Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (30.99 MB, 681 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. Chuyên đề 28. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 Lý thuyết chung 1. Hệ trục tọa độ Oxyz: Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy , Oz đôi một vuông góc nhau. Trục Ox : trục hoành, có vectơ đơn vị i (1;0;0) . Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j (0;1; 0) . Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k (0; 0;1). Điểm O (0; 0; 0) là gốc tọa độ. 2. Tọa độ vectơ: Vectơ u xi y j zk u ( x; y; z ) .. . . Cho a (a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ) . Ta có: a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ) a cùng phương b a kb (k R) ka (ka1; ka2 ; ka3 ) a1 kb1 a1 b1 a a a a2 kb2 1 2 3 , (b1 , b2 , b3 0). a b a2 b2 b1 b2 b3 a kb a b 3 3 3 3 2 a 2 a a12 a22 a32 a.b a1.b1 a2 .b2 a3.b3 a a12 a22 a22 a1b1 a2b2 a3b3 a.b cos(a , b ) a b a.b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 2 a .b a1 a22 a32 . b12 b22 b32 3. Tọa độ điểm: M ( x; y; z ) OM ( x; y; z ) . Cho A( xA ; y A ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có:. . AB ( xB xA ; yB yA ; zB z A ). AB ( xB xA )2 ( yB y A )2 ( zB z A ) 2. Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: x x x y yB yC z A z B zC x x y yB z A z B M A B; A ; G A B C ; A ; . . 2 2 2 3 3 3 QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT Chiếu điểm trên trục tọa độ Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ Chieá u vaø o Ox Chieáu vaø o Oxy Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M1 ( xM ;0;0) M1 ( xM ; yM ;0) ( Giữ nguyê n x ) ( Giữ nguyên x , y ) Chieáu vaø o Oy Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M 2 (0; yM ;0) ( Giữ nguyê n y ). Chieáu vaø o Oyz Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M 2 (0; yM ; zM ) ( Giữ nguyê n y, z ). Chieá u vaøo Oz Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M 3 (0;0; zM ) ( Giữ nguyê n z ). Chieáu vaø o Oxz Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M 3 ( xM ;0; zM ) ( Giữ nguyê n x , z ). Đối xứng điểm qua trục tọa độ . Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ Đối xứng qua Oxy M ( xM ; yM ; zM ) M1 ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyê n x , y; đổi dấu z ). Đố i xứng qua Ox M ( xM ; yM ; zM ) M1 ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyên x ; đổi dấ u y, z ). Đối xứng qua Oxz M ( xM ; yM ; zM ) M 2 ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyê n x , z; đổi dấ u y ). . Đối xứng qua Oyz M ( xM ; yM ; zM ) M 3 ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyê n y, z ; đổi dấ u x ). Đối xứng qua Oy M ( xM ; yM ; zM ) M 2 ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyê n y; đổ i dấ u x , z ). Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(2)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Đố i xứng qua Oz M ( xM ; yM ; zM ) M 3 ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyê n z; đổi dấ u x , y ). 4. Tích có hướng của hai vectơ: Định nghĩa: Cho a (a1 , a2 , a3 ) , b (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng của a và b là: a a3 a3 a1 a1 a2 a, b 2 ; ; a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 . b2 b3 b3 b1 b1 b2 [a, b] a . b .sin a , b Tính chất: [ a, b] a [ a, b] b Điều kiện cùng phương của hai vectơ a & b là c a , b Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ và là a, b 0 với 0 (0;0;0). [a, b].c 0. Diện tích tam giác ABC: Diện tích hình bình hành 1 S ABC AB, AC . ABCD: S ABCD AB, AD . 2 1 Thể tích khối hộp: VABCD. A ' B 'C ' D ' [ AB, AD]. AA ' . Thể tích tứ diện: VABCD AB, AC . AD . 6. Dạng 1. Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ Dạng 1.1 Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng, đường thẳng Câu 1.. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm. M 2; 2;1 trên mặt phẳng Oxy có tọa độ là A. 2;0;1 . Câu 2.. B. 2; 2;0 .. C. 0; 2;1 .. D. 0;0;1 .. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm. M 2;1; 1 trên mặt phẳng Ozx có tọa độ là A. 0;1;0 . Câu 3.. B. 0;0;5 .. C. 1;0;0 .. D. 0; 2;5 .. B. 3;0;0 .. C. 0; 0;1 .. D. 0; 2;0 .. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A 3;5; 2 trên trục Ox có tọa độ là A. 0;5; 2 .. Câu 6.. D. 2;0; 1 .. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A 3; 2;1 trên trục Ox có tọa độ là: A. 0; 2;1 .. Câu 5.. C. 0;1; 1 .. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A 1; 2;5 trên trục Ox có tọa độ là A. 0; 2;0 .. Câu 4.. B. 2;1;0 .. B. 0;5; 0 .. C. 3;0;0 .. D. 0; 0; 2 .. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A(8;1; 2) trên trục Ox có tọa độ là A. (0;1; 0) .. B. (8;0;0) .. C. (0;1;2) .. D. (0;0; 2) .. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(3)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 7.. (Mã 101 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz . Điểm nào sau đây là hình chiếu vuông góc của điểm A(1; 4; 2) trên mặt phẳng Oxy ? A. (0;4; 2) .. Câu 8.. B. (1; 4;0) .. C. (1;0; 2) .. D. (0;0;2) .. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm A 3;5; 2 trên mặt phẳng Oxy ? A. M 3; 0; 2 . Câu 9.. B. 0;0; 2 . C. Q 0;5; 2 . D. N 3;5;0 . (Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm A1;2;3 trên mặt phẳng Oxy . A. Q 1;0;3. Câu 10.. B. P 1;2;0. C. M 0;0;3. D. N 0;2;3. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm A 3; 4;1 trên mặt phẳng Oxy ? A. Q 0;4;1 .. Câu 11.. B. P 3;0;1 .. C. M 0;0;1 .. D. N 3; 4;0 .. (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 3;1; 1 trên trục Oy có tọa độ là. A. 3;0; 1 . Câu 12.. B. 0;1; 0 .. C. 3; 0;0 .. D. 0;0; 1 .. (Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 2;1; 1 trên trục Oy có tọa độ là. A. 0;0; 1 . Câu 13.. D. 2;0;0 .. B. 0;0;1 .. C. 0; 1;0 .. D. 3;0;0 .. (Mã 101 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 2;1; 1 trên trục. Oz có tọa độ là A. 2; 0;0 . Câu 15.. C. 0;1;0 .. (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 3; 1;1 trên trục. Oz có tọa độ là A. 3; 1;0 . Câu 14.. B. 2;0; 1 .. B. 0;1; 0 .. C. 2;1; 0 .. D. 0;0; 1 .. (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3; 1;1 . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oyz là điểm A. M 3;0;0. Câu 16.. B. N 0; 1;1. C. P 0; 1;0. D. Q 0;0;1. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng tọa độ Oyz ? A. M 3;4;0 .. Câu 17.. B. P 2;0;3 .. C. Q 2;0;0 .. D. N 0;4; 1 .. (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho M 4;5;6 . Hình chiếu của M xuống mặt phẳng Oyz là M . Xác định tọa độ M . A. M 4;5;0 .. B. M 4;0;6 .. C. M 4;0;0 .. D. M 0;5;6 .. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 18.. (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M x; y; z . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu M đối xứng với M qua mặt phẳng Oxz thì M x; y; z . B. Nếu M đối xứng với M qua Oy thì M x; y; z . C. Nếu M đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy thì M x; y ; z . D. Nếu M đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì M 2 x;2 y;0 .. Câu 19.. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , tọa độ điểm đối xứng của. M 1; 2; 3 qua mặt phẳng Oyz là A. 0; 2; 3 . Câu 20.. B. 1; 2; 3 .. C. 1; 2; 3 .. D. 1; 2;3 .. (Chuyên Hạ Long 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2; 3;5 . Tìm tọa độ A là điểm đối xứng với A qua trục Oy . A. A 2;3;5 .. B. A 2; 3; 5 .. C. A 2; 3;5 .. D. A 2; 3; 5 .. Dạng 1.2 Xác định tọa độ vectơ, độ dài vec tơ Câu 21.. (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1; 2 và B 2; 2;1 . Vectơ AB có. tọa độ là A. 1; 1; 3. B. 3;1;1. C. 1;1;3. D. 3;3; 1. Câu 22.. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1;1; 1 và B 2;3; 2 . Vectơ AB có tọa độ là A. 1; 2; 3 B. 1; 2; 3 C. 3;5;1 D. 3; 4;1. Câu 23.. (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A 2;2;1 . Tính độ dài đoạn thẳng OA . A. OA 5. Câu 24.. Câu 25.. B. OA 5. C. OA 3. D. OA 9. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba vecto a 1; 2;3 ; b 2; 2; 1 ; c 4; 0; 4 . Tọa độ của vecto d a b 2c là A. d 7;0; 4 B. d 7;0; 4 C. d 7; 0; 4 D. d 7;0; 4 . (THPT Ba Đình 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 0;1; 1 , B 2;3; 2 . Vectơ AB có tọa độ là A. 2; 2;3 .. Câu 26.. C. 3;5;1 .. D. 3;4;1 .. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz cho a 2;3;2 và b 1;1; 1 . Vectơ a b có tọa độ là. A. 3;4;1 . Câu 27.. B. 1; 2;3 .. B. 1; 2;3 .. C. 3;5;1 .. D. 1;2;3 .. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a 2; 3;3 , b 0; 2; 1 , c 3; 1;5 . Tìm tọa độ của vectơ u 2a 3b 2c . A. 10; 2;13 .. B. 2; 2; 7 .. C. 2; 2;7 .. D. 2; 2;7 .. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(5)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 28.. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho. a i 2 j 3k . Tọa độ của vectơ a là. A. 1; 2; 3 .. B. 2; 3; 1 .. C. 2; 1; 3 . D. 3; 2; 1 . Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a 2; 3; 3 , b 0; 2; 1 , c 3; 1; 5 . Tìm tọa độ của vectơ u 2a 3b 2c . A. 10; 2;13 .. B. 2; 2; 7 .. C. 2; 2; 7 .. D. 2; 2; 7 .. Câu 30.. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ x 2;1; 3 và y 1;0; 1 . Tìm tọa độ của vectơ a x 2 y . A. a 4;1; 1 . B. a 3;1; 4 . C. a 0;1; 1 . D. a 4;1; 5 .. Câu 31.. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian O xyz , cho A 2; 1;0 và B 1;1; 3 . . Vectơ AB có tọa độ là A. 3;0; 3 . Câu 32.. B. 1;2; 3 .. C. 1; 2;3 .. D. 1; 2;3 .. (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz cho A 2; 2;1 , B 1; 1;3 . Tọa độ vecto AB là:. A. ( 1;1; 2). .. B. ( 3;3; 4). .. C. (3; 3; 4). .. D. (1; 1; 2) Câu 33. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian Oxyz với i, j , k lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục Ox , Oy , Oz . Tính tọa độ của vecto i j k . A. i j k (1; 1;1). B. i j k ( 1;1;1). C. i j k (1;1; 1). D. i j k (1; 1;1). Câu 34.. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz giả sử u 2i 3 j k , khi đó tọa độ véc tơ u là A. 2;3;1 .. Câu 35.. B. 2;3; 1 .. C. 2; 3; 1 .. D. 2;3;1 .. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho a 1; 2;1 và b 1;3;0 . Vectơ c 2a b có tọa độ là A. 1; 7;2 .. B. 1;5;2 .. C. 3; 7;2 .. D. 1; 7;3 .. Câu 36.. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho a i 2 j 3k . Tọa độ của vectơ a là: A. a 1; 2; 3 . B. a 2; 3; 1 . C. a 3; 2; 1 . D. a 2; 1; 3 .. Câu 37.. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 3;1 , B 3;0; 2 . Tính độ dài AB . A. 26.. Câu 38.. B. 22.. C.. 26 .. D.. 22.. (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 1 ,. B 1; 4;3 . Độ dài đoạn thẳng AB là A. 2 13. B.. 6. C. 3. D. 2 3. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(6)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 39.. (Hội 8 trường chuyên 2019) Trong không gian Oxyz, cho a 2; 2;0 , b 2; 2;0 , c 2; 2; 2 . Giá trị của a b c bằng A. 6.. Câu 40.. B. 11 .. C. 2 11 . D. 2 6 .. (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A 1;3;5 ,. B 2; 2;3 . Độ dài đoạn AB bằng A.. 7.. B.. 8.. C.. 6.. D.. 5.. Dạng 1.3 Xác định tọa độ điểm Câu 41. (Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;3 và B 2; 2;7 . Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là A. 4; 2;10 Câu 42.. B. 1;3;2 . C. 2;6; 4 . D. 2; 1;5. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 3; 4;0 ,. B 1;1;3 , C 3,1, 0 . Tìm tọa độ điểm D trên trục hoành sao cho AD BC . A. D 6;0;0 , D 12;0;0 . B. D 0;0;0 , D 6;0;0 . C. D 2;1;0 , D 4;0;0 . D. D 0;0;0 , D 6;0;0 . Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3; 2;3 và B 1; 2;5 . Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB . A. I 1;0; 4 . B. I 2;0;8 . Câu 44.. C. I 2; 2; 1 .. D. I 2;2;1 .. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 3; 2;3 và. B 1; 2;5 . Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là : A. I 2; 2;1 . Câu 45.. B. I 1;0;4 .. C. I 2;0;8 .. D. I 2; 2; 1 .. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 1;3; 2 , B 3; 1; 4 . Tìm tọa độ trung điểm I của AB.. A. I 2; 4; 2 .. B. I 4; 2;6 .. C. I 2; 1; 3 .. D. I 2;1;3 .. Câu 46. Trong không gian cho hệ trục toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;3 , B 1; 2;5 , C 0; 0;1 . Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC . A. G 0;0;3 .. B. G 0;0;9 .. C. G 1;0;3 .. D. G 0;0;1 .. Câu 47. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A 1;3; 2 , B 3; 1; 4 . Tìm tọa độ trung điểm I của AB . A. I 2; 4; 2 .. B. I 4;2;6 .. C. I 2; 1;3 .. D. I 2;1;3 .. Câu 48. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;3 và B 2; 2;7 . Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là A. 1;3;2 . Câu 49.. B. 2; 1;5 .. C. 2; 1; 5 .. D. 2;6; 4 .. (THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A 1;3; 4 , B 2; 1; 0 , C 3;1; 2 . Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(7)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. G 2;1; 2 . Câu 50.. B. G 6;3; 6 .. 2 C. G 3; ;3 . 3 . D. G 2; 1; 2 .. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác. ABC biết A 5; 2;0 , B 2;3;0 , C 0;2;3 . Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ: A. 1; 2;1 . Câu 51.. B. 2;0; 1 .. C. 1;1;1 .. D. 1;1; 2 .. (Chuyên Sơn La 2019) Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm M 1; 2;2 và N 1;0; 4 . Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng MN là: A. 1; 1;3 .. Câu 52.. B. 0; 2; 2 .. C. 2; 2;6 .. D. 1;0;3 .. (KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm A 3; 4 và B 5;6 . Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là A. 1;5 .. Câu 53.. B. 4;1 .. C. 5;1 .. D. 8; 2 .. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;3 và B 2;2;9 . Trung điểm của đoạn AB có tọa độ là A. 0;3;3 .. Câu 54.. B. 4; 2;12 .. C. 2; 1;6 .. 3 3 D. 0; ; . 2 2. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm. A 1;5;2 và B 3; 3; 2 . Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là A. M 1;1; 2 Câu 55.. B. M 2; 2; 4 . C. M 2; 4;0 . D. M 4; 8;0 . (THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 1;5;3 và M 2;1; 2 . Tọa độ điểm B biết M là trung điểm của AB là 1 1 A. B ;3; . 2 2. B. B 4;9;8 .. C. B 5;3; 7 .. D. B 5; 3; 7 .. Dạng 2. Tích vô hướng và ứng dụng Câu 56.. (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a 2;1; 0 và b 1; 0; 2 . Tính cos a , b . 2 2 2 2 A. cos a, b B. cos a, b C. cos a , b D. cos a , b 25 5 25 5. . . . không. . Câu 57.. (KSCL THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong a 2; 2; 4 , b 1; 1;1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. a b 3; 3; 3 B. a và b cùng phương C. b 3 D. a b. gian. Câu 58.. (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC biết. Oxyz ,. cho. vectơ. A 1; 3 , B 2; 2 , C 3;1 . Tính cosin góc A của tam giác. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(8)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. cos A Câu 59.. 2 17. B. cos A . 1 17. C. cos A . 2 17. D. cos A . 1 17. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Trong không gian Oxyz , góc giữa hai vectơ i và u 3; 0;1 là. . . A. 120 .. D. 30 . Câu 60. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , cho a 3; 4;0 , b 5;0;12 . Côsin của góc giữa a và b bằng 3 5 5 3 A. . B. . C. . D. . 13 6 6 13 Câu 61. (Chuyên Đhsp Hà Nội 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz góc giữa hai vectơ i và u 3;0;1 là. . B. 60 .. C. 150 .. B. 30 .. C. 60 .. . A. 120 .. D. 150 .. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u 3;0;1 và v 2;1;0 . Tính tích vô hướng u.v . A. u.v 8 . B. u.v 6 . C. u.v 0 . D. u.v 6 . Câu 63. (Chuyên Hưng Yên 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz , góc giữa hai vectơ i và u 3;0;1 là Câu 62.. . . A. 30 0 . Câu 64.. C. 60 0 .. D. 150 0 .. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1; 2;3) là B(0;3;1) , C (4; 2; 2) . Cosin của góc BAC A.. Câu 65.. B. 120 0 .. 9 . 35. B. . 9 . 35. C. . 9 . 2 35. D.. 9 . 2 35. (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác. ABC có A 1;0;0 , B 0;0;1 , C 2;1;1 . Diện tích của tam giác ABC bằng: A.. 11 2. B.. 7 2. C.. 6 2. D.. 5 2. (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Trong không gian Oxyz , cho a 3; 4;0 và b 5;0;12 . Côsin của góc giữa a và b bằng 3 5 5 3 A. . B. . C. . D. . 13 6 6 13 Câu 67. (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong hệ tọa độ Oxy , cho u i 3 j và v 2; 1 . Tính u.v . A. u.v 1 . B. u.v 1 . C. u.v 2; 3 . D. u.v 5 2 .. Câu 66.. Câu 68.. (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Cho hai véc tơ a 1; 2;3 , b 2;1; 2 . Khi đó, tích vô hướng a b .b bằng. . . Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(9)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 12 . B. 2 . C. 11. D. 10 . Câu 69. (Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai vectơ a 2;1 ; 3 , b 4; 2 ;6 . Phát biểu nào sau đây là sai? A. b 2a . B. a. b 0 . C. a ngược hướng với b . D. b 2 a .. Câu 70.. (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - 2019) Cho u 1;1;0 , v 0;1;0 , góc giữa hai véctơ u và v là A. 120 .. B. 45 .. C. 135 .. D. 60 .. Câu 71. (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A 0; 0; 3 , B 0; 0; 1 , C 1; 0; 1 , D 0; 1; 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai?. D. AB CD . Câu 72. (THPT Thanh Miện I - Hải Dương - 2018) Trong không gian Oxyz cho 2 véc tơ a (2;1; 1) ; b (1; 3; m) . Tìm m để a; b 90 . A. AB BD .. B. AB BC .. C. AB AC .. . Câu 73.. Câu 74.. A. m 5 .. B. m 5 .. C. m 1 .. D. m 2. A. m 4 .. B. m 2 .. C. m 3 .. D. m 2 .. (SGD Đồng Tháp - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho u 2; 1;1 và v 0; 3; m . Tìm số thực m sao cho tích vô hướng u.v 1 . (CỤM Chuyên Môn 4 - Hải Phòng - 2018) Trong A 1;2;3 ; B 1;2;1 ; C 3; 1; 2 . Tính tích vô hướng AB. AC .. A. 6 . Câu 75.. B. 14 .. C. 14 .. không gian. Oxyz. cho. D. 6 .. (THPT Mộ Đức - Quảng Ngãi - 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;3 , B 0;3;1 , C 4; 2; 2 . Côsin của góc BAC bằng. A.. 9 . 35. B.. 9 . 2 35. C. . 9 . 2 35. D. . 9 . 35. Dạng 3. Tích có hướng và ứng dụng Câu 76.. Câu 77.. (KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a 2;1; 2 và vectơ b 1;0;2 . Tìm tọa độ vectơ c là tích có hướng của a và b . A. c 2;6; 1 . B. c 4;6; 1 . C. c 4; 6; 1 . D. c 2; 6; 1 .. (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian Oxyz , tọa độ một vectơ n vuông góc với cả hai vectơ a 1;1; 2 , b 1;0;3 là A. 2;3; 1 .. Câu 78.. B. 3;5; 2 .. C. 2; 3; 1 .. D. 3; 5; 1 .. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba véctơ a 1; 2; 1 , b 3; 1;0 , c 1; 5; 2 .. Câu nào sau đây đúng? A. a cùng phương với b . B. a , b , c không đồng phẳng. C. a , b , c đồng phẳng. D. a vuông góc với b . Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(10)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 79.. (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm. A(1; 2;0) ,. B (2;0;3) , C (2;1;3) và D(0;1;1) . Thể tích khối tứ diện ABCD bằng: A. 6 .. B. 8 .. C. 12 .. D. 4 .. Câu 80. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho a 1; 2;3 và b 1;1; 1 . Khẳng định nào sau đây sai? A. a b 3 . Câu 81.. B. a.b 4 .. C. a b 5 .. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Trong không gian. D. a, b 1; 4;3 . cho hai điểm. Oxyz ,. A 1;0; 1 , B 1; 1; 2 . Diện tích tam giác OAB bằng A. 11. Câu 82.. B.. 6 . 2. C.. 11 . 2. 6.. D.. (Yên Phong 1 - 2018) Trong không gian Oxyz , cho 4 điểm A 2;0; 2 , B 1; 1; 2 , C 1;1;0 , D 2;1; 2 . Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng. A. Câu 83.. 42 . 3. B.. 14 . 3. C.. 21 . 3. D.. 7 . 3. (SGD và ĐT Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , tính diện tích S của tam giác ABC , biết. A 2;0;0 , B 0;3;0 và C 0;0;4 . A. S Câu 84.. 61 . 3. B. S . 61 . 2. C. S 2 61 .. D. S 61 .. Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho O 0;0;0 , A 0;1; 2 , B 1; 2;1 , C 4;3; m . Tất cả giá trị của m để 4 điểm O, A, B, C đồng phẳng?. A. m 14 . Câu 85.. B. m 14 .. C. m 7 .. D. m 7 .. Trong không gian Oxyz , cho hình chóp A.BCD có A 0;1; 1 , B 1;1; 2 , C 1; 1;0 và D 0;0;1 . Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD .. A. 2 2 . Câu 86.. 3 2 . 2. C. 3 2 .. 2 . 2. D.. (Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ, cho hình bình hành ABCD . Biết A 2;1; 3 , B 0; 2;5 và C 1;1;3 . Diện tích hình bình hành ABCD là A. 2 87 .. Câu 87.. B.. B.. 349 . 2. C.. 349 .. 87 .. D.. (SGD - Bình Dương - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 0;1;1 , B 1;0; 2 , C 1;1;0 và điểm D 2;1; 2 . Khi đó thể tích tứ diện ABCD là. A. V Câu 88.. 5 . 6. B. V . 5 . 3. C. V . 6 . 5. D. V . 3 . 2. (THPT Mộ Đức - Quảng Ngãi - 2018) Trong không gian Oxyz , cho A 1; 2; 1 , B 0; 2;3 . Tính diện tích tam giác OAB . A.. 29 . 6. B.. 29 . 2. C.. 78 . 2. D.. 7 . 2. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(11)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. Chuyên đề 28. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Lý thuyết chung 1. Hệ trục tọa độ Oxyz: Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy , Oz đôi một vuông góc nhau. Trục Ox : trục hoành, có vectơ đơn vị i (1;0;0) . Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j (0;1; 0) . Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k (0;0;1). Điểm O (0; 0; 0) là gốc tọa độ. 2. Tọa độ vectơ: Vectơ u xi y j zk u ( x; y; z ) .. . . Cho a (a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ) . Ta có: a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ) a cùng phương b a kb (k R) ka (ka1; ka2 ; ka3 ) a1 kb1 a1 b1 a a a a2 kb2 1 2 3 , (b1 , b2 , b3 0). a b a2 b2 b1 b2 b3 a kb a b 3 3 3 3 2 a 2 a a12 a22 a32 a.b a1.b1 a2 .b2 a3 .b3 a a12 a22 a22 a1b1 a2b2 a3b3 a.b cos(a , b ) a b a.b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 2 a .b a1 a22 a32 . b12 b22 b32 3. Tọa độ điểm: M ( x; y; z ) OM ( x; y; z ) . Cho A( xA ; yA ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có:. . AB ( xB xA ; yB y A ; zB z A ). AB ( xB xA ) 2 ( yB y A )2 ( z B z A )2. Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: x x y y z z x x x y yB yC z A zB zC B M A B; A ; A B . G A B C ; A ; . 2 2 2 3 3 3 QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT Chiếu điểm trên trục tọa độ Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ Chieáu vaø o Ox Chieá u vaøo Oxy Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M1 ( xM ;0;0) M1 ( xM ; yM ;0) ( Giữ nguyên x ) ( Giữ nguyê n x , y ) Chieáu vaø o Oy Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M 2 (0; yM ;0) ( Giữ nguyên y ). Chieáu vaø o Oyz Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M2 (0; yM ; zM ) ( Giữ nguyên y, z ). Chieáu vaø o Oz Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M 3 (0;0; zM ) ( Giữ nguyên z ). Chieá u vaø o Oxz Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M3 ( xM ;0; zM ) ( Giữ nguyên x , z ). Đối xứng điểm qua trục tọa độ. Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ. Đối xứ ng qua Ox Đối xứ ng qua Oxy M ( xM ; yM ; zM ) M1 ( xM ; yM ; zM ) M ( xM ; yM ; zM ) M1 ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyên x; đổi dấu y, z ) ( Giữ nguyên x , y; đổi dấ u z ). Đối xứ ng qua Oy Đối xứ ng qua Oxz M ( xM ; yM ; zM ) M2 ( xM ; yM ; zM ) M ( xM ; yM ; zM ) M 2 ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyên y; đổi dấu x , z ) ( Giữ nguyên x , z; đổ i dấu y ). Đối xứ ng qua Oz Đối xứ ng qua Oyz M ( xM ; yM ; zM ) M3 ( xM ; yM ; zM ) M ( xM ; yM ; zM ) M 3 ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyên z; đổ i dấu x , y ) ( Giữ nguyên y, z; đổi dấu x ). 4. Tích có hướng của hai vectơ: Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(12)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Định nghĩa: Cho a (a1 , a2 , a3 ) , b (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng của a và b là: a2 a , b b2. a3. a3. a1. a1 a2 a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 . b3 b3 b1 b1 b2 [ a, b] a . b .sin a , b Tính chất: [ a, b] a [ a, b] b Điều kiện cùng phương của hai vectơ a & b là Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ và là c a , b a, b 0 với 0 (0;0;0). [a, b].c 0. 1 Diện tích tam giác ABC: S ABC AB, AC . Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD AB, AD . 2 1 Thể tích khối hộp: VABCD. A ' B ' C ' D ' [ AB, AD]. AA ' . Thể tích tứ diện: VABCD AB, AC . AD . 6 ;. ;. Dạng 1. Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ Dạng 1.1 Một số bài toán liên quan đến vectơ, tọa độ vec tơ Câu 1.. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm. A1; 2; 3 , B 1;0;2 , C x; y; 2 thẳng hàng. Khi đó x y bằng A. x y 1 . Câu 2.. C. x y . 11 . 5. D. x y . 11 . 5. (HSG Tỉnh Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ a 2; m 1;3 , b 1;3; 2n . Tìm m, n để các vectơ a , b cùng hướng.. 3 A. m 7; n . 4 Câu 3.. B. x y 17 .. B. m 4; n 3 .. C. m 1; n 0 .. 4 D. m 7; n . 3. (THPT Nguyễn Khuyến -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm. A 2; 1;5 , B 5; 5; 7 , M x; y;1 . Với giá trị nào của x, y thì A, B, M thẳng hàng. A. x 4; y 7 Câu 4.. B. x 4; y 7. C. x 4; y 7. D. x 4; y 7. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An -2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 2;1 ,. B 0;1;2 . Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng Oxy sao cho ba điểm A , B , M thẳng hàng là A. M 4; 5;0 . Câu 5.. C. M 0;0;1 .. D. M 4;5;0 .. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các véc tơ u 2i 2 j k , v m;2; m 1 với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị của m để u v . A. 0 .. Câu 6.. B. M 2; 3;0 .. B. 1 .. C. 2 .. D. 3 .. (Chuyen ĐHSP Hà Nội -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp. ABCD. ABCD có A 0; 0;0 , B a;0;0 ; D 0; 2a;0 , A 0;0; 2a với a 0 . Độ dài đoạn thẳng AC là A. a .. B. 2 a .. C. 3 a .. D.. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 3 a. 2.
<span class='text_page_counter'>(13)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 7.. (Chuyên Lê Quý Dôn - Dà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho a 2;3;1 , b 1;5; 2 , c 4; 1;3 và x 3; 22;5 . Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau? A. x 2 a 3 b c . C. x 2 a 3 b c .. Câu 8.. (Chuyên Thái Bình - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với: AB 1; 2; 2 ; AC 3; 4; 6 . Độ dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC là: A. 29 .. Câu 9.. B.. 29 .. C.. 29 . 2. D. 2 29 .. (Hồng Quang - Hải Dương - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ a 2;m 1;3 , b 1;3; 2n . Tìm m , n để các vectơ a , b cùng hướng.. 3 A. m 7 ; n . 4 Câu 10.. B. x 2 a 3 b c . D. x 2 a 3 b c .. 4 B. m 7 ; n . 3. C. m 4 ; n 3 .. D. m 1 ; n 0 .. (THPT Chu Văn An -Thái Nguyên - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD, B 3;0;8 , D 5; 4;0 . Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng Oxy và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA CB bằng: A. 10 5 .. B. 6 10 .. C. 10 6 .. D. 5 10 .. Dạng 1.2 Tìm tọa độ điểm Câu 11.. (THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 1; 0;3 ,. B 2;3; 4 , C 3;1; 2 . Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. A. D 4; 2;9 . Câu 12.. B. D 4; 2;9 .. C. D 4; 2;9 .. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian. D. D 4; 2; 9 . Oxyz , cho ba điểm. A 1;0;0 , B 1;1;0 , C 0;1;1 . Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD (theo thứ tự các đỉnh) là hình bình hành? A. D 2;0;0 . Câu 13.. B. D 1;1;1 .. C. D 0;0;1 .. D. D 0;2;1 .. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; 1), B (2; 1;3) và C ( 3;5;1) . Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình. hành. A. D (2;8; 3) Câu 14.. B. D (4;8; 5). C. D (2; 2;5). D. D (4;8; 3). (THPT Nguyễn Khuyến -2019) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz , Tam giác ABC với. A 1; 3;3 ; B 2; 4;5 , C a; 2; b nhận điểm G 1; c;3 làm trọng tâm của nó thì giá trị của tổng a b c bằng. A. 5 Câu 15.. B. 3. C. 1. D. 2. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 2 điểm B 1; 2; 3 , C 7; 4; 2 Nếu điểm E thỏa nãm đẳng thức CE 2EB thì tọa độ điẻm E là:. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(14)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 8 8 A. 3; ; 3 3. Câu 16.. 8 8 B. ;3; . 3 3. 8 C. 3;3; 3 . 1 D. 1; 2; 3 . (KTNL Gia Bình 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với. A 1; 2; 3 , B 2;5;7 , C 3;1; 4 . Điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành là 8 8 B. D 0; ; 3 3. A. D 6;6;0 Câu 17.. C. D 0;8;8. D. D 4; 2; 6 . (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho tam giác ABC có A 1; 2; 0 , B 2;1; 2 ,. C 0;3; 4 . Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. B. 1;6;2 .. A. 1;0; 6 . Câu 18.. C. 1;0;6 .. D. 1;6; 2 .. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm. A 3;1; 2 , B 2; 3;5 . Điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA 2 MB , tọa độ điểm M là 7 5 8 A. ; ; . 3 3 3. Câu 19.. Câu 20.. 17 3 C. ; 5; . 2 2. D. 1; 7;12 .. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 0;1; 2 và B 3; 1;1 . Tìm tọa độ điểm M sao cho AM 3 AB . A. M 9; 5;7 .. B. M 9;5;7 .. C. M 9;5; 7 .. D. M 9; 5; 5 .. (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 1 , AB 1;3;1 thì tọa độ của điểm B là: A. B 2;5;0 .. Câu 21.. B. 4;5; 9 .. B. B 0; 1; 2 .. C. B 0;1; 2 .. D. B 2; 5;0 . (Đề Thi Công Bằng Khtn 2019) Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABCD . Biết. A 1;0;1 , B 2;1; 2 và D 1; 1;1 . Tọa độ điểm C là A. 2;0; 2 . Câu 22.. B. 2; 2; 2 .. C. 2; 2; 2 .. D. 0; 2;0 .. (Sở Phú Thọ -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 2 và 8 4 8 B ; ; . Biết I a; b; c là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác OAB . Giá trị a b c bằng 3 3 3 A. 1 B. 3 C. 2 D. 0. Câu 23.. (Chuyên. Đhsp. Hà. Nội. -2019). Trong. không. gian. tọa. độ. Oxyz ,. cho. A 2;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0;2 . Có tất cả bao nhiêu điểm M trong không gian thỏa mãn M CMA 90 ? AMB BMC không trùng với các điểm A, B, C và A. 0 .. B. 1.. C. 2 .. D. 3 .. 8 4 8 Câu 24. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M (2;2;1) , N ; ; . Tìm tọa độ tâm đường tròn nội 3 3 3 . tiếp tam giác OMN . A. I (1;1;1) .. B. I (0;1;1) .. C. I (0; 1; 1) .. D. I (1;0;1) .. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(15)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A1; 2; 1 , B 2; 1;3 ,. C 4;7;5 . Gọi D a; b; c là chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC . Giá trị của. a b 2c bằng A. 5 .. B. 4 .. C. 14 .. D. 15 .. Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2;3;1 và B 5; 6; 2 . Đường thẳng. AB cắt mặt phẳng Oxz tại điểm M . Tính tỉ số A M . A. AM 1 BM 2 Câu 27.. B. AM 2 BM. BM C. AM 1 BM 3. D. AM 3 BM. (Bình Giang-Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 2;3;1 ,. B 2;1;0 , C 3; 1;1 . Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và diện tích tứ giác ABCD bằng 3 lần diện tích tam giác ABC . A. D 12; 1;3 .. D 8; 7;1 B. . D 12;1; 3. C. D 8;7; 1 .. D 8;7; 1 D. . D 12; 1;3. Câu 28. (THPT Trần Quốc Tuấn - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang. ABCD vuông tại A và B . Ba đỉnh A(1;2;1) , B(2;0; 1) , C (6;1;0) Hình thang có diện tích bằng. 6 2 . Giả sử đỉnh D( a; b; c) , tìm mệnh đề đúng? A. a b c 6 . Câu 29.. B. a b c 5 .. C. a b c 8 .. D. a b c 7 .. (Chuyên Lê Quý Dôn - Dà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp. ABCD. ABC D . Biết A 2; 4; 0 , B 4; 0;0 , C 1; 4; 7 và D 6;8;10 . Tọa độ điểm B là A. B 8; 4;10 . Câu 30.. B. B 6;12;0 .. C. B 10;8;6 .. D. B 13;0;17 .. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Trong không gian Oxyz , cho hình hộp. ABCD. ABCD có A 1;0;1 , B 2;1; 2 , D 1; 1;1 , C 4;5; 5 . Tính tọa độ đỉnh A của hình hộp. A. A 4;6; 5 . Câu 31.. B. A 2;0; 2 .. C. A 3;5; 6 .. D. A 3; 4; 6 .. (Chuyên Lê Hồng Phong 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình hộp. ABCD. ABC D có A 0; 0; 0 , B 3; 0; 0 , D 0; 3; 0 , D 0; 3; 3 . Toạ độ trọng tâm tam giác ABC là A. 1; 1; 2 . Câu 32.. B. 2; 1; 2 .. C. 1; 2; 1 .. D. 2; 1; 1 .. (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm. A 1; 2; 1 , B 2; 1;3 , C 4;7;5 . Tọa độ chân đường phân giác trong góc B của tam giác. ABC là 2 11 A. ; ;1 . 3 3 Câu 33.. 11 B. ; 2;1 . 3 . 2 11 1 C. ; ; . 3 3 3. D. 2;11;1 .. (Toán Học Và Tuổi Trẻ - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho OA 2i 2 j 2k , B 2; 2;0 và C 4;1; 1 . Trên mặt phẳng Oxz , điểm nào dưới đây cách đều ba điểm A , B , C . Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(16)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 1 3 A. M ; 0; . 2 4. 1 3 B. N ; 0; . 2 4. 1 3 C. P ; 0; . 2 4. 1 3 D. Q ; 0; . 2 4. Câu 34.. (SGD Thanh Hóa - 2018) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm là A 1;3; 1 , B 3; 1;5 . Tìm tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ thức MA 3MB . 5 13 7 1 7 1 A. M ; ;1 . B. M ; ;3 . C. M ; ;3 . D. M 4; 3;8 . 3 3 3 3 3 3 . Câu 35.. (SGD - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. ABC D , biết rằng A 3; 0;0 , B 0; 2;0 , D 0;0;1 , A 1; 2;3 . Tìm tọa độ điểm C . A. C 10; 4; 4 .. Câu 36.. B. C 13; 4; 4 .. C. C 13; 4; 4 .. D. C 7; 4; 4 .. (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm. A 0;2; 2 , B 2;2; 4 . Giả sử I a; b; c là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB . Tính. T a 2 b2 c2 . A. T 8 . Câu 37.. C. T 6 .. D. T 14 .. (THPT Trần Quốc Tuấn - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 4; 2; 1 , B 2; 1; 4 . Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn đẳng thức AM 2 MB . A. M 0;0;3 .. Câu 38.. B. T 2 .. B. M (0; 0; 3) .. C. M (8; 4;7) .. D. M (8; 4; 7) .. (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm. A 2;3;1 , B 2;1; 0 , C 3; 1;1 . Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và S ABCD 3S ABC. A. D 8;7; 1 .. D 8; 7;1 B. . D 12;1; 3. D 8;7; 1 C. . D 12; 1;3. D. D 12; 1;3 .. Dạng 2. Tích vô hướng, tích có hướng và ứng dụng Dạng 2.1 Tích vô hướng và ứng dụng Câu 1.. (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm M 2;3; 1 , N 1;1;1 và. P 1; m 1; 2 . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N . A. m 2 Câu 2.. B. m 6. C. m 0. D. m 4. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Trong không gian Oxyz cho các điểm. A 5;1;5 ; B 4;3; 2 ; C 3; 2;1 . Điểm I a; b; c là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính a 2b c ? A. 1 . Câu 3.. C. 6.. D. 9.. (HSG Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho véc tơ u 1;1; 2 , v 1;0; m . Tìm tất cả giá trị của m để góc giữa u , v bằng 45 . A. m 2 .. Câu 4.. B. 3.. B. m 2 6 .. C. m 2 6 .. D. m 2 6 . (Sở Kon Tum - 2019) Trong không gian Oxyz , cho các vec tơ a 5;3; 2 và b m; 1; m 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để góc giữa hai vec tơ a và b là. góc tù? Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(17)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 5.. A. 2. B. 3. C. 1. D. 5. Biết c x; y; z khác 0 và vuông góc với cả hai vectơ a 1;3; 4 , b 1; 2;3 . Khẳng định nào đúng? A. 5 z x 0 .. Câu 6.. B. 7 x y 0 .. C. 5 z x 0 .. D. 7 x y 0 .. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho A 2;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0; 2 . Có tất cả bao nhiêu điểm. M trong không gian thỏa mãn CMA 90 AMB BMC A. 0 .. M. B. 1.. không. trùng. C. 2 .. với. các. điểm. A, B , C. và. D. 3 .. Câu 7.. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u và v tạo với nhau một góc 120 và u 2 , v 5 . Tính u v. Câu 8.. A. 19 . B. 5 . C. 7 . D. 39 . (THPT Trần Nhân Tông - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M 2;3; 1 , N 1;1;1 và P 1; m 1; 2 . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N . A. m 6 .. B. m 0 .. C. m 4 .. D. m 2 .. Dạng 2.2 Tích có hướng và ứng dụng Câu 9.. (Yên Phong 1 - 2018) Trong không gian Oxyz , cho 4 điểm A 2;0; 2 , B 1; 1; 2 , C 1;1;0 ,. D 2;1; 2 . Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng A. Câu 10.. 42 . 3. Câu 12.. 14 . 3. C.. 21 . 3. D.. 7 . 3. (SGD Cần Thơ - 2018) Trong không gian Oxyz , cho các vectơ a 5;3; 1 , b 1; 2;1 , c m;3; 1 . Giá trị của m sao cho a b, c là A. m 1 .. Câu 11.. B.. B. m 2 .. C. m 1 .. D. m 2 .. (SGD - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ m 4;3;1 , n 0; 0;1 . Gọi p là vectơ cùng hướng với m, n (tích có hướng của hai vectơ m và n ). Biết p 15 , tìm tọa độ vectơ p . A. p 9; 12;0 . B. p 45; 60;0 . C. p 0;9; 12 . D. p 0; 45; 60 . (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho. A 0; 2; 2 a ; B a 3; 1;1 ; C 4; 3;0 ; D 1; 2; a 1 . Tập hợp các giá trị của a để bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng là tập con của tập nào sau? A. 7; 2 . Câu 13.. B. 3;6 .C. 5;8 .. D. 2;2 .. (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện. ABCD. biết. A 3; 2; m , B 2;0;0 , C 0; 4;0 , D 0;0;3 . Tìm giá trị dương của tham số m để thể tích tứ diện bằng 8. A. m 8 .. B. m 4 .. C. m 12 .. D. m 6 .. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(18)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 14.. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không u 1;1; 2 , v 1; m; m 2 . Khi u, v 14 thì. gian. với. hệ. tọa. độ. Oxyz ,. cho. 11 11 B. m 1 hoặc m 5 3 C. m 1 hoặc m 3 D. m 1. A. m 1 hoặc m . Câu 15.. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A 2; 1;1 , B 3;0; 1 , C 2; 1; 3 , D Oy và có thể tích bằng 5 . Tính tổng tung độ của các điểm D . A. 6 B. 2 C. 7 D. 4. Câu 16.. (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1; 2;0 ,. B 1;0; 1 , C 0; 1; 2 , D 2; m; n . Trong các hệ thức liên hệ giữa m và n dưới đây, hệ thức nào để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng? C. m 2n 13 . D. 2m 3n 10 . Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho hai véc tơ m 4 ; 3 ;1 và n 0 ; 0 ; 1 . Gọi p là véc tơ cùng hướng với m , n và p 15 . Tọa độ của véc tơ p là. Câu 18.. A. 2m n 13 .. B. 2m n 13 .. A. 9 ; 12 ; 0 .. B. 0 ; 9 ; 12 .. (Việt. Đức. Hà. Nội. 2019). Trong. C. 9 ; 12 ; 0 . hệ. trục. tọa. độ. D. 0 ; 9 ; 12 . Oxyz ,. cho. bốn. điểm. A 0; 2;1 ; B 1;0; 2 ; C 3;1; 2 ; D 2; 2; 1 . Câu nào sau đây sai? A. Bốn điểm A, B , C , D không đồng phẳng. C. Góc giữa hai véctơ AB và CD là góc tù. Câu 19.. B. Tam giác ACD là tam giác vuông tại A .. D. Tam giác ABD là tam giác cân tại B . (THPT Lương Thế Vinh - 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2;3;1 , B 2;1;0 ,. C 3; 1;1 . Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và S ABCD 3S ABC . A. D 8;7; 1 . Câu 20.. D 8; 7;1 B. . D 12;1; 3. D 8; 7; 1 C. . D 12; 1;3. D. D 12; 1;3 .. (Bình Giang-Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 0; 0; 2 , B 3; 0;5 , C 1;1; 0 , A 4;1; 2 . Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt. phẳng ABC là. 11 . B. 1 . C. 11 . D. 11 . 11 (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho. A. Câu 21.. A 0; 2; 2 a ; B a 3; 1;1 ; C 4; 3;0 ; D 1; 2; a 1 . Tập hợp các giá trị của a để bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng là tập con của tập nào sau? A. 7; 2 .. B. 3;6 .C. 5;8 .. D. 2;2 .. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(19)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. Chuyên đề 28. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 Lý thuyết chung 1. Hệ trục tọa độ Oxyz: Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy , Oz đôi một vuông góc nhau. Trục Ox : trục hoành, có vectơ đơn vị i (1;0;0) . Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j (0;1; 0) . Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k (0; 0;1). Điểm O (0; 0; 0) là gốc tọa độ. 2. Tọa độ vectơ: Vectơ u xi y j zk u ( x; y; z ) .. . . Cho a (a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ) . Ta có: a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ) a cùng phương b a kb ( k R) ka (ka1; ka2 ; ka3 ) a1 kb1 a1 b1 a a a a2 kb2 1 2 3 , (b1 , b2 , b3 0). a b a2 b2 b1 b2 b3 a kb a b 3 3 3 3 2 a 2 a a12 a22 a32 a.b a1.b1 a2 .b2 a3 .b3 a a12 a22 a22 a1b1 a2b2 a3b3 a.b cos(a , b ) a b a.b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 2 a .b a1 a22 a32 . b12 b22 b32 3. Tọa độ điểm: M ( x; y; z ) OM ( x; y; z ) . Cho A( xA ; yA ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có:. . AB ( xB xA ; yB yA ; zB z A ). AB ( xB xA )2 ( yB y A )2 ( zB z A ) 2. Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: x x x y yB yC z A zB zC x x y yB z A z B M A B; A ; G A B C ; A ; . . 2 2 2 3 3 3 QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT Chiếu điểm trên trục tọa độ Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ Chieáu vaø o Ox Chieáu vaø o Oxy Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M1 ( xM ;0;0) M1 ( xM ; yM ;0) ( Giữ nguyên x ) ( Giữ nguyên x , y ) Chieáu vaø o Oy Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M2 (0; yM ;0) ( Giữ nguyên y ). Chieáu vaø o Oyz Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M 2 (0; yM ; zM ) ( Giữ nguyên y, z ). Chieá u vaø o Oz Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M 3 (0;0; zM ) ( Giữ nguyên z ). Chieáu vaø o Oxz Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M3 ( xM ;0; zM ) ( Giữ nguyên x , z ). Đối xứng điểm qua trục tọa độ. Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ. Đối xứ ng qua Ox Đố i xứn g qua Oxy M ( xM ; yM ; zM ) M1 ( xM ; yM ;zM ) M ( xM ; yM ; zM ) M1 ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyên x ; đổi dấu y, z ) ( Giữ nguyên x , y; đổi dấ u z ). Đối xứ ng qua Oy Đối xứ ng qua Oxz M ( xM ; yM ; zM ) M 2 ( xM ; yM ; zM ) M ( xM ; yM ; zM ) M 2 ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyên y; đổi dấu x , z ) ( Giữ nguyên x , z; đổi dấ u y ). Đối xứ ng qua Oz Đối xứ ng qua Oyz M ( xM ; yM ; zM ) M 3 ( xM ; yM ; zM ) M ( xM ; yM ; zM ) M 3 ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyên z; đổi dấu x , y ) ( Giữ nguyên y, z ; đổi dấu x ). 4. Tích có hướng của hai vectơ: Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(20)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Định nghĩa: Cho a (a1 , a2 , a3 ) , b (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng của a và b là: a2 a3 a3 a1 a1 a2 ; ; a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 . a, b b2 b3 b3 b1 b1 b2 [a, b] a . b .sin a , b Tính chất: [ a, b] a [ a, b] b Điều kiện cùng phương của hai vectơ a & b là a , b c Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ và là a, b 0 với 0 (0; 0;0). [a, b].c 0. Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD AB, AD . Thể tích khối hộp: VABCD. A ' B 'C ' D ' [ AB, AD]. AA ' .. Diện tích tam giác ABC: 1 S ABC AB, AC . 2 1 Thể tích tứ diện: VABCD AB, AC . AD . 6. Dạng 1. Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ Dạng 1.1 Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng, đường thẳng Câu 1.. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm. M 2; 2;1 trên mặt phẳng Oxy có tọa độ là A. 2;0;1 .. B. 2; 2;0 .. C. 0; 2;1 .. D. 0;0;1 .. Lời giải Chọn B Ta có hình chiếu của điểm M x0 ; y0 ; z0 trên mặt phẳng Oxy là điểm M x0 ; y0 ;0 . Do đó hình chiếu của điểm M 2; 2;1 trên mặt phẳng Oxy là điểm M 2; 2;0 . Câu 2.. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm. M 2;1; 1 trên mặt phẳng Ozx có tọa độ là A. 0;1;0 .. B. 2;1;0 .. C. 0;1; 1 .. D. 2;0; 1 .. Lời giải Chọn D Hình chiếu của M 2;1; 1 lên mặt phẳng Ozx là điểm có tọa độ 2;0; 1 . Câu 3.. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A 1; 2;5 trên trục Ox có tọa độ là A. 0; 2;0 .. B. 0;0;5 .. C. 1;0;0 .. D. 0; 2;5 .. Lời giải Chọn C Hình chiếu vuông góc của điểm A 1; 2;5 trên trục Ox có tọa độ là 1; 0; 0 . Câu 4.. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A 3; 2;1 trên trục Ox có tọa độ là: A. 0; 2;1 .. B. 3; 0; 0 .. C. 0; 0;1 .. D. 0; 2; 0 .. Lời giải Chọn. B.. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(21)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 5.. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A 3;5; 2 trên trục Ox có tọa độ là A. 0;5; 2 .. B. 0;5; 0 .. C. 3; 0;0 .. D. 0; 0; 2 .. Lời giải Chọn C Hình chiếu vuông góc của điểm A 3;5; 2 trên trục Ox có tọa độ là 3; 0; 0 . Câu 6.. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A(8;1; 2) trên trục Ox có tọa độ là A. (0;1; 0) . B. (8;0;0) . C. (0;1;2) . D. (0;0; 2) . Lời giải Chọn B Hình chiếu vuông góc của điểm A(8;1; 2) trên trục Ox là (8;0;0) .. Câu 7.. (Mã 101 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz . Điểm nào sau đây là hình chiếu vuông góc của điểm A(1; 4; 2) trên mặt phẳng Oxy ? A. (0; 4; 2) .. B. (1; 4;0) .. C. (1;0; 2) .. D. (0; 0; 2) .. Lời giải Chọn B Ta có hình chiếu của A(1; 4; 2) trên mặt phẳng Oxy là (1; 4;0) . Câu 8.. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm A 3;5; 2 trên mặt phẳng Oxy ? A. M 3; 0; 2 . B. 0;0; 2 . C. Q 0;5; 2 . D. N 3;5;0 . Lời giải Chọn D Hình chiếu vuông góc của điểm A 3;5; 2 trên mặt phẳng Oxy là điểm N 3;5;0 . Câu 9.. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm A 1;2;3 trên mặt phẳng Oxy . A. Q 1;0;3. B. P 1;2;0. C. M 0;0;3. D. N 0;2;3. Lời giải Chọn B Ta có hình chiếu vuông góc của điểm A 1;2;3 trên mặt phẳng Oxy là điểm P 1;2;0 . Câu 10.. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm A 3; 4;1 trên mặt phẳng Oxy ? A. Q 0;4;1 .. B. P 3;0;1 .. C. M 0;0;1 .. D. N 3; 4;0 .. Lời giải Chọn D Hình chiếu vuông góc của điểm A 3; 4;1 trên mặt phẳng Oxy là điểm N 3;4;0 . Câu 11.. (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 3;1; 1 trên trục Oy có tọa độ là Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(22)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 3;0; 1 .. B. 0;1; 0 .. C. 3;0; 0 .. D. 0;0; 1 .. Lời giải Chọn B Hình chiếu vuông góc của điểm M 3;1; 1 trên trục Oy có tọa độ là 0;1;0 . Câu 12.. (Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 2;1; 1 trên trục Oy có tọa độ là. A. 0;0; 1 .. B. 2;0; 1 .. C. 0;1;0 .. D. 2;0;0 .. Lời giải Chọn C Hình chiếu vuông góc của điểm M 2;1; 1 trên trục Oy có tọa độ là 0;1;0 . Câu 13.. (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 3; 1;1 trên trục. Oz có tọa độ là A. 3; 1;0 .. B. 0;0;1 .. C. 0; 1;0 .. D. 3;0;0 .. Lời giải Chọn B Hình chiếu vuông góc của điểm M 3; 1;1 trên trục Oz có tọa độ là 0;0;1 Câu 14.. (Mã 101 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 2;1; 1 trên trục. Oz có tọa độ là A. 2;0; 0 .. B. 0;1; 0 .. C. 2;1; 0 .. D. 0;0; 1 .. Lời giải Chọn D Hình chiếu vuông góc của điểm M 2;1; 1 trên trục Oz có tọa độ là: 0;0; 1 . Câu 15.. (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3; 1;1 . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oyz là điểm A. M 3;0;0. B. N 0; 1;1. C. P 0; 1;0. D. Q 0;0;1. Lời giải Chọn B Khi chiếu vuông góc một điểm trong không gian lên mặt phẳng Oyz , ta giữ lại các thành phần tung độ và cao độ nên hình chiếu của A 3; 1;1 lên Oyz là điểm N 0; 1;1 . Câu 16.. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng tọa độ Oyz ? A. M 3;4;0 .. B. P 2;0;3 .. C. Q 2;0;0 .. D. N 0;4; 1 .. Lời giải Mặt phẳng tọa độ Oyz có phương trình là x 0 N 0;4; 1 Oyz . Câu 17.. (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho M 4;5;6 . Hình chiếu của M xuống mặt phẳng Oyz là M . Xác định tọa độ M .. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(23)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. M 4;5;0 .. B. M 4;0;6 .. C. M 4;0;0 .. D. M 0;5;6 .. Lời giải Hình chiếu của M 4;5;6 xuống mặt phẳng Oyz là M 0;5;6 . Câu 18.. (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M x; y ; z . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu M đối xứng với M qua mặt phẳng Oxz thì M x; y; z . B. Nếu M đối xứng với M qua Oy thì M x; y ; z . C. Nếu M đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy thì M x; y; z . D. Nếu M đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì M 2 x;2 y;0 . Lời giải Nếu M đối xứng với M qua mặt phẳng Oxz thì M x; y; z . Do đó phương án A sai. Nếu M đối xứng với M qua Oy thì M x; y; z . Do đó phương án B sai. Nếu M đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì M x; y; z . Do đó phương án D sai.. Câu 19.. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , tọa độ điểm đối xứng của. M 1; 2; 3 qua mặt phẳng Oyz là A. 0; 2; 3 .. C. 1; 2; 3 .. B. 1; 2; 3 .. D. 1; 2;3 .. Lời giải Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng Oyz H 0; 2; 3 Gọi M ' là điểm đối xứng với M 1; 2; 3 qua mặt phẳng Oyz . H là trung điểm của MM ' M ' 1; 2; 3 . Câu 20.. (Chuyên Hạ Long 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2; 3;5 . Tìm tọa độ A là điểm đối xứng với A qua trục Oy . A. A 2;3;5 .. B. A 2; 3; 5 .. C. A 2; 3;5 .. D. A 2; 3; 5 .. Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của A 2; 3;5 lên Oy . Suy ra H 0; 3; 0 Khi đó H là trung điểm đoạn AA . x A 2 xH x A 2 y A 2 yH y A 3 A 2; 3; 5 . z 2 z z 5 H A A Dạng 1.2 Xác định tọa độ vectơ, độ dài vec tơ Câu 21.. (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1; 2 và B 2; 2;1 . Vectơ AB có. tọa độ là A. 1; 1; 3. B. 3;1;1. C. 1;1;3. D. 3;3; 1. Lời giải Chọn C AB 2 1; 2 1;1 2 hay AB 1;1;3 .. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(24)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 22.. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1;1; 1 và B 2;3; 2 . Vectơ. AB. có tọa độ là A. 1; 2; 3. B. 1; 2; 3. C. 3;5;1. D. 3; 4;1. Lời giải Chọn A AB xB x A ; yB y A ; z B z A 1; 2;3 Câu 23.. (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A 2;2;1 . Tính độ dài đoạn thẳng OA . A. OA 5. B. OA 5. C. OA 3 Lời giải. D. OA 9. Chọn C OA 2 2 2 2 12 3 .. Câu 24.. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba vecto a 1; 2;3 ; b 2; 2; 1 ; c 4; 0; 4 . Tọa độ của vecto d a b 2 c là A. d 7; 0; 4 B. d 7; 0; 4 C. d 7; 0; 4 D. d 7;0; 4 Lời giải Chọn B Ta có: d a b 2c 1 2 2.4; 2 2 2.0;3 1 2.(4) 7;0; 4 .. . Câu 25.. (THPT Ba Đình 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 0;1; 1 , B 2;3; 2 . Vectơ AB có tọa độ là A. 2; 2;3 .. B. 1; 2;3 .. C. 3;5;1 .. D. 3;4;1 .. Lời giải. Hai điểm A 0;1; 1 , B 2;3; 2 . Vectơ AB có tọa độ là 2; 2;3 . Câu 26.. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz cho a 2;3;2 và b 1;1; 1 . Vectơ a b có tọa độ là. A. 3;4;1 .. B. 1; 2;3 .. Ta có: a b 2 1;3 1; 2 1 1; 2;3 .. Câu 27.. C. 3;5;1 .. D. 1;2;3 .. Lời giải. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a 2; 3;3 , b 0; 2; 1 , c 3; 1;5 . Tìm tọa độ của vectơ u 2a 3b 2c . A. 10; 2;13 .. B. 2; 2; 7 .. C. 2; 2; 7 .. D. 2; 2;7 .. Lời giải Ta có: 2a 4; 6; 6 , 3b 0; 6; 3 , 2c 6; 2; 10 u 2a 3b 2c 2; 2; 7 . Câu 28.. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho. a i 2 j 3k . Tọa độ của vectơ a là. A. 1; 2; 3 .. B. 2; 3; 1 .. C. 2; 1; 3 .. D. 3; 2; 1 .. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(25)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. a i 2 j 3k a 1; 2; 3 .. Lời giải. Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a 2; 3; 3 , b 0; 2; 1 , c 3; 1; 5 . Tìm tọa độ của vectơ u 2a 3b 2c . A. 10; 2;13 .. B. 2; 2; 7 .. C. 2; 2; 7 .. D. 2; 2; 7 .. Lời giải Có 2a 4; 6;6 ; 3b 0;6; 3 ; 2c 6; 2; 10 . Khi đó: u 2a 3b 2c 2; 2; 7 .. Câu 30.. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ x 2;1; 3 và y 1;0; 1 . Tìm tọa độ của vectơ a x 2 y . A. a 4;1; 1 . B. a 3;1; 4 . C. a 0;1; 1 . D. a 4;1; 5 . Ta có: 2 y 2; 0; 2 . a x 2 y 2 2;1 0; 3 2 4;1; 5 .. Câu 31.. Lời giải. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian O xyz , cho A 2; 1;0 và B 1;1; 3 . . Vectơ AB có tọa độ là A. 3;0; 3 .. B. 1;2; 3 .. C. 1; 2;3 .. D. 1; 2;3 .. Lời giải. A 2; 1;0 , B 1;1; 3 AB 1 2;1 1; 3 0 1; 2; 3 . Câu 32.. (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz cho A 2; 2;1 , B 1; 1;3 . Tọa độ vecto AB là:. A. ( 1;1; 2). .. B. ( 3;3; 4). .. Câu 34.. D. (1; 1; 2). Lời giải:. Ta có: AB 1;1; 2 . Câu 33.. C. (3; 3; 4). .. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian Oxyz với i, j , k lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục Ox , Oy , Oz . Tính tọa độ của vecto i j k . A. i j k ( 1; 1;1). B. i j k (1;1;1). C. i j k (1;1; 1). D. i j k (1; 1;1). Lời giải Ta có i (1; 0;0), j (0;1;0), k (0; 0;1). Do đó, i j k (1;1; 1).. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz giả sử. u 2i 3 j k , khi đó tọa độ véc tơ u là A. 2;3;1 .. B. 2;3; 1 .. C. 2; 3; 1 .. D. 2;3;1 .. Lời giải Theo định nghĩa ta có i 1;0;0 , j 0;1;0 và k 0;0;1 . Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(26)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Do đó, u 2i 3 j k u 2;3; 1 .. Câu 35.. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho a 1; 2;1 và b 1;3;0 . Vectơ c 2a b có tọa độ là. A. 1; 7;2 .. B. 1;5;2 .. Có c 2a b , gọi c c1; c2 ; c3 . C. 3; 7;2 .. D. 1; 7;3 .. Lời giải. c1 2.1 1 1 c2 2.2 3 7 c 2.1 0 2 3 Vậy c 1;7; 2 Câu 36.. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho a i 2 j 3k . Tọa độ của vectơ a là: A. a 1; 2; 3 . B. a 2; 3; 1 . C. a 3; 2; 1 . D. a 2; 1; 3 . Lời giải Chọn A. +) Ta có a xi y j zk a x; y; z nên a 1; 2; 3 . Do đó Chọn A Câu 37.. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 3;1 , B 3;0; 2 . Tính độ dài AB . A. 26.. B. 22.. C.. 26 .. D.. 22.. Lời giải AB (2;3; 3) AB 2 2 32 (3) 2 22. Câu 38.. (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 1 ,. B 1; 4;3 . Độ dài đoạn thẳng AB là A. 2 13. B.. 6. C. 3. D. 2 3. Lời giải Chọn A Ta có AB 62 42 2 13 . Câu 39.. (Hội 8 trường chuyên 2019) Trong không gian Oxyz, cho a 2; 2;0 , b 2; 2;0 , c 2; 2; 2 . Giá trị của a b c bằng A. 6.. B. 11 .. C. 2 11 . D. 2 6 . Lời giải. Chọn C Ta có: a b c 2;6; 2 . Vậy a b c 2 11 .. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(27)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 40.. (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A 1;3;5 ,. B 2; 2;3 . Độ dài đoạn AB bằng A.. 7.. B.. 8.. C. 6 . Lời giải. D.. 5.. Chọn C. AB . 2. 2. 2 1 2 3 3 5. 2. 6.. Dạng 1.3 Xác định tọa độ điểm Câu 41.. (Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;3 và B 2; 2;7 . Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là A. 4; 2;10 . B. 1;3;2. C. 2;6; 4 . D. 2; 1;5. Lời giải Chọn D. x A xB xI 2 2 y yB 1 . Gọi I là trung điểm của AB , ta có tọa độ điểm I là yI A 2 z A zB zI 2 5 Vậy I 2; 1;5 . Câu 42.. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 3; 4;0 ,. B 1;1;3 , C 3,1, 0 . Tìm tọa độ điểm D trên trục hoành sao cho AD BC . A. D 6;0;0 , D 12;0;0. B. D 0;0;0 , D 6;0;0 . C. D 2;1;0 , D 4;0;0 . D. D 0;0;0 , D 6;0;0 Lời giải. Chọn B Gọi D x;0;0 Ox AD BC . x 3. 2. x 0 . 16 5 x 6. Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3; 2;3 và B 1; 2;5 . Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB . A. I 1;0;4 .. B. I 2;0;8 .. C. I 2; 2; 1 .. D. I 2; 2;1 .. Lời giải Chọn A Tọa độ trung điểm I của đoạn AB với A 3; 2;3 và B 1; 2;5 được tính bởi. x A xB xI 2 1 y yB 0 I 1;0; 4 yI A 2 z A zB zI 2 4 Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(28)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 44.. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 3; 2;3 và. B 1; 2;5 . Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là : A. I 2; 2;1 .. B. I 1;0; 4 .. C. I 2;0;8 .. D. I 2; 2; 1 .. Lời giải Chọn B Cho hai điểm A 3; 2;3 và B 1; 2;5 . xA xB 3 1 1 2 2 y y B 2 2 Trung điểm I có tọa độ: A 0 I 1;0;4 . 2 2 z A zB 3 5 2 2 4 . Câu 45.. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho. A 1;3; 2 , B 3; 1; 4 . Tìm tọa độ trung điểm I của AB. A. I 2; 4; 2 .. B. I 4; 2;6 .. C. I 2; 1; 3 .. D. I 2;1;3 .. Lời giải. x A xB xI 2 2 y yB 1 I 2;1;3 . Ta có yI A 2 z A zB zI 2 3 Câu 46. Trong không gian cho hệ trục toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;3 , B 1; 2;5 , C 0;0;1 . Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC . A. G 0;0;3 .. B. G 0;0;9 .. C. G 1;0;3 .. D. G 0;0;1 .. Lời giải Toạ độ trong tâm G của tam giác ABC bằng xA xB xC 1 1 0 0 xG 3 3 y A yB yC 2 2 0 0 G 0;0;3 yG 3 3 z A z B zC 3 5 1 3 zG 3 3 . Câu 47. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A 1;3; 2 , B 3; 1; 4 . Tìm tọa độ trung điểm I của AB . A. I 2; 4; 2 .. B. I 4;2;6 .. C. I 2; 1;3 .. D. I 2;1;3 .. Lời giải Tọa độ trung điểm I của AB là Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(29)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 3 xI 2 2 3 1 1 I 2;1;3 . yI 2 24 zI 2 3 Câu 48. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;3 và B 2; 2;7 . Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là A. 1;3;2 .. B. 2; 1;5 .. C. 2; 1; 5 .. D. 2;6; 4 .. Lời giải x A xB 2 2 xM 2 2 2 y y B 4 2 1 M 2; 1;5 . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB , ta có: yM A 2 2 z A zB 3 7 zM 2 2 5 Câu 49.. (THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với. A 1;3; 4 , B 2; 1;0 , C 3;1; 2 . Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là A. G 2;1; 2 .. B. G 6;3;6 .. 2 C. G 3; ;3 . 3 Lời giải. D. G 2; 1; 2 .. Tọa độ trọng tâm G là 1 2 3 2 xG 3 3 1 1 1 G 2;1; 2 . yG 3 402 2 zG 3 Câu 50.. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác. ABC biết A 5; 2;0 , B 2;3;0 , C 0;2;3 . Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ: A. 1; 2;1 .. B. 2;0; 1 .. C. 1;1;1 .. D. 1;1; 2 .. Lời giải Giả sử G x, y, z . Vì G là trọng tâm của tam giác ABC suy ra 5 2 0 x A xB xC 1 x x 3 3 y A yB yC 2 3 2 y 1 G 1;1;1 . y 3 3 z A zB zC 003 z 1 z 3 3 . Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(30)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 51.. (Chuyên Sơn La 2019) Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm M 1; 2;2 và N 1;0;4 . Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng MN là: A. 1; 1;3 .. B. 0; 2; 2 .. C. 2; 2;6 .. D. 1;0;3 .. Lời giải Gọi I là trung điểm MN . Ta có:. xM xN 1 1 1 xI 2 2 yM y N 2 0 1 yI 2 2 zM z N 2 4 3 zI 2 2 Vậy I 1; 1;3 . Câu 52.. (KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm A 3; 4 và B 5;6 . Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là A. 1;5 .. B. 4;1 .. C. 5;1 .. D. 8; 2 .. Lời giải Chọn. A.. x A xB 3 5 xI 2 2 1 I 1;5 . Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Khi đó ta có: y y 4 6 A B y 5 I 2 2 Câu 53.. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;3 và B 2;2;9 . Trung điểm của đoạn AB có tọa độ là A. 0;3;3 .. B. 4; 2;12 .. C. 2; 1;6 .. 3 3 D. 0; ; . 2 2. Lời giải Chọn C. x A xB 2 2 xI 2 2 2 y yB 4 2 1 I 2; 1;6 . Gọi I là trung điểm của đoạn AB . Ta có yI A 2 2 z A zB 3 9 zI 2 2 6 Câu 54.. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm. A 1;5; 2 và B 3; 3; 2 . Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là A. M 1;1; 2 . B. M 2; 2; 4 . C. M 2; 4;0 . D. M 4; 8;0 . Lời giải Chọn A. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(31)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x A xB 1 3 xM 2 2 1 y yB 5 3 Trung điểm M có tọa độ là yM A 1 M 1;1; 2 . 2 2 z A zB 2 2 zM 2 2 2 Câu 55.. (THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 1;5;3 và M 2;1; 2 . Tọa độ điểm B biết M là trung điểm của AB là 1 1 A. B ;3; . 2 2. B. B 4;9;8 .. C. B 5;3; 7 .. D. B 5; 3; 7 . Lời giải. Giả sử B xB ; yB ; z B . Vì M là trung điểm của AB nên ta có: x A xB 1 xB xM 2 2 2 xB 5 y A yB 5 yB 1 yB 3 . Vậy B 5; 3; 7 . yM 2 2 zB 7 z A zB 3 zM zM 2 2 2 Dạng 2. Tích vô hướng và ứng dụng Câu 56.. (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a 2; 1; 0 và b 1; 0; 2 . Tính cos a , b . 2 2 2 2 A. cos a, b B. cos a, b C. cos a, b D. cos a, b 25 5 25 5 Lời giải Chọn B a.b 2 2 . Ta có: cos a , b 5 5. 5 a.b. . . . . . Câu 57.. (KSCL THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong a 2; 2; 4 , b 1; 1;1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. a b 3; 3; 3 B. a và b cùng phương C. b 3 D. a b. không. gian. Oxyz ,. cho. vectơ. Lời giải Chọn B. Xét đáp án A: a b 3; 3; 3 đúng. Xét đáp án B: a 2 1; 1; 2 b 1; 1;1 . Suy ra a và b không cùng phương.. Đáp án B sai. Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(32)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 58.. (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC biết A 1; 3 , B 2; 2 , C 3;1 . Tính cosin góc A của tam giác.. 2 17. A. cos A . B. cos A . 1 17. C. cos A . 2 17. D. cos A . 1 17. Lời giải Chọn B Ta có: AB 3; 5 , AC 2; 2 . AB. AC 3.2 5.2 1 Khi đó: cos A cos AB; AC . AB. AC 34.2 2 17. . Câu 59.. . (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Trong không gian Oxyz , góc giữa hai vectơ i và u 3; 0;1 là. . . A. 120 .. B. 60 .. C. 150 . Lời giải. D. 30 .. Ta có i 1; 0; 0 . 1. 3 0.0 0.1 3 i.u Vậy: cos i, u = i, u 150 . 2 i . u 1. 3 2 02 12. . . Câu 60.. . . . (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , cho a 3; 4;0 , b 5;0;12 . Côsin của góc giữa a và b bằng 3 5 5 3 A. . B. . C. . D. . 13 6 6 13 Lời giải Chọn D a.b 3.5 4.0 0.12 3 Ta có: cos a ; b . 2 a. b 3 42 02 . 52 02 122 13. . Câu 61.. . . (Chuyên Đhsp Hà Nội 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz góc giữa hai vectơ i và u 3;0;1 là. . . A. 120 .. B. 30 .. C. 60 . Lời giải. D. 150 .. Ta có i 1;0;0 u.i 3 cos u , i . Vậy u , i 150 . 2 u.i. . Câu 62.. . (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u 3;0;1 và v 2;1;0 . Tính tích vô hướng u.v . A. u.v 8 . B. u.v 6 . C. u.v 0 . D. u.v 6 . Lời giải Ta có u.v 3.2 0.1 1.0 6 .. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(33)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 63.. (Chuyên Hưng Yên 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz , góc giữa hai vectơ i và u 3;0;1 là. . . A. 30 0 .. B. 120 0 .. C. 600 . Lời giải. D. 150 0 .. Gọi là góc giữa hai vectơ i và u 3 ;0;1 , ta có: i .u 3 cos 1500 . 2 i.u. . Câu 64.. . (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1; 2;3) là B(0;3;1) , C (4; 2; 2) . Cosin của góc BAC A.. 9 . 35. B. . 9 . 35. C. . 9 . 2 35. D.. 9 . 2 35. Lời giải AB. AC 5 20 2 9 Ta có AB 1;5; 2 ; AC 5; 4; 1 . cosBAC . 30. 42 2 35 AB . AC Câu 65.. (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác. ABC có A 1;0; 0 , B 0;0;1 , C 2;1;1 . Diện tích của tam giác ABC bằng: A.. 11 2. B.. 7 2. 6 2 Lời giải. C.. D.. 5 2. Chọn C Ta có: AB 1; 0;1 , AC 1; 1;1 1 .1 0.1 1.1 0 AB AC . Nên diện tích tam giác ABC là S Câu 66.. 1 6 . AB. AC 2 2. (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Trong không gian Oxyz , cho a 3; 4;0 và b 5; 0;12 . Côsin của góc giữa a và b bằng 3 5 5 3 A. . B. . C. . D. . 13 6 6 13 Lời giải Chọn D a.b 15 3 . Ta có: cos a; b 2 a b 3 42 . 52 122 13. . Câu 67.. (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong hệ tọa độ Oxy , cho u i 3 j và v 2; 1 . Tính u.v . A. u.v 1 . B. u.v 1 . C. u.v 2; 3 . D. u.v 5 2 . Lời giải Chọn A Từ u i 3 j u 1;3 . Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(34)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Do đó, u.v 1.2 3. 1 1 .. Câu 68.. (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Cho hai véc tơ a 1; 2;3 , b 2;1; 2 . Khi đó, tích vô hướng a b .b bằng. . . B. 2 .. A. 12 .. C. 11.. D. 10 .. Lời giải Chọn C a b 1; 1;5 a b .b 1. 2 1 .1 5.2 11 .. . Câu 69.. . (Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai vectơ a 2;1 ; 3 , b 4; 2 ;6 . Phát biểu nào sau đây là sai? A. b 2a . B. a. b 0 . C. a ngược hướng với b . D. b 2 a . Lời giải Chọn B. Dễ thấy b 2a . Từ đó suy ra vectơ a ngược hướng với vectơ b và b 2 a . a. b 2. 4 1. 2 3 .6 28 0 . Do đó đáp án B sai.. Câu 70.. (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - 2019) Cho u 1;1;0 , v 0;1;0 , góc giữa hai véctơ u và v là A. 120 .. B. 45 .. C. 135 . Lời giải. D. 60 .. Chọn C u.v 1 Ta có cos u, v u , v 135 . 2 u.v. . . Câu 71. (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với. A 0; 0; 3 , B 0; 0; 1 , C 1; 0; 1 , D 0; 1; 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. AB BD .. B. AB BC .. C. AB AC . Lời giải. D. AB CD .. A. D B C. Ta có AB 0; 0; 4 , AC 1; 0; 4 AB. AC 16 0 AB và AC không vuông góc.. Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(35)</span> Câu 72.. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 (THPT Thanh Miện I - Hải Dương - 2018) Trong không gian Oxyz cho 2 véc tơ a (2;1; 1) ; b (1; 3; m) . Tìm m để a; b 90 .. . A. m 5 .. B. m 5 .. C. m 1 . Lời giải. . . D. m 2. a; b 90 a.b 0 5 m 0 m 5 . Câu 73.. (SGD Đồng Tháp - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho u 2; 1;1 và v 0; 3; m . Tìm số thực m sao cho tích vô hướng u.v 1 . A. m 4 .. B. m 2 .. C. m 3 .. D. m 2 .. Lời giải. Ta có: u.v 1 3 m 1 m 2 . Câu 74.. - Hải Phòng - 2018) Trong A 1;2;3 ; B 1;2;1 ; C 3; 1; 2 . Tính tích vô hướng AB. AC . (CỤM Chuyên Môn. A. 6 .. 4. B. 14 .. C. 14 .. không. gian. Oxyz. cho. D. 6 .. Lời giải Ta có: AB 2;0; 2 ; AC 2; 3; 5 AB. AC 6 Câu 75.. (THPT Mộ Đức - Quảng Ngãi - 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;3 ,. B 0;3;1 , C 4; 2; 2 . Côsin của góc BAC bằng 9 . 35. A.. B.. 9 . 2 35. C. . 9 . 2 35. D. . 9 . 35. Lời giải AB. AC cos AB, AC Ta có cos BAC với AB 1;5; 2 , AC 5; 4; 1 . AB AC. . cos AB, AC . . . . 1.5 5.4 2 1 2. 2. 1 5 2 . 2. 2. 2. 5 4 1. 2. . 27 9 30 42 2 35. Dạng 3. Tích có hướng và ứng dụng Câu 76.. (KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a 2;1; 2 và vectơ b 1;0;2 . Tìm tọa độ vectơ c là tích có hướng của a và b . A. c 2;6; 1 . B. c 4;6; 1 . C. c 4; 6; 1 . D. c 2; 6; 1 . Lời giải Chọn D. Áp dụng công thức tính tích có hướng trong hệ trục tọa độ Oxyz ta được:. c a, b 2; 6; 1. Vậy chọn đáp án D Câu 77.. (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian Oxyz , tọa độ một vectơ n vuông góc với cả hai vectơ a 1;1; 2 , b 1;0;3 là Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(36)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 2;3; 1 .. B. 3;5; 2 .. C. 2; 3; 1 .. D. 3; 5; 1 .. Lời giải Chọn D Ta có a, b 3; 5; 1 . Câu 78.. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba véctơ a 1; 2; 1 , b 3; 1;0 , c 1; 5; 2 . Câu nào sau đây đúng? A. a cùng phương với b . B. a , b , c không đồng phẳng. C. a , b , c đồng phẳng. D. a vuông góc với b . Lời giải Chọn C. Ta có: a; b 1; 3; 7 0 . Hai véctơ a , b không cùng phương. a; b .c 1 15 14 0 . Ba véctơ a , b , c đồng phẳng. Câu 79.. (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm. A(1; 2;0) ,. B(2;0;3) , C (2;1;3) và D (0;1;1) . Thể tích khối tứ diện ABCD bằng:. A. 6 .. B. 8 .. C. 12 . Lời giải. D. 4 .. Ta có: AB (1; 2;3) ; AC ( 3;3;3) ; AD (1;3;1) . AB, AC (3; 12;9) ; AB, AC . AD (3).(1) (12).3 9.1 24 . 1 1 VABCD AB, AC . AD 24 4 . 6 6 Câu 80. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho a 1; 2;3 và b 1;1; 1 . Khẳng định nào sau đây. sai? A. a b 3 .. B. a.b 4 .. C. a b 5 .. D. a, b 1; 4;3 .. Lời giải Ta có. ab u . 2. 2. 1 1 2 1 3 1. 2. 4 1 4 3 (đúng).. a.b 1.1 2 .1 3. 1 1 2 3 4 (đúng).. a b u . 2. 2. 1 1 2 1 3 1. 2. 0 9 16 5 (đúng).. 2 3 3 1 1 2 a, b ; ; 1; 4;3 (sai). 1 1 1 1 1 1 Câu 81.. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Trong không gian. Oxyz ,. A 1;0; 1 , B 1; 1;2 . Diện tích tam giác OAB bằng Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương cho hai điểm.
<span class='text_page_counter'>(37)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 6 B. . 2. A. 11.. C.. Câu 82.. D.. 6.. Lời giải. OA, OB 1; 3; 1 S OAB . 11 . 2. 1 1 11 OA, OB 1 9 1 . 2 2 2. (Yên Phong 1 - 2018) Trong không gian Oxyz , cho 4 điểm A 2;0; 2 , B 1; 1; 2 , C 1;1;0 ,. D 2;1; 2 . Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng A.. 42 . 3. B.. 14 . 3. 21 . 3 Lời giải C.. D.. 7 . 3. AC 3;1; 2 ; AB 1; 1; 4 ; AD 4;1;0 . AB, AC 6; 10; 4 . 1 1 7 Thể tích khối tứ diện là: V . AB, AC . AD 14 . 6 6 3. Câu 83.. (SGD và ĐT Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , tính diện tích S của tam giác ABC , biết. A 2;0;0 , B 0;3;0 và C 0;0; 4 . A. S . 61 . 3. B. S . 61 . 2. C. S 2 61 .. D. S 61 .. Lời giải Chọn D AB 2;3;0 , AC 2; 0; 4 , AB , AC 12;8;6 . Ta có AB , AC AB . AC .sin AB , AC 2 S . 1 1 Diện tích tam giác ABC là S . AB , AC 122 82 62 61 . 2 2. . Câu 84.. . Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho O 0;0;0 , A 0;1; 2 , B 1; 2;1 , C 4;3; m . Tất cả giá trị của m để 4 điểm O, A, B, C đồng phẳng?. A. m 14 .. B. m 14 .. C. m 7 .. D. m 7 .. Lời giải Chọn A Ta có OA 0;1; 2 , OB 1; 2;1 , OC 4;3; m . Bốn điểm O, A, B, C đồng phẳng OA, OB .OC 0 5.4 2.3 1.m 0 m 14 . Vậy m 14 . Câu 85.. Trong không gian Oxyz , cho hình chóp A.BCD có A 0;1; 1 , B 1;1; 2 , C 1; 1;0 và. D 0;0;1 . Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD . A. 2 2 .. B.. 3 2 . 2. C. 3 2 .. D.. 2 . 2. Lời giải Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(38)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Chọn B Có BC 0; 2; 2 , BD 1; 1; 1 , BA 1;0 3 ; BC, BD 0;2; 2 ; BC , BD . BA 6 BC , BD .BA 6 3 2 hA . 2 2 2 BC , BD . Câu 86.. (Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ, cho hình bình hành ABCD . Biết A 2;1; 3 , B 0; 2;5 và C 1;1;3 . Diện tích hình bình hành ABCD là A. 2 87 .. 349 . 2. B.. C.. 349 .. D.. 87 .. Lời giải Ta có: AB 2; 3;8 và AC 1;0;6 AB , AC 18; 4; 3 . Vậy: S ABCD AB , AC . Câu 87.. 18. 2. 2. 42 3 349 .. (SGD - Bình Dương - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 0;1;1 ,. B 1;0; 2 , C 1;1;0 và điểm D 2;1; 2 . Khi đó thể tích tứ diện ABCD là 5 A. V . 6. 5 B. V . 3. 6 C. V . 5 Lời giải. D. V . 3 . 2. Ta có AB 1; 1;1 , AC 1;0; 1 , AD 2;0; 3 và AB, AC 1; 2; 1 . 1 5 Thể tích tứ diện ABCD là V AB, AC . AD . 6 6 Câu 88.. (THPT Mộ Đức - Quảng Ngãi - 2018) Trong không gian Oxyz , cho A 1; 2; 1 , B 0; 2;3 . Tính diện tích tam giác OAB . A.. 29 . 6. B.. 29 . 2. C.. 78 . 2. D.. Lời giải Diện tích tam giác OAB được xác định bới công thức: S . 1 2. 7 . 2. OA, OB . Ta có OA 1; 2; 1 , OB 0; 2;3 OA, OB 4; 3; 2 . Vậy S . 29 1 1 2 2 2 OA, OB . 4 3 2 2 2 2. Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(39)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. Chuyên đề 28. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Lý thuyết chung 1. Hệ trục tọa độ Oxyz: Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy , Oz đôi một vuông góc nhau. Trục Ox : trục hoành, có vectơ đơn vị i (1;0;0) . Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j (0;1; 0) . Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k (0; 0;1). Điểm O (0; 0; 0) là gốc tọa độ. 2. Tọa độ vectơ: Vectơ u xi y j zk u ( x; y; z ) .. . . Cho a (a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ) . Ta có: a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ) a cùng phương b a kb (k R) ka (ka1; ka2 ; ka3 ) a1 kb1 a1 b1 a a a a2 kb2 1 2 3 , (b1 , b2 , b3 0). a b a2 b2 b1 b2 b3 a kb a b 3 3 3 3 2 a 2 a a12 a22 a32 a.b a1.b1 a2 .b2 a3 .b3 a a12 a22 a22 a1b1 a2b2 a3b3 a.b cos(a , b ) a b a.b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 2 a .b a1 a22 a32 . b12 b22 b32 3. Tọa độ điểm: M ( x; y; z ) OM ( x; y; z ) . Cho A( xA ; yA ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có:. . AB ( xB xA ; yB yA ; zB z A ). AB ( xB xA ) 2 ( yB y A ) 2 ( z B z A ) 2. Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: x x y y z z x x x y yB yC z A zB zC B M A B; A ; A B . G A B C ; A ; . 2 2 2 3 3 3 QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT Chiếu điểm trên trục tọa độ Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ Chieáu vaø o Ox Chieá u vaø o Oxy Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M1 ( xM ;0;0) M1 ( xM ; yM ;0) ( Giữ nguyên x ) ( Giữ nguyên x , y ) Chieáu vaø o Oy Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M2 (0; yM ;0) ( Giữ nguyên y ). Chieáu vaø o Oyz Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M2 (0; yM ; zM ) ( Giữ nguyên y , z ). Chieáu vaø o Oz Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M3 (0;0; zM ) ( Giữ nguyên z ). Chieá u vaøo Oxz Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M 3 ( xM ;0; zM ) ( Giữ nguyên x , z ). Đối xứng điểm qua trục tọa độ. Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ. Đối xứ ng qua Oxy M ( xM ; yM ; zM ) M1 ( xM ; yM ; zM )M ( xM ; yM ; zM ) M1 ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyên x , y; đổi dấ u z ) Đối xứ ng qua Ox ( Giữ nguyê n x; đổi dấu y, z ). Đối xứ ng qua Oy Đối xứ ng qua Oxz M ( xM ; yM ; zM ) M2 (xM ; yM ; zM )M ( xM ; yM ; zM ) M2 ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyên y; đổi dấu x , z ) ( Giữ nguyên x , z ; đổi dấu y ). Đối xứ ng qua Oz Đối xứ ng qua Oyz M ( xM ; yM ; zM ) M3 (xM ; yM ; zM )M ( xM ; yM ; zM ) M3 ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyên z; đổ i dấ u x , y ) ( Giữ nguyên y , z; đổ i dấu x ). 4. Tích có hướng của hai vectơ: Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(40)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Định nghĩa: Cho a (a1 , a2 , a3 ) , b (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng của a và b là: a2 a3 a3 a1 a1 a2 ; ; a , b a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 . b2 b3 b3 b1 b1 b2 [a, b] a . b .sin a , b Tính chất: [ a, b] a [ a, b] b Điều kiện cùng phương của hai vectơ a & b là Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ a, b và c là a, b 0 với 0 (0;0;0). [a, b].c 0. Diện tích tam giác ABC: 1 S ABC AB, AC . 2 1 Thể tích tứ diện: VABCD AB, AC . AD . 6. Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD AB, AD . Thể tích khối hộp: VABCD. A ' B ' C ' D ' [ AB, AD]. AA ' .. Dạng 1. Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ Dạng 1.1 Một số bài toán liên quan đến vectơ, tọa độ vec tơ Câu 1.. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm. A1; 2; 3 , B 1;0;2 , C x; y; 2 thẳng hàng. Khi đó x y bằng A. x y 1 .. C. x y . B. x y 17 .. Có AB 2; 2;5, AC x 1; y 2;1 .. 11 . 5. D. x y . 11 . 5. Lời giải 3 x 5 x y 1. 8 y 5 . x 1 y 2 1 A, B, C thẳng hàng AB , AC cùng phương . 2. Câu 2.. 2. 5. (HSG Tỉnh Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ a 2; m 1;3 , b 1;3; 2n . Tìm m , n để các vectơ a , b cùng hướng.. 3 4. A. m 7; n .. B. m 4; n 3 .. C. m 1; n 0 .. 4 D. m 7; n . 3. Lời giải. k 2 2 k 3 a và b cùng hướng a kb k 0 m 1 3k m 7 . Vậy m 7; n 4 3 k 2n n 3 4 Câu 3.. (THPT Nguyễn Khuyến -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm. A 2; 1;5 , B 5; 5; 7 , M x; y;1 . Với giá trị nào của x, y thì A, B, M thẳng hàng. A. x 4; y 7. B. x 4; y 7. C. x 4; y 7. D. x 4; y 7. Lời giải Chọn A Ta có AB 3; 4; 2 , AM x 2; y 1; 4 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(41)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 4 x 2 y 1 4 . A, B, M thẳng hàng AB , AM cùng phương 3 4 2 y 7. Câu 4.. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An -2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 2;1 ,. B 0;1;2 . Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng Oxy sao cho ba điểm A , B , M thẳng hàng là A. M 4; 5;0 .. B. M 2; 3;0 .. C. M 0;0;1 .. D. M 4;5;0 .. Lời giải Ta có M Oxy M x ; y ;0 ; AB 2;3;1 ; AM x 2; y 2; 1 . x 4 x 2 y 2 1 Để A , B , M thẳng hàng thì AB và AM cùng phương, khi đó: . 2 3 1 y 5. Vậy M 4; 5;0 . Câu 5.. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các véc tơ u 2i 2 j k , v m;2; m 1 với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị của m để u v . A. 0 .. B. 1 .. C. 2 . Lời giải. D. 3 .. Ta có u 2; 2;1 2 2 Khi đó u 22 2 12 3 và v m 2 22 m 1 2m 2 2m 5 m 1 Do đó u v 9 2m 2 2m 5 m 2 m 2 0 m 2 Vậy có 2 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 6.. (Chuyen ĐHSP Hà Nội -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp. ABCD. ABCD có A 0; 0;0 , B a; 0;0 ; D 0; 2a;0 , A 0;0; 2a với a 0 . Độ dài đoạn thẳng AC là A. a .. B. 2 a .. C. 3 a .. D.. 3 a. 2. Lời giải. Ta có AB a;0;0 ; AD 0;2a;0 ; AA 0;0;2a . Theo quy tắc hình hộp ta có AB AD AA AC AC a;2a;2a . 2 2 Suy ra AC AC a 2 2a 2a 3 a . Vậy độ dài đoạn thẳng AC 3 a . Câu 7.. (Chuyên Lê Quý Dôn - Dà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho a 2;3;1 , b 1;5; 2 , c 4; 1;3 và x 3; 22;5 . Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau? Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(42)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. x 2 a 3 b c . C. x 2 a 3 b c .. B. x 2 a 3 b c . D. x 2 a 3 b c .. Đặt: x m. a n. b p. c , m, n, p .. Lời giải. 2 m n 4 p 3 3; 22;5 m. 2;3;1 n. 1;5; 2 p. 4; 1;3 3m 5n p 22 I . m 2n 3 p 5 m 2 Giải hệ phương trình I ta được: n 3 . p 1 Vậy x 2 a 3 b c . Câu 8.. (Chuyên Thái Bình - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với: AB 1; 2; 2 ; AC 3; 4; 6 . Độ dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC là: A. 29 .. B.. 29 .. C.. 29 . 2. D. 2 29 .. Lời giải Ta có. 2 2 AB 2 12 2 22 9 , AC 2 32 4 62 61 , AC. AB 1.3 2 4 2.6 23 . 2 2 2 2 BC AC AB AC AB 2. AC. AB 61 9 2.23 24 .. . . Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có: AB 2 AC 2 BC 2 9 61 24 AM 2 29 . 2 4 2 4 Vậy AM 29 . Câu 9.. (Hồng Quang - Hải Dương - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ a 2;m 1;3 , b 1;3; 2n . Tìm m , n để các vectơ a , b cùng hướng.. 3 A. m 7 ; n . 4. 4 B. m 7 ; n . 3. C. m 4 ; n 3 .. D. m 1 ; n 0 .. Lời giải Các vectơ a , b cùng hướng khi và chỉ khi tồn tại số thực dương k sao cho a kb 2 k 2 k 2 k m 1 3k m 1 6 m 7 . 3 k 2n 3 2 2n n 3 4. Câu 10.. (THPT Chu Văn An -Thái Nguyên - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD, B 3;0;8 , D 5; 4;0 . Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng Oxy và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA CB bằng: A. 10 5 .. B. 6 10 .. C. 10 6 .. D. 5 10 .. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(43)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải. 12 6 2. BD 8; 4; 8 BD 12 AB 2 Gọi M là trung điểm AB MC 3 10 . CA CB 2CM 2CM 6 10 . Dạng 1.2 Tìm tọa độ điểm Câu 11.. (THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 1;0;3 ,. B 2;3; 4 , C 3;1; 2 . Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. A. D 4; 2;9 .. B. D 4; 2;9 .. C. D 4; 2;9 .. D. D 4; 2; 9 .. Lời giải Gọi D x; y; z . Để ABCD là hình bình hành. x 4 AB DC 1;3; 7 3 x;1 y; 2 z y 2 D 4; 2;9 . z 9 Câu 12.. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm. A 1;0;0 , B 1;1;0 , C 0;1;1 . Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD (theo thứ tự các đỉnh) là hình bình hành? A. D 2;0;0 .. B. D 1;1;1 .. C. D 0;0;1 .. D. D 0;2;1 .. Lời giải Gọi D x ; y ; z .. Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ AD BC . Ta có AD x 1; y ; z và BC 1;0;1 . Suy ra x 0; y 0; z 1 . Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(44)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Vậy D 0;0;1 . Câu 13.. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; 1), B (2; 1;3) và C ( 3;5;1) . Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình. hành. A. D ( 2;8; 3). B. D (4;8; 5). C. D (2; 2;5). D. D (4;8; 3). Lời giải Chọn D Gọi D ( xD ; y D ; z D ) cần tìm. Tứ giác ABCD là hình bình hành AB DC xB x A xC xD 2 1 3 xD xD 4 yB y A yC yD 1 2 5 yD yD 8 . z z z z C D 3 (1) 1 z D zD 3 B A Suy ra: D (4;8; 3) . Câu 14.. (THPT Nguyễn Khuyến -2019) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz , Tam giác ABC với. A 1; 3;3 ; B 2; 4;5 , C a; 2; b nhận điểm G 1; c;3 làm trọng tâm của nó thì giá trị của tổng a b c bằng. A. 5. B. 3. C. 1 Lời giải. D. 2. Chọn D 1 2 a 1 3 a 0 3 4 2 b 1 c 3 c 3 3 5 b 3 3 Vậy a b c 2 Câu 15.. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 2 điểm B 1; 2; 3 , C 7; 4; 2 Nếu điểm E thỏa nãm đẳng thức CE 2EB thì tọa độ điẻm E là: 8 8 A. 3; ; 3 3. 8 8 B. ;3; . 3 3. 8 C. 3;3; 3 Lời giải. 1 D. 1; 2; 3 . Chọn A Gọi E x; y; z Ta có: CE x 7; y 4; z 2 ; 2 EB 2 2 x; 4 2 y; 6 2 z . x 3 x 7 2 2x 8 CE 2EB y 4 4 2 y y 3 z 2 6 2z 8 z 3 Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(45)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 16.. (KTNL Gia Bình 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với. A 1; 2; 3 , B 2;5;7 , C 3;1; 4 . Điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành là A. D 6;6;0 . 8 8 B. D 0; ; 3 3. C. D 0;8;8. D. D 4; 2; 6 . Lời giải Chọn D. 1 3 xD xD 4 Tứ giác ABCD là hình bình hành AB DC 3 1 yD yD 2 10 4 z z 6 D D Vậy D 4; 2; 6 . Câu 17.. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho tam giác ABC có A 1; 2;0 , B 2;1; 2 ,. C 0;3; 4 . Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. A. 1;0; 6 .. B. 1;6;2 .. C. 1;0;6 .. D. 1;6; 2 .. Lời giải. Ta có: ABCD là hình bình hành OA OC OB OD OD OA OC OB xD x A xC xB xD 1 0 2 yD y A yC yB yD 2 3 1 D 1;0;6 . z z z z z 0 4 2 D A C B D Câu 18.. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm. A 3;1; 2 , B 2; 3;5 . Điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA 2 MB , tọa độ điểm M là 7 5 8 A. ; ; . 3 3 3. B. 4;5; 9 .. 17 3 C. ; 5; . 2 2 Lời giải. D. 1; 7;12 .. Gọi M x; y;z . Vì M thuộc đoạn AB nên:. 7 x 3 3 x 2 2 x 5 MA 2 MB 1 y 2 3 y y 3 2 z 2 5 z 8 z 3 Câu 19.. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 0;1; 2 và B 3; 1;1 . Tìm tọa độ điểm M sao cho AM 3 AB . A. M 9; 5;7 .. B. M 9;5;7 .. C. M 9;5; 7 .. D. M 9; 5; 5 .. Lời giải Gọi M x; y; z . Ta có: AM x; y 1; z 2 ; AB 3; 2;3 .. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(46)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 9 x 9 AM 3 AB y 1 6 y 5 . Vậy M 9; 5;7 . z 2 9 z 7 Câu 20.. (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 1 , AB 1;3;1 thì tọa độ của điểm B là: A. B 2;5;0 .. B. B 0; 1; 2 .. C. B 0;1; 2 .. D. B 2; 5;0 . Lời giải Gọi B x; y; z . x 2 Có A 1;2; 1 AB 1;3;1 x 1; y 2; z 1 y 5 B 2;5;0 z 0 Câu 21.. (Đề Thi Công Bằng Khtn 2019) Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABCD . Biết. A 1;0;1 , B 2;1; 2 và D 1; 1;1 . Tọa độ điểm C là A. 2;0; 2 .. B. 2; 2; 2 .. C. 2; 2; 2 .. D. 0; 2; 0 .. Lời giải Gọi tọa độ điểm C là x ; y ; z . Vì ABCD là hình bình hành nên DC AB Ta có DC x 1; y 1; z 1 và AB 1;1;1 x 1 1 x 2 Suy ra y 1 1 y 0 z 1 1 z 2 Vậy tọa độ điểm C là 2; 0; 2 . Câu 22.. (Sở Phú Thọ -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 2 và 8 4 8 B ; ; . Biết I a; b; c là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác OAB . Giá trị a b c bằng 3 3 3 A. 1 B. 3 C. 2 D. 0. Lời giải Chọn D. O. I A. D. B. 8 4 8 Ta có OA 1; 2; 2 , OB ; ; , do đó OA 3, OB 4 . 3 3 3 Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(47)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. DA OA Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ O , ta có DA .DB .DB , suy ra DB OB 4.OA 3.OB 3 12 12 . Do đó D ; ; 0 . DA DB OD 4 7 7 7 5 2 15 Ta có AD ; ; 2 AD . 7 7 7 7 AD 5 ID .IO IO OI OD D 1; 1; 0 AO 7 12 Do đó a b c 0 .. Câu 23.. (Chuyên. Đhsp. Hà. Nội. Trong. -2019). không. gian. tọa. độ. Oxyz ,. cho. A 2;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0;2 . Có tất cả bao nhiêu điểm M trong không gian thỏa mãn M. CMA 90 ? AMB BMC không trùng với các điểm A, B, C và C. 2 . Lời giải Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của AB, BC , CA . A. 0 .. B. 1.. D. 3 .. CMA 90 nên các tam giác AMB, BMC , CMA vuông tại M . AMB BMC Do . AB BC AC ; JM ; KM . Mặt khác AB BC AC 2 2 . 2 2 2 Vậy MI MJ MK 2 . Khi đó M thuộc trục của đường tròn ngoại tiếp đáy IJK và cách IJK một khoảng không đổi là 2 . Khi đó có hai điểm M thỏa mãn điều kiện trên. Khi đó IM . 8 4 8 Câu 24. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M (2; 2;1) , N ; ; . Tìm tọa độ tâm đường tròn nội 3 3 3 . tiếp tam giác OMN . A. I (1;1;1) .. C. I (0; 1; 1) .. B. I (0;1;1) .. D. I (1;0;1) .. Lời giải Chọn B Ta có bài toán bài toán sau. Trong tam giác ABC , I là tâm đường tròn nột tiếp ABC ta có: a .IA b.IB c.IC 0 . với BC a; AC b; AB c . Thật vậy: A. I. B. A'. C. Gọi A là chân đường phân giác trong kẻ từ A . Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(48)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. c BA A C bBA cCA 0 1 b c c b c IA AI AI AI aIA b c IA 0 ac A' B a bc. aIA bIB cIC bBA cCA 0 aIA bIB cIC 0 do 1 . Áp dụng công thức trong tam giác OMN. ta được OM .IN ON .IM MN .IO 0 OM .xN ON .xM MN .xO xI 0 OM ON MN OM . y N ON . y M MN . yO 1. yI OM ON MN OM .z N ON .z M MN .z O zI 1 OM ON MN Vậy điểm I (0;1;1) là điểm cần tìm. Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A1; 2; 1 , B 2; 1;3 ,. C 4;7;5 . Gọi D a; b; c là chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC . Giá trị của. a b 2c bằng A. 5 .. B. 4 .. D. 15 .. C. 14 . Lời giải. Chọn A B. A. D. C. Ta có AB 26 , BC 104 2 26 . Gọi D x; y; z , theo tính chất phân giác ta có. DA BA 1 1 . Suy ra DA DC * . DC BC 2 2. Ta có DA 1 x; 2 y; 1 z và DC 4 x;7 y;5 z .. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(49)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 2 1 x 1 x 4 x 3 2 2 11 1 11 D ; ;1 a b 2c 5 . Do đó * 2 y 7 y y 3 3 2 3 z 1 1 1 z 5 z 2 . Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2;3;1 và B 5; 6; 2 . Đường thẳng. AB cắt mặt phẳng Oxz tại điểm M . Tính tỉ số A M . AM 1 A. BM 2. BM AM 1 C. BM 3. AM B. 2 BM. D.. AM 3 BM. Lời giải Chọn A. M Oxz M x;0;z ; AB 7;3;1 AB 59 ; AM x 2; 3;z 1 và A, B, M thẳng hàng AM k. AB. x 2 7k x 9 k 3 3k 1 k M 9;0;0 . z 1 k z 0 . BM 14; 6; 2 ; AM 7; 3; 1 BM 2 AB. Câu 27.. (Bình Giang-Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 2;3;1 ,. B 2;1;0 , C 3; 1;1 . Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và diện tích tứ giác ABCD bằng 3 lần diện tích tam giác ABC . A. D 12; 1;3 .. D 8; 7;1 B. . D 12;1; 3. C. D 8;7; 1 .. D 8;7; 1 D. . D 12; 1;3. Lời giải Chọn A. 2S 1 1 AD BC .d A, BC S ABCD AD BC . ABC . 2 2 BC AD BC .SABC 3BC AD BC AD 2BC . 3S ABC BC Mà ABCD là hình thang có đáy AD nên AD 2 BC 1 . BC 5; 2;1 , AD xD 2; yD 3; z D 1 .. Ta có: S ABCD . xD 2 10 xD 12 1 yD 3 4 yD 1 . z 1 2 z 3 D D Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(50)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Vậy D 12; 1;3 . Câu 28. (THPT Trần Quốc Tuấn - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang. ABCD vuông tại A và B . Ba đỉnh A(1;2;1) , B(2;0; 1) , C (6;1;0) Hình thang có diện tích bằng 6 2 . Giả sử đỉnh D(a; b; c) , tìm mệnh đề đúng? A. a b c 6 .. B. a b c 5 .. C. a b c 8 . Lời giải Ta có AB 1; 2; 2 AB 3 ; BC 4;1;1 BC 3 2 .. D. a b c 7 .. Theo giả thiết ABCD là hình thang vuông tại A và B và có diện tích bằng 6 2 nên 1 1 1 AB AD BC 6 2 .3. AD 3 2 6 2 AD 2 AD BC . 2 2 3 1 Do ABCD là hình thang vuông tại A và B nên AD BC . 3 4 7 a 1 3 a 3 1 7 Giả sử D(a; b; c) khi đó ta có b 2 b a b c 6 . 3 3 1 4 c 1 3 c 3 . . Câu 29.. . (Chuyên Lê Quý Dôn - Dà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp. ABCD. ABC D . Biết A 2; 4;0 , B 4;0;0 , C 1; 4; 7 và D 6;8;10 . Tọa độ điểm B là A. B 8; 4;10 .. B. B 6;12; 0 .. C. B 10;8; 6 .. D. B 13;0;17 .. Lời giải A'. B' C'. D'(6; 8; 10). A(2; 4; 0) B(4; 0; 0). O D. C(-1; 4;-7). Giả sử D a; b; c , B a; b; c. a 3 7 1 Gọi O AC BD O ; 4; b 8 . 2 2 c 7. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(51)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy DD 9;0;17 , BB a 4; b; c . Do ABCD. ABC D là hình hộp nên. a 13 DD BB b 0 . Vậy B 13;0;17 . c 17 Câu 30.. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Trong không gian Oxyz , cho hình hộp. ABCD. ABCD có A 1;0;1 , B 2;1; 2 , D 1; 1;1 , C 4;5; 5 . Tính tọa độ đỉnh A của hình hộp. A. A 4;6; 5 .. B. A 2;0; 2 .. C. A 3;5; 6 .. D. A 3; 4; 6 .. Lời giải Theo quy tắc hình hộp ta có: AB AD AA AC . Suy ra AA AC AB AD . Lại có: AC 3;5; 6 , AB 1;1;1 , AD 0; 1; 0 . Do đó: AA 2;5; 7 . Suy ra A 3;5; 6 . Câu 31.. (Chuyên Lê Hồng Phong 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình hộp. ABCD. ABC D có A 0; 0; 0 , B 3; 0; 0 , D 0; 3; 0 , D 0; 3; 3 . Toạ độ trọng tâm tam giác ABC là A. 1; 1; 2 .. B. 2; 1; 2 .. C. 1; 2; 1 . Lời giải D. A. D. 2; 1; 1 .. C. B D. C. A B Cách 1: Ta có AB 3; 0; 0 . Gọi C x; y; z DC x; y 3; z ABCD là hình bình hành AB DC x; y; z 3; 3; 0 C 3; 3; 0 Ta có AD 0; 3; 0 . Gọi A x; y; z AD x; 3 y; 3 z ADDA là hình bình hành AD AD x; y; z 0; 0; 3 A 0; 0; 3 Gọi B x0 ; y0 ; z0 AB x0 ; y0 ; z0 3 ABBA là hình bình hành AB AB x0 ; y0 ; z0 3; 0; 3 B 3; 0; 3. 033 2 xG 3 003 G là trọng tâm tam giác ABC yG 1 G 2; 1; 2 . 3 3 3 0 2 zG 3 Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(52)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 3 3 3 Cách 2: Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BD .Ta có I ; ; .Gọi G a; b; c là trọng tâm 2 2 2 tam giác ABC. 3 3 3 a 2 2 3 3 3 a 2 DI ; ; 3 3 2 2 2 Ta có: DI 3 IG với . Do đó: 3 b b 1 . 2 2 c 2 IG a 3 ; b 3 ; c 3 2 2 2 3 3 3 c 2 2 Vậy G 2;1; 2 .. Câu 32.. (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm. A 1; 2; 1 , B 2; 1;3 , C 4;7;5 . Tọa độ chân đường phân giác trong góc B của tam giác. ABC là 2 11 A. ; ;1 . 3 3 . 11 B. ; 2;1 . 3 . 2 11 1 C. ; ; . D. 2;11;1 . 3 3 3 Lời giải Ta có: BA 1; 3; 4 BA 26; BC 6;8; 2 BC 2 26 . Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ B lên AC của tam giác ABC DA BA 2 11 DC 2 DA D ; ;1 . Suy ra : DC BC 3 3 Câu 33.. (Toán Học Và Tuổi Trẻ - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho OA 2i 2 j 2k , B 2; 2;0 và C 4;1; 1 . Trên mặt phẳng Oxz , điểm nào dưới đây cách đều ba điểm A , B , C . 1 1 3 3 A. M ; 0; . B. N ; 0; . 2 2 4 4. Ta có: A 2; 2; 2 và PA PB PC Câu 34.. 1 3 C. P ; 0; . 2 4 Lời giải. 1 3 D. Q ; 0; . 2 4. 3 21 . 4. (SGD Thanh Hóa - 2018) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm là A 1;3; 1 , B 3; 1;5 . Tìm tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ thức MA 3MB . 5 13 7 1 7 1 A. M ; ;1 . B. M ; ;3 . C. M ; ;3 . D. M 4; 3;8 . 3 3 3 3 3 3 Lời giải x A 3 xB xM 1 3 4 y 3 yB 3 M 4; 3;8 . Ta có MA 3MB yM A 1 3 z A 3zB zM 1 3 8 . Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(53)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 35.. (SGD - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. ABC D , biết rằng A 3;0; 0 , B 0; 2; 0 , D 0;0;1 , A 1; 2;3 . Tìm tọa độ điểm C . A. C 10; 4; 4 .. B. C 13; 4; 4 .. C. C 13; 4; 4 .. D. C 7; 4; 4 .. Lời giải. A'. B'. D'. C' A. B. D. C. Gọi C x; y; z . Ta có AB 3; 2;0 ; AD 3;0;1 ; AA 4; 2;3 .. x 10 3 Mà AC AB AD AA AC 10; 4; 4 y 4 0 C 13; 4; 4 . z 4 0 Câu 36.. (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm. A 0;2; 2 , B 2;2; 4 . Giả sử I a; b; c là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB . Tính. T a 2 b2 c 2 . A. T 8 .. B. T 2 .. C. T 6 . Lời giải. D. T 14 .. Ta có OA 0; 2; 2 , OB 2; 2; 4 . OAB có phương trình: x y z 0. I OAB a b c 0 . AI a; b 2; c 2 , BI a 2; b 2; c 4 , OI a; b; c . a 2 c 2 2 a 2 2 c 4 2 AI BI a c 4 Ta có hệ 2 2 2 2 AI OI b c 2 b 2 c 2 b c a c 4 a 2 a c 4 Ta có hệ b c 2 b 0 . b c 2 a b c 0 c 2 . Vậy I 2; 0; 2 T a 2 b2 c 2 8 Câu 37.. (THPT Trần Quốc Tuấn - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 4; 2; 1 , B 2; 1; 4 . Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn đẳng thức AM 2 MB . A. M 0;0;3 .. B. M (0;0; 3) .. C. M (8; 4;7) .. D. M (8; 4; 7) .. Lời giải. x 4 2 2 x x 0 Gọi điểm M x; y; z . Khi đó: AM 2 MB y 2 2 1 y y 0 . z 3 z 1 2 4 z Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(54)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Vậy M 0;0;3 . Câu 38.. (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm. A 2;3;1 , B 2;1; 0 , C 3; 1;1 . Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và S ABCD 3S ABC. A. D 8;7; 1 .. D 8; 7;1 B. . D 12;1; 3. D 8;7; 1 C. . D. D 12; 1;3 . D 12; 1;3 Lời giải 2S 1 S ABCD AD BC . ABC . 2 BC. 1 AD BC .d A, BC 2 AD BC .SABC 3BC AD BC AD 2 BC . 3S ABC BC Mà ABCD là hình thang có đáy AD nên AD 2 BC 1 . BC 5; 2;1 , AD xD 2; yD 3; zD 1 .. Ta có: S ABCD . xD 2 10 xD 12 1 yD 3 4 yD 1 . z 1 2 z 3 D D Vậy D 12; 1;3 . Dạng 2. Tích vô hướng, tích có hướng và ứng dụng Dạng 2.1 Tích vô hướng và ứng dụng Câu 1.. (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm M 2;3; 1 , N 1;1;1 và. P 1; m 1; 2 . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N . A. m 2. B. m 6. C. m 0 Lời giải. D. m 4. Chọn C MN 3; 2; 2 ; NP 2; m 2;1 .. Tam giác MNP vuông tại N MN .NP 0 6 2 m 2 2 0 m 2 2 m 0 .. Câu 2.. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Trong không gian Oxyz cho các điểm. A 5;1;5 ; B 4;3; 2 ; C 3; 2;1 . Điểm I a; b; c là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính a 2b c ? A. 1 .. B. 3.. C. 6. Lời giải. D. 9.. AB 1; 2; 3 AB.BC 0 tam giác ABC vuông tại B . Ta có BC 7; 5; 1 tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền AC .. 1 I 1; ;3 . Vậy a 2b c 3. 2 . Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(55)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 3.. (HSG Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho véc tơ u 1;1; 2 , v 1;0; m . Tìm tất cả giá trị của m để góc giữa u , v bằng 45 . A. m 2 .. B. m 2 6 .. + u , v 45 cos u , v . . . C. m 2 6 . Lời giải. u.v 2 2 2 2 u.v. 1 2m 6. 1 m. 2. D. m 2 6 .. . 1 3 m 2 1 1 2m 2. . . 1 1 2m 0 m 2 2 m 2 6. 2 3m 3 1 4m 4m m 2 4m 2 0 Câu 4.. (Sở Kon Tum - 2019) Trong không gian Oxyz , cho các vec tơ a 5;3; 2 và b m; 1; m 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để góc giữa hai vec tơ a và b là góc tù? A. 2.. B. 3.. C. 1. Lời giải. D. 5.. Chọn A. a. b 3m 9 Ta có cos a; b . a.b 38. 2m 2 6m 10 Góc giữa hai vec tơ a và b là góc tù khi và chỉ khi cos a; b 0 3m 9 0 m 3 .. . . . . Vì m nguyên dương nên m 1; 2 . Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 5.. Biết c x; y; z khác 0 và vuông góc với cả hai vectơ a 1;3; 4 , b 1; 2;3 . Khẳng định nào. đúng? A. 5 z x 0 .. B. 7 x y 0 .. C. 5 z x 0 .. D. 7 x y 0 .. Lời giải Chọn D. Theo giả thiết ta có c x; y; z khác 0 và vuông góc với cả hai vectơ a 1;3; 4 , b 1; 2;3 nên c . a 0 1 x 3 y 4 z 0 1 x 3 y 4 z 0 c . b 0 1 x 2 y 3 z 0 5 y 7 z 0 5 1 x 3 y 4. 7 y 0 z 5 y 7. Câu 6.. 7 x y 0 5 y 7 z 0. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho A 2;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0; 2 . Có tất cả bao nhiêu điểm. M trong không gian thỏa mãn CMA 90 AMB BMC A. 0 .. B. 1.. M. không C. 2 .. trùng. với. các. điểm. A, B , C. và. D. 3 .. Lời giải Chọn C Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(56)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. AM .BM 0 CMA 90 BM .CM 0 Gọi M x ; y ; z .Ta có: AMB BMC CM . AM 0 x x 2 y y 2 z2 0 x2 y2 z 2 2 x 2 y 0 x2 y 2 z 2 2 x 2 y 0 2 2 x y y 2 z z 2 0 x y2 z 2 2 y 2z 0 x z x2 y2 z 2 2 x 2 z 0 y z 2 x x 2 y z z 2 0 M 0;0;0 3 x 2 4 x 0 4 4 4. M ; ; x y z 3 3 3 . Câu 7.. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u và v tạo với nhau một góc 120 và u 2 , v 5 . Tính u v B. 5 .. A. 19 . Ta có : u v. . 2. uv. . . 2. C. 7 . D. Lời giải 2 2 2 2 u 2uv v u 2 u . v cos u; v v. 39 .. . 1 22 2.2.5. 52 19 . 2 Suy ra u v 19 .. Câu 8.. (THPT Trần Nhân Tông - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M 2;3; 1 , N 1;1;1 và P 1; m 1; 2 . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N . A. m 6 .. B. m 0 .. C. m 4 . Lời giải. D. m 2 .. Ta có NM 3; 2; 2 , NP 2; m 2;1 .. Tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi NM .NP 0. 3.2 2. m 2 2.1 0 m 0 . Vậy giá trị cần tìm của m là m 0 . Dạng 2.2 Tích có hướng và ứng dụng Câu 9.. (Yên Phong 1 - 2018) Trong không gian Oxyz , cho 4 điểm A 2; 0; 2 , B 1; 1; 2 , C 1;1;0 ,. D 2;1; 2 . Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng A.. 42 . 3. B.. 14 . 3. 21 . 3 Lời giải C.. D.. 7 . 3. AC 3;1; 2 ; AB 1; 1; 4 ; AD 4;1;0 . AB, AC 6; 10; 4 . 1 1 7 Thể tích khối tứ diện là: V . AB, AC . AD 14 . 6 6 3 Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(57)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 10.. (SGD Cần Thơ - 2018) Trong không gian Oxyz , cho các vectơ a 5;3; 1 , b 1; 2;1 , c m;3; 1 . Giá trị của m sao cho a b, c là A. m 1 .. B. m 2 .. C. m 1 .. D. m 2 .. Lời giải b, c 5; m 1;3 2m m 1 3 Ta có: a b, c m 2. 3 2m 1 Câu 11.. (SGD - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ m 4;3;1 , n 0; 0;1 . Gọi p là vectơ cùng hướng với m, n (tích có hướng của hai vectơ m và n ). Biết p 15 , tìm tọa độ vectơ p . A. p 9; 12;0 . B. p 45; 60;0 . C. p 0;9; 12 . D. p 0; 45; 60 . Ta có : m; n 3; 4;0 Do p là vectơ cùng hướng với Mặt khác: p 15 k . m, n . Câu 12.. Lời giải m; n nên p k m; n , k 0 . 15 k .5 15 k 3 . Vậy p 9; 12;0 .. (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho. A 0; 2; 2 a ; B a 3; 1;1 ; C 4; 3;0 ; D 1; 2; a 1 . Tập hợp các giá trị của a để bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng là tập con của tập nào sau? A. 7; 2 .. B. 3;6 .C. 5;8 .. D. 2;2 .. Lời giải Ta có AB a 3;1;a 1 , AC 4; 1;a 2 , AD 1; 0; 2a 3 . AB, AC 2a 3; a 2 5a 10; a 1 . Để bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng: a 0 AB, AC . AD 0 2a 3 2a 3 . a 1 0 . a 3 2 Câu 13.. (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện. ABCD. biết. A 3; 2; m , B 2;0;0 , C 0; 4;0 , D 0;0;3 . Tìm giá trị dương của tham số m để thể tích tứ diện bằng 8. A. m 8 .. B. m 4 .. C. m 12 . Lời giải Ta có: DA 3; 2 ; m 3 , DB 2; 0; 3 , DC 0; 4; 3 .. D. m 6 .. m 6 1 1 DB , DC .DA 8 24 8 m 3 . 6 6 m 6 Vì m dương nên m 6. Do đó chọn D. Thể tích tứ diện: V . Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(58)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 14.. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không u 1;1; 2 , v 1; m; m 2 . Khi u, v 14 thì. gian. với. hệ. tọa. độ. Oxyz ,. cho. 11 11 B. m 1 hoặc m 5 3 C. m 1 hoặc m 3 D. m 1 Lời giải Chọn C u , v m 2; m; m 1 u , v m 2 2 m 2 m 12 3m 2 6m 5 . A. m 1 hoặc m . . u , v Câu 15.. m 1 . 14 3m 2 6m 5 14 3m 2 6m 9 0 m 3. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A 2; 1;1 , B 3;0; 1 , C 2; 1; 3 , D Oy và có thể tích bằng 5 . Tính tổng tung độ của các điểm D . A. 6 Chọn. B. 2. C. 7 Lời giải. D. 4. A.. Do D Oy D 0; y;0 , khi đó: DA 2; 1 y;1 , DB 3; y; 1 , DC 2; 1 y;3 . Khi đó DA, DB 1 2 y;5; y 3 2 y 6 30 y 12 1 Và VABCD DA, DB .DC 5 . 6 2 y 6 30 y 18 Vậy y1 y2 12 18 6 . Câu 16.. (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1; 2;0 ,. B 1;0; 1 , C 0; 1; 2 , D 2; m; n . Trong các hệ thức liên hệ giữa m và n dưới đây, hệ thức nào để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng? A. 2m n 13 .. B. 2m n 13 .. C. m 2n 13 . Lời giải. D. 2m 3n 10 .. Ta tính AB 0; 2; 1; AC 1;1; 2; AD 3; m 2; n ; AB, AC 5;1; 2 Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng AB, AC . AD 0 m 2n 13 Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho hai véc tơ m 4 ; 3 ;1 và n 0 ; 0 ; 1 . Gọi p là véc tơ cùng hướng với m , n và p 15 . Tọa độ của véc tơ p là A. 9 ; 12 ; 0 .. B. 0 ; 9 ; 12 .. Ta có: m , n 3 ; 4 ; 0 . Vì p là véc tơ cùng hướng với. C. 9 ; 12 ; 0 .. D. 0 ; 9 ; 12 .. Lời giải. m , n nên p k . m , k 3 Ta có: p 15 9k 2 16k 2 15 . k 3. n 3k ; 4k ; 0 , k 0 .. Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(59)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. So sánh với điều kiện k 0 k 3 p 9 ; 12 ; 0 .. Câu 18.. (Việt. Đức. Hà. Nội. Trong. 2019). hệ. trục. tọa. độ. Oxyz ,. cho. bốn. điểm. A 0; 2;1 ; B 1;0; 2 ; C 3;1; 2 ; D 2; 2; 1 . Câu nào sau đây sai? A. Bốn điểm A, B , C , D không đồng phẳng. B. Tam giác ACD là tam giác vuông tại A . C. Góc giữa hai véctơ AB và CD là góc tù. D. Tam giác ABD là tam giác cân tại B . Lời giải AB 1; 2; 3 ; CD 5; 3;1 AC 3;3; 3 ; BD 3; 2;1 AD 2; 0; 2 Ta có: AB, AC 3; 6; 3 AB, AC . AD 2 .3 0.6 2 3 0 . AB , AC , AD đồng phẳng hay bốn điểm A, B , C , D đồng phẳng. Vậy đáp án A sai. Lại có AC . AD 3. 2 3.0 3 . 2 0 AC AD . tam giác ACD là tam giác vuông tại A . Vậy đáp án B đúng. Mặt khác: AB.CD 1. 5 2. 3 3 .1 14 0 cos AB, CD 0 AB, CD là góc tù.. . . . . Vậy đáp án C đúng. AB BD 14 hay AB BD tam giác ABD là tam giác cân tại B . Vậy đáp án D đúng. Câu 19.. (THPT Lương Thế Vinh - 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2;3;1 , B 2;1;0 ,. C 3; 1;1 . Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và S ABCD 3S ABC . A. D 8;7; 1 .. D 8; 7;1 B. . D 12;1; 3. D 8; 7; 1 C. . D 12; 1;3 Lời giải. D. D 12; 1;3 .. Ta có AD //BC AD nhận CB 5; 2; 1 là một VTCP. x 2 5t Kết hợp với AD qua A 2;3;1 AD : y 3 2t t D 5t 2; 2t 3;1 t . z 1 t Biến đổi S ABCD 3S ABC S ACD 2 S ABC 1. AB 4; 2; 1 AB; AC 4;1; 18 Ta có AC 1; 4;0 AC ; AD 4t; t;18t AD 5 t ; 2 t ; t 1 1 S ABC AB; AC 2 2 1 1 S ACD 2 AC ; AD 2. 4 2. 2. 2. 12 18 2. 4t t 18t . 2. 341 2 t 341 2. Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(60)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Kết hợp với 1 ta được. t 2 D 8;7; 1 t 341 341 2 t 2 D 12; 1;3. Với D 8;7; 1 AD 10; 4; 2 2CB 2 BC . Với D 12; 1;3 AD 10; 4; 2 2CB 2 BC .. Hình thang ABCD có đáy AD thì AD k BC với k 0 . Do đó chỉ có D 12; 1;3 thỏa mãn. Câu 20.. (Bình Giang-Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 0; 0; 2 , B 3; 0;5 , C 1;1; 0 , A 4;1; 2 . Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt. phẳng ABC là A.. 11 . 11. B. 1 .. C. 11 .. D. 11 .. Lời giải Chọn A Gọi DH là độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ABC . 1 Công thức tính thể tích tứ diện ABCD là: VABCD AB, AC . AD . 6 1 Công thức tính diện tích tam giác S ABC là: S ABC AB, AC . 2 1 Mặt khác VABCD S ABC DH nên 3 AB, AC . AD 1 1 1 AB, AC . AD AB, AC DH DH 6 3 2 AB, AC Ta có: AB 3; 0;3 ; AC 1;1; 2 ; AD 4;1; 0 AB, AC 3;9;3 ; AB , AC . AD 3. AB, AC . AD 3 11 Nên DH 2 2 2 11 AB, AC 3 9 3 Câu 21.. (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho. A 0; 2; 2 a ; B a 3; 1;1 ; C 4; 3;0 ; D 1; 2; a 1 . Tập hợp các giá trị của a để bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng là tập con của tập nào sau? A. 7; 2 .. B. 3;6 .C. 5;8 .. D. 2;2 .. Lời giải Ta có AB a 3;1; a 1 , AC 4; 1; a 2 , AD 1; 0; 2a 3 . AB, AC 2a 3; a 2 5a 10; a 1 . Để bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng:. Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(61)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. a 0 AB, AC . AD 0 2a 3 2a 3 . a 1 0 . a 3 2. Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(62)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. Chuyên đề 29. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng 1. Xác định tâm và bán kính Mặt cầu tâm I (a; b; c) và có bán kính R có phương trình ( S ) : ( x a ) 2 ( y b) 2 ( z c) 2 R 2 . Phương trình x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 với a 2 b2 c 2 d 0 là phương trình của mặt cầu có tâm I (a; b; c) và bán kính R a 2 b 2 c 2 d . Để một phương trình là một phương trình mặt cầu, cần thỏa mãn hai điều kiện: Hệ số trước x 2 , y 2 , z 2 phải bằng nhau và a 2 b 2 c 2 d 0. Câu 1.. (Đề. Minh. Họa. 2. 2020. Lần. 2. Trong. 1). không. Oxyz ,. gian. (Đề. Tham. Khảo. 2. S : x 2 y 4 A. 2; 4; 1 . Câu 3.. 2. cho. R. mặt. cầu. mặt. cầu. 2. S : x 1 y 2 z 3 16 . Tâm của S có tọa độ là A. 1; 2; 3 . B. 1;2;3 . C. 1;2; 3 . Câu 2.. I. 2020. Lần. 2). Trong. không. D. 1; 2;3 .. Oxyz ,. gian. cho. 2. z 1 9 . Tâm của S có tọa độ là. B. 2; 4;1 .. C. 2; 4;1 .. D. 2; 4; 1 . 2. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 9 . Bán kính của S bằng A. 6 .. Câu 4.. B. 18 .. C. 3 .. D. 9 . 2. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 9 . Bán kính của S bằng A. 6 .. Câu 5.. B. 18 .. C. 9 .. D. 3 .. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 y 2 ( z 1) 2 16 . Bán kính của ( S ) là: A. 32. Câu 6.. C. 4. B. 8. D. 16 2. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 16 . Bán kính của mặt cầu S bằng B. 32 .. A. 4 . Câu 7.. (Mã. 101-. 2020. 2. C. 16 .. Lần. 2. Trong. 2). D. 8 .. không. gian. Oxyz ,. S : x 1 y 2 z 3 4 . Tâm của S có tọa độ là A. 1; 2; 3 . B. 2; 4;6 . C. 1; 2;3 . Câu 8.. (Mã. 103. -. 2020. 2. 2. Lần. S : x 1 y 2 z 3 A. 1; 2;3 . Câu 9.. (Mã. 2. Trong. 2). 2. mặt. cầu. 2020 2. không. gian. D. 2; 4; 6 . Oxyz ,. cho. mặt. cầu. 4 . Tâm của S có tọa độ là. B. 2; 4; 6 .. 102. cho. 2. Lần. C. 2;4;6 . 2). Trong. không. D. 1; 2; 3 . gian. Oxyz ,. cho. mặt. 2. cầu ( S ) : ( x 1) ( y 2) ( z 3) 9 . Tâm của ( S ) có tọa độ là: Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(63)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. (2; 4;6) . Câu 10.. (Mã. 104. B. (2; 4; 6) . -. 2. 2020 2. Lần. 2). C. (1; 2;3) . Trong. 2. x 1 y 2 z 3 9 . Tâm của S A. 1; 2;3 . B. 2; 4;6 . Câu 11.. (Mã. 104. Trong. 2017) 2. gian. gian. Oxyz ,. cho. mặt. cầu. S :. có tọa độ là C. 1;2; 3 . với. hệ. D. 2; 4; 6 .. toạ. độ. Oxyz ,. cho. mặt. cầu. 2. x 2 y 2 z 2 8 . Tính bán kính R của S .. S :. B. R 64. A. R 2 2 Câu 12.. không. không. D. (1; 2; 3) .. C. R 8. D. R 4 2. 2. 2. (Mã 104 2018) Trong không gian Oxyz , mặt cầu S : x 5 y 1 z 2 3 có bán kính bằng A. 9. Câu 13.. C. 3. B. 2 3. (Mã. 105. Trong. 2017) 2. không. 2. S : x 5 y 1 z 2 A. R 6 Câu 14.. 2. gian. D.. với. hệ. toạ. độ. 3. Oxyz ,. cho. mặt. cầu. 9 . Tính bán kính R của S .. B. R 3. C. R 18. D. R 9 2. 2. 2. (Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 3 y 1 z 1 2 . Tâm của S có tọa độ là A. 3; 1;1. Câu 15.. B. 3; 1;1. C. 3;1; 1. D. 3;1; 1. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , tìm tọa độ tâm I và bán kính 2. 2. 2. R của mặt cầu x 1 y 2 z 4 20 . A. I 1; 2; 4 , R 2 5 B. I 1; 2;4 , R 20 C. I 1; 2; 4 , R 2 5 D. I 1; 2; 4 , R 5 2 Câu 16.. (Mã 101 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 2 z 7 0 . Bán kính của mặt cầu đã cho bằng A. 3 .. Câu 17.. B. 15 .. C.. 7.. D. 9 .. (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 y 2 z 7 0 . Bán kính của mặt cầu đã cho bằng A. 15 .. Câu 18.. B.. 7.. C. 9 .. D. 3 .. (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 7 0. Bán kính của mặt cầu đã cho bằng A.. Câu 19.. 7.. B. 9 .. C. 15 .. D. 3 .. (Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 y 2 z 2 2 y 2 z 7 0. Bán kính của mặt cầu đã cho bằng A.. 7.. B. 3 .. C. 9.. D.. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 15 ..
<span class='text_page_counter'>(64)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 20.. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu. S : x 2 y 2 z 2 8 x 2 y 1 0 . Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu S . A. I –4;1; 0 , R 2. B. I –4;1; 0 , R 4. C. I 4; –1; 0 , R 2. D. I 4; –1;0 , R 4. Câu 21.. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 3 0 . Tính bán kính R của mặt cầu S . A. R 3 .. B. R 3 .. C. R 9 .. D. R 3 3 .. Câu 22. Trong không gian vơi hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 8 x 2 y 1 0 . Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu S : A. I 4;1; 0 , R 2 . Câu 23.. C. I 4; 1; 0 , R 2 . D. I 4; 1; 0 , R 4 .. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2. S : x 3 y 1 A. I 3;1; 1 . Câu 24.. B. I 4;1;0 , R 4 .. 2. 2. z 1 2 . Xác định tọa độ tâm của mặt cầu S . B. I 3;1; 1 .. C. I 3; 1;1 .. D. I 3; 1;1 .. (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 3 0 . Tọa độ tâm I của mặt cầu S là: B. 2; 4; 2 .. A. 1; 2; 1 . Câu 25.. C. 1; 2; 1 .. D. 2; 4; 2 .. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu. S : x2 y 2 z 2 8x 10 y 6z 49 0 . Tính bán kính B. R 7 .. A. R 1 .. R của mặt cầu S .. C. R 151 .. D. R 99 .. Câu 26. Trong không gian Oxyz , mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 6 z 1 0 có tâm là A. 4; 2; 6 Câu 27.. B. 2; 1;3. C. 2;1; 3. D. 4; 2; 6 . (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có 2. 2. 2. phương trình x 1 y 2 z 3 4 . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó. A. I 1;2; 3 ; R 2 . B. I 1;2; 3 ; R 4 . C. I 1; 2;3 ; R 2 . Câu 28.. D. I 1; 2;3 ; R 4 .. (KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 4 0 .Tính bán kính R của ( S ). A. 1 .. Câu 29.. B. 9 .. C. 2 .. D. 3 .. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu. S : x 3 y 1 z 1 4 . Tâm của S có tọa độ là 2. A. 3;1; 1 .. 2. 2. B. 3; 1;1 .. C. 3; 1; 1 .. D. 3;1; 1 .. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(65)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dạng 2. Viết phương trình mặt cầu Tâm I (a; b; c) Dạng 1. Cơ bản ( S ) : ( S ) : ( x a )2 ( y b)2 ( z c) 2 R 2 . BK : R Dạng 2. Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và đi qua điểm A. Tâm I Phương pháp: ( S ) : (dạng 1) BK : R IA Dạng 3. Viết phương trình mặt cầu ( S ) có đường kính AB, với A, B cho trước. Tâm I là trung điểm của AB. Phương pháp: ( S ) : 1 BK : R 2 AB Câu 1.. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 0;0; 3 và đi qua điểm M 4;0;0 . Phương trình của S là 2. B. x 2 y 2 z 3 5 .. 2. 2. D. x 2 y 2 z 3 5 .. A. x 2 y 2 z 3 25 .. 2. C. x 2 y 2 z 3 25 . Câu 2.. (Mã 110 2017) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , tìm tất cả các giá trị của m để phương trình. x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z m 0 là phương trình của một mặt cầu. A. m 6 B. m 6 C. m 6 Câu 3.. D. m 6. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz cho hai điểm I 1;1;1 và A 1; 2;3 . Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua A là 2. 2. 2. B. x 1 y 1 z 1 29. 2. 2. 2. D. x 1 y 1 z 1 25. A. x 1 y 1 z 1 5 C. x 1 y 1 z 1 5 Câu 4.. 2. 2. 2. 2. 2. 2. (THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm. A 1; 2; 7 , B 3;8; 1 . Mặt cầu đường kính AB có phương trình là 2. 2. 2. B. x 1 y 3 z 3 45 .. 2. 2. 2. D. x 1 y 3 z 3 45 .. A. x 1 y 3 z 3 45 . C. x 1 y 3 z 3 45 . Câu 5.. 2. 2. 2. 2. 2. 2. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu có tâm I 1; 4;3 và đi qua điểm A 5; 3;2 . 2. 2. 2. B. x 1 y 4 z 3 16 .. 2. 2. 2. D. x 1 y 4 z 3 18 .. A. x 1 y 4 z 3 18 . C. x 1 y 4 z 3 16 . Câu 6.. 2. 2. 2. 2. 2. 2. (Chuyên Sơn La -2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1;1 và B 1; 1;3 . Phương trình mặt cầu có đường kính AB là 2. 2. B. x 1 y 2 z 2 2 .. 2. 2. D. x 1 y 2 z 2 8 .. A. x 1 y 2 z 2 8 . C. x 1 y 2 z 2 2 . Câu 7.. 2. 2. 2. 2. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B 2;2; 3 . Phương trình mặt cầu đường kính AB là. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(66)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2. 2. 2. B. x y 3 z 1 9.. 2. 2. D. x 2 y 3 z 1 36.. A. x y 3 z 1 36. C. x 2 y 3 z 1 9. Câu 8.. 2. 2. 2. 2. (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình của mặt cầu? A. x 2 y 2 z 2 2 x 4 z 1 0 B. x 2 z 2 3 x 2 y 4 z 1 0 C. x 2 y 2 z 2 2 xy 4 y 4 z 1 0. Câu 9.. 2. D. x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 8 0. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 1; 3 ; B 0;3; 1 . Phương trình của mặt cầu đường kính AB là : 2. 2. 2. B. x 1 y 1 z 2 24. 2. 2. 2. D. x 1 y 1 z 2 6. A. x 1 y 1 z 2 6 C. x 1 y 1 z 2 24 Câu 10.. 2. 2. 2. 2. 2. 2. (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?. Câu 11.. A. x 2 y 2 z 2 x 2 y 4 z 3 0 .. B. 2 x 2 2 y 2 2 z 2 x y z 0 .. C. 2 x 2 2 y 2 2 z 2 4 x 8 y 6 z 3 0 .. D. x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 4 z 10 0 .. (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Trong không gian với hệ trục tọ độ Oxyz , cho hai điểm A 1;2;3 , B 5;4; 1 . Phương trình mặt cầu đường kính AB là 2. 2. 2. B. x 3 y 3 z 1 9 .. 2. 2. 2. D. x 3 y 3 z 1 9 .. A. x 3 y 3 z 1 36 . C. x 3 y 3 z 1 6 . Câu 12.. 2. 2. 2. 2. 2. 2. (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu tâm I 2;1; 2 bán kính R 2 là: 2. Câu 13.. 2. 2. A. x 2 y 1 z 2 2 2 .. B. x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 4 z 5 0 .. C. x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 4 z 5 0 .. D. x 2 y 1 z 2 2 .. 2. 2. 2. (Việt Đức Hà Nội 2019) Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu S tâm A 2;1;0 , đi qua điểm B 0;1; 2 ? 2. 2. 2. 2. 2 A. S : x 2 y 1 z 8 .. C. S : x 2 y 1 z 2 64 .. 2. 2. 2. 2. B. S : x 2 y 1 z 2 8 . D. S : x 2 y 1 z 2 64 .. Câu 14. (Chuyên Lam Sơn 2019) Trong không gian Oxyz cho điểm I (2;3; 4) và A 1; 2;3 . Phương trình mặt cầu tâm I và đi qua A có phương trình là: A. ( x 2)2 ( y 3) 2 ( z 4)2 3 . 2. 2. C. ( x 2) 2 y 3 z 4 45 . Câu 15.. 2. 2. 2. 2. B. ( x 2) 2 y 3 z 4 9 . D. ( x 2) 2 y 3 z 4 3 .. (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm I 1;1;1 và. A 1; 2;3 . Phương trình của mặt cầu có tâm I và đi qua A là 2. 2. 2. B. x 1 y 1 z 1 5 .. 2. 2. 2. D. x 1 y 1 z 1 5 .. A. x 1 y 1 z 1 29 . C. x 1 y 1 z 1 25 .. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(67)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 16.. (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;3 , B 5;4; 1 . Phương trình mặt cầu đường kính AB là 2. 2. 2. B. x 3 y 3 z 1 6 .. 2. 2. 2. D. x 3 y 3 z 1 36 .. A. x 3 y 3 z 1 9 . C. x 3 y 3 z 1 9 . Câu 17.. 2. 2. 2. 2. 2. 2. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh 1819) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 7; 2;2 và. B 1; 2; 4 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đường kính AB ? 2. 2. A. x 4 y 2 z 3 14 . 2. 2. 2. C. x 7 y 2 z 2 14 . Câu 18.. 2. 2. 2. 2. B. x 4 y 2 z 3 2 14 . D. x 4 y 2 z 3 56 .. (Bình Phước - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M 3; 2;5 , N 1;6; 3 . Mặt cầu đường kính MN có phương trình là: 2. 2. 2. B. x 1 y 2 z 1 6 .. 2. 2. 2. D. x 1 y 2 z 1 36 .. A. x 1 y 2 z 1 6 . C. x 1 y 2 z 1 36 .. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(68)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. Chuyên đề 29. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Xác định tâm, bán kính của mặt cầu Mặt cầu tâm I (a; b; c) và có bán kính R có phương trình ( S ) : ( x a ) 2 ( y b) 2 ( z c) 2 R 2 . Phương trình x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 với a 2 b 2 c 2 d 0 là phương trình của mặt cầu có tâm I (a; b; c) và bán kính R a 2 b 2 c 2 d . Để một phương trình là một phương trình mặt cầu, cần thỏa mãn hai điều kiện: Hệ số trước x 2 , y 2 , z 2 phải bằng nhau và a 2 b2 c 2 d 0. Câu 1.. I. R. (Sở Phú Thọ 2019) Trong không gian Oxyz , có tất cả bao nhiêu giá nguyên của m để. x 2 y 2 z 2 2 m 2 x 2 m 1 z 3m2 5 0 là phương trình một mặt cầu? B. 6. A. 4 Câu 2.. C. 5. D. 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x 2 y 2 z 2 2 m 2 x 4my 19m 6 0 là phương trình mặt cầu.. B. m 1 hoặc m 2 . C. 2 m 1.. A. 1 m 2 . Câu 3.. D. m 2 hoặc m 1 .. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình. x 2 y 2 z 2 4mx 2my 2 mz 9m 2 28 0 là phương trình mặt cầu? A. 7 . B. 8 . C. 9 . D. 6 . Câu 4.. Trong. không. Oxyz ,. gian. xét. mặt. cầu. S. có. phương. trình. dạng. x2 y 2 z 2 4 x 2 y 2az 10a 0 . Tập hợp các giá trị thực của a để S có chu vi đường tròn lớn bằng 8 là A. 1;10 . Câu 5.. B. 2; 10 .. C. 1;11 .. D. 1; 11 .. (Chuyên Lê Quý Dôn - Dà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;0;0 , C 0;0;3 , B 0; 2;0 . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA2 MB 2 MC 2 là mặt cầu có bán kính là: A. R 2 .. Câu 6.. B. R 3 .. C. R 3 .. D. R 2 .. (Toán Học Và Tuổi Trẻ 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2; 4 , B 1; 3;1 , C 2; 2;3 . Tính đường kính l của mặt cầu S đi qua ba điểm trên và có. tâm nằm trên mặt phẳng Oxy . A. l 2 13 . Câu 7.. B. l 2 41 .. C. l 2 26 .. D. l 2 11 .. (Chuyên ĐHSPHN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 1;0; 0 , B 0;0; 2 , C 0; 3; 0 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là. A.. 14 . 3. B.. 14 . 4. C.. 14 . 2. D. 14 .. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(69)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 8.. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội -2019) Gọi. S . là mặt cầu đi qua 4 điểm. A 2; 0;0 , B 1;3;0 , C 1; 0;3 , D 1; 2;3 . Tính bán kính R của S .. A. R 2 2 . Câu 9.. B. R 3 .. C. R 6 .. D. R 6 .. (Sở Hà Nội 2019) Cho hai điểm A, B cố định trong không gian có độ dài AB là 4 . Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA 3MB là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng 9 3 A. 3 . B. . C. 1 . D. . 2 2. Câu 10.. (Sở Bình Phước - 2018) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho phương trình. x 2 y 2 z 2 2 m 2 x 4my 2mz 5m2 9 0 . Tìm các giá trị của m để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. A. m 5 hoặc m 1 . B. 5 m 1 . Câu 11.. C. m 5 .. D. m 1 .. (Yên Phong 1 - 2018) Trong không gian Oxyz . Cho tứ diện đều ABCD có A 0;1; 2 và hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng BCD là H 4; 3; 2 . Tìm tọa độ tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . A. I 3; 2; 1 . B. I 2; 1;0 .. Câu 12.. C. I 3; 2;1 .. D. I 3; 2;1 .. (Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy và đi qua ba điểm A 1; 2; 4 , B 1; 3;1 , C 2; 2;3 . Tọa độ tâm I của mặt cầu là A. 2; 1;0 .. B. 2;1;0 .. C. 0;0; 2 .. D. 0;0;0 .. Câu 13. Trong không gian tọa độ Oxyz , mặt cầu S đi qua điểm O và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác O thỏa mãn tam giác ABC có trọng tâm là điểm G 6; 12;18 . Tọa độ tâm của mặt cầu S là A. 9;18; 27 .. B. 3; 6;9 .. C. 3;6; 9 . 2. D. 9; 18; 27 . 2. 2. Câu 14. Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x cos y cos z cos 4 với. , và lần lượt là ba góc tạo bởi tia Ot bất kì với 3 tia Ox, Oy và Oz . Biết rằng mặt cầu S luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định. Tổng diện tích của hai mặt cầu cố định đó bằng A. 40 . B. 4 . C. 20 . D. 36 . 2 2 2 2 Câu 15. Cho phương trình x y z 4 x 2 my 3m 2 m 0 với m là tham số. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu. A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Câu 16. (Sở Kon Tum 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3;0; 0 , B 0; 2; 0 , C 0; 0; 4 . Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có diện tích bằng 29 A. 116 . B. . C. 29 . 4 Câu 17.. D. 16 .. (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm. A 1; 2; 4 , B 1; 3;1 , C 2; 2;3 . Tính bán kính R của mặt cầu S đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(70)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. B. R 15 .. A. R 41 . Câu 18.. C. R 13 .. D. R 26 .. (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Trong không gian Oxyz , gọi S là mặt cầu đi qua điểm. D 0;1; 2 và tiếp xúc với các trục Ox , Oy , Oz tại các điểm A a ;0;0 , B 0; b ;0 , C 0;0; c trong đó a, b, c \ 0;1 . Bán kính của S bằng A.. 5.. B.. 5 . 2. C.. 3 2 . 2. D. 5 2 . 2. 2. 2. Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y 2 z 3 25 và hình nón H có đỉnh A 3; 2; 2 và nhận AI làm trục đối xứng với I là tâm mặt cầu. Một đường sinh của hình nón H cắt mặt cầu tại M , N sao cho AM 3 AN . Viết phương trình mặt cầu đồng tâm với mặt cầu S và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón H . 71 70 2 2 2 . B. x 1 y 2 z 3 . 3 3 74 76 2 2 2 2 2 2 C. x 1 y 2 z 3 . D. x 1 y 2 z 3 . 3 3 Câu 20. (Chuyên Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian Oxyz , gọi I a; b; c là tâm mặt cầu đi qua điểm 2. 2. 2. A. x 1 y 2 z 3 . A 1; 1; 4 và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ. Tính P a b c .. A. P 6 .. B. P 0 .. C. P 3 .. D. P 9 .. Câu 21. (THPT Mộ Đức - Quảng Ngãi - 2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 0; 1;2 , B 2; 3;0 , C 2;1;1 , D 0; 1;3 . Gọi L là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức MA.MB MC .MD 1 . Biết rằng L là một đường tròn, đường tròn đó có bán. kính r bằng bao nhiêu?. 5 7 3 . C. r . D. r . 2 2 2 Dạng 2. Viết phương trình mặt cầu Tâm I (a; b; c) Dạng 1. Cơ bản ( S ) : ( S ) : ( x a ) 2 ( y b) 2 ( z c) 2 R 2 . BK : R Dạng 2. Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và đi qua điểm A. Tâm I Phương pháp: ( S ) : (dạng 1) BK : R IA Dạng 3. Viết phương trình mặt cầu ( S ) có đường kính AB, với A, B cho trước. Tâm I là trung điểm của AB. Phương pháp: ( S ) : 1 BK : R 2 AB Dạng 4. Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và tiếp xúc với các trục và mp tọa độ. Tâm I Phương pháp: ( S ) : với M là hình chiếu của I lên trục hoặc mp tọa BK : R IM Dạng 5. Viết phương trình mặt cầu (độ. S ) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P). A. r . 11 . 2. B. r . Tâm I Phương pháp: ( S ) : BK : R d I ;( P) Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(71)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Khoảng cách từ điểm M ( xM ; yM ; zM ) đến mặt phẳng ( P) : ax by cz d 0 được xác định bởi. công thức: d ( M ;( P)) . axM byM czM d. a2 b2 c2 Dạng 6. Viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua bốn điểm A, B, C , D. Phương pháp: Gọi ( S ) : x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 Vì A, B, C , D ( S ) nên tìm được 4 phương trình a, b, c, d ( S ). Dạng 7. Viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua 3 điểm A, B, C và tâm thuộc mp ( P ). Phương pháp: Gọi ( S ) : x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 Vì A, B, C ( S ) nên tìm được 3 phương trình và I (a; b; c) ( P ) là phương trình thứ tư. Giải hệ bốn phương trình này a, b, c, d ( S ). Dạng 8. Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và cắt mặt phẳng ( P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r. (dạng này mình sẽ đưa vào bài phương trình mặt phẳng, các bạn học cũng có thể tự tìm để hiểu hơn) Phương pháp: Dựa vào mối liên hệ R 2 d 2[I ;( P )] r 2 và cần nhớ C 2 r và Sđt r 2 .. Câu 1.. (Mã 123 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1; 2; 3 . Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM ? 2. B. x 1 y 2 z 2 17. 2. 2. D. x 1 y 2 z 2 13. A. x 1 y 2 z 2 13. 2. C. x 1 y 2 z 2 13 Câu 2.. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm I (1; 2;3) . Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho AB 2 3. Câu 3.. A. ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 16.. B. ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 20.. C. ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 25.. D. ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 9.. (Sgd Cần Thơ - 2018) Trong không gian Oxyz , giá trị dương của m sao cho mặt phẳng Oxy 2. 2. tiếp xúc với mặt cầu x 3 y 2 z 2 m 2 1 là A. m 5 . Câu 4.. B. m 3 .. C. m 3 .. D. m 5 .. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 2;3 . Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox . Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM ? 2. B. x 1 y 2 z 2 13 .. 2. D. x 1 y 2 z 2 17 .. A. x 1 y 2 z 2 13 . C. x 1 y 2 z 2 13 . Câu 5.. 2. 2. (Sở Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , trong các mặt cầu dưới đây, mặt cầu nào có bán kính R 2 ? A. S : x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 2 z 3 0 .. B. S : x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 2 z 10 0 .. C. S : x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 2 z 2 0 .. D. S : x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 2 z 5 0 .. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(72)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 6.. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;1; 2 , B 3;2; 3 . Mặt cầu S có tâm I thuộc Ox và đi qua hai điểm A, B có phương. Câu 7.. trình. A. x 2 y 2 z 2 8 x 2 0 .. B. x 2 y 2 z 2 8 x 2 0 .. C. x 2 y 2 z 2 4 x 2 0 .. D. x 2 y 2 z 2 8 x 2 0 .. Trong không gian Oxyz , mặt cầu có tâm I 1;1;1 và diện tích bằng 4 có phương trình là 2. 2. 2. B. x 1 y 1 z 1 1. 2. 2. 2. D. x 1 y 1 z 1 1. A. x 1 y 1 z 1 4 C. x 1 y 1 z 1 4 Câu 8.. 2. 2. 2. 2. 2. 2. (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu S qua bốn điểm A 3;3; 0 , B 3;0;3 , C 0;3;3 , D 3;3;3 . Phương trình mặt cầu S là 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 3 3 3 3 3 A. x y z . 2 2 2 2 3 3 3 27 B. x y z . 2 2 2 4 . 3 3 3 27 C. x y z . 2 2 2 4 3 3 3 27 D. x y z . 2 2 2 4 . Câu 9.. (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có tọa độ đỉnh A 2; 0; 0 , B 0; 4; 0 , C 0; 0; 6 , A 2; 4; 6 . Gọi S là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Viết phương trình mặt cầu S có tâm trùng với tâm của mặt cầu S và có bán kính gấp 2 lần bán kính của mặt cầu S . 2. 2. 2. B. x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 0 .. 2. 2. 2. D. x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 12 0 .. A. x 1 y 2 z 3 56 . C. x 1 y 2 z 3 14 . Câu 10.. (Trần Phú - Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu tâm I 2;1; 3 và tiếp xúc với trục Oy có phương trình là 2. 2. 2. B. x 2 y 1 z 3 13 .. 2. 2. 2. D. x 2 y 1 z 3 10 .. A. x 2 y 1 z 3 4 . C. x 2 y 1 z 3 9 . Câu 11.. 2. 2. 2. 2. 2. 2. (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu S có tâm I 1; 4; 2 và có thể tích bằng. 256 . Khi đó phương trình mặt cầu S là 3. 2. 2. 2. B. x 1 y 4 z 2 4 .. 2. 2. 2. D. x 1 y 4 z 2 4 .. A. x 1 y 4 z 2 16 . C. x 1 y 4 z 2 4 .. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(73)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 12.. (Chuyên Nguyễn Đình Triểu - Đồng Tháp - 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2. 2. S : x 1 y 1 z 2 4. Một mặt cầu S S . Phương trình mặt cầu S là 2. 2. 2. B. x 9 y 1 z 6 144 .. 2. 2. 2. D. x 9 y 1 z 6 25 .. A. x 9 y 1 z 6 64 . C. x 9 y 1 z 6 36 . Câu 13.. có tâm I 9;1;6 và tiếp xúc ngoài với mặt cầu 2. 2. 2. 2. 2. 2. (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2018) Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A 1; 1;4 và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ. 2. 2. 2. B. x 3 y 3 z 3 9 .. 2. 2. 2. D. x 3 y 3 z 3 49 .. A. x 3 y 3 z 3 16 . C. x 3 y 3 z 3 36 . Câu 14.. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 8 4 8 (Kim Liên - Hà Nội – 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M 2; 2;1 , N ; ; . 3 3 3 Viết phương trình mặt cầu có tâm là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác OMN và tiếp xúc với mặt phẳng Oxz . 2. 2. 2. A. x 2 y 1 z 1 1 . 2. 2. B. x 2 y 1 z 1 1 . 2. 2. C. x 1 y 1 z 2 1 .. 2. D. x 1 y 2 z 1 1 .. Câu 15. (Toán Học Tuổi Trẻ 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm H 1; 2; 2 . Mặt phẳng đi qua H và cắt các trục Ox , Oy , Oz tại A , B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC . Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng . A. x 2 y 2 z 2 81 .. B. x 2 y 2 z 2 1 .. C. x 2 y 2 z 2 9 .. D. x 2 y 2 z 2 25 .. Câu 16. (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2018) Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A 1; 1;4 và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ. 2. 2. 2. B. x 3 y 3 z 3 9 .. 2. 2. 2. D. x 3 y 3 z 3 49 .. A. x 3 y 3 z 3 16 . C. x 3 y 3 z 3 36 .. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(74)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. Chuyên đề 29. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng 1. Một số bài toán liên quan đến tiếp tuyến (tiếp xúc) mặt cầu Câu 1.. . (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2. . 2. 3 . Có tất cả. bao nhiêu điểm A a ; b ; c ( a, b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng Oxy sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau? A. 8 . Câu 2.. B. 16 .. C. 12 .. D. 4 . 2. (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 1 5 . Có tất cả bao nhiêu điểm A a, b, c ( a, b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng Oxy sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau? A. 20. Câu 3.. B. 8. C. 12. D. 16 2. (Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu: S : x 2 y 2 z 1 5 . Có tất cả bao nhiêu điểm A a ; b ; c ( a , b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng Oxy sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau?. Câu 4.. A. 20 . B. 8 . C. 12 . D. 16 . (THPT Chuyên Ngữ - Hà Nội - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 2. 2. S : x 1 y 1 z 2 4 và một điểm M 2;3;1 . Từ M kẻ được vô số các tiếp tuyến tới S , biết tập hợp các tiếp điểm là đường tròn C . Tính bán kính r của đường tròn C . A. r Câu 5.. 2 3 . 3. B. r . 3 . 3. C. r . 2 . 3. D. 2 .. (THPT Chuyên Hạ Long - 2018) Trong không gian, cho bốn mặt cầu có bán kính lần lượt là 2 , 3 , 3 , 2 (đơn vị độ dài) tiếp xúc ngoài với nhau. Mặt cầu nhỏ nhất tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu nói trên có bán kính bằng 5 3 7 6 A. . B. . C. . D. . 9 7 15 11 Dạng 2. Bài toán cực trị. 1. Một số bất đẳng thức cơ bản Kết quả 1. Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn thì lớn hơn Kết quả 2. Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất. Như trong hình vẽ ta luôn có AM AH. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(75)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Kết quả 3. Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có bất đẳng thức AB BC AC . Tổng quát hơn ta có bất đẳng thức của đường gấp khúc: Với n điểm A1 , A2 ,.... An ta luôn có A1 A2 A2 A3 ... An 1 An A1 An x y 2 xy . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y Kết quả 4. Với hai số không âm x, y ta luôn có 2 Kết quả 5. Với hai véc tơ a, b ta luôn có a.b a . b . Đẳng thức xảy ra khi a kb, k 2. Một số bài toán thường gặp Bài toán 1. Cho điểm A cố định và điểm M di động trên hình H ( H là đường thẳng, mặt phẳng). Tìm giá trị nhỏ nhất của AM. Lời giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên hình H . Khi đó, trong tam giác AHM Vuông tại . M ta có AM AH . Đẳng thức xảy ra khi M H . Do đó AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A lên H Bài toán 2. Cho điểm A và mặt cầu S có tâm I , bán kính R, M là điểm di động trên S . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của AM .. Lời giải. Xét A nằm ngoài mặt cầu ( S ). Gọi M 1 , M 2 lần lượt là giao điểm của đường thẳng AI với mặt cầu ( S ) AM 1 AM 2 và ( ) là mặt phẳng đi qua M và đường thẳng AI . Khi đó ( ) cắt ( S ) theo một đường tròn lớn (C ). Ta có M MM 90 , nên AMM 2 và AM M là các góc tù, nên trong các tam giác 1. 2. 1. AMM 1 và AMM 2 ta có AI R AM 1 AM AM 2 AI R Tương tự với A nằm trong mặt cầu ta có R AI AM R AI Vậy min AM | AI R |, max AM R AI Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(76)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Bài toán 3. Cho măt phẳng ( P) và hai điểm phân biệt A, B. Tìm điểm M thuộc ( P) sao cho 1. MA MB nhỏ nhất. 2. | MA MB | lớn nhất. Lời giải. 1. Ta xét các trường hợp sau - TH 1: Nếu A và B nằm về hai phía so với ( P) . Khi đó AM BM AB Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( P) . - TH 2: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( P) . Gọi A đối xứng với A qua ( P) . Khi đó AM BM A M BM A B Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( P) .. 2. Ta xét các trường hợp sau - TH 1: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( P) . Khi đó | AM BM | AB Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( P) . - TH 2: Nếu A và B nằm khác phía so với ( P) . Gọi A ' đối xứng với A qua P , Khi đó. | AM BM | A M BM A B Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( P) . Bài toán 4. Viết phương trinh măt phẳng ( P) di qua A và cách B một khoảng lớn nhất.. Lời giải. Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng ( P), khi đó d( B,( P)) BH BA Do đó P là mặt phẳng đi qua A vuông góc với AB Bài toán 5. Cho các số thực dương , và ba điểm A, B, C. Viết phương trình măt phẳng Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(77)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. ( P) đi qua C và T d( A, ( P)) d( B, ( P)) nhỏ nhất. Lời giải. 1. Xét A, B nằm về cùng phía so với ( P) . - Nếu AB‖( P ) thì P ( )d( A, ( P)) ( ) AC - Nếu đường thẳng AB cắt ( P) tại I . Gọi D là điểm thỏa mãn IB ID và E là trung điểm BD. Khi đó. . IB d( D, ( P)) 2 d( E , ( P)) 2( ) EC ID 2. Xét A, B nằm về hai phía so với ( P) . Gọi I là giao điểm của AB và ( P ), B là điểm đối xứng với B qua I . Khi đó P d( A, ( P)) d B , ( P) P d( A, ( P )) . . . Đến đây ta chuyển về trường hợp trên. So sánh các kết quả ở trên ta chọn kết quả lớn nhất. Bài toán 6. Trong không gian cho n điểm A1 , A2 ,, An và diểm A. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A và tổng khoảng cách từ các điểm Ai (i 1, n ) lớn nhất. Lời giải. - Xét n điểm A1 , A2 ,, An nằm cùng phía so với ( P). Gọi G là trọng tâm của n điểm đã cho. Khi đó n. d A , ( P) nd(G, ( P)) nGA i. i 1. - Trong n điểm trên có m điểm nằm về một phía và k điểm nằm về phía khác (m k n ). Khi đó, gọi G1 là trọng tâm của m điểm, G2 là trọng tâm của k điểm G3 đối xứng với G1 qua A. Khi dó P md G3 , ( P ) kd G2 , ( P ) . Đến đây ta chuyển về bài toán trên. Bài toán 7.Viết phương trình mặt phẳng P đi qua đường thẳng và cách A một khoảng lớn nhất. Lời giải. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên mặt phẳng ( P) và đường thẳng . Khi đó d( A, ( P)) AH AK Do đó ( P) là mặt phẳng đi qua K và vuông góc vói AK . Bài toán 8. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A1 , A2 , , An . Xét véc tơ w 1 MA1 2 M A2 n M An Trong đó 1 ; 2 ... n là các số thực cho trước thỏa mãn 1 2 ... n 0 . Tìm điểm M thuôc măt phẳng ( P) sao cho | w | có đô dài nhỏ nhất. Lời giải. Gọi G là điểm thỏa mãn 1GA1 2GA2 nGAn 0 (điểm G hoàn toàn xác định). Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(78)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có MAk MG GAk vói k 1;2;; n, nên w 1 2 n MG 1GA1 2GA2 nGAn 1 2 n MG. Do đó | w | 1 2 n | MG |. Vi 1 2 n là hằng số khác không nên | w | có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất, mà M ( P) nên điểm M cần tìm là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( P) . Bài toán 9. Trong không gian Oxy z, cho các diểm A1 , A2 ,, An . Xét biểu thức: T 1MA12 2 MA22 n MAn2 Trong đó 1 , 2 ,, n là các số thực cho trước. Tìm điểm M thuộc măt phẳng ( P) sao cho 1. T giá trị nhỏ nhất biết 1 2 n 0 . 2. T có giá trị lớn nhất biết 1 2 n 0 . Lời giải. Gọi G là điểm thỏa mãn 1GA1 2GA2 n GAn 0 Ta có MAk MG GAk với k 1;2;; n, nên 2 MAk2 MG GAk MG 2 2 MG GAk GAk2. . . Do đó T 1 2 n MG 2 1GA12 2GA22 n GAn2 Vì 1GA12 2GA22 nGAn2 không đổi nên • với 1 2 n 0 thì T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. • với 1 2 n 0 thì T đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. Mà M ( P) nên MG nhỏ nhất khi điểm M là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( P) . Bài toán 10. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng ( P) cắt nhau. Viết phương trình của mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng ( P) một góc nhỏ nhất.. Lời giải. Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( P) và lấy điểm M d , M I . Gọi H , K lầ lượt là hình chiếu của M lên ( P) và giao tuyến của ( P) và (Q) . , do đó Đặt là góc giữa ( P) và (Q), ta có MKH. tan . HM HM HK HI Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(79)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Do đó (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mặt phẳng ( MHI ), nên (Q) đi qua M và nhận nP ud ud làm VTPT. Chú ý. Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đai số như sau: - Goi n (a; b; c), a 2 b 2 c 2 0 là một VTPT của mặt phẳng (Q). Khi đó n ud 0 từ đây ta rút được a theo b, c (hoặc b theo a, c hoặc c theo a, b ). - Gọi là góc giữa ( P) và (Q), ta có n nP cos f (t ) | n | nP. b với t , c 0. Khảo sát f (t ) ta tìm được max của f (t ) c Bài toán 11. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d chéo nhau. Viết phương trinh mặt phẳng ( P) chứa d và tạo với d một góc lớn nhất.. Lời giải. Trên đường thẳng d , lấy điểm M và dựng đường thẳng đi qua M song song với d . Khi đó góc giữa và ( P) chính là góc giữa d và ( P) . Trên đường thẳng , lấy điểm A . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên ( P) và d , là góc giữa và ( P) . HM KM AMH và cos Khi đó AM AM Suy ra ( P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng ( AMK ). Do dó ( P) đi qua M và nhận ud ud ud làm VTPT.. . . Chú ý. Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đại số như sau: - Goi n (a; b; c), a 2 b 2 c 2 0 là một VTPT của măt phẳng ( P). Khi đó n ud 0 từ đây ta rút được a theo b, c (hoặc b theo a, c hoặc c theo a, b ). - Gọi là góc giữa ( P) và d , ta có n ud sin f (t ) | n | ud . b với t , c 0. Khảo sát f (t ) ta tìm được max của f (t ) c. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(80)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 6.. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho các điểm A 1; 2;3 , B 6; 5;8 và OM a.i b.k trong đó a , b là cá số thực luôn thay đổi. Nếu MA 2 MB đạt giác trị nhỏ nhất thì giá trị a b bằng A. 25. Câu 7.. B. 13. C. 0. D. 26. (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;1 ; B 2; 1;3 và điểm. M a; b;0 sao cho MA2 MB 2 nhỏ nhất. Giá trị của a b là A. 2 . Câu 8.. B. 2 .. C. 3 .. D. 1.. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A 2;4; 1 , B 1;4; 1 , C 2;4;3 , D 2;2; 1 , biết M x; y; z để MA2 MB 2 MC 2 MD 2. đạt giá trị nhỏ nhất thì x y z bằng A. 6 . Câu 9.. B.. 21 . 4. C. 8 .. D. 9 .. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;1 , B 2; 1;3 , C 3;1; 5 . Tìm điểm M trên mặt phẳng Oyz sao cho MA2 2MB 2 MC 2 lớn nhất.. 3 1 A. M ; ; 0 . 2 2 Câu 10.. 1 3 B. M ; ; 0 . 2 2 . C. M 0; 0; 5 .. D. M 3; 4; 0 .. (THPT Nghĩa Hưng Nđ- 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A 2;1;3 , B 1; 1; 2 , C 3; 6;1 . Điểm M x; y; z thuộc mặt phẳng. Oyz . sao cho. MA2 MB 2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức P x y z . A. P 0 .. B. P 2 .. C. P 6 .. D. P 2 .. Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 4; 2; 2 , B 1;1; 1 , C 2; 2; 2 . Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng Oyz sao cho MA 2 MB MC nhỏ nhất A. M 2;3;1 . Câu 12.. B. M 0;3;1 .. C. M 0; 3;1 .. D. M 0;1;2 .. (Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 2; 3; 7 , B 0; 4;1 , C 3;0;5 và D 3;3;3 . Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng Oyz sao cho biểu thức MA MB MC MD đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tọa độ của M là: A. M 0;1; 4 .. Câu 13.. B. M 2;1;0 .. C. M 0;1; 2 .. D. M 0;1; 4 .. (Toán Học Tuổi Trẻ - 2018) Trong không gian cho ba điểm A 1;1;1 , B 1; 2;1 , C 3;6; 5 . Điểm M thuộc mặt phẳng Oxy sao cho MA2 MB 2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất là A. M 1; 2;0 .. Câu 14.. B. M 0;0; 1 .. C. M 1;3; 1 .. D. M 1;3;0 .. (Lê Quý Đôn - Hải Phòng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A 3; 2;1 , B 2;3;6 . Điểm M xM ; yM ; z M thay đổi thuộc mặt phẳng Oxy . Tìm giá trị của biểu thức T xM yM zM khi MA 3MB nhỏ nhất.. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(81)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 7 A. . 2 Câu 15.. B.. 7 . 2. C. 2 .. D. 2 .. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) :( x 1)2 ( y 2) 2 ( z 1)2 9 và hai điểm A(4;3;1) , B(3;1;3) ; M là điểm thay đổi trên (S ) . Gọi m , n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2MA2 MB 2 . Xác định (m n) . A. 64 .. Câu 16.. B. 68 .. C. 60 .. D. 48 .. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S có phương trình là x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 6 z 7 0 . Cho ba điểm A , M , B nằm trên mặt cầu S . sao cho AMB 90 . Diện tích tam giác AMB có giá trị lớn nhất bằng? A. 4 . B. 2 . C. 4 . D. Không tồn tại. Câu 17. (Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Cho a , b, c, d , e, f là các số thực thỏa mãn d 12 e 2 2 f 32 1 . Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 a 3 b 2 c 9 . F. 2. 2. a d b e c f . A. 10 . Câu 18.. B.. 2. lần lượt là M , m. Khi đó, M m bằng D. 2 2 .. C. 8 .. 10 .. (THPT Lê Xoay - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2; 2; 2 ; B 3; 3;3 . Điểm M trong không gian thỏa mãn. A. 6 3 .. B. 12 3 .. MA 2 . Khi đó độ dài OM lớn nhất bằng MB 3. C.. 5 3 . 2. D. 5 3 .. Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1;1;1) , B ( 2;3; 4) và C ( 2;5;1) . Điểm M ( a; b; 0) thuộc mặt phẳng Oxy sao cho MA2 MB 2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng T a 2 b 2 bằng A. T 10 . Câu 20.. B. T 25 .. C. T 13 .. D. T 17 .. (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz cho A 1; 1;2 , B 2;0;3 ,. C 0;1; 2 . Gọi M a; b; c là điểm thuộc mặt phẳng Oxy sao cho biểu thức S MA.MB 2MB.MC 3MC.MA đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó T 12a 12b c có giá trị là A. T 3 . B. T 3 . C. T 1 . D. T 1 . Câu 21.. (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Trong không gian Oxyz , lấy điểm C trên tia Oz sao cho OC 1 . Trên hai tia Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm A, B thay đổi sao cho OA OB OC . Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O. ABC ? A.. 6 . 2. B.. 6.. C.. 6 . 3. 6 . 4. D.. Câu 22. (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi điểm. M a; b; c . (với. a,. b,. c. là. các. phân. số. tối. giản). S : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 4 z 7 0 sao cho biểu thức T 2a 3b 6c. thuộc. mặt. cầu. đạt giá trị lớn nhất. Khi. đó giá trị biểu thức P 2a b c bằng Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(82)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 12 A. . 7 Câu 23.. B. 8 .. C. 6 .. D.. 51 . 7. (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho điểm A 2t; 2t;0 , B 0;0; t (với t 0 ). Điểm P di động thỏa mãn OP. AP OP.BP AP.BP 3 . Biết a a với a, b nguyên dương và tối giản sao cho OP đạt giá trị lớn nhất bằng b b 3. Khi đó giá trị của Q 2a b bằng. rằng có giá trị t . A. 5 Câu 24.. B. 13 .. D. 9 .. C. 11 .. (HSG Nam Định-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A 4;1;5 , B 3;0;1 , C 1;2;0 và điểm M a; b; c thỏa mãn MA.MB 2MB.MC 5MC.MA lớn nhất. Tính P a 2b 4c. A. P 23 . B. P 31 .. C. P 11 .. D. P 13.. Câu 25. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2; 2;4 , B 3;3; 1 và mặt cầu 2. 2. S : x 1 y 3 z 3. 2. 3 . Xét điểm M thay đổi thuộc mặt cầu S , giá trị nhỏ nhất. của 2MA2 3MB 2 bằng A. 103 . B. 108 . Câu 26.. (Kim. Liên. -. Hà. C. 105 .. Nội. S : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z . 2019). Trong. không. D. 100 . gian. Oxyz ,. cho. mặt. cầu. 9 0 và hai điểm A 0; 2;0 , B 2; 6; 2 . Điểm M a; b; c 2. thuộc S thỏa mãn MA.MB có giá trị nhỏ nhất. Tổng a b c bằng. A. 1 .. C. 3 .. B. 1 .. D. 2 .. Câu 27. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho 5 điểm A 1; 0; 0 , B 1;1; 0 , C 0; 1;0 , D 0;1;0 , E 0;3;0 . M là điểm thay đổi trên mặt cầu ( S ) : x 2 ( y 1)2 z 2 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P 2 MA MB MC 3 MD ME là:. A. 12 .. C. 24 .. B. 12 2 .. D. 24 2 .. Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A 0; 1;3 , B 2; 8; 4 , 2. 2. 2. C 2; 1;1 và mặt cầu S : x 1 y 2 z 3 14 . Gọi M xM ; yM ; zM là điểm trên S sao cho biểu thức 3MA 2MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P xM yM . A. P 0 .. B. P 6 .. C. P 14 .. D. P 3 14 . 2. Câu 29. Trong không gian Oxyz cho A 0 ; 0 ; 2 , B 1 ; 1; 0 và mặt cầu S : x 2 y 2 z 1 . 1 . Xét 4. điểm M thay đổi thuộc S . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA2 2MB 2 bằng A.. 1 . 2. B.. 3 . 4. C.. 19 . 4. D.. 21 . 4. Câu 30. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho 2 điểm A, B thay đổi trên mặt cầu x 2 y 2 ( z 1) 2 25 thỏa mãn AB 6 . Giá trị lớn nhất của biểu thức OA2 OB 2 là A. 12. B. 6. C. 10.. D. 24.. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(83)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 31. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1; 4;5 , B 3; 4;0 , C 2; 1;0 . Gọi M a ; b ; c là điểm sao cho MA2 MB 2 3MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng a b c có giá trị bằng A. 2. B. 3. C. 4. D. 4 . Câu 32. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu. 2. S : x 1 y 4 . 2. z 2 8 và điểm. A 3;0;0 ; B 4;2;1 . Điểm M thay đổi nằm trên mặt cầu, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MA 2 MB .. A. P 2 2 .. B. P 3 2 .. C. P 4 2 .. D. P 6 2 .. Câu 33. Trong không gian Oxyz ,cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 2 z 2 0 và các điểm A 0;1;1 ,. B 1; 2; 3 , C 1;0; 3 . Điểm D thuộc mặt cầu S . Thể tích tứ diện ABCD lớn nhất bằng: A. 9 . Câu 34.. B.. 8 . 3. C. 7 .. D.. 16 . 3. (THPT Thuận Thành 3 - Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu 2. S : x 1 y 4 . 2. z 2 8 và điểm A 3 ; 0 ;0 , B 4 ; 2 ;1 . Điểm M thay đổi nằm trên. mặt cầu, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MA 2MB . A. P 2 2 . Câu 35.. B. P 3 2 .. C. P 4 2 .. D. P 6 2 .. (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 4; 2; 2 , B 1;1; 1 , C 2; 2; 2 . Tìm tọa độ điểm M thuộc Oxy sao cho MA 2 MB MC nhỏ nhất. A. M 2; 3;0 .. B. M 1; 3;0 .. C. M 2; 3; 0 .. D. M 2;3;1 .. Câu 36. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S có phương trình x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 2 z 3 0 và điểm A 5;3; 2 . Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt M , N . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S AM 4 AN . A. S min 30 .. B. S min 20 .. C. Smin 34 3 . 2. D. Smin 5 34 9 .. 2. Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y 2 z 2 10 và hai điểm A 1; 2; 4 và. B 1; 2;14 . Điểm M thay đổi trên mặt cầu S . Giá trị nhỏ nhất của MA 2MB bằng A. 2 82 .. B. 3 79 .. C. 5 79 .. D. 3 82 .. Câu 38. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu. S2 : x 2 y 4 . 2. S1 : x2 y 2 z 2 1 ,. 1 z 2 4 và các điểm A 4;0;0 , B ;0;0 , C 1; 4;0 , D 4; 4;0 . Gọi M là 4 . điểm thay đổi trên. S1 ,. N là điểm thay đổi trên. S2 .. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Q MA 2 ND 4MN 4 BC là A. 2 265 .. B.. 265 .. C. 3 265 .. D. 4 265 .. Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 2;3; 1 , B 2;3; 2 , C 1; 0; 2 .Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng Oxz để S MA 4 MC MA MB MC nhỏ nhất.. 7 A. M 1;0; . 3 . B. M 0;3;0 .. 7 C. M 1;0; . 3 . 1 D. M ; 0; 2 . 2 . Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(84)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 2 2 Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) : x y z 2x 4 y 4 0 và hai. điểm A(4; 2; 4), B (1; 4; 2) . MN là dây cung của mặt cầu thỏa mãn MN cùng hướng với u (0;1;1) và MN 4 2 . Tính giá trị lớn nhất của AM BN . A.. 41 .. B. 4 2 .. C. 7 .. D.. 17 .. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(85)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. Chuyên đề 29. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng 1. Xác định tâm và bán kính Mặt cầu tâm I (a; b; c) và có bán kính R có phương trình ( S ) : ( x a ) 2 ( y b) 2 ( z c) 2 R 2 . Phương trình x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 với a 2 b2 c 2 d 0 là phương trình của mặt cầu có tâm I (a; b; c) và bán kính R a 2 b 2 c 2 d . Để một phương trình là một phương trình mặt cầu, cần thỏa mãn hai điều kiện: Hệ số trước x 2 , y 2 , z 2 phải bằng nhau và a 2 b 2 c 2 d 0. Câu 1.. (Đề. Minh. Họa. 2. 2020. Lần. 2. 1). Trong. không. gian. Oxyz ,. I. cho. R. mặt. cầu. mặt. cầu. 2. S : x 1 y 2 z 3 16 . Tâm của S có tọa độ là A. 1; 2; 3 . B. 1;2;3 . C. 1;2; 3 .. D. 1; 2;3 .. Lời giải Chọn D 2. 2. 2. 2 Mặt cầu S : x a y b z c R có tâm là I a ; b ; c . 2. 2. 2. Suy ra, mặt cầu S : x 1 y 2 z 3 16 có tâm là I 1; 2;3 . Câu 2.. (Đề. Tham. Khảo. 2. S : x 2 y 4 A. 2; 4; 1 .. 2. 2020. Lần. 2). Trong. không. gian. Oxyz ,. cho. 2. z 1 9 . Tâm của S có tọa độ là. B. 2; 4;1 .. C. 2; 4;1 .. D. 2; 4; 1 .. Lời giải Chọn B Tâm của mặt cầu S có tọa độ là 2; 4;1 . Câu 3.. 2. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 9 . Bán kính của S bằng A. 6 .. B. 18 .. C. 3 . Lời giải. D. 9 .. Chọn C Bán kính của S là R 9 3 . Câu 4.. 2. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 9 . Bán kính của S bằng A. 6 . Chọn. Câu 5.. B. 18 .. C. 9 . Lời giải. D. 3 .. D.. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 y 2 ( z 1) 2 16 . Bán kính của ( S ) là: A. 32. B. 8. C. 4. D. 16. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(86)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải Chọn C Từ phương trình mặt cầu ( S ) : x 2 y 2 ( z 1) 2 16 Bán kính R 16 4 2. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 16 . Bán. Câu 6.. kính của mặt cầu S bằng B. 32 .. A. 4 .. C. 16 . Lời giải. D. 8 .. Chọn A 2. Bán kính của mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 16 là R 16 4 . Câu 7.. (Mã. 101-. 2020. 2. Lần. 2. Trong. 2). không. gian. Oxyz ,. cho. mặt. cầu. 2. S : x 1 y 2 z 3 4 . Tâm của S có tọa độ là A. 1; 2; 3 . B. 2; 4;6 . C. 1; 2;3 .. D. 2; 4; 6 .. Lời giải Chọn A Tâm mặt cầu S có tọa độ là 1; 2; 3 . Câu 8.. (Mã. 103. -. 2020. 2. Lần. 2. S : x 1 y 2 z 3 A. 1; 2;3 .. 2. Trong. 2). không. gian. Oxyz ,. cho. mặt. cầu. 4 . Tâm của S có tọa độ là. B. 2; 4; 6 .. C. 2;4;6 .. D. 1; 2; 3 .. Lời giải Chọn D Tâm của mặt cầu S có tọa độ là 1; 2; 3 . Câu 9.. (Mã. 102. -. 2020. Lần. Trong. 2). không. gian. Oxyz ,. cho. mặt. cầu. S :. cầu ( S ) : ( x 1) 2 ( y 2) 2 ( z 3) 2 9 . Tâm của (S ) có tọa độ là: A. (2; 4;6) .. B. (2; 4; 6) .. C. (1; 2;3) .. D. (1; 2; 3) .. Lời giải Chọn C Tâm của (S ) có tọa độ là: (1; 2;3) Câu 10.. (Mã. 104 2. -. 2020 2. Lần. 2). Trong. không. 2. x 1 y 2 z 3 9 . Tâm của S A. 1; 2;3 . B. 2; 4;6 .. gian. Oxyz ,. cho. mặt. có tọa độ là C. 1;2; 3 .. D. 2; 4; 6 .. Lời giài Chọn C Tâm của mặt cầu S đã cho là: I 1; 2; 3 . Câu 11.. (Mã. S :. 104. 2017) 2. Trong. không. gian. với. hệ. toạ. độ. Oxyz ,. 2. x 2 y 2 z 2 8 . Tính bán kính R của S .. A. R 2 2. B. R 64. C. R 8. D. R 4. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương cho. mặt. cầu.
