¬ng tù: 2 2 2 =− 2 ac 2 ab c +a − b a +b − c. 1 1 1  2  2 0 2 2 2 2 c  a  b a  b2  c2 Nªn: b  c  a 2. 1 1 1 − − =0 2 bc 2ac 2 ab a+b +c 0 ⇔ =0 ⇔ =0 ⇔ 0=0(dfcm) abc abc ⇔−. Bµi 31 : Chøng minh r»ng nÕu a = b + 1 th×: (a + b)(a2 + b2)(a4 + b4) = a8 – b8 Chøng minh: Ta cã: a = b + 1 hay a - b = 1 a8 - b8 = (a4)2 - (b4)2 = (a4 - b4)(a4 + b4) = (a2 - b2)(a2 + b2)(a4 + b4) = (a - b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4) a8 - b8 = (a + b) )(a2 + b2)(a4 + b4) (®fcm) Bµi 32 : Cho a + b + c = 0. Chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 = 3abc Chøng minh: Ta cã: c = - (a + b) Biến đổi vế trái: a3 + b3 + c3 = a3 + b3 - (a + b)3 = a3 + b3 - a3 - 3a2b - 3ab2 - b3 = -3a2b – 3ab2 = -3ab(a + b) = -3ab.(-c) = 3abc (®fcm) Bµi 33 : Cho abc = 1 vµ a3>36 Chøng minh r»ng: 2. a +b 2+ c 2> ab+ bc+ca 3 2. a +b 2+ c 2> ab+ bc+ca 3. Chøng minh:.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 2. ⇔ ⇔. a +b2 +c 2 −ab − bc − ca> 0 3. a2 2 2 a2 +b +c − ab −ac +2 bc − 3 bc + >0 4 12 2 2 a a ⇔ −b − c + −3 bc>0 2 12. (. ). 2. 2. a a 3 −b − c + − >0 2 12 a 2 3 a a −36 ⇔ − b −c + > 0(∗) 2 12 a ⇔. (. ). (. ). Do a3>36 => a>0 ; a3 – 36 >0 nên: (*) đúng, 2 vËy: a +b 2+ c 2> ab+ bc+ca (®fcm) 3. D¹ng 2 : Dïng ph¬ng ph¸p ph¶n chøng * Ph¬ng ph¸p : Giả sử cần phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng . Ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với giả thiết để suy ra điều vô lí . Điều vô lí có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái với một điều đúng ,cũng có thể là sai hay vô lí vì hai điều trái ngợc nhau . Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng .. * Bµi tËp vËn dông : Bµi 1 : Cho a2 + b2. 2 . Chøng minh r»ng : a + b. 2. Chøng minh: Giả sử a + b > 2, bình phơng hai vế (hai vế đều dơng ) ta đợc : a2 + 2ab + b2 > 4 (1) 2 2 2 2 MÆt kh¸c ta cã : 2ab a + b ⇒ a + b + 2ab 2( a2 + b2 ) Mµ 2( a2 + b2) 4 ( giả thiết) , do đó a2 + 2ab + b2 4 m©u thuÉn víi (1) VËy ®iÒu gi¶ sö lµ sai. VËy a + b 2 Bµi 2 : Chøng minh r»ng nÕu a1a2 2( b1 + b2 ) th× Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh x2 + a1x + b1 = 0 x2 + a2x + b2 = 0 cã nghiÖm ..

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Chøng minh: Giả sử cả hai phơng trình đã cho vô nghiệm Khi đó : Δ 1 = a12 - 4b1 < 0 Δ 2 = a22 - 4b2 < 0 => a12 + a22 - 4b1 - 4b2 < 0 ⇔ a12 + a22 < 4( b1 - b2 ) Theo gi¶ thiÕt ta cã 2( b1 - b2 ) a1a2 => 4( b1 - b2 ) 2 2 Do đó : a1 + a2 2a1a2 => a12 + a22 - 2a1a2 0 => ( a1 - a2)2 0 ( v« lÝ ). 2a1a2. Vậy ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm .. Bài 3 : Chứng minh rằng trong ba bất đẳng thức sau ít nhất có một bất đẳng thức đúng : a +b 2. 2. b+ c ¿2 ¿ ¿ ¿. 2. c +a ¿2 ¿ ¿ ¿. c2 + a2. a+b ¿ 2 ¿ ¿ ¿. b +c 2. Chøng minh: Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều sai . Ta có : a2 + b2 <. b+ c ¿2 ¿ ¿ ¿. (1). b2 + c2 <. c +a ¿2 ¿ ¿ ¿. (2). c +a <. a+b ¿ ¿ ¿ ¿. 2. 2. 2. (3).

