Bat Dang Thuc Dai So 10

Chuyên đề : bất đẳng thức đại số
Dạng 1: dùng định nghĩa để chứng minh bất đẳng thức.
Chú ý các tính chất sau:

( )
2
a b 0
;
2 2 2
A B C 0+ + +
;
2 2 2
A B C 0 ,( 0)+ + + + > >
; Tích các số không âm
là số không âm ; Các hằng đẳng thức đáng nhớ ! Kĩ thuật nhóm, tách các hạng tử để đa về dạng
hằng đẳng thức .
Bài 1 : Chứng minh các Bất đẳng thức sau:
a)
2
2 2
a b a b
2 2
+ +


ữ

b)
3
3 3
a b a b

2 2
+ +


ữ

c)
2 2
a b 2ab+
c)
2 2 2
a b b ab bc ca+ + + +
d)
( )
2 2 2
a b c 3 2 a b c+ + + + +
e)
( )
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e+ + + + + + +
f)
2 2
a b 1 ab a b+ + + +
Bài 2 : Chứng minh các BĐT sau:
a)
2 2 2
a b c 2ab 2ac 2bc+ + +
b)
2
2 2

a
b c ab ac 2bc
4
+ + +
c)
2 2
a 2b 2ab 2a 4b 2 0+ + +
d)
2 2
a 5b 4ab 2a 6b 3 0+ + + >
e)
( )
4 4 2 2
x y z 1 2x xy x x 1+ + + + +
f)
Bài 3 : Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh các BĐT sau:
a)
( )
2 2 2
ab bc ca a b c 2 ab bc ca+ + + + + +
b)
( ) ( ) ( )
abc a b c b c a c a b + + +
c)
( )
2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 a b b c c a a b c 0+ + >

d)
( ) ( ) ( )

2 2 2
3 3 3
a b c b c a c a b 4abc a b c + + + + +

e)
( ) ( ) ( )
2 2 2
a b a b b c b c c a c a 0 + +
f)
( ) ( ) ( )
3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3
a b c abc a b c b a c c a b a b c 2abc+ + + + + + + + > + + +
Bài 4 : Chứng minh:
( ) ( ) ( ) ( )
x 1 x 3 x 4 x 6 10 0 + >
với mọi số thực x.
Bài 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
P x xy y 3x 3y 1998= + + +
Bài 6 : Cho abc=2 và
3
a 72>
. CMR:
2
2 2
a
b c ab bc ca
3
+ + > + +
.

Bài 7 : CMR:
a) Nếu
2 2
a b 2+
thì
a b 2
+
b) Với a b thì
3 2 2 3
2
a ab a b b
b
a b
+



c) Nếu
x 1, y 1
thì
x y 1 y x 1 1 xy +
d) Nếu
0 x y z<
. CM:
( ) ( )
1 1 1 1 1
y x z x z
x z y x z

+ + + + +

ữ ữ

e) Nếu
2 2 2
a b c 1+ + =
thì :
1
ab bc ca 1
2
+ +
.
f) Cho a > 0. CMR:
5 2
a a 3a 5 0 + >
Bài 8 : Cho a, b, c là các số thực trong đoạn [0 ; 1]. CMR:
2 2 2 2 2 2
a b c 1 a b b c c a+ + + + +
Bài 9 : CMR: Nếu ab+ bc+ ca =1 thì
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 a 1 b 1 c+ + +
bằng bình phơng của một số thực
( a, b, c là các số thực).
Bài 10 : Tìm các số a, b, c, d biết rằng :
2 2 2 2
2
a b c d ab bc cd d 0
5
+ + + + =
.