<span class='text_page_counter'>(87)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải Chọn A 2. 2. 2. Phương trình mặt cầu tổng quát: x a y b z c R 2 R 2 2 . Câu 12.. 2. 2. 2. (Mã 104 2018) Trong không gian Oxyz , mặt cầu S : x 5 y 1 z 2 3 có bán kính bằng A. 9. C. 3 Lời giải. B. 2 3. 3. D.. Chọn D Câu 13.. (Mã. 105. Trong. 2017) 2. không. 2. S : x 5 y 1 z 2 A. R 6. 2. gian. với. hệ. toạ. độ. Oxyz ,. cho. mặt. cầu. 9 . Tính bán kính R của S .. B. R 3. C. R 18 Lời giải. D. R 9. Chọn B Phương trình mặt cầu tâm I a; b; c , bán kính R có dạng: 2. 2. x a y b z c Câu 14.. 2. R2 R 3 . 2. 2. 2. (Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 3 y 1 z 1 2 . Tâm của S có tọa độ là A. 3; 1;1. B. 3; 1;1. C. 3;1; 1. D. 3;1; 1. Lời giải Chọn B Tâm của S có tọa độ là 3; 1;1 . Câu 15.. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , tìm tọa độ tâm I và bán kính 2. 2. 2. R của mặt cầu x 1 y 2 z 4 20 . A. I 1; 2; 4 , R 2 5 B. I 1; 2; 4 , R 20 C. I 1; 2; 4 , R 2 5 D. I 1; 2; 4 , R 5 2 Lời giải Chọn C 2. 2. 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu S : x a y b z c R 2 có tâm. I a; b; c và bán kính R . 2. 2. 2. Nên mặt cầu x 1 y 2 z 4 20 có tâm và bán kính là I 1; 2; 4 , R 2 5. Câu 16.. (Mã 101 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 2 z 7 0 . Bán kính của mặt cầu đã cho bằng A. 3 .. B. 15 .. C. 7 . Lời giải. D. 9 .. Chọn A x 2 y 2 z 2 2 x 2 z 7 0 x 2 y 2 z 2 2.(1).x 2.0. y 2.1.z 7 0 . Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(88)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. a 1, b 0, c 1, d -7 .. Tâm mặt cầu I 1;0;1 bán kính R a 2 b2 c 2 d Câu 17.. 1. 2. 02 12 7 3 .. (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 y 2 z 7 0 . Bán kính của mặt cầu đã cho bằng A. 15 .. B.. 7.. C. 9 . Lời giải. D. 3 .. Chọn D 2. Ta có R 12 1 7 3 . Câu 18.. (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 7 0. Bán kính của mặt cầu đã cho bằng A.. B. 9 .. 7.. D. 3 .. C. 15 . Lời giải. Chọn D 2. 2. Ta có S : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 7 0 x 1 y 1 z 2 9 Vậy bán kính của mặt cầu bằng 3. Câu 19.. (Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 y 2 z 2 2 y 2 z 7 0. Bán kính của mặt cầu đã cho bằng A.. B. 3 .. 7.. C. 9. Lời giải. D.. 15 .. Chọn B Mặt cầu đã cho có phương trình dạng x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 có bán kính là. a 2 b 2 c 2 d 12 12 7 3 Câu 20.. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu. S : x 2 y 2 z 2 8 x 2 y 1 0 . Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu S . A. I –4;1;0 , R 2. B. I –4;1; 0 , R 4. C. I 4; –1;0 , R 2. D. I 4; –1; 0 , R 4. Lời giải 2. 2. 2. 2. 2. Ta có: x y z 8 x 2 y 1 0 x 4 y 1 z 2 16. Vậy mặt cầu S có tâm I 4; –1;0 và bán kính R 4. Câu 21.. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 3 0 . Tính bán kính R của mặt cầu S . A. R 3 .. B. R 3 .. D. R 3 3 .. C. R 9 . Lời giải 2. 2. S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 3 0 x 1 y 2 z 1 Vậy bán kính của mặt cầu S là R 3 .. 2. 9.. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(89)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 22. Trong không gian vơi hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 8 x 2 y 1 0 . Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu S : A. I 4;1; 0 , R 2 .. B. I 4;1;0 , R 4 .. C. I 4; 1; 0 , R 2 . D. I 4; 1; 0 , R 4 .. Lời giải 2. 2. S : x y z I 4; 1;0 . 2. 8x 2 y 1 0. R 4. Câu 23.. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu. S : x 3. 2. 2. 2. y 1 z 1 2 . Xác định tọa độ tâm của mặt cầu S . A. I 3;1; 1 .. B. I 3;1; 1 .. C. I 3; 1;1 .. D. I 3; 1;1 .. Lời giải Mặt cầu S có tâm là I 3; 1;1 . Câu 24.. (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 3 0 . Tọa độ tâm I của mặt cầu S là: B. 2; 4; 2 .. A. 1; 2; 1 .. C. 1; 2; 1 .. D. 2; 4; 2 .. Lời giải 2. 2. 2. Ta có: x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 3 0 x 1 y 2 z 1 9 . Từ đó suy ra mặt cầu S có tâm là: 1;2;1 . Câu 25.. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu. S : x2 y 2 z 2 8x 10 y 6 z 49 0 . Tính bán kính. C. R 151 . Lời giải. B. R 7 .. A. R 1 .. R của mặt cầu S .. Phương trình mặt cầu: x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0. D. R 99 .. a. 2. b 2 c 2 d 0 có tâm. I a ; b ; c , bán kính R a 2 b2 c 2 d . Ta có a 4 , b 5 , c 3 , d 49 . Do đó R a 2 b2 c 2 d 1 . Câu 26. Trong không gian Oxyz , mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 6 z 1 0 có tâm là A. 4; 2; 6 . B. 2; 1;3. C. 2;1; 3. D. 4; 2; 6 . Lời giải Chọn B Từ phương trình mặt cầu suy ra tâm của mặt cầu là 2; 1;3 . Câu 27.. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có 2. 2. 2. phương trình x 1 y 2 z 3 4 . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó. A. I 1;2; 3 ; R 2 . B. I 1;2; 3 ; R 4 . C. I 1; 2;3 ; R 2 .. D. I 1; 2;3 ; R 4 . Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(90)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải Mặt cầu đã cho có tâm I 1; 2;3 và bán kính R 2 . Câu 28.. (KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 4 0 .Tính bán kính R của ( S ). A. 1 .. B. 9 .. C. 2 . Lời giải. D. 3 .. Chọn D. Giả sử phương trình mặt cầu ( S ) : x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 (a 2 b 2 c 2 d 0) Ta có: a 2, b 1, c 0, d 4 Bán kính R a 2 b2 c 2 d 3 . Câu 29.. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu. S : x 3 y 1 z 1 4 . Tâm của S có tọa độ là 2. 2. A. 3;1; 1 .. 2. B. 3; 1;1 .. C. 3; 1; 1 .. D. 3;1; 1 .. Lời giải Chọn B Tâm của S có tọa độ là 3; 1;1 . Dạng 2. Viết phương trình mặt cầu Tâm I (a; b; c) Dạng 1. Cơ bản ( S ) : ( S ) : ( x a )2 ( y b)2 ( z c) 2 R 2 . BK : R Dạng 2. Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và đi qua điểm A. Tâm I Phương pháp: ( S ) : (dạng 1) BK : R IA Dạng 3. Viết phương trình mặt cầu ( S ) có đường kính AB, với A, B cho trước. Tâm I là trung điểm của AB. Phương pháp: ( S ) : 1 BK : R 2 AB. Câu 1.. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 0;0; 3 và đi qua điểm M 4;0;0 . Phương trình của S là 2. B. x 2 y 2 z 3 5 .. 2. 2. D. x 2 y 2 z 3 5 .. A. x 2 y 2 z 3 25 .. 2. C. x 2 y 2 z 3 25 .. Lời giải Chọn A 2. Phương trình mặt cầu S có tâm I 0;0; 3 và bán kính R là: x 2 y 2 z 3 R 2 . 2. Ta có: M S 42 02 0 3 R 2 R 2 25 . 2. Vậy phương trình cần tìm là: x 2 y 2 z 3 25 . Câu 2.. (Mã 110 2017) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , tìm tất cả các giá trị của m để phương trình. x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z m 0 là phương trình của một mặt cầu. A. m 6 B. m 6 C. m 6. D. m 6. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(91)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải Chọn A Phương trình x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z m 0 là một phương trình mặt cầu 12 12 2 2 m 0 m 6 .. Câu 3.. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz cho hai điểm I 1;1;1 và A 1; 2;3 . Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua A là 2. 2. 2. B. x 1 y 1 z 1 29. 2. 2. 2. D. x 1 y 1 z 1 25. A. x 1 y 1 z 1 5 C. x 1 y 1 z 1 5. 2. 2. 2. 2. 2. 2. lời giải Chọn C Ta có R IA . 2. 2. 1 1 2 1 3 1. 2. 5. vậy phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm A có phương trình là. x xI Câu 4.. 2. 2. 2. 2. 2. 2. y y I z z I R 2 x 1 y 1 z 1 5. (THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm. A 1; 2;7 , B 3;8; 1 . Mặt cầu đường kính AB có phương trình là 2. 2. 2. B. x 1 y 3 z 3 45 .. 2. 2. 2. D. x 1 y 3 z 3 45 .. A. x 1 y 3 z 3 45 . C. x 1 y 3 z 3 45 .. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Lời giải Gọi I là trung điểm AB ta có I 1;3;3 là tâm mặt cầu. 2. 2. 1 1 2 3 7 3. Bán kính R IA . 2. 45.. 2. 2. 2. Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là x 1 y 3 z 3 45 . Câu 5.. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu có tâm I 1; 4;3 và đi qua điểm A 5; 3;2 . 2. 2. 2. B. x 1 y 4 z 3 16 .. 2. 2. 2. D. x 1 y 4 z 3 18 .. A. x 1 y 4 z 3 18 . C. x 1 y 4 z 3 16 .. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Lời giải Mặt cầu có tâm I 1; 4;3 và đi qua điểm A 5; 3;2 nên có bán kính R IA 3 2 2. 2. 2. Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x 1 y 4 z 3 18 . Câu 6.. (Chuyên Sơn La -2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1;1 và B 1; 1;3 . Phương trình mặt cầu có đường kính AB là 2. 2. B. x 1 y 2 z 2 2 .. 2. 2. D. x 1 y 2 z 2 8 .. A. x 1 y 2 z 2 8 . C. x 1 y 2 z 2 2 .. 2. 2. 2. 2. Lời giải Gọi I là tâm của mặt cầu đường kính AB . Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(92)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Khi đó I 1;0; 2 . Bán kính của mặt cầu là: R . 1 1 AB 2 2 2. 1 1. 2. 2. 2. 1 1 3 1 2 . 2. Vậy phương trình mặt cầu là: x 1 y 2 z 2 2 . Câu 7.. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B 2;2; 3 . Phương trình mặt cầu đường kính AB là 2. 2. B. x 2 y 3 z 1 9.. 2. 2. D. x 2 y 3 z 1 36.. A. x 2 y 3 z 1 36. C. x 2 y 3 z 1 9.. 2. 2. 2. 2. Lời giải Gọi I là trung điểm của AB I (0;3; 1). IA (2;1; 2) IA 22 12 22 3. 2. 2. Mặt cầu đã cho có tâm I, đường kính AB nên có phương trình là x 2 y 3 z 1 9. Câu 8.. (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình của mặt cầu? A. x 2 y 2 z 2 2 x 4 z 1 0 B. x 2 z 2 3 x 2 y 4 z 1 0 C. x 2 y 2 z 2 2 xy 4 y 4 z 1 0. D. x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 8 0. Lời giải Chọn A Đáp án B vì không có số hạng y 2 . Đáp án C loại vì có số hạng 2xy . Đáp án D loại vì a 2 b 2 c 2 d 1 1 4 8 2 0 . Đáp án A thỏa mãn vì a 2 b 2 c 2 d 1 0 4 1 6 0 .. Câu 9.. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 1; 3 ; B 0;3; 1 . Phương trình của mặt cầu đường kính AB là : 2. 2. 2. B. x 1 y 1 z 2 24. 2. 2. 2. D. x 1 y 1 z 2 6. A. x 1 y 1 z 2 6 C. x 1 y 1 z 2 24. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Lờigiải Chọn D Tâm I mặt cầu là trung điểm của AB. I 1;1; 2 bán kính R . x 1 Câu 10.. 2. 2. 1 1 1 AB 4 16 4 24 2 2 2 2. y 1 z 2 6. (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu? A. x 2 y 2 z 2 x 2 y 4 z 3 0 . C. 2 x 2 2 y 2 2 z 2 4 x 8 y 6 z 3 0 .. B. 2 x 2 2 y 2 2 z 2 x y z 0 . D. x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 4 z 10 0 . Lời giải. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(93)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Phương trình x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 là phương trình của một mặt cầu nếu. a 2 b2 c 2 d 0 . Câu 11.. (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Trong không gian với hệ trục tọ độ Oxyz , cho hai điểm A 1;2;3 , B 5;4; 1 . Phương trình mặt cầu đường kính AB là 2. 2. 2. B. x 3 y 3 z 1 9 .. 2. 2. 2. D. x 3 y 3 z 1 9 .. A. x 3 y 3 z 1 36 . C. x 3 y 3 z 1 6 .. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Lời giải. Tọa độ tâm mặt cầu là I 3;3;1 , bán kính R IA 3 . Câu 12.. (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu tâm I 2;1; 2 bán kính R 2 là: 2. 2. 2. A. x 2 y 1 z 2 2 2 .. B. x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 4 z 5 0 .. C. x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 4 z 5 0 .. D. x 2 y 1 z 2 2 .. 2. 2. 2. Lời giải Phương trình mặt cầu tâm I 2;1; 2 bán kính R 2 có hai dạng: 2. 2. 2. Chính tắc: x 2 y 1 z 2 2 2 Tổng quát: x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 4 z 5 0 . Vậy đáp án đúng là B. Câu 13.. (Việt Đức Hà Nội 2019) Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu S tâm A 2;1;0 , đi qua điểm B 0;1; 2 ? 2. 2. 2. 2. 2 A. S : x 2 y 1 z 8 .. 2. 2. 2. 2. B. S : x 2 y 1 z 2 8 .. C. S : x 2 y 1 z 2 64 .. D. S : x 2 y 1 z 2 64 .. Lời giải Vì mặt cầu S có tâm A 2;1;0 , đi qua điểm B 0;1; 2 nên mặt cầu S có tâm A 2;1;0 và nhận độ dài đoạn thẳng AB là bán kính. 2 Ta có: AB 2 :0; 2 . AB AB 2 0 2 22 2 2 . Suy ra: R 2 2 . 2. 2. Vậy: S : x 2 y 1 z 2 8 . Vậy chọn đáp án B Câu 14. (Chuyên Lam Sơn 2019) Trong không gian Oxyz cho điểm I (2;3; 4) và A 1; 2;3 . Phương trình mặt cầu tâm I và đi qua A có phương trình là: A. ( x 2)2 ( y 3) 2 ( z 4)2 3 . 2. 2. C. ( x 2) 2 y 3 z 4 45 .. 2. 2. 2. 2. B. ( x 2) 2 y 3 z 4 9 . D. ( x 2) 2 y 3 z 4 3 . Lời giải. Chọn D Bán kính mặt cầu là R IA 3 . 2. 2. Phương trình mặt cầu tâm I (2;3; 4) và R IA 3 là ( x 2) 2 y 3 z 4 3 Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(94)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 15.. (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm I 1;1;1 và. A 1; 2;3 . Phương trình của mặt cầu có tâm I và đi qua A là 2. 2. 2. B. x 1 y 1 z 1 5 .. 2. 2. 2. D. x 1 y 1 z 1 5 .. A. x 1 y 1 z 1 29 . C. x 1 y 1 z 1 25 .. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Lời giải Chọn B Bán kính của mặt cầu: r IA 02 12 22 5 . 2. 2. 2. Phương trình mặt cầu: x 1 y 1 z 1 5 . Câu 16.. (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;3 , B 5;4; 1 . Phương trình mặt cầu đường kính AB là 2. 2. 2. B. x 3 y 3 z 1 6 .. 2. 2. 2. D. x 3 y 3 z 1 36 .. A. x 3 y 3 z 1 9 . C. x 3 y 3 z 1 9 .. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Lời giải Chọn A + Gọi I là trung điểm của AB I 3;3;1 . AB 4; 2; 4 AB 16 4 16 6 AB 3 có phương trình là: 2. + Mặt cầu đường kính AB có tâm I 3;3;1 , bán kính R 2. 2. x 3 y 3 z 1 Câu 17.. 2. 9.. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh 1819) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 7; 2;2 và. B 1; 2; 4 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đường kính AB ? 2. 2. A. x 4 y 2 z 3 14 . 2. 2. 2. 2. 2. 2. B. x 4 y 2 z 3 2 14 .. 2. D. x 4 y 2 z 3 56 .. C. x 7 y 2 z 2 14 .. Lời giải Chọn D Mặt cầu nhận AB làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm I 4;0;3 của AB làm tâm và có bán kính R . AB 56 . 2 2. 2. Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là x 4 y 2 z 3 56 . Câu 18.. (Bình Phước - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M 3; 2;5 , N 1;6; 3 . Mặt cầu đường kính MN có phương trình là: 2. 2. 2. B. x 1 y 2 z 1 6 .. 2. 2. 2. D. x 1 y 2 z 1 36 .. A. x 1 y 2 z 1 6 . C. x 1 y 2 z 1 36 .. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Lời giải Chọn D Tâm I của mặt cầu là trung điểm đoạn MN I 1;2;1 . Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(95)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Bán kính mặt cầu R . MN 2. 2. 2. 1 3 6 2 3 5 2 2. 2. 2. 6.. 2. Vậy phương trình mặt cầu là x 1 y 2 z 1 36 .. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(96)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. Chuyên đề 29. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Xác định tâm, bán kính của mặt cầu Mặt cầu tâm I (a; b; c) và có bán kính R có phương trình ( S ) : ( x a ) 2 ( y b) 2 ( z c) 2 R 2 . Phương trình x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 với a 2 b2 c 2 d 0 là phương trình của mặt cầu có tâm I (a; b; c) và bán kính R a 2 b 2 c 2 d . Để một phương trình là một phương trình mặt cầu, cần thỏa mãn hai điều kiện: Hệ số trước x 2 , y 2 , z 2 phải bằng nhau và a 2 b 2 c 2 d 0. Câu 1.. I. R. (Sở Phú Thọ 2019) Trong không gian Oxyz , có tất cả bao nhiêu giá nguyên của m để. x 2 y 2 z 2 2 m 2 x 2 m 1 z 3m2 5 0 là phương trình một mặt cầu? B. 6. A. 4. C. 5. D. 7. Lời giải Chọn D Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi 2. m 2 m 1. 2. 3m 2 5 0. m 2 2m 10 0 1 11 m 1 11 Theo bài ra m m 2; 1;0;1; 2;3; 4 có 7 giá trị của m nguyên thỏa mãn bài toán. Câu 2.. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , tìm tất cả các giá trị của m để phương trình. x 2 y 2 z 2 2 m 2 x 4my 19m 6 0 là phương trình mặt cầu. A. 1 m 2 .. B. m 1 hoặc m 2 . C. 2 m 1.. D. m 2 hoặc m 1.. Lời giải Điều kiện để phương trình x 2 y 2 z 2 2 m 2 x 4my 19m 6 0 là phương trình mặt cầu 2. là: m 2 4m 2 19m 6 0 5m 2 15m 10 0 m 1 hoặc m 2 . Câu 3.. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình. x 2 y 2 z 2 4 mx 2my 2mz 9m 2 28 0 là phương trình mặt cầu? A. 7 . B. 8 . C. 9 . D. 6 . Lời giải 2 2 2 2 Ta có x y z 4mx 2my 2 mz 9 m 28 0 2. 2. 2. x 2 m y m z m 28 3m 2 1 .. 1. 2 là phương trình mặt cầu 28 3m 0 . 28 m 3. 28 . 3. Do m nguyên nên m 3; 2; 1; 0;1; 2;3 . Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(97)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 4.. Trong. không. gian. Oxyz ,. xét. mặt. S . cầu. có. phương. trình. dạng. x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 2az 10a 0 . Tập hợp các giá trị thực của a để S có chu vi đường tròn lớn bằng 8 là A. 1;10 .. B. 2; 10 .. C. 1;11 .. D. 1; 11 .. Lời giải Đường tròn lớn có chu vi bằng 8 nên bán kính của S là. 2 2 12 a 2 10a .. Từ phương trình của S suy ra bán kính của S là Do đó: Câu 5.. 8 4. 2. a 1 2 2 12 a 2 10a 4 . a 11. (Chuyên Lê Quý Dôn - Dà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 0;0 , C 0;0;3 , B 0; 2;0 . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA2 MB 2 MC 2 là mặt cầu có bán kính là: B. R 3 .. A. R 2 .. D. R 2 .. C. R 3 . Lời giải. Giả sử M x; y; z . 2. 2. 2. Ta có: MA2 x 1 y 2 z 2 ; MB 2 x 2 y 2 z 2 ; MC 2 x 2 y 2 z 3 . 2. 2. MA2 MB 2 MC 2 x 1 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 3 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 x 1 y 2 x 2 z 3 x 1 y 2 z 3 2 .. Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn MA2 MB 2 MC 2 là mặt cầu có bán kính là R 2 . Câu 6.. (Toán Học Và Tuổi Trẻ 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm. A 1; 2; 4 , B 1; 3;1 , C 2; 2;3 . Tính đường kính l của mặt cầu S đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy . B. l 2 41 .. A. l 2 13 .. C. l 2 26 . Lời giải. D. l 2 11 .. Gọi tâm mặt cầu là: I x; y; 0 . IA IB IA IC . 2. 2. 42 . x 1 y 3. 2. 2. 42 . x 2 y 2. x 1 y 2 x 1 y 2 . 2. 2. 2. 2. 12 32. y 2 2 42 y 32 12 2 2 x 2 x 1 16 x 4 x 4 9 10 y 10 x 2 l 2R 2 2 x 4 y 1 Câu 7.. 2. 3 1. 2. 42 2 26 .. (Chuyên ĐHSPHN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 1; 0;0 , B 0; 0; 2 ,. C 0; 3; 0 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là A.. 14 . 3. B.. 14 . 4. C.. 14 . 2. D. 14 .. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(98)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải Gọi S là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC . Phương trình mặt cầu S có dạng: x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 . Vì O , A , B , C thuộc S nên ta có: 1 a d 0 2 1 2a d 0 3 b . 2 4 4c d 0 c 1 9 6b d 0 d 0 14 1 9 . 1 2 4 4. Vậy bán kính mặt cầu S là: R a 2 b2 c 2 d Câu 8.. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội -2019) Gọi. S . là mặt cầu đi qua 4 điểm. A 2; 0;0 , B 1;3;0 , C 1; 0;3 , D 1; 2;3 . Tính bán kính R của S . B. R 3 .. A. R 2 2 .. C. R 6 .. D. R 6 .. Lời giải Gọi I a; b; c là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C , D . Khi đó: a 2 2 b 2 c 2 a 12 b 32 c 2 AI 2 BI 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AI CI a 2 b c a 1 b c 3 AI 2 DI 2 2 2 2 2 2 2 a 2 b c a 1 b 2 c 3. a 3b 3 a 0 a c 1 b 1 I 0;1;1 a 2b 3c 5 c 1 Bán kính: R IA 22 12 12 6 . Câu 9.. (Sở Hà Nội 2019) Cho hai điểm A, B cố định trong không gian có độ dài AB là 4 . Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA 3MB là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng 9 3 A. 3 . B. . C. 1. D. . 2 2 Lời giải. Ta có:. 2 2 2 MA 3MB MA 9 MB MI IA 9 MI IB IA2 9 IB 2 2 MI IA 9 IB 8MI 2 1. . . . . . 2. . 1 1 9 Gọi I thỏa mãn IA 9 IB 0 BI AB nên IB ; IA . 8 2 2 Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(99)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Từ 1 suy ra 8MI 2 18 MI Câu 10.. 3 3 suy ra M S I ; . 2 2. (Sở Bình Phước - 2018) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho phương trình. x 2 y 2 z 2 2 m 2 x 4my 2mz 5m2 9 0 . Tìm các giá trị của m để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. A. m 5 hoặc m 1 . B. 5 m 1 .. C. m 5 . Lời giải. D. m 1 .. Ta có điều kiện xác định mặt cầu là a 2 b 2 c 2 m 5 2 . m 2 4 m 2 m 2 5m 2 9 0 m 2 4 m 5 0 m 1 Câu 11.. (Yên Phong 1 - 2018) Trong không gian Oxyz . Cho tứ diện đều ABCD có A 0;1; 2 và hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng BCD là H 4; 3; 2 . Tìm tọa độ tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . A. I 3; 2; 1 .. B. I 2; 1;0 .. C. I 3; 2;1 .. D. I 3; 2;1 .. Lời giải Gọi I a; b; c IA a;1 b; 2 c ; IH 4 a; 3 b; 2 c . ABCD là tứ diện đều nên tâm I của mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm tứ diện a 3 4 a a 3 IA 3IH 1 b 3 3 b b 2 I 3; 2; 1 . c 1 2 c 3 2 c Câu 12.. (Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy và đi qua ba điểm A 1; 2; 4 , B 1; 3;1 , C 2; 2;3 . Tọa độ tâm I của mặt cầu là A. 2; 1; 0 .. B. 2;1; 0 .. C. 0; 0; 2 .. D. 0; 0; 0 .. Lời giải Chọn B Gọi tâm I a ; b ; c và phương trình mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 Do I Oxy c 0 S : x 2 y 2 z 2 2 ax 2by d 0 . AS 2a 4b - d 21 a 2 Ta có: B S 2a - 6b - d 11 b 1 . 4a 4b - d 17 d 21 C S . Vậy I 2;1;0 . Câu 13. Trong không gian tọa độ Oxyz , mặt cầu S đi qua điểm O và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác O thỏa mãn tam giác ABC có trọng tâm là điểm G 6; 12;18 . Tọa độ tâm của mặt cầu S là Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(100)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 9;18; 27 .. B. 3; 6;9 .. C. 3; 6; 9 .. D. 9; 18; 27 .. Lời giải Chọn D Gọi tọa độ các điểm trên ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A a; 0; 0 , B 0; b; 0 , C 0; 0; c với. a, b, c 0 . a 3 6 a 18 b Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên 12 b 36 . 3 c 54 c 3 18 . Gọi phương trình mặt cầu S cần tìm là: x 2 y 2 z 2 2mx 2ny 2 pz q 0 . Vì S qua các điểm O, A, B, C nên ta có hệ: q 0 m 9 2 n 18 36m q 18 . 2 72n q 36 p 27 108 p q 542 q 0 Vậy tọa độ tâm mặt cầu S là 9; 18; 27 . 2. 2. 2. Câu 14. Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x cos y cos z cos 4 với. , và lần lượt là ba góc tạo bởi tia Ot bất kì với 3 tia Ox, Oy và Oz . Biết rằng mặt cầu S luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định. Tổng diện tích của hai mặt cầu cố định đó bằng A. 40 . B. 4 . C. 20 . D. 36 . Lời giải Chọn A. Ta dễ dàng chứng minh được: cos 2 cos 2 cos 2 1 Mặt cầu S có tâm I cos ;cos ;cos . Suy ra tâm I thuộc mặt cầu S có tâm O 0; 0; 0 , R cos 2 cos 2 cos 2 1 Mặt cầu S luôn tiếp xúc với hai mặt cầu S1 , S2 . Mặt cầu S1 có tâm là O , bán kính R1 OI R 1 2 1 . Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(101)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Mặt cầu S2 có tâm là O , bán kính R2 OI R 1 2 3 .. . . . . Vậy tổng diện tích hai mặt cầu bằng 4 R12 R22 4 12 32 40 . Câu 15. Cho phương trình x 2 y 2 z 2 4 x 2 my 3m 2 2 m 0 với m là tham số. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu. A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B Giả sử x 2 y 2 z 2 4 x 2 my 3m 2 2 m 0 là phương trình mặt cầu.. . . Khi đó tâm mặt cầu là I 2; m;0 , và bán kính R 4 m2 3m2 2m 2m2 2m 4 . với điều kiện 2m2 2m 4 0 m 1;2 . Do m m 0;1 . Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của m bằng 1. Câu 16.. (Sở Kon Tum 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3; 0;0 , B 0; 2;0 , C 0; 0; 4 . Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có diện tích bằng 29 A. 116 . B. . C. 29 . 4 Lời giải Chọn B. D. 16 .. Cách 1: Giả sử mặt cầu S ngoại tiếp tứ diện OABC có phương trình x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 .. 3 d 0 a 2 9 6a d 0 b 1 . S đi qua 4 điểm O , A , B , C nên ta có hệ phương trình: 4 4b d 0 c 2 16 8c d 0 d 0 29 3 Suy ra mặt cầu S có tâm I ; 1; 2 , bán kinh R a 2 b 2 c 2 d . 2 2 29 Vậy diện tích mặt cầu S bằng . 4 Cách 2: Khối tứ diện OABC có 3 cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc tại O . Khi đó mặt cầu ngoại. OA2 OB 2 OC 2 29 . 2 2 29 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp OABC bằng . 4. tiếp khối tứ diện OABC có bán kính R . Câu 17.. (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm. A 1; 2; 4 , B 1; 3;1 , C 2; 2;3 . Tính bán kính R của mặt cầu S đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(102)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. R 41 .. B. R 15 .. C. R 13 . Lời giải. D. R 26 .. Chọn D Gọi phương trình mặt cầu S có dạng x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 , với tọa độ tâm I a ;b;c .. Ta có:. I a ; b ; c Oxy c 0 ; A S 2a 4b d 21 a 2 B S 2a 6b d 11 b 1 ; 4a 4b d 17 d 21 C S . R a 2 b 2 c 2 d 4 1 0 21 26 . Câu 18.. (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Trong không gian Oxyz , gọi S là mặt cầu đi qua điểm. D 0;1; 2 và tiếp xúc với các trục Ox , Oy , Oz tại các điểm A a ;0;0 , B 0; b ;0 , C 0;0; c trong đó a, b, c \ 0;1 . Bán kính của S bằng A.. 5.. B.. 5 . 2. 3 2 . 2 Lời giải. D. 5 2 .. C.. Chọn D Gọi I là tâm của mặt cầu S . Vì S tiếp xúc với các trục Ox , Oy , Oz tại các điểm. A a ;0;0 , B 0; b ;0 , C 0;0; c nên ta có IA Ox , IB Oy , IC Oz hay A , B , C tương ứng là hình chiếu của I trên Ox , Oy , Oz I a ; b ; c . Mặt cầu S có phương trình: x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 với a 2 b 2 c 2 d 0 . a 2 b 2 c 2 d 1 Vì S đi qua A , B , C , D nên ta có: . 5 2b 4c d 0 2 Vì a, b, c \ 0;1 nên 0 d 1 . Mặt khác, từ 1 R a 2 b2 c 2 d 2d . TH1: Từ 1 b c d . Thay vào * : 5 6 d d 0 d 25 (nhận). R 2.25 5 2 . TH2: Từ 1 b c d . Thay vào * : 5 6 d d 0 (vô nghiệm). TH3: Từ 1 b d , c d . Thay vào * : 5 2 d d 0 (vô nghiệm). TH4: Từ 1 b d , c d . Thay vào * : 5 2 d d 0 (vô nghiệm). Vậy mặt cầu S có bán kính R 5 2 . 2. 2. 2. Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y 2 z 3 25 và hình nón H có đỉnh A 3; 2; 2 và nhận AI làm trục đối xứng với I là tâm mặt cầu. Một. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(103)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. đường sinh của hình nón H cắt mặt cầu tại M , N sao cho AM 3 AN . Viết phương trình mặt cầu đồng tâm với mặt cầu S và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón H . 2. 2. 2. 2. 2. 2. 71 . 3 74 . 3. A. x 1 y 2 z 3 C. x 1 y 2 z 3. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 70 . 3 76 . 3. B. x 1 y 2 z 3 D. x 1 y 2 z 3 Lời giải. Chọn A. Gọi hình chiếu vuông góc của I trên MN là K . 1 Dễ thấy AN NK AM , mặt cầu S có tâm I 1; 2;3 và bán kính R 5 3 4 2 3 213 KN AN IK IN 2 KN 2 . 3 3 3 Nhận thấy mặt cầu đồng tâm với mặt cầu S và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón H . Có AM . AN AI 2 R 2 4 AN 2 . chính là mặt cầu tâm I 1; 2;3 có bán kính IK 2. 213 . 3 2. 2. Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x 1 y 2 z 3 Câu 20.. 71 . 3. (Chuyên Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian Oxyz , gọi I a; b; c là tâm mặt cầu đi qua điểm. A 1; 1; 4 và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ. Tính P a b c . A. P 6 .. B. P 0 .. C. P 3 . Lời giải. D. P 9 .. Vì mặt cầu tâm I tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ nên d I , Oyz d I , Ozx d I , Oxy a b c a b c a b c a b c a b c Nhận thấy chỉ có trường hợp a b c thì phương trình AI d I , Oxy có nghiệm, các trường hợp còn lại vô nghiệm. Thật vậy: Với a b c thì I a; a; a 2. 2. 2. AI d I , Oyx a 1 a 1 a 4 a 2 a 2 6a 9 0 a 3 Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(104)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Khi đó P a b c 9 . Câu 21. (THPT Mộ Đức - Quảng Ngãi - 2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 0; 1;2 ,. B 2; 3;0 , C 2;1;1 , D 0; 1;3 . Gọi L là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức MA.MB MC.MD 1 . Biết rằng L là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu? A. r . 11 . 2. B. r . 7 . 2. C. r . 3 . 2. D. r . 5 . 2. Lời giải Gọi M x; y; z là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta có AM x; y 1; z 2 , BM x 2; y 3; z , CM x 2; y 1; z 1 , DM x; y 1; z 3 . MA.MB 1 Từ giả thiết: MA.MB MC.MD 1 MC.MD 1 2 2 2 x x 2 y 1 y 3 z z 2 1 x y z 2 x 4 y 2 z 2 0 2 2 2 x y z 2 x 4 z 1 0 x x 2 y 1 y 1 z 1 z 3 1. Suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm I1 1; 2;1 , R1 2 và mặt cầu tâm I 2 1;0;2 , R2 2 .. M I1. I2. Ta có: I1 I 2 5 . 2. 5 11 I I Dễ thấy: r R12 1 2 4 . 2 4 2 . Dạng 2. Viết phương trình mặt cầu Tâm I (a; b; c) Dạng 1. Cơ bản ( S ) : ( S ) : ( x a ) 2 ( y b) 2 ( z c) 2 R 2 . BK : R Dạng 2. Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và đi qua điểm A. Tâm I Phương pháp: ( S ) : (dạng 1) BK : R IA Dạng 3. Viết phương trình mặt cầu ( S ) có đường kính AB, với A, B cho trước. Tâm I là trung điểm của AB. Phương pháp: ( S ) : 1 BK : R 2 AB Dạng 4. Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và tiếp xúc với các trục và mp tọa độ. Tâm I Phương pháp: ( S ) : với M là hình chiếu của I lên trục hoặc mp tọa BK : R IM S ) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P). Dạng 5. Viết phương trình mặt cầu (độ. Tâm I Phương pháp: ( S ) : BK : R d I ;( P) Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(105)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Khoảng cách từ điểm M ( xM ; yM ; zM ) đến mặt phẳng ( P) : ax by cz d 0 được xác định bởi công thức: d ( M ;( P)) . axM byM czM d. a2 b2 c2 Dạng 6. Viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua bốn điểm A, B, C , D. Phương pháp: Gọi ( S ) : x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 Vì A, B, C , D ( S ) nên tìm được 4 phương trình a, b, c, d ( S ). Dạng 7. Viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua 3 điểm A, B, C và tâm thuộc mp ( P). Phương pháp: Gọi ( S ) : x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 Vì A, B, C ( S ) nên tìm được 3 phương trình và I (a; b; c) ( P) là phương trình thứ tư. Giải hệ bốn phương trình này a, b, c, d ( S ). Dạng 8. Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và cắt mặt phẳng ( P ) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r. (dạng này mình sẽ đưa vào bài phương trình mặt phẳng, các bạn học cũng có thể tự tìm để hiểu hơn) Phương pháp: Dựa vào mối liên hệ R 2 d 2[I ;( P )] r 2 và cần nhớ C 2 r và Sđt r 2 .. Câu 1.. (Mã 123 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1; 2; 3 . Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM ? 2. B. x 1 y 2 z 2 17. 2. 2. D. x 1 y 2 z 2 13. A. x 1 y 2 z 2 13. 2. C. x 1 y 2 z 2 13. Lời giải Chọn A Hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox là I 1; 0; 0 IM 13 .Suy ra phương trình mặt 2. cầu tâm I bán kính IM là: x 1 y 2 z 2 13 . Câu 2.. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm I (1; 2;3) . Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho AB 2 3 A. ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 16.. B. ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 20.. C. ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 25.. D. ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 9. Lời giải.. Gọi H là trung điểm AB suy ra H là hình chiếu vuông góc của I lên Ox nên H 1;0;0 . Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(106)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2. 2. IH 13 R IA IH AH 4 . 2. 2. 2. Phương trình mặt cầu là: x 1 y 2 z 3 16 . Câu 3.. (Sgd Cần Thơ - 2018) Trong không gian Oxyz , giá trị dương của m sao cho mặt phẳng Oxy 2. 2. tiếp xúc với mặt cầu x 3 y 2 z 2 m 2 1 là A. m 5 .. C. m 3 .. B. m 3 .. D. m 5 .. Lời giải 2. 2. Mặt cầu S : x 3 y 2 z 2 m 2 1 có tâm I 3;0; 2 , bán kính R m 2 1 .. S . tiếp xúc với Oxy d I , Oxy R. 2 m 2 1 m 2 3 m 3 (do m dương). Câu 4.. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 2;3 . Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox . Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM ? 2. B. x 1 y 2 z 2 13 .. 2. 2. D. x 1 y 2 z 2 17 .. A. x 1 y 2 z 2 13 .. 2. C. x 1 y 2 z 2 13 .. Lời giải Với điểm M 1; 2;3 thì hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox là I 1;0;0 2. Có IM 13 vậy phương trình mặt cầu tâm I 1;0;0 bán kính IM là: x 1 y 2 z 2 13 Câu 5.. (Sở Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , trong các mặt cầu dưới đây, mặt cầu nào có bán kính R 2 ? A. S : x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 2 z 3 0 .. B. S : x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 2 z 10 0 .. C. S : x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 2 z 2 0 .. D. S : x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 2 z 5 0 . Lời giải. Ta có mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 có bán kính là R a 2 b 2 c 2 d a 2 b 1 Trong đáp án C ta có: R a2 b2 c2 d 4 2 . c 1 d 2 Câu 6.. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm. A 1;1;2 , B 3;2; 3 . Mặt cầu S có tâm I thuộc Ox và đi qua hai điểm A, B có phương trình. A. x 2 y 2 z 2 8 x 2 0 .. B. x 2 y 2 z 2 8 x 2 0 .. C. x 2 y 2 z 2 4 x 2 0 .. D. x 2 y 2 z 2 8 x 2 0 .. Lời giải Gọi I a ;0;0 Ox IA 1 a ;1;2 ; IB 3 a ;2; 3 . Do S đi qua hai điểm A, B nên IA IB . 1 a . 2. 5 . 3 a. 2. 13 4a 16 a 4. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(107)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. S có tâm I 4;0;0 , bán kính R IA 14 . 2. S : x 4 y 2 z 2 14 x 2 y 2 z 2 8 x 2 0. Câu 7.. Trong không gian Oxyz , mặt cầu có tâm I 1;1;1 và diện tích bằng 4 có phương trình là 2. 2. 2. B. x 1 y 1 z 1 1. 2. 2. 2. D. x 1 y 1 z 1 1. A. x 1 y 1 z 1 4 C. x 1 y 1 z 1 4. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Lời giải 2. Ta có: S 4 R 4 R 1 2. 2. 2. Vậy S tâm I 1;1;1 bán kính R 1 có pt: x 1 y 1 z 1 1 Câu 8.. (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu S qua bốn điểm A 3;3;0 , B 3;0;3 , C 0;3;3 , D 3;3;3 . Phương trình mặt cầu S là 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 3 3 3 3 3 A. x y z . 2 2 2 2 3 3 3 27 B. x y z . 2 2 2 4 3 3 3 27 C. x y z . 2 2 2 4 3 3 3 27 D. x y z . 2 2 2 4 . Lời giải Gọi phương trình mặt cầu S : x y z 2 ax 2by 2cz d 0 a 2 b 2 c 2 d 0 2. 2. 2. Vì mặt cầu đi qua 4 điểm nên: 18 6a 6b d 0 18 6a 6c d 0 18 6b 6c d 0 27 6a 6b 6c d. 3 a 2 6a 6b d 18 6a 6c d 18 b 3 2 6b 6c d 18 3 c 6a 6b 6c d 27 0 2 d 0 2. 2. 2. 3 3 3 3 3 3 3 3 Suy ra tâm I ; ; bán kính R . 2 2 2 2 2 2 2 2. 2. 2. 3 3 3 27 Vậy phương trình mặt cầu x y z . 2 2 2 4 . Câu 9.. (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có tọa độ đỉnh A 2; 0; 0 , B 0; 4; 0 , C 0; 0; 6 , A 2; 4; 6 . Gọi S là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Viết phương trình mặt cầu S có tâm trùng với tâm của mặt cầu S và có bán kính gấp 2 lần bán kính của mặt cầu S . 2. 2. 2. A. x 1 y 2 z 3 56 .. B. x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 0 .. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(108)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2. 2. 2. 2. C. x 1 y 2 z 3 14 .. 2. 2. D. x y z 2 x 4 y 6 z 12 0 . Lời giải 2. Gọi phương trình mặt cầu S có dạng: x y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 . Vì S là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nên ta có: 2 2 0 2 0 2 2.a.2 2.b.0 2.c.0 d 0 4a d 4 2 8b d 16 2 2 0 4 0 2.a.0 2.b.4 2.c.0 d 0 2 2 2 0 0 6 2.a.0 2.b.0 2.c.6 d 0 12c d 36 2 2 42 62 2.a.2 2.b.4 2.c.6 d 0 4a 8b 12c d 56 . a 1 b 2 c 3 d 0. x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 0 I 1; 2; 3 và R 14 R 2 14 . 2. 2. 2. Vậy: mặt cầu S có tâm I 1; 2; 3 và R 2 14 : x 1 y 2 z 3 56 . Câu 10.. (Trần Phú - Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu tâm I 2;1; 3 và tiếp xúc với trục Oy có phương trình là 2. 2. 2. B. x 2 y 1 z 3 13 .. 2. 2. 2. D. x 2 y 1 z 3 10 .. A. x 2 y 1 z 3 4 . C. x 2 y 1 z 3 9 .. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Lời giải Gọi M là hình chiếu của I trên Oy M 0;1; 0 Mặt cầu S tâm I 2;1; 3 và tiếp xúc với trục Oy có bán kính IM 13 . 2. 2. 2. Vậy S có phương trình x 2 y 1 z 3 13 . Câu 11.. (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu S có tâm I 1; 4; 2 và có thể tích bằng. 256 . Khi đó phương trình mặt cầu S là 3. 2. 2. 2. B. x 1 y 4 z 2 4 .. 2. 2. 2. D. x 1 y 4 z 2 4 .. A. x 1 y 4 z 2 16 . C. x 1 y 4 z 2 4 .. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Lời giải 4 Thể tích mặt cầu là V R 3 . 3. Theo đề bài ta có. 4 3 256 R 4. R 3 3 2. 2. 2. Phương trình mặt cầu S tâm I 1; 4; 2 và bán kính R 4 là x 1 y 4 z 2 16 . Câu 12.. (Chuyên Nguyễn Đình Triểu - Đồng Tháp - 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2. 2. S : x 1 y 1 z 2 4. Một mặt cầu S S . Phương trình mặt cầu S là. có tâm I 9;1;6 và tiếp xúc ngoài với mặt cầu. 2. 2. 2. B. x 9 y 1 z 6 144 .. 2. 2. 2. D. x 9 y 1 z 6 25 .. A. x 9 y 1 z 6 64 . C. x 9 y 1 z 6 36 .. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Lời giải Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(109)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Chọn A Gọi I 1;1;0 , R 2. II 10 . Gọi R là bán kính của mặt cầu S . Theo giả thiết, ta có R R II R II R 8 . 2. 2. 2. Khi đó phương trình mặt cầu S : x 9 y 1 z 6 64 . Câu 13.. (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2018) Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A 1; 1; 4 và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ. 2. 2. 2. B. x 3 y 3 z 3 9 .. 2. 2. 2. D. x 3 y 3 z 3 49 .. A. x 3 y 3 z 3 16 . C. x 3 y 3 z 3 36 .. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Lời giải Gọi I a; b; c là tâm của mặt cầu S . Mặt cầu S tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ. d I , Oxy d I , Oyz d I , Oxz a b c R 1 Mặt cầu S đi qua A 1; 1; 4 2. 2. 2. a 1 b 1 c 4 R 2 IA2 R 2 IA R a 0; c 0; b 0 a 0; c 0; b 0 a c b R 0 (do 1) a 1 2 a 12 a 4 2 a 2 2a 2 12a 18 0 a 2 6a 9 0 a c b R 0 a c b R 0 a c b R 0. a c 3 2 2 2 b 3 S : x 3 y 3 z 3 9 . R 3 Câu 14.. 8 4 8 (Kim Liên - Hà Nội – 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M 2; 2;1 , N ; ; . 3 3 3 Viết phương trình mặt cầu có tâm là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác OMN và tiếp xúc với mặt phẳng Oxz . 2. 2. 2. A. x 2 y 1 z 1 1 . 2. 2. B. x 2 y 1 z 1 1 .. 2. 2. C. x 1 y 1 z 2 1 .. 2. D. x 1 y 2 z 1 1 .. Lời giải Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMN . Ta áp dụng tính chất sau : “Cho tam giác OMN với I là tâm đường tròn nội tiếp, ta có a.IO b.IM c.IN 0 , với a MN , b ON , c OM ”. 2. 2. 2. 8 4 8 Ta có OM 2 2 1 3 , ON 4 . 3 3 3 2. 2. 2. 2. 2. 2. 8 4 8 MN 2 2 1 5 . 3 3 3 . Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(110)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 8 5.0 4.2 3. 3 0 xI 3 45 4 5.0 4.2 3. 3 1 . 5.IO 4.IM 3.IN 0 yI 3 45 8 5.0 4.2 3. 3 1 zI 3 45 . Mặt phẳng Oxz có phương trình y 0 . Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng Oxz nên mặt cầu có bán kính R d I , Oxz 1 . 2. 2. Vậy phương trình mặt cầu là: x 2 y 1 z 1 1 . Câu 15. (Toán Học Tuổi Trẻ 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm H 1; 2; 2 . Mặt phẳng đi qua H và cắt các trục Ox , Oy , Oz tại A , B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC . Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng . A. x 2 y 2 z 2 81 .. B. x 2 y 2 z 2 1 .. C. x 2 y 2 z 2 9 .. D. x 2 y 2 z 2 25 .. Lời giải z C. O A. H B. y. K. x. Ta có H là trực tâm tam giác ABC OH ABC . Thật vậy : OC OA OC AB (1) OC OB Mà CH AB (vì H là trực tâm tam giác ABC ) (2) Từ (1) và (2) suy ra AB OHC AB OH (*) Tương tự BC OAH BC OH . (**) Từ (*) và (**) suy ra OH ABC . Khi đó mặt cầu tâm O tiếp xúc mặt phẳng ABC có bán kính R OH 3 . Vậy mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng là S : x 2 y 2 z 2 9 . Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(111)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 16. (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2018) Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A 1; 1; 4 và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ. 2. 2. 2. B. x 3 y 3 z 3 9 .. 2. 2. 2. D. x 3 y 3 z 3 49 .. A. x 3 y 3 z 3 16 . C. x 3 y 3 z 3 36 .. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Lời giải Gọi I a; b; c là tâm của mặt cầu S . Mặt cầu S tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ. d I , Oxy d I , Oyz d I , Oxz a b c R 1 Mặt cầu S đi qua A 1; 1; 4 2. 2. 2. a 1 b 1 c 4 R 2 IA2 R 2 IA R a 0; c 0; b 0 a 0; c 0; b 0 a c b R 0 (do 1) a 1 2 a 1 2 a 4 2 a 2 2a 2 12a 18 0 a 2 6a 9 0 a c b R 0 a c b R 0 a c b R 0 a c 3 2 2 2 b 3 S : x 3 y 3 z 3 9 . R 3 . Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(112)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. Chuyên đề 29. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng 1. Một số bài toán liên quan đến tiếp tuyến (tiếp xúc) mặt cầu Câu 1.. . (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2. . 2. 3 . Có tất cả. bao nhiêu điểm A a ; b ; c ( a, b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng Oxy sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau? A. 8 .. B. 16 .. C. 12 . Lời giải. D. 4 .. Chọn C. . . Mặt cầu S có tâm I 0; 0; 2 và bán kính R 3 ; A Oxy A a ; b ;0 . * Xét trường hợp A S , ta có a 2 b 2 1 . Lúc này các tiếp tuyến của S thuộc tiếp diện của. S tại. A nên có vô số các tiếp tuyến vuông góc nhau.. a 0 a 0 a 1 a 1 Trường hợp này ta có 4 cặp giá trị của a; b là ; ; ; . b 1 b 1 b 0 b 0 * Xét trường hợp A ở ngoài S . Khi đó, các tiếp tuyến của S đi qua A thuộc mặt nón đỉnh A . Nên các tiếp tuyến này chỉ có thể vuông góc với nhau tại A . Điều kiện để có ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc là góc ở đỉnh của mặt nón lớn hơn hoặc bằng 90 .. Giả sử AN ; AM là các tiếp tuyến của S thỏa mãn AN AM ( N ; M là các tiếp điểm). Dễ thấy ANIM là hình vuông có cạnh IN R 3 và IA 3. 2 6 . a 2 b 2 1 IA R Điều kiện phải tìm là 2 2 IA IA 6 a b 4. Vì a , b là các số nguyên nên ta có các cặp nghiệm a; b là. 0;2 , 0; 2 , 2;0 , 2;0 , 1;1 , 1; 1 , 1;1 , 1; 1 . Vậy có 12 điểm A thỏa mãn yêu cầu. Câu 2.. 2. (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 1 5 . Có tất cả bao nhiêu điểm A a, b, c ( a, b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng Oxy sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau? A. 20. B. 8. C. 12. D. 16. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(113)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải Chọn A. Mặt cầu có tâm I 0;0;1 , bán kính R 5 . Vì A Oxy nên c 0 . Các giao tuyến của A đến mặt cầu (nếu IA R ) tạo nên một mặt nón tâm A , để mặt nón này có hai đường sinh vuông góc thì góc của mặt nón này phải 90 hay. IA R 2 . Vậy R IA R 2 5 a 2 b2 1 10 4 a 2 b2 9 Ta có các bộ số thõa mãn 0; 2 ; 0; 3 ; 1; 2 ; 2; 2 ; 2; 1 ; 2;0 ; 3;0 , 20 bộ số. Câu 3.. 2. (Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu: S : x 2 y 2 z 1 5 . Có tất cả bao nhiêu điểm A a ; b ; c ( a , b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng Oxy sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau? A. 20 .. B. 8 .. C. 12 . Lời giải. D. 16 .. Chọn A. Mặt cầu S : x 2 y 2 ( z 1) 2 5 có tâm I 0;0; 1 và có bán kính R 5 a b 1 A a ; b ;0 Oxy , Gọi I là trung điểm của AI I ; ; 2 2 2 Gọi E , F lần lượt là hai tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A sao cho AE AF .. Ta có: E , F cùng thuộc mặt cầu R . S . a b 1 đường kính IA có tâm I ; ; , bán kính 2 2 2. 1 2 a b2 1 . 2. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(114)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Đề tồn tại E , F thì hai mặt cầu S và S phải cắt nhau suy ra R R II R R . 5. 1 2 1 2 1 2 a b2 1 a b2 1 5 a b2 1 2 2 2. 5 a 2 b2 1 a 2 b2 4 1 Gọi H là hình chiếu của I trên. AEF . khi đó tứ giác AEHF là hình vuông có cạnh. AE HF AI 2 5 . Ta có IH 2 R 2 HF 2 5 AI 2 5 10 AI 2 0 a 2 b 2 1 10 a 2 b 2 9 2 Từ 1 và 2 ta có 4 a 2 b 2 9 mà a , b, c nên có 20 điểm thỏa bài toán. Cách khác: Mặt cầu S có tâm I 0,0, 1 bán kính R 5 . Ta có d I Oxy 1 R mặt cầu S cắt mặt phẳng Oxy . Để có tiếp tuyến của S đi qua A AI R 1 . Có A a, b, c Oxy A a, b,0 , IA a 2 b2 1. Quỹ tích các tiếp tuyến đi qua A của S là một mặt nón nếu AI R và là một mặt phẳng nếu AI R .. Trong trường hợp quỹ tích các tiếp tuyến đi qua A của S là một mặt nón gọi AM , AN là hai tiếp tuyến sao cho A, M , I , N đồng phẳng.. Tồn tại ít nhất hai tiếp tuyến của S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau khi và chỉ 90o IA R 2 khi MAN. 2 .. Từ 1 , 2 4 a 2 b2 9 . Vì a, b a 2 0 a 2 9 a 2 4 a 2 0 a 2 1 a 2 4 a 2 4 hoặc 2 hoặc 2 hoặc 2 hoặc 2 hoặc 2 hoặc 2 . 2 b 9 b 0 b 0 b 4 b 4 b 1 b 4 Bốn hệ phương trình đầu tiên có hai nghiệm, ba hệ sau có 4 nghiệm suy ra số điểm A thỏa mãn là 4.2 3.4 20 .. Câu 4.. (THPT Chuyên Ngữ - Hà Nội - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 2. 2. S : x 1 y 1 z 2 4 và một điểm M 2;3;1 . Từ M kẻ được vô số các tiếp tuyến tới S , biết tập hợp các tiếp điểm là đường tròn C . Tính bán kính r của đường tròn C . A. r . 2 3 . 3. B. r . 3 . 3. C. r . 2 . 3. D. 2 .. Lời giải Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(115)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Mặt cầu S có tâm I 1;1;0 và bán kính R 2 . Ta có IM 1; 2;1 và IM 6 . Gọi H là một tiếp điểm tùy ý khi kẻ tiếp tuyến từ Oxyz đến mặt cầu, khi đó. MH IM 2 R 2 2 . Gọi O là tâm của đường tròn C khi đó IM HO và HO r . Ta có HI .HM HO.IM r Câu 5.. HI .HM 2 2 2 3 . IM 3 6. (THPT Chuyên Hạ Long - 2018) Trong không gian, cho bốn mặt cầu có bán kính lần lượt là 2 , 3 , 3 , 2 (đơn vị độ dài) tiếp xúc ngoài với nhau. Mặt cầu nhỏ nhất tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu nói trên có bán kính bằng 5 3 7 6 A. . B. . C. . D. . 9 7 15 11 Lời giải Cách 1: Gọi A, B, C , D là tâm bốn mặt cầu, không mất tính tổng quát ta giả sử AB 4 , AC BD AD BC 5 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD . Dễ dàng tính được. MN 2 3 . Gọi I là tâm mặt cầu nhỏ nhất với bán kính r tiếp xúc với bốn mặt cầu trên. Vì IA IB, IC ID nên I nằm trên đoạn MN .. . Đặt IN x , ta có IC 32 x 2 3 r , IA 22 2 3 x. . 2. 2r 2. Từ đó suy ra. 2. 2. 2. . 3 x 2 2 2x. . 2. 12 3 12 3 6 1 x , suy ra r 32 3 11 11 11 . Cách 2. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(116)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Gọi A, B là tâm quả cầu bán kính bằng 2 . C , D là tâm quả cầu bán kính bằng 3 . I là tâm quả cầu bán kính x . Mặt cầu I tiếp xúc ngoài với 4 mặt cầu tâm A, B, C , D nên IA IB x 2, IC ID x 3 . Gọi P , Q lần lượt là các mặt phẳng trung trực đoạn AB và CD . IA IB I P I P Q 1 . IC ID I Q Tứ diện ABCD có DA DB CA CB 5 suy ra MN là đường vuông góc chung của AB và CD , suy ra MN P Q (2). Từ 1 và 2 suy ra I MN Tam giác IAM có IM IA2 AM 2 Tam giác CIN có IN IC 2 CN 2 . x 2 x 3. 2. 2. 4 .. 9 .. Tam giác ABN có NM NA2 AM 2 12 . Suy ra. x 3. 2. 9 . x 2. 2. 4 12 x . 6 . 11. Dạng 2. Bài toán cực trị 1. Một số bất đẳng thức cơ bản Kết quả 1. Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn thì lớn hơn Kết quả 2. Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất. Như trong hình vẽ ta luôn có AM AH. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(117)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Kết quả 3. Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có bất đẳng thức AB BC AC . Tổng quát hơn ta có bất đẳng thức của đường gấp khúc: Với n điểm A1 , A2 ,.... An ta luôn có A1 A2 A2 A3 ... An 1 An A1 An x y 2 xy . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y Kết quả 4. Với hai số không âm x, y ta luôn có 2 Kết quả 5. Với hai véc tơ a, b ta luôn có a.b a . b . Đẳng thức xảy ra khi a kb, k 2. Một số bài toán thường gặp Bài toán 1. Cho điểm A cố định và điểm M di động trên hình H ( H là đường thẳng, mặt phẳng). Tìm giá trị nhỏ nhất của AM. Lời giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên hình H . Khi đó, trong tam giác AHM Vuông tại . M ta có AM AH . Đẳng thức xảy ra khi M H . Do đó AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A lên H Bài toán 2. Cho điểm A và mặt cầu S có tâm I , bán kính R, M là điểm di động trên S . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của AM .. Lời giải. Xét A nằm ngoài mặt cầu ( S ). Gọi M 1 , M 2 lần lượt là giao điểm của đường thẳng AI với mặt cầu ( S ) AM 1 AM 2 và ( ) là mặt phẳng đi qua M và đường thẳng AI . Khi đó ( ) cắt ( S ) theo một đường tròn lớn (C ). Ta có M MM 90 , nên AMM 2 và AM M là các góc tù, nên trong các tam giác 1. 2. 1. AMM 1 và AMM 2 ta có AI R AM 1 AM AM 2 AI R Tương tự với A nằm trong mặt cầu ta có R AI AM R AI Vậy min AM | AI R |, max AM R AI Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(118)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Bài toán 3. Cho măt phẳng ( P) và hai điểm phân biệt A, B. Tìm điể M thuộc ( P) sao cho 1. MA MB nhỏ nhất. 2. | MA MB | lớn nhất. Lời giải. 1. Ta xét các trường hợp sau - TH 1: Nếu A và B nằm về hai phía so với ( P) . Khi đó AM BM AB Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( P) . - TH 2: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( P) . Gọi A đối xứng với A qua ( P) . Khi đó AM BM A M BM A B Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( P) .. 2. Ta xét các trường hợp sau - TH 1: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( P) . Khi đó | AM BM | AB Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( P) . - TH 2: Nếu A và B nằm khác phía so với ( P) . Gọi A ' đối xứng với A qua P , Khi đó. | AM BM | A M BM A B Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( P) . Bài toán 4. Viết phương trinh măt phẳng ( P) di qua A và cách B một khoảng lớn nhất.. Lời giải. Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng ( P), khi đó d( B,( P)) BH BA Do đó P là mặt phẳng đi qua A vuông góc với AB Bài toán 5. Cho các số thực dương , và ba điểm A, B, C. Viết phương trình măt phẳng Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(119)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. ( P) đi qua C và T d( A, ( P)) d( B, ( P)) nhỏ nhất. Lời giải. 1. Xét A, B nằm về cùng phía so với ( P) . - Nếu AB‖( P ) thì P ( )d( A, ( P)) ( ) AC - Nếu đường thẳng AB cắt ( P) tại I . Gọi D là điểm thỏa mãn IB ID và E là trung điểm BD. Khi đó. . IB d( D, ( P)) 2 d( E , ( P)) 2( ) EC ID 2. Xét A, B nằm về hai phía so với ( P) . Gọi I là giao điểm của AB và ( P ), B là điểm đối xứng với B qua I . Khi đó P d( A, ( P)) d B , ( P) P d( A, ( P )) . . . Đến đây ta chuyển về trường hợp trên. So sánh các kết quả ở trên ta chọn kết quả lớn nhất. Bài toán 6. Trong không gian cho n điểm A1 , A2 ,, An và diểm A. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A và tổng khoảng cách từ các điểm Ai (i 1, n ) lớn nhất. Lời giải. - Xét n điểm A1 , A2 ,, An nằm cùng phía so với ( P). Gọi G là trọng tâm của n điểm đã cho. Khi đó n. d A , ( P) nd(G, ( P)) nGA i. i 1. - Trong n điểm trên có m điểm nằm về một phía và k điểm nằm về phía khác (m k n ). Khi đó, gọi G1 là trọng tâm của m điểm, G2 là trọng tâm của k điểm G3 đối xứng với G1 qua A. Khi dó P md G3 , ( P ) kd G2 , ( P ) . Đến đây ta chuyển về bài toán trên. Bài toán 7.Viết phương trình mặt phẳng P đi qua đường thẳng và cách A một khoảng lớn nhất. Lời giải. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên mặt phẳng ( P) và đường thẳng . Khi đó d( A, ( P)) AH AK Do đó ( P) là mặt phẳng đi qua K và vuông góc vói AK . Bài toán 8. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A1 , A2 , , An . Xét véc tơ w 1 MA1 2 M A2 n M An Trong đó 1 ; 2 ... n là các số thực cho trước thỏa mãn 1 2 ... n 0 . Tìm điểm M thuôc măt phẳng ( P) sao cho | w | có đô dài nhỏ nhất. Lời giải. Gọi G là điểm thỏa mãn 1GA1 2GA2 nGAn 0 (điểm G hoàn toàn xác định). Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(120)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có MAk MG GAk vói k 1;2;; n, nên w 1 2 n MG 1GA1 2GA2 nGAn 1 2 n MG. Do đó | w | 1 2 n | MG |. Vi 1 2 n là hằng số khác không nên | w | có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất, mà M ( P) nên điểm M cần tìm là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( P) . Bài toán 9. Trong không gian Oxy z, cho các diểm A1 , A2 ,, An . Xét biểu thức: T 1MA12 2 MA22 n MAn2 Trong đó 1 , 2 ,, n là các số thực cho trước. Tìm điểm M thuộc măt phẳng ( P) sao cho 1. T giá trị nhỏ nhất biết 1 2 n 0 . 2. T có giá trị lớn nhất biết 1 2 n 0 . Lời giải. Gọi G là điểm thỏa mãn 1GA1 2GA2 n GAn 0 Ta có MAk MG GAk với k 1;2;; n, nên 2 MAk2 MG GAk MG 2 2 MG GAk GAk2. . . Do đó T 1 2 n MG 2 1GA12 2GA22 n GAn2 Vì 1GA12 2GA22 nGAn2 không đổi nên • với 1 2 n 0 thì T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. • với 1 2 n 0 thì T đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. Mà M ( P) nên MG nhỏ nhất khi điểm M là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( P) . Bài toán 10. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng ( P) cắt nhau. Viết phương trình của mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng ( P) một góc nhỏ nhất.. Lời giải. Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( P) và lấy điểm M d , M I . Gọi H , K lầ lượt là hình chiếu của M lên ( P) và giao tuyến của ( P) và (Q) . , do đó Đặt là góc giữa ( P) và (Q), ta có MKH. tan . HM HM HK HI Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(121)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Do đó (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mặt phẳng ( MHI ), nên (Q) đi qua M và nhận nP ud ud làm VTPT. Chú ý. Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đai số như sau: - Goi n (a; b; c), a 2 b 2 c 2 0 là một VTPT của mặt phẳng (Q). Khi đó n ud 0 từ đây ta rút được a theo b, c (hoặc b theo a, c hoặc c theo a, b ). - Gọi là góc giữa ( P) và (Q), ta có n nP cos f (t ) | n | nP. b với t , c 0. Khảo sát f (t ) ta tìm được max của f (t ) c Bài toán 11. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d chéo nhau. Viết phương trinh mặt phẳng ( P) chứa d và tạo với d một góc lớn nhất.. Lời giải. Trên đường thẳng d , lấy điểm M và dựng đường thẳng đi qua M song song với d . Khi đó góc giữa và ( P) chính là góc giữa d và ( P) . Trên đường thẳng , lấy điểm A . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên ( P) và d , là góc giữa và ( P) . HM KM AMH và cos Khi đó AM AM Suy ra ( P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng ( AMK ). Do dó ( P) đi qua M và nhận ud ud ud làm VTPT.. . . Chú ý. Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đại số như sau: - Goi n (a; b; c), a 2 b 2 c 2 0 là một VTPT của măt phẳng ( P). Khi đó n ud 0 từ đây ta rút được a theo b, c (hoặc b theo a, c hoặc c theo a, b ). - Gọi là góc giữa ( P) và d , ta có n ud sin f (t ) | n | ud . b với t , c 0. Khảo sát f (t ) ta tìm được max của f (t ) c. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(122)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 6.. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho các điểm A 1; 2;3 , B 6; 5;8 và OM a.i b.k trong đó a , b là cá số thực luôn thay đổi. Nếu MA 2 MB đạt giác trị nhỏ nhất thì giá trị a b bằng A. 25. B. 13. C. 0 Lời giải. D. 26. Chọn C Ta có: OM a.i b.k M a;0; b MA 1 a; 2;3 b ; MB 6 a; 5;8 b 2 MB 12 2a;10; 16 2b MA 2 MB a 13;12; b 13 2 2 MA 2MB a 13 122 b 13 12 Vậy MA 2 MB Câu 7.. min. a 13 . Do đó a b 0 12 b 13. (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;1 ; B 2; 1;3 và điểm. M a; b;0 sao cho MA2 MB 2 nhỏ nhất. Giá trị của a b là B. 2 .. A. 2 .. D. 1.. C. 3 . Lời giải. Ta thấy M a; b;0 Oxy . 3 1 Gọi I ; ; 2 là trung điểm của đoạn thẳng AB , ta có 2 2 2 2 2 2 MA2 MB 2 MA MB IA IM IB IM 2 2 2 2 IA IM 2 IA.IM IB IM 2 IB.IM. . . . . . . 2 AB IM 2 2 IA2 2 IM IA IB IM 2 IM 2 7 . 2 2 2 Bởi vậy MA MB nhỏ nhất IM ngắn nhất M là hình chiếu vuông góc của I trên mặt 3 1 3 1 3 1 phẳng Oxy . Bởi vậy M ; ;0 . Như vậy a , b a b 2 . 2 2 2 2 2 2 . . Câu 8.. . (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A 2;4; 1 , B 1;4; 1 , C 2;4;3 , D 2;2; 1 , biết M x; y; z để MA2 MB2 MC 2 MD2. đạt giá trị nhỏ nhất thì x y z bằng A. 6 .. B.. 21 . 4. C. 8 .. D. 9 .. Lời giải 7 7 Xét điểm I a; b; c thỏa mãn IA IB IC ID 0 . Khi đó I ; ;0 . 4 2 2 2 2 Ta có MA2 MB2 MC 2 MD2 MI IA MI IB MI IC MI ID 4 MI 2 2 MI IA IB IC ID IA2 IB 2 IC 2 ID 2. . . . . . . 2. . Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(123)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 4MI 2 IA2 IB2 IC 2 ID2 IA2 IB2 IC 2 ID2 ( vì MI 2 0 với mọi điểm M ) 7 7 21 7 7 Dấu " " xảy ra M I tức là M ; ;0 x y z . 4 2 4 4 2 Câu 9.. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;1 , B 2; 1;3 , C 3;1; 5 . Tìm điểm M trên mặt phẳng Oyz sao cho MA2 2MB 2 MC 2 lớn nhất.. 3 1 A. M ; ; 0 . 2 2 . 1 3 B. M ; ; 0 . 2 2 . C. M 0; 0; 5 .. D. M 3; 4; 0 .. Lời giải Gọi điểm E thỏa EA 2EB 0 . Suy ra B là trung điểm của AE , suy ra E 3; 4; 5 . 2 Khi đó: MA2 2MB 2 ME EA 2 ME EB. . . . ME 2. 2. EA2 2EB 2 .. Do đó MA2 2MB 2 lớn nhất ME nhỏ nhất M là hình chiếu của E 3; 4; 5 lên Oxy M 3; 4; 0 .. Chú ý: Ta có thể làm trắc nghiệm như sau + Loại C vì M 0; 0; 5 không thuộc Oxy .. 3 1 1 3 + Lần lượt thay M ; ; 0 , M ; ; 0 , M 3; 4; 0 vào biểu thức MA2 2MB 2 thì 2 2 2 2 M 3; 4; 0 cho giá trị lớn nhất nên ta chọn M 3; 4; 0 .. Câu 10.. (THPT Nghĩa Hưng Nđ- 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A 2;1;3 , B 1; 1; 2 , C 3; 6;1 . Điểm M x; y; z thuộc mặt phẳng. Oyz . sao cho. MA2 MB 2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức P x y z . A. P 0 .. C. P 6 . Lời giải. B. P 2 .. D. P 2 .. Gọi I là điểm thỏa IA IB IC 0 I 2; 2; 2 . 2 2 2 MA2 MB2 MC 2 MI IA MI IB MI IC 3MI 2 IA2 IB 2 IC 2 2 MI . IA IB IC 3MI 2 IA2 IB2 IC 2 .. . . . . Mà M Oyz MA2 MB2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất M là hình chiếu của I lên. Oyz M 0; 2; 2 . Vậy P 0 2 2 0 . Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 4; 2; 2 , B 1;1; 1 , C 2; 2; 2 . Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng Oyz sao cho MA 2 MB MC nhỏ nhất A. M 2;3;1 .. B. M 0;3;1 .. C. M 0; 3;1 .. D. M 0;1; 2 .. Lời giải. Gọi I x; y; z là điểm thỏa IA 2 IB IC 0 . Khi đó IA 2 IB IC 0 OA OI 2 OB OI OC OI 0. . . . . Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(124)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 OI OA 2OB OC 2;3;1 I 2;3;1 . 2 Ta có MA 2MB MC MI IA 2 MI IB MI IC 2 MI IA 2 IB IC 2 MI 2 MI . MA 2 MB MC nhỏ nhất khi và chỉ khi MI ngắn nhất, khi đó M là hình chiếu của I 2;3;1. . . . . . lên mặt phẳng Oyz . Suy ra M 0;3;1 . Câu 12.. (Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 2; 3; 7 , B 0; 4;1 , C 3;0;5 và D 3;3;3 . Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng Oyz sao cho biểu thức MA MB MC MD đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tọa độ của M là: A. M 0;1; 4 .. B. M 2;1;0 .. C. M 0;1; 2 .. D. M 0;1; 4 .. Lời giải Ta có: AB 2;7; 6 , AC 1;3; 2 , AD 1;6; 4 nên AB, AC . AD 4 0 . Suy ra: AB , AC , AD không đồng phẳng. Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD . Khi đó G 2;1; 4 . Ta có: MA MB MC MD 4 MG 4 MG . Do đó MA MB MC MD nhỏ nhất khi và chỉ khi MG ngắn nhất. Vậy M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng Oyz nên M 0;1; 4 . Câu 13.. (Toán Học Tuổi Trẻ - 2018) Trong không gian cho ba điểm A 1;1;1 , B 1; 2;1 , C 3;6; 5 . Điểm M thuộc mặt phẳng Oxy sao cho MA2 MB 2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất là A. M 1; 2;0 .. B. M 0;0; 1 .. C. M 1;3; 1 .. D. M 1;3;0 .. Lời giải Lấy G 1;3; 1 là trọng tâm của tam giác ABC . Ta có:. 2 2 MA2 MB 2 MC 2 MG GA MG GB MG GC. . . . . 2. 3MG 2 GA2 GB 2 GC 2 .. Do đó MA2 MB 2 MC 2 bé nhất khi MG bé nhất. Hay M là hình chiếu của điểm G lên mặt phẳng Oxy . Vậy M 1;3;0 . Câu 14.. (Lê Quý Đôn - Hải Phòng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A 3; 2;1 , B 2;3;6 . Điểm M xM ; yM ; z M thay đổi thuộc mặt phẳng Oxy . Tìm giá trị của biểu thức T xM yM zM khi MA 3MB nhỏ nhất.. 7 A. . 2. B.. 7 . 2. C. 2 .. D. 2 .. Lời giải. Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(125)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x A 3 xB xH 1 3 y 3 yB 3 11 19 H ; ; . Gọi điểm H thỏa mãn HA 3HB 0 khi đó: yH A 1 3 4 4 4 z A 3zB zH 1 3 Phương trình mặt phẳng Oxy là z 0 . xM xH aT z H 19 3 11 Xét T do đó tọa độ điểm M cần tìm là: yM yH bT M ; ;0 . 1 4 4 4 z z cT H M 3 11 Vậy T xM yM zM 0 2 . 4 4. Câu 15.. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) :( x 1)2 ( y 2) 2 ( z 1)2 9 và hai điểm A(4;3;1) , B(3;1;3) ; M là điểm thay đổi trên (S ) . Gọi m , n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 MA2 MB 2 . Xác định (m n) . A. 64 .. B. 68 .. C. 60 . Lời giải. D. 48 .. Gọi I là điểm thỏa mãn 2IA IB 0 I (2 xA xB ; 2 y A yB ;2 z A zB ). I (5;5; 1) . Suy ra I là điểm cố định. Suy ra P đạt giá trị nhỏ nhất khi MI đạt giá trị nhỏ nhất, P đạt giá trị lớn nhất khi MI đạt giá trị lớn nhất. ( S ) :( x 1)2 ( y 2) 2 ( z 1)2 9 có tâm J (1;2; 1) và bán kính R 3 Suy ra IJ 5 Mà M là điểm thay đổi trên (S ) Do đó: min MI IM1 JI R 5 3 2 max MI IM 2 JI R 5 3 8 Suy ra m n 82 22 60. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(126)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 16.. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S có phương trình là x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 6 z 7 0 . Cho ba điểm A , M , B nằm trên mặt cầu S sao cho AMB 90 . Diện tích tam giác AMB có giá trị lớn nhất bằng? A. 4 . B. 2 . C. 4 . D. Không tồn tại. Lời giải 2. 2. 2. Ta có S : x 1 y 1 z 3 4 S có tâm I 1;1;3 và bán kính R 2 . Bài ra A , M , B nằm trên mặt cầu S và AMB 90 AB qua I AB 2 R 4 . Ta có S AMB . 1 MA2 MB 2 AB 2 MA.MB 4. 2 4 4. Dấu " " xảy ra MA MB . Câu 17.. AB 2 2 và AB 4 . 2. Do đó diện tích tam giác AMB có giá trị lớn nhất bằng 4 . (Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Cho a , b, c, d , e, f. là các số thực thỏa mãn. d 12 e 2 2 f 32 1 . Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 a 3 b 2 c 9. F. 2. 2. a d b e c f . A. 10 .. 2. B. 10 .. lần lượt là M , m. Khi đó, M m bằng D. 2 2 .. C. 8 . Lời giải 2. 2. 2. Gọi A d , e, f thì A thuộc mặt cầu S1 : x 1 y 2 z 3 1 có tâm I1 1; 2;3 , bán 2. 2. kính R1 1 , B a, b, c thì B thuộc mặt cầu S 2 : x 3 y 2 z 2 9 có tâm I 2 3; 2;0 , bán kính R2 3 . Ta có I1I 2 5 R1 R2 S1 và S2 không cắt nhau và ở ngoài nhau.. Dễ thấy F AB , AB max khi A A1 , B B1 Giá trị lớn nhất bằng I1 I 2 R1 R2 9 . AB min khi A A2 , B B2 Giá trị nhỏ nhất bằng I1I 2 R1 R2 1 .. Vậy M m 8. Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(127)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 18.. (THPT Lê Xoay - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2; 2; 2 ; B 3; 3;3 . Điểm M trong không gian thỏa mãn. A. 6 3 .. MA 2 . Khi đó độ dài OM lớn nhất bằng MB 3. 5 3 . 2 Lời giải. B. 12 3 .. D. 5 3 .. C.. Gọi M x; y; z . Ta có. MA 2 3MA 2 MB 9MA2 4MB 2 MB 3. 2 2 2 2 2 2 9 x 2 y 2 z 2 4 x 3 y 3 z 3 . x 2 y 2 z 2 12 x 12 y 12 z 0 2. 2. 2. x 6 y 6 z 6 108 . Như vậy, điểm M thuộc mặt cầu S tâm I 6;6; 6 và bán kính R 108 6 3 . Do đó OM lớn nhất bằng OI R . 6 . 2. 2. 62 6 6 3 12 3 .. Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1;1;1) , B ( 2;3; 4) và C ( 2;5;1) . Điểm M ( a; b; 0) thuộc mặt phẳng Oxy sao cho MA2 MB 2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng T a 2 b 2 bằng A. T 10 .. B. T 25 .. C. T 13 . Lời giải. D. T 17 .. Chọn A Ta có G 1;3; 2 là trọng tâm tam giác ABC . Khi đó. 2 2 2 MA2 MB 2 MC 2 MA MB MC 2 2 2 MG GA MG GB MG GC 3MG 2 GA2 GB 2 GC 2 2 MG GA GB GC. . . . . . . 3MG 2 GA2 GB 2 GC 2 Do đó MA2 MB 2 MC 2 nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất M là hình chiếu của G lên mặt phẳng Oxy . Do hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng Oxy có tọa độ 1;3;0 Vậy 2. M 1;3;0 . Từ đó T 1 32 10 . Câu 20.. (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz cho A 1; 1;2 , B 2;0;3 ,. C 0;1; 2 . Gọi M a; b; c là điểm thuộc mặt phẳng Oxy sao cho biểu thức S MA.MB 2MB.MC 3MC.MA đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó T 12a 12b c có giá trị là A. T 3 . B. T 3 . C. T 1 . D. T 1 . Lời giải: Chọn D Xét S MA.MB 2MB.MC 3MC.MA Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(128)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 ( MI IA)( MI IB) 2( MI IB)( MI IC ) 3( MI IC )( MI IA). 6MI 2 MI (4IA 3IB 5IC ) IAIB 2IBIC 3IC IA. x 4x A 3x B 5xC I 12 4 y 3 yB 5yc 2 1 7 I( , , ). Gọi I là điểm thỏa mãn 4IA 3IB 5IC 0 yI A 12 12 12 12 4x A 3z B 5zC z I 12 Mà: (4 IA 3IB 5IC ) 0 . IAIB 2 IBIC 3IC IA const . Nên S min MI min Suy ra M là hình chiếu của I lên mặt Oxy. M ( Câu 21.. 2 1 , , 0) . T 12a 12b c 1 12 12. (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Trong không gian Oxyz , lấy điểm C trên tia Oz sao cho OC 1 . Trên hai tia Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm A, B thay đổi sao cho OA OB OC . Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC ? A.. 6 . 2. B.. 6 . 3 Lời giải. 6.. C.. 6 . 4. D.. Chọn D Đặt: OA a; OB b (a 0, b 0) a b 1 a2 b2 1 2ab Bán kính cầu:. 1 2ab 12 2 2a 1 a 2a 2 2a 2 a 2 a 1 1 2 2 2 2 a b c R R 4 2 4 4 2 2 1 3 a 4 4 2 R2 . 3 6 6 R . Vậy Rmin 8 4 4. Câu 22. (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi điểm. M a; b; c . (với. a,. b,. c. là. các. phân. số. tối. giản). S : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 4 z 7 0 sao cho biểu thức T 2a 3b 6c đó giá trị biểu thức P 2a b c bằng 12 A. . B. 8 . 7. C. 6 .. D.. thuộc. mặt. cầu. đạt giá trị lớn nhất. Khi. 51 . 7. Lời giải Chọn C 2. 2. 2. x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 4 z 7 0 x 1 y 2 z 2 16 . 2. 2. 2. M a; b; c S a 1 b 2 c 2 16 . Ta có: 2 a 1 3 b 2 6 c 2 . 2. 2. 2 2 2 32 6 2 . a 1 b 2 c 2 . . 2a 3b 6c 20 28 2a 3b 6c 20 28 2a 3b 6c 48 . Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(129)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 15 a 7 2a 3b 6c 48 2a 3b 6c 48 26 a 1 b 2 3a 2b 1 b Dấu " " xảy ra khi: 2 3 7 3a c 1 38 a 1 c 2 c 7 2 6 Vậy P 2a b c 2. Câu 23.. 15 26 38 6. 7 7 7. (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho điểm A 2t ;2t;0 , B 0;0; t (với t 0 ). Điểm P di động thỏa mãn OP. AP OP.BP AP.BP 3 . Biết a a với a, b nguyên dương và tối giản sao cho OP đạt giá trị lớn nhất bằng b b 3. Khi đó giá trị của Q 2a b bằng. rằng có giá trị t . A. 5. B. 13 .. D. 9 .. C. 11 . Lời giải. Chọn C. Gọi P x; y; z , ta có: OP x; y; z , AP x 2t ; y 2t ; z , BP x; y; z t Vì P x; y; z thỏa mãn OP. AP OP.BP AP.BP 3. 4 4 2 3x 2 3 y 2 3z 2 4tx 4ty 2tz 3 0 x 2 y 2 z 2 tx ty tz 1 0 3 3 3 2t 2t t Nên P thuộc mặt cầu tâm I ; ; , R t 2 1 . 3 3 3. Ta có OI t R nên O thuộc phần không gian phía trong mặt cầu. Để OPmax thì P, I , O thẳng hàng và OP OI R . Suy ra OPmax OI R 3 t t 2 1 . Từ đó tìm được t . 4 Suy ra a 4, b 3 3. Vậy, Q 2a b 11 . Câu 24.. (HSG Nam Định-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A 4;1;5 , B 3;0;1 , C 1;2;0 và điểm M a; b; c thỏa mãn MA.MB 2MB.MC 5MC.MA lớn nhất. Tính P a 2b 4c. A. P 23 . B. P 31 .. C. P 11 . Lời giải. D. P 13.. Chọn D. + Đặt Q MA.MB 2MB.MC 5MC.MA . 2 1 MA MB MA2 MB 2 2MA.MB MA.MB MA2 MB 2 AB 2 . 2 2 MB MC MB 2 MC 2 2 MB.MC 2 MB.MC MB 2 MC 2 BC 2 .. MC MA. . . 1 MC 2 MA2 2MC.MA MC.MA MC 2 MA2 AC 2 . 2 Q MA.MB 2MB.MC 5MC.MA 2. . . Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(130)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 5 MA2 MB 2 AB 2 MB 2 MC 2 BC 2 MC 2 MA2 AC 2 2 2 3 3 1 5 2MA2 MB 2 MC 2 AB 2 BC 2 AC 2 . 2 2 2 2 1 5 3 3 AB 2 BC 2 AC 2 không đổi nên Q lớn nhất khi T 2MA2 MB 2 MC 2 đạt giá trị 2 2 2 2 lớn nhất. 3 3 + T 2MA2 MB 2 MC 2 . 2 2 3 3 Gọi E là điểm thỏa mãn 2 EA EB EC 0 . 2 2. . . . . 3 4EA 3EB 3EC 0 4EA 3CB EA CB . 4 5 17 E 1; ; . 2 4. 2 3 2 3 3 3 T 2MA2 MB 2 MC 2 2 ME EA ME EB ME EC 2 2 2 2. . . . . . . 2. 3 3 3 3 2ME 2 2EA2 EB 2 EC 2 2EA2 EB 2 EC 2 . 2 2 2 2 3 3 Vì 2 EA2 EB 2 EC 2 không đổi nên T đạt giá trị lớn nhất khi ME 0 M E . 2 2 5 17 M 1; ; . 2 4. 5 17 P a 2b 4c 1 2. 4. 13 . 2 4 Câu 25. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2; 2;4 , B 3;3; 1 và mặt cầu 2. 2. S : x 1 y 3 z 3. 2. 3 . Xét điểm M thay đổi thuộc mặt cầu S , giá trị nhỏ nhất. của 2MA2 3MB 2 bằng A. 103 . B. 108 .. C. 105 . Lời giải. D. 100 .. Chọn C. Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(131)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Mặt cầu S có tâm I 1;3;3 bán kính R 3 . Gọi E là điểm thỏa mãn: 2 EA 3EB 0 . Suy ra E 1;1;1 . 2 2 Xét P 2MA2 3MB 2 2 ME EA 3 ME EB 5ME 2 2 EA2 3EB 2 .. . . . . P đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ME đạt giá trị nhỏ nhất. IE 2 3 R suy ra điểm E nằm ngoài mặt cầu nên ME nhỏ nhất bằng IE R 2 3 3 3 . Vậy P 2MA2 3MB 2 5ME 2 2 EA2 3EB 2 105 . Câu 26.. (Kim. Liên. -. Hà. Nội. S : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z . 2019). Trong. không. gian. Oxyz ,. cho. mặt. cầu. 9 0 và hai điểm A 0; 2;0 , B 2; 6; 2 . Điểm M a; b; c 2. thuộc S thỏa mãn MA.MB có giá trị nhỏ nhất. Tổng a b c bằng. A. 1 .. C. 3 . Lời giải. B. 1 .. D. 2 .. Chọn B. S : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z . 9 3 2 2 2 0 S : x 1 y 2 z 1 . 2 2. Mặt cầu S có tâm I 1; 2;1 , bán kính R . 6 . 2. Vì IA 2 R và IB 82 R nên hai điểm A , B nằm ngoài mặt cầu S . Gọi K là trung điểm đoạn thẳng AB thì K 1; 2; 1 và K nằm ngoài mặt cầu S . Ta có: MA.MB MK KA . MK KB MK 2 MK . KA KB KA.KB MK 2 KA2 . Suy ra MA.MB nhỏ nhất khi MK 2 nhỏ nhất, tức là MK nhỏ nhất. Đánh giá: IM MK IK R MK IK MK IK R . Suy ra MK nhỏ nhất bằng IK R , xảy ra khi I , M , K thẳng hàng và M nằm giữa hai điểm. . . . . . I , K . Như vậy M là giao điểm của đoạn thẳng IK và mặt cầu S . 2 2 Có IK 2; 4; 2 , IK 22 4 2 2 6 4 R 4 IM . 1 2 4 a 1 a 2 Suy ra IK 4 IM 4 4 b 2 b 1 . 1 2 4 c 1 c 2 Vậy a b c 1 .. Câu 27. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho 5 điểm A 1; 0;0 , B 1;1; 0 , C 0; 1;0 , D 0;1;0 , E 0;3;0 . M là điểm thay đổi trên mặt cầu ( S ) : x 2 ( y 1)2 z 2 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P 2 MA MB MC 3 MD ME là:. A. 12 .. B. 12 2 .. C. 24 . Lời giải. D. 24 2 .. Chọn B Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(132)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Mặt cầu S : tâm I 0;1;0 bán kính R 1 Gọi trọng tâm tam giác ABC là G 0; 0; 0 , trung điểm DE là N 0; 2;0 do G, N đều nằm trên S và I là trung điểm GN nên GN là đường kính của S P 2 MA MB MC 3 MD ME 2 3MG 3 2 MN 6 MG 6 MN 6 MG MN . 2. Ta có: MG MN 2 MG 2 MN 2 2GN 2 8 Suy ra MG MN 2 2 Vậy giá trị lớn nhất của P là 12 2 . Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A 0; 1;3 , B 2; 8; 4 , 2. 2. 2. C 2; 1;1 và mặt cầu S : x 1 y 2 z 3 14 . Gọi M xM ; yM ; zM là điểm trên S sao cho biểu thức 3MA 2MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P xM yM . A. P 0 .. B. P 6 .. C. P 14 . Lời giải. D. P 3 14 .. Chọn B. Gọi J là điểm thỏa mãn 3JA 2 JB JC 0 2 JO 3OA 2OB OC 0 2OJ 3OA 2OB OC J (3;6;9) . Mà 3MA 2 MB MC 2MJ 3JA 2 JB JC nên 3MA 2 MB MC 2 MJ Do đó 3MA 2MB MC 2MJ .. . min. . min. Mặt khác: S có tâm I 1; 2;3 , bán kính R 14 và IJ 2 14 R điểm J nằm ngoài mặt cầu nên IJ cắt mặt cầu S tại hai điểm M 1 , M 2 .. x 1 2t Phương trình đường thẳng IJ : y 2 4t , t . z 3 6t x 1 2t 1 y 2 4t t1 2 Xét hệ phương trình: . z 3 6t t 1 2 x 12 y 2 2 z 32 14 2 Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(133)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Suy ra M1 2;4;6 , M 2 0;0;0 , M1 J 14 ; M 2 J 3 14 . 2MJ Vậy 3MA 2MB MC M M1 . min. min. P xM y M 2 4 6 . 2. Câu 29. Trong không gian Oxyz cho A 0 ; 0 ; 2 , B 1 ; 1; 0 và mặt cầu S : x 2 y 2 z 1 . 1 . Xét 4. điểm M thay đổi thuộc S . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA2 2MB 2 bằng A.. 1 . 2. B.. 3 . 4. 19 . 4 Lời giải C.. D.. 21 . 4. Chọn C. 1 Mặt cầu S có tâm I 0 ; 0 ; 1 , bán kính R . 2 2 2 2 ; . Gọi K là điểm thỏa mãn KA 2 KB 0 K ; 3 3 3 Ta có. 2 2 MA2 2MB2 MK KA 2 MK KB 3MK 2 KA2 2KB2 2MK KA 2KB 3MK 2 KA2 2KB2 .. . . . . . Biểu thức MA2 2MB 2 đạt GTNN khi và chỉ khi MK đạt giá trị nhỏ nhất. Với M thay đổi thuộc S ta có MK min KI R 1 . . Vậy MA2 2MB 2. . min. 2 3MK min KA2 2 KB 2 . 1 1 . 2 2. 3 8 4 19 . 4 3 3 4. Câu 30. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho 2 điểm A, B thay đổi trên mặt cầu x 2 y 2 ( z 1) 2 25 thỏa mãn AB 6 . Giá trị lớn nhất của biểu thức OA2 OB 2 là A. 12. B. 6. C. 10. Lời giải Chọn A. D. 24.. Mặt cầu x 2 y 2 ( z 1) 2 25 có tâm I 0;0;1 . Vì A , B cùng thuộc mặt cầu tâm I nên IA IB .. 2 OA2 OB 2 OA OB. 2. . 2. . OI IA OI IB . 2. 2OI IA IB 2OI .BA 2OI .BA.cos , với OI , BA .. . . . . Suy ra biểu thức OA2 OB 2 đạt GTLN khi và chỉ khi 0 . Vậy max OA2 OB 2 2.1.6.cos 0 12 . Câu 31. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1; 4;5 , B 3; 4;0 , C 2; 1;0 . Gọi M a ; b ; c là điểm sao cho MA2 MB 2 3MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng a b c có giá trị bằng Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(134)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 2.. B. 3.. D. 4 .. C. 4. Lời giải. Chọn C. 1 1 3 Gọi I là điểm thỏa mãn IA IB 3IC 0 OI OA OB OC 2;1;1 I 2;1;1 . 5 5 5 2 2 2 Khi đó, T MA2 MB 2 3MC 2 MI IA MI IB 3 MI IC 5 MI 2 2 MI . IA IB 3 IC IA2 IB 2 3 IC 2 5MI 2 IA2 IB 2 3IC 2 (vì IA IB 3IC 0 ). . . . . . . . Vì I , A , B , C cố định IA2 IB 2 3IC 2 không đổi nên T nhỏ nhất MI nhỏ nhất. M I 2;1;1 a 2 , b c 1 . Vậy a b c 4 . Câu 32. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu. 2. S : x 1 y 4 . 2. z 2 8 và điểm. A 3;0;0 ; B 4; 2;1 . Điểm M thay đổi nằm trên mặt cầu, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MA 2 MB .. A. P 2 2 .. B. P 3 2 .. C. P 4 2 . Lời giải. D. P 6 2 .. Chọn D. Nhận xét: điểm A, B nằm ngoài mặt cầu S . Mặt cầu S có tâm I 1; 4;0 , R 2 2 . Ta có: IA 4 2 2 R, E IA S E 1; 2; 0 . Gọi F là trung điểm của IE F 0;3;0 . IF 1 IM AIM chung và Tam giác IFM và IMA có AIM MIF . IM 2 IA MA AI Suy ra 2 MA 2 MF . FM MI. Ta có: MA 2 MB 2 MF MB 2 FB 6 2 . Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(135)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Vì F nằm trong S và B nằm ngoài S nên dấu '' '' xảy ra khi M BF S . Câu 33. Trong không gian Oxyz ,cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 2 z 2 0 và các điểm A 0;1;1 ,. B 1; 2; 3 , C 1;0; 3 . Điểm D thuộc mặt cầu S . Thể tích tứ diện ABCD lớn nhất bằng: A. 9 .. B.. 8 . 3. C. 7 .. D.. 16 . 3. Lời giải Chọn D. 2. 2. Cách 1:Ta có S : x 1 y 2 z 1 4 . AB 1; 3; 4 AB, AC 8; 8;4 . Ta có: AC 1; 1; 4 . x 12 y 2 z 12 4 . Gọi D x; y; z S AD x ; y 1; z 1 1 1 2 Ta có: VABCD AB, AC . AD 8 x 8 y 4 z 4 2 x 2 y z 1 . 6 6 3 Ta có: 2 x 2 y z 1 2. x 1 2. y 1. z 1 2 Ta có: 2 x 1 2 y z 1 . 2. 2. 2 2 2 2 12 x 1 y 2 z 1 6 . 6 2 x 1 2 y z 1 6 4 2 x 2 y z 1 8 2 x 2 y z 1 8 VABCD . 16 3. Suy ra: Giá trị lớn nhất của VABCD. Câu 34.. x 1 y z 1 0 16 7 4 1 2 1 bằng 2 D ; ; . 3 3 3 3 x 12 y 2 z 12 4 . (THPT Thuận Thành 3 - Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu 2. S : x 1 y 4 . 2. z 2 8 và điểm A 3 ; 0 ;0 , B 4 ; 2 ;1 . Điểm M thay đổi nằm trên. mặt cầu, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MA 2MB . A. P 2 2 .. B. P 3 2 .. C. P 4 2 . Lời giải. D. P 6 2 .. Chọn D Giả sử M x ; y ; z . Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(136)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Ta có: AM x 3 ; y ; z , BM x 4 ; y 2 ; z 1 .. 2 2 2 2 Và x 1 y 4 z 2 8 3 x 1 y 4 z 2 8 0 . . Ta có: P MA 2MB . x 3. 2. x 3. 2. y2 z 2 2. 2. x 4. 2. y 2 z 2 3 x 1 y 4 z 2 8 2 2. 4 x 2 4 y 2 24 y 4 z 2 36 2. 2. x 4 y 2 z 1. 2 x 2 y 3 z 2 . 4 x 2 y 1 z . 2. 2. y 2 z 1 2. 2. 2. 2. . 2. 2. 2. . 2. 2. x 4 y 2 z 1. x 4 y 2 z 1. 2 x 2 y 3 z 2 2. 2. 2. 2. Áp dụng bất đẳng thức Minkowxki:. a 2 b2 c 2 d 2 e2 f 2 Dấu bằng xảy ra khi:. P2. x 4 x. 2. 2. a d b e. 2. 2. c f .. a b a 0. d e f 2. 2. 2. 2. y 3 2 y z 1 z 2 4 2 1 1 6 2 .. 4t x t 1 y 2t 3 x y 3 z t 0 t 1 Dấu bằng xảy ra khi: 4 x 2 y 1 z t x 12 y 4 2 z 2 8 z t 1 2 2 5t 1 2 2t 1 t 8 t 1 t 1 t 1 4 4 133 x 4t 23 133 x t 1 34 133 y y 2t 3 23 133 t 1 . 1 133 t z z 23 133 t 1 1 133 22t 2 2t 6 0 t 22. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 6 2 . Facebook Nguyễn Vương 25.
<span class='text_page_counter'>(137)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 35.. (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 4; 2; 2 , B 1;1; 1 , C 2; 2; 2 . Tìm tọa độ điểm M thuộc Oxy sao cho MA 2MB MC nhỏ nhất. A. M 2; 3; 0 .. B. M 1; 3;0 .. C. M 2; 3; 0 .. D. M 2;3;1 .. Lời giải Chọn A Cách 1. Gọi D; E; F lần lượt là trung điểm của AB; AC ; ME . Ta có: MA 2 MB MC MA MB MB MC 2.MD CB 2.MD 2.ED 2 2.FD 4.FD. 5 3 1 x3 y ; ;0 Ta lại có: M x; y;0 ; D ; ; ; E 3;0;0 ; F 2 2 2 2 2 FDmin F là hình chiếu của D trên mp Oxy x 2; y 3 M 2;3; 0 Cách 2 Gọi I là điểm thỏa mãn: IA 2 IB IC 0 IO OA 2 IO OB IO OC 0. . . . 1 OI OA 2OB 0C I 2;3;1 2. . . MA 2 MB MC 2 MI IA 2 IB IC 2.MI MA 2MB MC nhỏ nhất MI nhỏ nhất M là hình chiếu của I trên mp Oxy . Vì I 2;3;1 M 2;3; 0 Cách 3 Gọi M x; y; 0 . Ta có:. MA 2MB MC 4 2 x;6 2 y; 1 MA 2MB MC 4 x 2 4 y 2 16 x 24 y 53 Thế tọa độ điểm M ở đáp án A vào ta được MA 2 MB MC 1 Thế tọa độ điểm M ở đáp án B vào ta được MA 2 MB MC 17 Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(138)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Thế tọa độ điểm M ở đáp án C vào ta được MA 2 MB MC 145 Điểm M ở đáp án D không thuộc Oxy nên bị loại. Cách 4 Gọi M x; y;0 . Ta có:. MA 2MB MC 4 2 x;6 2 y; 1 MA 2MB MC 4 x2 4 y 2 16 x 24 y 53 Ta có:. 4 x 2 4 y 2 16 x 24 y 53 . 2. 2x 4 2 y 6. 2. 1 1. Dấu " " xảy ra x 2; y 3 . Khi đó M 2;3; 0 . Câu 36. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S có phương trình x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 2 z 3 0 và điểm A 5;3; 2 . Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt M , N . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S AM 4 AN . A. S min 30 .. C. Smin 34 3 .. B. S min 20 .. D. Smin 5 34 9 .. Lời giải Chọn D Mặt cầu S có tâm I 2; 1;1 , bán kính R 3 .. AI 34 R A nằm ngoài mặt cầu S . M. H N A. I. Do hai điểm M , N nằm ở vị trí hai đầu một dây cung nên để Smin thì N nằm giữa. A và M .. 1 H là trung điểm MN IH MN , NH MN 2 S 4 AH NH AH NH 5 AH 3NH. Gọi. S 5 AI 2 IH 2 3 R 2 IH 2 5 34 x 2 3 9 x 2 , x IH 2. 2. Xét hàm số f x 5 34 x 3 9 x , 0 x 3. f x . 5 x 34 x 2. . 5 3 x 2 32 x 2 32 x 2 34 x 3x. Facebook Nguyễn Vương 27.
<span class='text_page_counter'>(139)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. . Xét . 5. . 2 34 x. 0 2 9x 3. 5 9 x 2 3 34 x 2 225 25 x 2 9.34 9 x 2 16 x 2 81 0 (luôn đúng ) Suy ra ; f x 0, x 0; 3 , f x 0 x 0 f x đồng biến trên 0; 3 . . . Suy ra min f x f 0 5 34 9. 0;3 2. 2. Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y 2 z 2 10 và hai điểm A 1; 2; 4 và. B 1; 2;14 . Điểm M thay đổi trên mặt cầu S . Giá trị nhỏ nhất của MA 2MB bằng A. 2 82 .. B. 3 79 .. C. 5 79 .. D. 3 82 .. Lời giải Chọn D. S có tâm I 1;0; 2 . và bán kính R 10 .. Ta có IA 2 10 2 R nên tồn tại điểm C cố định sao cho MA 2MC M S 1 . Thật vậy, gọi a ; b ; c là tọa độ điểm C . Khi đó, với mọi điểm. M x ; y ; z S x 2 y 2 z 2 2 x 4 z 5 , ta có: 2. 2. 2. MA2 x 1 y 2 z 4 x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 8 z 21. 2 x 4 z 5 2 x 4 y 8 z 21 4 y 12 z 26 . 2. 2. 2. MC 2 x a y b z c x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz a 2 b 2 c 2. 2 x 4 z 5 2ax 2by 2cz a 2 b 2 c 2 2 2a x 2by 4 2c z a 2 b2 c 2 5 . Nên 1 MA2 4 MC 2 M S . 4 y 12 z 26 4 2 2a x 2by 4 2c z a 2 b2 c 2 5 x, y, z 1 4 2 2a 0 b 2 4 2b 4 1 1 a 1 C 1; ; . 2 2 4 4 2c 12 1 4 a 2 b 2 c 2 5 26 c 2 Lúc này, IC . 10 R IB 2 37 nên C nằm trong S còn B nằm ngoài S và 2. MA 2 MB 2 MC 2 MB 2 MC MB 2 BC 3 82 . Đẳng thức xảy ra M là giao điểm của đoạn BC và mặt cầu S . Vậy min MA 2MB 3 82 . Câu 38. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu. S2 : x 2 y 4 . 2. S1 : x2 y 2 z 2 1 ,. 1 z 2 4 và các điểm A 4;0;0 , B ;0;0 , C 1; 4;0 , D 4; 4;0 . Gọi M là 4 . Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(140)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. điểm thay đổi trên. S1 ,. N là điểm thay đổi trên. S2 .. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Q MA 2 ND 4MN 4 BC là A. 2 265 .. B.. 265 .. C. 3 265 . Lời giải. D. 4 265 .. Chọn A. S1 : x2 y2 z2 1 nên S1 có tâm O 0;0;0 và bán kính R 1 2 S2 : x2 y 4 z 2 4 nên S2 có tâm I 0;4;0 và bán kính R 1. 2. 2. 1 Vậy các điểm A 4;0;0 , B ;0;0 , C 1;4;0 , D 4;4;0 , O 0;0;0 và I 0;4;0 cùng thuộc 4 . Oxy . Nhận thấy OB .OA OM 2 suy ra OM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB Do đó MOB đồng dạng AOM MA OA 4 MA 4MB MB OM ND DI 2 ND 2 NC Hoàn tòan tương tự NC NI. Q MA 2 ND 4MN 4BC 4 MB NC MN 4BC 4BC 4BC 8BC 2 265 Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 2;3; 1 , B 2;3; 2 , C 1; 0; 2 .Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng Oxz để S MA 4 MC MA MB MC nhỏ nhất.. 7 A. M 1;0; . 3 . B. M 0;3; 0 .. 7 C. M 1;0; . 3 Lời giải. 1 D. M ;0; 2 . 2 . Chọn A Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , suy ra G 1; 2;1 . Gọi H x ; y ; z là điểm thỏa mãn HA 4 HC 0 Facebook Nguyễn Vương 29.
<span class='text_page_counter'>(141)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 2 x 4 1 x x 2 3 y 4 0 y y 1 H 2; 1;3 . z 3 1 z 4 2 z . Nhận thấy G và H nằm về hai phía đối với mặt phẳng Oxz ; HG 22 . Ta có: S MA 4 MC MA MB MC MH HA 4MH 4 HC MG GA MG GB MG GC 3MH 3MG 3 MH MG 3GH 3 22 .. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H , M , G thẳng hàng theo thứ tự. Lại do M Oxz nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng. GH với mặt phẳng Oxz . x 1 3t Đường thẳng GH có phương trình y 2 3t ; mặt phẳng Oxz có phương trình y 0 . z 1 2t M GH M 1 3t ; 2 3t ;1 2t .. 2 M Oxz 2 3t 0 t . 3 7 Vậy M 1;0; . 3 2 2 2 Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) : x y z 2x 4 y 4 0 và hai điểm A(4; 2; 4), B (1; 4; 2) . MN là dây cung của mặt cầu thỏa mãn MN cùng hướng với u (0;1;1) và MN 4 2 . Tính giá trị lớn nhất của AM BN .. A.. 41 .. B. 4 2 .. C. 7 . Lời giải. D.. 17 .. Chọn C. Tâm I (1; 2; 0) , bán kính R 3 . Ta có IA (3;0; 4) IA 5 , IB (0; 2;2) IB 2 2 nên điểm A(4; 2; 4) nằm ngoài mặt cầu ( S ) và điểm B (1; 4; 2) nằm trong mặt cầu ( S ) .. Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(142)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Do MN cùng hướng với u (0;1;1) suy ra MN 0; k ; k , k 0 do MN 4 2 suy ra MN 0; 4; 4 . ( A) , suy ra A (4; 6;8) . Khi đó AMNA là hình bình hành nên AM AN Gọi A T MN. Ta có AM BN AN BN AB , dấu bằng xảy ra khi A, N , B thẳng hàng N là giao điểm của mặt cầu với đường thẳng AB . (Điểm N luôn tồn tại). AB (3; 2; 6) suy ra AB (3)2 (2)2 (6)2 7 . Vậy AM BN min AB 7 .. Facebook Nguyễn Vương 31.
<span class='text_page_counter'>(143)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chuyên đề 30. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng 1. Xác định véc tơ pháp tuyến Véctơ pháp tuyến n của mặt phẳng ( P) là véctơ có giá vuông góc với ( P). Nếu n là một véctơ pháp tuyến của ( P) thì k .n cũng là một véctơ pháp tuyến của ( P). n Nếu mặt phẳng ( P ) có cặp véctơ chỉ phương là u1 , u2 thì ( P) có véctơ pháp tuyến là n [u1 , u2 ]. Mặt phẳng ( P) : ax by cz d 0 có một véctơ pháp tuyến là n (a; b; c). u2 u2 Câu 1.. P. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng : 3 x 2 y 4 z 1 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ? A. n2 3;2;4 . B. n3 2; 4;1 . C. n1 3; 4;1 .. Câu 2.. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x 3 y z 2 0 . Véctơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của P ? A. n3 2;3; 2 . B. n1 2;3;0 . C. n2 2;3;1 .. Câu 3.. C. n3 2; 4;1 .. D. n4 2; 3; 4 .. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , Cho mặt phẳng : 2 x y 3 z 5 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ? A. n3 2;1;3 . B. n4 2;1; 3 . C. n2 2; 1;3 .. Câu 6.. D. n1 2; 4;1 .. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng : 2 x 3 y 4 z 1 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ? A. n3 2; 3; 4 . B. n2 2; 3; 4 . C. n1 2; 3; 4 .. Câu 5.. D. n4 2;0;3 .. (Mã 101 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng : 2 x 4 y z 3 0 . Véctơ nào sau đây là véc tơ pháp tuyến của ? A. n1 2; 4; 1 . B. n2 2; 4;1 .. Câu 4.. D. n4 3;2; 4 .. D. n1 2;1;3 .. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng : x 2 y 4 z 1 0 .Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ? . A. n3 1; 2;4 . Câu 7.. . B. n1 1;2; 4 .. . C. n2 1;2;4 .. (Đề Minh Họa 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 3x z 2 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của P ? A. n2 3;0; 1 B. n1 3; 1; 2 C. n3 3; 1;0 . Câu 8.. . D. n4 1;2;4 . D. n4 1;0; 1. (Mã 104 2018) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P : 2 x y 3z 1 0 có một vectơ pháp tuyến là: A. n3 2;1;3. B. n2 1;3; 2 . C. n4 1;3; 2 . D. n1 3;1; 2 . Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(144)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 9.. (Mã 101 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x 2 y 3 z 1 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( P ) ? A. n3 1; 2; 1 . B. n4 1; 2;3 .. Câu 10.. B. n3 1;3; 2 . B. n1 1; 2;3. B. n4 1;2; 3. C. n 2 4; 1;1 .. D. n1 4;3; 1 .. C. n3 1; 2;3. D. n4 1; 2; 3. C. n2 1; 2;3. D. n1 3; 2;1. C. j 0;1; 0 . D. k 0; 0;1. (THPT Lý Thái Tổ 2019) Cho mặt phẳng : 2 x 3 y 4 z 1 0 . Khi đó, một véc tơ pháp tuyến của A. n 2;3; 4 .. Câu 18.. D. n2 2; 3; 2 .. (Mã 123 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vectơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng Oxy ? A. i 1; 0; 0 B. m 1;1;1. Câu 17.. C. n3 3;1; 2 .. (Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng P : x 2 y 3z 5 0 có một véc tơ pháp tuyến là A. n3 1;2;3. Câu 16.. D. n2 2; 1;3 .. (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P :3x 2 y z 4 0 có một vectơ pháp tuyến là A. n2 3; 2;1. Câu 15.. C. n4 2;1;3 .. (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 4 x 3 y z 1 0 . Véctơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của P A. n 4 3;1; 1 . B. n 3 4;3;1 .. Câu 14.. D. n2 1;3; 2 . (Mã 103 -2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x 3 y z 2 0 . Véctơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của P A. n1 2; 3;1 . B. n 4 2;1; 2 .. Câu 13.. C. n4 2;3;1. (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x y 3 z 1 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của P ? A. n3 2;3;1 . B. n1 2; 1; 3 .. Câu 12.. D. n2 2;3; 1 .. (Mã 103 2018) Trong không giam Oxyz , mặt phẳng P : 2 x 3 y z 1 0 có một vectơ pháp tuyến là A. n1 2;3; 1. Câu 11.. C. n1 1;3; 1 .. B. n 2; 3; 4 .. C. n 2;3; 4 .. D. n 2;3;1 .. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 3x – z 2 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của P ? A. n4 (1;0; 1). B. n1 (3; 1; 2). C. n3 (3; 1;0). D. n2 (3;0; 1). Câu 19. Trong không gian Oxyz , véctơ nào dưới đây có giá vuông góc với mặt phẳng. : 2 x 3 y 1 0 ?. A. a 2; 3;1. B. b 2;1; 3. C. c 2; 3; 0. D. d 3; 2; 0 . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(145)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 20.. (THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Trong không gian Oxyz , một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. x y z 1 là 2 1 3 A. n (3;6; 2) Câu 21.. B. n (2; 1;3). (THPT Ba Đình 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho phương trình tổng quát của mặt phẳng. P : 2 x 6 y 8 z 1 0 . Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P A. 1; 3; 4 B. 1; 3; 4 C. 1; 3; 4 Câu 22.. có tọa độ là: D. 1; 3; 4 . (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian Oxyz , vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P : 2 y 3 z 1 0 ? A. u4 2;0; 3 . B. u2 0; 2; 3 .. Câu 23.. D. n (2; 1;3). C. n (3; 6; 2). C. u1 2; 3;1 .. D. u3 2; 3; 0 .. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho mặt phẳng P : 3x y 2 0 . Véc tơ nào trong các véctơ dưới đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng P ? A. 3; 1;2 .. B. 1;0; 1 .. C. 3;0; 1 .. D. 3; 1;0 .. Dạng 2. Xác định phương trình mặt phẳng Mặt phẳng ( P). qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) thì phương trình ( P) : a ( x x0 ) b( y y0 ) c( z z0 ) 0 (*) VTPT n (a; b; c). Ngược lại, một mặt phẳng bất kỳ đều có phương trình dạng ax by cz d 0 , mặt phẳng này có VTPT n (a; b; c) với a 2 b2 c2 0 . Các mặt phẳng cơ bản VTPT mp (Oyz ) : x 0 n( Oyz ) (1; 0; 0) VTPT mp (Oxz ) : y 0 n( Oxz ) (0;1;0) VTPT mp (Oxy ) : z 0 n(Oxy ) (0;0;1) 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với với đường thẳng AB cho trước.. Mặt phẳng (P) qua M , có VTPT n( P ) AB nên phương trình được viết theo (*).. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và song song với mặt phẳng (Q) cho trước.. Mặt phẳng (P) qua M, có VTPT là n( P ) n( Q ) nên phương trình được viết theo (*).. 3. Viết phương trình mặt phẳng cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0; 0), B(0; b; 0), C (0;0; c) với a.b.c 0 . Phương trình mặt phẳng được viết theo đoạn chắn x y z ( P ) : 1. a b c Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(146)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 24. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng Oxz có phương trình là: A. x 0 Câu 25.. B. z 0. C. x y z 0. D. y 0. (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng Oyz ? A. y 0. Câu 26.. B. x y z 0 .. D. y 0 .. C. y 0.. D. z 0.. B. x 0 .. C. y 0 .. D. x y 0 .. (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 1; 2; 3 và có một vectơ pháp tuyến n 1; 2;3 . A. x 2 y 3 z 12 0. Câu 30.. C. x 0 .. (Chuyên Quang Trung- Bình Phước 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng Oxy có phương trình là A. z 0 .. Câu 29.. D. z 0. (Chuyên Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng Ozx ? A. x 0. B. y 1 0.. Câu 28.. C. y z 0. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng Oyz có phương trình là A. z 0 .. Câu 27.. B. x 0. B. x 2 y 3 z 6 0 C. x 2 y 3 z 12 0 D. x 2 y 3 z 6 0. (Đề Minh Họa 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 0;1;1 ) và. B 1; 2;3 . Viết phương trình của mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB . A. x y 2 z 3 0 Câu 31.. B. x y 2 z 6 0. C. x 3 y 4 z 7 0 D. x 3 y 4 z 26 0. (Mã 104 2018) Trong không gian Oxyz , Cho hai điểm A 5; 4; 2 và B 1; 2; 4 . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB có phương trình là A. 2 x 3 y z 20 0 B. 3 x y 3 z 25 0 C. 2 x 3 y z 8 0 D. 3 x y 3 z 13 0. Câu 32.. (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1;2;1 và B 2;1;0 . Mặt phẳng qua A và vuông góc với AB có phương trình là A. x 3 y z 5 0 B. x 3 y z 6 0 C. 3 x y z 6 0. Câu 33.. D. 3 x y z 6 0. (Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;1;1 , B 2;1;0 C 1; 1; 2 . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC có phương trình là A. 3x 2 z 1 0 B. x 2 y 2 z 1 0 C. x 2 y 2 z 1 0 D. 3x 2 z 1 0. Câu 34.. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A(5; 4; 2) và B(1; 2; 4) . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB là?. A. 3 x y 3 z 25 0 Câu 35.. B. 2 x 3 y z 8 0 C. 3 x y 3 z 13 0 D. 2 x 3 y z 20 0. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P đi qua điểm M 3; 1;4 đồng thời vuông góc với giá của vectơ a 1; 1; 2 có phương trình là A. 3x y 4 z 12 0 . B. 3x y 4 z 12 0 . C. x y 2z 12 0 . D. x y 2 z 12 0 .. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(147)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 36.. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho ba điểm A 2;1; 1 , B 1;0;4 , C 0; 2; 1 . Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là A. x 2 y 5 z 5 0 . B. 2 x y 5 z 5 0 . C. x 2 y 5 0 .. Câu 37.. (Sở Bắc Giang 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1; 2 và B 2;0;1 . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB có phương trình là A. x y z 0 . B. x y z 2 0 . C. x y z 4 0 .. Câu 38.. D. x 2 y 5 z 5 0 .. D. x y z 2 0 .. (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1; 2;0 và. B 2;3; 1 . Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với AB là A. 2 x y z 3 0. Câu 39.. B. x y z 3 0.. C. x y z 3 0.. D. x y z 3 0.. (Chuyên Đại học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P đi qua điểm M 3; 1; 4 đồng thời vuông góc với giá của vectơ a 1; 1; 2 có phương trình là A. 3x y 4 z 12 0 . B. 3x y 4 z 12 0 . C. x y 2 z 12 0 .. Câu 40.. D. x y 2 z 12 0 .. (THPT Thuận Thành 3 - Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương . trình mặt phẳng đi qua điểm A 1; 2; 3 có véc tơ pháp tuyến n 2; 1;3 là. Câu 41.. Câu 42.. A. 2 x y 3z 9 0 .. B. 2 x y 3z 4 0 .. C. x 2 y 4 0 .. D. 2 x y 3z 4 0 .. (SGD Điện Biên - 2019) Trong không gian Oxyz phương trình mặt phẳng đi qua điểm A (1; 2;3) và vuông góc với giá của véctơ v (1; 2;3) là A. x 2 y 3z 4 0.. B. x 2 y 3z 4 0.. C. x 2 y 3z 4 0.. D. x 2 y 3z 4 0.. (SGD Cần Thơ 2019) Trong không gian Oxyz , phương trình của mặt phẳng đi qua điểm A 3; 0; 1 và có véctơ pháp tuyến n 4; 2; 3 là A. 4 x 2 y 3z 9 0 . B. 4 x 2 y 3z 15 0 . C. 3x z 15 0 .. Câu 43.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng qua A 1;1; 2 và có vectơ pháp tuyến n 1; 2; 2 là A. x 2 y 2 z 1 0 .. Câu 44.. D. 4 x 2 y 3z 15 0 .. B. x y 2 z 1 0 . C. x 2 y 2 z 7 0 . D. x y 2 z 1 0 .. (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A 1;0;1 , B 2;1;0 . Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với AB . A. P : 3x y z 4 0 . C. P : 3x y z 0 .. Câu 45.. B. P : 3 x y z 4 0 .. D. P : 2 x y z 1 0 .. (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 0;1; 2 , B 2; 2;1 , C 2;0;1 . Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(148)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. y 2 z 5 0 . Câu 46.. B. 2 x y 1 0 .. C. 2 x y 1 0 .. D. y 2 z 5 0 .. (Mã 101 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 2; 1; 4 và mặt phẳng. P :3x 2 y z 1 0 . Phương trình của mặt phẳng đi qua. M và song song với mặt phẳng P . là A. 2 x 2 y 4 z 21 0 . B. 2 x 2 y 4 z 21 0 C. 3x 2 y z 12 0 . D. 3x 2 y z 12 0 . Câu 47.. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 2;1; 2 và mặt phẳng. P : 3x 2 y z 1 0 . Phương trình của mặt phẳng đi qua. M và song song với P là:. A. 2 x y 2 x 9 0 . B. 2 x y 2 z 9 0 C. 3 x 2 y z 2 0 . Câu 48.. D. 3x 2 y z 2 0 .. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 2; 1;3 và mặt phẳng. P : 3x 2 y z 1 0 . Phương trình mặt phẳng đi qua. M và song song với P là. A. 3x 2 y z 11 0 . B. 2 x y 3z 14 0 . C. 3x 2 y z 11 0 . D. 2 x y 3z 14 0 . Câu 49.. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 2;1; 3 và mặt phẳng. P : 3x 2 y z 3 0 . Phương trình của mặt phẳng đi qua M A. 3x 2 y z 1 0 . Câu 50.. và song song với (P ) là. B. 3x 2 y z 1 0 . C. 2 x y 3z 14 0 . D. 2 x y 3z 14 0. (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M 3; 1; 2 và mặt phẳng. : 3 x y 2 z 4 0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song. Câu 51.. song với ? A. 3 x y 2 z 6 0. B. 3 x y 2 z 6 0. C. 3 x y 2 z 6 0. D. 3 x y 2 z 14 0. (Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A 2; 1; 2 và song song với mặt phẳng P : 2 x y 3 z 2 0 có phương trình là A. 2 x y 3 z 11 0 C. 2 x y 3 z 11 0. Câu 52.. B. 2 x y 3 z 11 0 D. 2 x y 3 z 9 0. (THPT Cẩm Giàng 2 -2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm. A 1;3; 2 và song song với mặt phẳng P : 2 x y 3z 4 0 là: A. 2 x y 3z 7 0 .. B. 2 x y 3z 7 0 .. C. 2 x y 3z 7 0 .. D. 2 x y 3z 7 0 .. Câu 53. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng qua điểm A 1;1; 2 và song song với mặt phẳng. : 2 x 2 y z 1 0 có phương trình là. Câu 54.. A. 2 x 2 y z 2 0. B. 2 x 2 y z 0. C. 2 x 2 y z 6 0. D. : 2 x 2 y z 2 0. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2; 1; 3 và mặt phẳng. P : 3x 2 y 4 z 5 0 .. phẳng Q đi qua A và song song với mặt phẳng P có phương trình là Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương Mặt.
<span class='text_page_counter'>(149)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 55.. A. Q : 3 x 2 y 4 z 4 0.. B. Q : 3 x 2 y 4 z 4 0.. C. Q : 3 x 2 y 4 z 5 0.. D. Q : 3 x 2 y 4 z 8 0.. (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M 1;0;6 và mặt phẳng có phương trình x 2 y 2 z 1 0 . Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng .. Câu 56.. A. : x 2 y 2 z 13 0 .. B. : x 2 y 2 z 15 0 .. C. : x 2 y 2 z 15 0 .. D. : x 2 y 2 z 13 0 .. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 3;0;0 , B 0;1;0 và. C 0;0; 2 . Mặt phẳng ABC có phương trình là: x y z 1. 3 1 2 x y z C. 1 . 3 1 2 A.. Câu 57.. x y z 1. 3 1 2 x y z 1. D. 3 1 2 B.. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2;0; 0 , B 0;3;0 và C 0; 0; 4 . Mặt phẳng ABC có phương trình là. A. Câu 58.. x y z 1. 2 3 4. B.. x y z 1. 2 3 4. C.. x y z 1. 2 3 4. D.. x y z 1. 2 3 4. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho 3 điểm A 1;0;0 , B 0; 2; 0 và C 0;0;3 . Mặt phẳng ABC có phương trình là. A. Câu 59.. x y z 1. 1 2 3. B.. x y z 1. 1 2 3. C.. x y z x y z 1 . D 1. 1 2 3 1 2 3. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2; 0;0 , B 0; 1; 0 , C 0; 0;3 .. Mặt phẳng ABC có phương trình là A. Câu 60.. x y z 1. 2 1 3. B.. x y z 1. 2 1 3. C.. x y z 1. 2 1 3. D.. x y z 1. 2 1 3. (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M 2;0;0 , N 0; 1;0 , P 0;0;2 . Mặt phẳng MNP có phương trình là: A.. Câu 61.. x y z 1 . 2 1 2. B.. x y z 1. 2 1 2. C.. x y z 1 2 1 2. D.. x y z 0. 2 1 2. (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Trong không gian với hệ tọa độ O xyz , cho 3 điểm A1;0;0 ;. B 0; 2;0 ; C 0;0;3 . Phương trình nào dưới dây là phương trình mặt phẳng ABC ? A. Câu 62.. x y z 1. 3 2 1. B.. x y z 1. 2 1 3. C.. x y z 1. 1 2 3. D.. x y z 1. 3 1 2. (SGD Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua điêm A 0; 1;0 , B 2;0;0 , C 0;0;3 là. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(150)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. Câu 63.. x y z 1. 2 1 3. B.. x y z 0. 2 1 3. C.. x y z 1. 1 2 3. D.. x y z 1. 2 1 3. (Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M 1;0;0 , N 0; 2;0 ,. P 0;0;3 . Mặt phẳng MNP có phương trình là: A. 6 x 3 y 2 z 6 0 . B. 6 x 3 y 2 z 1 0 . C. 6 x 3 y 2 z 1 0 . D. x y z 6 0 . Câu 64.. (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0;-1;0), C(0;0;-3). Viết phương trình mặt phẳng ( ABC ). A. 3 x 6 y 2 z 6 0 .B. 3 x 6 y 2 z 6 0 . C. 3 x 6 y 2 z 6 0 .D. 3 x 6 y 2 z 6 0 .. Câu 65.. (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A 3;0;0 , B 0;4;0 , C 0;0; 2 là A. 4 x 3 y 6 z 12 0 . B. 4 x 3 y 6 z 12 0 . C. 4 x 3 y 6z 12 0 . D. 4 x 3 y 6 z 12 0 .. Câu 66.. (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(2;0;0) , B(0;0;7) và C (0;3; 0) . Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là. A.. x y z 1 2 7 3. B.. x y z 0 2 3 7. C.. x y z 1 2 3 7. D.. x y z 1 0 2 3 7. Câu 67. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng qua ba điểm A 1;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0; 3 có phương trình là x y z A. 1 . 1 2 3 Câu 68.. B.. x y z 1. 1 2 3. C.. x y z 1. 1 2 3. D.. x y z 1. 1 2 3. (Chuyên Thái Bình -2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;2;3 . Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục Ox, Oy, Oz . Viết phương trình mặt phẳng. ABC . A. Câu 69.. x y z 1. 1 2 3. B.. x y z 1. 1 2 3. C.. x y z 0. 1 2 3. D. . x y z 1. 1 2 3. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A 3;0; 0 ; B 0; 4; 0 và C 0;0; 2 là. A. 4 x 3 y 6 z 12 0 . B. 4 x 3 y 6 z 12 0 . C. 4 x 3 y 6 z 12 0 . D. 4 x 3 y 6 z 12 0 .. Câu 70.. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng qua các điểm A 1;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0;5 có phương trình là A. 15x 5 y 3z 15 0. C. x 3 y 5z 1.. D.. B.. x y z 1 0. 1 3 5. x y z 1. 1 3 5. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(151)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 71.. (Chuyên Sơn La 2019) Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm. A 1;0;0 , B 0; 2;0 và C 0;0;3 là A. Câu 72.. x y z 1. 1 2 3. B.. x y z 1 . 1 2 3. C.. x y z 0. 1 2 3. D.. x y z 1. 1 2 3. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 2;0; 0 , B 0; 1;0 , C 0;0; 3 . Viết phương trình mặt phẳng ABC .. A. 3x 6 y 2 z 6 0 . B. 3x 6 y 2 z 6 0 . C. 3x 6 y 2 z 6 0 . D. 3x 6 y 2 z 6 0 . Câu 73.. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm. A 1;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0; 4 . Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng. ABC ? A.. x y z 1. 1 3 4. B.. x y z 1. 1 3 4. C.. x y z 1. 4 3 1. D.. x y z 1 . 1 3 4. Dạng 3. Điểm thuộc mặt phẳng Một mặt phẳng bất kỳ đều có phương trình dạng P : ax by cz d 0 , và điểm M xM ; yM ; zM . Nếu axM byM cz M d 0 M P Nếu axM byM cz M d 0 M P Câu 74.. (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng : x y z 6 0 . Điểm nào dưới đây không thuộc ? A. Q 3;3;0 . Câu 75.. B. N 2; 2; 2 . C. P 1; 2;3. D. M 1; 1;1. (Mã 123 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2 y z 5 0. Điểm nào dưới đây thuộc P ? A. P 0;0; 5 . B. M 1;1;6 . C. Q 2; 1;5 . D. N 5;0; 0 . Câu 76. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P : x y z 3 0 đi qua điểm nào dưới đây? A. M 1; 1; 1 Câu 77.. B. N 1;1;1. C. P 3;0;0 . D. Q 0;0; 3. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. P :2 x y z 3 0 . Điểm nào trong các phương án dưới đây thuộc mặt phẳng P A. M 2;1;0 . B. M 2; 1;0 . C. M 1; 1;6 . D. M 1; 1;2 . Câu 78.. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng. P : 2x y z 2 0 . A. Q 1; 2; 2 . Câu 79.. B. P 2; 1; 1 .. C. M 1;1; 1 .. D. N 1; 1; 1 .. x y z (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa- 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P : 1 không 1 2 3 đi qua điểm nào dưới đây? A. P 0; 2; 0 .. B. N 1; 2;3 .. C. M 1;0;0 .. D. Q 0;0;3 .. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(152)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 80.. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng nào dưới đây đi qua gốc tọa độ? A. x 20 0 .. Câu 81.. B. x 2019 0 .. B. Q (2;1;1).. D. N (1; 0;1).. 3 B. N 1; 1; . 2 . C. P 1;6;1 .. D. Q 0;3;0 .. (Sở Kon Tum - 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng : x 2 y z 4 0 đi qua điểm nào sau đây A. Q 1; 1;1 .. Câu 84.. C. P (2; 1;1).. (SGD Bình Phước - 2019) Trong không gian Oxyz ,mặt phẳng : x y 2 z 3 0 đi qua điểm nào dưới đây? 3 A. M 1;1; . 2 . Câu 83.. D. 2 x 5 y 8 z 0 .. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : x 2 y 2z 3 0. Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng ( ) ? A. M (2; 0;1).. Câu 82.. C. y 5 0 .. B. N 0; 2; 0 .. C. P 0;0; 4 .. D. M 1; 0; 0 .. (SGD Bến Tre 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng P : 2 x y z 1 0 . Điểm nào dưới đây thuộc P ? A. N 0;1; 2 .. B. M 2; 1;1 .. C. P 1; 2;0 .. D. Q 1; 3; 4 .. Dạng 4. Khoảng cách từ điểm đến mặt. Khoảng cách từ điểm M ( xM ; yM ; zM ) đến mặt phẳng ( P ) : ax by cz d 0 được xác định bởi công thức: d ( M ;( P)) Câu 85.. axM byM czM d a2 b2 c2. . (Đề Minh Họa 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng cho mặt phẳng P có phương trình 3x 4 y 2 z 4 0 và điểm A 1; 2;3 . Tính khoảng cách d từ A đến P A. d . Câu 86.. 5 29. B. d . 5 29. C. d . 5 3. D. d . 5 9. (THPT Ba Đình 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P có phương trình: 3x 4 y 2 z 4 0 và điểm A 1; 2;3 . Tính khoảng cách d từ A đến P . A. d . Câu 87.. 5 . 9. B. d . 5 . 29. C. d . 5 . 29. D. d . 5 . 3. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , tính khoảng cách từ M 1; 2; 3 đến mặt phẳng P : x 2 y 2 z 10 0 . 4 . 3 (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x 2 y z 1 0 . Khoảng cách. A. Câu 88.. 11 . 3. B. 3 .. C.. 7 . 3. D.. C.. 5 . 3. D.. từ điểm M 1; 2;0 đến mặt phẳng P bằng A. 5 .. B. 2 .. 4 . 3. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(153)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 89.. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. P : 2 x 2 y z 4 0 . Tính khoảng cách A. d 3 . Câu 90.. d từ điểm M 1;2;1 đến mặt phẳng P .. B. d 4 .. C. d 1 .. 1 D. d . 3. (Sở Bắc Giang 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng Q : x 2 y 2 z 1 0 và điểm M 1; 2;1 . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng Q bằng. 2 6 4 1 2 . B. . C. . D. . 3 3 3 3 (Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi H. A. Câu 91.. là hình chiếu vuông góc của điểm A 1; 2;3 lên mặt phẳng P : 2 x y 2 z 5 0 . Độ dài đoạn thẳng AH là A. 3 . Câu 92.. B. 7 .. D. 1 .. (SGD Cần Thơ 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 2 3 và mặt phẳng. P : 2 x 2 y z 5 0 . Khoảng cách từ điểm A. Câu 93.. C. 4 .. 4 . 3. B.. M đến mặt phẳng P bằng. 1 . 3. C.. 2 . 3. D.. 4 . 9. (Cần Thơ - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2 y 2 z 5 0 và điểm A 1;3; 2 . Khoảng cách từ A đến mặt P là. A. Câu 94.. 14 7 .. B.. 3 14 . 14. C.. 2 . 3. D. 1.. (Sở Kon Tum - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x y 2 z 4 0 . Khoảng cách từ điểm M 3;1; 2 đến mặt phẳng P bằng A. 2 .. B.. 1 . 3. C. 1.. D. 3 .. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(154)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chuyên đề 30. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Xác định phương trình mặt phẳng (không chứa yếu tố đường thẳng). Qua A( x ; y ; z ) ( P) : a( x x ) b( y y ) c( z z ) 0 . Dạng 1. Mặt ( P ) : VTPT : n( P ) (a; b; c) Dạng 2. Viết phương trình ( P) qua A( x ; y ; z ) và ( P ) (Q) : ax by cz d 0. Qua A( x , y , z ) Phương pháp. ( P) : VTPT : n( P ) n( Q ) (a; b; c) Dạng 3. Viết phương trình mặt phẳng trung trực ( P) của đoạn thẳng AB.. n( P ) n(Q ) Q P. x A xB y A yB z A z B Qua I 2 ; 2 ; 2 : là trung điểm AB. Phương pháp. ( P) : P VTPT : n AB (P) . A I B. Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua M và vuông góc với đường thẳng d AB. Qua M ( x ; y ; z ) n( P ) ud AB d Phương pháp. ( P ) : VTPT : n( P ) ud AB M P Dạng 5. Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm M và có cặp véctơ chỉ phương a , b . a Qua M ( x ; y ; z ) Phương pháp. ( P ) : P b VTPT : n( P ) [a , b ] Dạng 6. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Qua A, (hay B hay C ) P B Phương pháp. ( P ) : C A VTPT : n( ABC ) AB, AC Q Dạng 7. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A, B và ( P) (Q). n( Q ) Qua A, (hay B) Phương pháp. ( P ) : VTPT : n( P ) AB, n( Q ) B Dạng 8. Viết phương trình mp ( P ) qua M và vuông góc với hai mặt ( ), ( P). A Qua M ( x ; y ; z ) n n Phương pháp. ( P ) : ( ) ( ) VTPT : n( P ) n( ) , n( ) Dạng 9. Viết ( P) đi qua M và giao tuyến d của hai mặt phẳng: P M (Q) : a1 x b1 y c1 z d1 0 và (T ) : a2 x b2 y c2 z d 2 0. Phương pháp: Khi đó mọi mặt phẳng chứa d đều có dạng: ( P ) : m(a1 x b1 y c1 z d1 ) n(a2 x b2 y c2 z d 2 ) 0, m 2 n 2 0. Vì M ( P) mối liên hệ giữa m và n. Từ đó chọn m n sẽ tìm được ( P). Dạng 10. Viết phương trình mặt phẳng đoạn chắn Phương pháp: Nếu mặt phẳng ( P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại các điểm A(a;0;0), x y z B(0; b;0), C (0;0; c) với (abc 0) thì ( P) : 1 gọi là mặt phẳng đoạn chắn. a b c Dạng 1.1 Xác định phương trình mặt phẳng khi biết yếu tố vuông góc Câu 1.. (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 4;0;1 và B 2; 2;3 . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(155)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 3x y z 0. Câu 2.. B. 3x y z 6 0.. C. x y 2 z 6 0.. D. 6 x 2 y 2 z 1 0.. (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;2;0 và B 3;0;2 . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là A. x y z 3 0 . B. 2 x y z 2 0 . C. 2 x y z 4 0 . D. 2 x y z 2 0 .. Câu 3.. (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 4;0;1 và B 2;2;3 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB ? A. 3 x y z 6 0 B. 3 x y z 0 C. 6 x 2 y 2 z 1 0 D. 3 x y z 1 0. Câu 4.. (Mã 101 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;3;0 và B 5;1; 1 . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là: A. x y 2 z 3 0 . B. 3x 2 y z 14 0 . C. 2 x y z 5 0 . D. 2 x y z 5 0 .. Câu 5.. (Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2;1; 2) và B (6;5; 4) . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là A. 2 x 2 y 3 z 17 0 . B. 4 x 3 y z 26 0 . C. 2 x 2 y 3 z 17 0 .. Câu 6.. D. 2 x 2 y 3 z 11 0 .. (Chuyên Thái Bình 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;3; 4 và B 1;2;2 . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB .. Câu 7.. A. : 4 x 2 y 12 z 7 0 .. B. : 4 x 2 y 12 z 17 0 .. C. : 4 x 2 y 12 z 17 0 .. D. : 4 x 2 y 12 z 7 0 .. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho A 1;2; 1 ; B 1;0;1 và mặt phẳng P :x 2 y z 1 0 . Viết phương trình mặt phẳng Q qua A, B và vuông góc với P A. Q :2 x y 3 0. Câu 8.. B. Q :x z 0. C. Q : x y z 0 D. Q :3x y z 0. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2;4;1 ,B 1;1;3 và mặt phẳng P : x 3 y 2 z 5 0 . Lập phương trình mặt phẳng Q đi qua hai điểm A , B và vuông góc với mặt phẳng P . A. 2 y 3z 11 0 .. Câu 9.. B. 2 x 3 y 11 0 .. C. x 3 y 2 z 5 0 . D. 3 y 2 z 11 0 .. (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 1; 2 và B 3;3;0 . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là A. x y z 2 0 . B. x y z 2 0 . C. x 2 y z 3 0 .. Câu 10.. D. x 2 y z 3 0 .. (Chuyên Sơn La 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P đi qua hai điểm A 0;1;0 ,. B 2;3;1 và vuông góc với mặt phẳng Q : x 2 y z 0 có phương trình là A. 4 x 3 y 2 z 3 0 . B. 4 x 3 y 2 z 3 0 . C. 2 x y 3 z 1 0 . D. 4 x y 2 z 1 0 . Câu 11. (KTNL GV Lý Thái Tổ 2019) Cho hai mặt phẳng : 3x 2 y 2 z 7 0, : 5 x 4 y 3z 1 0 . Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả và là: Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(156)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 2 x y 2 z 0. Câu 12.. B. 2 x y 2 z 0.. C. 2 x y 2 z 0.. D. 2 x y 2 z 1 0.. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm. A 2;4;1 ; B 1;1;3 và mặt phẳng P : x 3 y 2 z 5 0 . Một mặt phẳng Q đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng P có dạng ax by cz 11 0 . Khẳng định nào sau đây là. đúng? A. a b c 5 . Câu 13.. B. a b c 15 .. C. a b c 5 .. D. a b c 15 .. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 1; 1; 2 ; B 2;1;1 và mặt phẳng P : x y z 1 0 . Mặt phẳng Q chứa A, B và vuông. góc với mặt phẳng P . Mặt phẳng Q có phương trình là: A. 3x 2 y z 3 0 . Câu 14.. (Chuyên. Đại. B. x y z 2 0 . Trong. Học Vinh 2019). C. x y 0 . không. gian. P : x 3 y 2 z 1 0, Q : x z 2 0 . Mặt phẳng . D. 3x 2 y z 3 0 . Oxyz ,. cho. hai. mặt phẳng. vuông góc với cả P và Q đồng. thời cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3. Phương trình của mp là A. x y z 3 0 Câu 15.. B. x y z 3 0. C. 2 x z 6 0. D. 2 x z 6 0. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng. : 3x 2 y 2 z 7 0 và : 5x 4 y 3z 1 0 . Phương trình mặt phẳng đi qua thời vuông góc với cả và có phương trình là A. 2 x y 2 z 1 0 . Câu 16.. B. 2 x y 2 z 0 .. C. 2 x y 2 z 0 .. D. 2 x y 2 z 0 .. (HSG Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. P : x y z 1 0 và hai điểm A 1; 1; 2 ; B 2;1;1 . Mặt phẳng Q với mặt phẳng P , mặt phẳng Q có phương trình là: A. 3 x 2 y z 3 0 . Câu 17.. O đồng. B. x y z 2 0 .. chứa A, B và vuông góc. C. 3 x 2 y z 3 0 . D. x y 0 .. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A 0;1;0 , B 2;0;1 và vuông góc với mặt phẳng P : x y 1 0 là: A. x y 3z 1 0 .. B. 2 x 2 y 5 z 2 0 .. C. x 2 y 6 z 2 0 .. D. x y z 1 0 .. Câu 18. (Chuyên Lam Sơn 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng : 3 x 2 y 2 z 7 0 và : 5 x 4 y 3 z 1 0. Phương trình mặt phẳng qua O , đồng thời vuông góc với cả và. có phương trình là A. 2 x y 2 z 0 .. B. 2 x y 2 z 1 0 . C. 2 x y 2 z 0 .. D. 2 x y 2 z 0 .. Câu 19. (SGD Bến Tre 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 1; 2 ; B 2;1;1 và mặt phẳng. P : x y z 1 0 . Mặt phẳng Q Q có phương trình là A. 3x 2 y z 3 0 .. chứa A , B và vuông góc với mặt phẳng P . Mặt phẳng. B. x y 0 .. C. x y z 2 0 .. D. 3x 2 y z 3 0 .. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(157)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 20. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : ax by cz 9 0 chứa hai điểm. A 3; 2;1 , B 3;5; 2 và vuông góc với mặt phẳng. S abc. A. S 12 . Câu 21.. B. S 2 .. Q : 3x y z 4 0 .. C. S 4 .. Tính tổng. D. S 2 .. (Thi thử hội 8 trường chuyên 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba mặt phẳng. P : x y z 1 0, Q : 2 y z 5 0 và R : x y z 2 0. Gọi là mặt phẳng qua giao tuyến của P và Q , đồng thời vuông góc với R . Phương trình của là A. 2 x 3 y 5 z 5 0.. B. x 3 y 2 z 6 0.. C. x 3 y 2 z 6 0.. D. 2 x 3 y 5 z 5 0.. Câu 22. (THPT Lương Thế Vinh - HN - 2018) Trong không gian Oxyz , phương trình của mặt phẳng. P đi qua điểm B 2;1; 3 , R : 2 x y z 0 là. Câu 23.. đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng. A. 4 x 5 y 3z 22 0 .. B. 4 x 5 y 3z 12 0 .. C. 2 x y 3z 14 0 .. D. 4 x 5 y 3z 22 0 .. Q : x y 3z 0 ,. (Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;1 , B 1;1;3 và mặt phẳng P : x 3 y 2 z 5 0 . Một mặt phẳng Q đi qua hai điểm A , B và vuông góc với P có dạng là ax by cz 11 0 . Tính a b c . A. a b c 10 .. Câu 24.. B. a b c 3 .. C. a b c 5 .. D. a b c 7 .. (Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;1;1 và hai mặt phẳng P : 2 x y 3z 1 0 , Q : y 0 . Viết phương trình mặt phẳng R . chứa A , vuông góc với cả hai mặt phẳng P và Q . A. 3x y 2 z 4 0 . Câu 25.. B. 3x y 2 z 2 0 . C. 3x 2 z 0 .. D. 3x 2 z 1 0 .. (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - 2018) Cho hai mặt phẳng : 3x 2 y 2 z 7 0 và :. 5 x 4 y 3z 1 0 . Phương trình mặt phẳng P đi qua gốc tọa độ đồng thời vuông góc và. là: A. x y 2 z 0 . Câu 26.. B. 2 x y 2 z 0 .. C. 2 x y 2 z 1 0 . D. 2 x y 2 z 0 .. (Toán Học Tuổi Trẻ 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 2; 4;1 , B 1;1;3 và mặt phẳng P : x 3 y 2 z 5 0 . Một mặt phẳng Q đi qua hai điểm A , B và. vuông góc với P có dạng: ax by cz 11 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a b c . Câu 27.. B. a b c 5 .. C. a b; c .. D. a b c .. (Chuyên ĐHSPHN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 0;1; 2 , B 2; 2;0 , C 2;0;1 . Mặt phẳng P đi qua A , trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc. với mặt phẳng ABC có phương trình là A. 4 x 2 y z 4 0 . B. 4 x 2 y z 4 0 . C. 4 x 2 y z 4 0 . D. 4 x 2 y z 4 0 . Dạng 1.2 Xác định phương trình mặt phẳng đoạn chắn Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(158)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 28.. (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz cho điểm M 1; 2;3 . Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A , B , C. Câu 29.. sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC . A. P : 6 x 3 y 2 z 18 0 .. B. P : 6 x 3 y 2 z 6 0 .. C. P : 6 x 3 y 2 z 18 0 .. D. P : 6 x 3 y 2 z 6 0 .. (Chuyên Thái Bình - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M 1;2;3 . Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các trục Ox, Oy, Oz . Viết phương trình mặt phẳng ABC . A.. Câu 30.. x y z 1. 1 2 3. B.. x y z 1. 1 2 3. C.. x y z 0. 1 2 3. x y z D. 1 . 1 2 3. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm G 1; 4;3 . Mặt phẳng nào sau đây cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho G là trọng tâm tứ diện OABC ? x y z A. 1 . 3 12 9. Câu 31.. B. 12 x 3 y 4 z 48 0 .C.. x y z 0 . D. 12 x 3 y 4 z 0 . 4 16 12. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng P đi qua A 1;1;1 và B 0; 2; 2 đồng thời cắt các tia Ox , Oy lần lượt tại hai điểm. M , N ( không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho OM 2ON. Câu 32.. A. P : 3x y 2 z 6 0. B. P : 2 x 3 y z 4 0. C. P : 2 x y z 4 0. D. P : x 2 y z 2 0. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , nếu ba điểm A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M 1; 2;3 lên các trục tọa độ thì phương trình mặt phẳng. ABC là A. Câu 33.. 1 2 3 1. x y z. B.. x y z 1. 1 2 3. C.. 1 2 3 0. x y z. D.. x y z 0. 1 2 3. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M (8; 2; 4) . Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên các trục Ox, Oy, Oz . Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B và C là A. x 4 y 2 z 8 0. Câu 34.. B. x 4 y 2 z 18 0 C. x 4 y 2 z 8 0 D. x 4 y 2 z 8 0. (Chuyên Hạ Long 2019) Viết phương trình mặt phẳng đi qua M 2;1; 3 , biết cắt trục. Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho tam giác ABC nhận M làm trực tâm A. 2 x 5 y z 6 0. B. 2 x y 6 z 23 0. C. 2 x y 3z 14 0. D. 3x 4 y 3z 1 0. Câu 35.. (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm H 2;1;1 . Gọi các điểm A, B, C lần lượt ở trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz sao cho H là trực tâm của tam giác ABC . Khi đó hoành độ điểm A là: A. 3 .. B. 5 .. C. 3.. D. 5. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(159)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 36. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng đi qua điểm M 1; 2;3 và cắt các trục Ox, Oy , Oz lần lượt tại A, B , C (khác gốc tọa độ O ) sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Mặt phẳng. . có phương trình dạng ax by cz 14 0 . Tính tổng T a b c .. A. 8 .. C. T 6 .. B. 14 .. D. 11 .. Câu 37. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho điểm M 1;2;5 . Mặt phẳng P đi qua điểm M cắt các trục tọa độ Ox,Oy,Oz tại A, B, C sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Phương trình mặt phẳng P là A. x y z 8 0 .. B. x 2 y 5 z 30 0 .C.. Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng. x y z 0. 5 2 1. D.. x y z 1. 5 2 1. P : x 4 y 2z 6 0 , Q : x 2 y 4z 6 0 .. Mặt phẳng chứa giao tuyến của P , Q và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B , C sao cho hình chóp O. ABC là hình chóp đều. Phương trình mặt phẳng là A. x y z 6 0 . Câu 39.. B. x y z 6 0 .. C. x y z 3 0 .. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng. P đi qua điểm M 9;1;1 cắt các tia. Ox, Oy , Oz tại A, B, C ( A, B, C không trùng với gốc tọa độ ).. Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? 81 243 81 A. . B. . C. . 2 2 6 Câu 40.. D. x y z 6 0 .. D. 243 .. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz. cho các điểm. A(2;0;0), B(0; 4;0), C (0;0;6), D(2; 4;6) . Gọi ( P) là mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ABC ) , ( P) cách đều D và mặt phẳng ( ABC ) . Phương trình của mặt phẳng ( P) là. Câu 41.. A. 6 x 3 y 2 z 24 0 .. B. 6 x 3 y 2 z 12 0 .. C. 6 x 3 y 2 z 0 .. D. 6 x 3 y 2 z 36 0 .. (Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A a;0; 0 , B 0; b; 0 , C 0;0; c với a , b , c là ba số thực dương thay đổi, thỏa mãn điều. 1 1 1 2017 . Khi đó, mặt phẳng ABC luôn đi qua có một điểm có tọa độ cố định là a b c 1 1 1 A. ; ; . B. 1;1;1 . 3 3 3 1 1 1 ; ; C. D. 2017; 2017; 2017 . . 2017 2017 2017 kiện:. Câu 42. Trong không gian Oxyz cho điểm M 1; 2;3 . Phương trình mặt phẳng P đi qua M cắt các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC là A. P : 6 x 3 y 2 z 18 0 .. B. P : 6 x 3 y 2 z 6 0 .. C. P : 6 x 3 y 2 z 18 0 .. D. P : 6 x 3 y 2 z 6 0 .. Câu 43. Cho điểm M 1; 2;5 . Mặt phẳng P đi qua M cắt các trục Ox, Oy , Oz lần lượt tại A, B, C sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Phương trình mặt phẳng P là. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(160)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x y z B. x 2 y 5 z 30 0 . C. 0 . 5 2 1. A. x y z 8 0 .. D.. x y z 1. 5 2 1. Câu 44. Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 2;5 . Số mặt phẳng đi qua M và cắt các trục. Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C mà OA OB OC 0 là A. 1.. B. 2.. C. 3.. D. 4.. Câu 45. Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;1; 2 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng P đi qua M và cắt các trục x'Ox, y'Oy,z'Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho OA OB OC 0 ? A. 3. B. 1. C. 4. D. 8. Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , có bao nhiêu mặt phẳng qua M 2;1;3 , A 0;0; 4 và cắt hai trục Ox , Oy lần lượt tại B , C khác O thỏa mãn diện tích tam giác OBC bằng 1? A. 0 . Câu 47.. C. 2 .. B. 3 .. D. 4 .. (Đồng Tháp - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M 3; 2;1 . Mặt phẳng. P qua. M và cắt các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C sao cho M là trực tâm tam giác. ABC . Phương trình mặt phẳng P là. A. x y z 6 0 . Câu 48.. B.. x y z 0. 3 2 1. C.. x y z 1. 3 2 1. D. 3x 2 y z 14 0 .. (Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng P chứa điểm M 1;3; 2 , cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C sao. OA OB OC . 1 2 4 A. 2 x y z 1 0 . cho. Câu 49.. B. x 2 y 4 z 1 0 . C. 4 x 2 y z 1 0 . D. 4 x 2 y z 8 0 .. (Sở Nam Định - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu. S : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 3z 0 . Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm (khác gốc tọa độ mặt cầu S và các trục Ox , Oy , Oz . Phương trình mặt phẳng ABC là:. Câu 50.. A. 6 x 3 y 2 z 12 0 .. B. 9 x 3 y 2 z 12 0 .. C. 6 x 3 y 2 z 12 0 .. D. 6 x 3 y 2 z 12 0 .. O ) của. (THPT Thực Hành - TPHCM - 2018) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng đi qua M 1; 3; 8 và chắn trên Oz một đoạn dài gấp đôi các đoạn chắn trên các tia Ox , Oy . Giả sử. : ax by cz d 0 ( a, b, c, d A. 3 .. B. 3 .. là các số nguyên). Tính S C.. 5 . 4. abc . d. 5 D. . 4. Dạng 1.3 Phương trình mặt phẳng qua 3 điểm Câu 51.. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A 2; 3;1 lên các mặt phẳng tọa độ. Phương trình mặt phẳng MNP là. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(161)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. Câu 52.. x y z 1. 2 3 1. B. 3x 2 y 6 z 6 .. C.. x y z 0. 2 3 1. D. 3x 2 y 6 z 12 0 .. (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian Oxyz , cho các điểm A 1;2;1 , B 2; 1;4 và. C 1;1; 4 . Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng ABC ? A. Câu 53.. x y z . 1 1 2. B.. x y z . 2 1 1. C.. x y z . 1 1 2. D.. x y z . 2 1 1. (THPT Nghĩa Hưng NĐ-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm. A 0;1; 2 , B 2; 2;1 , C 2;1;0 . Khi đó, phương trình mặt phẳng ABC là ax y z d 0 . Hãy xác định a và d . A. a 1, d 1 . Câu 54.. B. a 6, d 6 .. C. a 1, d 6 .. D. a 6, d 6 .. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3;5; 2 , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua các điểm là hình chiếu của điểm A trên các mặt phẳng tọa độ? A. 3x 5 y 2 z 60 0 . B. 10 x 6 y 15 z 60 0 . C. 10 x 6 y 15 z 90 0 .. Câu 55.. (Thi. thử. cụm. Vũng. D. Tàu. -. 2019). x y z 1. 3 5 2 Trong. không. gian. Oxyz ,. cho. ba. điểm A 3; 2; 2 , B 3; 2; 0 , C 0; 2;1 . Phương trình mặt phẳng ABC là A. 2 x 3 y 6 z 12 0 .. B. 2 x 3 y 6 z 12 0 .. C. 2 x 3 y 6 z 0 .. D. 2 x 3 y 6 z 12 0 .. Câu 56. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng đi qua 3 điểm A 1; 2;3 , B 4;5;6 ,. C 1;0; 2 có phương trình là A. x y 2 z 5 0 . Câu 57.. B. x 2 y 3 z 4 0 . C. 3 x 3 y z 0 .. D. x y 2 z 3 0 .. (SGD - Bình Dương - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng đi qua ba điểm A 2; 3; 5 , B 3; 2; 4 và C 4; 1; 2 có phương trình là. A. x y 5 0 . Câu 58.. B. x y 5 0 .. C. y z 2 0 .. D. 2 x y 7 0 .. (Lê Quý Đôn - Hải Phòng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A 1;1; 4 , B 2; 7;9 , C 0;9;13 . A. 2 x y z 1 0 .. Câu 59.. B. x y z 4 0 .. C. 7 x 2 y z 9 0 . D. 2 x y z 2 0 .. (SGD - Bình Dương - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm S 1; 6; 2 , A 0;0; 6 , B 0;3;0 , C 2;0;0 . Gọi H là chân đường cao vẽ từ S của tứ diện. S . ABC . Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm S , B , H là A. x y z 3 0 . B. x y z 3 0 . C. x 5 y 7 z 15 0 . D. 7 x 5 y 4 z 15 0 .. Dạng 2. Một số bài toán liên đến khoảng cách - góc Dạng 2.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt, khoảng cách giữa hai mặt Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(162)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Khoảng cách từ điểm M ( xM ; yM ; zM ) đến mặt phẳng ( P ) : ax by cz d 0 được xác định bởi. công thức: d ( M ; ( P)) . axM byM czM d. a 2 b2 c 2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng Cho hai mặt phẳng song song ( P ) : ax by cz d 0 và (Q) : ax by cz d 0 có cùng véctơ pháp tuyến, khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là d (Q ),( P) . d d a2 b2 c2. . Viết phương trình ( P ) (Q) : ax by cz d 0 và cách M ( x ; y ; z ) khoảng k . Phương pháp: Vì ( P ) (Q) : ax by cz d 0 ( P) : ax by cz d 0. ax by cz d Sử dụng công thức khoảng cách d M ,( P ) k d . a 2 b2 c 2 Viết phương trình mặt phẳng ( P ) (Q) : ax by cz d 0 và ( P) cách mặt phẳng (Q ) một khoảng k cho trước. Phương pháp: Vì ( P ) (Q) : ax by cz d 0 ( P) : ax by cz d 0. Chọn một điểm M ( x ; y ; z ) (Q) và sử dụng công thức: ax by cz d d(Q );( P ) d M ,( P ) k d . a 2 b2 c 2 Viết phương trình mặt phẳng ( P) vuông góc với hai mặt phẳng ( ), ( ), đồng thời ( P) cách điểm M ( x ; y ; z ) một khoảng bằng k cho trước. Phương pháp: Tìm n( ) , n( ) . Từ đó suy ra n( P ) n( ) , n( ) (a; b; c). Khi đó phương trình ( P) có dạng ( P ) : ax by cz d 0, (cần tìm d ). ax by cz d Ta có: d M ;( P ) k k d. a2 b2 c2. Câu 1.. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong không gian Oxyz , điểm M thuộc trục Oy và cách đều hai mặt phẳng: P : x y z 1 0 và Q : x y z 5 0 có tọa độ là A. M 0; 3;0 .. Câu 2.. B. M 0;3;0 .. C. M 0; 2;0 .. D. M 0;1;0 .. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A(1; 2;3) , B 3; 4; 4 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 2 x y mz 1 0 bằng độ dài đoạn thẳng AB . A. m 2 .. Câu 3.. B. m 2 .. C. m 3 .. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Trong không. D. m 2 . gian. Oxyz ,. cho 3 điểm. A 1;0;0 , B 0; 2;3 , C 1;1;1 . Gọi P là mặt phẳng chứa A, B sao cho khoảng cách từ C tới 2 . Phương trình mặt phẳng P là 3 2 x 3 y z 1 0 x 2 y z 1 0 A. B. 3x y 7 z 6 0 2 x 3 y 6 z 13 0. mặt phẳng P bằng. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(163)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x y 2 z 1 0 C. 2 x 3 y 7 z 23 0. Câu 4.. x y z 1 0 D. 23x 37 y 17 z 23 0. Trong không gian Oxyz cho A 2; 0;0 , B 0; 4;0 , C 0;0; 6 , D 2; 4;6 . Gọi P là mặt phẳng song song với mp ABC , P cách đều D và mặt phẳng ABC . Phương trình của P là. Câu 5.. A. 6 x 3 y 2z 24 0. B. 6x 3 y 2 z 12 0. C. 6 x 3 y 2 z 0. D. 6 x 3 y 2 z 36 0. (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;3 , B 5; 4; 1 và mặt phẳng P qua Ox sao cho d B; P 2d A; P , P cắt AB tại I a; b; c nằm giữa AB . Tính a b c . A. 12 .. Câu 6.. B. 6 .. D. 8 .. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz , Khoảng cách giữa hai mặt phẳng. P : x 2 y 2 z 10 0 A. Câu 7.. C. 4 .. 4 3. và Q : x 2 y 2 z 3 0 bằng: B.. 8 . 3. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian. C.. 7 . 3. D. 3 .. Oxyz cho hai mặt phẳng song song P và Q lần. lượt có phương trình 2 x y z 0 và 2 x y z 7 0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng P và Q bằng A. 7 . Câu 8.. B. 7 6 .. C. 6 7 .. 7 . 6. D.. Trong không gian Oxyz , khoảng cách giữa hai mặt phẳng P : x 2 y 2 z 8 0 và Q : x 2 y 2 z 4 0 bằng A. 1.. Câu 9.. B.. 4 . 3. C. 2.. D.. 7 . 3. Trong không gian Oxyz , khoảng cách giữa hai mặt phẳng P : x 2 y 2 z 16 0 và. Q : x 2 y 2 z 1 0 bằng A. 5. Câu 10.. B.. 17 . 3. C. 6.. D.. 5 . 3. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz khoảng cách giữa hai mặt phẳng. P : x 2 y 3z 1 0 A.. 7 14. và Q : x 2 y 3 z 6 0 là B.. 8 14. C. 14. Câu 11. Trong không gian Oxyz , khoảng cách giữa hai mặt phẳng. Q : x A. 7 .. 1 1 y z 8 0 bằng 2 3 B. 8 .. C. 9 .. D.. 5 14. P : 6x 3 y 2z 1 0. D. 6 .. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương và.