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Cộng vế với vế (1) , (2) ,(3) ta đợc :. a2+ b2 + b2 + c2 + a2 + c2 <. a+b ¿ 2 ¿ c +a ¿2 +¿ b+c ¿2 +¿ ¿ ¿. ⇔. 4( a2+ b2 + c2 ) < 2( a2+ b2 + c2 ) + 2ab + 2bc + 2ca ⇔ 2a2+ 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca < 0 ⇔ ( a2 -2ab + b2 ) + (b2 -2bc + c2 ) + ( a2 -2ac + c2 ) < 0 ⇔ ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( a - c ) 2 < 0 ( v« lÝ ) Vậy trong ba bất đẳng thức trên có ít nhất một bất đẳng thức đúng . Bµi 4 : Cho ba sè thùc a, b, c tho¶ m·n: a  b  c > 0 ; abc = 1 vµ a + b+ c > 1 + 1 + 1 a b c Chøng minh a + b > ab + 1. Chøng minh: C¸ch 1: a  1  a . 1 a ,abc>0b. a + b + c 1 + 1 + 1 m©u thuÉn a b c a>1 NÕu b 1  a - 1 > 1 - 1 ; b - 1 1 - 1 a 1 (a – 1)(b – 1) (1− )(1 − 1 ) a b 1 1 1 − + ab – a – b + 1  1 a b ab 1 - a – b  - 1−1 + c c a b 1 1 1 + +  a + b + c m©u thuÉn a b c. b.  b < 1  (a - 1)(b - 1) < 0  ab - a - b + 1 < 0 a + b > ab + 1 C¸ch 2: Ta cã: Do. ¿ a≥ b ≥ c ≻ 0 abc=1 => c<1 ⇔1 − c> 0 ¿{ ¿. 1 b. 1 vµ c  c.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Nªn: 1 =bc a ¿ 1 =ac b 1 =ab c ¿ _________________________________ 1 1 1 ¿ + + =bc +ac+ ab=c( a+b)+ab< a+b+ c ⇔ (a+ b)(1− c)> ab− c a b c +{ { ¿ ¿ ¿¿. Bµi 5 : Cho ba sè a,b,c tháa m·n a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0 Chøng minh r»ng a > 0 , b > 0 , c > 0 Chøng minh: Gi¶ sö a 0 thì từ abc > 0 ⇒ a 0 do đó a < 0 Mµ abc > 0 vµ a < 0 ⇒ cb < 0 Tõ ab+bc+ca > 0 ⇒ a(b+c) > -bc > 0 V× a < 0 mµ a(b +c) > 0 ⇒ b + c < 0 a < 0 vµ b +c < 0 ⇒ a + b +c < 0 tr¸i gi¶ thiÕt a+b+c > 0 VËy a > 0 t¬ng tù ta cã b > 0 , c > 0 Bµi 6 : Cho 4 sè a , b , c ,d tháa m·n ®iÒu kiÖn ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thøc sau lµ sai: 2 2 , a <4 b c <4 d Chøng minh: Giả sử 2 bất đẳng thức : a2 < 4 b , c 2< 4 d đều đúng khi đó cộng các vế ta đợc 2 2 (1) a +c <4 (b +d) Theo gi¶ thiÕt ta cã 4(b+d) 2ac (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ a2 +c 2 <2 ac hay ( a − c )2 <0 (v« lý) 2 2 Vậy trong 2 bất đẳng thức a < 4 b và c <4 d có ít nhất một các bất đẳng thức sai Bµi 7 : Cho x,y,z > 0 vµ xyz = 1. Chøng minh r»ng NÕu x+y+z > 1 + 1 + 1 th× cã mét trong ba sè nµy lín h¬n 1 x y z Chøng minh: Ta cã (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> =x + y + z – ( 1 + 1 + 1 ) v× xyz = 1 x. y. z. 1 1 1 + + x y z. theo gi¶ thiÕt x+y +z > nªn (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong ba sè x-1 , y-1 , z-1 chØ cã mét sè d¬ng ThËt vËy nÕu c¶ ba sè d¬ng th× x,y,z > 1 ⇒ xyz > 1 (tr¸i gi¶ thiÕt) Còn nếu 2 trong 3 số đó dơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý) VËy cã mét vµ chØ mét trong ba sè x , y,z lín h¬n 1. * Bµi tËp bæ sung :. Bµi 1 : Cho a3 + b3 = 2. chøng minh r»ng a + b 2 Bài 2 : Cho ba số a , b ,c khác nhau đôi một. Chứng minh rằng tồn tại mét trong c¸c sè 9ab, 9bc, 9ca nhá h¬n ( a + b + c )2 Bµi 3 : Chøng minh r»ng nÕu a + b + c > 0, abc > 0, ab + bc + ca > 0 th× a > 0, b > 0 , c > 0.

<span class='text_page_counter'>(22)</span>