Bài 11 : Cho các số dơng a, b, c. CMR:
a b c
1 2
b c a c a b
< + + <
+ + +
.
Bài 12 : Cho các số thực a, b, c, m, n, p thỏa mãn điều kiện :

ap 2bn cm 0 + =
và
2
ac b 0 =
. CMR:
2
mp n 0
.
Bài 13 : Cho các số dơng thỏa mãn: a> b và
c ab
. CMR:
2 2 2 2
a c b c
a c b c
+ +

+ +
.
Dạng 2: dùng các bđt:
( )
1

a 2, a 0
a
+ >
;
( )
a b
2, a.b 0
b a
+ >
Bài 14 : Chứng minh các BĐT sau: (với a, b, c là các số dơng)
a)
( )
1 1
a b 4
a b

+ +
ữ

b)
( )
1 1 1
a b c 9
a b c

+ + + +
ữ

c)
( )

( )
2 2 2
a b c a b c 9abc+ + + +
d)
bc ac ab
a b c
a b c
+ + + +
e)
a b c 3
b c a c a b 2
+ +
+ + +
f)
2 2 2
a b c a b c
b c a c a b 2
+ +
+ +
+ + +

g)
4 4 4 9
a 2b c 2a b c a b 2c a b c
+ +
+ + + + + + + +
;
h)
a b c 1 1 1
bc ac ab a b c

+ + + +
i)
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a
b c a
+ + + +

Bài 15 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a)
( ) ( )
( )
4x 1 4 x
P , x 0
x
+ +
= >
b)
( )
2
x 2x 1
Q , x 2
x 2
+ +
= >
+
c)
2
2

1
T a 4 a
a a 1
= + +
+
.
Bài 16 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
4 2
x
U
x x 1
=
+ +
.
Dùng bất đẳng thức để tìm gtln, gtnn của biểu thức & hàm số .
Bài 17 : Tìm GTNN của :
a)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
f x, y x y 1 x 1 y 2= + + +
b)
( )
2 2 2
f x, y x y x 2xy 4x 1= + +
c)
( )
2 2
2 2
4y 4x 6xy

f x, y
x y
+
=
+
.
Bài 18 : Tìm GTLN của :
a)
( )
2
f x 3 4x x= +
b)
( ) ( ) ( )
f x x 3 15 x=
c)
( )
2
2 2
3x 4xy
f x, y
x y
+
=
+
Bài 19 : Tìm GTNN của :
a)
( ) ( )
2
x 4x 4
f x x 0

x
+ +
= >
b)
( ) ( )
3
2
x 1
f x x 0
x
+
= >
c)
( ) ( )
x 5
f x 0 x 1
1 x x
= + < <

d)
( )
f x tgx cot gx= +
(x là góc nhọn)
Bài 20 : Tìm GTLN của :
a)
( ) ( ) ( )
f x 2x 1 3 5x=
b)
( ) ( ) ( )
3

f x 1 x 1 x= +
c)
( )
2
x
f x
x 2
=
+
d)
( )
( )
2
3
2
x
f x
x 2
=
+
e)
( ) ( ) ( )
2 2
f x a x a x 0 x a= +
Bài 21 : Tìm GTLN, GTNN của :
a)
( ) ( )
f x 3 x 1 4 5 x 1 x 5= +
b)
( )

( )
2
f x 3x 4 3 x 3 x 3= +
c)
( )
( )
o o
f x 3sin x 4cos x 2 0 x 180= + + < <
Bài 22 : Cho
( )
2 2
x y 2, x 0, y 0+ = > >
. Hãy tìm :
a) GTNN của :
1 1
A
x y
= +
b) GTLN của :
( )
B x y xy= +
c) GTLN của :
2
C xy=
Bài 23 : Cho xy= 4 , (x>0, y>0). Hãy tìm GTNN của :
a)
2 2
A x y= +
b)
4 4

B x y= +
c)
( ) ( )
C x 1 4y 3= + +
d)
2 2
D x y x 9 y y 9 x= + + + + +
Bài 24 : Cho 2 số thực dơng a và b. Tìm GTNN của :
a)
( ) ( )
( )
a x b x
y , x 0
x
+ +
= >
b)
b
y ax , x 0
x
= + >
c)
( )
b
y ax , x a
x a
= + >
+
d)
y 2 x 1 x 2 x 3= + +

e)
y x 1 x 2 x 3 x 4= + + +