<span class='text_page_counter'>(164)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 12.. (Chuyên Lam Sơn-2019) Trong không gian Oxyz khoảng cách giữa hai mặt phẳng. P : x 2 y 3z 1 0 A.. 7 . 14. và Q : x 2 y 3 z 6 0 là: B.. 8 . 14. C. 14 .. D.. 5 . 14. Câu 13. (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song : x 2 y 2 z 4 0 và : x 2 y 2 z 7 0 . A. 0 . Câu 14.. B. 3 .. C. 1 .. D. 1 .. (THPT Đông Sơn 1 - Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu. S : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 z 22 0 và mặt phẳng P :3x 2 y 6 z 14 0. tâm I của mặt cầu S đến mặt phẳng P bằng A. 2. Câu 15.. B. 4.. C. 3.. D. 1.. (SGD Bến Tre 2019) Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng P : 2 x y 2 z 9 0 và. Q : 4 x 2 y 4 z 6 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng P A. 0 . Câu 16.. Khoảng cách từ. B. 2 .. và Q bằng D. 3 .. C. 1 .. (SP Đồng Nai - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P) : x 2 y 2 z 6 0 và. (Q) : x 2 y 2 z 3 0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( P) và (Q) bằng A. 3 .. C. 9 .. B. 1 .. D. 6 .. Câu 17. (Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng. P : 3x 4 y 12z 5 0. và điểm A 2;4; 1 . Trên mặt phẳng P lấy điểm M . Gọi B là điểm sao cho AB 3. AM . Tính khoảng. cách d từ B đến mặt phẳng P . A. d 6 . Câu 18.. B. d . 30 . 13. C. d . 66 . 13. D. d 9 .. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. P : 2 x 2 y z 1 0 . Mặt phẳng nào sau đây song song với P . và cách P một khoảng bằng. 3?. Câu 19.. A. Q : 2 x 2 y z 10 0 .. B. Q : 2 x 2 y z 4 0 .. C. Q : 2 x 2 y z 8 0 .. D. Q : 2 x 2 y z 8 0 .. (SGD Bến Tre 2019) Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A 2;3; 4 và mặt phẳng P : 2 x 3 y z 17 0 . A. M 0;0; 3 .. Câu 20.. B. M 0;0;3 .. C. M 0;0; 4 .. D. M 0;0; 4 .. (SGD Bắc Ninh 2019) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;1 , B 3;4;0 , mặt phẳng P : ax by cz 46 0 . Biết rằng khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng P lần lượt bằng 6 và 3 . giá trị của biểu thức T a b c bằng A. 3 . B. 6 . C. 3 .. D. 6 .. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(165)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 21.. (Chuyên Quang Trung- Bình Phước 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng. P : x 2 y 2 z 10 0 . Phương trình mặt phẳng Q với Q song song với P và khoảng 7 là. 3 A. x 2 y 2 z 3 0; x 2 y 2 z 17 0 B. x 2 y 2 z 3 0; x 2 y 2 z 17 0 cách giữa hai mặt phẳng P và Q bằng. C. x 2 y 2 z 3 0; x 2 y 2 z 17 0 Câu 22.. D. x 2 y 2 z 3 0; x 2 y 2 z 17 0. (SGD Hưng Yên 2019) Trong không gian hệ toạ độ Oxyz , lập phương trình các mặt phẳng song song với mặt phẳng : x y z 3 0 và cách một khoảng bằng. Câu 23.. 3.. A. x y z 6 0 ; x y z 0 .. B. x y z 6 0 .. C. x y z 6 0 ; x y z 0 .. D. x y z 6 0 ; x y z 0 .. (THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa - 2018) Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A 4; 2;1 , B 0;0;3 , C 2;0;1 . Viết phương trình mặt phẳng chứa OC và cách đều 2 điểm A, B .. Câu 24.. A. x 2 y 2 z 0 hoặc x 4 y 2 z 0 .. B. x 2 y 2 z 0 hoặc x 4 y 2 z 0 .. C. x 2 y 2 z 0 hoặc x 4 y 2 z 0 .. D. x 2 y 2 z 0 hoặc x 4 y 2 z 0 .. (THPT Nguyễn Tất Thành - Yên Bái - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0;0), B(0; 2;3), C (1;1;1). Phương trình mặt phẳng. P. chứa A, B sao cho. 2 là 3 A. x y z 1 0 hoặc 23x 37 y 17z 23 0 .. khoảng cách từ C tới P bằng. B. x y 2 z 1 0 hoặc 23x 3 y 7 z 23 0. C. x 2 y z 1 0 hoặc 13x 3 y 6 z 13 0. D. 2 x 3 y z 1 0 hoặc 3x y 7 z 3 0. Câu 25. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x 2 y z 5 0 . Viết phương trình mặt phẳng Q song song với mặt phẳng P , cách P một khoảng bằng 3 và cắt trục Ox tại điểm có hoành độ dương.. Câu 26.. A. Q : 2 x 2 y z 4 0 .. B. Q : 2 x 2 y z 14 0 .. C. Q : 2 x 2 y z 19 0 .. D. Q : 2 x 2 y z 8 0 .. (Chuyên Phan Bội Châu -2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. Q : x 2 y 2 z 3 0 , mặt phẳng P không d P , Q 1 . Phương trình mặt phẳng P là A. x 2 y 2 z 1 0. B. x 2 y 2 z 0. qua O , song song với mặt phẳng. Q và. C. x 2 y 2 z 6 0 D. x 2 y 2 z 3 0. Câu 27. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , cho A 2;0;0 , B 0;4;0 ,. C 0;0;6 , D 2; 4;6 . Gọi P là mặt phẳng song song với mp ABC , P cách đều D và mặt phẳng ABC . Phương trình của P là A. 6 x 3 y 2 z 24 0 .. B. 6 x 3 y 2 z 12 0 .. C. 6 x 3 y 2 z 0 .. D. 6 x 3 y 2 z 36 0 .. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(166)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 28. (Ngô Quyền - Hải Phòng 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2;0;0 , B 0;3;0 ,. C 0;0; 1 . Phương trình của mặt phẳng P qua D 1;1;1 và song song với mặt phẳng ABC . Câu 29.. là A. 2 x 3 y 6 z 1 0 .. B. 3x 2 y 6 z 1 0 .. C. 3x 2 y 5 z 0 .. D. 6 x 2 y 3z 5 0 .. (Chuyên Nguyễn Đình Triểu - Đồng Tháp - 2018) Trong không gian Oxyz , cho A 1;1;0 , B 0; 2;1 , C 1; 0; 2 , D 1;1;1 . Mặt phẳng đi qua A 1;1;0 , B 0; 2;1 , song song với. đường thẳng CD . Phương trình mặt phẳng là A. x y 2 3 0 .. B. 2 x y z 2 0 .. C. 2 x y z 3 0 . D. x y 2 0 .. Dạng 2.2 Góc của 2 mặt phẳng 1. Góc giữa hai véctơ Cho hai véctơ a (a1 ; a2 ; a3 ) và b (b1 ; b2 ; b3 ). Khi đó góc giữa hai véctơ a và b là góc nhợn hoặc tù. a1b1 a2b2 a3b3 a.b cos(a; b ) với 0 180. 2 a .b a1 a22 a32 . b12 b22 b32 2. Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng ( P ) : A1 x B1 y C1 z D1 0 và (Q) : A2 x B2 y C2 z D2 0. nP .nQ cos ( P ), (Q ) cos nP . nQ. Câu 30.. A1 A2 B1 B2 C1C2 A12 B12 C12 . A22 B22 C22. với 0 90.. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm H 2;1; 2 , H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng P , số đo góc giữa mặt P và. mặt phẳng Q : x y 11 0 A. 600 Câu 31.. B. 300. C. 450. D. 900. (THPT Quang Trung Đống Đa 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) có phương trình x 2 y 2 z 5 0 . Xét mặt phẳng (Q ) : x (2m 1) z 7 0 , với m là tham số thực. Tìm tất cả giá trị của m để ( P ) tạo với (Q ) góc m 1 A. . m 4. Câu 32.. m 2 B. . m 2 2. 4. .. m 2 C. . m 4. m 4 D. . m 2. (THPT Ba Đình 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P có phương trình: ax by cz 1 0 với c 0 đi qua 2 điểm A 0;1;0 , B 1;0;0 và tạo với Oyz một góc 60 . Khi đó a b c thuộc khoảng nào dưới đây?. A. 5;8 . Câu 33.. B. 8;11 .. C. 0;3 .. D. 3;5 .. (Chuyên Bắc Giang -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(167)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. ( P ) : x 2 y 2 z 1 0, (Q ) : x my (m 1) z 2019 0 . Khi hai mặt phẳng P , Q tạo với. nhau một góc nhỏ nhất thì mặt phẳng Q đi qua điểm M nào sau đây? A. M (2019; 1;1) B. M (0; 2019; 0) C. M ( 2019;1;1) D. M (0; 0; 2019) Câu 34. (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng. P : 2x y 2z 5 0. và Q : x y 2 0 . Trên P có tam giác ABC ; Gọi A, B, C lần. lượt là hình chiếu của A, B, C trên Q . Biết tam giác ABC có diện tích bằng 4 , tính diện tích tam giác ABC . A. Câu 35.. 2.. B. 2 2 .. C. 2 .. D. 4 2 .. (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian Oxyz , biết hình chiếu của O lên mặt phẳng P là H 2; 1; 2 . Số đo góc giữa mặt phẳng P với mặt phẳng Q : x y 5 0 là A. 30 .. B. 45 .. C. 60 .. D. 90 .. Câu 36. Trong hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm H 2; 1; 2 . Điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ O xuống mặt phẳng P , số đo góc giữa mặt phẳng P và mặt phẳng Q : x y 11 0 là A. 90 . Câu 37.. B. 30 .. C. 60 .. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng -2019) Trong không gian. D. 45 . Oxyz ,. cho hai điểm. A 3;0;1 , B 6; 2;1 . Phương trình mặt phẳng P đi qua A, B và tạo với mặt phẳng Oyz một 2 là 7 2 x 3 y 6 z 12 0 2 x 3 y 6 z 12 0 A. B. 2 x 3 y 6 z 0 2 x 3 y 6 z 0 2 x 3 y 6 z 12 0 2 x 3 y 6 z 12 0 C. D. 2 x 3 y 6 z 1 0 2 x 3 y 6 z 1 0 góc thỏa mãn cos . Câu 38.. (Toán Học Tuổi Trẻ 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , biết mặt phẳng. P : ax by cz d 0 với c 0 đi qua hai điểm A 0;1;0 , B 1;0; 0 và tạo với yOz một góc 60 . Khi đó giá trị a b c thuộc khoảng nào dưới đây? A. 0;3 . B. 3;5 . C. 5;8 . D. 8;11 .. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương mặt phẳng.
<span class='text_page_counter'>(168)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Dạng 3. Vị trí tương đối Dạng 3.1 Vị trí tương đối mặt phẳng với mặt cầu M1. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S). R. I. Cho mặt cầu S ( I ; R ) và mặt phẳng ( P). M2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên ( P). H. P. và có d IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P). Khi đó: Nếu d R : Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung.. I. Nếu d R : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.. R H. P. Lúc đó ( P) là mặt phẳng tiếp diện của ( S ) và H là tiếp điểm. Nếu d R : mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu theo thiết diện 2. I d. 2. là đường tròn có tâm H và bán kính r R IH .. H. R r. A. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu. S . P. Viết phương trình mặt ( P ) (Q) : ax by cz d 0 và tiếp xúc với mặt cầu ( S ). Phương pháp: Vì ( P) (Q ) : ax by cz d 0 ( P) : ax by cz d 0. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu. Vì ( P ) tiếp xúc ( S ) nên có d I ;( P ) R d . Câu 1.. có tâm. I 3;2; 1 và đi qua điểm A 2;1; 2 . Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với S tại A ? A. x y 3 z 9 0 Câu 2.. B. x y 3 z 3 0. C. x y 3 z 8 0. D. x y 3 z 3 0. (Chuyên Quốc Học Huế -2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng có. phương. 2x y z 1 0. trình. 2. 2. x 1 y 1 z 2 và mặt cầu S .. 2. và. mặt. cầu. S . có. phương. trình. 4 . Xác định bán kính r của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng. 2 42 2 3 2 15 2 7 . B. r C. r . D. r 3 3 3 3 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu có. A. r Câu 3.. tâm I 2;1; 4 và tiếp xúc với mặt phẳng : x 2 y 2 z 7 0 .. Câu 4.. A. x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 8z 4 0 .. B. x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 8z 4 0 .. C. x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 8 z 4 0 .. D. x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 8z 4 0 .. (SGD Bình Phước - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2 y 2 z 3 0 và mặt cầu S có tâm I 0; 2;1 . Biết mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích 2 . Mặt cầu S có phương trình là 2. 2. 2. 2. A. x 2 y 2 z 1 2 .. 2. 2. 2 B. x y 2 z 1 3 .. 2. 2. D. x2 y 2 z 1 1 .. C. x2 y 2 z 1 3 .. Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(169)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 5.. (Bình Giang-Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. P : x 2 y 2 z 2 0 và điểm I 1; 2; 1 . Viết phương trình mặt cầu S mặt phẳng P theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 5 . 2. 2. 2. B. S : x 1 y 2 z 1 16 .. 2. 2. 2. D. S : x 1 y 2 z 1 34 .. A. S : x 1 y 2 z 1 25 . C. S : x 1 y 2 z 1 34 . Câu 6.. có tâm I và cắt. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu S có tâm I 1; 2;1 và tiếp xúc với mặt phẳng P : x 2 y 2 z 2 0 có phương trình là 2. 2. 2. B. x 1 y 2 z 1 9 .. 2. 2. 2. D. x 1 y 2 z 1 3 .. A. x 1 y 2 z 1 3 . C. x 1 y 2 z 1 9 . Câu 7.. 2. 2. 2. 2. 2. (Chuyên Nguyễn Huệ- 2019) Phương trình mặt cầu tâm I 3; 2; 4 và tiếp xúc với. P : 2x y 2z 4 0. là:. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 20 . 3 20 . 3. A. x 3 y 2 z 4 C. x 3 y 2 z 4 Câu 8.. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 400 . 9 400 . 9. B. x 3 y 2 z 4 D. x 3 y 2 z 4 . Trong không gian Oxyz , cho điểm I 3;1; 1 và mặt phẳng P : x 2 y 2 z 3 0 . Phương trình mặt cầu S có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng P là 2. 2. 2. B. x 3 y 1 z 1 16 .. 2. 2. 2. D. x 3 y 1 z 1 16 .. A. x 3 y 1 z 1 4 . C. x 3 y 1 z 1 4 . Câu 9.. 2. 2. 2. 2. 2. 2. (Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 1;2;1 và cắt mặt phẳng. P : 2x y 2z 7 0 theo một đường tròn có đường kính bằng 8 . Phương trình mặt cầu S là 2 2 2 2 2 2 A. x 1 y 2 z 1 81 . B. x 1 y 2 z 1 5 . 2 2 2 2 2 2 C. x 1 y 2 z 1 9 . D. x 1 y 2 z 1 25 . Câu 10.. (Thpt. Vĩnh. Lộc. 2. -. Thanh. 2. Hóa. 2019). Cho. mặt. cầu. S . 2. có. phương. x 3 y 2 z 1 100 và mặt phẳng có phương trình 2 x 2 y z 9 0 . bán kính của đường tròn C là giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu S . A. 8 . Câu 11.. B. 4 6 .. C. 10 .. (chuyên Hùng Vương Gia Lai -2019) Trong không gian. S : x. 2. 2. trình Tính. D. 6 . Oxyz , cho mặt cầu. 2. y z 4 x 2 y 2 z 10 0 , mặt phẳng P : x 2 y 2 z 10 0 . Mệnh đề nào dưới. đây đúng? A. P tiếp xúc với S . B. P cắt S theo giao tuyến là đường tròn khác đường tròn lớn. C. P và S không có điểm chung. D. P cắt S theo giao tuyến là đường tròn lớn. Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(170)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 12.. (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu. S : x 2 y2 z 2 1 và mặt phẳng P : x 2 y 2 z 1 0 . Tìm bán kính tuyến của S và P . A. r Câu 13.. 1 . 3. B. r . 2 2 . 3. C. r . 1 . 2. D. r . r đường tròn giao. 2 . 2. (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm I 3;1;0 và tiếp xúc với mặt phẳng. P : 2x 2 y z 1 0 ? 2. 2. B. x 3 y 1 z 2 9 .. 2. 2. D. x 3 y 1 z 2 9 .. A. x 3 y 1 z 2 3 . C. x 3 y 1 z 2 3 . Câu 14.. 2. 2. 2. 2. (SGD Bến Tre 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S : x 2 y 2 z2 2 x 4 y 6 z 0 . Đường tròn giao tuyến của S với mặt phẳng Oxy có bán kính là A. r 3 .. B. r 5 .. C. r 6 .. D. r 14 .. S có tâm I 2;1;1 và mặt phẳng P : 2 x y 2 z 2 0 . Biết mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1. Viết phương trình của mặt cầu S . Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu. 2. 2. 2. B. S : x 2 y 1 z 1 10. 2. 2. 2. D. S : x 2 y 1 z 1 10. A. S : x 2 y 1 z 1 8 C. S : x 2 y 1 z 1 8 Câu 16.. 2. 2. 2. 2. 2. 2. (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm M 2;3;3 , N 2; 1; 1 , P 2; 1;3 và có tâm thuộc mặt phẳng. : 2 x 3 y z 2 0 . A. x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 6 z 2 0. B. x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 z 2 0. C. x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 z 10 0. D. x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 6 z 2 0. Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xét các điểm A 0;0;1 , B m;0;0 , C 0; n; 0 , D 1;1;1 với m 0; n 0 và m n 1. Biết rằng khi m , n thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ABC và đi qua D . Tính bán kính R của mặt cầu đó? A. R 1 .. B. R . 2 . 2. C. R . 3 . 2. 2. D. R 2. 3 . 2. 2. Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 4 z 1 4 và mặt phẳng P :. x my z 3m 1 0 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng P cắt mặt cầu. S theo giao tuyến là đường tròn có đường kính bằng. 2.. Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(171)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. m 1 . C. m 1 hoặc m 2 . Câu 19.. B. m 1 hoặc m 2 . D. m 1. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S tâm I ( a; b; c ) bán kính bằng 1, tiếp xúc mặt phẳng Oxz . Khẳng định nào sau đây luôn đúng?. A. a 1 .. C. b 1 .. B. a b c 1 .. D. c 1 .. Câu 20. (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 5 0 . Mặt phẳng tiếp xúc với S và song song với mặt phẳng P : 2 x y 2 z 11 0 có phương trình. Câu 21.. là: A. 2 x y 2 z 7 0 .. B. 2 x y 2 z 9 0 .. C. 2 x y 2 z 7 0 .. D. 2 x y 2 z 9 0 .. P : 2 x y z 2 0 và A 1; 2;1 và tiếp xúc với hai mặt phẳng P , Q là. (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng. Q : 2 x y z 1 0 . Số mặt cầu đi qua B. 1.. A. 0 .. D. 2 .. C. Vô số.. Câu 22. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S có đường kính AB với A 6;2; 5 , B 4;0;7 . Viết phương trình mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S tại A .. Câu 23.. A. P : 5 x y 6 z 62 0 .. B. P : 5 x y 6 z 62 0 .. C. P : 5 x y 6 z 62 0 .. D. P : 5 x y 6 z 62 0 .. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt 2. 2. 2. phẳng ( P) : 2 x 2 y z m 2 3m 0 và mặt cầu ( S ) : x 1 y 1 z 1 9 . Tìm tất cả các giá trị của m để ( P ) tiếp xúc với ( S ) . m 2 A. . m 5 Câu 24.. m 2 B. . m 5. C. m 2 .. D. m 5 .. (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ 0xyz , cho mặt cầu 2. 2. S : x 1 y 1 z 1. 2. 25 có tâm I và mặt phẳng P : x 2 y 2 z 7 0 . Thể tích của. khối nón đỉnh I và đường tròn đáy là giao tuyến của mặt cầu S và mặt phẳng P bằng A. 12 Câu 25.. B. 48. C. 36. D. 24. (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt cầu S1 , S 2 lần lượt có phương trình là x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 z 22 0 , x 2 y 2 z 2 6 x 4 y 2 z 5 0 .. Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(172)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Xét các mặt phẳng P thay đổi nhưng luôn tiếp xúc cả hai mặt cầu đã cho. Gọi A a; b; c là điểm mà tất cả các mặt phẳng P đi qua. Tính tổng S a b c .. 5 A. S . 2 Câu 26. (Sở Kon. 5 B. S . 2 2019). Tum. 2. 2. 9 C. S . 2 Trong không gian. 9 D. S . 2 cho Oxyz ,. mặt. 2. S : x 1 y 2 z 1 45 và mặt phẳng P : x y z 13 0 . Mặt cầu S phẳng P theo giao tuyến là đường tròn có tâm I a ; b ; c thì giá trị của a b c bằng A. 11. Câu 27.. B. 5 .. C. 2 .. cầu cắt mặt. D. 1.. (Sở Hà Nam - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2 y z 7 0 và mặt cầu. S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 z 10 0 . Gọi Q là mặt phẳng song song với mặt phẳng P và cắt mặt cầu S theo một giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6 . Hỏi Q đi qua điểm nào trong số các điểm sau? A. 6;0;1 . Câu 28.. B. 3;1; 4 .. C. 2; 1;5 .. D. 4; 1; 2 .. Oxyz , cho mặt cầu. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Trong không gian. S : x. 2. 2. 2. y z 2 x 4 y 6 z 2 0 và mặt phẳng : 4 x 3 y 12 z 10 0 . Lập phương. trình mặt phẳng thỏa mãn đồng thời các điều kiện: tiếp xúc với S ; song song với và cắt. Câu 29.. trục Oz ở điểm có cao độ dương. A. 4 x 3 y 12 z 78 0 .. B. 4 x 3 y 12 z 26 0 .. C. 4 x 3 y 12 z 78 0 .. D. 4 x 3 y 12 z 26 0 .. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng. P :2 x y 2 z 1 0. và điểm M 1; 2;0 . Mặt cầu. tâm M , bán kính bằng. 3 cắt phẳng P theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng bao. nhiêu? A. 2 . Câu 30.. B.. 2.. C. 2 2 .. D.. 3 1.. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng. Q : x 2 y z 5 0 và mặt cầu S : x 12 y 2 z 2 2 15 . Mặt phẳng P song song với mặt phẳng Q và cắt mặt cầu S theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng 6 đi qua điểm nào sau đây? A. 2; 2;1 .. B. 1; 2;0 .. C. 0; 1; 5 .. D. 2; 2; 1 .. Câu 31. (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho mặt cầu ( S ) : ( x 1) 2 ( y 2)2 ( z 4) 2 9 . Phương trình mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) tại điểm M (0; 4; 2) là A. x 6 y 6 z 37 0 B. x 2 y 2 z 4 0 C. x 2 y 2 z 4 0 D. x 6 y 6 z 37 0 2. 2. 2. Câu 32. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 1 z 2 4 và mặt phẳng P :. 4 x 3 y m 0 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng P và mặt cầu S có đúng 1 điểm chung. A. m 1 .. B. m 1 hoặc m 21 . Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(173)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. C. m 1 hoặc m 21 . Câu 33.. D. m 9 hoặc m 31 .. (THPT Ba Đình -2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng. P : mx 2y z 1 0 ( m 2 2 S : x 2 y 1 z 2 9. là. tham. số).. Mặt. phẳng. P. cắt. mặt. cầu. theo một đường tròn có bán kính bằng 2 . Tìm tất cả các giá trị. thực của tham số m ? A. m 1 . Câu 34.. (Yên. B. m 2 5 .. Định. Thanh. Hóa. 2019). C. m 4 . Trong. D. m 6 2 5 .. không. gian. Oxyz ,. cho. mặt. cầu. S : x2 y2 z 2 2x 4 y 2z 3 0 . Viết phương trình mặt phẳng Q chứa trục Ox và cắt S theo một đường tròn bán kính bằng 3 . A. Q : y 3z 0 . B. Q : x y 2 z 0 . C. Q : y z 0 . D. Q : y 2z 0 . Câu 35. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I ( 1; 2;1) và mặt phẳng ( P) có phương trình x 2 y 2 z 8 0 . Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P) : A. ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 1) 2 9. B. ( x 1) 2 ( y 2)2 ( z 1)2 3. C. ( x 1) 2 ( y 2)2 ( z 1)2 4. D. ( x 1) 2 ( y 2) 2 ( z 1)2 9. Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm I 0;1;3 và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) :2 x y 2 z 2 0 ? A. x 2 y 1 z 3 9 .. 2. 2. B. x 2 y 1 z 3 9 .. 2. 2. D. x 2 y 1 z 3 3 .. C. x2 y 1 z 3 3 . Câu 37.. 2. 2. 2. 2. (Sở Bắc Giang 2019) Trong không gian Oxyz , phương trình mặt cầu S tâm I 1; 2;5 và tiếp xúc với mặt phẳng P : x 2 y 2 z 4 0 là. Câu 38.. A. S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 10 z 21 0 .. B. S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 10 z 21 0 .. C. S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 10 z 21 0 .. D. S : x 2 y 2 z 2 x 2 y 5 z 21 0 .. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Trong không gian Oxyz cho điểm I 1; 2;3 và mặt phẳng P : 2 x y 2 z 1 0 . Mặt cầu S tâm I tiếp xúc với P có phương trình là: 2. 2. 2. B. x 1 y 2 z 3 3.. 2. 2. 2. D. x 1 y 2 z 3 9.. A. x 1 y 2 z 3 9. C. x 1 y 2 z 3 3. Câu 39.. 2. 2. 2. 2. 2. 2. (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I ( 3; 0;1) . Mặt cầu ( S ) có tâm I và cắt mặt phẳng ( P ) : x 2 y 2 z 1 0 theo một thiết diện là một. hình tròn. Diện tích của hình tròn này bằng . Phương trình mặt cầu ( S ) là A. ( x 3)2 y 2 ( z 1) 2 4.. B. ( x 3)2 y 2 ( z 1) 2 25.. C. ( x 3)2 y 2 ( z 1) 2 5.. D. ( x 3)2 y 2 ( z 1) 2 2.. Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(174)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 40. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : x 2 y 2 z 2 0 và điểm I 1; 2; 1 . Viết phương trình mặt cầu S có tâm I và cắt mặt phẳng P theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 5. 2. 2. 2. B. S : x 1 y 2 z 1 16.. 2. 2. 2. D. S : x 1 y 2 z 1 34.. A. S : x 1 y 2 z 1 25. C. S : x 1 y 2 z 1 34. Câu 41.. 2. 2. 2. 2. 2. 2. (Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y 2 z 2 2 z 2 0 và điểm. K 2;2;0 . Viết phương trình mặt phẳng chứa tất cả các tiếp điểm của các tiếp tuyến vẽ từ K đến mặt cầu S . A. 2 x 2 y z 4 0 . B. 6 x 6 y 3z 8 0 . C. 2 x 2 y z 2 0 Câu 42. Trong không. D. 6 x 6 y 3z 3 0 .. gian với hệ trục toạ độ. Oxyz , cho mặt cầu có phương trình. S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z m 3 0 . Tìm số thực của tham số : 2 x y 2 z 8 0 cắt S theo một đường tròn có chu vi bằng 8 . B. m 1 .. A. m 3 . Câu 43.. (THPT. Kinh. Môn. -. HD. C. m 2 . -. 2018). Trong. không. m để mặt phẳng. D. m 4 . gian. Oxyz ,. cho. mặt. cầu. S : x 2 y 2 z 2 2 x 6 y 4 z 2 0 và mặt phẳng : x 4 y z -11 0 . Viết phương trình mặt phẳng P , biết P song song với giá của vectơ v 1;6; 2 , vuông góc với và tiếp xúc với S . x 2y z 3 0 A. B. x 2 y z 21 0 4 x 3 y z 5 0 C. . D. 4 x 3 y z 27 0 Câu 44.. 3 x y 4 z 1 0 3 x y 4 z 2 0 . 2x y 2 z 3 0 2 x y 2 z 21 0 . . (SGD - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P có 2. 2. 2. phương trình x 2 y 2 z 5 0 và mặt cầu S có phương trình x 1 y 2 z 3 4 . Tìm phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng P và đồng thời tiếp xúc với mặt cầu. S . A. x 2 y 2 z 1 0 .. B. x 2 y 2 z 5 0 .. C. x 2 y 2 z 23 0 . D. x 2 y 2 z 17 0 . Câu 45.. (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu. S : x 2 y 2 z 2 2 x 6 y 4 z 2 0 , mặt phẳng : x 4 y z 11 0 . Gọi P là mặt phẳng vuông góc với , P song song với giá của vecto v 1;6; 2 và P tiếp xúc với S . Lập phương trình mặt phẳng P . A. 2 x y 2 z 2 0 và x 2 y z 21 0 .. B. x 2 y 2 z 3 0 và x 2 y z 21 0 .. C. 2 x y 2 z 3 0 và 2 x y 2 z 21 0 .. D. 2 x y 2 z 5 0 và 2 x y 2 z 2 0 .. Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(175)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 46. (Hồng Lĩnh - Hà Tĩnh – 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 0;0 , B 0; 0; 2 và mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 1 0 . Số mặt phẳng chứa hai điểm A , B và. tiếp xúc với mặt cầu S là A. 1 mặt phẳng. Câu 47.. B. 2 mặt phẳng.. C. 0 mặt phẳng.. D. Vô số mặt phẳng.. (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng Q song với mặt phẳng. P : 2x 2 y z 7 0 .. Biết mp Q cắt mặt cầu. 2. S : x2 y 2 z 1. 2. 25. theo một đường tròn có bán kính r 3 . Khi đó mặt phẳng Q có phương trình là: A. x y 2 z 7 0 .. B. 2 x 2 y z 7 0 .. C. 2 x 2 y z 17 0 . D. 2 x 2 y z 17 0 . Dạng 3.2 Vị trí tương đối hai mặt Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) Cho hai mặt phẳng ( P ) : A1 x B1 y C1 z D1 0 và (Q) : A2 x B2 y C2 z D2 0. A B C D A B C D ( P) (Q ) 1 1 1 1 ( P ) cắt (Q) 1 1 1 1 A2 B2 C2 D2 A2 B2 C2 D2 A B C D ( P) (Q ) 1 1 1 1 ( P) (Q ) A1 A2 B1 B2 C1C2 0. A2 B2 C2 D2 Câu 48. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng. P : 2 x my 3z 5 0 song với Q . A. m n 4 . Câu 49.. B. m 4; n 4 .. C. m 4; n 4 .. D. m n 4 .. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng. P : x – 2y 2z – 3 0 vuông góc với nhau? A. m 1 Câu 50.. và Q : nx 8 y 6 z 2 0 , với m, n . Xác định m, n để P song. và Q : mx y – 2z 1 0 . Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng đó B. m 1. C. m 6. D. m 6. (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2018) Trong không gian Oxyz , tìm tập hợp các điểm cách đều cặp mặt phẳng sau đây: 4 x y 2 z 3 0 , 4 x y 2 z 5 0 . A. 4 x y 2 z 6 0 .. Câu 51.. B. 4 x y 2 z 4 0 . C. 4 x y 2 z 1 0 . D. 4 x y 2 z 2 0 .. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng. P : x 2 y z 3 0 ; Q : 2 x y z 1 0 . Mặt phẳng R đi qua điểm M 1;1;1 chứa giao tuyến của P và Q ; phương trình của R : m x 2 y z 3 2 x y z 1 0 . Khi đó giá trị của m là A. 3 . Câu 52.. B.. 1 . 3. 1 C. . 3. D. 3 .. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P : 2 x y z 2 0 vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây? A. 2 x y z 2 0 . B. x y z 2 0 .. C. x y z 2 0 .. D. 2 x y z 2 0 .. Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(176)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 53.. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A 1;0; 0 , B 0; b;0 , C 0;0; c trong đó b.c 0 và mặt phẳng P : y z 1 0 . Mối liên hệ giữa b, c để mặt phẳng ( ABC ) vuông góc với mặt phẳng ( P ) là. A. 2b c . Câu 54.. B. b 2c .. A. m 3 .. m là tham số thực. Tìm tham số m sao cho mặt phẳng Q . B. m 2 .. C. m 3 .. A. 16 .. tuyến của hai mặt phẳng. B. 8 .. C. 0 .. P : x y z 1 0. và. D. 8 .. (SGD Bến Tre 2019) Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng : x 2 y z 1 0 và. : 2 x 4 y mz 2 0. Tìm m để hai mặt phẳng B. Không tồn tại m .. A. m 1 . Câu 57.. D. m 2 .. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng. :ax y 2z b 0 đi qua giao Q : x 2 y z 1 0 . Tính a 4b . Câu 56.. D. b 3c.. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian Oxyz , cho P : x y 2 z 5 0 và. Q : 4 x 2 m y mz 3 0 , vuông góc với mặt phẳng P . Câu 55.. C. b c .. và song song với nhau.. C. m 2 .. D. m 2 .. (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-2019) Trong không gian toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng. ( P) : x 2 y 2 z 1 0 , mặt phẳng nào dưới đây song song với P và cách P một khoảng bằng 3 .. Câu 58.. A. (Q) : x 2 y 2 z 8 0 .. B. Q : x 2 y 2 z 5 0 .. C. (Q) : x 2 y 2 z 1 0 .. D. Q : x 2 y 2 z 2 0 .. (Cụm 5 Trường Chuyên - ĐBSH - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng Q : x y z 3 0 , cách điểm M 3; 2;1 một khoảng bằng 3 3 biết rằng tồn tại một điểm X a; b; c trên mặt phẳng đó thỏa mãn a b c 2 ? A. 1 .. Câu 59.. C. 2 .. B. Vô số.. D. 0 .. (Chuyên Thái Bình - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng. Q1 : 3x y 4 z 2 0. và Q2 : 3 x y 4 z 8 0 . Phương trình mặt phẳng P song song và. cách đều hai mặt phẳng Q1 và Q2 là:. Câu 60.. A. P : 3 x y 4 z 10 0 .. B. P : 3 x y 4 z 5 0 .. C. P : 3 x y 4 z 10 0 .. D. P : 3 x y 4 z 5 0 .. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Gọi m ,n là hai giá trị thực thỏa mãn giao tuyến của hai mặt phẳng. Pm : mx 2 y nz 1 0. : 4 x y 6 z 3 0 . Tính A. m n 0 . Câu 61.. và. Qm : x my nz 2 0. vuông góc với mặt phẳng. mn.. B. m n 2 .. C. m n 1 .. D. m n 3 .. (Chuyên KHTN 2019) Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng P và. Q . cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm A 1;1;1 và B 0; 2; 2 , đồng thời cắt các Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(177)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. trục tọa độ Ox, Oy tại hai điểm cách đều O . Giả sử P có phương trình x b1 y c1 z d1 0 và. Q A. 7. Câu 62.. có phương trình x b2 y c2 z d 2 0 . Tính giá trị biểu thức b1b2 c1c2 . B. -9.. C. -7.. D. 9.. (Toán Học Và Tuổi Trẻ 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 3; 2;1 . Mặt phẳng P đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại các điểm A , B , C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng P . A. 3x 2 y z 14 0 . B. 2 x y 3z 9 0 . C. 3x 2 y z 14 0 . D. 2 x y z 9 0 .. Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(178)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG. Chuyên đề 30. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng 1. Một số bài toán liên khác quan điểm – mặt phẳng – mặt cầu Câu 1.. (Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x 1) 2 ( y 2) 2 ( z 3) 2 1 và điểm A(2;3; 4) . Xét các điểm M thuộc ( S ) sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với ( S ) , M luôn thuộc. mặt phẳng có phương trình là A. 2 x 2 y 2 z 15 0 B. x y z 7 0 C. 2 x 2 y 2 z 15 0 D. x y z 7 0 Câu 2.. (Sở Bắc Giang Năm 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A 2; 2;2 và mặt 2. cầu S : x 2 y 2 z 2 1 . Điểm M di chuyển trên mặt cầu OM . AM 6 . Điểm M thuộc mặt phẳng nào sau đây? A. 2 x 2 y 6 z 9 0 . B. 2 x 2 y 6 z 9 0 .. S . đồng thời thỏa mãn. C. 2 x 2 y 6 z 9 0 . D. 2 x 2 y 6 z 9 0 . Câu 3.. 2. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A 2; 2;2 và mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 1 . Điểm M di chuyển trên mặt cầu S đồng thời thỏa mãn OM . AM 6 . Điểm M luôn thuộc mặt phẳng nào dưới đây? A. 2x 2 y 6z 9 0 . B. 2 x 2 y 6z 9 0 . C. 2x 2 y 6z 9 0 . D. 2x 2 y 6z 9 0 .. Câu 4.. (Chuyên. Lê. Quý. 2. Đôn 2. Điện. Biên. Trong. 2019). không. gian. Oxyz ,. cho. mặt. 2. cầu S : x 1 y 1 z 1 1 và điểm A(2; 2; 2) . Xét các điểm M thuộc (S ) sao cho đường thẳng AM luôn tiếp xúc với (S ) . M luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là A. x y z – 6 0 . Câu 5.. B. x y z 4 0 .. C. 3 x 3 y 3z – 8 0 . D. 3 x 3 y 3 z – 4 0 .. (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;2;1 , B 3; 1;1 và. C 1; 1;1 . Gọi S1 là mặt cầu có tâm A , bán kính bằng 2 ; S2 và S3 là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B , C và bán kính đều bằng 1 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu S1 , S2 , S3 . A. 8 Câu 6.. B. 5. C. 7 2. D. 6 2. 2. Trong không gian Oxyz, cho S : x 3 y 2 z 5 36 , điểm M 7;1;3 . Gọi là đường thẳng di động luôn đi qua M và tiếp xúc với mặt cầu S tại N . Tiếp điểm N di động trên đường tròn T có tâm J a, b, c . Gọi k 2a 5b 10c , thì giá trị của k là A. 45 .. B. 50 .. C. 45 .. D. 50 .. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(179)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 7.. (Chuyên. Đại. Học. Vinh. 2019). Trong. không. gian. Oxyz ,. cho. các. điểm. M 2;1; 4 , N 5;0; 0 , P 1; 3;1 . Gọi I a; b; c là tâm của mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng. Oyz . đồng thời đi qua các điểm M , N , P . Tìm c biết rằng a b c 5. A. 3 Câu 8.. B. 2. C. 4. D. 1. (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm H 1; 2; 2 . Mặt phẳng. đi qua. H và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của. tam giác ABC . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC . 81 A. 243 . B. 81 . C. . 2 Câu 9.. D.. 243 . 2. ( HSG Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M 6;0;0 ,. S1 : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 1 0 và cắt nhau theo đường tròn C . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu. N 0;6;0 , P 0;0;6 . Hai mặt cầu có phương trình. S2 : x 2 y 2 z 2 8 x 2 y 2 z 1 0 có tâm thuộc mặt phẳng chứa C và tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP, PM . B. 3 .. A. 1.. Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ. C. Vô số. Oxyz. cho. D. 4 .. A 3;1;1 , B 1; 1; 5 . và mặt phẳng. P : 2 x y 2 z 11 0. Mặt cầu S đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với P tại điểm C . Biết C luôn thuộc một đường tròn T cố định. Tính bán kính r của đường tròn T . A. r 4 . Câu 11.. B. r 2 .. C. r 3 .. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Trong không gian. D. r 2 . Oxyz , cho hai điểm. 5 3 7 3 5 3 7 3 A ; ;3 , B ; ;3 và mặt cầu ( S ) : ( x 1) 2 ( y 2) 2 ( z 3) 2 6 . Xét 2 2 2 2 mặt phẳng ( P ) : ax by cz d 0 , a, b, c, d : d 5 là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua hai điểm A, B . Gọi ( N ) là hình nón có đỉnh là tâm của mặt cầu ( S ) và đường tròn đáy là đường tròn giao tuyến của ( P ) và ( S ) . Tính giá trị của T a b c d khi thiết diện qua trục của hình nón ( N ) có diện tích lớn nhất.. A. T 4 .. B. T 6 .. C. T 2 .. D. T 12 .. Câu 12. Trong không gian Oxyz , xét số thực m 0;1 và hai mặt phẳng : 2 x y 2 z 10 0 và. :. x y z 1 . Biết rằng, khi m thay đổi có hai mặt cầu cố định tiếp xúc đồng thời với cả m 1 m 1. hai mặt phẳng , . Tổng bán kính của hai mặt cầu đó bằng A. 6. B. 3. C. 9. D. 12. Câu 13. Trong không gian Oxyz , mặt cầu S đi qua điểm A 2; 2;5 và tiếp xúc với ba mặt phẳng. P : x 1, Q : y 1 và R : z 1 có bán kính bằng A. 3 .. B. 1.. C. 2 3 .. D. 3 3 .. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(180)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 14.. (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;1; 2 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng P đi qua M và cắt các trục x'Ox, y'Oy, z'Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho OA OB OC 0 ?. A. 8 Câu 15.. B. 1. C. 4. D. 3. (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm. A 3;1;7 , B 5;5;1 và mặt phẳng. P : 2x y z 4 0 .. Điểm M thuộc. P. sao cho. MA MB 35 . Biết M có hoành độ nguyên, ta có OM bằng B. 2 3 .. A. 2 2 . Câu 16.. C. 3 2 .. D. 4 .. (Cụm 5 Trường Chuyên - ĐBSH - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c với a, b, c 0 . Biết rằng. ABC . đi qua điểm. 72 1 1 1 2 2 2 1 2 3 . Tính 2 2 2 . M ; ; và tiếp xúc với mặt cầu S : x 1 y 2 z 3 7 a b c 7 7 7 1 7 A. 14 . B. . C. 7 . D. . 7 2 Câu 17.. (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Trong không gian Oxyz , cho các điểm M 2;1; 4 , N 5;0;0 ,. P 1; 3;1 . Gọi I a; b; c là tâm của mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng Oyz đồng thời đi qua các điểm M , N , P . Tìm c biết rằng a b c 5 . A. 3 . B. 2 . C. 4 . Câu 18.. D. 1. 2. (Sở Nam Định - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 1 4 và điểm. A 2;2; 2 . Từ A kẻ ba tiếp tuyến AB , AC , AD với B , C , D là các tiếp điểm. Viết phương trình mặt phẳng BCD .. Câu 19.. A. 2 x 2 y z 1 0 .. B. 2 x 2 y z 3 0 .. C. 2 x 2 y z 1 0 .. D. 2 x 2 y z 5 0 .. (Hội 8 Trường Chuyên 2019) Trong không gian Oxyz , 2. 2. 2. S : S và. cho hai mặt cầu. 2. x 2 y 2 z 1 25 và S : x 1 y 2 z 3 1. Mặt phẳng P tiếp xúc. cắt S theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng 6 . Khoảng cách từ O đến P bằng A. Câu 20.. 14 . 3. B.. 17 . 7. C.. 8 . 9. D.. 19 . 2. (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;11; 5 và mặt phẳng P : 2mx m 2 1 y m 2 1 z 10 0 . Biết rằng khi m thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng P và cùng đi qua A . Tổng bán kính của hai mặt cầu đó bằng A. 10 2 .. Câu 21.. B. 12 3 .. C. 12 2 .. D. 10 3 .. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu. S : x 1. 2. 2. 2. y 1 z 1 1 và điểm A 2;2;2 . Xét các điểm M thuộc mặt cầu S sao. cho đường thẳng AM luôn tiếp xúc với S . M luôn thuộc mặt phẳng cố định có phương trình là A. x y z 6 0 .. B. x y z 4 0 Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(181)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 C. 3 x 3 y 3 z 8 0 . D. 3 x 3 y 3 z 4 0 .. Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 4 x 4 y 2 z 7 0 và dm. đường thẳng. là giao tuyến của hai mặt phẳng. x 1 2m y 4mz 4 0. và. 2 x my 2m 1 z 8 0 . Khi đó m thay đổi các giao điểm của d m và S nằm trên một đường tròn cố định. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r Câu 23.. 142 . 15. B. r . 92 . 3. C. r . 23 . 3. 586 . 15. D. r . (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu S có phương trình x 2 y 2 z 2 2 a 4b x 2 a b c y 2 b c z d 0 , tâm I nằm trên mặt phẳng cố định. Biết rằng 4a b 2c 4 . Tìm khoảng cách từ điểm D 1; 2; 2 đến mặt phẳng . A.. Câu 24.. 15 . 23. B.. 1 . 915. C.. 9 . 15. D.. 1 . 314. (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , điểm. M a, b, c . thuộc. mặt. phẳng. P : x y z 6 0. và. cách. đều. các. điểm. A 1;6;0 , B 2;2; 1 , C 5; 1;3 . Tích abc bằng A. 6. B. 6. C. 0. D. 5. Dạng 2. Cực trị 1. Một số bất đẳng thức cơ bản Kết quả 1. Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn thì lớn hơn Kết quả 2. Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất. Như trong hình vẽ ta luôn có AM AH. Kết quả 3. Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có bất đẳng thức AB BC AC . Tổng quát hơn ta có bất đẳng thức của đường gấp khúc: Với n điểm A1 , A2 ,.... An ta luôn có A1 A2 A2 A3 ... An 1 An A1 An. x y 2 xy . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y Kết quả 4. Với hai số không âm x, y ta luôn có 2 Kết quả 5. Với hai véc tơ a, b ta luôn có a.b a . b . Đẳng thức xảy ra khi a kb, k 2. Một số bài toán thường gặp Bài toán 1. Cho điểm A cố định và điểm M di động trên hình H ( H là đường thẳng, mặt phẳng). Tìm giá trị nhỏ nhất của AM. Lời giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên hình H . Khi đó, trong tam giác AHM Vuông tại . M ta có AM AH . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(182)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Đẳng thức xảy ra khi M H . Do đó AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A lên H Bài toán 2. Cho điểm A và mặt cầu S có tâm I , bán kính R, M là điểm di động trên S . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của AM .. Lời giải. Xét A nằm ngoài mặt cầu ( S ). Gọi M 1 , M 2 lần lượt là giao điểm của đường thẳng AI với mặt cầu ( S ) AM 1 AM 2 và ( ) là mặt phẳng đi qua M và đường thẳng AI . Khi đó ( ) cắt ( S ) theo một đường tròn lớn (C ). Ta có M MM 90 , nên AMM 2 và AM M là các góc tù, nên trong các tam giác 1. 2. 1. AMM 1 và AMM 2 ta có AI R AM 1 AM AM 2 AI R Tương tự với A nằm trong mặt cầu ta có R AI AM R AI Vậy min AM | AI R |, max AM R AI Bài toán 3. Cho măt phẳng ( P) và hai điểm phân biệt A, B. Tìm điể M thuộc ( P) sao cho 1. MA MB nhỏ nhất. 2. | MA MB | lớn nhất. Lời giải. 1. Ta xét các trường hợp sau - TH 1: Nếu A và B nằm về hai phía so với ( P) . Khi đó AM BM AB Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( P) . - TH 2: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( P) . Gọi A đối xứng với A qua ( P) . Khi đó AM BM A M BM A B Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( P) .. 2. Ta xét các trường hợp sau - TH 1: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( P) . Khi đó | AM BM | AB Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( P) . - TH 2: Nếu A và B nằm khác phía so với ( P) . Gọi A ' đối xứng với A qua P , Khi đó. | AM BM | A M BM A B Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( P) . Bài toán 4. Viết phương trinh măt phẳng ( P) di qua A và cách B một khoảng lớn nhất.. Lời giải. Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng ( P), khi đó Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(183)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. d( B, ( P)) BH BA Do đó P là mặt phẳng đi qua A vuông góc với AB Bài toán 5. Cho các số thực dương , và ba điểm A, B, C. Viết phương trình măt phẳng ( P) đi qua C và T d( A, ( P)) d( B, ( P)) nhỏ nhất. Lời giải. 1. Xét A, B nằm về cùng phía so với ( P) . - Nếu AB‖( P ) thì P ( )d( A, ( P)) ( ) AC - Nếu đường thẳng AB cắt ( P) tại I . Gọi D là điểm thỏa mãn IB ID và E là trung điểm BD. Khi đó IB P d( A,( P)) d( D,( P)) 2 d( E , ( P )) 2( ) EC ID 2. Xét A, B nằm về hai phía so với ( P) . Gọi I là giao điểm của AB và ( P ), B là điểm đối xứng với B qua I . Khi đó P d( A, ( P)) d B , ( P) Đến đây ta chuyển về trường hợp trên. So sánh các kết quả ở trên ta chọn kết quả lớn nhất. Bài toán 6. Trong không gian cho n điểm A1 , A2 ,, An và diểm A. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A và tổng khoảng cách từ các điểm Ai (i 1, n ) lớn nhất. Lời giải. - Xét n điểm A1 , A2 ,, An nằm cùng phía so với ( P). Gọi G là trọng tâm của n điểm đã cho. Khi đó n. d A , ( P) nd(G, ( P)) nGA i. i 1. - Trong n điểm trên có m điểm nằm về một phía và k điểm nằm về phía khác (m k n ). Khi đó, gọi G1 là trọng tâm của m điểm, G2 là trọng tâm của k điểm G3 đối xứng với G1 qua A. Khi dó P md G3 , ( P ) kd G2 , ( P ) . Đến đây ta chuyển về bài toán trên. Bài toán 7.Viết phương trình mặt phẳng P đi qua đường thẳng và cách A một khoảng lớn nhất. Lời giải. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên mặt phẳng ( P) và đường thẳng . Khi đó d( A, ( P)) AH AK Do đó ( P) là mặt phẳng đi qua K và vuông góc vói AK . Bài toán 8. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A1 , A2 , , An . Xét véc tơ w 1 MA1 2 M A2 n M An Trong đó 1 ; 2 ... n là các số thực cho trước thỏa mãn 1 2 ... n 0 . Tìm điểm M thuôc măt phẳng ( P) sao cho | w | có đô dài nhỏ nhất. Lời giải. Gọi G là điểm thỏa mãn 1GA1 2GA2 nGAn 0 (điểm G hoàn toàn xác định). Ta có MAk MG GAk vói k 1; 2;; n, nên Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(184)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 w 1 2 n MG 1GA1 2GA2 nGAn 1 2 n MG. Do đó | w | 1 2 n | MG |. Vi 1 2 n là hằng số khác không nên | w | có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất, mà M ( P) nên điểm M cần tìm là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( P) . Bài toán 9. Trong không gian Oxy z, cho các diểm A1 , A2 ,, An . Xét biểu thức: T 1MA12 2 MA22 n MAn2 Trong đó 1 , 2 ,, n là các số thực cho trước. Tìm điểm M thuộc măt phẳng ( P) sao cho 1. T giá trị nhỏ nhất biết 1 2 n 0 . 2. T có giá trị lớn nhất biết 1 2 n 0 . Lời giải. Gọi G là điểm thỏa mãn 1GA1 2GA2 n GAn 0 Ta có MAk MG GAk với k 1;2;; n, nên 2 MAk2 MG GAk MG 2 2 MG GAk GAk2. . . Do đó T 1 2 n MG 2 1GA12 2GA22 n GAn2 Vì 1GA12 2GA22 nGAn2 không đổi nên • với 1 2 n 0 thì T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. • với 1 2 n 0 thì T đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. Mà M ( P) nên MG nhỏ nhất khi điểm M là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( P) . Bài toán 10. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng ( P) cắt nhau. Viết phương trình của mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng ( P) một góc nhỏ nhất.. Lời giải. Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( P) và lấy điểm M d , M I . Gọi H , K lầ lượt là hình chiếu của M lên ( P) và giao tuyến của ( P) và (Q) . , do đó Đặt là góc giữa ( P) và (Q), ta có MKH. HM HM HK HI Do đó (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mặt phẳng ( MHI ), nên (Q) đi qua M và nhận nP ud ud làm VTPT. tan . Chú ý. Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đai số như sau: - Goi n (a; b; c), a 2 b 2 c 2 0 là một VTPT của mặt phẳng (Q). Khi đó n ud 0 từ đây ta rút được a theo b, c (hoặc b theo a, c hoặc c theo a, b ). - Gọi là góc giữa ( P) và (Q), ta có n nP cos f (t ) | n | nP Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(185)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. b với t , c 0. Khảo sát f (t ) ta tìm được max của f (t ) c Bài toán 11. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d chéo nhau. Viết phương trinh mặt phẳng ( P) chứa d và tạo với d một góc lớn nhất.. Lời giải. Trên đường thẳng d , lấy điểm M và dựng đường thẳng đi qua M song song với d . Khi đó góc giữa và ( P) chính là góc giữa d và ( P) . Trên đường thẳng , lấy điểm A . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên ( P) và d , là góc giữa và ( P) . HM KM Khi đó AMH và cos AM AM Suy ra ( P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng ( AMK ). Do dó ( P) đi qua M và nhận ud ud ud làm VTPT.. . . Chú ý. Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đại số như sau: - Goi n (a; b; c), a 2 b 2 c 2 0 là một VTPT của măt phẳng ( P). Khi đó n ud 0 từ đây ta rút được a theo b, c (hoặc b theo a, c hoặc c theo a, b ). - Gọi là góc giữa ( P) và d , ta có n ud sin f (t ) | n | ud . b với t , c 0. Khảo sát f (t ) ta tìm được max của f (t ) c Dạng 2.1. Cực trị liên quan đến bán kính, diện tích, chu vi, thể tích Câu 1.. (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3; 2;6 , B 0;1; 0 và mặt 2. 2. 2. cầu S : x 1 y 2 z 3 25 . Mặt phẳng P : ax by cz 2 0 đi qua A, B và cắt. S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T a b c A. T 3 Câu 2.. B. T 4. C. T 5. D. T 2. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Mặt phẳng P đi qua điểm M 1;1;1 cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại A a;0;0 , B 0; b; 0 , C 0;0;c sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất. Khi. đó a 2b 3c bằng A. 12 . Câu 3.. B. 21 .. C. 15 .. D. 18 .. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 2;0;0 , M 1;1;1 . Mặt phẳng P thay đổi qua. AM và cắt các tia Oy , Oz lần lượt tại B , C . Khi mặt phẳng P thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?. A. 5 6 .. B. 4 6 .. C. 3 6 .. D. 2 6 .. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(186)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 4.. 2. 2. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y 2 z 3 9 , điểm A 0; 0; 2 . Mặt phẳng P qua A và cắt mặt cầu S theo thiết diện là hình tròn C có diện. tích nhỏ nhất, phương trình P là:. Câu 5.. A. P : x 2 y 3 z 6 0 .. B. P : x 2 y 3 z 6 0 .. C. P : 3 x 2 y 2 z 4 0 .. D. P : x 2 y z 2 0 .. (Bỉm. Sơn. -. 2. Thanh. Hóa. 2. -. 2019). Trong. không. gian. cho. Oxyz. mặt. cầu. 2. ( S ) : x 1 y 2 z 3 27 . Gọi là mặt phẳng đi qua 2 điểm A 0;0; 4 , B 2;0;0 . và cắt S theo giao tuyến là đường tròn C sao cho khối nón có đỉnh là tâm của S , là hình tròn C có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng có phương trình dạng ax by z c 0 , khi đó a b c bằng: A. 8.. Câu 6.. B. 0.. C. 2.. D. -4.. 5 3 7 3 5 3 7 3 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ; ;3 , B ; ;3 và mặt cầu 2 2 2 2 . (S ) : ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 6 .. a, b, c, d : d 5. Xét. mặt. phẳng. ( P ) : ax by cz d 0 ,. là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua hai điểm A, B . Gọi ( N ) là hình nón có. đỉnh là tâm của mặt cầu ( S ) và đường tròn đáy là đường tròn giao tuyến của ( P ) và ( S ) . Tính giá trị của T a b c d khi thiết diện qua trục của hình nón ( N ) có diện tích lớn nhất. B. T 6 .. A. T 4 . Câu 7.. C. T 2 .. D. T 12 .. (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm. A 0; 1; 1 , B 1; 3;1 .. P :2 x y 2 z 1 0. Giả. sử. C, D. là. hai. điểm. di. động. trên. mặt. phẳng. sao cho CD 4 và A, C , D thẳng hàng. Gọi S1 , S 2 lần lượt là diện tích. lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BCD . Khi đó tổng S1 S 2 có giá trị bằng bao nhiêu? A. Câu 8.. 34 . 3. B.. 37 . 3. C.. 11 . 3. D.. 17 . 3. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x y 2 z 1 0 và các điểm A 0;1;1 ; B 1;0;0 ( A và B nằm trong mặt phẳng P ) và mặt 2. 2. 2. cầu S : x 2 y 1 z 2 4 . CD là đường kính thay đổi của S sao cho CD song song với mặt phẳng P và bốn điểm A, B , C , D tạo thành một tứ diện. Giá trị lớn nhất của tứ diện đó là A. 2 6 . Câu 9.. B. 2 5 .. C. 2 2 .. D. 2 3 .. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có điểm A 1;1;1 , B 2; 0; 2 , C 1; 1; 0 ,. D 0;3; 4 . Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B, C , D. AB AC AD 4 . Viết phương trình mặt phẳng BC D biết tứ diện ABCD có thể AB AC AD tích nhỏ nhất? A. 16 x 40 y 44 z 39 0 B. 16 x 40 y 44 z 39 0. thỏa. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(187)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. C. 16 x 40 y 44 z 39 0 Câu 10.. Trong. không. gian. 2. S : x 1 y 1. 2. D. 16 x 40 y 44 z 39 0 Oxyz ,. cho. hai. điểm. A 1;2; 4 , B 0;0;1. và. mặt. cầu. z 2 4 . Mặt phẳng P : ax by cz 4 0 đi qua A, B và cắt S theo. giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T a b c ? 1 3 A. T . B. T . C. T 1 . D. T 2 . 5 4 Câu 11. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng. P :. x y 2 0 và hai điểm A 1;2;3 , B 1;0;1 . Điểm C a; b; 2 P sao cho tam giác ABC có. diện tích nhỏ nhất. Tính a b A. 0. B. 3 .. C. 1.. D. 2.. Câu 12. (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , mặt phẳng P đi qua điểm M 1;2;1 cắt các tia Ox, Oy , Oz lần lượt tại các điểm A, B, C ( A, B, C không trùng với gốc O ) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng P đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây? A. N 0; 2; 2 . B. M 0; 2;1. C. P 2;0;0 . D. Q 2;0; 1. Câu 13. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P đi qua điểm M 9;1;1 cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C ( A, B, C không trùng với gốc tọa độ ). Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? 81 243 81 A. . B. . C. . 2 2 6. D. 243 .. Câu 14. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 3 . Một mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S và cắt các tia Ox , O y , Oz lần lượt tại. A.. 3 3 . 2. A, B, C thỏa mãn OA2 OB 2 OC 2 27 . Diện tích tam giác ABC bằng B.. 9 3 . 2. C. 3 3 .. D. 9 3 .. Dạng 2.2. Cực trị liên quan đến giá trị biểu thức Câu 15.. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 2; 4 , B 3;3; 1 và mặt phẳng. P : 2x y 2z 8 0 .. 2 MA2 3MB 2 bằng A. 145. Câu 16.. Xét M là điểm thay đổi thuộc. B. 135. C. 105. giá trị nhỏ nhất của. D. 108. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2; 2; 4 , B 3; 3; 1 , C 1; 1; 1 và mặt phẳng. P : 2 x y 2z 8 0 . Xét điểm. M thay đổi thuộc P , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. T 2 MA 2 MB 2 MC 2 . A. 102. B. 105.. Câu 17.. P ,. (Chuyên. Quang. Trung-. C. 30. Bình. Phước. 2019). D. 35. Trong. không. gian. Oxyz ,. cho. A0;1; 2 , B 1;1;0 , C 3;0;1 và mặt phẳng Q : x y z 5 0 . Xét điểm M thay đổi thuộc. Q . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA2 MB 2 MC 2 bằng Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(188)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 34 A. . 3 Câu 18. (Chuyên. 22 B. . 3 Sơn 2019). Lam. C. 0 . Trong. hệ. A( 1;3;5); B (2; 6; 1); C 4; 12;5 và mặt phẳng. 26 . 3. D. trục. tọa. Oxyz cho. độ. P : x 2 y 2z 5 0 .. động trên P . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S MA MB MC là A. 42 Câu 19.. B. 14 .. C. 14 3 .. D.. điểm. Gọi M là điểm di. 14 . 3. Trong không gian Oxyz cho các điểm A 1; 1;3 , B 2;1; 0 , C 3; 1; 3 và mặt phẳng. P : x y z 4 0 .. Gọi M a , b, c là điểm thuộc mặt phẳng P sao cho biểu thức T 3MA 2 MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức S a b c . A. S 3 . Câu 20.. (Ngô. B. S 1 .. Quyền. -. Hải. Phòng. C. S 2 . 2019). Trong. D. S 1 .. không. Oxyz ,. gian. cho. ba. điểm. A 1;1;1 , B 1; 2; 0 , C 3; 1; 2 và điểm M thuộc mặt phẳng : 2 x y 2 z 7 0 . Tính giá trị nhỏ nhất của P 3MA 5MB 7 MC .. A. Pmin 20 . Câu 21.. B. Pmin 5 .. C. Pmin 25 .. D. Pmin 27 .. (SGD Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 4;5 , B 3; 4; 0 , C 2; 1; 0 và mặt phẳng P : 3 x 3 y 2 z 29 0 . Gọi M a ; b ; c là điểm thuộc. P. sao cho biểu thức T MA2 MB 2 3MC 2 đạt GTNN. Tính tổng a b c .. A. 8. Câu 22.. C. 10 .. B. 10.. D. 8 .. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 0;0;1 , B 1;1;0 , C 1;0; 1 . Điểm M thuộc mặt phẳng P : 2 x 2 y z 2 0 sao cho 3MA2 2MB 2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất đó bằng 13 A. . 6. Câu 23.. 17 . 2. B.. Trong không. gian. C.. Oxyz , cho hai điểm. 61 . 6. D.. A3;1; 3 ,. 23 . 2. B 0; 2;3. và mặt cầu. ( S ) : x 1 y 2 z 3 1 . Xét điểm M thay đổi luôn thuộc mặt cầu ( S ) , giá trị lớn nhất 2. 2. của MA2 2 MB 2 bằng A. 102 . B. 78 . Câu 24.. C. 84 .. D. 52 .. (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa -2019) Trong không gian Oxyz , cho các điểm A 0; 0 ; 2 và B 3; 4;1 . Gọi. P. là 2. mặt. phẳng. 2. 2. chứa. đường. tròn. giao. tuyến. của. S1 : x 1 y 1 z 3 25 với S2 : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 14 0 . thuộc P sao cho MN 1 . Giá trị nhỏ nhất của AM BN là A.. 34 1 .. B. 5 .. C.. 34 .. hai. mặt. cầu. M , N là hai điểm. D. 3 .. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(189)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 25.. (SGD Điện Biên - 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2; 2;4 , B 3;3; 1 ,. C 1; 1; 1 và mặt phẳng P : 2 x y 2 z 8 0 . Xét điểm M thay đổi thuộc P , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 2 MA2 MB 2 MC 2 . A. 102. B. 105. C. 30.. D. 35.. Câu 26. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm. A 10; 5;8 B 2;1; 1 , ,. C 2;3;0 . P : x 2 y 2 z 9 0 . Xét M là điểm thay đổi trên và mặt phẳng MA2 2 MB 2 3MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính MA2 2 MB 2 3MC 2 . A. 54 . B. 282 . C. 256 . D. 328 .. P. sao cho. Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho A 4; 2; 6 ; B 2; 4; 2 ; M : x 2 y 3 z 7 0 sao cho MA.MB. nhỏ nhất, khi đó tọa độ của M là 29 58 5 A. ; ; B. 4;3;1 13 13 13 Câu 28.. 37 56 68 D. ; ; 3 3 3 . C. 1;3; 4 . (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Trong hệ trục Oxyz, cho điểm A 1;3;5 , B 2; 6; 1 ,. C 4; 12;5 và mặt phẳng P : x 2 y 2 z 5 0. Gọi M là điểm di động trên P . Gía trị nhỏ nhất của biểu thức S MA MB MC là A. 42. Câu 29.. B. 14.. C. 14 3.. D.. 14 . 3. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm. A 1; 2;5 , B 3; 1;0 , C 4; 0; 2 . Gọi I là điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho biểu thức IA 2 IB 3IC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng P : 4 x 3 y 2 0 . A.. 17 . 5. B. 6 .. C.. 12 . 5. D. 9 .. Câu 30. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 3; 2; 2 , B 2; 2;0 và mặt phẳng. P : 2 x y 2 z 3 0. Xét các điểm M , N của biểu thức 2 AM 2 3BN 2 bằng A. 49,8. B. 45.. di động trên P sao cho MN 1. Giá trị nhỏ nhất D. 55,8.. C. 53.. Câu 31. (THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A a; b; c với. c. 5 a 2 b 2 c 2 9 ab 2bc ca . a,. b,. Q. a 1 có giá trị lớn nhất. Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của b 2 c 2 a b c 3. là. các. số. thực. dương. thỏa. mãn. A lên các tia Ox , Oy , Oz . Phương trình mặt phẳng MNP là. A. x 4 y 4 z 12 0 . B. 3 x 12 y 12 z 1 0 . C. x 4 y 4 z 0 .. D. 3 x 12 y 12 z 1 0 .. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương và.
<span class='text_page_counter'>(190)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 32. (Sở. Bắc. Giang. 2. 2019). 2. x 1 y 1 z 2 2. 2. Cho. là. các. a b c 3.. và. 1. 2. x, y , z , a , b, c. số. Tìm. thực. thay. giá. đổi. trị. nhỏ. thỏa. mãn. nhất. của. 2. P x a y b z c .. A.. 3 1.. B.. 3 1.. C. 4 2 3.. D. 4 2 3.. Câu 33. (Chuyên Sơn La 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;0;0 và B 2;3;4 . Gọi P 2. 2. là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu S1 : x 1 y 1 z 2 4 và. S2 : x2 y 2 z 2 2 y 2 0 . Xét. M , N là hai điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng. P. sao cho. MN 1 . Giá trị nhỏ nhất của AM BN bằng A. 5. B. 3. C. 6. D. 4. Câu 34. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu. S : x2 y2 z 2 1. Điểm. M S có tọa độ dương; mặt phẳng P tiếp xúc với S tại M cắt. các tia Ox ; Oy ; Oz tại các điểm. T 1 OA. 2. 2. A. 24. B. 27. Dạng 2.3. Cực trị liên quan đến góc, khoảng cách Câu 35.. B , C . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức. A,. 1 OB 1 OC là: 2. C. 64.. D. 8.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A a , 0, 0 , B 0, b, 0 ,C 0, 0, c với a,b,c là những số dương thay đổi thỏa mãn a 2 4b 2 16c 2 49 . Tính tổng S a 2 b 2 c 2 khi khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC đạt giá trị lớn nhất. A. S . Câu 36.. 51 . 5. B. S . 49 . 4. C. S . 49 . 5. D. S . 51 . 4. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn. . . A 1;0;0 , B 2;1;3 , C 0; 2; 3 , D 2;0; 7 . Gọi M là điểm thuộc mặt cầu 2 2 S : x 2 y 4 z 2 39 thỏa mãn MA2 2MB.MC 8 . Biết rằng đoạn thẳng MD đạt. điểm. giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó? A. Câu 37.. 7.. B. 2 7 .. (Bình. Giang-Hải 2. Dương. 2. C. 3 7 . 2019). D. 4 7 .. A 0;8;2 . Cho. và. mặt. cầu. 2. S : x 5 y 3 z 7 72 và điểm A 9; 7; 23 . Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A và tiếp xúc với mặt cầu S sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng P là lớn nhất. Giải sử n 1; m; n là một vectơ pháp tuyến của P . Lúc đó A. m.n 4 . Câu 38.. B. m.n 2 .. C. m.n 4 .. D. m.n 2 .. Cho x, y , z là ba số thực thỏa x 2 y 2 z 2 4 x 6 y 2 z 11 0 . Tìm giá trị lớn nhất của P 2x 2 y z .. A. max P 20 . Câu 39.. (Sở. Nam. B. max P 18 . Định. -. 2019). Trong. C. max P 18 . không. gian. D. max P 12 . Oxyz ,. cho. các. điểm. M m ; 0 ; 0 , N 0 ; n ; 0 , P 0 ; 0 ; p không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn m 2 n 2 p 2 3 .. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng MNP . Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(191)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 A. . B. 3. Câu 40.. C.. 1 . 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng. D.. 1 . 27. P : x 2 y 2z 3 0. và mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 5 0. Giả sử M P và N S sao cho MN cùng phương với vectơ u 1;0;1 và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN . A. MN 3. Câu 41.. 3.. B. MN 1 2 2. C. MN 3 2. D. MN 14. Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A 2;0;1 , B 3;1;5 , C 1; 2;0 , D 4; 2;1 . Gọi là mặt phẳng đi qua D sao cho ba điểm A , B , C nằm cùng phía đối với và tổng khoảng cách từ các điểm A , B , C đến mặt phẳng là lớn nhất. Giả sử phương trình có dạng: 2 x my nz p 0 . Khi đó, T m n p bằng:. A. 9. Câu 42.. B. 6.. C. 8.. D. 7.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi (P ) :ax b y c z 3 0 ( a, b, c là các số nguyên không đồng thời bằng 0 ) là phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm M 0; 1;2, N 1;1; 3 và không đi qua H 0; 0;2 . Biết rằng khoảng cách từ H 0; 0;2 đến mặt phẳng (P ) đạt giá trị lớn nhất. Tổng P a 2b 3c 12 bằng A. 8 . B. 16 .. Câu 43.. C. 12 .. D. 16 .. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng. P : x y 2z 0 . Phương trình mặt phẳng Q chứa trục hoành và tạo với P một góc nhỏ nhất là A. y 2z 0. Câu 44.. B. y z 0.. C. 2 y z 0.. D. x z 0.. (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng P đi qua điểm A 1; 7; 2 và cách M 2; 4; 1 một khoảng lớn nhất có phương trình là A. P :3 x 3 y 3 z 10 0 .. B. P : x y z 1 0 .. C. P : x y z 10 0 .. D. P : x y z 10 0 .. Câu 45. (HSG Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A( a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c ) , trong đó a , b, c là các số thực thỏa mãn. 2 2 1 1 . Khoảng a b c. cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ABC có giá trị lớn nhất bằng: A. 3. B. 4. C. 2. Câu 46. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Trong không gian. D. 1 Oxyz ,. cho mặt phẳng. ( P ) : x 2 y 2 z 3 0 và hai điểm A 1;2;3 , B 3;4;5 . Gọi M là một điểm di động trên ( P ) .. Câu 47.. Giá trị lớn nhất của biểu thức. MA 2 3 bằng MB. A. 3 3 78 .. 54 6 78 .. B.. C. 8 2 .. D. 6 3 .. (Chuyên Hạ Long 2019) Cho A 4;5;6 ; B 1;1;2 , M là một điểm di động trên mặt phẳng. P :2 x y 2 z 1 0 . Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(192)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Khi đó MA MB nhận giá trị lớn nhất là? A.. 77 .. B.. C. 7 .. 41 .. D.. 85 .. Câu 48. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;1; 2 và mặt phẳng P : m 1 x y mz 1 0 , với m là tham số. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P lớn nhất. Khẳng định đúng trong bốn khẳng định dưới đây là A. 2 m 6 . B. m 6 .. C. 2 m 2 .. D. 6 m 2 .. Câu 49. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm. A 1; 2; 1 , B 3; 0;3 . Biết mặt phẳng. P. đi qua điểm A và cách B một khoảng lớn nhất.. Phương trình mặt phẳng P là: A. x 2 y 2z 5 0 .. B. x y 2 z 3 0 .. C. 2x 2 y 4z 3 0 . D. 2x y 2z 0 . Câu 50. (Sở Bắc Giang 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 4;9 . Gọi P là mặt phẳng đi qua M và cắt 3 tia Ox, Oy , Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O ) sao cho OA OB OC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách d từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng P . A. d . 36 . 7. B. d . 24 . 5. C. d . 8 . 3. D. d . 26 . 14. Câu 51. Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; 4;9) . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O) sao cho OA OB OC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách d từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P). 26 36 24 8 B. d C. d D. d A. d 3 7 5 14 Câu 52. (THPT Ba Đình -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng. P : x 2 y 2z 3 0 N S sao cho MN. và mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 5 0 . Giả sử M P và cùng phương với vectơ u 1;0;1 và khoảng cách giữa M và N lớn. nhất. Tính MN . B. MN 1 2 2 .. A. MN 3 . Câu 53.. C. MN 3 2 .. D. MN 14 .. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1;0;0) ,. B(2;1;3) ,. C (0;2; 3) ,. D (2;0; 7 ) .. là điểm thuộc mặt cầu Gọi M ( S ) : ( x 2) 2 ( y 4)2 z 2 39 thỏa mãn: MA2 2MB.MC 8 . Biết độ dài đoạn thẳng MD đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. A. 2 7 .. B.. 7.. C. 3 7 .. D. 4 7 .. Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(193)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chuyên đề 30. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng 1. Xác định véc tơ pháp tuyến Véctơ pháp tuyến n của mặt phẳng ( P) là véctơ có giá vuông góc với ( P). Nếu n là một véctơ pháp tuyến của ( P) thì k .n cũng là một véctơ pháp tuyến của ( P). n Nếu mặt phẳng ( P ) có cặp véctơ chỉ phương là u1 , u2 thì ( P) có véctơ pháp tuyến là n [u1 , u2 ]. Mặt phẳng ( P) : ax by cz d 0 có một véctơ pháp tuyến là n (a; b; c). u2 u2 P. Câu 1.. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng : 3 x 2 y 4 z 1 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ? A. n2 3;2;4 . B. n3 2; 4;1 . C. n1 3; 4;1 .. D. n4 3;2; 4 .. Lời giải Chọn D. Mặt phẳng : 3x 2 y 4 z 1 0 có vectơ pháp tuyến n 3;2; 4 Câu 2.. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x 3 y z 2 0 . Véctơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của P ? A. n3 2;3; 2 . B. n1 2;3;0 . C. n2 2;3;1 .. D. n4 2;0;3 .. Lời giải Chọn C Véctơ pháp tuyến của P là n2 2;3;1 . Câu 3.. (Mã 101 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng : 2 x 4 y z 3 0 . Véctơ nào sau đây là véc tơ pháp tuyến của ? A. n1 2; 4; 1 . B. n2 2; 4;1 .. C. n3 2; 4;1 .. D. n1 2; 4;1 .. Lời giải Chọn A. Mặt phẳng : 2 x 4 y z 3 0 có một véctơ pháp tuyến là n 2; 4; 1 . Câu 4.. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng : 2 x 3 y 4 z 1 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ? A. n3 2; 3; 4 . B. n2 2; 3; 4 . C. n1 2; 3; 4 .. D. n4 2; 3; 4 .. Lời giải Chọn A. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng : 2 x 3 y 4 z 1 0 là n3 2; 3; 4 . Câu 5.. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , Cho mặt phẳng : 2 x y 3 z 5 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ? Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(194)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. n3 2;1;3 .. B. n4 2;1; 3 .. C. n2 2; 1;3 .. D. n1 2;1;3 .. Lời giải Chọn C Câu 6.. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng : x 2 y 4 z 1 0 .Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ? . A. n3 1; 2;4 .. . B. n1 1;2; 4 .. . C. n2 1;2;4 .. . D. n4 1;2;4 . Lời giải Chọn Câu 7.. A.. (Đề Minh Họa 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 3x z 2 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của P ? A. n2 3;0; 1 B. n1 3; 1; 2 C. n3 3; 1;0 . D. n4 1;0; 1. Lời giải Chọn A. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P : 3x z 2 0 là n2 3;0; 1 . Câu 8.. (Mã 104 2018) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P : 2 x y 3z 1 0 có một vectơ pháp tuyến là: A. n3 2;1;3. B. n2 1;3; 2 . C. n4 1;3; 2 . D. n1 3;1; 2 . Lời giải Chọn A Mặt phẳng P : 2 x y 3z 1 0 có một vectơ pháp tuyến là 2;1;3 . Câu 9.. (Mã 101 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x 2 y 3 z 1 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( P ) ? A. n3 1; 2; 1 . B. n4 1; 2;3 .. C. n1 1;3; 1 .. D. n2 2;3; 1 .. Lời giải Chọn B. Từ phương trình mặt phẳng (P) suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là n4 1; 2;3 .. Câu 10.. (Mã 103 2018) Trong không giam Oxyz , mặt phẳng P : 2 x 3 y z 1 0 có một vectơ pháp tuyến là A. n1 2;3; 1. B. n3 1;3; 2 . C. n4 2;3;1. D. n2 1;3; 2 . Lời giải Chọn C. Mặt phẳng P : 2 x 3 y z 1 0 có một vectơ pháp tuyến là n4 2;3;1 .. Câu 11.. (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x y 3 z 1 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của P ? A. n3 2;3;1 . B. n1 2; 1; 3 .. C. n4 2;1;3 .. D. n2 2; 1;3 .. Lời giải Chọn D Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(195)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Mặt phẳng P : 2 x y 3z 1 0 có một vectơ pháp tuyến là n2 2; 1;3 Câu 12.. (Mã 103 -2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x 3 y z 2 0 . Véctơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của P A. n1 2; 3;1 . B. n 4 2;1; 2 .. C. n3 3;1; 2 .. D. n 2 2; 3; 2 .. Lời giải Chọn A. P : 2 x 3 y z 2 0 . Véctơ Câu 13.. n1 2; 3;1 là một véctơ pháp tuyến của P .. (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 4 x 3 y z 1 0 . Véctơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của P A. n 4 3;1; 1 . B. n 3 4;3;1 .. C. n 2 4; 1;1 .. D. n1 4;3; 1 .. Lời giải Chọn B P : 4x 3y z 1 0 . Véctơ n 3 4;3;1 là một véctơ pháp tuyến của P . Câu 14.. (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P :3x 2 y z 4 0 có một vectơ pháp tuyến là A. n2 3; 2;1. B. n1 1; 2;3. C. n3 1; 2;3. D. n4 1; 2; 3 . Lời giải Chọn A. Mặt phẳng P :3x 2 y z 4 0 có một vectơ pháp tuyến là n2 3; 2;1 .. Câu 15.. (Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng P : x 2 y 3z 5 0 có một véc tơ pháp tuyến là A. n3 1; 2;3. B. n4 1;2; 3. C. n2 1; 2;3. D. n1 3; 2;1. Lời giải Chọn C. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P : x 2 y 3z 5 0 là: n2 1; 2;3 . Câu 16.. (Mã 123 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vectơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng Oxy ? A. i 1; 0; 0 B. m 1;1;1. C. j 0;1; 0 . D. k 0; 0; 1. Lời giải Chọn D. Do mặt phẳng Oxy vuông góc với trục Oz nên nhận véctơ k 0; 0; 1 làm một véc tơ pháp tuyến Câu 17.. (THPT Lý Thái Tổ 2019) Cho mặt phẳng : 2 x 3 y 4 z 1 0 . Khi đó, một véc tơ pháp tuyến của A. n 2;3; 4 .. B. n 2; 3; 4 .. C. n 2;3; 4 .. D. n 2;3;1 .. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(196)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải Chọn C. Mặt phẳng : 2 x 3 y 4 z 1 0 có một véc tơ pháp tuyến n0 2; 3; 4 . Nhận thấy n 2;3; 4 n0 , hay n cùng phương với n0 . Do đó véc tơ n 2;3; 4 cũng là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng Câu 18.. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 3x – z 2 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của P ? A. n4 (1;0; 1). B. n1 (3; 1; 2). C. n3 (3; 1;0). D. n2 (3;0; 1). Lời giải Chọn D Câu 19. Trong không gian Oxyz , véctơ nào dưới đây có giá vuông góc với mặt phẳng. : 2 x 3 y 1 0 ?. A. a 2; 3;1. B. b 2;1; 3. C. c 2; 3; 0. D. d 3; 2; 0 . Lời giải Chọn C. Mặt phẳng có một VTPT là n 2; 3; 0 c . Câu 20.. (THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Trong không gian Oxyz , một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. x y z 1 là 2 1 3 A. n (3;6; 2). C. n (3; 6; 2) D. n (2; 1;3) Lời giải x y z 1 1 1 x y z 1 0. 3x 6 y 2 z 6 0. Phương trình 2 1 3 2 3 Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng n (3;6; 2) . Câu 21.. B. n (2; 1;3). (THPT Ba Đình 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho phương trình tổng quát của mặt phẳng. P : 2 x 6 y 8 z 1 0 . Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P có tọa độ là: A. 1; 3; 4 B. 1; 3; 4 C. 1; 3; 4 D. 1; 3; 4 Lời giải Phương trình tổng quát của mặt phẳng P : 2 x 6 y 8 z 1 0 nên một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P có tọa độ là 2; 6; 8 hay 1; 3; 4 . Câu 22.. (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian Oxyz , vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P : 2 y 3 z 1 0 ? A. u4 2;0; 3 . B. u2 0; 2; 3 .. C. u1 2; 3;1 .. D. u3 2; 3;0 .. Lời giải Ta có u2 0; 2; 3 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P : 2 y 3 z 1 0 . Câu 23.. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho mặt phẳng P : 3x y 2 0 . Véc tơ nào trong các véctơ dưới đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng P ?. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(197)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 3; 1;2 .. B. 1;0; 1 .. C. 3;0; 1 .. D. 3; 1;0 .. Lời giải Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng P : 3x y 2 0 là 3; 1;0 . Dạng 2. Xác định phương trình mặt phẳng Mặt phẳng ( P). qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) thì phương trình ( P) : a ( x x0 ) b( y y0 ) c( z z0 ) 0 (*) VTPT n (a; b; c). Ngược lại, một mặt phẳng bất kỳ đều có phương trình dạng ax by cz d 0 , mặt phẳng này có VTPT n (a; b; c) với a 2 b2 c2 0 . Các mặt phẳng cơ bản VTPT mp (Oyz ) : x 0 n( Oyz ) (1; 0; 0) VTPT mp (Oxz ) : y 0 n( Oxz ) (0;1;0) VTPT mp (Oxy ) : z 0 n(Oxy ) (0;0;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với với đường thẳng AB cho trước.. Mặt phẳng (P) qua M , có VTPT n( P ) AB nên phương trình được viết theo (*).. Câu 24. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng Oxz có phương trình là: A. x 0. B. z 0. C. x y z 0. D. y 0. Lời giải Chọn D Câu 25.. (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng Oyz ? B. x 0. A. y 0. D. z 0. C. y z 0 Lời giải. Chọn B. . Mặt phẳng Oyz đi qua điểm O 0;0;0 và có vectơ pháp tuyến là i 1;0;0 nên ta có phương trình mặt phẳng Oyz là : 1 x 0 0 y 0 0 z 0 0 x 0 . Câu 26.. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng Oyz có phương trình là B. x y z 0 .. A. z 0 .. C. x 0 .. D. y 0 .. Lời giải Chọn Câu 27.. C.. (Chuyên Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng Ozx ? A. x 0. B. y 1 0.. C. y 0.. D. z 0.. Lời giải Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(198)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Ta có mặt phẳng Ozx đi qua điểm O 0;0;0 và vuông góc với trục Oy nên có VTPT n 0;1;0 . Do đó phương trình của mặt phẳng Ozx là y 0.. Câu 28.. (Chuyên Quang Trung- Bình Phước 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng Oxy có phương trình là A. z 0 .. B. x 0 .. C. y 0 .. D. x y 0 .. Lời giải Chọn A. Mặt phẳng Oxy đi qua gốc tọa độ O 0;0;0 , nhận vectơ đơn vị k 0;0;1 là vectơ pháp tuyến Phương trình tổng quát: 0. x 0 0. y 0 1. z 0 0 Oxy : z 0 . Câu 29.. (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 1; 2; 3 và có một vectơ pháp tuyến n 1; 2;3 . A. x 2 y 3 z 12 0. B. x 2 y 3 z 6 0 C. x 2 y 3 z 12 0 D. x 2 y 3 z 6 0 Lời giải. Chọn A. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 1; 2; 3 và có một vectơ pháp tuyến n 1; 2;3 là 1 x 1 2 y 2 3 z 3 0 x 2 y 3 z 12 0 .. Câu 30.. (Đề Minh Họa 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 0;1;1 ) và. B 1; 2;3 . Viết phương trình của mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB . A. x y 2 z 3 0. B. x y 2 z 6 0. C. x 3 y 4 z 7 0 D. x 3 y 4 z 26 0 Lời giải. Chọn A. Mặt phẳng P đi qua A 0;1;1 và nhận vecto AB 1;1; 2 là vectơ pháp tuyến. P :1 x 0 1 y 1 2 z 1 0 x y 2 z 3 0 . Câu 31.. (Mã 104 2018) Trong không gian Oxyz , Cho hai điểm A 5; 4; 2 và B 1; 2; 4 . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB có phương trình là A. 2 x 3 y z 20 0 B. 3 x y 3 z 25 0 C. 2 x 3 y z 8 0 D. 3 x y 3 z 13 0 Lời giải Chọn A AB (4; 6; 2) 2(2; 3; 1). P đi qua A 5; 4; 2 nhận P : 2 x 3 y z 20 0 Câu 32.. n (2; 3; 1) làm VTPT. (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1;2;1 và B 2;1;0 . Mặt phẳng qua A và vuông góc với AB có phương trình là A. x 3 y z 5 0 B. x 3 y z 6 0 C. 3 x y z 6 0. D. 3 x y z 6 0. Lời giải Chọn D AB 3; 1; 1 . Do mặt phẳng cần tìm vuông góc với AB nên nhận AB 3; 1; 1 làm vtpt. Suy ra, phương trình mặt phẳng : 3 x 1 y 2 z 1 0 3x y z 6 0. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(199)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 33.. (Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;1;1 , B 2;1;0 C 1; 1; 2 . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC có phương trình là A. 3x 2 z 1 0 B. x 2 y 2 z 1 0 C. x 2 y 2 z 1 0 D. 3x 2 z 1 0 Lời giải Chọn B Ta có BC 1; 2; 2 là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng P cần tìm. n BC 1; 2; 2 cũng là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng P . Vậy phương trình mặt phẳng P là x 2 y 2 z 1 0 .. Câu 34.. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A(5; 4; 2) và B(1; 2; 4) . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB là?. A. 3 x y 3 z 25 0. B. 2 x 3 y z 8 0 C. 3 x y 3 z 13 0 D. 2 x 3 y z 20 0 Lời giải. Chọn D. Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng AB nên nhận AB làm vectơ pháp tuyến, AB ( 4; 6; 2) Mặt phẳng đi qua A(5; 4; 2) và có vectơ pháp tuyến, AB ( 4; 6; 2) có phương trình 4( x 5) 6(y 4) 2(z 2) 0 hay 2 x 3 y z 20 0 . Vậy chọn. Câu 35.. D.. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P đi qua điểm M 3; 1;4 đồng thời vuông góc với giá của vectơ a 1; 1; 2 có phương trình là A. 3x y 4 z 12 0 . B. 3x y 4 z 12 0 . C. x y 2z 12 0 . D. x y 2z 12 0 . Lời giải Chọn C P có dạng: 1. x 3 1 y 1 2 z 4 0 x y 2z 12 0 .. Câu 36.. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho ba điểm A 2;1; 1 , B 1;0;4 , C 0; 2; 1 . Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là A. x 2 y 5 z 5 0 . B. 2 x y 5 z 5 0 . C. x 2 y 5 0 . D. x 2 y 5 z 5 0 . Lời giải Do mặt phẳng vuông góc với BC nên BC 1; 2; 5 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vì vậy phương trình mặt phẳng là : 1 x 2 2 y 1 5 z 1 0 x 2 y 5 z 5 0 .. Câu 37.. (Sở Bắc Giang 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1; 2 và B 2;0;1 . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB có phương trình là A. x y z 0 . B. x y z 2 0 . C. x y z 4 0 .. D. x y z 2 0 .. Lời giải. Ta có: AB 1; 1; 1 .. Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB có phương trình là:. x 1 y 1 z 2 0 x y z 2 0 . Câu 38.. (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1; 2;0 và. B 2;3; 1 . Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với AB là A. 2 x y z 3 0.. B. x y z 3 0.. C. x y z 3 0.. D. x y z 3 0.. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(200)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải Chọn C AB 1;1; 1 .. . Mặt phẳng qua A và vuông góc với AB nhận AB làm vectơ pháp tuyến có phương trình là. x 1 y 2 z 0 x y z 3 0. Câu 39.. (Chuyên Đại học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P đi qua điểm M 3; 1; 4 đồng thời vuông góc với giá của vectơ a 1; 1; 2 có phương trình là A. 3x y 4 z 12 0 . B. 3x y 4 z 12 0 . C. x y 2 z 12 0 .. D. x y 2 z 12 0 . Lời giải. Chọn C. Mặt phẳng P đi qua điểm M 3; 1; 4 đồng thời vuông góc với giá của a 1; 1; 2 nên nhận a 1; 1; 2 làm vectơ pháp tuyến. Do đó, P có phương trình là. 1 x 3 1 y 1 2 z 4 0 x y 2 z 12 0 . Vậy, ta chọn C. Câu 40.. (THPT Thuận Thành 3 - Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương . trình mặt phẳng đi qua điểm A 1; 2; 3 có véc tơ pháp tuyến n 2; 1;3 là A. 2 x y 3z 9 0 .. B. 2 x y 3z 4 0 .. C. x 2 y 4 0 .. D. 2 x y 3z 4 0 . Lời giải. Chọn A . Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A 1; 2; 3 có véc tơ pháp tuyến n 2; 1;3 là. 2. x 1 1. y 2 3. z 3 0 2 x 2 y 2 3z 9 0 2 x y 3z 9 0. Câu 41.. (SGD Điện Biên - 2019) Trong không gian Oxyz phương trình mặt phẳng đi qua điểm A (1; 2;3) và vuông góc với giá của véctơ v (1; 2;3) là A. x 2 y 3z 4 0.. B. x 2 y 3z 4 0.. C. x 2 y 3z 4 0.. D. x 2 y 3z 4 0. Lời giải. Chọn C. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A (1; 2;3) và vuông góc với giá của véctơ v (1; 2;3) là:. 1( x 1) 2( y 2) 3( z 3) 0 x 2 y 3z 4 0 x 2 y 3z 4 0. Câu 42.. (SGD Cần Thơ 2019) Trong không gian Oxyz , phương trình của mặt phẳng đi qua điểm A 3; 0; 1 và có véctơ pháp tuyến n 4; 2; 3 là A. 4 x 2 y 3z 9 0 . B. 4 x 2 y 3z 15 0 .. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(201)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. C. 3x z 15 0 .. D. 4 x 2 y 3z 15 0 . Lời giải. Chọn B. Mặt phẳng đi qua điểm A 3; 0; 1 và có véctơ pháp tuyến n 4; 2; 3 có phương trình:. 4 x 3 2 y 0 3 z 1 0 4 x 2 y 3 z 15 0 .. Câu 43.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng qua A 1;1; 2 và có vectơ pháp tuyến n 1; 2; 2 là A. x 2 y 2 z 1 0 .. B. x y 2 z 1 0 . C. x 2 y 2 z 7 0 . D. x y 2 z 1 0 . Lời giải. Chọn A. Mặt phẳng P đi qua A 1;1; 2 và có vectơ pháp tuyến n 1; 2; 2 nên có phương trình. x 1 2 y 1 2 z 2 0 x 2 y 2 z 1 0 . Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình: x 2 y 2 z 1 0 . Câu 44.. (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A 1;0;1 , B 2;1;0 . Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với AB . A. P : 3x y z 4 0 . C. P : 3x y z 0 .. B. P : 3 x y z 4 0 .. D. P : 2 x y z 1 0 . Lời giải. Chọn A Ta có: AB 3;1; 1 . Mặt phẳng P qua điểm A 1;0;1 và vuông góc với đường thẳng AB nên có 1 véc tơ pháp tuyến AB 3;1; 1 P : 3 x 1 1 y 0 1 z 1 0 3x y z 4 0 . Câu 45.. (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 0;1; 2 , B 2; 2;1 , C 2;0;1 . Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là A. y 2 z 5 0 .. B. 2 x y 1 0 .. C. 2 x y 1 0 .. D. y 2 z 5 0 .. Lời giải Chọn C. Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: BC 4; 2; 0 . Phương trình mặt phẳng:. 4 x 0 2 y 1 0 z 2 0 4x 2 y 2 0 2 x y 1 0 . Câu 46.. (Mã 101 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 2; 1; 4 và mặt phẳng. P :3x 2 y z 1 0 . Phương trình của mặt phẳng đi qua. M và song song với mặt phẳng P . là A. 2 x 2 y 4 z 21 0 . B. 2 x 2 y 4 z 21 0 C. 3x 2 y z 12 0 . D. 3x 2 y z 12 0 . Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(202)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải Chọn C Phương trình của mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng P là 3 x 2 2 y 1 z 4 0 3x 2 y z 12 0 .. Câu 47.. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 2;1; 2 và mặt phẳng. P : 3x 2 y z 1 0 . Phương trình của mặt phẳng đi qua. M và song song với P là:. A. 2 x y 2 x 9 0 . B. 2 x y 2 z 9 0 C. 3 x 2 y z 2 0 .. D. 3x 2 y z 2 0 . Lời giải. Chọn D Phương trình mặt phẳng Q song song mặt phẳng P có dạng: 3 x 2 x z D 0 . Mặt phẳng Q qua điểm M 2;1; 2 , do đó: 3.2 2.1 2 D 0 D 2 . Vậy Q : 3x 2 y z 2 0 . Câu 48.. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 2; 1;3 và mặt phẳng. P : 3x 2 y z 1 0 . Phương trình mặt phẳng đi qua. M và song song với P là. A. 3x 2 y z 11 0 . B. 2 x y 3z 14 0 . C. 3x 2 y z 11 0 . D. 2 x y 3z 14 0 . Lời giải Chọn C. P. nhận n 3; 2;1 làm vectơ pháp tuyến. Mặt phẳng đã cho song song với P nên cũng nhận nhận n 3; 2;1 làm vectơ pháp tuyến Vậy mặt phẳng đi qua M và song song với P có phương trình là 3 x 2 2 y 1 z 3 0 3x 2 y z 11 0. Câu 49.. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 2;1; 3 và mặt phẳng. P : 3x 2 y z 3 0 . Phương trình của mặt phẳng đi qua M A. 3x 2 y z 1 0 .. và song song với (P ) là. B. 3x 2 y z 1 0 . C. 2 x y 3z 14 0 . D. 2 x y 3z 14 0 Lời giải. Chọn B Mặt phẳng (Q ) cần tìm song song với mặt phẳng P : 3 x 2 y z 3 0 nên có phương trình dạng. Q : 3x 2 y z m 0,. m 3. Vì M (Q) nên Q : 3.2 2.1 ( 3) m 0 m 1 Vậy Q : 3 x 2 y z 1 0 . Câu 50.. (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M 3; 1; 2 và mặt phẳng. : 3 x y 2 z 4 0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với ? Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(203)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 3 x y 2 z 6 0. B. 3 x y 2 z 6 0. C. 3 x y 2 z 6 0. D. 3 x y 2 z 14 0 Lời giải. Chọn A Gọi // , PT có dạng : 3 x y 2 z D 0 (điều kiện D 4 ); Ta có: qua M 3; 1; 2 nên 3.3 1 2. 2 D 0 D 6 (thoả đk); Vậy : 3 x y 2 z 6 0 Câu 51.. (Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A 2; 1; 2 và song song với mặt phẳng P : 2 x y 3 z 2 0 có phương trình là A. 2 x y 3 z 11 0 C. 2 x y 3 z 11 0. B. 2 x y 3 z 11 0 D. 2 x y 3 z 9 0 Lời giải. Chọn C Gọi Q là mặt phẳng đi qua điểm A 2; 1; 2 và song song với mặt phẳng P . Do Q // P nên phương trình của Q có dạng 2 x y 3 z d 0 ( d 2 ). Do A 2; 1; 2 Q nên 2.2 1 3.2 d 0 d 11 (nhận). Vậy Q : 2 x y 3 z 11 0 . Câu 52.. (THPT Cẩm Giàng 2 -2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm. A 1;3; 2 và song song với mặt phẳng P : 2 x y 3z 4 0 là: A. 2 x y 3z 7 0 .. B. 2 x y 3z 7 0 .. C. 2 x y 3z 7 0 .. D. 2 x y 3z 7 0 .. Lời giải Gọi là mặt phẳng cần tìm. Vì // P n ( ) n ( P ) 2; 1;3 Ta có: đi qua A 1;3; 2 và có véctơ pháp tuyến là n ( ) 2; 1;3 . Do đó phương trình tổng quát của mặt phẳng là:. 2 x 1 1 y 3 3 z 2 0 hay 2 x y 3z 7 0 . Câu 53. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng qua điểm A 1;1; 2 và song song với mặt phẳng. : 2 x 2 y z 1 0 có phương trình là A. 2 x 2 y z 2 0. B. 2 x 2 y z 0. C. 2 x 2 y z 6 0. D. : 2 x 2 y z 2 0. Lời giải Chọn A Có P song song : 2 x 2 y z 1 0 nên P : 2 x 2 y z m 0 , với m 1 . Do P đi qua điểm A 1;1; 2 nên 2 2 2 m 0 m 2 (nhận) Vậy măt phẳng cần tìm là P : 2 x 2 y z 2 0 . Câu 54.. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2; 1; 3 và mặt phẳng. P : 3x 2 y 4 z 5 0 .. Mặt. phẳng Q đi qua A và song song với mặt phẳng P có phương trình là Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(204)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. Q : 3 x 2 y 4 z 4 0.. B. Q : 3 x 2 y 4 z 4 0.. C. Q : 3 x 2 y 4 z 5 0.. D. Q : 3 x 2 y 4 z 8 0. Lời giải. Chọn B. Do mặt phẳng Q song song với mặt phẳng P nên có vectơ pháp tuyến là n 3; 2; 4 . Phương trình mặt phẳng Q : 3 x 2 2 y 1 4 z 3 0. 3x 2 y 4 z 4 0 . Câu 55.. (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M 1;0;6 và mặt phẳng có phương trình x 2 y 2 z 1 0 . Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng . A. : x 2 y 2 z 13 0 .. B. : x 2 y 2 z 15 0 .. C. : x 2 y 2 z 15 0 .. D. : x 2 y 2 z 13 0 . Lời giải. Chọn A Mặt phẳng song song với mặt phẳng nên có dạng x 2 y 2 z m 0 m 1 . Do M nên ta có: 1 2.0 2.6 m 0 m 13 0 m 13 (thỏa mãn). Vậy : x 2 y 2 z 13 0 . Câu 56.. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 3;0;0 , B 0;1;0 và. C 0;0; 2 . Mặt phẳng ABC có phương trình là: x y z 1. 3 1 2 x y z C. 1 . 3 1 2 A.. x y z 1. 3 1 2 x y z 1. D. 3 1 2 B.. Lời giải Chọn. B. x y z x y z ABC : 1 hay ABC : 1 . a b c 3 1 2. Câu 57.. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2; 0;0 , B 0;3;0 và C 0;0; 4 . Mặt phẳng ABC có phương trình là. A.. x y z 1. 2 3 4. B.. x y z 1. 2 3 4. x y z 1. 2 3 4 Lời giải C.. D.. x y z 1. 2 3 4. Chọn A Mặt phẳng ABC có phương trình là Câu 58.. x y z 1. 2 3 4. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho 3 điểm A 1;0; 0 , B 0; 2;0 và C 0; 0;3 . Mặt phẳng ABC có phương trình là. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(205)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x y z 1. A. 1 2 3. x y z 1. B. 1 2 3. x y z x y z 1 . D 1. C. 1 2 3 1 2 3 Lời giải. Chọn C Câu 59.. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2;0; 0 , B 0; 1;0 , C 0;0;3 . Mặt phẳng ABC có phương trình là A.. x y z 1. 2 1 3. B.. x y z 1. 2 1 3. x y z 1. 2 1 3 Lời giải. C.. D.. x y z 1. 2 1 3. Chọn D Phương trình mặt phẳng qua ba điểm A a;0; 0 , B 0; b; 0 , C 0;0; c (với abc 0) có dạng x y z 1 a b c. Câu 60.. (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M 2;0;0 , N 0; 1;0 , P 0;0;2 . Mặt phẳng MNP có phương trình là: A.. x y z 1 . 2 1 2. B.. x y z 1. 2 1 2. x y z 1 2 1 2 Lời giải C.. D.. x y z 0. 2 1 2. Chọn C Ta có: M 2;0;0 , N 0; 1;0 , P 0;0;2 MNP : Câu 61.. x y z 1 2 1 2. (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A1;0;0 ;. B 0; 2;0 ; C 0;0;3 . Phương trình nào dưới dây là phương trình mặt phẳng ABC ? A.. x y z 1. 3 2 1. B.. x y z 1. 2 1 3. C.. x y z 1. 1 2 3. D.. x y z 1. 3 1 2. Lời giải Chọn C Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua 3 điểm A , B , C là Câu 62.. x y z 1. 1 2 3. (SGD Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua điêm A 0; 1;0 , B 2;0;0 , C 0;0;3 là A.. x y z 1. 2 1 3. B.. x y z 0. 2 1 3. x y z 1. 1 2 3 Lời giải C.. D.. x y z 1. 2 1 3. Chọn D Vì A Oy, B Ox, C Oz nên phương trình mặt phẳng là Câu 63.. x y z 1. 2 1 3. (Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M 1;0;0 , N 0; 2;0 ,. P 0;0;3 . Mặt phẳng MNP có phương trình là: A. 6 x 3 y 2 z 6 0 . B. 6 x 3 y 2 z 1 0 . C. 6 x 3 y 2 z 1 0 . D. x y z 6 0 . Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(206)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải Chọn A Mặt phẳng MNP có phương trình là: Câu 64.. x y z 1 6x 3 y 2 z 6 0 . 1 2 3. (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0;-1;0), C(0;0;-3). Viết phương trình mặt phẳng ( ABC ). A. 3 x 6 y 2 z 6 0 .B. 3 x 6 y 2 z 6 0 . C. 3 x 6 y 2 z 6 0 .D. 3 x 6 y 2 z 6 0 . Lời giải Chọn C Mặt phẳng ABC đi qua ba điểm A 2;0;0 , B 0; 1;0 , C 0;0; 3 suy ra mặt phẳng ABC có phương trình đoạn chắn là :. Câu 65.. x y z 1 3x 6 y 2 z 6 0 2 1 3. (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A 3;0;0 , B 0;4;0 , C 0;0; 2 là A. 4 x 3 y 6z 12 0 . B. 4 x 3 y 6z 12 0 . C. 4 x 3 y 6z 12 0 . D. 4 x 3 y 6 z 12 0 . Lời giải Chọn A Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A 3;0;0 , B 0;4;0 , C 0;0; 2 là. x y z 1 4 x 3 y 6 z 12 0 . 3 4 2 Câu 66.. (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(2;0;0) , B(0;0;7) và C (0;3; 0) . Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là. A.. x y z 1 2 7 3. B.. x y z 0 2 3 7. x y z 1 2 3 7 Lời giải. C.. D.. x y z 1 0 2 3 7. Chọn C Phương trình mặt phẳng ( ABC ) đi qua ba điểm A(2; 0; 0) , B (0; 0; 7) và C (0;3; 0) là x y z 1 2 3 7. Câu 67. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng qua ba điểm A 1;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0; 3 có phương trình là x y z A. 1 . 1 2 3. x y z 1. 1 2 3 Lời giải x y z Ta có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: 1 1 2 3. B.. x y z 1. 1 2 3. C.. D.. x y z 1. 1 2 3. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(207)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 68.. (Chuyên Thái Bình -2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;2;3 . Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục Ox, Oy, Oz . Viết phương trình mặt phẳng. ABC . x y z x y z D. 1 . 0. 1 2 3 1 2 3 Lời giải Ta có A 1;0;0 , B 0;2;0 , C 0;0;3 lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy, Oz .. A.. x y z 1. 1 2 3. B.. x y z 1. 1 2 3. Phương trình đoạn chắn có dạng: Câu 69.. C.. x y z 1. 1 2 3. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A 3; 0;0 ; B 0; 4; 0 và C 0;0; 2 là. A. 4 x 3 y 6 z 12 0 . B. 4 x 3 y 6 z 12 0 . C. 4 x 3 y 6 z 12 0 . D. 4 x 3 y 6 z 12 0 . Lời giải. Phương trình mặt phẳng ABC : Câu 70.. x y z 1 4 x 3 y 6 z 12 0 . 3 4 2. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng qua các điểm A 1;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0;5 có phương trình là A. 15x 5 y 3z 15 0. C. x 3 y 5z 1.. D.. B.. x y z 1 0. 1 3 5. x y z 1. 1 3 5. Lời giải Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình mặt phẳng qua các điểm x y z A 1;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0;5 là 1. 1 3 5 Câu 71.. (Chuyên Sơn La 2019) Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm. A 1;0;0 , B 0; 2;0 và C 0;0;3 là A.. x y z 1. 1 2 3. B.. x y z 1 . 1 2 3. x y z 0. 1 2 3 Lời giải. C.. D.. x y z 1. 1 2 3. Ta có phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A 1;0;0 , B 0; 2;0 và C 0;0;3 là: x y z 1. 1 2 3. Câu 72.. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 2;0; 0 , B 0; 1; 0 , C 0;0; 3 . Viết phương trình mặt phẳng ABC .. A. 3x 6 y 2 z 6 0 . B. 3x 6 y 2 z 6 0 . C. 3x 6 y 2 z 6 0 . D. 3x 6 y 2 z 6 0 . Lời giải Phương trình mặt phẳng ABC (theo đoạn chắn) là. Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(208)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x y z 1 3x 6 y 2 z 6 0 . 2 1 3 Câu 73.. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm. A 1;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0; 4 . Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng. ABC ? A.. x y z 1. 1 3 4. B.. x y z 1. 1 3 4. x y z 1. 4 3 1 Lời giải. C.. D.. x y z 1 . 1 3 4. Chọn D Mặt phẳng ABC có phương trình đoạn chắn là. x y z x y z 1 1 . 1 3 4 1 3 4. Dạng 3. Điểm thuộc mặt phẳng Một mặt phẳng bất kỳ đều có phương trình dạng P : ax by cz d 0 , và điểm M xM ; yM ; zM . Nếu axM byM cz M d 0 M P Nếu axM byM cz M d 0 M P Câu 74.. (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng : x y z 6 0 . Điểm nào dưới đây không thuộc ? A. Q 3;3;0 . B. N 2; 2; 2 . C. P 1; 2;3. D. M 1; 1;1. Lời giải Chọn D Ta có: 1 1 1 6 5 0 M 1; 1;1 là điểm không thuộc . Câu 75.. (Mã 123 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2 y z 5 0. Điểm nào dưới đây thuộc P ? A. P 0; 0; 5 . B. M 1;1;6 . C. Q 2; 1;5 . D. N 5;0;0 . Lời giải Chọn B Ta có 1 2.1 6 5 0 nên M 1;1;6 thuộc mặt phẳng P . Câu 76. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P : x y z 3 0 đi qua điểm nào dưới đây? A. M 1; 1; 1. B. N 1;1;1. C. P 3;0;0 . D. Q 0;0; 3. Lời giải Điểm N 1;1;1 có tọa độ thỏa mãn phương trình mặt phẳng P nên N P . Câu 77.. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. P :2 x y z 3 0 . Điểm nào trong các phương án dưới đây thuộc mặt phẳng P A. M 2;1;0 . B. M 2; 1;0 . C. M 1; 1;6 . D. M 1; 1;2 . Lời giải Ta có: 2.2 1 0 3 0 M 2;1;0 P :2 x y z 3 0 .. Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(209)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 78.. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng. P : 2x y z 2 0 . A. Q 1; 2; 2 .. B. P 2; 1; 1 .. C. M 1;1; 1 .. D. N 1; 1; 1 .. Lời giải + Thay toạ độ điểm Q vào phương trình mặt phẳng P ta được 2.1 2 2 2 4 0 nên Q P .. + Thay toạ độ điểm P vào phương trình mặt phẳng P ta được 2.2 1 1 2 2 0 nên P P .. + Thay toạ độ điểm M vào phương trình mặt phẳng P ta được 2.1 1 1 2 2 0 nên M P .. + Thay toạ độ điểm N vào phương trình mặt phẳng P ta được 2.1 1 1 2 0 nên N P .. Câu 79.. x y z (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa- 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P : 1 không 1 2 3 đi qua điểm nào dưới đây? A. P 0; 2; 0 .. B. N 1; 2;3 .. C. M 1;0;0 .. D. Q 0;0;3 .. Lời giải Chọn B Thế tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng P ta có: Vậy mặt phẳng P : Câu 80.. 1 2 3 1. 1 2 3. x y z 1 không đi qua điểm N 1; 2;3 . 1 2 3. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng nào dưới đây đi qua gốc tọa độ? A. x 20 0 .. B. x 2019 0 .. C. y 5 0 .. D. 2 x 5 y 8 z 0 .. Lời giải Chọn D Cách 1: Dựa vào nhận xét mặt phẳng có phương trình Ax By Cz D 0 đi qua gốc tọa độ thì D 0. Vậy chọn đáp án. D.. Cách 2: Thay tọa độ điểm O 0;0;0 lần lượt vào các phương trình để kiểm tra. Câu 81.. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : x 2 y 2z 3 0. Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng ( ) ? A. M (2; 0;1).. B. Q (2;1;1).. C. P (2; 1;1).. D. N (1; 0;1).. Lời giải Chọn D Ta có: 1.1 2.0 2.1 3 0. Tọa độ điểm N (1; 0;1) thỏa mãn phương trình mặt phẳng ( ) nên N nằm trên mặt phẳng ( ) .. Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(210)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 82.. (SGD Bình Phước - 2019) Trong không gian Oxyz ,mặt phẳng : x y 2 z 3 0 đi qua điểm nào dưới đây? 3 A. M 1;1; . 2 . 3 B. N 1; 1; . 2 . C. P 1;6;1 .. D. Q 0;3;0 .. Lời giải Chọn A. 3 3 Xét điểm M 1;1; ,ta có: 1 1 2. 3 0 đúng nên M nên A đúng. 2 2 3 3 Xét điểm N 1; 1; ,ta có: 1 1 2. 3 0 sai nên N nên B sai. 2 2 Xét điểm P 1;6;1 ,ta có: 1 6 2.1 3 0 sai nên P nên C sai. Xét điểm Q 0;3;0 ,ta có: 0 3 2.0 3 0 sai nên Q nên D sai. Câu 83.. (Sở Kon Tum - 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng : x 2 y z 4 0 đi qua điểm nào sau đây A. Q 1; 1;1 .. B. N 0; 2; 0 .. C. P 0;0; 4 .. D. M 1; 0; 0 .. Lời giải Chọn A Thay tọa độ Q vào phương trình mặt phẳng ta được: 1 2 1 1 4 0 . Thay tọa độ N vào phương trình mặt phẳng ta được: 0 2.2 0 4 8 0 Loại B Thay tọa độ P vào phương trình mặt phẳng ta được: 0 2.0 4 4 8 0 Loại C Thay tọa độ M vào phương trình mặt phẳng ta được: 1 2.0 0 4 3 0 Loại D Câu 84.. (SGD Bến Tre 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng P : 2 x y z 1 0 . Điểm nào dưới đây thuộc P ? A. N 0;1; 2 .. B. M 2; 1;1 .. C. P 1; 2;0 .. D. Q 1; 3; 4 .. Lời giải Chọn D Nhận thấy 2.1 3 4 1 0 nên Q 1; 3; 4 thuộc P . Dạng 4. Khoảng cách từ điểm đến mặt. Khoảng cách từ điểm M ( xM ; yM ; zM ) đến mặt phẳng ( P ) : ax by cz d 0 được xác định bởi công thức: d ( M ;( P)) Câu 85.. axM byM czM d a2 b2 c2. . (Đề Minh Họa 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng cho mặt phẳng P có phương trình 3x 4 y 2 z 4 0 và điểm A 1; 2;3 . Tính khoảng cách d từ A đến P . Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(211)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 5 A. d 29. 5 B. d 29. 5 C. d 3 Lời giải. D. d . 5 9. Chọn B 3.1 4. 2 2.3 4. Khoảng cách từ điểm A đến P là d Câu 86.. 2. 2. 3 4 2. 2. . 5 29. (THPT Ba Đình 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P có phương trình: 3x 4 y 2 z 4 0 và điểm A 1; 2;3 . Tính khoảng cách d từ A đến P . A. d . 5 . 9. B. d . 5 . 29. C. d . Lời giải 3xA 4 y A 2 z A 4. Khoảng cách d từ A đến P là d ( A, ( P)) d ( A, ( P)) . Câu 87.. 5 . 29. 32 42 22. 5 . 3. D. d . . 38 6 4 29. 5 29. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , tính khoảng cách từ M 1;2; 3 đến mặt phẳng P : x 2 y 2 z 10 0 . A.. 11 . 3. d M ; P Câu 88.. 7 . 3 Lời giải. B. 3 .. C.. 1 2.2 2. 3 10 12 22 22. D.. 4 . 3. 11 11 . 3 3. . (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x 2 y z 1 0 . Khoảng cách từ điểm M 1; 2;0 đến mặt phẳng P bằng A. 5 .. Ta có d M , P Câu 89.. 5 . 3 Lời giải. B. 2 .. C.. 2. 1 2.2 0 1 2. 2. 2. 2 2 1. D.. 4 . 3. 5 . 3. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. P : 2 x 2 y z 4 0 . Tính khoảng cách A. d 3 .. B. d 4 .. d từ điểm M 1;2;1 đến mặt phẳng P . C. d 1 .. 1 D. d . 3. Lời giải Khoảng cách d từ điểm M 1;2;1 đến mp P là d d M , P Câu 90.. 2.1 2.2 1 4 2. 1.. 22 2 12. (Sở Bắc Giang 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng Q : x 2 y 2 z 1 0 và điểm M 1; 2;1 . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng Q bằng Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(212)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A.. 4 . 3. B.. 1 . 3. 2 . 3 Lời giải C.. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng Q bằng d M , Q Câu 91.. 2 6 . 3. D.. 1 2 2 2.1 1 1 2 2 2 . 2. . 4 3. (Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A 1; 2;3 lên mặt phẳng P : 2 x y 2 z 5 0 . Độ dài đoạn thẳng AH là A. 3 .. B. 7 .. C. 4 . Lời giải. D. 1 .. Chọn D AH d A, P Câu 92.. 2265 2. 22 1 2 . 2. 1.. (SGD Cần Thơ 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 2 3 và mặt phẳng. P : 2 x 2 y z 5 0 . Khoảng cách từ điểm A.. 4 . 3. B.. 1 . 3. M đến mặt phẳng P bằng. 2 . 3 Lời giải C.. D.. 4 . 9. Chọn A Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P : d M , P Câu 93.. 2. 1 2.2 1. 3 5 2. 2. . 2. 2 2 1. 4 . 3. (Cần Thơ - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2 y 2 z 5 0 và điểm A 1;3; 2 . Khoảng cách từ A đến mặt P là. A.. 14 7 .. B.. 3 14 . 14. C.. 2 . 3. D. 1.. Lời giải Chọn C Ta có khoảng cách từ A A đến mặt phẳng P là d A, P Câu 94.. | 1 2.3 2. 2 5 | 2. 12 2 2 . 2. . 2 . 3. (Sở Kon Tum - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x y 2 z 4 0 . Khoảng cách từ điểm M 3;1; 2 đến mặt phẳng P bằng A. 2 .. B.. 1 . 3. C. 1.. D. 3 .. Lời giải Chọn C Khoảng cách từ điểm M 3;1; 2 đến mặt phẳng P :. Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(213)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. d M , P . 2.3 1 2. 2 4 2. 2. 2 1 2. 1.. 2. Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(214)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chuyên đề 30. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Xác định phương trình mặt phẳng (không chứa yếu tố đường thẳng) Qua A( x ; y ; z ) Dạng 1. Mặt ( P) : ( P ) : a ( x x ) b( y y ) c( z z ) 0 . VTPT : n( P ) (a; b; c) Dạng 2. Viết phương trình ( P) qua A( x ; y ; z ) và ( P) (Q) : ax by cz d 0. Qua A( x , y , z ) Phương pháp. ( P) : VTPT : n( P ) n( Q ) ( a; b; c) Dạng 3. Viết phương trình mặt phẳng trung trực ( P) của đoạn thẳng AB.. n( P ) n(Q ) Q P. x A xB y A yB z A zB Qua I 2 ; 2 ; 2 : là trung điểm AB. Phương pháp. ( P) : P VTPT : n AB ( P ) . A I B. Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua M và vuông góc với đường thẳng d AB. Qua M ( x ; y ; z ) n( P ) ud AB d Phương pháp. ( P ) : VTPT : n( P ) ud AB M P Dạng 5. Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm M và có cặp véctơ chỉ phương a , b . a Qua M ( x ; y ; z ) Phương pháp. ( P ) : P b VTPT : n( P ) [a , b ] Dạng 6. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Qua A, (hay B hay C ) P B Phương pháp. ( P) : C A VTPT : n( ABC ) AB, AC Q Dạng 7. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A, B và ( P) (Q). n(Q ) Qua A, (hay B) Phương pháp. ( P) : VTPT : n( P ) AB, n( Q ) B Dạng 8. Viết phương trình mp ( P) qua M và vuông góc với hai mặt ( ), ( P). A Qua M ( x ; y ; z ) n n Phương pháp. ( P ) : ( ) ( ) VTPT : n( P ) n( ) , n( ) Dạng 9. Viết ( P) đi qua M và giao tuyến d của hai mặt phẳng: P M (Q ) : a1 x b1 y c1 z d1 0 và (T ) : a2 x b2 y c2 z d 2 0. Phương pháp: Khi đó mọi mặt phẳng chứa d đều có dạng: ( P) : m(a1 x b1 y c1 z d1 ) n(a2 x b2 y c2 z d 2 ) 0, m2 n 2 0. Vì M ( P) mối liên hệ giữa m và n. Từ đó chọn m n sẽ tìm được ( P). Dạng 10. Viết phương trình mặt phẳng đoạn chắn Phương pháp: Nếu mặt phẳng ( P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại các điểm A(a;0;0), x y z B(0; b;0), C (0;0; c) với (abc 0) thì ( P) : 1 gọi là mặt phẳng đoạn chắn. a b c Dạng 1.1 Xác định phương trình mặt phẳng khi biết yếu tố vuông góc Câu 1.. (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 4;0;1 và B 2; 2;3 . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(215)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 3x y z 0.. B. 3x y z 6 0.. C. x y 2 z 6 0.. D. 6 x 2 y 2 z 1 0.. Lời giải Chọn A. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có véctơ pháp tuyến là AB 6; 2; 2 và đi qua trung điểm I 1;1; 2 của đoạn thẳng AB. Do đó, phương trình mặt phẳng đó là: 6 x 1 2 y 1 2 z 2 0 6 x 2 y 2 z 0 3 x y z 0.. Câu 2.. (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;2;0 và B 3;0;2 . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là A. x y z 3 0 . B. 2 x y z 2 0 . C. 2 x y z 4 0 . D. 2 x y z 2 0 . Lời giải Chọn D Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Suy ra I 1;1;1 . Ta có AB 4; 2; 2 . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm I của AB và nhận. AB làm vtpt, nên có phương trình là : 2 x y z 2 0 .. Câu 3.. (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 4;0;1 và B 2;2;3 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB ? A. 3 x y z 6 0 B. 3 x y z 0 C. 6 x 2 y 2 z 1 0 D. 3 x y z 1 0 Lời giải Chọn B Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I 1;1;2 và nhận AB 6; 2; 2 làm một VTPT. : 6 x 1 2 y 1 2 z 2 0 : 3 x y z 0 .. Câu 4.. (Mã 101 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;3;0 và B 5;1; 1 . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là: A. x y 2 z 3 0 . B. 3x 2 y z 14 0 . C. 2 x y z 5 0 . D. 2 x y z 5 0 . Lời giải Chọn D Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm I 3;2; 1 , có vec tơ pháp tuyến 1 n AB 2; 1; 1 có phương trình: 2 x 3 1 y 2 1 z 1 0 2 x y z 5 0 . 2 Chọn đáp án B.. Câu 5.. (Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2;1; 2) và B (6;5; 4) . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là A. 2 x 2 y 3 z 17 0 . B. 4 x 3 y z 26 0 . C. 2 x 2 y 3 z 17 0 . D. 2 x 2 y 3 z 11 0 . Lời giải Chọn A. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(216)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm của AB là M (4;3; 1) và có véctơ pháp tuyến là AB (4; 4; 6) nên có phương trình là 4( x 4) 4( y 3) 6( z 1) 0 2( x 4) 2( y 3) 3( z 1) 0 2 x 2 y 3 z 17 0 Câu 6.. (Chuyên Thái Bình 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;3; 4 và B 1;2;2 . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . A. : 4 x 2 y 12 z 7 0 .. B. : 4 x 2 y 12 z 17 0 .. C. : 4 x 2 y 12 z 17 0 .. D. : 4 x 2 y 12 z 7 0 . Lời giải. 5 Gọi I 0; ; 1 là trung điểm của AB ; AB 2; 1;6 . 2 5 Mặt phẳng qua I 0; ; 1 và có VTPT n 2; 1;6 nên có 2 . 5 PT: : 2 x y 6 z 1 0 4 x 2 y 12 z 17 0 . 2 Câu 7.. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho A 1;2; 1 ; B 1;0;1 và mặt phẳng P :x 2 y z 1 0 . Viết phương trình mặt phẳng Q qua A, B và vuông góc với P A. Q :2 x y 3 0. B. Q :x z 0. C. Q : x y z 0 D. Q :3x y z 0 Lời giải. Chọn B AB 2; 2; 2 2 1;1; 1 , u 1;1; 1 n P 1;2; 1 n Q AB , n P 1;0;1 Vậy Q :x z 0 . Câu 8.. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;1 ,B 1;1;3 và mặt phẳng P : x 3 y 2 z 5 0 . Lập phương trình mặt phẳng Q đi qua hai điểm A , B và vuông góc với mặt phẳng P . A. 2 y 3z 11 0 .. B. 2 x 3 y 11 0 .. C. x 3 y 2 z 5 0 . D. 3 y 2 z 11 0 . Lời giải. . Ta có: AB 3; 3; 2 , vectơ pháp tuyến của mp P là nP 1; 3; 2 .. . . Từ giả thiết suy ra n AB,nP 0;8;12 là vectơ pháp tuyến của mp Q . Mp Q đi qua điểm A 2; 4;1 suy ra phương trình tổng quát của mp Q là:. 0 x 2 8 y 4 12 z 1 0 2 y 3z 11 0 .. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(217)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 9.. (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 1; 2 và B 3;3;0 . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là A. x y z 2 0 . B. x y z 2 0 . C. x 2 y z 3 0 .. D. x 2 y z 3 0 .. Lời giải. Ta có AB 2 1; 2; 1 . Gọi I là trung điểm của AB I 2;1;1 .. 1 + Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I và nhận n AB 1; 2; 1 làm vectơ 2 pháp tuyến có phương trình là. x 2 2 y 1 z 1 0 x 2 y z 3 0 . Vậy mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là x 2 y z 3 0 . Câu 10.. (Chuyên Sơn La 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P đi qua hai điểm A 0;1;0 ,. B 2;3;1 và vuông góc với mặt phẳng Q : x 2 y z 0 có phương trình là A. 4 x 3 y 2 z 3 0 . B. 4 x 3 y 2 z 3 0 . C. 2 x y 3 z 1 0 . D. 4 x y 2 z 1 0 . Lời giải. Ta có AB 2; 2;1 , vectơ pháp tuyến mặt phẳng Q : nQ 1; 2; 1 . Theo đề bài ta có vectơ pháp tuyến mặt phẳng P : nP nQ AB 4; 3; 2 .. Phương trình mặt phẳng P có dạng 4 x 3 y 2 z C 0 . Mặt phẳng P đi qua A 0;1;0 nên: 3 C 0 C 3 . Vậy phương trình mặt phẳng P là 4 x 3 y 2 z 3 0 . Câu 11. (KTNL GV Lý Thái Tổ 2019) Cho hai mặt phẳng : 3x 2 y 2 z 7 0, : 5 x 4 y 3z 1 0 . Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả và là:. A. 2 x y 2 z 0.. B. 2 x y 2 z 0.. C. 2 x y 2 z 0.. D. 2 x y 2 z 1 0. Lời giải. Chọn C. Véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là n 3; 2; 2 , n 5; 4;3 . n ; n 2;1; 2 Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O ,VTPT n 2;1; 2 : 2 x y 2 z 0. Câu 12.. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm. A 2;4;1 ; B 1;1;3 và mặt phẳng P : x 3 y 2 z 5 0 . Một mặt phẳng Q đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng P có dạng ax by cz 11 0 . Khẳng định nào sau đây là. đúng? A. a b c 5 .. B. a b c 15 .. C. a b c 5 . Lời giải. D. a b c 15 .. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(218)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chọn A. Vì Q vuông góc với P nên Q nhận vtpt n 1; 3; 2 của P làm vtcp Mặt khác Q đi qua A và B nên Q nhận AB 3; 3; 2 làm vtcp Q nhận nQ n, AB 0;8;12 làm vtpt Vậy phương trình mặt phẳng Q : 0( x 1) 8( y 1) 12( z 3) 0 , hay Q : 2 y 3z 11 0 Vậy a b c 5 . Chọn Câu 13.. A.. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 1; 1; 2 ; B 2;1;1 và mặt phẳng P : x y z 1 0 . Mặt phẳng Q chứa A, B và vuông. góc với mặt phẳng P . Mặt phẳng Q có phương trình là: A. 3x 2 y z 3 0 .. B. x y z 2 0 .. C. x y 0 .. D. 3x 2 y z 3 0 .. Lời giải Chọn A Ta có AB 1; 2; 1. Từ P suy ra vec tơ pháp tuyến của P là nP 1;1;1 Gọi vec tơ pháp tuyến của Q là nQ Vì Q chứa A, B nên nQ AB 1 Mặt khác Q P nên nQ nP 2 Từ 1 , 2 ta được nQ AB , nP 3; 2; 1 Q đi qua A 1; 1; 2 và có vec tơ pháp tuyến nQ 3; 2; 1 nên Q có phương trình là 3 x 1 2 y 1 z 2 0 3x 2 y z 3 0 .. Câu 14.. (Chuyên. Đại. Học Vinh 2019). Trong. không. gian. P : x 3 y 2 z 1 0, Q : x z 2 0 . Mặt phẳng . Oxyz ,. cho. hai. mặt phẳng. vuông góc với cả P và Q đồng. thời cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3. Phương trình của mp là A. x y z 3 0. B. x y z 3 0. C. 2 x z 6 0. D. 2 x z 6 0. Lời giải Chọn A. . . P. Q. P có vectơ pháp tuyến n 1; 3; 2 , Q có vectơ pháp tuyến n 1;0; 1 . Vì mặt phẳng vuông góc với cả P và Q nên có một vectơ pháp tuyến là nP , nQ 3;3;3 3 1;1;1 . . Vì mặt phẳng cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 nên đi qua điểm M 3;0;0 . Vậy đi qua điểm M 3;0;0 và có vectơ pháp tuyến n 1;1;1 nên có phương trình: x y z 3 0.. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(219)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 15.. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng. : 3x 2 y 2 z 7 0 và : 5x 4 y 3z 1 0 . Phương trình mặt phẳng đi qua thời vuông góc với cả và có phương trình là A. 2 x y 2 z 1 0 .. B. 2 x y 2 z 0 .. C. 2 x y 2 z 0 .. O đồng. D. 2 x y 2 z 0 .. Lời giải. Gọi mặt phẳng phải tìm là P . Khi đó véc tơ pháp tuyến của P là: nP n , n 2; 1; 2 . Phương trình của P là 2 x y - 2 z 0 . Câu 16.. (HSG Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. P : x y z 1 0 và hai điểm A 1; 1;2 ; B 2;1;1 . Mặt phẳng Q với mặt phẳng P , mặt phẳng Q có phương trình là: A. 3 x 2 y z 3 0 .. B. x y z 2 0 .. chứa A, B và vuông góc. C. 3 x 2 y z 3 0 . D. x y 0 .. Lờigiải Mặt phẳng P có 1 véc tơ pháp tuyến là n p (1;1;1) . Véc tơ AB (1;2; 1) . Gọi n là một véc tơ pháp tuyến của Q , do Q vuông góc với P nên n có giá vuông góc với n p , mặt khác véc tơ AB có giá nằm trong mặt phẳng Q nên n cũng vuông góc với AB Mà n p và AB không cùng phương nên ta có thể chọn n = nP , AB 3; 2;1 , mặt khác Q đi qua A 1; 1; 2 nên phương trình của mặt phẳng Q là:. 3 x 1 2 y 1 1( z 2) 0 3x 2 y z 3 0 . Câu 17.. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A 0;1;0 , B 2;0;1 và vuông góc với mặt phẳng P : x y 1 0 là: A. x y 3z 1 0 .. B. 2 x 2 y 5 z 2 0 .. C. x 2 y 6 z 2 0 .. D. x y z 1 0 .. Lời giải Ta có: AB 2; 1;1 . Mặt phẳng P có 1 véctơ pháp tuyến là: n P 1; 1;0 . n AB Gọi n là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm. Khi đó n AB; n P 1;1; 1 . n n P Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 1 x 0 1 y 1 1 z 0 0 x y z 1 0 . Câu 18. (Chuyên Lam Sơn 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng : 3 x 2 y 2 z 7 0 và : 5 x 4 y 3 z 1 0. Phương trình mặt phẳng qua O , đồng thời vuông góc với cả và. có phương trình là A. 2 x y 2 z 0 .. B. 2 x y 2 z 1 0 . C. 2 x y 2 z 0 .. D. 2 x y 2 z 0 .. Lời giải Chọn C. Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là n1 3; 2; 2 . Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là n2 5; 4;3 . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(220)</span> Giả sử mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là n .. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Do mặt phẳng vuông góc với cả và nên ta có: n n1 n n1 , n2 2;1; 2 . n n2 Mặt phẳng đi qua O 0; 0; 0 và có vectơ pháp tuyến n 2;1; 2 có phương trình là:. 2x y 2z 0 . Câu 19. (SGD Bến Tre 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 1; 2 ; B 2;1;1 và mặt phẳng. P : x y z 1 0 . Mặt phẳng Q Q có phương trình là A. 3x 2 y z 3 0 .. chứa A , B và vuông góc với mặt phẳng P . Mặt phẳng. B. x y 0 .. C. x y z 2 0 .. D. 3x 2 y z 3 0 .. Lời giải Chọn A Ta có: AB 1 ; 2 ; 1 , mặt phẳng P có một véc tơ pháp tuyến là m 1;1;1 . Vì mặt phẳng (Q) chứa A , B và vuông góc với mặt phẳng P nên mặt phẳng Q có một véc tơ pháp tuyến là n AB , m 3 ; 2 ; 1 . Mặt phẳng Q có phương trình là Q : 3 x 1 2 y 1 z 2 0 3x 2 y z 3 0 . Câu 20. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : ax by cz 9 0 chứa hai điểm. A 3; 2;1 , B 3;5; 2 và vuông góc với mặt phẳng. S abc. A. S 12 .. B. S 2 .. C. S 4 . Lời giải. Q : 3x y z 4 0 .. Tính tổng. D. S 2 .. Chọn C. AB 6;3;1 . n Q 3;1;1 là VTPT của mp Q .. Mp P chứa hai điểm A 3; 2;1 , B 3;5; 2 và vuông góc với mặt phẳng Q . n p AB , n Q 2;9; 15 là VTPT của mp P A 3; 2;1 P P : 2 x 9 y 15 z 9 0 hoặc P : 2 x 9 y 15 z 9 0. Mặt khác P : ax by cz 9 0 a 2; b 9; c 15 . Vậy S a b c 2 9 15 4 .. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(221)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 21.. (Thi thử hội 8 trường chuyên 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba mặt phẳng. P : x y z 1 0, Q : 2 y z 5 0 và R : x y z 2 0. Gọi là mặt phẳng qua giao tuyến của P và Q , đồng thời vuông góc với R . Phương trình của là A. 2 x 3 y 5 z 5 0.. B. x 3 y 2 z 6 0.. C. x 3 y 2 z 6 0.. D. 2 x 3 y 5 z 5 0. Lời giải. Chọn B Tọa độ mọi điểm thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng P và Q thỏa mãn hệ phương trình:. x y z 1 0 2 y z 5 0 Cho z 1 ta được A 2; 2;1 , cho z 5 ta được B 4;0;5 thuộc giao tuyến, AB 2; 2; 4 . Mặt phẳng R có vec tơ pháp tuyến nR 1; 1;1 . 1 Mặt phẳng đi qua A 2; 2;1 và có vec tơ pháp tuyến n AB, nR 1;3;2 . 2 Phương trình của là: x 2 3 y 2 2 z 1 0 x 3 y 2 z 6 0 . Câu 22. (THPT Lương Thế Vinh - HN - 2018) Trong không gian Oxyz , phương trình của mặt phẳng. P đi qua điểm B 2;1; 3 , R : 2 x y z 0 là. đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng. A. 4 x 5 y 3z 22 0 .. B. 4 x 5 y 3z 12 0 .. C. 2 x y 3z 14 0 .. D. 4 x 5 y 3z 22 0 .. Q : x y 3z 0 ,. Lời giải Mặt phẳng Q : x y 3 z 0 , R : 2 x y z 0 có các vectơ pháp tuyến lần lượt là n1 1;1;3 và n2 2; 1;1 . Vì P vuông góc với hai mặt phẳng Q , R nên P có vectơ pháp tuyến là n n1 , n2 4;5; 3 . Ta lại có P đi qua điểm B 2;1; 3 nên P : 4 x 2 5 y 1 3 z 3 0. 4 x 5 y 3z 22 0 . Câu 23.. (Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;1 , B 1;1;3 và mặt phẳng P : x 3 y 2 z 5 0 . Một mặt phẳng Q đi qua hai điểm A , B và vuông góc với P có dạng là ax by cz 11 0 . Tính a b c . A. a b c 10 .. B. a b c 3 .. C. a b c 5 . D. a b c 7 . Lời giải Ta có AB 3; 3; 2 , P có vtpt n 1; 3; 2 , Q có vtpt k AB, n 0;8;12 Q có dạng: 2 y 4 3 z 1 0 2 y 3z 11 0 . Vậy a b c 5 . Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(222)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 24.. (Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;1;1 và hai mặt phẳng P : 2 x y 3z 1 0 , Q : y 0 . Viết phương trình mặt phẳng R . chứa A , vuông góc với cả hai mặt phẳng P và Q . A. 3x y 2 z 4 0 .. B. 3x y 2 z 2 0 . C. 3x 2 z 0 .. D. 3x 2 z 1 0 .. Lời giải P : 2 x y 3z 1 0 có véctơ pháp tuyến n P 2; 1;3 . Q : y 0 có véctơ pháp tuyến nQ 0;1;0 . Do mặt phẳng R vuông góc với cả hai mặt phẳng P và Q nên có véctơ pháp tuyến n R n P , n Q . n R 3; 0; 2 . Vậy phương trình mặt phẳng R là: 3 x 2 z 1 0 3 x 2 z 1 0 . Câu 25.. (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - 2018) Cho hai mặt phẳng : 3x 2 y 2 z 7 0 và :. 5 x 4 y 3z 1 0 . Phương trình mặt phẳng P đi qua gốc tọa độ đồng thời vuông góc và. là: A. x y 2 z 0 .. B. 2 x y 2 z 0 .. C. 2 x y 2 z 1 0 . D. 2 x y 2 z 0 .. Lời giải Gọi nP là vectơ pháp tuyến của P . Ta có nP n và nP n với n 3; 2; 2 và n 5; 4;3 . Chọn nP n ; n 2;1; 2 . Mặt phẳng P đi qua gốc tọa độ nên P : 2 x y 2 z 0 . Câu 26.. (Toán Học Tuổi Trẻ 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 2; 4;1 , B 1;1;3 và mặt phẳng P : x 3 y 2 z 5 0 . Một mặt phẳng Q đi qua hai điểm A , B và. vuông góc với P có dạng: ax by cz 11 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a b c .. B. a b c 5 .. C. a b; c .. D. a b c .. Lời giải Ta có: A 2; 4;1 , B 1;1;3 AB 3; 3; 2 . Véc tơ pháp tuyến của P là: n 1; 3; 2 .. Do mặt phẳng Q đi qua AB và vuông góc với P nên Q nhận véc tơ AB, n 0; 8; 12 làm một véc tơ pháp tuyến nên phương trình của Q sẽ là: 2 y 4 3 z 1 0 2 y 3z 11 0 .. Suy ra a 0 , b 2 , c 3 a b c 5 . Câu 27.. (Chuyên ĐHSPHN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 0;1; 2 , B 2; 2;0 , C 2;0;1 . Mặt phẳng P đi qua A , trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc. với mặt phẳng ABC có phương trình là A. 4 x 2 y z 4 0 . B. 4 x 2 y z 4 0 . C. 4 x 2 y z 4 0 . D. 4 x 2 y z 4 0 . Lời giải Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(223)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Ta có AB 2; 3; 2 , AC 2; 1; 1 nên AB, AC 1; 6; 8 .. Phương trình mặt phẳng ABC là: x 6 y 8 z 10 0 . Phương trình mặt phẳng qua B và vuông góc với AC là: 2 x y z 2 0 . Phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với AB là: 2 x 3 y 2 z 6 0 .. 22 70 176 ; ; Giao điểm của ba mặt phẳng trên là trực tâm H của tam giác ABC nên H . 101 101 101 22 31 26 1 Mặt phẳng P đi qua A , H nên nP AH ; ; 22;31; 26 . 101 101 101 101 Mặt phẳng P ABC nên nP n ABC 1;6; 8 . Vậy n ABC ; u AH 404; 202; 101 là một vectơ pháp tuyến của P . Chọn nP 4; 2; 1 nên phương trình mặt phẳng P là 4 x 2 y z 4 0 . Dạng 1.2 Xác định phương trình mặt phẳng đoạn chắn Câu 28.. (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz cho điểm M 1; 2;3 . Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A , B , C sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC . A. P : 6 x 3 y 2 z 18 0 .. B. P : 6 x 3 y 2 z 6 0 .. C. P : 6 x 3 y 2 z 18 0 .. D. P : 6 x 3 y 2 z 6 0 .. Lời giải Chọn C Theo giả thiết A Ox, B Oy, C Oz nên ta có thể đặt A a; 0; 0 , B 0; b;0 , C 0; 0; c . a 3 Vì M 1; 2;3 là trọng tâm tam giác ABC nên b 6 . c 9 . Từ đó ta có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn là: x y z P : 1 6 x 3 y 2 z 18 0 . 3 6 9 Câu 29.. (Chuyên Thái Bình - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M 1;2;3 . Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các trục Ox, Oy, Oz . Viết phương trình mặt phẳng ABC . A.. x y z 1. 1 2 3. B.. x y z 1. 1 2 3. x y z 0. 1 2 3 Lời giải. C.. x y z D. 1 . 1 2 3. Chọn A + A là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox A 1;0;0 .. B là hình chiếu vuông góc của M trên trục Oy B 0; 2;0 . Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(224)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. C là hình chiếu vuông góc của M trên trục Oz C 0;0;3 .. + Phương trình mặt phẳng ABC là Câu 30.. x y z 1. 1 2 3. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm G 1; 4;3 . Mặt phẳng nào sau đây cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho G là trọng tâm tứ diện OABC ? x y z A. 1 . 3 12 9 x y z C. 0 . 4 16 12. B. 12 x 3 y 4 z 48 0 . D. 12 x 3 y 4 z 0 . Lời giải. Chọn B Mp(P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C nên A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c .. xA xB xC xO a xG 4 4 a 4 y A yB yC yO b b 16 . Vì G là trọng tâm tứ diện OABC nên yG 4 4 c 12 z A z B zC zO c z G 4 4 . x y z 1 hay 12 x 3 y 4 z 48 0 . 4 16 12 Vậy mp(P) thỏa mãn là 12 x 3 y 4 z 48 0 . Khi đó mp(P) có phương trình là. Câu 31.. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng P đi qua A 1;1;1 và B 0; 2; 2 đồng thời cắt các tia Ox , Oy lần lượt tại hai điểm. M , N ( không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho OM 2ON A. P : 3x y 2 z 6 0. B. P : 2 x 3 y z 4 0. C. P : 2 x y z 4 0. D. P : x 2 y z 2 0 Lời giải. Chọn D Cách 1. Giả sử P đi qua 3 điểm M a;0;0 , N 0; b;0 , P 0;0; c Suy ra P :. x y z 1 a b c. 1 1 1 a b c 1 a 2 Mà P đi qua A 1;1;1 và B 0; 2; 2 nên ta có hệ 2 2 2 2 1 b c 1 b c Theo giả thuyết ta có OM 2ON a 2 b b 1 TH1. b 1 c 2 suy ra P : x 2 y z 2 0 TH1. b 1 c . 2 suy ra P : x 2 y 3z 2 0 3 Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(225)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 32.. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , nếu ba điểm A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M 1; 2;3 lên các trục tọa độ thì phương trình mặt phẳng. ABC là A.. 1 2 3 1. x y z. B.. x y z 1. 1 2 3. 1 2 3 0. x y z Lời giải. C.. D.. x y z 0. 1 2 3. Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M 1; 2;3 lên Ox, Oy, Oz . Suy ra: A 1;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0;3 . Vậy phương trình mặt phẳng ABC theo đoạn chắn là Câu 33.. x y z 1. 1 2 3. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M (8; 2; 4) . Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên các trục Ox, Oy, Oz . Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B và C là A. x 4 y 2 z 8 0. B. x 4 y 2 z 18 0 C. x 4 y 2 z 8 0 D. x 4 y 2 z 8 0. Lời giải M (8; 2; 4) chiếu lên Ox, Oy, Oz lần lượt là A(8; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 4) Phương trình đoạn chắn qua A, B, C là: Câu 34.. x y z 1 x 4 y 2z 8 0 8 2 4. (Chuyên Hạ Long 2019) Viết phương trình mặt phẳng đi qua M 2;1; 3 , biết cắt trục. Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho tam giác ABC nhận M làm trực tâm A. 2 x 5 y z 6 0. B. 2 x y 6 z 23 0. C. 2 x y 3z 14 0. D. 3x 4 y 3z 1 0. Lời giải Giả sử A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c , abc 0. Khi đó mặt phẳng có dạng:. x y z 1. a b c. 2 1 3 Do M 1 1 a b c Ta có: AM 2 a;1; 3 , BM 2;1 b; 3 , BC 0; b; c , AC a;0; c b 3c AM .BC 0 b 3c 0 Do M là trực tâm tam giác ABC nên: 3c 2a 3c 0 a 2 BM . AC 0 4 1 3 14 Thay 2 vào 1 ta có: 1 c a 7, b 14. 3c 3c c 3 x y 3z Do đó : 1 2 x y 3z 14 0. 7 14 14 Câu 35.. 2. (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm H 2;1;1 . Gọi các điểm A, B, C lần lượt ở trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz sao cho H là trực tâm của tam giác ABC . Khi đó hoành độ điểm A là: A. 3 .. B. 5 .. C. 3. Lời giải. D. 5. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(226)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Giả sử A a;0;0 ; B 0; b;0 ; C 0;0; c . Khi đó mặt phẳng ABC :. x y z 1 a b c. Ta có: AH 2 a;1;1 ; BH 2;1 b;1 BC 0; b; c ; AC a;0; c 2 1 1 H ABC a b c 1 a 3 Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH .BC 0 b c 0 b 6 2 a c 0 c 6 BH . AC 0 . Vậy A 3;0;0 Câu 36. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng đi qua điểm M 1; 2;3 và cắt các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại A, B , C (khác gốc tọa độ O ) sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Mặt phẳng. . có phương trình dạng ax by cz 14 0 . Tính tổng T a b c .. A. 8 .. B. 14 .. C. T 6 . Lời giải. D. 11 .. Mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy , Oz lần lượt tại A m;0;0 , B 0; n;0 , C 0;0; p , m, n, p 0 . Ta có phương trình mặt phẳng có dạng. x y z 1. m n p. 1 2 3 1 . 1 m n p Ta có AM 1 m; 2;3 , BM 1; 2 n;3 , BC 0; n; p , AC m;0; p . AM .BC 0 3 p 2 n 0 . 2 M là trực tâm tam giác ABC 3 p m 0 BM . AC 0 14 Từ 1 và 2 suy ra: m 14; n 7; p . 3 x y 3z Suy ra có phương trình 1 x 2 y 3z 14 0 . 14 7 14 Vậy T a b c 1 2 3 6 . Mà M . Câu 37. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho điểm M 1;2;5 . Mặt phẳng P đi qua điểm M cắt các trục tọa độ Ox,Oy,Oz tại A, B, C sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Phương trình mặt phẳng P là Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(227)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. x y z 8 0 .. B. x 2 y 5 z 30 0 .C.. x y z 0. 5 2 1. D.. x y z 1. 5 2 1. Lời giải Cách 1 : Ta có tính chất hình học sau : tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc thì điểm. M là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của điểm O lên mặt phẳng ABC .. Do đó mặt phẳng P đi qua điểm M 1; 2;5 và có véc tơ pháp tuyến OM 1; 2;5 . Phương trình mặt phẳng P là x 1 2 y 2 5 z 5 0 x 2 y 5 z 30 0. Cách 2: Giả sử A a;0;0 ; B 0; b;0 ; C 0;0; c Khi đó phương trình mặt phẳng P có dạng. x y z 1. a b c. 1 2 5 Theo giả thiết ta có M P nên 11 . a b c Ta có AM 1 a; 2;5 ; BC 0; b; c ; BM 1; 2 b;5 ; AC a; 0; c AM .BC 0 2b 5c Mặt khác M là trực tâm tam giác ABC nên 2 a 5c BM . AC 0. Từ 1 và 2 ta có a 30; b 15; c 6 . Phương trình mặt phẳng P là. x y z 1 x 2 y 5 z 30 0. 30 15 6. Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng. P : x 4 y 2z 6 0 , Q : x 2 y 4z 6 0 .. Mặt phẳng chứa giao tuyến của P , Q và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B , C sao cho hình chóp O. ABC là hình chóp đều. Phương trình mặt phẳng là A. x y z 6 0 .. B. x y z 6 0 .. C. x y z 3 0 .. D. x y z 6 0 .. Lời giải. Mặt phẳng P : x 4 y 2 z 6 0 có véctơ pháp tuyến nP 1; 4; 2 . Mặt phẳng Q : x 2 y 4 z 6 0 có véctơ pháp tuyến nQ 1; 2; 4 . Ta có nP ; nQ 12; 6; 6 , cùng phương với u 2; 1; 1 . Gọi d P Q . Ta có đường thẳng d có véctơ chỉ phương là u 2; 1; 1 và đi qua điểm. M 6;0;0 . Mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại các điểm A a ;0;0 , B 0; b ;0 , C 0;0; c với abc 0 . x y z 1. a b c 1 1 1 Mặt phẳng có véctơ pháp tuyến n ; ; . a b c. Phương trình mặt phẳng :. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(228)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 2 1 1 a 6 a b c 0 n u Mặt phẳng chứa d 1 1 1 . M 6 1 b c 3 a Ta lại có hình chóp O. ABC là hình chóp đều OA OB OC a b c b c 6 Kết hợp với điều kiện ta được b c 6 . x y z Vậy phương trình của mặt phẳng : 1 x y z 6 0 . 6 6 6. Câu 39.. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng. P đi qua điểm M 9;1;1 cắt các tia. Ox, Oy , Oz tại A, B, C ( A, B, C không trùng với gốc tọa độ ).. Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? 81 243 81 A. . B. . C. . 2 2 6 Lời giải. D. 243 .. Giả sử A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c với a , b, c 0 . Mặt phẳng P có phương trình ( theo đoạn chắn): Vì mặt phẳng P đi qua điểm M 9;1;1 nên. Ta có 1 . VOABC . Câu 40.. x y z 1. a b c. 9 1 1 1. a b c. 9 1 1 9 33 a.b.c 243 . a b c a.b.c. 1 243 81 81 . a.b.c . Vậy thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là 6 6 2 2. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz. cho các điểm. A(2;0;0), B(0; 4;0), C (0;0;6), D(2; 4;6) . Gọi ( P) là mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ABC ) , ( P) cách đều D và mặt phẳng ( ABC ) . Phương trình của mặt phẳng ( P) là A. 6 x 3 y 2 z 24 0 . B. 6 x 3 y 2 z 12 0 . C. 6 x 3 y 2 z 0 .. D. 6 x 3 y 2 z 36 0 . Lời giải. Chọn A. x y z 1 6 x 3 y 2 z 12 0 2 4 6 + ( P) song song với mặt phẳng ( ABC ) nên ( P) có dạng: 6 x 3 y 2 z D 0 (D -12) Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là:. + d ( D;( P)) d (( ABC ), ( P)) d ( D;( P)) d ( A, ( P)) 36 D 12 D D 24 . Vậy ( P) là: 6 x 3 y 2 z 24 0 . Câu 41.. (Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A a;0; 0 , B 0; b;0 , C 0; 0; c với a , b , c là ba số thực dương thay đổi, thỏa mãn điều kiện:. 1 1 1 2017 . Khi đó, mặt phẳng ABC luôn đi qua có một điểm có tọa độ cố định là a b c Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(229)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 1 1 1 A. ; ; . B. 1;1;1 . 3 3 3 1 1 1 ; ; C. . 2017 2017 2017 . D. 2017; 2017; 2017 . Lời giải. Chọn C Phương trình mặt phẳng ABC :. x y z 1. a b c. Dựa vào điều kiện, chọn M m ; m ; m cố định nằm trên ABC .. 1 1 1 1 Ta có: M ABC m 1 m.2017 1 m . 2017 a b c 1 1 1 Vậy ; ; là điểm cố định. 2017 2017 2017 Câu 42. Trong không gian Oxyz cho điểm M 1; 2;3 . Phương trình mặt phẳng P đi qua M cắt các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC là A. P : 6 x 3 y 2 z 18 0 .. B. P : 6 x 3 y 2 z 6 0 .. C. P : 6 x 3 y 2 z 18 0 .. D. P : 6 x 3 y 2 z 6 0 . Lời giải. Chọn A Gọi tọa độ các điểm A a;0;0 Ox , B 0; b;0 Oy và C 0;0; c Oz .. M là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có hệ sau: 3xM x A xB xC a 3 3 yM y A yB yC b 6 3 y z z z c 9 A B C M Do đó phương trình mặt phẳng P là. x y z 1 6 x 3 y 2 z 18 0 . 3 6 9. Câu 43. Cho điểm M 1; 2;5 . Mặt phẳng P đi qua M cắt các trục Ox, Oy , Oz lần lượt tại A, B, C sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Phương trình mặt phẳng P là A. x y z 8 0 . C.. x y z 0. 5 2 1. B. x 2 y 5 z 30 0 . D.. x y z 1. 5 2 1 Lời giải. Chọn B Cách 1: Gọi Aa;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c . Phương trình mặt phẳng P là. 1 2 5 Mặt phẳng P đi qua M nên 1(*) . a b c Ta có AB a; b;0 , AC a; 0; c , BM 1; 2 b;5, CM 1; 2;5 c . Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương x y z 1. a b c.
<span class='text_page_counter'>(230)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. a AB.CM 0 b 2 Do M là trực tâm tam giác ABC nên . AC.BM 0 a c 5 1 4 25 Thay vào (*) ta có 1 a 30 b 15, c 6 . a a a x y z Phương trình mặt phẳng P là 1 x 2 y 5 z 30 0 . 30 15 6 Câu 44. Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 2;5 . Số mặt phẳng đi qua M và cắt các trục. Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C mà OA OB OC 0 là A. 1.. B. 2.. C. 3.. D. 4.. Lời giải Chọn D Giả sử A a;0;0 , B 0;b;0 ,C 0;0;c với abc 0 ABC :. x y z 1 a b c. b a b a Mà OA OB OC 0 c a c a Trường hợp 1: b a; c a ABC :. x y z 1 2 5 1 mà M (1; 2;5) ABC 1 a 8 a a a a a a. Trường hợp 2: b a; c a ABC :. x y z 1 2 5 1 mà M (1;2;5) ABC 1 a 2 a a a a a a. Trường hợp 3: b a; c a ABC :. x y z 1 2 5 1 mà M (1; 2;5) ABC 1 a 4 a a a a a a. Trường hợp 4: b a; c a ABC :. x y z 1 2 5 1 mà M (1;2;5) ABC 1 a 6 a a a a a a. Vậy có 4 mặt phẳng Câu 45. Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;1; 2 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng P đi qua M và cắt các trục x'Ox, y'Oy,z'Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho OA OB OC 0 ? A. 3. B. 1. C. 4 Lời giải. D. 8. Chọn A. P đi qua M và cắt các trục điểm A a; 0; 0 ,B 0;b; 0 ,C 0; 0;c . Khi đó phương Mặt phẳng. x'Ox, y'Oy,z'Oz. lần lượt tại các. trình mặt phẳng. P. có dạng:. x y z 1. a b c Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(231)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Theo bài mặt phẳng P đi qua M 1;1; 2 và OA OB OC nên ta có hệ: a b c 1 1 2 a b c 1 1 . Ta có: 2 a b c a c b a b c 2 b c a - Với a b c thay vào 1 được a b c 4 - Với a b c thay vào 1 được 0 1 . - Với a c b thay vào 1 được a c b 2 . - Với b c a thay vào 1 được b c a 2 . Vậy có ba mặt phẳng thỏa mãn bài toán là: x y z x y z x y z P1 : 1; P2 : 1; P3 : 1 4 4 4 2 2 2 2 2 2 Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , có bao nhiêu mặt phẳng qua M 2;1;3 , A 0;0; 4 và cắt hai trục Ox , Oy lần lượt tại B , C khác O thỏa mãn diện tích tam giác OBC bằng 1? A. 0 .. C. 2 .. B. 3 .. D. 4 .. Lời giải Chọn C Gọi B a;0;0 , C 0; b;0 lần lượt là giao điểm của P với các trục Ox, Oy .. x y z Phương trình mặt phẳng P : 1 . a b 4 Vì M 2;1;3 thuộc P nên ta có. 2 1 3 2 1 1 1 4a 8b ab . a b 4 a b 4. 1 1 1 Diện tích tam giác S OBC OB.OC a . b ab 1 ab 2 2 2 2 4a 8b ab Xét hệ phương trình , I ab 2. 2a 1 4b 2a 1 4b 4a 8b 2 2a 4b 1 2 . Hệ vô nghiệm. 1 4b b 4 4b b 4 0, vn ab 2 2ab 4 4a 8b ab Xét hệ phương trình ab 2. 2a 1 4b 2a 1 4b 4a 8b 2 2a 4b 1 2 . Hệ có hai 1 4b b 4 4b b 4 0 ab 2 2ab 4 nghiệm. Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán. Câu 47.. (Đồng Tháp - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M 3; 2;1 . Mặt phẳng. P qua. M và cắt các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C sao cho M là trực tâm tam giác. ABC . Phương trình mặt phẳng P là. Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(232)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. x y z 6 0 . C.. x y z 1. 3 2 1. x y z B. 0 . 3 2 1 D. 3x 2 y z 14 0 . Lời giải. Giả sử A a;0;0 , B 0; b; 0 , C 0;0; c , khi đó phương trình mặt phẳng ABC :. x y z 1. a b c. Ta có BC 0; b; c , CA a;0; c và AM 3 a; 2;1 , BM 3; 2 b;1 . Vì M là trực tâm tam giác ABC nên ta có hệ AM .BC 0 2b c 0 c 2b . 3a c 0 c 3a BM .CA 0 Hơn nữa vì M thuộc ABC nên. Ta được a . 3 2 1 14 3 2 1 1 1 a . a b c 3 a 3a 3a 2. x y z 14 1. , b 7 , c 14 hay ABC : 14 7 14 3 3. Ta chọn ABC : 3x 2 y z 14 0 . Câu 48.. (Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng P chứa điểm M 1;3; 2 , cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C sao. OA OB OC . 1 2 4 A. 2 x y z 1 0 . cho. B. x 2 y 4 z 1 0 . C. 4 x 2 y z 1 0 . D. 4 x 2 y z 8 0 . Lời giải. Phương trình mặt chắn cắt tia Ox tại A a;0; 0 , cắt tia Oy tại B 0; b; 0 , cắt tia Oz tại C 0;0; c có dạng là P :. x y z 1 (với a 0 , b 0 , c 0 ). a b c. b OA OB OC a b c a Theo đề: 2 . 1 2 4 1 2 4 c 2b. Vì M 1;3; 2 nằm trên mặt phẳng P nên ta có:. 4 1 3 2 1 1 b 4 . b b 2b b 2. Khi đó a 2 , c 8 . Vậy phương trình mặt phẳng P là:. x y z 1 4x 2 y z 8 0 . 2 4 8. Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(233)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 49.. (Sở Nam Định - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu. S : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 3z 0 . Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm (khác gốc tọa độ mặt cầu S và các trục Ox , Oy , Oz . Phương trình mặt phẳng ABC là:. O ) của. A. 6 x 3 y 2 z 12 0 . B. 9 x 3 y 2 z 12 0 . C. 6 x 3 y 2 z 12 0 . D. 6 x 3 y 2 z 12 0 . Lời giải Giả sử A a;0;0 Ox, B 0; b;0 Oy, C 0;0; c Oz . Theo giả thiết ta có a, b, c 0 . a0 Vì A S nên ta có: a 2 2a 0 a 2 . Vậy A 2;0; 0 . b0 b 4 . Vậy B 0; 4; 0 . Vì B S nên ta có: b 2 4a 0 c0 c 6 . Vậy C 0; 0;6 . Vì C S nên ta có: c 2 6c 0 . Khi đó phương trình mặt phẳng ABC là: Câu 50.. x y z 1 6 x 3 y 2 z 12 0 . 2 4 6. (THPT Thực Hành - TPHCM - 2018) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng đi qua M 1; 3; 8 và chắn trên Oz một đoạn dài gấp đôi các đoạn chắn trên các tia Ox , Oy . Giả sử. : ax by cz d 0 ( a, b, c, d A. 3 .. là các số nguyên). Tính S . 5 . 4 Lời giải. B. 3 .. abc . d 5 D. . 4. C.. Giả sử mặt phẳng cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A m; 0; 0 , B 0; n; 0 , C 0; 0; p (với. m, n, p 0 ) Theo giả thiết có OC 2OA 2OB p 2m 2n Phương trình mặt phẳng có dạng. x y z 1. m n p. Do mặt phẳng đi qua M 1; 3; 8 nên. Thay 1 vào 2 ta được. 1 3 8 1 m n p. 2. 1 3 8 2 1 1 m 2 m n 2, p 4 m m 2m m. Phương trình mặt phẳng có dạng. x y z 1 2x 2 y z 4 0 2 2 4. Từ đó suy ra a 2t , b 2t , c t , d 4t Vậy S . 1 .. t 0. abc 5 . d 4. Dạng 1.3 Phương trình mặt phẳng qua 3 điểm. Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(234)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 51.. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A 2; 3;1 lên các mặt phẳng tọa độ. Phương trình mặt phẳng MNP là x y z 1. 2 3 1 x y z C. 0 . 2 3 1. A.. B. 3x 2 y 6 z 6 . D. 3x 2 y 6 z 12 0 . Lời giải. Không mất tính tổng quát, ta giả sử M , N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A 2; 3;1 lên các mặt phẳng tọa độ Oxy , Oxz , Oyz . Khi đó, M 2; 3;0 , N 2;0;1 và P 0; 3;1 MN 0;3;1 và MP 2; 0;1 . Ta có, MN và MP là cặp vectơ không cùng phương và có giá nằm trong MNP Do đó, MNP có một vectơ pháp tuyến là n MN , MP 3; 2;6 . Mặt khác, MNP đi qua M 2; 3;0 nên có phương trình là:. 3 x 2 2 y 3 6 z 0 0 3x 2 y 6 z 12 0 . Câu 52.. (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian Oxyz , cho các điểm A 1; 2;1 , B 2; 1;4 và. C 1;1; 4 . Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng ABC ? A.. x y z . 1 1 2. B.. x y z . 2 1 1. Ta có AB 3; 3;3 ; AC 2; 1;3 . Suy ra AB; AC 6; 3;3 .. x y z . 1 1 2 Lời giải. C.. D.. x y z . 2 1 1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC có vecto chỉ phương u vuông góc với AB; AC nên u cùng phương với AB, AC do đó chọn u (2;1; 1) .. Câu 53.. (THPT Nghĩa Hưng NĐ-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm. A 0;1; 2 , B 2; 2;1 , C 2;1;0 . Khi đó, phương trình mặt phẳng ABC là ax y z d 0 . Hãy xác định a và d . A. a 1, d 1 .. B. a 6, d 6 .. C. a 1, d 6 .. D. a 6, d 6 .. Lời giải Ta có: AB 2; 3; 1 ; AC 2; 0; 2 .. 3 1 1 2 2 3 AB, AC ; ; 6; 6; 6 . 0 2 2 2 2 0 1 Chọn n AB; AC 1;1; 1 là một VTPT của mp ABC . Ta có pt mp ABC là: 6 x y 1 z 2 0 x y z 1 0 . Vậy a 1, d 1 .. Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(235)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 54.. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3;5; 2 , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua các điểm là hình chiếu của điểm A trên các mặt phẳng tọa độ? A. 3x 5 y 2 z 60 0 . B. 10 x 6 y 15 z 60 0 .. x y z 1. 3 5 2 Lời giải. C. 10 x 6 y 15 z 90 0 .. D.. Chọn B Gọi A1 , A2 , A3 lần lượt là hình chiếu của điểm A lên các mặt phẳng Oxy , Oyz , Oxz . Ta có A1 3;5;0 , A2 0;5; 2 , A3 3;0; 2 . A1 A2 3;0; 2 , A1 A3 0; 5; 2 . Mặt phẳng qua A1 có vectơ pháp tuyến n A1 A2 , A1 A3 10; 6;15 có phương trình là 10 x 6 y 15 z 60 0 . Câu 55.. (Thi. thử. cụm. Vũng. Tàu. -. 2019). Trong. không. gian. Oxyz ,. cho. ba. điểm A 3; 2; 2 , B 3; 2; 0 , C 0; 2;1 . Phương trình mặt phẳng ABC là A. 2 x 3 y 6 z 12 0 . B. 2 x 3 y 6 z 12 0 . C. 2 x 3 y 6 z 0 .. D. 2 x 3 y 6 z 12 0 . Lời giải. Chọn C Cách 1: Ta có: AB 0; 4; 2 , AC 3; 4;3 , n AB; AC 4; 6;12 . Ta có n 4; 6;12 cùng phương n1 2; 3;6. Mặt phẳng ABC đi qua điểm C 0; 2;1 và có một vectơ pháp tuyến n1 2; 3;6 nên. ABC có phương trình là: 2 x 0 3 y 2 6 z 1 0 2 x 3 y 6 z 0 . Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2 x 3 y 6 z 0 . Cách 2: Vì phương trình mặt phẳng ABC đi qua 3 điểm A, B, C nên thay tọa độ điểm C 0; 2;1 lần lượt vào các đáp án. Loại đáp án A, B, D. Còn lại đáp án C thỏa. Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2 x 3 y 6 z 0 . Câu 56. Trong không gian với hệ tọa độ. Oxyz , mặt phẳng đi qua 3 điểm A 1; 2;3 , B 4;5;6 ,. C 1;0; 2 có phương trình là A. x y 2 z 5 0 .. B. x 2 y 3z 4 0 .. C. 3x 3 y z 0 .. D. x y 2 z 3 0 . Lời giải. Chọn D. . . Ta có: AB 3;3;3 , AC 0; 2; 1. Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(236)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. . . Mặt phẳng đi qua 3 điểm A 1; 2;3 , B 4;5;6 , C 0;1; 2 nhận n AB, AC 3;3; 6 làm véctơ pháp tuyến. Nên phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A 1; 2;3 , B 4;5;6 , C 1;0; 2 có phương trình là. 3 x 3 y 6 z 9 0 hay x y 2 z 3 0 Câu 57.. (SGD - Bình Dương - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng đi qua ba điểm A 2; 3; 5 , B 3; 2; 4 và C 4; 1; 2 có phương trình là. A. x y 5 0 .. B. x y 5 0 .. C. y z 2 0 .. D. 2 x y 7 0 .. Lời giải Vì AB ; AC ABC nên ABC sẽ nhận n AB, AC làm một vectơ pháp tuyến. Ta có AB 1; 1; 1 , AC 2; 2; 3 suy ra n AB, AC 1; 1; 0 . Hiển nhiên ABC đi qua A 2; 3; 5 nên ta có phương trình của ABC là 1 x 2 1 y 3 0 z 5 0 x y 5 0 .. Câu 58.. (Lê Quý Đôn - Hải Phòng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A 1;1; 4 , B 2; 7;9 , C 0;9;13 . A. 2 x y z 1 0 .. B. x y z 4 0 .. C. 7 x 2 y z 9 0 . D. 2 x y z 2 0 . Lời giải. Ta có AB 1; 6;5 , AC 1;8;9 , ABC đi qua A 1;1; 4 có vtpt n AB, AC 14; 14;14 14 1; 1;1 có dạng x y z 4 0. Câu 59.. (SGD - Bình Dương - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm S 1; 6; 2 , A 0; 0;6 , B 0;3;0 , C 2;0;0 . Gọi H là chân đường cao vẽ từ S của tứ diện S . ABC . Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm S , B , H là A. x y z 3 0 . B. x y z 3 0 .. C. x 5 y 7 z 15 0 . D. 7 x 5 y 4 z 15 0 . Lời giải. x y z 1 3x 2 y z 6 0 . 2 3 6 H là chân đường cao vẽ từ S của tứ diện S . ABC nên H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt 19 31 17 phẳng ABC H ; ; 14 7 14 Phương trình Mặt phẳng ABC :. qua B 0;3;0 11 55 11 11 Mặt phẳng SBH : . vtpt BH , SB ; ; 1;5; 7 14 14 2 14 . Phương trình Mặt phẳng SBH : x 5 y 3 7 z 0 x 5 y 7 z 15 0 .. Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(237)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dạng 2. Một số bài toán liên đến khoảng cách - góc Dạng 2.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt, khoảng cách giữa hai mặt Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Khoảng cách từ điểm M ( xM ; yM ; zM ) đến mặt phẳng ( P) : ax by cz d 0 được xác định bởi công thức: d ( M ;( P)) . axM byM czM d. a2 b2 c2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng Cho hai mặt phẳng song song ( P) : ax by cz d 0 và (Q) : ax by cz d 0 có cùng véctơ pháp tuyến, khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là d (Q), ( P) . d d a2 b2 c 2. . Viết phương trình ( P ) (Q) : ax by cz d 0 và cách M ( x ; y ; z ) khoảng k . Phương pháp: Vì ( P) (Q) : ax by cz d 0 ( P) : ax by cz d 0. ax by cz d Sử dụng công thức khoảng cách d M ,( P ) k d . a 2 b2 c 2 Viết phương trình mặt phẳng ( P) (Q) : ax by cz d 0 và ( P) cách mặt phẳng (Q) một khoảng k cho trước. Phương pháp: Vì ( P) (Q) : ax by cz d 0 ( P) : ax by cz d 0. Chọn một điểm M ( x ; y ; z ) (Q) và sử dụng công thức: ax by cz d d( Q );( P ) d M ,( P ) k d . a2 b2 c2 Viết phương trình mặt phẳng ( P) vuông góc với hai mặt phẳng ( ), ( ), đồng thời ( P) cách điểm M ( x ; y ; z ) một khoảng bằng k cho trước. Phương pháp: Tìm n( ) , n( ) . Từ đó suy ra n( P ) n( ) , n( ) (a; b; c). Khi đó phương trình ( P) có dạng ( P ) : ax by cz d 0, (cần tìm d ). ax by cz d k d. Ta có: d M ;( P ) k a2 b2 c2. Câu 1.. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong không gian Oxyz , điểm M thuộc trục Oy và cách đều hai mặt phẳng: P : x y z 1 0 và Q : x y z 5 0 có tọa độ là A. M 0; 3;0 .. B. M 0;3;0 .. C. M 0; 2;0 .. D. M 0;1;0 .. Lời giải Ta có M Oy M 0; y;0 . Theo giả thiết: d M P d M Q . y 1 3. . y 5 3. y 3 .. Vậy M 0; 3;0 Câu 2.. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A(1; 2;3) , B 3; 4; 4 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 2 x y mz 1 0 bằng độ dài đoạn thẳng AB .. Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(238)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. m 2 .. B. m 2 .. C. m 3 . Lời giải. D. m 2 .. Ta có AB 2; 2;1 AB 22 2 2 12 3 1 .. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng P : d A , P Để AB d A , P 3 Câu 3.. 3m 3 5m. 2. 2.1 2 m.3 1 22 12 m 2. . 3m 3 5 m2. 2 .. 2. 9 5 m 2 9 m 1 m 2 .. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Trong không. gian. Oxyz ,. cho 3 điểm. A 1;0;0 , B 0; 2;3 , C 1;1;1 . Gọi P là mặt phẳng chứa A, B sao cho khoảng cách từ C tới 2 . Phương trình mặt phẳng P là 3 2 x 3 y z 1 0 x 2 y z 1 0 A. B. 3x y 7 z 6 0 2 x 3 y 6 z 13 0 mặt phẳng P bằng. x y 2 z 1 0 C. 2 x 3 y 7 z 23 0. x y z 1 0 D. 23x 37 y 17 z 23 0 Lời giải. qua A(1;0; 0) Gọi ( P) : VTPT n ( A; B; C ) 0 ( P ) : A.( x 1) By Cz 0 B ( P ) : A 2 B 3C 0 A 2 B 3C (1). d (C ;( P)) . 2 3. B C A B C 2. 2. 2. . 2 3( B 2 C 2 2 BC ) 4( A2 B 2 C 2 ) 3. B C 6 BC 4 A2 0 (2) 2. 2. Thay (1) vào (2) ta có: B 2 C 2 6 BC 4(2 B 3C )2 0 17 B 2 54 BC 37C 2 0 B 1 A 1 Cho C 1: 17 B 54 B 37 0 37 23 B A 17 17 2. ( P ) : x y x 1 0 ( P ) : 23 x 37 y 17 z 23 0. Câu 4.. Trong không gian Oxyz cho A 2; 0;0 , B 0; 4; 0 , C 0;0;6 , D 2; 4;6 . Gọi P là mặt phẳng song song với mp ABC , P cách đều D và mặt phẳng ABC . Phương trình của P là A. 6 x 3 y 2 z 24 0 B. 6 x 3 y 2 z 12 0 C. 6 x 3 y 2 z 0. D. 6 x 3 y 2 z 36 0 Lời giải. Chọn A. x y z 1 6 x 3 y 2 z 12 0 . 2 4 6 P // ABC P : 6 x 3 y 2 z m 0 m 12 .. ABC :. Facebook Nguyễn Vương 25.
<span class='text_page_counter'>(239)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. cách đều D và mặt phẳng ABC d D, P d A, P . P. 6.2 3.4 2.6 m. . . 6.2 3.0 2.0 m. 36 m 12 m 36 m 12 m 36 m 12 m. 62 32 2 2 6 2 32 22 m 24 (nhận). Vậy phương trình của P là 6 x 3 y 2 z 24 0 . Câu 5.. (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;3 , B 5; 4; 1 và mặt phẳng P qua Ox sao cho d B; P 2d A; P , P cắt AB tại I a; b; c nằm giữa AB . Tính a b c . A. 12 .. C. 4 . Lời giải.. B. 6 .. D. 8 .. Vì d B; P 2d A; P và P cắt đoạn AB tại I nên 7 a 5 2 a 1 a 3 BI 2 AI b 4 2 b 2 b 0 a b c 4 . 5 c 1 2 c 3 c 3 Câu 6.. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz , Khoảng cách giữa hai mặt phẳng. P : x 2 y 2 z 10 0 A.. 4 3. và Q : x 2 y 2 z 3 0 bằng: B.. 8 . 3. 7 . 3 Lời giải. D. 3 .. C.. Chọn C Lấy. A 2;1;3 P .Do. d P , Q d A, Q Câu 7.. P. song. 2 2.1 2.3 3 2. 2. 1 2 2. 2. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian. . song. với. Q. nên. Ta. có. 7 3. Oxyz cho hai mặt phẳng song song P và Q lần. lượt có phương trình 2 x y z 0 và 2 x y z 7 0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng P và Q bằng A.. 7.. B. 7 6 .. C. 6 7 .. D.. 7 . 6. Lời giải Mặt phẳng P đi qua điểm O 0; 0; 0 . Do mặt phẳng P song song mặt phẳng Q nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng P và Q bằng: d Câu 8.. P , Q d O, Q . 7 6. . 7. . 6. Trong không gian Oxyz , khoảng cách giữa hai mặt phẳng P : x 2 y 2 z 8 0 và Q : x 2 y 2 z 4 0 bằng. Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(240)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 4 B. . 3. A. 1.. C. 2.. D.. 7 . 3. Lời giải P / / Q 8 2.0 2.0 4 4 Ta có d P ; Q d A; Q . 3 12 22 2 2 A 8; 0;0 P Nhận xét: Nếu mặt phẳng P : ax by cz d và Q : ax by cz d ' a 2 b2 c 2 0 song song với nhau d d ' thì d P ; Q Câu 9.. d d' a2 b2 c 2. ... Trong không gian Oxyz , khoảng cách giữa hai mặt phẳng P : x 2 y 2 z 16 0 và. Q : x 2 y 2 z 1 0 bằng A. 5.. B.. 17 . 3. C. 6.. D.. 5 . 3. Lời giải 16 2.0 2.0 1 P / / Q Ta có d P ; Q d A; Q 5. 12 22 22 A 16;0; 0 P Câu 10.. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz khoảng cách giữa hai mặt phẳng. P : x 2 y 3z 1 0 A.. và Q : x 2 y 3 z 6 0 là. 7 14. B.. 8 14. C. 14. D.. 5 14. Lời giải. P : x 2 y 3z 1 0 Q : x 2 y 3z 6 0 . Ta có:. 1 2 3 1 1 2 3 6. Các giải trắc nghiệm: Công thức tính nhanh: d P ; Q =. P // Q. P : Ax By Cz D1 0; Q Ax By Cz D2 0. D2 D1 2. A B2 C 2. áp dụng công thức: d P ; Q . 1 6 2. 2. 2. 1 2 3. . 14 . 2. Câu 11. Trong không gian Oxyz , khoảng cách giữa hai mặt phẳng. Q : x A. 7 .. 1 1 y z 8 0 bằng 2 3 B. 8 .. C. 9 . Lời giải. P : 6x 3 y 2z 1 0. và. D. 6 .. Facebook Nguyễn Vương 27.
<span class='text_page_counter'>(241)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 6 3 2 1 P // Q nên d P ; Q d M ; Q với M 0;1; 1 P 1 1 1 8 2 3 1 1 1 1 xM yM zM 8 0 8 2 3 2 3 d P ; Q d M ; Q 7. 2 2 49 1 1 12 36 2 3. Vì. Câu 12.. (Chuyên Lam Sơn-2019) Trong không gian Oxyz khoảng cách giữa hai mặt phẳng. P : x 2 y 3z 1 0 A.. và Q : x 2 y 3 z 6 0 là:. 7 . 14. B.. 8 . 14. C. 14 .. D.. 5 . 14. Lời giải Chọn A Có P / / Q d P , Q d A, Q với A bất kì thuộc P . Chọn A 1; 0;0 P có d P , Q d A, Q . 7 14. . 7 . 14. Câu 13. (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song : x 2 y 2 z 4 0 và : x 2 y 2 z 7 0 . A. 0 .. B. 3 .. C. 1 . Lời giải. D. 1 .. Chọn D Ta có M 0;1;1 , khoảng cách giữa hai mặt phẳng , là:. h d M , Câu 14.. 0 2.1 2.1 7. 1. 2. 22 22. 1.. (THPT Đông Sơn 1 - Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu. S : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 z 22 0 và mặt phẳng P :3x 2 y 6 z 14 0. tâm I của mặt cầu S đến mặt phẳng P bằng A. 2.. B. 4.. C. 3. Lời giải. Khoảng cách từ. D. 1.. Chọn C Mặt cầu S có tâm I 1;1;1 . Vậy d I , P Câu 15.. 3 2 6 14 9 4 36. 3. .. (SGD Bến Tre 2019) Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng P : 2 x y 2 z 9 0 và. Q : 4 x 2 y 4 z 6 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng P A. 0 .. B. 2 .. C. 1 . Lời giải. và Q bằng D. 3 .. Chọn B Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(242)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Trong mặt phẳng P ta chọn điểm M 0; 9;0 . Tính khoảng cách từ M đến Q ta có: d M , Q . Câu 16.. 4.0 2.(9) 4.0 6 2. 42 2 4 . 2. 2 . Vậy d P , Q d M , Q 2 .. (SP Đồng Nai - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P) : x 2 y 2 z 6 0 và. (Q) : x 2 y 2 z 3 0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( P ) và (Q) bằng A. 3 .. C. 9 .. B. 1 .. D. 6 .. Lời giải Chọn A Nhận xét hai mặt phẳng ( P) và (Q) song song với nhau. Lấy M (6;0;0) ( P) ta có d ( P);(Q ) d M ; (Q) . 1.6 2.0 2.0 3 12 22 (2)2. Câu 17. (Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng. 3.. P : 3x 4 y 12z 5 0. và điểm A 2;4; 1 . Trên mặt phẳng P lấy điểm M . Gọi B là điểm sao cho AB 3. AM . Tính khoảng. cách d từ B đến mặt phẳng P . A. d 6 .. B. d . 30 . 13. C. d . 66 . 13. D. d 9 .. Lời giải Chọn A A. K H. M. (P). B. d B, P BM 2 Ta có: AB 3. AM BM 2. AM d A, P AM. d B, P 2.d A, P 2.. Câu 18.. 3.2 4.4 12. 1 5 2. 2. 3 4 12 . 2. 2.3 6 .. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. P : 2 x 2 y z 1 0 . Mặt phẳng nào sau đây song song với P . và cách P một khoảng bằng. 3? A. Q : 2 x 2 y z 10 0 .. B. Q : 2 x 2 y z 4 0 .. C. Q : 2 x 2 y z 8 0 .. D. Q : 2 x 2 y z 8 0 . Lời giải. Chọn C. Mặt phẳng P đi qua điểm M 0;0; 1 và có một vectơ pháp tuyến n 2; 2; 1 . Facebook Nguyễn Vương 29.
<span class='text_page_counter'>(243)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Mặt phẳng Q song song với P và cách P một khoảng bằng 3 nên có dạng. Q : 2 x 2 y z d 0, d 1 . Mặt khác ta có d M , Q 3 . d 8 (thỏa mãn). 3 d 1 9 4 4 1 d 10 1 d. Do đó Q : 2 x 2 y z 8 0 hoặc Q : 2 x 2 y z 10 0 . Câu 19.. cách đều điểm A 2;3; 4 và mặt. (SGD Bến Tre 2019) Tìm trên trục Oz điểm M phẳng P : 2 x 3 y z 17 0 . A. M 0;0; 3 .. B. M 0;0;3 .. C. M 0;0; 4 .. D. M 0;0; 4 .. Lời giải Chọn B 2. Vì M Oz M 0;0; m . Ta có: MA 22 32 4 m ; d M , P . m 17 14. .. M cách đều điểm A 2;3; 4 và mặt phẳng P : 2 x 3 y z 17 0 khi và chỉ khi 2. 22 32 4 m Câu 20.. m 17 14. 2. 13 m 3 0 m 3 . Vậy M 0;0;3 .. (SGD Bắc Ninh 2019) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;1 , B 3;4;0 , mặt phẳng P : ax by cz 46 0 . Biết rằng khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng P lần lượt bằng 6 và 3 . giá trị của biểu thức T a b c bằng A. 3 . B. 6 . C. 3 . Lời giải Chọn B. D. 6 .. Ta có AB 3 d (B, ( P)) suy ra A, B nằm cùng phía đối với mặt phẳng P . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A, B xuống mặt phẳng P . Ta có 6 AH BK AK AH 6 . Do đó A, B, H , K thẳng hàng.. Từ đó suy ra AB ( P ) và B là trung điểm của AH nên H (5;6; 1) , AB(2; 2; 1) . Phương trình mặt phẳng P : 2( x 5) 2( y 6) 1( z 1) 0 2 x 2 y z 23 0 4 x 4 y 2 z 46 0 . Vậy a b c 6 . Câu 21.. (Chuyên Quang Trung- Bình Phước 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng. P : x 2 y 2 z 10 0 . Phương trình mặt phẳng Q với Q song song với P và khoảng 7 là. 3 A. x 2 y 2 z 3 0; x 2 y 2 z 17 0 B. x 2 y 2 z 3 0; x 2 y 2 z 17 0 cách giữa hai mặt phẳng P và Q bằng. C. x 2 y 2 z 3 0; x 2 y 2 z 17 0. D. x 2 y 2 z 3 0; x 2 y 2 z 17 0 Lời giải. Chọn D Vì Q song song với P nên phương trình mặt phẳng Q có dạng. Q : x 2 y 2 z c 0 Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(244)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 7 Lấy M P M 0;0;5 d M , Q . Khi đó ta có 3 c 3 2.5 c 7 10 c 7 d M , Q 2 2 2 3 10 c 7 c 17 1 2 2 Vậy ta có các mặt phẳng Q là. Q : x 2 y 2 z 3 0;Q : x 2 y 2 z 17 0 Câu 22.. (SGD Hưng Yên 2019) Trong không gian hệ toạ độ Oxyz , lập phương trình các mặt phẳng song song với mặt phẳng : x y z 3 0 và cách một khoảng bằng. 3.. A. x y z 6 0 ; x y z 0 .. B. x y z 6 0 .. C. x y z 6 0 ; x y z 0 .. D. x y z 6 0 ; x y z 0 . Lời giải. Chọn A Gọi mặt phẳng cần tìm. Vì // nên phương trình có dạng : x y z c 0 với c \ 3 . Lấy điểm I 1; 1;1 . Vì khoảng cách từ đến bằng. 3 nên ta có :. c 0 3 . (thỏa điều kiện c \ 3 ). 3 3 c 6 Vậy phương trình là: x y z 6 0 ; x y z 0 . d I , 3 . Câu 23.. 1 1 1 c. 3. c 3. (THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa - 2018) Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A 4; 2;1 , B 0;0;3 , C 2;0;1 . Viết phương trình mặt phẳng chứa OC và cách đều 2 điểm A, B .. A. x 2 y 2 z 0 hoặc x 4 y 2 z 0 .. B. x 2 y 2 z 0 hoặc x 4 y 2 z 0 .. C. x 2 y 2 z 0 hoặc x 4 y 2 z 0 .. D. x 2 y 2 z 0 hoặc x 4 y 2 z 0 . Lời giải. Gọi : Ax By Cz D 0 A B C 0 . 2. 2. 2. O nên ta có: D 0 1 C nên ta có: Ax By Cz 2 A C 0 2 . Từ 1 , 2 C 2 A . Theo đề bài: d A, d B, . B 2 A * 2 A B 6 A 2 A 2 B 6 A 2 A B 6 A B 4 A ** Từ * : Chọn A 1 B 2, C 2 : x 2 y 2 z 0 . Từ ** : Chọn A 1 B 4, C 2 : x 4 y 2 z 0 . Câu 24.. (THPT Nguyễn Tất Thành - Yên Bái - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0;0), B(0; 2;3), C (1;1;1). Phương trình mặt phẳng khoảng cách từ C tới P bằng. P. chứa A, B sao cho. 2 là 3. Facebook Nguyễn Vương 31.
<span class='text_page_counter'>(245)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. x y z 1 0 hoặc 23x 37 y 17z 23 0 . B. x y 2 z 1 0 hoặc 23x 3 y 7 z 23 0. C. x 2 y z 1 0 hoặc 13x 3 y 6 z 13 0. D. 2 x 3 y z 1 0 hoặc 3x y 7 z 3 0. Lời giải Giả sử n a; b; c là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P . Ta có n AB 1; 2;3 a 2b 3c 0 a 2b 3c.. P : ax by cz a 0 d (C;( P)) . bc a2 b2 c 2. . 2 . 3. 2. 3 b c 2 b 2 c 2 2b 3c 17b 2 54bc 37c 2 0 .. b c b c 1 b 37 c c 17, b 37 17 TH1: b c 1 a 1 ( P ) : x y z 1 0 . TH2: b 37, c 17 a 23 ( P) : 23 x 37 y 17 z 23 0 . Câu 25. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x 2 y z 5 0 . Viết phương trình mặt phẳng Q song song với mặt phẳng P , cách P một khoảng bằng 3 và cắt trục Ox tại điểm có hoành độ dương. A. Q : 2 x 2 y z 4 0 .. B. Q : 2 x 2 y z 14 0 .. C. Q : 2 x 2 y z 19 0 .. D. Q : 2 x 2 y z 8 0 . Lời giải. Ta có, Q song song P nên phương trình mặt phẳng Q : 2 x 2 y z C 0 ; C 5 Chọn M 0;0;5 P Ta có d P ; Q d M ; Q . C 4 3 2 C 14 2 2 2 12. 5C. C 4 Q : 2 x 2 y z 4 0 khi đó Q cắt Ox tại điểm M 1 2;0;0 có hoành độ âm nên trường hợp này Q không thỏa đề bài.. C 14 Q : 2 x 2 y z 14 0 khi đó Q cắt Ox tại điểm M 2 7;0;0 có hoành độ dương do đó Q : 2 x 2 y z 14 0 thỏa đề bài. Vậy phương trình mặt phẳng Q : 2 x 2 y z 14 0 . Câu 26.. (Chuyên Phan Bội Châu -2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. Q : x 2 y 2 z 3 0 , mặt phẳng P không d P , Q 1 . Phương trình mặt phẳng P là A. x 2 y 2 z 1 0. B. x 2 y 2 z 0. qua O , song song với mặt phẳng. Q và. C. x 2 y 2 z 6 0 D. x 2 y 2 z 3 0. Lời giải Vì mặt phẳng P song song với mặt phẳng Q Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(246)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. vtptnP vtptnQ 1; 2; 2 Phương trình mặt phẳng P có dạng x 2 y 2 z D 0 Gọi A 3;0;0 Q . d P , Q d A, P 1 . 3 D 3 D 3 D 0 (l ), qua O 1 3 3 D 3 D 6 ( n ). Câu 27. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , cho A 2;0;0 , B 0; 4;0 ,. C 0;0;6 , D 2; 4;6 . Gọi P là mặt phẳng song song với mp ABC , P cách đều D và mặt phẳng ABC . Phương trình của P là A. 6 x 3 y 2 z 24 0 . B. 6 x 3 y 2 z 12 0 . C. 6 x 3 y 2 z 0 .. D. 6 x 3 y 2 z 36 0 . Lời giải. Phương trình mp ABC :. x y z 1 6 x 3 y 2 z 12 0 . 2 4 6. Mặt phẳng P song song với mặt phẳng ABC nên phương trình có dạng: 6 x 3 y 2 z d 0 , d 12 .. Mặt phẳng P cách đều D và mặt phẳng ABC . d ABC , P d D, P d A, P d D, P . 6.2 d 2. 2. 6 3 2. 2. . 6.2 3.4 2.6 d 62 32 22. d 12 d 36 d 24 (thỏa mãn).. Vậy phương trình mặt phẳng P : 6 x 3 y 2 z 24 0 . Câu 28. (Ngô Quyền - Hải Phòng 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2;0;0 , B 0;3;0 ,. C 0;0; 1 . Phương trình của mặt phẳng P qua D 1;1;1 và song song với mặt phẳng ABC là A. 2 x 3 y 6 z 1 0 . B. 3x 2 y 6 z 1 0 . C. 3x 2 y 5 z 0 .. D. 6 x 2 y 3z 5 0 . Lời giải. Chọn B Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng ABC là:. x y z 1. 2 3 1. Mặt phẳng P song song với mặt phẳng ABC nên. 1 1 x y z m 0 m 1 . 2 3 1 1 1 1 Do D 1;1;1 P có: .1 .1 1 m 0 m 0 m . 2 3 6 6 1 1 1 Vậy P : x y z 0 3x 2 y 6 z 1 0 . 2 3 6. P:. Facebook Nguyễn Vương 33.
<span class='text_page_counter'>(247)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 29.. (Chuyên Nguyễn Đình Triểu - Đồng Tháp - 2018) Trong không gian Oxyz , cho A 1;1;0 , B 0; 2;1 , C 1;0; 2 , D 1;1;1 . Mặt phẳng đi qua A 1;1;0 , B 0; 2;1 , song song với. đường thẳng CD . Phương trình mặt phẳng là A. x y 2 3 0 .. B. 2 x y z 2 0 .. C. 2 x y z 3 0 . D. x y 2 0 .. Lời giải AB 1;1;1 , CD 0;1; 1 AB, CD 2; 1; 1 .. . đi qua A 1;1;0 và có một VTPT là n 2;1;1 : 2 x y z 3 0 .. Dạng 2.2 Góc của 2 mặt phẳng 1. Góc giữa hai véctơ Cho hai véctơ a (a1 ; a2 ; a3 ) và b (b1 ; b2 ; b3 ). Khi đó góc giữa hai véctơ a và b là góc nhợn hoặc tù. a1b1 a2b2 a3b3 a.b cos(a; b ) với 0 180. 2 a .b a1 a22 a32 . b12 b22 b32 2. Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng ( P ) : A1 x B1 y C1 z D1 0 và (Q) : A2 x B2 y C2 z D2 0.. nP .nQ cos ( P), (Q) cos nP . nQ Câu 30.. A1 A2 B1 B2 C1C2 2 1. A B12 C12 . A22 B22 C22. với 0 90.. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm H 2;1; 2 , H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng P , số đo góc giữa mặt P và. mặt phẳng Q : x y 11 0 A. 600. B. 300. Chọn C. C. 450 Lời giải. D. 900. . P qua O và nhận OH 2;1; 2 làm VTPT Q : x y 11 0 có VTPT n 1;1; 0 . OH.n 1 P , Q P , Q 450 Ta có cos 2 OH. n. . Câu 31.. . . . (THPT Quang Trung Đống Đa 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) có phương trình x 2 y 2 z 5 0 . Xét mặt phẳng (Q ) : x (2m 1) z 7 0 , với m là tham số thực. Tìm tất cả giá trị của m để ( P ) tạo với (Q) góc m 1 A. . m 4. m 2 B. . m 2 2. 4. .. m 2 C. . m 4. m 4 D. . m 2. Lời giải Mặt phẳng ( P ) , (Q) có vectơ pháp tuyến lần lượt là n p 1; 2; 2 , nQ 1; 0; 2 m 1 Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(248)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Vì ( P ) tạo với (Q ) góc. . nên 4 1 2(2m 1) 1 cos cos n p ; nQ 4 2 3. 1 (2m 1) 2. . . 2. 2 4m 1 9 4m 2 4m 2 4m 2 20m 16 0 m 1 . m 4. Câu 32.. (THPT Ba Đình 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P có phương trình: ax by cz 1 0 với c 0 đi qua 2 điểm A 0;1;0 , B 1;0;0 và tạo với Oyz một góc 60 . Khi đó a b c thuộc khoảng nào dưới đây?. A. 5;8 .. B. 8;11 .. C. 0;3 .. D. 3;5 .. Lời giải. b 1 0 Mặt phẳng P đi qua hai điểm A , B nên a b 1. a 1 0 a. Và P tạo với Oyz góc 60 nên cos P , Oyz Thay a b 1 vào phương trình được. 2. 2. 2. . a b c . 1. 1 (*). 2. 2 c2 2 c 2 .. Khi đó a b c 2 2 0;3 . Câu 33.. (Chuyên Bắc Giang -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x 2 y 2 z 1 0, (Q ) : x my (m 1) z 2019 0 . Khi hai mặt phẳng P , Q tạo với. nhau một góc nhỏ nhất thì mặt phẳng Q đi qua điểm M nào sau đây? A. M (2019; 1;1). B. M (0; 2019; 0). C. M ( 2019;1;1). D. M (0; 0; 2019). Lời giải Chọn C Gọi là góc giữa hai mặt phẳng P và Q . Khi đó:. cos . 1.1 2.m 2.(m 1) 2. 2. 2. 2. 2. 1 2 (2) . 1 m (m 1). 2. Góc nhỏ nhất cos lớn nhất m Khi m Câu 34.. 1. . 2. 3 2m 2m 2. 1. . 2. 1 3 3. 2 m 2 2 . 1. 3. 3 2. 1 . 2. 1 1 1 thì Q : x y z 2019 0 , đi qua điểm M ( 2019;1;1) . 2 2 2. (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng. P : 2x y 2z 5 0. và Q : x y 2 0 . Trên P có tam giác ABC ; Gọi A, B, C lần. lượt là hình chiếu của A, B, C trên Q . Biết tam giác ABC có diện tích bằng 4 , tính diện tích tam giác ABC . A.. 2.. B. 2 2 .. C. 2 .. D. 4 2 .. Facebook Nguyễn Vương 35.
<span class='text_page_counter'>(249)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải Chọn B Gọi là góc giữa hai mặt phẳng P và Q . cos Ta có: S ABC S ABC .cos 4. Câu 35.. 2.1 1. 1 2.0 2. 2. 2. 2. 2. 2 1 2 . 1 1 0. 2. 1 . 2. 1 2 2. 2. (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian Oxyz , biết hình chiếu của O lên mặt phẳng P là H 2; 1; 2 . Số đo góc giữa mặt phẳng P với mặt phẳng Q : x y 5 0 là A. 30 .. B. 45 .. C. 60 . Lời giải. D. 90 .. Chọn B. Mặt phẳng Q có một vectơ pháp tuyến là nQ 1; 1;0 .. Hình chiếu của O lên mặt phẳng P là H 2; 1; 2 P qua H và nhận OH 2; 1; 2 làm vectơ pháp tuyến. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng P và Q .. cos cos OH , nQ . . . 2 1 0 4 1 4. 1 1 0. . 2 2. 45 . Câu 36. Trong hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm H 2; 1; 2 . Điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ O xuống mặt phẳng P , số đo góc giữa mặt phẳng P và mặt phẳng Q : x y 11 0 là A. 90 .. B. 30 .. C. 60 . Lời giải. D. 45 .. Ta có H là hình chiếu vuông góc của O xuống mặt phẳng P nên OH P . Do đó OH 2; 1; 2 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P . Mặt phẳng Q có một vectơ pháp tuyến là n 1; 1; 0 . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng P , Q . OH .n 2.1 1.1 2.0 2 Ta có cos 45 . 2 2 2 2 2 2 2 OH . n 2 1 2 . 1 1 0 Vây góc giữa hai mặt phẳng P , Q là 45 . Câu 37.. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng -2019) Trong không gian. Oxyz ,. cho hai điểm. A 3;0;1 , B 6; 2;1 . Phương trình mặt phẳng P đi qua A, B và tạo với mặt phẳng Oyz một 2 là 7 2 x 3 y 6 z 12 0 2 x 3 y 6 z 12 0 A. B. 2 x 3 y 6 z 0 2 x 3 y 6 z 0 2 x 3 y 6 z 12 0 2 x 3 y 6 z 12 0 C. D. 2 x 3 y 6 z 1 0 2 x 3 y 6 z 1 0 Lời giải góc thỏa mãn cos . Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(250)</span> Giả sử P có VTPT n1 a; b; c P có VTCP AB 3; 2;0 suy ra n1 AB n1. AB 0. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 2 3a b 2 0.c 0 3a 2b 0 a b 1 3 Oyz có phương trình x 0 nên có VTPT n2 1;0;0 n a.1 b.0 c.0 1 .n2 2 2 2 Mà cos 2 2 2 2 2 2 7 7 n1 . n2 7 a b c . 1 0 0. a 2. 2. 2. a b c .. . 2 7 a 2 a 2 b2 c 2 49a 2 4 a 2 b2 c 2 7. 45a 2 4b 2 4c 2 0. 2. Thay 1 vào 2 ta được 4b 2 c 2 0 a b 1 2 2 Chọn c 2 ta có 4b 2 0 b 1 a . 2 2 n 3 ;1; 2 3 hay 2 2 n ; 1; 2 3 3 . n 2;3;6 n 2;3; 6 . 2 x 3 y 6 z 12 0 Vậy P 2 x 3 y 6 z 0 Câu 38.. (Toán Học Tuổi Trẻ 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , biết mặt phẳng. P : ax by cz d 0 với c 0 đi qua hai điểm A 0;1;0 , B 1; 0;0 và tạo với yOz một góc 60 . Khi đó giá trị a b c thuộc khoảng nào dưới đây? A. 0;3 . B. 3;5 . C. 5;8 . D. 8;11 .. mặt phẳng. Lời giải b d 0 Ta có: A, B P nên . Suy ra P có dạng ax ay cz a 0 có vectơ pháp tuyến là a d 0 n a; a; c . Măt phẳng yOz có vectơ pháp tuyến là i 1;0; 0 . n.i a 1 2a 2 c 2 4 a 2 2a 2 c 2 0 . Ta có: cos 60 2 2 2 n.i 2a c .1 Chọn a 1 , ta có: c 2 2 c 2 do c 0 . Ta có: a b c a a c 1 1 2 2 2 0;3 .. Facebook Nguyễn Vương 37.
<span class='text_page_counter'>(251)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dạng 3. Vị trí tương đối Dạng 3.1 Vị trí tương đối mặt phẳng với mặt cầu M1. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S). R. I. Cho mặt cầu S ( I ; R) và mặt phẳng ( P). M2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên ( P). H. P. và có d IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P). Khi đó: Nếu d R : Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung.. I. Nếu d R : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.. R. Lúc đó ( P) là mặt phẳng tiếp diện của ( S ) và H là tiếp điểm.. H. P. Nếu d R : mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu theo thiết diện 2. I. d H. 2. là đường tròn có tâm H và bán kính r R IH .. R. r. A. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu. S . P. Viết phương trình mặt ( P) (Q) : ax by cz d 0 và tiếp xúc với mặt cầu ( S ). Phương pháp: Vì ( P) (Q) : ax by cz d 0 ( P) : ax by cz d 0. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu. Vì ( P) tiếp xúc ( S ) nên có d I ;( P ) R d . Câu 1.. có tâm. I 3; 2; 1 và đi qua điểm A 2;1; 2 . Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với S tại A ? A. x y 3 z 9 0. B. x y 3 z 3 0. C. x y 3 z 8 0. D. x y 3 z 3 0. Lời giải Chọn B Gọi P là mặt phẳng cần tìm. Khi đó, P tiếp xúc với S tại A khi chỉ khi P đi qua A 2;1; 2 và nhận vectơ IA 1; 1;3 làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng P là x y 3z 3 0 x y 3z 3 0 .. Câu 2.. (Chuyên Quốc Học Huế -2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng có. phương 2. 2x y z 1 0. trình 2. x 1 y 1 z 2 và mặt cầu S . A. r . 2 42 . 3. 2. và. mặt. cầu. S . có. phương. trình. 4 . Xác định bán kính r của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng. B. r . 2 3 3. C. r . 2 15 . 3. D. r . 2 7 3. Lời giải Chọn B Mặt cầu S có tâm I 1;1; 2 và bán kính R 2 . Gọi d là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng . Ta có d d I , Khi đó ta có: r R 2 d 2 . 2 6 . 3. 2 3 . 3. Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(252)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 3.. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu có tâm I 2;1; 4 và tiếp xúc với mặt phẳng : x 2 y 2 z 7 0 . A. x2 y 2 z 2 4 x 2 y 8 z 4 0 .. B. x2 y 2 z 2 4 x 2 y 8 z 4 0 .. C. x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 8 z 4 0 .. D. x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 8 z 4 0 . Lời giải. Chọn C Mặt cầu cần tìm có bán kính R d I , 2. 2 2.1 2. 4 7 2. 2. 1 2 2 2. 5.. 2. 2. Phương trình mặt cầu cần tìm là x 2 y 1 z 4 25. x2 y 2 z 2 4 x 2 y 8z 4 0 . Câu 4.. (SGD Bình Phước - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2 y 2 z 3 0 và mặt cầu S có tâm I 0; 2;1 . Biết mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích 2 . Mặt cầu S có phương trình là 2. 2. 2. 2. A. x 2 y 2 z 1 2 .. 2. 2. 2 B. x y 2 z 1 3 .. 2. 2. D. x 2 y 2 z 1 1 .. C. x2 y 2 z 1 3 .. Lời giải Chọn B Gọi R, r lần lượt là bán kính của mặt cầu và đường tròn giao tuyến. Theo giải thiết ta có:. r 2 2 r 2 2 2. Mặt khác d I , P 1 nên R 2 r 2 d I , P 3 . 2. 2. 2 Vậy phương trình mặt cầu là x y 2 z 1 3 .. Câu 5.. (Bình Giang-Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. P : x 2 y 2 z 2 0 và điểm I 1; 2; 1 . Viết phương trình mặt cầu S mặt phẳng P theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 5 .. có tâm I và cắt. 2. 2. 2. B. S : x 1 y 2 z 1 16 .. 2. 2. 2. D. S : x 1 y 2 z 1 34 .. A. S : x 1 y 2 z 1 25 . C. S : x 1 y 2 z 1 34 .. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Lời giải Chọn D. Facebook Nguyễn Vương 39.
<span class='text_page_counter'>(253)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. H. r. P. B. h. R. I. Gọi h là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P ta có: h d I ; P . 1 4 2 2 2. 2. 3.. 1 2 2. 2. Bán kính mặt cầu S là: R r 2 h 2 52 32 34 . 2. 2. 2. Phương trình mặt cầu S là: x 1 y 2 z 1 34 . Câu 6.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu S có tâm I 1; 2;1 và tiếp xúc với mặt phẳng P : x 2 y 2 z 2 0 có phương trình là 2. 2. 2. B. x 1 y 2 z 1 9 .. 2. 2. 2. D. x 1 y 2 z 1 3 .. A. x 1 y 2 z 1 3 . C. x 1 y 2 z 1 9 .. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Lời giải Chọn C Vì mặt cầu tâm I 1; 2;1 tiếp xúc với mặt phẳng P : x 2 y 2 z 2 0 nên bán kính. 1 2.2 2.1 2. R d I , P Câu 7.. 2. 12 2 2 . 2. 2. 2. 2. 3 S : x 1 y 2 z 1 9 .. (Chuyên Nguyễn Huệ- 2019) Phương trình mặt cầu tâm I 3; 2; 4 và tiếp xúc với. P : 2x y 2z 4 0. là:. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 20 . 3 20 . 3. A. x 3 y 2 z 4 C. x 3 y 2 z 4 . 2. 2. 2. 2. 2. 2. 400 . 9 400 . 9. B. x 3 y 2 z 4 D. x 3 y 2 z 4 Lời giải. Chọn D Ta có: d I , ( P) . 2.3 (2) 2.4 4 2. 2. 2 (1) 2. P : 2x y 2z 4 0. 2. . có bán kính R . 20 . Suy ra mặt cầu tâm I 3; 2; 4 và tiếp xúc với 3 20 . 3. Phương trình mặt cầu tâm I 3; 2; 4 , bán kính R 2. 2. x 3 y 2 z 4 . 2. . 20 là: 3. 400 . 9. Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(254)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 8.. Trong không gian Oxyz , cho điểm I 3;1; 1 và mặt phẳng P : x 2 y 2 z 3 0 . Phương trình mặt cầu S có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng P là 2. 2. 2. B. x 3 y 1 z 1 16 .. 2. 2. 2. D. x 3 y 1 z 1 16 .. A. x 3 y 1 z 1 4 . C. x 3 y 1 z 1 4 .. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Lời giải Chọn A Gọi bán kính của mặt cầu S. là. R.. Mặt cầu S có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng P d I ; P R. . 3 2.1 2. 1 3 1 4 4. R R 2.. Vậy phương trình mặt cầu S 2. 2. x 3 y 1 z 1 Câu 9.. 2. tâm. I và tiếp xúc với mặt phẳng P là:. 4.. (Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 1;2;1 và cắt mặt phẳng. P : 2x y 2z 7 0 theo một đường tròn có đường kính bằng 8 . Phương trình mặt cầu S là 2 2 2 2 2 2 A. x 1 y 2 z 1 81 . B. x 1 y 2 z 1 5 . 2 2 2 2 2 2 C. x 1 y 2 z 1 9 . D. x 1 y 2 z 1 25 . Lời giải Chọn D. Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P là d d I , P . 2.1 2 2.1 7 2. 3.. 2 2 1 22. Đường tròn giao tuyến có đường kính bằng 8 nên bán kính đường tròn là r 4 . Bán kính của mặt cầu S là R d 2 r 2 32 42 5 . 2. 2. 2. Vậy phương trình mặt cầu S là x 1 y 2 z 1 25 . Câu 10.. (Thpt. Vĩnh 2. Lộc 2. -. Thanh 2. Hóa. 2019). Cho. mặt. cầu. S . có. phương. x 3 y 2 z 1 100 và mặt phẳng có phương trình 2 x 2 y z 9 0 . bán kính của đường tròn C là giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu S .. trình Tính. Facebook Nguyễn Vương 41.
<span class='text_page_counter'>(255)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 8 .. B. 4 6 .. C. 10 . Lời giải. D. 6 .. Chọn A. Gọi I là tâm mặt cầu S , H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng và AB là một đường kính của đường tròn C . Dễ thấy I 3; 2;1 , IA 10 , IH d I , 6 suy ra HA IA2 IH 2 8 . Vậy bán kính đường tròn C bằng 8. Câu 11.. (chuyên Hùng Vương Gia Lai -2019) Trong không gian. S : x. 2. 2. Oxyz , cho mặt cầu. 2. y z 4 x 2 y 2 z 10 0 , mặt phẳng P : x 2 y 2 z 10 0 . Mệnh đề nào dưới. đây đúng? A. P tiếp xúc với S . B. P cắt S theo giao tuyến là đường tròn khác đường tròn lớn. C. P và S không có điểm chung. D. P cắt S theo giao tuyến là đường tròn lớn. Lời giải Chọn A Mặt cầu S có tâm I 2; 1; 1 , bán kính R 4 1 1 10 16 4 Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P là: d I , P . 2 2. 1 2 1 10 12 2 2 2 . 2. . 12 4 3. Ta thấy: d I , P R , vậy P tiếp xúc với S . Câu 12.. (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu. S : x 2 y2 z 2 1 và mặt phẳng P : x 2 y 2 z 1 0 . Tìm bán kính tuyến của S và P . A. r . 1 . 3. B. r . 2 2 . 3. C. r . 1 . 2. D. r . Lời giải Chọn B. Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương r đường tròn giao. 2 . 2.
<span class='text_page_counter'>(256)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. O. d H r. R M. P. Mặt cầu có tâm O 0; 0; 0 , bán kính R 1 . Khoảng cách d O, P . 1 . 3. Bán kính đường tròn giao tuyến là r R2 d 2 Câu 13.. 2 2 . 3. (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm I 3;1;0 và tiếp xúc với mặt phẳng. P : 2x 2 y z 1 0 ? 2. 2. B. x 3 y 1 z 2 9 .. 2. 2. D. x 3 y 1 z 2 9 .. A. x 3 y 1 z 2 3 . C. x 3 y 1 z 2 3 .. 2. 2. 2. 2. Lời giải Chọn D Gọi S là mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với d I , P R R . 2.3 2.1 0 1 22 22 1. 2. 2. P. có R là bán kính. Khi đó ta có:. R 3. 2. Vậy phương trình của S là x 3 y 1 z 2 9 . Câu 14.. (SGD Bến Tre 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S : x 2 y 2 z2 2 x 4 y 6 z 0 . Đường tròn giao tuyến của S với mặt phẳng Oxy có bán kính là A. r 3 .. B. r 5 .. C. r 6 .. D. r 14 .. Lời giải Chọn B. Mặt cầu S có tâm I 1;2;3 và bán kính R 12 22 32 14 . Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng Oxy là d 3 , suy ra bán kính đường tròn giao tuyến cần tìm là r R 2 d 2 5 . Facebook Nguyễn Vương 43.
<span class='text_page_counter'>(257)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. S có tâm I 2;1;1 và mặt phẳng P : 2 x y 2 z 2 0 . Biết mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1. Viết phương trình của mặt cầu S . Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu. 2. 2. 2. B. S : x 2 y 1 z 1 10. 2. 2. 2. D. S : x 2 y 1 z 1 10. A. S : x 2 y 1 z 1 8 C. S : x 2 y 1 z 1 8. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Lời giải Chọn D Gọi R, r lần lượt là bán kính của mặt cầu S và đường tròn giao tuyến 2. . Ta có R r d I , P 2. 2. . 2. 2.2 1.1 2.1 2 1 10 22 1 22 2. 2. 2. Mặt cầu S tâm I 2;1;1 bán kính R 10 là x 2 y 1 z 1 10 . Câu 16.. (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm M 2;3;3 , N 2; 1; 1 , P 2; 1;3 và có tâm thuộc mặt phẳng. : 2 x 3 y z 2 0 . A. x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 6 z 2 0. B. x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 z 2 0. C. x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 z 10 0. D. x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 6 z 2 0 Lời giải. Chọn D Giả sử phương trình mặt cầu S có dạng x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 . Điều kiện: a 2 b 2 c 2 d 0 * Vì mặt cầu S đi qua 3 điểm M 2;3;3 , N 2; 1; 1 , P 2; 1;3 và có tâm I thuộc mp P 4a 6b 6c d 22 a 2 4a 2b 2c d 6 b 1 nên ta có hệ phương trình : T / m * 4 a 2 b 6 c d 14 c 3 2a 3b c 2 d 2 Vậy phương trình mặt cầu là: x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 6 z 2 0. Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xét các điểm A 0; 0;1 , B m;0;0 , C 0; n;0 , D 1;1;1 với m 0; n 0 và m n 1. Biết rằng khi m , n thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ABC và đi qua D . Tính bán kính R của mặt cầu đó? A. R 1 .. B. R . 2 . 2. C. R . 3 . 2. D. R . Lời giải Chọn A Gọi I 1;1;0 là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (Oxy ) x y z 1 m n Suy ra phương trình tổng quát của ( ABC ) là nx my mnz mn 0. Ta có: Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng ( ABC ) là:. Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 3 . 2.
<span class='text_page_counter'>(258)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 mn. 1 (vì m n 1 ) và ID 1 d ( I ; ABC . m2 n2 m2n 2 Nên tồn tại mặt cầu tâm I (là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng Oxy ) tiếp xúc với Mặt khác d I ; ABC . ( ABC ) và đi qua D . Khi đó R 1 . 2. 2. 2. Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 4 z 1 4 và mặt phẳng P :. x my z 3m 1 0 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng P cắt mặt cầu. S theo giao tuyến là đường tròn có đường kính bằng. 2.. I R = 2. r = 1. P. A. m 1 . C. m 1 hoặc m 2 .. B. m 1 hoặc m 2 . D. m 1 Lời giải. 2. 2. 2. Mặt cầu S : x 2 y 4 z 1 4 có tâm I 2; 4;1 , bán kính R 2 . Ta có d I , P . 2 4m 1 3m 1. m2. . 1 m2 1. m2 2. Mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao tuyến là đường tròn có đường kính bằng 2 nên bán kính đường tròn giao tuyến r 1 . 2. Ta có R d. 2. I , P r. 2. m 2 4 2. 2. m 2. 1 m 2 4 m 4 3 m 2 2 2 m 2 4m 2 0. m 1.. Câu 19.. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S tâm I ( a; b; c ) bán kính bằng 1, tiếp xúc mặt phẳng Oxz . Khẳng định nào sau đây luôn đúng?. A. a 1 .. B. a b c 1 .. C. b 1 .. D. c 1 .. Lời giải Phương trình mặt phẳng Oxz : y 0 . Vì mặt cầu S tâm I ( a; b; c ) bán kính bằng 1 tiếp xúc với Oxz nên ta có:. d I ; Oxz 1 b 1 .. Facebook Nguyễn Vương 45.
<span class='text_page_counter'>(259)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 20. (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 5 0 . Mặt phẳng tiếp xúc với S và song song với mặt phẳng P : 2 x y 2 z 11 0 có phương trình là: A. 2 x y 2 z 7 0 . C. 2 x y 2 z 7 0 .. B. 2 x y 2 z 9 0 . D. 2 x y 2 z 9 0 . Lời giải. Ta gọi phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng. P : 2 x y 2 z 11 0. có dạng :. Q : 2 x y 2 z D 0, D 11 . Mặt cầu S có tâm I 1; 2;3 , bán kính R . 1. 2. 22 32 5 3. Vì mặt phẳng tiếp xúc với S nên ta có :. d I , Q R . 2. 1 2 2.3 D 2. 3. 22 1 22. 2D 3. 3. 2 D 9 D 7 . Do D 11 D 7 . 2 D 9 D 11 Vậy mặt phẳng cần tìm là 2 x y 2 z 7 0 . Câu 21.. P : 2 x y z 2 0 và A 1; 2;1 và tiếp xúc với hai mặt phẳng P , Q là. (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng. Q : 2 x y z 1 0 . Số mặt cầu đi qua A. 0 .. B. 1.. C. Vô số.. D. 2 .. Lời giải Ta có M 0;0; 2 P d P ; Q d M; Q . 6 2. 6 ; d A; Q 6 d A; Q d A; P d Q ; P 2 Vậy không có mặt cầu thỏa yêu cầu bài toán d A; P . Câu 22. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S có đường kính AB với A 6; 2; 5 , B 4; 0;7 . Viết phương trình mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S tại A . A. P : 5 x y 6 z 62 0 .. B. P : 5 x y 6 z 62 0 .. C. P : 5 x y 6 z 62 0 .. D. P : 5 x y 6 z 62 0 . Lời giải. Gọi I là trung điểm của AB I 1;1;1 . Mặt cầu S có đường kính AB nên có tâm là điểm I . Mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S tại A nên mặt phẳng P đi qua A và nhận IA 5;1; 6 là vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng P :. 5 x 6 1 y 2 6 z 5 0 5 x y 6 z 62 0 . Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(260)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 23.. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt 2. 2. 2. phẳng ( P) : 2 x 2 y z m 2 3m 0 và mặt cầu ( S ) : x 1 y 1 z 1 9 . Tìm tất cả các giá trị của m để ( P ) tiếp xúc với ( S ) . m 2 A. . m 5. m 2 B. . m 5. C. m 2 .. D. m 5 .. Lời giải Chọn B. I 1; 1;1 Ta có ( S ) : . R 3 Để ( P ) tiếp xúc với ( S ) thì d I ; P R Câu 24.. 1 m2 3m 3. m2 3m 10 0 m 2 3 2 . m 5 m 3 m 8 0 . (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ 0xyz , cho mặt cầu 2. 2. S : x 1 y 1 z 1. 2. 25 có tâm I và mặt phẳng P : x 2 y 2 z 7 0 . Thể tích của. khối nón đỉnh I và đường tròn đáy là giao tuyến của mặt cầu S và mặt phẳng P bằng A. 12. B. 48. C. 36 Lời giải. D. 24. Chọn A Mặt cầu S có tâm I 1;1;1 và bán kính R 5 Ta có chiều cao của khối nón h d I , ( P ) . 1 2 2 7 12 22 22. 4. Bán kính đáy của hình nón là r R 2 h 2 25 16 3 1 1 Thể tích của khối nón V r 2 h .33.4 12 . 3 3 Câu 25.. (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt cầu S1 , S 2 lần lượt có phương trình là x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 z 22 0 , x 2 y 2 z 2 6 x 4 y 2 z 5 0 . Xét các mặt phẳng P thay đổi nhưng luôn tiếp xúc cả hai mặt cầu đã cho. Gọi A a; b; c là điểm mà tất cả các mặt phẳng P đi qua. Tính tổng S a b c .. 5 A. S . 2. 5 B. S . 2. 9 C. S . 2. 9 D. S . 2. Lời giải Chọn D Mặt cầu S1 có tâm I 1;1;1 và bán kính R1 5 Mặt cầu S 2 có tâm J 3; 2; 1 và bán kính R2 3 Ta có IJ 2; 3; 2 IJ 17 R1 R2 IJ<R1 R2 . Vậy S1 , S 2 là hai mặt cầu cắt nhau.. Facebook Nguyễn Vương 47.
<span class='text_page_counter'>(261)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Gọi A là tâm tỉ cự của hai mặt cầu ta có 5 AI ID 5 AI AJ 3 AI 5AJ AJ JE 3 3 5OJ 3OI 13 9 OA A 6; ; 4 a b c 2 2 2 Câu 26.. (Sở. Kon. Tum. 2. 2. 2019). Trong. không. gian. Oxyz ,. cho. mặt. 2. S : x 1 y 2 z 1 45 và mặt phẳng P : x y z 13 0 . Mặt cầu S phẳng P theo giao tuyến là đường tròn có tâm I a ; b ; c thì giá trị của a b c bằng A. 11.. B. 5 .. C. 2 . Lời giải. cầu cắt mặt. D. 1.. Chọn B Mặt cầu S có tâm A 1; 2; 1 và bán kính R 3 5 . Mặt cầu S cắt mặt phẳng P theo giao tuyến là đường tròn có tâm I a ; b ; c I là hình I P chiếu của A lên mp P IA k nP a b c 13 0 1 a k 1 k 2 k 1 k 13 0 k 3 I 4;5; 4 . 2 b k 1 c k Vậy a b c 5 . Câu 27.. (Sở Hà Nam - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2 y z 7 0 và mặt cầu. S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 z 10 0 . Gọi Q là mặt phẳng song song với mặt phẳng P và cắt mặt cầu S theo một giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6 . Hỏi Q đi qua điểm nào trong số các điểm sau? A. 6;0;1 .. B. 3;1; 4 .. C. 2; 1;5 .. D. 4; 1; 2 .. Lời giải Chọn C Mặt cầu S có tâm I 1; 0; 2 , bán kính R 15 . Gọi r là bán kính của đường tròn giao tuyến. Ta có 2 r 6 r 3 . Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(262)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Do Q // P Q : x 2 y z d 0 Ta có: d I , Q R 2 r 2 6 . d 7 . d 7 loại 6 6 d 5 nhaän . d 1. Vậy Q : x 2 y z 5 0 . Thay tọa độ 2; 1;5 vào Q thấy thỏa mãn. Câu 28.. Oxyz , cho mặt cầu. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Trong không gian. S : x. 2. 2. 2. y z 2 x 4 y 6 z 2 0 và mặt phẳng : 4 x 3 y 12 z 10 0 . Lập phương. trình mặt phẳng thỏa mãn đồng thời các điều kiện: tiếp xúc với S ; song song với và cắt trục Oz ở điểm có cao độ dương. A. 4 x 3 y 12 z 78 0 .. B. 4 x 3 y 12 z 26 0 .. C. 4 x 3 y 12 z 78 0 .. D. 4 x 3 y 12 z 26 0 . Lời giải. Mặt cầu S có: tâm I 1; 2;3 , bán kính R 12 22 32 2 4 . Vì nên phương trình mp có dạng: 4 x 3 y 12 z d 0, d 10 . Vì tiếp xúc mặt cầu S nên: d I , R . 4.1 3.2 12.3 d 4 2 32 12 . d 26 . 4 d 26 52 d 78. 2. Do cắt trục Oz ở điểm có cao độ dương nên chọn d 78 . Vậy mp : 4 x 3 y 12 z 78 0 . Câu 29.. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng. P :2 x y 2 z 1 0. và điểm M 1; 2;0 . Mặt cầu. tâm M , bán kính bằng. 3 cắt phẳng P theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng bao. nhiêu? A. 2 .. B.. 2.. C. 2 2 . Lời giải. D.. 3 1.. Mặt cầu tâm tâm M , bán kính bằng R 3 cắt phẳng P theo giao tuyến là đường tròn tâm H , bán kính r suy ra r R 2 MH 2 .. Với MH d M , P . 2.1 2 2.0 1 2. 2. 2 1 2. 2. 1 . Suy ra r . 3. 2. 12 2 .. Facebook Nguyễn Vương 49.
<span class='text_page_counter'>(263)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 30.. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng. Q : x 2 y z 5 0 và mặt cầu S : x 12 y 2 z 2 2 15 . Mặt phẳng P song song với mặt phẳng Q và cắt mặt cầu S theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng 6 đi qua điểm nào sau đây? A. 2; 2;1 .. B. 1; 2;0 .. C. 0; 1; 5 .. D. 2; 2; 1 .. Lời giải Mặt cầu S có tâm I 1;0; 2 và bán kính R 15 . Đường tròn có chu vi bằng 6 nên có bán kính r . 6 3. 2. Mặt phẳng P song song với mặt phẳng Q nên phương trình mặt phẳng P có dạng:. x 2 y z D 0 , D 5 . Vì mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng 6 nên. d I ; P R2 r 2 d I ; P 6 . D 1 6 D 7 . 6 D 1 6 D 1 6 D 5 12 2 12. 1 2.0 2 D 2. Đối chiếu điều kiện ta được D 7 . Do đó phương trình mặt phẳng P : x 2 y z 7 0 . Nhận thấy điểm có tọa độ 2; 2; 1 thuộc mặt phẳng P . Câu 31. (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho mặt cầu ( S ) : ( x 1)2 ( y 2) 2 ( z 4) 2 9 . Phương trình mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) tại điểm M (0;4; 2) là A. x 6 y 6 z 37 0 B. x 2 y 2 z 4 0 C. x 2 y 2 z 4 0 D. x 6 y 6 z 37 0 Lời giải 2. 2. 2. Mặt cầu ( S ) : ( x 1) ( y 2) ( z 4) 9 có tâm I (1; 2; 4). IM ( 1; 2; 2). Phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M (0; 4; 2) nhận IM ( 1; 2; 2) làm véc-tơ pháp tuyến là. 1( x 0) 2( y 4) 2( z 2) 0 x 2 y 2 z 4 0 . 2. 2. 2. Câu 32. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 1 z 2 4 và mặt phẳng P :. 4 x 3 y m 0 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng P và mặt cầu S có đúng 1 điểm chung. A. m 1 . B. m 1 hoặc m 21 . C. m 1 hoặc m 21 . D. m 9 hoặc m 31 . Lời giải 2. 2. 2. Ta có mặt cầu S : x 2 y 1 z 2 4 có tâm I 2; 1; 2 , bán kính R 2 . Mặt phẳng P và mặt cầu S có đúng 1 điểm chung khi và chỉ khi mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S d I , P R Câu 33.. 4.2 3. 1 m 2. 2. 4 3. m 1 . 2 11 m 10 m 21. (THPT Ba Đình -2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : mx 2y z 1 0 ( m là tham số). Mặt phẳng P cắt mặt cầu. Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(264)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. S : x 2 . 2. 2. 2. y 1 z 9 theo một đường tròn có bán kính bằng 2 . Tìm tất cả các giá trị. thực của tham số m ? B. m 2 5 . C. m 4 . Lời giải. A. m 1 . 2. D. m 6 2 5 .. 2. Từ S : x 2 y 1 z 2 9 ta có tâm I 2;1;0 bán kính. R 3 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên P và. P S C H; r . với r 2. Ta có IH d I ; P IH . 2m 2 0 1 m2 4 1. 2. 2. Theo yêu cầu bài toán ta có R IH r. 2. . I. 2m 3 m2 5. 2m 3 9. 2. m2 5. 4. A. H. m 6 2 5 m 2 12m 16 0 . m 6 2 5 Câu 34.. (Yên. Định. Thanh. Hóa. 2019). Trong. không. gian. Oxyz ,. cho. mặt. cầu. S : x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 3 0 . Viết phương trình mặt phẳng Q chứa trục Ox và cắt S theo một đường tròn bán kính bằng 3 . A. Q : y 3z 0 . B. Q : x y 2 z 0 . C. Q : y z 0 . D. Q : y 2 z 0 . Lời giải. Q. chứa trục Ox nên có dạng By Cz 0 B 2 C 2 0 .. S có tâm I 1; 2; 1 và bán kính. R 3.. Bán kính đường tròn giao tuyến r 3. Vì R r nên I Q .. 2B C 0 vì B , C không đồng thời bằng 0 nên chọn B 1 C 2 . Vậy Q : y 2z 0 . Câu 35. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I ( 1; 2;1) và mặt phẳng ( P) có phương trình x 2 y 2 z 8 0 . Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P) : A. ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 1)2 9. B. ( x 1) 2 ( y 2) 2 ( z 1) 2 3. C. ( x 1) 2 ( y 2)2 ( z 1) 2 4. D. ( x 1) 2 ( y 2) 2 ( z 1) 2 9 Lời giải. Chọn D Vì mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( P) :. R d I ;( P) . 1 4 2 8 1 4 4. 3. Vậy: ( S ) : ( x 1)2 ( y 2) 2 ( z 1) 2 9 Facebook Nguyễn Vương 51.
<span class='text_page_counter'>(265)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm I 0;1;3 và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) :2 x y 2 z 2 0 ? A. x2 y 1 z 3 9 .. 2. 2. B. x 2 y 1 z 3 9 .. 2. 2. D. x 2 y 1 z 3 3 .. C. x2 y 1 z 3 3 .. 2. 2. 2. 2. Lời giải Ta có: Bán kính mặt cầu là: R d I ; P 2. 1 6 2 2. 22 1 2 . 2. 3.. 2. Phương trình mặt cầu là: x 2 y 1 z 3 9 . Câu 37.. (Sở Bắc Giang 2019) Trong không gian Oxyz , phương trình mặt cầu S tâm I 1; 2;5 và tiếp xúc với mặt phẳng P : x 2 y 2 z 4 0 là A. S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 10 z 21 0 .. B. S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 10 z 21 0 .. C. S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 10 z 21 0 .. D. S : x 2 y 2 z 2 x 2 y 5 z 21 0 .. Lời giải 1 2.2 2.5 4 Ta có bán kính của mặt cầu S là R d I ; P 3. 2 2 2 1 2 2 Vậy mặt cầu S có tâm I 1;2;5 và bán kính của R 3 suy ra phương trình mặt cầu S là 2. x 1 y 2 Câu 38.. 2. 2. z 5 32 x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 10z 21 0 .. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Trong không gian Oxyz cho điểm I 1; 2;3 và mặt phẳng P : 2 x y 2 z 1 0 . Mặt cầu S tâm I tiếp xúc với P có phương trình là: 2. 2. 2. B. x 1 y 2 z 3 3.. 2. 2. 2. D. x 1 y 2 z 3 9.. A. x 1 y 2 z 3 9. C. x 1 y 2 z 3 3.. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Lời giải Theo giả thiết R d I , P 2. 2. 2 . 1 2 2 .3 1 2. 3. 22 1 22 2. Vậy S : x 1 y 2 z 3 9. Câu 39.. (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I ( 3; 0;1) . Mặt cầu ( S ) có tâm I và cắt mặt phẳng ( P ) : x 2 y 2 z 1 0 theo một thiết diện là một hình tròn. Diện tích của hình tròn này bằng . Phương trình mặt cầu ( S ) là A. ( x 3)2 y 2 ( z 1) 2 4.. B. ( x 3)2 y 2 ( z 1) 2 25.. C. ( x 3)2 y 2 ( z 1) 2 5.. D. ( x 3)2 y 2 ( z 1) 2 2. Lời giải. Chọn C Gọi S , r lần lượt là diện tích hình tròn và bán kính hình tròn. Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(266)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Ta có: S r 2 r 1. d I ; P . 3 2.0 2.1 1 1 4 4. 2. ( S ) có tâm I (3; 0;1) và bán kính R d 2 I ; P r 2 22 12 5. Phương trình mặt cầu ( S ) là: ( x 3) 2 y 2 ( z 1)2 5. Câu 40. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : x 2 y 2 z 2 0 và điểm I 1; 2; 1 . Viết phương trình mặt cầu S có tâm I và cắt mặt phẳng P theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 5. 2. 2. 2. B. S : x 1 y 2 z 1 16.. 2. 2. 2. D. S : x 1 y 2 z 1 34.. A. S : x 1 y 2 z 1 25. C. S : x 1 y 2 z 1 34.. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Lời giải. Gọi M là điểm nằm trên đường tròn giao tuyến của S và P . Ta có IM R. Áp dụng công thức tính bán kính mặt cầu trong trường hợp mặt cầu S giao với mặt phẳng P theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r là. IM 2 R 2 d 2I ; P r 2 Ta có: d I ; P . 1 2.2 2. 1 2 2. *. 3 IH .. 12 2 22. Từ * R 2 32 52 34 . Vậy phương trình mặt cầu S thỏa mãn yêu cầu đề bài là 2. 2. x 1 y 2 z 1 Câu 41.. 2. 34.. 2 2 2 (Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x y z 2 z 2 0 và điểm. K 2;2;0 . Viết phương trình mặt phẳng chứa tất cả các tiếp điểm của các tiếp tuyến vẽ từ K đến mặt cầu S . A. 2 x 2 y z 4 0 . B. 6 x 6 y 3 z 8 0 . C. 2 x 2 y z 2 0. D. 6 x 6 y 3 z 3 0 . Lời giải. Chọn C. S : x 2 y 2 z 1. 2. 3 mặt cầu tâm I 0;0; 1 , R 3 . Facebook Nguyễn Vương 53.
<span class='text_page_counter'>(267)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Do IK 2; 2;1 , IK 3 R K nằm ngoài mặt cầu. Suy ra từ K vẽ được vô số tiếp tuyến đến mặt cầu và khoảng cách từ K đến các tiếp điểm bẳng nhau. Gọi E là 1 tiếp điểm IE EK IKE vuông tại E KE IK 2 IE 2 6 E thuộc mặt cầu tâm K bán kính R 6 . Tọa độ điểm E thỏa mãn hệ x 2 y 2 z 2 2 z 2 0 2 2 x2 y 2 z 2 2 z 2 x 2 y 2 z 2 6 2 2 2 x 2 y 2 z 6 4 x 4 y 2 z 4 0 2 x 2 y z 2 0.. Câu 42. Trong không gian với hệ trục toạ độ 2. 2. Oxyz , cho mặt cầu có phương trình. 2. S : x y z 2 x 4 y 6 z m 3 0 . Tìm số thực của tham số : 2 x y 2 z 8 0 cắt S theo một đường tròn có chu vi bằng 8 . B. m 1 .. A. m 3 .. C. m 2 .. m để mặt phẳng. D. m 4 .. Lời giải Chọn B 2. 2. 2. Ta có S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z m 3 0 x 1 y 2 z 3 17 m .. S là phương trình của mặt cầu thì 17 m 0 m 17 . Khi đó I 1; 2;3 ; R 17 m lần lượt là tâm và bán kính của S . Để mặt phẳng : 2 x y 2 z 8 0 cắt S theo thiết diện là một đường tròn có chu vi bằng 8 thì đường tròn đó có bán kính r 4 .. Ta có R 2 d 2 I , r 2 17 m 16 2 m 1 (TMĐK). Câu 43.. (THPT. S : x. 2. Kinh 2. Môn. -. HD. -. 2018). Trong. không. gian. Oxyz ,. cho. mặt. cầu. 2. y z 2 x 6 y 4 z 2 0 và mặt phẳng : x 4 y z -11 0 . Viết phương trình mặt phẳng P , biết P song song với giá của vectơ v 1;6; 2 , vuông góc với và tiếp xúc. với S . x 2y z 3 0 A. B. x 2 y z 21 0 4x 3 y z 5 0 C. . D. 4 x 3 y z 27 0. 3 x y 4 z 1 0 3 x y 4 z 2 0 . 2 x y 2z 3 0 2 x y 2 z 21 0 . . Lời giải Mặt cầu S có tâm I 1; 3; 2 và bán kính R 4 . Vì mặt phẳng (P) song song với giá của vectơ v 1;6; 2 , vuông góc với nên có vec tơ pháp tuyến n n , v 2; 1; 2 . Mặt phẳng P : 2 x y 2 z D 0 . Vì P tiếp xúc với mặt cầu S nên ta có: d I ; P R . D 21 4 D 9 12 . 2 2 2 D 3 2 1 2. 2.1 3 2.2 D. Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(268)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 2x y 2 z 3 0 Vậy phương trình mặt phẳng là: 2 x y 2 z 21 0 Câu 44.. (SGD - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P có 2. 2. 2. phương trình x 2 y 2 z 5 0 và mặt cầu S có phương trình x 1 y 2 z 3 4 . Tìm phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng P và đồng thời tiếp xúc với mặt cầu. S . A. x 2 y 2 z 1 0 .. B. x 2 y 2 z 5 0 .. C. x 2 y 2 z 23 0 . D. x 2 y 2 z 17 0 . Lời giải Mặt cầu S có tâm I 1; 2; 3 và bán kính R 2 . Gọi Q là mặt phẳng song song với mặt phẳng P và đồng thời tiếp xúc với mặt cầu S . Phương trình Q có dạng: x 2 y 2 z D 0 D 5 .. Q . tiếp xúc với S khi và chỉ khi d I , Q R . 1 2. 2 2. 3 D 12 22 22. 2. D 11 6 D 5 . D 11 6 D 11 6 D 17 Đối chiếu điều kiện suy ra D 17 . Vậy phương trình của Q là x 2 y 2 z 17 0 x 2 y 2 z 17 0 . Câu 45.. (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu. S : x 2 y 2 z 2 2 x 6 y 4 z 2 0 , mặt phẳng : x 4 y z 11 0 . Gọi P là mặt phẳng vuông góc với , P song song với giá của vecto v 1;6; 2 và P tiếp xúc với S . Lập phương trình mặt phẳng P . A. 2 x y 2 z 2 0 và x 2 y z 21 0 .. B. x 2 y 2 z 3 0 và x 2 y z 21 0 .. C. 2 x y 2 z 3 0 và 2 x y 2 z 21 0 .. D. 2 x y 2 z 5 0 và 2 x y 2 z 2 0 .. Lời giải. S có tâm I 1; 3; 2 và bán kính. R 4 . Véc tơ pháp tuyến của là n 1; 4;1 .. Suy ra VTPT của P là nP n , v 2; 1; 2 . Do đó P có dạng: 2 x y 2 z d 0 . Mặt khác P tiếp xúc với S nên d I , P 4 Hay. d 21 . 4 2 d 3 22 1 2 2 23 4 d. Câu 46. (Hồng Lĩnh - Hà Tĩnh – 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 0;0 , B 0;0; 2 và mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 1 0 . Số mặt phẳng chứa hai điểm A , B và. tiếp xúc với mặt cầu S là A. 1 mặt phẳng.. B. 2 mặt phẳng.. C. 0 mặt phẳng. Lời giải. D. Vô số mặt phẳng.. Facebook Nguyễn Vương 55.
<span class='text_page_counter'>(269)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Gọi phương trình mặt phẳng là: P : Ax By Cz D 0 A2 B 2 C 2 0 . Theo đề bài, mặt phẳng qua A, B nên ta có: A D 0 A 2C . Vậy mặt phẳng P có dạng: 2Cx By Cz 2C 0 . 2C D 0 D 2C S có tâm I 1,1, 0 và R 1 . Vì P tiếp xúc với S nên d I, P R . 2C B 2C 2. 5C B. 2. 1 B 2 5C 2 B 2 C 0 .. Suy ra A D 0 . Vậy phương trình mặt phẳng P : y 0 . Câu 47.. (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng Q song với mặt phẳng. P : 2x 2 y z 7 0 .. Biết mp Q cắt mặt cầu. 2. S : x2 y 2 z 1. 2. 25. theo một đường tròn có bán kính r 3 . Khi đó mặt phẳng Q có phương trình là: A. x y 2 z 7 0 .. B. 2 x 2 y z 7 0 .. C. 2 x 2 y z 17 0 . D. 2 x 2 y z 17 0 . Lời giải Do mặt phẳng Q // P : 2 x 2 y z 7 0 , suy ra Q : 2 x 2 y z m 0, 2. m 7 .. 2. Ta có S : x 2 y 2 z 1 25 có tâm I 0; 2; 1 bán kính R 5 . Gọi h d I ; Q . 2.0 2.2 1 m 4 4 1. . m 5 . 3. Do Q cắt mặt cầu S theo một đường tròn có bán kính r 3 , suy ra: R 2 r 2 h 2. m 5 25 9 9. 2. m 17 m 5 12 2 . m 5 144 m 5 12 m 7 loai . Vậy mp Q có phương trình: 2 x 2 y z 17 0 . Dạng 3.2 Vị trí tương đối hai mặt Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) Cho hai mặt phẳng ( P ) : A1 x B1 y C1 z D1 0 và (Q) : A2 x B2 y C2 z D2 0. A B C D A B C D ( P) (Q) 1 1 1 1 ( P ) cắt (Q) 1 1 1 1 A2 B2 C2 D2 A2 B2 C2 D2 A B C D ( P ) (Q) 1 1 1 1 ( P) (Q) A1 A2 B1 B2 C1C2 0. A2 B2 C2 D2 Câu 48. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng. P : 2 x my 3z 5 0 song với Q . A. m n 4 .. và Q : nx 8 y 6 z 2 0 , với m, n . Xác định m, n để P song. B. m 4; n 4 .. C. m 4; n 4 .. D. m n 4 .. Lời giải . Mặt phẳng P có véc tơ pháp tuyến n1 2; m;3 Trang 56 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(270)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 . Mặt phẳng Q có véc tơ pháp tuyến n2 n; 8; 6 . k 1 2 kn 2 Mặt phẳng P / / Q n1 k n2 (k ) m 8k m 4 3 6k n 4 Nên chọn đáp án B . Câu 49.. . (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng. P : x – 2y 2z – 3 0 vuông góc với nhau? A. m 1. và Q : mx y – 2z 1 0 . Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng đó B. m 1. C. m 6 Lời giải Hai mặt phẳng P , Q vuông góc với nhau khi và chỉ khi. D. m 6. 1.m 2.1 2. 2 0 m 6. Câu 50.. (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2018) Trong không gian Oxyz , tìm tập hợp các điểm cách đều cặp mặt phẳng sau đây: 4 x y 2 z 3 0 , 4 x y 2 z 5 0 . A. 4 x y 2 z 6 0 .. B. 4 x y 2 z 4 0 . C. 4 x y 2 z 1 0 . D. 4 x y 2 z 2 0 .. Lời giải Gọi điểm A 0; 3;0 4 x y 2 z 3 0 và B 0; 5;0 4 x y 2 z 5 0 Mặt phẳng cách đều hai mp trên có dạng: 4 x y 2 z m 0. .. .. m 2 Để mp cách đều hai mp trên thì d A; 2d A; m 3 1 . m 4 Mặt khác điểm hai điểm A , B phải nằm về hai phía của mp . Do đó: +) Với m 2 ta có: 4.0 3 2.0 2 4.0 5 2.0 2 0 nên A; B cùng phía. +) Với m 4 ta có: 4.0 3 2.0 4 4.0 5 2.0 4 0 nên A; B khác phía. Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 4 x y 2 z 4 0 Câu 51.. .. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng. P : x 2 y z 3 0 ; Q : 2 x y z 1 0 . Mặt phẳng R đi qua điểm M 1;1;1 chứa giao tuyến của P và Q ; phương trình của R : m x 2 y z 3 2 x y z 1 0 . Khi đó giá trị của m là. 1 C. . D. 3 . 3 Lời giải Vì R : m x 2 y z 3 2 x y z 1 0 đi qua điểm M 1;1;1 nên ta có: A. 3 .. B.. 1 . 3. m 1 2.1 1 3 2.1 1 1 1 0 m 3 .. Câu 52.. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P : 2 x y z 2 0 vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây? Facebook Nguyễn Vương 57.
<span class='text_page_counter'>(271)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 2 x y z 2 0 .. B. x y z 2 0 .. C. x y z 2 0 .. D. 2 x y z 2 0 .. Lời giải Mặt phẳng P có một vectơ pháp tuyến nP 2;1;1 .. Mặt phẳng Q : x y z 2 0 có một vectơ pháp tuyến nQ 1; 1; 1 . Mà nP .nQ 2 1 1 0 nP nQ P Q .. Vậy mặt phẳng x y z 2 0 là mặt phẳng cần tìm. Câu 53.. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A 1; 0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c trong đó b.c 0 và mặt phẳng P : y z 1 0 . Mối liên hệ giữa b, c để mặt phẳng ( ABC ) vuông góc với mặt phẳng ( P ) là. A. 2b c .. B. b 2c .. C. b c . Lời giải. D. b 3c.. 1 1 x y z 1 ABC có VTPT: n 1; ; . 1 b c b c • Phương trình P : y z 1 0 P có VTPT: n ' 0;1; 1 . 1 1 • ABC P n.n ' 0 0 b c . b c. • Phương trình ABC :. Câu 54.. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian Oxyz , cho P : x y 2 z 5 0 và. Q : 4 x 2 m y mz 3 0 , vuông góc với mặt phẳng P . A. m 3 .. m là tham số thực. Tìm tham số m sao cho mặt phẳng Q . B. m 2 .. C. m 3 . Lời giải. D. m 2 .. Mặt phẳng P có véctơ pháp tuyến là n P 1;1; 2 .. Mặt phẳng Q có véctơ pháp tuyến là nQ 4; 2 m; m . Ta có: P Q n P n Q n P .nQ 0 4.1 2 m 2m 0 m 2 .. Nên m 2 . Câu 55.. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng. :ax y 2z b 0 đi qua giao Q : x 2 y z 1 0 . Tính a 4b . A. 16 .. B. 8 .. tuyến của hai mặt phẳng. C. 0. Lời giải. P : x y z 1 0 D. 8 .. Chọn A Trên giao tuyến của hai mặt phẳng P , Q ta lấy lần lượt 2 điểm A, B như sau: x y 0 Lấy A x; y;1 , ta có hệ phương trình: x y 0 A 0;0;1 . x 2y 0 y z 0 y 2 Lấy B 1; y; z , ta có hệ phương trình: B 1; 2; 2 . 2 y z 2 z 2 Trang 58 Fanpage Nguyễn Bảo Vương và.
<span class='text_page_counter'>(272)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 2 b 0 a 8 Vì nên A, B . Do đó ta có: . a b 6 0 b 2 Vậy a 4b 8 2. 2 16. Câu 56.. (SGD Bến Tre 2019) Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng : x 2 y z 1 0 và. : 2 x 4 y mz 2 0. Tìm m để hai mặt phẳng A. m 1 .. và song song với nhau.. B. Không tồn tại m . C. m 2 . Lời giải. D. m 2 .. Chọn B. Ta có vec tơ pháp tuyến của là n1 1; 2; 1 , vec tơ pháp tuyến của là n2 2; 4; m . Hai mặt phẳng và song song khi. 2 4 m 2 1 2 1 1. Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện trên. Câu 57.. (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-2019) Trong không gian toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng. ( P) : x 2 y 2 z 1 0 , mặt phẳng nào dưới đây song song với P và cách P một khoảng bằng 3 . A. (Q) : x 2 y 2 z 8 0 .. B. Q : x 2 y 2 z 5 0 .. C. (Q) : x 2 y 2 z 1 0 .. D. Q : x 2 y 2 z 2 0 . Lời giải. Chọn A + Ta có: ( P) : x 2 y 2 z 1 0 , chọn A 1;0;0 P . + Xét đáp án A, ta có d A; Q Câu 58.. 1 8 12 22 2 . 2. 3. Vậy đáp án A thoả mãn.. (Cụm 5 Trường Chuyên - ĐBSH - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng Q : x y z 3 0 , cách điểm M 3; 2;1 một khoảng bằng 3 3 biết rằng tồn tại một điểm X a; b; c trên mặt phẳng đó thỏa mãn a b c 2 ? A. 1 .. B. Vô số.. C. 2 . Lời giải. D. 0 .. Ta có mặt phẳng cần tìm là P : x y z d 0 với d 3 . Mặt phẳng P cách điểm M 3; 2;1 một khoảng bằng 3 3 . d 3 đối 3 3 3 d 15. 6d. chiếu điều kiện suy ra d 15 . Khi đó P : x y z 15 0 . Theo giả thiết X a; b; c P a b c 15 2 không thỏa mãn a b c 2 . Vậy không tồn tại mặt phẳng P .. Facebook Nguyễn Vương 59.
<span class='text_page_counter'>(273)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 59.. (Chuyên Thái Bình - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng. Q1 : 3x y 4 z 2 0. và Q2 : 3 x y 4 z 8 0 . Phương trình mặt phẳng P song song và. cách đều hai mặt phẳng Q1 và Q2 là: A. P : 3 x y 4 z 10 0 .. B. P : 3 x y 4 z 5 0 .. C. P : 3 x y 4 z 10 0 .. D. P : 3 x y 4 z 5 0 . Lời giải. Mặt phẳng P có dạng 3x y 4 z D 0 . Lấy M 0; 2;0 Q1 và N 0;8;0 Q2 . Do Q1 // Q2 trung điểm I 0;5;0 của MN phải thuộc vào P nên ta tìm được D 5 . Vậy P : 3 x y 4 z 5 0 . Câu 60.. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Gọi m,n là hai giá trị thực thỏa mãn giao tuyến của hai mặt phẳng. Pm : mx 2 y nz 1 0. : 4 x y 6 z 3 0 . Tính A. m n 0 .. và. Qm : x my nz 2 0. vuông góc với mặt phẳng. mn.. B. m n 2 .. C. m n 1 . Lời giải + Pm : mx 2 y nz 1 0 có vectơ pháp tuyến n1 m; 2; n . Qm : x my nz 2 0 có vectơ pháp tuyến n2 1; m; n . : 4 x y 6 z 3 0 có vectơ pháp tuyến n 4; 1; 6 .. D. m n 3 .. + Giao tuyến của hai mặt phẳng Pm và Qm vuông góc với mặt phẳng nên 4m 2 6 n 0 m 2 Pm n1 n n1.n 0 . 4 m 6n 0 n 1 Qm n2 n n2 .n 0 Vậy m n 3 . Câu 61.. (Chuyên KHTN 2019) Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng P và. Q . cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm A 1;1;1 và B 0; 2; 2 , đồng thời cắt các. trục tọa độ Ox, Oy tại hai điểm cách đều O . Giả sử P có phương trình x b1 y c1 z d1 0 và. Q . có phương trình x b2 y c2 z d 2 0 . Tính giá trị biểu thức b1b2 c1c2 .. A. 7.. B. -9.. C. -7. Lời giải. D. 9.. Cách 1 Xét mặt phẳng có phương trình x by cz d 0 thỏa mãn các điều kiện: đi qua hai điểm. A 1;1;1 và B 0; 2; 2 , đồng thời cắt các trục tọa độ Ox, Oy tại hai điểm cách đều O . Vì đi qua A 1;1;1 và B 0; 2; 2 nên ta có hệ phương trình:. 1 b c d 0 2b 2c d 0. *. d Mặt phẳng cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại M d ;0;0 , N 0; ;0 . b Trang 60 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(274)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. d Vì M , N cách đều O nên OM ON . Suy ra: d . b. Nếu d 0 thì chỉ tồn tại duy nhất một mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán (mặt phẳng này sẽ đi qua điểm O ). d Do đó để tồn tại hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán thì: d b 1 . b. c d 2 c 4 Với b 1, * . Ta được mặt phẳng P : x y 4 z 6 0 2c d 2 d 6 c d 0 c 2 Với b 1, * . Ta được mặt phẳng Q : x y 2 z 2 0 2c d 2 d 2 Vậy: b1b2 c1c2 1. 1 4. 2 9 . Cách 2 AB 1; 3;1 Xét mặt phẳng có phương trình x by cz d 0 thỏa mãn các điều kiện: đi qua hai điểm. A 1;1;1 và B 0; 2; 2 , đồng thời cắt các trục tọa độ Ox, Oy tại hai điểm cách đều O lần lượt tại M , N . Vì M , N cách đều O nên ta có 2 trường hợp sau:. TH1: M (a;0;0), N (0; a;0) với a 0 khi đó chính là P . Ta có MN ( a; a; 0) , chọn u1 ( 1;1;0) là một véc tơ cùng phương với MN . Khi đó n P AB, u1 (1; 1; 4) ,. suy ra P : x y 4 z d1 0. TH2: M (a;0;0), N (0; a;0) với a 0 khi đó chính là Q . Ta có MN ( a; a; 0) , chọn u2 (1;1; 0) là một véc tơ cùng phương với MN . Khi đó n Q AB, u2 (1;1; 2) ,. suy ra Q : x y 2 z d 2 0 Vậy: b1b2 c1c2 1. 1 4. 2 9 . Câu 62.. (Toán Học Và Tuổi Trẻ 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 3; 2;1 . Mặt phẳng P đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại các điểm A , B , C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng P . A. 3x 2 y z 14 0 . B. 2 x y 3z 9 0 . C. 3x 2 y z 14 0 . D. 2 x y z 9 0 . Lời giải Gọi A a;0; 0 ; B 0; b;0 ; C 0;0; c Phương trình mặt phẳng P có dạng:. x y z 1 a.b.c 0 a b c. 3 2 1 Vì P qua M nên 1 1 a b c Ta có: MA a 3; 2; 1 ; MB 3; b 2; 1 ; BC 0; b; c ; AC a;0; c MA.BC 0 2b c Vì M là trực tâm của tam giác ABC nên: 2 3a c MB. AC 0 Facebook Nguyễn Vương 61.
<span class='text_page_counter'>(275)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 14 14 ; b ; c 14 . Khi đó phương trình P : 3x 2 y z 14 0 3 2 Vậy mặt phẳng song song với P là: 3x 2 y z 14 0.. Từ 1 và 2 suy ra a . Trang 62 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(276)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chuyên đề 30. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng 1. Một số bài toán liên khác quan điểm – mặt phẳng – mặt cầu Câu 1.. (Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x 1) 2 ( y 2) 2 ( z 3) 2 1 và điểm A(2;3; 4) . Xét các điểm M thuộc ( S ) sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với ( S ) , M luôn thuộc. mặt phẳng có phương trình là A. 2 x 2 y 2 z 15 0 B. x y z 7 0 C. 2 x 2 y 2 z 15 0 D. x y z 7 0 Lời giải Chọn D Dễ thấy A nằm ngoài mặt cầu ( S ) . Tâm mặt cầu là I (1; 2;3) . Đường thẳng AM tiếp xúc với ( S ) AM IM AM .IM 0 ( x 2)( x 1) ( y 3)( y 2) ( z 4)( z 3) 0 ( x 1 1)( x 1) ( y 2 1)( y 2) ( z 3 1)( z 3) 0 ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 ( x y z 7) 0 x y z 7 0 ( Do ( x 1) 2 ( y 2) 2 ( z 3) 2 0) . Câu 2.. (Sở Bắc Giang Năm 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A 2; 2;2 và mặt 2. cầu S : x 2 y 2 z 2 1 . Điểm M di chuyển trên mặt cầu OM . AM 6 . Điểm M thuộc mặt phẳng nào sau đây? A. 2 x 2 y 6 z 9 0 . B. 2 x 2 y 6 z 9 0 .. S . đồng thời thỏa mãn. C. 2 x 2 y 6 z 9 0 . D. 2 x 2 y 6 z 9 0 . Lời giải Giả sử M x; y; z thì OM x; y; z , AM x 2; y 2; z 2 .. x x 2 y y 2 z z 2 6 Vì M S và OM . AM 6 nên ta có hệ 2 2 2 x y z 2 1 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 z 6 2x 2 y 6z 9 0 . 2 2 2 x y z 4 z 4 1 Vậy điểm M thuộc mặt phẳng có phương trình: 2 x 2 y 6 z 9 0 .. Câu 3.. 2. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A 2; 2;2 và mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 1 . Điểm M di chuyển trên mặt cầu S đồng thời thỏa mãn OM . AM 6 . Điểm M luôn thuộc mặt phẳng nào dưới đây? A. 2x 2 y 6z 9 0 . B. 2 x 2 y 6z 9 0 . C. 2x 2 y 6z 9 0 . D. 2x 2 y 6z 9 0 . Lời giải Chọn D Gọi điểm M x; y; z S là điểm cần tìm. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(277)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2. Khi đó: x 2 y 2 z 2 1 x 2 y 2 z 2 4 z 4 1 x 2 y 2 z 2 4 z 3 Ta có: OM x; y; z và AM x 2; y 2; z 2 . Suy ra OM . AM 6 x x 2 y y 2 z z 2 6. x2 y2 z 2 2x 2 y 2z 6. 1. 2. Thay 1 vào 2 ta được 4 z 3 2 x 2 y 2 z 6 0 2 x 2 y 6 z 9 0 .. Câu 4.. (Chuyên. Lê. Quý. 2. Đôn. Điện. 2. Biên. 2019). Trong. không. gian. Oxyz ,. cho. mặt. 2. cầu S : x 1 y 1 z 1 1 và điểm A(2; 2; 2) . Xét các điểm M thuộc (S ) sao cho đường thẳng AM luôn tiếp xúc với ( S ) . M luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là A. x y z – 6 0 .. B. x y z 4 0 .. C. 3x 3 y 3 z – 8 0 . D. 3 x 3 y 3 z – 4 0 . Lời giải. M. A. I. S có tâm I 1;1;1. và bán kính R 1 .. Do IA 1 1 1 3 R nên điểm A nằm ngoài mặt cầu S . AMI vuông tại M : AM AI 2 IM 2 3 1 2 .. M thuộc mặt cầu S có tâm A bán kính 2. 2. 2. 2. Ta có phương trình S : x 2 y 2 z 2 2 . Ta có M S S .. x 1 2 y 1 2 z 1 2 1 Tọa độ của M thỏa hệ phương trình I . 2 2 2 x 2 y 2 z 2 2 2 2 2 x y z 2 x 2 y 2 z 2 0 Ta có I 2 2x 2 y 2z 8 0 x y z 4 0 2 2 x y z 4 x 4 y 4 z 10 0. Suy ra M P : x y z 4 0 . Câu 5.. (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;2;1 , B 3; 1;1 và. C 1; 1;1 . Gọi S1 là mặt cầu có tâm A , bán kính bằng 2 ; S2 và S3 là hai mặt cầu có Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(278)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. tâm lần lượt là B , C và bán kính đều bằng 1 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu S1 , S2 , S3 . A. 8. B. 5. C. 7 Lời giải. D. 6. Chọn C Gọi phương trình mặt phẳng P tiếp xúc với cả ba mặt cầu đã cho có phương trình là: ax by cz d 0 ( đk: a 2 b 2 c 2 0 ).. a 2b c d 2 2 2 2 a b c d A; P 2 3a b c d Khi đó ta có hệ điều kiện sau: d B; P 1 1 2 2 2 a b c d C ; P 1 a b c d 1 a 2 b 2 c 2. a 2b c d 2 a 2 b 2 c 2 3a b c d a 2 b 2 c 2 . 2 2 2 a b c d a b c 3a b c d a b c d Khi đó ta có: 3a b c d a b c d 3a b c d a b c d a 0 . a b c d 0 với a 0 thì ta có. 2b c d 2 b2 c 2 2b c d 2 b 2 c 2 c d 0 c d 0, b 0 4b c d 0 do đó có 3 2b c d 2 b c d c d 4b, c 2 2b c d 0 mặt phẳng. 4 b a 3b 2 a 2 b 2 c 2 3 b 4 a 3 Với a b c d 0 thì ta có 2 2 2 2a a b c 2a a 2 b 2 c 2 c 11 a 3 do đó có 4 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.Vậy có 7 mặt phẳng thỏa mãn bài toán. Câu 6.. 2. 2. 2. Trong không gian Oxyz, cho S : x 3 y 2 z 5 36 , điểm M 7;1;3 . Gọi là đường thẳng di động luôn đi qua M và tiếp xúc với mặt cầu S tại N . Tiếp điểm N di động trên đường tròn T có tâm J a, b, c . Gọi k 2a 5b 10c , thì giá trị của k là A. 45 .. B. 50 .. C. 45 . Lời giải. D. 50 .. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(279)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 M. N J. I. 2. 2. 2. Mặt cầu S : x 3 y 2 z 5 36 có tâm I 3; 2;5 , bán kính R 6 . Có IM 25 16 4 3 5 6 R , nên M thuộc miền ngoài của mặt cầu S . Có MN tiếp xúc mặt cầu S tại N , nên MN IN tại N . Gọi J là điểm chiếu của N lên MI . Có IN 2 I J .IM . Suy ra I J . IN 2 36 12 5 (không đổi), I cố định. IM 3 5 5. Suy ra N thuộc P cố định và mặt cầu S , nên N thuộc đường tròn C tâm J . x 3 8 I J 12 5 1 4 4 IM Gọi N x; y; z , có IJ IM IM y 2 IM 5 5 3 5 5 2 z 5 5 6 23 N 5; ; , k 2a 5b 10c 50 . Vậy k 50 . 5 5 Câu 7.. (Chuyên. Đại. Học. Vinh. 2019). Trong. không. gian. Oxyz ,. cho. các. điểm. M 2;1; 4 , N 5;0;0 , P 1; 3;1 . Gọi I a; b; c là tâm của mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng. Oyz . đồng thời đi qua các điểm M , N , P . Tìm c biết rằng a b c 5. A. 3. B. 2. C. 4 Lời giải. D. 1. Chọn B Phương trình mặt cầu S tâm I a; b; c là x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 Đk: a 2 b 2 c 2 d 0 4a 2b 8c d 21 10a d 25 S đi qua các điểm M , N , P và tiếp xúc với mặt phẳng Oyz 2a 6b 2c d 11 R a . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(280)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 4a 2b 8c 10a 25 21 6a 2b 8c 4 6a 2b 8c 4 d 10a 25 d 10a 25 d 10a 25 2a 6b 2c 10a 25 11 8a 6b 2c 14 32a 24b 8c 56 2 2 2 2 2 2 a b c d a b c d 0 b 2 c 2 d 0 6a 2b 8c 4 c a 1 d 10a 25 d 10a 25 26a 26b 52 b a 2 2 2 b c d 0 b 2 c 2 d 0 2. 2. a 2 a 1 10a 25 0 2a 2 16a 30 0 a 3 a 3 b 1 hay a 5 c 2 d 5. a 5 b 3 c 4 d 25. Vì a b c 5 nên chọn c 2 . Câu 8.. (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm H 1; 2; 2 . Mặt phẳng. a . đi qua H và cắt các trục Ox, Oy , Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của. tam giác ABC . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC . 81 A. 243 . B. 81 . C. . 2 Lời giải. D.. 243 . 2. Mặt phẳng a cắt các trục Ox, Oy , Oz lần lượt tại các điểm A a;0;0 , B 0; b ;0 , C 0;0; c . Do H là trực tâm tam giác ABC nên a, b, c 0 .. Khi đó phương trình mặt phẳng a :. x y z 1. a b c. 1 2 2 Mà H 1; 2; 2 a nên: 1 1 . a b c Ta có: AH 1 a; 2; 2 , BH 1; 2 b; 2 , BC 0; b; c , AC a; 0; c . AH .BC 0 b c Lại có H là trực tâm tam giác ABC , suy ra hay (2) . a 2c BH . AC 0. 1 2 2 9 9 1 c , khi đó a 9, b . 2 c c c 2 2 9 9 Vậy A 9;0;0 , B 0; ; 0 , C 0; 0; . 2 2 . Thay 2 vào 1 ta được:. Khi đó, giả sử mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có phương trình là: 2. 2. 2. x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 . Với a b c d 0 Vì 4 điểm O, A, B, C thuộc mặt cầu nên ta có hệ phương trình:. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(281)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. d 0 d 0 18a d 81 9 a 2 81 . 9b d 9 4 b 4 81 9c d c 9 4 4 Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là: x 2 y 2 z 2 9 x 2. 2. 9 9 y z 0 , có tâm 2 2. 2. 9 6 9 9 9 9 9 9 . I ; ; và bán kính R 0 4 2 4 4 2 4 4 2. 9 6 243 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tự diện OABC là S 4 R 4 . . 4 2 2. Câu 9.. ( HSG Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M 6;0;0 ,. S1 : x 2 y 2 z 2 2x 2 y 1 0 và cắt nhau theo đường tròn C . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu. N 0;6;0 , P 0;0;6 . Hai mặt cầu có phương trình. S2 : x 2 y 2 z 2 8 x 2 y 2 z 1 0 có tâm thuộc mặt phẳng chứa C và tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP, PM . A. 1.. B. 3 .. C. Vô số. Lời giải. D. 4 .. Giả sử mặt cầu S có tâm I C và tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP, PM . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên MNP . Ta có: S tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP, PM. d I , MN d I , NP d I , PM d H , MN d H , NP d H , PM . H là tâm đường tròn nội tiếp hoặc tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác MNP . x y z MNP có phương trình là 1 hay x y z 6 0 . 6 6 6 C S1 S2 Tọa độ các điểm thuộc trên C thỏa mãn hệ phương trình: x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 1 0 3x 2 y z 0 . 2 2 2 x y z 8 x 2 y 2 z 1 0. Do đó, phương trình chứa mặt phẳng chứa C là a : 3 x 2 y z 0 . Vì 1.3 1. 2 1. 1 0 MNP a . 1 Ta có: MN NP PM 6 2 MNP đều. Gọi G là trọng tâm tam giác MNP G 2; 2; 2 và G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. MNP . Thay tọa độ của điểm G vào phương trình mặt phẳng a , ta có: G a . Gọi là đường thẳng vuông góc với MNP tại G .. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(282)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. MNP a a . Vì G a . Khi đó: I d I , MN d I , NP d I , PM r Mặt cầu tâm I bán kính r tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP , PM . Vậy có vô số mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa C và tiếp xúc với ba đường thẳng. MN , MP, PM . Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ. Oxyz. cho. A 3;1;1 , B 1; 1; 5 . và mặt phẳng. P : 2 x y 2 z 11 0. Mặt cầu S đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với P tại điểm C . Biết C luôn thuộc một đường tròn T cố định. Tính bán kính r của đường tròn T . A. r 4 .. B. r 2 .. C. r 3 . D. r 2 . Lời giải Ta có AB 4; 2; 4 và mp P có vec tơ pháp tuyến n 2; 1; 2 . Do đó AB vuông góc với. P . Giả sử mặt cầu S có phương trình x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 . Mặt cầu S đi qua hai điểm A, B nên ta có 9 1 1 6 a 2b 2 c d 0 6 a 2b 2c d 11 . 1 1 25 2 a 2b 10c d 0 2 a 2b 10c d 27 Suy ra 8 a 4 b 8 c 16 2 a b 2 c 4. 2a b 2c 11 Mặt cầu S tiếp xúc với P nên ta có d I , P 5. 3. Ta có AB 4; 2; 4 AB 16 4 16 6. Goi M là trung điểm AB ta có d C , AB IM 5 2 3 2 4. Vậy C luôn thuộc một đường tròn. T cố định có bán kính. r 4. . Câu 11.. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Trong không gian. Oxyz , cho hai điểm. 5 3 7 3 5 3 7 3 A ; ;3 , B ; ;3 và mặt cầu ( S ) : ( x 1) 2 ( y 2) 2 ( z 3) 2 6 . Xét 2 2 2 2 mặt phẳng ( P ) : ax by cz d 0 , a, b, c, d : d 5 là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua hai điểm A, B . Gọi ( N ) là hình nón có đỉnh là tâm của mặt cầu ( S ) và đường tròn đáy là đường tròn Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(283)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. giao tuyến của ( P ) và ( S ) . Tính giá trị của T a b c d khi thiết diện qua trục của hình nón ( N ) có diện tích lớn nhất.. C. T 2 . Lời giải. B. T 6 .. A. T 4 .. D. T 12 .. I. R B. h. r A. Mặt cầu ( S ) có tâm I 1; 2;3 , bán kính R 6 . Có IA IB 6 nên A, B thuộc mặt cầu ( S ) . 5 7 AB 3; 3;0 3 1; 1; 0 3 a , M ; ;3 là trung điểm của AB . 2 2 . . . . . Gọi a (1; 1;0) và n (a; b; c) với a2 b2 c2 0 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ). 7 5 I ( P) a b 3c d 0 d 6a 3c 2 Vì A, B ( P ) nên có . 2 a.n 0 a b a b 0 Gọi h d I , ( P) , (C ) ( P ) ( S ) , r là bán kính đường tròn (C ) .. r R 2 h 2 6 h2 . Diện tích thiết diện qua trục của hình nón ( N ) . 1 h2 6 h 2 S .h.2r h. 6 h 2 3. 2 2. MaxS 3 khi h 2 6 h 2 h 3 . a 2b 3c d h d I ,( P) 3 . a 2 b2 c2 a c a 2 c2 . a c Nếu a c thì b a; d 9a và ( P ) : ax ay az - 9 a 0 x y z 9 0 (nhận). Nếu a c thì b a ; d 3a và ( P ) : ax ay az - 3a 0 x y z 3 0 (loại). Vây T a b c d 6 . Câu 12. Trong không gian Oxyz , xét số thực m 0;1 và hai mặt phẳng a : 2 x y 2 z 10 0 và. :. x y z 1 . Biết rằng, khi m thay đổi có hai mặt cầu cố định tiếp xúc đồng thời với cả m 1 m 1. hai mặt phẳng a , . Tổng bán kính của hai mặt cầu đó bằng A. 6. B. 3. C. 9 Lời giải. D. 12. Chọn C Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(284)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Gọi I a; b; c là tâm mặt cầu. Theo giả thiết ta có R d I , a d I , . a b c 1 m 1 m Mà d I , 1 1 1 m 2 1 m 2 Ta có 2. 1 1 1 1 1 1 1 1 2 . 2 2 m 1 m m 1 m m 1 m 2. 1 1 1 1 1 1(do m 0;1 2 . m 1 m m 1 m m 1 m Nên. a 1 m bm cm 1 m m 1 m m 1 m R 1 1 m 1 m R. a am bm cm cm 2 m m 2. m2 m 1 R Rm Rm 2 a am bm cm cm 2 m m 2 2 2 2 R Rm Rm a am bm cm cm m m m 2 R c 1 m a b c R 1 R a 0 1 2 m R c 1 m b c a R 1 R a 0 2 Xét (1) do mặt cầu tiếp xúc với tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt phẳng a , với mọi. m 0;1 nên pt (1) nghiệm đúng với mọi m 0;1 . R c 1 0 a R a b c R 1 0 b R I R; R;1 R . R a 0 c 1 R Mà R d I , a R . 2 R R 2 1 R 10 3. R 3 3R 12 R R 6(l ). Xét (2) tương tự ta được. R c 1 0 a R b c a R 1 0 b R I R; R; R 1 R a 0 c R 1 Mà R d I , a R . 2 R R 2 1 R 10 3. R 6 3R 12 R . R 3(l ). Vậy R1 R2 9 . Câu 13. Trong không gian Oxyz , mặt cầu S đi qua điểm A 2; 2;5 và tiếp xúc với ba mặt phẳng. P : x 1, Q : y 1 và R : z 1 có bán kính bằng Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(285)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. C. 2 3 .. B. 1.. A. 3 .. D. 3 3 .. Lời giải Gọi I a; b; c và R là tâm và bán kính của S . Khi đó ta có. IA a 1 R IA d I ; P d I ; Q d I ; R IA a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 a 1 c 1 b a 2 IA a 1 b a 2 TH1: a 1 b 1 c a (vô nghiệm) c a a 1 c 1 2 2 2 2 2 2a 12a 28 0 2 a a 5 a a 1. TH2: b a IA a 1 b a a 4 c a b 4 R 1 a 1 b 1 c a a 1 c 1 2 2 2 2 2 c 4 2a 16a 32 0 2 a 2 a 5 a a 1 b a 2 IA a 1 b a TH3: a 1 b 1 c 2 a (vô nghiệm) c a a 1 c 1 2 2 2 2 2 2a 4a 12 0 2 a a 3 a a 1 b a IA a 1 b a TH4: a 1 b 1 c 2 a (vô nghiệm) c a a 1 c 1 2 2 2 2 2 2a 12 0 2 a 2 a 3 a a 1. Vậy mặt cầu có bán kính R 1 Câu 14.. (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;1; 2 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng. P. đi qua M và cắt các trục x'Ox, y'Oy, z'Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho. OA OB OC 0 ?. A. 8. B. 1. C. 4 Lời giải. D. 3. Chọn D Mặt phẳng P đi qua M và cắt các trục x'Ox, y'Oy, z'Oz lần lượt tại các điểm A a; 0; 0 ,B 0;b; 0 ,C 0; 0;c . Khi đó phương trình mặt phẳng P có dạng: x y z 1. a b c. Theo bài mặt phẳng P đi qua M 1;1; 2 và OA OB OC nên ta có hệ: a b c 1 1 2 a b c 1 1 . Ta có: 2 a b c a c b a b c 2 b c a - Với a b c thay vào 1 được a b c 4 - Với a b c thay vào 1 được 0 1 (loại). Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(286)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. - Với a c b thay vào 1 được a c b 2 . - Với b c a thay vào 1 được b c a 2 . Vậy có ba mặt phẳng thỏa mãn bài toán là: x y z x y z x y z P1 : 1; P2 : 1; P3 : 1 4 4 4 2 2 2 2 2 2 Câu 15.. (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm. A 3;1;7 , B 5;5;1 và mặt phẳng. P : 2x y z 4 0 .. Điểm M thuộc. P. sao cho. MA MB 35 . Biết M có hoành độ nguyên, ta có OM bằng A. 2 2 .. B. 2 3 .. C. 3 2 . Lời giải. D. 4 .. Gọi M a ; b ; c với a , b , c . Ta có: AM a 3; b 1; c 7 và BM a 5; b 5; c 1 .. M P M P MA2 MB 2 nên ta có hệ phương trình sau: Vì MA MB 35 MA2 35 2a b c 4 0 2a b c 4 2 2 2 2 2 2 a 3 b 1 c 7 a 5 b 5 c 1 4a 8b 12c 8 2 2 2 2 2 2 a 3 b 1 c 7 35 a 3 b 1 c 7 35 b c b a 2 a 0 b 2 , (do a ). c a 2 c a 2 c 2 3a 2 14a 0 2 2 2 a 3 b 1 c 7 35. Ta có M 2; 2; 0 . Suy ra OM 2 2 . Câu 16.. (Cụm 5 Trường Chuyên - ĐBSH - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c với a, b, c 0 . Biết rằng. ABC . đi qua điểm. 72 1 1 1 2 2 2 1 2 3 . Tính 2 2 2 . M ; ; và tiếp xúc với mặt cầu S : x 1 y 2 z 3 7 a b c 7 7 7 1 7 A. 14 . B. . C. 7 . D. . 7 2 Lời giải x y z Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng ABC là: 1 . a b c 1 2 3 Vì điểm M , , thuộc mặt phẳng ABC 7 7 7. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 7 7 7 1 1 7 a b c 7 a 7b 7 c a b c 2. 2. 2. Mặt khác mặt phẳng ABC tiếp xúc với S : x 1 y 2 z 3 . 72 7. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(287)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. khoảng cách từ tâm I 1,2,3 của cầu tới mặt phẳng ABC là. 72 7. 1 2 3 1 1 2 3 72 a b c mà 7 d I , ABC a b c 7 1 1 1 2 2 2 a b c d I , ABC . Câu 17.. 7 1 1 1 1 a2 b2 c2. . 72 1 1 1 7 2 2 2 . 7 a b c 2. (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Trong không gian Oxyz , cho các điểm M 2;1; 4 , N 5;0;0 ,. P 1; 3;1 . Gọi I a; b; c là tâm của mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng Oyz đồng thời đi qua các điểm M , N , P . Tìm c biết rằng a b c 5 . A. 3 . B. 2 . C. 4 . Lời giải Chọn B. D. 1.. Giả sử mặt cầu S đã cho có phương trình dạng: x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 . Từ đề bài ta có:. M 2;1; 4 S 4a 2b 8c d 21 1 N 5;0;0 S 10a d 25 2 . P 1; 3;1 S 2a 6b 2c d 11 3 .. Hình chiếu của điểm I a; b; c lên mặt phẳng Oyz là H 0; b; c HI a; 0;0 HI a .. Mặt cầu S tiếp xúc với mặt phẳng Oyz IH a a 2 b 2 c 2 d b 2 c 2 d 0 4 . Từ (1); (2); (3) ta có: b 2 a . c a 1 d 10a 25 Thế vào phương trình (4) ta được: a 2 8a 15 0 a 5 a 3 . Trường hợp 1: a 5 b 3, c 4 a b c 6 5 loại. Trường hợp 1: a 3 b 1, c 2 a b c 4 5 nhận. Vậy c 2 thỏa yêu cầu đề. Câu 18.. 2. (Sở Nam Định - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 1 4 và điểm. A 2;2;2 . Từ A kẻ ba tiếp tuyến AB , AC , AD với B , C , D là các tiếp điểm. Viết phương trình mặt phẳng BCD . A. 2 x 2 y z 1 0 .. B. 2 x 2 y z 3 0 .. C. 2 x 2 y z 1 0 .. D. 2 x 2 y z 5 0 . Lời giải. Chọn D Mặt cầu S có tâm I 0;0;1 , bán kính R 2 . Có IA 2; 2;1 IA 3 . Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(288)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2. 2. Tam giác ABI vuông tại B nên ta có AB IA IB 5 . Gọi H x ; y ; z là chân đường cao kẻ từ B của tam giác ABI . Ta có: IB 2 IH .IA IH . IB 2 4 4 IH .IA . IA 3 9. 4 8 x 0 9 .2 x 9 4 4 8 8 8 13 Từ suy ra được IH IA y 0 .2 y H ; ; . 9 9 9 9 9 9 4 13 z 1 9 .1 z 9 Mặt phẳng BCD vuông góc với đường thẳng IA nên nhận IA 2; 2;1 làm vectơ pháp tuyến. Hơn nữa mặt phẳng BCD đi qua điểm H .. 8 8 13 Vậy BCD có phương trình: 2. x 2. y 1. z 0 2 x 2 y z 5 0 . 9 9 9 Câu 19.. (Hội 8 Trường Chuyên 2019) Trong không gian Oxyz , 2. 2. 2. S : S và. cho hai mặt cầu. 2. x 2 y 2 z 1 25 và S : x 1 y 2 z 3 1. Mặt phẳng P tiếp xúc. cắt S theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng 6 . Khoảng cách từ O đến P bằng A.. 14 . 3. B.. 17 . 7. 8 . 9 Lời giải C.. D.. 19 . 2. Chọn A. Mặt cầu S có tâm I 0;0;1 , bán kính R 5 , mặt cầu S có tâm I 1; 2;3 , bán kính R 1 Vì I I 3 R R 4 nên mặt cầu S nằm trong mặt cầu S . Mặt phẳng P tiếp xúc S d I , P R 1 ; P cắt S theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng 6 ( suy ra bán kính đường tròn là r 3 ) nên d I , P R 2 r 2 4 . Nhận thấy d I , P d I , P I I nên tiếp điểm H của P và S cũng là tâm đường tròn giao của P và S . Khi đó, P là mặt phẳng đi qua H , nhận II 1; 2; 2 làm vecto pháp tuyến.. Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(289)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 4 xH 3 4 8 4 8 11 Ta có: IH II yH H ; ; . 3 3 3 3 3 11 zH 3 4 8 11 Phương trình mặt phẳng P : x 2 y 2 z 0 x 2 y 2 z 14 0 . 3 3 3 . 14 . 3. Khoảng cách từ O đến P là d O, P Câu 20.. (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;11; 5 và mặt phẳng P : 2mx m 2 1 y m 2 1 z 10 0 . Biết rằng khi m thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng P và cùng đi qua A . Tổng bán kính của hai mặt cầu đó bằng A. 10 2 .. C. 12 2 . Lời giải. B. 12 3 .. D. 10 3 .. Chọn C Gọi I x0 ; y 0 ; z0 là tâm của mặt cầu S cố định và R là bán kính của mặt cầu S . Ta có:. R d I , P . 2mx0 m2 1 y0 m2 1 z0 10 2. 4m2 m2 1 m2 1. 2. . 2mx0 m 2 1 y0 m 2 1 z0 10 2 m 2 1. 2mx0 m2 1 y0 m2 1 z0 10 R 2 m2 1 đúng với mọi m . 2mx0 m2 1 y0 m2 1 z0 10 R 2 m2 1 y0 z0 m 2 2mx0 y0 z0 10 R 2m 2 R 2 đúng với mọi m . y0 z0 m 2 2mx0 y0 z0 10 R 2m 2 R 2. y0 z 0 R 2 x0 0 y0 z0 10 R 2 y0 z0 R 2 x0 0 y0 z0 10 R 2. I . II . Từ hệ I suy ra x0 0; y0 5 R 2; z0 5. . Do đó tâm mặt cầu là I 0;5 R 2; 5. . Ta có: R 2 IA2 R 2 4 R 2 6. . . 2. suy ra R 2 2 và R 10 2. Hệ II suy ra x0 0; y0 5 R 2, z0 5. . Như vậy, ta có: R 2 IA2 4 2 R 2 6. . 2. R 2 , phương trình không có giá trị R thỏa mãn nên. loại. Vậy tổng hai bán kính của hai mặt cầu là: 12 2 . Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(290)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 21.. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu. S : x 1. 2. 2. 2. y 1 z 1 1 và điểm A 2;2;2 . Xét các điểm M thuộc mặt cầu S sao. cho đường thẳng AM luôn tiếp xúc với S . M luôn thuộc mặt phẳng cố định có phương trình là A. x y z 6 0 . B. x y z 4 0 C. 3 x 3 y 3 z 8 0 . D. 3 x 3 y 3 z 4 0 . Lời giải Chọn B. Mặt cấu S có tâm I 1;1;1 , bán kính R 1 . A 2;2;2 Ta luôn có. AMI 90o , suy ra điểm M thuộc mặt cầu S1 tâm E là trung điểm của AI đường. kính AI .. 3 3 3. 2. 2. 2. Với E ; ; , bán kính R1 IE 1 1 1 3 . 2 2 2 2 2 2 2 2. 2. 2. 3 3 3 3 Phương trình mặt cầu S1 : x y z 2 2 2 4 . x2 y2 z2 3x 3y 3z 6 0 . Vậy điểm M có tọa độ thỏa mãn hệ:. x 1 2 y 12 z 12 1 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 z 2 0 2 2 2 2 2 2 x y z 3x 3 y 3z 6 0 x y z 3x 3 y 3z 6 0 Trừ theo vế hai phương trình cho nhau ta được: x y z 4 0 . Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 4 x 4 y 2 z 7 0 và đường thẳng. dm. là giao tuyến của hai mặt phẳng. x 1 2m y 4mz 4 0. và. 2 x my 2m 1 z 8 0 . Khi đó m thay đổi các giao điểm của d m và S nằm trên một đường tròn cố định. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r . 142 . 15. B. r . 92 . 3. C. r . 23 . 3. D. r . 586 . 15. Lời giải. Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(291)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. I K B H N A P Q. Giả sử đường thẳng d m cắt mặt cầu tại hai điểm A, B . Mặt cầu S có tâm I 2; 2;1 , bán kính R 4 . x 1 2m y 4mz 4 0 Đường thẳng M x; y d m thỏa 5 x y 2 z 20 0 nên các 2 x my 2m 1 z 8 0 giao điểm của S và d m thuộc đường tròn giao tuyến giữa S và P : 5x y 2 z 20 0 . d I , P Câu 23.. 142 142 14 nên r R 2 d 2 I , P 42 . 30 15 30. (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu S có phương trình x 2 y 2 z 2 2 a 4b x 2 a b c y 2 b c z d 0 , tâm I nằm trên mặt phẳng a cố định. Biết rằng 4a b 2c 4 . Tìm khoảng cách từ điểm D 1; 2; 2 đến mặt phẳng a . A.. 15 . 23. B.. 1 . 915. C.. 9 . 15. D.. Lời giải Chọn B Mặt cầu S có tâm I a 4b ; a b c ; b c . Giả sử mặt phẳng a có phương trình Ax By Cz D 0 . Vì I a nên ta có. A a 4b B a b c C b c D 0 A B a 4 A B C b B C c D (1). Theo bài ra ta có 4a b 2c 4 (2). Đồng nhất (1) và (2) ta có hệ phương trình. Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 1 . 314.
<span class='text_page_counter'>(292)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 A 4 A B 4 17 4 A B C 1 B 4 B C 2 25 D 4 C 4 D 4. Suy ra a có phương trình x 17 y 25 z 16 0 . Vậy, khảng cách từ điểm D 1; 2; 2 đến a bằng. d D, a Câu 24.. 1 17.2 25. 2 16 12 17 2 252. . 1 . 915. (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , điểm. M a, b, c . thuộc. mặt. phẳng. P : x y z 6 0. và. cách. đều. các. điểm. A 1;6;0 , B 2; 2; 1 , C 5; 1;3 . Tích abc bằng A. 6. B. 6. C. 0 Lời giải. D. 5. Chọn A. a b c 6 a b c 6 2 2 2 2 2 2 2 2 Ta có: MA MB a 1 b 6 b a 2 b 2 c 1 MA2 MC 2 2 2 2 2 2 2 a 1 b 6 c a 5 b 1 c 3 a b c 6 a 1 3a 4b c 14 b 2 abc 6. 4a 7b 3b 1 c 3 Dạng 2. Cực trị 1. Một số bất đẳng thức cơ bản Kết quả 1. Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn thì lớn hơn Kết quả 2. Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất. Như trong hình vẽ ta luôn có AM AH. Kết quả 3. Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có bất đẳng thức AB BC AC . Tổng quát hơn ta có bất đẳng thức của đường gấp khúc: Với n điểm A1 , A2 ,.... An ta luôn có A1 A2 A2 A3 ... An 1 An A1 An x y 2 xy . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y Kết quả 4. Với hai số không âm x, y ta luôn có 2 Kết quả 5. Với hai véc tơ a, b ta luôn có a.b a . b . Đẳng thức xảy ra khi a kb, k 2. Một số bài toán thường gặp Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(293)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Bài toán 1. Cho điểm A cố định và điểm M di động trên hình H ( H là đường thẳng, mặt phẳng). Tìm giá trị nhỏ nhất của AM. Lời giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên hình H . Khi đó, trong tam giác AHM Vuông tại . M ta có AM AH . Đẳng thức xảy ra khi M H . Do đó AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A lên H Bài toán 2. Cho điểm A và mặt cầu S có tâm I , bán kính R, M là điểm di động trên S . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của AM .. Lời giải. Xét A nằm ngoài mặt cầu ( S ). Gọi M 1 , M 2 lần lượt là giao điểm của đường thẳng AI với mặt cầu ( S ) AM 1 AM 2 và (a ) là mặt phẳng đi qua M và đường thẳng AI . Khi đó (a ) cắt ( S ) theo một đường tròn lớn (C ). Ta có M MM 90 , nên AMM 2 và AM M là các góc tù, nên trong các tam giác 1. 2. 1. AMM 1 và AMM 2 ta có AI R AM 1 AM AM 2 AI R Tương tự với A nằm trong mặt cầu ta có R AI AM R AI Vậy min AM | AI R |, max AM R AI Bài toán 3. Cho măt phẳng ( P) và hai điểm phân biệt A, B. Tìm điể M thuộc ( P) sao cho 1. MA MB nhỏ nhất. 2. | MA MB | lớn nhất. Lời giải. 1. Ta xét các trường hợp sau - TH 1: Nếu A và B nằm về hai phía so với ( P) . Khi đó AM BM AB Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( P) . - TH 2: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( P) . Gọi A đối xứng với A qua ( P) . Khi đó AM BM A M BM A B Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( P) .. 2. Ta xét các trường hợp sau - TH 1: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( P) . Khi đó Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(294)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. | AM BM | AB Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( P) . - TH 2: Nếu A và B nằm khác phía so với ( P) . Gọi A ' đối xứng với A qua P , Khi đó | AM BM | A M BM A B Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( P) . Bài toán 4. Viết phương trinh măt phẳng ( P) di qua A và cách B một khoảng lớn nhất.. Lời giải. Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng ( P), khi đó d( B,( P)) BH BA Do đó P là mặt phẳng đi qua A vuông góc với AB Bài toán 5. Cho các số thực dương a , và ba điểm A, B, C. Viết phương trình măt phẳng ( P) đi qua C và T a d( A, ( P)) d( B, ( P)) nhỏ nhất. Lời giải. 1. Xét A, B nằm về cùng phía so với ( P) . - Nếu AB‖( P) thì P (a )d( A,( P)) (a ) AC a - Nếu đường thẳng AB cắt ( P) tại I . Gọi D là điểm thỏa mãn IB ID và E là trung điểm BD. Khi đó. . IB d( D, ( P)) 2a d( E , ( P)) 2(a ) EC ID 2. Xét A, B nằm về hai phía so với ( P) . Gọi I là giao điểm của AB và ( P), B là điểm đối xứng với B qua I . Khi đó P a d( A, ( P)) d B ,( P ) P a d( A,( P)) . . . Đến đây ta chuyển về trường hợp trên. So sánh các kết quả ở trên ta chọn kết quả lớn nhất. Bài toán 6. Trong không gian cho n điểm A1 , A2 , , An và diểm A. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A và tổng khoảng cách từ các điểm Ai (i 1, n ) lớn nhất. Lời giải. - Xét n điểm A1 , A2 , , An nằm cùng phía so với ( P). Gọi G là trọng tâm của n điểm đã cho. Khi đó n. d A , ( P) nd(G, ( P)) nGA i. i 1. - Trong n điểm trên có m điểm nằm về một phía và k điểm nằm về phía khác (m k n ). Khi đó, gọi G1 là trọng tâm của m điểm, G2 là trọng tâm của k điểm G3 đối xứng với G1 qua A. Khi dó P md G3 , ( P ) kd G2 , ( P ) . Đến đây ta chuyển về bài toán trên. Bài toán 7.Viết phương trình mặt phẳng P đi qua đường thẳng và cách A một khoảng lớn nhất. Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(295)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên mặt phẳng ( P) và đường thẳng . Khi đó d( A, ( P)) AH AK Do đó ( P) là mặt phẳng đi qua K và vuông góc vói AK . Bài toán 8. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A1 , A2 , , An . Xét véc tơ w a1 MA1 a 2 M A2 a n M An Trong đó a1 ;a 2 ...a n là các số thực cho trước thỏa mãn a1 a 2 ... a n 0 . Tìm điểm M thuôc măt phẳng ( P) sao cho | w | có đô dài nhỏ nhất. Lời giải. Gọi G là điểm thỏa mãn a1GA1 a 2GA2 a nGAn 0 (điểm G hoàn toàn xác định). Ta có MAk MG GAk vói k 1; 2;; n, nên w a1 a 2 a n MG a1GA1 a 2GA2 a nGAn a1 a 2 a n MG Do đó | w | a1 a 2 a n | MG |. Vi a1 a 2 a n là hằng số khác không nên | w | có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất, mà M ( P) nên điểm M cần tìm là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( P) . Bài toán 9. Trong không gian Oxy z, cho các diểm A1 , A2 , , An . Xét biểu thức: T a1MA12 a 2 MA22 a n MAn2 Trong đó a1 , a 2 , , a n là các số thực cho trước. Tìm điểm M thuộc măt phẳng ( P) sao cho 1. T giá trị nhỏ nhất biết a1 a 2 a n 0 . 2. T có giá trị lớn nhất biết a1 a 2 a n 0 . Lời giải. Gọi G là điểm thỏa mãn a1GA1 a 2GA2 a nGAn 0 Ta có MAk MG GAk với k 1; 2;; n, nên 2 MAk2 MG GAk MG 2 2 MG GAk GAk2. . . Do đó T a1 a 2 a n MG 2 a1GA12 a 2GA22 a nGAn2 Vì a1GA12 a 2GA22 a nGAn2 không đổi nên • với a1 a 2 a n 0 thì T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. • với a1 a 2 a n 0 thì T đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. Mà M ( P) nên MG nhỏ nhất khi điểm M là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( P) . Bài toán 10. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng ( P) cắt nhau. Viết phương trình của mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng ( P) một góc nhỏ nhất.. Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(296)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải. Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( P) và lấy điểm M d , M I . Gọi H , K lầ lượt là hình chiếu của M lên ( P) và giao tuyến của ( P) và (Q) . , do đó Đặt là góc giữa ( P) và (Q), ta có MKH. HM HM HK HI Do đó (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mặt phẳng ( MHI ), nên (Q) đi qua M và nhận nP ud ud làm VTPT. tan . Chú ý. Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đai số như sau: - Goi n (a; b; c), a 2 b 2 c 2 0 là một VTPT của mặt phẳng (Q). Khi đó n ud 0 từ đây ta rút được a theo b, c (hoặc b theo a, c hoặc c theo a, b ). - Gọi là góc giữa ( P) và (Q), ta có n nP cos f (t ) | n | nP. b với t , c 0. Khảo sát f (t ) ta tìm được max của f (t ) c Bài toán 11. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d chéo nhau. Viết phương trinh mặt phẳng ( P) chứa d và tạo với d một góc lớn nhất.. Lời giải. Trên đường thẳng d , lấy điểm M và dựng đường thẳng đi qua M song song với d . Khi đó góc giữa và ( P) chính là góc giữa d và ( P) . Trên đường thẳng , lấy điểm A . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên ( P) và d , là góc giữa và ( P) . HM KM Khi đó AMH và cos AM AM Suy ra ( P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng ( AMK ). Do dó ( P) đi qua M và nhận ud ud ud làm VTPT.. . . Chú ý. Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đại số như sau: - Goi n (a; b; c), a 2 b 2 c 2 0 là một VTPT của măt phẳng ( P). Khi đó n ud 0 từ đây ta rút được a theo b, c (hoặc b theo a, c hoặc c theo a, b ). - Gọi là góc giữa ( P) và d , ta có n ud sin f (t ) | n | ud . b với t , c 0. Khảo sát f (t ) ta tìm được max của f (t ) c Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(297)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dạng 2.1. Cực trị liên quan đến bán kính, diện tích, chu vi, thể tích Câu 1.. (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3; 2;6 , B 0;1; 0 và mặt 2. 2. 2. cầu S : x 1 y 2 z 3 25 . Mặt phẳng P : ax by cz 2 0 đi qua A, B và cắt. S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T a b c B. T 4. A. T 3. D. T 2. C. T 5 Lời giải. Chọn A Mặt cầu S có tâm I 1; 2; 3 và bán kính R 5. A P 3a 2b 6c 2 0 a 2 2c Ta có b 2 0 b 2 B P . . . 2. . . Bán kính của đường tròn giao tuyến là r R 2 d I ; P 25 d I ; P . . 2. . Bán kính của đường tròn giao tuyến nhỏ nhất khi và chỉ khi d I ; P lớn nhất. . . Ta có d I , P . Xét f c . a 2b 3c 2 a2 b2 c 2. c 4. 2 2 c 4 3c 2. . 2 2c . 2. 5c 2 8c 8. 2. 2. 2 c. c 4. . 2. 5c 2 8c 8. 2. 48c 2 144c 192. f c . 5c. 2. 8c 8. . c 4. 2. 2. 5c 2 8c 8. c 1 f c 0 c 4 Bảng biến thiên x y'. y. 4. . 0. . 1. . 1. . 0 5. 5 1. 0. 5. . . Vậy d I ; P lớn nhất bằng Câu 2.. 5 khi và chỉ khi c 1 a 0, b 2 a b c 3 .. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Mặt phẳng P đi qua điểm M 1;1;1 cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại A a;0;0 , B 0; b; 0 , C 0;0;c sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất. Khi. đó a 2b 3c bằng A. 12 .. B. 21 .. C. 15 . Lời giải. D. 18 .. 1 Từ giả thiết ta có a 0, b 0, c 0 và thể tích khối tứ diện OABC là VOABC abc . 6 x y z Ta có phương trình đoạn chắn mặt phẳng P có dạng 1 . a b c Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(298)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 1 1 Mà M P 1 . a b c. Áp dụng bất đẳng thức côsi cho ba số ta có: 1 . 1 1 1 1 33 abc 27 . a b c abc. 1 9 abc . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 3 . 6 2 9 a b c 3 . Khi đó a 2b 3c 18 . 2. Do đó VOABC Vậy m in VOABC Câu 3.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 2;0;0 , M 1;1;1 . Mặt phẳng P thay đổi qua. AM và cắt các tia Oy , Oz lần lượt tại B , C . Khi mặt phẳng P thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?. B. 4 6 .. A. 5 6 .. C. 3 6 .. D. 2 6 .. Lời giải Chọn B Đặt B 0; b ;0 , C 0;0; c với b, c 0 .. x y z 1. 2 b c 1 1 1 1 1 1 M P 1 . 2 b c b c 2. Phương trình của mặt phẳng P là. Suy ra. 1 1 1 2 bc 16 . 2 b c bc 1 1 2 2 S ABC AB; AC b c 4b2 4c2 2 2. . 1 2 2 b c 8bc 2. 1 162 8.16 4 6 . 2. Vậy min S ABC 4 6 , đạt được khi b c 4 . Câu 4.. 2. 2. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y 2 z 3 9 , điểm A 0; 0; 2 . Mặt phẳng P qua A và cắt mặt cầu S theo thiết diện là hình tròn C có diện. tích nhỏ nhất, phương trình P là: A. P : x 2 y 3 z 6 0 .. B. P : x 2 y 3 z 6 0 .. C. P : 3 x 2 y 2 z 4 0 .. D. P : x 2 y z 2 0 . Lời giải. Chọn D. Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(299)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Mặt cầu S có tâm I 1; 2;3 , bán kính R 3 . Ta có IA 6 R A nằm trong mặt cầu S . Do đó mặt phẳng P qua A luôn cắt mặt cầu S theo thiết diện là hình tròn C có bán kính r R 2 IH 2 (với H là hình chiếu của I 1; 2;3 trên P ).. Ta luôn có IA IH R 2 IH 2 R 2 IA2 r R 2 IA2 . Diện tích của hình tròn C nhỏ nhất khi bán kính r nhỏ nhất, tức là r R 2 IA2 H A . Khi đó IA P mặt phẳng P nhận IA 1; 2; 1 làm một VTPT. Vậy phương trình mặt phẳng P : x 2 y z 2 0 x 2 y z 2 0. . Câu 5.. (Bỉm. Sơn 2. -. Thanh. Hóa. 2. -. 2019). Trong. không. gian. Oxyz. cho. mặt. cầu. 2. ( S ) : x 1 y 2 z 3 27 . Gọi a là mặt phẳng đi qua 2 điểm A 0;0; 4 , B 2;0;0 . và cắt S theo giao tuyến là đường tròn C sao cho khối nón có đỉnh là tâm của S , là hình tròn C có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng a có phương trình dạng ax by z c 0 , khi đó a b c bằng: A. 8.. B. 0.. C. 2.. D. -4.. Lời giải Chọn D + Vì a qua A ta có: (4) c 0 c 4 . + Vì a qua B ta có: 2a c 0 a 2 .. a : 2 x by z 4 0 . + Mặt cầu ( S ) có tâm I 1; 2;3 , R 3 3 . + Chiều cao khối nón: h d I ,a . 2 2b 3 4 4 b2 1. . 2b 5 b2 5. .. 2. 2. 2b 5 2b 5 . +Bán kính đường tròn: r R h 27 27 2 2 b 5 b 5 2. 2. 2 2b 5 2b 5 1 2 1 + Thể tích khối nón: V r h 27 2 3 3 b 5 b 2 5. + Tới đây ta có thể Thử các trường hợp đáp án. Hoặc ta làm tự luận như sau: Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(300)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Đặt t . 2b 5. và xét hàm số f t 27 t 2 t trên đoạn 0;3 3 . b 5 2. t 3 Ta có: f t 27 3t 2 ; f t 0 . Ta có bảng biến thiên: t 3 l . Do đó thể tích khối nón lớn nhất khi và chỉ khi 2. 2b 5 2 2 2 t 3 3 4b 20b 25 9b 45 2 b 5 5b 2 20b 20 0 b 2 .. Vì vậy a b c 4 . Câu 6.. 5 3 7 3 5 3 7 3 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ; ;3 , B ; ;3 và mặt cầu 2 2 2 2 . (S ) : ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 6 .. a, b, c, d : d 5. Xét. mặt. phẳng. ( P ) : ax by cz d 0 ,. là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua hai điểm A, B . Gọi ( N ) là hình nón có. đỉnh là tâm của mặt cầu ( S ) và đường tròn đáy là đường tròn giao tuyến của ( P ) và ( S ) . Tính giá trị của T a b c d khi thiết diện qua trục của hình nón ( N ) có diện tích lớn nhất. B. T 6 .. A. T 4 .. C. T 2 . Lời giải. D. T 12 .. Chọn B. Mặt cầu ( S ) có tâm I 1; 2;3 , bán kính R 6 . Có IA IB 6 nên A, B thuộc mặt cầu ( S ) . 5 7 AB 3; 3; 0 3 1; 1;0 3 a , M ; ;3 là trung điểm của AB . 2 2 . . . Facebook Nguyễn Vương 25.
<span class='text_page_counter'>(301)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 2 2 2 Gọi a (1; 1;0) và n (a; b; c ) với a b c 0 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) 7 5 d 6a 3c I ( P ) a b 3c d 0 Vì A, B ( P ) nên có . 2 2 a b a.n 0 a b 0. Gọi h d I , ( P) , (C ) ( P ) ( S ) , r là bán kính đường tròn (C ) .. r R 2 h2 6 h 2 . Diện tích thiết diện qua trục của hình nón ( N ) .. 1 h 2 6 h2 2 S .h.2r h. 6 h 3. 2 2. max S 3 khi h2 6 h2 h 3 . h d I , ( P) 3 . a 2b 3c d. a c a 2 c2 . a c. a 2 b2 c 2 Nếu a c thì b a; d 9 a và ( P ) : ax ay az - 9 a 0 x y z 9 0 (nhận). Nếu a c thì b a; d 3a và ( P ) : ax ay az - 3a 0 x y z 3 0 (loại). Vây T a b c d 6 . Câu 7.. (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm. A 0; 1; 1 , B 1; 3;1 .. P :2 x y 2 z 1 0. Giả. sử. C, D. là. hai. điểm. di. động. trên. mặt. phẳng. sao cho CD 4 và A, C , D thẳng hàng. Gọi S1 , S 2 lần lượt là diện tích. lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BCD . Khi đó tổng S1 S 2 có giá trị bằng bao nhiêu? A.. 34 . 3. B.. 37 . 3. 11 . 3 Lời giải C.. D.. 17 . 3. Chọn A Ta có AB 1; 2; 2 Gọi H là hình chiếu của B trên CD ta có BH BA nên S BCD lớn nhất khi H A . Vậy S1 . 1 1 BA.CD .3.4 6 . 2 2. Gọi H 1 là hình chiếu của B trên mặt phẳng P khi đó SBCD . 1 1 BH1.CD d B; P .CD 2 2. điều này xảy ra khi A, C , D, H1 thẳng hàng. Vậy S2 . 1 1 2 3 2 1 16 d B, P .CD .4 . 2 2 3 9. Khi đó S1 S2 6 Câu 8.. 16 34 . 3 3. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x y 2 z 1 0 và các điểm A 0;1;1 ; B 1;0;0 ( A và B nằm trong mặt phẳng P ) và mặt 2. 2. 2. cầu S : x 2 y 1 z 2 4 . CD là đường kính thay đổi của S sao cho CD song song với mặt phẳng P và bốn điểm A, B , C , D tạo thành một tứ diện. Giá trị lớn nhất của tứ diện đó là Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(302)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 2 6 .. B. 2 5 .. C. 2 2 . Lời giải. D. 2 3 .. Chọn C. Mặt cầu S có tâm I 2; 1; 2 , mặt phẳng P có VTPT n (1; 1; 2) . Gọi điểm C x; y; z , ta có C ( S ). nên. 2. 2. x 2 y 1 z 2 . 2. 4 (1).. Do CD là đường kính của mặt cầu (S) nên I là trung điểm của CD , suy ra D 4 x; y 2; 4 z . Mà theo đề có CD song song với mặt phẳng P nên IC n IC. n 0 x 2 ( y 1) 2( z 2) 0 (2). Ta có: AB 1; 1; 1 ; AC x; y 1; z 1 ; AD 4 x; y 3;3 z . AC ; AD 2 y 4 z 6; 2 x 4 z 4; 4 x 4 y 4 . AB AC ; AD 2 y 4 z 6 (1). 2 x 4 z 4 (1).( 4 x 4 y 4) 6 x 6 y 6. 1 Thể tích khối tứ diện ABCD là: V AB AC ; AD x y 1 . 6. x 2 a a b 2c a 2 b 2 c 2 4 Đặt y 1 b . Từ (1) và (2) ta có hệ: 4 5c 2 a b 2c 0 z 2 c ab 2 V x y 1 x 2 y 1 a b ( a b) 2 4ab 4c 2 2(4 5c 2 ) 8 6c 2 2 2.. Vậy GTLN của V là 2 2 khi z 2 0 x 2 2; y 1 2; z 2 . x 2 y 1 2 2 2 x 2 2; y 1 2; z 2 x 2 y 1 z 2 4. Câu 9.. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có điểm A 1;1;1 , B 2; 0; 2 , C 1; 1; 0 ,. D 0;3; 4 . Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B, C , D . AB AC AD 4 . Viết phương trình mặt phẳng BC D biết tứ diện ABCD có thể AB AC AD tích nhỏ nhất? A. 16 x 40 y 44 z 39 0 B. 16 x 40 y 44 z 39 0 thỏa. C. 16 x 40 y 44 z 39 0. D. 16 x 40 y 44 z 39 0 Lời giải. Chọn C Đặt x . 4. AB AC AD AB AC AD ,y ,z 4 . Suy ra . Ta có AB AC AD AB AC AD. 1 1 1 1 27 33 xyz . Dấu " " xảy ra khi x y z . x y z xyz 64 Facebook Nguyễn Vương 27.
<span class='text_page_counter'>(303)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. AB 1; 1;1 ; AB; AC 3; 1; 4 ; AD 1;2;3 . AC 2; 2; 1 1 17 Thể tích của tứ diện ABCD là VABCD AB; AC . AD 6 6 Lại có VABC D xyzVABCD tứ diện ABCD có thể tích nhỏ nhất khi xyz nhỏ nhất 3 Mặt phẳng mặt phẳng BC D song song với mặt phẳng 4 3 3 3 3 7 1 7 và đi qua điểm . Vì AB AB ; ; nên B ; ; B BCD 4 4 4 4 4 4 4 BC 3; 1; 2 ; BC; BD 4;10; 11 BC D nhận VTPT là n 4;10; 11 BD 2;3;2 . Khi và chỉ khi x y z . Suy ra phương trình mặt phẳng BC D : 16 x 40 y 44 z 39 0 Câu 10.. Trong. không 2. gian. S : x 1 y 1. 2. Oxyz ,. cho. hai. A 1;2;4 , B 0;0;1. điểm. và. mặt. z 2 4 . Mặt phẳng P : ax by cz 4 0 đi qua A, B và cắt S theo. giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T a b c ? 1 3 A. T . B. T . C. T 1 . D. T 2 . 5 4 Lời giải Chọn C Ta có: S có tâm I 1;1;0 và bàn kính R 2.. a 2b 4c 4 0 a 2b 12 P : 2 b 6 x by 4 z 4 0. Do A, B P c 4 0 c 4 Gọi r là bán kính của đường tròn là giao tuyến của P và S r R 2 d 2 I , P , để r đạt giá trị nhỏ nhất d I , P đạt giá trị lớn nhất. Mà d I , P Xét hàm số f x . cầu. 3x 8 5 x 2 48 x 160. ; f x . 32 x 288. . 2. 5 x 48 x 160. . 3. 3b 8 5b2 48b 160. .. ; f x 0 x 9.. Bảng xét biến thiên:. suy ra bảng biến thiên của hàm số y f x là. Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(304)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Dựa vào bảng biến thiên, ta có: x 9 b 9 a 6 T 1. Kết luận: T 1. Câu 11. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng. P :. x y 2 0 và hai điểm A 1; 2;3 , B 1;0;1 . Điểm C a; b; 2 P sao cho tam giác ABC có. diện tích nhỏ nhất. Tính a b A. 0. B. 3 .. C. 1. Lời giải. D. 2.. C a; b; 2 P a b 2 0 b a 2 C a; a 2; 2 . AB 0; 2; 2 , AC a 1; a ; 5 AB, AC 10 2a ; 2a 2; 2a 2 . S ABC. 1 AB, AC 2. 2a 10 . 2. 2 2a 2 2. 2. . 12a 2 24a 108 3 a 2 2a 9 2. . . 2. 3 a 1 24 2 6 với a . Do đó min SABC 2 6 khi a 1 . Khi đó ta có C 1;1; 2 a b 0 . Câu 12. (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , mặt phẳng P đi qua điểm M 1;2;1 cắt các tia Ox, Oy , Oz lần lượt tại các điểm A, B, C ( A, B, C không trùng với gốc O ) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng P đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây? A. N 0; 2; 2 . B. M 0; 2;1. C. P 2;0;0. D. Q 2;0; 1. Lời giải Chọn A Gọi P cắt các tia Ox, Oy , Oz lần lượt tại các điểm A a;0;0 ; B 0; b;0 ; C 0;0;c a, b, c 0 . x y z 1 a b c 1 2 1 Vì M P nên ta có 1 a b c Ta có P :. Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có 1 Thể tích khối chóp VOABC . 1 2 1 33 2 abc 54 a b c 3 abc. 1 abc 9 6. Facebook Nguyễn Vương 29.
<span class='text_page_counter'>(305)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dấu bằng xảy ra khi các số tham gia cô si bằng nhau nghĩa là. 1 2 1 a b c 1 a 3; b 6; c 3 1 2 1 a b c x y z Vây pt mặt phẳng P : 1 N 0;2;2 P 3 6 3 Câu 13. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P đi qua điểm M 9;1;1 cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C ( A, B, C không trùng với gốc tọa độ ). Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? 81 243 81 A. . B. . C. . 2 2 6 Lời giải. D. 243 .. Giả sử A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c với a , b, c 0 . Mặt phẳng P có phương trình ( theo đoạn chắn): Vì mặt phẳng P đi qua điểm M 9;1;1 nên. Ta có 1 . VOABC . x y z 1. a b c. 9 1 1 1. a b c. 9 1 1 9 33 a.b.c 243 . a b c a.b.c. 1 243 81 81 . a.b.c . Vậy thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là 6 6 2 2. Câu 14. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 3 . Một mặt phẳng a tiếp xúc với mặt cầu S và cắt các tia Ox , O y , Oz lần lượt tại. A.. A, B, C thỏa mãn OA2 OB 2 OC 2 27 . Diện tích tam giác ABC bằng. 3 3 . 2. B.. 9 3 . 2. C. 3 3 .. D. 9 3 .. Lời giải Gọi H a ; b ; c là tiếp điểm của mặt phẳng a và mặt cầu S . Từ giả thiết ta có a , b , c là 2. các số dương. Mặt khác, H S nên a 2 b 2 c 2 3 hay OH 3 OH 3 . (1) Mặt phẳng a đi qua điểm H và vuông góc với đường thẳng OH nên nhận OH a ; b ; c làm véctơ pháp tuyến. Do đó, mặt phẳng a có phương trình là. a x a b y b c z c 0. 3 a. . . 3 b. . 2. 2. ax by cz a b c. . . 2. 0. . ax by cz 3 0. 3 c. Suy ra: A ;0;0 , B 0; ;0 , C 0;0; . Theo đề: OA2 OB 2 OC 2 27. . 9 9 9 27 a 2 b2 c 2. . 1 1 1 2 2 3 (2) 2 a b c. Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(306)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 1 2 2 2 1 Từ (1) và (2) ta có: a b c 2 2 2 9 . a b c 1 1 2 2 2 1 Mặt khác, ta có: a b c 2 2 2 9 và dấu " " xảy ra khi a b c 1 . Suy ra, a b c . OA OB OC 3 và VO . ABC Lúc đó: SABC . OA.OB.OC 9 . 6 2. 3VO. ABC 9 3 . OH 2. Dạng 2.2. Cực trị liên quan đến giá trị biểu thức Câu 15.. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 2; 4 , B 3;3; 1 và mặt phẳng. P : 2x y 2z 8 0 .. 2 MA2 3MB 2 bằng A. 145. Xét M là điểm thay đổi thuộc. B. 135. C. 105 Lời giải. P ,. giá trị nhỏ nhất của. D. 108. Chọn B. Gọi I x; y; z là điểm thỏa mãn 2 MA 3MB 0 suy ra I 1;1;1 IA2 27 ; IB 2 12 ; d I , P 3 2 2 MA2 3MB 2 2 MI IA 3 MI IB. . . . . 2. 2 2 2 5MI 2 IA 3IB 5MI 2 90. Mà 2 MA2 3MB 2 nhỏ nhất MI nhỏ nhất Suy ra MI d I , P 3 Vậy 2 MA2 3MB 2 5.9 90 135 Câu 16.. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2; 2; 4 , B 3; 3; 1 , C 1; 1; 1 và mặt phẳng. P : 2x y 2z 8 0 . Xét điểm. M thay đổi thuộc. T 2 MA 2 MB 2 MC 2 . A. 102. B. 105.. C. 30.. P , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D. 35.. Lời giải Chọn A. Gọi I là điểm thỏa 2 IA IB IC 0. 2 x A xB xC 1 xI 2 2 y yB yC yI A 0 I 1; 0; 4 . 2 2 z A zB zC 4 zI 2 Ta có:. Facebook Nguyễn Vương 31.
<span class='text_page_counter'>(307)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. T 2 MA2 MB2 MC 2 2 MI IA. . 2. . . 2. MI IB MI IC . 2. 2 MI 2 MI . 2 IA IB IC 2 IA2 IB2 IC 2 2 MI 2 2 IA2 IB2 IC 2 0 . . 2. . . . Để T nhỏ nhất thì 2MI 2 nhỏ nhất MI ngắn nhất M là hình chiếu của điểm I / P . Khi đó. . . MI d I , P 6; 2 IA 2 IB 2 IC 2 30 min T 102. Câu 17.. (Chuyên. Quang. Trung-. Bình. Phước. Trong. 2019). không. gian. Oxyz ,. cho. A0;1; 2 , B 1;1;0 , C 3;0;1 và mặt phẳng Q : x y z 5 0 . Xét điểm M thay đổi thuộc. Q . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA2 MB 2 MC 2 bằng A.. 34 . 3. B.. 22 . 3. C. 0 .. D.. 26 . 3. Lời giải Chọn A. 4 2 Gọi điểm G thỏa mãn GA GB GC 0 , suy ra G ; ;1 . Khi đó 3 3 2 2 2 P MA2 MB 2 MC 2 MG GA MG GB MG GC 3MG 2 2MG. GA GB GC GA2 GB 2 GC 2. . . . . . . 3MG 2 GA2 GB 2 GC 2 3 d G, Q GA2 GB 2 GC 2 . Dấu bằng xảy ra khi M là hình chiếu của G lên mặt phẳng Q . 2. 4 2 1 5 2 3 3 Ta có d G, Q 3 3 4 1 1 1 26 11 5 2 29 ; GB ; ; 1 GB 2 ; GC ; ;0 GC 2 . GA ; ;1 GA2 3 3 3 3 3 3 9 9 9 4 26 11 29 34 Vậy min P 3. khi M là hình chiếu của G lên mặt phẳng Q . 3 9 9 9 3 Câu 18.. (Chuyên. Lam. Sơn. 2019). Trong. hệ. A( 1;3;5); B (2; 6; 1); C 4; 12;5 và mặt phẳng. trục. tọa. Oxyz cho. độ. P : x 2 y 2z 5 0 .. động trên P . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S MA MB MC là A. 42. B. 14 .. C. 14 3 .. D.. Gọi M là điểm di. 14 . 3. Lời giải Chọn B. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC nên G(1; 1;3) và S MA MB MC 3 MG 3MG. Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương điểm.
<span class='text_page_counter'>(308)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Vì G ( P ) nên GM GH với H là chân đường vuông góc từ G đến mp(P) S min 3GH 3d G ; P 3. Câu 19.. 1 2 6 5 12 2 2 2 . 2. 14. Trong không gian Oxyz cho các điểm A 1; 1;3 , B 2;1; 0 , C 3; 1; 3 và mặt phẳng. P : x y z 4 0 .. Gọi M a , b, c là điểm thuộc mặt phẳng P sao cho biểu thức T 3MA 2 MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức S a b c . A. S 3 .. B. S 1 .. C. S 2 . Lời giải. D. S 1 .. Chọn C. Gọi I x; y; z là điểm thỏa mãn 3IA 2IB IC 0 Ta có IA 1 x; 1 y;3 z 3IA 3 3 x; 3 3 y;9 3 z IB 2 x;1 y; z 2 IB 4 2 x; 2 2 y; 2 z IC 3 x; 1 y; 3 z Khi đó 3IA 2 IB IC 2 x 4; 2 y 6; 2 z 6 0 2 x 4 0 x 2 2 y 6 0 y 3 . Vậy I 2; 3;3 2 z 6 0 z 3 Ta có T 3MA 2MB MC 3 MI IA 2 MI IB MI IC 2 MI Suy ra Tmin MI khi và chỉ khi M là hình chiếu của I lên mặt phẳng P . . . . . min. Đường thẳng MI đi qua I 2; 3;3 và vuông góc với mặt phẳng P có phương trình tham số. x 2 t là MI : y 3 t . Lấy M 2 t ; 3 t;3 t MI z 3 t Mặt khác M P 2 t 3 t 3 t 4 0 t 4 Suy ra M 2;1; 1 . Vậy a b c 2 Câu 20.. (Ngô. Quyền. -. Hải. Phòng. Trong. 2019). không. gian. Oxyz ,. cho. ba. điểm. A 1;1;1 , B 1; 2; 0 , C 3; 1; 2 và điểm M thuộc mặt phẳng a : 2 x y 2 z 7 0 . Tính giá trị nhỏ nhất của P 3MA 5MB 7 MC .. A. Pmin 20 .. B. Pmin 5 .. C. Pmin 25 .. D. Pmin 27 .. Lời giải Chọn D. Gọi I là điểm thỏa mãn: 3IA 5IB 7 IC 0 3 OA OI 5 OB OI 7 OC OI 0 OI 3OA 5OB 7OC Tọa độ điểm I 23; 20; 11. . . . . Facebook Nguyễn Vương 33.
<span class='text_page_counter'>(309)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Khi đó: u 3MA 5MB 7MC 3 IA IM 5 IB IM 7 IC IM IM 3IA 5 IB 7 IC IM . Nên: P 3MA 5MB 7 MC IM IM d I , a .. . . Vậy: Pmin d I , a Câu 21.. . . . . 2. 23 20 2 11 7. 27 .. 22 12 22. (SGD Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 4;5 , B 3; 4; 0 , C 2; 1; 0 và mặt phẳng P : 3 x 3 y 2 z 29 0 . Gọi M a ; b ; c là điểm thuộc. P. sao cho biểu thức T MA2 MB2 3MC 2 đạt GTNN. Tính tổng a b c .. A. 8.. C. 10 . Lời giải. B. 10.. D. 8 .. Chọn A. Gọi I là điểm thỏa mãn hệ thức: IA IB 3IC 0 * . 1 1 3 Khi đó, * OI OA OB OC 2;1;1 I 2;1;1 . 5 5 5 Mặt khác, áp dụng tính chất tâm tỉ cự của hệ điểm T 5MI 2 IA2 IB 2 3IC 2 . Vì IA2 IB 2 3IC 2 là hằng số nên suy ra T đạt GTNN MI đạt GTNN M là hình chiếu vuông góc của I trên P a 5 3a 3b 2c 29 M P a 2 b 1 c 1 b 4 . 3 3 2 c 1 IM cùng phương n P . Vậy a b c 8 . Câu 22.. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 0;0;1 , B 1;1;0 , C 1;0; 1 . Điểm M thuộc mặt phẳng P : 2 x 2 y z 2 0 sao cho 3MA2 2MB 2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất đó bằng 13 A. . 6. B.. 17 . 2. 61 . 6 Lời giải C.. D.. 23 . 2. Chọn C. 3x A 2 xB xC 1 xI 6 6 3 y 2 yB yC 1 1 1 1 I ; ; . Gọi I là điểm thảo mãn 3IA 2 IB IC 0 yI A 6 3 6 3 3 3 z A 2 zB zC 1 zI 6 3 2 2 2 Ta có 3MA2 2MB 2 MC 2 3 IA IM 2 IB IM IC IM 3IA2 2 IB 2 IC 2 6 IM 2 2 MI 3IA 2 IB IC. . . . . . . . 3IA2 2 IB2 IC 2 6 IM 2 .. Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(310)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Do đó 3MA2 2MB 2 MC 2 nhỏ nhất khi và chỉ khi IM nhỏ nhất M là hình chiếu của I trên 61 11 1 5 P M ; ; min 3MA2 2MB 2 MC 2 6 18 9 9 . . Câu 23.. Trong không gian. . A3;1; 3 ,. Oxyz , cho hai điểm. B 0; 2;3. và mặt cầu. ( S ) : x 1 y 2 z 3 1 . Xét điểm M thay đổi luôn thuộc mặt cầu ( S ) , giá trị lớn nhất 2. 2. của MA2 2 MB 2 bằng A. 102 . B. 78 .. C. 84 . Lời giải. D. 52 .. Chọn C. Gọi I là điểm thỏa mãn hệ thức IA 2 IB 0 I 1; 1;1 . 2 2 2 2 Ta có T MA2 2MB 2 MA 2 MB MI IA 2 MI IB 3MI 2 IA2 2 IB 2 3MI 2 36 .. Mặt cầu ( S ) có tâm J 1;0;3 , bán kính R 1 . Ta có: IJ R I nằm ngoài mặt cầu ( S ) .. M. I. J. Ta có: T lớn nhất IM lớn nhất. Mà IM max IJ R 3 1 4 . Do đó: Tmax 3.42 36 84. Câu 24.. (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa -2019) Trong không gian Oxyz , cho các điểm A 0; 0; 2 và B 3; 4;1 . Gọi. P. là 2. mặt. phẳng. 2. 2. chứa. đường. tròn. giao. tuyến. của. S1 : x 1 y 1 z 3 25 với S 2 : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 14 0 . thuộc P sao cho MN 1 . Giá trị nhỏ nhất của AM BN là A.. 34 1 .. B. 5 .. C.. 34 .. hai. mặt. cầu. M , N là hai điểm. D. 3 .. Lời giải Chọn B. Facebook Nguyễn Vương 35.
<span class='text_page_counter'>(311)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. S1 : x 12 y 1 2 z 32 25 1 Từ 2 2 2 S2 : x y z 2 x 2 y 14 0 2 Lấy 1 trừ 2 , ta được 6 z 0 hay. P : z 0. tức là P Oxy .. Dễ thấy A , B nằm khác phía đối với P , hình chiếu của A trên P là O , hình chiếu của B trên P là H 3; 4; 0 . Lấy A ' sao cho AA MN .. Khi đó AM BN AN BN AB và cực trị chỉ xảy ra khi MN cùng phương OH . OH 3 4 Lấy MN ; ; 0 . OH 5 5 . 3 4 Khi đó vì AA MN nên A ; ; 0 . Do đó AM BN AN BN AB 5. 5 5 . Câu 25.. (SGD Điện Biên - 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2; 2;4 , B 3;3; 1 ,. C 1; 1; 1 và mặt phẳng P : 2 x y 2 z 8 0 . Xét điểm M thay đổi thuộc P , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 2 MA2 MB 2 MC 2 . A. 102. B. 105. C. 30. Lời giải Chọn A. D. 35.. Gọi I là điểm thỏa mãn: 2 IA IB IC 0 2 OA OI OB OI OC OI 0. . . . . 1 1 OI OA OB OC 1;0; 4 2 2 I 1;0; 4 .. Khi đó, với mọi điểm M x ; y ; z P , ta luôn có: 2 2 T 2 MI IA MI IB MI IC 2 2 2 2 2 MI 2 MI . 2 IA IB IC 2 IA IB IC. . . . . . 2. . 2 MI 2 2 IA2 IB 2 IC 2 .. Ta tính được 2 IA2 IB 2 IC 2 30 . Do đó, T đạt GTNN MI đạt GTNN MI P . Lúc này, IM d I , P . 2.1 0 2.4 8 2. 6.. 2 2 1 22. Vậy Tmin 2.62 30 102 . Câu 26. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm. A 10; 5;8 B 2;1; 1 , ,. C 2;3;0 . P : x 2 y 2 z 9 0 . Xét M là điểm thay đổi trên và mặt phẳng MA2 2 MB 2 3MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính MA2 2 MB 2 3MC 2 .. Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương P. sao cho.
<span class='text_page_counter'>(312)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 54 .. B. 282 .. C. 256 .. D. 328 .. Lời giải Gọi I x; y; z là điểm thỏa mãn IA 2 IB 3IC 0 . Ta có IA 10 x; 5 y;8 z , IB 2 x;1 y; 1 z , IC 2 x;3 y; z .. 10 x 2 2 x 3 2 x 0 x 0 Khi đó, 5 y 2 1 y 3 3 y 0 y 1 I 0;1;1 . z 1 8 z 2 1 z 3 z 0 Với điểm M thay đổi trên P , ta có 2 2 MA2 2 MB 2 3MC 2 MI IA 2 MI IB 3 MI IC 6MI 2 IA2 2 IB 2 3IC 2 2MI IA 2 IB 3IC 6 MI 2 IA2 2 IB 2 3IC 2 (Vì IA 2 IB 3IC 0 ).. . . . . . . . 2. . Ta lại có IA2 2 IB 2 3IC 2 185 2.8 3.9 228 . Do đó, MA2 2 MB 2 3MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất MI đạt giá trị nhỏ nhất M là hình chiếu vuông góc của I trên P . Khi đó, MI d I , P 3 . Vậy giá trị nhỏ nhất của MA2 2 MB 2 3MC 2 bằng 6 MI 2 228 6.9 228 282 . Giá trị nhỏ nhất của MA2 2MB 2 3MC 2 đạt được khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I trên P .. Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho A 4; 2; 6 ; B 2; 4; 2 ; M a : x 2 y 3 z 7 0 sao cho MA.MB nhỏ nhất, khi đó tọa độ của M là 29 58 5 A. ; ; B. 4;3;1 13 13 13 . 37 56 68 D. ; ; 3 3 3 . C. 1;3; 4 . Lời giải Chọn B. Gọi M x; y; z a x 2 y 3z 7 0 MA 4 x; 2 y;6 z ; MB 2 x; 4 y; 2 z MA.MB 4 x 2 x 2 y 4 y 6 z 2 z 2. 2. 2. x 2 y 2 z 2 6 x 2 y 8 z 12 x 3 y 1 z 4 12. Áp dụng bđt. C. S:. B.. 12 22 32 x 32 y 12 z 4 2 x 3 2 y 1 3 z 4 2 2 2 2 2 14 x 3 y 1 z 4 x 2 y 3 z 7 . 2. 2. 2. 2. 2. 2. x 3 y 1 z 4 . 2 7 7 . 14. x 3 y 1 z 4 12 2. Facebook Nguyễn Vương 37.
<span class='text_page_counter'>(313)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 4 x 2 y 3z 7 0 Min MA.MB 2 xảy ra khi và chỉ khi x 3 y 1 z 4 y 3 . 1 2 3 z 1 . . Câu 28.. . (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Trong hệ trục Oxyz, cho điểm A 1;3;5 , B 2; 6; 1 ,. C 4; 12;5 và mặt phẳng P : x 2 y 2 z 5 0. Gọi M là điểm di động trên P . Gía trị nhỏ nhất của biểu thức S MA MB MC là A. 42.. B. 14.. Gọi G x1 ; y1 ; z1 . C. 14 3.. D.. 14 . 3. Lời giải là trọng tâm tam giác ABC.. Vì G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm tùy ý nên MA MB MG 3MG. Vậy S MA MB MC 3MG 3MG.. x A xB xC 1 2 4 1 x1 3 3 y yB yC 3 6 12 Do G là trọng tâm tam giác ABC nên y1 A 1 G 1; 1;3 . 3 3 z A z B zC 5 1 5 3 z1 3 3 Vì G cố định nên S 3MG đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. Tức là MG P . Ta có: d G, P . 1.1 2. 1 2.3 5 2. . 14 MG. 3. 12 22 2 14 Vậy giá trị nhỏ nhất S MA MB MC 3MG 3MG 3. 14. 3 Câu 29.. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm. A 1; 2;5 , B 3; 1;0 , C 4; 0; 2 . Gọi I là điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho biểu thức IA 2 IB 3IC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng P : 4 x 3 y 2 0 . 12 . 5 Lời giải Gọi M a; b; c là điểm thỏa mãn MA 2 MB 3MC 0 .. A.. 17 . 5. B. 6 .. C.. D. 9 .. 19 1 a 2 3 a 3 4 a 0 a 2 1 19 Khi đó: 2 b 2 1 b 3 0 b 0 b 2 M ; 2; . 2 2 1 5 c 2 0 c 3 2 c 0 c 2 Ta có: IA 2 IB 3IC IM MA 2 IM 2MB 3IM 3MC 2 IM MA 2MB 3MC 2 IM 2 IM .. . . Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(314)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Biểu thức IA 2 IB 3IC đạt giá trị nhỏ nhất IM nhỏ nhất I là hình chiếu vuông góc của 19 M lên Oxy I ; 2; 0 . 2 . Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng P là: d I ; P . 19 4. 3.2 2 2 42 32. 6.. Câu 30. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 3; 2; 2 , B 2; 2;0 và mặt phẳng. P : 2 x y 2 z 3 0. Xét các điểm M , N. di động trên P sao cho MN 1. Giá trị nhỏ nhất. của biểu thức 2 AM 2 3BN 2 bằng A. 49,8. B. 45.. D. 55,8.. C. 53.. Lời giải Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A, B trên mặt phẳng. P AH BK 3, H 1; 1;0 , K 0;1; 2 , HK 3. Đặt. HM t ta có:. HM MN NK HK 3 NB 2 t 2. 2 AM 2 3BN 2 2 AH 2 2HM 2 3BK 2 3KN 2 45 2t 2 2 t 49,8 Dấu bằng xảy ra khi M , N đoạn thẳng HK . Vậy Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 AM 2 3BN 2 bằng 49,8 Câu 31. (THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A a; b; c với. c. 5 a 2 b 2 c 2 9 ab 2bc ca . a,. b,. Q. a 1 có giá trị lớn nhất. Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của 2 b c a b c 3. là. các. số. thực. dương. thỏa. mãn. và. 2. A lên các tia Ox , Oy , Oz . Phương trình mặt phẳng MNP là. A. x 4 y 4 z 12 0 . B. 3 x 12 y 12 z 1 0 . C. x 4 y 4 z 0 . D. 3 x 12 y 12 z 1 0 . Lời giải 2. Đặt t b c t 0 ; b 2 c 2 . 2. t t ; bc . 2 4 2. 5 a 2 b 2 c 2 9 ab 2bc ca 5a 2 5 b c 9a b c 28bc 5a 2 5t 2 9 at 7t 2. 5a t a 2t 0 a 2t . 4 1 f t với t 0 . t 27t 3 4 1 1 Ta có f t 2 4 0 t (vì t 0 ). t 9t 6 Ta có bảng biến thiên. Vậy Q . Facebook Nguyễn Vương 39.
<span class='text_page_counter'>(315)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 1 1 ; bc . 3 12 1 1 1 1 1 1 Suy ra tọa độ điểm A ; ; ; tọa độ các điểm M ;0;0 ; N 0; ;0 ; P 0;0; . 3 12 12 3 12 12 x y z Phương trình mặt phẳng MNP 1 3 x 12 y 12 z 1 0 . 1 1 1 3 12 12. Vậy Qmax 16 a . Câu 32. (Sở. Bắc. Giang. 2. 2019). 2. x 1 y 1 z 2 2. 2. 2. Cho. 1. x , y , z , a , b, c. và. là. a b c 3.. các Tìm. số. thực. thay. giá. trị. đổi nhỏ. thỏa. mãn. nhất. của. 2. P x a y b z c .. A.. 3 1.. B.. 3 1.. C. 4 2 3. Lời giải. D. 4 2 3.. Chọn C. Gọi M x; y; z M thuộc mặt cầu S tâm I 1; 1; 2 bán kính R 1 Gọi H a; b; c H thuộc mặt phẳng P : x y z 3 0 Ta có d I , P . 1 1 2 3 3. 2. 2. 3 R P và S không có điểm chung. 2. P x a y b z c MH 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi vị trí của M và H như hình vẽ. Khi đó HI d I , P 3 HM HI R 3 1 Do đó Pmin . . . 2. 3 1 4 2 3 .. Câu 33. (Chuyên Sơn La 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;0;0 và B 2;3;4 . Gọi P 2. 2. là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu S1 : x 1 y 1 z 2 4 và. S2 : x 2 y 2 z 2 2 y 2 0 . Xét. M , N là hai điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng. MN 1 . Giá trị nhỏ nhất của AM BN bằng Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương P. sao cho.
<span class='text_page_counter'>(316)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 5.. B. 3.. C. 6.. D. 4.. Lời giải. x 1 2 y 12 z 2 4 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 0 x0 Xét hệ 2 2 2 2 2 2 x y z 2 y 2 0 x y z 2 y 2 0 Vậy P : x 0. P chính là mặt phẳng Oyz .. Gọi C 0; 0; 0 và D 0;3; 4 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A 1;0; 0 và B 2;3; 4 trên mặt phẳng P . Suy ra AC 1 , BD 2 , CD 5 . Áp dụng bất đẳng thức. a 2 b2 c2 d 2 . a c. 2. 2. b d , ta được. AM BN AC 2 CM 2 BD 2 DN 2 . 2. AC BD CM DN . 9 CM DN . 2. 2. Lại có CM MN ND CD 5 nên suy ra CM ND 4 . Do đó AM BN 5 . Đẳng thức xảy ra khi C , M , N , D thẳng hàng theo thứ tự đó và. AC BD , tức là CM DN. 4 16 7 28 M 0; ; và N 0; ; . 5 15 5 15 . Vậy giá trị nhỏ nhất của AM BN là 5. Câu 34.. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu. S : x2 y2 z 2 1. Điểm. M S có tọa độ dương; mặt phẳng P tiếp xúc với S tại M cắt. các tia Ox ; Oy ; Oz tại các điểm. A,. B , C . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức. T 1 OA2 1 OB2 1 OC 2 là: A. 24.. B. 27.. C. 64. Lời giải. D. 8.. Facebook Nguyễn Vương 41.
<span class='text_page_counter'>(317)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 z. C. I. M. O. B y. A x. S có tâm O. và bán kính R 1.. Theo đề bài ta có A a, 0, 0 ; B 0, b, 0 ; C 0, 0, c ; a, b, c 0 khi đó phương trình mặt phẳng P là:. x y z 1. a b c. P. tiếp xúc với S tại M S d O; P 1 . 1 1 1 1 1 a 2 b2 c 2. abc a 2b2 b2c2 c2 a 2 3 3 a 4b4c4 abc 3 3. . . . . . 1 vì a, b, c 0 .. . Khi đó: T 1 OA2 1 OB2 1 OC 2 1 a2 1 b2 1 c2. . T 1 a2 b2 c2 a2b2 b2c2 c2a2 a2b2c2 1 a2 b2 c2 2a2b2c2 Mặt khác 1 a 2 b 2 c 2 2a 2b 2c 2 1 3 3 a 2b2 c 2 2a 2b 2c 2 64. 2 T 64 .. Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 64 khi 1 và 2 xảy ra dấu bằng a b c 3 .. Dạng 2.3. Cực trị liên quan đến góc, khoảng cách Câu 35.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A a , 0, 0 , B 0, b, 0 ,C 0, 0, c với a ,b,c là những số dương thay đổi thỏa mãn a 2 4b 2 16c 2 49 . Tính tổng S a 2 b 2 c 2 khi khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC đạt giá trị lớn nhất. A. S . 51 . 5. B. S . 49 . 4. C. S . 49 . 5. D. S . Lời giải Chọn B Dựng OH ABC ;. H ABC vì OABC là tứ diện vuông nên ta có:. Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 51 . 4.
<span class='text_page_counter'>(318)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 1 1 1 1 1 1 1 22 42 OH 2 OA2 OB 2 OC 2 a 2 b2 c 2 a 2 4b2 16c 2 Áp dụng bất đẳng thức Schwarz: 2. 1 2 4 1 OH 1 1 1 22 42 2 2 2 2 2 OH a 4b 16c a 4b 2 16c 2 Vậy khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC đạt giá trị lớn nhất là 1 khi: a 2 7 1 2 4 1 2 4 1 7 49 2 2 b 2 S 2 2 2 2 a 4b 16c a 4b 16c 7 2 4 2 7 c 4. Câu 36.. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn. . . điểm A 1;0;0 , B 2;1;3 , C 0; 2; 3 , D 2;0; 7 . Gọi M là điểm thuộc mặt cầu 2 2 S : x 2 y 4 z 2 39 thỏa mãn MA2 2MB.MC 8 . Biết rằng đoạn thẳng MD đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó? A.. 7.. B. 2 7 .. C. 3 7 . Lời giải. D. 4 7 .. Chọn B. Giả sử M x; y; z , ta có: MA2 2 MB.MC 8 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 7 0 1 . Mà M S nên ta có: x 2 y 2 z 2 4 x 8 y 19 0 2 Trừ 1 , 2 theo vế ta được: x y 2 0 . Suy ra M thuộc đường tròn T là giao của S với mặt phẳng P : x y 2 0 . Thay tọa độ của D vào phương trình của P và của S thấy thỏa mãn nên D T , suy ra giá trị lớn nhất của MD bằng đường kính của T .. S có tâm I 2; 4;0 . và bán kính R 39 .. Khoảng cách từ I với P là h d I ; P 4 2 . Bán kính của T là r R 2 h2 7 . Suy ra max MD 2r 2 7 . Câu 37.. (Bình. Giang-Hải 2. 2. Dương. S : x 5 y 3 z 7 . 2. 2019). Cho. A 0;8; 2. và. mặt. cầu. 72 và điểm A 9; 7;23 . Viết phương trình mặt phẳng P đi. Facebook Nguyễn Vương 43.
<span class='text_page_counter'>(319)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. qua A và tiếp xúc với mặt cầu S sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng P là lớn nhất. Giải sử n 1; m; n là một vectơ pháp tuyến của P . Lúc đó A. m.n 4 .. B. m.n 2 .. C. m.n 4 . Lời giải. D. m.n 2 .. Chọn C. P. đi qua điểm A 0;8;2 và có vectơ pháp tuyến n 1; m; n P : x my nz 8m 2n 0 .. P. tiếp xúc với mặt cầu S 9 15m 21n. d d B; P . . 5 11m 5n 1 m2 n2. 4. 1 m2 n2 1 m 4n. 1 m2 n2. 5 11m 5n. . 6 2. 1 m2 n2 5 11m 5n 4 4m 16n 1 m2 n2. .. .. 2. 6 2 4. 12 1 42 . 1 m 2 n 2 1 m2 n2. (Buinhiacôpxki).. 18 2 . m 1 1 1 4 d max 18 2 m.n 4 1 m n n 4 Câu 38.. Cho x, y , z là ba số thực thỏa x 2 y 2 z 2 4 x 6 y 2 z 11 0 . Tìm giá trị lớn nhất của P 2x 2 y z .. A. max P 20 .. B. max P 18 .. C. max P 18 .. D. max P 12 .. Lời giải Chọn D Ta có: P 2 x 2 y z 2 x 2 y z P 0. 1 . 2. 2. 2. Lại có: x 2 y 2 z 2 4 x 6 y 2 z 11 0 x 2 y 3 z 1 25. 2. Xét trong hệ trục tọa độ Oxyz , ta thấy 1 là phương trình của một mặt phẳng, gọi là mp a và. 2. là phương trình của một mặt cầu S tâm I 2; 3;1 , bán kính R 5 .. Giá trị lớn nhất của P 2 x 2 y z là giá trị lớn nhất của P để a và S có điểm chung, điều này tương đương với d I , a R . 2.2 2. 3 1.1 P 2. 2. 2 2 1. 2. 5 P 3 15 18 P 12.. Vậy max P 12 . Câu 39.. (Sở. Nam. Định. -. 2019). Trong. không. gian. Oxyz ,. cho. các. điểm. M m ; 0 ; 0 , N 0 ; n ; 0 , P 0 ; 0 ; p không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn m n p 3 . 2. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng MNP . A.. 1 . 3. B.. 3.. C.. 1 . 3. D.. 1 . 27. Lời giải Chọn C. Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 2. 2.
<span class='text_page_counter'>(320)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x y z Phương trình mặt phẳng MNP có phương trình là 1 . m n p. Theo bất đẳng thức Bunhia-Copsky ta có:. m. 2. 1 1 1 1 1 1 9 n2 p2 2 2 2 9 2 2 2 2 3 n p m n p m n2 p 2 m. Khi đó: d O; P . 1 1 1 1 2 2 2 m n p. . 1 3. . Dấu bằng xảy ra khi m n p 1 .. Vậy khoảng cách lớn nhất từ O đến MNP bằng Câu 40.. 1 3. .. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng. P : x 2 y 2z 3 0. và mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 5 0. Giả sử M P và N S sao cho MN cùng phương với vectơ u 1;0;1 và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN . A. MN 3. B. MN 1 2 2. C. MN 3 2 Lời giải. D. MN 14. Chọn C. Mặt phẳng P có vtpt n 1; 2; 2 . Mặt cầu S có tâm I 1; 2; 1 và bán kính r 1 . Nhận thấy rằng góc giữa u và n bằng 45ο . Vì d I ; P 2 1 r nên P không cắt S .. . . 45ο và MN NH NH 2 nên MN lớn Gọi H là hình chiếu của N lên P thì NMH sin 45ο nhất khi và chỉ khi NH lớn nhất. Điều này xảy ra khi N N và H H với N là giao điểm. của đường thẳng d qua I , vuông góc P và H là hình chiếu của I lên P .. . . Lúc đó NH max N H r d I ; P 3 và MN max Câu 41.. NH max 3 2. sin 45ο. Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A 2;0;1 , B 3;1;5 , C 1; 2;0 , D 4; 2;1 . Gọi a là mặt phẳng đi qua D sao cho ba điểm A , B , C nằm cùng phía đối với a và tổng khoảng cách từ các điểm A , B , C đến mặt phẳng a là lớn nhất. Giả sử phương trình a có dạng: 2 x my nz p 0 . Khi đó, T m n p bằng: Facebook Nguyễn Vương 45.
<span class='text_page_counter'>(321)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 9.. B. 6.. C. 8. Lời giải. D. 7.. Chọn A Vì mặt phẳng a đi qua D 4; 2;1 nên phương trình a có dạng:. a. x 4 b. y 2 c. z 1 0 Đặt S d A, a d B, a d C , a . 2a 2b a b 4c 3a c a2 b2 c2. .. Theo giả thiết, A , B , C nằm cùng phía đối với a nên không mất tính tổng quát, ta giả sử:. 2a 2b 0 a b 4c 0 . 3a c 0 Khi đó, S . 2a 2b a b 4c 3a c 2. 2. a b c. 2. . 6a 3b 3c a 2 b2 c2. .. Áp dụng bất đẳng thức B.C.S cho hai bộ số 6; 3;3 và a ; b ; c , ta được: 6a 3b 3c 6a 3b 3c . 6. 2. 32 32 . a 2 b 2 c 2 S 3 6 .. 6a 3b 3c 0 Đẳng thức xảy ra a . Ta chọn b c 6 3 3. a 2 b 1 . c 1 . a : 2 x y z 9 0 hay a : 2 x y z 9 0 m 1 , n 1 , p 9 . Vậy T m n p 9 . Câu 42.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi (P ) :ax b y c z 3 0 ( a, b, c là các số nguyên không đồng thời bằng 0 ) là phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm M 0; 1;2, N 1;1; 3 và không đi qua H 0; 0;2 . Biết rằng khoảng cách từ H 0; 0;2 đến mặt phẳng (P ) đạt giá trị lớn nhất. Tổng P a 2b 3c 12 bằng A. 8 . B. 16 .. D. 16 .. C. 12 . Lời giải. Chọn B Mặt phẳng (P ) đi qua hai điểm M 0; 1;2, N 1;1; 3 nên ta có b 2c 3 0 b 2c 3 (*). a 5c 6 a b 3c 3 0 . Mặt khác d H ;(P ) . 2c 3 a 2 b2 c2. Thay (*) vào (**) ta được d H ;(P ) Xét hàm số y . 2c 3 30c 2 72c 45. (**). 2c 3 a 2 b2 c2. . 2c 3 30c 2 72c 45. có tập xác định D .. Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương ..
<span class='text_page_counter'>(322)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 2 2 18c 18 1 ;limy y' ;y ' 0 c 1 y và limy 2 30c 72c 45 30 c 30 3 c miny y(1) D. Xét hàm số g(c) . Từ đó suy ra. max. 1 3. .. 2c 3 30c 2 72c 45 g(c) f (1) g(1) . . 1 3. đạt tại c 1 .. Với c 1 a 1;b 1 . Vậy P a 2b 3c 12 16 Câu 43.. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng. P : x y 2z 0 . Phương trình mặt phẳng Q chứa trục hoành và tạo với P một góc nhỏ nhất là A. y 2z 0.. B. y z 0.. C. 2 y z 0.. D. x z 0.. Lời giải Chọn A. i. nP. A. Ox (Q. A K. a. P). a I. K. d'. H. H I. Chứng minh góc giữa (P) và (Q) bé nhất là góc giữa Ox và (P). Giả sử (Q) (AKI). Ta có P , Q AKI , Ox, P AIH Xét AHI , AHK là tam giác vuông chung cạnh AH.. 90 HK HI K 90 IHK , K AH IAH AKH 90 AIH AKH AIH Ox có VTCP i 1;0;0 P có VTPT nP 1; 1; 2 i .nP 1 Góc giữa Ox và mặt phẳng P là : sin 6 i . nP nP .nQ 5 Góc giữa Q và mặt phẳng P thoả: cos 1 sin 2 . nP . nQ 6 Phương trình mặt phẳng Q : By Cz 0 Facebook Nguyễn Vương 47.
<span class='text_page_counter'>(323)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. B 2C Ta có:. B C . 6 2. 2. . 5 B 2C 5B 2 5C 2 6. 4 B 2 4 BC C 2 0 C 2 B Chọn B = 1, C = -2. Câu 44.. (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng P đi qua điểm A 1; 7; 2 và cách M 2; 4; 1 một khoảng lớn nhất có phương trình là A. P :3 x 3 y 3 z 10 0 .. B. P : x y z 1 0 .. C. P : x y z 10 0 .. D. P : x y z 10 0 . Lời giải. Ta có: d M , P MA Nên d M , P max MA khi A là hình chiếu của M trên mặt phẳng P . Suy ra AM P AM 3; 3; 3 là vectơ pháp tuyến của P . P đi qua A 1; 7; 2 và nhận AM 3; 3; 3 là vectơ pháp tuyến nên có phương trình. 3 x 1 3 y 7 3 z 2 0 x y z 10 0 . Câu 45. (HSG Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A( a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c ) , trong đó a , b, c là các số thực thỏa mãn. 2 2 1 1 . Khoảng a b c. cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ABC có giá trị lớn nhất bằng: A. 3. B. 4. C. 2 Lời giải. D. 1. x y z 1. a b c Nhận thấy, điểm M (2; 2;1) ABC ; OM 2; 2;1 , OM 3 .. Phương trình mặt phẳng ABC :. Ta có: d O;( ABC ) OH OM khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ABC có giá. 1 1 a 2k a 2k 1 1 trị lớn nhất khi OM ( ABC ) n( ABC ) k .OM ,(k 0) 2k b . 2k b 1 1 c k c k 2 2 1 9 9 2 2 1 1 Mà 1 nên 1 9k 1 k . Do đó a ; b ; c 9 . 1 1 1 a b c 2 2 9 2k 2k k 9 9 Vậy dmax O;( ABC ) OM 3 khi a ; b ; c 9 . 2 2 Câu 46. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Trong không gian. Oxyz ,. cho mặt phẳng. ( P ) : x 2 y 2 z 3 0 và hai điểm A 1;2;3 , B 3;4;5 . Gọi M là một điểm di động trên ( P ) .. Giá trị lớn nhất của biểu thức. MA 2 3 bằng MB. A. 3 3 78 .. 54 6 78 .. B.. C. 8 2 .. D. 6 3 .. Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(324)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải. +) Nhận xét: AB 2; 2; 2 AB 2 3; A P . MA 2 3 MA AB sin B sin M MB MB sinA A BM BM 2 cos cos cos 2 2 2 1 P A A A A 2 cos sin sin sin 2 2 2 2. +) Xét tam giác MAB ta có P . +) Để Pmax sin. A min, dấu bằng xảy ra khi 2. ( P) : x 2 y 2 z 3 0 d B / P . AB AM ABM ABH. 2 24 3 8 26 BM 3 3. Pmax 54 6 78 . Câu 47.. (Chuyên Hạ Long 2019) Cho A 4;5;6 ; B 1;1;2 , M là một điểm di động trên mặt phẳng. P :2 x y 2 z 1 0 . Khi đó MA MB nhận giá trị lớn nhất là? C. 7 . Lời giải Ta có MA MB AB với mọi điểm M P . A.. 77 .. B.. 41 .. D.. 85 .. Vì 2.4 5 2.6 1 . 2.1 1 2.2 1 208 0 nên hai điểm A, B nằm cùng phía với P Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi M AB P Khi đó, MA MB nhận giá trị lớn nhất là: AB . 2. 2. 4 1 5 1 6 2. 2. 41 .. Câu 48. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;1; 2 và mặt phẳng P : m 1 x y mz 1 0 , với m là tham số. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P lớn nhất. Khẳng định đúng trong bốn khẳng định dưới đây là A. 2 m 6 . B. m 6 .. C. 2 m 2 . Lời giải. D. 6 m 2 .. Cách 1:. Facebook Nguyễn Vương 49.
<span class='text_page_counter'>(325)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Ta có d A; P . Xét f m . m 1 1 2m 1. m 1. 3m 1. 1 m. 2. 2. 2 m 2 m 1. Vậy max d A; P . 2. . f m . 3m 1. 2. 2 m2 m 1. . 1 3. m 5. 5 m 3m 1 0 m 2 m 2 m 1. 2. 14 khi m 5 2;6 . 3. Câu 49. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm. A 1; 2; 1 , B 3;0;3 . Biết mặt phẳng P đi qua điểm A và cách B một khoảng lớn nhất. Phương trình mặt phẳng P là: A. x 2 y 2 z 5 0 .. B. x y 2z 3 0 .. C. 2x 2 y 4z 3 0 . D. 2x y 2z 0 . Lời giải. Ta có AB 2; 2; 4 AB 2 6 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng P . Ta có d B, P BH BA 2 6 maxd B , P 2 6 , đạt được khi H A . Khi đó mặt phẳng P đi qua A và nhận AB 2; 2;4 là véctơ pháp tuyến. Suy ra phương trình mặt phẳng P là 2 x 1 2 y 2 4 z 1 0 x y 2 z 3 0 . Câu 50. (Sở Bắc Giang 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 4;9 . Gọi P là mặt phẳng đi qua M và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O ) sao cho OA OB OC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách d từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng P . A. d . 36 . 7. B. d . 24 . 5. C. d . 8 . 3. D. d . Lời giải Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 26 . 14.
<span class='text_page_counter'>(326)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Giả sử A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c với a , b, c 0. Phương trình mặt phẳng P : M 1; 4;9 P . x y z 1. a b c. 1 4 9 1. a b c. Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: 1 2 4 2 9 2 1 4 9 a b c a b c a b c a b c 49.. . b c 1 2 3 . 2. a. 2. 2. 2. 1 4 9 a 6 a b c 1 a b c 49 x y z Dấu “ ” xảy ra khi b 12. Nên P : 1. 6 12 18 1 2 3 c 18 a b c 36 Vậy d . 7 Câu 51. Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; 4;9) . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O) sao cho OA OB OC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách d từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P). 26 36 24 8 A. d B. d C. d D. d 7 5 3 14 Lời giải Chọn A Gọi mặt phẳng P đi qua điểm M 1; 4;9 cắt các tia tại A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c với x y z 1 4 9 a, b, c 0 ta có P : 1 suy ra 1 và OA OB OC a b c đạt giá trị a b c a b c nhỏ nhất khi 2. 1 4 9 12 22 32 1 2 3 1 a b c 36 a b c a b c abc. a 6 x y z Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b 12 P : 1 6 12 18 c 18 0 0 0 1 6 12 18. Nên d o; p . 2. 2. 1 1 1 6 12 18 . 2. . 36 7. Câu 52. (THPT Ba Đình -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng. P : x 2 y 2z 3 0 N S sao cho MN. và mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 5 0 . Giả sử M P và cùng phương với vectơ u 1;0;1 và khoảng cách giữa M và N lớn. nhất. Tính MN . Facebook Nguyễn Vương 51.
<span class='text_page_counter'>(327)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. B. MN 1 2 2 .. A. MN 3 .. C. MN 3 2 . D. MN 14 . Lời giải. 1 2.2 2.1 3 2 R. S có tâm I 1; 2;1 và bán kính R 1 . Ta có: d I , P 12 2 2 22. Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng P và a là góc giữa MN và NH . . Vì MN cùng phương với u nên góc a có số đo không đổi, a HNM 1 Có HN MN .cos a MN .HN nên MN lớn nhất HN lớn nhất cos a HN d I , P R 3 . 1 1 Có cos a cos u , nP nên MN HN 3 2 . cos a 2. . Câu 53.. . (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm D (2;0; 7) .. Gọi M là điểm thuộc mặt cầu ( S ) : ( x 2)2 ( y 4)2 z 2 39 thỏa mãn: MA2 2MB.MC 8 . Biết độ dài đoạn thẳng MD đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. A(1;0;0) ,. A. 2 7 .. B(2;1;3) ,. C (0;2; 3) ,. B.. 7.. C. 3 7 . Lời giải. D. 4 7 .. +) Mặt cầu ( S ) : ( x 2)2 ( y 4)2 z 2 39 có tâm là I 2; 4;0 , bán kính R 39 . Gọi M ( x , y , z ) ( S ) . Ta có: x 2 y 2 z 2 19 4 x 8 y . MA2 ( x 1) 2 y 2 z 2 20 6 x 8 y . MB (2 x ;1 y ;3 z ) ; MC ( x ; 2 y ; 3 z ) . MB.MC 2 x x 2 2 3 y y 2 9 z 2 19 4 x 8 y 2 x 3 y 7 6 x 5 y 12 . Suy ra MA2 2MB.MC 18 x 18 y 44 . Theo giả thiết MA2 2MB.MC 8 18 x 18 y 44 8 x y 2 0 . Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(328)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Do đó M ( P ) : x y 2 0 . Ta có d ( I ;( P)) . 8 2. 32 39 nên mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu (S ) theo giao tuyến là đường. tròn C có bán kính R1 với R1 R 2 d 2 39 32 7 . D, M P Mặt khác ta có D, M (C) . Do đó độ dài MD lớn nhất bằng 2 R1 2 7 . D, M S Vậy chọn A.. Facebook Nguyễn Vương 53.
<span class='text_page_counter'>(329)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chuyên đề 31. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng 1. Xác định VTCP Véctơ chỉ phương u của đường thẳng d là véctơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d . Nếu d có một véctơ chỉ phương là u thì k .u cũng là một véctơ chỉ phương của d . Nếu có hai véctơ n1 và n2 cùng vuông góc với d thì d có một véctơ chỉ phương là u [n1 , n2 ]. Để viết phương trình đường thẳng d , ta cần tìm điểm đi qua và một véctơ chỉ phương. Qua M ( x ; y ; z ) Nếu đường thẳng d : thì ta có hai dạng phương trình đường thẳng: VTCP : ud ( a1 ; a2 ; a3 ) k .u d x x a1t u Phương trình đường thẳng d dạng tham số y y a2t , (t ). z z a t 3 Phương trình đường thẳng d dạng chính tắc Câu 1.. x x y y z z , (a1a2 a3 0). a1 a2 a3. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : Vecto nào dưới đây là một vecto chỉ phương của d ? A. u2 2; 4; 1 . B. u1 2; 5;3 . C. u3 2;5;3 .. Câu 2.. D. u4 3; 4;1 .. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d ? A. u2 3; 4; 1 . B. u1 2; 5; 2 . C. u3 2;5; 2 .. Câu 3.. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :. Câu 6.. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :. x4 y 2 z 3 . 3 1 2. D. u1 3;1; 2 .. x 2 t (Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : y 1 2t có một vectơ chỉ phương là: z 3 t A. u1 1; 2;3 B. u3 2;1;3 C. u4 1; 2;1 D. u2 2;1;1 (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :. x 1 y 3 z 2 . Vectơ nào 2 5 3. dưới đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng d A. u 1;3; 2 . B. u 2;5;3 . C. u 2; 5;3 . Câu 7.. x 3 y 1 z 2 . 4 2 3. D. u1 3;1; 2 .. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d ? A. u2 4; 2;3 . B. u4 4; 2; 3 . C. u3 3; 1; 2 . Câu 5.. x2 y5 z 2 . 3 4 1. D. u3 3; 4;1 .. Vecto nào dưới đây là một vecto chỉ phương của d A. u3 3; 1; 2 . B. u4 4; 2;3 . C. u2 4; 2;3 . Câu 4.. x 3 y 4 z 1 . 2 5 3. D. u 1;3;2 .. (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A 1;1;0 và B 0;1; 2 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB . Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(330)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. d 1;1; 2 . Câu 8.. B. u4 1; 1; 2 . (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian thẳng d có một vectơ chỉ phương là . A. u 4 1;2;0 Câu 11.. D. c 1; 2; 2 . x 3 y 1 z 5 có một vectơ chỉ 1 1 2. C. u2 3;1;5 . D. u3 1; 1; 2 . (Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : dưới đây là một vectơ chỉ phương của d ? A. u4 1;3; 2 . B. u3 2;1;3 .. Câu 10.. C. b 1; 0; 2 . (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : phương là A. u1 3; 1;5 . Câu 9.. B. a 1;0; 2 . . B. u2 2;1; 0. x 2 y 1 z 3 . Vectơ nào 1 3 2. C. u1 2;1; 2 . Oxyz , cho. D. u2 1; 3; 2 .. đường thẳng d :. . . C. u 3 2;1;1. (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :. x 2 y 1 z . Đường 1 2 1. D. u1 1;2;1. x 3 y 1 z 5 . Vectơ nào 1 2 3. sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d ?. . A. u2 (1; 2;3) Câu 12.. . B. u3 (2;6; 4) .. (Mã 101 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : dưới đây là một vectơ chỉ phương của d ? A. u4 (1; 2; 3) . B. u3 (1; 2;1) .. Câu 13.. . C. u4 ( 2; 4;6) .. . D. u1 (3; 1;5) .. x 2 y 1 z 3 . Vectơ nào 1 2 1. C. u1 (2;1; 3) .. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng d :. D. u2 (2;1;1) . x 1 y 2 z 3 đi qua 2 1 2. điểm nào dưới đây? A. Q 2; 1;2 Câu 14.. B. M 1; 2; 3. C. P 1;2;3. D. N 2;1; 2 . (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1; 2;3 . Gọi M 1 , M 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox , Oy . Vectơ nào dưới đây là một véctơ chỉ phương của đường thẳng M 1M 2 ? A. u4 1; 2;0 B. u1 0; 2;0 . C. u2 1; 2; 0 . Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :. D. u3 1;0;0 . x y 4 z 3 . Hỏi trong các 1 2 3. vectơ sau, đâu không phải là vectơ chỉ phương của d ? A. u1 1; 2;3 . B. u 2 3; 6; 9 . C. u3 1; 2; 3 . Câu 16.. D. u4 2; 4;3 .. (Sở Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng nào sau đây nhận u 2;1;1 là một vectơ chỉ phương?. x 2 y 1 z 1 x y 1 z 2 B. 1 2 3 2 1 1 x 1 y 1 z x 2 y 1 z 1 C. D. 2 1 1 2 1 1 Câu 17. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường x 1 y 2 z 1 thẳng d : nhận véc tơ u a; 2; b làm véc tơ chỉ phương. Tính a b . 2 1 2 A.. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(331)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 8 . B. 8 . C. 4 . D. 4 . Câu 18. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , tọa độ nào sau đây là tọa độ của x 2 4t một véctơ chỉ phương của đường thẳng : y 1 6t , t ? z 9t 1 1 3 A. ; ; . 3 2 4. 1 1 3 B. ; ; . 3 2 4. C. 2;1;0 .. D. 4; 6;0 .. Câu 19. (Chuyên KHTN 2019) Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng x 2 y 1 z 3 3 2 1 A. 2;1; 3 . B. 3; 2;1 . C. 3; 2;1 . D. 2;1;3 . Câu 20.. (Chuyên Thái Bình 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng x 1 y 3 z 7 nhận vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương? 2 4 1 A. 2; 4;1 . B. 2;4;1 . C. 1; 4;2 . D. 2; 4;1 .. d :. Câu 21.. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Trong không gian Oxyz véc tơ nào dưới đây là một véc tơ chỉ x 1 t phương của đường thẳng d : y 4 , z 3 2t A. u (1; 4;3) . B. u (1; 4; 2) .. C. u (1;0; 2) .. D. u (1;0;2) .. Dạng 2. Viết phương trình đường thẳng Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số và dạng chính tắc (nếu có), biết d đi qua điểm M ( x ; y ; z ) và có véctơ chỉ phương ud (a1 ; a2 ; a3 ). Qua M ( x ; y ; z ) Phương pháp. Ta có: d : VTCP : ud ( a1 ; a2 ; a3 ). x x a1t Phương trình đường thẳng d dạng tham số d : y y a2t , (t ). z z a t 3 . Phương trình đường thẳng d dạng chính tắc d :. x x y y z z , (a1a2 a3 0). a1 a2 a3. Dạng 2. Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của đường thẳng d đi qua A và B. Qua A (hay B) B Phương pháp. Đường thẳng d : (dạng 1) A VTCP : u AB d. d. Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số và chính tắc (nếu có), biết d đi qua điểm M và song song với đường thẳng . u Qua M ( x ; y ; z ) (dạng 1) Phương pháp. Ta có d : d M VTCP : ud u Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số và chính tắc (nếu có), biết d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng ( P) : ax by cz d 0. d u n d P Qua M M Phương pháp. Ta có d : (dạng 1) VTCP : ud n( P ) (a; b; c) P. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(332)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng d qua M và song song với hai mặt phẳng ( P), (Q). Qua M Phương pháp. Ta có d : (dạng 1) VTCP : ud [ nP , nQ ] Dạng 2.1 Xác định phương trình đường thẳng cơ bản Câu 22.. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M (1;0;1) và N ( 3; 2; 1) . Đường thẳng MN có phương trình tham số là. x 1 2t A. y 2t . z 1 t Câu 23.. x 1 t B. y t . z 1 t . x 1 t C. y t . z 1 t . x 1 t D. y t . z 1 t . (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian tọa độ Ox yz , phương trình nào dưới đây là phương. x 1 2t ? trình chính tắc của đường thẳng d : y 3t z 2 t . x 1 y z 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 B. C. D. 2 3 1 1 3 2 2 3 2 2 3 1 Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M 1; 2;1 , N 0;1; 3 . Phương trình đường A.. thẳng qua hai điểm M , N là x 1 y 2 z 1 x 1 y 3 z 2 A. . B. . 1 3 2 1 2 1 x y 1 z 3 x y 1 z 3 C. . D. . 1 3 2 1 2 1 Câu 25. Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M 2;0; 1 và có véctơ chỉ phương a 2; 3;1 là. x 4 2t A. y 6 . z 2 t Câu 26.. x 2 2t B. y 3t . z 1 t . x 2 4t C. y 6t . z 1 2t . x 2 2t D. y 3t . z 1 t . (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , cho E (1;0;2) và F (2;1; 5) . Phương trình đường thẳng EF là x 1 y z 2 x 1 y z 2 A. B. 3 1 7 3 1 7 x 1 y z 2 x 1 y z 2 C. D. 1 1 3 1 1 3. Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng đi qua điểm M 2;0; 1 và có một vectơ chỉ phương a 4; 6;2 .Phương trình tham số của là. x 2 4t A. y 6t . z 1 2t Câu 28.. x 2 2t B. y 3t . z 1 t . x 4 2t C. y 6 . z 2 t . x 2 2t D. y 3t . z 1 t . (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm P 1;1; 1 và Q 2;3;2 . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(333)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 A. . B. . 2 3 2 1 2 3 x 1 y 2 z 3 x2 y 3 z 2 C. . D. . 1 1 1 1 2 3 Câu 29. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A 1; 2;3 và B 5; 4; 1 là x 5 y 4 z 1 x 1 y 2 z 3 . B. . 2 1 2 4 2 4 x 1 y 2 z 3 x 3 y 3 z 1 C. . D. . 4 2 4 2 1 2 Câu 30. Trong không gian Oxyz , đường thẳng Oy có phương trình tham số là. A.. x t x 0 x 0 x t A. y t t . B. y 2 t t . C. y 0 t . D. y 0 t . z t z 0 z t z 0 Câu 31. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Trong không gian Oxyz có đường thẳng có phương trình. x 1 2t tham số là (d ) : y 2 t . Khi đó phương trình chính tắc của đường thẳng d là z 3 t x 1 y 2 z 3 x 1 B. 2 1 1 2 x 1 y 2 z 3 x 1 C. D. 2 1 1 2. A.. Câu 32.. y 2 z 3 1 1 y 2 z 3 1 1. (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Trong không gian Oxyz , cho E 1;0; 2 và F 2;1; 5 . Phương. trình đường thẳng EF là x 1 y z 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 A. . B. . C. . D. . 3 1 7 3 1 7 1 1 3 1 1 3 Câu 33. (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình tham số trục Oz là A. z 0 . Câu 34.. x 0 B. y t . z 0 . x t C. y 0 . z 0 . x 0 D. y 0 . z t . (THPT Cẩm Bình 2019) Trong không gian Oxyz , trục Ox có phương trình tham số. x t A. x 0. B. y z 0. D. y 0. z 0 Câu 35. (Ngô Quyền - Hải Phòng 2019) Trong không gian Oxyz , phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M 1; 2;3 và có véctơ chỉ phương a 1; 4; 5 là x 0 C. y 0. z t . x 1 t x 1 y 2 z 3 A. . B. y 4 2t . 1 4 5 z 5 3t . Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(334)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 1 t x 1 y 4 z 5 C. . D. y 2 4t . 1 2 3 z 3 5t Câu 36. (Chuyên Nguyễn Huệ 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình tham số của đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và có vectơ chỉ phương u 1;3; 2 là. x 0 A. d : y 3t . z 2t Câu 37.. x 1 B. d : y 3 . z 2 . x t C. d : y 3t . z 2t . x t D. d : y 2t . z 3t . (Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A 1; 2;3 và có vectơ chỉ phương u 2; 1; 2 .. x 2 y 1 z 2 x 1 y 2 z 3 . B. . 1 2 3 2 1 2 x 2 y 1 z 2 x 1 y 2 z 3 C. . D. . 1 2 3 2 1 2 Câu 38. (Sở Bình Thuận 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d đi qua điểm M 0; 1; 4 và nhận vectơ u 3; 1;5 làm vectơ chỉ phương. Hệ phương trình nào sau đây là phương trình A.. tham số của d ?. x 3t A. y 1 t . z 4 5t Câu 39.. x 3 B. y 1 t . z 5 4t . x 3t C. y 1 t . z 4 5t . x 3t D. y 1 t . z 4 5t . (Sở GD Nam Định - 2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua M 1;2; 3 nhận vectơ u 1; 2;1 làm vectơ chỉ phương có phương trình là x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 . B. . 1 2 1 1 2 1 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 C. . D. . 1 2 1 1 2 1. A.. Dạng 2.2 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố vuông góc Câu 40. (Mã 101 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 2;3 và mặt phẳng. P : 2 x y 3z 1 0 . Phương trình của đường thẳng đi qua M x 1 2t A. y 2 t . z 3 3t Câu 41.. x 1 2t B. y 2 t . z 3 3t . x 2 t C. y 1 2t . z 3 3t . và vuông góc với P là. x 1 2t D. y 2 t . z 3 3t . (Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho M 1; 2; 3 và mặt phẳng. ( P) : 2x y 3 z 1 0 . Phương trình của đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với ( P) là x 2 t A. y 1 2t . z 3 3t . x 1 2t B. y 2 t . z 3 3t . x 1 2t C. y 2 t . z 3 3t . x 1 2t D. y 2 t . z 3 3t . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(335)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 42.. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 2; 2 và mặt phẳng. P : 2 x y 3z 1 0 . Phương trình của đường thẳng qua. M và vuông góc với mặt phẳng P . là x 1 2t A. y 2 t . z 2 3t . Câu 43.. x 1 t B. y 2 2t . z 2 t . x 2 t C. y 1 2t . z 3 2t . (Mã 104 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;2; 2 và mặt phẳng. P : 2 x y 3z 1 0 . Phương trình của đường thẳng đi qua x 1 2t A. y 2 t . z 2 3t . Câu 44.. x 1 2t D. y 2 t . z 2 3t . x 1 2t B. y 2 t . z 2 3t . M và vuông góc với P là:. x 1 2t C. y 2 t . z 2 3t . x 2 t D. y 1 2t z 3 2t . (Mã 123 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua A 2; 3; 0 và vuông góc với mặt phẳng P : x 3 y z 5 0 ? x 1 t A. y 1 3t z 1 t . Câu 45.. x 1 t B. y 3t z 1 t . x 1 3t C. y 1 3t z 1 t . x 1 3t D. y 1 3t z 1 t . (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. : x y 2 z 1 . Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với . x 2t x y 1 z x y 1 z . C. d 3 : B. d 2 : . D. d 4 : y 0 1 1 1 1 1 1 z t (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm. x y 1 z . A. d1 : 1 1 2 Câu 46.. A 1;1;1 và vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxy có phương trình tham số là: x 1 t A. y 1 . z 1 Câu 47. Trong. không. x 1 B. y 1 . z 1 t gian. với. hệ. trục. x 1 t C. y 1 . z 1 . Oxyz ,. cho. P : x 3 y 2 z 1 0 . Tìm phương trình đường thẳng x 1 y 3 z 2 x 1 . B. 1 3 2 1 x y z x 1 C. D. . 1 3 2 1 A.. Câu 48.. điểm. x 1 t D. y 1 t . z 1 M 1; 3; 2 . và. mặt. phẳng. d qua M và vuông góc với P .. y 3 z 2 . 3 2 y 3 z2 . 3 2. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;0;2 và đường thẳng x 1 y z 1 . Đường thẳng đi qua A , vuông góc và cắt d có phương trình là 1 1 2 x 2 y 1 z 1 x 1 y z 2 A. : . B. : . 1 1 1 1 1 1 x 2 y 1 z 1 x 1 y z 2 C. : . D. : . 2 2 1 1 3 1 d:. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(336)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 49.. (Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A 3;1;2 và vuông góc với mặt phẳng x y 3z 5 0 có phương trình là. x 3 y 1 z 2 x 1 y 1 z 3 . B. . 1 1 3 3 1 2 x 1 y 1 z 3 x 3 y 1 z 2 . D. . C. 3 1 2 1 1 3 Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho điểm M (3; 2; 1) và mặt phẳng ( P ) : x z 2 0. Đường thẳng đi A.. qua M và vuông góc với ( P ) có phương trình là x 3 t A. y 2 . z 1 t . x 3 t B. y 2 t . z 1 . x 3 t C. y 2t . z 1 t . x 3 t D. y 1 2t . z t . Câu 51. (SGD Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ oxyz , phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 1; 2;1 và vuông góc với mặt phẳng P : x 2 y z 1 0 có dạng. x 1 y 2 z 1 x2 y z2 . B. d : . 1 2 1 1 2 1 x 1 y 2 z 1 x2 y z2 C. d : . D. d : . 1 2 1 2 4 2 Câu 52. (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Trong không gian với hệ tọa độ A. d :. P : 2 x 5 y z 1 0 và A 1; 2; 1 . Đường thẳng trình là x 2 t A. y 5 2t . z 1 t . x 3 2t B. y 3 5t . z 1 t . Oxyz , cho. qua A và vuông góc với P có phương. x 1 2t C. y 2 5t . z 1 t . x 3 2t D. y 3 5t . z t . Câu 53. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x y z 3 0 và điểm A 1; 2;1 . Phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với P là x 1 2t A. d : y 2 t . z 1 t . x 1 2t B. d : y 2 4t . z 1 3t . x 2 t C. y 1 2t . z 1 t . x 1 2t D. d : y 2 t . z 1 3t . Câu 54. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 1; 2;1 và vuông góc với mặt phẳng P : x 2 y z 1 0 có dạng. x2 y z x 1 y 2 z 1 . B. d : . 1 2 1 1 2 1 x 1 y 2 z 1 x2 y z . C. d : . D. d : 1 2 1 2 4 2 Câu 55. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng đi qua A. d :. điểm A 2; 4;3 và vuông góc với mặt phẳng :2 x 3 y 6 z 19 0 có phương trình là. x2 2 x2 C. 2 A.. y3 4 y 3 4. z 6 x 2 y 4 z 3 . B. . 2 3 6 3 z6 x2 y4 z3 . D. . 2 3 6 3. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(337)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Dạng 2.3 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song Câu 56.. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;0;1 , B 1;1;0 và. C 3; 4; 1 . Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là x 1 y z 1 x 1 y z 1 x 1 y z 1 x 1 y z 1 . B. . C. . D. . 4 5 1 2 3 1 2 3 1 4 5 1 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;3 , B 1;1;1 , C 3; 4;0 .. A. Câu 57.. Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 A. . B. . 4 5 1 4 5 1 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 C. . D. . 2 3 1 2 3 1 Câu 58. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1;2;0), B(1;1; 2) và C (2;3;1) . Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là x 1 y 2 z x 1 y 2 z x 1 y 2 z x 1 y 2 z . B. . C. . D. . A. 1 2 1 3 4 3 3 4 3 1 2 1 Câu 59. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;1;0 , B 1;0;1 , C 3;1;0 . Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là: x 1 y 1 z z 1 y 1 z . . A. B. 2 1 1 4 1 1 x 1 y 1 z x 1 y 1 z . C. . D. 2 1 1 4 1 1 Câu 60.. (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 0; 1;3 , B 1;0;1 ,. C 1;1;2 . Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng BC ? A. x 2 y z 0 .. C. Câu 61.. x y 1 z 3 . 2 1 1. x 2t B. y 1 t . z 3 t D.. x 1 y z 1 . 2 1 1. (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 3 ; B 1; 4; 1 và. x2 y2 z3 . Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường 1 1 2 thẳng đi qua trung điểm của đoạn AB và song song với d ? x y 1 z 1 x y 1 z 1 A. B. 1 1 2 1 1 2 x 1 y 1 z 1 x y2 z2 C. D. 1 1 2 1 1 2 đường thẳng d :. Câu 62. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm. P :. A 1; 2; 3 và hai mặt phẳng. x y z 1 0 , Q : x y z 2 0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường. thẳng đi qua A , song song với P và Q ? Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(338)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 1 A. y 2 z 3 2t . x 1 t B. y 2 z 3 t . x 1 2t C. y 2 z 3 2t . x 1 t D. y 2 z 3 t . Câu 63. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A 0; 1; 3 , B 1; 0;1 , C 1;1; 2 . Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng BC ?. x 2t A. y 1 t . z 3 t . B.. x y 1 z 3 . 2 1 1. x 1 y z 1 . D. x 2 y z 0 . 2 1 1 Câu 64. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;0; 1 và mặt phẳng P : x y 1 0 . Đường thẳng đi C.. qua A đồng thời song song với P và mặt phẳng Oxy có phương trình là x 3 t A. y 2t . z 1 t . x 2 t B. y t . z 1 . x 1 2t C. y 1 . z t . x 3 t D. y 1 2t . z t . Câu 65. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 2;3; 1 , N 1; 2;3 và P 2; 1;1 . Phương trình đường thẳng d đi qua M và song song với NP là. x 1 3t A. y 2 3t . z 3 2t Câu 66.. x 2 3t B. y 1 3t . z 1 2t . x 2 3t C. y 3 3t . z 1 2t . (Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :. x 3 2t D. y 3 3t . z 2 t . x 1 y 1 z 2 . Đường 1 2 1. thẳng đi qua điểm M 2;1; 1 và song song với đường thẳng d có phương trình là:. x 2 y 1 1 2 x 1 y 2 C. 2 1 A.. Câu 67.. z 1 . 1 z 1 . 1. x y 5 z 3 . 1 2 1 x 2 y 1 z 1 . D. 1 1 2 B.. (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm. A(0; 0; 1), B 1; 2;0 , C 2;1; 1 . Đường thẳng đi qua C và song song với AB có phương trình là x 2t x 2t A. y 1 2t , t R . B. y 1 2t , t R . z 1 t z 1 t . x 2t x 2t C. y 1 2t , t R . D. y 1 2t , t R . z 1 t z 1 t . Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(339)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 68.. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng. : x 2 y z 1 0 , : 2 x y z 0 và điểm A 1; 2; 1 . Đường thẳng song song với cả hai mặt phẳng , có phương trình là. đi qua điểm A và. x 1 y 2 z 1 x 1 y 2 z 1 . B. . 2 4 2 1 3 5 x 1 y 2 z 1 x y 2 z 3 C. . D. . 1 2 1 1 2 1 Dạng 3 Bài toán liên quan điểm (hình chiếu) thuộc đường, giao điểm đường với mặt phẳng A.. Câu 69.. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng. d:. x 1 y 2 z 1 ? 1 3 3. A. P 1;2;1 . Câu 70.. B. Q 1; 2; 1 .. B. N 4; 2;1 .. B. Q(2;5;1) .. C. M (4; 2;1) .. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : nào dưới đây thuộc d ? A. N 3; 1; 2 B. Q 2; 4;1. Câu 74.. C. P 2;1; 3 .. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : nào sau đây thuộc d ? A. N (4; 2; 1) .. Câu 73.. C. N 2;3; 1 .. (Mã 101 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : nào dưới đây thuộc d? A. Q 4; 2;1 .. Câu 72.. D. P 1;2;1 .. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : Điểm nào sau đây thuộc d ? A. P 1; 2; 1 . B. M 1; 2;1 .. Câu 71.. C. N 1;3;2 .. C. P 2; 4; 1. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :. x 1 y 2 z 1 . 2 3 1. D. Q 2; 3;1 .. x 2 y 1 z 3 . Điểm 4 2 1 D. M 2;1;3 . x 4 z 2 z 1 . Điểm 2 5 1. D. P(2; 5;1) .. x 3 y 1 z 2 . Điểm 2 4 1 D. M 3;1; 2 . x 3 y 1 z 5 . Điểm 2 2 1. nào dưới đây thuộc d ? A. M 3;1;5 . Câu 75.. B. N 3;1; 5 .. C. P 2;2; 1 .. D. Q 2; 2;1 .. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường. x 1 t thẳng d : y 5 t ? z 2 3t A. N 1;5;2 Câu 76.. B. Q 1;1;3. C. M 1;1;3. D. P 1; 2;5. (Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thằng d:. x 2 y 1 z 2 . 1 1 2. A. N 2; 1; 2 . B. Q 2;1; 2 . C. M 2; 2;1. D. P 1;1; 2 . Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(340)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 77.. x 1 2t (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : y 3 t đi z 1 t qua điểm nào dưới đây? A. M 1;3; 1 . B. M 3;5;3 .. Câu 78.. C. M 3;5;3 .. D. M 1; 2; 3 .. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Đường thẳng x t d y 1 t đi qua điểm nào sau sau đây? z 2 t . A. K 1; 1;1 . Câu 79.. C. H 1;2;0 .. D. F 0;1; 2 .. (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng x 1 y 1 z 2 ? 2 1 3 A. Q 2;1; 3 .. Câu 80.. B. E 1;1; 2 .. B. P 2; 1;3 .. C. M 1;1; 2 .. D. N 1; 1;2 .. (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian Oxyz , gọi d là đường thẳng qua A 1;0;2 , cắt và x 1 y z 5 . Điểm nào dưới đây thuộc d ? 1 1 2 B. Q 0; 1;1 . C. N 0; 1;2 . D. M 1; 1;1 .. vuông góc với đường thẳng d1 : A. P 2; 1;1 . Câu 81.. x 1 t Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d : y 5 t ? z 2 3t . A. Q 1;1; 3. B. P 1; 2; 5 . C. N 1; 5; 2 . D. M 1;1; 3. x 1 y 2 z 3 đi qua điểm nào dưới đây? 2 1 2 A. Q(2;1;2) . B. M (1; 2; 3) . C. P(1;2;3) . D. N(2; 1;2) . Câu 83. (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường Câu 82. Trong không gian Oxyz , đường thẳng d :. x 1 y 2 z 3 . Hỏi d đi qua điểm nào trong các điểm sau: 3 4 5 A. C 3; 4;5 . B. D 3; 4; 5 . C. B 1; 2; 3 . D. A 1; 2;3 . thẳng d :. Câu 84.. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3; 2;1 . Đường thẳng nào sau đây đi qua A ? x 3 y 2 z 1 A. . 1 1 2 x 3 y 2 z 1 C. . 1 1 2. z 1 . 1 z 1 . 1 x 1 t Câu 85. Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d : y 5 t ? z 2 3t A. Q 1;1; 3. B. P 1; 2; 5 . x3 4 x3 D. 4 B.. y2 2 y2 2. C. N 1; 5; 2 . D. M 1;1; 3. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(341)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 86.. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình A. P 7;2;1 .. Câu 87.. x 1 y 2 z 3 . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d ? 3 2 4 B. Q 2; 4;7 . C. N 4; 0; 1 . D. M 1; 2;3 .. (THPT Cẩm Bình 2019) Giao điểm của mặt phẳng. P : x y z 2 0. và đường thẳng. x 2 t d : y t z 3 3t . A. 1;1;0 . Câu 88.. (Thpt. Vĩnh. B. 0; 2;4 . Lộc. -. Thanh. C. 0; 4;2 . Hóa. 2019). Trong. D. 2;0;3 . không. gian Oxyz, cho. đường. x 1 2t thẳng d : y 3 t , t và mặt phẳng P : x 2 y 3z 2 0. Tìm tọa độ của điểm A là giao z 1 t . điểm của đường thẳng d và mặt phẳng P . A. A 3;5;3 . Câu 89.. B. A 1;3;1 .. C. A 3;5;3 .. D. A 1;2; 3 .. (Hùng Vương Gia Lai2019) Trong không gian Oxyz , giao điểm của mặt phẳng. P : 3x 5 y z 2 0. và đường thẳng :. x 12 y 9 z 1 là điểm M x0 ; y0 ; z 0 . Giá trị 4 3 1. tổng x0 y0 z0 bằng A. 1 .. B. 2 .. C. 5 .. D. 2 .. Câu 90. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 4;5;2 lên mặt phẳng P : y 1 0 là điểm có tọa độ A. 4; 1;2 . Câu 91.. C. 0; 1;0 .. D. 0;1;0 .. (Chuyên Bắc Giang 19) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng. d:. x 12 y 9 z 1 và mặt phẳng P : 3x 5 y z 2 0 . Tìm tọa độ giao điểm của d và 4 3 1. P . A. 1;0;1 . Câu 92.. B. 4;1;2 .. B. 0;0; 2 .. C. 1;1;6 .. D. 12;9;1 .. x 4 2t (Kon Tum - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 3 t , giao điểm của d z 1 t với mặt phẳng Oxy có tọa độ là A. 4; 3; 0 .. Câu 93.. B. 2; 2; 0 .. C. 0; 1; 1 .. D. 2; 0; 2 .. (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 3 điểm A 1; 0; 0 ,. x t B 0; 2; 0 , C 0;0;3 và đường thẳng d : y 2 t . Gọi M a ; b ; c là toạ độ giao điểm của z 3 t đường thẳng d với mặt phẳng ABC . Tính tổng S a b c . A. 6 .. B. 5 .. C. 7 .. D. 11 .. Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(342)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 94.. x 3 y 1 z 3 và mặt phẳng 2 1 1 P : x 2 y z 5 0 . Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng P . (Bến Tre 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :. A. M 1;0; 4 . Câu 95.. B. M 5; 2; 2 .. C. M 0;0;5 .. D. M 3; 1;3 .. (Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;3;5 . Tìm tọa độ điểm A ' là hình chiếu vuông góc của A lên trục Oy. A. A ' 2;0;0 .. B. A ' 0;3;0 .. C. A ' 2;0;5 .. D. A ' 0;3;5 .. Dạng 4. Bài toán liên quan khoảng cách, góc 1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng – Khoảng cách giữa hai đường thẳng Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng d qua điểm M có véctơ chỉ phương ud được xác M M , ud định bởi công thức d ( M , d ) ud Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d đi qua điểm M và có véctơ chỉ phương u và u , u.M M d đi qua điểm M và có véctơ chỉ phương u là d ( d , d ) u , u 2. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa hai đường thẳng d1 và d 2 có véctơ chỉ phương u1 (a1 ; b1 ; c1 ) và u2 (a2 ; b2 ; c2 ). u1.u2 a1a2 b1b2 c1c2 với 0 90. cos(d1 ; d 2 ) cos u1 . u2 a12 b12 c12 . a22 b22 c22. 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc giữa đường thẳng d có véctơ chỉ phương ud (a; b; c) và mặt phẳng ( P) có véctơ pháp tuyến n( P ) ( A; B; C ) được xác định bởi công thức: ud .n( P ) aA bB cC với 0 90. sin cos(n( P ) ; ud ) 2 ud . n( P ) a b 2 c 2 A2 B 2 C 2. Câu 96.. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. P : 2x 2 y z 1 0. và đường thẳng :. x 1 y 2 z 1 . Tính khoảng cách d giữa và 2 1 2. P . 5 2 1 C. d D. d 3 3 3 (Chuyên Sơn La 2019) Trong không gian Oxyz , khoảng cách giữa đường thẳng. A. d 2 Câu 97.. d:. B. d . x 1 y z và mặt phẳng P : x y z 2 0 bằng: 1 1 2. A. 2 3.. B.. 3 . 3. C.. 2 3 . 3. D.. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 3..
<span class='text_page_counter'>(343)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 98.. (THPT Lê Quý Đôn Dà Nẵng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , khoảng cách giữa. x 2 t đường thẳng : y 5 4t , t và mặt phẳng P : 2 x y 2 z 0 bằng z 2 t A. 1 . Câu 99.. B. 0 .. C. 2 .. D. 3 .. x 1 t (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : y 2 2t z 3 t và mặt phẳng (P): x y 3 0 . Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).. A. 600 B. 300 C. 120o D. 450 Câu 100. (Chuyên Trần Đại Nghĩa - TPHCM - 2018) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng x y 3 z 2 x 3 y 1 z 2 d1 : và d 2 : 1 2 1 1 2 1 2 3 2 12 . B. . C. . D. 3 . 3 2 5 Câu 101. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. A.. P : 4x 3y z 1 0. và đường thẳng d :. x 1 y 6 z 4 , sin của góc giữa đường thẳng 4 3 1. d và mặt phẳng P bằng. 12 . 13 x y z Câu 102. (Chuyên ĐH Vinh -2019) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : và mặt 1 2 1 phẳng : x y 2 z 0 . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng A.. 5 . 13. A. 30 .. B.. 8 . 13. B. 60 .. C.. 1 . 13. D.. C. 150 .. D. 120 .. Câu 103. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P): 3 x y 1 0 . Tính góc tạo bởi ( P) với trục. Ox ? A. 600 .. B. 300 .. C. 1200 .. D. 1500 .. Câu 104. (Bình Phước - 2019) Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ điểm M 2; 4; 1 tới đường. x t thẳng : y 2 t bằng z 3 2t A.. 14 . .. B.. 6. .. C. 2 14. .. Câu 105. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng. D. 2 6.. d :. x 3 y z 1 và điểm 2 1 1. A(2; 1;0) . Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d bằng A.. 7.. B.. 7 . 2. C.. 21 . 3. D.. 7 . 3. Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(344)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 1 t x y 3 z 1 Câu 106. (Chuyên Bắc Giang -2019) Cho d : y 3 t , d ' : . Khi đó khoảng cách giữa 3 1 1 z 2 2t . d và d ' là A.. 13 30 . 30. B.. 30 . 3. C.. 9 30 . 10. Câu 107. Trong không gian Oxyz , khoảng cách giữa đường thẳng d :. P : x y z 2 0. D. 0 . x 1 y z và mặt phẳng 1 1 2. bằng. 3 2 3 . C. . 3 3 Câu 108. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách giữa đường thẳng. A. 2 3 .. B.. D.. 3.. x 1 y 3 z 2 và mặt phẳng ( P) : x 2 y 2 z 4 0 2 2 1 A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. Dạng 5. Xác định phương trình mặt phẳng có yếu tố đường thẳng d:. Dạng 1. Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua M và vuông góc với đường thẳng d AB. Qua M ( x ; y ; z ) n( P ) ud AB Phương pháp. ( P) : VTPT : n u (P) d AB M P Dạng 2. Viết phương trình mặt phẳng qua M và chứa đường thẳng d với M d .. d. Bước 1: Chọn điểm A d và một VTCP ud . Tính AM , ud . qua M Bước 2: Phương trình mp( P) VTPT n AM , ud Câu 109. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 2; 2;3 và đường thẳng d :. x 1 y 2 z 3 . Mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d có phương 3 2 1 trình là A. 3x 2 y z 1 0 . B. 2x 2 y 3z 17 0 . C. 3x 2 y z 1 0 .. D. 2 x 2 y 3z 17 0 .. Câu 110. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm M 1;1; 1 và. x 1 y 2 z 1 có phương trình là 2 2 1 B. x 2 y z 0 . C. 2x 2 y z 3 0 . D. x 2 y z 2 0 .. vuông góc với đường thẳng : A. 2x 2 y z 3 0 .. Câu 111. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho điểm M ( 2;1; 0) và đường thẳng. x 3 y 1 z 1 . Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với có phương trình là 1 4 2 A. 3 x y z 7 0 . B. x 4 y 2 z 6 0 . :. Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(345)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. C. x 4 y 2 z 6 0 . D. 3 x y z 7 0 . Câu 112. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz cho điểm M (1;1; 2) và đường thẳng x 1 y 2 z . Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d có phương trình là d: 1 2 3 A. x 2 y 3 z 9 0 . B. x y 2 z 6 0 . C. x 2 y 3 z 9 0 .. D. x y 2 z 6 0 .. Câu 113. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho điểm M (2; 1; 2) và đường thẳng. x 1 y 2 z 3 . Mặt phẳng đi qua điểm qua M và vuông góc với d có phương trình là 2 3 1 A. 2 x 3 y z 3 0. B. 2 x y 2 z 9 0. C. 2 x 3 y z 3 0. D. 2 x y 2 z 9 0. d:. Câu 114. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong gian gian Oxyz, cho điểm M 3; 2; 2 và đường thẳng. x 3 y 1 z 1 . Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d có phương trình là 1 2 2 A. x 2 y 2 z 5 0 . B. 3x 2 y 2 z 17 0 . d:. C. 3x 2 y 2 z 17 0 . D. x 2 y 2 z 5 0 . Câu 115. (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A 1; 2; 2 và vuông góc với. x 1 2 A. 2 x y 3 z 2 0 . C. 2 x y 3 z 2 0 . đường thẳng :. y 2 z 3 có phương trình là 1 3 B. x 2 y 3 z 1 0 . D. 3 x 2 y z 5 0 .. Câu 116. (Mã 123 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M 3; 1;1 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng x 1 y 2 z 3 : ? 3 2 1 A. 3x 2 y z 8 0 B. 3x 2 y z 12 0 C. 3x 2 y z 12 0 D. x 2 y 3z 3 0 Câu 117. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt x 1 y 2 z . 2 1 3 B. 2 x y 3 z 9 0 . C. 2 x y 3 z 9 0 . D. 2 x y 3 z 6 .. phẳng đi qua M 1; 1; 2 và vuông góc với đường thẳng : A. 2 x y 3 z 9 0 .. Câu 118. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng x 1 y 2 z 3 . Mặt phẳng P vuông góc với d có một vectơ pháp tuyến là: 2 1 2 A. n 1; 2;3 . B. n 2; 1; 2 . C. n 1; 4;1 . D. n 2;1; 2 . d:. Câu 119. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng ( d ) : A. x y z 1 0 .. B. x y z 1 .. x y z là: 1 1 1 C. x y z 1 .. D. x y z 0 .. Câu 120. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm. A 0;1;0 và chứa đường thẳng :. x 2 y 1 z 3 có phương trình là: 1 1 1. Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(346)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. x y z 1 0 .. B. 3x y 2 z 1 0 . C. x y z 1 0 .. D. 3x y 2 z 1 0 .. Câu 121. (Chuyên Hưng Yên 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :. x 1 y 2 z 2 . 1 2 1. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng d . A. T : x y 2 z 1 0 .. B. P : x 2 y z 1 0 .. C. Q : x 2 y z 1 0 .. D. R : x y z 1 0 .. Câu 122. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Trong không gian Oxyz cho điểm A 0; 3;1 và đường thẳng d :. x 1 y 1 z 3 . Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d 3 2 1. là: A. 3x 2 y z 5 0 .. B. 3x 2 y z 7 0 .. C. 3x 2 y z 10 0 . D. 3x 2 y z 5 0 . Câu 123. Trong không gian với hệ tọa độ O xyz cho điểm M 3; 1;1 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng : x 1 y 2 z 3 ? 3. A. x 2 y 3 z 3 0. B. 3 x 2 y z 8 0. C. 3 x 2 y z 12 0. D. 3 x 2 y z 12 0. 2. 1. Câu 124. (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Trong không gian Oxyz cho điểm A 0; 3;1 và đường thẳng d :. x 1 y 1 z 3 . Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng 3 2 1. d là A. 3x 2 y z 5 0 .. B. 3x 2 y z 7 0 .. C. 3x 2 y z 10 0 . D. 3x 2 y z 5 0 . Câu 125. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;3; 2 và đường thẳng d có phương. x 1 4t trình y t . Mặt phẳng P chứa điểm A và đường thẳng d có phương trình nào dưới đây? z 2 t A. 2 x y 2 z 1 0. . B. x y z 0. . C. 3 x 2 y 10 z 23 0. .. D. 2 x y 3 z 4 0.. x 1 2t Câu 126. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 2;0 và đường thẳng d : y t . Tìm phương trình z 1 t mặt phẳng P đi qua điểm A và vuông góc với d. A. 2 x y z 4 0 . B. x 2 y z 4 0 . C. 2 x y z 4 0 . D. 2 x y z 4 0 . Câu 127. (THPT Thuận Thành 3 - Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm x 1 4t . Mặt phẳng P chứa điểm A và A 1;3; 2 và đường thẳng d có phương trình y t z 2 t . đường thẳng d có phương trình nào dưới đây? A. 2 x y 2 z 1 0 . B. x y z 0 . C. 3x 2 y 10 z 23 0 .. D. 2 x y 3z 4 0 .. Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(347)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 128. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P đi qua điểm A 1;2;0 và vuông góc với đường thẳng. x 1 y z 1 có phương trình là 2 1 1 A. 2 x y z 4 0 .. B. 2 x y z 4 0 .. C. 2 x y z 4 0 .. D. 2 x y z 4 0 .. Câu 129. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua A 2; 3; 0 và vuông góc với. x 3 4 y z 7 . 1 2 5 A. x 2 y 5 z 10 0 . B. x 2 y 5 z 8 0 . C. 2 x 3 y 4 0 . D. x 2 y 5 z 4 0 . Câu 130. (Bắc Giang - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng đường thẳng d có phương trình:. x 1 y 2 z . Mặt phẳng P đi qua điểm M 2;0; 1 và vuông góc với d có phương 1 1 2 trình là ? A. P : x y 2 z 0 . B. P : x y 2 z 0 . C. P : x y 2 z 0 . D. P : x 2 y 2 0 . d:. x 3 y 2 z 1 . 1 2 1 Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M 2;0; 1 và vuông góc với d .. Câu 131. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :. A. P : x y 2 z 0 .. B. P : x 2 y 2 0 . C. P : x y 2 z 0 . D. P : x y 2 z 0 .. Câu 132. (SGD&ĐT Đồng Tháp - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng. x2 y2 z 3 và điểm A 1; 2;3 . Mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng 1 2 1 d có phương trình là:. d :. A. x y 2 z 9 0 .. B. x 2 y 3z 14 0 .. C. x y 2 z 9 0 .. D. x 2 y 3z 9 0 .. Câu 133. (THPT Thái Phiên - Hải Phòng 2018) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A 0;0;3 và đường thẳng d :. x 1 y 1 z . Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với 2 1 1. đường thẳng d là A. 2 x y z 3 0 .. B. 2 x y 2 z 6 0 . C. 2 x y z 3 0 . D. 2 x y z 3 0 .. Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(348)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chuyên đề 31. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Xác định phương trình đường thẳng 1. Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số và dạng chính tắc (nếu có), biết d đi qua điểm M ( x ; y ; z ) và có véctơ chỉ phương ud (a1 ; a2 ; a3 ). Qua M ( x ; y ; z ) Phương pháp. Ta có: d : VTCP : ud (a1 ; a2 ; a3 ). x x a1t Phương trình đường thẳng d dạng tham số d : y y a2t , (t ). z z a t 3 . Phương trình đường thẳng d dạng chính tắc d :. x x y y z z , (a1a2 a3 0). a1 a2 a3. 2. Dạng 2. Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của đường thẳng d đi qua A và B. Qua A (hay B) d B Phương pháp. Đường thẳng d : (dạng 1) A VTCP : u AB d 3. Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số và chính tắc (nếu có), biết d đi qua điểm M và song song với đường thẳng . u Qua M ( x ; y ; z ) (dạng 1) Phương pháp. Ta có d : d M VTCP : ud u 4. Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số và chính tắc (nếu có), biết d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng ( P) : ax by cz d 0. d u n d P Qua M M Phương pháp. Ta có d : (dạng 1) VTCP : ud n( P ) (a; b; c) P 5. Dạng 5. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P) và (Q) cho trước. Qua A ( P) (Q ) A Phương pháp. Ta có d : (dạng 1) d VTCP : u [ n , n ] d (P) (Q ) 6. Dạng 6. Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d1 , d 2 cho trước. u d2 u d1 Qua M Phương pháp. Ta có d : (dạng 1) d d1 VTCP : ud [ud1 , ud 2 ] d2 7. Dạng 7. Viết phương trình đường thẳng d qua M và song song với hai mặt phẳng ( P), (Q). Qua M Phương pháp. Ta có d : (dạng 1) VTCP : ud [nP , nQ ] 8. Dạng 8. Viết phương trình đường thẳng d qua M , vuông góc đường d và song song mặt ( P). Qua M Phương pháp. Ta có d : (dạng 1) VTCP : ud [ud , nP ] Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(349)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 9. Dạng 9. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt ( P), song song mặt (Q) và qua M . Qua M Phương pháp. Ta có d : (dạng 1) VTCP : ud [ nP , nQ ] 10. Dạng 10. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng d . Phương pháp. d Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A, vuông góc d . Qua A d Nghĩa là mặt phẳng ( P ) : A B P VTPT : nP ud Tìm B d ( P). Suy ra đường thẳng d qua A và B (dạng 1) Lưu ý: Trường hợp d là các trục tọa độ thì d AB, với B là hình chiếu của A lên trục. 11. Dạng 11. Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của đường thẳng d đi qua điểm M và cắt đường thẳng d1 và vuông góc d 2 cho trước. Phương pháp. Giả sử d d1 H , ( H d1 , H d ) d1 d2 H ( x1 a1t ; x2 a2t ; x3 a2t ) d1. M d H Vì MH d 2 MH .ud 2 0 t H . Qua M u d2 Suy ra đường thẳng d : (dạng 1) VTCP : ud MH Dạng 12. d đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và cắt hai đường thẳng d1 , d 2 : Cách 1: Gọi M1 d1 , M 2 d 2 Từ điều kiện M, M1 , M 2 thẳng hàng ta tìm được M1 , M 2 . Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d . Cách 2: Gọi P ( M 0 , d1 ) , Q ( M 0 , d 2 ) . Khi đó d P Q , do đó, một VTCP của d có thể chọn là a nP , nQ . Dạng 13. d nằm trong mặt phẳng P và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 : Tìm các giao điểm A d1 P , B d 2 P . Khi đó d chính là đường thẳng AB . Dạng 14. d song song với và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 : Viết phương trình mặt phẳng P chứa và d1 , mặt phẳng Q chứa và d 2 . Khi đó d P Q . Dạng 15. d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 , d 2 chéo nhau: MN d1 Cách 1: Gọi M d1 , N d 2 . Từ điều kiện , ta tìm được M , N . MN d 2 Khi đó, d là đường thẳng MN . Cách 2: – Vì d d1 và d d 2 nên một VTCP của d có thể là: a ad1 , ad 2 .. – Lập phương trình mặt phẳng P chứa d và d1 , bằng cách: + Lấy một điểm A trên d1 .. + Một VTPT của P có thể là: nP a , ad1 . – Tương tự lập phương trình mặt phẳng Q chứa d và d1 . Khi đó d P Q . Dạng 16. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt ( P ). Phương pháp: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và ( P). M Nếu ( P). Chọn một điểm M trên . H d Tìm H là hình chiếu của M lên ( P). P. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương .
<span class='text_page_counter'>(350)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Qua H Hình chiếu d : VTCP : ud u Nếu ( P) I . Chọn một điểm M I trên . Tìm H là hình chiếu của M lên ( P ). Hình chiếu vuông góc của lên ( P) là d IH . Dạng 17. Viết đường thẳng d là đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua mặt phẳng ( P). M Phương pháp: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và ( P). Nếu ( P). Chọn một điểm M trên . H Tìm H là hình chiếu của M lên ( P ). P Tìm M đối xứng với M qua ( P ). d M Qua M Đường thẳng đối xứng d : VTCP : ud u Nếu ( P) I . Chọn một điểm M trên . M Tìm H là hình chiếu của M lên ( P ). Tìm M đối xứng với M qua ( P ). H I Qua M P . Đường thẳng đối xứng d : VTCP : ud IM M d Dạng 1.1 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố vuông góc Câu 1. (Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz cho điểm A 1; 2;3 và đường thẳng d:. x 3 y 1 z 7 . Đường thẳng đi qua A , vuông góc với d và cắt trục Ox có phương trình 2 1 2. là. x 1 2t A. y 2t z t Câu 2.. x 1 t B. y 2 2t z 3 3t . x 1 2t C. y 2t z 3t . x 1 t D. y 2 2t z 3 2t . (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A1;0;2 , B 1; 2;1 , C 3;2;0 và. D 1;1;3. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng BCD có phương trình là x 1 t A. y 4t . z 2 2t. Câu 3.. x 1 t B. y 4 . z 2 2t. x 2 t C. y 4 4t . z 4 2t. x 1 t D. y 2 4t z 2 2t. (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :. x 3 y 3 z 2 ; 1 2 1. x 5 y 1 z 2 và mặt phẳng P : x 2 y 3z 5 0 . Đường thẳng vuông góc với P , 3 2 1 cắt d1 và d2 có phương trình là d2 :. x 1 y 1 z x 2 y 3 z 1 B. 3 2 1 1 2 3 x 3 y 3 z 2 x 1 y 1 z C. D. 1 2 3 1 2 3 A.. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(351)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 4.. (Mã. 101. -. 2019). Trong. không. Oxyz ,. gian. cho. các. điểm. A 1;2;0 , B 2;0;2 , C 2; 1;3 , D 1;1;3 . Đường thẳng đi qua C và vuông góc với mặt phẳng ABD có phương trình là. x 2 4t A. y 4 3t . z 2 t Câu 5.. x 4 2t B. y 3 t . z 1 3t . x 2 4t C. y 2 3t . z 2 t . x 2 4t D. y 1 3t . z 3 t . (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho các điểm A 2; 1;0 , B 1;2;1 , C 3; 2;0 ,. D 1;1; 3 . Đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng ABC có phương trình là: x 1 t A. y 1 t . z 2 3t . Câu 6.. x 1 t B. y 1 t . z 3 2t . (Mã 102 2018) Trong không gian. x t C. y t . z 1 2t Oxyz , cho điểm. x t D. y t . z 1 2t . A 2;1;3. và đường thẳng. x 1 y 1 z 2 . Đường thẳng đi qua A , vuông góc với d và cắt trục Oy có phương 1 2 2 trình là. d:. x 2t A. y 3 4t z 3t Câu 7.. x 2 2t B. y 1 t z 3 3t . x 2 2t C. y 1 3t z 3 2t . (Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz. cho. x 2t D. y 3 3t z 2t . A 0;0;2 , B 2;1;0 , C 1; 2; 1 và. D 2;0; 2 . Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BCD có phương trình là x 3 A. y 2 . z 1 2t Câu 8.. x 3t C. y 2t . z 2 t . x 3 3t D. y 2 2t . z 1 t . (Đề Minh Họa 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 1;0; 2 và đường thẳng. d có phương trình: cắt d . x 1 y z 2 A. 2 2 1 Câu 9.. x 3 3t B. y 2 2t . z 1 t . x 1 y z 1 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A , vuông góc và 1 1 2. x 1 y z 2 1 1 1 8 4 8 (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 2;1), B ( ; ; ) . Đường 3 3 3 thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) có phương. B.. trình là: 2 2 5 x y z 9 9 9 A. 1 2 2 1 5 11 x y z 3 3 6 C. 1 2 2. x 1 y z2 1 3 1. C.. x 1 y z 2 1 1 1. B.. x 1 y 8 z 4 1 2 2. D.. x 1 y 3 z 1 1 2 2. D.. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(352)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 10.. x 1 y z 2 và mặt phẳng 2 1 2 ( P ) : x y z 1 0 . Đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( P ) đồng thời cắt và vuông góc với d có. (Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :. phương trình là: x 1 t A. y 4t z 3t Câu 11.. x 3 t B. y 2 4t z 2 t . x 3 t C. y 2 4t z 2 3t . x 3 2t D. y 2 6t z 2 t . (Mã 123 2017) Trong không gian Oxyz cho điểm M 1; 1; 3 và hai đường thẳng x 1 y 3 z 1 x1 y z , : . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường 3 2 1 1 3 2 thẳng đi qua M và vuông góc với và . :. x 1 t A. y 1 t z 1 3t . Câu 12.. x 1 t C. y 1 t z 3 t . (Mã 104 2018) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng :. P : x 2 y z 3 0 . phương trình là: x 1 2t A. y 1 t z 2 Câu 13.. x t B. y 1 t z 3 t . Đường thẳng nằm trong x 3 B. y t z 2t . P. x 1 t D. y 1 t z 3 t x y 1 z 1 và mặt phẳng 1 2 1. đồng thời cắt và vuông góc với có. x 1 t C. y 1 2t z 2 3t . x 1 D. y 1 t z 2 2t . x 1 3t (Mã 123 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : y 2 t , z 2 . d2 :. x 1 y 2 z và mặt phẳng P : 2 x 2 y 3 z 0. Phương trình nào dưới đây là phương 2 1 2. trình mặt phẳng đi qua giao điểm của d1 và P , đồng thời vuông góc với d2 ? A. 2x y 2z 13 0 B. 2x y 2z 22 0 C. 2 x y 2 z 13 0 D. 2 x y 2 z 22 0 Câu 14.. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho. x 4 y 2 z 1 x 2 y 1 z 1 . Phương , d2 : 1 4 2 1 1 1 trình đường thẳng qua A , vuông góc với d1 và cắt d 2 là. A1; 1; 3 và hai đường thẳng d1 :. x 1 y 1 z 3 x 1 . B. 2 1 3 4 x 1 y 1 z 3 x 1 C. . D. 1 2 3 2. A.. Câu 15.. y 1 z 3 . 1 4 y 1 z 3 . 1 1. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;0;1 và đường thẳng d :. x 1 y 2 z 3 . Đường thẳng đi qua M , vuông góc với d và cắt Oz có phương 1 2 3. trình là Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(353)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 1 3t A. y 0 . z 1 t Câu 16.. x 1 3t B. y 0 . z 1 t . x 1 3t C. y t . z 1 t . x 1 3t D. y 0 . z 1 t . (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 1; 1;3 và. x 3 y 2 z 1 x 2 y 1 z 1 , d2 : . Phương trình đường thẳng d 1 1 1 3 3 1 đi qua A , vuông góc với đường thẳng d1 và cắt thẳng d 2 . hai đường thẳng d1 :. x 1 5 x 1 C. 6 A.. Câu 17.. y 1 4 y 1 5. z 3 x 1 . B. 2 3 z 3 x 1 . D. 3 2. y 1 2 y 1 1. z 3 . 3 z 3 . 3. (Hội 8 trường chuyên 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 1; 2 và hai đường thẳng. x t x y 1 z 2 d : y 1 4t , d : . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi 2 1 5 z 6 6t qua M , vuông góc với d và d ? x 1 17 x 1 C. 17. z2 x 1 y 1 z 2 . B. . 9 14 17 9 z2 x 1 y 1 z 2 . D. . 14 14 17 9 x 2 t x y7 z . Đường thẳng là đường vuông Câu 18. Cho hai đường thẳng d1 : y 1 t và d 2 : 1 3 1 z 1 t . A.. y 1 14 y 1 9. góc chung của d1 và d 2 . Phương trình nào sau đâu là phương trình của . x 2 y 1 z 2 x 2 y 1 z 1 . B. . 1 1 2 1 1 2 x 1 y 4 z 1 x 3 y 2 z 3 C. . D. . 1 1 2 1 1 2 Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng A.. x 1 y z 3 . Gọi là đường thẳng nằm 1 2 2 trình nào sau đây là phương trình tham số của ? x 2 4t x 3 4t A. y 3 5t . B. y 5 5t . C. z 3 7t z 4 7t d:. Câu 20.. P : 3x y z 0. và đường thẳng. trong P , cắt và vuông góc với d . Phương. x 1 4t y 1 5t . z 4 7t . x 3 4t D. y 7 5t . z 2 7t . Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 1;3 và hai đường thẳng: x 4 y 2 z 1 x 2 y 1 z 1 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A , , d2 : 1 4 2 1 1 1 vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d 2 . d1 :. A.. x 1 y 1 z 3 x 1 y 1 z 3 . B. . 2 1 1 6 1 5. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(354)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 1 y 1 z 3 x 1 y 1 z 3 C. . D. . 6 4 1 2 1 3. Câu 21.. x y3 z2 và mặt phẳng 2 1 3 P : x y 2 z 6 0 . Đường thẳng nằm trong P cắt và vuông góc với d có phương trình. Trong không gian. Oxyz , cho đường thẳng. d:. là?. x2 y2 z5 x 2 y 2 z 5 . . B. 1 7 3 1 7 3 x 2 y 4 z 1 x 2 y 4 z 1 C. D. . . 1 7 3 1 7 3 Câu 22. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2 y 3z 7 0 và hai đường thẳng A.. x3 y2 z 2 x 1 y 1 z 2 . Đường thẳng vuông góc mặt phẳng P và cắt ; d2 : 2 1 4 3 2 3 cả hai đường thẳng d1 ; d 2 có phương trình là d1 :. x7 y z 6 x 5 y 1 z 2 B. 1 2 3 1 2 3 x 4 y 3 z 1 x3 y2 z 2 C. D. 1 2 3 1 2 3. A.. x 1 t x 1 y 1 z Câu 23. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : và mặt và d 2 : y 1 2 1 1 z t phẳng P : x y z 1 0 . Đường thẳng vuông góc với P cắt d1 và d 2 có phương trình là. 13 9 4 1 3 2 y z x y z 5 5 5. 5 5 5. A. B. 1 1 1 1 1 1 7 2 x z y 1 x y z 5 5. C. D. . 1 1 1 1 1 1 Câu 24. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng đi qua điểm M 0;1;1 , vuông x. x t x y 1 z góc với đường thẳng d1 : y 1 t t và cắt đường thẳng d 2 : . Phương trình 2 1 1 z 1 của là?. x 0 A. y t . z 1 t . x 0 B. y 1 . z 1 t . x 0 C. y 1 t . z 1 . x 0 D. y 0 . z 1 t . Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 1;0; 2 và đường thẳng d có phương trình:. x 1 y z 1 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A , vuông góc và cắt d . 1 1 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 A. B. C. D. 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(355)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 26.. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; 0;1) và đường thẳng d :. x 1 y 2 z 3 . Đường thẳng đi qua M , vuông góc với d và cắt Oz có phương 1 2 3. trình là. x 1 3t x 1 3t x 1 3t x 1 3t A. y 0 . B. y 0 . C. y t . D. y 0 . z 1 t z 1 t z 1 t z 1 t Câu 27. Trong không gian với hệ trục Oxyz , đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau x2 y 3 z 4 x 1 y 4 z 4 và d 2 : có phương trình d1 : 2 3 5 3 2 1 x 2 y 2 z 3 x y 2 z 3 A. . B. . 2 3 4 2 3 1 x 2 y 2 z 3 x y z 1 C. . D. . 2 2 2 1 1 1 Câu 28. (Chuyên Nguyễn Huệ- 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x 1 y 3 z 3 . Phương trình tham số của đường 1 2 1 thẳng Δ đi qua A 0; 1; 4 , vuông góc với d và nằm trong P là:. Câu 29.. P : 2x y 2z 9 0. và đường thẳng d :. x 5t A. Δ : y 1 t . z 4 5t . x 2t B. Δ : y t . z 4 2t . x t C. Δ : y 1 . z 4 t . x t D. Δ : y 1 2t . z 4 t . (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng. x 1 y z 2 . Phương trình đường thằng nằm 2 1 3 trong mặt phẳng P , đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d là. P : x 2y z 4 0. và đường thẳng d :. x 1 5 x 1 C. 5. y 1 z 2 x 1 y 3 z 1 . B. . 1 2 5 1 3 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 . D. . 1 3 5 1 3 x 3 y 1 z Câu 30. (Sở Hà Nam - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : và mặt 2 1 1 phẳng P : x y 3 z 2 0 . Gọi d ' là đường thẳng nằm trong mặt phẳng P , cắt và vuông A.. góc với d . Đường thẳng d ' có phương trình là x 1 y z 1 x 1 y z 1 x 1 y z 1 A. . B. . C. . 2 5 1 2 5 1 2 5 1. x 1 y z 1 . 2 5 1 x 1 y 2 z 1 Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 : và 2 1 1 x 2 y 1 z 2 . Đường thẳng chứa đoạn vuông góc chung của 1 và 2 đi qua điểm 2 : 4 1 1 nào sau đây? A. M 0; 2; 5 . B. N 1; 1; 4 . C. P 2;0;1 . D. Q 3;1; 4 . D.. Dạng 1.2 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(356)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 32.. (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A 1; 2;3 và hai mặt phẳng. P : x y z 1 0 , Q : x y z 2 0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua A , song song với P và Q ? x 1 t x 1 t x 1 2t x 1 A. y 2 B. y 2 C. y 2 D. y 2 z 3 t z 3 t z 3 2t z 3 2t Câu 33. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm. x 2 y 5 z 2 và mặt phẳng P : 3 5 1 2 x z 2 0 . Viết phương trình đường thẳng qua M vuông góc với d và song song với P . M 1; 3; 4 , đường thẳng d có phương trình:. x 1 y 3 z 4 x 1 y 3 z 4 . B. : . 1 1 2 1 1 2 x 1 y 3 z 4 x 1 y 3 z 4 C. : . D. : . 1 1 2 1 1 2 Câu 34. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x y 2 z 3 0 và hai đường thẳng A. :. d1 :. x y 1 z 1 x 2 y 1 z 3 ; d2 : . Xét các điểm A, B lần lượt di động trên d1 và d 2 3 1 1 1 2 1. sao cho AB song song với mặt phẳng P . Tập hợp trung điểm của đoạn thẳng AB là A. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương u 9;8; 5 B. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương u 5;9;8 C. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương u 1; 2; 5 D. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương u 1;5; 2 Câu 35.. (THPT Lương Văn Can - 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3;2; 4 và mặt phẳng. x 2 y 4 z 1 . Phương trình nào sau đây là 3 2 2 phương trình đường thẳng đi qua A , song song P và cắt đường thẳng d ?. P : 3x 2 y 3z 7 0 ,. x 3 11t A. y 2 54t . z 4 47t . đường thẳng d :. x 3 54t B. y 2 11t . z 4 47t . x 3 47t C. y 2 54t . z 4 11t . x 3 11t D. y 2 47t . z 4 54t . Câu 36. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M 1; 3; 4 , đường thẳng. x 2 y 5 z 2 và mặt phẳng P : 2 x z 2 0 . Viết phương trình đường thẳng 3 5 1 qua M vuông góc với d và song song với P . d:. x 1 1 x 1 C. : 1 A. :. y3 1 y3 1. z4 . 2 z4 . 2. x 1 1 x 1 D. : 1 B. :. y3 1 y3 1. z4 . 2 z4 . 2. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(357)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 37. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm. P :. A 1; 2; 3 và hai mặt phẳng. x y z 1 0 , Q : x y z 2 0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường. thẳng đi qua A , song song với P và Q ?. x 1 A. y 2 z 3 2t . x 1 t B. y 2 z 3 t . x 1 2t C. y 2 z 3 2t . x 1 t D. y 2 z 3 t . Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;0; 1 và mặt phẳng P : x y 1 0 . Đường thẳng đi qua A đồng thời song song với P và mặt phẳng Oxy có phương trình là x 3 t A. y 2t . z 1 t . Câu 39.. x 2 t B. y t . z 1 . x 1 2t C. y 1 . z t . x 3 t D. y 1 2t . z t . (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A 3; 1;5 và cùng song song với hai mặt phẳng. P : x y z 4 0 , Q : 2x y z 4 0 . x 3 y 1 z 5 x 3 y 1 z 5 . B. . 2 1 3 2 1 3 x 3 y 1 z 5 x 3 y 1 z 5 C. . D. . 2 1 3 2 1 3 Câu 40. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng. A. d :. : x 2 y z 1 0 , : 2 x y z 0 và điểm A 1; 2; 1 . Đường thẳng song song với cả hai mặt phẳng , có phương trình là. đi qua điểm A và. x 1 y 2 z 1 x 1 y 2 z 1 . B. . 2 4 2 1 3 5 x 1 y 2 z 1 x y 2 z 3 C. . D. . 1 2 1 1 2 1 Câu 41. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;0;0 , B 0;2;0 , C 0;0;3 . Đường thẳng đi qua tâm A.. đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , song song với mặt phẳng Oxy và vuông góc với AB .. 13 13 13 13 x 98 t x 98 2t x 98 2t x 98 t 40 40 40 40 t . t . 2t . A. y 2t . B. y C. y D. y 49 49 49 49 135 135 135 135 z 98 z 98 z 98 z 98 Câu 42. (THPT Cẩm Bình 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x 1 t : x 2 z 6 0 và đường thẳng d : y 3 t . Viết phương trình đường thẳng nằm trong z 1 t . mặt phẳng cắt đồng thời vuông góc với d .. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(358)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x2 A. 2 x2 C. 2. y4 z2 x2 y4 z 2 . B. . 1 1 2 1 1 y 3 z 2 x2 y4 z2 . D. . 1 1 2 1 1 x 3 y 1 z 2 x 1 y z 4 Câu 43. Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng d1 : ; d2 : và 2 1 2 3 2 1 x3 y2 z d3 : . Đường thẳng song song với d3, cắt d1 và d2 có phương trình là 4 1 6 x 3 y 1 z 2 x 3 y 1 z 2 A. . B. . 4 1 6 4 1 6 x 1 y z 4 x 1 y z 4 C. . D. . 4 1 6 4 1 6 Câu 44. (SGD Cần Thơ 2019) Trong không gian Oxyz , cho các đường thẳng x 1 3t x 3 y 1 z 2 x3 y2 z d1 : , d 2 : y 2t , d 3 : . Đường thẳng song song với d 3 2 1 2 4 1 6 z 4 t và cắt đồng thời d1 và d 2 có phương trình là:. x 1 y z 4 x 1 y z 4 . B. . 4 1 6 4 1 6 x 3 y 1 z 2 x 3 y 1 z 2 C. . D. . 4 1 6 4 1 6 Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A.. M 1;3; 2 , đồng thời song song với giao tuyến của hai mặt phẳng. P : x y 3 0. và. Q : 2x y z 3 0 . x 1 3t A. y 3 t . z 2 t . x 1 3t B. y 3 t . z 2 t . x 1 t C. y 3 t . z 2 3t . x 1 t D. y 3 t . z 2 3t . x y 1 z 2 Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : , mặt phẳng 1 2 2 ( P) :2 x y 2 z 5 0 và điểm A 1;1; 2 . Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A song song với mặt phẳng ( P) và vuông góc với d là:. x 1 1 x 1 C. : 2 Câu 47. (SP Đồng. y 1 z 2 x 1 y 1 z 2 . B. : . 2 2 2 1 2 y 1 z 2 x 1 y 1 z 2 . D. : . 2 3 1 2 2 Nai - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x3 y 3 z và điểm A 1; 2; 1 . Viết phương trình P : x y z 9 0, đường thẳng d : 1 3 2 đường thẳng đi qua điểm A cắt d và song song với mặt phẳng P . A. :. x 1 y 2 z 1 x 1 y 2 z 1 . B. . 1 2 1 1 2 1 x 1 y 2 z 1 x 1 y 2 z 1 C. . D. . 1 2 1 1 2 1 A.. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(359)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 48. (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Trong không gian, cho mặt phẳng P : x y z 4 0 và điểm A 2; 1;3 . Gọi là đường thẳng đi qua A và song song với P , biết có một vectơ chỉ a phương là u a; b; c , đồng thời đồng phẳng và không song song với Oz . Tính . c a a a 1 a 1 A. 2 . B. 2 . C. . D. . c c c 2 c 2 Dạng 1.3 Phương trình đường thẳng hình chiếu, đối xứng Câu 49. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng. x 1 y 5 z 3 . Phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu vuông góc của d 2 1 4 trên mặt phẳng x 3 0 ? x 3 x 3 x 3 x 3 A. y 5 2t B. y 6 t C. y 5 t D. y 5 t z 3 t z 7 4t z 3 4t z 3 4t d:. Câu 50.. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : x y z 3 0 và đường. x y 1 z 2 . Hình chiếu vuông góc của d trên P có phương trình là 1 2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 4 z 5 A. B. 1 4 5 1 1 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 C. D. 1 4 5 3 2 1 Câu 51. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng : 2 x y z 3 0 và đường thẳng thẳng d :. d:. x 4 y 3 z 2 . Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d qua 3 6 1. mặt phẳng .. x y 5 z 4 x y 5 z 4 . B. . 11 17 2 11 17 2 x y 5 z 4 x y 5 z 4 C. . D. . 11 17 2 11 17 2 Câu 52. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường x 1 y 2 z 1 thẳng d : và mặt phẳng P : x y z 3 0 . Đường thẳng d là hình chiếu 2 1 3 của d theo phương Ox lên P , d nhận u a; b;2019 là một vectơ chỉ phương. Xác định A.. tổng a b . A. 2019 .. B. 2019 .. C. 2018 .. D. 2020 .. Câu 53. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng : x y z 6 0 và đường thẳng. x 1 y 4 z . Hình chiếu vuông góc của d trên có phương trình là 2 3 5 x 1 y 4 z 1 x y 5 z 1 A. . B. . 2 3 5 2 3 5 d:. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(360)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 5 y z 1 x y 5 z 1 C. . D. . 2 3 5 2 3 5 Câu 54. (KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. P : x y z 1 0. và đường thẳng d :. x 2 y 4 z 1 . Viết phương trình đường thẳng d 2 2 1. là hình chiếu vuông góc của d trên P .. x 2 y z 1 x 2 y z 1 . B. d : . 7 5 2 7 5 2 x 2 y z 1 x 2 y z 1 C. d : . D. d : . 7 5 2 7 5 2 A. d :. Câu 55.. (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x 1 y 2 z 1 và mặt phẳng ( P ) : x y z 3 0 . Đường thẳng d ' là hình chiếu của d 2 1 3 theo phương Ox lên ( P ) ; d ' nhận u a ; b ; 2019 làm một véctơ chỉ phương. Xác định tổng d:. a b . A. 2019 B. 2019 C. 2018 D. 2020 Câu 56. (THPT Đông Sơn 1 - Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng x y 1 z 2 . Hình chiếu của d trên P có phương 1 2 1 trình là đường thẳng d . Trong các điểm sau điểm nào thuộc đường thẳng d : A. M 2;5; 4 . B. P 1;3; 1 . C. N 1; 1;3 . D. Q 2;7; 6 .. P : x y z 3 0. Câu 57.. và đường thẳng d :. (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường. x 1 y 2 z 1 và mặt phẳng P : x y z 3 0 . Đường thẳng d là hình chiếu 2 1 3 của d theo phương Ox lên P , d nhận u a; b; 2019 là một vectơ chỉ phương. Xác định thẳng d :. nQ. Q. O. d. P. tổng a b .. x. A. 2019 . B. 2019 . C. 2018 . D. 2020 . Câu 58. (SGD Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng. x 1 y 1 z 2 và mặt phẳng P : 2 x y 2 z 1 0 . Gọi d là hình chiếu của đường 1 2 1 thẳng d lên mặt phẳng P , véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là A. u3 5; 6; 13 . B. u2 5; 4; 3 . C. u4 5;16;13 . D. u1 5;16; 13 . d:. Câu 59.. Trong d:. không. gian. Oxyz. cho. mặt. phẳng. P : x y z 3 0. và. đường. thẳng. x y 1 z 2 . Hình chiếu vuông góc của d trên P có phương trình là 1 2 1 Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(361)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 . B. . 1 4 5 3 2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 4 z 5 C. . D. . 1 4 5 1 1 1 Dạng 1.4 Xác định một số phương trình đường thẳng đặc biệt (phân giác, trung tuyến, giao tuyến…) Hai đường thẳng d1 , d 2 cắt nhau tại điểm A x0 ; y0 ; z0 và có vécto chỉ phương |ân lượt là u1 a1 ; b1; c1 , u2 a2 ; b2 ; c2 . A.. Đường thẳng phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này có vécto chỉ phương được xác định theo công thức 1 1 1 1 u u1 u2 a1; b1; c1 2 2 2 a2 ; b2 ; c2 2 2 2 u1 u2 a1 b1 c1 a2 b2 c2 Chi tiết có hai phân giác: 1 1 Nếu u1 u2 0 u u1 u2 là vécto chỉ phương của phân u1 u2 1 1 giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng và u u1 u2 là vécto chỉ phương của phân giác tạo u1 u2 bởi góc tù giữa hai đường thẳng. 1 1 Nếu u1 u2 0 u u1 u2 là vécto chỉ phương của phân u1 u2 1 1 giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng và u u1 u2 là vécto chỉ phương của phân giác tạo bởi u1 u2 góc nhọn giữa hai đường thẳng.. x 1 3t Câu 60. (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 3 . Gọi là đường thẳng z 5 4t đi qua điểm A 1; 3;5 và có vectơ chỉ phương u 1; 2; 2 . Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi. d và có phương trình là x 1 2t A. y 2 5t B. z 6 11t . x 1 2t y 2 5t z 6 11t . x 1 7t C. y 3 5t z 5 t . x 1 t D. y 3 z 5 7t . x 1 7t Câu 61. (Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 1 4t . Gọi là đường thẳng z 1 đi qua điểm A 1;1;1 và có vectơ chỉ phương u 1; 2; 2 . Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và có phương trình là.. x 1 2t A. y 10 11t z 6 5t Câu 62.. x 1 2t B. y 10 11t z 6 5t . x 1 3t C. y 1 4t z 1 5t . x 1 7t D. y 1 t z 1 5t . x 1 3t (Mã 104 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 1 4t . Gọi là đường thẳng z 1 . Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(362)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 đi qua điểm A 1;1;1 và có vectơ chỉ phương u 2;1; 2 . Đường phân giác của góc nhọn tạo. bởi d và có phương trình là.. x 1 27t A. y 1 t z 1 t Câu 63.. x 18 19t B. y 6 7t z 11 10t . x 18 19t C. y 6 7t z 11 10t . x 1 t D. y 1 17t z 1 10t . x 1 t (Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 2 t . Gọi là đường thẳng z 3 . . đi qua điểm A(1;2;3) và có vectơ chỉ phương u (0; 7; 1). Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và có phương trình là x 1 5t x 1 6t x 4 5t x 4 5t A. y 2 2t . B. y 2 11t . C. y 10 12t . D. y 10 12t . z 3 t z 3 8t z 2 t z 2 t Câu 64. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A 1;3;2 , B 2;0;5 , C 0; 2;1 . Viết phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC . x 1 y 3 z 2 2 4 1 x 1 y 3 z 2 C. AM : 2 4 1. A. AM :. Câu 65.. x 1 y 3 z 2 2 4 1 x 2 y 4 z 1 D. AM : 1 1 3. B. AM :. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian Oxyz , cho A 2;0;0 , đường thẳng d đi qua A cắt chiều âm trục Oy tại điểm B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 1. Phương trình tham số đường thẳng d là. x 1 2t A. y t . z 0 . x 2 2t x 2 2t C. y t . D. y t . z 0 z 1 8 4 8 Câu 66. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(2; 2;1), B ( ; ; ) . Đường phân giác trong của tam giác 3 3 3 OAB có phương trình là x 0 x 4t x 14t x 2t A. y t B. y t C. y 2t D. y 14t z t z t z 5t z 13t Câu 67.. x 2 2t B. y t . z 0 . (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng x 4 t x 5 y 11 z 5 . Đường thẳng d đi qua A 5; 3;5 cắt d1 ; d 2 lần lượt ở d1 y 4 t ; d 2 : 2 4 2 z 6 2t B, C .Tính tỉ sô. 1 1 . D. . 2 3 (THPT Gang Thép Thái Nguyên -2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 2. A. 2 . Câu 68.. AB . AC B. 3 .. điểm M 1;2;3 , A 2;4;4 và hai mặt phẳng. C.. P : x y 2 z 1 0 , Q : x 2 y z 4 0.. Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(363)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Viết phương trình đường thẳng đi qua M , cắt ( P), (Q ) lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC cân tại A và nhận AM làm đường trung tuyến. x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 A. . B. . 1 1 1 2 1 1 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 C. . D. . 1 1 1 1 1 1 Câu 69. (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A(2;1; 0), B (3; 0; 2), C (4;3; 4) . Viết phương trình đường phân giác trong góc A.. x2 A. y 1 t z 0 Câu 70.. x 2 B. y 1 z t . x 2 t C. y 1 z 0 . x 2 t D. y 1 z t . (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường x 1 y z 2 , mặt phẳng P : x y 2 z 5 0 và A 1; 1; 2 . Đường thẳng cắt 2 1 1 d và P lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Một vectơ chỉ. thẳng d :. phương của là A. u 4; 5; 13 . Câu 71.. B. u 2 ; 3; 2 .. C. u 1; 1; 2 .. D. u 3; 5; 1 .. (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD biết A 1;0;1 , B 1;0; 3 và điểm D có hoành độ âm. Mặt phẳng ABCD đi qua gốc tọa độ O . Khi đó đường thẳng d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có phương trình x 1 x 1 x 1 x t A. d : y t . B. d : y t . C. d : y t . D. d : y 1 . z 1 z 1 z 1 z t . Câu 72.. (THPT Nghen - Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 :. x 1 y 2 z 1 x 1 y 2 z 1 và 2 : cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng P . 1 2 3 1 2 3. Lập phương trình đường phân giác d của góc nhọn tạo bởi 1 , 2 và nằm trong mặt phẳng P .. Câu 73.. x 1 , t . A. d : y 2 z 1 t . x 1 t , t . B. d : y 2 z 1 2t . x 1 t C. d : y 2 2t , t . z 1 t . x 1 t D. d : y 2 2t , t z 1 . (Quảng Xương - Thanh Hóa - 2018) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC biết A 1; 0; 1 , B 2;3; 1 , C 2;1;1 . Phương trình đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp. của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ABC là:. x 3 y 1 z 5 x y2 z . . B. 3 1 5 3 1 5 x 1 y z 1 x 3 y 2 z 5 C. . D. . 1 2 2 3 1 5 A.. Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(364)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 74.. (SGD Bắc Giang - 2018) Trong không gian Oxyz , cho tam giác nhọn ABC có H 2; 2;1 ,. 8 4 8 K ; ; , O lần lượt là hình chiếu vuông góc của A , B , C trên các cạnh BC , AC , AB . 3 3 3 Đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng ABC có phương trình là. 8 2 2 x y z x 4 y 1 z 1 3 3 3. A. d : . B. d : 1 2 2 1 2 2 4 17 19 x y z x y 6 z 6 9 9 9 . C. d : D. d : . 1 2 2 1 2 2 Câu 75. (Chuyên Vinh - 2018) Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A 2;3;3 , phương trình đường trung tuyến kẻ từ B là. x3 y 3 z 2 , phương trình đường phân giác trong của góc 1 2 1. x2 y4 z2 C là . Đường thẳng AB có một véc-tơ chỉ phương là 2 1 1 A. u 3 2;1; 1 . B. u 2 1; 1;0 . C. u 4 0;1; 1 . D. u1 1; 2;1 . Câu 76.. (Chuyên Quang Trung- Bình Phước 2019) Trong không gian O xyz , cho mặt phẳng. x 1. P : x y z 3 0 và đường thẳng d : . y 1 z 2 . Đường thẳng d ' đối xứng với d 2 1. qua mặt phẳng P có phương trình là. x 1 1 x 1 C. 1. x 1 y 1 z 1 . 1 2 7 x 1 y 1 z 1 D. . 1 2 7 x 1 3t Câu 77. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 3 . Gọi là đường thẳng đi qua điểm z 5 4t A 1; 3;5 và có vectơ chỉ phương u 1; 2; 2 . Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và có A.. y 1 z 1 . 2 7 y 1 z 1 . 2 7. phương trình là x 1 2t A. y 2 5t . z 6 11t Câu 78. (THPT Ninh. B.. x 1 2t B. y 2 5t . z 6 11t . Bình-Bạc. P : 2 x y z 10 0 ,. Liêu-2019). điểm A 1;3; 2 . x 1 7t C. y 3 5t . z 5 t . Trong. không. gian. x 1 t D. y 3 . z 5 7t . Oxyz ,. cho. mặt. phẳng. x 2 2t và đường thẳng d : y 1 t . Tìm phương trình z 1 t . đường thẳng cắt P và d lần lượt tại hai điểm M và N sao cho A là trung điểm của đoạn MN .. x6 7 x6 C. 7 A.. y 1 4 y 1 4. z 3 x 6 y 1 z 3 . B. . 1 7 4 1 z3 x 6 y 1 z 3 . D. . 1 7 4 1 Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(365)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 79. (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng : x 3 y z 1 0 , : 2 x y z 7 0 . x2 y z 3 x 2 y z 3 B. 2 3 7 2 3 7 x y 3 z 10 x 2 y z 3 C. D. 2 3 7 2 3 7 Câu 80. Đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng: x z 5 0 và x 2 y z 3 0 thì có phương. A.. trình là x 2 y 1 z x 2 y 1 z A. B. 1 3 1 1 2 1 x 2 y 1 z 3 x 2 y 1 z 3 C. D. 1 1 1 1 2 1 Câu 81. (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi là mặt phẳng chứa đường x2 y 3 z và vuông góc với mặt phẳng : x y 2z 1 0 . Hỏi giao tuyến 1 1 2 của và đi qua điểm nào?. thẳng ( d ) :. A. 0;1;3 . Câu 82.. C. 5;6;8 . D. 1; 2;0 . (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Đường thẳng là giao của hai mặt phẳng x z 5 0 và x 2 y z 3 0 thì có phương trình là x2 1 x2 C. 1. A.. Câu 83.. B. 2;3;3 .. y 1 3 y 1 1. z x2 . B. 1 1 z 3 x2 . D. 1 1. y 1 2 y 1 2. z . 1 z 3 . 1. x 2 3t (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : y 3 t và z 4 2t . x4 y 1 z . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng 3 1 2 chứa d và d , đồng thời cách đều hai đường thẳng đó. x3 y2 z2 x3 y2 z2 A. B. . 3 1 2 3 1 2 x3 y2 z2 x3 y2 z2 C. D. 3 1 2 3 1 2 Câu 84. (THPT Nghen - Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d :. x 2 t x 4 y 1 z . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng d : y 1 2t và d : 1 2 2 z 4 2t . thuộc mặt phẳng chứa d và d đồng thời cách đều hai đường thẳng đó. x3 y2 z 2 x 2 y 1 z 4 A. . B. . 1 2 2 3 1 2 x3 y z 2 x3 y2 z 2 C. . D. . 1 2 2 1 2 2. Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(366)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 85.. (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d và mặt phẳng. x 1 y z 2 và x y 2z 8 0 , điểm P lần lượt có phương trình 2. 1. 1. A 2; 1;3 . Phương trình đường thẳng cắt d và P lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN là: x 1 y 5 z 5 A. 3 4 2 x 5 y 3 z 5 C. 6 1 2. x 2 y 1 z 3 6 1 2 x 5 y 3 z 5 D. 3 4 2. B.. Dạng 2. Bài toán tìm điểm Tìm hình chiếu H của điểm M lên mặt phẳng ( P) : ax by cz d 0 M Viết phương trình đường thẳng MH qua M và vuông góc với ( P), khi đó: x x a1t x ? y y a t H 2 P t y ? H. H d ( P) thỏa z z a3t z ? ax by cz d 0 M Lưu ý: Để tìm điểm đối xứng M của điểm M qua ( P) H là trung điểm MM . Tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng d . Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua M và vuông góc với d , khi đó: M x x a1t x ? d H y y a t 2 H d ( P) thỏa t y ? H. M z z a3t z ? ax by cz d 0 P Lưu ý: Để tìm điểm đối xứng M của điểm M qua d H là trung điểm MM . Câu 1. (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 1; 2 , B 1; 2; 3. x 1 y 2 z 1 . Tìm điểm 1 1 2 MA2 MB 2 28 , biết c 0 . 7 2 1 7 2 1 A. M ; ; B. M ; ; 6 3 3 6 6 6 và đường thẳng. C. M 1; 0; 3 Câu 2.. d:. thuộc. d. sao cho. D. M 2; 3; 3. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , tọa độ hình chiếu vuông góc x y z của M 1; 0;1 lên đường thẳng : là 1 2 3 1 1 A. 2; 4;6 . B. 1; ; . C. 0;0;0 . 2 3. Câu 3.. M a; b; c . 2 4 6 D. ; ; . 7 7 7. x 1 t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (4;0;0) và đường thẳng : y 2 3t . Gọi z 2t . H (a; b;c) là hình chiếu của M lên . Tính a+b+c. A. 5 . B. 1. C. 3 .. D. 7 .. Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(367)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 4.. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu H của. x 1 t A 1;1;1 lên đường thẳng d : y 1 t . z t. Câu 5.. 4 4 1 A. H ( ; ; ). B. H 1;1;1 . C. H (0 ; 0 ; -1). D. H (1 ; 1 ; 0). 3 3 3 (THPT Quang Trung Dống Da Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm x 6 4t A 1;1;1 và đường thẳng d : y 2 t . Tìm tọa độ hình chiếu A của A trên d . z 1 2t A. A(2;3;1) . B. A(2;3;1) . C. A(2 ; 3;1) . D. A(2; 3; 1) .. Câu 6.. Trong không gian Oxyz , cho hình thang cân ABCD có đáy là AB và CD . Biết A 3;1; 2 ,. B 1;3; 2 , C 6;3; 6 và D a ; b ; c với a , b , c . Giá trị của a b c bằng Câu 7.. A. 3 . B. 1. C. 3 . D. 1. (THPT Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng. d:. x 1 y z 2 và hai điểm A 1;3;1 ; B 0; 2; 1 . Gọi C m; n; p là điểm thuộc đường 2 1 1. thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2 2 . Giá trị của tổng m n p bằng. Câu 8.. Câu 9.. A. 1. B. 2. C. 3. A. 1;0; 4 .. B. 7;1; 1 .. C. 2;1; 2 .. D. 5 x 1 y 3 z 2 (Chuyên Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : và 1 2 2 điểm A 3; 2;0 . Điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là D. 0; 2; 5 .. (Sở Bình Phước -2019) Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ điểm M 2; 4; 1 tới đường. x t thẳng : y 2 t bằng z 3 2t A.. 14. B.. 6. C. 2 14. D. 2 6. Câu 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , Gọi M a; b; c . thuộc đường thẳng. x y 1 z 2 . Biết điểm M có tung độ âm và cách mặt phẳng Oyz một khoảng bằng 2. 1 2 3 Xác định giá trị T a b c . A. T 1 . B. T 11 . C. T 13 . D. T 1 . :. Câu 11.. Trong không gian Oxyz , cho A 2;0;0 , đường thẳng d đi qua A cắt chiều âm trục Oy tại điểm B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 1. Phương trình tham số đường thẳng d là. x 1 2t A. y t . z 0 . x 2 2t B. y t . z 0 . x 2 2t C. y t . z 0 . x 2 2t D. y t . z 1 . Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(368)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 12.. (Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng :. x 2 y z 1 . 3 1 2. Gọi M là giao điểm của với mặt phẳng P : x 2 y 3z 2 0 . Tọa độ điểm M là A. M 2;0; 1 . Câu 13.. B. M 5; 1; 3 .. C. M 1;0;1 .. D. M 1;1;1 .. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A 3; 2; 1 lên mặt phẳng : x y z 0 là:. 5 2 7 1 1 1 B. ; ; . C. 1;1; 2 . D. ; ; . 3 3 3 2 4 4 Câu 14. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , hình chiếu của điểm M 1;0;3 theo phương véctơ v 1; 2;1 trên mặt phẳng P : x y z 2 0 có. A. 2;1;1 .. tọa độ là A. 2; 2; 2 . Câu 15.. B. 1;0;1 .. C. 2; 2; 2 .. D. 1;0; 1 .. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong không gian Oxyz , giao điểm của mặt phẳng. P : 3x 5 y z 2 0. và đường thẳng :. x 12 y 9 z 1 là điểm M x0 ; y0 ; z0 . Giá trị 4 3 1. tổng x0 y0 z0 bằng A. 1. Câu 16.. B. 2 .. C. 5 .. D. 2 .. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A 1;0;0 , B 0;2;0 , C 0;0;3 và x t d : y 2 t . Gọi M ( a ; b; c ) là tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng ABC . Tổng S a b c là: z 3 t . A. -7. B. 11. C. 5. D. 6. Câu 17. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. P : 6 x 2 y z 35 0. và điểm A 1;3;6 . Gọi A ' là điểm đối xứng với A qua P , tính. OA '. A. OA 5 3 Câu 18.. B. OA 46. C. OA 186. D. OA 3 26. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xác định tọa độ điểm M là hình chiếu vuông góc của điểm M 2;3;1 lên mặt phẳng : x 2 y z 0 .. 5 5 3 A. M 2; ;3 . B. M 1;3;5 . C. M ; 2; . D. M 3;1; 2 . 2 2 2 Câu 19. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian Oxyz , điểm M đối xứng với. điểm M 1; 2; 4 qua mặt phẳng : 2 x y 2 z 3 0 có tọa độ là A. 3;0;0 . Câu 20.. B. 1;1; 2 .. C. 1; 2; 4 .. D. 2;1;2 .. (KSCL THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 2; 1 ,đường x 1 y 1 z 2 và mặt phẳng P : x y 2 z 1 0 . Điểm B thuộc mặt phẳng P 2 1 1 thỏa mãn đường thẳng AB vuông góc và cắt đường thẳng d . Tọa độ điểm B là A. (6; 7; 0) B. (3; 2; 1) C. ( 3;8; 3) D. (0;3; 2). thẳng d :. Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(369)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 21.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi d là đường thẳng qua A1;0;2 , cắt và vuông góc với đường thẳng d1 : A. P 2; 1;1 .. Câu 22.. x 1 y z 5 . Điểm nào dưới đây thuộc d ? 1 1 2 B. Q 0; 1;1 . C. N 0; 1; 2 . D. M 1; 1;1 .. Trong không gian Oxyz , cho tam giác đều ABC với A 6;3;5 và đường thẳng BC có phương x 1 t trình tham số y 2 t . Gọi là đường thẳng qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông z 2t . góc với mặt phẳng ABC . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng ? A. M 1; 12;3 . Câu 23.. B. N 3; 2;1 .. C. P 0; 7;3 .. D. Q 1; 2;5 .. x 1 y z 2 2 1 1 và hai điểm A 1;3;1 , B 0; 2; 1 . Gọi C m ; n ; p là điểm thuộc d sao cho diện tích tam giác (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :. ABC bằng 2 2 . Giá trị của tổng m n p bằng A. 1 . B. 2. C. 3. Câu 24.. (Đà Nẵng 2019) Trong không gian. Oxyz . D. 5 . x2 y4 z cho hai đường thẳng và 1 1 2. x 3 y 1 z 2 . Gọi M là trung điểm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng trên. Tính 2 1 1 đoạn OM .. 14 . B. OM 5 . C. OM 2 35 . D. OM 35 . 2 (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho P : x 2 y z 0. A. OM Câu 25.. và đường thẳng d :. x 1 y z 2 . Đường thẳng d cắt P tại điểm A . Điểm M a; b; c thuộc 2 1 1. đường thẳng d và có hoành độ dương sao cho AM 6 . Khi đó tổng S 2016a b c là A. 2018 . B. 2019 . C. 2017 . D. 2020 . x 1 y 1 z x y 1 z Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : , d2 : . Đường 1 1 2 1 2 1 thẳng d đi qua A 5; 3;5 lần lượt cắt d1 , d 2 tại B và C. Độ dài BC là A. 19 . Câu 27.. B. 19 .. C. 3 2 .. D. 2 5 .. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 3;3; 2 và hai đường thẳng. x 1 y 2 z x 1 y 1 z 2 . Đường thẳng d đi qua M căt d1 , d 2 lần lượt tại ; d2 : 1 3 1 1 2 4 A và B . Độ dài đoạn thẳng AB bằng. d1 :. A. 3 . Câu 28.. B.. 6.. C. 4 .. D. 2 .. x 2 t Cho ba điểm A 1;1;1 , B 0; 0; 2 , C 2;3; 2 và đường thẳng : y 1 t . z t . Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(370)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Biết điểm M a ; b; c với a 0 thuộc mặt phẳng ABC sao cho AM và AM 14 . Tính giá trị của biểu thức T a b c . A. T 1 . B. T 5 . Câu 29.. C. T 7 .. D. T 6 .. (Chuyên Đh Vinh - 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 2; 1 , đường thẳng. x 1 y 1 z 2 và mặt phẳng P : x y 2 z 1 0 . Điểm B thuộc mặt phẳng P thỏa 2 1 1 mãn đường thẳng AB vuông góc và cắt đường thẳng d . Tọa độ điểm B là A. 3; 2; 1 . B. 3;8; 3 . C. 0;3; 2 . D. 6; 7; 0 . d:. Câu 30.. (SGD Bạc Liêu - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x 3 t : y 1 t , t , điểm M 1;2; 1 và mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 4 x 10 y 14 z 64 0 . z 2 t Gọi là đường thẳng đi qua M cắt đường thẳng tại A , cắt mặt cầu tại B sao cho AM 1 và điểm B có hoành độ là số nguyên. Mặt phẳng trung trực đoạn AB có phương trình là AB 3 A. 2 x 4 y 4 z 19 0 . B. 3x 6 y 6 z 62 0 .. C. 2 x 4 y 4 z 43 0 . D. 3x 6 y 6 z 31 0 . Dạng 3. Bài toán liên quan đến góc – khoảng cách 1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Khoảng cách từ điểm M ( xM ; yM ; zM ) đến mặt phẳng ( P) : ax by cz d 0 được xác định bởi công thức: d ( M ;( P)) . axM byM czM d. a2 b2 c2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng Cho hai mặt phẳng song song ( P) : ax by cz d 0 và (Q) : ax by cz d 0 có cùng véctơ pháp tuyến, khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là d (Q), ( P) . d d. a b2 c 2 2. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng – Khoảng cách giữa hai đường thẳng Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng d qua điểm M có véctơ chỉ phương ud được xác M M , ud định bởi công thức d ( M , d ) ud 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d đi qua điểm M và có véctơ chỉ phương u và u , u.M M d đi qua điểm M và có véctơ chỉ phương u là d ( d , d ) u , u 3. Góc giữa hai véctơ Cho hai véctơ a (a1 ; a2 ; a3 ) và b (b1 ; b2 ; b3 ). Khi đó góc giữa hai véctơ a và b là góc nhợn hoặc tù.. Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(371)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. a1b1 a2b2 a3b3 a.b cos(a; b ) với 0 180. 2 a .b a1 a22 a32 . b12 b22 b32. 4. Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng ( P ) : A1 x B1 y C1 z D1 0 và (Q) : A2 x B2 y C2 z D2 0.. nP .nQ cos ( P), (Q) cos nP . nQ. A1 A2 B1 B2 C1C2 2 1. A B12 C12 . A22 B22 C22. với 0 90.. 5. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa hai đường thẳng d1 và d 2 có véctơ chỉ phương u1 (a1 ; b1 ; c1 ) và u2 (a2 ; b2 ; c2 ).. u1.u2 a1a2 b1b2 c1c2 cos( d1 ; d 2 ) cos với 0 90. 2 u1 . u2 a1 b12 c12 . a22 b22 c22 6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc giữa đường thẳng d có véctơ chỉ phương ud (a; b; c) và mặt phẳng ( P) có véctơ pháp tuyến n( P ) ( A; B; C ) được xác định bởi công thức: ud .n( P ) aA bB cC với 0 90. sin cos(n( P ) ; ud ) ud . n( P ) a 2 b 2 c 2 A2 B 2 C 2. Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 4 x 7 y z 25 0 và đường thẳng. x 1 y z 1 . Gọi d1 ' là hình chiếu vuông góc của d1 lên mặt phẳng P . Đường thẳng 1 2 1 d 2 nằm trên P tạo với d1 , d1 ' các góc bằng nhau, d 2 có vectơ chỉ phương u2 a; b; c . Tính. d1 :. a 2b . c a 2b 2 a 2b a 2b 1 a 2b . 0. . 1. A. B. C. D. c 3 c c 3 c Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3;1;7 , B 5;5;1 và mặt phẳng. P :2 x y z 4 0 .. Điểm M thuộc. P. sao cho MA MB 35. Biết M có hoành độ. nguyên, ta có OM bằng A. 2 2 . B. 2 3 . C. 3 2 . D. 4 . Câu 33. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường x t x 1 y 2 z 1 0 thẳng d1 : , d 2 : y 0 . Mặt phẳng P qua d1 tạo với d2 một góc 45 và 2 2 1 z t nhận vectơ n 1; b; c làm một vectơ pháp tuyến. Xác định tích bc.. A. 4 hoặc 0. Câu 34.. B. 4 hoặc 0.. C. 4 .. D. 4 .. (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng. Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(372)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x t x 1 y 2 z 1 và d 2 : y 0 . Mặt phẳng P qua d1 tạo với d 2 một góc 45o và nhận d1 : 2 2 1 z t véctơ n 1; b ; c làm một véctơ pháp tuyến. Xác định tích bc . A. 4 hoặc 0 B. 4 hoặc 0 C. 4 D. 4 Câu 35. (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2019) rong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng x t x 1 y 2 z 1 d1 : và d 2 : y 0 . Mặt phẳng P qua d1 , tạo với d 2 một góc 45 và nhận 2 2 1 z t . vectơ n 1; b; c làm một vec tơ pháp tuyến. Xác định tích b.c .. A. 4 .. B. 4 .. C. 4 hoặc 0 .. D. 4 hoặc 0 . x 3 y 2 z 1 Câu 36. Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : , mặt phẳng 2 1 1 ( P) : x y z 2 0 . Gọi M là giao điểm của d và ( P) . Gọi là đường thẳng nằm trong ( P) vuông góc với d và cách M một khoảng x5 y 2 z 4 x 1 y 1 A. . B. 2 3 1 2 3 x 3 y 4 z 5 C. . D. Đáp án khác. 2 3 1 Câu 37. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng. 42 . Phương trình đường thẳng là z 1 . 1. 2019) Trong không gian. Oxyz ,. đường thẳng. x t d : y 1 2t , t , cắt mặt phẳng P : x y z 3 0 tại điểm I . Gọi là đường thẳng z 2 t nằm trong mặt phẳng P sao cho d và khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng bằng. 42 . Tìm tọa độ hình chiếu M a; b; c ( với a b c ) của điểm I trên đường thẳng . A. M 2;5; 4 . Câu 38.. (Chuyên. Đại. B. M 6; 3;0 . Học. Vinh. 2019). C. M 5; 2; 4 . Trong. không. gian. D. M 3;6;0 . Oxyz cho. ba. đường. thẳng. x y z 1 x 3 y z 1 x 1 y 2 z , 1 : , 2 : . Đường thẳng vuông góc với d 1 1 2 2 1 1 1 2 1 đồng thời cắt 1 , 2 tương ứng tại H , K sao cho độ dài HK nhỏ nhất. Biết rằng có một vectơ chỉ phương u h; k ;1 . Giá trị h k bằng d:. A. 0. B. 4. C. 6. D. 2. Câu 39. (Hội 8 trường chuyên 2019) Trong không gian Oxyz , gọi d là đường thẳng đi qua O , thuộc mặt phẳng Oyz và cách điểm M 1; 2;1 một khoảng nhỏ nhất. Côsin của góc giữa d và trục tung bằng 2 A. . 5. B.. 1 . 5. C.. 1 . 5. D.. 2 . 5. Facebook Nguyễn Vương 25.
<span class='text_page_counter'>(373)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 40.. (Sở Cần Thơ - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;1;1 , mặt phẳng P : x z 1 0. x 1 t và đường thẳng d : y 2 . Gọi d1 ; d 2 là các đường thẳng đi qua A , nằm trong P và đều z 2 t có khoảng cách đến đường thẳng d bằng. 6 . Côsin của góc giữa d1 và d 2 bằng. 3 2 1 2 . B. . C. . D. . 3 3 3 3 (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng. A. Câu 41.. x3 y 3 z , mặt phẳng P : x y z 3 0 và điểm A 1; 2; 1 . Cho đường thẳng 1 3 2 đi qua A , cắt d và song song với mặt phẳng P . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến. d :. 4 3 . 3 x 1 y 2 z Câu 42. (Kim Liên - Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : và 2 1 1 x 1 4t d 2 : y 1 2t . z 2 2t . 3.. A.. B.. 16 . 3. C.. 2 3 . 3. D.. Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho bằng?. 87 174 174 . B. . C. . 6 6 3 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 3;1; 2 ,. A. Câu 43.. P : x y 3z 14 0 .. 87 . 3 B 3; 1;0 và mặt phẳng D.. Điểm M thuộc mặt phẳng P sao cho MAB vuông tại M . Tính. khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng Oxy . A. 5. Câu 44.. B. 4.. C. 3.. D. 1.. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A 2;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0;6 và. D 1;1;1 . Gọi là đường thẳng qua D và thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm A, B, C đến. là lớn nhất. Khi đó đi qua điểm nào dưới đây? A. 4;3;7 . B. 1; 2;1 . C. 7;5;3 . Câu 45.. D. 3;4;3 .. (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Tính khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng d1 ; d 2 tới. x 1 y z 1 x 1 y z 1 ; d2 : ; P : 2x 4 y 4z 3 0 . 2 3 3 2 1 1 4 7 13 5 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 3 Câu 46. (THPT Hậu Lộc 2 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x y 2 z 3 0 và mặt phẳng P trong đó: d1 :. đường thẳng : A.. 2 3. x 1 y 1 x 1 . Khoảng cách giữa và P là 2 2 1 8 2 B. C. D. 1 3 9. Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(374)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 47.. x 0 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho đường thẳng d : y 3 t .Gọi P là mặt phẳng chứa z t . đường thẳng d và tạo với mặt phẳng Oxy một góc 45 .Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng. P ? A. M 3;2;1 . Câu 48.. C. P 3; 1;2 .. D. M 3; 1; 2 .. (Chuyên Hà Tĩnh 2019)) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng. d:. x 5 y 7 z 12 và mặt phẳng : x 2 y 3z 3 0 . Gọi M là giao điểm của d và 2 2 1. , Câu 49.. B. N 3;2; 1 .. A. 2 . (Hội. A thuộc d sao cho AM 14 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng . 8. trường. B. 3 . C. 6 . chuyên 2019) Trong không. gian. D. 14 . Oxyz , cho 2. đường. thẳng. x 1 y 2 z 1 x 1 y 1 z 2 và d 2 : . Mặt phẳng P : x ay bz c 0 c 0 1 1 2 2 1 1 song song với d1 , d 2 và khoảng cách từ d1 đến P bằng 2 lần khoảng cách từ d 2 đến P . Giá d1 :. trị của a b c bằng A. 14 . Câu 50.. B. 6 .. C. 4.. D. 6 .. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai điểm A 3;3;1 , B 0; 2;1 và mặt phẳng. P : x y z 7 0 .. Đường thẳng d nằm trong P sao cho mọi điểm của d cách đều hai. điểm A, B có phương trình là:. x 2t A. y 7 3t . z t Câu 51.. x t B. y 7 3t . z 2t . x t C. y 7 3t . z 2t . x t D. y 7 3t . z 4t . (Chuyên ĐH Vinh- 2019) Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC vuông tại. x 4 y 5 z 7 A, ABC 300 , BC 3 2 , đường thẳng BC có phương trình , đường thẳng AB nằm 1 1 4 trong mặt phẳng : x z 3 0 . Biết đỉnh C có cao độ âm. Tính hoành độ đỉnh A.. 9 3 . B. 3 . C. . 2 2 Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến đường thẳng A.. D.. 5 . 2. Dạng 1. Viết phương trình mp P đi qua M , vuông góc mp Q và mp P // : nQ. • Đi qua M xo , yo , zo PP mp P : • VT PT : n P n Q , u . Δ. Q. u. P. Dạng 2. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua M và vuông góc với đường thẳng d đi qua hai điểm A và B, với: • Đi qua M PP mp P : • VTPT : n P ud AB. n P ud AB P. M. d. Facebook Nguyễn Vương 27.
<span class='text_page_counter'>(375)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dạng 3. Viết phương trình của mặt phẳng P đi qua điểm M và chứa đường thẳng : PP Trên đường thẳng Δ lấy điểm A và xác định VTCP u M . A. • Đi qua M Khi đó mp P : • VTPT : n P AM , u . P. Δ. u. Dạng 4. Viết phương trình của mặt phẳng P đi qua hai đường thẳng song song 1 , 2 :. • Đi qua M 1 , hay M 2 PP mp P : • VTPT : n P u1 , u2 Dạng 5. Viết phương trình của mặt phẳng P đi qua hai đường thẳng cắt nhau 1 , 2 : u. • Đi qua M 1 , hay M 2 PP mp P : • VTPT : n u P 1 , u 2 . 2. M. Δ2. u 1. Δ1. P. Dạng 6. Cho 2 đường thẳng chéo nhau 1 , 2 . Hãy viết phương trình P chứa 1 và song song. • Đi qua M 1 , hay M 2 PP mp P : 2 • VTPT : n P u1 , u2 Dạng 7. Viết phương trình mặt phẳng. P. u. Δ2 M. u 1. Δ1. 2. P. đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng. , PP Chọn A, B thuộc giao tuyến hai mặt phẳng và A, B P . Cụ thể:. A1 x B1 y C1 zo D1 x ... A ...;...;... P Cho: z zo A2 x B2 y C2 zo D2 y .... y ... B1 y C1 z A1 xo D1 Cho: x xo B ...;...;... P B2 y C2 z A2 xo D2 z ... • Đi qua M Khi đó mp P : • VTPT : n P AB, AM . Câu 52.. (Đề Minh Họa 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng có phương trình: x 10 y 2 z 2 . Xét mặt phẳng P :10 x 2 y mz 11 0 , m là tham số thực. Tìm tất cả 5 1 1 các giá trị của m để mặt phẳng P vuông góc với đường thẳng . A. m 2. B. m 52. C. m 52. D. m 2. Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(376)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 1 y 2 z Câu 53. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : và mặt phẳng 1 2 3 P : x y z 3 0 . Phương trình mặt phẳng đi qua O , song song với và vuông góc với mặt phẳng P là A. x 2 y z 0 . Câu 54.. C. x 2 y z 4 0 . D. x 2 y z 4 0 .. (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d1 có véctơ x 3 y 1 z 4 chỉ phương u 1;0; 2 và đi qua điểm M 1; 3; 2 , d 2 : . Phương trình 1 2 3 mặt phẳng P cách đều hai đường thẳng d1 và d 2 có dạng ax by cz 11 0 . Giá trị a 2b 3c bằng A. 42 .. Câu 55.. B. x 2 y z 0 .. B. 32 .. C. 11 .. D. 20 .. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng P song song và cách đều hai đường thẳng d 1 :. x2 y z x y 1 z 2 và d 2 : 1 1 1 2 1 1. A. P : 2x 2z 1 0 B. P : 2 y 2z 1 0. C.. P : 2x 2 y 1 0. D. P : 2 y 2z 1 0 Câu 56.. (SGD Cần Thơ - 2018) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau. x 1 y 2 z 4 x 1 y z 2 và có phương trình là 2 1 3 1 1 3 A. 2 x y 9 z 36 0 . B. 2 x y z 0 . C. 6 x 9 y z 8 0 . D. 6 x 9 y z 8 0 . Câu 57.. (Hồng Bàng - Hải Phòng - 2018) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A 0;1;0 , mặt x 3 phẳng Q : x y 4 z 6 0 và đường thẳng d : y 3 t . Phương trình mặt phẳng P qua A , z 5 t . song song với d và vuông góc với Q là : A. 3x y z 1 0 . Câu 58.. B. 3x y z 1 0 .. C. x 3 y z 3 0 .. D. x y z 1 0 .. (Toán Học Tuổi Trẻ - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz , cho điểm. x 2 y 1 z 1 . Mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách 1 2 1 từ A đến lớn nhất có phương trình là A 3; 1;0 và đường thẳng d :. A. x y z 0 . Câu 59.. B. x y z 2 0 .. C. x y z 1 0 .. D. x 2 y z 5 0 .. (SGD&ĐT BRVT - 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng chéo nhau. d1 :. x2 y6 z2 x 4 y 1 z 2 và d 2 : . Phương trình mặt phẳng P chứa d1 và 2 2 1 1 3 2. P song song với đường thẳng A. P : x 5 y 8 z 16 0 . C. P : x 4 y 6 z 12 0 .. d 2 là B. P : x 5 y 8 z 16 0 . D. P : 2 x y 6 0 .. Facebook Nguyễn Vương 29.
<span class='text_page_counter'>(377)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 60.. (Chuyên Thăng Long - Đà Lạt - 2018) Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng chứa. x t 2 hai đường thẳng: d : y 3t 1 và z 2t 1 P a 2b 3c . A. P 10 . B. P 4 . Câu 61.. C. P 8 .. (Chuyên Trần Đại Nghĩa - 2018) Tìm tất cả các mặt phẳng. d:. Câu 62.. x m 3 : y 3m 2 có dạng x ay bz c 0 . Tính z 2m 1 D. P 0 .. . chứa đường thẳng. x y z và tạo với mặt phẳng P : 2 x z 1 0 góc 45 . 1 1 3. A. : 3x z 0 .. B. : x y 3z 0 .. C. : x 3z 0 .. D. : 3x z 0 hay : 8 x 5 y z 0 .. (Quảng Nam - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;1;0 , B 0; 1; 2 . Biết rằng có hai mặt phẳng cùng đi qua hai điểm A , O và cùng cách B một khoảng. bằng 3 . Véctơ nào trong các véctơ dưới đây là một véctơ pháp tuyến của một trong hai mặt phẳng đó. A. n 1; 1; 1 . B. n 1; 1; 3 . C. n 1; 1;5 . D. n 1; 1; 5 . Câu 63.. (Sở Bình Phước - 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 , d 2 lần. x 2 y 2 z 3 x 1 y 2 z 1 , d2 : . Mặt phẳng cách đều hai 2 1 3 2 1 4 đường thẳng d1 , d 2 có phương trình là lượt có phương trình d1 :. A. 14 x 4 y 8 z 1 0. B. 14 x 4 y 8 z 3 0. C. 14 x 4 y 8 z 3 0. D. 14 x 4 y 8 z 1 0. Câu 64.. (THPT Thực Hành - TPHCM - 2018) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;0;0 và đường thẳng d :. Câu 65.. x 1 y 2 z 1 . Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm A và đường thẳng 2 1 2. d? A. P : 5 x 2 y 4 z 5 0 .. B. P : 2 x 1y 2 z 1 0 .. C. P : 5 x 2 y 4 z 5 0 .. D. P : 2 x 1y 2 z 2 0 .. (Chuyên Nguyễn Đình Triểu - Đồng Tháp - 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai đường. x2 y 2 z 3 x 1 y 2 z 1 , d2 : . Viết 2 1 3 2 1 4 phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1 , d 2 . thẳng d1 , d 2 lần lượt có phương trình d1 :. Câu 66.. A. 14 x 4 y 8 z 13 0 .. B. 14 x 4 y 8 z 17 0 .. C. 14 x 4 y 8 z 13 0 .. D. 14 x 4 y 8 z 17 0 .. (Chuyên KHTN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng. x2 y z x y 1 z 2 và d2 : . Phương trình mặt phẳng P song song và cách đều 1 1 1 2 1 1 hai đường thẳng d1 ; d 2 là: d1 :. A. 2 y 2 z 1 0 .. B. 2 y 2 z 1 0 .. C. 2 x 2 z 1 0 .. D. 2 x 2 z 1 0 .. Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(378)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Dạng 5. Bài toán liên quan đến vị trí tương đối 1. Vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt cầu (S) Cho mặt cầu ( S ) có tâm I , bán kính R và đường thẳng . Để xét vị trí tương đối giữa và ( S ) ta d tính d ( I , ) rồi so sánh với bán kính R. d d. Nếu d ( I , ) R : không cắt ( S ). H I R Nếu d ( I , ) R : tiếp xúc với ( S ) tại H . Nếu d ( I , ) R : cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt A, B. A B C D ( P ) (Q) 1 1 1 1 ( P) (Q) A1 A2 B1 B2 C1C2 0. A2 B2 C2 D2. A. B. 2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) x x a1t Cho đường thẳng d : y y a2t và mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0 z z a t 3 d x x a t (1) ud 1 y y a t (2) 2 () Xét hệ phương trình: (3) z z a3t P Ax By Cz D 0 (4) Nếu () có nghiệm duy nhất d cắt ( ). nP Nếu () có vô nghiệm d ( ). Nếu () vô số nghiệm d ( ).. nP. ud. d. 3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d’ P. x x a1t x x a1t Cho hai đường thẳng: d : y y a2t và d : y y a2 t lần lượt qua điểm hai điểm M , N và có z z a t z z a t 3 3 véctơ chỉ phương lần lượt là ad , ad . a kad a kad . . d song song d d d trùng d d M d M d ad ko ad d cắt d d chéo d ad , ad .MN 0. a , a .MN 0 x a1t x a1t Lưu ý: Nếu d cắt d ta tìm tọa độ giao điểm bằng giải hệ phương trình: y a2t y a2 t . z a t z a t 3 3. Câu 67.. (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng. x 1 y z 2 x 2 y 1 z , d2 : . Xét vị trí tương đói của hai đường thẳng đã cho. 2 1 2 2 1 2 A. Chéo nhau B. Trùng nhau C. Song song D. Cắt nhau Câu 68. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz , xét vị trí tương đối d1 :. của hai đường thẳng x 1 y 1 z x 3 y 3 z 2 , 2 : 2 2 3 1 2 1 A. 1 song song với 2 . B. 1 chéo với 2 . C. 1 cắt 2 . 1 :. D. 1 trùng với 2 .. Facebook Nguyễn Vương 31.
<span class='text_page_counter'>(379)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 69. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :. x 1 y z 5 và mặt phẳng 1 3 1. P :3x 3 y 2 z 6 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. d cắt và không vuông góc với P . B. d vuông góc với P . C. d song song với P . D. d nằm trong P . x y 2 z 1 và mặt phẳng 2 1 3 P :11x my nz 16 0 . Biết P , tính giá trị của T m n .. Câu 70. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng :. C. T 14 . D. T 14 . x 1 y 2 z 9 Câu 71. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : và mặt phẳng có 1 3 1 phương trình m 2 x my 2 z 19 0 với m là tham số. Tập hợp các giá trị m thỏa mãn d // . Câu 72.. A. T 2 .. B. T 2 .. là A. 1 .. B. .. C. 1; 2 .. D. 2 .. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng. x 1 y 1 z 2 song song với mặt phẳng P : 2 x y m2 z m 0 1 1 1 A. m 1 . B. m C. m 1;1 . D. m 1. d:. Câu 73.. Gọi m, n là hai giá trị thực thỏa mãn: giao tuyến của hai mặt phẳng Pm : mx 2 y nz 1 0 và Qm : x my nz 2 0 vuông góc với mặt phẳng : 4 x y 6 z 3 0 .. A. m n 0 . B. m n 2 . C. m n 1 . D. m n 3 . Câu 74. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường x 1 t x 1 y z thẳng d1 : ; d 2 : y 2 t . Gọi S là tập tất cả các số m sao cho d 1 và d 2 chéo 2 1 3 z m 5 nhau và khoảng cách giữa chúng bằng . Tính tổng các phần tử của S . 19 A. 11 . B. 12 . C. 12 . D. 11 . Câu 75. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Trong không gian Oxyz , cho bốn đường thẳng: x 3 y 1 z 1 x y z 1 x 1 y 1 z 1 , , , d1 : d2 : d3 : 1 2 1 1 2 1 2 1 1 x y 1 z 1 . Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là: d4 : 1 1 1 A. 0 . B. 2 . C. Vô số. D. 1 .. Câu 76.. (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I 1; 2; 3 và mặt phẳng. P : 2 x 2 y z 4 0 . Mặt cầu tâm I tiếp xúc với P tại điểm H . Tìm tọa độ điểm H . A. H 1; 1; 0 B. H 3; 0; 2 C. H 1; 4; 4 D. H 3; 0; 2 Câu 77.. Trong không gian Oxyz , biết mặt cầu. S. có tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng. P : x 2 y 2z 9 0. tại điểm H a; b; c . Giá trị của tổng a b c bằng. A. 2 .. B. 1.. C. 1.. D. 2 .. Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(380)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 78.. (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm I 1;0; 2 và đường thẳng d :. x 1 y z . Gọi S là mặt cầu có tâm I , tiếp xúc với đường thẳng d . Bán 2 1 1. kính của S bằng A. Câu 79.. 5 . 3. B.. 2 5 . 3. C.. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu :. 30 . 3. S : x 1. D. 2. 2. 4 2 . 3 2. y 2 z 3 1 , đường thẳng. x6 y 2 z 2 và điểm M 4;3;1 . Trong các mặt phẳng sau mặt phẳng nào đi qua M , 3 2 2. song song với và tiếp xúc với mặt cầu S ? A. 2 x 2 y 5 z 22 0 . B. 2 x y 2 z 13 0 . C. 2 x y 2 z 1 0 . D. 2 x y 2 z 7 0 . Câu 80.. 2. 2. 2. (Mã 104 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x 2 y 3 z 1 16 và điểm A 1; 1; 1 . Xét các điểm M thuộc S sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với S . M luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là A. 6 x 8 y 11 0 B. 6 x 8 y 11 0 C. 3x 4 y 2 0. Câu 81.. (Mã. 110. S : x 1. 2. Trong. 2017) 2. không. gian. với. hệ. tọa. 2. y 1 z 2 2 và hai đường thẳng d :. D. 3x 4 y 2 0 độ. Oxyz ,. cho. mặt. cầu. x 2 y z 1 x y z 1 ; : . 1 2 1 1 1 1. Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với S , song song với d và ? A. y z 3 0. B. x z 1 0. D. x z 1 0. C. x y 1 0. Câu 82. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d : 2. 2. x4 y z4 và tiếp xúc 3 1 4. 2. với mặt cầu S : x 3 y 3 z 1 9 . Khi đó P song song với mặt phẳng nào sau đây? A. 3x y 2z 0 . C. x y z 0 Câu 83.. B. 2x 2 y z 4 0 . D. Đáp án khác.. (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ( x 1) 2 y 2 ( z 2) 2 6 đồng thời song song với hai đường thẳng x 2 y 1 z x y2 z2 , d2 : . 3 1 1 1 1 1 x y 2z 3 0 x y 2z 3 0 A. B. C. x y 2 z 9 0 x y 2z 9 0 x y 2z 9 0 d1 :. Câu 84.. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz,. P : 2x 2 y z 3 0. 2. 2. D. x y 2 z 9 0. cho điểm E 2;1;3 , mặt phẳng 2. và mặt cầu S : x 3 y 2 z 5 36 . Gọi là đường thẳng. đi qua E , nằm trong mặt phẳng P và cắt S tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của là. Facebook Nguyễn Vương 33.
<span class='text_page_counter'>(381)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 2 9t A. y 1 9t z 3 8t . x 2 5t B. y 1 3t z 3 . x 2 t C. y 1 t z 3 . Câu 85. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt cầu. x 2 4t D. y 1 3t z 3 3t . S1 , S2 . có phương trình lần lượt là. 2. S1 : x 2 y 2 z 2 25 , S2 : x 2 y 2 z 1 4 . Một đường thẳng d vuông góc với véc tơ u 1; 1;0 tiếp xúc với mặt cầu S 2 và cắt mặt cầu S1 theo một đoạn thẳng có độ dài bằng 8 . Hỏi véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của d ? A. u1 1;1; 3 B. u2 1;1; 6 C. u3 1;1;0 . . Câu 86.. . . D. u4 1;1; 3. . . . (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm E 1;1;1 , mặt cầu. S : x2 y 2 z 2 4 và mặt phẳng P : x 3 y 5z 3 0 . Gọi là đường thẳng đi qua E , nằm trong P và cắt mặt cầu S tại hai điểm A , B sao cho tam giác OAB là tam giác đều. Phương trình của đường thẳng là x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 A. . B. . 2 1 1 2 1 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 C. . D. . 2 1 1 2 1 1 Câu 87.. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d1 :. x 1 y 2 z 3 và điểm A 1;0; 1 . Gọi d2 là 1 2 1. . đường thẳng đi qua điểm thẳng. A và có vectơ chỉ phương v a;1;2 . Giá trị của a sao cho đường. d1 cắt đường thẳng d2 là. A. a 1 . Câu 88. Trong. B. a 2 . gian. không 2. 2. C. a 0 . Oxyz , cho. 2. 2. D. a 1 . ba mặt. cầu. 2. và S1 : x 3 y 2 z 4 1 , S2 : x 2 y 2 z 4 4 S3 : x 2 y 2 z 2 4 x 4 y 1 0 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu S1 , S 2 , S3 ? A. 2 . Câu 89.. B. 4 .. C. 6 .. D. 8 .. x 1 y z 2 . Gọi S là mặt 2 1 1 cầu có bán kính R 5 , có tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với trục Oy . Biết rằng I có Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :. tung độ dương. Điểm nào sau đây thuộc mặt cầu S ?. Câu 90.. A. M 1; 2;1 .. B. N 1;2; 1 .. C. P 5;2; 7 .. D. Q 5; 2; 7 .. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 4 x 6 y m 0 ( m là tham số) và x 4 2t đường thẳng : y 3 t . Biết đường thẳng cắt mặt cầu S tại hai điểm phân biệt A , B z 3 2t . sao cho AB 8 . Giá trị của m là A. m 5 . B. m 12 .. C. m 12 .. D. m 10 .. Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(382)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 91.. (SGD Bến Tre 2019) Trong không gian Oxyz. cho hai đường thẳng chéo nhau. x 4 2t x 1 d1 : y t , (t ), d 2 : y t ' , (t ' ) . z t ' z 3 . Phương trình mật cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 , d 2 là: 2. 2. 9 3 2 A. x y 2 z 2 . 4 2 . 3 3 2 B. x y 2 z 2 . 2 2 . 2. 2. 9 3 2 C. x y 2 z 2 . 4 2 Câu 92.. Trong. không. gian. Oxyz ,. 3 3 2 D. x y 2 z 2 . 2 2 cho. hai. đường. thẳng. 1 :. x 4 y 1 z 5 1 3 2. và. x 2 y3 z . Trong tất cả mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng 1 và 2 . Gọi (S ) 3 1 1 là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất. Bán kính của mặt cầu (S ) là 2 :. A. 12 .. B.. 6.. C.. 24 .. D.. 3.. Facebook Nguyễn Vương 35.
<span class='text_page_counter'>(383)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. Chuyên đề 31. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng 1. Bài toán liên quan đến mặt cầu – mặt phẳng – đường thẳng Câu 1.. (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 4;6;2 và B 2; 2;0 và mặt phẳng P : x y z 0 . Xét đường thẳng d thay đổi thuộc P và đi qua B , gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d . Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính R của đường tròn đó. A. R 3. Câu 2.. B. R 2. Trong không gian Oxyz mặt phẳng. d:. P : 2x 6 y z 3 0. cắt trục Oz và đường thẳng. x 5 y z 6 lần lượt tại A và B . Phương trình mặt cầu đường kính AB là: 1 2 1 2. 2. 2. B. x 2 y 1 z 5 9.. 2. 2. 2. D. x 2 y 1 z 5 36.. A. x 2 y 1 z 5 36. C. x 2 y 1 z 5 9. Câu 3.. D. R 6. C. R 1. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu. 2. 2. 2. 2. 2. 2. S : x2 y2 z 2 4x 6 y m 0. ( m là tham số) và. x 4 2t đường thẳng : y 3 t . Biết đường thẳng cắt mặt cầu S tại hai điểm phân biệt A , B sao z 3 2t . cho AB 8 . Giá trị của m là A. m 5 . B. m 12 . Câu 4.. C. m 12 . D. m 10 . x y 3 z 2 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : và hai mặt phẳng 2 1 1. P : x 2 y 2 z 0 ; Q : x 2 y 3z 5 0 . Mặt cầu S có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng P . Mặt phẳng Q tiếp xúc với mặt cầu S . Viết phương trình mặt cầu S . 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. B. S : x 2 y 4 z 3 6 .. 2 . 7. D. S : x 2 y 4 z 4 8 .. C. S : x 2 y 4 z 3 Câu 5.. 2. A. S : x 2 y 4 z 3 1 .. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu. : x 3 y 2 z 5 0 . Biết đường thẳng. 2. 2. 2. S : x 2 y 3 z 4 nằm trong , cắt trục Ox. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của ? A. u 4; 2;1 . B. v 2;0; 1 . C. m 3;1;0 . Câu 6.. 14 và mặt phẳng và tiếp xúc với S .. D. n 1; 1;1 .. (Bình Dương - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng 2. 2. 2. P : 2 x 2 y z 9 0 và mặt cầu S : x 3 y 2 z 1 100 . Mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo một đường tròn C . Tìm tọa độ tâm K và bán kính r của đường tròn C là A. K 3; 2;1 , r 10 . B. K 1; 2;3 , r 8 . C. K 1; 2;3 , r 8 . D. K 1; 2;3 , r 6 . Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(384)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 7.. (Chuyên Thái Bình 2019) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;1;1 , B 2;2;1 và mặt phẳng P : x y 2 z 0 . Mặt cầu S thay đổi qua A, B và tiếp xúc với P tại H . Biết H chạy trên 1 đường tròn cố định. Tìm bán kính của đường tròn đó. A. 3 2 .. Câu 8.. B. 2 3 .. (Chuyên. S : x. 2. Lam 2. Sơn. 2019). C. Trong. 3.. không. D. gian. Oxyz. 3 2 cho. mặt. cầu. 2. y z 2 x 4 y 6 z 2 0 và mặt phẳng : 4 x 3 y 12 z 10 0 . Lập phương. trình mặt phẳng thỏa mãn đồng thời các điều kiện: Tiếp xúc với S ; song song với và. Câu 9.. cắt trục Oz ở điểm có cao độ dương. A. 4 x 3 y 12 z 78 0 .. B. 4 x 3 y 12 z 26 0 .. C. 4 x 3 y 12 z 78 0 .. D. 4 x 3 y 12 z 26 0 .. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x 2 y 2 z 2 9 x 1 t và điểm M x0 ; y0 ; z0 d : y 1 2t . Ba điểm A , B , C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho z 2 3t . MA , MB , MC là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng ABC đi qua điểm D 1;1; 2 . Tổng T x02 y02 z02 bằng A. 30 . B. 26 . C. 20 . D. 21 . 2 Câu 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x y 2 z 2 2 x 2 z 1 0 và. x y2 z . Hai mặt phẳng P , P ' chứa d và tiếp xúc với ( S ) tại T , T ' . 1 1 1 Tìm tọa độ trung điểm H của TT '. 7 1 7 5 2 7 5 1 5 5 1 5 A. H ; ; . B. H ; ; . C. H ; ; . D. H ; ; . 6 3 6 6 3 6 6 3 6 6 3 6 đường thẳng d :. Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm E 2;1;3 , mặt phẳng. P : 2x 2 y z 3 0. và mặt cầu. 2 2 2 S : x 3 y 2 z 5 36 . Gọi là đường thẳng đi qua E , nằm trong P S tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của là. x 2 9t A. y 1 9t . z 3 8t . Câu 12.. x 2 5t B. y 1 3t . z 3 . x 2 t C. y 1 t . z 3 . và cắt. x 2 4t D. y 1 3t . z 3 3t . (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz. cho mặt cầu. x 1 2t x 3 y 1 z 2 4 và đường thẳng d : y 1 t , t . Mặt phẳng chứa d và cắt ( S ) z t theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là A. y z 1 0 . B. x 3 y 5 z 2 0 . C. x 2 y 3 0 . D. 3 x 2 y 4 z 8 0 . 2. Câu 13.. 2. (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm E 1;1;1 , mặt phẳng. P : x 3 y 5z 3 0. và mặt cầu. S : x2 y 2 z 2 4 .. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương Gọi là.
<span class='text_page_counter'>(385)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. đường thẳng qua E , nằm trong mặt phẳng P và cắt S tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho. AB 2 . Phương trình đường thẳng là x 1 2t x 1 2t A. y 2 t . B. y 1 t . z 1 t z 1 t Câu 14.. x 1 2t C. y 3 t . z 5 t . x 1 2t D. y 1 t . z 1 t . (SGD Cần Thơ 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm. A 0;1; 2 , mặt phẳng. P : x y z 1 0 và mặt cầu S : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 7 0 . Gọi là đường thẳng đi qua A và nằm trong mặt phẳng P và cắt mặt cầu S tại hai điểm B , C sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất, với I là tâm của mặt cầu S . Phương trình của đường thẳng là x t A. y 1 . z 2 t . x t B. y 1 t . z 2 t . x t C. y 1 t . z 2 . x t D. y 1 t . z 2 . Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P : z 2 0 , K 0;0; 2 , đường thẳng. d:. x y z . Phương trình mặt cầu tâm thuộc đường thẳng d và cắt mặt phẳng P theo thiết 1 1 1. diện là đường tròn tâm K , bán kính r 5 là 2. B. x 2 y 2 z 2 16 .. 2. D. x 2 y 2 z 2 9 .. A. x 2 y 2 z 2 16 . C. x 2 y 2 z 2 9 .. P : x y z 3 0 và hai điểm S đi qua M, N và tiếp xúc với mặt phẳng P tại điểm Q .. Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. M 1;1;1 , N 3; 3; 3 . Mặt cầu. Biết rằng Q luôn thuộc một đường tròn cố định. Tìm bán kính của đường tròn đó.. 2 11 2 33 . B. R 6 . C. R . D. R 4 . 3 3 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. A. R Câu 17.. P : 2x 2 y z 3 0. và. mặt. cầu. S : x 1. 2. 2. y 3 z 2 9. và. đường. thẳng. x y 2 z 1 . Cho các phát biểu sau đây: 2 1 2 I. Đường thẳng d cắt mặt cầu S tại 2 điểm phân biệt. d:. II. Mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S . III. Mặt phẳng P và mặt cầu S không có điểm chung. IV. Đường thẳng d cắt mặt phẳng P tại một điểm. Số phát biểu đúng là: A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 18. (Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình-2019)Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 2. 2. 2. S : x 1 y 2 z 1 32 , mặt phẳng P : x y z 3 0 và điểm N 1;0; 4 thuộc P . Một đường thẳng đi qua N nằm trong P cắt S tại hai điểm A, B thỏa mãn AB 4 . Gọi u 1; b; c , c 0 là một vecto chỉ phương của , tổng b c bằng A. 1 .. B. 3 .. C. 1 .. D. 45 .. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(386)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 19.. (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng. x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 và 2 : . Tính diện tích mặt cầu có bán kính nhỏ 2 1 2 2 2 1 nhất, đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng 1 và 2 . 1 :. 16 4 4 16 (đvdt). (đvdt). (đvdt). (đvdt). B. C. D. 17 17 17 17 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai. A. Câu 20.. x 2t đường thẳng d1 : y t và d 2 z 4 . x 3 t ' : y t ' . Viết phương trình mặt cầu S có bán kính nhỏ nhất z 0 . tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d 2 . 2. 2. 2. 2. 2. 2. A. S : x 2 y 1 z 2 4.. 2. 2. C. S : x 2 y 1 ( z 2) 2 4. Câu 21.. 2. B. S : x 2 y 1 z 2 16. D. S : x 2 ( y 1) 2 ( z 2) 2 16.. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu. S : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 13 0. và. đường. M a; b; c , a 0 nằm trên đường thẳng d MA, MB, MC đến mặt cầu. S . thẳng. d:. sao cho từ M. x 1 y 2 z 1 . 1 1 1. Điểm. kẻ được ba tiếp tuyến. 600 , ( A, B, C là các tiếp điểm) và AMB 600 , BMC. 1200 . Tính a 3 b 3 c 3 . CMA 173 112 23 A. a 3 b3 c3 . B. a 3 b3 c 3 . C. a 3 b 3 c 3 8 . D. a 3 b3 c 3 . 9 9 9 Câu 22. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm. M 3;3; 3. S : x 2. 2. thuộc. 2. mặt. phẳng. : 2 x 2 y z 15 0. và. mặt. cầu. 2. y 3 z 5 100 . Đường thẳng qua M , nằm trên mặt phẳng cắt S . tại A, B sao cho độ dài AB lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng . x3 y 3 z 3 x3 y 3 z 3 . B. . 1 1 3 1 4 6 x3 y 3 z 3 x3 y 3 z 3 C. . D. . 16 11 10 5 1 8 Câu 23. (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 2;0;0 , B 0; 2;0 ,. A.. C 0;0; 2 . Gọi D là điểm khác O sao cho DA , DB , DC đôi một vuông góc nhau và I a; b; c . là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Tính S a b c . A. S 4 B. S 1 C. S 2 Câu 24. (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian Oxyz ,. D. S 3 cho P :2 x y 2 z 1 0 ,. A 0;0;4 , B 3;1;2 . Một mặt cầu S luôn đi qua A, B và tiếp xúc với P tại C . Biết rằng, C. luôn thuộc một đường tròn cố định bán kính r . Tính bán kính r của đường tròn đó. A. Đáp án khác.. B. r . 2 4 244651 . 3. C. r . 2 244651 . 9. D. r . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 2024 . 3.
<span class='text_page_counter'>(387)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 25.. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp S . ABCD với S 1; 1;6 , A 1;2;3 , B 3;1;2 , C 4;2;3 , D 2;3;4 . Gọi I là tâm mặt cầu. S . ngoại tiếp hình chóp. Tính khoảng cách d từ I đến mặt phẳng SAD .. 3 . 2 Câu 26. Trong không gian Oxyz , xét số thực m 0;1 và hai mặt phẳng : 2 x y 2 z 10 0 và A. d . :. 3 3 . 2. B. d . 6 . 2. C. d . 21 . 2. D. d . x y z 1 . Biết rằng, khi m thay đổi có hai mặt cầu cố định tiếp xúc đồng thời với cả m 1 m 1. hai mặt phẳng , . Tổng bán kính của hai mặt cầu đó bằng A. 6 B. 3 C. 9 D. 12 Câu 27. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2 y 2 z 3 0 và mặt cầu S tâm I 5; 3;5 , bán kính R 2 5 . Từ một điểm. A thuộc mặt phẳng P kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu S tại B . Tính OA biết AB 4 . A. OA 11 . Câu 28. Trong không gian. B. OA 5 .. C. OA 3 . 2. 2. D. OA 6 .. 2. Oxyz , cho mặt cầu x y z 9 và điểm M x0 ; y0 ; z0 thuộc. x 1 t d : y 1 2t . Ba điểm A , B , C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho MA , MB , MC là tiếp z 2 3t . tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng ABC đi qua D 1;1; 2 . Tổng T x02 y02 z02 bằng A. 30 Câu 29. (Chuyên. KHTN. B. 26 2019) Trong. không. C. 20 gian với. hệ. tọa. D. 21 độ Oxyz cho. hai. điểm. A 0; 0;3 , B 2; 0;1 và mặt phẳng : 2 x y 2 z 8 0 . Hỏi có bao nhiêu điểm C trên mặt. phẳng sao cho tam giác ABC đều? A. 2 . B. 1. C. 0 . D. Vô số. Câu 30. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x 2 y 2 z 2 9. x 1 t và điểm M x0 ; y0 ; z0 thuộc đường thẳng d : y 1 2t . Ba điểm A, B, C phân biệt cùng z 2 3t thuộc mặt cầu sao cho MA, MB , MC là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng ABC đi qua D 1; 1; 2 . Tổng T x02 y02 z02 bằng A. 30 . Câu 31.. B. 26 .. C. 20 .. D. 21 .. (Tỉnh Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu. x y2 z . Hai mặt phẳng ( P ) , ( P ) 1 1 1 chứa d và tiếp xúc với ( S ) tại T , T . Tìm tọa độ trung điểm H của TT . 2 2 2 ( S ) : x y z 2 x 2 z 1 0 và đường thẳng d :. 7 1 7 A. H ; ; . 6 3 6. 5 2 7 B. H ; ; . 6 3 6. 5 1 5 C. H ; ; . 6 3 6. 5 1 5 D. H ; ; . 6 3 6. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(388)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 32. Cho. hai. đường. thẳng. x 2 d : y t t , z 2 2t . :. x 3 y 1 z 4 1 1 1. P : x y z 2 0 . Gọi d , lần lượt là hình chiếu của d M a; b; c là giao điểm của hai đường thẳng d và . Biểu thức. và. mặt. phẳng. và lên mặt phẳng P . Gọi a b.c bằng. A. 4 . B. 5 . C. 3 . D. 6 . Câu 33. (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng : x my z 2m 1 0 và : mx y mz m 2 0 . Gọi. là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng Oxy . Biết rằng với mọi số thực m thay đổi thì đường thẳng luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Tính bán kính R của đường tròn đó. A. 2 . B. 1 . C. 4 . D. 3 . Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M 6; 0; 0 , N 0; 6; 0 , P 0; 0; 6 . Hai mặt. cầu. có. phương. và S1 : x2 y 2 z 2 2x 2 y 1 0 cắt nhau theo đường tròn C . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu trình. S2 : x 2 y 2 z 2 8 x 2 y 2 z 1 0. có tâm thuộc mặt phẳng chứa C và tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP , PM ? B. 3 .. A. 1 .. C. Vô số.. P : x z 6 0. Câu 35. Trong không gian cho mặt phẳng. D. 4 .. và hai mặt cầu. S : x. 2. 1. y 2 z 2 25 ,. S : x y z 4 x 4 z 7 0 . Biết rằng tập hợp tâm I các mặt cầu tiếp xúc với cả hai mặt cầu S , S và tâm I nằm trên P là một đường cong. Tính diện tích hình phẳng giới hạn 2. 2. 2. 2. 1. 2. bởi đường cong đó. 7 7 A. . B. . 3 9 Câu 36. Trong không gian với. C. hệ. tọa. 9 . 7 Oxyz , cho độ. 7 . 6 phương. D.. trình. mặt. cầu: Sm : x 2 y 2 z 2 m 2 x 2my 2mz m 3 0 . Biết rằng với mọi số thực m thì Sm luôn chứa một đường tròn cố định. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r . 2 . 3. B. r . 4 2 . 3. 1 C. r . 3. D. r 3 .. Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt câu S : x 2 y 2 2 x 4 y 6 z 13 0 và. x 1 y 2 z 1 . Điểm M a; b; c a 0 nằm trên đường thẳng d sao cho 1 1 1 từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu S ( A, B, C là các tiếp điểm) thỏa mãn đường thẳng d :. 90 , CMA 120 .Tính Q a b c . AMB 60 , BMC A. Q 3 .. B. Q . 10 . 3. C. Q 2 .. D. Q 1 .. Dạng 2 Bài toán cực trị 1. Một số bất đẳng thức cơ bản Kết quả 1. Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn thì lớn hơn Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(389)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Kết quả 2. Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất. Như trong hình vẽ ta luôn có AM AH. Kết quả 3. Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có bất đẳng thức AB BC AC . Tổng quát hơn ta có bất đẳng thức của đường gấp khúc: Với n điểm A1 , A2 ,.... An ta luôn có A1 A2 A2 A3 ... An 1 An A1 An x y 2 xy . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y Kết quả 4. Với hai số không âm x, y ta luôn có 2 Kết quả 5. Với hai véc tơ a, b ta luôn có a.b a . b . Đẳng thức xảy ra khi a kb, k 2. Một số bài toán thường gặp Bài toán 1. Cho điểm A cố định và điểm M di động trên hình H ( H là đường thẳng, mặt phẳng). Tìm giá trị nhỏ nhất của AM. Lời giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên hình H . Khi đó, trong tam giác AHM Vuông tại . M ta có AM AH . Đẳng thức xảy ra khi M H . Do đó AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A lên H Bài toán 2. Cho điểm A và mặt cầu S có tâm I , bán kính R, M là điểm di động trên S . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của AM .. Lời giải. Xét A nằm ngoài mặt cầu ( S ). Gọi M 1 , M 2 lần lượt là giao điểm của đường thẳng AI với mặt cầu ( S ) AM 1 AM 2 và ( ) là mặt phẳng đi qua M và đường thẳng AI . Khi đó ( ) cắt ( S ) theo một đường tròn lớn (C ). Ta có M MM 90 , nên AMM 2 và AM M là các góc tù, nên trong các tam giác 1. 2. 1. AMM 1 và AMM 2 ta có AI R AM 1 AM AM 2 AI R Tương tự với A nằm trong mặt cầu ta có R AI AM R AI Vậy min AM | AI R |, max AM R AI Bài toán 3. Cho măt phẳng ( P) và hai điểm phân biệt A, B. Tìm điể M thuộc ( P) sao cho 1. MA MB nhỏ nhất. 2. | MA MB | lớn nhất. Lời giải. 1. Ta xét các trường hợp sau - TH 1: Nếu A và B nằm về hai phía so với ( P) . Khi đó AM BM AB Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( P) . Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(390)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. - TH 2: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( P) . Gọi A đối xứng với A qua ( P) . Khi đó AM BM A M BM A B Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( P) .. 2. Ta xét các trường hợp sau - TH 1: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( P) . Khi đó | AM BM | AB Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( P) . - TH 2: Nếu A và B nằm khác phía so với ( P) . Gọi A ' đối xứng với A qua P , Khi đó. | AM BM | A M BM A B Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( P) . Bài toán 4. Viết phương trinh măt phẳng ( P) di qua A và cách B một khoảng lớn nhất.. Lời giải. Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng ( P), khi đó d( B, ( P)) BH BA Do đó P là mặt phẳng đi qua A vuông góc với AB Bài toán 5. Cho các số thực dương , và ba điểm A, B, C. Viết phương trình măt phẳng ( P) đi qua C và T d( A, ( P)) d( B, ( P)) nhỏ nhất. Lời giải. 1. Xét A, B nằm về cùng phía so với ( P) . - Nếu AB‖( P ) thì P ( )d( A, ( P)) ( ) AC - Nếu đường thẳng AB cắt ( P) tại I . Gọi D là điểm thỏa mãn IB ID và E là trung điểm BD. Khi đó. . IB d( D, ( P)) 2 d( E , ( P)) 2( ) EC ID 2. Xét A, B nằm về hai phía so với ( P) . Gọi I là giao điểm của AB và ( P ), B là điểm đối xứng với B qua I . Khi đó P d( A, ( P)) d B , ( P) P d( A, ( P )) . . . Đến đây ta chuyển về trường hợp trên. So sánh các kết quả ở trên ta chọn kết quả lớn nhất. Bài toán 6. Trong không gian cho n điểm A1 , A2 ,, An và diểm A. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A và tổng khoảng cách từ các điểm Ai (i 1, n ) lớn nhất. Lời giải. - Xét n điểm A1 , A2 ,, An nằm cùng phía so với ( P). Gọi G là trọng tâm của n điểm đã cho. Khi đó. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(391)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 n. d A , ( P) nd(G, ( P)) nGA i. i 1. - Trong n điểm trên có m điểm nằm về một phía và k điểm nằm về phía khác (m k n ). Khi đó, gọi G1 là trọng tâm của m điểm, G2 là trọng tâm của k điểm G3 đối xứng với G1 qua A. Khi dó P md G3 , ( P ) kd G2 , ( P ) . Đến đây ta chuyển về bài toán trên. Bài toán 7.Viết phương trình mặt phẳng P đi qua đường thẳng và cách A một khoảng lớn nhất. Lời giải. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên mặt phẳng ( P) và đường thẳng . Khi đó d( A, ( P)) AH AK Do đó ( P) là mặt phẳng đi qua K và vuông góc vói AK . Bài toán 8. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A1 , A2 ,, An . Xét véc tơ w 1 MA1 2 M A2 n M An Trong đó 1 ; 2 ... n là các số thực cho trước thỏa mãn 1 2 ... n 0 . Tìm điểm M thuôc măt phẳng ( P) sao cho | w | có đô dài nhỏ nhất. Lời giải. Gọi G là điểm thỏa mãn 1GA1 2GA2 n GAn 0 (điểm G hoàn toàn xác định). Ta có MAk MG GAk vói k 1;2;; n, nên w 1 2 n MG 1GA1 2GA2 nGAn 1 2 n MG Do đó | w | 1 2 n | MG |. Vi 1 2 n là hằng số khác không nên | w | có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất, mà M ( P) nên điểm M cần tìm là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( P) . Bài toán 9. Trong không gian Oxy z, cho các diểm A1 , A2 ,, An . Xét biểu thức: T 1MA12 2 MA22 n MAn2 Trong đó 1 , 2 ,, n là các số thực cho trước. Tìm điểm M thuộc măt phẳng ( P) sao cho 1. T giá trị nhỏ nhất biết 1 2 n 0 . 2. T có giá trị lớn nhất biết 1 2 n 0 . Lời giải. Gọi G là điểm thỏa mãn 1GA1 2GA2 n GAn 0 Ta có MAk MG GAk với k 1;2;; n, nên 2 MAk2 MG GAk MG 2 2 MG GAk GAk2. . . Do đó T 1 2 n MG 2 1GA12 2GA22 n GAn2 Vì 1GA12 2GA22 nGAn2 không đổi nên • với 1 2 n 0 thì T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. • với 1 2 n 0 thì T đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(392)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Mà M ( P) nên MG nhỏ nhất khi điểm M là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( P) . Bài toán 10. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng ( P) cắt nhau. Viết phương trình của mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng ( P) một góc nhỏ nhất.. Lời giải. Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( P) và lấy điểm M d , M I . Gọi H , K lầ lượt là hình chiếu của M lên ( P) và giao tuyến của ( P) và (Q) . , do đó Đặt là góc giữa ( P) và (Q), ta có MKH. HM HM HK HI Do đó (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mặt phẳng ( MHI ), nên (Q) đi qua M và nhận nP ud ud làm VTPT. tan . Chú ý. Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đai số như sau: - Goi n (a; b; c), a 2 b 2 c 2 0 là một VTPT của mặt phẳng (Q). Khi đó n ud 0 từ đây ta rút được a theo b, c (hoặc b theo a, c hoặc c theo a, b ). - Gọi là góc giữa ( P) và (Q), ta có n nP cos f (t ) | n | nP. b với t , c 0. Khảo sát f (t ) ta tìm được max của f (t ) c Bài toán 11. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d chéo nhau. Viết phương trinh mặt phẳng ( P) chứa d và tạo với d một góc lớn nhất.. Lời giải. Trên đường thẳng d , lấy điểm M và dựng đường thẳng đi qua M song song với d . Khi đó góc giữa và ( P) chính là góc giữa d và ( P) . Trên đường thẳng , lấy điểm A . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên ( P) và d , là góc giữa và ( P) . HM KM Khi đó AMH và cos AM AM Suy ra ( P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng ( AMK ). Do dó ( P) đi qua M và nhận ud ud ud làm VTPT.. . . Chú ý. Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đại số như sau:. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(393)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. - Goi n (a; b; c), a 2 b 2 c 2 0 là một VTPT của măt phẳng ( P ). Khi đó n ud 0 từ đây ta rút được a theo b, c (hoặc b theo a, c hoặc c theo a, b ). - Gọi là góc giữa ( P) và d , ta có n ud sin f (t ) | n | ud . b với t , c 0. Khảo sát f (t ) ta tìm được max của f (t ) c Dạng 2.1. Cực trị liên quan đến khoảng cách, góc Câu 1.. (Mã 101 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 0; 4; 3 . Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3 . Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? A. Q 0;5; 3 . B. P 3;0; 3 . C. M 0; 3; 5 . D. N 0;3; 5 .. Câu 2.. (Mã 103 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm A 0;3; 2 . Xét đường thẳng d thay đổi song song với Oz và cách Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất. d đi qua điểm nào dưới đây? A. Q 0;2; 5 . B. M 0;4; 2 . C. P 2;0; 2 . D. N 0; 2; 5 .. Câu 3.. (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 0; 4; 3 . Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? A. N 0;3; 5 . B. M 0; 3; 5 . C. P 3; 0; 3 . D. Q 0;11; 3 .. Câu 4.. (Mã 104 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm A 0;3; 2 . Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? A. M 0;8; 5 . B. N 0;2; 5 . C. P 0; 2; 5 . D. Q 2;0; 3 .. Câu 5.. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng x y z : và mặt phẳng P : x 2 y 2 z 0 . Gọi Q là mặt phẳng chứa sao cho góc 2 2 1 giữa hai mặt phẳng P và Q là nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng Q là A. x 2 y z 0 .. Câu 6.. B. x 22 y 10 z 0 . C. x 2 y z 0 .. D. x 10 y 22 z 0 .. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;1; 2 và mặt phẳng P : m 1 x y mz 1 0 , với m là tham số. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P lớn nhất. Khẳng định đúng trong bốn khẳng định dưới đây là A. 2 m 6 . B. m 6 . C. 2 m 2 . D. 6 m 2 .. Câu 7.. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1;1;1) , B (2; 0;1) và mặt phẳng ( P ) : x y 2 z 2 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A , song song với mặt phẳng ( P ) sao cho khoảng cách từ B đến d lớn nhất. x 1 y 1 z 1 x y z2 A. d : . B. d : . 3 1 2 2 2 2 x2 y2 z x 1 y 1 z 1 . C. d : D. d : . 1 1 1 3 1 1 Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(394)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 8.. (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x y 1 2 z d: . Gọi P là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng 1 2 1 Q : 2 x y 2 z 2 0 một góc có số đo nhỏ nhất. Điểm A 1; 2;3 cách mặt phẳng P một khoảng bằng: A.. Câu 9.. 3.. B.. 5 3 . 3. C.. 7 11 . 11. D.. 4 3 . 3. (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 3 ,. B 2; 2;1 và mặt phẳng : 2 x 2 y z 9 0 . Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Xác định phương trình đường thẳng MB khi MB đạt giá trị lớn nhất. x 2 t x 2 2t x 2 t x 2 t A. y 2 2t B. y 2 t C. y 2 D. y 2 t z 1 2t z 1 2t z 1 2t z 1 Câu 10. -(Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Viết phương trình đường thẳng a đi qua M 4 ; 2 ; 1 , song song với mặt phẳng ( ) : 3x 4 y z 12 0 và cách A 2 ; 5; 0 một khoảng lớn nhất. x 4 t x 4 t x 1 4t x 4t A. y 2 t . B. y 2 t . C. y 1 2t . D. y 2 t . z 1 t z 1 t z 1 t z 1 t Câu 11.. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Đường thẳng đi qua điểm M 3;1;1 , nằm trong mặt phẳng x 1 : x y z 3 0 và tạo với đường thẳng d : y 4 3t một góc nhỏ nhất thì phương trình z 3 2t của là x 1 x 8 5t x 1 2t x 1 5t A. y t . B. y 3 4t . C. y 1 t . D. y 1 4t . z 2t z 2 t z 3 2t z 3 2t . Câu 12.. (Chuyên Thái Bình 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;1;1 và mặt phẳng. ( P) : x 2 y 0 . Gọi là đường thẳng đi qua A , song song với ( P) và cách điểm B 1;0;2 mộtkhoảng ngắn nhất. Hỏi nhận vecto nào dưới đây là vecto chỉ phương? A. u 6;3; 5 . B. u 6; 3;5 . C. u 6;3;5 . D. u 6; 3; 5 . Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 2; 1; 2 và đường thẳng d có phương. x 1 y 1 z 1 . Gọi P là mặt phẳng đi qua điểm A , song song với đường thẳng d 1 1 1 và khoảng cách từ d tới mặt phẳng P là lớn nhất. Khi đó mặt phẳng P vuông góc với mặt trình. phẳng nào sau đây? A. x y 6 0 .. B. x 3 y 2 z 10 0 .. C. x 2 y 3z 1 0 .. D. 3 x z 2 0 .. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(395)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi. P. là mặt phẳng đi qua hai điểm A 1; 7; 8 ,. B 2; 5; 9 sao cho khoảng cách từ điểm M 7; 1; 2 đến P đạt giá trị lớn nhất. Biết P có một véctơ pháp tuyến là n a; b; 4 , khi đó giá trị của tổng a b là. A. 1 .. B. 3 .. D. 2 .. C. 6 .. Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ. Oxyz , cho điểm. A 3; 1;0 . và đường thẳng. x 2 y 1 z 1 . Mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất có 1 2 1 phương trình là A. x y z 2 0 . B. x y z 0 . d:. C. x y z 1 0 .. D. x 2 y z 5 0 .. Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3;0;1 , B 1; 1;3 và mặt phẳng. P : x 2 y 2 z 5 0 . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng mặt phẳng P sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. x3 y 26 11 x3 y C. d : 26 11 A. d :. Câu 17.. d đi qua A , song song với. z 1 x3 y z 1 . B. d : . 2 26 11 2 z 1 x 3 y z 1 . D. d : . 2 26 11 2. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;5;3 và đường thẳng x 1 y z 2 . Gọi P là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ A đến P là lớn 2 1 2 nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến P bằng d:. A. Câu 18.. 2.. B.. 3 . 6. C.. 11 2 . 6. D.. 1 . 2. (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm. A 1; 2;3 , B 5; 4; 1 và mặt phẳng I a; b; c nằm giữa AB . Tính a b c A. 8 B. 6. P. qua Ox sao cho d B , P 2d A, P , P cắt AB tại C. 12. D. 4. Câu 19.. (Đề Thi Công Bằng KHTN -2019) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng x 1 y z 1 d: và điểm A(1; 2;3) . Gọi ( P) là mặt phẳng chứa d và cách điểm A một khoảng 2 1 1 cách lớn nhất. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( P) . A. n (1; 0; 2) . B. n (1;0; 2) . C. n (1;1;1) . D. n (1;1; 1) .. Câu 20.. (Chuyên Thái Bình - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3;0;1 , B 1; 1;3 và mặt phẳng P : x 2 y 2 z 5 0 . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A , song song với mặt phẳng P sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất.. x3 y 26 11 x3 y C. d : 26 11 A. d :. z 1 x3 y z 1 . B. d : . 2 26 11 2 z 1 x 3 y z 1 . D. d : . 2 26 11 2. Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(396)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 21.. (Sở Quảng Nam - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x 1 y 1 z 3 và điểm A 1; 3; 1 thuộc mặt phẳng P : x y 4 z 0 , đường thẳng d : 2 1 1 P . Gọi là đường thẳng đi qua A , nằm trong mặt phẳng P và cách đường thẳng d một khoảng cách lớn nhất. Gọi u a; b; 1 là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng . Tính a 2b . A. a 2b 3 .. B. a 2b 0 .. C. a 2b 4 .. D. a 2b 7 .. Câu 22. ( Bắc Giang 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 2;1;3 và mặt phẳng. P : x my 2m 1 z m 2 0 , m là tham số. Gọi H a; b; c là hình chiếu vuông góc của điểm A trên P . Tính a b khi khoảng cách từ điểm A đến P lớn nhất ? 1 A. a b . 2 Câu 23.. B. a b 2 .. 3 D. a b . 2. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2 y 2 z 3 0 và mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 5 0. Giả sử M P và N S sao cho MN cùng phương với vectơ u 1;0;1 và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN . A. MN 3. Câu 24.. C. a b 0 .. B. MN 1 2 2. C. MN 3 2. D. MN 14. (SGD&ĐT Đồng Tháp - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 2. 2. S : x 1 y 2 z 2 4 có tâm I và mặt phẳng P : 2 x y 2 z 2 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc P sao cho đoạn IM ngắn nhất. 1 4 4 A. ; ; . 3 3 3 Câu 25.. Câu 26.. 11 8 2 B. ; ; 9 9 9. C. 1; 2; 2 .. D. 1; 2; 3 .. (THPT Ba Đình 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, 2. 2. cho mặt phẳng. 2. P : x 2 y 2z 3 0 N S sao cho MN. và mặt cầu S : x y z 2 x 4 y 2 z 5 0 . Giả sử M P và cùng phương với vectơ u 1;0;1 và khoảng cách giữa M và N lớn. nhất. Tính MN . A. MN 3 .. B. MN 1 2 2 .. C. MN 3 2 .. D. MN 14 .. (HSG Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 3 0 và mặt phẳng ( P ) : 2 x y 2 z 14 0 . Điểm M thay đổi trên S , điểm N thay đổi trên ( P ) . Độ dài nhỏ nhất của MN bằng 1 A. 1 B. 2 C. 2. D.. 3 2. Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S tâm I 1; 2;1 ; bán kính R 4 và đường. x y 1 z 1 . Mặt phẳng P chứa d và cắt mặt cầu S theo một đường tròn có 2 2 1 diện tích nhỏ nhất. Hỏi trong các điểm sau điểm nào có khoảng cách đến mặt phẳng P lớn nhất. thẳng d :. A. O 0;0;0 .. 3 1 B. A 1; ; . 5 4. C. B 1; 2; 3 .. D. C 2;1;0 .. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(397)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 28.. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng. P : y 1 0 ,. đường thẳng. x 1 1 d : y 2 t và hai điểm A 1; 3;11 , B ;0;8 . Hai điểm M , N thuộc mặt phẳng P sao 2 z 1 cho d M , d 2 và NA 2 NB . Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn MN . B. MN min 2 .. A. MN min 1 . Câu 29.. C. MN min . 2 . 2. 2 D. MN min . 3. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm. . . . A 1; 0; 0 , B 3;2; 0 , C 1;2; 4 . Gọi M là điểm thay đổi sao cho đường thẳng MA , MB , MC hợp với mặt phẳng. các góc bằng nhau; N là điểm thay đổi nằm trên mặt cầu. S : x 3. y 2 z 3 . 3 2 . 2. B.. 2. A. Câu 30.. ABC 2. 2. 2.. 1 . Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN . 2 C.. 2 . 2. D.. 5.. (Sở Bình Phước - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 2; 3 và mặt phẳng P : 2 x 2 y z 9 0 . Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u 3; 4; 4 cắt P tại điểm B . Điểm M thay đổi trong P sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90 . Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau? A. J 3; 2;7 . B. K 3;0;15 . C. H 2; 1;3 . D. I 1; 2;3 .. Câu 31.. (Sở Bạc Liêu - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 1; 2;3 x 1 t và có bán kính r 2 . Xét đường thẳng d : y mt t , m là tham số thực. Giả sử z m 1 t P , Q là mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với S lần lượt tại M , N . Khi đó đoạn MN ngắn. nhất hãy tính khoảng cách từ điểm B 1;0; 4 đến đường thẳng d . A. Câu 32.. 5.. B.. 5 3 . 3. C.. 4 237 . 21. D.. 4 273 . 21. (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x 2 y z 9 0 và điểm A 1; 2; 3 . Đường thẳng d đi qua A và có véc tơ chỉ phương u 3; 4; 4 cắt P tại B . Điểm M thay đổi trên P sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc 90 . Độ dài đoạn MB lớn nhất bằng 36 A. . 5. Câu 33.. B.. 41 .. C. 6 .. D.. 5.. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Đường thẳng đi qua điểm M 3;1;1 , nằm trong mặt x 1 phẳng : x y z 3 0 và tạo với đường thẳng d : y 4 3t một góc nhỏ nhất thì phương z 3 2t . trình của là: Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(398)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 1 A. y t . z 2t . Câu 34.. x 8 5t B. y 3 4t . z 2 t . x 1 2t C. y 1 t . z 3 2t . x 1 5t D. y 1 4t . z 3 2t . (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2; 5; 3 và. x 1 y z 2 . Biết rằng P : ax by cz 3 0 a, b, c là mặt phẳng 2 1 2 chứa d và khoảng cách từ A đến P lớn nhất. Khi đó tổng T a b c bằng đường thẳng d :. A. 3 . Câu 35.. B. 3 .. C. 2 .. D. 5 .. (ĐH - Quốc Tế - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2;1; 3 , B 3; 2;1 . Gọi d là đường thẳng đi qua M 1; 2;3 sao cho tổng khoảng cách từ A đến d và. từ B đến d là lớn nhất. Khi đó phương trình đường thẳng d là. x 1 z x 1 y 2 z 3 y2 . B. . 5 4 3 2 1 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 C. . D. . 1 13 2 3 2 2 A.. Câu 36.. (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x y 1 z 2 và mặt phẳng P : 2 x y 2 z 2 0 . Q là mặt phẳng chứa d và tạo d: 1 2 1 với mp P một góc nhỏ nhất. Gọi nQ a; b; 1 là một vectơ pháp tuyến của Q . Đẳng thức nào đúng? A. a b 1.. B. a b 2.. C. a b 1 .. D. a b 0.. Câu 37.. (Chuyên Bắc Giang 2019)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x 1 y 1 z d: , M 2;1;0 . Gọi H a ; b ; c là điểm thuộc d sao cho MH có độ dài nhỏ 2 1 1 2 nhất. Tính T a b2 c 2 . A. T 6 . B. T 12 . C. T 5 . D. T 21 .. Câu 38.. (SGD Điện Biên - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 2; 3 và mp P : 2 x 2 y z 9 0 . Đường thẳng d qua A và vuông góc với mp Q : 3 x 4 y 4 z 5 0 , cắt. mp P tại B . Điểm M nằm trong mp P sao cho M luôn nhìn AB dưới góc vuông. Tính độ dài lớn nhất của MB . 41 5 A. M . B. MB . C. MB 5 . D. MB 41 . 2 2 Câu 39.. (SP Đồng Nai - 2019) Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A 3;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0;6 và. D 1;1;1 . Gọi là đường thẳng đi qua D và thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm A, B, C đến là lớn nhất. Hỏi đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây? A. M 5;7;3 . B. M 1; 2;1 . C. M 3; 4;3 . D. M 7;13;5 . Câu 40.. (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :. x 1 y z 1 và điểm A 1;2;3 . Gọi P là mặt phẳng chứa d và cách điểm A một khoảng 2 1 1 cách lớn nhất. Véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ pháp tuyến của P ? Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(399)</span> A. n 1;0; 2 . Câu 41.. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 C. n 1;1;1 . D. n 1;1; 1 .. (Chuyên Quang Trung- Bình Phước2019) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng x y z 1 x 1 y z và ' : . Xét điểm M thay đổi. Gọi a , b lần lượt là khoảng 1 1 1 1 2 1 cách từ M đến và ' . Biểu thức a 2 2b 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M M 0 x0 , y0 , z0 . Khi đó giá trị x0 y0 bằng A.. Câu 42.. B. n 1;0; 2 .. 4 . 3. B. 0 .. C.. 2 . 3. D.. 2.. (Chuyên Thái Bình - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1;1;1 và mặt phẳng P : x 2 y 0 . Gọi là đường thẳng đi qua A song song với P và cách B 1;0; 2 mộtkhoảng nhỏ nhất. Hỏi nhận vectơ nào dưới đây làm vecto chỉ phương? A. u 6;3; 5 . B. u 6; 3;5 . C. u 6; 3; 5 . D. u 6; 3; 5 .. Câu 43.. (Chuyên Nguyễn Huệ-HN-2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, gọi P là mặt. x 1 y 2 z và tạo với trục Oy góc có số đo lớn nhất. Điểm 1 1 2 nào sau đây thuộc mặt phẳng P ? phẳng chứa đường thẳng d :. A. E 3;0; 4 . Câu 44.. B. M 3;0;2 .. C. N 1; 2; 1 .. D. F 1; 2;1 .. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 5 x y z , mặt phẳng ( P) : x y z 1 0 và đường thẳng : . Điểm 6 1 1 1 M thay đổi trên đường tròn giao tuyến của ( P ) và ( S ) . Giá trị lớn nhất của d ( M ; ) là. ( S ) : ( x 1) 2 ( y 1) 2 z 2 . A. Câu 45.. 3 2 . 2. B. 2 2.. C.. 2.. 2 . 2. (SP Đồng Nai - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có A x0 ;0;0 B x0 ;0;0 , C 0;1;0 và B x0 ;0; y0 trong đó x0 ; y0 là các số thực dương và thỏa mãn x0 y0 4 . Khi khoảng cách nhất thì bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ 29 29 A. R . B. R . C. R 2 4. Câu 46.. D.. giữa hai đường thẳng AC và BC lớn ABC. ABC bằng bao nhiêu? 41 3 6 . D. R . 4 2. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2;1; 2 , B 5;1;1 và mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 6 y 12 z 9 0 . Xét đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với S sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng x 2 x 2 x 2 2t A. y 1 t . B. y 1 4t . C. y 1 2t . D. z 2 2t z 2 t z 2 t Dạng 2.2. Cực trị lên quan đến giá trị biểu thức. d là x 2 t y 1 4t . z 2 t . Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(400)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 47.. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d có phương. x 1 t trình y 2 t và ba điểm A 6;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0;4 . Gọi M a; b; c là điểm thuộc d sao z t cho biểu thức P MA 2 2 MB 2 3 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó a b c bằng A. 3 . B. 4 . C. 1 . D. 2 . Câu 48.. (Lê Quý Đôn - Quảng Trị - 2018) Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A 3; 2;3 , B 1; 0;5 và đường thẳng d :. x 1 y 2 z 3 . Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d để MA2 MB 2 1 2 2. đạt giá trị nhỏ nhất. A. M 1; 2;3 . Câu 49.. B. M 2; 0;5 .. C. M 3; 2;7 .. D. M 3; 0; 4 .. (THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng x y 1 z : và hai điểm A 1; 2; 5 , B 1;0; 2 . Biết điểm M thuộc sao cho biểu thức 1 1 1 MA MB đạt giá trị lớn nhất Tmax . Khi đó, Tmax bằng bao nhiêu? A. Tmax 57 .. B. Tmax 3 .. C. Tmax 2 6 3 .. D. Tmax 3 6 .. x 2 y 1 z và hai điểm 1 2 3 thuộc d thỏa mãn MA4 MB 4 nhỏ nhất. Tìm. Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : A 2;0;3 , B 2; 2; 3 . Biết điểm M x0 ; y0 ; z0 . x0 . A. x0 1 . Câu 51.. B. x0 3 .. C. x0 0 .. D. x0 2 .. (Chuyên Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;0;1 , B 3;2;1 ,. C 5;3;7 . Gọi M a; b; c là điểm thỏa mãn MA MB và MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P abc A. P 4 . B. P 0 . C. P 2 . D. P 5 . Câu 52.. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A 1;2;3 , B 0;1;1 , C 1;0; 2 và mặt phẳng P : x y z 2 0 . Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho giá trị của biểu thức T MA2 2 MB 2 3MC 2 nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng Q :2 x y 2 z 3 0 ? A.. Câu 53.. 2 5 3. B.. 121 54. C. 24. D.. 91 54. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 10; 5;8 , B 2;1; 1 , C 2;3;0 và mặt phẳng. P : x 2 y 2z 9 0 .. Xét M là điểm thay đổi trên. P. sao cho. MA2 2MB 2 3MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính MA2 2MB 2 3MC 2 . A. 54 . B. 282 . C. 256 . D. 328 . Câu 54. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng P : x y z 3 0 và ba điểm A 3;1;1 , B 7;3;9 và C 2; 2; 2 . Điểm M a; b; c trên P sao cho MA 2MB 3MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 2a 10b c . 62 A. . 9. B.. 27 . 9. C.. 46 . 9. D.. 43 . 9. Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(401)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 55.. (THPT Lê Quý Dôn Dà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho 3 điểm A(8;1;1) , B (2;1;3) và C (6; 4; 0) . Một điểm M di động trong không gian sao cho MA.MC MA.MB 34 . Cho biết MA MB đạt giá trị lớn nhất khi điểm M trùng với điểm. M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) . Tính tích số x0 y0 z0 . A. 16. B. 18.. C. 14.. D. 12.. Câu 56. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A 2;1; 3, B 1; 1;2,. . . C 3; 6; 0, D 2; 2; 1 . Điểm M x ; y; z thuộc mặt phẳng P : x y z 2 0 sao cho S MA2 MB 2 MC 2 MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức. P x 2 y2 z 2 . A. P 6 . Câu 57.. B. P 2 .. C. P 0 .. D. P 2 .. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz cho A 4; 2;6 , B 2;4; 2 , M : x 2 y 3z 7 0 sao cho MA.MB nhỏ nhất. Tọa độ của M bằng 29 58 5 A. ; ; . 13 13 13 . B. 4;3;1 .. 37 56 68 D. ; ; . 3 3 3 . C. 1;3;4 .. Câu 58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai điểm A(1;0;2), B(3;1; 1). và mặt phẳng ( P) : x y z 1 0. Gọi M (a; b; c) ( P) sao cho 3MA 2MB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính S 9a 3b 6c. A. 4.. Câu 59.. B. 3.. D. 1.. (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 4;5 , B 3; 4;0 , C 2; 1; 0 và mặt phẳng : 3 x 3 y 2 z 12 0. Gọi M a; b; c thuộc. . sao cho MA2 MB 2 3MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S a b c.. A. 3 . Câu 60.. C. 2.. (Dề. B. 2 . Thi. Công. Bằng. C. 2 . KHTN. 2019). Trong. D. 1 . không. gian. Oxyz cho. các. điểm. A(1; 2;0), B(1; 1;3), C (1; 1; 1) và mặt phẳng ( P) : 3x 3 y 2 z 15 0 . Xét M (a; b; c) thuộc mặt phẳng ( P) sao cho 2MA2 MB 2 MC 2 nhỏ nhất. Giá trị của a b c bằng A. 3 . Câu 61.. C. 2 .. B. 7 .. D. 1 .. (Trần Phú - Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;1 , B 5; 0; 1 , C 3; 1; 2 và mặt phẳng Q : 3 x y z 3 0 . Gọi M a; b; c là điểm thuộc Q thỏa mãn. MA2 MB 2 2MC 2 nhỏ nhất. Tính tổng a b 5c . A. 11 . B. 9 . C. 15 . Câu 62.. (Lê Quý Đôn - Quảng Trị - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A 1;1;1 , B 0;1; 2 , C 2;1;4 và mặt phẳng P : x y z 2 0 . Tìm điểm N P sao cho S 2 NA2 NB 2 NC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. 4 4 A. N ; 2; . B. N 2;0;1 . 3 3. Câu 63.. D. 14 .. 1 5 3 C. N ; ; . 2 4 4. D. N 1; 2;1 .. (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu. S : x 1. 2. 2. 2. y 2 z 1 9 và hai điểm A 4;3;1 , B 3;1;3 ; M là điểm thay đổi trên. Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(402)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. S . Gọi m n.. m , n là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2MA2 MB 2 . Xác định. A. 64 . Câu 64.. B. 68 .. C. 60 .. D. 48 .. (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian với hệ tọa độ 2. Oxyz. 2. cho ba điểm 2. A 8;5; 11 , B 5;3; 4 , C 1; 2; 6 và mặt cầu S : x 2 y 4 z 1 9 . Gọi điểm M a; b; c là điểm trên S sao cho MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Hãy tìm a b . A. 6 .. B. 2 . 2. 2. của biểu thức T a.b.c bằng A. 3 . B. 8 . Câu 66. Trong không gian Oxyz. 2. 2. 2. 2. C. 6 .. D. 18 .. x 1 y 2 z 3 và mặt cầu S : 2 3 4 729 . Cho biết điểm A 2; 2; 7 , điểm B thuộc giao tuyến của. cho đường thẳng d :. x 3 y 4 z 5 mặt cầu S và mặt phẳng P : 2 x 3 y 4 z 107 0 . Khi điểm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB bằng A. 5 30 . B. 2 7 . Câu 67.. D. 9.. S : x 2 y 1 z 3 9 và hai điểm A 1 ; 1 ; 3 , B 21 ; 9 ; 13 . M a ; b ; c thuộc mặt cầu S sao cho 3MA2 MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị. Câu 65. Cho mặt cầu Điểm. C. 4 .. C. 5 29 .. M di động trên đường thẳng d. 742 .. D.. (THPT Chuyên Thái Bình - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x 15 y 22 z 37 và mặt cầu P : x y z 1 0 , đường thẳng d : 1 2 2 S : x 2 y 2 z 2 8 x 6 y 4 z 4 0 . Một đường thẳng thay đổi cắt mặt cầu S tại hai điểm A, B sao cho AB 8 . Gọi A , B là hai điểm lần lượt thuộc mặt phẳng P sao cho AA ,. BB cùng song song với d . Giá trị lớn nhất của biểu thức AA BB là A. Câu 68.. 8 30 3 . 9. B.. 24 18 3 . 5. C.. 12 9 3 . 5. D.. 16 60 3 . 9. (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 3;1;1 ,. B 5;1;1 và hai mặt phẳng điểm nằm trên hai mặt. P : x 2 y z 4 0 , Q : x y z 1 0 . Gọi M a ; b ; c là phẳng P và Q sao cho MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính. T a 2 b2 c 2 . A. 5 . B. 29 . C. 13 . D. 3 . Dạng 2.3. Cực trị liên quan đến chu vi, diện tích, bán kính, thể tích Câu 69.. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABCD có A trùng với gốc tọa độ O , các đỉnh B(a;0;0) , D(0; a;0) , A(0;0; b) với a, b 0 và a b 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Thể tích của khối tứ diện BDAM có giá trị lớn nhất bằng 64 32 8 4 A. . B. . C. . D. . 27 27 27 27. Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(403)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 70.. (THPT Nguyễn Huệ - Huế - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x 1 2t d : y 1 t và hai điểm A 1;5; 0 , B 3;3; 6 . Gọi M a; b; c là điểm trên d sao cho chu z 2t vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P a b c . A. P 1 . B. P 3 . C. P 3 .. Câu 71.. D. P 1 .. (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A 1;1;6 , B 3; 2; 4 , C 1; 2; 1 , D 2; 2;0 . Điểm M a; b; c thuộc đường thẳng. CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. Tính a b c . A. 1. B. 2 . C. 3 .. D. 0 .. Câu 72. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có A 1;1;6 , B 3; 2; 4 ,. C 1; 2; 1 , D 2; 2;0 . Điểm M a; b; c thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. Tính a b c. A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . Câu 73.. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P :x y z 2 0 và hai điểm A 3; 4;1 ; B 7; 4; 3 . Điểm M a; b; c a 2 thuộc. P. sao cho tam giác ABM vuông tại M và có diện tích nhỏ nhất. Khi đó giá trị biểu thức. T a b c bằng: A. T 6 .. Câu 74.. B. T 8 .. D. T 0 .. C. T 4 .. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu. x 1 2t ( S ) : x 3 y 1 z 4 và đường thẳng d : y 1 t , (t ) . Mặt phẳng chứa d và cắt z t (S ) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là A. y z 1 0 . B. x 3 y 5 z 2 0 . 2. C. x 2 y 3 0 .. 2. 2. D. 3 x 2 y 4 z 8 0 .. Câu 75. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 2;6), B(0;1;0) và mặt cầu ( S ) : ( x 1) 2 ( y 2) 2 ( z 3) 2 25 . Mặt phẳng ( P) : ax by cz 2 0 đi qua A, B và cắt theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T a b c . A. T 3 B. T 5 C. T 2 D. T 4 Câu 76. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu. 2. 2. S : x 1 y 2 z 3. phẳng đi qua hai điểm A 0;0; 4 , B 2; 0; 0 và cắt mặt cầu. S. 2. 48 Gọi là mặt. theo giao tuyến là đường tròn. C . Khối nón N có đỉnh là tâm của S , đường tròn đáy là C có thể tích lớn nhất bằng A.. 128 3. B. 39. C.. 88 3. C.. 215 3. Câu 77. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABCD có A trùng với gốc tọa độ O , các đỉnh B(a;0;0) , D(0; a;0) , A(0;0; b) với a, b 0 và a b 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Thể tích của khối tứ diện BDAM có giá trị lớn nhất bằng 64 32 8 4 A. . B. . C. . D. . 27 27 27 27 Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(404)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 4 3t Câu 78. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 3 4t . Gọi A là hình chiếu vuông góc của O z 0 trên d . Điểm M di động trên tia Oz , điểm N di động trên đường thẳng d sao cho MN OM AN . Gọi I là trung điểm đoạn thẳng OA . Trong trường hợp diện tích tam giác IMN đạt giá trị nhỏ nhất, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng M , d có tọa độ là. . . A. 4;3;5 2 .. . . B. 4;3;10 2 .. . . C. 4;3;5 10 .. . . D. 4;3;10 10 .. 1 3 Câu 79. Trong không gian Oxyz , cho điểm M ; ;0 và mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 8 . Đường thẳng 2 2 d thay đổi, đi qua điểm M , cắt mặt cầu S tại hai điểm phân biệt A, B . Tính diện tích lớn nhất. S của tam giác OAB . A. S 7 .. B. S 4 .. C. S 2 7 .. D. S 2 2 .. Câu 80. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 4;3 và mặt phẳng P : 2 y z 0 . Biết điểm B thuộc. P , điểm C A. 6 5 .. thuộc Oxy sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. Hỏi giá trị nhỏ nhất đó là B. 2 5 .. C. 4 5 .. D.. Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 5..
<span class='text_page_counter'>(405)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. Chuyên đề 31. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng 1. Xác định VTCP Véctơ chỉ phương u của đường thẳng d là véctơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d . Nếu d có một véctơ chỉ phương là u thì k .u cũng là một véctơ chỉ phương của d . Nếu có hai véctơ n1 và n2 cùng vuông góc với d thì d có một véctơ chỉ phương là u [n1 , n2 ]. Để viết phương trình đường thẳng d , ta cần tìm điểm đi qua và một véctơ chỉ phương. Qua M ( x ; y ; z ) Nếu đường thẳng d : thì ta có hai dạng phương trình đường thẳng: VTCP : ud ( a1 ; a2 ; a3 ) k .u d x x a1t u Phương trình đường thẳng d dạng tham số y y a2t , (t ). z z a t 3 Phương trình đường thẳng d dạng chính tắc. Câu 1.. x x y y z z , (a1a2 a3 0). a1 a2 a3. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : Vecto nào dưới đây là một vecto chỉ phương của d ? A. u2 2; 4; 1 . B. u1 2; 5;3 . C. u3 2;5;3 .. x 3 y 4 z 1 . 2 5 3. D. u4 3; 4;1 .. Lời giải Chọn Câu 2.. B.. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d ? A. u2 3; 4; 1 . B. u1 2; 5; 2 . C. u3 2;5; 2 .. x2 y5 z 2 . 3 4 1. D. u3 3; 4;1 .. Lời giải Chọn A Đường thẳng d : Câu 3.. x2 y5 z 2 có một vectơ chỉ phương là u2 3; 4; 1 . 3 4 1. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : Vecto nào dưới đây là một vecto chỉ phương của d A. u3 3; 1; 2 . B. u4 4; 2;3 . C. u2 4; 2;3 .. x 3 y 1 z 2 . 4 2 3. D. u1 3;1; 2 .. Lời giải Chọn C Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u 2 4; 2;3 . Câu 4.. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d ? A. u2 4; 2;3 . B. u4 4; 2; 3 . C. u3 3; 1; 2 .. x4 y 2 z 3 . 3 1 2. D. u1 3;1; 2 .. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(406)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải Chọn C. Câu 5.. x 2 t (Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : y 1 2t có một vectơ chỉ phương là: z 3 t A. u1 1; 2;3 B. u3 2;1;3 C. u4 1; 2;1 D. u2 2;1;1 Lời giải Chọn C x 2 t d : y 1 2t có một vectơ chỉ phương là u4 1; 2;1 . z 3 t . Câu 6.. (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :. x 1 y 3 z 2 . Vectơ nào 2 5 3. dưới đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng d A. u 1;3; 2 . B. u 2;5;3 . C. u 2; 5;3 .. D. u 1;3;2 .. Lời giải Chọn C. Dựa vào phương trình đường thẳng suy ra một vectơ chỉ phương của d là u 2; 5;3 Câu 7.. (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A 1;1;0 và B 0;1; 2 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB . A. d 1;1; 2 B. a 1;0; 2 C. b 1; 0; 2 . D. c 1; 2; 2 . Lời giải. Chọn C Ta có AB 1; 0; 2 suy ra đường thẳng AB có VTCP là b 1; 0; 2 . Câu 8.. (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : phương là A. u1 3; 1;5 . B. u4 1; 1; 2 . x 3 y 1 z 5 có một vectơ chỉ 1 1 2. C. u2 3;1;5 . D. u3 1; 1; 2 . Lời giải Chọn B Đường thẳng d : Câu 9.. x 3 y 1 z 5 có một vectơ chỉ phương là u4 1; 1; 2 . 1 1 2. (Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : dưới đây là một vectơ chỉ phương của d ? A. u4 1;3; 2 . B. u3 2;1;3 .. C. u1 2;1; 2 .. x 2 y 1 z 3 . Vectơ nào 1 3 2. D. u2 1; 3; 2 .. Lời giải Chọn D Đường thẳng d :. x 2 y 1 z 3 có một vectơ chỉ phương là u2 1; 3; 2 . 1 3 2. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(407)</span> Câu 10.. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x 2 y 1 z (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : . Đường 1 2 1. thẳng d có một vectơ chỉ phương là . A. u 4 1;2; 0. . . B. u2 2;1; 0. . C. u 3 2;1;1. D. u1 1;2;1. Lời giải Chọn D Câu 11.. (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :. x 3 y 1 z 5 . Vectơ nào 1 2 3. sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d ?. . A. u2 (1; 2;3). . . B. u3 (2;6; 4) .. C. u4 (2; 4;6) .. . D. u1 (3; 1;5) .. Lời giải Chọn A. . Ta thấy đường thẳng d có một vectơ chỉ phương có tọa độ u2 (1; 2;3) . Câu 12.. (Mã 101 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : dưới đây là một vectơ chỉ phương của d ? A. u4 (1; 2; 3) . B. u3 (1; 2;1) .. x 2 y 1 z 3 . Vectơ nào 1 2 1. C. u1 (2;1; 3) .. D. u2 (2;1;1) .. Lời giải Chọn B Một vectơ chỉ phương của d là: u (1;2;1) . Câu 13.. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : điểm nào dưới đây? A. Q 2; 1; 2 . B. M 1; 2; 3. C. P 1; 2;3. x 1 y 2 z 3 đi qua 2 1 2. D. N 2;1; 2 . Lời giải Chọn C Câu 14.. (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1; 2;3 . Gọi M 1 , M 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox , Oy . Vectơ nào dưới đây là một véctơ chỉ phương của đường thẳng M 1M 2 ? A. u4 1; 2;0 B. u1 0; 2;0 . C. u2 1; 2; 0 . D. u3 1; 0; 0 . Lời giải Chọn A M 1 là hình chiếu của M lên trục Ox M 1 1;0;0 . M 2 là hình chiếu của M lên trục Oy M 2 0; 2;0 . Khi đó: M 1M 2 1; 2; 0 là một vectơ chỉ phương của M 1M 2 . Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :. x y 4 z 3 . Hỏi trong các 1 2 3. vectơ sau, đâu không phải là vectơ chỉ phương của d ? A. u1 1; 2;3 . B. u 2 3; 6; 9 . C. u3 1; 2; 3 .. D. u4 2; 4;3 .. Lời giải Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(408)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Ta có một vectơ chỉ phương của d là u1 1; 2;3 . u2 3u1 , u3 u1 các vectơ u2 , u3 cũng là vectơ chỉ phương của d . Không tồn tại số k để u4 k.u1 nên u4 2; 4;3 không phải là vectơ chỉ phương của d .. Câu 16.. (Sở Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng nào sau đây nhận u 2;1;1 là một vectơ chỉ phương?. x 2 y 1 z 1 x y 1 z 2 B. 1 2 3 2 1 1 x 1 y 1 z x 2 y 1 z 1 C. D. 2 1 1 2 1 1 Lời giải Chọn C Xét đường thẳng được cho ở câu C, có một vectơ chỉ phương là 2; 1; 1 2;1;1 (thỏa đề A.. bài). Câu 17.. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường x 1 y 2 z 1 thẳng d : nhận véc tơ u a; 2; b làm véc tơ chỉ phương. Tính a b . 2 1 2 A. 8 . B. 8 . C. 4 . D. 4 . Lời giải Đường thẳng d có một véc tơ chỉ phương là v 2;1; 2 .. a 4 a 2 b u a; 2; b làm véc tơ chỉ phương của d suy ra u và v cùng phương nên 2 1 2 b 4 Câu 18.. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , tọa độ nào sau đây là tọa độ của x 2 4t một véctơ chỉ phương của đường thẳng : y 1 6t , t ? z 9t 1 1 3 A. ; ; . 3 2 4. 1 1 3 B. ; ; . 3 2 4. C. 2;1;0 .. D. 4; 6;0 .. Lời giải 1 1 3 Cách 1: Từ phương trình suy ra véctơ chỉ phương của là u 4; 6;9 12 ; ; . 3 2 4. Câu 19. (Chuyên KHTN 2019) Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng x 2 y 1 z 3 3 2 1 A. 2;1; 3 . B. 3; 2;1 . C. 3; 2;1 . D. 2;1;3 . Lời giải Vectơ chỉ phương của đường thẳng là u 3; 2; 1 1 3; 2;1 nên u1 3; 2;1 cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng. Câu 20.. (Chuyên Thái Bình 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng. d :. x 1 y 3 z 7 nhận vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương? 2 4 1. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(409)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 2; 4;1 .. B. 2;4;1 .. C. 1; 4;2 .. D. 2; 4;1 .. Lời giải. Từ phương trình chính tắc của đường thẳng d ta có vectơ chỉ phương là u d 2; 4;1 .. Câu 21.. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Trong không gian Oxyz véc tơ nào dưới đây là một véc tơ chỉ x 1 t phương của đường thẳng d : y 4 , z 3 2t A. u (1; 4;3) . B. u (1; 4; 2) .. C. u (1;0; 2) .. D. u (1; 0; 2) .. Lời giải Từ phương trình tham số của đường thẳng d , ta suy ra một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là u (1;0; 2) . Dạng 2. Viết phương trình đường thẳng Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số và dạng chính tắc (nếu có), biết d đi qua điểm M ( x ; y ; z ) và có véctơ chỉ phương ud (a1 ; a2 ; a3 ). Qua M ( x ; y ; z ) Phương pháp. Ta có: d : VTCP : ud ( a1 ; a2 ; a3 ). x x a1t Phương trình đường thẳng d dạng tham số d : y y a2t , (t ). z z a t 3 . Phương trình đường thẳng d dạng chính tắc d :. x x y y z z , (a1a2 a3 0). a1 a2 a3. Dạng 2. Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của đường thẳng d đi qua A và B. Qua A (hay B) d B Phương pháp. Đường thẳng d : (dạng 1) A VTCP : ud AB Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số và chính tắc (nếu có), biết d đi qua điểm M và song song với đường thẳng . u Qua M ( x ; y ; z ) (dạng 1) Phương pháp. Ta có d : d M VTCP : ud u Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số và chính tắc (nếu có), biết d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng ( P ) : ax by cz d 0. d u n d P Qua M M Phương pháp. Ta có d : (dạng 1) VTCP : ud n( P ) (a; b; c) P. Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng d qua M và song song với hai mặt phẳng ( P), (Q). Qua M Phương pháp. Ta có d : (dạng 1) VTCP : ud [nP , nQ ] Dạng 2.1 Xác định phương trình đường thẳng cơ bản Câu 22.. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M (1;0;1) và N ( 3; 2; 1) . Đường thẳng MN có phương trình tham số là. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(410)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 1 2t A. y 2t . z 1 t . x 1 t B. y t . z 1 t . x 1 t C. y t . z 1 t . x 1 t D. y t . z 1 t . Lời giải Chọn D. . . Đường thẳng MN nhận MN ( 2; 2; 2) hoặc u (1;1; 1) là véc tơ chỉ phương nên ta loại ngay phương án A, B và C. Thay tọa độ điểm M (1;0;1) vào phương trình ở phương án D ta thấy thỏa mãn. Câu 23.. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian tọa độ Ox yz , phương trình nào dưới đây là phương. x 1 2t ? trình chính tắc của đường thẳng d : y 3t z 2 t A.. x 1 y z 2 2 3 1. B.. x 1 y z 2 1 3 2. x 1 y z 2 2 3 2 Lời giải C.. D.. x 1 y z 2 2 3 1. Chọn D. x 1 2t Do đường thẳng d : y 3t đi qua điểm M (1;0; 2) và có véc tơ chỉ phương u (2;3;1) nên có z 2 t phương trình chính tắc là. x 1 y z 2 . 2 3 1. Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M 1; 2;1 , N 0;1; 3 . Phương trình đường thẳng qua hai điểm M , N là x 1 y 2 z 1 x 1 y 3 z 2 A. . B. . 1 3 2 1 2 1 x y 1 z 3 x y 1 z 3 C. . D. . 1 3 2 1 2 1 Lời giải. MN 1; 3; 2 . Đường thẳng MN qua N nhận MN 1; 3; 2 làm vectơ chỉ phương có phương trình. x y 1 z 3 . 1 3 2 Câu 25. Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M 2;0; 1 và có véctơ chỉ phương a 2; 3;1 là. x 4 2t A. y 6 . z 2 t . x 2 2t B. y 3t . z 1 t . x 2 4t C. y 6t . z 1 2t Lời giải. x 2 2t D. y 3t . z 1 t . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(411)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Theo lý thuyết về dường thẳng trong không gian Oxyz, ta có phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M x0 ; y0 ; z0 và có véctơ chỉ phương a a1 ; a2 ; a3 là. x x0 a1t y y0 a2t , z z a t 0 3 . t .. Do đó, đáp án D đúng. Câu 26.. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , cho E (1;0;2) và F (2;1; 5) . Phương trình đường thẳng EF là x 1 y z 2 x 1 y z 2 A. B. 3 1 7 3 1 7 x 1 y z 2 x 1 y z 2 C. D. 1 1 3 1 1 3 Lời giải Chọn B Ta có: EF (3;1; 7) . Đường thẳng EF đi qua điểm E ( 1; 0; 2) và có VTCP u EF (3;1; 7) có phương trình:. x 1 y z 2 . 3 1 7. Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng đi qua điểm M 2;0; 1 và có một vectơ chỉ phương a 4; 6;2 .Phương trình tham số của là. x 2 4t A. y 6t . z 1 2t . x 2 2t B. y 3t . z 1 t . a 4; 6; 2 2 2; 3;1 \. x 4 2t C. y 6 . z 2 t . x 2 2t D. y 3t . z 1 t . Lời giải. Do đó đường thẳng có một vectơ chỉ phương là u 2; 3;1 . Vậy phương trình tham số của x 2 2t đi qua M 2;0; 1 và có một vectơ chỉ phương là u 2; 3;1 là: y 3t . z 1 t Câu 28.. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm P 1;1; 1 và Q 2;3;2 . x 1 2 x 1 C. 1 A.. y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 . B. . 3 2 1 2 3 y 2 z 3 x2 y 3 z 2 . D. . 1 1 1 2 3 Lời giải. Ta có PQ 1; 2;3 . Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm P , Q Khi đó d có một vec tơ chỉ phương là u d PQ 1; 2;3 Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(412)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm P 1;1; 1 là d : Câu 29.. x 1 y 1 z 1 . 1 2 3. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A 1;2;3 và B 5; 4; 1 là x 5 y 4 z 1 x 1 y 2 z 3 . B. . 2 1 2 4 2 4 x 1 y 2 z 3 x 3 y 3 z 1 C. . D. . 4 2 4 2 1 2 Lời giải Ta có AB 4; 2; 4 . Suy ra AB cùng phương với u 2; 1; 2 . Phương trình đường thẳng AB đi qua B 5; 4; 1 nhận u 2; 1; 2 làm vectơ chỉ phương là:. A.. x 5 y 4 z 1 , 1 . Do đó loại A, 2 1 2. C.. Có tọa độ C 1; 2; 3 không thỏa mãn phương trình 1 nên phương án. B.. Lại có tọa độ D 3;3;1 thỏa mãn phương trình 1 nên phương trình đường thẳng AB cũng được viết là:. x 3 y 3 z 1 . 2 1 2. Câu 30. Trong không gian Oxyz , đường thẳng Oy có phương trình tham số là. x t A. y t t . z t . x 0 B. y 2 t t . z 0 . x 0 C. y 0 t . z t . x t D. y 0 t . z 0 . Lời giải. Đường thẳng Oy đi qua điểm A 0 ; 2 ; 0 và nhận vectơ đơn vị j 0; 1; 0 làm vectơ chỉ x 0 0.t x 0 phương nên có phương trình tham số là y 2 1.t t y 2 t t . z 0 0.t z 0 Câu 31.. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Trong không gian Oxyz có đường thẳng có phương trình. x 1 2t tham số là (d ) : y 2 t . Khi đó phương trình chính tắc của đường thẳng d là z 3 t x 1 y 2 z 3 x 1 B. 2 1 1 2 x 1 y 2 z 3 x 1 C. D. 2 1 1 2. A.. y 2 z 3 1 1 y 2 z 3 1 1. Lời giải Chọn A. Đường thẳng d đi qua điểm M (1; 2; 3) nhận véc tơ u 2; 1;1 nên có phương trình dạng chính. tắc là. x 1 y 2 z 3 2 1 1. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(413)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 32.. (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Trong không gian Oxyz , cho E 1;0; 2 và F 2;1; 5 . Phương trình đường thẳng EF là x 1 y z 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 A. . B. . C. . D. . 3 1 7 3 1 7 1 1 3 1 1 3 Lời giải Chọn B Đường thẳng EF có véctơ chỉ phương là EF 3;1; 7 và đi qua E 1;0; 2 nên có phương. x 1 y z 2 . 3 1 7 (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương. trình: Câu 33.. trình tham số trục Oz là A. z 0 .. x 0 B. y t . z 0 . x t C. y 0 . z 0 . x 0 D. y 0 . z t . Lời giải Chọn D. Trục Oz đi qua gốc tọa độ O 0;0;0 và nhận vectơ đơn vị k 0; 0;1 làm vectơ chỉ phương nên x 0 có phương trình tham số y 0 . z t Câu 34.. (THPT Cẩm Bình 2019) Trong không gian Oxyz , trục Ox có phương trình tham số A. x 0.. x 0 C. y 0. z t . B. y z 0.. x t D. y 0. z 0 . Lời giải Chọn D. Trục Ox đi qua O 0;0;0 và có véctơ chỉ phương i 1; 0; 0 nên có phương trình tham số là:. x 0 1.t x t y 0 0.t y 0. z 0 0.t z 0 x t Vậy trục Ox có phương trình tham số y 0 . z 0 . Câu 35.. (Ngô Quyền - Hải Phòng 2019) Trong không gian Oxyz , phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M 1; 2;3 và có véctơ chỉ phương a 1; 4; 5 là x 1 t x 1 y 2 z 3 A. . B. y 4 2t . 1 4 5 z 5 3t . Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(414)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 1 t x 1 y 4 z 5 C. . D. y 2 4t . 1 2 3 z 3 5t Lời giải Chọn D. Đường thẳng d có véctơ chỉ phương a 1; 4; 5 , do a v với v 1; 4;5 nên d cũng nhận véctơ v 1; 4;5 làm véctơ chỉ phương do đó phương trình tham số của đường thẳng d là x 1 t y 2 4t . . z 3 5t Câu 36.. (Chuyên Nguyễn Huệ 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình tham số của đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và có vectơ chỉ phương u 1;3; 2 là. x 0 A. d : y 3t . z 2t . x 1 B. d : y 3 . z 2 . x t C. d : y 3t . z 2t Lời giải. x t D. d : y 2t . z 3t . Chọn C. Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O 0;0;0 và nhận vectơ u 1;3; 2 làm vectơ chỉ phương có. x t phương trình tham số là d : y 3t . z 2t Câu 37.. (Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A 1; 2;3 và có vectơ chỉ phương u 2; 1; 2 .. x2 1 x2 C. 1 A.. y 1 2 y 1 2. z2 x 1 y 2 . B. 3 2 1 z2 x 1 y 2 . D. 3 2 1. z 3 . 2 z 3 . 2 Lời giải. Chọn D Câu 38.. (Sở Bình Thuận 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d đi qua điểm M 0; 1; 4 và nhận vectơ u 3; 1;5 làm vectơ chỉ phương. Hệ phương trình nào sau đây là phương trình tham số của d ?. x 3t A. y 1 t . z 4 5t . x 3 B. y 1 t . z 5 4t . x 3t C. y 1 t . z 4 5t . x 3t D. y 1 t . z 4 5t . Lời giải Chọn C. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(415)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Đường thẳng d đi qua điểm M 0; 1; 4 và nhận vectơ u 3; 1;5 làm vectơ chỉ phương.. x 3t Phương trình tham số của d là: y 1 t . z 4 5t Câu 39.. (Sở GD Nam Định - 2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua M 1;2; 3 nhận vectơ u 1; 2;1 làm vectơ chỉ phương có phương trình là x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 . B. . 1 2 1 1 2 1 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 C. . D. . 1 2 1 1 2 1. A.. Lời giải Chọn D. Đường thẳng đi qua M 1;2; 3 nhận vectơ u 1; 2;1 làm vectơ chỉ phương có phương trình là. x 1 y 2 z 3 1 2 1. Dạng 2.2 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố vuông góc Câu 40.. (Mã 101 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 2;3 và mặt phẳng. P : 2 x y 3z 1 0 . Phương trình của đường thẳng đi qua M x 1 2t A. y 2 t . z 3 3t . x 1 2t B. y 2 t . z 3 3t . x 2 t C. y 1 2t . z 3 3t . và vuông góc với P là. x 1 2t D. y 2 t . z 3 3t . Lời giải Chọn A Đường thẳng cần tìm đi qua M 1; 2;3 , vuông góc với P nên nhận n P 2; 1;3 là véc tơ. x 1 2t chỉ phương. Phương trình đường thẳng cần tìm là y 2 t . z 3 3t Câu 41.. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho M 1; 2; 3 và mặt phẳng. ( P) : 2x y 3z 1 0 . Phương trình của đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với ( P) là x 2 t A. y 1 2t . z 3 3t . x 1 2t B. y 2 t . z 3 3t . x 1 2t C. y 2 t . z 3 3t . x 1 2t D. y 2 t . z 3 3t . Lời giải Chọn C. Ta có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P) : 2x y 3z 1 0 là n 2; 1;3 . x 1 2t Đường thẳng đi qua điểm M 1; 2; 3 và và vuông góc với ( P) có phương trình là y 2 t . z 3 3t Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(416)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 42.. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 2; 2 và mặt phẳng. P : 2 x y 3z 1 0 . Phương trình của đường thẳng qua. M và vuông góc với mặt phẳng P . là x 1 2t A. y 2 t . z 2 3t . x 1 t B. y 2 2t . z 2 t . x 2 t C. y 1 2t . z 3 2t . x 1 2t D. y 2 t . z 2 3t . Lời giải Chọn A Đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng P nhận véc tơ pháp tuyến của mặt x 1 2t phẳng P làm véc tơ chỉ phương có phương trình tham số là y 2 t . z 2 3t . Câu 43.. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;2; 2 và mặt phẳng. P : 2 x y 3z 1 0 . Phương trình của đường thẳng đi qua x 1 2t A. y 2 t . z 2 3t . x 1 2t B. y 2 t . z 2 3t . M và vuông góc với P là:. x 1 2t C. y 2 t . z 2 3t . x 2 t D. y 1 2t z 3 2t . Lời giải Chọn B. Mặt phẳng P : 2 x y 3 z 1 0 có vectơ pháp tuyến n 2;1; 3 đường thẳng đi qua M 1;2; 2 và vuông góc với P nên nhận n 2;1; 3 làm vectơ chỉ x 1 2t phương. Vậy phương trình tham số là y 2 t . z 2 3t . Câu 44.. (Mã 123 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua A 2; 3; 0 và vuông góc với mặt phẳng P : x 3 y z 5 0 ? x 1 t A. y 1 3t z 1 t . x 1 t B. y 3t z 1 t . x 1 3t C. y 1 3t z 1 t . x 1 3t D. y 1 3t z 1 t . Lời giải Chọn B. Vectơ chỉ phương của đường thẳng là u 1; 3; 1 nên suy ra chỉ đáp án A hoặc B đúng. Thử tọa. độ điểm A 2; 3; 0 vào ta thấy đáp án B thỏa mãn Câu 45.. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. : x y 2 z 1 . Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với . x y 1 z . A. d1 : 1 1 2. x 2t x y 1 z x y 1 z B. d 2 : . C. d 3 : . D. d 4 : y 0 1 1 1 1 1 1 z t Lời giải. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(417)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chọn A. Gọi VTCP của đường thẳng cần tìm là a a1; a2 ; a3 với a12 a22 a32 0 . a a a Đường thẳng vuông góc với a cùng phương n 1 2 3 1 1 2 Chọn a1 1 thì a2 1 và a3 2 . Câu 46.. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm. A 1;1;1 và vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxy có phương trình tham số là: x 1 t A. y 1 . z 1 . x 1 B. y 1 . z 1 t . x 1 t C. y 1 . z 1 . x 1 t D. y 1 t . z 1 . . Lời giải. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxy nên nhận k 0;0;1 làm vectơ chỉ. phương. Mặt khác d đi qua A 1;1;1 nên:. x 1 Đường thẳng d có phương trình là: y 1 . z 1 t Câu 47. Trong. không. gian. với. hệ. trục. Oxyz ,. cho. P : x 3 y 2 z 1 0 . Tìm phương trình đường thẳng x 1 y 3 z 2 x 1 . B. 1 3 2 1 x y z x 1 C. D. . 1 3 2 1 A.. điểm. M 1; 3; 2 . và. mặt. phẳng. d qua M và vuông góc với P .. y 3 z 2 . 3 2 y 3 z2 . 3 2 Lời giải. Chọn B. . Mặt phẳng P có VTPT là n 1; 3; 2 .. . Vì d vuông góc với P nên d nhận n 1; 3; 2 là VTCP.. . Đường thẳng d qua M và nhận n 1; 3; 2 là VTCP có phương trình: Câu 48.. x 1 y 3 z 2 . 1 3 2. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;0;2 và đường thẳng x 1 y z 1 . Đường thẳng đi qua A , vuông góc và cắt d có phương trình là 1 1 2 x 2 y 1 z 1 x 1 y z 2 A. : . B. : . 1 1 1 1 1 1 x 2 y 1 z 1 x 1 y z 2 C. : . D. : . 2 2 1 1 3 1 d:. Lời giải Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(418)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Gọi giao điểm của và d là B t 1; t ; 2t 1 . Khi đó u AB t , t , 2t 3 . Vì đường thẳng vuông góc với đường thẳng d có ud 1,1, 2 thì: t t 2 2t 3 0 t 1 u 1,1, 1 . Phương trình đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là :. Câu 49.. x 2 y 1 z 1 1 1 1. (Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A 3;1;2 và vuông góc với mặt phẳng x y 3z 5 0 có phương trình là. x 3 y 1 z 2 x 1 y 1 z 3 . B. . 1 1 3 3 1 2 x 1 y 1 z 3 x 3 y 1 z 2 . D. . C. 3 1 2 1 1 3 Lời giải Chọn A Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng x y 3z 5 0 nên nó có véc tơ chỉ phương là A.. x 3 y 1 z 2 u 1;1;3 . Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là . 1 1 3 Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho điểm M (3; 2; 1) và mặt phẳng ( P ) : x z 2 0. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với ( P ) có phương trình là x 3 t A. y 2 . z 1 t . x 3 t B. y 2 t . z 1 . x 3 t C. y 2t . z 1 t . x 3 t D. y 1 2t . z t . Lời giải Chọn A Ta có mặt phẳng ( P ) : x z 2 0. Mặt phẳng P có véc tơ pháp tuyến là n P 1;0;1. Gọi đường thẳng cần tìm là . Vì đường thẳng vuông góc với P nên véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P là véc tơ chỉ phương của đường thẳng . u n P 1;0;1. Vậy phương trình đường thẳng đi qua M (3; 2; 1) và có véc tơ chỉ phương u 1;0;1 là:. x 3 t . y 2 z 1 t . Câu 51. (SGD Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ oxyz , phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 1; 2;1 và vuông góc với mặt phẳng P : x 2 y z 1 0 có dạng. x 1 1 x 1 C. d : 1 A. d :. y2 2 y2 2. z 1 . 1 z 1 . 1. x2 y z2 . 1 2 1 x2 y z2 D. d : . 2 4 2 B. d :. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(419)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải Chọn D. Mặt phẳng P có vecto pháp tuyến nP 1; 2;1 . Vì d P nên nP 1; 2;1 cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng d . Suy ra phương trình đường thẳng d thường gặp là x 1 y 2 z 1 . So với đáp án không có, nên đường thẳng d theo bài là đường có vecto chỉ 1 2 1 phương cùng phương với nP và đi qua điểm A 1; 2;1 . Thay tọa độ điểm A 1; 2;1 vào 3 đáp án A, B, D thấy đáp án D thỏa mãn. Câu 52. (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Trong không gian với hệ tọa độ. P : 2 x 5 y z 1 0 và A 1; 2; 1 . Đường thẳng trình là x 2 t A. y 5 2t . z 1 t . x 3 2t B. y 3 5t . z 1 t . Oxyz , cho. qua A và vuông góc với P có phương. x 1 2t C. y 2 5t . z 1 t . x 3 2t D. y 3 5t . z t . Lời giải Chọn D. Mặt phẳng P có một vectơ pháp tuyến là n 2; 5;1 .. Đường thẳng vuông góc với P nên có một vectơ chỉ phương là u n 2;5; 1 .. x 1 2t đi qua A nên có phương trình y 2 5t . z 1 t Cho t 1 ta được điểm B 3; 3;0 .. x 3 2t Vì thế có phương trình y 3 5t . z t Câu 53. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x y z 3 0 và điểm A 1; 2;1 . Phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với P là x 1 2t A. d : y 2 t . z 1 t . x 1 2t B. d : y 2 4t . z 1 3t . x 2 t C. y 1 2t . z 1 t . x 1 2t D. d : y 2 t . z 1 3t . Lời giải Chọn A Mặt phẳng P có một vectơ pháp tuyến là n 2; 1;1 .. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng P nên nhận n 2; 1;1 làm vectơ chỉ phương. Mà x 1 2t d đi qua A 1; 2;1 nên có phương trình: y 2 t ( t ). z 1 t . Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(420)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 54. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 1; 2;1 và vuông góc với mặt phẳng P : x 2 y z 1 0 có dạng. x2 y z x 1 y 2 z 1 . B. d : . 1 2 1 1 2 1 x 1 y 2 z 1 x2 y z . C. d : . D. d : 1 2 1 2 4 2 Lời giải Chọn D P : x 2 y z 1 0 có n P 1; 2; 1 Vì d P nên d có một VTCP là a 1; 2; 1 chọn A, C, D A. d :. Thay tọa độ điểm A vào các câu đã chọn, ta thấy câu D thỏa yêu cầu. d : Câu 55.. 1 2 2 1 2 4 2. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A 2; 4;3 và vuông góc với mặt phẳng :2 x 3 y 6 z 19 0 có phương trình là. x2 2 x2 C. 2 A.. y3 4 y 3 4. z 6 x2 y4 . B. 2 3 3 z6 x2 y4 . D. 2 3 3. z 3 . 6 z 3 . 6 Lời giải. Chọn B. Mặt phẳng :2 x 3 y 6 z 19 0 có vectơ pháp tuyến là n 2 ; 3; 6 .. Đường thẳng đi qua điểm A 2; 4;3 và vuông góc với mặt phẳng nhận n 2 ; 3; 6 . x 2 y 4 z 3 . 2 3 6 Dạng 2.3 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song làm vectơ chỉ phương, khi đó phương trình đường thẳng là:. Câu 56.. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;0;1 , B 1;1;0 và. C 3; 4; 1 . Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là A.. x 1 y z 1 . 4 5 1. B.. x 1 y z 1 x 1 y z 1 . C. . 2 3 1 2 3 1 Lời giải. D.. x 1 y z 1 . 4 5 1. Chọn C. Đường thẳng d đi qua A và song song với BC nhận BC 2;3; 1 làm một véc tơ chỉ phương. Phương trình của đường thẳng d : Câu 57.. x 1 y z 1 . 2 3 1. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;3 , B 1;1;1 , C 3; 4;0 . Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 A. . B. . 4 5 1 4 5 1 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 C. . D. . 2 3 1 2 3 1. Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(421)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải Chọn C Ta có BC 2;3; 1 , đường thẳng song song nên có vec tơ chỉ phương cùng phương với BC 2;3; 1 . Do vậy đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là x 1 y 2 z 3 2 3 1 Câu 58.. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1;2;0), B(1;1; 2) và C (2;3;1) . Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là x 1 y 2 z x 1 y 2 z x 1 y 2 z x 1 y 2 z . B. . C. . D. . A. 1 2 1 3 4 3 3 4 3 1 2 1 Lời giải Chọn A Gọi d là phương trình đường thẳng qua A 1; 2;0 và song song với BC . x 1 y 2 z . Ta có BC 1; 2; 1 d : 1 2 1. Câu 59.. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;1;0 , B 1;0;1 , C 3;1;0 . Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là: x 1 y 1 z z 1 y 1 z . . A. B. 2 1 1 4 1 1 x 1 y 1 z x 1 y 1 z . C. . D. 2 1 1 4 1 1 Lời giải Chọn C Đường thẳng đi qua A 1;1; 0 , song song với BC nên nhận BC 2;1; 1 là véc tơ chỉ phương do đó có phương trình là:. Câu 60.. x 1 y 1 z . 2 1 1. (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 0; 1;3 , B 1;0;1 ,. C 1;1;2 . Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng BC ? A. x 2 y z 0 .. C.. x y 1 z 3 . 2 1 1. x 2t B. y 1 t . z 3 t D.. x 1 y z 1 . 2 1 1 Lời giải. Chọn C. Đường thẳng đi qua A và song song BC nhận BC 2;1;1 làm vectơ chỉ phương x y 1 z 3 . 2 1 1 Chú ý: Đáp án A không nhận được, vì đó là phương trình tham số của đường thẳng cần tìm, chứ không phải phương trình chính tắc.. Phương trình chính tắc của đường thẳng :. Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(422)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 61.. (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 3 ; B 1; 4;1 và. x2 y2 z3 . Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường 1 1 2 thẳng đi qua trung điểm của đoạn AB và song song với d ? x y 1 z 1 x y 1 z 1 A. B. 1 1 2 1 1 2 x 1 y 1 z 1 x y2 z2 C. D. 1 1 2 1 1 2 Lời giải Chọn B đường thẳng d :. Trung điểm của AB là I 0;1; 1 x2 y2 z3 có VTCP là u 1; 1; 2 nên đường thẳng cần tìm cũng có VTCP d: 1 1 2 u 1; 1; 2 . Suy ra phương trình đường thẳng :. x y 1 x 1 . 1 1 2. Câu 62. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm. P :. A 1; 2; 3 và hai mặt phẳng. x y z 1 0 , Q : x y z 2 0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường. thẳng đi qua A , song song với P và Q ?. x 1 A. y 2 z 3 2t . x 1 t B. y 2 z 3 t . x 1 2t C. y 2 z 3 2t . x 1 t D. y 2 z 3 t . Lời giải Chọn D. n P 1; 1; 1 Ta có và n P , nQ 2; 0; 2 2 1; 0; 1 . Vì đường thẳng d song song với nQ 1; 1; 1 hai mặt phẳng, nên nhận véc tơ 1; 0; 1 làm véc tơ chỉ phương. Câu 63. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A 0; 1; 3 , B 1; 0;1 , C 1;1; 2 . Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng BC ?. x 2t A. y 1 t . z 3 t C.. x 1 y z 1 . 2 1 1. B.. x y 1 z 3 . 2 1 1. D. x 2 y z 0 . Lời giải. Chọn B. Đường thẳng đi qua A và song song BC nhận BC 2; 1; 1 làm vecto chỉ phương Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(423)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x y 1 z 3 . Phương trình đường thẳng cần tìm: 2 1 1 Chú ý: Đáp án A không nhận được, vì đó là phương trình tham số của đường thẳng cần tìm, chứ không phải phương trình chính tắc. Câu 64. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;0; 1 và mặt phẳng P : x y 1 0 . Đường thẳng đi qua A đồng thời song song với P và mặt phẳng Oxy có phương trình là x 3 t A. y 2t . z 1 t . x 2 t B. y t . z 1 . x 1 2t C. y 1 . z t . x 3 t D. y 1 2t . z t . Lời giải Chọn B Ta có: n Oxy 1;1; 0 , n Oxy 0; 0;1 . Gọi d là đường thẳng đi qua A đồng thời song song với P và mặt phẳng Oxy . Khi đó: x 2 t u d n P u d n P , nOxy 1; 1; 0 . Vậy d : y t . u d n (Oxy) z 1 Câu 65. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 2;3; 1 , N 1; 2;3 và P 2; 1;1 . Phương trình đường thẳng d đi qua M và song song với NP là. x 1 3t A. y 2 3t . z 3 2t . x 2 3t B. y 1 3t . z 1 2t . x 2 3t C. y 3 3t . z 1 2t . x 3 2t D. y 3 3t . z 2 t . Lời giải Chọn C Phương trình đường thẳng d đi qua M và song song với NP nên có vectơ chỉ phương là: NP 3; 3; 2 .. x 2 3t Vậy phương trình đưởng thẳng d là: y 3 3t z 1 2t Câu 66.. (Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :. x 1 y 1 z 2 . Đường 1 2 1. thẳng đi qua điểm M 2;1; 1 và song song với đường thẳng d có phương trình là:. x 2 y 1 1 2 x 1 y 2 C. 2 1 A.. z 1 . 1 z 1 . 1. x y 5 z 3 . 1 2 1 x 2 y 1 z 1 . D. 1 1 2 B.. Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(424)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. . Vì đường thẳng song song với đường thẳng d nên nó có vectơ chỉ phương là u 1; 2; 1 hoặc u 1; 2;1 nên loại phương án C và. D.. x y 5 z 3 nên chọn phương án 1 2 1 x y 5 z 3 . Vậy phương trình của đường thẳng là 1 2 1 Vì điểm M 2;1; 1 thuộc đường thẳng. Câu 67.. B.. (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm. A(0; 0; 1), B 1; 2;0 , C 2;1; 1 . Đường thẳng đi qua C và song song với AB có phương trình là x 2t x 2t A. y 1 2t , t R . B. y 1 2t , t R . z 1 t z 1 t . x 2t x 2t C. y 1 2t , t R . D. y 1 2t , t R . z 1 t z 1 t Lời giải Chọn A AB 1; 2; 1 nên chọn là véc tơ chỉ phương của là u 1; 2;1 . x 2t Do đó phương trình của là y 1 2t , t R z 1 t Câu 68.. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng. : x 2 y z 1 0 , : 2 x y z 0 và điểm A 1; 2; 1 . Đường thẳng song song với cả hai mặt phẳng , có phương trình là x 1 2 x 1 C. 1 A.. y2 4 y2 2. đi qua điểm A và. z 1 x 1 y 2 z 1 . B. . 2 1 3 5 z 1 x y 2 z 3 . D. . 1 1 2 1 Lời giải. Chọn B. mp có véc tơ pháp tuyến là n1 1; 2;1 , mp có véc tơ pháp tuyến là n2 2;1; 1 . Đường thẳng có véc tơ chỉ phương là u n1 ; n2 1;3;5 . x 1 y 2 z 1 Phương trình của đường thẳng : . 1 3 5 Dạng 3 Bài toán liên quan điểm (hình chiếu) thuộc đường, giao điểm đường với mặt phẳng. Câu 69.. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng. d:. x 1 y 2 z 1 ? 1 3 3. A. P 1;2;1 .. B. Q 1; 2; 1 .. C. N 1;3;2 .. D. P 1;2;1 .. Lời giải Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(425)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chọn A Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng ta thấy điểm P 1;2;1 thỏa. 1 1 2 2 1 1 0 . Vậy điểm P 1;2;1 thuộc đường thẳng yêu cầu. 1 3 3 Câu 70.. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : Điểm nào sau đây thuộc d ? A. P 1; 2; 1 . B. M 1; 2;1 .. C. N 2;3; 1 .. x 1 y 2 z 1 . 2 3 1. D. Q 2; 3;1 .. Lời giải Chọn A Thay tọa độ điểm P 1; 2; 1 vào phương trình đường thẳng d thấy thỏa mãn nên đường thẳng d đi qua điểm P 1;2; 1 . Câu 71.. (Mã 101 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : nào dưới đây thuộc d? A. Q 4; 2;1 .. B. N 4; 2;1 .. C. P 2;1; 3 .. x 2 y 1 z 3 . Điểm 4 2 1. D. M 2;1;3 .. Lời giải Chọn C Thay tọa độ điểm P 2;1; 3 vào d :. x 2 y 1 z 3 ta được 4 2 1. 2 2 1 1 3 3 0 0 0 đúng. Vậy điểm P d . 4 2 1 Câu 72.. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : nào sau đây thuộc d ? A. N (4; 2; 1) .. B. Q(2;5;1) .. C. M (4; 2;1) .. x 4 z 2 z 1 . Điểm 2 5 1. D. P(2; 5;1) .. Lời giải Chọn A Thế điểm N (4; 2; 1) vào d ta thấy thỏa mãn nên chọn A. Câu 73.. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : nào dưới đây thuộc d ? A. N 3; 1; 2 B. Q 2; 4;1. C. P 2; 4; 1. x 3 y 1 z 2 . Điểm 2 4 1 D. M 3;1; 2 . Lời giải Chọn A 3 3 1 1 2 2 0 . Vậy N 3; 1; 2 thuộc d . Ta có: 2 4 1 Câu 74.. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :. x 3 y 1 z 5 . Điểm 2 2 1. nào dưới đây thuộc d ? Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(426)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. M 3;1;5 .. B. N 3;1; 5 .. C. P 2;2; 1 .. D. Q 2; 2;1 .. Lời giải Chọn B 3 3 1 1 5 5 0 nên điểm N 3;1; 5 d . Ta có 2 2 1 Câu 75.. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường. x 1 t thẳng d : y 5 t ? z 2 3t A. N 1;5;2 . B. Q 1;1;3. C. M 1;1;3. D. P 1; 2;5. Lời giải Chọn A. Cách 1. Dựa vào lý thuyết: Nếu d qua M x0 ; y0 ; z 0 , có véc tơ chỉ phương u a; b; c thì phương. x x0 at trình đường thẳng d là: y y0 bt , ta chọn đáp án z z ct 0 B. Cách 2. Thay tọa độ các điểm M vào phương trình đường thẳng d , ta có: 1 1 t t 0 A. 2 5 t t 3 (Vô lý). Loại đáp án 5 2 3t t 1 Thay tọa độ các điểm N vào phương trình đường thẳng d , ta có:. 1 1 t 5 5 t t 0 . Nhận đáp án B. 2 2 3t Câu 76.. (Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thằng d:. x 2 y 1 z 2 . 1 1 2. A. N 2; 1; 2 . B. Q 2;1; 2 . C. M 2; 2;1. D. P 1;1; 2 . Lời giải Chọn B Đường thằng d :. Câu 77.. x 2 y 1 z 2 đi qua điểm 2;1; 2 . 1 1 2. x 1 2t (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : y 3 t đi z 1 t qua điểm nào dưới đây? A. M 1;3; 1 . B. M 3;5;3 .. C. M 3;5;3 .. D. M 1; 2; 3 .. Lời giải. Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(427)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 1 2 2 3 Với t 2 , ta có y 3 2 5 . z 1 2 3. Vậy M 3;5;3 d . Câu 78.. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Đường thẳng x t d y 1 t đi qua điểm nào sau sau đây? z 2 t . A. K 1; 1;1 .. B. E 1;1; 2 .. C. H 1;2;0 .. D. F 0;1; 2 .. Lời giải 1 t t 1 Thay tọa độ của K 1; 1;1 vào PTTS của d ta được 1 1 t t 2 : không tồn tại t. 1 2 t t 1 . Do đó, K d . 1 t t 1 Thay tọa độ của E 1;1; 2 vào PTTS của d ta được 1 1 t t 0 : không tồn tại t. 2 2 t t 0 . Do đó, E d. 1 t t 1 Thay tọa độ của H 1;2;0 vào PTTS của d ta được 2 1 t t 1 : không tồn tại t. 0 2 t t 2 . Do đó, H d . 0 t t 0 Thay tọa độ của F 0;1; 2 vào PTTS của d ta được 1 1 t t 0 t 0. 2 2 t t 0 . Câu 79.. (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng x 1 y 1 z 2 ? 2 1 3 A. Q 2;1; 3 .. B. P 2; 1;3 .. C. M 1;1; 2 .. D. N 1; 1;2 .. Lời giải 1 1 1 1 2 2 Xét điểm N 1; 1;2 ta có nên điểm N 1; 1; 2 thuộc đường thẳng đã cho. 2 1 3 Câu 80.. (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian Oxyz , gọi d là đường thẳng qua A 1;0;2 , cắt và vuông góc với đường thẳng d1 : A. P 2; 1;1 .. x 1 y z 5 . Điểm nào dưới đây thuộc d ? 1 1 2. B. Q 0; 1;1 .. C. N 0; 1;2 .. D. M 1; 1;1 .. Lời giải. Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(428)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 1 t Phương trình tham số đường thẳng d1 : y t t , với vectơ chỉ phương u 1;1; 2 . z 5 2t Giả sử đường thẳng d cắt đường thẳng d1 tại B . Khi đó B 1 t ; t ;5 2t . AB t ; t ;3 2t Vì đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d1 nên AB d1 AB.u 0. t t 3 2t 2 0 t 1 . Khi đó B 2;1;3 .. Phương trình đường thẳng d đi qua A 1;0;2 và có vectơ chỉ phương AB 1;1;1 là: x 1 y z 2 . 1 1 1. Nhận thấy Q 0; 1;1 d .. Câu 81.. x 1 t Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d : y 5 t ? z 2 3t . A. Q 1;1; 3. B. P 1; 2; 5 . C. N 1; 5; 2 . D. M 1;1; 3. Lời giải Chọn C x 1 Với t 0 y 5 N 1; 5; 2 d . z 2 . x 1 y 2 z 3 đi qua điểm nào dưới đây? 2 1 2 A. Q(2;1;2) . B. M (1; 2; 3) . C. P(1;2;3) . D. N(2; 1;2) . Lời giải Đáp án A nhầm vectơ chỉ phương. Đáp án B nhầm dấu tọa độ điểm. Đáp án D nhầm vectơ chỉ phương.. Câu 82. Trong không gian Oxyz , đường thẳng d :. Câu 83.. (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường. x 1 y 2 z 3 . Hỏi d đi qua điểm nào trong các điểm sau: 3 4 5 A. C 3; 4;5 . B. D 3; 4; 5 . C. B 1; 2; 3 . D. A 1; 2;3 . thẳng d :. Lời giải Chọn D Đường thẳng d : Câu 84.. x 1 y 2 z 3 đi qua điểm A 1; 2;3 . 3 4 5. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3; 2;1 . Đường thẳng nào sau đây đi qua A ? x 3 y 2 z 1 A. . 1 1 2. B.. x 3 y 2 z 1 . 4 2 1. Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(429)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 3 y 2 z 1 C. . 1 1 2. x 3 y 2 z 1 D. . 4 2 1 Lời giải. A. Thay tọa độ điểm A 3; 2;1 vào phương trình đường thẳng ta được. Xét đáp án. 0 0 0 x 3 y 2 z 1 đi qua điểm A 3; 2;1 . đúng. Suy ra đường thẳng 1 1 2 1 1 2. x 1 t Câu 85. Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d : y 5 t ? z 2 3t . A. Q 1;1; 3. B. P 1; 2; 5 . C. N 1; 5; 2 . D. M 1;1; 3. Lời giải Chọn C x 1 Với t 0 y 5 N 1; 5; 2 d . z 2 . Câu 86.. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình A. P 7;2;1 .. x 1 y 2 z 3 . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d ? 3 2 4 B. Q 2; 4;7 . C. N 4; 0; 1 . D. M 1; 2;3 .. Lời giải Thay tọa độ điểm P 7 ; 2;1 vào phương trình đường thẳng d ta có. 7 1 2 2 1 3 nên điểm 3 2 4. P 7 ; 2;1 d .. Câu 87.. (THPT Cẩm Bình 2019) Giao điểm của mặt phẳng. P : x y z 2 0. và đường thẳng. x 2 t d : y t z 3 3t . A. 1;1;0 .. B. 0; 2;4 .. C. 0; 4;2 .. D. 2;0;3 .. Lời giải Chọn A Gọi A x; y; z là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng P . Ta có: 2 t t 3 3t 2 0 3t 3 0 t 1 . x 1 y 1 z 0 . A 1;1;0 .. Facebook Nguyễn Vương 25.
<span class='text_page_counter'>(430)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 88.. (Thpt. Vĩnh. Lộc. -. Thanh. Hóa. 2019). Trong. không. gian Oxyz, cho. đường. x 1 2t thẳng d : y 3 t , t và mặt phẳng P : x 2 y 3z 2 0. Tìm tọa độ của điểm A là giao z 1 t . điểm của đường thẳng d và mặt phẳng P . A. A 3;5;3 .. B. A 1;3;1 .. C. A 3;5;3 .. D. A 1;2; 3 .. Lời giải Chọn C Vì A là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng P nên + A d A 1 2t;3 t ;1 t . + A P 1 2t 2 3 t 3 1 t 2 0 t 2. Vậy tọa độ điểm A 3;5;3 . Câu 89.. (Hùng Vương Gia Lai2019) Trong không gian Oxyz , giao điểm của mặt phẳng. P : 3x 5 y z 2 0. và đường thẳng :. x 12 y 9 z 1 là điểm M x0 ; y0 ; z0 . Giá trị 4 3 1. tổng x0 y0 z0 bằng A. 1 .. B. 2 .. C. 5 . Lời giải. D. 2 .. Chọn D M M 12 4t ;9 3t ;1 t . M P 3 12 4t 5 9 3t 1 t 2 0 t 3 .. M 0; 0; 2 x0 y0 z0 2 .. Câu 90. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 4;5; 2 lên mặt phẳng P : y 1 0 là điểm có tọa độ A. 4; 1; 2 .. B. 4;1; 2 .. C. 0; 1;0 .. D. 0;1;0 .. Lời giải Chọn A. x 4 Gọi H à hình chiếu vuông góc của M lên P MH : y 5 t z 2 . H MH H 4;5 t; 2 H P 5 t 1 0 t 6 H 4; 1; 2 Câu 91.. (Chuyên Bắc Giang 19) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng. d:. x 12 y 9 z 1 và mặt phẳng P : 3x 5 y z 2 0 . Tìm tọa độ giao điểm của d và 4 3 1. P . A. 1;0;1 .. B. 0;0; 2 .. C. 1;1;6 .. D. 12;9;1 .. Lời giải Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(431)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chọn B. x 12 4t x 12 y 9 z 1 Ta có d : d : y 9 3t t . 4 3 1 z 1 t Thay x 12 4t , y 9 3t , z 1 t vào P : 3x 5 y z 2 0 , ta được:. 3 12 4t 5 9 3t 1 t 2 0 t 3 . Với t 3 x 0 , y 0 , z 2 . Vậy tọa độ giao điểm của d và P là 0;0; 2 .. Câu 92.. x 4 2t (Kon Tum - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 3 t , giao điểm của d z 1 t với mặt phẳng Oxy có tọa độ là A. 4; 3; 0 .. B. 2; 2; 0 .. C. 0; 1; 1 .. D. 2; 0; 2 .. Lời giải Chọn B Mặt phẳng Oxy có phương trình z 0 . Gọi M 4 2m; 3 m;1 m là giao điểm của d với mặt phẳng Oxy thì ta có:. 1 m 0 m 1. Vậy M 2; 2; 0 . Câu 93.. (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 3 điểm A 1; 0; 0 ,. x t B 0; 2; 0 , C 0;0;3 và đường thẳng d : y 2 t . Gọi M a ; b ; c là toạ độ giao điểm của z 3 t đường thẳng d với mặt phẳng ABC . Tính tổng S a b c . A. 6 .. B. 5 .. C. 7 .. D. 11 .. Lời giải Chọn C Phương trình mặt phẳng ABC có dạng:. x y z 1 6x 3 y 2z 6 0 1 2 3. Điểm M d M t ; 2 t ;3 t . Lại vì M d ABC nên ta có 6 t 3 2 t 2 3 t 6 0 t 6 t 6 M 6;8;9 . Vậy ta có S a b c 6 8 9 7. Facebook Nguyễn Vương 27.
<span class='text_page_counter'>(432)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 94.. x 3 y 1 z 3 và mặt phẳng 2 1 1 P : x 2 y z 5 0 . Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng P . (Bến Tre 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :. A. M 1;0; 4 .. B. M 5; 2; 2 .. C. M 0;0;5 .. D. M 3; 1;3 .. Lời giải Chọn A x 3 2t Phương trình tham số của đường thẳng d : y 1 t . z 3t . Xét phương trình 3 2t 2 1 t 3 t 5 0 3t 3 t 1 . Đường thẳng d cắt mặt phẳng P tại điểm M 1;0; 4 . Câu 95.. (Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;3;5 . Tìm tọa độ điểm A ' là hình chiếu vuông góc của A lên trục Oy. A. A ' 2;0;0 .. B. A ' 0;3;0 .. C. A ' 2;0;5 .. D. A ' 0;3;5 .. Lời giải Chọn B Dạng 4. Bài toán liên quan khoảng cách, góc 1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng – Khoảng cách giữa hai đường thẳng Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng d qua điểm M có véctơ chỉ phương ud được xác M M , ud định bởi công thức d ( M , d ) ud Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d đi qua điểm M và có véctơ chỉ phương u và u , u.M M d đi qua điểm M và có véctơ chỉ phương u là d ( d , d ) u , u 2. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa hai đường thẳng d1 và d 2 có véctơ chỉ phương u1 (a1 ; b1 ; c1 ) và u2 (a2 ; b2 ; c2 ). u .u a1a2 b1b2 c1c2 với 0 90. cos(d1 ; d 2 ) cos 1 2 u1 . u2 a12 b12 c12 . a22 b22 c22. 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc giữa đường thẳng d có véctơ chỉ phương ud (a; b; c) và mặt phẳng ( P) có véctơ pháp tuyến n( P ) ( A; B; C ) được xác định bởi công thức: ud .n( P ) aA bB cC với 0 90. sin cos(n( P ) ; ud ) 2 ud . n( P ) a b 2 c 2 A2 B 2 C 2. Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(433)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 96.. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. P : 2x 2 y z 1 0. và đường thẳng :. x 1 y 2 z 1 . Tính khoảng cách d giữa và 2 1 2. P . A. d 2. B. d . 5 3. C. d . 2 3. D. d . 1 3. Lời giải Chọn A. ( P ) có vecto pháp tuyến n(2; 2; 1) và đường thẳng có vecto chỉ phương u(2;1; 2) thỏa mãn n.u 0 nên //( P ) hoặc ( P ) .. Do đó: lấy A(1; 2;1) ta có: d( ( P )) d( A; ( P )) Câu 97.. 2.1 2.( 2) 1 1 2. 4 4 1. (Chuyên Sơn La 2019) Trong không gian Oxyz , khoảng cách giữa đường thẳng d:. x 1 y z và mặt phẳng P : x y z 2 0 bằng: 1 1 2. A. 2 3.. B.. 3 . 3. C.. 2 3 . 3. D.. 3.. Lời giải Đường thẳng d qua M 1;0;0 và có vec-tơ chỉ phương a 1;1; 2 .. Mặt phẳng P có vec-tơ pháp tuyến n 1;1;1 . a.n 1.1 1.1 2.1 0 Ta có: d / / P. M P . d d , P d M , P Câu 98.. 1 0 0 2 12 12 12. 3.. (THPT Lê Quý Đôn Dà Nẵng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , khoảng cách giữa. x 2 t đường thẳng : y 5 4t , t và mặt phẳng P : 2 x y 2 z 0 bằng z 2 t A. 1 .. C. 2 . Lời giải. B. 0 .. D. 3 .. Xét phương trình 2 2 t 5 4t 2 2 t 0 0t 3 0 . Phương trình này vô nghiệm nên // P . Chọn M 2;5; 2 . Khi đó: d , P d M , P . 2.2 5 2.2 2. 1.. 22 1 22. Facebook Nguyễn Vương 29.
<span class='text_page_counter'>(434)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 99.. x 1 t (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : y 2 2t z 3 t và mặt phẳng (P): x y 3 0 . Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). A. 600. C. 120o. B. 300. D. 450. Lời giải Chọn. A.. Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là u 1; 2;1 Mặt phẳng P có véc tơ pháp tuyến là n 1; 1;0 . Gọi là góc giữa Đường thẳng d và Mặt phẳng P . Khi đó ta có u.n 1.1 2. 1 1.0 3 3 sin 2 2 u n 1 22 12 . 12 1 02 2 3 2 Do đó 600 Câu 100. (Chuyên Trần Đại Nghĩa - TPHCM - 2018) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng x y 3 z 2 x 3 y 1 z 2 và d 2 : d1 : 1 2 1 1 2 1 A.. 2 . 3. B.. 3 2 . 2 Lời giải. 12 . 5. D. 3 .. C.. d1 qua M 0;3; 2 có vtcp u 1; 2;1 , d 2 qua N 3; 1; 2 có vtcp v 1; 2;1 . u , v 4;0; 4 , MN 3; 4; 0 . u , v .MN 12 3 2 d d1 , d 2 . 2 4 2 u , v Câu 101. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. P : 4x 3 y z 1 0. và đường thẳng d :. x 1 y 6 z 4 , sin của góc giữa đường thẳng 4 3 1. d và mặt phẳng P bằng. A.. 5 . 13. B.. 8 . 13. 1 . 13 Lời giải C.. D.. 12 . 13. Chọn D. Mặt phẳng P : 4 x 3 y z 1 0 có một vectơ pháp tuyến là n 4;3; 1 . Đường thẳng d :. x 1 y 6 z 1 có một vectơ chỉ phương là u 4;3;1 . 4 3 1. Gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P .. Khi đó sin cos n ; u. . . n. u n u. 4.4 3.3 1 1 42 32 12 . 4 2 32 1. 2. . 12 . 13. Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(435)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 102. (Chuyên ĐH Vinh -2019) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng :. x y z và mặt 1 2 1. phẳng : x y 2 z 0 . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng A. 30 .. B. 60 .. C. 150 . Lời giải. D. 120 .. Chọn A. Đường thẳng có vectơ chỉ phương u 1; 2; 1 , mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n 1; 1; 2 . Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng , khi đó. u.n 1 2 2 1 sin cos u, n 30 . 2 6. 6 u.n. . Câu 103. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P): 3 x y 1 0 . Tính góc tạo bởi ( P) với trục. Ox ? A. 600 .. B. 300 .. C. 1200 . Lời giải. D. 1500 .. Chọn A. . Mặt phẳng ( P) có VTPT n ( 3;1;0). . Trục Ox có VTCP i (1;0;0) Góc tạo bởi ( P) với trục Ox. 3.1 1.0 0.0 n.i 3 sin((P);Ox) cos((P);Ox ) = 2 3 1. 1 n.i Vậy góc tạo bởi ( P) với trục Ox bằng 600 . Câu 104. (Bình Phước - 2019) Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ điểm M 2; 4; 1 tới đường. x t thẳng : y 2 t bằng z 3 2t A.. 14 . .. B.. 6. .. C. 2 14. . Lời giải. D. 2 6.. Chọn C. Đường thẳng đi qua N 0;2;3 , có véc tơ chỉ phương u 1; 1; 2 MN 2; 6; 4 ; MN , u 16;8; 4 . MN , u 336 d M , 2 14. . 6 u. Facebook Nguyễn Vương 31.
<span class='text_page_counter'>(436)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 105. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng. d :. x 3 y z 1 và điểm 2 1 1. A(2; 1;0) . Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d bằng A.. 7.. B.. 7 . 2. C.. 21 . 3. D.. 7 . 3. Lời giải Chọn C Gọi M 3; 0;1 d . AM (1;1;1); ud (2; 1;1) AM ; ud 2; 3;1 AM ; ud 14 . AM ; u d 14 21 Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d bằng d ( A, d ) 3 6 ud. x 1 t x y 3 z 1 Câu 106. (Chuyên Bắc Giang -2019) Cho d : y 3 t , d ' : . Khi đó khoảng cách giữa 3 1 1 z 2 2t . d và d ' là A.. 13 30 . 30. B.. 30 . 3. 9 30 . 10 Lời giải C.. D. 0 .. Chọn C. Ta có A 1; 3;2 d , B 0;3;1 d ' và u 1; 1;2 , u ' 3; 1;1 lần lượt là vectơ chỉ phương của d,d' u , u ' . AB 27 9 30 Ta có d d , d ' 10 30 u , u ' x 1 y z Câu 107. Trong không gian Oxyz , khoảng cách giữa đường thẳng d : và mặt phẳng 1 1 2 P : x y z 2 0 bằng. A. 2 3 .. B.. 3 . 3. 2 3 . 3 Lời giải. C.. D.. Chọn D. 3.. Đường thẳng d đi qua điểm M 1; 0; 0 và có véc tơ chỉ phương u 1;1; 2 . Mặt phẳng P có véc tơ pháp tuyến n 1;1;1 . u.n 0 Ta có d / / P . M P . d d , P d M , P . 1 0 0 2 111. 3.. Câu 108. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách giữa đường thẳng. x 1 y 3 z 2 và mặt phẳng ( P) : x 2 y 2 z 4 0 2 2 1 A. 1. B. 0. C. 3. d:. D. 2.. Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(437)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải Chọn A Vì đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nên : Chọn M (1;3; 2) d d (d ;( P)) d (M;(P)) . 1 6 4 4 12 (2)2 22. 1. Dạng 5. Xác định phương trình mặt phẳng có yếu tố đường thẳng Dạng 1. Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua M và vuông góc với đường thẳng d AB. Qua M ( x ; y ; z ) n( P ) ud AB Phương pháp. ( P ) : VTPT : n( P ) ud AB M P Dạng 2. Viết phương trình mặt phẳng qua M và chứa đường thẳng d với M d .. d. Bước 1: Chọn điểm A d và một VTCP ud . Tính AM , ud . qua M Bước 2: Phương trình mp( P) VTPT n AM , ud Câu 109. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 2; 2;3 và đường thẳng d :. x 1 y 2 z 3 . Mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d có phương 3 2 1 trình là A. 3x 2 y z 1 0 . B. 2 x 2 y 3z 17 0 . C. 3x 2 y z 1 0 .. D. 2 x 2 y 3z 17 0 .. Lời giải Chọn A Gọi P là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d . Ta có: nP ud 3; 2; 1 là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P . Phương trình mặt phẳng P là: 3 x 2 2 y 2 1 z 3 0 3x 2 y z 1 0 . Câu 110. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm M 1;1; 1 và. x 1 y 2 z 1 có phương trình là 2 2 1 B. x 2 y z 0 . C. 2 x 2 y z 3 0 . D. x 2 y z 2 0 .. vuông góc với đường thẳng : A. 2 x 2 y z 3 0 .. Lời giải Chọn C. :. x 1 y 2 z 1 thì có một vec-tơ chỉ phương là u 2; 2;1 . 2 2 1. Gọi là mặt phẳng cần tìm. Có , nên u 2; 2;1 là một vec-tơ pháp tuyến của . Facebook Nguyễn Vương 33.
<span class='text_page_counter'>(438)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Mặt phẳng qua điểm M 1;1; 1 và có một vec-tơ pháp tuyến u 2; 2;1 .. Nên phương trình là 2 x 2 y z 3 0 . Câu 111. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho điểm M ( 2;1; 0) và đường thẳng. x 3 y 1 z 1 . Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với có phương trình là 1 4 2 A. 3 x y z 7 0 . B. x 4 y 2 z 6 0 . C. x 4 y 2 z 6 0 . D. 3 x y z 7 0 . Lời giải Chọn C x 3 y 1 z 1 Đường thẳng : nhận véc tơ u (1; 4; 2) là một véc tơ chỉ phương. 1 4 2 Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với nhận véc tơ chỉ phương u (1; 4; 2) của là véc tơ pháp :. tuyến. Vậy phương trình mặt phẳng phải tìm là:. 1. x 2 4 y 1 2 z 0 0 x 4 y 2 z 6 0 . Câu 112. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz cho điểm M (1;1; 2) và đường thẳng x 1 y 2 z . Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d có phương trình là d: 1 2 3 A. x 2 y 3 z 9 0 . B. x y 2 z 6 0 . C. x 2 y 3 z 9 0 .. D. x y 2 z 6 0 . Lời giải. Chọn A. Mặt phẳng đi qua M (1;1; 2) và vuông góc với d nhận véc tơ n(1; 2; 3) làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình: x 1 2( y 1) 3( z 2) 0 x 2 y 3 z 9 0. Câu 113. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho điểm M (2; 1; 2) và đường thẳng. x 1 y 2 z 3 . Mặt phẳng đi qua điểm qua M và vuông góc với d có phương trình là 2 3 1 A. 2 x 3 y z 3 0. B. 2 x y 2 z 9 0. C. 2 x 3 y z 3 0. D. 2 x y 2 z 9 0. d:. Lời giải Chọn A. Đường thẳng d có một vecto chỉ phương là u 2;3;1 Mặt phẳng P vuông góc với d nên nhận u làm vecto pháp tuyến Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2 x 2 3 y 1 1 z 2 0 2 x 3 y z 3 0 . Câu 114. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong gian gian Oxyz , cho điểm M 3; 2; 2 và đường thẳng. x 3 y 1 z 1 . Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d có phương trình là 1 2 2 A. x 2 y 2 z 5 0 . B. 3x 2 y 2 z 17 0 . d:. C. 3x 2 y 2 z 17 0 . D. x 2 y 2 z 5 0 . Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(439)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải Chọn A Mặt phẳng nhận vectơ nhận 1; 2; 2 là vecto pháp tuyến và đáp án cần chọn là. A.. Câu 115. (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A 1; 2; 2 và vuông góc với. x 1 2 A. 2 x y 3 z 2 0 . C. 2 x y 3 z 2 0 . đường thẳng :. y 2 z 3 có phương trình là 1 3 B. x 2 y 3 z 1 0 . D. 3 x 2 y z 5 0 . Lời giải. Chọn A. Mặt phẳng qua A 1; 2; 2 và nhận u 2;1;3 làm VTPT Vậy phương trình của mặt phẳng là: 2 x 1 y 2 3 z 2 0 2 x y 3z 2 0 .. Câu 116. (Mã 123 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M 3; 1;1 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng x1 y 2 z 3 : ? 3 2 1 A. 3x 2 y z 8 0 B. 3x 2 y z 12 0 C. 3x 2 y z 12 0 D. x 2 y 3z 3 0 Lời giải Chọn C. Mặt phẳng cần tìm đi qua M 3; 1; 1 và nhận VTCP của là u 3; 2;1 làm VTPT nên có phương trình: 3x 2 y z 12 0. Câu 117. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt x 1 y 2 z . 2 1 3 B. 2 x y 3 z 9 0 . C. 2 x y 3 z 9 0 . D. 2 x y 3 z 6 .. phẳng đi qua M 1; 1;2 và vuông góc với đường thẳng : A. 2 x y 3 z 9 0 .. Lời giải. Mặt phẳng P vuông góc với nên P nhận vtcp của là u 2 ; 1; 3 làm vtpt. Phương trình mặt phẳng P là: 2 x 1 1 y 1 3 z 2 0 hay 2 x y 3 z 9 0 . Câu 118. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng x 1 y 2 z 3 . Mặt phẳng P vuông góc với d có một vectơ pháp tuyến là: 2 1 2 A. n 1; 2;3 . B. n 2; 1; 2 . C. n 1; 4;1 . D. n 2;1; 2 . d:. Lời giải. Ta có: Đường thẳng d :. x 1 y 2 z 3 có vectơ chỉ phương là ad 2; 1; 2 2 1 2. Facebook Nguyễn Vương 35.
<span class='text_page_counter'>(440)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Vì P d nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P là n( P ) = ad 2; 1; 2 . Câu 119. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng (d ) : A. x y z 1 0 .. B. x y z 1 .. x y z là: 1 1 1 C. x y z 1 .. D. x y z 0 .. Lời giải x y z Mặt phẳng ( P) vuông góc với đường thẳng (d ) : nên nhận véc tơ chỉ phương 1 1 1 ud 1;1;1 làm véc tơ pháp tuyến, suy ra phương trình mặt phẳng ( P) có dạng: x y z D 0 , mặt khác ( P) đi qua gốc tọa độ nên D 0 . Vậy phương trình ( P) là: x y z 0 . Câu 120. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm x 2 y 1 z 3 có phương trình là: 1 1 1 B. 3x y 2 z 1 0 . C. x y z 1 0 . D. 3x y 2 z 1 0 .. A 0;1;0 và chứa đường thẳng : A. x y z 1 0 .. Lời giải AM 2; 0;3 Ta lấy điểm M 2;1;3 n AM , u 3;1; 2 vtcp u 1; 1;1 Mặt phẳng cần tìm qua A 0;1;0 và nhận n 3;1; 2 làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là:. 3. x 0 1. y 1 2. z 0 0 3x y 2 z 1 0 . Câu 121. (Chuyên Hưng Yên 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :. x 1 y 2 z 2 . 1 2 1. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng d . A. T : x y 2 z 1 0 .. B. P : x 2 y z 1 0 .. C. Q : x 2 y z 1 0 .. D. R : x y z 1 0 .. Lời giải Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u 1 ; 2 ; 1 . 1 2 1 nên u không cùng Mặt phẳng T có một vectơ pháp tuyến là nT 1 ; 1 ; 2 . Do 1 1 2 phương với nT . Do đó d không vuông góc với T . 1 2 1 nên u cùng phương Mặt phẳng P có một vectơ pháp tuyến là nP 1 ; -2 ; 1 . Do 1 2 1 với nP . Do đó d vuông góc với P . 1 2 1 Mặt phẳng Q có một vectơ pháp tuyến là nQ 1 ; -2 ; -1 . Do nên u không cùng 1 2 1 phương với nQ . Do đó d không vuông góc với Q .. Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(441)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 2 1 nên u không cùng Mặt phẳng R có một vectơ pháp tuyến là nR 1 ; 1 ; 1 . Do 1 1 1 phương với nR . Do đó d không vuông góc với R .. Câu 122. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Trong không gian Oxyz cho điểm A 0; 3;1 và đường thẳng d :. x 1 y 1 z 3 . Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d 3 2 1. là: A. 3x 2 y z 5 0 .. B. 3x 2 y z 7 0 .. C. 3x 2 y z 10 0 . D. 3x 2 y z 5 0 . Lời giải Chọn véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là: n ud 3; 2;1 . Mặt khác mặt phẳng này đi qua A nên có phương trình là: 3 x 0 2 y 3 z 1 0 3x 2 y z 7 0. .. Câu 123. Trong không gian với hệ tọa độ O xyz cho điểm M 3; 1;1 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng : x 1 y 2 z 3 ? 3. A. x 2 y 3 z 3 0. B. 3 x 2 y z 8 0. C. 3 x 2 y z 12 0. D. 3 x 2 y z 12 0. 2. 1. Lời giải Chọn D. . Mặt phẳng cần tìm đi qua M 3; 1;1 và nhận VTCP của là u 3; 2; 1 làm VTPT nên có phương trình: 3 x 2 y z 1 2 0 . Câu 124. (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Trong không gian Oxyz cho điểm A 0; 3;1 và đường thẳng d :. x 1 y 1 z 3 . Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng 3 2 1. d là A. 3x 2 y z 5 0 .. B. 3x 2 y z 7 0 .. C. 3x 2 y z 10 0 . D. 3x 2 y z 5 0 . Lời giải Chọn B Phương trình mặt phẳng đi qua A 0; 3;1 và vuông góc với đường thẳng d nên có VTPT n u d 3; 2;1 . Phương trình tổng quát: 3 x 0 2 y 3 z 1 0 3x 2 y z 7 0 . Câu 125. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;3; 2 và đường thẳng d có phương. x 1 4t trình y t . Mặt phẳng P chứa điểm A và đường thẳng d có phương trình nào dưới đây? z 2 t A. 2 x y 2 z 1 0. . B. x y z 0. . Facebook Nguyễn Vương 37.
<span class='text_page_counter'>(442)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. C. 3 x 2 y 10 z 23 0. .. D. 2 x y 3 z 4 0. Lời giải. Chọn C Đường thẳng d đi qua điểm M 1; 0; 2 và có vectơ chỉ phương u 4;1;1 . Ta có: AM 2; 3;0 ; AM , u 3; 2; 10 . Mặt phẳng ( P ) chứa điểm A và đường thẳng d có vectơ pháp tuyến AM , u 3; 2; 10 . Vậy phương trình mặt phẳng ( P ) là 3 x 1 2 y 3 10 z 2 0 3 x 2 y 10 z 23 0 .. x 1 2t Câu 126. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 2;0 và đường thẳng d : y t . Tìm phương trình z 1 t mặt phẳng P đi qua điểm A và vuông góc với d. A. 2 x y z 4 0 . B. x 2 y z 4 0 . C. 2 x y z 4 0 . D. 2 x y z 4 0 . Lời giải Chọn D Do P vuông góc với d nên ta có n P ud 2;1; 1 . Phương trình mặt phẳng P là 2 x 1 1 y 2 1 z 0 0 2 x y z 4 0. Câu 127. (THPT Thuận Thành 3 - Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm x 1 4t A 1;3; 2 và đường thẳng d có phương trình y t . Mặt phẳng P chứa điểm A và z 2 t . đường thẳng d có phương trình nào dưới đây? A. 2 x y 2 z 1 0 . B. x y z 0 . C. 3x 2 y 10 z 23 0 .. D. 2 x y 3z 4 0 . Lời giải. Chọn C. Đường thẳng d đi qua điểm B 1;0; 2 và có VTCP u 4;1;1 . Ta có AB 2; 3; 0 P có VTPT n AB, u 3; 2; 10 . Mà P đi qua A 1;3; 2 nên P có phương trình: 3x 2 y 10 z 23 0 . Câu 128. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P đi qua điểm A 1;2;0 và vuông góc với đường thẳng. x 1 y z 1 có phương trình là 2 1 1 A. 2 x y z 4 0 .. B. 2 x y z 4 0 .. C. 2 x y z 4 0 .. D. 2 x y z 4 0 . Lời giải. Chọn A. Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(443)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 1 y z 1 Mặt phẳng P vuông góc với đường thẳng suy ra nó có một vectơ pháp tuyến 2 1 1 là n 2,1, 1 . Vậy mặt phẳng P đi qua điểm A 1;2;0 và nhận n 2,1, 1 làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 2( x 1) 1( y 2) 1( z 0) 0 2 x y z 4 0 . Câu 129. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua A 2; 3; 0 và vuông góc với. x 3 4 y z 7 . 1 2 5 A. x 2 y 5 z 10 0 . B. x 2 y 5 z 8 0 . C. 2 x 3 y 4 0 . D. x 2 y 5 z 4 0 . đường thẳng d có phương trình:. Lời giải Chọn B Ta viết lại phương trình đường thẳng d là:. x3 y 4 z 7 1 2 5. đường thẳng d có vectơ chỉ phương ud 1; 2;5 . Mặt phẳng P đi qua A 2; 3; 0 và vuông góc với đường thẳng d. Mp P qua A và nhận vectơ ud 1; 2;5 làm vectơ pháp tuyến Phương trình của mặt phẳng P : x 2 y 5 z 8 0 . Câu 130. (Bắc Giang - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng. x 1 y 2 z . Mặt phẳng P đi qua điểm M 2;0; 1 và vuông góc với d có phương 1 1 2 trình là ? A. P : x y 2 z 0 . B. P : x y 2 z 0 . C. P : x y 2 z 0 . D. P : x 2 y 2 0 . d:. Lời giải d có VTCP u 1; 1; 2 .. P d P. có VTPT n u 1; 1; 2 .. Vậy phương trình mặt phẳng P : x 2 y 0 2 z 1 0 x y 2 z 0 .. x 3 y 2 z 1 . 1 1 2 Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M 2;0; 1 và vuông góc với d .. Câu 131. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :. A. P : x y 2 z 0 .. B. P : x 2 y 2 0 . C. P : x y 2 z 0 . D. P : x y 2 z 0 . Lời giải. Mặt phẳng P vuông góc với đường thẳng d nên P có VTPT nP ud 1; 1; 2 . Nên phương trình mặt phẳng P có dạng: x 2 y 0 2 z 1 0 x y 2 z 0 . Facebook Nguyễn Vương 39.
<span class='text_page_counter'>(444)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 132. (SGD&ĐT Đồng Tháp - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng. x2 y2 z 3 và điểm A 1; 2;3 . Mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng 1 1 2 d có phương trình là:. d :. A. x y 2 z 9 0 .. B. x 2 y 3z 14 0 .. C. x y 2 z 9 0 .. D. x 2 y 3z 9 0 .. Lời giải Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: u 1; 1; 2 . Vì mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với đường thẳng d nên P có vectơ pháp tuyến: n 1; 1; 2 . Phương trình mặt phẳng P là: x 1 y 2 2 z 3 0 x y 2 z 9 0 . Câu 133. (THPT Thái Phiên - Hải Phòng 2018) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A 0;0;3 và đường thẳng d :. x 1 y 1 z . Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với 1 1 2. đường thẳng d là A. 2 x y z 3 0 .. B. 2 x y 2 z 6 0 . C. 2 x y z 3 0 . D. 2 x y z 3 0 .. Lời giải Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm A 0;0;3 và vuông góc với đường thẳng d nên nhận véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là u 2; 1;1 làm véc tơ pháp tuyến. Do đó phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2 x y z 3 0.. Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(445)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chuyên đề 31. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Xác định phương trình đường thẳng 1. Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số và dạng chính tắc (nếu có), biết d đi qua điểm M ( x ; y ; z ) và có véctơ chỉ phương ud (a1 ; a2 ; a3 ). Qua M ( x ; y ; z ) Phương pháp. Ta có: d : VTCP : ud (a1 ; a2 ; a3 ). x x a1t Phương trình đường thẳng d dạng tham số d : y y a2t , (t ). z z a t 3 . Phương trình đường thẳng d dạng chính tắc d :. x x y y z z , (a1a2 a3 0). a1 a2 a3. 2. Dạng 2. Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của đường thẳng d đi qua A và B. Qua A (hay B) d B Phương pháp. Đường thẳng d : (dạng 1) A VTCP : u AB d 3. Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số và chính tắc (nếu có), biết d đi qua điểm M và song song với đường thẳng . u Qua M ( x ; y ; z ) (dạng 1) Phương pháp. Ta có d : d M VTCP : ud u 4. Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số và chính tắc (nếu có), biết d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng ( P) : ax by cz d 0. d u n d P Qua M M Phương pháp. Ta có d : (dạng 1) VTCP : ud n( P ) (a; b; c) P 5. Dạng 5. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P) và (Q) cho trước. Qua A ( P) (Q ) A Phương pháp. Ta có d : (dạng 1) d VTCP : u [ n , n ] d (P) (Q ) 6. Dạng 6. Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d1 , d 2 cho trước. u d2 u d1 Qua M Phương pháp. Ta có d : (dạng 1) d d1 VTCP : ud [ud1 , ud 2 ] d2 7. Dạng 7. Viết phương trình đường thẳng d qua M và song song với hai mặt phẳng ( P), (Q). Qua M Phương pháp. Ta có d : (dạng 1) VTCP : ud [nP , nQ ] 8. Dạng 8. Viết phương trình đường thẳng d qua M , vuông góc đường d và song song mặt ( P). Qua M Phương pháp. Ta có d : (dạng 1) VTCP : ud [ud , nP ] Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(446)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 9. Dạng 9. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt ( P), song song mặt (Q) và qua M . Qua M Phương pháp. Ta có d : (dạng 1) VTCP : ud [ nP , nQ ] 10. Dạng 10. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng d . Phương pháp. d Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A, vuông góc d . Qua A d Nghĩa là mặt phẳng ( P ) : A B P VTPT : nP ud Tìm B d ( P). Suy ra đường thẳng d qua A và B (dạng 1) Lưu ý: Trường hợp d là các trục tọa độ thì d AB, với B là hình chiếu của A lên trục. 11. Dạng 11. Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của đường thẳng d đi qua điểm M và cắt đường thẳng d1 và vuông góc d 2 cho trước. Phương pháp. Giả sử d d1 H , ( H d1 , H d ) d1 d2 H ( x1 a1t ; x2 a2t ; x3 a2t ) d1. M d H Vì MH d 2 MH .ud 2 0 t H . Qua M u d2 Suy ra đường thẳng d : (dạng 1) VTCP : ud MH Dạng 12. d đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và cắt hai đường thẳng d1 , d 2 : Cách 1: Gọi M1 d1 , M 2 d 2 Từ điều kiện M, M1 , M 2 thẳng hàng ta tìm được M1 , M 2 . Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d . Cách 2: Gọi P ( M 0 , d1 ) , Q ( M 0 , d 2 ) . Khi đó d P Q , do đó, một VTCP của d có thể chọn là a nP , nQ . Dạng 13. d nằm trong mặt phẳng P và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 : Tìm các giao điểm A d1 P , B d 2 P . Khi đó d chính là đường thẳng AB . Dạng 14. d song song với và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 : Viết phương trình mặt phẳng P chứa và d1 , mặt phẳng Q chứa và d 2 . Khi đó d P Q . Dạng 15. d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 , d 2 chéo nhau: MN d1 Cách 1: Gọi M d1 , N d 2 . Từ điều kiện , ta tìm được M , N . MN d 2 Khi đó, d là đường thẳng MN . Cách 2: – Vì d d1 và d d 2 nên một VTCP của d có thể là: a ad1 , ad 2 .. – Lập phương trình mặt phẳng P chứa d và d1 , bằng cách: + Lấy một điểm A trên d1 .. + Một VTPT của P có thể là: nP a , ad1 . – Tương tự lập phương trình mặt phẳng Q chứa d và d1 . Khi đó d P Q . Dạng 16. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt ( P ). Phương pháp: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và ( P). M Nếu ( P). Chọn một điểm M trên . H d Tìm H là hình chiếu của M lên ( P). P. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương .
<span class='text_page_counter'>(447)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Qua H Hình chiếu d : VTCP : ud u Nếu ( P) I . Chọn một điểm M I trên . Tìm H là hình chiếu của M lên ( P ). Hình chiếu vuông góc của lên ( P) là d IH . Dạng 17. Viết đường thẳng d là đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua mặt phẳng ( P). M Phương pháp: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và ( P). Nếu ( P). Chọn một điểm M trên . H Tìm H là hình chiếu của M lên ( P ). P Tìm M đối xứng với M qua ( P ). d M Qua M Đường thẳng đối xứng d : VTCP : ud u Nếu ( P) I . Chọn một điểm M trên . M Tìm H là hình chiếu của M lên ( P ). Tìm M đối xứng với M qua ( P ). H I Qua M P . Đường thẳng đối xứng d : VTCP : ud IM M d Dạng 1.1 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố vuông góc. Câu 1.. (Mã 101 2018) Trong không gian d:. Oxyz. cho điểm. A 1; 2;3. và đường thẳng. x 3 y 1 z 7 . Đường thẳng đi qua A , vuông góc với d và cắt trục Ox có phương trình 2 1 2. là. x 1 2t A. y 2t z t . x 1 t B. y 2 2t z 3 3t . x 1 2t C. y 2t z 3t . x 1 t D. y 2 2t z 3 2t . Lời giải Chọn C Gọi là đường thẳng cần tìm. Gọi M Ox . Suy ra M a;0;0 . AM a 1; 2; 3 . d có VTCP: ud 2;1; 2 . Vì d nên AM .ud 0 2a 2 2 6 0 a 1 . Vậy qua M 1;0;0 và có VTCP AM 2; 2; 3 2; 2;3 nên có phương trình:. x 1 2t . y 2t z 3t . Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(448)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 2.. (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A1;0; 2 , B 1;2;1 , C 3; 2;0 và. D 1;1;3. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng BCD có phương trình là x 1 t A. y 4t . z 2 2t. x 1 t B. y 4 . z 2 2t. x 2 t C. y 4 4t . z 4 2t Lời giải. x 1 t D. y 2 4t z 2 2t. Chọn C Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng BCD nhận vectơ pháp tuyến của BCD là vectơ chỉ phương Ta có BC 2; 0; 1, BD 0; 1; 2 ud nBCD BC ; BD 1; 4; 2 Khi đó ta loại đáp án A và B 1 2 t t 1 Thay điểm A1;0; 2 vào phương trình ở phương án C ta có 0 4 4t t 1 . 2 4 2t t 1 Suy ra đường thẳng có phương trình tham số ở phương án C đi qua điểm A nên C là phương án đúng. Câu 3.. (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :. x 3 y 3 z 2 ; 1 2 1. x 5 y 1 z 2 và mặt phẳng P : x 2 y 3z 5 0 . Đường thẳng vuông góc với P , 3 2 1 cắt d1 và d2 có phương trình là d2 :. x 1 y 1 z x 2 y 3 z 1 B. 3 2 1 1 2 3 x 3 y 3 z 2 x 1 y 1 z C. D. 1 2 3 1 2 3 Lời giải Chọn D x 3 t1 x 5 3t2 Phương trình d1 : y 3 2t1 và d2 : y 1 2t2 . z 2 t z 2 t 1 2 A.. Gọi đường thẳng cần tìm là . Giả sử đường thẳng cắt đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại A , B . Gọi A 3 t1;3 2t1; 2 t1 , B 5 3t2 ; 1 2t2 ;2 t2 . AB 2 3t2 t1 ; 4 2t2 2t1 ; 4 t2 t1 . Vectơ pháp tuyến của P là n 1;2;3 .. . . Do AB và n cùng phương nên. 2 3t2 t1 4 2t2 2t1 4 t2 t1 . 1 2 3. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(449)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 2 3t2 t1 4 2t2 2t1 t1 2 1 2 . Do đó A1; 1;0 , B 2; 1;3 . t2 1 4 2t2 2t1 4 t2 t1 2 3 Phương trình đường thẳng đi qua A 1; 1;0 và có vectơ chỉ phương n 1;2;3 là. x 1 y 1 z . 1 2 3 Câu 4.. (Mã. 101. -. 2019). Trong. không. gian. Oxyz ,. cho. các. điểm. A 1;2;0 , B 2;0;2 , C 2; 1;3 , D 1;1;3 . Đường thẳng đi qua C và vuông góc với mặt phẳng ABD có phương trình là. x 2 4t A. y 4 3t . z 2 t . x 4 2t B. y 3 t . z 1 3t . x 2 4t C. y 2 3t . z 2 t . x 2 4t D. y 1 3t . z 3 t . Lời giải Chọn A. AB 1; 2;2 AD 0; 1;3. AB AD 4; 3; 1 Đường thẳng qua C 2; 1;3 và vuông góc với mặt phẳng ABD có phương trình. x 2 4t y 1 3t z 3 t Điểm E 2; 4;2 thuộc đường thẳng trên, suy ra đường thẳng cần tìm trùng với đường thẳng. x 2 4t có phương trình y 4 3t z 2 t Chọn đáp án đúng là đáp án C Câu 5.. (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho các điểm A 2; 1;0 , B 1;2;1 , C 3; 2;0 ,. D 1;1; 3 . Đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng ABC có phương trình là: x 1 t A. y 1 t . z 2 3t . x 1 t B. y 1 t . z 3 2t . x t C. y t . z 1 2t . x t D. y t . z 1 2t . Lời giải Chọn C Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(450)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Ta có AB 1;3;1 ; AC 1; 1;0 ; n ABC AB, AC 1;1; 2 .. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng ABC nên có véc tơ chỉ phương x 1 t là n ABC 1;1; 2 , phương trình tham số là: y 1 t . z 3 2t . Câu 6.. (Mã 102 2018) Trong không gian. Oxyz , cho điểm. A 2;1;3. và đường thẳng. x 1 y 1 z 2 . Đường thẳng đi qua A , vuông góc với d và cắt trục Oy có phương 1 2 2 trình là. d:. x 2t A. y 3 4t z 3t . x 2 2t B. y 1 t z 3 3t . x 2 2t C. y 1 3t z 3 2t . x 2t D. y 3 3t z 2t . Lời giải Chọn A Gọi đường thẳng cần tìm là x 1 y 1 z 2 có VTCP u 1; 2; 2 . d: 1 2 2 Gọi M 0; m;0 Oy , ta có AM 2; m 1; 3 Do d AM .u 0 2 2 m 1 6 0 m 3. x 2t Ta có có VTCP AM 2; 4; 3 nên có phương trình y 3 4t . z 3t Câu 7.. (Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz. cho. A 0;0;2 , B 2;1;0 , C 1; 2; 1 và. D 2;0; 2 . Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BCD có phương trình là x 3 A. y 2 . z 1 2t . x 3 3t B. y 2 2t . z 1 t . x 3t C. y 2t . z 2 t . x 3 3t D. y 2 2t . z 1 t . Lời giải Chọn B Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BCD . Ta có BC 1;1; 1 ; BD 0; 1; 2 . Mặt phẳng BCD có vec tơ pháp tuyến là n BCD BD , BC 3; 2; 1 . Gọi u d là vec tơ chỉ phương của đường thẳng d . Vì d BCD nên ud n BCD 3; 2; 1 . Đáp A và C có VTCP ud 3; 2; 1 nên loại B và D. Ta thấy điểm A 0;0;2 thuộc đáp án C nên loại A.. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(451)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 8.. (Đề Minh Họa 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 1;0; 2 và đường thẳng. d có phương trình: cắt d . x 1 y z 2 A. 2 2 1. x 1 y z 1 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A , vuông góc và 1 1 2. B.. x 1 y z2 x 1 y z 2 C. 1 3 1 1 1 1 Lời giải. D.. x 1 y z 2 1 1 1. Chọn D Cách 1: Đường thẳng d :. x 1 y z 1 có véc tơ chỉ phương u 1;1; 2 1 1 2. Gọi P là mặt phẳng qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d , nên nhận véc tơ chỉ phương của d là vecto pháp tuyến P :1 x 1 y 2 z 2 0 x y 2 z 5 0 Gọi B là giao điểm của mặt phẳng P và đường thẳng d B 1 t ;t ; 1 2t Vì B P 1 t t 2 1 2t 5 0 t 1 B 2;1;1 Ta có đường thẳng đi qua A và nhận vecto AB 1;1; 1 là véc tơ chỉ phương có dạng :. x 1 y z 2 . 1 1 1. Cách 2: Gọi d B B 1 t; t; 1 2t AB t ; t ; 3 2t , Đường thẳng d có VTCP là ud 1;1; 2 Vì d nên AB ud AB.ud 0 t t 2 3 2t 0 t 1 Suy ra AB 1;1; 1 .Ta có đường thẳng đi qua A 1;0; 2 và nhận véc tơ AB 1;1; 1 là véc tơ chỉ phương có dạng : Câu 9.. x 1 y z 2 . 1 1 1. 8 4 8 (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 2;1), B ( ; ; ) . Đường 3 3 3 thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) có phương. trình là: 2 2 5 x y z 9 9 9 A. 1 2 2 1 5 11 x y z 3 3 6 C. 1 2 2. B.. x 1 y 8 z 4 1 2 2. x 1 y 3 z 1 1 2 2 Lời giải.. D.. Chọn D. Ta có: OA; OB 4; 8;8 . Gọi d là đường thẳng thỏa mãn khi đó d có VTCP u 1; 2; 2 Ta có OA 3, OB 4, AB 5 . Gọi I ( x; y; z) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB Áp dụng hệ thức OB.IA OA.IB AB.IO 0 Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(452)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 1 4.(OA OI ) 3.(OB OI ) 5.IO 0 OI 4OA 3OB I 0;1;1 12. . . x t Suy ra d : y 1 2t cho t 1 d đi qua điểm M (1;3; 1) z 1 2t . . Do đó d đi qua M (1;3; 1) có VTCP u (1; 2;2) nên đường thẳng có phương trình x 1 y 3 z 1 1 2 2 Câu 10.. x 1 y z 2 và mặt phẳng 2 1 2 ( P ) : x y z 1 0 . Đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( P ) đồng thời cắt và vuông góc với d có. (Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :. phương trình là: x 1 t A. y 4t z 3t . x 3 t B. y 2 4t z 2 t . x 3 t C. y 2 4t z 2 3t . x 3 2t D. y 2 6t z 2 t . Lời giải Chọn C x 1 2t d : y t z 2 2t Gọi là đường thẳng nằm trong ( P ) vuông góc với d . u ud ; nP (1;4;3) Gọi A là giao điểm của d và ( P ) . Tọa độ A là nghiệm của phương trình: ( 1 2t ) ( t) ( 2 2 t) 1 0 t 2 A(3; 2; 2). x 3 t Phương trình qua A(3; 2; 2) có vtcp u (1;4;3) có dạng: y 2 4t z 2 3t Câu 11.. (Mã 123 2017) Trong không gian Oxyz cho điểm M 1; 1; 3 và hai đường thẳng x 1 y 3 z 1 x1 y , : 3 2 1 1 3 thẳng đi qua M và vuông góc với và :. x 1 t A. y 1 t z 1 3t . x t B. y 1 t z 3 t . z . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường 2 . x 1 t C. y 1 t z 3 t . x 1 t D. y 1 t z 3 t . Lời giải Chọn D. +) VTCP của , lần lượt là u 3; 2;1 và v 1; 3; 2 ; u , v 7; 7; 7 +) Vì d vuông góc với và nên ud 1;1;1 .. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(453)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 1 t +) d đi qua M 1; 1; 3 nên d : y 1 t . z 3 t . Câu 12.. (Mã 104 2018) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng :. P : x 2 y z 3 0 . phương trình là: x 1 2t A. y 1 t z 2 . Đường thẳng nằm trong x 3 B. y t z 2t . P. x y 1 z 1 và mặt phẳng 1 2 1. đồng thời cắt và vuông góc với có. x 1 t C. y 1 2t z 2 3t . x 1 D. y 1 t z 2 2t . Lời giải Chọn D. x t x y 1 z 1 : y 1 2t Ta có : 1 2 1 z 1 t Gọi M P M M t; 2t 1; t 1. M P t 2 2t 1 t 1 3 0 4 4t 0 t 1 M 1;1; 2 Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P là n 1; 2; 1 Véc tơ chỉ phương của đường thẳng là u 1; 2;1 Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng P đồng thời cắt và vuông góc với 1 Đường thẳng d nhận n, u 0; 1; 2 làm véc tơ chỉ phương và M 1;1; 2 d 2. x 1 Phương trình đường thẳng d : y 1 t z 2 2t x 1 3t Câu 13. (Mã 123 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : y 2 t , z 2 x 1 y 2 z d2 : và mặt phẳng P : 2 x 2 y 3z 0. Phương trình nào dưới đây là phương 2 1 2. trình mặt phẳng đi qua giao điểm của d1 và P , đồng thời vuông góc với d2 ? A. 2 x y 2 z 13 0 B. 2 x y 2 z 22 0 C. 2 x y 2 z 13 0 D. 2 x y 2 z 22 0 Lời giải: Chọn C Tọa độ giao điểm của d1 và P là A 4; 1; 2 Mặt phẳng cần tìm đi qua. A. và nhận u2 2; 1; 2 làm VTCP có phương trình. 2 x y 2 z 13 0. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(454)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 14.. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho. x 4 y 2 z 1 x 2 y 1 z 1 , d2 : . Phương 1 4 2 1 1 1 trình đường thẳng qua A , vuông góc với d1 và cắt d 2 là. A1; 1; 3 và hai đường thẳng d1 :. x 1 y 1 z 3 x 1 . B. 2 1 3 4 x 1 y 1 z 3 x 1 C. . D. 1 2 3 2. A.. y 1 z 3 . 1 4 y 1 z 3 . 1 1. Lời giải Gọi d là đường thẳng qua A và d cắt d 2 tại K . Khi đó K 2 t; 1 t; 1 t . Ta có AK 1 t ; t ; t 2 . Đường AK d1 AK .u1 0 , với u1 1; 4; 2 là một vectơ chỉ phương của d1 . Do đó 1 t 4t 2t 4 0 t 1 , suy ra AK 2; 1; 1 . Vậy phương trình đường thẳng d : Câu 15.. x 1 y 1 z 3 . 2 1 1. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;0;1 và đường thẳng d :. x 1 y 2 z 3 . Đường thẳng đi qua M , vuông góc với d và cắt Oz có phương 1 2 3. trình là x 1 3t A. y 0 . z 1 t . x 1 3t B. y 0 . z 1 t . x 1 3t C. y t . z 1 t . x 1 3t D. y 0 . z 1 t . Lời giải Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u 1; 2;3 . Gọi là đường thẳng đi qua M , vuông góc với d và cắt Oz . Gọi N 0;0; t Oz MN 1;0; t 1 . 4 1 d MN .u 0 t MN 1;0; . Khi đó MN cùng phương với u1 3;0;1 3 3 Đường thẳng đi qua điểm M 1;0;1 và có một vectơ chỉ phương 3;0;1 nên có phương Câu 16.. (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 1; 1;3 và. x 3 y 2 z 1 x 2 y 1 z 1 , d2 : . Phương trình đường thẳng d 3 3 1 1 1 1 đi qua A , vuông góc với đường thẳng d1 và cắt thẳng d 2 . hai đường thẳng d1 :. x 1 5 x 1 C. 6 A.. y 1 4 y 1 5. z 3 x 1 . B. 2 3 z 3 x 1 . D. 3 2. y 1 2 y 1 1. z 3 . 3 z 3 . 3 Lời giải. Chọn C Gọi M 2 t ; 1 t ;1 t d d 2 với t . Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(455)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có AM 1 t ; t ; 2 t và u1 3;3; 1 là vectơ chỉ phương của d1. Mặt khác AM .u1 0 nên 3.(1 t ) 3.( t ) 1. 2 t 0 t 5. AM (6; 5;3) là 1 vectơ chỉ phương của d . Vậy phương trình đường thẳng d : Câu 17.. x 1 y 1 z 3 . 6 5 3. (Hội 8 trường chuyên 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 1; 2 và hai đường thẳng. x t x y 1 z 2 d : y 1 4t , d : . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi 2 1 5 z 6 6t qua M , vuông góc với d và d ? x 1 17 x 1 C. 17. A.. y 1 14 y 1 9. z2 x 1 y 1 z 2 . B. . 9 14 17 9 z2 x 1 y 1 z 2 . D. . 14 14 17 9 Lời giải. Chọn D. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương u 1; 4;6 . Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương u 2;1; 5 . Gọi là đường thẳng qua M , vuông góc với d và d nên có một vectơ chỉ phương là: u u , u 14;17;9 . x 1 y 1 z 2 . 14 17 9 x 2 t x y7 z . Đường thẳng là đường vuông Câu 18. Cho hai đường thẳng d1 : y 1 t và d 2 : 1 3 1 z 1 t góc chung của d1 và d 2 . Phương trình nào sau đâu là phương trình của . Vậy phương trình đường thẳng :. x 2 y 1 z 2 x 2 y 1 z 1 . B. . 1 1 2 1 1 2 x 1 y 4 z 1 x3 y 2 z 3 C. . D. . 1 1 2 1 1 2 Lời giải Chọn A Lấy điểm M d1 : M 2 t1 ;1 t1 ;1 t1 A.. N d 2 : N t2 ;7 3t2 ; t2 MN t2 t1 2; 3t2 t1 6; t2 t1 1. MN .u1 0 t t 1 t 2 2 1 2 Đường thẳng MN là đường vuông góc chung t1 1 MN .u2 0 11t2 3t1 19 Suy ra M 1;0;0 , N 2;1; 2 và MN 1;1; 2 Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(456)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Phương trình đường thẳng đi qua M , N là:. x 2 y 1 z 2 1 1 2. Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. x 1 y z 3 . Gọi là đường thẳng nằm 1 2 2 trình nào sau đây là phương trình tham số của ? x 2 4t x 3 4t A. y 3 5t . B. y 5 5t . C. z 3 7t z 4 7t d:. P : 3x y z 0. và đường thẳng. trong P , cắt và vuông góc với d . Phương. x 1 4t y 1 5t . z 4 7t . x 3 4t D. y 7 5t . z 2 7t . Lời giải Chọn B Do nằm trong nằm trong P và vuông góc với d nên có véctơ chỉ phương là u n P , ud 4; 5; 7 Gọi A d thì A P d A 1;0; 3 x 1 4t Vậy phương trình tham số của là y 0 5t hay z 3 7t . Câu 20.. x 3 4t y 5 5t z 4 7t . Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 1;3 và hai đường thẳng: x 4 y 2 z 1 x 2 y 1 z 1 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A , , d2 : 1 4 2 1 1 1 vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d 2 . d1 :. x 1 2 x 1 C. 6. A.. y 1 z 3 x 1 y 1 z 3 . B. . 1 1 6 1 5 y 1 z 3 x 1 y 1 z 3 . D. . 4 1 2 1 3 Lời giải. Ta có: u d1 1; 4; 2 . x 2 t x 2 y 1 z 1 d2 : nên phương trình tham số của d 2 : y 1 t t 1 1 1 z 1 t . Gọi đường thẳng d cắt đường thẳng d 2 tại M 2 t; 1 t ;1 t Ta có: AM 1 t; t; t 2 Đường thẳng d đi qua A; M nên vectơ chỉ phương u d 1 t ; t ; t 2 Theo đề bài d vuông góc d1 u d u d1 u d .u d1 0 1. 1 t 4 t 2 t 2 0 t 1 u d 2; 1; 1 Phương trình đường thẳng d đi qua A 1; 1;3 và có u d 2; 1; 1 có dạng: Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(457)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 1 y 1 z 3 . 2 1 1. Câu 21.. x y3 z2 và mặt phẳng 2 1 3 P : x y 2 z 6 0 . Đường thẳng nằm trong P cắt và vuông góc với d có phương trình. Trong không gian. Oxyz , cho đường thẳng. d:. là?. x2 y2 z5 . 1 7 3 x 2 y 4 z 1 C. . 1 7 3. x 2 y 2 z 5 . 1 7 3 x 2 y 4 z 1 D. . 1 7 3 Lời giải. A.. B.. nP 1; 1; 2 , ud 2;1; 3 , Gọi I d P , I d I 2t; 3 t; 2 3t I P 2t 3 t 2 2 3t 6 0 t 1 I 2; 2; 5 . Gọi là đường thẳng cần tìm. u ud Theo giả thiết u nP , ud 1; 7; 3 u nP x2 y 2 z 5 Và đường thẳng đi qua điểm I . Vậy : . 1 7 3 Câu 22. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng. P : x 2 y 3z 7 0. và hai đường thẳng. x3 y2 z 2 x 1 y 1 z 2 . Đường thẳng vuông góc mặt phẳng P và cắt ; d2 : 2 1 4 3 2 3 cả hai đường thẳng d1 ; d 2 có phương trình là d1 :. x7 y z 6 x 5 y 1 z 2 B. 1 2 3 1 2 3 x 4 y 3 z 1 x3 y2 z 2 C. D. 1 2 3 1 2 3 Lời giải. A.. Gọi là đường thẳng cần tìm d1 M nên M 3 2t ; 2 t; 2 4t d 2 N nên N 1 3u; 1 2u;2 3u . MN 2 3u 2t ;1 2u t ; 4 3u 4t . Ta có MN cùng phương với n P u 2 2 3u 2t 1 2u t 4 3u 4t ta giải hệ phương trình tìm được 1 2 3 t 1 Khi đó tọa độ điểm M 5; 1; 2 và VTCP MN 2; 4 6 2 1; 2;3 Nên. Phương trình tham số là. x 5 y 1 z 2 1 2 3. Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(458)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 1 t x 1 y 1 z Câu 23. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : và mặt và d 2 : y 1 2 1 1 z t phẳng P : x y z 1 0 . Đường thẳng vuông góc với P cắt d1 và d 2 có phương trình là 13 9 4 y z 5 5 5. A. 1 1 1 7 2 x z y 1 5 5. C. 1 1 1 x. 1 3 2 y z 5 5 5. 1 1 1. x. B.. x y z . 1 1 1 Lời giải. D.. Chọn B Giả sử đường thẳng d vuông góc với P cắt d1 và d 2 tai M , N Ta có: M 1 2a; 1 a; a , N 1 t; 1; t , NM 2 a t 2; a; a t . Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến là n 1;1;1 2a t a a t Vì MN vuông góc với mặt phẳng P nên NM cùng phương n 1 1 1 1 3 2 2 a M ; ; 5 5 5 5 4 t 5 Đường thẳng d qua điểm M nhận n làm vec tơ chỉ phương 1 3 2 y z 5 5 5. 1 1 1. x. Phương trình d : Câu 24.. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng đi qua điểm M 0;1;1 , vuông. x t x y 1 z góc với đường thẳng d1 : y 1 t t và cắt đường thẳng d 2 : . Phương trình 2 1 1 z 1 của là?. x 0 A. y t . z 1 t . x 0 B. y 1 . z 1 t . x 0 C. y 1 t . z 1 . x 0 D. y 0 . z 1 t . Lời giải Chọn B Gọi A 2t ;1 t ; t d 2 là giao điểm giữa đường thẳng và đường thẳng d 2 Ta có vecto chỉ phương ud1 1; 1; 0 , MA 2t ; t ; t 1 Theo đề bài: u d1 .MA 0 2t t 0 t 0 Suy ra A 0;1;0 . Khi đó vecto chỉ phương của đường thẳng là u AM 0; 0;1 Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(459)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Phương trình đường thẳng qua M 0;1;1 có vecto chỉ phương u 0; 0;1 có dạng:. x 0 y 1 z 1 t Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 1;0; 2 và đường thẳng d có phương trình:. x 1 y z 1 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A , vuông góc và cắt d . 1 1 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 A. B. C. D. 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 Lời giải Chọn B Đường thẳng d :. x 1 y z 1 có véc tơ chỉ phương u 1;1; 2 1 1 2. Gọi P là mặt phẳng qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d , nên nhận véc tơ chỉ phương của d là vecto pháp tuyến P :1 x 1 y 2 z 2 0 x y 2 z 5 0 Gọi B là giao điểm của mặt phẳng P và đường thẳng d B 1 t ;t ; 1 2t Vì B P 1 t t 2 1 2t 5 0 t 1 B 2;1;1 Ta có đường thẳng đi qua A và nhận vecto AB 1;1; 1 là véc tơ chỉ phương có dạng : Câu 26.. x 1 y z 2 . 1 1 1. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; 0;1) và đường thẳng d :. x 1 y 2 z 3 . Đường thẳng đi qua M , vuông góc với d và cắt Oz có phương 1 2 3. trình là. x 1 3t A. y 0 . z 1 t . x 1 3t B. y 0 . z 1 t . x 1 3t C. y t . z 1 t Lời giải. Chọn A Gọi là đường thẳng cần tìm và N Oz.. x 1 3t D. y 0 . z 1 t . . Ta có N (0; 0; c ). Vì qua M , N và M Oz nên MN(1;0; c 1) là VTCP của . d có 1 VTCP u (1; 2; 3) và d nên 4 1 MN u 0 1 3( c 1) 0 c MN ( 1; 0; ). 3 3 Chọn v ( 3; 0;1) là 1 VTCP của , phương trình tham số của đường thẳng là. x 1 3t y 0 . z 1 t . Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(460)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 27. Trong không gian với hệ trục Oxyz , đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau x2 y 3 2 3 x2 y2 A. 2 3 x2 y2 C. 2 2 d1 :. z4 và 5 z 3 . B. 4 z 3 . D. 2. x 1 y 4 z 4 có phương trình 3 2 1 x y 2 z 3 . 2 3 1 x y z 1 . 1 1 1 Lời giải. d2 :. Chọn D Gọi là đường thẳng cần tìm. Gọi A d1 ; B d 2 A 2 2t ;3 3t ; 4 5t , B 1 3t ; 4 2t ; 4 t . Ta có: AB 3t 2t 3; 2t 3t 1; t 5t 8 . Gọi u , ud1 2;3; 5 , ud2 3; 2; 1 lần lượt là véc tơ chỉ phương của , d1 , d 2 ta có: u ud 1 .Chọn u ud1 , ud2 13; 13; 13 13 1;1;1 13u . u ud 2. Vì AB , u đều là véc tơ chỉ phương của nên ta có: 3t 2t 3 k 3t 2t k 3 t 1 AB ku 2t 3t 1 k 2t 3t k 1 t 1 A 0;0;1 . t 5t 8 k t 5t k 8 k 2 :. Câu 28.. x y z 1 . 1 1 1. (Chuyên Nguyễn Huệ- 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x 1 y 3 z 3 . Phương trình tham số của đường 1 2 1 thẳng Δ đi qua A 0; 1; 4 , vuông góc với d và nằm trong P là:. P : 2x y 2z 9 0. và đường thẳng d :. x 5t A. Δ : y 1 t . z 4 5t . x 2t B. Δ : y t . z 4 2t . x t C. Δ : y 1 . z 4 t . x t D. Δ : y 1 2t . z 4 t . Lời giải Chọn C. u ud d P u n P . Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(461)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. ud , n P 5; 0;5 . Do đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ là u 1; 0;1 . x t : y 1 z 4 t Câu 29.. (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng. x 1 y z 2 . Phương trình đường thằng nằm 2 1 3 trong mặt phẳng P , đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d là. P : x 2y z 4 0. x 1 5 x 1 C. 5 A.. và đường thẳng d :. y 1 z 2 x 1 y 3 z 1 . B. . 1 2 5 1 3 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 . D. . 1 3 5 1 3 Lời giải. Chọn D Gọi M d M d :. x 1 y z 2 M 2t 1; t ;3t 2 . 2 1 3. M P M P : x 2 y z 4 0 2t 1 2t 3t 2 4 0 t 1 M 1;1;1 . Vì d và P có vectơ chỉ phương u n; u d 5; 1; 3 . Vậy phương trình là : Câu 30.. x 1 y 1 z 1 . 5 1 3. x 3 y 1 z và mặt 2 1 1 phẳng P : x y 3 z 2 0 . Gọi d ' là đường thẳng nằm trong mặt phẳng P , cắt và vuông (Sở Hà Nam - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :. góc với d . Đường thẳng d ' có phương trình là x 1 y z 1 x 1 y z 1 x 1 y z 1 A. . B. . C. . 2 5 1 2 5 1 2 5 1 Lời giải Chọn C. D.. x 1 y z 1 . 2 5 1. x 3 2t Phương trình tham số của d : y 1 t . z t Tọa độ giao điểm của d và P là nghiệm của hệ:. x 3 2t x 3 2t t 1 y 1 t y 1 t x 1 d P M 1; 0; 1 . z t z t y 0 x y 3z 2 0 3 2t 1 t 3t 2 0 z 1 Vì d ' nằm trong mặt phẳng P , cắt và vuông góc với d nên d ' đi qua M và có véc tơ chỉ phương u d ' n P u d 2; 5; 1 hay d ' nhận véc tơ v 2;5;1 làm véc tơ chỉ phương. Phương trình của d ' :. x 1 y z 1 . 2 5 1 Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(462)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 :. x 1 y 2 z 1 và 2 1 1. x 2 y 1 z 2 . Đường thẳng chứa đoạn vuông góc chung của 1 và 2 đi qua điểm 4 1 1 nào sau đây? A. M 0; 2; 5 . B. N 1; 1; 4 . C. P 2;0;1 . D. Q 3;1; 4 . 2 :. Lời giải Gọi A 1 2t; 2 t;1 t và B 2 4t;1 t ; 2 t là hai điểm lần lượt thuộc 1 và 2 . AB 1 2t 4t ;3 t t; 3 t t . 1 có VTCP u 2;1;1 ; 2 có VTCP u 4;1; 1 . AB.u 0 AB là đoạn vuông góc chung của 1 và 2 AB.u 0 2 1 2t 4t 3 t t 3 t t 0 6t 8t 2 t 1 8t 18t 10 t 1 4 1 2t 4t 3 t t 3 t t 0 Suy ra A 1; 1; 2 và AB 1;1; 3 . x 1 t1 Phương trình đường thẳng chứa đoạn vuông góc chung của 1 và 2 là: y 1 t1 . z 2 3t 1. Chỉ có điểm Q 3;1; 4 có tọa độ thỏa mãn phương trình. Dạng 1.2 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song Câu 32.. (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A 1; 2;3 và hai mặt phẳng. P : x y z 1 0 , Q : x y z 2 0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua A , song song với P và Q ? x 1 t A. y 2 z 3 t . x 1 t B. y 2 z 3 t . x 1 2t C. y 2 z 3 2t . x 1 D. y 2 z 3 2t . Lời giải Chọn A n P 1;1;1 Ta có và n P , nQ 2;0; 2 . Vì đường thẳng d song song với hai mặt n Q 1; 1;1. . phẳng P và Q , nên d có véctơ chỉ phương u 1;0; 1 .. x 1 t Đường thẳng d đi qua A 1; 2;3 nên có phương trình: y 2 z 3 t Câu 33.. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm. x 2 y 5 z 2 và mặt phẳng P : 3 5 1 2 x z 2 0 . Viết phương trình đường thẳng qua M vuông góc với d và song song với P . M 1; 3; 4 , đường thẳng d có phương trình:. Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(463)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 1 y 3 z 4 A. : . 1 1 2 x 1 y 3 z 4 C. : . 1 1 2. x 1 B. : 1 x 1 D. : 1 Lời giải. y 3 1 y 3 1. z4 . 2 z4 . 2. Ta có u d (3; 5; 1) là véc tơ chỉ phương của d . n ( P ) 2;0;1 là véc tơ pháp tuyến của P . ud , n p 5; 5;10 . . Do vuông góc với d và song song với P nên u 1;1; 2 là véctơ chỉ phương của . Khi đó, phương trình của là. x 1 y 3 z 4 . 1 1 2. Câu 34. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng d1 :. P : 2x y 2z 3 0. và hai đường thẳng. x y 1 z 1 x 2 y 1 z 3 ; d2 : . Xét các điểm A, B lần lượt di động trên d1 và d 2 3 1 1 1 2 1. sao cho AB song song với mặt phẳng P . Tập hợp trung điểm của đoạn thẳng AB là A. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương u 9;8; 5 B. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương u 5;9;8 C. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương u 1; 2; 5 D. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương u 1;5; 2 Lời giải Chọn A. A d1 A 3a;1 a; 1 a ; B d 2 B 2 b;1 2b; 3 b . AB 2 b 3a; 2b a; b 2 a ; nP 2; 1;2 . 2 Do AB // P nên AB.nP 0 a b . 3 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là 8 5 3a 2 b 2 2b a 4 a b 3 I ; ; hay I 1 b;1 b; 2 b 2 2 2 6 6 2 Suy ra tập hợp trung điểm của đoạn thẳng AB là một đường thẳng có vectơ chỉ phương u 9;8; 5 . Câu 35.. (THPT Lương Văn Can - 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3;2; 4 và mặt phẳng. x 2 y 4 z 1 . Phương trình nào sau đây là 3 2 2 phương trình đường thẳng đi qua A , song song P và cắt đường thẳng d ?. P : 3x 2 y 3z 7 0 ,. x 3 11t A. y 2 54t . z 4 47t . đường thẳng d :. x 3 54t B. y 2 11t . z 4 47t . x 3 47t C. y 2 54t . z 4 11t . x 3 11t D. y 2 47t . z 4 54t . Lời giải Gọi n P 3; 2; 3 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P . Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(464)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Đường thẳng d đi qua điểm M 2; 4;1 và có vectơ chỉ phương ud 3; 2;2 . Giả sử d M nên M 2 3t ; 4 2t ;1 2t khi đó vectơ chỉ phương của đường thẳng là u AM 3t 1; 2t 6; 2t 5 . 6 Ta có AM n P AM .n P 0 nên 3 3t 1 2 2t 6 3 2t 5 0 t . 7 11 54 47 Suy ra AM ; ; 7 7 7 Chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng có tọa độ là 11; 54;47 do đó phương trình đường. x 3 11t thẳng cần tìm là y 2 54t . z 4 47t Câu 36. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M 1; 3; 4 , đường thẳng. x 2 y 5 z 2 và mặt phẳng P : 2 x z 2 0 . Viết phương trình đường thẳng 3 5 1 qua M vuông góc với d và song song với P . d:. x 1 1 x 1 C. : 1 A. :. y3 1 y3 1. z4 . 2 z4 . 2. x 1 1 x 1 D. : 1 Lời giải B. :. y3 1 y3 1. z4 . 2 z4 . 2. Chọn C. x 2 y 5 z 2 có vec tơ chỉ phương ud 3; 5; 1 3 5 1 Mặt phẳng P : 2 x z 2 0 có vec tơ pháp tuyến n( P ) 2; 0;1 Đường thẳng vuông góc với d nên vec tơ chỉ phương u ud , Đường thẳng song song với P nên u n( P ) Ta có ud n ( P ) = 5; 5;10 . Chọn vec tơ chỉ phương u 1;1; 2 . Đường thẳng d :. Vậy phương trình đường thẳng qua M vuông góc với d và song song với P là. x 1 y 3 z 4 . 1 1 2 Câu 37. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm. P :. A 1; 2; 3 và hai mặt phẳng. x y z 1 0 , Q : x y z 2 0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường. thẳng đi qua A , song song với P và Q ?. x 1 A. y 2 z 3 2t . x 1 t B. y 2 z 3 t . x 1 2t C. y 2 z 3 2t . x 1 t D. y 2 z 3 t . Lời giải Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(465)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chọn D. n P 1;1;1 Ta có và n P , nQ 2; 0; 2 2 1; 0; 1 . Vì đường thẳng d song song với nQ 1; 1; 1 hai mặt phẳng, nên nhận véc tơ 1; 0; 1 làm véc tơ chỉ phương. Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;0; 1 và mặt phẳng P : x y 1 0 . Đường thẳng đi qua A đồng thời song song với P và mặt phẳng Oxy có phương trình là x 3 t A. y 2t . z 1 t . x 2 t B. y t . z 1 . x 1 2t C. y 1 . z t . x 3 t D. y 1 2t . z t . Lời giải Chọn B Ta có: n Oxy 1;1; 0 , n Oxy 0; 0;1 . Gọi d là đường thẳng đi qua A đồng thời song song với P và mặt phẳng Oxy . Khi đó: x 2 t u d n P u d n P , nOxy 1; 1; 0 . Vậy d : y t . u d n (Oxy) z 1 Câu 39.. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A 3; 1;5 và cùng song song với hai mặt phẳng. P : x y z 4 0 , Q : 2x y z 4 0 . x 3 y 1 z 5 x 3 y 1 z 5 . B. . 2 1 3 2 1 3 x 3 y 1 z 5 x 3 y 1 z 5 C. . D. . 2 1 3 2 1 3 Lời giải Chọn B Mặt phẳng P có một vectơ pháp tuyến là nP 1; 1;1 ; mặt phẳng Q có một vectơ pháp tuyến là nQ 2;1;1 .. A. d :. Nhận thấy A P và A Q .. Gọi đường thẳng cần lập là d và u là một vectơ chỉ phương của nó. Ta chọn u nQ , nP 2; 1; 3 . x 3 y 1 z 5 Mặt khác, d qua A 3; 1;5 nên có phương trình chính tắc là . 2 1 3 Câu 40. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng. : x 2 y z 1 0 , : 2 x y z 0 và điểm A 1; 2; 1 . Đường thẳng song song với cả hai mặt phẳng , có phương trình là A.. đi qua điểm A và. x 1 y 2 z 1 x 1 y 2 z 1 . B. . 2 4 2 1 3 5 Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(466)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 1 y 2 z 1 x y 2 z 3 . D. . 1 2 1 1 2 1 Lời giải Chọn B mp có véc tơ pháp tuyến là n1 1; 2;1 , mp có véc tơ pháp tuyến là n2 2;1; 1 . Đường thẳng có véc tơ chỉ phương là u n1 ; n2 1;3;5 . x 1 y 2 z 1 Phương trình của đường thẳng : . 1 3 5 C.. Câu 41. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;0;0 , B 0;2;0 , C 0;0;3 . Đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , song song với mặt phẳng Oxy và vuông góc với AB .. 13 x 98 t 40 A. y 2t . 49 135 z 98 . 13 x 98 2t 40 t . B. y 49 135 z 98 . 13 x 98 2t 40 t . C. y 49 135 z 98 . 13 x 98 t 40 2t . D. y 49 135 z 98 . Lời giải Chọn C Gọi I ( x ; y ; z ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , ta có:. 2 2 2 2 2 2 x 1 y z x y 2 z AI BI 2 2 2 2 2 2 AI CI x 1 y z x y z 3 I ( ABC ) x y z 1 1 2 3 13 x 98 3 2 x 4 y 40 13 40 135 2 x 6 z 8 y I ; ; . 49 98 49 98 6 x 3 y 2 z 6 135 z 98 . Ta có: AB (1; 2; 0) .. Mặt phẳng (Oxy ) có 1 véc tơ pháp tuyến k 0;0;1 . Theo giả thiết đường thẳng cần tìm có 1 véc tơ chỉ phương là u AB, k 2;1;0 .. Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(467)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 13 x 98 2t 40 t . Phương trình tham số của đường thẳng : y 49 135 z 98 Câu 42.. (THPT Cẩm Bình 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x 1 t : x 2 z 6 0 và đường thẳng d : y 3 t . Viết phương trình đường thẳng nằm trong z 1 t . mặt phẳng cắt đồng thời vuông góc với d .. x2 2 x2 C. 2 A.. y4 z2 x2 y4 z2 . B. . 1 1 2 1 1 y 3 z 2 x2 y 4 z 2 . D. . 1 1 2 1 1 Lời giải. Chọn B d. I α. x 1 t y 3 t Giao điểm I của d và là nghiệm của hệ I 2; 4; 2 . z 1 t x 2 z 6 0 Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến n 1;0; 2 ; đường thẳng d có một vectơ chỉ phương u 1;1; 1 . Khi đó đường thẳng có một vectơ chỉ phương là n , u 2; 1;1 . Đường thẳng qua điểm I 2; 4; 2 và có một vectơ chỉ phương n, u 2; 1;1 nên có phương trình chính tắc:. x2 y4 z2 . 2 1 1. Câu 43. Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng d1 :. x 3 y 1 z 2 x 1 y z 4 ; d2 : và 2 1 2 3 2 1. x3 y2 z . Đường thẳng song song với d3, cắt d1 và d2 có phương trình là 4 1 6 x 3 y 1 z 2 x 3 y 1 z 2 A. . B. . 4 1 6 4 1 6 x 1 y z 4 x 1 y z 4 C. . D. . 4 1 6 4 1 6 d3 :. Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(468)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải Chọn B. x 3 2t x 3 y 1 z 2 x 1 y z 4 u2 (3; 2; 1) d1 : y 1 t ; từ d 2 : Từ d1 : ; 2 1 2 3 2 1 A(1; 0; 4) z 2 2t x3 y2 z u3 (4; –1; 6) Từ d3 : 4 1 6 Gọi (P) là mặt phẳng chứa d2 và song song với d3 2 1 1 3 3 2 ; ; nP u2 ; u3 (13; 22;5) 1 6 6 4 4 1 A(1; 0; 4) (P) ( P) : 13( x 1) 22 y 5( z 4) 0 ( P) :13x 22 y 5 z 7 0 Gọi B là giao điểm của (P) và d1. Đường thẳng đi qua B và song song với d3 chính là đường thẳng cần tìm. Gọi B(3+ 2t; –1 + t; 2 – 2t). Thay tọa độ B vào (P): 13(3 + 2t) + 22(–1 + t) – 5(2 – 2t) – 7 = 0 t = 0 B (3; –1; 2) Vì đường thẳng cần tìm song song với (d3) nên có các véc tơ chỉ phương là n.u3 ( n 0; n ) Như vậy chỉ có đáp án B là hợp lý. Câu 44.. (SGD. Cần. Thơ. 2019). Trong. không. gian. Oxyz ,. cho. các. đường. thẳng. x 1 3t x 3 y 1 z 2 x3 y2 z d1 : , d 2 : y 2t , d 3 : . Đường thẳng song song với d 3 2 1 2 4 1 6 z 4 t và cắt đồng thời d1 và d 2 có phương trình là: x 1 y z 4 x 1 y z 4 . B. . 4 1 6 4 1 6 x 3 y 1 z 2 x 3 y 1 z 2 C. . D. . 4 1 6 4 1 6 Lời giải Chọn D Gọi đường thẳng song song với d 3 và cắt d1 và d 2 . u ; u 3 lần lượt là véctơ chỉ phương của và d 3 . A.. Ta có d1 A A 2 x 3; x 1; 2 x 2 ; d 2 B B 1 3 y; 2 y; 4 y .. AB 3 y 2 x 4; 2 y x 1; y 2 x 6 . 3 y 2 x 4 2 y x 1 y 2 x 6 Vì / / d3 u ku3 . 4 1 6 2 x 3 y 4 8 y 4 x 4 6 x 5 y 0 x y 0. 12 y 6 x 6 y 2 x 6 13 y 4 x 0 Từ đó suy ra: A 3; 1;2 ; B 1;0; 4 AB 4;1; 6 là véctơ chỉ phương của . Phương trình là:. x 3 y 1 z 2 . 4 1 6. Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(469)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm. M 1;3; 2 , đồng thời song song với giao tuyến của hai mặt phẳng. P : x y 3 0. và. Q : 2x y z 3 0 . x 1 3t A. y 3 t . z 2 t . x 1 3t B. y 3 t . z 2 t . x 1 t C. y 3 t . z 2 3t . x 1 t D. y 3 t . z 2 3t . Lời giải Chọn C Hai mặt phẳng P : x y 3 0 và Q : 2 x y z 3 0 có vectơ pháp tuyến lần lượt là: nP 1;1;0 ; nQ 2; 1;1 . Giao tuyến của hai mặt phẳng P và Q có vectơ chỉ phương: u nP ; nQ 1; 1; 3 . Đường thẳng đi qua điểm M 1;3; 2 , đồng thời song song với giao tuyến của hai mặt phẳng P : x y 3 0 và Q : 2 x y z 3 0 nhận vectơ u làm vectơ chỉ phương có phương trình. x 1 t tham số là: y 3 t . z 2 3t . x y 1 z 2 Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : , mặt phẳng 1 2 2. ( P) :2 x y 2 z 5 0 và điểm A 1;1; 2 . Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A song song với mặt phẳng ( P ) và vuông góc với d là:. x 1 1 x 1 C. : 2 A. :. y 1 2 y 1 2. z2 . 2 z2 . 3. x 1 2 x 1 D. : 1 B. :. y 1 z 2 . 1 2 y 1 z 2 . 2 2. Lời giải Chọn C x y 1 z 2 d: d có một vectơ chỉ phương là u 1;2;2 . 1 2 2. ( P) :2 x y 2 z 5 0 ( P) có một vectơ pháp tuyến là n 2;1;2 .. Đường thẳng song song với mặt phẳng ( P ) và vuông góc với d. . . có một vectơ chỉ phương là v u, n 2;2; 3 , và đường thẳng đi qua điểm. x 1 y 1 z 2 . 2 2 3 Câu 47. (SP Đồng Nai - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x3 y 3 z và điểm A 1; 2; 1 . Viết phương trình P : x y z 9 0, đường thẳng d : 1 3 2 đường thẳng đi qua điểm A cắt d và song song với mặt phẳng P .. A 1;1; 2 Phương trình chính tắc của đường thẳng là:. A.. x 1 y 2 z 1 x 1 y 2 z 1 . B. . 1 2 1 1 2 1 Facebook Nguyễn Vương 25.
<span class='text_page_counter'>(470)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 1 y 2 z 1 x 1 y 2 z 1 . D. . 1 2 1 1 2 1 Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có: P có vectơ pháp tuyến là: n 1;1; 1 . d có vectơ chỉ phương là: u 1;3; 2 và B 3;3;0 d . có vectơ chỉ phương là: u a; b; c và A 1;2; 1 (trong đó a 2 b 2 c 2 0 ). AB 2;1;1 ; d P u .n 0 a b c 0 c a b u a; b; a b . Do d cắt AB, u .u 0 2a b 0 b 2a. x 1 y 2 z 1 Chọn a 1 b 2 c 1 u 1; 2;1 : . 1 2 1 C.. Kết luận: :. x 1 y 2 z 1 . 1 2 1. Cách 2:. Ta có: P có vectơ pháp tuyến là: n 1;1; 1 . có vectơ chỉ phương là: u a; b; c và A 1;2; 1 (trong đó a 2 b 2 c 2 0 ). Do song song với mặt phẳng P u .n 0 . Nhận xét đáp án A: u .n 0 . Nhận xét đáp án B: u .n 4 0 loại đáp án B. đáp án C: u .n 2 0 loại đáp án C. đáp án D: u .n 2 0 loại đáp án D. Kết luận: Chọn đáp án. A.. Câu 48. (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Trong không gian, cho mặt phẳng P : x y z 4 0 và điểm A 2; 1;3 . Gọi là đường thẳng đi qua A và song song với P , biết có một vectơ chỉ a phương là u a; b; c , đồng thời đồng phẳng và không song song với Oz . Tính . c a a a 1 a 1 A. 2 . B. 2 . C. . D. . c c c 2 c 2 Lời giải Chọn A P có một vectơ pháp tuyến là n 1;1; 1 . đi qua điểm A 2; 1;3 và có một vectơ chỉ phương là u a; b; c . Oz đi qua điểm O 0;0; 0 và có một vectơ chỉ phương là k 0;0;1 .. không song song với Oz a : b : c 0 : 0 :1 . đồng phẳng với Oz Ba vectơ u; k ; OA đồng phẳng Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(471)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. k , OA u 0 a 2b 0 a 2b . a Do / / P u n u.n 0 a b c 0 c b . Suy ra 2 . c Dạng 1.3 Phương trình đường thẳng hình chiếu, đối xứng Câu 49.. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng. x 1 y 5 z 3 . Phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu vuông góc của d 2 1 4 trên mặt phẳng x 3 0 ? x 3 x 3 x 3 x 3 A. y 5 2t B. y 6 t C. y 5 t D. y 5 t z 3 t z 7 4t z 3 4t z 3 4t d:. Lời giải Chọn B. Cách 1: Đường thẳng d đi qua điểm M 0 (1; 5;3) và có VTCP ud 2; 1; 4 Gọi Q là mặt phẳng chứa d và vuông góc với P : x 3 0 .. Suy ra mặt phẳng Q đi qua điểm M 0 (1; 5;3) và có VTPT là nP ; ud 0; 4;1 Q : 4 y z 17 0 . Phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng P là. x 3 4 y z 17 0 hay y 6 t x 3 0 z 7 4t Cách 2: Ta có M d M 1 2t; 5 t;3 4t . Gọi M là hình chiếu của M trên. x 3 P : x 3 0 . Suy ra M 3; 5 t;3 4t . Suy ra d : y 5 t z 3 4t So sánh với các phương án, ta chọn D là đáp án đúng. Câu 50.. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : x y z 3 0 và đường. x y 1 z 2 . Hình chiếu vuông góc của d trên P có phương trình là 1 2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 4 z 5 A. B. 1 4 5 1 1 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 C. D. 1 4 5 3 2 1 Lời giải Chọn A Gọi M là giao điểm của d với P . thẳng d :. x y z 3 x 1 x y z 3 0 Tọa độ của M là nghiệm của hệ: x y 1 z 2 2 x y 1 y 1 M 1;1;1 1 2 1 x z 2 z 1. Lấy điểm N 0; 1; 2 d . Facebook Nguyễn Vương 27.
<span class='text_page_counter'>(472)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng P là: n 1;1;1 . Gọi là đường thẳng đi qua N và nhận n 1;1;1 làm vec tơ chỉ phương.. x y 1 z 2 1 1 1 Gọi N là giao điểm của với P . Phương trình đường thẳng :. 2 x 3 x y z 3 x y z 3 0 1 2 1 8 y N ; ; Tọa độ của N là nghiệm của hệ: x y 1 z 2 x y 1 3 3 3 3 1 1 1 x z 2 8 z 3 1 4 5 1 MN ; ; u 1; 4; 5 3 3 3 3 Đường thẳng cần tìm đi qua điểm M 1;1;1 và nhận u 1; 4; 5 làm vec tơ chỉ phương nên có. phương trinh Câu 51.. x 1 y 1 z 1 . 1 4 5. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng : 2 x y z 3 0 và đường thẳng. d:. x 4 y 3 z 2 . Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d qua 3 6 1. mặt phẳng .. x 11 x C. 11 A.. y 5 z 4 x y 5 z 4 . B. . 17 2 11 17 2 y 5 z 4 x y 5 z 4 . D. . 17 2 11 17 2 Lời giải. Mặt phẳng : 2 x y z 3 0 có vectơ pháp tuyến n 2;1;1 .. Gọi tọa độ giao điểm của d và là I thì I 22;39;8 . Lấy A 4;3; 2 d . Gọi là đường thẳng đi qua A và vuông góc với .. x 4 2t Suy ra phương trình đường thẳng là y 3 t z 2 t Gọi H là hình chiếu của A lên thì H H 2; 4;3 . A ' đối xứng với A qua H là trung điểm AA ' A ' 0;5;4 .. Đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d qua mặt phẳng d ' đi qua điểm I , A ' có x y 5 z 4 vectơ chỉ phương A ' I 22; 34; 4 2 11; 17; 2 có phương trình là: . 11 17 2 Câu 52. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :. x 1 y 2 z 1 và mặt phẳng P : x y z 3 0 . Đường thẳng d là hình chiếu 2 1 3. Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(473)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. của d theo phương Ox lên P , d nhận u a; b; 2019 là một vectơ chỉ phương. Xác định tổng a b . A. 2019 .. B. 2019 .. C. 2018 . Lời giải nQ. Q. D. 2020 .. O. d. P. Chọn A 1; 2; 1 d ; ud 2;1;3 ; u , i 0;3; 1 . Ta thấy ud ; i .OA 7 0 d và Ox chéo nhau.. x. Gọi Q là mặt phẳng chứa d và song song với Ox. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Q là nQ ud ; i 0;3; 1 . Hình chiếu d của d trên mặt phẳng P là đường giao tuyến giữa hai mặt phẳng P và Q . d có một vectơ chỉ phương là nQ ; nP 4;1;3 u 673 nQ ; nP 2692; 673; 2019 cũng là một vectơ chỉ phương. Vậy a b 2019. Câu 53. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng : x y z 6 0 và đường thẳng. x 1 y 4 z . Hình chiếu vuông góc của d trên có phương trình là 2 3 5 x 1 y 4 z 1 x y 5 z 1 A. . B. . 2 3 5 2 3 5 x 5 y z 1 x y 5 z 1 C. . D. . 2 3 5 2 3 5 Lời giải Mặt phẳng : x y z 1 0 có vectơ pháp tuyến n 1;1; 1 . x 1 y 4 z có vectơ chỉ phương u 2;3;5 . Đường thẳng d : 2 3 5 Vì n.u 1.2 1.3 1 .5 0 nên d / / . d:. Gọi d ' là hình chiếu vuông góc của d trên d '/ / d . Lấy A 1; 4;0 d . Gọi là đường thẳng đi qua A và vuông góc với . x 1 t Suy ra phương trình đường thẳng là y 4 t . z t . Gọi A ' là hình chiếu của A lên thì A ' A ' 0; 5;1 .. Đường thẳng d ' là đường thẳng đi qua A ' 0; 5;1 , có vectơ chỉ phương u 2;3;5 có phương trình là. x y 5 z 1 . 2 3 5 Facebook Nguyễn Vương 29.
<span class='text_page_counter'>(474)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 54.. (KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. P : x y z 1 0. và đường thẳng d :. x 2 y 4 z 1 . Viết phương trình đường thẳng d 2 2 1. là hình chiếu vuông góc của d trên P .. x 2 y z 1 x 2 y z 1 . B. d : . 7 5 2 7 5 2 x 2 y z 1 x 2 y z 1 C. d : . D. d : . 7 5 2 7 5 2 Lời giải Chọn B. A. d :. d N. M M'. d'. P. x 2 2t +) Phương trình tham số của d : y 4 2t , t R . Gọi M 2 2t ;4 2t; 1 t là giao điểm z 1 t của d và P 2 2t 4 2t 1 t 1 0 t 2 M 2;0;1 . +) Mặt phẳng P có 1 vector pháp tuyến là nP 1;1; 1 . Điểm N 0; 2;0 d . Gọi là đường thẳng qua N 0; 2;0 và vuông góc với mặt phẳng P nhận vector nP 1;1; 1 làm vector chỉ phương. Suy ra phương trình của là:. x c x0 y 2 z 0 : y 2 c , c R . Gọi M c;2 c; c là giao điểm của : 1 1 1 z c 1 1 5 1 với mặt phẳng P c 2 c c 1 0 c M ; ; . 3 3 3 3 7 5 2 +) MM ; ; , đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng P nên 3 3 3 d chính là đường thẳng MM ' , suy ra d đi qua M 2;0;1 và nhận vector. u 3MM 7; 5; 2 làm vector chỉ phương nên phương trình của d là:. d : Câu 55.. x 2 y z 1 . 7 5 2. (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d:. x 1 y 2 z 1 và mặt phẳng ( P ) : x y z 3 0 . Đường thẳng d ' là hình chiếu của d 2 1 3. Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(475)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. theo phương Ox lên ( P ) ; d ' nhận u a ; b ; 2019 làm một véctơ chỉ phương. Xác định tổng. a b . A. 2019. B. 2019. C. 2018 Lời giải. D. 2020. Mặt phẳng P có véctơ pháp tuyến n P 1;1;1 .. Đường thẳng d có véctơ chỉ phương là ud 2;1;3 , đường thẳng chứa trục Ox có có véctơ chỉ phương i 1;0;0 . Gọi Q là mặt phẳng chứa đường thẳng d và song song (hoặc chứa) trục Ox . Khi đó Q có véctơ pháp tuyến nQ ud , i 0;3; 1 .. Đường thẳng d ' chính là giao tuyến của P và Q . Vectơ chỉ phương của d ' là u1 n P , n Q 4;1;3 . Suy ra: u 2692;673; 2019 cũng là chỉ phương của d ' . Ta có: a b 2692 673 2019 . Câu 56.. (THPT Đông Sơn 1 - Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng. x y 1 z 2 . Hình chiếu của d trên P có phương 1 2 1 trình là đường thẳng d . Trong các điểm sau điểm nào thuộc đường thẳng d : A. M 2;5; 4 . B. P 1;3; 1 . C. N 1; 1;3 . D. Q 2;7; 6 .. P : x y z 3 0. và đường thẳng d :. Lời giải Chọn A x t Gọi A d P . Vì A d : y 1 2t A t ; 1 2t ; 2 t . z 2 t . Mặt khác A P t 1 2t 2 t 3 0 t 1 . Vậy A 1;1;1 . Lấy B 0; 1; 2 d . Gọi là đường thẳng qua B và vuông góc P . x t Thì : y 1 t . Gọi C là hình chiếu của B lên P . z 2 t Facebook Nguyễn Vương 31.
<span class='text_page_counter'>(476)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Suy ra C C t ; 1 t ; 2 t .. 2 2 1 8 . Vậy C ; ; . 3 3 3 3 1 4 5 Lúc này d qua A 1;1;1 và có một vectơ chỉ phương là AC ; ; . Hay d nhận 3 3 3 u 1; 4; 5 làm một vectơ chỉ phương. Mặt khác C P t 1 t 2 t 3 0 t . x 1 s Suy ra d : y 1 4 s . Vậy điểm thuộc đường thẳng d là M 2;5; 4 . z 1 5s . Câu 57.. (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường. x 1 y 2 z 1 và mặt phẳng P : x y z 3 0 . Đường thẳng d là hình chiếu 2 1 3 của d theo phương Ox lên P , d nhận u a; b; 2019 là một vectơ chỉ phương. Xác định thẳng d :. nQ. Q. O. d. P. tổng a b . A. 2019 .. x. B. 2019 .. C. 2018 . Lời giải. D. 2020 .. Chọn B. Chọn A 1; 2; 1 d ; ud 2;1;3 ; u , i 0;3; 1 . Ta thấy ud ; i .OA 7 0 d và Ox chéo nhau. Gọi Q là mặt phẳng chứa d và song song với Ox. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Q là nQ ud ; i 0;3; 1 . Hình chiếu d của d trên mặt phẳng P là đường giao tuyến giữa hai mặt phẳng P và Q . d có một vectơ chỉ phương là nQ ; nP 4;1;3 u 673 nQ ; nP 2692;673; 2019 cũng là một vectơ chỉ phương. Vậy a b 2019. . Câu 58.. (SGD Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng. x 1 y 1 z 2 và mặt phẳng P : 2 x y 2 z 1 0 . Gọi d là hình chiếu của đường 1 2 1 thẳng d lên mặt phẳng P , véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là A. u3 5; 6; 13 . B. u2 5; 4; 3 . C. u4 5;16;13 . D. u1 5;16; 13 . d:. Lời giải Chọn D. Đường thẳng d đi qua điểm A 1;1; 2 và có 1 véc tơ chỉ phương ud 1; 2; 1 . Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(477)</span> Mặt phẳng P có 1 véc tơ pháp tuyến n P 2;1; 2 . Gọi ud là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d .. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Gọi Q là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng P . Khi đó Q đi qua điểm A 1;1; 2 và có 1 véc tơ pháp tuyến nQ ud , n P 5; 4; 3 . ud n P d là hình chiếu của đường thẳng d trên mặt phẳng P d P Q nên . Véc ud nQ tơ chỉ phương của đường thẳng d là ud n P , n Q 5;16; 13 . Câu 59.. Trong. không. gian. Oxyz. cho. mặt. phẳng. P : x y z 3 0. và. đường. thẳng. x y 1 z 2 . Hình chiếu vuông góc của d trên P có phương trình là 1 2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 A. . B. . 1 4 5 3 2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 4 z 5 C. . D. . 1 4 5 1 1 1 Lời giải Chọn C d:. Cách 1: Đường thẳng d đi qua điểm M 0; 1; 2 và có một vectơ chỉ phương là ud 1;2; 1 . Gọi Q là mặt phẳng chứa d và vuông góc với P .. Q . đi qua điểm M 0; 1; 2 và có một vectơ pháp tuyến là nQ ud , nP 3; 2; 1 .. Q : 3x 2 y z 0 .. Gọi là hình chiếu vuông góc của d trên P , khi đó tập hợp các điểm thuộc là nghiệm của. 3x 2 y z 0 hệ phương trình x y z 3 0. I .. Trong hệ I cho z 1 , ta được x 1, y 1 . Vậy điểm A 1;1;1 thuộc . là đường thẳng đi qua điểm A 1;1;1 và có một vectơ chỉ phương u nP , nQ 1; 4; 5 nên có phương trình chính tắc là. x 1 y 1 z 1 . 1 4 5. Cách 2: Gọi A d P . A d A t ; 1 2t ; 2 t . A P t 1 2t 2 t 3 0 2t 2 0 t 1 A 1;1;1 .. Lấy điểm M 0; 1; 2 d . Gọi là đường thẳng đi qua M và vuông góc với P . Khi đó có. x t phương trình tham số là y 1 t . z 2 t Gọi B P . B B t ; 1 t ; 2 t . Facebook Nguyễn Vương 33.
<span class='text_page_counter'>(478)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. B P t 1 t 2 t 3 0 3t 2 0 t . 2 2 1 8 B ; ; . 3 3 3 3. Phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng P là đường thẳng AB đi qua điểm. 1 4 5 A 1;1;1 và có một vectơ chỉ phương u 3. AB 3. ; ; 1; 4; 5 nên có phương 3 3 3 x 1 y 1 z 1 trình chính tắc là . 1 4 5 Dạng 1.4 Xác định một số phương trình đường thẳng đặc biệt (phân giác, trung tuyến, giao tuyến…) Hai đường thẳng d1 , d 2 cắt nhau tại điểm A x0 ; y0 ; z0 và có vécto chỉ phương |ân lượt là u1 a1 ; b1; c1 , u2 a2 ; b2 ; c2 Đường thẳng phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này có vécto chỉ phương được xác định theo công thức 1 1 1 1 u u1 u2 a1; b1; c1 2 2 2 a2 ; b2 ; c2 2 2 2 u1 u2 a1 b1 c1 a2 b2 c2 Chi tiết có hai phân giác: 1 1 Nếu u1 u2 0 u u1 u2 là vécto chỉ phương của phân u1 u2 1 1 giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng và u u1 u2 là vécto chỉ phương của phân giác tạo u1 u2 bởi góc tù giữa hai đường thẳng. 1 1 Nếu u1 u2 0 u u1 u2 là vécto chỉ phương của phân u1 u2 1 1 giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng và u u1 u2 là vécto chỉ phương của phân giác tạo bởi u1 u2 góc nhọn giữa hai đường thẳng.. x 1 3t Câu 60. (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 3 . Gọi là đường thẳng z 5 4t đi qua điểm A 1; 3;5 và có vectơ chỉ phương u 1; 2; 2 . Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi. d và có phương trình là x 1 2t A. y 2 5t B. z 6 11t . x 1 2t y 2 5t z 6 11t . x 1 7t C. y 3 5t z 5 t Lời giải. x 1 t D. y 3 z 5 7t . Chọn B Ta có điểm A 1; 3;5 thuộc đường thẳng d , nên A 1; 3;5 là giao điểm của d và . Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là v 3;0; 4 . Ta xét: 1 1 1 2 2 u1 .u 1; 2; 2 ; ; ; 3 3 3 3 u. 1 1 4 3 v1 .v 3; 0; 4 ;0; . 5 5 5 v Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(479)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Nhận thấy u1.v1 0 , nên góc tạo bởi hai vectơ u1 , v1 là góc nhọn tạo bởi d và . 4 10 22 15 Ta có w u1 v1 ; ; 2; 5;11 là vectơ chỉ phương của đường phân giác 2 15 15 15 của góc nhọn tạo bởi d và hay đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và có vectơ chỉ. x 1 2t phương là w1 2; 5;11 . Do đó có phương trình: y 2 5t . z 6 11t . x 1 7t Câu 61. (Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 1 4t . Gọi là đường thẳng z 1 đi qua điểm A 1;1;1 và có vectơ chỉ phương u 1; 2; 2 . Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và có phương trình là.. x 1 2t A. y 10 11t z 6 5t . x 1 2t B. y 10 11t z 6 5t . x 1 3t C. y 1 4t z 1 5t . x 1 7t D. y 1 t z 1 5t . Lời giải Chọn B. x 1 t ' Phương trình : y 1 2t ' . z 1 2t ' . Ta có d A 1;1;1 . Lấy I 4;5;1 d AI 3; 4;0 AI 5 . Gọi M 1 t ';1 2t ';1 2t ' sao cho AM AI . 5 t ' 3 Khi đó 3 t ' 5 . t ' 5 3 Facebook Nguyễn Vương 35.
<span class='text_page_counter'>(480)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 5 10 10 15 5 8 7 13 M ; ; AM ; ; AM . 3 3 3 3 3 3 3 3 1 IAM 900 trong trường hợp này d ; 900 ( loại) Khi đó cos IAM 3 5 10 10 15 5 2 13 7 Với t ' N ; ; AN ; ; AN . 3 3 3 3 3 3 3 3. Với t ' . 1 900 trong trường hợp này d ; 900 (thỏa mãn) IAM 3 1 5 14 2 Gọi H là trung điểm của NI H ; ; AH 2;11; 5 . 3 3 3 3 Khi đó cos IAN. 5 14 2 Khi đó đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và đi qua H ; ; hoặc A 1;1;1 3 3 3 . x 1 2t và nhận làm u 2;11; 5 VTCP phương trình phân giác là y 10 11t . z 6 5t x 1 3t Câu 62. (Mã 104 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 1 4t . Gọi là đường thẳng z 1 đi qua điểm A 1;1;1 và có vectơ chỉ phương u 2;1; 2 . Đường phân giác của góc nhọn tạo. bởi d và có phương trình là.. x 1 27t A. y 1 t z 1 t . x 18 19t B. y 6 7t z 11 10t . x 18 19t C. y 6 7t z 11 10t . x 1 t D. y 1 17t z 1 10t . Lời giải Chọn B A d x 1 2t Phương trình tham số của đường thẳng : y 1 1t . z 1 2t . Chọn điểm B 1; 2;3 , AB 3 . 14 17 4 7 Gọi C d thỏa mãn AC AB C ; ;1 hoặc C ; ;1 5 5 5 5 4 7 Kiểm tra được điểm C ; ;1 thỏa mãn BAC là góc nhọn. 5 5 9 3 Trung điểm của BC là I ; ; 2 .Đường phân giác cần tìm là AI có vectơ chỉ phương là 10 10 . x 1 19t u 19;7; 10 có phương trình là y 1 7t . Tọa độ điểm của đáp án B thuộc AI . z 1 10t . Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(481)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 63.. x 1 t (Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 2 t . Gọi là đường thẳng z 3 . . đi qua điểm A(1;2;3) và có vectơ chỉ phương u (0; 7; 1). Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và có phương trình là x 1 5t x 1 6t A. y 2 2t . B. y 2 11t . z 3 t z 3 8t . x 4 5t C. y 10 12t . z 2 t . x 4 5t D. y 10 12t . z 2 t . Lời giải Chọn C Đường thẳng d đi qua A(1;2;3) và có VTCP a (1;1;0) . Ta có a.u 1.0 1.( 7) 0.( 1) 7 0 (a , u ) 90. Đường phân giác của góc u a 1 b 5;12;1 // 5;12;1 . u a 5 2. nhọn. tạo. bởi. d. và. . có. VTCP:. x 4 5t Phương trình đường thẳng cần tìm là y 10 12t . z 2 t . Câu 64.. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A 1;3;2 , B 2;0;5 , C 0; 2;1 . Viết phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC . x 1 y 3 z 2 2 4 1 x 1 y 3 z 2 C. AM : 2 4 1. A. AM :. x 1 y 3 z 2 2 4 1 x 2 y 4 z 1 D. AM : 1 1 3. B. AM :. Lời giải Chọn A Gọi M x; y; z là trung điểm BC . Khi đó M 1; 1;3 . . Ta có AM vtcpu 2; 4;1 PTĐT AM : Câu 65.. x 1 y 3 z 2 2 4 1. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian Oxyz , cho A 2;0;0 , đường thẳng d đi qua A cắt chiều âm trục Oy tại điểm B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 1. Phương trình tham số đường thẳng d là. x 1 2t A. y t . z 0 . x 2 2t B. y t . z 0 . x 2 2t C. y t . z 0 . x 2 2t D. y t . z 1 . Lời giải Gọi B 0; b;0 là giao điểm của d với trục Oy . (Điều kiện b 0 ). Facebook Nguyễn Vương 37.
<span class='text_page_counter'>(482)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 1 Ta có OA 2 và tam giác OAB vuông tại O nên SOAB OA.OB 1 OB 1 2 Suy ra B 0; 1;0 . Ta có AB 2; 1;0 là một vec tơ chỉ phương của d . x 2 2t Và đường thẳng d đi qua điểm A 2;0;0 nên y t . z 0 Câu 66. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(2; 2;1), B (. OAB có phương trình là x 0 A. y t B. z t . x 4t y t z t . 8 4 8 ; ; ) . Đường phân giác trong của tam giác 3 3 3. x 14t C. y 2t z 5t . x 2t D. y 14t z 13t . Lời giải Chọn A. Ta có: OA 4 4 1 3 3 EA .EB .EB .EB .BE OB 4 4 64 16 64 9 9 9 3 8 2 x 4 x 3 x 0 3 4 12 2 y y y 4 3 7 12 3 8 z 1 z z 7 4 3 12 12 OE 0; ; u (0;1;1) 7 7 x 0 qua O : y t : VTCP u z t Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(483)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 67.. (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng x 4 t x 5 y 11 z 5 . Đường thẳng d đi qua A 5; 3;5 cắt d1 ; d 2 lần lượt ở d1 y 4 t ; d 2 : 2 4 2 z 6 2t B, C .Tính tỉ sô. A. 2 .. AB . AC B. 3 .. 1 . 2 Lời giải C.. D.. 1 . 3. x 5 2s B d1 B 4 t; 4 t;6 2t . PT tham số của d 2 : y 11 4 s . z 5 2s C d 2 C 5 2 s;11 4 s;5 2 s . Khi đó: AB (1 t; 1 t;2t 1); AC (2s;4s 14;2s) . Do A, B , C thẳng hàng AB, AC cùng phương k : AB k AC. t 2 t 1 2ks 1 AB 1 t 1 4ks 14k s 3 . Do đó: AB AC . 2 AC 2 2t 1 2ks 1 k 2 Câu 68.. (THPT Gang Thép Thái Nguyên -2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 2 điểm M 1;2;3 , A 2;4;4 và hai mặt phẳng. P : x y 2 z 1 0 , Q : x 2 y z 4 0.. Viết phương trình đường thẳng đi qua M , cắt ( P), (Q ) lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC cân tại A và nhận AM làm đường trung tuyến. x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 A. . B. . 1 1 1 2 1 1 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 C. . D. . 1 1 1 1 1 1 Lời giải. Điểm B thuộc mặt ( P) nên B 2c b 1; b; c vì M 1;2;3 là trung điểm BC nên C 3 2c b ;4 b;6 c . Do C thuộc mặt (Q) nên 3c c 7 0 c 3b 7 . Khi đó. B(5b 15; b;3b 7) , C( 5b 17;4 b;13 3b) . BC (10b 32; 2b 4; 6b 20) . ABC cân tại A nên BC. AM 0 20b 60 0 b 3 B(0;3;2) . Đường thẳng đi qua M (1;2;3) và. B(0;3;2) có phương trình là Câu 69.. x 1 y 2 z 3 . 1 1 1. (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A(2;1; 0), B (3; 0; 2), C (4;3; 4) . Viết phương trình đường phân giác trong góc A.. x2 A. y 1 t z 0 . x 2 B. y 1 z t . x 2 t C. y 1 z 0 . x 2 t D. y 1 z t . Lời giải Facebook Nguyễn Vương 39.
<span class='text_page_counter'>(484)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Chọn C A M. C. B. K. Ta có AB 1; 1; 2 và AC 2; 2; 4 .. Gọi M là trung điểm AC , ta có M 3; 2; 2 , AM 1; 1; 2 . Do đó ABM cân tại A . Gọi K là điểm thỏa mãn AK AM AB 2; 0; 0 . Khi đó AK là tia . phân giác trong góc BAC. x 2 t Vậy phương trình đường phân giác trong góc BAC là y 1 , t . z0 Câu 70.. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường x 1 y z 2 , mặt phẳng P : x y 2 z 5 0 và A 1; 1; 2 . Đường thẳng cắt 2 1 1 d và P lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Một vectơ chỉ. thẳng d :. phương của là A. u 4; 5; 13 .. B. u 2 ; 3; 2 .. C. u 1; 1; 2 .. D. u 3; 5; 1 .. Lời giải d M. A N P. x 1 2t x 1 y z 2 y t Ta có d : . Do đó M d M 1 2t ; t ; 2 t . 2 1 1 z 2 t Vì A 1; 1; 2 là trung điểm MN N 3 2t ; 2 t ; 2 t .. Mặt khác N P 3 2t 2 t 2 2 t 5 0 t 2 M 3; 2; 4 AM 2 ;3; 2 là một. vectơ chỉ phương của . Câu 71.. (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD biết A 1;0;1 , B 1;0; 3 và điểm D có hoành độ âm. Mặt phẳng ABCD đi qua. Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(485)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. gốc tọa độ O . Khi đó đường thẳng d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có phương trình x 1 x 1 x 1 x t A. d : y t . B. d : y t . C. d : y t . D. d : y 1 . z 1 z 1 z 1 z t Lời giải Ta có AB 0; 0; 4 4 0;0;1 . Hay AB có véc-tơ chỉ phương k 0;0;1 . Mặt phẳng ABCD có một véc-tơ pháp tuyến: OA; OB 0; 4; 0 4 0;1;0 , hay j 0;1; 0 là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ABCD . AD k AD AB Vì nên . Đường thẳng AD có véc-tơ chỉ phương là j; k 1;0;0 . AD ABCD AD j x 1 t Phương trình đường thẳng AD là: y 0 . z 1 . Do đó D 1 t ;0;1 . t 4 2 Mặt khác AD AB t 2 02 1 1 4 . t 4 Vì điểm D có hoành độ âm nên D 3;0;1 . Vì tâm I của hình vuông ABCD là trung điểm BD , nên I 1;0; 1 . Đường thẳng d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có véc-tơ pháp tuyến là x 1 j 0;1;0 , nên phương trình đường thẳng d là: d : y t . z 1 Câu 72.. (THPT Nghen - Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 :. x 1 y 2 z 1 x 1 y 2 z 1 và 2 : cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng P . 1 2 3 1 2 3. Lập phương trình đường phân giác d của góc nhọn tạo bởi 1 , 2 và nằm trong mặt phẳng P .. x 1 , t . A. d : y 2 z 1 t . x 1 t , t . B. d : y 2 z 1 2t . x 1 t C. d : y 2 2t , t . z 1 t . x 1 t D. d : y 2 2t , t z 1 Lời giải. Nhận thấy A 1;2; 1 là giao điểm của 1 và 2 . 1 có VTCP là u1 1; 2;3 2 có VTCP là u2 1; 2; 3 . u1 ; u2 12;6;0 6 2; 1; 0 . Facebook Nguyễn Vương 41.
<span class='text_page_counter'>(486)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Phương trình mặt phẳng P : 2 x y 4 0 . Gọi u a; b; c là VTCP của d cần tìm.. Ta có d nằm trong mặt phẳng P chứa hai đường thẳng 1 , 2 u u1 ; u2 . 2a b 0 b 2a Lại có d là phân giác của 1 , 2 cos d , 1 cos d , 2 . a 2b 3c a 2 b 2 c 2 . 14. c 0 a 2b 3c a 2b 3c a 2b 3c a 2b 3c a 2b 0. . a 2b 3c a 2 b 2 c 2 . 14. 1 . 2. x 1 t Xét 1 , c 0 , b 2a u a, 2a, 0 1; 2;0 . d : y 2 2t , t . z 1 cos 1 ; d . 1.1 2.2 14. 5. . 70 1 ; d 5318' . 14. x 1 a 2b 0 ,t . Xét 2 : a b 0 u 0;0; c c 0;0;1 d : y 2 b 2a z 1 t . cos 1 , d . 3 14.1. 3 1 , d 3642' . 14. . Do d là đường phân giác của góc nhọn nên 1 , d 45 .. x 1 ,t . Vậy đường thẳng d cần tìm là d : y 2 z 1 t Nhận xét: Có thể làm đơn giản hơn bằng cách: ta thấy u1 1; 2;3 ; u2 1; 2; 3 là hai véc tơ có độ dài bằng nhau và u1.u2 0 u1 , u2 90 . Vậy u1 u2 chính là véc tơ chỉ phương của d .. . Câu 73.. . . . (Quảng Xương - Thanh Hóa - 2018) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC biết A 1; 0; 1 , B 2;3; 1 , C 2;1;1 . Phương trình đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp. của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ABC là:. x 3 y 1 z 5 x y2 z . B. . 3 1 5 3 1 5 x 1 y z 1 x 3 y 2 z 5 C. . D. . 1 2 2 3 1 5 Lời giải Ta có: AB 1;3;0 ; BC 4; 2; 2 , AC 3;1; 2 A.. AB 2 10 , BC 2 24 , AC 2 14 ABC vuông tại A . Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của BC I 0; 2;0 .. Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(487)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 Đường thẳng d cần tìm đi qua I 0; 2; 0 và nhận vectơ u AB, AC 3; 1;5 làm véc tơ 2 x 3 y 1 z 5 chỉ phương. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: . 3 1 5 Câu 74.. (SGD Bắc Giang - 2018) Trong không gian Oxyz , cho tam giác nhọn ABC có H 2; 2;1 ,. 8 4 8 K ; ; , O lần lượt là hình chiếu vuông góc của A , B , C trên các cạnh BC , AC , AB . 3 3 3 Đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng ABC có phương trình là. x 4 y 1 z 1 A. d : . 1 2 2 4 17 19 x y z 9 9 9 . C. d : 1 2 2. 8 2 2 y z 3 3 3. B. d : 1 2 2 x. D. d :. x y6 z 6 . 1 2 2. Lời giải. Ta có tứ giác BOKC là tứ giác nội tiếp đường tròn ( vì có hai góc vuông K , O cùng nhìn BC OCB 1 dưới một góc vuông) suy ra OKB Ta có tứ giác KDHC là tứ giác nội tiếp đường tròn ( vì có hai góc vuông K , H cùng nhìn DC OCB 2 dưới một góc vuông) suy ra DKH và AC OKB do đó BK là đường phân giác trong của góc OKH Từ 1 và 2 suy ra DKH . là đường phân giác ngoài của góc OKH và AB là đường Tương tự ta chứng minh được OC là đường phân giác trong của góc KOH . phân giác ngoài của góc KOH Facebook Nguyễn Vương 43.
<span class='text_page_counter'>(488)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Ta có OK 4 ; OH 3 ; KH 5 . và KOH . Gọi I , J lần lượt là chân đường phân giác ngoài của góc OKH 4 IO KO 4 IO IH I 8; 8; 4 . Ta có I AC HO ta có IH KH 5 5 JK OK 4 4 JK JH J 16; 4; 4 . Ta có J AB KH ta có JH OH 3 3 16 28 20 4 Đường thẳng IK qua I nhận IK ; ; 4;7;5 làm vec tơ chỉ phương có phương 3 3 3 3 x 8 4t trình IK : y 8 7t z 4 5t . Đường thẳng OJ qua O nhận OJ 16; 4; 4 4 4;1; 1 làm vec tơ chỉ phương có phương x 4t trình OJ : y t z t . Khi đó A IK OJ , giải hệ ta tìm được A 4; 1;1 . Ta có IA 4;7;5 và IJ 24;12;0 , ta tính IA, IJ 60;120; 120 60 1; 2; 2 . Khi đó đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ABC có véc tơ chỉ phương x 4 y 1 z 1 u 1; 2; 2 nên có phương trình . 1 2 2 Nhận xét: Mấu chốt của bài toán trên là chứng minh trực tâm D của tam giác ABC là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OHK . Khi đó, ta tìm tọa độ điểm D dựa vào tính chất quen thuộc sau: “Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp, ta có a.IA b.IB c.IC 0 , với a BC , b CA , c AB ”. Sau khi tìm được D , ta tìm được A với chú ý rằng A DH và OA DA . Ta cũng có thể tìm ngay tọa độ điểm A bằng cách chứng minh A là tâm đường tròn bàng tiếp góc H của tam giác OHK . Khi đó, ta tìm tọa độ điểm D dựa vào tính chất quen thuộc sau: “Cho tam giác ABC với J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A , ta có a.JA b.JB c.JC 0 , với a BC , b CA , c AB ”. Câu 75.. (Chuyên Vinh - 2018) Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A 2;3;3 , phương trình đường trung tuyến kẻ từ B là. x3 y 3 z 2 , phương trình đường phân giác trong của góc 1 2 1. x2 y4 z2 C là . Đường thẳng AB có một véc-tơ chỉ phương là 2 1 1 A. u 3 2;1; 1 . B. u 2 1; 1;0 . C. u 4 0;1; 1 . D. u1 1; 2;1 . Lời giải x 2 2t Phương trình tham số của đường phân giác trong góc C là CD : y 4 t . z 2 t . Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(489)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 7 t 5t ; Gọi C 2 2t ; 4 t ; 2 t , suy ra tọa độ trung điểm M của AC là M 2 t; . Vì 2 2 M BM nên: 7t 5t 3 2 2 t 3 2 2 t 1 1 t 1 t t 1 . 1 2 1 1 4 2 Do đó C 4;3;1 . Phương trình mặt phẳng P đi qua A và vuông góc CD là 2. x 2 1. y 3 1. z 3 0 hay 2 x y z 2 0 .. Tọa độ giao điểm H của P và CD là nghiệm x; y; z của hệ. x 2 2t x 2 2t x 2 y 4t y 4t y 4 H 2; 4; 2 . z 2 t z 2 t z 2 2 2 2t 4 t 2 t 2 0 2 x y z 2 0 t 0 Gọi A là điểm đối xứng với A qua đường phân giác CD , suy ra H là trung điểm AA , bởi vậy: x A 2 xH x A 2.2 2 2 y A 2 yH y A 2.4 3 5 A 2;5;1 . x 2 z z 2.2 3 1 A H A Do A BC nên đường thẳng BC có véc-tơ chỉ phương là CA 2; 2;0 2 1;1;0 , nên x 4 t phương trình đường thẳng BC là y 3 t . z 1 . Vì B BM BC nên tọa độ B là nghiệm x; y; z của hệ x 4 t x 2 y 3 t y 5 B 2;5;1 A . z 1 z 1 x 3 y 3 1 t 2 1 2. Đường thẳng AB có một véc-tơ chỉ phương là AB 0; 2; 2 2 0;1; 1 ; hay u 4 0;1; 1 là. một véc-tơ chỉ của phương đường thẳng AB . Câu 76. (Chuyên Quang Trung- Bình Phước 2019) Trong không gian O xyz , cho mặt phẳng. x 1. P : x y z 3 0 và đường thẳng d : . y 1 z 2 . Đường thẳng d ' đối xứng với d 2 1. qua mặt phẳng P có phương trình là. x 1 1 x 1 C. 1 A.. y 1 z 1 . 2 7 y 1 z 1 . 2 7. x 1 y 1 z 1 . 1 2 7 x 1 y 1 z 1 D. . 1 2 7 Lời giải B.. Chọn A + d không vuông góc với P . Facebook Nguyễn Vương 45.
<span class='text_page_counter'>(490)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x t Phương trình tham số của đường thẳng d : y 1 2t . z 2 t Tọa độ giao điểm I của d và mặt phẳng P là nghiệm của hệ phương x t x 1 y 1 2t trình y 1 I 1;1;1 . z 2 t z 1 x y z 3 0 + Lấy điểm M 0; 1; 2 d .. x t Đường thẳng qua M và vuông góc với P có phương trình y 1 t . z 2 t 2 1 8 P H H ; ; . 3 3 3 4 1 10 M ' đối xứng với M qua P H là trung điểm của MM ' M ' ; ; . 3 3 3 + Đường thẳng d ' đối xứng với d qua mặt phẳng P . 1 2 7 1 4 1 10 d ' đi qua I 1;1;1 và M ' ; ; có vectơ chỉ phương IM ' ; ; 1; 2;7 , 3 3 3 3 3 3 3 x 1 y 1 z 1 phương trình d ' là . 1 2 7 x 1 3t Câu 77. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 3 . Gọi là đường thẳng đi qua điểm z 5 4t A 1; 3;5 và có vectơ chỉ phương u 1; 2; 2 . Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và có. phương trình là x 1 2t A. y 2 5t . z 6 11t . x 1 2t B. y 2 5t . z 6 11t . x 1 7t C. y 3 5t . z 5 t . x 1 t D. y 3 . z 5 7t . Lời giải Chọn B Ta có điểm A 1; 3;5 thuộc đường thẳng d , nên A 1; 3;5 là giao điểm của d và . Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là v 3;0; 4 . Ta xét:. 1 1 1 2 2 u1 .u 1; 2; 2 ; ; ; 3 3 3 3 u 1 1 4 3 v1 .v 3;0; 4 ;0; . 5 5 5 v Nhận thấy u1.v1 0 , nên góc tạo bởi hai vectơ u1 , v1 là góc nhọn tạo bởi d và . Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(491)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 4 10 22 15 Ta có w u1 v1 ; ; 2; 5;11 là vectơ chỉ phương của đường phân giác 2 15 15 15 của góc nhọn tạo bởi d và hay đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và có vectơ chỉ x 1 2t phương là w1 2; 5;11 . Do đó có phương trình: y 2 5t . z 6 11t Câu 78.. (THPT. Ninh. Bình-Bạc. P : 2 x y z 10 0 ,. Trong. Liêu-2019). điểm A 1;3; 2 . không. gian. Oxyz ,. cho. mặt. phẳng. x 2 2t và đường thẳng d : y 1 t . Tìm phương trình z 1 t . đường thẳng cắt P và d lần lượt tại hai điểm M và N sao cho A là trung điểm của đoạn MN .. x6 7 x6 C. 7 A.. y 1 4 y 1 4. z 3 x 6 y 1 z 3 . B. . 1 7 4 1 z3 x 6 y 1 z 3 . D. . 1 7 4 1 Lời giải. Chọn A Theo giả thiết: N d N 2t 2; t 1;1 t . Mà A là trung điểm MN M 4 2t ;5 t ;3 t . Mặt khác, M P 2 4 2t 5 t 3 t 10 0 t 2 . N 6; 1;3 NA 7; 4; 1 . Đường thẳng đi qua N 6; 1;3 và có một VTCP là u NA 7; 4; 1 nên có phương trình chính tắc là:. x 6 y 1 z 3 . 7 4 1. Câu 79. (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng : x 3 y z 1 0 , : 2 x y z 7 0 . x2 y z 3 2 3 7 x y 3 z 10 C. 2 3 7. A.. x2 2 x2 D. 2. B.. y 3 y 3. z 3 7 z 3 7. Lời giải Chọn D Tọa độ các điểm thuộc giao tuyến d của hai mặt phẳng thỏa mãn hệ phương trình: x 3y z 1 0 . 2 x y z 7 0 x z 1 x 2 Với y 0 A 2;0;3 d 2 x z 7 z 3 x z 10 x 0 Với y 3 B 0;3;10 d . 2 x z 10 z 10 Facebook Nguyễn Vương 47.
<span class='text_page_counter'>(492)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Vậy đường thẳng d đi qua A 2;0;3 và nhận AB 2;3;7 làm vecto chỉ phương có phương trình chính tắc là:. x 2 y z 3 . 2 3 7. Câu 80.. Đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng: x z 5 0 và x 2 y z 3 0 thì có phương trình là x 2 y 1 z x 2 y 1 z A. B. 1 3 1 1 2 1 x 2 y 1 z 3 x 2 y 1 z 3 C. D. 1 1 1 1 2 1 Lời giải Chọn C P : x z 5 0 có 1 vtpt n1 1;0;1 Q : x 2 y z 3 0 có 1 vtpt n2 1; 2; 1 Gọi là giao tuyến của 2 mặt phẳng thì có 1 vtcp u n1 , n2 2; 2; 2 .. Câu 81.. (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi là mặt phẳng chứa đường x2 y 3 z và vuông góc với mặt phẳng : x y 2z 1 0 . Hỏi giao tuyến 1 1 2 của và đi qua điểm nào?. thẳng ( d ) :. A. 0;1;3 .. B. 2;3;3 .. C. 5;6;8 . ud (1;1; 2) là một VTCP của đường thẳng d n (1;1; 2) là một VTPT của n ud ; n (4; 4;0). D. 1; 2;0 . Lời giải. A(2;3;0) d A . Phương trình mặt phẳng ( ) : 4( x 2) 4( y 3) 0( z 0) 0 4x 4 y 4 0 x y 1 0 .. x-y 1 0 Giả sử M ( x; y; z ) . Khi đó tọa độ M thỏa mãn hệ x y 2z 1 0 Thay các đáp án vào hệ trên ta thấy M (2;3;3) thỏa mãn. Chọn đáp án B Câu 82.. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Đường thẳng là giao của hai mặt phẳng x z 5 0 và x 2 y z 3 0 thì có phương trình là x2 1 x2 C. 1. A.. y 1 3 y 1 1. z x2 . B. 1 1 z 3 x2 . D. 1 1. y 1 2 y 1 2. . z . 1 z 3 . 1 Lời giải. P : x z 5 0 có vectơ pháp tuyến n1 1; 0;1 . Q : x 2 y z 3 0 có vectơ pháp tuyến n2 1; 2; 1 .. Ta có: n1 , n2 2; 2; 2 .. Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(493)</span> Gọi u là một vectơ chỉ phương của , thì Suy ra u cùng phương với n1 , n2 . Chọn. u n1 và u n2 . u 1;1; 1 .. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lấy M 2;1;3 thuộc mặt phẳng P và Q .. Đường thẳng đi qua M 2;1;3 có một véctơ chỉ phương u 1;1; 1 . Vậy phương trình là:. Câu 83.. x 2 y 1 z 3 . 1 1 1. x 2 3t (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : y 3 t và z 4 2t . x4 y 1 z . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng 3 1 2 chứa d và d , đồng thời cách đều hai đường thẳng đó. x3 y2 z2 x3 y2 z2 A. B. . 3 1 2 3 1 2 x3 y2 z2 x3 y2 z2 C. D. 3 1 2 3 1 2 Lời giải Chọn D Ta thấy hai đường thẳng d và d có cùng véctơ chỉ phương hay d / / d Vậy đường thẳng cần tìm có véctơ chỉ phương là u 3;1; 2 và đi qua trung điểm I 3; 2; 2 d :. của AB với A 2; 3; 4 d và B 4; 1; 0 d Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là Câu 84.. x3 y2 z2 . 3 1 2. (THPT Nghen - Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng x 2 t x 4 y 1 z d : y 1 2t và d : . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng 1 2 2 z 4 2t . thuộc mặt phẳng chứa d và d đồng thời cách đều hai đường thẳng đó. x3 y2 z 2 x 2 y 1 z 4 A. . B. . 1 2 2 3 1 2 x3 y z 2 x3 y2 z 2 C. . D. . 1 2 2 1 2 2 Lời giải d đi qua A 2;1; 4 và có véc tơ chỉ phương u1 1; 2; 2 . d đi qua B 4; 1;0 có véc tơ chỉ phương u2 1; 2; 2 . 2 4 11 4 Ta có u1 u2 và nên d //d . 1 2 2. Facebook Nguyễn Vương 49.
<span class='text_page_counter'>(494)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa d và d đồng thời cách đều hai đường thẳng đó khi và chỉ //d //d hay qua trung điểm I 3; 0; 2 và có một véc tơ chỉ phương là khi d , d d , d x3 y z 2 . u 1; 2; 2 . Khi đó phương trình của : 2 1 2 Câu 85.. (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d và mặt phẳng. x 1 y z 2 và x y 2 z 8 0 , điểm P lần lượt có phương trình 2. 1. 1. A 2; 1;3 . Phương trình đường thẳng cắt d và P lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN là: x 1 y 5 z 5 A. 4 2 3 x 5 y 3 z 5 C. 6 1 2. x 2 y 1 z 3 1 2 6 x 5 y 3 z 5 D. 3 4 2 Lời giải x 1 2t Đường thẳng d có phương trình tham số: y t z 2 t. B.. Điểm M thuộc đường thẳng d nên M 1 2t; t; 2 t . Điểm A là trung điểm của MN nên: A 2; 1;3 xN 2 x A xM 5 2t yN 2 y A yM 2 t N 5 2t ; 2 t ; 4 t z N 2 z A zM 4 t Mặt khác điểm N P nên: 5 2t 2 t 8 2t 8 0 t 3. Suy ra: M 5;3;5 .. Đường thẳng có véc tơ chỉ phương AM 3; 4; 2 và đi qua điểm M 5;3;5 nên có phương. trình:. x 5 y 3 z 5 4 2 3. Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(495)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. Chuyên đề 31. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 2. Bài toán tìm điểm Tìm hình chiếu H của điểm M lên mặt phẳng ( P) : ax by cz d 0 M Viết phương trình đường thẳng MH qua M và vuông góc với ( P), khi đó: x x a1t x ? y y a t H 2 P t y ? H. H d ( P) thỏa z z a3t z ? ax by cz d 0 M Lưu ý: Để tìm điểm đối xứng M của điểm M qua ( P) H là trung điểm MM . Tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng d . Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua M và vuông góc với d , khi đó: M x x a1t x ? H y y a t 2 t y ? H. H d ( P) thỏa M z z a3t z ? ax by cz d 0 P Lưu ý: Để tìm điểm đối xứng M của điểm M qua d H là trung điểm MM . Câu 1.. d. (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 1; 2 , B 1; 2; 3 . x 1 y 2 z 1 . Tìm điểm 1 1 2 MA2 MB 2 28 , biết c 0 . 7 2 2 1 1 7 A. M ; ; B. M ; ; 6 3 3 6 6 6 C. M 1; 0; 3 D. M 2; 3; 3 và đường thẳng. d:. M a; b; c . thuộc. d. sao cho. Lời giải Chọn A Ta có : M d nên t : M 1 t ; 2 t ; 1 2t .Đk : 1 2t 0 t . 1 * 2. MA2 MB 2 28 2. 2. 2. 2. 2. 2. t 3 t 1 2t 2 t t 2 2t 28. t 1 L 12t 2t 10 0 t 5 T / m 6 2. 5 1 7 2 Với t , ta có M ; ; . 6 6 6 3. Câu 2.. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , tọa độ hình chiếu vuông góc x y z của M 1;0;1 lên đường thẳng : là 1 2 3 1 1 A. 2; 4;6 . B. 1; ; . C. 0;0;0 . 2 3. 2 4 6 D. ; ; . 7 7 7. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(496)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải. xt. Đường thẳng có vtcp u 1; 2 ; 3 và có phương trình tham số là: y 2t. t .. z 3t Gọi N t ;2t ;3t là hình chiếu vuông góc của M lên , khi đó: 2 2 4 6 MN .u 0 (t 1) (2t 0).2 (3t 1).3 0 14t 4 0 t N ; ; . 7 7 7 7. Câu 3.. x 1 t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (4;0;0) và đường thẳng : y 2 3t . Gọi z 2t . H (a; b;c) là hình chiếu của M lên . Tính a+b+c. A. 5 . B. 1. C. 3 .. D. 7 .. Lời giải Chọn B. Gọi H là hình chiếu của M lên nên tọa độ của H có dạng H (1 t; 2 3t; 2t ) và MH u 11 3 5 22 MH .u 0 14t 11 0 t H( ; ; ) a b c 1 14 14 14 14 Câu 4.. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu H của. x 1 t A 1;1;1 lên đường thẳng d : y 1 t . z t 4 4 1 A. H ( ; ; ). 3 3 3. B. H 1;1;1 .. C. H (0 ; 0 ; 1).. . D. H (1 ; 1 ; 0).. Lời giải. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u = (1 ; 1 ; 1). Do H d H(1 + t ; 1 + t ; t) .. . Ta có: AH = (t ; t ; t 1). Do H là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d nên suy ra. . . . AH u AH .u = 0 t + t + t 1 = 0 t = Câu 5.. 1. 4 4 H ( ; ;1). 3 3 3. (THPT Quang Trung Dống Da Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm x 6 4t A 1;1;1 và đường thẳng d : y 2 t . Tìm tọa độ hình chiếu A của A trên d . z 1 2t A. A (2;3;1) . B. A (2;3;1) . C. A(2; 3;1) . D. A(2; 3; 1) .. Lời giải Ta có A d nên gọi A 6 4t ; 2 t ; 1 2t ; AA 5 4t ; 3 t ; 2 2t ; đường thẳng d có vectơ chỉ phương u 4; 1; 2 . AA d AA.u 0 5 4t . 4 3 t . 1 2 2t .2 0 t 1 .. A 2; 3;1 . Vậy A 2; 3;1 . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(497)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 6.. Trong không gian Oxyz , cho hình thang cân ABCD có đáy là AB và CD . Biết A 3;1; 2 ,. B 1;3; 2 , C 6;3; 6 và D a ; b ; c với a , b , c . Giá trị của a b c bằng B. 1.. A. 3 .. C. 3 . Lời giải. D. 1.. Phương trình đường thẳng d qua C 6;3; 6 và song song với đường thẳng AB là. x 6 y 3 z 6 2 1 2 Điểm D thuộc đường thẳng d nên gọi tọa độ D là D 6 2t ;3 t ;6 2t . Tứ giác ABCD là hình thang cân nên ta có: AD BC. t 2 t 2 8t 12 0 . t 6. Với t 2 D1 2;1; 2 , tứ giác là hình bình hành nên loại. Với t 6 D2 6; 3; 6 thỏa mãn, nên 6 3 6 3 . Câu 7.. (THPT Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng. d:. x 1 y z 2 và hai điểm A 1;3;1 ; B 0; 2; 1 . Gọi C m; n; p là điểm thuộc đường 2 1 1. thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2 2 . Giá trị của tổng m n p bằng A. 1. B. 2. C. 3 Lời giải. D. 5. Chọn C x 1 2t Phương trình tham số của đường thẳng d : y t z 2 t x 1 2t Vì C d : y t c 1 2t ; t z 2 t Ta có AB 1; 1; 2 ; AC 1 2t ; t ; 2 t AB, AC 3t 7; 3t 1;3t 3 1 1 Diện tích tam giác ABC là S ABC AB, AC 27t 2 54t 59 2 2 1 S ABC 2 2 27t 2 54t 59 2 2 t 1 C 1;1;1 m n p 3 2. Câu 8.. x 1 y 3 z 2 và 1 2 2 điểm A 3; 2;0 . Điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là (Chuyên Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :. A. 1; 0; 4 .. B. 7;1; 1 .. C. 2;1; 2 .. D. 0; 2; 5 .. Lời giải Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(498)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d . Phương trình của mặt phẳng. P là: 1 x 3 2 y 2 2 z 0 0. x 2 y 2z 7 0 .. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng d , khi đó H d P Suy ra H d H 1 t ; 3 2t ; 2 2t , mặt khác H P 1 t 6 4t 4 4t 7 0 t 2 . Vậy H 1;1; 2 .. Gọi A là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d , khi đó H là trung điểm của AA suy ra A 1;0; 4 . Câu 9.. (Sở Bình Phước -2019) Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ điểm M 2; 4; 1 tới đường. x t thẳng : y 2 t bằng z 3 2t A.. 14. B.. 6. C. 2 14 Lời giải. D. 2 6. Chọn C. Đường thẳng đi qua N 0; 2;3 , có véc tơ chỉ phương u 1; 1; 2 MN 2;6; 4 ; MN , u 16;8; 4 . MN , u 336 d M , 2 14. 6 u. Câu 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , Gọi M a; b; c . thuộc đường thẳng. x y 1 z 2 . Biết điểm M có tung độ âm và cách mặt phẳng Oyz một khoảng bằng 2. 1 2 3 Xác định giá trị T a b c . A. T 1 . B. T 11 . C. T 13 . D. T 1 . :. Lời giải M M t ; 1 2t ; 2 3t .. t 2 1 2t 5 Ta có d M ; Oyz t 2 . t 2 1 2t 2 Suy ra t 2 . Do đó M 2; 3; 8 . Vậy a 2; b 3; c 8 T a b c 13 . x 1 2t t 1 y t x 1 trình . Do đó M 1;1;3 , a b c 5 . z 1 2 t y 1 2 x y 3 0 z 3 Câu 11.. Trong không gian Oxyz , cho A 2;0;0 , đường thẳng d đi qua A cắt chiều âm trục Oy tại điểm B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 1. Phương trình tham số đường thẳng d là. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(499)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 1 2t A. y t . z 0 . x 2 2t B. y t . z 0 . x 2 2t C. y t . z 0 Lời giải. x 2 2t D. y t . z 1 . Chọn C Gọi B 0; b;0 là giao điểm của d với trục Oy . (Điều kiện b 0 ). 1 Ta có OA 2 và tam giác OAB vuông tại O nên S OAB OA.OB 1 OB 1 2 Suy ra B 0; 1; 0 . Ta có AB 2; 1;0 là một vec tơ chỉ phương của d . x 2 2t Và đường thẳng d đi qua điểm A 2;0;0 nên y t . z 0 . Câu 12.. (Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng :. x 2 y z 1 . 3 1 2. Gọi M là giao điểm của với mặt phẳng P : x 2 y 3z 2 0 . Tọa độ điểm M là A. M 2;0; 1 .. B. M 5; 1; 3 .. C. M 1;0;1 .. D. M 1;1;1 .. Lời giải x 2 y 3 1 x 3y 2 x 1 y z 1 2 y z 1 y 1 Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ: 2 1 x 2 y 3 z 2 z 1 x 2 y 3z 2 0 Vậy M 1;1;1 . Câu 13.. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A 3; 2; 1 lên mặt phẳng : x y z 0 là: A. 2;1;1 .. 5 2 7 B. ; ; . 3 3 3. 1 1 1 D. ; ; . 2 4 4. C. 1;1; 2 . Lời giải. Gọi H là hình chiếu của A 3; 2; 1 lên mặt phẳng : x y z 0 . Khi đó: AH nhận. x 3 y 2 z 1 n 1;1;1 là vectơ chỉ phương suy ra phương trình AH : . 1. 1. 1. Do H AH H 3 t; 2 t ; 1 t . Do H 3 t 2 t 1 t 0 t Câu 14.. 4 5 2 7 H ; ; . 3 3 3 3. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , hình chiếu của điểm M 1; 0;3 theo phương véctơ v 1; 2;1 trên mặt phẳng P : x y z 2 0 có tọa độ là Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(500)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 2; 2; 2 .. B. 1;0;1 .. C. 2; 2; 2 .. D. 1;0; 1 .. Lời giải d v M. M' P. Đường thẳng d đi qua M 1; 0;3 , có véctơ chỉ phương v 1; 2;1 có phương trình tham số là. x 1 t y 2t . z 3 t . Gọi M là hình chiếu của điểm M 1;0;3 theo phương véctơ v 1; 2;1 trên mặt phẳng. P : x y z 2 0 . M d P tọa độ. M là nghiệm của hệ phương trình:. x 1 t x 1 t x 2 y 2t y 2t y 2 M 2; 2; 2 . z 3 t z 3 t z 2 x y z 2 0 1 t 2t 3 t 2 0 t 1 Câu 15.. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong không gian Oxyz , giao điểm của mặt phẳng. P : 3x 5 y z 2 0. và đường thẳng :. x 12 y 9 z 1 là điểm M x0 ; y0 ; z0 . Giá trị 4 3 1. tổng x0 y0 z0 bằng A. 1.. B. 2 .. C. 5 . Lời giải. D. 2 .. M M 12 4t ;9 3t ;1 t . M P 3 12 4t 5 9 3t 1 t 2 0 t 3 . M 0;0; 2 x0 y0 z0 2 .. Câu 16.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A 1;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0;3 và x t d : y 2 t . Gọi M ( a ; b; c ) là tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng ABC . Tổng S a b c là: z 3 t . A. 7.. B. 11.. C. 5. Lời giải. D. 6.. Mặt phẳng ( ABC ) qua các điểm A 1;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0;3 nằm trên các trục Ox , Oy , Oz có phương trình là:. x y z 1. 1 2 3. Điểm M ( a ; b; c ) là tọa độ giao điểm của của d và mặt phẳng ABC . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(501)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. a 6 t 2 t 3 t Suy ra 1 t 6 suy ra b 8 . 1 2 3 c 9 Vậy S 6 8 9 11. Câu 17.. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. P : 6 x 2 y z 35 0. và điểm A 1;3;6 . Gọi A ' là điểm đối xứng với A qua P , tính. OA '. A. OA 5 3. B. OA 46. C. OA 186 Lời giải. D. OA 3 26. Chọn C + A đối xứng với A qua P nên AA vuông góc với P . x 1 6t +Suy ra phương trình đường thẳng AA : y 3 2t z 6 t +Gọi H là giao điểm của AA và mặt phẳng P H 1 6t;3 2 t;6 t + Do H thuộc P 6 1 6t 2 3 2t 1 6 t 35 0. 41t 41 0 t 1 H 5;1;7 + A đối xứng với A qua P nên H là trung điểm của AA 2. A 11; 1;8 OA 112 1 82 186 Câu 18.. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xác định tọa độ điểm M là hình chiếu vuông góc của điểm M 2;3;1 lên mặt phẳng : x 2 y z 0 . 5 A. M 2; ;3 . 2 . B. M 1;3;5 .. 5 3 C. M ; 2; . 2 2 Lời giải. D. M 3;1; 2 .. Chọn C Gọi là đường thẳng qua M và vuông góc với .. x 2 t Phương trình tham số của là: y 3 2t . Ta có M . z 1 t Xét phương trình: 2 t 2 3 2t 1 t 0 t . 1 . 2. 5 3 Vậy M ; 2; . 2 2. Câu 19.. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian Oxyz , điểm M đối xứng với điểm M 1; 2; 4 qua mặt phẳng : 2 x y 2 z 3 0 có tọa độ là A. 3;0;0 .. B. 1;1; 2 .. C. 1; 2; 4 .. D. 2;1;2 .. Lời giải Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là n 2;1; 2 . Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(502)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. MM vuông góc với mặt phẳng nên đường thẳng MM nhận n 2;1; 2 làm vectơ chỉ. x 1 2t phương. Phương trình đường thẳng MM là: y 2 t . z 4 2t Gọi H là giao điểm của đường thẳng MM và mặt phẳng .. H MM H 1 2t; 2 t ;4 2t . H 2 1 2t 2 t 2 4 2t 3 0 9t 9 0 t 1 H 1;1; 2 . M đối xứng với điểm M qua mặt phẳng nên H là trung điểm của MM M 3;0;0 . Câu 20.. (KSCL THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;2; 1 ,đường x 1 y 1 z 2 và mặt phẳng P : x y 2 z 1 0 . Điểm B thuộc mặt phẳng P 2 1 1 thỏa mãn đường thẳng AB vuông góc và cắt đường thẳng d . Tọa độ điểm B là A. (6; 7; 0) B. (3; 2; 1) C. ( 3;8; 3) D. (0;3; 2). thẳng d :. Lời giải Chọn D Ta gọi AB cắt d tại điểm M 1 2m; 1 m; 2 m d AM 2m; m 3;3 m , theo yêu cầu bài toán AB vuông góc d , ta có AM .ud 0 2.2m m 3 m 3 0 m 1 AM (2; 2;2) 1 Đường thẳng AB đi qua A nhận u AM 1; 1;1 là VTCP, ta có phương trình AB là 2 x 1 y 2 z 1 . Gọi B 1 t; 2 t ; 1 t AB AB : 1 1 1 Lại có điểm B ( P ) 1 t 2 t 2(1 t ) 1 0 t 1 . Vậy B (0;3; 2) . Câu 21.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi d là đường thẳng qua A1;0;2 , cắt và vuông góc với đường thẳng d1 : A. P 2; 1;1 .. x 1 y z 5 . Điểm nào dưới đây thuộc d ? 1 1 2 B. Q 0; 1;1 . C. N 0; 1; 2 . D. M 1; 1;1 . Lời giải. Chọn B. Đường thẳng d1 có VTCP là u 1;1; 2 . Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng d1 . Vì H d1 : H 1 t ; t;5 2t . Ta có: AH t; t ;3 2t . d vuông góc với d1 u. AH 0 t t 2 3 2t 0 6t 6 t 1 .. Lúc đó, đường thẳng d qua A1;0;2 và có VTCP AH 1;1;1 có phương trình: Lúc đó, điểm Q 0; 1;1 thuộc đường thẳng d .. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương x 1 t . y t z 2 t.
<span class='text_page_counter'>(503)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 22.. Trong không gian Oxyz , cho tam giác đều ABC với A 6;3;5 và đường thẳng BC có phương x 1 t trình tham số y 2 t . Gọi là đường thẳng qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông z 2t . góc với mặt phẳng ABC . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng ? A. M 1; 12;3 .. B. N 3; 2;1 .. C. P 0; 7;3 .. D. Q 1; 2;5 .. Lời giải Chọn D. Đường thẳng BC đi qua M 0 1; 2;0 và có vecto chỉ phương u 1;1; 2 . Mp ABC có vecto pháp tuyến n u , M 0 A 3;15; 6 cùng phương n 1;5; 2 . ABC có vecto chỉ phương n 1;5; 2 Gọi H là trung điểm của BC AH BC và H 1 t ; 2 t ; 2t . AH 5 t ; 1 t ; 2t 5 . Ta có AH BC AH u AH .u 0 6t 6 0 t 1 . Suy ra H 0;3; 2 .. 2 G là trọng tâm tam giác ABC AG AH 3 AG 2 AH 3 OG OA 2 OH OA 3 1 OG 2OH OA OG 2;3;3 G 2;3;3 . 3 đi qua G , có vecto chỉ phương n 1;5; 2. . . . . . x 2 t phương trình tham số của là: y 3 5t . Vậy Q . z 3 2t . Câu 23.. x 1 y z 2 2 1 1 và hai điểm A 1;3;1 , B 0; 2; 1 . Gọi C m ; n ; p là điểm thuộc d sao cho diện tích tam giác (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :. ABC bằng 2 2 . Giá trị của tổng m n p bằng A. 1 . B. 2. C. 3. Lời giải Chọn C Ta có C m ; n ; p d C 1 2t ; t ;2 t . AB 1; 1; 2 Suy ra AB, AC 3t 7; 3t 1;3t 3 . AC 2t ; t 3;1 t 1 1 27t 2 54t 59 . Diện tích tam giác ABC : SABC AB, AC 2 2 1 Theo đề ta có 27t 2 54t 59 2 2 2 27t 2 54t 27 0 t 1 .. D. 5 .. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(504)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Suy ra C 1;1;1 . Vậy m n p 3 . Câu 24.. (Đà Nẵng 2019) Trong không gian. Oxyz . cho hai đường thẳng. x2 y4 z và 1 1 2. x 3 y 1 z 2 . Gọi M là trung điểm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng trên. Tính 2 1 1 đoạn OM . A. OM . 14 . 2. B. OM 5 .. C. OM 2 35 .. D. OM 35 .. Lời giải Chọn B. x 2 t Đường thẳng d : y 4 t nhận véctơ u 1;1; 2 làm véctơ chỉ phương. z 2t x 3 2m Đường thẳng d : y 1 m nhận véctơ v 2; 1; 1 làm véctơ chỉ phương. z 2 m Gọi AB là đoạn vuông góc chung với A d và B d . Khi đó A 2 t;4 t; 2t và B 3 2m; 1 m; 2 m . Suy ra AB 2m t 1; m t 5; m 2t 2 . AB u AB.u 0 3m 6t 0 m 2 Ta có . Suy ra A 1;3;2 và B 1;1;0 . 6m 3t 9 t 1 AB v AB.v 0 Suy ra trung điểm của AB là M 0;2;1 . Vậy OM 5 . Câu 25.. (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho P : x 2 y z 0 và đường thẳng d :. x 1 y z 2 . Đường thẳng d cắt P tại điểm A . Điểm M a; b; c thuộc 2 1 1. đường thẳng d và có hoành độ dương sao cho AM 6 . Khi đó tổng S 2016a b c là A. 2018 . B. 2019 . C. 2017 . D. 2020 . Lời giải Chọn A. x 2 y z 0 x 1 x 2 y z 0 Tìm A từ hệ x 1 y z 2 x 2 y 1 y 1 A 1; 1; 1 . 2 1 1 y z 2 z 1 Gọi M 1 2t ; t; 2 t , t . 1 ta có AM 6t 2 12t 6 6 t 0; t 2 2. Với t 0 M 1;0; 2 a 1; b 0; c 2 S 2018. Câu 26.. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :. x 1 y 1 z x y 1 z , d2 : . Đường 1 1 2 1 2 1. thẳng d đi qua A 5; 3;5 lần lượt cắt d1 , d 2 tại B và C. Độ dài BC là Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(505)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 19 .. B. 19 .. C. 3 2 . Lời giải. D. 2 5 .. Chọn A Ta có: d d1 B B(1 t1 ; 1 t1 ;2t1 ) .. d d2 C C (t2 ;1 2t2 ; t2 ) . Khi đó: AB t1 4; t1 2;2t1 5 và AC t2 5;2t2 4; t2 5 . Vì A d 2 AC 0 . Ba điểm A , B , C cùng thuộc đường thẳng d AB và AC cùng phương t1 4 k t2 5 t1 1 k : AB k AC t1 2 k 2t2 4 t2 1 . 1 2t1 5 k t2 5 k 2 Do đó B 2; 2;2 , C 1; 1; 1 BC 3;1; 3 . Vậy BC 19 . Câu 27.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 3;3; 2 và hai đường thẳng. x 1 y 2 z x 1 y 1 z 2 . Đường thẳng d đi qua M căt d1 , d 2 lần lượt tại ; d2 : 1 3 1 1 2 4 A và B . Độ dài đoạn thẳng AB bằng. d1 :. A. 3 .. B.. 6.. C. 4 .. D. 2 .. Lời giải Chọn A Ta có:. x 1 t1 phương trình tham số của d1 : y 2 3t1 ; t1 , A d1 A 1 t1 ; 2 3t1 ; t1 ; z t 1 x 1 t2 phương trình tham số của d 2 : y 1 2t2 ; t2 , B d 2 B 1 t2 ;1 2t2 ; 2 4 t2 ; z 2 4t 2 . MA t1 2;3t1 1; t1 2 ; MB 4 4t2 ; 2 2t2 ;4 4t2 . Vì A, B, M thẳng hàng nên MA k MB, k . t1 0 t1 0 t1 2 4k kt2 t1 4k kt2 2 1 1 3t1 1 2k 2kt2 3t1 2k 2kt2 1 k k . 2 2 t 2 4k 4kt t 4k 4kt 2 2 2 1 1 kt2 0 t2 0 Vậy, A 1; 2;0 và B 1;1;2 AB 2; 1;2 . Độ dài đoạn thẳng AB AB 3 .. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(506)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 28.. x 2 t Cho ba điểm A 1;1;1 , B 0; 0; 2 , C 2;3; 2 và đường thẳng : y 1 t . z t . Biết điểm M a ; b; c với a 0 thuộc mặt phẳng ABC sao cho AM và AM 14 . Tính giá trị của biểu thức T a b c . A. T 1 . B. T 5 .. C. T 7 . Lời giải. D. T 6 .. Chọn C. Ta có có một vectơ chỉ phương là u 1; 1;1 . AB 1; 1;1 , AC 1; 2; 3 AB , AC 1; 2; 1 . Mặt phẳng ABC nhận vectơ n ABC AB , AC 1; 2; 1 làm vectơ pháp tuyến. Gọi Q là mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng . mặt phẳng Q nhận vectơ nQ u 1; 1;1 làm vectơ pháp tuyến. Khi đó AM AM Q M Q . Mặt khác theo giả thiết M ABC M giao tuyến d của hai mặt phẳng ABC và Q . Đường thẳng d nhận vectơ nQ , n ABC 3; 2; 1 làm vectơ chỉ phương, đồng thời đi qua A x 1 3t PT d : y 1 2t . z 1 t . Ta có M d M 1 3t ;1 2t ;1 t .. t 1 2 2 2 Theo giả thiết AM 2 14 3t 2t t 14 14t 2 14 . t 1 Với t 1 M 2; 1; 2 (loại). Với t 1 M 4;3;0 (nhận) Khi đó a 4; b 3; c 0 . Vậy a b c 7 .. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(507)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 29.. (Chuyên Đh Vinh - 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 2; 1 , đường thẳng. x 1 y 1 z 2 và mặt phẳng P : x y 2 z 1 0 . Điểm B thuộc mặt phẳng P thỏa 2 1 1 mãn đường thẳng AB vuông góc và cắt đường thẳng d . Tọa độ điểm B là A. 3; 2; 1 . B. 3;8; 3 . C. 0;3; 2 . D. 6; 7; 0 . d:. Lời giải Đường thẳng d có một VTCP là ud 2;1; 1 . Gọi M AB d M 1 2t ; 1 t ;2 t AM 2t ; t 3;3 t . AB d AM .u 0 4t t 3 3 t 0 t 1 AM 2; 2; 2 2 1; 1;1 Đường thẳng AB đi qua điểm A 1; 2; 1 , có một VTCP là u 1; 1;1 x 1 t AB : y 2 t t . z 1 t . x 1 t t 1 y 2t x 0 Ta có: B AB P nên tọa độ của B là nghiệm của hệ z 1 t y 3 x y 2 z 1 0 z 2. B 0;3; 2 . Câu 30.. (SGD Bạc Liêu - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x 3 t : y 1 t , t , điểm M 1;2; 1 và mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 4 x 10 y 14 z 64 0 . z 2 t . Gọi là đường thẳng đi qua M cắt đường thẳng tại A , cắt mặt cầu tại B sao cho AM 1 và điểm B có hoành độ là số nguyên. Mặt phẳng trung trực đoạn AB có phương trình là AB 3 A. 2 x 4 y 4 z 19 0 . B. 3x 6 y 6 z 62 0 . C. 2 x 4 y 4 z 43 0 . D. 3x 6 y 6 z 31 0 . Lời giải là đường thẳng đi qua M cắt đường thẳng tại A suy ra tọa độ A 3 a; 1 a; 2 a . AM 1 3 AM AB AB 3 Trường hợp 1: 3 2 a x 3 a x 3 2a 3 AM AB 3 3 a y 1 a y 8 2a suy ra B 3 2a;8 2a;1 2a z 1 2a 3 1 a z 2 a. Do B S nên 2. 2. 3 2a 8 2a 1 2a . 2. 4 3 2a 10 8 2a 14 1 2a 64 0. 12a 2 40a 244 0 , phương trình vô nghiệm Trường hợp 2: Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(508)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 3 2 a x 3 a x 9 4a 3 AM AB 3 3 a y 1 a y 10 4a z 5 4a 3 1 a z 2 a . Suy ra B 9 4a; 10 4a; 5 4a Do B S nên 2. 2. 9 4a 10 4a 5 4a . 2. 4 9 4a 10 10 4a 14 5 4a 64 0. a 1 . 48a 112a 64 0 a 4 3 2. Điểm B có hoành độ là số nguyên nên B 5; 6; 9 ; A 2;0; 3 .. 7 Mặt phẳng trung trực đoạn AB đi qua trung điểm I ; 3; 6 và có một véc tơ pháp tuyến 2 7 n 1; 2; 2 nên có phương trình x 2 y 3 2 z 6 0 2 x 4 y 4 z 43 0 2 Dạng 3. Bài toán liên quan đến góc – khoảng cách 1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Khoảng cách từ điểm M ( xM ; yM ; zM ) đến mặt phẳng ( P) : ax by cz d 0 được xác định bởi công thức: d ( M ;( P)) . axM byM czM d. a2 b2 c2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng Cho hai mặt phẳng song song ( P) : ax by cz d 0 và (Q) : ax by cz d 0 có cùng véctơ pháp tuyến, khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là d (Q), ( P) . d d. a2 b2 c 2 2. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng – Khoảng cách giữa hai đường thẳng Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng d qua điểm M có véctơ chỉ phương ud được xác M M , ud định bởi công thức d ( M , d ) ud Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d đi qua điểm M và có véctơ chỉ phương u và u , u.M M d đi qua điểm M và có véctơ chỉ phương u là d ( d , d ) u , u 3. Góc giữa hai véctơ Cho hai véctơ a (a1 ; a2 ; a3 ) và b (b1 ; b2 ; b3 ). Khi đó góc giữa hai véctơ a và b là góc nhợn hoặc tù. a1b1 a2b2 a3b3 a.b cos(a; b ) với 0 180. 2 a .b a1 a22 a32 . b12 b22 b32 Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(509)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 4. Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng ( P) : A1 x B1 y C1 z D1 0 và (Q) : A2 x B2 y C2 z D2 0.. nP .nQ cos ( P), (Q) cos nP . nQ. A1 A2 B1 B2 C1C2 A12 B12 C12 . A22 B22 C22. với 0 90.. 5. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa hai đường thẳng d1 và d 2 có véctơ chỉ phương u1 (a1 ; b1 ; c1 ) và u2 (a2 ; b2 ; c2 ).. u1.u2 a1a2 b1b2 c1c2 cos( d1 ; d 2 ) cos với 0 90. 2 u1 . u2 a1 b12 c12 . a22 b22 c22 6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc giữa đường thẳng d có véctơ chỉ phương ud (a; b; c) và mặt phẳng ( P) có véctơ pháp tuyến n( P ) ( A; B; C ) được xác định bởi công thức: ud .n( P ) aA bB cC sin cos(n( P ) ; ud ) với 0 90. ud . n( P ) a 2 b 2 c 2 A2 B 2 C 2. Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 4 x 7 y z 25 0 và đường thẳng. x 1 y z 1 . Gọi d1 ' là hình chiếu vuông góc của d1 lên mặt phẳng P . Đường thẳng 1 2 1 d 2 nằm trên P tạo với d1 , d1 ' các góc bằng nhau, d 2 có vectơ chỉ phương u2 a; b; c . Tính. d1 :. a 2b . c a 2b 2 . A. c 3. B.. a 2b 0. c. C.. a 2b 1 . c 3. D.. a 2b 1. c. Lời giải Cách 1:. Gọi Q d1 , d1 ' khi đó Q có vectơ pháp tuyến nQ nP , u1 5;5;15 . Đường thẳng d1 ' có vectơ chỉ phương u1 ' nP , u1 22;11; 11 hay một vecto chỉ phương khác u 2;1; 1 . Vì n p .u2 0 4a 7b c 0 c 7b 4a u2 a; b;7b 4a . Ta lại có d1 ; d 2 d1 '; d 2 cos u1 , u2 cos u1 ', u2. . . . . a 2b 4a 7b 2a b 4a 7b 5a 5b 6a 6b a b 0 a b Chọn a 1 b 1, c 3 . a 2b 1. c. Cách 2:. Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(510)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Gọi Q d1 , d1 ' khi đó P Q . Các đường thẳng nằm trong P mà vuông góc với Q thì vuông góc với tất cả các đường thẳng trong Q hay chúng cùng tạo với d1 , d1 ' các góc 90 . Do đó, các đường thẳng này thỏa mãn yêu cầu đề bài. Chúng có vectơ chỉ phương a 2b u nQ 1;1;3 1. c Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3;1;7 , B 5;5;1 và mặt phẳng. P :2 x y z 4 0 .. Điểm M thuộc. P. sao cho MA MB 35. Biết M có hoành độ. nguyên, ta có OM bằng A. 2 2 .. B. 2 3 .. D. 4 .. C. 3 2 . Lời giải. * Ta có : AB 2; 4; 6 2 1; 2; 3 Gọi I 4;3; 4 là trung điểm của AB. Phương trình mặt phẳng trung trực Q của AB là : x 4 2 y 3 3 z 4 0. x 2 y 3z 2 0. Gọi d P Q . Đường thẳng d có 1 vpcp là u n P , nQ 1;1;1 và đi qua điểm x 2 t N 2;0;0 , có phương trình là d : y t z t . * Gọi M P : MA MB . Khi đó M d và M 2 t ; t ; t Theo giả thiết, ta có : MA 35 . 2. 2. t 5 t 1 t 7 . 2. 35. 20 t 3t 26t 40 0 3 t 2 M 0; 2; 2 2. Vậy OM 2 2 Câu 33.. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường x t x 1 y 2 z 1 0 thẳng d1 : , d 2 : y 0 . Mặt phẳng P qua d1 tạo với d2 một góc 45 và 2 2 1 z t nhận vectơ n 1; b; c làm một vectơ pháp tuyến. Xác định tích bc.. A. 4 hoặc 0.. B. 4 hoặc 0.. C. 4 .. D. 4 .. Lời giải Ta có vectơ chỉ phương của d1 , d2 lần lượt là u1 2; 2; 1 và u2 1;0; 1 . Mặt phẳng P qua d1 n.u1 0 2 2b c 0. 1 u2 .n 1 c 2 sin d 2 , P sin 45 1 c b 2 c 2 1 b 2 2c 0. 2 2 2 u2 . n 2 b c 1. 2. b 2 b.c 4. Từ 1 và 2 c 2 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(511)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 34.. (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng. x t x 1 y 2 z 1 và d 2 : y 0 . Mặt phẳng P qua d1 tạo với d 2 một góc 45o và nhận d1 : 2 2 1 z t véctơ n 1; b ; c làm một véctơ pháp tuyến. Xác định tích bc . A. 4 hoặc 0. B. 4 hoặc 0. C. 4 Lời giải. D. 4. Đường thẳng d1 và d 2 có véctơ chỉ phương lần lượt là u1 2; 2; 1 và u2 1;0; 1 . Mặt phẳng P có véctơ pháp tuyến là n 1; b ; c . u1.n 0 u1 n Từ giả thiết ta có: u2 .n 1.1 0.b ( 1).c 2 o 2 | u | . | n | sin 45 2 2 2 2 2 2 2 1 0 ( 1) . 1 b c 2 2b c 0 2b c 2 2b c 2 b 2 2 2 2 2 2 2 c 2 1 c 1 b c b 2c 0 1 c 1 b c Vậy b.c 4 . Câu 35.. (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2019) rong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng x t x 1 y 2 z 1 d1 : và d 2 : y 0 . Mặt phẳng P qua d1 , tạo với d 2 một góc 45 và nhận 2 2 1 z t . vectơ n 1; b; c làm một vec tơ pháp tuyến. Xác định tích b.c .. A. 4 .. B. 4 .. C. 4 hoặc 0 . Lời giải.. D. 4 hoặc 0 .. u1 2; 2; 1 , u2 1;0; 1 lần lượt là vectơ chỉ phương của d1 , d 2 . Theo bài ra ta có. 2.1 2 b 1 c 0 n.u1 0 c 2 2b 1.1 0.b 1 c 2 1 c 1 1 b 2 c 2 cos n; u2 sin d 2 ; P 2 2 2 1 b c . 2. . . b 2 . c 2 x 3 y 2 z 1 , mặt phẳng 2 1 1 ( P) : x y z 2 0 . Gọi M là giao điểm của d và ( P) . Gọi là đường thẳng nằm trong ( P). Câu 36. Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :. vuông góc với d và cách M một khoảng 42 . Phương trình đường thẳng là x5 y 2 z 4 x 1 y 1 z 1 A. . B. . 2 3 1 2 3 1 x3 y 4 z 5 C. . D. Đáp án khác. 2 3 1 Lời giải Chọn D Gọi M d ( P) . Suy ra M d M (3 2t ; 2 t ; 1 t ); M ( P ) t 1 M (1; 3;0) Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(512)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. ( P) có véc tơ pháp tuyến là nP (1;1;1) . d có véc tơ chỉ phương ad (2;1; 1) . có véc tơ chỉ phương a ad , nP (2; 3;1) . Gọi N ( x; y; z ) là hình chiếu vuông góc của M trên , khi đó. MN ( x 1; y 3; z ) . MN a 2 x 3 y z 11 0 Ta có N ( P ) x y z 2 0 . ( x 1)2 ( y 3) 2 z 2 42 MN 42 Giải hệ ta tìm được N (5; 2; 5) và N (3; 4;5) .. x 5 2 x3 Với N (3; 4;5) , ta có : 2 Với N (5; 2; 5) , ta có :. Câu 37.. y2 3 y4 3. z 5 . 1 z 5 . 1. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Trong không gian. Oxyz ,. đường thẳng. x t d : y 1 2t , t , cắt mặt phẳng P : x y z 3 0 tại điểm I . Gọi là đường thẳng z 2 t nằm trong mặt phẳng P sao cho d và khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng bằng. 42 . Tìm tọa độ hình chiếu M a; b; c ( với a b c ) của điểm I trên đường thẳng . A. M 2;5; 4 .. B. M 6; 3;0 .. C. M 5; 2; 4 .. D. M 3;6;0 .. Lời giải. P. có véctơ pháp tuyến n 1;1;1 và d có véctơ chỉ phương u 1; 2; 1 .. I d P I 1;1;1 .. Vì P ; d có véctơ chỉ phương u n, u 3; 2;1 . M là hình chiếu của I trên nên M thuộc mặt phẳng Q đi qua I và vuông góc với . Mặt phẳng Q nhận u 3; 2;1 làm véctơ pháp tuyến nên ta có phương trình của. Q : 3 x 1 2 y 1 1 z 1 0 3x 2 y z 0 .. Gọi d1 P Q d1 có véctơ chỉ phương v u , n 1; 4; 5 và d1 đi qua I , phương trình x 1 t của d1 : y 1 4t . z 1 5t . Mặt khác M M P M d1 . Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(513)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Giả sử M 1 t ;1 4t ;1 5t IM t; 4t ; 5t . Ta có: IM 42 t 2 16t 2 25t 2 42 t 1 . +) Với t 1 M 2;5; 4 . +) Với t 1 M 0; 3;6 . Vì M a; b; c ( với a b c ) nên M 2;5; 4 . Cách 2: Vì M a; b; c là hình chiếu vuông góc của I lên . Khi đó ta có. a b c 3 0 M P a b c 3 0 IM u 3 a 1 2 b 1 c 1 0 3a 2b c 0 2 2 2 2 2 2 a 1 b 1 c 1 42 IM 42 a 1 b 1 c 1 42. 4a b 3 b 4a 3 a b c 3 0 c 5a 6 2 2 2 2 2 2 a 1 b 1 c 1 42 a 1 b 1 c 1 42 a 0 b 3 c 6 a 2 b 5 c 4 Vì M a; b; c ( với a b c ) nên M 2;5; 4 . Câu 38.. (Chuyên. Đại. Học. Vinh. 2019). Trong. không. gian. Oxyz cho. ba. đường. thẳng. x y z 1 x 3 y z 1 x 1 y 2 z , 1 : , 2 : . Đường thẳng vuông góc với d 1 1 2 2 1 1 1 2 1 đồng thời cắt 1 , 2 tương ứng tại H , K sao cho độ dài HK nhỏ nhất. Biết rằng có một vectơ chỉ phương u h; k ;1 . Giá trị h k bằng d:. A. 0.. B. 4.. C. 6. Lời giải. D. 2.. Chọn A. H 1 H 3 2t; t;1 t . K 2 K 1 m; 2 2m; m . Ta có HK m 2t 2; 2m t 2; m t 1 .. Đường thẳng d có một VTCP là ud 1;1; 2 .. d ud .HK 0 m t 2 0 m t 2 HK t 4; t 2; 3 . 2. 2. 2. 2. Ta có HK 2 t 4 t 2 3 2 t 1 27 27, t Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(514)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. minHK 27, đạt được khi t 1 . Khi đó ta có HK 3; 3; 3 , suy ra u 1;1;1 h k 1 h k 0. Câu 39.. (Hội 8 trường chuyên 2019) Trong không gian Oxyz , gọi d là đường thẳng đi qua O, thuộc mặt phẳng Oyz và cách điểm M 1; 2;1 một khoảng nhỏ nhất. Côsin của góc giữa d và trục tung bằng 2 A. . 5. B.. 1 . 5 Lời giải. 1 . 5. C.. D.. 2 . 5. Chọn D. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của M trên mặt phẳng Oyz và trên đường thẳng d . Ta có: d M , d MK MH 1 , H 0; 2;1 .. Suy ra d M , d nhỏ nhất khi K H . Khi đó d có một vecto chỉ phương là OH 0; 2;1 . OH . j 2 cos d , Oy . 5 OH j Câu 40.. (Sở Cần Thơ - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;1;1 , mặt phẳng P : x z 1 0. x 1 t và đường thẳng d : y 2 . Gọi d1 ; d 2 là các đường thẳng đi qua A , nằm trong P và đều z 2 t có khoảng cách đến đường thẳng d bằng A.. 1 . 3. B.. 6 . Côsin của góc giữa d1 và d 2 bằng. 3 . 3 Lời giải. 2 . 3. C.. D.. Chọn A. d. d2 P). d1 A. H. M. K. * Ta có: n P 1;0; 1 , u d 1; 0;1 d P và d P M 0; 2; 1 MA 2; 1; 2 MA 3 Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 2 . 3.
<span class='text_page_counter'>(515)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. * Gọi H ; K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên d1 và d 2 , ta có. d d1; d d M ; d1 MH , d d 2 ; d d M ; d 2 MK MH MK 6. sin MAH HM 6 sin MAK AM 3. 1 2sin 2 MAH 1 cos d1; d 2 cos 2.MAH. . Câu 41.. . 4 1 . 3 3. (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng. x3 y 3 z , mặt phẳng P : x y z 3 0 và điểm A 1; 2; 1 . Cho đường thẳng 1 3 2 đi qua A , cắt d và song song với mặt phẳng P . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến. d : A.. 3.. B.. 16 . 3. 2 3 . 3 Lời giải C.. Chọn D. D.. 4 3 . 3. . Gọi M d M t 3;3t 3;2t t R AM t 2;3t 1;2t 1 .. . Gọi n 1;1; 1 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P .. . . . Ta có / / P AM n AM .n 0 t 2 3t 1 2t 1 0 t 1 AM , OA 4 3 AM 1; 2; 1 d O; 3 AM Câu 42.. (Kim Liên - Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :. x 1 y 2 z và 2 1 1. x 1 4t d 2 : y 1 2t . z 2 2t . Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho bằng? A.. 87 . 6. B.. 174 . 6. C.. 174 . 3. D.. 87 . 3. Lời giải Chọn B. Ta có: Đường thẳng d1 đi qua điểm M (1; 2;0) và nhận u1 2; 1;1 làm VTCP. Đường thẳng d 2 đi qua điểm N (1; 1; 2) và nhận u2 4; 2; 2 làm VTCP. Dễ thấy: u2 2.u1 nên đường thẳng d1 song song hoặc trùng với đường thẳng d 2 . Lại có điểm M 1; 2;0 d1 nhưng M 1; 2;0 d 2 nên suy ra d1 // d 2 . Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho bằng khoảng cách từ điểm M 1; 2;0 đến đường thẳng d 2 . MN u2 d M ;d 2 . u2 Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(516)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Ta có MN 0;1; 2 , MN u2 6;8; 4 . d M ; d2 . Câu 43.. 6 2 8 2 4 . 2. 2. 4 2 2 2 2. Trong không gian. P : x y 3z 14 0 .. . 174 174 d ( d1 ; d 2 ) . 6 6. Oxyz , cho hai điểm. A 3;1; 2 ,. B 3; 1;0 . và mặt phẳng. Điểm M thuộc mặt phẳng P sao cho MAB vuông tại M . Tính. khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng Oxy . A. 5.. B. 4.. C. 3. Lời giải. D. 1.. Chọn B Gọi M x ; y ; z là điểm cần tìm. AM x 3; y 1; z 2 , BM x 3; y 1; z . Vì MAB vuông tại M nên AM .BM 0 x 3 x 3 y 1 y 1 z z 2 0 2. x 2 9 y 2 1 z 2 2 z 0 x 2 y 2 z 1 11 .. M thuộc mặt cầu S có tâm I 0;0;1 và bán kính R 11 . Nhận xét thấy d I , P . 0 0 3.1 14 12 12 33. 11 R .. P tiếp xúc với S tại M. M là hình chiếu vuông góc của I trên P x y 3z 14 x 1 M P x y z 1 y 1 M 1;1; 4 . z 4 IM cùng phương n P 3 1 1 Vậy d M , Oxy 4 4 . Câu 44.. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A 2;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0;6 và. D 1;1;1 . Gọi là đường thẳng qua D và thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm A, B, C đến. là lớn nhất. Khi đó đi qua điểm nào dưới đây? A. 4;3;7 . B. 1; 2;1 . C. 7;5;3 .. D. 3;4;3 .. Lời giải Chọn C. x y z Phương trình mặt phẳng ABC : 1 3x 2 y z 6 0 , dễ thấy D ABC . 2 3 6 Ta thấy P d A, d B, d C, AD BD CD . Vậy P lớn nhất khi và chỉ khi các hình chiếu vuông góc của các điểm A, B, C trên trùng D hay ABC tại D .. x 1 3t Phương trình đường thẳng là y 1 2t , ta thấy đi qua điểm có tọa độ 7;5;3 . z 1 t Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(517)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 45.. (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Tính khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng d1 ; d 2 tới. x 1 y z 1 x 1 y z 1 ; d2 : ; P : 2x 4 y 4z 3 0 . 2 3 3 2 1 1 7 13 5 B. . C. . D. . 6 6 3 Lời giải. mặt phẳng P trong đó: d1 : A.. 4 . 3. Chọn A Phương trình tham số của hai đường thẳng d1 , d 2 như sau:. x 1 2t x 1 2t d1 : y 3t , d2 : y t . z 1 3t z 1 t 1 1 2t 1 2t 2t 2t 2 t 4 Xét hệ phương trình: 3t t 3t t 0 . 1 3t 1 t 3t t 0 t 3 4. 1 3 7 Suy ra giao điểm của d1 , d 2 là A ; ; . 2 4 4 Khoảng cách từ A đến mặt phẳng P là: d A ; P Câu 46.. 1 3 7 2. 4. 4. 3 2 4 4 22 42 4 . 2. . 4 . 3. (THPT Hậu Lộc 2 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x y 2 z 3 0 và đường thẳng : A.. 2 3. x 1 y 1 x 1 . Khoảng cách giữa và P là 2 2 1 8 2 B. C. D. 1 3 9 Lời giải. Chọn A. Mặt phẳng P : 2 x y 2 z 3 0 có véc tơ pháp tuyến là n 2; 1; 2 .. Đường thẳng :. x 1 y 1 z 1 có véc tơ chỉ phương là u 2; 2; 1 và đi qua điểm 2 2 1. M 1; 1;1 . n.u 0 Ta có suy ra song song với P . M P Khi đó d , P d M , P . 2 1 2 3 2. 2. 2 2 1. 2. 2 . 3. Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(518)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 47.. x 0 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho đường thẳng d : y 3 t .Gọi P là mặt phẳng chứa z t . đường thẳng d và tạo với mặt phẳng Oxy một góc 45 .Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng. P ? A. M 3;2;1 .. B. N 3;2; 1 .. C. P 3; 1;2 .. D. M 3; 1; 2 .. Lời giải Chọn A. x 0 Ta viết phương trình đường thẳng d : . y z 3 0 Mặt phẳng P chứa đường thẳng d nên có dạng: mx n y z 3 0, m2 n2 0 mx ny nz 3n 0 P có một véc tơ pháp tuyến là nP m ; n ; n . Mặt phẳng Oxy có một véc tơ pháp tuyến là k 0;0;1 .. nP .k n 1 Ta có: cos P ; Oxy cos nP ; k cos 45 2 nP . k m2 n2 n2. . . m 2 2n 2 2 n m 2 0 m 0 .. Chọn n 1 P : y z 3 0 . Do đó: M 3; 2;1 P . Bình luận: Đối với những bài toán viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng cho trước ta nên sử dụng khái niệm chùm mặt phẳng như sau: Mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng P : a1 x b1 y c1 z d1 0 và Q : a2 x b2 y c2 z d 2 0 có phương trình dạng. m a1 x b1 y c1 z d1 n a2 x b2 y c2 z d 2 0, m2 n 2 0 . Câu 48.. (Chuyên Hà Tĩnh 2019)) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng. d:. x 5 y 7 z 12 và mặt phẳng : x 2 y 3z 3 0 . Gọi M là giao điểm của d và 2 2 1. ,. A thuộc d sao cho AM 14 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng .. A. 2 .. B. 3 .. C. 6 . Lời giải. D. 14 .. Chọn B. Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(519)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 5 y 7 z 12 có một vectơ chỉ phương là u 2; 2; 1 . 2 2 1 Mặt phẳng : x 2 y 3z 3 0 có một vectơ pháp tuyến là n 1; 2; 3 . ud . n 3 14 Ta có: sin d ; . 14 ud . n Đường thẳng d :. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng .. AH AMH Khi đó tam giác MAH vuông tại H nên sin d ; sin . AM AH AM .sin d ; 3 . Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng bằng 3 . Câu 49.. 2019) Trong. (Hội 8 trường chuyên d1 :. không gian. Oxyz ,. x 1 y 2 z 1 x 1 y 1 z 2 và d 2 : . Mặt phẳng 1 1 2 2 1 1. cho. 2. đường thẳng. P : x ay bz c 0 c 0. song song với d1 , d 2 và khoảng cách từ d1 đến P bằng 2 lần khoảng cách từ d 2 đến P . Giá trị của a b c bằng A. 14 .. B. 6 .. C. 4. Lời giải. D. 6 .. Chọn A Gọi u1 1;1;2 , u2 2;1;1 lần lượt là một vectơ chỉ phương của d1 , d2 . Gọi n1 u1 , u2 1;3; 1 , có n1 cùng phương n2 1; 3;1 . n 1; a; b là một vectơ chỉ phương của P . Do P song song với d1 , d 2 nên chọn n 1; 3;1 . Suy ra phương trình mặt phẳng P có dạng: x 3y z c 0 . Lấy M1 1; 2;1 d1 , M2 1;1; 2 d2. . . . . . . . Có d d1; P 2d d2 ; P d M1; P 2d M2 ; P . . 1 3 2 1 c 11. 2. 1 3 2 c 11. . 8 c 2 4 c 8 c 2 4 c 8 c 2 4 c . c 16 nhaän . c 0 loại Nên P : x 3y z 16 0 , suy ra a 3 , b 1 , c 16 . Facebook Nguyễn Vương 25.
<span class='text_page_counter'>(520)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Vậy a b c 14 . Câu 50.. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai điểm A 3;3;1 , B 0; 2;1 và mặt phẳng. P : x y z 7 0 . Đường thẳng. d nằm trong P sao cho mọi điểm của d cách đều hai. điểm A, B có phương trình là:. x 2t A. y 7 3t . z t . x t B. y 7 3t . z 2t . x t C. y 7 3t . z 2t . x t D. y 7 3t . z 4t . Lời giải Chọn C + Các điểm cách đều hai điểm A, B thì nằm trên mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của đoạn. AB . 3 5 + Gọi I là trung điểm của AB I ; ;1 2 2 + Phương trình mặt phẳng là 3x y 7 0 . Do đó đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng P và Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 0;7;0 P và nhận. x t u n( ) , n( P ) 1; 3; 2 làm một vectơ chỉ phương là y 7 3t . z 2t Câu 51.. (Chuyên ĐH Vinh- 2019) Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC vuông tại. x4 y 5 z 7 A, ABC 300 , BC 3 2 , đường thẳng BC có phương trình , đường thẳng 1 1 4 AB nằm trong mặt phẳng : x z 3 0 . Biết đỉnh C có cao độ âm. Tính hoành độ đỉnh A. A.. 3 . 2. B. 3 .. 9 . 2 Lời giải C.. D.. 5 . 2. Chọn C Vì C BC nên C 4 t ;5 t ; 7 4t . BC có véc tơ chỉ phương u 1;1; 4 . Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến n 1; 0;1 . 1 Gọi là góc giữa BC và . Ta có sin cos u ; n 300 . Tức là A là hình chiếu 2. . của C lên . Vậy. C 3; 4; 3 4 t 7 4t 3 t 1 3 2 CA d C ; 2 2 t 3 C 1; 2;5 . Mà C có cao độ âm, suy ra C 1; 2;5 .. Lúc này AC qua C 1; 2;5 và có véc tơ chỉ phương n 1; 0;1 . Nên A 3 t ; 4; 3 t .. Mặt khác A nằm trong mặt phẳng : x z 3 0 t . 3 9 xA . 2 2. Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(521)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến đường thẳng Dạng 1. Viết phương trình mp P đi qua M , vuông góc mp Q và mp P // : nQ. • Đi qua M xo , yo , zo PP mp P : • VT PT : n P n Q , u . Δ. Q. u. P. Dạng 2. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua M và vuông góc với đường thẳng d đi qua hai n P ud AB. điểm A và B, với: • Đi qua M PP mp P : • VTPT : n P ud AB . P. M. d. Dạng 3. Viết phương trình của mặt phẳng P đi qua điểm M và chứa đường thẳng : PP Trên đường thẳng Δ lấy điểm A và xác định VTCP u M . • Đi qua M Khi đó mp P : • V TPT : n P AM , u . Δ. u. A. P. Dạng 4. Viết phương trình của mặt phẳng P đi qua hai đường thẳng song song 1 , 2 :. • Đi qua M 1 , hay M 2 PP mp P : • VTPT : n P u1 , u2 Dạng 5. Viết phương trình của mặt phẳng P đi qua hai đường thẳng cắt nhau 1 , 2 : u 2. • Đi qua M 1 , hay M 2 PP mp P : • VTPT : n P u1 , u2 . M. Δ2. u1. Δ1. P. Dạng 6. Cho 2 đường thẳng chéo nhau 1 , 2 . Hãy viết phương trình P chứa 1 và song song. • Đi qua M 1 , hay M 2 PP mp P : 2 • VTPT : n P u1 , u 2 Dạng 7. Viết phương trình mặt phẳng. P. u 2. Δ2 M. u1. Δ1. P. đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng. , PP Chọn A, B thuộc giao tuyến hai mặt phẳng và A, B P . Cụ thể:. x ... A1 x B1 y C1 zo D1 Cho: z zo A ...;...;... P A2 x B2 y C2 zo D2 y ... B1 y C1 z A1 xo D1 y ... Cho: x xo B ...;...;... P B2 y C2 z A2 xo D2 z ... • Đi qua M Khi đó mp P : • V TPT : n P AB, AM Facebook Nguyễn Vương 27.
<span class='text_page_counter'>(522)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 52.. (Đề Minh Họa 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng có phương trình: x 10 y 2 z 2 . Xét mặt phẳng P :10 x 2 y mz 11 0 , m là tham số thực. Tìm tất cả 5 1 1 các giá trị của m để mặt phẳng P vuông góc với đường thẳng . A. m 2. B. m 52. C. m 52 Lời giải. D. m 2. Chọn A. x 10 y 2 z 2 có vectơ chỉ phương u 5;1;1 5 1 1 Mặt phẳng P :10 x 2 y mz 11 0 có vectơ pháp tuyến n 10;2; m Để mặt phẳng P vuông góc với đường thẳng thì u phải cùng phương với n Đường thẳng :. . 5 1 1 m 2. 10 2 m. x 1 y 2 z và mặt phẳng 1 2 3 P : x y z 3 0 . Phương trình mặt phẳng đi qua O , song song với và vuông góc với. Câu 53. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng :. mặt phẳng P là A. x 2 y z 0 .. B. x 2 y z 0 .. C. x 2 y z 4 0 . D. x 2 y z 4 0 . Lời giải. có VTCP u 1; 2; 3 và P có VTPT là n 1; 1;1 . qua O và nhận n u; n 1; 2;1. Suy ra : x 2 y z 0 . Câu 54.. (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d1 có véctơ x 3 y 1 z 4 chỉ phương u 1; 0; 2 và đi qua điểm M 1; 3; 2 , d 2 : . Phương trình 1 2 3 mặt phẳng P cách đều hai đường thẳng d1 và d 2 có dạng ax by cz 11 0 . Giá trị a 2b 3c bằng A. 42 .. B. 32 .. C. 11 . Lời giải. D. 20 .. Đường thẳng d 2 có véctơ chỉ phương v 1; 2;3 và đi qua điểm N 3;1; 4 Ta có: v, u 4;5; 2 0 ; MN 4; 4; 6 ; v, u .MN 16 20 12 8 0 d1 và d 2 chéo nhau. Mặt phẳng P cách đều hai đường thẳng d1 và d 2 nên P nhận v, u 4;5; 2 làm một vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm I 1; 1; 1 của đoạn MN Suy ra phương trình của P : 4 x 1 5 y 1 2 z 1 0 4 x 5 y 2 z 11 0. a 4; b 5; c 2 a 2b 3c 20 .. Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(523)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 55.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng P song song và cách đều hai đường thẳng d 1 :. x2 y z x y 1 z 2 và d 2 : 1 1 1 2 1 1. A. P : 2x 2z 1 0 B. P : 2 y 2z 1 0. C.. P : 2x 2 y 1 0. D. P : 2 y 2z 1 0 Lời giải Chọn B. . Ta có: d1 đi qua điểm A 2;0;0 và có VTCP u1 1;1;1. . d2 đi qua điểm B 0;1;2 và có VTCP u2 2; 1; 1 Vì P song song với hai đường thẳng. . . d1 và d2 nên VTPT của P là n [u1, u2 ] 0;1; 1. Khi đó P có dạng y z D 0 loại đáp án A và C Lại có P cách đều. 1. d1 và d2 nên P đi qua trung điểm M 0; ;1 của AB 2 . Do đó P : 2 y 2 z 1 0 Câu 56.. (SGD Cần Thơ - 2018) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau. x 1 y 2 z 4 x 1 y z 2 và có phương trình là 2 1 3 1 1 3 A. 2 x y 9 z 36 0 . B. 2 x y z 0 . C. 6 x 9 y z 8 0 . D. 6 x 9 y z 8 0 . Lời giải Đường thẳng d1 :. x 1 y 2 z 4 đi qua điểm M 1; 2; 4 , có một VTCP là u1 2;1;3 . 2 1 3. Đường thẳng d 2 :. x 1 y z 2 có một VTCP là u2 1; 1;3 . 1 1 3. Mặt phẳng P chứa hai đường thẳng cắt nhau d1 , d 2 P qua điểm M 1; 2; 4 , có một VTPT là n u1 , u2 6;9;1 . Phương trình mặt phẳng P là :. P : 6 x 1 9 y 2 z 4 0 6 x 9 y z 8 0 . Câu 57.. (Hồng Bàng - Hải Phòng - 2018) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A 0;1;0 , mặt x 3 phẳng Q : x y 4 z 6 0 và đường thẳng d : y 3 t . Phương trình mặt phẳng P qua A , z 5 t . song song với d và vuông góc với Q là : A. 3x y z 1 0 .. B. 3x y z 1 0 .. C. x 3 y z 3 0 .. D. x y z 1 0 .. Lời giải Facebook Nguyễn Vương 29.
<span class='text_page_counter'>(524)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Mặt phẳng Q có VTPT nQ 1;1; 4 . Đường thẳng d có VTCP ud 0;1; 1 . Gọi VTPT của mặt phẳng P là nP . Ta có: nP nQ và nP ud nên chọn nP nQ , ud 3;1;1 . P đi qua điểm A 0;1;0 , VTPT nP 3;1;1 có phương trình là: 3x y z 1 0 .. Câu 58.. (Toán Học Tuổi Trẻ - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz , cho điểm. x 2 y 1 z 1 . Mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách 1 2 1 từ A đến lớn nhất có phương trình là A 3; 1;0 và đường thẳng d :. A. x y z 0 .. B. x y z 2 0 .. C. x y z 1 0 .. D. x 2 y z 5 0 .. Lời giải. Gọi H là hình chiếu của A đến d . Khi đó H 2 t ; 1 2t ;1 t AH 1 t ; 2t ;1 t .. 2 2 2 1 Do AH d 1 t 2.2t 1 t 0 t . Khi đó AH ; ; . 3 3 3 3 Mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất khi AH . Do đó có vectơ pháp tuyến là n 1;1; 1 . Vậy : 1 x 2 1 y 1 1 z 1 0 x y z 0 . Câu 59.. (SGD&ĐT BRVT - 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng chéo nhau. d1 :. x2 y 6 z 2 x 4 y 1 z 2 và d 2 : . Phương trình mặt phẳng P chứa d1 và 2 2 1 1 3 2. P song song với đường thẳng d 2 A. P : x 5 y 8 z 16 0 . C. P : x 4 y 6 z 12 0 .. là B. P : x 5 y 8 z 16 0 . D. P : 2 x y 6 0 .. Lời giải . Đường thẳng d1 đi qua A 2;6; 2 và có một véc tơ chỉ phương u1 2; 2;1 . . Đường thẳng d2 có một véc tơ chỉ phương u2 1;3; 2 . . Gọi n là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P . Do mặt phẳng P chứa d1 và P song song với đường thẳng d 2 nên n u1 , u2 1;5;8 .. . Vậy phương trình mặt phẳng P đi qua A 2;6; 2 và có một véc tơ pháp tuyến n 1;5;8 là x 5 y 8z 16 0 .. Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(525)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 60.. (Chuyên Thăng Long - Đà Lạt - 2018) Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng chứa. x t 2 hai đường thẳng: d : y 3t 1 và z 2t 1 P a 2b 3c . A. P 10 . B. P 4 .. x m 3 : y 3m 2 có dạng x ay bz c 0 . Tính z 2m 1 C. P 8 .. D. P 0 .. Lời giải Ta có d // . Chọn A 2; 1;1 d , B 3; 2;1 . AB 1; 1; 0 Phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng d và qua A 2; 1;1 và có VTPT n AB, u d 2; 2; 4 2 1;1; 2 là: 1 x 2 1 y 1 2 z 1 0 x y 2 z 1 0 .. a 1 b 2 P a 2b 3c 1 2. 2 3.1 0 . c 1 . Câu 61.. (Chuyên Trần Đại Nghĩa - 2018) Tìm tất cả các mặt phẳng. d:. . chứa đường thẳng. x y z và tạo với mặt phẳng P : 2 x z 1 0 góc 45 . 1 1 3. A. : 3x z 0 .. B. : x y 3z 0 .. C. : x 3z 0 .. D. : 3 x z 0 hay : 8 x 5 y z 0 .. Lời giải d đi qua điểm O 0;0;0 có vtcp u 1; 1; 3 . qua O có vtpt n a; b; c có dạng ax by cz 0 , do n.u 0 a b 3c 0 . P : 2 x z 1 0 vtpt k 2; 0; 1 . n.k 2a c 2 2 10 a 2 b 2 c 2 4a 2c Ta có cos 45 2 2 2 2 n k 5a b c 2. 10 b 2 6bc 9c 2 b 2 c 2 4b 12c 2c 10 2b 2 6bc 10c 2 4b 10c . 2. b 0 4b 2 20bc 0 . b 5c + b 0 a 3c : x 3z 0 . + b 5c , chọn c 1 b 5 , a 8 : 8 x 5 y z 0 . Câu 62.. (Quảng Nam - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;1;0 , B 0; 1; 2 . Biết rằng có hai mặt phẳng cùng đi qua hai điểm A , O và cùng cách B một khoảng Facebook Nguyễn Vương 31.
<span class='text_page_counter'>(526)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. bằng 3 . Véctơ nào trong các véctơ dưới đây là một véctơ pháp tuyến của một trong hai mặt phẳng đó. A. n 1; 1; 1 . B. n 1; 1; 3 . C. n 1; 1;5 . D. n 1; 1; 5 . Lời giải x t x y 0 Phương trình đường thẳng qua hai điểm A , O có dạng y t . z 0 z 0 . Gọi P là mặt phẳng cùng đi qua hai điểm A , O nên P : m x y nz 0 , m 2 n 2 0 . Khi đó véctơ pháp tuyến của P có dạng n m; m; n . m n 1 Ta có d B, P 3 . 3 2m 2 4mn n 2 0 m 2 m2 n2 m 1 n 5 1 1 n Vậy một véctơ pháp tuyến của một trong hai mặt phẳng đó là n n; n; n 1; 1;5 . 5 5 5 m 2n. Câu 63.. (Sở Bình Phước - 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 , d 2 lần. x2 y 2 z 3 x 1 y 2 z 1 , d2 : . Mặt phẳng cách đều hai 2 1 3 2 1 4 đường thẳng d1 , d 2 có phương trình là lượt có phương trình d1 :. A. 14 x 4 y 8 z 1 0. B. 14 x 4 y 8 z 3 0. C. 14 x 4 y 8 z 3 0. D. 14 x 4 y 8 z 1 0. Lời giải Ta có a 2;1;3 và b 2; 1; 4 là véc tơ chỉ phương của d1 , d 2 Nên n a b 7; 2; 4 là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P . Do đó P : 7 x 2 y 4 z D 0 Lấy M 2; 2;3 d1 và N 1; 2;1 d 2 . Do P cách đều d1 và d 2 nên d M , P d N , P . . 7.2 2.2 4.3 D 2. 2. 7 2 4. 2. . Vậy P : 7 x 2 y 4 z Câu 64.. 7.1 2.2 4.1 D 2. 2. 7 2 4. 2. D 2 D 1 D . 3 . 2. 3 0 P :14 x 4 y 8 z 3 0 . 2. (THPT Thực Hành - TPHCM - 2018) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;0;0 và đường thẳng d :. x 1 y 2 z 1 . Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm A và đường thẳng 2 1 2. d? A. P : 5 x 2 y 4 z 5 0 .. B. P : 2 x 1y 2 z 1 0 .. C. P : 5 x 2 y 4 z 5 0 .. D. P : 2 x 1y 2 z 2 0 .. Lời giải VTCP của d là a 2;1; 2 và B 1; 2;1 d . Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(527)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Khi đó: AB 0; 2;1 .. Do đó véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng là n AB, a 5, 2; 4 . Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là 5 x 1 2 y 0 4 z 0 0 hay. 5x 2 y 4z 5 0 . Câu 65.. (Chuyên Nguyễn Đình Triểu - Đồng Tháp - 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai đường. x 2 y 2 z 3 x 1 y 2 z 1 , d2 : . Viết 2 1 3 2 1 4 phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1 , d 2 . thẳng d1 , d 2 lần lượt có phương trình d1 :. A. 14 x 4 y 8 z 13 0 .. B. 14 x 4 y 8 z 17 0 .. C. 14 x 4 y 8 z 13 0 .. D. 14 x 4 y 8 z 17 0 . Lời giải. Chọn B. d1 , d 2 lần lượt có vectơ chỉ phương là n1 2;1;3 , n2 2; 1; 4 . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là n u1 , u2 7; 2; 4 . . Gọi A 2; 2;3 d1 , B 1; 2; 1 d 2 . Gọi phương trình mặt phẳng P : 7 x 2 y 4 z d 0 . Do mặt phẳng P cần tìm cách đều d1 , d 2 nên d A, P d B, P . d 2. 7 2 22 4 2 13 d 2 15 d d 2 15 d d . 2 13 Vậy P : 7 x 2 y 4 z 0 14 x 4 y 8 z 13 0. 2 Câu 66.. 7 2 22 42. 15 d. . (Chuyên KHTN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng. x2 y z x y 1 z 2 và d2 : . Phương trình mặt phẳng P song song và cách đều 1 1 1 2 1 1 hai đường thẳng d1 ; d 2 là: d1 :. A. 2 y 2 z 1 0 .. B. 2 y 2 z 1 0 .. C. 2 x 2 z 1 0 .. D. 2 x 2 z 1 0 . Lời giải. Ta có: Đường thẳng d1 đi qua điểm A 2;0;0 có VTCP là u1 1;1;1 và đường thẳng d 2 đi qua điểm A 0;1; 2 có VTCP là u1 2;1;1 Mặt phẳng P song song d1 ; d 2 nên P có VTPT là n u1 ; u2 0; 1;1. Do đó: Mặt phẳng P có dạng y z m 0 Mặt khác: P cách đều hai đường thẳng d1 ; d 2 nên. d d1 ; P d d 2 ; P d A; P d B; P m m 1 m Vậy P : y z . 1 2. 1 0 2 y 2z 1 0 . 2 Facebook Nguyễn Vương 33.
<span class='text_page_counter'>(528)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dạng 5. Bài toán liên quan đến vị trí tương đối 1. Vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt cầu (S) Cho mặt cầu ( S ) có tâm I , bán kính R và đường thẳng . Để xét vị trí tương đối giữa và ( S ) ta d tính d ( I , ) rồi so sánh với bán kính R. d d. Nếu d ( I , ) R : không cắt ( S ). H I R Nếu d ( I , ) R : tiếp xúc với ( S ) tại H . Nếu d ( I , ) R : cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt A, B. A B C D ( P ) (Q) 1 1 1 1 ( P) (Q) A1 A2 B1 B2 C1C2 0. A2 B2 C2 D2. A. B. 2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) x x a1t Cho đường thẳng d : y y a2t và mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0 z z a t 3 d x x a t (1) ud 1 y y a t (2) 2 Xét hệ phương trình: () (3) z z a3t P Ax By Cz D 0 (4) Nếu () có nghiệm duy nhất d cắt ( ). nP Nếu () có vô nghiệm d ( ). Nếu () vô số nghiệm d ( ).. nP. ud. d. 3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d’ P. x x a1t x x a1t Cho hai đường thẳng: d : y y a2t và d : y y a2 t lần lượt qua điểm hai điểm M , N và có z z a t z z a t 3 3 véctơ chỉ phương lần lượt là ad , ad . ad kad ad kad . . d song song d d trùng d M d M d ad ko ad d cắt d d chéo d ad , ad .MN 0. a , a .MN 0 x a1t x a1t Lưu ý: Nếu d cắt d ta tìm tọa độ giao điểm bằng giải hệ phương trình: y a2t y a2 t . z a t z a t 3 3. Câu 67.. (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng x 1 y z 2 x 2 y 1 z , d2 : . Xét vị trí tương đói của hai đường thẳng đã cho. 2 1 2 2 1 2 A. Chéo nhau B. Trùng nhau C. Song song D. Cắt nhau Lời giải d1 :. Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(529)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chọn C x 1 y z 2 x 2 y 1 z u1 2;1; 2 ; d 2 : d1 : u2 2; 1; 2 2 1 2 2 1 2 u1 u2 d1 / / d 2 d1 d 2 Điểm M 1;0; 2 d1 ; M d 2 nên d1 / / d 2 Câu 68.. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz , xét vị trí tương đối của hai đường thẳng x 1 y 1 z x 3 y 3 z 2 , 2 : 2 2 3 1 2 1 A. 1 song song với 2 . B. 1 chéo với 2 . C. 1 cắt 2 . 1 :. D. 1 trùng với 2 .. Lời giải 2 2 nên vectơ chỉ phương u1 2; 2;3 của đường thẳng 1 không cùng phương với 1 2 vectơ chỉ phương u 2 1; 2;1 của 2 . Tức là 1 chéo với 2 hoặc 1 cắt 2 .. Vì. Lấy M 1; 1;0 1 , N 3;3; 2 2 . Ta có: MN 2; 4; 2 . Khi đó: u1 ; u2 .MN 0 . Suy ra u1 , u2 , MN đồng phẳng. Vậy 1 cắt 2 .. Câu 69. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :. x 1 y z 5 và mặt phẳng 1 3 1. P :3x 3 y 2 z 6 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. d cắt và không vuông góc với P . B. d vuông góc với P . C. d song song với P . D. d nằm trong P . Lời giải Chọn A. Đường thẳng d có vtcp u 1; 3; 1 Mặt phẳng P có vtpt n 3; 3; 2 Ta có u.n 3 9 2 10 0 nên loại trường hợp d / / P và d P . Lại có u và n không cùng phương nên loại trường hợp d P .. Vậy d cắt và không vuông góc với P .. x y 2 z 1 và mặt phẳng 2 1 3 P :11x my nz 16 0 . Biết P , tính giá trị của T m n .. Câu 70. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng :. A. T 2 .. B. T 2 .. C. T 14 . Lời giải. D. T 14 .. A 0; 2; 1 Cách 1: Lấy B 2;3; 2 A P m 10 2m n 16 0 Mà P n 4 B P 11. 2 3m 2n 16 0 Facebook Nguyễn Vương 35.
<span class='text_page_counter'>(530)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. T m n 14 .. Cách 2: Đường thẳng đi qua A 0; 2; 1 có VTCP u 2;1;3 . Mặt phẳng P có VTPT n 11; m; n . A P 2m n 16 0 m 10 P . 22 m 3n 0 n 4 n.u 0 T m n 14 . Câu 71.. x 1 y 2 z 9 và mặt phẳng có 1 3 1 phương trình m 2 x my 2 z 19 0 với m là tham số. Tập hợp các giá trị m thỏa mãn d // Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :. là A. 1 .. C. 1; 2 .. B. .. D. 2 .. Lời giải Chọn D. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u 1;3; 1 . Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là n m2 ; m; 2 .. . . m 1 u.n 0 m 2 3m 2 0 Để d // thì 2 m 2 m 2 . m 2m 18 19 0 M 1; 2;9 m 1 Câu 72.. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng. x 1 y 1 z 2 song song với mặt phẳng P : 2 x y m2 z m 0 1 1 1 A. m 1 . B. m C. m 1;1 . D. m 1 d:. Lời giải Chọn D. Một véctơ chỉ phương của d : u 1; 1;1 ; A 1; 1; 2 d . Một véctơ pháp tuyến của P : n 2;1; m 2 . 2 u n 1 2 1 1 1 m 0 d / / P 2 2 1 1 2m m 0 A P . 1 m2 0 m 1 m 1 . 2 2 1 2m m 0 1 2m m 0 Câu 73.. Gọi m, n là hai giá trị thực thỏa mãn: giao tuyến của hai mặt phẳng Pm : mx 2 y nz 1 0 và Qm : x my nz 2 0 vuông góc với mặt phẳng : 4 x y 6 z 3 0 . A. m n 0 .. B. m n 2 .. C. m n 1 . Lời giải. D. m n 3 .. Chọn D . Pm : mx 2 y nz 1 0 có VTPT nP m; 2; n . . Qm : x my nz 2 0 có VTPT nQ 1; m; n . Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(531)</span> . TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. : 4 x y 6 z 3 0 có VTPT n 4; 1; 6 . Do giao tuyến của Pm và Qn vuông góc với . Pm nP n 4m 2 6n 0 4m 6n 2 m 2 Qn nQ n 4 m 6n 0 m 6n 4 n 1 Vậy m n 3 . Câu 74.. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường x 1 t x 1 y z thẳng d1 : ; d 2 : y 2 t . Gọi S là tập tất cả các số m sao cho d1 và d 2 chéo 2 1 3 z m 5 nhau và khoảng cách giữa chúng bằng . Tính tổng các phần tử của S . 19 A. 11 . B. 12 . C. 12 . D. 11 . Lời giải d 1 đi qua điểm M 1;0;0 , có vectơ chỉ phương u1 2;1;3 . d 2 đi qua điểm N 1; 2; m , có vectơ chỉ phương u2 1;1;0 . u1 , u2 3;3;1 ; MN 0;2; m . d 1 và d 2 chéo nhau khi và chỉ khi u1 , u2 .MN 0 m 6 . u 1 , u2 . MN m6 5 m 1 5 5 Mặt khác d d1 , d 2 . 19 u1, u2 19 19 19 m 11. Khi đó tổng các phần tử của m là 12 . Câu 75. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Trong không gian Oxyz , cho bốn đường thẳng: x 3 y 1 z 1 x y z 1 x 1 y 1 z 1 , , , d1 : d2 : d3 : 1 2 1 1 2 1 2 1 1 x y 1 z 1 . Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là: d4 : 1 1 1 A. 0 . B. 2 . C. Vô số. D. 1 . Lời giải Đường thẳng d1 đi qua điểm M 1 3; 1; 1 và có một véctơ chỉ phương là u1 1; 2;1 . Đường thẳng d2 đi qua điểm M 2 0; 0;1 và có một véctơ chỉ phương là u2 1; 2;1 . Do u1 u 2 và M 1 d1 nên hai đường thẳng d1 và d 2 song song với nhau. Ta có M 1M 2 3;1; 2 , u1 , M 1M 2 5; 5; 5 5 1;1;1; Gọi là mặt phẳng chứa d1 và d 2 khi đó có một véctơ pháp tuyến là n 1;1;1 . Phương trình mặt phẳng là x y z 1 0 . Gọi A d3 thì A 1; 1;1 . Gọi B d 4 thì B 1; 2;0 . Do AB 2;3; 1 không cùng phương với u1 1; 2;1 nên đường thẳng AB cắt hai đường thẳng d1 và d 2 . Facebook Nguyễn Vương 37.
<span class='text_page_counter'>(532)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 76.. (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I 1; 2; 3 và mặt phẳng. P : 2 x 2 y z 4 0 . Mặt cầu tâm I tiếp xúc với P tại điểm H . Tìm tọa độ điểm H . A. H 1; 1; 0 B. H 3; 0; 2 C. H 1; 4; 4 D. H 3; 0; 2 Lời giải Chọn D Tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng P . x 1 2t Phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng P là: y 2 2t . z 3 t . Tọa độ điểm H là giao điểm của d và P , ta có: 2 1 2t 2 2 2t 3 t 4 0 t 1. Vậy H 3; 0; 2 . Câu 77.. Trong không gian Oxyz , biết mặt cầu. S. có tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng. P : x 2 y 2z 9 0. tại điểm H a; b; c . Giá trị của tổng a b c bằng. A. 2 .. B. 1.. C. 1. Lời giải. D. 2 .. x t nP 1; 2; 2 là véc tơ chỉ phương của đường thẳng OH OH : y 2t z 2t H t; 2t; 2t H P t 2. 2t 2.2t 9 0 t 1 H 1; 2; 2 a b c 1. Câu 78.. (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm I 1;0; 2 và. x 1 y z . Gọi S là mặt cầu có tâm I , tiếp xúc với đường thẳng d . Bán 2 1 1 kính của S bằng đường thẳng d :. A.. 5 . 3. B.. 2 5 . 3. C.. 30 . 3. D.. 4 2 . 3. Lời giải Chọn C Gọi H 1 2t ; t ; t là hình chiếu của I trên đường thẳng d . Có IH 2t ; t ; t 2 ; vectơ chỉ phương của d là u 2; 1;1 . Vì H là hình chiếu vuông góc của I trên d nên IH u IH .u 0 2 1 5 30 1 2t.2 t . 1 t 2 .1 0 t IH ; ; IH . 3 3 3 3 3 Bán kính của mặt cầu S là R IH . 30 . 3. Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(533)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 79.. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu :. 2. 2. S : x 1 y 2 z 3. 2. 1 , đường thẳng. x6 y 2 z 2 và điểm M 4;3;1 . Trong các mặt phẳng sau mặt phẳng nào đi qua M , 3 2 2. song song với và tiếp xúc với mặt cầu S ? A. 2 x 2 y 5 z 22 0 . B. 2 x y 2 z 13 0 . C. 2 x y 2 z 1 0 . D. 2 x y 2 z 7 0 . Lời giải Cách 1: Gọi n 2a; b; c là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng P cần lập, a 2 b 2 c 2 0 . Đường thẳng có vectơ chỉ phương là u 3; 2; 2 . Mặt phẳng P song song với nên ta có n.u 0 6a 2b 2c 0 c 3a b . Mặt phẳng P đi qua M và có vectơ pháp tuyến n nên phương trình có dạng:. 2a x 4 b y 3 3a b z 1 0 2ax by 3a b z 11a 2b 0 * Mặt cầu S có tâm I 1; 2;3 và bán kính R 1 . Mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S d I , P 1 3b. . 2. 2. 3b 4a 2 b 2 3a b . 2. 1. 1 3 b 13a 2 2b 2 6ab .. 13a 2b 6ab. a b . 9b 2 13a 2 2b 2 6ab 13a 2 6ab 7b 2 0 a b 13a 7b 0 13a 7b Với a b , chọn a 1, b 1 , thay vào * ta được pt P1 : 2 x y 2 z 13 0 . Ta có N 6;2; 2 . Dễ thấy N P1 , suy ra P1 : 2 x y 2 z 13 0 song song với . Với 13a 7b , chọn a 7, b 13 , thay vào * ta được pt P2 :14 x 13 y 34 z 51 0 . Ta có N 6;2; 2 , dễ thấy N P2 , suy ra P2 :14 x 13 y 34 z 51 0 song song với . Vậy chọn B. Cách 2: ( Trắc nghiệm). Gọi P là mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán và có vectơ pháp tuyến là n . Vì P đi qua M 4;3;1 nên phương án A, C bị loại. Đường thẳng có vectơ chỉ phương u 3; 2; 2 . P song song với đường thẳng nên n.u 0 . Do đó phương án D bị loại. Vậy phương án B là phương án thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 80.. 2. 2. 2. (Mã 104 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x 2 y 3 z 1 16 và điểm A 1; 1; 1 . Xét các điểm M thuộc S sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với S . M luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là A. 6 x 8 y 11 0 B. 6 x 8 y 11 0 C. 3x 4 y 2 0. D. 3x 4 y 2 0. Lời giải Chọn C Facebook Nguyễn Vương 39.
<span class='text_page_counter'>(534)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. S có tâm I 2;3; 1 ; bán kính R 4 A 1; 1; 1 IA 3; 4;0 , tính được. IA 5 .. Mặt phẳng cố định đi qua điểm H là hình chiếu của M xuống IA và nhận IA 3; 4;0 làm vectơ pháp tuyến. Do hai tam giác MHI và AMI đồng dạng nên tính được IM 2 IH .IA IH . IM 2 16 , từ đó IA 5. 16 2 11 tính được IH IA tìm được H ; ; 1 25 25 25 2 11 Mặt phẳng cần tìm có phương trình là: 3 x 4 y 0 3 x 4 y 2 0. 25 25 . Câu 81.. (Mã. 110. S : x 1. 2. Trong. 2017) 2. không. gian. với. hệ. 2. tọa. y 1 z 2 2 và hai đường thẳng d :. độ. Oxyz ,. cho. mặt. cầu. x 2 y z 1 x y z 1 ; : . 1 2 1 1 1 1. Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với S , song song với d và ? A. y z 3 0. B. x z 1 0. C. x y 1 0. D. x z 1 0. Lời giải. Chọn B Mặt cầu S có tâm I 1;1 2 ; R 2 . Véctơ chỉ phương của d : u d 1; 2; 1 . Véctơ chỉ phương của : u 1;1; 1 . Gọi P là mặt phẳng cần viết phương trình. Ta có u d , u 1;0; 1 nên chọn một véctơ pháp tuyến của P là n 1; 0;1 . Mặt phẳng P có phương trình tổng quát dạng: x z D 0 . Do P tiếp xúc với S nên d I ; P R . 1 2 D 2. 2. D 5 D3 2 . D 1 Chọn P : x z 1 0 . Câu 82. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d : 2. 2. x4 y z4 và tiếp xúc 3 1 4. 2. với mặt cầu S : x 3 y 3 z 1 9 . Khi đó P song song với mặt phẳng nào sau đây? Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(535)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 3x y 2z 0 .. B. 2x 2 y z 4 0 .. C. x y z 0. D. Đáp án khác. Lời giải. Chọn D. Véc tơ chỉ phương của d là u 3;1; 4 , véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P là n .. Mặt cầu S có tâm I 3; 3;1 và bán kính R 3 . Vì P chứa d nên u.n 0 và P tiếp xúc với S nên d I ; P 3 . Ta chỉ xét phương trình u.n 0 . Lấy hai điểm nằm trên đường thẳng d là M 4;0; 4 và N 1; 1;0 .. Ta nhận thấy: M 4;0; 4 và N 1; 1;0 không thỏa mãn đáp án A; B; C . Vây, đáp án là D . Câu 83.. (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ( x 1) 2 y 2 ( z 2) 2 6 đồng thời song song với hai đường thẳng x 2 y 1 z x y2 z2 , d2 : . 3 1 1 1 1 1 x y 2z 3 0 x y 2z 3 0 A. B. C. x y 2 z 9 0 D. x y 2 z 9 0 x y 2z 9 0 x y 2z 9 0 Lời giải Chọn B Đường thẳng d1 có vtcp u1 3; 1; 1 , đường thẳng d 2 có vtcp u2 1;1; 1 . Gọi n là vtpt của mặt phẳng cần tìm. Do song song với hai đường thẳng d1 , d 2 nên n u1 và n u2 , từ đó ta chọn n u1 , u2 2; 2; 4 . Suy ra : x y 2 z c 0 . d1 :. Mặt cầu S có tâm I 1;0; 2 , bán kính R 6 .. Câu 84.. tiếp xúc với S d I ; 6 . c 3 6 c 9 . 6 6 c 3 6 c 3. c 3. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz,. P : 2x 2 y z 3 0. 2. 2. cho điểm E 2;1;3 , mặt phẳng 2. và mặt cầu S : x 3 y 2 z 5 36 . Gọi là đường thẳng. đi qua E , nằm trong mặt phẳng P và cắt S tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của là x 2 9t A. y 1 9t z 3 8t . x 2 5t B. y 1 3t z 3 . x 2 t C. y 1 t z 3 Lời giải. x 2 4t D. y 1 3t z 3 3t . Chọn C Ta có tâm và bán kính mặt cầu S là I 3; 2;5 ; R 6 IE 1 1 4 6 R Gọi là đường thẳng đi qua E Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên Facebook Nguyễn Vương 41.
<span class='text_page_counter'>(536)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dây cung càng nhỏ khi khoảng cách từ tâm tới đường thẳng càng lớn Ta có d I , IH IE Vậy dây cung nhỏ nhất khi đường thẳng vuông góc với IE 1; 1;; 2 Dựa vào các đáp án ta thấy trong các vecto chỉ phương u1 9;9;8 u3 5;3; 0 u3 1; 1;0 u4 4;3; 3 Thì chỉ có u3 .IE 0 Nhận xét: ta hoàn toàn có thể viết được pt đường thẳng bằng cách viết pt mặt phẳng Q đi qua E nhận IE 1; 1;; 2 làm một vecto pháp tuyến, khi đó P Q . S1 , S2 . Câu 85. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt cầu. có phương trình lần lượt là. 2. S1 : x 2 y 2 z 2 25 , S2 : x 2 y 2 z 1 4 . Một đường thẳng d vuông góc với véc tơ u 1; 1; 0 tiếp xúc với mặt cầu S 2 và cắt mặt cầu S1 theo một đoạn thẳng có độ dài bằng 8 . Hỏi véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của d ? A. u1 1;1; 3 B. u2 1;1; 6 C. u3 1;1;0 . . . . D. u4 1;1; 3. . . . Lời giải Mặt cầu S1 có tâm O 0;0;0 , bán kính R1 5 . Mặt cầu S2 có tâm I 0;0;1 , bán kính R2 2 . Có OI 1 R1 R2 nên S2 nằm trong mặt cầu S1 . N H M (S2). I O. (S1). Giả sử d tiếp xúc với S2 tại H và cắt mặt cầu S1 tại M , N . Gọi K là trung điểm MN . Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(537)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Khi đó IH R2 2 và OH OK . Theo giả thiết MN 8 MK 4 OK R12 MK 2 52 42 3 . Có OI 1 , IH 2 OK OI IH OH OK . Do đó OH OK , suy ra H K , tức d vuông góc với đường thẳng OI . Đường thẳng d cần tìm vuông góc với véc tơ u 1; 1;0 và vuông góc với OI 0; 0;1 nên có véc tơ chỉ phương u3 OI , u 1;1;0 . Câu 86.. (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm E 1;1;1 , mặt cầu. S : x2 y 2 z 2 4 và mặt phẳng P : x 3 y 5z 3 0 . Gọi là đường thẳng đi qua E , nằm trong P và cắt mặt cầu S tại hai điểm A , B sao cho tam giác OAB là tam giác đều. Phương trình của đường thẳng là x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 A. . B. . 2 1 1 2 1 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 C. . D. . 2 1 1 2 1 1 Lời giải Chọn D. Mặt cầu S có tâm O 0; 0;0 bán kính R 2 . Tam giác OAB là tam giác đều có cạnh bằng 2. Gọi M là trung điểm AB ta có OM . . 2 3 3 , mặt khác OE 1;1;1 OE 3 . Vậy điểm 2. . . . . . M trùng điểm E . Gọi u là vectơ chỉ phương của ta có: u OE và u n ( với n 1; 3;5 là vectơ pháp tuyến của P vì P ). 1 n , OE 8;4; 4 , chọn u n , OE 2; 1; 1 . 4. Vậy đường thẳng đi qua E , có vectơ chỉ phương u 2; 1; 1 có phương trình là:. x 1 y 1 z 1 . 2 1 1 Câu 87.. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d1 :. x 1 y 2 z 3 và điểm A 1;0; 1 . Gọi d2 là 1 2 1. . đường thẳng đi qua điểm thẳng. A và có vectơ chỉ phương v a;1;2 . Giá trị của a sao cho đường. d1 cắt đường thẳng d2 là Facebook Nguyễn Vương 43.
<span class='text_page_counter'>(538)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. B. a 2 .. A. a 1 .. C. a 0 . Lời giải. D. a 1 .. Chọn C. x 1 t Phương trình tham số của đường thẳng d1 là: y 2 2t . z 3 t Phương trình tham số đường thẳng. d2 qua điểm A và có vectơ chỉ phương v a;1;2 là:. x 1 at d2 : y 0 t z 1 2t . d1 nhận u 1; 2;1 làm vectơ chỉ phương và d2 nhận v a;1;2 làm vectơ chỉ phương 1 t 1 at Đường thẳng d1 cắt đường thẳng d2 khi và chỉ khi hệ phương trình 2 2t 0 t có đúng 3 t 1 2t một nghiệm. Ta có:. 1 t 1 at t at 0 t 0 t 0 t 2 2 2t 0 t 2t t 2 t 2 3 t 1 2t t 2t 4 0 a.2 0 a 0 Vậy a 0 . Câu 88.. Trong. không 2. gian 2. Oxyz ,. 2. cho 2. ba 2. mặt. cầu. và S1 : x 3 y 2 z 4 1 , S2 : x 2 y 2 z 4 4 S3 : x 2 y 2 z 2 4 x 4 y 1 0 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu S1 , S 2 , S3 ? A. 2 .. B. 4 .. C. 6 . Lời giải. D. 8 .. Chọn A I 3; 2; 4 I 0; 2; 4 I 2; 2;0 Ta có: S1 : 1 , S2 : 2 , S3 : 3 R1 1 R2 2 R2 3. I1 I 2 3 R1 R2 S1 , S2 tiếp xúc với nhau tại M . 2 Ta có MI 2 2 I1M I1I 2 M 2; 2; 4 3 Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(539)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Cắt hai mặt cầu S1 , S2 theo phương chứa đường nối tâm của chúng ta có thiết diện là hai đường tròn lớn C1 , C2 .. (C2) (C1). N. I1. M. I2. Trường hợp 1: Mặt phằng qua M vuông góc với I1 I 2 có phương trình là : x 2 0 mà. d I 3 ; 0 không tiếp xúc với S3 LOẠI.. Trường hợp 2: N là tâm vị tự ngoài của C1 , C2 NI 2 2 NI1 2 I1I 2 N 6; 2; 4 . Gọi P là mặt phẳng tiếp xúc với 3 mặt cầu. P qua N và có vtpt là n 1; a; b P : x 6 a y 2 b z 4 0 P : x ay bz 2a 4b 6 0 . 3 1 a 2 b 2 13 d I1; ( P ) 1 b 4 2 2 Có: d I 2 ; ( P) 2 6 2 1 a b b 5 d I ;( P) 3 2 2 3 4b 4 3 1 a b 4 Với b . 13 41 a2 (loại) 4 16. 5 103 103 a Với b a 2 4 16 4 Vậy có 2 mặt phẳng tiếp xúc với 3 mặt cầu S1 , S2 , S3 . Câu 89.. x 1 y z 2 . Gọi S là mặt 2 1 1 cầu có bán kính R 5 , có tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với trục Oy . Biết rằng I có Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :. tung độ dương. Điểm nào sau đây thuộc mặt cầu S ? A. M 1; 2;1 .. B. N 1;2; 1 .. C. P 5;2; 7 .. D. Q 5; 2;7 . Lời giải. Chọn B Điểm I thuộc đường thẳng d nên có tọa độ dang: I 1 2t; t; 2 t 2. 2. Vì mặt cầu S tiếp xúc với trục Oy nên d I , Oy R 1 2t 2 t 5 Facebook Nguyễn Vương 45.
<span class='text_page_counter'>(540)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. t 2 5t 2 5 5 t 2 Với t 2 ta có I 5; 2;0 (Loại). Với t 2 ta có I 3;2; 4 (Thỏa mãn). 2. 2. 2. Nên mặt cầu S có phương trình là: x 3 y 2 z 4 25 . Thay tọa độ các điểm trong các phương án vào phương trình mặt cầu, nhận thấy điểm. N 1;2; 1 thỏa mãn. Câu 90.. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 4 x 6 y m 0 ( m là tham số) và x 4 2t đường thẳng : y 3 t . Biết đường thẳng cắt mặt cầu S tại hai điểm phân biệt A , B z 3 2t . sao cho AB 8 . Giá trị của m là A. m 5 . B. m 12 .. C. m 12 . Lời giải. D. m 10 .. Chọn C. M. A. H. B R. I. Gọi H là trung điểm đoạn thẳng AB IH AB , HA 4 . Mặt cầu S có tâm I 2 ; 3 ; 0 , bán kính R 13 m , m 13 . Đường thẳng đi qua M 4 ; 3 ; 3 và có 1 véc tơ chỉ phương u 2 ; 1 ; 2 .. IM , u Ta có: IM 6 ; 0 ; 3 IM , u 3; 6 ; 6 IH d I , 3. u Ta có: R2 IH 2 HA2 13 m 32 42 m 12 . Câu 91.. (SGD Bến Tre 2019) Trong không gian Oxyz. cho hai đường thẳng chéo nhau. x 4 2t x 1 d1 : y t , (t ), d 2 : y t ' , (t ' ) . z 3 z t ' . Phương trình mật cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 , d 2 là:. Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(541)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2. 2. 3 9 2 A. x y 2 z 2 . 2 4 . 3 3 2 B. x y 2 z 2 . 2 2 . 2. 2. 3 9 2 C. x y 2 z 2 . 2 4 . 3 3 2 D. x y 2 z 2 . 2 2 Lời giải. Chọn C Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với d1 , d 2 là mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d1 , d 2 . Lấy A 4 2t ; t ;3 d1 ; B 1; t '; t ' d 2 . A, B là đoạn vuông góc chung khi AB.ud 0 5t t ' 6 t 1 và chỉ khi 1 . t 2 t ' 3 t ' 1 AB . u 0 d2 3 3 Khi đó A 2;1;3 ; B(1; 1;1) . Suy ra tâm I ;0; 2 , bán kính R . 2 2 Câu 92.. Trong. không. gian. Oxyz ,. cho. hai. đường. thẳng. 1 :. x 4 y 1 z 5 3 1 2. và. x 2 y 3 z . Trong tất cả mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng 1 và 2 . Gọi (S ) 1 3 1 là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất. Bán kính của mặt cầu (S ) là 2 :. A. 12 .. B.. C. 24 . Lời giải. 6.. D.. 3.. Chọn B. A. M Δ1 I. J. Δ2 N. B. x 4 3t x 2 t 1 2 Ta có 1 : y 1 t1 , 2 : y 3 3t 2 (t1, t2 ) , gọi u 1 (3; 1; 2), u 2 (1; 3;1) lần lượt là z 5 2t z t2 1 véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng. Gọi M 1 M (4 3t1;1 t1; 5 2t1 ); N 2 N (2 t 2 ; 3t2 3; t 2 ) . Suy MN (t 2 3t1 2; 3t 2 t1 4; t 2 2t1 5) .. MN .u 0 7t t 6 t 1 1 . MN là đoạn vuông góc chung khi và chỉ khi: 1 2 1 t 1 2t1 11t2 9 MN .u 2 0 2 Facebook Nguyễn Vương 47.
<span class='text_page_counter'>(542)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. MN (2; 2; 4) MN 2 6.. Giả sử ( S ) là mặt cầu tâm J đường kính d tiếp xúc với lần lượt 1 , 2 tại A, B . Khi đó. JA JB AB . Hay d AB MN d MN . Vậy đường kính d nhỏ nhất khi d MN . Suy ra mặt cầu ( S ) có bán kính nhỏ nhất r . MN 6. 2. Cách khác Hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa 1 , 2 là (P ) , (Q ) . Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng 1 và 2 sẽ tiếp xúc với (P ),(Q ) nên đường kính cầu là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P ),(Q ) hay là khoảng cách từ 2 đến (P ) . Gọi u 1 (3; 1; 2), u 2 (1; 3;1) lần lượt là véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng, N (2; 3; 0) 2 .. u , u (5; 5;10) n p 1; 1; 2 , phương trình (P ) : x y 2z 7 0 . 1 2. . . d ((P ),(Q )) d( 2,(P )) d(N ,(P )) . 237 12 (1)2 22. 2 6 . Suy ra bán kính cần tìm là 6. Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(543)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. Chuyên đề 31. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng 1. Bài toán liên quan đến mặt cầu – mặt phẳng – đường thẳng Câu 1.. (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 4;6;2 và B 2; 2;0 và mặt phẳng P : x y z 0 . Xét đường thẳng d thay đổi thuộc P và đi qua B , gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d . Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính R của đường tròn đó. A. R 3. B. R 2. D. R 6. C. R 1 Lời giải. Chọn D Gọi I là trung điểm của AB I 3;2;1. d I; P . 3 2 1 3. 2 3. Gọi S là mặt cầu có tâm I 3;2;1 và bán kính R . AB 3 2 2. Ta có H S . Mặt khác H P nên H C S P Bán kính của đường tròn C là R Câu 2.. R . Trong không gian Oxyz mặt phẳng. d:. 2. d 2 I ; P . 2. 3 2 2 3 . P : 2x 6 y z 3 0. 2. 6.. cắt trục Oz và đường thẳng. x 5 y z 6 lần lượt tại A và B . Phương trình mặt cầu đường kính AB là: 1 2 1 2. 2. 2. B. x 2 y 1 z 5 9.. 2. 2. 2. D. x 2 y 1 z 5 36.. A. x 2 y 1 z 5 36. C. x 2 y 1 z 5 9.. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Lời giải Chọn B P Oz A 0;0;3 Tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình: 2 x 6 y z 3 0 x 4 2 x 6 y z 3 0 y 2 B 4; 2; 7 . Gọi I là trung điểm của x 5 y z 6 2 x y 10 0 1 2 1 y 2 z 12 0 z 7 AB I 2; 1;5 IA 4 1 4 3. 2. 2. 2. Phương trình mặt cầu đường kính AB là: x 2 y 1 z 5 9. Câu 3.. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu. S : x2 y2 z 2 4x 6 y m 0. ( m là tham số) và. x 4 2t đường thẳng : y 3 t . Biết đường thẳng cắt mặt cầu S tại hai điểm phân biệt A , B sao z 3 2t . cho AB 8 . Giá trị của m là Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(544)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. m 5 .. B. m 12 .. M. C. m 12 . Lời giải A. H. D. m 10 .. B R. I. Gọi H là trung điểm đoạn thẳng AB IH AB , HA 4 . Mặt cầu S có tâm I 2 ; 3 ; 0 , bán kính R 13 m , m 13 . Đường thẳng đi qua M 4 ; 3 ; 3 và có 1 véc tơ chỉ phương u 2 ; 1 ; 2 .. IM , u Ta có: IM 6 ; 0 ; 3 IM , u 3; 6 ; 6 IH d I , 3. u Ta có: R 2 IH 2 HA2 13 m 32 42 m 12 . Câu 4.. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng. d :. x y 3 z 2 2 1 1. và hai mặt phẳng. P : x 2 y 2 z 0 ; Q : x 2 y 3z 5 0 . Mặt cầu S có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng P . Mặt phẳng Q tiếp xúc với mặt cầu S . Viết phương trình mặt cầu S . 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. A. S : x 2 y 4 z 3 1 .. B. S : x 2 y 4 z 3 6 .. 2 . 7. D. S : x 2 y 4 z 4 8 .. C. S : x 2 y 4 z 3 . Lời giải Chọn C Ta có: I d I 2t ;3 t ; 2 t . I P P : 2t 2 3 t 2 2 t 0 t 1 I 2; 4;3. Q . tiếp xúc với S nên R d I , Q 2. 2. 2. Vậy S : x 2 y 4 z 3 Câu 5.. 2 . 7. 2 . 7. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu. : x 3 y 2 z 5 0 . Biết đường thẳng. 2. 2. 2. S : x 2 y 3 z 4 nằm trong , cắt trục Ox. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của ? A. u 4; 2;1 . B. v 2;0; 1 . C. m 3;1;0 .. 14 và mặt phẳng và tiếp xúc với S .. D. n 1; 1;1 .. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(545)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải Chọn B Mặt cầu S có tâm I 2;3; 4 và bán kính R 14 . Ta có d I , 14 R tiếp xúc với S . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên H 1;0; 2 Gọi A Ox A a;0;0 và AH a 1;0; 2 . Đường thẳng nằm trong , cắt trục Ox và tiếp xúc với S nên AH n . Tức là a 1 0 4 0 a 5 AH 4; 0; 2 cùng phương với v 2;0; 1 . Câu 6.. (Bình Dương - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng 2. 2. 2. P : 2 x 2 y z 9 0 và mặt cầu S : x 3 y 2 z 1 100 . Mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo một đường tròn C . Tìm tọa độ tâm K và bán kính r của đường tròn C là A. K 3; 2;1 , r 10 . B. K 1; 2;3 , r 8 . C. K 1; 2;3 , r 8 . D. K 1; 2;3 , r 6 . Lời giải. Mặt cầu S có tâm I 3; 2;1 ; R 10 . Khoảng cách từ I đến P là IK d I ; P . 6 4 1 9 6. 3. x 3 2t Đường thẳng qua I 3; 2;1 vuông góc với P có phương trình tham số là y 2 2t khi đó z 1 t . x 3 2t y 2 2t Tọa độ tâm K là nghiệm của hệ phương trình K 1; 2;3 . z 1 t 2 x 2 y z 9 0 Bán kính: r R 2 IK 2 100 36 8 . Câu 7.. (Chuyên Thái Bình 2019) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;1;1 , B 2;2;1 và mặt phẳng P : x y 2 z 0 . Mặt cầu S thay đổi qua A, B và tiếp xúc với P tại H . Biết H chạy trên 1 đường tròn cố định. Tìm bán kính của đường tròn đó. A. 3 2 .. B. 2 3 .. C.. 3.. D.. 3 2. Lời giải. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(546)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 1 t Có A(1;1;1), B(2;2;1) Phương trình AB: y 1 t z 1 Gọi K là giao điểm của AB và P K 1; 1;1 Có Mặt cầu S tiếp xúc với P tại H . HK là tiếp tuyến của S KH 2 KA.KB 12 KH 2 3 không đổi Biết H chạy trên 1 đường tròn bán kính 2 3 không đổi Câu 8.. (Chuyên. S : x. 2. Lam 2. Sơn. 2019). Trong. không. gian. Oxyz. cho. mặt. cầu. 2. y z 2 x 4 y 6 z 2 0 và mặt phẳng : 4 x 3 y 12 z 10 0 . Lập phương. trình mặt phẳng thỏa mãn đồng thời các điều kiện: Tiếp xúc với S ; song song với và cắt trục Oz ở điểm có cao độ dương. A. 4 x 3 y 12 z 78 0 .. B. 4 x 3 y 12 z 26 0 .. C. 4 x 3 y 12 z 78 0 .. D. 4 x 3 y 12 z 26 0 . Lời giải. Chọn C Mặt cầu S có tâm I 1; 2; 3 , bán kính R 4. Mặt phẳng song song với nên có phương trình dạng 4 x 3 y 12 z c 0 c 10 .. tiếp xúc với S d I ; R . 4.1 3.2 12.3 c 42 32 122. 4. 26 c 13. 4. 26 c 52 c 78 26 c 52 c 26 13 Nếu c 78 thì : 4 x 3 y 12 z 78 0 . Mặt phẳng cắt trục Oz ở điểm M 0; 0; có 2 cao độ dương. 13 Nếu c 26 thì : 4 x 3 y 12 z 26 0 . Mặt phẳng cắt trục Oz ở điểm M 0; 0; 6 có cao độ âm. Vậy : 4 x 3 y 12 z 78 0 .. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(547)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 9.. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x 2 y 2 z 2 9 x 1 t và điểm M x0 ; y0 ; z0 d : y 1 2t . Ba điểm A , B , C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho z 2 3t . MA , MB , MC là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng ABC đi qua điểm D 1;1; 2 . Tổng T x02 y02 z02 bằng A. 30 .. B. 26 .. D. 21 .. C. 20 . Lời giải. Chọn B. x 1 t * Ta có: M x0 ; y0 ; z0 d : y 1 2t x0 y0 z0 4 . z 2 3t . * Mặt cầu có phương trình x 2 y 2 z 2 9 tâm O 0;0;0 , bán kính R 3 . * MA , MB , MC là tiếp tuyến của mặt cầu MO ABC . ABC đi qua D 1;1; 2 có véc tơ pháp tuyến OM x0 ; y0 ; z0 có phương trình dạng:. x0 x 1 y0 y 1 z0 z 2 0 . * MA là tiếp tuyến của mặt cầu tại A MOA vuông tại A OH .OM OA2 R2 9 . Gọi H là hình chiếu của O lên ABC d O; ABC OH . x0 y0 2 z0 x02 y02 z02. . OH OM HM , ta có: x0 y0 z0 z0 x02 y02 z02. . z0 4 OH .OM z0 4 . OM. z0 4 9 z0 5 z0 13 . * Với z0 5 M 0; 1;5 T 26 nhận do: OM 26; OH pt ABC : y 5 z 9 0 MH d M ; ABC . z0 4 9 ; OM 26. 17 . 26. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(548)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. OH HM OM .. * Với z0 13 M 6;11; 13 loại do: OM 326;OH . ABC :6 x 11y 13z 9 0 MH d M ; ABC . 9 ; 326. 335 326 .. OH HM OM .. Câu 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 2 z 1 0 và. x y2 z . Hai mặt phẳng P , P ' chứa d và tiếp xúc với ( S ) tại T , T ' . 1 1 1 Tìm tọa độ trung điểm H của TT '. 7 1 7 5 2 7 5 1 5 5 1 5 A. H ; ; . B. H ; ; . C. H ; ; . D. H ; ; . 6 3 6 6 3 6 6 3 6 6 3 6 Lời giải Chọn C Mặt cầu S có tâm I 1; 0; 1 , bán kính R 1 . Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ud 1;1; 1 . Gọi K là hình chiếu của I trên d , ta có K t ; 2 t ; t IK t 1; 2 t ; t 1 . Vì IK d nên ud .IK 0 t 1 2 t t 1 0 t 0 IK 1; 2;1 . đường thẳng d :. x 1 t ' Phương trình tham số của đường thẳng IK là y 2t ' z 1 t ' . Khi đó, trung điểm H của TT ' nằm trên IK nên H 1 t '; 2t '; 1 t ' IH t '; 2t '; t ' . Mặt 1 5 1 5 khác, ta có: IH .IK IT 2 IH .IK 1 t ' 4t ' t ' 1 t ' H ; ; . 6 6 3 6. Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm E 2;1;3 , mặt phẳng. P : 2x 2 y z 3 0. và mặt cầu. 2 2 2 S : x 3 y 2 z 5 36 . Gọi là đường thẳng đi qua E , nằm trong P S tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của là. x 2 9t A. y 1 9t . z 3 8t . x 2 5t B. y 1 3t . z 3 . x 2 t C. y 1 t . z 3 Lời giải. x 2 4t D. y 1 3t . z 3 3t . Chọn C Mặt cầu S có tâm I 3; 2;5 và bán kính R 6 .. IE 12 12 22 6 R điểm E nằm trong mặt cầu S . Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng P , A và B là hai giao điểm của với S . Khi đó, AB nhỏ nhất AB OE , mà AB IH nên AB HIE AB IE . Suy ra: u nP ; EI 5; 5;0 5 1; 1;0 . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương và cắt.
<span class='text_page_counter'>(549)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 2 t Vậy phương trình của là y 1 t . z 3 . Câu 12.. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz. cho mặt cầu. x 1 2t x 3 y 1 z 2 4 và đường thẳng d : y 1 t , t . Mặt phẳng chứa d và cắt ( S ) z t 2. 2. theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là A. y z 1 0 . B. x 3 y 5 z 2 0 . C. x 2 y 3 0 .. D. 3 x 2 y 4 z 8 0 .. Lời giải Chon A Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm cầu I 3;1;0 lên d , từ đó ta tìm được H 3;0; 1 . Thấy. IH R nên d cắt ( S ) . Vậy mặt phẳng cần tìm nhận IH 0; 1; 1 làm VTPT nên pt mặt. phẳng là y z 1 0 . Câu 13.. (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho. P : x 3 y 5z 3 0 và mặt cầu S : x2 y 2 z 2 4 . Gọi là E , nằm trong mặt phẳng P và cắt S tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho. điểm E 1;1;1 , mặt phẳng đường thẳng qua. AB 2 . Phương trình đường thẳng là x 1 2t x 1 2t A. y 2 t . B. y 1 t . z 1 t z 1 t . x 1 2t C. y 3 t . z 5 t . x 1 2t D. y 1 t . z 1 t . Lời giải Chọn D. I Δ A. H. R B. S : x 2 y 2 z 2 4 Tâm I 0;0;0 ; bán kính. R 2. . P : x 3 y 5z 3 0 véctơ pháp tuyến của P : n P 1; 3; 5 . Gọi H là hình chiếu của I lên AH BH . AB 1. 2. Xét IAH vuông tại H IH IA2 AH 2 4 1 3 . Mặt khác ta có IE 1;1;1 IE 3 IH H E IE . Đường thẳng đi qua E 1;1;1 ; vuông góc với IE và chứa trong P nên: Véctơ chỉ phương của : n n P ; IE 8;4; 4 . véctơ u 2; 1; 1 cũng là véctơ chỉ phương của . Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(550)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 1 2t Phương trình đường thẳng là: y 1 t . z 1 t Câu 14.. (SGD Cần Thơ 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm. A 0;1; 2 , mặt phẳng. P : x y z 1 0 và mặt cầu S : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 7 0 . Gọi là đường thẳng đi qua A và nằm trong mặt phẳng P và cắt mặt cầu S tại hai điểm B , C sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất, với I là tâm của mặt cầu S . Phương trình của đường thẳng là x t A. y 1 . z 2 t . x t B. y 1 t . z 2 t . x t C. y 1 t . z 2 . x t D. y 1 t . z 2 . Lời giải Chọn C. S có tâm I 1;2;0 và bán kính R 12 22 7 2 3 . AI 1;1; 2 AI 6 R A nằm trong mặt cầu S và SIBC . A nằm trên dây cung BC 1 .. 2 2 1 R sin BIC R nên diện tích IBC đạt giá trị lớn nhất là IB.IC.sin BIC 2 2 2. R2 1 BIC 90 IBC vuông cân tại I BC IC 2 R 2 2 6 sin BIC 2 BC 6 2 . Gọi J là trung điểm của BC . Ta có IJ BC và IJ 2 AIJ vuông tại J AI IJ , kết hợp thêm với 1 và 2 ta có IJ AI A J A là. trung điểm của BC và IA BC . P có vectơ pháp tuyến n P 1;1;1 có giá vuông góc với .. . . . Vậy nhận u n P , AI 1; 1;0 làm vectơ chỉ phương và đi qua A 0;1; 2 x t : y 1 t . z 2 . Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(551)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P : z 2 0 , K 0;0; 2 , đường thẳng. d:. x y z . Phương trình mặt cầu tâm thuộc đường thẳng d và cắt mặt phẳng P theo thiết 1 1 1. diện là đường tròn tâm K , bán kính r 5 là 2. B. x 2 y 2 z 2 16 .. 2. D. x 2 y 2 z 2 9 .. A. x 2 y 2 z 2 16 . C. x 2 y 2 z 2 9 .. Lời giải Chọn D. P. có vectơ pháp tuyến n 0;0;1 .. x t Viết lại phương trình của đường thẳng d dưới dạng tham số: y t . z t Gọi I là tâm của mặt cầu cần lập. Vì I d nên giả sử I t ; t ; t . Có IK t ; t ; 2 t .. Thiết diện của mặt cầu và mặt phẳng P là đường tròn tâm K nên ta có IK P . Suy ra IK t k .0 t 0 và n 0;0;1 cùng phương. Do đó tồn tại số thực k để IK kn t k .0 . 2 t k .1 k 2 . Suy ra I 0;0;0 . Tính được d I , P 2 . 2. Gọi R là bán kính mặt cầu. Ta có: R r 2 d I , P 3 . Vậy mặt cầu cần tìm có phương trình: x 2 y 2 z 2 9 .. P : x y z 3 0 và hai điểm S đi qua M, N và tiếp xúc với mặt phẳng P tại điểm Q .. Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. M 1;1;1 , N 3; 3; 3 . Mặt cầu. Biết rằng Q luôn thuộc một đường tròn cố định. Tìm bán kính của đường tròn đó. A. R . 2 11 . 3. B. R 6 .. C. R . 2 33 . 3. D. R 4 .. Lời giải Chọn B. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(552)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 1 t * Đường thẳng MN có phương trình là: MN : y 1 t . z 1 t . * Gọi I MN P khi đó tọa độ điểm I ứng với t thỏa mãn:. 1 t 1 t 1 t 3 0 t 2 0 t 2 I 3;3;3 IM 2 3, IN 6 3 . * Do mặt cầu S đi qua M, N và tiếp xúc với đường thẳng IQ tại điểm Q nên ta có: IQ 2 IM .IN KI 2 R 2 IQ 2 IM .IN 36 IQ 6 Vậy Q luôn thuộc đường tròn tâm I bán kính R 6 . Câu 17.. (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. P : 2x 2 y z 3 0. và. mặt. cầu. S : x 1. 2. 2. y 3 z 2 9. và. x y 2 z 1 . Cho các phát biểu sau đây: 2 1 2 I. Đường thẳng d cắt mặt cầu S tại 2 điểm phân biệt. d:. II. Mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S . III. Mặt phẳng P và mặt cầu S không có điểm chung. IV. Đường thẳng d cắt mặt phẳng P tại một điểm. Số phát biểu đúng là: A. 4 .. B. 1 .. C. 2 . Lời giải. D. 3 .. Chọn D Mặt cầu S có tâm I 1; 3;0 , bán kính R 3 .. x 2t Phương trình tham số của đường thẳng d : y 2 t . z 1 2t . x 2t y 2 t 9t 2 2t 6 0 1 . Xét hệ phương trình z 1 2t x 12 y 32 z 2 9 Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt nên d cắt S tại 2 điểm phân biệt.. d I , P . 2.1 2. 3 0 3. . 11 R P và S không có điểm chung. 3. 3 x 2t y 2 t 3 t . d cắt P tại một điểm. Xét hệ phương trình 2 z 1 2t 2 x 2 y z 3 0 Vậy có 3 phát biểu đúng.. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương đường. thẳng.
<span class='text_page_counter'>(553)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 18.. (Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình-2019)Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 2. 2. 2. S : x 1 y 2 z 1 32 , mặt phẳng P : x y z 3 0 và điểm N 1;0; 4 thuộc P . Một đường thẳng đi qua N nằm trong P cắt S tại hai điểm A, B thỏa mãn AB 4 . Gọi u 1; b; c , c 0 là một vecto chỉ phương của , tổng b c bằng A. 1 .. C. 1 .. B. 3 .. D. 45 .. Lời giải. I K B H A N P. Chọn D Ta có mặt cầu (S) có tâm I 1; 2;1 bán kính R 3 . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng và mặt phẳng (P). Suy ra H là trung điểm của đoạn AB nên AH = 2 d I , IH IA2 AH 2 5 và IK d I , P . Ta có. 1 2 1 3 3. 3.. IK P IK mà IH KH P . hay KH d K , và KH IH 2 IK 2 2 . x 1 t Do IK P nên phương trình tham số đường thẳng IK : y 2 t K 1 t ; 2 t ;1 t . z 1 t . Mà K P 1 t 2 t 1 t 3 0 t 1 K 0;3;0 2 2 3 KN , u 4b 3c c 4 b 3 Từ đây ta có KH d K , 2 (*). u 1 b2 c2 Mặt khác ta có P u nP u.nP 0 1 b c 0 b c 1 . Thay vào (*) ta được. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(554)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2. 2. c 4 c 4 c 4 . 3. 2. 2 1 c 1 c 2. 3c 2 24c 48 4c 2 4c 4 c 2 20c 44 0 c 22 ( N ) c 2 ( L) Suy ra b 23 b c 45 . Câu 19.. (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng. x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 và 2 : . Tính diện tích mặt cầu có bán kính nhỏ 2 1 2 2 2 1 nhất, đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng 1 và 2 . 1 :. 4 16 (đvdt). D. (đvdt). 17 17 Lời giải Gọi A; B là hai điểm thuộc lần lượt 1 và 2 sao cho AB là đoạn thẳng vuông góc chung giữa 2 A.. 16 (đvdt). 17. B.. 4 (đvdt). 17. C.. đường. Gọi M là trung điểm AB . Dễ có mặt cầu tâm M bán kính R . AB tiếp xúc với hai đường 2. thẳng 1 và 2 là mặt cầu có bán kính bé nhất. Ta có tọa độ theo tham số của A; B lần lượt là:. A(2t1 1; t1 1;2t1 1) và B(2t2 1;2t2 1; t2 1) AB (2t2 2t1 2;2t2 t1 2; t2 2t1 2) . AB u1 Có u1 (2;1;2) và u2 (2;2;1) lần lươt là 2 vectơ chỉ phương của 1 và 2 nên AB u2. (2t 2t1 2).2 (2t2 t1 2).1 (t2 2t1 2).2 0 2 . (2t2 2t1 2).2 (2t2 t1 2).2 ( t2 2t1 2).1 0. 10 t1 6 4 4 8t 9t1 10 0 17 A( 3 ; 7 ; 3 ) B( 3 ; 3 ; 7 ) AB( ; ; ) . 2 ; 17 17 17 17 17 17 17 17 17 9t2 8t1 10 0 t 10 2 17 R. AB 1 ( 6)2 4 2 4 2 17 . . 2 2 17 17. Diện tích mặt cầu cần tính là S 4 .R 2 4. .. 1 17. Câu 20.. 2. . 4 (đvdt). 17. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai. x 2t đường thẳng d1 : y t và d 2 z 4 . x 3 t ' : y t ' . Viết phương trình mặt cầu S có bán kính nhỏ nhất z 0 . tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d 2 . 2. 2. 2. 2. 2. A. S : x 2 y 1 z 2 4. C. S : x 2 y 1 ( z 2) 2 4.. 2. 2. 2. B. S : x 2 y 1 z 2 16. 2. D. S : x 2 ( y 1) 2 ( z 2) 2 16. Lời giải. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(555)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương u1 (2;1;0) . Đường thẳng d 2 có vectơ chỉ phương u2 (1;1;0) .. Để phương trình mặt cầu S có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d 2 khi và chỉ khi: Tâm mặt cầu S nằm trên đoạn thẳng vuông góc chung của 2 đường thẳng d1 và d 2 , đồng thời là trung điểm của đoạn thẳng vuông góc chung. Gọi điểm M 2t; t; 4 thuộc d1 ; gọi điểm N (3 t '; t '; 0) thuộc d 2 với MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d 2 . Ta có MN 3 t ' 2t; t ' t ; 4 .. MN .u1 0 2. 3 t 2t t t 0 MN là đoạn thẳng vuông góc chung 1 . 3 t 2t t t 0 MN .u2 0 t 5t 6 t 1 M (2;1; 4) . 2t t 3 t 1 N (2;1;0). Gọi điểm I là tâm mặt cầu S , do đó điểm I là trung điểm MN .. I 2;1; 2 R IM IN 2 . 2. 2. 2. Suy ra mặt cầu S : x 2 y 1 z 2 4 . Câu 21.. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu. S : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 13 0. và. đường. M a; b; c , a 0 nằm trên đường thẳng d MA, MB , MC đến mặt cầu. S . thẳng. d:. sao cho từ M. x 1 y 2 z 1 . 1 1 1. Điểm. kẻ được ba tiếp tuyến. 600 , AMB 600 , BMC ( A, B, C là các tiếp điểm) và . 1200 . Tính a 3 b 3 c 3 . CMA 173 112 A. a 3 b3 c 3 . B. a 3 b3 c 3 . C. a 3 b 3 c 3 8 . 9 9 Lời giải Chọn B. D. a 3 b 3 c 3 . 23 . 9. A. I. H M. C. 2. Mặt cầu S có tâm I 1;2; 3 và bán kính R 12 22 3 13 3 3 Gọi C là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng ABC và mặt cầu S . Đặt MA MB MC x khi đó AB x; BC x 2; CA x 3 do đó tam giác ABC vuông tại B nên trung điểm H của AC là tâm đường tròn C và H , I , M thẳng hàng. Vì AMC 1200 nên tam giác AIC đều do đó x 3 R x 3 suy ra IM 2 AM 2 x 6 . Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(556)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2. 2. 2. Lại có M d nên M 1 t ; 2 t;1 t , t 1 mà IM 6 nên t 2 t 4 t 4 36 t 0 3t 2 4t 0 4 . t 3. Mà a > 0 nên t Câu 22.. 4 112 1 2 7 suy ra H ; ; nên a 3 b3 c3 . 3 9 3 3 3. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm. M 3;3; 3. S : x 2. 2. thuộc. 2. mặt. phẳng. : 2 x 2 y z 15 0. và. mặt. cầu. 2. y 3 z 5 100 . Đường thẳng qua M , nằm trên mặt phẳng cắt S . tại A, B sao cho độ dài AB lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng . x3 y 3 z 3 x3 y 3 z 3 . B. . 1 1 3 1 4 6 x3 y 3 z 3 x3 y 3 z 3 C. . D. . 16 11 10 5 1 8 Lời giải Ta có: Mặt cầu S có tâm I 2;3;5 , bán kính R 10 .. A.. d I , . 2.2 2.3 5 15 2. 2. 2. 2 2 1. 6 R S C H ; r , H là hình chiếu của I lên .. Gọi 1 là đường thẳng qua I và vuông góc với 1 có VTCP là u1 2; 2;1 .. x 2 2t PTTS 1 : y 3 2t . Tọa độ H là nghiệm của hệ: z 5 t . x 2 2t y 3 2t z 5 t 2 x 2 y z 15 0. x 2 y 7 H 2; 7 ;3 . z 3 . Ta có AB có độ dài lớn nhất AB là đường kính của C MH . Đường thẳng MH đi qua M 3;3; 3 và có VTCP MH 1; 4 ; 6 . Suy ra phương trình : Câu 23.. x3 y 3 z 3 . 1 4 6. (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 2;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0; 2 . Gọi D là điểm khác O sao cho DA , DB , DC đôi một vuông góc nhau và I a; b; c . là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Tính S a b c . A. S 4 B. S 1 C. S 2 Lời giải Chọn B. D. S 3. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(557)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. d G. I B. D M C. Gọi d là trục của ABC , ta có ABC : x y z 2 0 . 2 2 2 Do ABC đều nên d đi qua trọng tâm G ; ; và có VTCP u (1;1;1) , suy ra 3 3 3 2 x 3 t 2 d : y t . 3 2 z 3 t . thấy DAB DBC DCA , suy ra DA DB DC D d nên giả 2 2 2 D t; t; t . 3 3 3 4 2 2 2 4 2 2 2 4 Ta có AD t ; t ; t ; BD t ; t ; t ; CD t ; t ; t 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Ta. sử. 2 4 4 4 AD.BD 0 t 3 D 3 ; 3 ; 3 Có . 2 AD . CD 0 t 3 D 0;0;0 (loai ) 2 2 2 Ta có I d I t ; t ; t , do tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm I nên 3 3 3 1 1 1 1 IA ID t I ; ; S 1 . 3 3 3 3. Câu 24.. (Chuyên. Hạ. Long. 2019). Trong. không. gian. Oxyz , cho. A 0;0;4 , B 3;1;2 . Một mặt cầu S luôn đi qua A, B và tiếp xúc với. P :2 x y 2 z 1 0 , P tại C . Biết rằng, C. luôn thuộc một đường tròn cố định bán kính r . Tính bán kính r của đường tròn đó. A. Đáp án khác.. B. r . 2 4 244651 . 3. C. r . 2 244651 . 9. D. r . 2024 . 3. Lời giải Cách 1:. Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(558)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Ta có AB 3;1; 2 là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB . x 3t Phương trình tham số của đường thẳng AB là y t . z 4 2t . Giả sử AB cắt P tại T 3t ; t ;4 2t . Do T P :2 x y 2 z 1 0 t . 7 . 3. Khi đó 7 26 7 14 7 14 10 20 10 14 . T 7; ; ; TA 7; ; ; TB 10; ; TA TB 3 3 3 3 3 3 3 3 Ta có TC 2 TA.TB . 980 14 5 TC . 9 3. Điểm C thuộc mặt phẳng P và cách điểm T cố định một khoảng Vậy C luôn thuộc một đường tròn cố định bán kính r . 14 5 . 3. 14 5 . 3. Cách 2: Ta có. TA d A, P 7 ; AB 14 . TB d B, P 10. Giả sử AB cắt P tại T . Suy ra A nằm giữa B và T ( vì A, B cùng phía so với P ). Khi đó ta có. 7 14 TB TA 14 TA 980 14 5 3 TC 2 TA.TB TC 7 9 3 TA TB TB 10 14 10 3 Câu 25.. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình. S 1; 1;6 A 1; 2;3 B 3;1; 2 C 4;2;3 D 2;3;4 , , , , . Gọi I là tâm mặt S ngoại tiếp hình chóp. Tính khoảng cách d từ I đến mặt phẳng SAD . cầu chóp S.ABCD với. A. d . 3 3 . 2. B. d . 6 . 2. C. d . 21 . 2. D. d . Lời giải Chọn B Ta có: AB 2; 1; 1 , AD 1;1;1 và DC 2; 1; 1 . Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 3 . 2.
<span class='text_page_counter'>(559)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta thấy: AB. AD 2.1 1.1 1.1 0 và AB DC nên tứ giác ABCD là hình chữ nhật. 5 Gọi M là trung điểm của AC . Ta có: M ; 2;3 . 2 . Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng ABCD . Ta có: AB , AD 0; 3;3 . Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: u 0; 1;1 . 5 x 2 Phương trình tham số của đường thẳng d là: y 2 t . z 3 t Ta có: SA 0;3; 3 . Ta thấy SA cùng phương với u nên suy ra SA ABCD . 1 9 Gọi N là trung điểm của SA , ta có: N 1; ; . 2 2. 5 I d I ; 2 t ;3 t Do I x ; y ; z là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD nên 2 . NI d NI u 3 3 3 3 3 3 5 1 9 Mà: NI ; t ; t . Suy ra: NI . u 0 t t 0 t I ; ; . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Ta có: SA , AD 6; 3; 3 . 1 Một vectơ pháp tuyến của SAD là: n SA , AD 2; 1; 1 . 6. Phương trình tổng quát của mặt phẳng SAD là:. 2 x 1 y 2 z 3 0 2 x y z 3 0 . 5 1 9 2. 3 6 2 2 2 Vậy d I , SAD . 2 4 11 Câu 26. Trong không gian Oxyz , xét số thực m 0;1 và hai mặt phẳng : 2 x y 2 z 10 0 và. :. x y z 1 . Biết rằng, khi m thay đổi có hai mặt cầu cố định tiếp xúc đồng thời với cả m 1 m 1. hai mặt phẳng , . Tổng bán kính của hai mặt cầu đó bằng A. 6. B. 3. C. 9 Lời giải. D. 12. Chọn C Gọi I a; b; c là tâm mặt cầu. Theo giả thiết ta có R d I , d I , . a b c 1 m 1 m Mà d I , 1 1 1 m 2 1 m 2 Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(560)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Ta có 2. 1 1 1 1 1 1 1 1 2 . 2 2 m 1 m m 1 m m 1 m 2. 1 1 1 1 1 1(do m 0;1 2 . m 1 m m 1 m m 1 m Nên. a 1 m bm cm 1 m m 1 m m 1 m R 1 1 m 1 m R. a am bm cm cm 2 m m 2. m2 m 1 R Rm Rm 2 a am bm cm cm 2 m m 2 2 2 2 R Rm Rm a am bm cm cm m m m 2 R c 1 m a b c R 1 R a 0 1 2 m R c 1 m b c a R 1 R a 0 2 Xét (1) do mặt cầu tiếp xúc với tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt phẳng , với mọi. m 0;1 nên pt (1) nghiệm đúng với mọi m 0;1 . R c 1 0 a R a b c R 1 0 b R I R; R;1 R . R a 0 c 1 R Mà R d I , R . 2 R R 2 1 R 10 3. R 3 3R 12 R R 6(l ). Xét (2) tương tự ta được R c 1 0 a R b c a R 1 0 b R I R; R; R 1 R a 0 c R 1 Mà R d I , R . 2 R R 2 1 R 10 3. R 6 3R 12 R . R 3(l ). Vậy R1 R2 9 . Câu 27. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2 y 2 z 3 0 và mặt cầu S tâm I 5; 3;5 , bán kính R 2 5 . Từ một điểm. A thuộc mặt phẳng P kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu S tại B . Tính OA biết AB 4 . A. OA 11 .. B. OA 5 .. C. OA 3 . Lời giải. D. OA 6 .. Chọn A. Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(561)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Khoảng cách từ điểm I đến mp(P) là: d I ;( P ) . 5 2.(3) 2.5 3 12 (2) 2 22. 6.. AB tiếp xúc với ( S ) tại B nên tam giác AIB vuông tại B, do đó ta có: IA IB 2 AB 2 R 2 AB 2 . 2 5 . 2. 42 6 d I ; ( P ) A là hình chiếu của I lên (P). x 5 t Đường thẳng IA đi qua I 5; 3;5 có VTCP u n( P ) 1; 2; 2 có phương trình y 3 2t z 5 2t Có A IA ( P ) 5 t 2(3 2t ) 2(5 2t ) 3 0 t 2 A(3;1;1) OA 11 . Câu 28. Trong không gian. Oxyz , cho mặt cầu x 2 y 2 z 2 9 và điểm M x0 ; y0 ; z0 thuộc. x 1 t d : y 1 2t . Ba điểm A , B , C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho MA , MB , MC là tiếp z 2 3t . tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng ABC đi qua D 1;1; 2 . Tổng T x02 y02 z02 bằng A. 30. B. 26. D. 21. C. 20 Lời giải. Chọn B Mặt cầu S có tâm O 0;0;0 và bán kính R . Gọi M 1 t0 ;1 2t0 ; 2 3t0 d . Gỉa sử T x; y; z S là một tiếp điểm của tiếp tuyến MT với mặt cầu S . Khi đó. OT 2 MT 2 OM 2 2. 2. 2. 2. 2. 9 x 1 t0 y 1 2t0 z 2 3t0 1 t0 1 2t0 2 3t0 1 t0 x 1 2t0 2 3t0 z 9 0 .. 2. Suy ra phương trình mặt phẳng ABC có dạng 1 t0 x 1 2t0 y 2 3t0 z 9 0 Do D 1;1; 2 ABC nên 1 t0 1 2t0 2. 2 3t 9 0 t0 1 M 0; 1;5 . 2. Vậy T 02 1 52 26 . Câu 29.. (Chuyên. KHTN. 2019). Trong. không. gian. với. hệ. tọa. độ. Oxyz cho hai điểm. A 0; 0;3 , B 2; 0;1 và mặt phẳng : 2 x y 2 z 8 0 . Hỏi có bao nhiêu điểm C trên mặt. phẳng sao cho tam giác ABC đều? A. 2 .. B. 1.. C. 0 . Lời giải. D. Vô số.. Gọi P mặt phẳng trung trực của AB , khi đó phương trình của P là: x z 1 0 . Ta có nP 1; 0;1 , n 2; 1; 2 nên nP , n 1; 0; 1 . . Gọi d là giao tuyến của mặt phẳng P với mặt phẳng . Chọn u d 1; 0; 1 x 1 t và điểm M 1;10; 0 d nên phương trình tham số của d là: y 10 . z t . Do tam giác ABC đều nên CA CB hay C thuộc mặt phẳng trung trực của AB mà C nên C P d suy ra tọa độ C có dạng C 1 t ;10; t . Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(562)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Do ABC đều nên AC AB , thay tọa độ các điểm ta có:. 1 t 0 . 2. 2. 2. 10 0 t 3 . 2 0 . 2. 2. 0 0 1 3 . 2. t 2 4t 51 0 *. Do phương trình * vô nghiệm nên không tồn tại điểm C thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 30.. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x 2 y 2 z 2 9. x 1 t và điểm M x0 ; y0 ; z0 thuộc đường thẳng d : y 1 2t . Ba điểm A, B , C phân biệt cùng z 2 3t thuộc mặt cầu sao cho MA, MB, MC là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng ABC đi qua D 1; 1; 2 . Tổng T x02 y02 z02 bằng A. 30 .. B. 26 .. C. 20 . Lời giải Mặt cầu S1 : x 2 y 2 z 2 9 có tâm O 0; 0; 0 , bán kính R1 3 .. D. 21 .. M d M 1 a ; 1 2a ; 2 3a . Do MA, MB, MC là những tiếp tuyến tại A, B , C với mặt cầu S1 . Suy ra MA2 MB 2 MC 2 OM 2 9 . Khi đó A, B, C S2 có tâm là M , bán kính R2 OM 2 9 . 2. 2. 2. Ta có phương trình S 2 : x a 1 y 2a 1 z 2 3a OM 2 9 . S 2 : x 2 y 2 z 2 2 a 1 x 2 2a 1 y 2 2 3a z 9 0 . Mặt khác theo giả thiết A, B , C cùng thuộc mặt cầu S1 . x 2 y 2 z 2 9 0 Suy ra tọa độ A, B , C thỏa mãn hệ: 2 . 2 2 x y z 2 a 1 x 2 2a 1 y 2 2 3a z 9 0 Do đó phương trình mặt phẳng ABC là: 2 a 1 x 2 2a 1 y 2 2 3a z 18 0 .. D ABC 2 a 1 2 2a 1 4 2 3a 18 0 a 1 . Với a 1 , ta có M 0 ; 1;5 . Khi đó T x02 y02 z02 26 . Câu 31.. (Tỉnh Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu. x y2 z . Hai mặt phẳng ( P ) , ( P ) 1 1 1 chứa d và tiếp xúc với ( S ) tại T , T . Tìm tọa độ trung điểm H của TT . 2 2 2 ( S ) : x y z 2 x 2 z 1 0 và đường thẳng d :. 7 1 7 A. H ; ; . 6 3 6. 5 2 7 B. H ; ; . 6 3 6. 5 1 5 C. H ; ; . 6 3 6 Lời giải. 5 1 5 D. H ; ; . 6 3 6. Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(563)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Mặt cầu ( S ) tâm I (1; 0; 1) , bán kính R 12 02 (1)2 1 1 . Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên d . K d nên ta có thể giả sử K (t ; 2 t ; t ) IK (t 1;2 t; t 1) , ud (1;1; 1) là một véctơ chỉ phương của đường thẳng d. . IK d IK .ud 0 t 1 2 t t 1 0 t 0 . K (0; 2; 0). ITK vuông tại T có TH là đường cao nên IT 2 IH .IK . 1 1 IK 6 IH IK . Giả sử H ( x; y; z ) IH 6 6. . . 1 5 x 1 6 .(1) x 6 1 1 5 1 5 y 0 .2 y Vậy H ; ; 6 3 6 3 6 1 5 z 1 6 .1 z 6 . Câu 32. Cho. hai. đường. thẳng. x 2 d : y t t , z 2 2t . :. x 3 y 1 z 4 1 1 1. P : x y z 2 0 . Gọi d , lần lượt là hình chiếu của d M a; b; c là giao điểm của hai đường thẳng d và . Biểu thức A. 4 .. và. mặt. phẳng. và lên mặt phẳng P . Gọi a b.c bằng. B. 5 .. C. 3 . D. 6 . Lời giải Do d là hình chiếu của d lên mặt phẳng P khi đó d là giao tuyến của mặt phẳng P và mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng P . một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng là n ud , nP 3;2; 1 .. Phương trình mặt phẳng đi qua A 2;0; 2 và có một vec tơ pháp tuyến n 3;2; 1 là. 3x 2 y z 4 0 . Do là hình chiếu của lên mặt phẳng P khi đó là giao tuyến của mặt phẳng P và mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng P . một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng là n u , nP 0; 2; 2 .. Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(564)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Phương trình mặt phẳng đi qua B 3;1;4 và có một vec tơ pháp tuyến n 0; 2; 2 là. y z 5 0. x y z 2 0 x 1 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình 3x 2 y z 4 0 y 2 . y z 5 0 z 3 Vậy M 1;2;3 a b.c 1 2.3 5 . Câu 33.. (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng : x my z 2m 1 0 và : mx y mz m 2 0 . Gọi. là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng Oxy . Biết rằng với mọi số thực m thay đổi thì đường thẳng luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Tính bán kính R của đường tròn đó. A. 2 . B. 1 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn A Mặt phẳng : x my z 2m 1 0 có một vectơ pháp tuyến là n1 1; m;1 . Mặt phẳng : mx y mz m 2 0 có một vectơ pháp tuyến là n2 m;1; m .. 1 1 Ta có M m ;0; m 1 d . m m Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u n1 ; n2 m 2 1; 2m; m 2 1 . Gọi P là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng Oxy . Khi đó P có một vectơ pháp tuyến là n u; k 2m;1 m 2 ;0 (với k 0; 0;1 ). Phương trình mặt phẳng P là 2mx 1 m2 y 2m2 2 0 . Trong mặt phẳng Oxy , gọi I a; b;0 là tâm đường tròn. Theo giả thiết là tiếp tuyễn của đường tròn d I ; d d I ; P R (cố định) . 2ma 1 m2 b 2m2 2 4m2 1 m2 . 2. R0 . 2am 2 b m 2 b 2 m2 1. R0. 2a 0 a 0 2 b R b 0 2 2 2am 2 b m b 2 R m 1 b 2 R R 2 0 . 2am 2 b m 2 b 2 R m 2 1 2a 0 a 0 2 b R b 0 b 2 R R 2 0 Vậy R 2 . Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M 6; 0; 0 , N 0; 6; 0 , P 0; 0; 6 . Hai mặt. cầu. có. phương. S2 : x 2 y 2 z 2 8 x 2 y 2 z 1 0. trình. S1 : x2 y 2 z 2 2x 2 y 1 0. và. cắt nhau theo đường tròn C . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu. có tâm thuộc mặt phẳng chứa C và tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP , PM ? Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(565)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. B. 3 .. A. 1 .. D. 4 .. C. Vô số. Lời giải. Chọn C I. M. P H. J. K. N Nếu điểm A x; y; z thuộc C thì 2 2 2 x y z 2 x 2 y 1 0 3x 2 y z 0 . 2 2 2 x y z 8 x 2 y 2 z 1 0. Suy ra phương trình mặt phẳng chứa đường tròn C là 3x 2 y z 0 . Phương trình mặt phẳng MNP là x y z 6 0 . Gọi I là tâm mặt cầu thỏa bài toán, H là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng MNP , J , K , L lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các đường thẳng MN , NP , PM . Ta có IJ IK IL HJ HK HL .. Suy ra I thuộc đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp hoặc tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác MNP và vuông góc với mặt phẳng MNP . Hình chóp O .MNP là hình chóp đều nên đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác MNP và vuông góc với mặt phẳng MNP cũng chính là đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng MNP . Phương trình đường thẳng d là x y z . Dễ thấy d suy ra mọi điểm thuộc d đều là tâm của một mặt cầu thỏa bài toán. Vậy có vô số mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa C và tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP , PM . Câu 35. Trong không gian cho mặt phẳng. P : x z 6 0. và hai mặt cầu. S : x 1. 2. y 2 z 2 25 ,. S : x y z 4 x 4 z 7 0 . Biết rằng tập hợp tâm I các mặt cầu tiếp xúc với cả hai mặt cầu S , S và tâm I nằm trên P là một đường cong. Tính diện tích hình phẳng giới hạn 2. 2. 2. 2. 1. 2. bởi đường cong đó. 7 A. . 3. B.. 7 . 9. 9 . 7 Lời giải C.. D.. 7 . 6. Chọn B Mặt cầu S1 có tâm O 0;0;0 và bán kính R1 5 . Mặt cầu S có tâm E 2;0; 2 bán kính. R2 1 . Ta có d O, P . 6 R1 và d E, P 2 R2 , OE 2 2 , OE R2 R1 nên mặt 2. cầu S2 nằm trong mặt cầu S1 . Như vậy mặt cầu S tâm I tiếp xúc với cả S1 và S2 thì Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(566)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. S tiếp xúc trong mặt cầu S1 . và tiếp xúc ngoài với S 2 . Gọi R là bán kính của S khi đó. OI R R1 ta có hệ OI EI R1 R2 OI EI 6 . EI R R2. . Nhận xét: OE 2;0;2 nên OE vuông góc với P : x z 6 0 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên P , đặt IH x , điều kiện x 0 . Khi đó ta có. OI EI 6 OH 2 HI 2 EH 2 HI 2 6 18 x 2 2 x 2 6 x 2 . 7 . Nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3. Vậy điểm I thuộc đường tròn tâm H bán kính r . 7 . 9. đường tròn là: S r 2 Câu 36. Trong. không 2. 2. 7 7 x . 9 3. gian. với. hệ. tọa. độ. Oxyz, cho. phương. trình. mặt. 2. cầu: Sm : x y z m 2 x 2my 2mz m 3 0 . Biết rằng với mọi số thực m thì S m luôn chứa một đường tròn cố định. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r . 2 . 3. B. r . 4 2 . 3. 1 C. r . 3 Lời giải. D. r 3 .. Chọn B. 9m 2 8m 16 m2 ; m ; m và bán kính R Mặt cầu S m có tâm I . 2 2 Với m1 , m2 tùy ý và khác nhau, ta được hai phương trình mặt cầu tương ứng: 2 2 2 x y z m1 2 x 2m1 y 2m1 z m1 3 0 2 2 2 x y z m2 2 x 2m2 y 2m2 z m2 3 0. 1 . 2. Lấy 1 trừ 2 theo vế, ta được:. m1 m2 x 2 m1 m2 y 2 m1 m2 z m1 m2 0 m1 m2 . x 2 y 2 z 1 0 x 2 y 2 z 1 0 3 . Dễ thấy 3 là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Họ mặt cầu S m có giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng P trình: x 2 y 2 z 1 0 . Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương cố định có phương.
<span class='text_page_counter'>(567)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Mặt khác, đặt d d I , P . m2 2m 2m 1 2 2. 2. 1 2 2 . 2. 9m 4 . 6. . 2. 4 2 9m 2 8m 16 9m 4 32 r R d m . Vậy r . 3 4 36 9 2. 2. 2. Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt câu S : x 2 y 2 2 x 4 y 6 z 13 0 và. x 1 y 2 z 1 . Điểm M a; b; c a 0 nằm trên đường thẳng d sao cho 1 1 1 từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu S ( A, B, C là các tiếp điểm) thỏa mãn đường thẳng d :. 90 , CMA 120 .Tính Q a b c . AMB 60 , BMC A. Q 3 .. B. Q . 10 . 3. C. Q 2 .. D. Q 1 .. Lời giải Chọn C. A. H. I. M. C. 2. Mặt cầu S có tâm I 1; 2; 3 và bán kính R 12 22 3 13 3 3 . Gọi đường tròn C là giao tuyến của mặt phẳng ABC với mặt câu S . Đặt MA MB MC x x 0 . Áp dụng định lý cosin trong AMB và CMA , ta có: AB 2 MA2 MB 2 2 MA.MB.cos AMB 2 x 2 2 x 2 cos 60 x 2 AB x .. AC 2 MA2 MC 2 2MA.MC.cos AMC 2 x2 2x2 cos120 3x2 AC x 3 . Vì BMC vuông tại M nên: BC MB 2 MC 2 x 2 .. . Mặt khác AB 2 BC 2 x 2 x 2. . 2. . 3x 2 x 3. . 2. AC 2 nên ABC vuông tại B .. Gọi H là trung điểm của AC thì H là tâm của đường tròn C và ba điểm H , I , M thẳng hàng. 120 nên Do AMC AIC 60 , suy ra AIC đều và AC IA IC R 3 3 . Suy ra x 3 3 3 x 3 và IA IM cos 30 IM 2. 2 IA 2.3 3 6. 3 3 2. 2. Điểm M d nên M t 1; t 2; t 1 IM 2 t 2 t 4 t 4 3t 2 4t 36 .. Facebook Nguyễn Vương 25.
<span class='text_page_counter'>(568)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. t 0 M 1; 2;1 Mà IM 36 3t 4t 36 36 3t 4t 0 4 1 2 7 t M ; ; 3 3 3 3 2. 2. 2. 1 2 7 Vì xM 0 nên điểm cần tìm là M ; ; , suy ra Q 2 . 3 3 3. Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(569)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. Chuyên đề 31. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng 2 Bài toán cực trị 1. Một số bất đẳng thức cơ bản Kết quả 1. Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn thì lớn hơn Kết quả 2. Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất. Như trong hình vẽ ta luôn có AM AH. Kết quả 3. Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có bất đẳng thức AB BC AC . Tổng quát hơn ta có bất đẳng thức của đường gấp khúc: Với n điểm A1 , A2 ,.... An ta luôn có A1 A2 A2 A3 ... An 1 An A1 An x y 2 xy . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y Kết quả 4. Với hai số không âm x, y ta luôn có 2 Kết quả 5. Với hai véc tơ a, b ta luôn có a.b a . b . Đẳng thức xảy ra khi a kb, k 2. Một số bài toán thường gặp Bài toán 1. Cho điểm A cố định và điểm M di động trên hình H ( H là đường thẳng, mặt phẳng). Tìm giá trị nhỏ nhất của AM. Lời giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên hình H . Khi đó, trong tam giác AHM Vuông tại . M ta có AM AH . Đẳng thức xảy ra khi M H . Do đó AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A lên H Bài toán 2. Cho điểm A và mặt cầu S có tâm I , bán kính R, M là điểm di động trên S . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của AM .. Lời giải. Xét A nằm ngoài mặt cầu ( S ). Gọi M 1 , M 2 lần lượt là giao điểm của đường thẳng AI với mặt cầu ( S ) AM 1 AM 2 và ( ) là mặt phẳng đi qua M và đường thẳng AI . Khi đó ( ) cắt ( S ) theo một đường tròn lớn (C ). Ta có M MM 90 , nên AMM 2 và AM M là các góc tù, nên trong các tam giác 1. 2. 1. AMM 1 và AMM 2 ta có AI R AM 1 AM AM 2 AI R Tương tự với A nằm trong mặt cầu ta có R AI AM R AI Vậy min AM | AI R |, max AM R AI Bài toán 3. Cho măt phẳng ( P) và hai điểm phân biệt A, B. Tìm điể M thuộc ( P) sao cho Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(570)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 1. MA MB nhỏ nhất. 2. | MA MB | lớn nhất. Lời giải. 1. Ta xét các trường hợp sau - TH 1: Nếu A và B nằm về hai phía so với ( P) . Khi đó AM BM AB Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( P) . - TH 2: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( P) . Gọi A đối xứng với A qua ( P) . Khi đó AM BM A M BM A B Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( P) .. 2. Ta xét các trường hợp sau - TH 1: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( P) . Khi đó | AM BM | AB Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( P) . - TH 2: Nếu A và B nằm khác phía so với ( P) . Gọi A ' đối xứng với A qua P , Khi đó. | AM BM | A M BM A B Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( P) . Bài toán 4. Viết phương trinh măt phẳng ( P) di qua A và cách B một khoảng lớn nhất.. Lời giải. Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng ( P), khi đó d( B, ( P)) BH BA Do đó P là mặt phẳng đi qua A vuông góc với AB Bài toán 5. Cho các số thực dương , và ba điểm A, B, C. Viết phương trình măt phẳng ( P) đi qua C và T d( A, ( P)) d( B, ( P)) nhỏ nhất. Lời giải. 1. Xét A, B nằm về cùng phía so với ( P) . - Nếu AB‖( P ) thì P ( )d( A, ( P)) ( ) AC - Nếu đường thẳng AB cắt ( P) tại I . Gọi D là điểm thỏa mãn IB ID và E là trung điểm BD. Khi đó. . IB d( D, ( P)) 2 d( E , ( P)) 2( ) EC ID 2. Xét A, B nằm về hai phía so với ( P) . Gọi I là giao điểm của AB và ( P ), B là điểm đối xứng với B qua I . Khi đó P d( A, ( P)) d B , ( P) P d( A, ( P )) . . . Đến đây ta chuyển về trường hợp trên. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(571)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. So sánh các kết quả ở trên ta chọn kết quả lớn nhất. Bài toán 6. Trong không gian cho n điểm A1 , A2 , , An và diểm A. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A và tổng khoảng cách từ các điểm Ai (i 1, n ) lớn nhất. Lời giải. - Xét n điểm A1 , A2 , , An nằm cùng phía so với ( P). Gọi G là trọng tâm của n điểm đã cho. Khi đó n. d A , ( P) nd(G, ( P)) nGA i. i 1. - Trong n điểm trên có m điểm nằm về một phía và k điểm nằm về phía khác (m k n ). Khi đó, gọi G1 là trọng tâm của m điểm, G2 là trọng tâm của k điểm G3 đối xứng với G1 qua A. Khi dó P md G3 , ( P ) kd G2 , ( P ) . Đến đây ta chuyển về bài toán trên. Bài toán 7.Viết phương trình mặt phẳng P đi qua đường thẳng và cách A một khoảng lớn nhất. Lời giải. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên mặt phẳng ( P) và đường thẳng . Khi đó d( A, ( P)) AH AK Do đó ( P) là mặt phẳng đi qua K và vuông góc vói AK . Bài toán 8. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A1 , A2 ,, An . Xét véc tơ w 1 MA1 2 M A2 n M An Trong đó 1 ; 2 ... n là các số thực cho trước thỏa mãn 1 2 ... n 0 . Tìm điểm M thuôc măt phẳng ( P) sao cho | w | có đô dài nhỏ nhất. Lời giải. Gọi G là điểm thỏa mãn 1GA1 2GA2 n GAn 0 (điểm G hoàn toàn xác định). Ta có MAk MG GAk vói k 1;2;; n, nên w 1 2 n MG 1GA1 2GA2 nGAn 1 2 n MG Do đó | w | 1 2 n | MG |. Vi 1 2 n là hằng số khác không nên | w | có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất, mà M ( P) nên điểm M cần tìm là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( P) . Bài toán 9. Trong không gian Oxy z, cho các diểm A1 , A2 ,, An . Xét biểu thức: T 1MA12 2 MA22 n MAn2 Trong đó 1 , 2 ,, n là các số thực cho trước. Tìm điểm M thuộc măt phẳng ( P) sao cho 1. T giá trị nhỏ nhất biết 1 2 n 0 . 2. T có giá trị lớn nhất biết 1 2 n 0 . Lời giải. Gọi G là điểm thỏa mãn 1GA1 2GA2 n GAn 0 Ta có MAk MG GAk với k 1;2;; n, nên 2 MAk2 MG GAk MG 2 2 MG GAk GAk2. . . Do đó Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(572)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. T 1 2 n MG 2 1GA12 2GA22 nGAn2. Vì 1GA12 2GA22 nGAn2 không đổi nên • với 1 2 n 0 thì T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. • với 1 2 n 0 thì T đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. Mà M ( P) nên MG nhỏ nhất khi điểm M là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( P) . Bài toán 10. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng ( P) cắt nhau. Viết phương trình của mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng ( P) một góc nhỏ nhất.. Lời giải. Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( P) và lấy điểm M d , M I . Gọi H , K lầ lượt là hình chiếu của M lên ( P) và giao tuyến của ( P) và (Q) . , do đó Đặt là góc giữa ( P) và (Q), ta có MKH. HM HM HK HI Do đó (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mặt phẳng ( MHI ), nên (Q) đi qua M và nhận nP ud ud làm VTPT. tan . Chú ý. Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đai số như sau: - Goi n (a; b; c), a 2 b 2 c 2 0 là một VTPT của mặt phẳng (Q). Khi đó n ud 0 từ đây ta rút được a theo b, c (hoặc b theo a, c hoặc c theo a, b ). - Gọi là góc giữa ( P) và (Q), ta có n nP cos f (t ) | n | nP. b với t , c 0. Khảo sát f (t ) ta tìm được max của f (t ) c Bài toán 11. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d chéo nhau. Viết phương trinh mặt phẳng ( P) chứa d và tạo với d một góc lớn nhất.. Lời giải. Trên đường thẳng d , lấy điểm M và dựng đường thẳng đi qua M song song với d . Khi đó góc giữa và ( P) chính là góc giữa d và ( P) . Trên đường thẳng , lấy điểm A . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên ( P) và d , là góc giữa và ( P) . HM KM Khi đó AMH và cos AM AM Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(573)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Suy ra ( P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng ( AMK ). Do dó ( P) đi qua M và nhận ud ud ud làm VTPT.. . . Chú ý. Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đại số như sau: - Goi n (a; b; c), a 2 b 2 c 2 0 là một VTPT của măt phẳng ( P). Khi đó n ud 0 từ đây ta rút được a theo b, c (hoặc b theo a, c hoặc c theo a, b ). - Gọi là góc giữa ( P) và d , ta có n ud sin f (t ) | n | ud . b với t , c 0. Khảo sát f (t ) ta tìm được max của f (t ) c Dạng 2.1. Cực trị liên quan đến khoảng cách, góc Câu 1.. (Mã 101 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 0;4; 3 . Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3 . Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? A. Q 0;5; 3 .. B. P 3;0; 3 .. C. M 0; 3; 5 .. D. N 0;3; 5 .. Lời giải Chọn D. Đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3 nên d nằm trên mặt trụ tròn xoay có trục là Oz và bán kính bằng 3 . Gọi I là hình chiếu của A lên Oy , khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất khi d đi qua giao điểm của Oy với mặt trụ là điểm I 0;3;0 nên d đi qua điểm N 0;3; 5 . Câu 2.. (Mã 103 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm A 0;3; 2 . Xét đường thẳng d thay đổi song song với Oz và cách Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất. d đi qua điểm nào dưới đây? A. Q 0;2; 5 .. B. M 0;4; 2 .. C. P 2;0; 2 .. D. N 0; 2; 5 .. Lời giải Chọn A Vì d song song với Oz và cách Oz một khoảng bằng 2 nên d thuộc mặt trụ trục Oz và bán kính bằng 2. Có H 0;0; 2 là hình chiếu vuông góc của A 0;3; 2 trên Oz. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(574)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Có HA 0;3;0 HA 3 nên A nằm ngoài mặt trụ.. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với Oz. M là hình chiếu vuông góc của A trên d Gọi K là giao điểm của AH và mặt trụ ( K nằm giữa A và H).. Dễ thấy d A; d AM AK ; AK AH d A; d 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M K .. x 0 2 (t R ) Khi đó ta có: HK HA K 0;2; 2 d : y 2 3 z 2 t Với t 3 ta thấy d đi qua điểm Q . Câu 3.. (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 0; 4; 3 . Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? A. N 0;3; 5 .. B. M 0; 3; 5 .. C. P 3; 0; 3 .. D. Q 0;11; 3 .. Lời giải Chọn B Vì d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3 nên d là đường sinh của hình trụ có trục là Oz và có bán kính đáy r 3 . Gọi A là hình chiếu của A lên trục Oz A 0;0; 3 và AA 4 . Gọi H x ; y ; z là hình chiếu của A lên d . AH lớn nhất khi A , A , H thẳng hàng và AH AA AH AA r 4 3 7 .. x 0 7 7 Khi đó AH AA x ; y 4; z 3 0; 4;0 y 3 H 0; 3; 3 . 4 4 z 3 x 0 Vậy d qua H 0; 3; 3 có vectơ chỉ phương k 0;0;1 nên có phương trình y 3 suy z 3 t . ra d đi qua điểm M 0; 3; 5 . Câu 4.. (Mã 104 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm A 0;3; 2 . Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d đi qua điểm nào dưới đây?. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(575)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. M 0;8; 5 .. B. N 0;2; 5 .. C. P 0; 2; 5 .. D. Q 2;0; 3 .. Lời giải Chọn C. Do đường thẳng d / / Oz nên d nằm trên mặt trụ có trục là Oz và bán kính trụ là R 2. Gọi H là hình chiếu của A trên trục Oz , suy ra tọa độ H 0;0; 2 . Do đó d A, Oz AH 3. 3 Gọi B là điểm thuộc đường thẳng AH sao cho AH AB 5 B 0; 2; 2 .. Vậy d A, d max 5 d là đường thẳng đi qua B và song song với Oz. x 0 Phương trình tham số của d : y 2 . z 2 t Kết luận: d đi qua điểm P 0; 2; 5 . Câu 5.. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng x y z và mặt phẳng P : x 2 y 2 z 0 . Gọi Q là mặt phẳng chứa sao cho góc 2 2 1 giữa hai mặt phẳng P và Q là nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng Q là :. A. x 2 y z 0 .. B. x 22 y 10 z 0 . C. x 2 y z 0 .. D. x 10 y 22 z 0 .. Lời giải Q Δ. B K. H P. d. A. x 2t x y z Đường thẳng : được viết lại dưới dạng tham số : y 2t 2 2 1 z t Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(576)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 2t t 0 y 2t x 0 Xét hệ phương trình . Do đó cắt P tại điểm A 0;0;0 O . z t y 0 x 2 y 2 z 0 z 0 Lại có và P không vuông góc nhau nên ta đi chứng minh góc nhỏ nhất giữa P và Q là. góc giữa và P . Thật vậy trên lấy B khác A , kẻ BH vuông góc với P tại H và BK vuông góc d tại K ( d là giao tuyến của P và Q ) tại K . Khi đó góc giữa Q và P là. . góc BKH HA HK tan BKH. BH BH tan BAH HK HA. BKH , BAH 90 4 BKH BAH , P arcsin 9 tan BKH tan BAH Đẳng thức xảy ra K A d .. Do đó, góc giữa hai mặt phẳng P và Q là nhỏ nhất khi và chỉ khi Q chứa và cắt P theo một giao tuyến vuông góc . *)Viết phương trình của Q . Đường thẳng có vectơ chỉ phương u1 2; 2;1 , P có vectơ pháp tuyến n1 1; 2; 2 nên d có vectơ chỉ phương u 2 u1 , n1 6;5; 2 . Q chứa và d nên nhận n2 u2 ; u1 1;10; 22 làm vectơ pháp tuyến. Vậy mặt phẳng Q đi qua A 0; 0; 0 và nhận n2 1;10; 22 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x 10 y 22 z 0 . Câu 6.. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;1; 2 và mặt phẳng P : m 1 x y mz 1 0 , với m là tham số. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P lớn nhất. Khẳng định đúng trong bốn khẳng định dưới đây là A. 2 m 6 . B. m 6 .. C. 2 m 2 . Lời giải. D. 6 m 2 .. Cách 1: Ta có d A; P . Xét f m . m 1 1 2m 1. m 1. 3m 1. 2. 1 m2. 2. 2 m 2 m 1. f m. . 3m 1. 2. 2 m2 m 1. . 1 3. m 5. 5 m 3m 1 0 m 2 m 2 m 1. 2. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(577)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Vậy max d A; P . 14 khi m 5 2;6 . 3. Cách 2: Ta đi tìm đối tượng cố định của mặt phẳng P :. P : m 1 x y mz 1 0 x z m x y 1 0 . x z 0 Với mọi m mặt phẳng P luôn đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng tức x y 1 0. x t luôn đi qua đường thẳng d : y 1 t . z t Gọi H t ;1 t ; t d AH t 1; t; t 2 . Để khoảng cách từ A đến P lớn nhất thì AH P AH cùng phương với VTPT của P là n P m 1;1; m , suy ra:. 1 mt t t 1 t t 1 t t 2 3 . m 1 1 m mt t 2 m 5 2;6 Câu 7.. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1;1;1) , B (2; 0;1) và mặt phẳng ( P ) : x y 2 z 2 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A , song song với mặt phẳng ( P ) sao cho khoảng cách từ B đến d lớn nhất.. x 1 y 1 z 1 . 3 1 2 x2 y2 z . C. d : 1 1 1. x y z2 B. d : . 2 2 2 x 1 y 1 z 1 D. d : . 3 1 1 Lời giải. A. d :. B d A P'. Gọi ( P ') chứa A và song song ( P ) suy ra ( P ') : x y 2 z 4 0 . Ta thấy B ( P ') do đó d ( B , d ) đạt giá trị lớn nhất là AB.. Khi đó d vuông góc với AB và d vuông góc với giá của n là VTPT của ( P ) . Suy ra một VTCP của d là u n , AB (2; 2; 2) . Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(578)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Kết hợp với điểm A thuộc d nên ta chọn đáp án C. Câu 8.. (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng. x y 1 2 z . Gọi P là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng 1 2 1 Q : 2 x y 2 z 2 0 một góc có số đo nhỏ nhất. Điểm A 1; 2;3 cách mặt phẳng P một d:. khoảng bằng: A.. 3.. B.. 5 3 . 3. 7 11 . 11 Lời giải. C.. D.. 4 3 . 3. Chọn A M. H. B C. x y 1 2 z có VTCP u 1; 2; 1 . 1 2 1 Q : 2 x y 2 z 2 0 có VTPT n 2; 1; 2 .. d:. 6 Gọi là góc tạo bởi d và Q , ta có sin cos u , n . 3 và P , Q MCH . Từ hình vẽ, ta có d , P MBH. . Ta thấy sin MCH. Vậy góc. MH MH 6 . MC MB 3. P , Q MCH. nhỏ nhất khi sin MCH. 6 3 hay cos MCH 3 3. *Viết phương trình mặt phẳng (P) -CÁCH 1: Mặt phẳng P : Ax By Cz D 0 n Q .u 0 A 2B C 0 Ta có 2 A B 2C 3 3 cos n, n Q 2 2 2 3 3 A B C 3 . . . A 2 B C A 2 B C 2 2 2 2 2 6 B 6C 12 BC 0 1 3B 3 2 B C B C Nếu B 0 suy ra A C 0 loại. 2. C C C Nếu B 0 từ 1 suy ra 2 1 0 1 C B suy ra A B . B B B. Mặt phẳng P : Bx By Bz D 0 đi qua điểm N 0; 1; 2 d suy ra D 3B . Vậy phương trình mặt phẳng P : x y z 3 0 . Suy ra d A; P 3 . Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(579)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. -CÁCH 2 Gọi ( P) (Q) thì góc giữa ( P) và (Q) nhỏ nhất khi và chỉ khi d . Do đó, mặt phẳng (P) thỏa đề bài là mặt phẳng chứa d và cắt (Q) theo giao tuyến sao cho d . (Q) u ud ,nQ d nhận làm vec tơ chỉ phương. (Q) chứa d và (P) qua M(0;-1; 2) d và nhận n ud ,u (6; 6; 6) làm vectơ pháp tuyến Câu 9.. (P) : x y z 3 0 .. Vậy. d A; P 3. .. (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 3 ,. B 2; 2;1 và mặt phẳng : 2 x 2 y z 9 0 . Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Xác định phương trình đường thẳng MB khi MB đạt giá trị lớn nhất. x 2 t x 2 2t x 2 t x 2 t A. y 2 2t B. y 2 t C. y 2 D. y 2 t z 1 2t z 1 2t z 1 2t z 1 Lời giải Chọn C. Ta có: 2. 2 2. 2 1 9 0 B . Gọi H là hình chiếu của A trên thì AH MB , AM MB MH MB. MB BH . Dấu bằng xảy ra khi M H , lúc đó M là hình chiếu của A trên . Gọi H x; y; z , AH x 1; y 2; z 3 . 2 x 2 y z 9 x 3 2 x 2 y z 9 0 y 2 Ta có hệ phương trình x 1 y 2 z 3 x y 1 2 2 1 x 2 z 5 z 1 x 2 t M 3; 2; 1 MB 1;0; 2 MB : y 2 . z 1 2t Câu 10. -(Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Viết phương trình đường thẳng a đi qua M 4 ; 2 ; 1 , song song với mặt phẳng ( ) : 3x 4 y z 12 0 và cách A 2; 5; 0 một khoảng lớn nhất. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(580)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 4 t A. y 2 t . z 1 t . x 4 t B. y 2 t . z 1 t . x 1 4t C. y 1 2t . z 1 t . x 4t D. y 2 t . z 1 t . Lời giải. AM 6 ; 7 ;1 , vectơ pháp tuyến của là n (3; 4;1) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên a . d A ; a AH AM 86 d A ; a lớn nhất khi H M .. Khi đó a là đường thẳng đi qua M , song song với và vuông góc với AM . u n Gọi u là vectơ chỉ phương của a ; AM , n 3; 3; 3 3 1;1;1 . u AM Chọn u 1;1;1 . Đáp án D thỏa mãn. ---------------------------------------Câu 11.. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Đường thẳng đi qua điểm M 3;1;1 , nằm trong mặt phẳng. x 1 : x y z 3 0 và tạo với đường thẳng d : y 4 3t một góc nhỏ nhất thì phương trình z 3 2t của là. x 1 A. y t . z 2t . x 8 5t B. y 3 4t . z 2 t . x 1 2t C. y 1 t . z 3 2t . x 1 5t D. y 1 4t . z 3 2t . Lời giải. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u 0;3; 2 . Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là n 1;1; 1 . Vì u.n 0.1 3.1 2 . 1 5 0 nên d cắt .. x 3 Gọi d1 là đường thẳng đi qua M và d1 // d , suy ra d1 có phương trình: y 1 3t . z 1 2t Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(581)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lấy N 3; 4; 1 d1 . Gọi K , H lần lượt là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng và đường thẳng . và sin NMH NH NK . d , NMH Ta có: MN MN Do vậy d , nhỏ nhất khi K H hay là đường thẳng MK .. x 3 t Đường thẳng NK có phương trình: y 4 t . z 1 t Tọa độ điểm K ứng với t là nghiệm của phương trình:. 3 t 4 t 1 t 3 0 t Câu 12.. 5 4 7 2 . Suy ra K ; ; . 3 3 3 3. (Chuyên Thái Bình 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;1;1 và mặt phẳng. ( P) : x 2 y 0 . Gọi là đường thẳng đi qua A , song song với ( P) và cách điểm B 1;0;2 một khoảng ngắn nhất. Hỏi nhận vecto nào dưới đây là vecto chỉ phương ? A. u 6;3; 5 . B. u 6; 3;5 . C. u 6;3;5 . D. u 6; 3; 5 . Lời giải Gọi (Q) chứa và song song với ( P) . Suy ra (Q) có phương trình:. x 1 2( y 1) 0 x 2 y 3 0 . Khi đó d B; min BH với H là hình chiếu của B lên mặt phẳng (Q) .. x 1 t Đường thẳng BH đi qua B , vuông góc với mặt phẳng (Q) có phương trình y 2t , t . z 2 Tọa độ giao điểm H của đường thẳng BH và mặt phẳng (Q) là nghiệm của hệ:. x 1 t y 2t 1 8 . Giải hệ trên ta được H ; ;2 . 5 5 z 2 x 2 y 3 0 6 3 Do đó là đường thẳng AH có AH ; ; 1 . 5 5 Suy ra u 6; 3; 5 cũng là một vecto chỉ phương của . Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 2; 1; 2 và đường thẳng d có phương. x 1 y 1 z 1 . Gọi P là mặt phẳng đi qua điểm A , song song với đường thẳng d 1 1 1 và khoảng cách từ d tới mặt phẳng P là lớn nhất. Khi đó mặt phẳng P vuông góc với mặt trình. phẳng nào sau đây? A. x y 6 0 .. B. x 3 y 2 z 10 0 .. C. x 2 y 3z 1 0 .. D. 3 x z 2 0 . Lời giải. Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(582)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 H d. P. A. K. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng d . Ta suy ra H 1;1;1 . Gọi P là mặt phẳng đi qua điểm A và P song song với đường thẳng d . Gọi K là hình chiếu của H lên mặt phẳng P . Do d // P nên ta có d d , P d H , P HK . Ta luôn có bất đẳng thức HK HA . Như vậy khoảng cách từ d đến P lớn nhất bằng AH .. . Và khi đó P nhận AH 1; 2;3 làm vectơ pháp tuyến. Do P đi qua A 2; 1; 2 nên ta có phương trình của P là: x 2 y 3z 10 0 . Do đó P vuông góc với mặt phẳng có phương trình: 3 x z 2 0 . Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi. P. là mặt phẳng đi qua hai điểm A 1; 7; 8 ,. B 2; 5; 9 sao cho khoảng cách từ điểm M 7; 1; 2 đến P đạt giá trị lớn nhất. Biết P có một véctơ pháp tuyến là n a; b; 4 , khi đó giá trị của tổng a b là. A. 1 .. D. 2 .. B. 3 .. C. 6 . Lời giải x 1 t Phương trình tham số của đường thẳng AB là y 7 2t . z 8 t Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của M trên P và đường thẳng AB .. Ta tìm được điểm K 3; 3; 10 . Ta luôn có bất đẳng thức d M , P MH MK . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi H K . Khi đó MH 4; 2; 8 2 2;1; 4 . Mặt phẳng P có một vectơ pháp tuyến là n 2;1; 4 . Vậy ta có a b 3 .. Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ. Oxyz , cho điểm. A 3; 1; 0 . và đường thẳng. x 2 y 1 z 1 . Mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất có 1 2 1 phương trình là A. x y z 2 0 . B. x y z 0 . d:. C. x y z 1 0 .. D. x 2 y z 5 0 .. Lời giải Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên và d . Khi đó ta có AH AK . Vì H d nên H 2 t ; 1 2t ;1 t AH 1 t ; 2t ;1 t . Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(583)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 2 2 2 1 Do AH d nên ta có 1 t 2.2t 1 t 0 t . Khi đó AH ; ; . 3 3 3 3. Khoảng cách từ A đến lớn nhất khi và chỉ khi AH AK . Do đó có vectơ pháp tuyến là n 1;1; 1 . Vậy : 1 x 2 1 y 1 1 z 1 0 x y z 0 . Vẫn là đánh giá bất đẳng thức AH AK nói trên, nhưng bài toán sau đây lại phát biểu hơi khác một chút. Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3;0;1 , B 1; 1;3 và mặt phẳng. P : x 2 y 2 z 5 0 . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng mặt phẳng P sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. x3 y 26 11 x3 y C. d : 26 11 A. d :. d đi qua A , song song với. z 1 x3 y z 1 . B. d : . 2 26 11 2 z 1 x 3 y z 1 . D. d : . 2 26 11 2 Lời giải. B. d. H. K. Q. P. Ta thấy rằng d đi qua A và d song song với P nên d luôn nằm trong mặt phẳng Q qua A và Q // P . Như vậy bây giờ ta chuyển về xét trong mặt phẳng Q để thay thế cho P . Ta lập được phương trình mặt phẳng Q : x 2 y 2 z 1 0 .. 1 11 7 Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của B lên Q và d . Ta tìm được H ; ; . Ta luôn có 9 9 9 được bất đẳng thức d B; d BK BH nên khoảng cách từ B đến d bé nhất bằng BH . Đường thẳng d bây giờ đi qua A, H nên có phương trình Câu 17.. x 3 y z 1 . 26 11 2. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;5;3 và đường thẳng d:. x 1 y z 2 . Gọi P là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ A đến P là lớn 2 1 2. nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến P bằng A.. 2.. B.. 3 . 6. C.. 11 2 . 6. D.. 1 . 2. Lời giải Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(584)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Gọi n a; b; c là một vectơ pháp tuyến của P , với a2 b2 c2 0 . Điểm M 1;0; 2 d M P . Phương trình của P : ax by cz a 2c 0 . Một vectơ chỉ phương của d là u 2;1; 2 n u n.u 0 2a b 2c 0 . b 2a 2c d A, P . 2. Ta có a c 2 a 2 c 2 2. 2. Suy ra: a c 4 a c Do đó d A, P . 2. | a 5b c | 2. 2. a b c. a c. 2. 9|ac|. . a2 c2 4 a c . 2. .. 2. a 2 c 2 với a, c .. 2. a c . 2. 2 2. 4a c . 9| ac| a2 c2 4 a c . 2. . 9 2 a c . 2. 9|ac| 9|ac| 2 3 2. 3| a c | 9 2 a c 2. a c Max d A, P 3 2 . Chọn a c 1 b 4. b 4a Phương trình P : x 4 y z 3 0 d O, P Câu 18.. 1 . 2. (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm. A 1; 2;3 , B 5; 4; 1 và mặt phẳng. P. qua Ox sao cho d B , P 2d A, P , P cắt AB tại. I a; b; c nằm giữa AB . Tính a b c A. 8. B. 6. C. 12 Lời giải. D. 4. Do mặt phẳng P qua Ox nên phương trình mặt phẳng P có dạng by cz 0 b 2 c 2 0 . d B , P 2 d A, P . 4b c 2. b c. 2. 2.. 4b c 4b 6c b c 4b c 4b 6c. 2b 3c 2. 2. 8b 7c 0 c 0 Trường hợp 1: 8b 7c 0 chọn b 7; c 8 khi đó P : 7 y 8 z 0 Xét f y, z 7 y 8 z Thay tọa độ A, B vào ta được 7.2 8.3 7. 4 8. 1 0 suy ra A, B nằm cùng phía so với. P. (loại). Trường hợp 2: c 0 suy ra phương trình P : y 0 Thay tọa độ A, B vào ta được 2. 4 0 suy ra A, B nằm khác phía so với P . Do đó đường thẳng AB cắt P tại I nằm giữa AB. x 1 4t Phương trình tham số của đường thẳng AB : y 2 6t t z 3 4t Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(585)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Tọa độ điểm I là nghiệm hệ phương trình 1 t 3 x 1 4t 7 y 2 6t x 7 5 3 I ;0; 3 3 z 3 4t y 0 y 0 z 5 3 7 5 Vậy a b c 0 4 3 3 Câu 19.. (Đề Thi Công Bằng KHTN -2019) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng x 1 y z 1 d: và điểm A(1;2;3) . Gọi ( P) là mặt phẳng chứa d và cách điểm A một khoảng 2 1 1 cách lớn nhất. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( P) . A. n (1; 0; 2) . B. n (1;0; 2) . C. n (1;1;1) . D. n (1;1; 1) . Lời giải. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d, gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên ( P) . Do đó khoảng cách từ A đến ( P) là: d A;( P ) AK . x 2t 1 Ta có d : y t . Vì H d nên H 2t 1; t ; t 1 . z t 1 AH 2t 2; t 2; t 2 , VTCP của đường thẳng d là ud 2;1;1 . AH ud AH .ud 0 2( 2 t 2) t 2 t 2 0 t 0 . Do đó H 1;0;1 và AH 2; 2; 2 AH 2 3 (không đổi).. Vì AK AH ( đường vuông góc luôn ngắn hơn đường xiên) nên AK lớn nhất khi AK AH hay KH. Ta có AK AH (2; 2; 2) 2(1;1;1) . Vậy, một vec tơ pháp tuyến của ( P) là n (1;1;1) . Câu 20.. (Chuyên Thái Bình - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3;0;1 , B 1; 1;3 và mặt phẳng P : x 2 y 2 z 5 0 . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A , song song với mặt phẳng P sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất.. A. d :. x 3 y z 1 x3 y z 1 . B. d : . 26 11 2 26 11 2 Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(586)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. C. d :. x 3 y z 1 x 3 y z 1 . D. d : . 26 11 2 26 11 2 Lời giải. Gọi mặt phẳng Q là mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng P . Khi đó phương trình của mặt phẳng Q là 1 x 3 2 y 0 2 z 1 0 x 2 y 2 z 1 0 . Gọi H là hình chiếu của điểm B lên mặt phẳng Q , khi đó đường thẳng BH đi qua B 1; 1;3 x 1 t và nhận n Q 1; 2;2 làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là y 1 2t . z 3 2t . Vì. H BH Q H BH H 1 t ; 1 2t ;3 2t . 1 t 2 1 2t 2 3 2t 1 0 t . và. H Q . nên. ta. có. 10 1 11 7 H ; ; . 9 9 9 9. 26 11 2 1 AH ; ; 26;11; 2 . 9 9 9 9 Gọi K là hình chiếu của B lên đường thẳng d , khi đó Ta có d B; d BK BH nên khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất khi BK BH , do đó đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u 26;11; 2 có phương trình chính tắc:. d: Câu 21.. x 3 y z 1 . 26 11 2. (Sở Quảng Nam - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. x 1 y 1 z 3 và điểm A 1; 3; 1 thuộc mặt phẳng 2 1 1 P . Gọi là đường thẳng đi qua A , nằm trong mặt phẳng P và cách đường thẳng d một khoảng cách lớn nhất. Gọi u a; b; 1 là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng . Tính. P : x y 4z 0 ,. a 2b . A. a 2b 3 .. đường thẳng d :. B. a 2b 0 .. C. a 2b 4 . Lời giải. D. a 2b 7 .. Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(587)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 d. A. d. I A. H. K. (P). (Q). Đường thẳng d đi qua M 1; 1; 3 và có véc tơ chỉ phương u1 2; 1; 1 . Nhận xét rằng, A d và d P I 7; 3; 1 . Gọi Q là mặt phẳng chứa d và song song với . Khi đó d , d d , Q d A, Q . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Q và d . Ta có AH AK . Do đó, d , d lớn nhất d A, Q lớn nhất AH max H K . Suy ra AH chính là đoạn vuông góc chung của d và .. Mặt phẳng R chứa A và d có véc tơ pháp tuyến là n R AM , u1 2; 4; 8 . Mặt phẳng Q chứa d và vuông góc với nQ n R , u1 12; 18; 6 .. R. nên có véc tơ pháp tuyến là. Đường thẳng chứa trong mặt phẳng P và song song với mặt phẳng Q nên có véc tơ chỉ phương là u n P , n R 66; 42; 6 6 11; 7; 1 . Suy ra, a 11; b 7 . Vậy a 2b 3 . Câu 22. ( Bắc Giang 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 2;1;3 và mặt phẳng. P : x my 2m 1 z m 2 0 , m là tham số. Gọi H a; b; c là hình chiếu vuông góc của điểm A trên P . Tính a b khi khoảng cách từ điểm A đến P lớn nhất ? 1 A. a b . 2. B. a b 2 .. C. a b 0 .. D. a b . 3 . 2. Lời giải x my 2m 1 z m 2 0 m y 2 z 1 x z 2 0 (*) y 2z 1 0 Phương trình (*) có nghiệm với m . x z 2 0 x 2 t Suy ra P luôn đi qua đường thẳng d : y 1 2t . z t K d K 2 t ;1 2t ; t , AK t ; 2t ; t 3 Đường thẳng d có VTCP u 1; 2;1. 1 3 1 AK .u 0 t 4t t 3 0 t K ; 0; 2 2 2 Ta có AH AK AH max AK H K . Vậy a b . 3 . 2 Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(588)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 23.. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,. P : x 2 y 2z 3 0. 2. 2. cho mặt phẳng. 2. và mặt cầu S : x y z 2 x 4 y 2 z 5 0. Giả sử M P và. N S sao cho MN cùng phương với vectơ u 1;0;1 và khoảng cách giữa M và N lớn nhất.. Tính MN . B. MN 1 2 2. A. MN 3. C. MN 3 2 Lời giải. D. MN 14. Chọn C. Mặt phẳng P có vtpt n 1; 2; 2 . Mặt cầu S có tâm I 1; 2; 1 và bán kính r 1 . Nhận thấy rằng góc giữa u và n bằng 45ο . Vì d I ; P 2 1 r nên P không cắt S .. . . 45 ο và MN NH NH 2 nên MN lớn Gọi H là hình chiếu của N lên P thì NMH sin 45ο nhất khi và chỉ khi NH lớn nhất. Điều này xảy ra khi N N và H H với N là giao điểm của đường thẳng d qua I , vuông góc P và H là hình chiếu của I lên P .. . . Lúc đó NH max N H r d I ; P 3 và MN max Câu 24.. NH max 3 2. sin 45ο. (SGD&ĐT Đồng Tháp - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 2. 2. S : x 1 y 2 z 2 4 có tâm I và mặt phẳng P : 2 x y 2 z 2 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc P sao cho đoạn IM ngắn nhất. 1 4 4 A. ; ; . 3 3 3. 11 8 2 B. ; ; 9 9 9. C. 1; 2; 2 .. D. 1; 2; 3 .. Lời giải Ta có tâm I 1; 2;0 và bán kính R 2 . Khoảng cách từ I đến mặt phẳng P ngắn nhất khi M là hình chiếu của I lên mặt phẳng P . x 1 2t Đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng P có phương trình tham số là y 2 t . z 2t . Khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình. Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(589)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 x 3 x 1 2t x 1 2t y 4 y 2 t y 2 t 3 . z 2 t 4 z 2 t z 2 1 2t 2 t 2 2t 2 0 2 x y 2 z 2 0 3 2 t 3 Câu 25.. (THPT Ba Đình 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng. P : x 2 y 2z 3 0 N S sao cho MN. và mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 5 0 . Giả sử M P và cùng phương với vectơ u 1;0;1 và khoảng cách giữa M và N lớn. nhất. Tính MN . B. MN 1 2 2 .. A. MN 3 .. C. MN 3 2 . D. MN 14 . Lời giải. 1 2.2 2.1 3 2 R. S có tâm I 1;2;1 và bán kính R 1 . Ta có: d I , P 12 22 22. Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng P và là góc giữa MN và NH . . Vì MN cùng phương với u nên góc có số đo không đổi, HNM 1 Có HN MN .cos MN .HN nên MN lớn nhất HN lớn nhất cos HN d I , P R 3 . 1 1 Có cos cos u , nP nên MN HN 3 2 . cos 2. . Câu 26.. . (HSG Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 3 0 và mặt phẳng ( P ) : 2 x y 2 z 14 0 . Điểm M thay đổi trên S , điểm N thay đổi trên ( P ) . Độ dài nhỏ nhất của MN bằng A. 1. B. 2. 1 2 Lời giải. C.. D.. 3 2. Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(590)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. I. M. P. N. H. Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2; 1) , bán kính R 3 ; d I ;( P) 4 R mặt cầu ( S ) và mặt phẳng ( P ) không có điểm chung.. Dựng IH ( P ), ( H ( P )) . Ta có: MN nhỏ nhất khi M là giao điểm của đoạn IH với ( S ) và. NH. x 1 2t Phương trình đường thẳng IH : y 2 t ; t z 1 2t 2. 2. 2. Điểm M 1 2t ; 2 t; 1 2t ( S ) nên x 1 y 2 z 1 9 2. 2. 2. 2t t 2t 9 t 1 . Khi đó M1 3; 3;1 , M 2 1; 1; 3 .. Thử lại: d M1;( P) 1 ; d M 2 ;( P) 7 IH 4 (loại). 11 10 5 Vậy MN min MH 1 khi M 3; 3;1 ; N ; ; . 3 3 3. Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S tâm I 1; 2;1 ; bán kính R 4 và đường. x y 1 z 1 . Mặt phẳng P chứa d và cắt mặt cầu S theo một đường tròn có 2 2 1 diện tích nhỏ nhất. Hỏi trong các điểm sau điểm nào có khoảng cách đến mặt phẳng P lớn nhất. thẳng d :. A. O 0;0;0 .. 3 1 B. A 1; ; . 5 4. C. B 1; 2; 3 .. D. C 2;1;0 .. Lời giải Gọi H 2t ;1 2t ; 1 t là hình chiếu của I lên đường thẳng d . 2 4 1 5 Ta có: IH .ud 0 2 2t 1 2 3 2t 2 t 0 t H ; ; . 3 3 3 3. Vì IH 10 4 R d cắt mặt cầu S tại 2 điểm phân biệt. Mặt phẳng Q bất kì chứa d luôn cắt S theo một đường tròn bán kính r . Khi đó r 2 R 2 d 2 I , Q R 2 d 2 I , d 16 10 6 . Do vậy mặt phẳng P chứa d cắt mặt cầu theo một đường tròn có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ 1 5 8 khi d I , P d I , d hay mặt phẳng P đi qua H nhận IH ; ; làm vectơ pháp 3 3 3. tuyến, do đó P có phương trình x 5 y 8z 13 0 . Khi đó điểm O 0;0;0 có khoảng cách đến P lớn nhất.. Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(591)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 28.. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng. P : y 1 0 ,. đường thẳng. x 1 1 d : y 2 t và hai điểm A 1; 3;11 , B ;0;8 . Hai điểm M , N thuộc mặt phẳng P sao 2 z 1 cho d M , d 2 và NA 2 NB . Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn MN . B. MN min 2 .. A. MN min 1 .. C. MN min . 2 . 2. 2 D. MN min . 3. Lời giải Gọi I d P I 1;2 t ;1. I P 2 t 1 0 t 1 I 1;1;1 Ta có d P M thuộc đường tròn tâm I 1;1;1 , R1 2 . 1 N x; y; z NA 1 x; 3 y;11 z ; NB x; y;8 z 2 2 1 2 NA 2 NB 1 x 3 y 11 z 4 x y 2 8 z 2 3 x 2 3 y 2 3 z 2 6 x 6 y 42 z 126 0 2. 2. 2. x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 14 z 42 0. Vậy N S J 1;1;7 ; R2 3 và J P : y 1 Nên N thuộc đường tròn tâm J 1;1;7 ; R2 3 Ta có IJ 6 R1 R2 MN min IJ R1 R2 1 Câu 29.. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm. . . . A 1;0; 0 , B 3;2; 0 , C 1;2; 4 . Gọi M là điểm thay đổi sao cho đường thẳng MA , MB , MC hợp với mặt phẳng. ABC . các góc bằng nhau; N là điểm thay đổi nằm trên mặt cầu. S : x 3. y 2 z 3 . 3 2 . 2. B.. 2. A.. 2. 2. 2.. 1 . Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN . 2. 2 . 2 Lời giải C.. D.. 5.. Chọn C. Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(592)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. M. A. B H C. Ta có: AB (2; 2;0), AC (-2; 2; 4) AB. AC 0 ABC suy ra ABC vuông tại A . Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng ABC . Ta có: MA, ABC MA, HA MAH MB, ABC MB, HB MBH MC , ABC MC , HC MCH MBH MCH MAH MBH MCH g .c.g Theo giả thiết MAH. Do đó: HA HB HC nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Suy ra: H là trung điểm của BC H 1; 2; 2 . Ta có: AB, AC 8; 8;8 , Chọn vecto chỉ phương của đường thẳng MH là uMH 1; 1;1 . x 1 t Phương trình đường thẳng MH có dạng: y 2 t z 2 t . Mặt cầu ( S ) có tâm I 3; 2;3 và bán kính R . ,t . 2 . 2. I. N M Gọi K 1 t; 2 t; 2 t là hình chiếu vuông góc của điểm I trên đường thẳng MH . Ta có: IK t 2; t; t 1 , uMH 1; 1;1 Do IK MH nên IK .uMH 0 , ta được: t 1 . Khi đó: K 2;1;3 và IK 2 Do IK > R nên đường thẳng MH không cắt mặt cầu. Ta có: MN d I , MH IN IK IN . 2 2. Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(593)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN bằng 2. Câu 30.. (Sở Bình Phước - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 2; 3 và mặt phẳng P : 2 x 2 y z 9 0 . Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u 3; 4; 4 cắt P tại điểm B . Điểm M thay đổi trong P sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90 . Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau? A. J 3; 2;7 .. B. K 3; 0;15 .. C. H 2; 1;3 .. D. I 1; 2;3 .. Lời giải. - Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u 3; 4; 4 có phương trình là:. x 1 y 2 z 3 giao điểm của d và P là B 2; 2;1 . 3 4 4 - Do M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90 nên M nằm trên mặt cầu S đường kính AB . 41 1 Gọi E là trung điểm của AB E ;0; 1 AE 2 4 2 S : x2 y2 z 2 x 2 z 9 0 .. - Lại do M P nên M nằm trên đường tròn giao tuyến của mặt phẳng P và mặt cầu S , gọi là đường tròn C . - Mặt khác B là điểm cố định trên đường tròn C nên độ dài MB lớn nhất khi MB là đường kính của đường tròn C . - Gọi F là tâm của C F là hình chiếu vuông góc của E trên P . Đường thẳng EF nhận vectơ pháp tuyến n 2; 2; 1 của P làm vectơ pháp tuyến 1 2 y z 1 F 5 ; 2;0 (là giao điểm của P và EF ). EF : 2 2 1 2 - Vì MB là đường kính của C nên M 3; 2; 1 MB 1; 0; 2 là vectơ chỉ phương của x. đường thẳng MB phương trình đường thẳng MB là:. Facebook Nguyễn Vương 25.
<span class='text_page_counter'>(594)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 2 t t y 2 z 1 2t . - Trong các điểm đã cho ở các đáp án A, B, C, D chỉ có điểm I 1; 2;3 (đáp án D) thuộc đường thẳng MB . Câu 31.. (Sở Bạc Liêu - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 1; 2;3 x 1 t và có bán kính r 2 . Xét đường thẳng d : y mt t , m là tham số thực. Giả sử z m 1 t . P , Q . là mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với S lần lượt tại M , N . Khi đó đoạn MN ngắn. nhất hãy tính khoảng cách từ điểm B 1;0; 4 đến đường thẳng d . A.. 5.. B.. 5 3 . 3. C.. 4 237 . 21. D.. 4 273 . 21. Lời giải. Mặt phẳng thiết diện đi qua tâm I , M , N cắt đường thẳng d tại H IH d , d I , d IH .. IH 2 r 2 .r 4 IH 2 4 4 x 2 4 MH .MI 2. f x với Ta có MN 2 MK 2. IH IH IH x x IH 2 . 4 Ta có f x 0, x 2 , suy ra hàm số đồng biến trên 2; . x2 x2 4 u d , IA Do đó MN min IH min . Ta có u d 1; m; m 1 , A 1; 0;0 d , suy ra d I , d ud 25m2 20m 17 2m 2 2 m 2. .. Xét hàm số f m . 25m 2 20m 17 có bảng biến thiên là 2m 2 2 m 2. Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(595)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 1 t 1 1 Suy ra IH min khi m . Đường thẳng d có phương trình là d : y t t . 5 5 4 z 5 t AB, u d 416 4 273 Khoảng cách d B, d . 21 42 ud. Câu 32.. (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x 2 y z 9 0 và điểm A 1; 2; 3 . Đường thẳng d đi qua A và có véc tơ chỉ phương u 3; 4; 4 cắt P tại B . Điểm M thay đổi trên P sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc 90 . Độ dài đoạn MB lớn nhất bằng 36 A. . 5. B.. C. 6 .. 41 .. D.. 5.. Lời giải Chọn D x 1 3t Phương trình đường thẳng d : y 2 4t nên tọa độ điểm B thỏa mãn hệ: z 3 4t . x 1 3t y 2 4t 2 1 3t 2 2 4t 3 4t 9 0 t 1 B 2; 2;1 . z 3 4t 2 x 2 y z 9 0 Do M nhìn đoạn AB dưới một góc 90 nên M thuộc mặt cầu S có đường kính AB 41 . Lại do M P nên M thuộc đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu S và mặt phẳng P . Do MB là một dây cung của đường tròn này nên MB lớn nhất khi nó là đường kính của đường 1 tròn giao tuyến giữa mặt cầu S và mặt phẳng P . Gọi I ; 0; 1 là trung điểm AB thì I 2 là tâm mặt cầu S và d I ; P 3 . Khi đó bán kính đường tròn giao tuyến là 2. 41 5 AB 2 r 9 . Vậy MBmax 2r 5. d I ; P 4 2 2 . Facebook Nguyễn Vương 27.
<span class='text_page_counter'>(596)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 33.. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Đường thẳng đi qua điểm M 3;1;1 , nằm trong mặt x 1 phẳng : x y z 3 0 và tạo với đường thẳng d : y 4 3t một góc nhỏ nhất thì phương z 3 2t . trình của là: x 1 A. y t . z 2t . x 8 5t B. y 3 4t . z 2 t . x 1 2t C. y 1 t . z 3 2t . x 1 5t D. y 1 4t . z 3 2t . Lời giải Chọn B Cách 1. Hình.. d , d là góc nhỏ nhất trong các góc Gọi d là hình chiếu vuông góc của d lên , khi đó góc tạo bởi d với đường thẳng bất kỳ trong . d có véc tơ chỉ phương ud 0;3; 2 , có véc tơ pháp tuyến n 1;1; 1 , gọi n là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng tạo bởi d và d thì n ud , n n ta chọn n n , ud 1; 2;3 Gọi u d là véc tơ chỉ phương của d thì ud n , ud n , ta chọn ud n , n 5; 4;1 . Đường thẳng song song hoặc trùng với d nên có véc tơ chỉ phương u ud 5; 4;1 . Trong các đáp án A, B, C, D cho ở đề bài thì chỉ có đáp án B có véc tơ chỉ phương thỏa điều kiện. Thay tọa độ của M vào phương trình của trong đáp án B ta được: 3 8 5t 1 3 4t t 1 (thỏa mãn). 1 3 2t Vậy đáp án B thỏa yêu cầu bài toán. Cách 2. d có véc tơ chỉ phương ud 0;3; 2 , có véc tơ pháp tuyến n 1;1; 1 , Giả sử có véc tơ chỉ phương u a; b; c , a 2 b 2 c 2 0 Do ta có: n .u 0 a b c 0 c a b . Gọi là góc giữa và d , 0; , khi đó: 2 3b 2c b 2a cos cos u , ud 13. a 2 b 2 c 2 13. 2a 2 2b 2 2ab Góc nhỏ nhất khi và chỉ khi cos lớn nhất, ta xét các trường hợp:. Trường hợp 1. Nếu a 0 ta được cos Trường hợp 2. Nếu a 0 ta được: cos . 1 . 26. t 2. b ,t 26 t 2 t 1 a . Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(597)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. t 2 4t 4 t 2 4t 4 Ta có 26 cos 2 2 , đặt f t 2 , t , có: t t 1 t t 1 t 2 5t 2 6t 8 . f t , f t 0 2 2 t 4 t t 1 5 Bảng biến thiên của hàm số f t :. Do cos 0 nên cos lớn nhất khi f t lớn nhất, từ bảng biến thiên ta được 4 max f t f . 5 b 4 Khi đó 5b 4a , chọn a 5 b 4 và ta được và ta được c 1 . a 5 Đường thẳng có véc tơ chỉ phương u 5; 4;1 .. Trong các đáp án A, B, C, D cho ở đề bài thì chỉ có đáp án B có véc tơ chỉ phương thỏa điều kiện. Thay tọa độ của M vào phương trình của trong đáp án B ta được: 3 8 5t 1 3 4t t 1 (thỏa mãn). 1 3 2t Vậy đáp án B thỏa yêu cầu bài toán. Câu 34.. (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2; 5; 3 và. x 1 y z 2 . Biết rằng P : ax by cz 3 0 a, b, c là mặt phẳng 2 1 2 chứa d và khoảng cách từ A đến P lớn nhất. Khi đó tổng T a b c bằng đường thẳng d :. A. 3 .. C. 2 . Lời giải. B. 3 .. D. 5 .. A. Chọn C. H P. . d u K. Đường thẳng d đi qua M 1; 0; 2 , có 1VTCP u 2; 1; 2 . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A trên P và trên d thì AH AK (cố định). Do đó, khoảng cách từ A đến P lớn nhất khi H K hay P AK . K 2t 1; t;2t 2 d là hình chiếu của A trên d khi AK u , với AK 2t 1; t 5; 2t 1 . AK . u 0 2 2t 1 t 5 2 2t 1 0 t 1 . Facebook Nguyễn Vương 29.
<span class='text_page_counter'>(598)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. P. qua M 1; 0; 2 , có một VTPT AK 1; 4; 1 nên P : x 4 y z 3 0 .. Suy ra T a b c 1 4 1 2 . Câu 35.. (ĐH - Quốc Tế - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2;1; 3 , B 3; 2;1 . Gọi d là đường thẳng đi qua M 1; 2;3 sao cho tổng khoảng cách từ A đến d và. từ B đến d là lớn nhất. Khi đó phương trình đường thẳng d là. x 1 z x 1 y 2 z 3 y2 . B. . 5 4 3 2 1 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 C. . D. . 1 13 2 3 2 2 Lời giải Chọn C A.. Ta có d A, d AM , d B , d BM . AM d d A, d d B, d đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi . BM d MA 1; 1; 6 và MB 4;0; 2 .. Khi đó d có vecto chỉ phương u MA, MB 2; 26; 4 u1 1;13; 2 . Phương trình d : Câu 36.. x 1 y 2 z 3 . 1 13 2. (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x y 1 z 2 và mặt phẳng P : 2 x y 2 z 2 0 . Q là mặt phẳng chứa d và tạo 1 2 1 với mp P một góc nhỏ nhất. Gọi nQ a; b; 1 là một vectơ pháp tuyến của Q . Đẳng thức nào d:. đúng? A. a b 1.. B. a b 2 .. C. a b 1 .. D. a b 0 .. Lời giải Chọn B. Đường thẳng d đi qua điểm M 0; 1; 2 và có vectơ chỉ phương ud 1; 2; 1. Theo giả thiết, d Q và nQ a; b; 1 là một vectơ pháp tuyến của Q nên ta có u d .nQ 0 a 2b 1 0 a 2b 1. 1 Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến nP 2; 1; 2 .. 2a b 2 P , Q cos nP , nQ Ta có cos 3. a2 b2 1. . . . . P, Q Thế 1 vào 2 ta được cos . 2. b 5b2 4b 2. Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(599)</span> . TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. . P , Q đạt giá trị lớn nhất. Khi góc giữa P và Q nhỏ nhất thì cos Xét hàm số f b . b 2. 5b 4b 2. b 1. , có f 'b . 5b. 2. 4b 2. 3. . 0 b 1 .. Bảng biến thiên. Từ đó suy ra với hàm số. g b . b 2. 5b 4b 2. có. max g b g 1 . 1 3. khi. b 1 a 1. Vậy: a b 2. Câu 37.. (Chuyên Bắc Giang 2019)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng. x 1 y 1 z , M 2;1;0 . Gọi H a ; b ; c là điểm thuộc d sao cho MH có độ dài nhỏ 2 1 1 2 nhất. Tính T a b2 c 2 . d:. A. T 6 .. B. T 12 .. C. T 5 . Lời giải. D. T 21 .. Chọn A. x 1 2t Phương trình tham số của đường thẳng d y 1 t . Vì H d nên tọa độ điểm H có dạng z t H 1 2t ; 1 t ; t . Độ dài MH nhỏ nhất khi và chỉ khi H là hình chiếu của M lên d . Ta có u 2;1; 1 là vectơ chỉ phương của d , MH 1 2t ; 2 t ; t . H là hình chiếu của M lên d MH .u 0 2 1 2t 2 t t 0 7 a 3 1 2 7 1 2 6t 4 0 t . Tọa độ điểm H ; ; suy ra b . 3 3 3 3 3 2 c 3 2. 2. 2. 7 1 2 2 2 2 Vậy T a b c 6 . 3 3 3 Câu 38.. (SGD Điện Biên - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;2; 3 và mp P : 2 x 2 y z 9 0 . Đường thẳng d qua A và vuông góc với mp Q : 3 x 4 y 4 z 5 0 , cắt Facebook Nguyễn Vương 31.
<span class='text_page_counter'>(600)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. mp P tại B . Điểm M nằm trong mp P sao cho M luôn nhìn AB dưới góc vuông. Tính độ dài lớn nhất của MB . A. M . 41 . 2. B. MB . 5 . 2. C. MB 5 .. D. MB 41 .. Lời giải Chọn. C.. x 1 3t Đường thẳng d qua A và vuông góc với mp Q : 3 x 4 y 4 z 5 0 d : y 2 4t z 3 4t B là giao điểm của d và mặt phẳng P B 2; 2;1 .. AMB 90 M thuộc mặt cầu S có đường kính AB . M thuộc đường tròn C giao tuyến của mặt cầu S và mặt phẳng P .. BM lớn nhất bằng đường kính của đường tròn C . 41 1 Ta có S có tâm I ;0; 1 , bán kính R . 2 2 . d I , P 3 . 41 5 . 9 4 2. Bán kính của đường tròn C là: r R 2 d 2 I , P Vậy BM lớn nhất bằng 2r 5 . Câu 39.. (SP Đồng Nai - 2019) Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A 3;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0;6 và. D 1;1;1 . Gọi là đường thẳng đi qua D và thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm A, B, C đến là lớn nhất. Hỏi đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây? A. M 5;7;3 . B. M 1; 2;1 . C. M 3; 4;3 .. D. M 7;13;5 .. Lời giải Chọn A Gọi P là mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C . H D A. B C. J K. Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(601)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x y z Ta có phương trình của P : 1 2 x 3 y z 6 0 3 2 6. Ta thấy D 1;1;1 P Gọi H , J , K lần lượt là hình chiếu của A, B, C lên Khi đó: AH AD, BJ BD, CK CD Suy ra tổng khoảng cách từ các điểm A, B, C đến là lớn nhất bằng AD BD CD hay là đường thẳng đi qua D và vuông góc với P . x 1 2t Suy ra phương trình : y 1 3t khi đó đi qua M 5;7;3 z 1 t Câu 40.. (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :. x 1 y z 1 và điểm A 1;2;3 . Gọi P là mặt phẳng chứa d và cách điểm A một khoảng 2 1 1 cách lớn nhất. Véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ pháp tuyến của P ? A. n 1;0; 2 . B. n 1;0; 2 . C. n 1;1;1 . D. n 1;1; 1 . Lời giải Chọn C. Gọi H là hình chiếu của A xuống mặt phẳng P . Từ H kẻ HM d . Dễ thấy AM d . Ta có AH AM . Suy ra khoảng cách từ A đến P lớn nhất khi M H , hay IM P . x 1 2t Phương trình tham số của d : y t t , véc-tơ chỉ phương là u 2;1;1 . z 1 t M d M 1 2t ; t;1 t MA 2 2t ; 2 t ; 2 t . MA u MAu . 0 2 . 2 2t 1. 2 t 1. 2 t 0 t 0 . Suy ra M 1;0;1 MA 2; 2; 2 . Do n 1;1;1 cùng hướng với MA nên n 1;1;1 là một véc-tơ pháp tuyến của P .. Câu 41.. (Chuyên Quang Trung- Bình Phước2019) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng x y z 1 x 1 y z và ' . Xét điểm M thay đổi. Gọi a , b lần lượt là khoảng 1 1 1 1 2 1 cách từ M đến và ' . Biểu thức a 2 2b 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ :. khi M M 0 x0 , y0 , z0 . Khi đó giá trị x0 y0 bằng A.. 4 . 3. B. 0 .. 2 . 3 Lời giải. C.. D.. 2.. Facebook Nguyễn Vương 33.
<span class='text_page_counter'>(602)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Chọn C Giả sử PQ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng và ' Với P và Q ' có P 0, 0,1 và Q 1, 0,0 . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên đường thẳng và ' Khi đó ta có a b ME MF EF PQ hay a b 2 . Nhận thấy. 2 1 4 2 2 2 2 a 2b a 2 2b 2 a 2 ab b 2 a 2 2b 2 a b 3 3 3 3 3. Do đó ta có. 1 2 4 2 2 a 2b 0 a 2 2b 2 a b hay a 2 2b 2 . 3 3 3. M EF 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của a 2b bằng đạt được khi dấu bằng xảy ra khi EF PQ hay 3 a 2b 2 1 MP 2 MQ hay M , 0, . 3 3 2. Câu 42.. 2. (Chuyên Thái Bình - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1;1;1 và mặt phẳng P : x 2 y 0 . Gọi là đường thẳng đi qua A song song với P và cách B 1;0; 2 một khoảng nhỏ nhất. Hỏi nhận vectơ nào dưới đây làm vecto chỉ phương? A. u 6;3; 5 . B. u 6; 3;5 . C. u 6; 3;5 . D. u 6; 3; 5 . Lời giải Chọn D . Gọi u a; b; c , a 2 b 2 c 2 0 là một vecto chỉ phương của . . Mặt phẳng P : x 2 y 0 có một vecto pháp tuyến là n 1; 2; 0 . song song với P nên n.u 0 a 2b 0 a 2b. u 2b; b; c . Ta có AB 2; 1;1 , u, AB b c; 2b 2c;4b . u, AB 21b 2 6bc 5c 2 Khoảng cách từ B 1;0; 2 đến là d B, . 5b2 c 2 u Nếu c 0 b 0 d B, . 21 . 5. b b 21 6 5 c b 21t 2 6t 5 c Nếu c 0 d B, , đặt t d B, . 2 c 5t 2 1 b 5 1 c 2. Xét f t . 21t 2 6t 5 30t 2 8t 6 , f t . 2 2 5t 2 1 5 t 1 . Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(603)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 t 3 f t 0 . 3 t 5 Bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ nhất của f t bằng d B , min . 3 b 3 4 khi t . 5 c 5 5. 16 3 khi t . 5 5. . Chọn b 3, c 5 a 6. Vậy nhận vecto u 6; 3; 5 làm vecto chỉ phương Câu 43.. (Chuyên Nguyễn Huệ-HN-2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, gọi P là mặt. x 1 y 2 z và tạo với trục Oy góc có số đo lớn nhất. Điểm 1 1 2 nào sau đây thuộc mặt phẳng P ? phẳng chứa đường thẳng d :. A. E 3;0;4 .. B. M 3;0;2 .. C. N 1; 2; 1 .. D. F 1; 2;1 .. Lời giải Chọn C Ta có VTCP của đường thẳng d là u d (1; 1; 2) và VTCP của trục Oy là j (0;1; 0) . ud . j 1 0 với Gọi là góc giữa d và Oy , ta có cos 6 ud j Gọi là góc giữa mặt phẳng ( P ) và Oy , do ( P ) chứa d nên ta có . Dấu bằng xảy ra khi mặt phẳng ( P ) tạo với Oy một góc thỏa mãn cos . 1 . 6. ( P ) chứa d nên ( P ) có dạng m( x y 1) n(2 x z 2) 0, m 2 n 2 0. (m 2n) x my nz m 2n 0, m 2 n 2 0 sin . m 2. 2. ( m 2n ) m n. 2. . 5 4m 2 20mn 25n 2 0 2m 5n 0 . 6. Chọn m 5, n 2 suy ra phương trình mặt phẳng ( P ) : x 5 y 2 z 9 0. Vậy điểm N ( 1; 2; 1) ( P ) .. Facebook Nguyễn Vương 35.
<span class='text_page_counter'>(604)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 44.. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 5 x y z , mặt phẳng ( P) : x y z 1 0 và đường thẳng : . Điểm 6 1 1 1 M thay đổi trên đường tròn giao tuyến của ( P ) và ( S ) . Giá trị lớn nhất của d ( M ; ) là. ( S ) : ( x 1) 2 ( y 1) 2 z 2 . A.. 3 2 . 2. B. 2 2.. C.. 2.. D.. 2 . 2. Lời giải Chọn A Mặt cầu (S ) có tâm là. I (1; 1;0) và bán kính R . 30 . 6. 1 3. Ta có: d ( I ;( P )) R . Khi đó bán kính đường tròn giao tuyến là: r R 2 d 2 qua O và có vectơ chỉ phương a (1;1;1) OI (1; 1;0), OI , a (1; 1; 2). OI , a 11 4 2. Ta có: d I ; 111 a. 5 1 2 . 6 3 2. Mặt khác ( P ) , gọi H là tâm của đường tròn (C ) giao tuyến của (P ) và (S ) . Ta có: IH //. Do đó d ( M ; ) lớn nhất d ( M ; ) r d IH ; r d ( I ; ) Khoảng cách lớn nhất của d (M; ) Câu 45.. 2 3 2 2 . 2 2. Vậy đáp án cần chọn là A. (SP Đồng Nai - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lăng trụ đứng. ABC. ABC có A x0 ;0;0 B x0 ;0;0 , C 0;1;0 và B x0 ;0; y0 trong đó x0 ; y0 là các số thực dương và thỏa mãn x0 y0 4 . Khi khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BC lớn nhất thì bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC. ABC bằng bao nhiêu? A. R . 29 . 2. B. R . 29 . 4. C. R . 41 . 4. D. R . Lời giải Chọn A. Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 3 6 . 2.
<span class='text_page_counter'>(605)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. + Xác định tọa độ các đỉnh hình lăng trụ ABC. ABC .. A x0 ;0;0 , B x0 ;0;0 , C 0;1;0 A x0 ;0; y0 , B x0 ;0; y0 , C 0;1; y0 + Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BC . AC x0 ;1; y0 , BC x0 ;1; y0 và CC 0;0; y0 2 AC , BC .CC x0 y0 x0 y0 d AC , B C 2 2 2 AC , BC x y x0 y0 2 x0 y0 0 0 2. x y0 Đặt t x0 y0 0 4 t 0;4 2 . Xét f t . t2 32t 2t 2 f t . 2 16 2t 16 2t . t 0 Cho f t 0 t 16 Bảng biến thiên. Giá trị lớn nhất của d AC , BC bằng f 4 nên x0 y0 4 1 Mặt khác x0 y0 4 2 Từ 1 và 2 ta có x0 y0 2 . Khi đó, AB 4 , AC BC 5 và chiều cao hình lăng trụ là h CC 2 Facebook Nguyễn Vương 37.
<span class='text_page_counter'>(606)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Ta có r . AB. AC.BC 5 là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy ABC . 4 S ABC 2 2. 2. 2. 29 h 5 2 Vậy R r . 2 2 2 2 2. Câu 46.. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2;1; 2 , B 5;1;1 và mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 6 y 12 z 9 0 . Xét đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với S sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng d là. x 2 A. y 1 t . z 2 2t . x 2 B. y 1 4t . z 2 t . x 2 2t C. y 1 2t . z 2 t . x 2 t D. y 1 4t . z 2 t . Lời giải Chọn C Mặt cầu S có tâm I 0; 3; 6 và bán kính R 32 62 9 6 . Vì IA R nên A S d đi qua A và vuông góc với IA d nằm trong P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với IA . Ta có P : x 2 y 2 z 0 . Mặt khác, ta luôn có: d B, d d B, P 3 . Đẳng thức xảy ra d là hình chiếu của đường thẳng AB trên P . Ta tìm hình chiếu H của B trên P : x 5 y 1 z 1 . 1 2 2 x 5 y 1 z 1 Vì H là giao điểm của và P nên tọa độ H là nghiệm của hệ: 1 2 2 x 2 y 2 z 0. Gọi là đường thẳng qua B và vuông góc với P :. x 4 y 1 H 4; 1; 1 . z 1 AH 2; 2;1 . x 2 2t Do đó, d là đường thẳng đi qua hai điểm A và H nên có phương trình: y 1 2t . z 2 t Câu 47.. Dạng 2.2. Cực trị lên quan đến giá trị biểu thức (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d có phương. x 1 t trình y 2 t và ba điểm A 6;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0;4 . Gọi M a; b; c là điểm thuộc d sao z t cho biểu thức P MA 2 2 MB 2 3MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó a b c bằng A. 3 . B. 4 . C. 1 . D. 2 . Lời giải Vì M d nên giả sử M 1 t;2 t; t . Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(607)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Ta có: MA2 3t 2 14t 29; MB 2 3t 2 4t 2; MC 2 3t 2 10t 21 2. P MA2 2MB2 3MC 2 18t 2 36t 96 18 t 1 78 78 Do đó P MA 2 2 MB 2 3 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi t 1 , khi đó:. M 2;1;1 a b c 4 . Câu 48.. (Lê Quý Đôn - Quảng Trị - 2018) Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A 3; 2;3 , B 1; 0;5 và đường thẳng d : đạt giá trị nhỏ nhất. A. M 1; 2;3 .. x 1 y 2 z 3 . Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d để MA2 MB 2 1 2 2 B. M 2; 0;5 .. C. M 3; 2;7 .. D. M 3; 0; 4 .. Lời giải Gọi I là trung điểm của AB , ta có I 2; 1; 4 . 2 2 2 2 Khi đó: MA2 MB 2 MA MB MI IA MI IB 2 2 2 2MI IA IB 2MI . IA IB 2MI 2 IA2 IB 2 MI 2 6 .. . . . . . Do đó MA2 MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI có độ dài ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d . Phương trình mặt phẳng P đi qua I và vuông góc với đường thẳng d là 1. x 2 2. y 1 2. y 4 0 hay P : x 2 y 2 z 12 0 .. x 1 t Phương trình tham số của đường thẳng d là: y 2 2t . z 3 2t . Tọa độ điểm M cần tìm là nghiệm x; y; z của hệ phương trình: x 1 t x 2 y 2 2t y 0 . Vậy M 2;0;5 . z 3 2 t z 5 x 2 y 2 z 12 0 t 1 Câu 49.. (THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng. x y 1 z và hai điểm A 1; 2; 5 , B 1;0; 2 . Biết điểm M thuộc sao cho biểu thức 1 1 1 MA MB đạt giá trị lớn nhất Tmax . Khi đó, Tmax bằng bao nhiêu?. :. B. Tmax 3 .. A. Tmax 57 .. C. Tmax 2 6 3 .. D. Tmax 3 6 .. Lời giải Do M thuộc nên M t ;1 t ; t . 2. Khi đó MA 3t 2 6t 27 3 1 t 24 , MB 3t 2 6 . Do đó MA MB . 2. 3 1 t 24 3t 2 6 .. Xét hai véc tơ u 3 1 t ; 24 và v Ta có u v u v 3 nên Tmax 3 .. . . . . 3t ; 6 .. Facebook Nguyễn Vương 39.
<span class='text_page_counter'>(608)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dấu bằng xảy ra khi u . . 3 1 t ; 24 và v . . . . 3t ; 6 ngược hướng hay t 1 .. x 2 y 1 z và hai điểm 1 2 3 4 4 thuộc d thỏa mãn MA MB nhỏ nhất. Tìm. Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : A 2;0;3 , B 2; 2; 3 . Biết điểm M x0 ; y0 ; z0 . x0 . A. x0 1 .. B. x0 3 .. C. x0 0 .. D. x0 2 .. Lời giải Gọi I là trung điểm của AB . Khi đó ta có 2. 2 AB 2 AB 2 MA MB MA MB 2MA .MB 2 MI 2 2 MI 2 4 AB 4 AB 4 4MI 4 2 MI 2 AB 2 2 MI 4 MI 2 AB 2 4 8 4. 4. 2. 2 2. 2. 2. 2. 2. AB 4 3 AB 2 7 4 2MI 3MI AB 2 MI 2 AB 4 4 10 4. 2. 2. Do đó, MA4 MB 4 đạt GTNN khi MI nhỏ nhất M là hình chiếu vuông góc của I lên d . Điểm I 2; 1;0 . Lấy M 2 t ; 1 2t ;3t d . IM t ; 2t ;3t IM ud IM .ud 0 t 4t 9t 0 t 0 Suy ra M I . Vậy x0 2 Câu 51.. (Chuyên Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;0;1 , B 3;2;1 ,. C 5;3;7 . Gọi M a; b; c là điểm thỏa mãn MA MB và MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P abc A. P 4 .. B. P 0 .. C. P 2 . Lời giải Gọi I là trung điểm của AB , suy ra I 1;1;1 ; AB 4; 2;0 .. D. P 5 .. Phương trình mặt phẳng trung trực của AB : : 2 x y 3 0 . Vì 2.3 1.2 3 . 2.5 1.3 3 50 0 nên B , C nằm về một phía so với , suy ra A , C nằm về hai phía so với . Điểm M thỏa mãn MA MB khi M . Khi đó MB MC MA MC AC .. MB MC nhỏ nhất bằng AC khi M AC . x 1 2t Phương trình đường thẳng AC : y t , do đó tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương z 1 2t Câu 52.. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A 1;2;3 , B 0;1;1 , C 1;0; 2 và mặt phẳng P : x y z 2 0 . Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho giá trị của biểu thức T MA2 2 MB 2 3MC 2 nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng Q :2 x y 2 z 3 0 ?. Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(609)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A.. 121 B. 54. 2 5 3. C. 24. D.. 91 54. Lời giải Chọn D. Gọi I a; b; c là điểm thỏa mãn IA 2 IB 3IC 0 . Ta có IA 1 a; 2 b;3 c , IB a;1 b;1 c , IC 1 a; b; 2 c . 2 a 3 1 a 2a 3 3a 0 6a 4 2 IA 2 IB 3IC 0 2 b 2 2b 3b 0 6b 4 b 3 c 2 2c 6 3c 0 6c 1 3 1 c 6 . 2 2 1 I ; ; . 3 3 6. Ta chứng minh được T 6 MI 2 IA2 2 IB 2 3IC 2 . Do đó T đạt GTNN khi MI đạt GTNN M là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P). 2 x 3 t 2 1 19 19 2 2 Ta có MI : y t , M MI M t ; t ; t , M P 3t 0 t 3 6 6 18 3 3 1 z 6 t . 7 7 22 3 7 11 91 9 18 9 7 M ; ; d M ; Q . 3 54 18 18 9 Câu 53.. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 10; 5;8 , B 2;1; 1 , C 2;3;0 và mặt phẳng. P : x 2 y 2z 9 0 .. Xét M là điểm thay đổi trên. P. sao cho. MA2 2MB 2 3MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính MA2 2MB 2 3MC 2 . A. 54 . B. 282 . C. 256 . D. 328 . Lời giải Gọi I x; y; z là điểm thỏa mãn IA 2 IB 3IC 0 . Ta có IA 10 x; 5 y;8 z , IB 2 x;1 y; 1 z , IC 2 x;3 y; z . 10 x 2 2 x 3 2 x 0 x 0 Khi đó, 5 y 2 1 y 3 3 y 0 y 1 I 0;1;1 . z 1 8 z 2 1 z 3 z 0 Với điểm M thay đổi trên P , ta có 2 2 MA2 2MB 2 3MC 2 MI IA 2 MI IB 3 MI IC 6MI 2 IA2 2 IB 2 3IC 2 2MI IA 2 IB 3IC 6 MI 2 IA2 2 IB 2 3IC 2 (Vì IA 2 IB 3IC 0 ).. . . . . . . . 2. . Ta lại có IA2 2 IB 2 3IC 2 185 2.8 3.9 228 . Do đó, MA2 2MB 2 3MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất MI đạt giá trị nhỏ nhất M là hình chiếu vuông góc của I trên P . Facebook Nguyễn Vương 41.
<span class='text_page_counter'>(610)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Khi đó, MI d I , P 3 . Vậy giá trị nhỏ nhất của MA2 2MB 2 3MC 2 bằng. 6MI 2 228 6.9 228 282 . Giá trị nhỏ nhất của MA2 2MB 2 3MC 2 đạt được khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I trên P . Lưu ý thêm cách tìm điểm M như sau:. x t Gọi là đường thẳng qua I và vuông góc với P . Phương trình của : y 1 2t . z 1 2t Ta có M P . Xét phương trình. t 2 1 2t 2 1 2t 9 0 9t 9 0 t 1 M 1;3; 1 . Câu 54. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng P : x y z 3 0 và ba điểm A 3;1;1 , B 7;3;9 và C 2; 2; 2 . Điểm M a; b; c trên P sao cho MA 2MB 3MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 2a 10b c . 62 A. . 9. 46 . 9 Lời giải + Gọi I x; y; z là điểm thỏa mãn IA 2 IB 3IC 0 . IA 3 x;1 y ;1 z Ta có IB 7 x ;3 y ;9 z . IC 2 x ;2 y ;2 z . B.. 27 . 9. C.. D.. 43 . 9. 23 x 6 23 6 x 0 13 23 13 25 + IA 2 IB 3IC 0 13 6 y 0 y I ; ; . 6 6 6 6 25 6 z 0 25 z 6 MA 2MB 3MC 6MI IA 2 IB 3IC 6MI 6MI .. . . MA 2 MB 3MC đạt giá trị nhỏ nhất M là hình chiếu của I lên mặt phẳng P . + Gọi đường thẳng d đi qua I và vuông góc P . 23 13 25 Ta có d đi qua I ; ; và nhận n p 1;1;1 làm véc tơ chỉ phương. 6 6 6 . 23 x 6 t 13 Suy ra phương trình d : y t . 6 25 z 6 t Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(611)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 13 25 23 M d M t; t ; t 6 6 6 . M P . 23 13 25 43 13 2 16 t t t 3 0 t M ; ; . 6 6 6 18 9 9 9. 13 a 9 2 62 Do đó b . 2a 10b c 9 9 16 c 9 Câu 55.. (THPT Lê Quý Dôn Dà Nẵng 2019) Trong không gian. Oxyz , cho 3 điểm. A(8;1;1) , B (2;1;3) và C (6; 4; 0) . Một điểm M di động trong không gian sao cho MA.MC MA.MB 34 . Cho biết MA MB đạt giá trị lớn nhất khi điểm M trùng với điểm. M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) . Tính tích số x0 y0 z0 . A. 16.. B. 18.. C. 14. Lời giải. D. 12.. Gọi M (a; b; c) .. Ta có MA.MC MA.MB 34 MA MC MB 34 MA.BC 34. . . Mặt khác MA ( 8 a;1 b;1 c ) , BC (4;3; 3). Suy ra 4(8 a) 3(1 b) 3(1 c) 34 4a 3b 3c 66 0 . Vậy M ( P) có phương trình 4 x 3 y 3z 66 0 . Ký hiệu f ( M ) f ( x; y; z ) 4 x 3 y 3 z 66 , với M ( x; y; z ) Ta có f ( A). f ( B ) (4(8) 3.1 3.1 66)(( 4.2 3.1 3.3 66) ( 34).( 68) 2312 0 Suy ra điểm A(8;1;1) và điểm B (2;1;3) nằm về cùng 1 phía so với mặt phẳng ( P) . Khi đó MA MB AB (tính chất 3 cạnh của tam giác) suy ra MA MB đạt giá trị lớn nhất khi. M , A, B thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn thẳng AB hay M là giao điểm của đường thẳng AB với ( P) . Đường thẳng AB có véc tơ chỉ phương AB (10; 0; 2) và qua điểm B (2;1;3) nên có phương trình. x 2 5t . y 1 z 3 t . Suy ra 4(2 5t ) 3.1 3(3 t ) 66 0 17t 68 t 4 . Vậy M (18;1; 1) hay x0 y0 z0 18.. Facebook Nguyễn Vương 43.
<span class='text_page_counter'>(612)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 56. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A 2;1; 3, B 1; 1;2,. . . C 3; 6; 0, D 2; 2; 1 . Điểm M x ; y; z thuộc mặt phẳng P : x y z 2 0 sao cho S MA2 MB 2 MC 2 MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức. P x 2 y2 z 2 . A. P 6 .. B. P 2 .. C. P 0 . Lời giải. Với mọi điểm I ta có. 2 S 2NA2 NB 2 NC 2 2 NI IA NI IB. . . NI IC. 2. D. P 2 .. . 2. 4NI 2 2NI 2IA IB IC 2IA2 IB 2 IC 2. . . Chọn điểm I sao cho 2IA IB IC 0 2IA IB IC 0 4IA AB AC 0 Suy ra tọa độ điểm I là I 0;1;2 . Khi đó S 4NI 2 2IA2 IB 2 IC 2 , do đó S nhỏ nhất khi N là hình chiếu của I lên mặt phẳng P . x 0 t Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng P là y 1 t z 2 t . Tọa độ điểm N t;1 t;2 t P t 1 t 2 t 2 0 t 1 N 1;2;1 . Câu 57.. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz cho A 4; 2;6 , B 2; 4;2 , M : x 2 y 3z 7 0 sao cho MA.MB nhỏ nhất. Tọa độ của M bằng 29 58 5 A. ; ; . 13 13 13 . B. 4;3;1 .. C. 1;3; 4 .. 37 56 68 D. ; ; . 3 3 3 . Lời giải. Gọi I là trung điểm AB I 3;1; 4 . Gọi H là hình chiếu của I xuống mặt phẳng . Ta có MA.MB MI IA . MI IB MI 2 MI . IA IB IA2 MI 2 IA2 . Do IA không đổi nên MA.MB nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất MI IH M H .. . . . . . Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(613)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Gọi là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng. .. Khi đó nhận. x 3 t n 1; 2; 3 làm vectơ chỉ phương. Do đó có phương trình y 1 2t . z 4 3t . H H 3 t;1 2t ;4 3t . H 3 t 2 1 2t 3 4 3t 7 0 t 1 H 4;3;1 . Vậy M 4;3;1 . Câu 58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai điểm A(1;0;2), B(3;1; 1). và mặt phẳng ( P) : x y z 1 0. Gọi M (a; b; c) ( P) sao cho 3MA 2MB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính S 9a 3b 6c. A. 4.. B. 3.. C. 2.. D. 1.. Lời giải. Gọi I (m; n; p) là điểm thỏa mãn: 3IA 2IB 0. Ta có IA (1 m; n;2 p); IB (3 m;1 n; 1 p).. 3(1 m) 2(3 m) 0 m 3 3IA 2IB 0 3(n) 2(1 n) 0 n 2 I (3; 2;8). 3(2 p) 2(1 p) 0 p 8 Ta có 3MA 2MB 3( MI IA) 2( MI IB) MI MI . Khi đó, 3MA 2MB đạt giá trị nhỏ nhất, M ( P) MI nhỏ nhất, M ( P) M là hình chiếu vuông góc của I trên ( P).. Gọi là đường thẳng qua I và vuông góc với ( P). Khi đó nhận vectơ pháp tuyến của ( P) là. x 3 t n (1;1;1) làm vecto chỉ phương : y 2 t . z 8 t 2 t 3 11 a x 3 t 3 x 11 y 2 t 8 3 b S 9a 3b 6c 3. Tọa độ M là nghiệm của hệ 3 z 8 t y 8 22 x y z 1 0 3 c 22 3 z 3 Câu 59. (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 4;5 , B 3; 4;0 , C 2; 1; 0 và mặt phẳng : 3 x 3 y 2 z 12 0. Gọi M a; b; c thuộc. . sao cho MA2 MB 2 3MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S a b c.. A. 3 .. B. 2 .. C. 2 . Lời giải. D. 1 .. Chọn A Facebook Nguyễn Vương 45.
<span class='text_page_counter'>(614)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Gọi điểm I x; y; z thỏa mãn IA IB 3IC 0. IA 1 x; 4 y;5 z IA 1 x;4 y;5 z Mà IB 3 x; 4 y; z IB 3 x;4 y; z IC 2 x; 1 y; z 3IC 6 3x; 3 3 y; 3z IA IB 3IC 10 5 x;5 5 y;5 5 z x 2 Do đó: IA IB 3IC 0 y 1 I 2;1;1 . z 1 2 Mặt khác: MA2 MB 2 3MC 2 MI IA MI IB. . . . 2. 3 MI IC. . . 2. 2 2 2 5MI 2 2.MI . IA IB 3IC IA IB 3IC 0 . Vì I , A, B, C cố định nên IA2 IB 2 3IC 2 không đổi Do đó: MA2 MB 2 3MC 2 nhỏ nhất MI 2 nhỏ nhất MI nhỏ nhất M là hình chiếu của I trên mặt phẳng . Phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng là:. x 2 y 1 z 1 . 3 3 2 Gọi M d . Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: 7 x 2 3 x 6 3 y 3 x 2 y 1 z 1 1 7 1 y M ; ; 0 . 3 2 2 x 4 3 z 3 3 2 2 2 3 x 3 y 2 z 12 0 3 x 3 y 2 z 12 0 z 0 7 1 Vậy a , b , c 0 S a b c 3. 2 2. Câu 60.. (Dề. Thi. Công. Bằng. KHTN. 2019). Trong. không. gian. Oxyz cho. các. điểm. A(1; 2;0), B(1; 1;3), C (1; 1; 1) và mặt phẳng ( P) : 3x 3 y 2 z 15 0 . Xét M (a; b; c) thuộc mặt phẳng ( P) sao cho 2MA2 MB 2 MC 2 nhỏ nhất. Giá trị của a b c bằng C. 2 . D. 1 . Lời giải Gọi I là điểm thỏa mãn: 2 IA IC IB 0 2(OA OI ) (OC OI ) (OB OI ) 0 2OA OC OB OI I 1; 2; 2 2 2 2 2 2 Ta có 2 MA2 2 MA 2 MI IA 2 MI 2 IA 4 MI .IA 2 2 2 2 MB 2 MB MI IB MI IB 2 MI .IB 2 2 2 2 MC 2 MC MI IC MI IC 2 MI .IC. A. 3 .. B. 7 .. . . . . Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(615)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Suy ra 2 MA MB MC 2 MI 2 IA IC IB 2 MI 2 IA IC IB 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. . . Suy ra 2MA2 MB 2 MC 2 2MI 2 2 IA2 IC 2 IB 2 . Do I cố định nên 2IA2 IC 2 IB 2 không đổi. Vậy 2MA2 MB 2 MC 2 nhỏ nhất MI nhỏ nhất MI nhỏ nhất M là hình chiếu của I trên (P). x 1 3t Đường thẳng qua I 1; 2; 2 và vuông góc với P là: y 2 3t z 2 2t x 1 3t x 4 y 2 3t y 1 Suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của hệ M 4; 1; 0 z 2 2 t z 0 3 x 3 y 2 z 15 0 t 1 Suy ra a b c 3 Câu 61.. (Trần Phú - Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;1 , B 5; 0; 1 , C 3; 1; 2 và mặt phẳng Q : 3 x y z 3 0 . Gọi M a; b; c là điểm thuộc Q thỏa mãn. MA2 MB 2 2MC 2 nhỏ nhất. Tính tổng a b 5c . A. 11 . B. 9 . C. 15 . D. 14 . Lời giải Gọi E là điểm thỏa mãn EA EB 2 EC 0 E 3; 0;1 . 2 2 2 Ta có: S MA2 MB 2 2MC 2 MA MB 2MC 2 2 2 ME EA ME EB 2 ME EC 4ME 2 EA2 EB 2 2 EC 2 .. . . . . . Vì EA2 EB 2 2 EC 2 không đổi nên S nhỏ nhất khi và chỉ khi ME nhỏ nhất. M là hình chiếu vuông góc của E lên Q . x 3 3t Phương trình đường thẳng ME : y t . z 1 t . x 3 3t x 0 y t y 1 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: . z 1 t z 2 3 x y z 3 0 t 1 M 0; 1; 2 a 0 , b 1 , c 2 . a b 5c 0 1 5.2 9 .. Câu 62.. (Lê Quý Đôn - Quảng Trị - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm. A 1;1;1 , B 0;1; 2 , C 2;1;4 và mặt phẳng P : x y z 2 0 . Tìm điểm N P sao cho S 2 NA2 NB 2 NC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. 4 4 A. N ; 2; . B. N 2;0;1 . 3 3. 1 5 3 C. N ; ; . 2 4 4 Lời giải. Với mọi điểm I ta có. 2 S 2 NA2 NB 2 NC 2 2 NI IA NI IB. . . 2. . NI IC . D. N 1; 2;1 .. 2. Facebook Nguyễn Vương 47.
<span class='text_page_counter'>(616)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 4 NI 2 2 NI 2 IA IB IC 2 IA2 IB 2 IC 2 Chọn điểm I sao cho 2 IA IB IC 0 2 IA IB IC 0 4 IA AB AC 0 Suy ra tọa độ điểm I là: I 0;1; 2 .. . . Khi đó S 4 NI 2 2 IA 2 IB 2 IC 2 , do đó S nhỏ nhất khi N là hình chiếu của I lên mặt phẳng. P . x 0 t Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng P là: y 1 t z 2 t Tọa độ điểm N t;1 t; 2 t P t 1 t 2 t 2 0 t 1 N 1; 2;1 . Câu 63.. (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2 S : x 1 y 2 z 1 9 và hai điểm A 4;3;1 , B 3;1;3 ; M là điểm thay đổi trên S . Gọi m, n là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2MA2 MB 2 . Xác định m n.. A. 64 .. B. 68 .. C. 60 . Lời giải. D. 48 .. Xét điểm I sao cho: 2 IA IB 0. Giả sử I x; y; z , ta có: IA 4 x;3 y;1 z , IB 3 x;1 y;3 z . 2 4 x 3 x Do đó: 2 IA IB 0 2 3 y 1 y I 5;5; 1 . 2 1 z 3 z 2 2 Do đó: P 2 MA2 MB 2 2 MI IA MI IB 2 2 2 2 2 MI 2 IA 4 MI .IA MI IB 2 MI .IB. . . . . . 2 2 2 MI 2 IA IB 2 MI 2 IA IB MI 2 2 IA2 IB 2 2 MI 2 IA IB. . . . . MI 2 2 IA2 IB 2 .. Do I cố định nên IA2 , IB 2 không đổi. Vậy P lớn nhất (nhỏ nhất) MI 2 lớn nhất (nhỏ nhất).. MI lớn nhất (nhỏ nhất) M là giao điểm của đường thẳng IK (với K 1;2; 1 là tâm của mặt cầu (S)) với mặt cầu (S).. Ta có: MI đi qua I 5;5; 1 và có vectơ chỉ phương là KI 4;3; 0 .. x 1 4t Phương trình của MI là: y 2 3t z 1. Tọa độ điểm M cần tìm ứng với giá trị t là nghiệm của phương trình: 3 t 5 2 2 2 2 1 4t 1 2 3t 2 1 1 9 25t 9 t 3 . 5 Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(617)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 3 17 19 Với t M 1 ; ; 1 M 1 I 2 (min). 5 5 5 . m Pmax 48 3 7 1 m n 60. Với t M 1 ; ; 1 M 2 I 8 (max). Vậy 5 5 5 n Pmin 12 Câu 64.. (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian với hệ tọa độ 2. Oxyz. 2. cho ba điểm 2. A 8;5; 11 , B 5;3; 4 , C 1; 2; 6 và mặt cầu S : x 2 y 4 z 1 9 . Gọi điểm M a; b; c là điểm trên S sao cho MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Hãy tìm a b . A. 6 .. B. 2 .. . C. 4 . Lời giải. D. 9.. Gọi N là điểm thỏa mãn NA NB NC 0 , suy ra N 2;0;1 . Khi đó: MA MB MC MN NA MN NB MN NC NA NB NC MN MN . Suy ra MA MB MC nhỏ nhất khi MN nhỏ nhất. Mặt cầu S có tâm I 2; 4; 1 , suy ra:. . . . . . x 2 2t NI 4; 4; 2 2; 2; 1 . Phương trình NI y 4 2t . Thay phương trình NI vào phương z 1 t . t 1 2 2 2 trình S ta được: 2t 2t t 9 t 2 1 . t 1 Suy ra NI cắt S tại hai điểm phân biệt N1 3;6; 2 , N 2 0;2;0 . Vì NN1 NN 2 nên MN nhỏ nhất khi và chỉ khi M N 2 . Vậy M 0; 2;0 là điểm cần tìm. Suy ra: a b 2.. Facebook Nguyễn Vương 49.
<span class='text_page_counter'>(618)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2. Điểm. 2. 2. S : x 2 y 1 z 3 9 và hai điểm A 1 ; 1 ; 3 , B 21 ; 9 ; 13 . M a ; b ; c thuộc mặt cầu S sao cho 3MA2 MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị. Câu 65. Cho mặt cầu. của biểu thức T a.b.c bằng A. 3 . B. 8 .. C. 6 . Lời giải. D. 18 .. Gọi điểm I thỏa mãn 3IA IB 0 I 6 ; 3 ; 1 . 2 2 Khi đó 3MA2 MB 2 3 MI IA MI IB 4MI 2 3IA2 IB 2 2MI . 3IA IB. . . . . . 4MI 2 3IA2 IB2 . Do 3IA2 IB2 không đổi vì ba điểm A; B; I cố định nên 3MA2 MB2 đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất. Khi đó M là giao điểm của đường thẳng IJ với mặt cầu S , ( J 2 ; 1 ; 3 là tâm của mặt cầu S ). x 2 2t M 1 4; 2 ; 1 Ta có phương trình đường thẳng IJ là y 1 t IJ S . M 0 ; 0 ; 5 2 z 3 2t . Kiểm tra IM 1 IM 2 3 9 nên M 1 4; 2;1 là điểm cần tìm. Vậy T a.b.c 8 . Câu 66. Trong không gian Oxyz 2. 2. cho đường thẳng d :. x 1 y 2 z 3 2 3 4. và mặt cầu. S :. 2. x 3 y 4 z 5 729 . Cho biết điểm A 2; 2; 7 , điểm B thuộc giao tuyến của mặt cầu S và mặt phẳng P : 2 x 3 y 4 z 107 0 . Khi điểm M di động trên đường thẳng d giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB bằng A. 5 30 .. B. 2 7 .. C. 5 29 . Lời giải. D.. 742 .. d A. I M K B. Mặt cầu S có tâm I 3; 4; 5 và bán kính R 27 . Đường thẳng d có 1 véc-tơ chỉ phương là u 2;3;4 d P . Gọi K là giao điểm của mặt phẳng P và đường thẳng d . Vì I d nên K là tâm của đường tròn giao tuyến và KB d . Ta có IA 1; 2; 2 IA 3 và IA.u 0 IA d . Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(619)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Ta tính được IK d I , P . 2. 3 3. 4 4 5 107 2. 2. 2. 5 29 và KB R 2 IK 2 2 .. 2 3 4 Do M di động trên đường thẳng d (trục của đường tròn giao tuyến) và B thuộc đường tròn giao tuyến nên biểu thức MA MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M AB d . MI IA 3 Khi đó, ta có và MI MK IK 5 29 . MK KB 2 Suy ra MI 3 29 , MK 2 29 . Ta có AM IA2 MI 2 3 30 BM . 2 AM 2 30 . 3. Vậy giá trị nhỏ nhất của MA MB là AM BM 3 30 2 30 5 30 . Cách 2:. Ta có S có tâm I 3; 4; 5 , bán kính R 27 . Dễ thấy d đi qua I 3; 4; 5 và vuông góc với P .. P. cắt S theo đường tròn có bán kính r 2 .. M d M 1 2t; 2 3t ;3 4t . 2 2 Ta có T MA MB MA MH r . 29t 87 29t 3 29 . Lại có MH d ( M ;( P)) 29. 2. Suy ra T 29t 2 116t 125 29 t 3 4 29. t 2. 2. . 9 29 29. t 3. 2. . 4 . 29. 3 2 5 Xét u t 2; , v 3 t; u v 5; . 29 29 29 Do đó T 29 u v 29 u v 5 50 .. . Câu 67.. . (THPT Chuyên Thái Bình - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. x 15 y 22 z 37 và mặt cầu 1 2 2 S : x 2 y 2 z 2 8 x 6 y 4 z 4 0 . Một đường thẳng thay đổi cắt mặt cầu S tại hai. P : x y z 1 0 ,. đường. thẳng. d :. điểm A, B sao cho AB 8 . Gọi A , B là hai điểm lần lượt thuộc mặt phẳng P sao cho AA ,. BB cùng song song với d . Giá trị lớn nhất của biểu thức AA BB là A.. 8 30 3 . 9. B.. 24 18 3 . 5. 12 9 3 . 5 Lời giải C.. D.. 16 60 3 . 9. Facebook Nguyễn Vương 51.
<span class='text_page_counter'>(620)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Mặt cầu S có tâm I 4;3; 2 và bán kính R 5 . Gọi H là trung điểm của AB thì IH AB và IH 3 nên H thuộc mặt cầu S tâm I bán kính R 3 . Gọi M là trung điểm của AB thì AA BB 2 HM , M nằm trên mặt phẳng P . Mặt khác ta có d I ; P . 4 5 . Gọi R nên P cắt mặt cầu S và sin d ; P sin 3 3 3. K là hình chiếu của H lên P thì HK HM .sin . Vậy để AA BB lớn nhất thì HK lớn nhất HK đi qua I nên HK max R d I ; P 3 . 4 43 3 . 3 3. 4 3 3 3 3 24 18 3 Vậy AA BB lớn nhất bằng 2 . . 5 3 5 Câu 68.. (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 3;1;1 ,. B 5;1;1 và hai mặt phẳng điểm nằm trên hai mặt. T a 2 b2 c 2 . A. 5 .. P : x 2 y z 4 0 , Q : x y z 1 0 . Gọi M a ; b ; c là phẳng P và Q sao cho MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính. B. 29 .. C. 13 .. D. 3 .. Lời giải Chọn D Từ giả thiết ta có M thuộc giao tuyến d của hai mặt phẳng P và Q . Mặt phẳng P có một vectơ pháp tuyến là n P 1; 2;1 . Mặt phẳng Q có một vectơ pháp tuyến là n Q 1;1;1 . Khi đó đường thẳng d đi qua N 1;1;1 và có một vectơ chỉ phương là Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(621)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 1 t u d n P , nQ 1; 2;3 nên có phương trình tham số là d : y 1 2t suy ra z 1 3t . M 1 t ;1 2t ;1 3t . MA MB . t 4. 2. 4t 2 9t 2 . t 4. 2. 4t 2 9t 2 14t 2 8t 16 14t 2 8t 16. Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 8 4 8 f t 14t 2 8t 16 14t 2 8t 16 14 t 2 t t 2 t 7 7 7 7 2 2 2 2 2 2 2 2 14 t t 7 . 7 7 7 . 2 2 2 2 Đặt u t ; , v t; . 7 7 7 7 2 2 8 7 4 4 Khi đó f t 14 u v 14 u v . Suy ra f t 14. . 49 7 7 . 2 2 t 7 7 0t 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ u và v cùng hướng hay 2 2 t 7 7 Do đó M 1;1;1 . Vậy T a 2 b2 c 2 3 . Câu 69.. Dạng 2.3. Cực trị liên quan đến chu vi, diện tích, bán kính, thể tích (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật. ABCD. ABC D có A trùng với gốc tọa độ O , các đỉnh B(a;0;0) , D(0; a;0) , A(0;0; b) với a, b 0 và a b 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Thể tích của khối tứ diện BDAM có giá trị lớn nhất bằng 64 A. . 27. B.. 32 . 27. 8 . 27 Lời giải. C.. D.. 4 . 27. Chọn C z. A'. D '. B' C '. M y. A D x. B. C. Facebook Nguyễn Vương 53.
<span class='text_page_counter'>(622)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. b Tọa độ điểm C ( a; a; 0), C '( a; a; b), M (a; a; ) . 2 b BA ' (-a;0; b), BD (-a; a;0), BM (0; a; ) . 2 2 BA ', BD (ab; ab; b2 ) nên VBDA ' M 1 BA ', BD .BM a b . 6 4 3. 64 32 8 a a 2b Ta có: a.a.(2b) . a 2b VBDA ' M 3 27 27 27 . Câu 70.. (THPT Nguyễn Huệ - Huế - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x 1 2t d : y 1 t và hai điểm A 1;5;0 , B 3;3;6 . Gọi M a; b; c là điểm trên d sao cho chu z 2t . vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P a b c . A. P 1 . B. P 3 . C. P 3 . Lời giải M d M 1 2t ;1 t ; 2t .. D. P 1 .. Chu vi tam giác MAB là: AM BM AB . Vì AB const nên chu vi nhỏ nhất khi AM BM nhỏ nhất. AM 2t 2; t 4; 2t , BM 2t 4; t 2; 2t 6 .. . 2. . 2. 2. . . 2. AM BM 9t 2 20 9t 2 36t 56 3t 2 5 6 3t 2 5 Đặt u 3t ; 2 5 , v 6 3t ; 2 5 u v 6; 4 5 . Áp dụng bất đẳng thức vectơ: u v u v . Dấu bằng xảy ra khi u , v cùng hướng.. . . . . . Ta có: AM BM u v u v 62 4 5. . . . 2. 2 29 . Do đó AM BM nhỏ nhất khi. 3t k 6 3t t 1 tồn tại số k dương sao cho u kv . Khi đó M 1;0; 2 . k 1 2 5 2 5k Vậy P a b c 1 0 2 3 .. Câu 71.. (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A 1;1;6 , B 3; 2; 4 , C 1; 2; 1 , D 2; 2;0 . Điểm M a; b; c thuộc đường thẳng. CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. Tính a b c . A. 1. B. 2 . C. 3 . Lời giải C. D. 0 .. D A. H B. Gọi CABM là chu vi của tam giác ABM . Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(623)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. AB 2; 3; 10 AB 113 AB 2; 3; 10 , CD 1; 4;1 AB.CD 2 12 10 0 AB CD .. Gọi P là mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với đường thẳng CD .. H là giao điểm của P và đường thẳng CD .. Phương trình mặt phẳng P qua A 1;1;6 có véc tơ pháp tuyến CD 1; 4;1 là:. x 4 y z 1 0 . x 1 t Phương trình đường thẳng CD : y 2 4t . z 1 t H CD H 1 t ; 2 4t ; 1 t . H P 1 t 4 2 4t 1 t 1 0 t . 1 1 3 H ; 0; . 2 2 2. AM AH Với M CD , ta có AM BM AH BH . BM BH C ABM AB AM BM 113 AH BH , M CD .. 1 3 Suy ra minC ABM 113 AH BH , đạt được M H M ; 0; . 2 2 Vậy a b c 1. Câu 72. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có A 1;1;6 , B 3; 2; 4 ,. C 1; 2; 1 , D 2; 2;0 . Điểm M a; b; c thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. Tính a b c. A. 1. B. 2 .. C. 3 .. D. 0 .. Lời giải Ta có CABM AM BM AB mà AB không đổi suy ra CABM nhỏ nhất khi AM BM nhỏ nhất.. . . Ta có AB 2; 3; 10 , CD 1; 4;1 .. . Xét AB.CD 0 AB CD . Gọi qua AB và vuông góc với CD .. . . đi qua A 1;1;6 và nhận CD 1; 4;1 làm véc tơ pháp tuyến.. Suy ra có phương trình là: x 4 y z 1 0. Vì điểm M thuộc CD sao cho AM BM nhỏ nhất nên M CD .. x 1 t : x 4 y z 1 0 , CD có phương trình: y 2 4t z 1 t 3 1 3 1 M CD M ;0; a b c 0 1. 2 2 2 2. Câu 73.. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng. P :x y z 2 0. và hai điểm A 3; 4;1 ; B 7; 4; 3 . Điểm M a; b; c a 2 thuộc. Facebook Nguyễn Vương 55.
<span class='text_page_counter'>(624)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. P. sao cho tam giác ABM vuông tại M và có diện tích nhỏ nhất. Khi đó giá trị biểu thức. T a b c bằng: A. T 6 .. B. T 8 .. C. T 4 . Lời giải. D. T 0 .. Chọn D 1 AB.MH với H là hình chiếu vuông góc của M lên AB. 2 Do AB không đổi nên S ABM nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất. AB 4; 8; 4 AB.nP 0 AB //( P ) nP 1;1; 1. Ta có: S ABM . MH nhỏ nhất khi M nằm trên giao tuyến của mặt phẳng Q và P ;. với Q là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp P . AB 4; 8; 4 nQ 3;0;3 phương trình mp Q là x z 4 0 . nP 1;1; 1 M nằm trên giao tuyến của mặt phẳng Q và P nên tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình. x t x z 4 0 y 2 2t M t; 2 2t; 4 t với t 2 . x y z 2 0 z 4 t Ta có AM t 3; 2 2t;3 t ; BM t 7;6 2t ;7 t . Tam giác ABM vuông tại M nên AM .BM 0 t 3 t 7 2 2t 6 2t 3 t 7 t 0 t 3 n t 3 t 7 2 t 3 t 1 0 t 3 3t 5 0 5 . t l 3 + t 3 M 3; 4;1 a b c 3 4 1 0 . Câu 74.. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu. x 1 2t ( S ) : x 3 y 1 z 4 và đường thẳng d : y 1 t , (t ) . Mặt phẳng chứa d và cắt z t 2. 2. 2. (S ) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là A. y z 1 0 . B. x 3 y 5 z 2 0 . C. x 2 y 3 0 .. D. 3 x 2 y 4 z 8 0 . Lời giải. Mặt cầu S có tâm I 3;1;0 và bán kính R 2 . Gọi H là hình chiếu của I trên d . H d H 1 2t; 1 t ; t ; IH 2 2t ; 2 t ; t . Véctơ chỉ phương của d là u d 2;1; 1 . IH .u d 0 2 2 2t 1 2 t t 0 t 1 . Suy ra H 3;0; 1 IH 2 . Trang 56 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(625)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Gọi P là mặt phẳng chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu S theo đường tròn có bán kính r . 2. 2. Ta có r R 2 d I , P 4 d I , P . 2. Mà d I , P IH 2 nên r 4 d I , P 4 IH 2 4 . 2. 2. 2.. Suy ra min r 2 , đạt được khi IH P .. Khi đó mặt phẳng P đi qua H 3;0; 1 nhận IH 0; 1; 1 làm một véctơ pháp tuyến.. Phương trình mặt phẳng P là: 0 x 3 1 y 0 1 z 1 0 y z 1 0 . Câu 75. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 2;6), B(0;1;0) và mặt cầu ( S ) : ( x 1) 2 ( y 2)2 ( z 3) 2 25 . Mặt phẳng ( P) : ax by cz 2 0 đi qua A, B và cắt theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T a b c . A. T 3 B. T 5 C. T 2 Lời giải. D. T 4. I. H. B K. A. Mặt cầu S có tâm I 1; 2;3 , bán kính R 5. Mặt phẳng P có vec-tơ pháp tuyến nP a; b; c Theo giả thiết B 0;1;0 P : b 2 0 b 2. Ta có: AB 3;3; 6 cùng phương với u 1; 1; 2 . x t Phương trình đường thẳng AB : y 1 t z 2t . Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến. K là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng AB,. H là hình chiếu vuông góc của I lên P Ta có: K AB K t ;1 t ; 2t IK t 1; t 1; 2t 3 IK AB AB.IK 0 t 1 IK 0; 2; 1 . r R 2 d 2 I , P 25 d 2 I , P 25 IH 2 . Ta có: rmin IH max .. Mà IH IK IH max IK H K P IK nP và IK cùng phương. a 0 a 0 a 0 nP k .IK b 2k k 1 t a b c 0 2 1 3. c 1 c k c 1 . Facebook Nguyễn Vương 57.
<span class='text_page_counter'>(626)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 76. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu. 2. 2. S : x 1 y 2 z 3. phẳng đi qua hai điểm A 0; 0; 4 , B 2; 0; 0 và cắt mặt cầu. S. 2. 48 Gọi là mặt. theo giao tuyến là đường tròn. C . Khối nón N có đỉnh là tâm của S , đường tròn đáy là C có thể tích lớn nhất bằng A.. 128 3. 88 3 Lời giải. B. 39. C.. C.. 215 3. Chọn B Ta có tâm cầu I 1; 2;3 ; R 4 3 Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm cầu I lên mặt phẳng Vậy chiều cao của khối nón N là h d I , P IH IK , trong đó K là hình chiếu vuông góc của I lên AB Gọi Q là mặt phẳng đi qua I và vuông góc với. ta có Q : x 2z 7 0. x t Phương trình AB : y 0 thế vào Q ta được t 8 4t 7 0 t 3 z 4 2t . Tọa độ K 3;0; 2 IK 3 Bán kính của khối nón r 48 h 2. 1 3. 1 3. . . 1 3. . . Vậy thể tích của khối nón V r 2 .h 48 h 2 .h 48 h 2 .h. h 0;3. Khảo sát V ta tìm được Vmax 39 Câu 77.. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABCD có A trùng với gốc tọa độ O , các đỉnh B(a;0;0) , D(0; a;0) , A(0;0; b) với. a, b 0 và a b 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Thể tích của khối tứ diện BDAM có giá trị lớn nhất bằng A.. 64 . 27. B.. 32 . 27. 8 . 27 Lời giải. C.. D.. 4 . 27. Chọn C. Trang 58 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(627)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. z. A'. D'. B'. C '. M y. A D x. C. B. b Tọa độ điểm C ( a; a; 0), C '( a; a; b), M ( a; a; ) . 2 b BA ' (-a;0; b), BD (-a; a;0), BM (0; a; ) . 2 2 BA ', BD (ab; ab; b2 ) nên VBDA ' M 1 BA ', BD .BM a b . 6 4 3. 32 8 a a 2b 64 Ta có: a.a.(2b) . a 2b VBDA ' M 3 27 27 27. x 4 3t Câu 78. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 3 4t . Gọi A là hình chiếu vuông góc của O z 0 trên d . Điểm M di động trên tia Oz , điểm N di động trên đường thẳng d sao cho MN OM AN . Gọi I là trung điểm đoạn thẳng OA . Trong trường hợp diện tích tam giác. IMN đạt giá trị nhỏ nhất, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng M , d có tọa độ là. . . A. 4;3;5 2 .. . . B. 4;3;10 2 .. . . C. 4;3;5 10 .. . . D. 4;3;10 10 .. Lời giải Chọn A. Gọi A 4 3t ;3 4 t;0 là hình chiếu vuông góc của O trên d Facebook Nguyễn Vương 59.
<span class='text_page_counter'>(628)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. OA d OA.ud 0 t 0 A 4;3;0 .. Trên Oz lấy điểm P sao cho OP AN MP OM OP MN và AIN OIP IN IP Ta có IMP IMN , kẻ IH MN IH IO SIMN . 1 IH .MN SIMN min MN min 2. 2. MO AN Ta có MN MO OA AN 2 25 MN 5 2 2 2. 2. 2. 2. Vậy MN min 5 2 OM AN . 5 2 5 2 M 0;0; 2 2 . 15 Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng M , d là MA, ud 10 2; ; 25 2 Chọn n 4;3;5 2. . . 1 3 Câu 79. Trong không gian Oxyz , cho điểm M ; ; 0 và mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 8 . Đường thẳng 2 2 . d thay đổi, đi qua điểm M , cắt mặt cầu S tại hai điểm phân biệt A, B . Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OAB . A. S 7 .. B. S 4 .. C. S 2 7 . Lời giải. D. S 2 2 .. Chọn A Mặt cầu S có tâm O 0;0;0 , bán kính R 2 2 . Ta có OM 1 M nằm trong mặt cầu. Gọi I là trung điểm AB OI AB . Đặt x OI OM 0 x 1. 1 Khi đó S OAB OI . AB OI R 2 OI 2 x 8 x 2 f x . 2. f x . 2 4 x2 8 x2. 0 x 1 , ta có bảng biến thiên. Vậy max SOAB 7 khi OI 1 hay I M . Câu 80. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;4;3 và mặt phẳng P : 2 y z 0 . Biết điểm B thuộc. P , điểm C. thuộc Oxy sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. Hỏi giá trị nhỏ nhất đó là. Trang 60 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(629)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 6 5 .. B. 2 5 .. C. 4 5 .. D.. 5.. Lời giải Chọn C Gọi H là hình chiếu vuông góc của A 1; 4;3 lên mặt phẳng Oxy H 1;4;0 Gọi A1 là điểm đôi xứng của A qua mặt phẳng Oxy , ta tìm được A1 1; 4; 3 Gọi K là hình chiếu vuông góc của A 1; 4;3 lên mặt phẳng P . x 1 Ta có phương trình đường thẳng AK : y 4 2t , Gọi K 1; 4 2t ;3 t AK z 3 t Mặt khác, K P 5t 5 0 t 1 K 1; 2; 4 Gọi A2 là điểm đôi xứng của A qua mặt phẳng P thì K là trung điểm của AA2 .. x A 2 xK x A 1 2 Ta có y A2 2 yK y A 0 A2 1;0;5 z A2 zxK z A 5 Ta có chu vi tam giác ABC là PABC AC AB BC A1C A2 B BC A1 A2 . Dấu bằng xảy ra khi A1 , A2 , B, C thẳng hàng Suy ra PABC min A1 A2 4 5 .. Facebook Nguyễn Vương 61.
<span class='text_page_counter'>(630)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chuyên đề 32. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ GIỎI MỨC ĐỘ 8-9-10 ĐIỂM Phương pháp giải một số bài toán. 1. Gắn tọa độ đối với hình chóp 1.1. Đáy là tam giác đều. Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ trục như hình vẽ, AB a 1 . Tọa độ các điểm là: 3 1 O(0;0;0), A 0; ;0 , B ;0;0 , 2 2 3 1 C ;0;0 , S 0; ; OH . 2 2 SA . Đáy là tam giác vuông tại B. Chọn hệ trục như hình vẽ, a 1 . Tọa độ các điểm: B O 0;0;0 , A 0; AB;0 , C BC,0;0 ,. S 0; AB; BH . SA . Đáy là hình vuông, hình chữ nhật. Chọn hệ trục như hình vẽ, a 1. Tọa độ A O 0;0;0 , B 0; AB;0 ,. C AD; AB;0 , D AD;0;0 , S 0;0; SA .. Hình chóp có cạnh bên (SA) vuông góc với mặt đáy: Đáy là tam giác cân tại A Đáy là tam giác cân tại B. Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ Gọi O là trung điểm AC. Chọn hệ trục như hình vẽ, a 1 . trục như hình vẽ, a 1 . Tọa độ các điểm là: Tọa độ các điểm: O 0;0;0 , O(0;0;0), A 0; OA;0 , B OB;0;0 , A OA;0;0 , B 0, OB;0 , C OC ;0; 0 , S 0; OA; OH . SA . Đáy là tam giác vuông tại A. Chọn hệ trục như hình vẽ, a 1 . Tọa độ các điểm: A O 0;0;0 , B 0; OB;0 , C AC;0;0 ,. S 0;0; SA .. Đáy là hình thoi. Chọn hệ trục như hình vẽ, a 1. Tọa độ O 0;0;0 , A OA;0;0 ,. B 0; OB;0 , C OC ;0;0 D 0; OD;0 , S OA;0; OH . SA . C OC;0;0 , S OA;0; OH . SA Đáy là tam giác thường. Dựng đường cao BO của ABC. Chọn hệ trục như hình vẽ, a 1. Tọa độ các điểm: O 0;0;0 , A OA;0;0 , B 0, OB;0 ,. C OC;0;0 , S OA;0; OH . SA Đáy là hình thang vuông. Chọn hệ trục như hình vẽ, a 1. Tọa độ A O 0;0;0 ,. B 0; AB;0 , C AH ; AB;0 , D AD;0;0 , S 0;0; SA .. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(631)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 1.2. Đáy là tam giác, mặt bên là tam giác thường. Vẽ đường cao CO trong ABC . Chọn hệ trục như hình, a = 1. Ta có: O 0;0;0 , A 0;OA;0 , B 0; OB;0 , C OC;0;0 , S 0; OH ; OK SH . Hình chóp có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy Đáy là tam giác cân tại C (hoặc Đáy là hình vuông-hình chữ nhật đều), mặt bên là tam giác cân tại S (hoặc đều). Gọi O là trung điểm BC, chọn hệ trục như hình, a = 1. Ta có: O 0;0;0 , A 0;OA;0 ,. Dựng hệ trục như hình, chọn a = 1. Ta có: A O 0;0;0 , B AB;0;0. C AB; AD;0 , D 0; AD;0 , S AH;0; AK SH . B 0; OB;0 , C OC;0;0 , S 0;0; SO. 1.3. Hình chóp tam giác đều Gọi O là trung điểm một cạnh đáy. Dựng hệ trục như hình vẽ và a = 1. Tọa độ điểm: AB 3 BC O 0;0;0 , A 0; ;0; 0 , ;0 , B 2 2. BC C ;0;0 , 2 AB 3 S 0; ; OK . 6 SH OH. Hình chóp đều Hình chóp tứ giác đều Chọn hệ trục như hình với a = 1. Tọa độ AB 2 AB 2 ;0;0, B 0; ;0 , điểm: O 0;0;0 , A 2 2 OB OA AB 2 C ;0;0 , 2 OA AB 2 D 0; ;0 S 0;0; SO . 2 OB . 2. Gắn tọa độ đối với hình lăng trụ 2.1. Hình lập phương, hình hộp chữ nhật Dựng hệ trục như hình vẽ với a = 1. Tọa độ điểm: A O 0;0;0 ,. B 0; AB;0 , C AD; AB;0 , D AD;0;0 ,. Lăng trụ đứng Lăng trụ đứng đáy là hình thoi Gọi O là tâm hình thoi đáy, ta dựng hệ trục như hình với O 0;0;0 , A OA;0;0 ,. A 0;0; AA ,. B 0; OB;0 , C OC;0;0 , D 0; OD;0 , A OA;0; AA ,. B 0; AB; AA , C AD; AB; AA , D AD;0; AA . Lăng trụ tam giác đều Gọi O là trung điểm một cạnh đáy, chọn hệ trục như hình vẽ với a = 1. Ta có: AB O 0;0;0 , A ;0;0 , 2 AB B ;0;0, C 0;OC;0 , 2 . B 0; OB; AA , C OC;0; CC , D 0; OD; DD Lăng trụ đứng có đáy tam giác thường Vẽ đường cao CO trong tam giác ABC và chọn hệ trục như hình vẽ với a = 1. Tọa độ điểm là: O 0;0;0 , A OA;0;0 ,. B OB;0;0 , C 0;OC;0 ,. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(632)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A OA;0; AA , B OB;0; BB , C 0;OC;CC . AB A OA;0; AA , B ;0; BB , C 0;OC;CC . 2 2.2. Lăng trụ nghiêng: Lăng trụ nghiêng có đáy là tam giác đều, hình chiếu Lăng trụ nghiêng có đáy là hình vuông hoặc hình của đỉnh trên mặt phẳng đối diện là trung điểm một chữ nhật, hình chiếu của một đỉnh là một điểm cạnh tam giác đáy thuộc cạnh đáy không chứa đỉnh đó. Dựng hệ trục như hình vẽ, ta dễ dàng xác định được Dựng hệ trục như hình vẽ, ta dễ dàng xác định được các các điểm O, A, B, C, D, A . điểm O, A, B, C, A. Tìm tọa độ các Tìm tọa độ các điểm còn lại thông qua hệ thức vectơ điểm còn lại thông qua hệ thức vectơ bằng nhau: AA BB CC DD . bằng nhau: AA BB CC . Dạng 1. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm GÓC Câu 1.. (Mã 103 2018) Cho hình lập phương ABCD. ABC D có tâm O . Gọi I là tâm của hình vuông ABC D và điểm M thuộc đoạn OI sao cho MO 2MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng MC D và MAB bằng. 7 85 17 13 6 85 6 13 B. C. D. 85 65 85 65 (Mã 102 2018) Cho hình lập phương ABCD. A B C D có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông 1 ABC D và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó 2 cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( MC D) và ( MAB ) bằng A.. Câu 2.. A. Câu 3.. 6 13 . 65. B.. 7 85 . 85. C.. 6 85 . 85. D.. 17 13 . 65. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD , có AB a , AD a 2, góc giữa AC và mặt phẳng ABCD bằng 30 . Gọi H là hình chiếu vuông. góc của A trên AB và K là hình chiếu vuông góc của A trên AD. Tính góc giữa hai mặt phẳng AHK và ABBA . A. 60 .. B. 45 .. C. 90 .. D. 30 .. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(633)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 4.. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SAB là tam giác đều và SAB vuông góc với ABCD . Tính cos với là góc tạp bởi SAC và SCD .. 3 6 2 5 . B. . C. . D. . 7 7 7 7 (Chuyên Sơn La 2019) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh. A. Câu 5.. a , tâm O . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC , biết MN . a 6 . Khi 2. đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD bằng 2 3 5 . B. . C. . D. 3 . 5 3 5 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng -2019) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh a. Góc. A. Câu 6.. giữa hai mặt phẳng A ' B ' CD và ACC ' A ' bằng Câu 7.. Câu 8.. A. 60. B. 30. C. 45. D. 75. (Sở Bắc Ninh -2019) Cho hình chóp O. ABC có ba cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA OB OC a . Gọi M là trung điểm cạnh AB . Góc tạo bởi hai vectơ BC và OM bằng A. 135 . B. 150 . C. 120 . D. 60 . (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng a 2 và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD . Nếu tan 2 thì góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC . Câu 9.. bằng A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 . (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có AB a , SA a 2 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD . Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:. A. arccos Câu 10.. 3 . 5. B. arccos. 5 . 5. C. arccos. 5 . 3. D. arccos. 15 . 5. (Chuyên Hà Tĩnh - 2018) Cho hình lăng trụ ABC. ABC có A. ABC là tứ diện đều cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA và BB . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng ABC và. CMN . 2 3 2 2 2 4 2 . B. . C. . D. . 5 4 5 13 (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2018 ) Xét tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông. A. Câu 11.. góc. Gọi , , lần lượt là góc giữa các đường thẳng OA , OB , OC với mặt phẳng ABC (hình vẽ).. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(634)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. C. O. B Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3 cot 2 . 3 cot 2 . 3 cot 2 là A. 48 . Câu 12.. B. 125 .. C. Số khác.. D. 48 3 .. (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên SA a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD . Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng AMC và SBC bằng. 5 2 5 3 2 3 . B. . C. . D. . 5 5 2 3 Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình thang vuông tại A và B , AB BC a, AD 2a . Biết. A. Câu 13.. SA ( ABCD), SA a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và CD . Tính sin góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ( SAC ) . 3 5 2 5 5 55 . . . . B. C. D. 10 5 5 10 Câu 14. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. A.. Tính tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng AMC và SBC bằng S. M. A. B. 3 . A. 2. D. C. 2 3 . B. 3. 5 . C. 5. 2 5 . D. 5. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(635)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 15.. 900 . Góc giữa đường Cho khối tứ diện ABCD có BC 3 , CD 4 , ABC ADC BCD thẳng AD và BC bằng 600 . Côsin góc giữa hai phẳng ABC và ACD bằng A.. Câu 16.. 43 . 86. B.. 4 43 . 43. C.. 2 43 . 43. 43 . 43. D.. Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a , SA ABCD và SA a . Gọi E và. F lần lượt là trung điểm của SB , SD . Côsin của góc hợp bới hai mặt phẳng. ABCD . AEF . và. là.. 3 3 1 . B. . C. 3 . D. . 3 2 2 Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a, gọi là góc giữa đường thẳng A ' B. A. Câu 17.. và mặt phẳng BB ' D ' D . Tính sin .. 3 3 1 . . C. . D. 2 4 2 Cho hình lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a , AC a 3 . Hình. A. Câu 18.. 3 . 5. B.. chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của BC , AH a 5 . Gọi là góc giữa hai đường thẳng AB và BC . Tính cos .. 1 7 3 3 7 3 . B. cos . C. cos . D. cos . 2 48 2 24 Câu 19. Cho hình hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình thoi, tam giác ABD đều. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và C ' D ' , biết rằng MN B ' D . Gọi là góc tạo bởi đường thẳng MN và mặt đáy ABCD , khi đó cos bằng: A. cos . 3 1 1 1 . B. cos . C. cos . D. cos . 2 2 3 10 Dạng 2. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm KHOẢNG CÁCH A. cos . Câu 20.. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABCD có các kích thước AB 4, AD 3, AA 5 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC ' và B ' C bằng A.. 3 . 2. B. 2 .. C.. 5 2 . 3. D.. 30 . 19. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(636)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 21.. (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết A 0;0;0 , D 2;0;0 , B 0; 4;0 , S 0;0; 4 . Gọi M là trung điểm. của SB . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng CDM . A. d B, CDM 2 .. B. d B , CDM 2 2 .. 1 . D. d B , CDM 2 . 2 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB AC a , AA h a, h 0 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và. C. d B, CDM Câu 22.. BC theo a , h . ah ah ah ah A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 2 2 2 a 5h 5a h 2a h a h2 Câu 23. (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Gọi I là trung điểm của AB , hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm của CI , góc giữa SA và mặt đáy bằng 450 (hình vẽ bên). Gọi G là trọng tâm tam giác SBC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CG bằng. a 21 a 14 a 77 a 21 B. C. D. 14 8 22 7 Câu 24. (Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng 2018) Cho hình lập phương ABCD. ABC D cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm DD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và AD . 4a a 2a 3a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 4 Câu 25. (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác ASB 1200 và nằm trong mặt phẳng vuông đều cạnh 2a 3 , mặt bên SAB là tam giác cân với . A.. góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SC và N là trung điểm của MC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , BN .. A.. 2 327a . 79. B.. 237a . 79. C.. 2 237a . 79. D.. 5 237a 316. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(637)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 26.. (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB 1cm , AC 3cm . Tam giác SAB , SAC lần lượt vuông tại B và C . Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC có thể tích bằng A.. Câu 27.. 3 cm . 2. B.. 5 cm . 4. 5 5 cm 3 . Tính khoảng cách từ C tới SAB . 6 C.. 3 cm . 4. D.. 5 cm . 2. (Chuyên Lam Sơn 2019) Một phần sân trường được định vị bởi các điểm A , B , C , D như hình vẽ.. Bước đầu chúng được lấy “ thăng bằng” để có cùng độ cao, biết ABCD là hình thang vuông ở A và B với độ dài AB 25m , AD 15m , BC 18m . Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở C nên người ta lấy độ cao ở các điểm B , C , D xuống thấp hơn so với độ cao ở A là 10cm , a cm , 6cm tương ứng. Giá trị của a là số nào sau đây? A. 15,7cm . Câu 28.. B. 17, 2cm .. C. 18,1cm .. D. 17,5cm .. (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho tứ diện OABC , có OA, OB, OC đôi một vuông góc và. OA 5, OB 2, OC 4 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của OB và OC . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Khoảng cách từ G đến mặt phẳng AMN là:. 1 1 20 20 B. C. . D. . . . 4 2 3 129 129 Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a , gọi M là trung điểm của AB , A ' CM cân tại A ' và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích khối lăng trụ bằng. A. Câu 29.. a3 3 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC ' 4 A. Câu 30.. a 57 . 19. (Sở Nam Định. B.. 2a 57 . 19. C.. 2a 39 . 13. D.. 2a 39 . 3. 2019) Cho hình chóp S . ABCD đáy là hình thang vuông tại A và D ,. SA ABCD . Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 45o , E là trung điểm của SD , AB 2a ,. AD DC a . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACE . 2a 4a 3a . B. . C. a . D. . 3 3 4 Dạng 3. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm THỂ TÍCH, BÁN KÍNH. A.. Câu 31.. (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 1; 2;1 và đi qua điểm. A 1;0; 1 . Xét các điểm B , C , D thuộc S sao cho AB, AC , AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(638)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 64 Câu 32.. 32 B. 3. 64 C. 3. D. 32. (Mã 104 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 1;0; 2 và đi qua điểm. A 0;1;1 . Xét các điểm B , C , D thuộc S sao cho AB , AC , AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng 4 8 A. B. 4 C. D. 8 3 3 Câu 33. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có A trùng với gốc tọa độ O , các đỉnh B(a;0;0) , D(0; a;0) , A(0;0; b) với. a, b 0 và a b 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Thể tích của khối tứ diện BDAM có giá trị lớn nhất bằng 64 32 8 4 A. . B. . C. . D. . 27 27 27 27 Câu 34. (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Cho hình lập phương ABCD. ABC D cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AB . Mặt phẳng MND ' chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm C gọi là H . Tính thể tích khối H . 55a 3 55a 3 181a 3 55a 3 . B. . C. . D. . 72 144 486 48 Câu 35. (Chuyên Thăng Long - Đà Lạt - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình hộp chữ nhật trùng với gốc tọa độ O các đỉnh ABCD. ABC D có A B m;0;0 , D 0; m;0 , A 0;0; n với m, n 0 và m n 4. Gọi M là trung điểm của cạnh CC .. A.. Khi đó thể tích tứ diện BDAM đạt giá trị lớn nhất bằng 9 64 75 A. . B. . C. . 4 27 32 Câu 36.. D.. 245 . 108. (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Cho hình lập phương ABCD. ABC D có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DD . Gọi thể tích khối tứ diện. a , với a, b * . Tính a b . b B. 25 . C. 13 .. MNPQ là phân số tối giản A. 9 . Câu 37.. Trong không gian. D. 11 .. Oxyz ,tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn. x y z 2. và. x 2 y z 2 là một khối đa diện có thể tích bằng 8 4 . D. . 3 3 (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D ' có AB 1; AD 2; AA 3 . Mặt phẳng ( P) đi qua C và cắt các tia AB; AD; AA lần lượt tại. A. 3 . Câu 38.. B. 2 .. C.. E; F ; G (khác A ) sao cho thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất. Tổng của AE AF AG bằng. A. 18 . B. 17 . C. 15 . D. 16 . Câu 39. (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi K là trung điểm AB , gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của K lên AD , AC . Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp K .CDMN . A.. a 3 . 4. B.. a 2 . 4. C.. 3a 3 . 8. D.. 3a 2 . 8. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(639)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 40.. (Chuyên Thái Bình -2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .CMN bằng. a 93 a 29 5a 3 a 37 . B. . C. . D. . 12 8 12 6 (Chuyên KHTN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 5;0;0 và. A. Câu 41.. B 3; 4;0 . Với C là điểm nằm trên trục Oz , gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Khi C di. động trên trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng. 5 3 5 . B. . C. . D. 3 . 4 2 2 (Chuyên Vinh - 2018) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A , B , C (không trùng O ) lần. A. Câu 42.. lượt thay đổi trên các trục Ox , Oy , Oz và luôn thỏa mãn điều kiện: tỉ số giữa diện tích của tam. 3 . Biết rằng mặt phẳng ABC luôn tiếp xúc với 2 một mặt cầu cố định, bán kính của mặt cầu đó bằng B. 2. C. 4. D. 1. A. 3. Câu 43. (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 giác ABC và thể tích khối tứ diện OABC bằng. x 3 y 1 z 2 x 1 y 1 z 1 x 4 y 4 z 1 , d2 : , d3 : . 1 2 2 1 2 2 2 1 2 Mặt cầu bán kính nhỏ nhất tâm I a; b; c , tiếp xúc với 3 đường thẳng d1 , d 2 , d 3 . Tính. đường thẳng. d1 :. S a 2b 3c . B. S 11 . C. S 12 . D. S 13 . A. S 10 . Câu 44. Cho hình chóp S . ABCD cs đáy là hình thang vuông tại A và B , AD 2 AB 2 BC 2a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA 2a . Gọi E là trung điểm cạnh AD . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .CDE .. A.. a 3 . 2. B.. a 11 . 2. C.. a 6 . 2. D.. a 3 . 4. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(640)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chuyên đề 32. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ GIỎI MỨC ĐỘ 8-9-10 ĐIỂM Phương pháp giải một số bài toán. 1. Gắn tọa độ đối với hình chóp 1.1. Đáy là tam giác đều. Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ trục như hình vẽ, AB a 1 . Tọa độ các điểm là: 3 1 O(0;0;0), A 0; ;0 , B ;0;0 , 2 2 3 1 C ;0;0 , S 0; ; OH . 2 2 SA . Đáy là tam giác vuông tại B. Chọn hệ trục như hình vẽ, a 1 . Tọa độ các điểm: B O 0;0;0 , A 0; AB;0 , C BC,0;0 ,. S 0; AB; BH . SA . Đáy là hình vuông, hình chữ nhật. Hình chóp có cạnh bên (SA) vuông góc với mặt đáy: Đáy là tam giác cân tại A Đáy là tam giác cân tại B. Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ trục như hình vẽ, a 1 . Tọa độ các điểm là: O(0;0;0), A 0; OA;0 , B OB;0;0 , C OC ;0; 0 , S 0; OA; OH . SA . Đáy là tam giác vuông tại A. Chọn hệ trục như hình vẽ, a 1 . Tọa độ các điểm: A O 0;0;0 , B 0; OB;0 , C AC;0;0 ,. S 0;0; SA .. Đáy là hình thoi. Gọi O là trung điểm AC. Chọn hệ trục như hình vẽ, a 1 . Tọa độ các điểm: O 0;0;0 , A OA;0;0 , B 0, OB;0 ,. C OC;0;0 , S OA;0; OH . SA Đáy là tam giác thường. Dựng đường cao BO của ABC. Chọn hệ trục như hình vẽ, a 1. Tọa độ các điểm: O 0;0;0 , A OA;0;0 , B 0, OB;0 ,. C OC;0;0 , S OA;0; OH . SA Đáy là hình thang vuông. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(641)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Chọn hệ trục như hình vẽ, a 1. Tọa độ O 0;0;0 , A OA;0;0 ,. B 0; OB;0 , C OC;0;0 D 0; OD;0 , S OA;0; OH . SA Chọn hệ trục như hình vẽ, a 1. Tọa độ A O 0;0;0 , B 0; AB;0 ,. Chọn hệ trục như hình vẽ, a 1. Tọa độ A O 0;0;0 ,. C AD; AB;0 , D AD;0;0 , S 0;0; SA .. B 0; AB;0 , C AH ; AB;0 , D AD;0;0 , S 0;0; SA .. 1.2. Đáy là tam giác, mặt bên là tam giác thường. Vẽ đường cao CO trong ABC . Chọn hệ trục như hình, a = 1. Ta có: O 0;0;0 , A 0;OA;0 , B 0; OB;0 , C OC;0;0 , S 0; OH ; OK SH . Hình chóp có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy Đáy là tam giác cân tại C (hoặc Đáy là hình vuông-hình chữ nhật đều), mặt bên là tam giác cân tại S (hoặc đều). Gọi O là trung điểm BC, chọn hệ trục như hình, a = 1. Ta có: O 0;0;0 , A 0;OA;0 ,. Dựng hệ trục như hình, chọn a = 1. Ta có: A O 0;0;0 , B AB;0;0. C AB; AD;0 , D 0; AD;0 , S AH;0; AK SH . B 0; OB;0 , C OC;0;0 , S 0;0; SO. 1.3. Hình chóp tam giác đều Gọi O là trung điểm một cạnh đáy. Dựng hệ trục như hình vẽ và a = 1. Tọa độ điểm: AB 3 BC O 0;0;0 , A 0; ;0 , B ;0; 0 , 2 2. BC C ;0;0 , 2 AB 3 S 0; ; OK . 6 SH OH . Hình chóp đều Hình chóp tứ giác đều Chọn hệ trục như hình với a = 1. Tọa độ AB 2 AB 2 ;0;0, B 0; ;0 , điểm: O 0;0;0 , A 2 2 OB OA AB 2 C ;0;0 , 2 OA AB 2 D 0; ;0 2 OB S 0;0; SO .. 2. Gắn tọa độ đối với hình lăng trụ 2.1. Hình lập phương, hình hộp chữ nhật Dựng hệ trục như hình vẽ với a = 1. Tọa độ điểm:. Lăng trụ đứng Lăng trụ đứng đáy là hình thoi Gọi O là tâm hình thoi đáy, ta dựng hệ trục như hình. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(642)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A O 0;0;0 ,. với. O 0;0;0 ,. B 0; AB;0 ,. A OA;0;0 ,. C AD; AB;0 ,. B 0; OB;0 ,. D AD;0;0 ,. C OC;0;0 ,. A 0;0; AA ,. D 0; OD;0 ,. B 0; AB; AA , C AD; AB; AA , D AD;0; AA .. B 0; OB; AA , C OC;0; CC , D 0; OD; DD . Lăng trụ tam giác đều Gọi O là trung điểm một cạnh đáy, chọn hệ trục như hình vẽ với a = 1. Ta có: AB O 0;0;0 , A ;0;0 , 2 AB B ;0;0, C 0;OC;0 , 2 A OA;0; AA ,. AB B ;0; BB , C 0;OC; CC . 2 . A OA;0; AA , Lăng trụ đứng có đáy tam giác thường Vẽ đường cao CO trong tam giác ABC và chọn hệ trục như hình vẽ với a = 1. Tọa độ điểm là: O 0;0;0 , A OA;0;0 ,. B OB;0;0 , C 0; OC;0 , A OA;0; AA , B OB;0; BB , C 0;OC; CC .. 2.2. Lăng trụ nghiêng: Lăng trụ nghiêng có đáy là tam giác đều, hình chiếu Lăng trụ nghiêng có đáy là hình vuông hoặc hình của đỉnh trên mặt phẳng đối diện là trung điểm một chữ nhật, hình chiếu của một đỉnh là một điểm cạnh tam giác đáy thuộc cạnh đáy không chứa đỉnh đó. Dựng hệ trục như hình vẽ, ta dễ dàng xác định được các Dựng hệ trục như hình vẽ, ta dễ dàng xác định được các điểm O, A, B, C, D, A . điểm O, A, B, C, A. Tìm tọa độ các Tìm tọa độ các điểm còn lại thông qua hệ thức vectơ điểm còn lại thông qua hệ thức vectơ bằng nhau: AA BB CC DD . bằng nhau: AA BB CC . Dạng 1. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm GÓC Câu 1.. (Mã 103 2018) Cho hình lập phương ABCD. ABC D có tâm O . Gọi I là tâm của hình vuông. ABC D và điểm M thuộc đoạn OI sao cho MO 2MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng MC D và MAB bằng. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(643)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A.. 7 85 85. B.. 17 13 65. 6 85 85 Lời giải C.. 6 13 65. D.. Chọn C. Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, cạnh hình lập phương là 1, ta được tọa độ các điểm như sau : 1 1 1 M ; ; , C 0;1;0 , D 1;1;0 và A 1;0;1 , B 0;0;1 . 2 2 6 5.1 3.3 Khi đó n MC D 0;1;3 ; n MAB 0;5;3 nên cos MAB , MC D 2 2 2 2 5 3 . 1 3 2. 7 85 6 85 7 85 . Suy ra sin MAB , MC D 1 . 85 85 85 Câu 2.. (Mã 102 2018) Cho hình lập phương ABCD. ABC D có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông. ABC D và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO . 1 MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó cosin 2. của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( MC D) và ( MAB ) bằng A.. 6 13 . 65. B.. 7 85 . 85. C.. 6 85 . 85. D.. 17 13 . 65. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(644)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải. Không mất tính tổng quát ta đặt cạnh của khối lập phương là 1. Chọn hệ trục tọa độ sao cho A(0; 0; 0), B (1; 0; 0), D(0;1; 0) và A(0; 0;1) (như hình vẽ).. 1 1 1 2 2 3. Khi đó ta có: M ; ; .. . . 1 1 2 2. 2 3. . 2 1 3 2. . Suy ra: AB (1;0;0), MA ; ; AB, MA 0; ; n1 (0; 4;3) là VTPT của mặt . phẳng ( MAB ).. 1 1 1 1 1 DC (1; 0;0), MD ; ; DC , MD 0; ; n2 (0; 2; 3) là VTPT của mặt 2 2 3 3 2 phẳng ( MC D) . cosin của góc giữa hai mặt phẳng ( MAB ) và ( MC D) bằng:. n .n 0.0 4.2 3.( 3) 17 13 cos( n1 , n2 ) 1 2 . 2 2 2 2 2 2 n1 . n2 65 0 (4) 3 . 0 2 ( 3) Câu 3.. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hình hộp chữ nhật. ABCD.ABCD , có. AB a , AD a 2, góc giữa AC và mặt phẳng ABCD bằng 30 . Gọi H là hình chiếu vuông góc Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(645)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 của A trên AB và K là hình chiếu vuông góc của A trên. AD. Tính góc giữa hai mặt phẳng AHK và. ABBA . A. 60 .. B. 45 .. C. 90 .. D. 30 .. Lời giải. Do ABCD.ABCD là hình hộp chữ nhật nên A ' C ' là hình chiếu vuông góc của A ' C trên ( ABCD) ( A ' C , ( ABCD)) ( A ' C , A ' C ') CA ' C ' 300.. CC ' 'C ' CC ' a. Ta có AC AB 2 AD 2 a 3; tan CA A'C ' Kết hợp với giả thiết ta được ABB ' A ' là hình vuông và có H là tâm. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của K trên A ' D '& A ' A. Ta có. 1 1 1 a 6 a AK ; A ' K A ' A2 AK 2 ; 2 2 2 AK A ' A AD 3 3. 1 1 1 a 2 a KF ; KE A ' K 2 KF 2 KE . 2 2 2 KF KA A ' K 3 3 Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn O A ' còn D, B, A theo thứ tự thuộc các tia. Ox, Oy, Oz. Khi đó ta có tọa độ các điểm lần lượt là: a a a 2 a a 2 a 2 A(0;0; a), B '(0; a;0), H (0; ; ), K ( ;0; ), E ( ;0;0), F (0;0; ). 2 2 3 3 3 3 Mặt phẳng ABB ' A ' là mặt phẳng ( yOz) nên có VTPT là n1 (1; 0; 0); a2 Ta có AK , AH n 2 , n 2 (2; 2; 2). 6 . Mặt phẳng ( AKH ) có VTPT là n 2 (2; 2; 2 ); Gọi là góc giữa hai mặt phẳng AHK và ABBA .. 1 450. Ta có cos cos(n1 , n 2 ) 2 Câu 4.. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,. SAB là tam giác đều và SAB vuông góc với ABCD . Tính cos với là góc tạp bởi SAC và. SCD . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(646)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A.. 3 . 7. B.. 6 . 7. 5 . 7 Lời giải C.. D.. 2 . 7. Chú ý: Ta có thể giải bài toán với cạnh hình vuông a 1 . Gọi O, M lần lượt là trung điểm của AB, CD . Vì SAB là tam giác đều và SAB vuông góc với. ABCD nên. SO ABCD .. 3 1 Xét hệ trục Oxyz có O 0; 0;0 , M 1; 0;0 , A 0; ;0 , S 0;0; . Khi đó 2 2 . 1 1 C 1; ;0 , D 1; ; 0 . 2 2 1 3 1 3 Suy ra SA 0; ; , AC 1; 1;0 , SC 1; ; , CD 0;1;0 . 2 2 2 2 3 3 1 ; ; . Mặt phẳng SAC có véc tơ pháp tuyến n1 SA, AC 2 2 2 3 ;0;1 . Mặt phẳng SAD có véc tơ pháp tuyến n1 SC , CD 2 n1.n2 5 Vậy cos . n1 . n2 7 Câu 5.. (Chuyên Sơn La 2019) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm. O . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC , biết MN . a 6 . Khi đó giá trị sin của 2. góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD bằng. A.. 2 . 5. B.. 3 . 3. C.. 5 . 5. D.. 3.. Lời giải. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(647)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Gọi I hình chiếu của M lên ABCD , suy ra I là trung điểm của AO . Khi đó CI . 3 3a 2 . AC 4 4. Xét CNI có: CN . a , NCI 45o . 2. Áp dụng định lý cosin ta có: NI CN 2 CI 2 2CN .CI .cos 45o . a 2 9a 2 a 3a 2 2 a 10 . 2. . . 4 8 2 4 2 4. Xét MIN vuông tại I nên MI MN 2 NI 2 . Mà MI / / SO, MI . 3a 2 5a 2 a 14 . 2 8 4. 1 a 14 . SO SO 2 2. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ: 2 2 2 2 2 Ta có: O 0;0;0 , B 0; ; 0 , D 0; ; 0 , C ; 0; 0 , N ; ; 0 , 2 2 2 4 4 2 14 2 14 A ; 0; 0 , S 0; 0; ; 0; , M . 4 4 2 4 2 2 14 2 14 Khi đó MN , SB 0; ; ; ; 2 4 4 2 2 Vectơ pháp tuyến mặt phẳng SBD : n SB SD . . 2 14 ; , SD 0; . 2 2 . . 7 ; 0; 0 .. 2 7. MN .n 2 3 Suy ra sin MN , SBD . 3 6 MN . n 7. 2 Câu 6.. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng -2019) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh a. Góc giữa hai mặt phẳng A ' B ' CD và ACC ' A ' bằng. A. 60.. B. 30.. C. 45.. D. 75.. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(648)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O A ', Ox A ' D ', Oy A ' B ', Oz A ' A. Khi đó: A '(0; 0; 0) , D '( a; 0; 0) , B '(0; a; 0) , C '( a; a; 0) , A(0; 0; a ) , D ( a ; 0; a ) , B (0; a ; a ) , C ( a ; a ; a ) . A ' B ' (0; a; 0), A ' D ( a; 0; a ), A ' A (0; 0; a ), A ' C ' ( a; a; 0).. A ' B ', A ' D (a 2 ; 0; a 2 ). Chọn n1 (1;0; 1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A ' B ' CD . A ' A, A ' C ( a 2 ; a 2 ;0). Chọn n2 (1;1;0) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ACC ' A ' . Góc giữa hai mặt phẳng A ' B ' CD và ACC ' A ' là:. cos = cos n1 , n2 . . Câu 7.. 1. . 2. 2. . 1 60. 2. (Sở Bắc Ninh -2019) Cho hình chóp O. ABC có ba cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc và. OA OB OC a . Gọi M là trung điểm cạnh AB . Góc tạo bởi hai vectơ BC và OM bằng A. 135 . B. 150 . C. 120 . D. 60 . Lời giải A. M C. O. B. Cách 1: 1 1 a2 OM OA OB 2 Ta có OM .BC OB 2 . 2 2 BC OC OB . . . 1 1 a 2 . AB OA2 OB 2 2 2 2 a2 OM .BC 1 2 Do đó: cos OM , BC OM .BC 120 . OM .BC a 2 2 .a 2 2 Cách 2:. BC OB 2 OC 2 a 2 và OM . . . . . Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(649)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. a a Ta có: O 0;0;0 , A 0; a ;0 , B a ;0;0 , C 0;0; a , M ; ;0 . 2 2 a a Khi đó ta có: BC a ;0; a , OM ; ;0 2 2 BC .OM cos BC ; OM BC .OM. . Câu 8.. . a2 1 2 BC ; OM 120 . 2 a 2 a. 2. 2 . . . (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng a 2 và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng. SBD và ABCD . Nếu tan A. 30 .. B. 60 .. 2 thì góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC bằng. C. 45 . Lời giải. D. 90 .. Gọi I AC BD . Hình vuông ABCD có độ dài đường chéo bằng a 2 suy ra hình vuông đó có cạnh bằng a . SBD ABCD BD . SI ; AI SIA Ta có SI BD SBD ; ABCD AI BD . SA SA a . Ta có tan tan SIA AI Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Ta có A 0;0;0 , B a;0;0 , C a; a;0 , S 0;0; a . Khi đó SA 0;0; a ; SC a; a; a ; SB a;0; a . Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(650)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Mặt phẳng SAC có vectơ pháp tuyến n1 1;1;0 . Mặt phẳng SBC có vectơ pháp tuyến n2 1;0;1 . n1.n2 1 1 SAC ; SBC 60 . Suy ra cos SAC ; SBC n1 . n2 2. 2 2. . . Câu 9.. . . (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có AB a , SA a 2 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD . Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng: A. arccos. 3 . 5. B. arccos. 5 . 5. C. arccos. 5 . 3. D. arccos. 15 . 5. Lời giải Gọi O AC BD . Tam giác SAO vuông : SO SA2 AO 2 . a 6 2. Gắn tọa độ như hình vẽ. a a a a a 6 A 0;0;0 , B a;0;0 , C a; a;0 , D 0; a;0 , O ; ;0 , S ; ; . 2 2 2 2 2 a 5a a 6 Vì G là trọng tâm tam giác SCD nên G ; ; . 2 6 6 a a a 6 a a 5a a 6 a Ta có : AS ; ; 1;1; 6 , BG ; ; 3;5; 6 . 2 2 2 2 2 6 6 6 Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng: BG. AS 3 5 6 5 cos BG; SA . BG. AS 5 40. 8. . Câu 10.. . . . (Chuyên Hà Tĩnh - 2018) Cho hình lăng trụ ABC. ABC có A. ABC là tứ diện đều cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA và BB . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng ABC và CMN .. A.. 2 . 5. B.. 3 2 . 4. C.. 2 2 . 5. D.. 4 2 . 13. Lời giải. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(651)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Gọi O là trung điểm của AB . Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho O 0;0;0 ,. 3 3 3 6 a 6 1 1 ; 0 , H 0; ;0 , AH A 0; ; A ;0; 0 , B ;0;0 , C 0; 3 2 2 2 6 6 3 3 6 ; Ta có AB AB B 1; . Dễ thấy ABC có vtpt n1 0;0;1 . 6 3 1 3 6 3 3 6 M là trung điểm AA M ; ; ; , N là trung điểm BB N ; 4 12 6 4 12 6 1 5 3 6 MN 1;0;0 , CM ; ; 6 4 12 6 5 3 3 ; CMN có vtpt n2 0; 0; 2 2;5 6 12 12. . cos Câu 11.. . 1 5 2 2 tan 1 2 cos 5 33. (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2018 ) Xét tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc. Gọi. , , lần lượt là góc giữa các đường thẳng OA , OB , OC với mặt phẳng ABC (hình vẽ). A. C. O. B. . . . . Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3 cot 2 . 3 cot 2 . 3 cot 2 là Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(652)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 48 .. B. 125 .. D. 48 3 .. C. Số khác. Lời giải. Chọn B. Gọi H là trực tâm tam giác ABC , vì tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc nên ta 1 1 1 1 có OH ABC và . 2 2 2 OH OA OB OC 2 , , . Ta có OA; ABC OAH OB; ABC OBH OC ; ABC OCH OH OH OH , sin , sin . OA OB OC 1 1 1 1 Đặt a OA , b OB , c OC , h OH thì 2 2 2 2 và h a b c. Nên sin . 1 M 3 cot 2 . 3 cot 2 . 3 cot 2 2 sin 2 . 1 . 2 2 sin . 1 . 2 2 sin . a2 b2 c2 1 1 1 2 2 . 2 2 . 2 2 8 4 a 2 b 2 c 2 . 2 2 a 2b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 . 4 a 2b 2 c 2 . 6 . h h h h h h Ta có: a 2 b 2 c 2 .. a 2b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 .. 1 1 1 1 1 1 1 a 2 b 2 c 2 . 2 2 2 3 3 a 2 .b 2 .c 2 .3 3 2 . 2 . 2 9 . 2 a b c h a b c . 1 1 1 1 a 2b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 . 2 2 2 4 h a b c . 2. 2. 1 1 1 1 3 a b .b c .c a . 3 3 2 . 2 . 2 3 3 a 4b 4c 4 .9 3 4 4 4 27 . a b c abc 3. 2 2. 2 2. 2. 2. 3. 3 1 1 1 1 1 1 1 a b c . 6 a 2b 2c 2 . 2 2 2 a 2b2 c 2 . 3 3 2 . 2 . 2 27 . a b c h a b c 2 2 2. Do đó: 1 1 1 2 a 2b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 . 4 a 2b 2 c 2 . 6 2 h h h 8 4.9 2.27 27 125 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c , hay OA OB OC . Vậy min M 125 . M 8 4 a 2 b2 c 2 .. Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(653)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. α. a H h. c. O. C. b. B Câu 12.. (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên SA a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD . Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng AMC và SBC bằng. A.. 5 . 5. B.. 2 5 . 5. 3 . 2 Lời giải C.. D.. 2 3 . 3. Chọn A. Chọn hệ trục tọa độ sao cho A O , như hình vẽ: Khi đó ta có:. a A 0;0; 0 , B 2a ; 0;0 , D 0; 2a ;0 , C 2a ; 2a ;0 , S 0;0; a , M 0; a ; . 2 . Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(654)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. a a SB 2a ;0; a , SC 2a ; 2a ; a , MA 0; a ; , MC 2a ; a ; . 2 2 n1 SB , SC 2a 2 ;0; 4a 2 và n2 MA , MC a 2 ; a 2 ;2a 2 .. . . . . Gọi ( 0 90 ) là góc tạo bởi hai mặt phẳng AMC và SBC .. n1 .n2 ta có cos cos n1 , n2 n1 . n2. . . 10a 4 20.6. a. 4 2. . . . 2a 2 .a 2 4a 2 .2a 2 2 2. 2 2. 2 2. 2 2. 2 2. 2 a 4a . a a 2 a . 5 . 30 2. 30 5 1 5 1 Mà tan . Suy ra tan . 1 2 5 cos 25 5 2. Câu 13.. Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình thang vuông tại A và B , AB BC a, AD 2a . Biết. SA ( ABCD), SA a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và CD . Tính sin góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ( SAC ) . A.. 3 5 . 10. B.. 2 5 . 5. 5 . 5 Lời giải C.. D.. 55 . 10. Chọn A. Đặt không gian Oxyz với A O(0;0;0), AB Ox, AD Oy, AS Oz . Ta có: S (0;0; a), B(a;0;0), D(0;2a;0), C(a; a;0) .. a a a 3a M ( ;0; ), N ( ; ;0) 2 2 2 2 3a a MN (0; ; ) 2 2 AS (0;0; a), AC (a; a;0) AS , AC (a 2 ; a 2 ;0) là vtpt của mặt phẳng (SAC ) . 3a 3 MN .n( SAC ) 3 5 2 sin( MN ;( SAC )) . 10 MN n( SAC ) 9a 2 a 2 . a4 a4 4 4 Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(655)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 14. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh. cạnh bên SA 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi tạo bởi hai mặt phẳng. a,. M là trung điểm cạnh SD. Tính tang của góc. AMC và SBC bằng. S. M. A. D. C. B. 3 . A. 2. 5 . C. 5. 2 3 . B. 3. 2 5 . D. 5. Lời giải Chọn D z S. 2. M. D 1. A. y. B x. C. 1. Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ Oxyz. O A(0; 0; 0) ; B (1; 0; 0); D(0;1; 0); C (1;1; 0); S (0; 0; 2). 1 2 . Do M là trung điểm của SD nên M 0; ;1 BC (0;1; 0); SB (1; 0; 2) BC ; SB 2; 0;1. 1 1 MA 0; ;1 ; AC (1;1;0) MA; AC 1;1; . VTPT của (AMC) là: n 2; 2;1 2 2 cos SBC ; AMC . Câu 15.. 5 tan SBC ; AMC 3. 1 5 3 . 2. 1 . 2 5 5. 900 . Góc giữa đường thẳng Cho khối tứ diện ABCD có BC 3 , CD 4 , ABC ADC BCD. AD và BC bằng 600 . Côsin góc giữa hai phẳng ABC và ACD bằng A.. 43 . 86. B.. 4 43 . 43. 2 43 . 43 Lời giải C.. D.. Chọn C Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 43 . 43.
<span class='text_page_counter'>(656)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Dựng AO BCD khi đó O là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật BCDO . Góc giữa đường thẳng AD và BC là góc giữa đường thẳng AD và OD và bằng ADO 600 Xét tam giác ADO vuông tại O : tan 600 . OA OA 3 3. OD. Gắn hệ tọa độ Oxyz vào hình chóp như hình vẽ. Ta có:. O 0;0;0 ; B 4;0;0 ; D 0;3;0 ; C 4;3;0 ; A 0; 0;3 3 .. AB 4; 0; 3 3 ; BC 0;3;0 ; AD 0;3; 3 3 ; CD 4;0;0 .. . . . . . . . . Mặt phẳng ABC nhận véctơ n1 AB , BC 9 3; 0;12 làm véctơ pháp tuyến.. . . . . . . Mặt phẳng ADC nhận véctơ n2 AD , CD 0;12 3;12 làm véctơ pháp tuyến. . n1.n2 4 2 43 Nên cos ABC ; ADC 43 43.2 n1 . n2 Câu 16.. Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a , SA ABCD và SA a . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SB , SD . Côsin của góc hợp bới hai mặt phẳng AEF và ABCD là.. Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(657)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A.. 1 . 2. B.. 3 . 3. C.. 3.. D.. 3 . 2. Lời giải Chọn B Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A O , B Ox , D Oy , S Oz .. a a a a B a ;0;0 , D 0; a ;0 , S 0;0;a . Khi đó E ;0; , F 0; ; . 2 2 2 2 a a a a AE ; 0; , AF 0; ; . 2 2 2 2 . . a a a n ; ; 1 1;1; 1 . . 4 4 4. Vectơ pháp tuyến của mp AEF là n1 AB, AF . . . . . Vectơ pháp tuyến của mp ABCD là n2 AS (0;0; a) n2 0;0;1 . . Vậy côsin góc giữa 2 mặt phẳng AEF và ABCD là.. n1.n2 1 3 cos AEF , ABCD . 3 3 n1 . n 2 Câu 17.. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a, gọi là góc giữa đường thẳng A ' B và mặt phẳng BB ' D ' D . Tính sin .. A.. 3 . 5. B.. 3 . 2. 1 . 2 Lời giải. C.. D.. 3 . 4. Chọn C. Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(658)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. +Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với A O 0;0;0 , B a;0; 0 , C a; a;0 , D 0; a;0 , A ' 0;0; a , B ' a;0; a , C ' a; a; a , D ' 0; a; a . +Ta thấy OC BB ' D ' D và OC a; a;0 nên suy ra mặt phẳng BB ' D ' D có một vec tơ pháp tuyến là n 1;1;0. . +Đường thẳng A ' B có vectơ chỉ phương là A ' B a;0; a ta chọn u 1;0; 1 . n.u 1.1 1.0 0.(1) 1 +Ta có sin . n.u 12 12 0 2 . 12 02 (1) 2 2 Câu 18.. Cho hình lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a , AC a 3 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của BC , AH a 5 . Gọi. là góc giữa hai. đường thẳng AB và BC . Tính cos .. A. cos . 7 3 . 48. B. cos . 1 C. cos . 2. 3 . 2. D. cos . 7 3 . 24. z. D A. C. B O A. C y. H B x Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(659)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O A như hình vẽ, chọn a 1 đơn vị, khi đó ta có tọa độ điểm B 1;0;0 ,. 1 3 ;0 , vì H là hình chiếu của A nên suy ra C 0; 3;0 suy ra trung điểm của BC là H ; 2 2 1 3 ; 5 . Ta tìm tọa độ B , gọi tọa độ B x; y; z khi đó ta có AB OB nên tọa độ của A ; 2 2 . . . 3 3 1 3 3 3 ; 5 . Ta cũng có BC ; ; 5 và AB ; ; 5 . Từ đó ta tọa độ B ; 2 2 2 2 2 2 AB.BC 7 7 3 có cos . 24 2. 6. 8 AB . BC Câu 19.. Cho hình hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình thoi, tam giác ABD đều. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và C ' D ' , biết rằng MN B ' D . Gọi là góc tạo bởi đường thẳng MN và mặt đáy ABCD , khi đó cos bằng:. A. cos . 1 . 3. B. cos . 3 . 2. C. cos . 1 . 10. D. cos . 1 . 2. Lời giải Chọn A. * Chọn AB 2 BD 2; AC 2 3 , đặt. . . AA ' h , chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ ta có: D 1;0;0 , B 1;0;0 , C 0; 3;0 ,. . . D ' 1;0; h , C ' 0; 3; h , B ' 1;0; h . 1 3 1 3 M ; ;0 , N ; ; h , MN 1;0; h , B ' D 2;0; h . 2 2 2 2 . . . . * Do MN B ' D MN .B ' D 0 2 h 2 0 h 2 MN 1; 0; 2 . Ta có:. MN //u MN 1;0; 2 , ABCD n j 0;0;1 .. . . * Do là góc tạo bởi đường thẳng MN và mặt đáy ABCD nên ta có: Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(660)</span> u.n 2 1 sin cos u; n cos 1 sin 2 . 3 3 u.n. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. . Dạng 2. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm KHOẢNG CÁCH Câu 20.. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có các kích thước AB 4, AD 3, AA 5 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC ' và B ' C bằng. A.. 3 . 2. 5 2 . 3 Lời giải. B. 2 .. C.. D.. 30 . 19. Chọn D. z B'. A' D'. C' 5 4. 3. A. B. x. D y. C. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Có A 0 0;0 , C ' 4;3;5 , C 4;3; 0 , B ' 4; 0;5 ,. AC ' 4; 3; 5 , B ' C 0; 3; 5 , AC ', B ' C 30; 20;12 , CC 0; 0; 5 , Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng cần tìm là:. AC ', B ' C .CC 60 30 d AC ', B ' C . 1444 19 AC ', B ' C Câu 21.. (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết A 0;0;0 , D 2;0;0 , B 0; 4;0 , S 0; 0; 4 . Gọi M là trung điểm của SB . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng CDM .. A. d B, CDM 2 . C. d B, CDM . B. d B , CDM 2 2 .. 1 . D. d B , CDM 2 . 2 Lời giải. Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(661)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. xA xC xB xD xC 2 Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên y A yC yB yD yC 4 C 2; 4;0 . z z z z z 0 A C C B D M là trung điểm của SB M 0; 2; 2 .. Viết phương trình mặt phẳng CDM : CD 0; 4; 0 , CM 2; 2; 2 CD CM 8; 0; 8 . CDM có một véc tơ pháp tuyến n 1; 0;1 . Suy ra CDM có phương trình: x z 2 0 . Vậy d B; CDM Câu 22.. 002 12 02 12. 2.. (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân,. AB AC a , AA h a, h 0 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và BC theo a , h .. A.. ah 2. a 5h. 2. .. B.. ah 2. 5a h. 2. .. C.. ah 2. 2a h. 2. .. D.. Lời giải. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. A 0;0;0 ; A 0;0; h ; C 0; a;0 ; B a;0;0 ; B a;0; h ; C 0; a; h . AB a;0; h ; BC a; a; h ; AB; BC ah; 2ah; a 2 ; AB a;0;0 .. Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương ah 2. a h2. ..
<span class='text_page_counter'>(662)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. AB; BC . AB ah d AB; BC . 2 2 AB; BC a 5 h Câu 23.. (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Gọi I là trung điểm của AB , hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm của CI , góc giữa SA và mặt đáy bằng 450 (hình vẽ bên). Gọi G là trọng tâm tam giác SBC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CG bằng. A.. a 21 14. B.. a 14 8. a 77 22 Lời giải. C.. D.. a 21 7. Chọn B a a a 3 Đặt hệ trục tọa độ Oxyz sao cho I 0; 0;0 , A ; 0;0 , B ; 0; 0 , C 0; ;0 . 2 2 2 . Ta có CI . a 3 a 3 a 7 , IH , AH 2 4 4. a 3 H là trung điểm CI suy ra H 0; ;0 . 4 . SH a 7 S 0; a 3 ; a 7 . 450 SA, ABC SA, AH SAH 4 4 4 a a 3 a 7 a a 3 a 7 a a 3 Ta có: SA ; ; ; ;0 , CG ; , CA ; 4 4 4 12 2 2 6 2 a 21 a 3 a 6 SA, CG SA, CG . ;0; 12 6 12 SA, CG .CA a 14 Khoảng cách giữa SA và CG : . 8 SA, CG Câu 24.. (Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng 2018) Cho hình lập phương ABCD. ABC D cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm DD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và AD .. 2a . 3 Lời giải Gọi M là trung điểm BB . Ta có: CK // AM CK // AMD . A.. 4a . 3. B.. a . 3. C.. D.. 3a . 4. Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(663)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Khi đó: d CK , AD d CK , AMD d C , AMD . Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ:. a Ta có: A 0; 0;0 , B a; 0;0 , D 0; a; 0 , A 0;0; a , B a;0; a , C a; a;0 , M a; 0; . 2 a 2 a AM a;0; , AD 0; a; a , AM , AD ; a 2 ; a 2 . 2 2 Vậy mặt phẳng AMD nhận n 1; 2; 2 làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mp AMD : x 2 y 2 z 2a 0 . Do đó: d C , ADM Câu 25.. a 2 a 2a a . 3 3. (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh. 2a 3 , mặt bên SAB là tam giác cân với ASB 1200 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SC và N là trung điểm của MC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , BN .. A.. 2 327a . 79. B.. 237a . 79. 2 237a . 79 Lời giải C.. D.. 5 237a 316. Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(664)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chọn C. Gọi O là trung điểm AB , SAB cân tại S SO AB . Ta có: SAB ABC gt SAB ABC AB SO ABC . SO AB cmt . 600 SO OB a Xét SOB vuông tại O có OSB tan 600 Ta có: OC là đường cao của tam giác đều cạnh 2a 3 nên: OC 3a Gắn hình chóp S.ABC lên hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó ta có: O 0; 0; 0 ,B a 3 ; 0; 0 , A a 3 ; 0; 0 ;C 0; 3a; 0 ;S 0; 0;a AB 2a 3; 0; 0. . . . . 3a a M là trung điểm SC nên M có tọa độ: 0; ; . 2 2 9a a N là trung điểm MC nên N có tọa độ: 0; ; . 4 4 3a a AM có véc tơ chỉ phương AM a 3 ; ; hoặc a 2 3; 3;1 2 2 9a a BN có véc tơ chỉ phương BN a 3 ; ; hoặc b 4 3 ; 9;1 4 4 a,b .AB 2 237 a Ta có: d AM ; BN 79 a,b . . . Câu 26.. . . (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho hình chóp S. ABC có đáy. ABC là tam giác vuông. tại A , AB 1cm , AC 3cm . Tam giác SAB , SAC lần lượt vuông tại B và C . Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC có thể tích bằng. A.. 3 cm . 2. B.. 5 5 cm 3 . Tính khoảng cách từ C tới SAB . 6. 5 cm . 4. 3 cm . 4 Lời giải C.. D.. 5 cm . 2. Facebook Nguyễn Vương 25.
<span class='text_page_counter'>(665)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Chọn A Gọi I là trung điểm SA . Do tam giác SAB , SAC lần lượt vuông tại B và C nên IA IS IB IC . Vậy I là tâm cầu ngoại tiếp chóp S . ABC . Vì cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC có thể tích bằng. 5 5 5 cm 3 R IA IS IB IC 6 2. Suy ra SA 5; SB 2, SC 2 .. . Gán hệ trục tọa độ gốc A . ta có A 0, 0, 0 ; B 1, 0, 0 ;C 0, 3, 0. . Giả sử S a, b, c , c 0 . Ta có hệ phương trình. a2 b2 c2 5 SA 5 a 1 a2 b2 c2 5 2 2 2 2 2 2 SB 2 a 1 b c 4 a b c 2a 3 b 3 S 1, 3,1 2 2 2 2 2 2 a b c 2 3b 1 c 1 SC 2 a b 3 c 2 Mặt phẳng SAB qua A 0, 0, 0 có vecto pháp tuyến n 0,1, 3. . . . . . . Phương trình mặt phẳng SAB là: y 3z 0 Vậy d C , SAB Câu 27.. 3 . 2. (Chuyên Lam Sơn 2019) Một phần sân trường được định vị bởi các điểm A , B , C , D như hình vẽ.. Bước đầu chúng được lấy “ thăng bằng” để có cùng độ cao, biết ABCD là hình thang vuông ở A và B với độ dài AB 25m , AD 15m , BC 18m . Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở C nên người ta lấy độ cao ở các điểm B , C , D xuống thấp hơn so với độ cao ở A là 10cm , a cm , 6cm tương ứng. Giá trị của a là số nào sau đây?. A. 15,7cm .. B. 17, 2cm .. C. 18,1cm .. D. 17,5cm .. Lời giải Chọn B. Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(666)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 z. B A. y. B' D C. x. D' C'. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: O A , tia Ox AD ; tia Oy AB . Khi đó, A 0;0;0 ; B 0; 2500;0 ; C 1800; 2500;0 ; D 1500;0;0 . Khi hạ độ cao các điểm ở các điểm B , C , D xuống thấp hơn so với độ cao ở A là 10cm , a cm , 6cm tương ứng ta có các điểm mới B 0; 2500; 10 ; C 1800; 2500; a ; D 1500;0; 6 . Theo bài ra có bốn điểm A ; B ; C ; D đồng phẳng. Phương trình mặt phẳng ABD : x y 250 z 0 . Do C 1800; 2500; a ABD nên có: 1800 2500 250a 0 a 17, 2 . Vậy a 17, 2cm . Câu 28.. (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho tứ diện OABC , có OA, OB, OC đôi một vuông góc và. OA 5, OB 2, OC 4 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của OB và OC . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Khoảng cách từ G đến mặt phẳng AMN là:. A.. 20 . 3 129. B.. 20 . 129. C.. 1 . 4. D.. 1 . 2. Lời giải. Chọn A Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.. Facebook Nguyễn Vương 27.
<span class='text_page_counter'>(667)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Ta có O 0;0;0 , A Oz, B Ox, C Oy sao cho AO 5, OB 2, OC 4. A 0;0;5 , B 2;0;0 , C 0; 4;0 . 2 4 5 Khi đó: G là trọng tâm tam giác ABC nên G ; ; 3 3 3. M là trung điểm OB nên M 1;0;0 N là trung điểm OC nên N 0; 2;0 .. x y z 1 hay 10 x 5 y 2 z 10 0 1 2 5 Vậy khoảng cách từ G đến mặt phẳng AMN là: Phương trình mặt phẳng AMN là:. 20 20 10 10 20 3 3 3 . d G , AMN 100 25 4 3 129 Câu 29.. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a , gọi M là trung điểm của AB ,. A ' CM cân tại A ' và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích khối lăng trụ bằng Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC ' A.. a 57 . 19. B.. 2a 57 . 19. C.. 2a 39 . 13. D.. 2a 39 . 3. Lời giải Chọn B. Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương a3 3 . 4.
<span class='text_page_counter'>(668)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Gọi H là trung điểm MC A ' H MC A ' H ABC .. SABC a. V Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: Ta có V S ABC . A ' H A ' H . a 3 a a O M 0; 0;0 , A ;0;0 Ox, B ; 0;0 Ox, C 0; ;0 Oy và Mz / / A ' H . 2 2 2 a 3 A ' 0; ; a . 4 a 3a 3 ; a . Ta có. CC ' AA ' C ' ; 2 4 a a 3 a a 3 AB a;0;0 , CC ' ; ; a , AC ; ;0 . 2 4 2 2 AB, CC ' . AC 2a 57 Vậy d AB, CC ' . 19 AB, CC ' Câu 30.. (Sở Nam Định 2019) Cho hình chóp S . ABCD đáy là hình thang vuông tại A và D , SA ABCD . Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 45o , E là trung điểm của SD , AB 2a , AD DC a . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACE .. A.. 2a . 3. B.. 4a . 3. C. a .. D.. 3a . 4. Lời giải Chọn B. Facebook Nguyễn Vương 29.
<span class='text_page_counter'>(669)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Hình chiếu của SB trên mặt phẳng ABCD là AB Góc giữa SB và mặt đáy là góc giữa SB và. 45o . AB và bằng góc SBA Tam giác SAB vuông cân tại A SA 2a . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có: A 0;0;0 , B 0; 2a;0 , C a; a;0 , D a;0;0 , S 0;0;2a ,. a E ;0; a . 2 a a2 AC a; a;0 , AE ;0; a AC AE a 2 ; a 2 ; 2 2 mặt phẳng ACE có véctơ pháp tuyến n 2; 2; 1 ACE : 2 x 2 y z 0 .. . . Vậy d B, ACE . 2.2a 4 4 1. . 4a . 3. Dạng 3. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm THỂ TÍCH, BÁN KÍNH Câu 31.. (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 1; 2;1 và đi qua điểm A 1;0; 1 . Xét các điểm B , C , D thuộc S sao cho AB , AC , AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng. A. 64. B.. 32 3. 64 3 Lời giải. C.. D. 32. Chọn B. Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(670)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 D. N I. C. A. M B. Mặt cầu S có bán kính r IA 4 4 4 2 3. Đặt AB a; AC b; AD c Ta có IA2 Do đó. a 2 b2 c 2 4. a2 b2 c 2 12 4. a 2 b 2 c 2 3 3 a 2b 2 c 2 4 4 1 1 32 Do đó V abc 163 . 6 6 3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c. . Theo BĐT Cô-si ta có:. Câu 32.. (Mã 104 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 1;0;2 và đi qua điểm A 0;1;1 . Xét các điểm B , C , D thuộc S sao cho AB , AC , AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng. 8 3. A.. B. 4. C.. 4 3. D. 8. Lời giải. Chọn C D. a. R c. I C. A b. M B. Đặt: AD a , AB b , AC c . Facebook Nguyễn Vương 31.
<span class='text_page_counter'>(671)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Ta có: R IA 3 . AM . b2 c2 a b2 a 2 c2 ; IM R 2 IA2 3. 2 2 4 2. 2. 3. 2. 2. 2 2. 2. 2 2. AD BĐT Cosi: b a c 3 b a c b a c V Câu 33.. b . 2. a2 c2 27. 3. abc 8 .. 1 1 4 abc .8 . 6 6 3. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABCD có A trùng với gốc tọa độ O , các đỉnh B(a;0;0) , D(0; a;0) , A(0;0; b) với a, b 0 và a b 2 . Gọi. M là trung điểm của cạnh CC . Thể tích của khối tứ diện BDAM có giá trị lớn nhất bằng 64 32 8 4 A. . B. . C. . D. . 27 27 27 27 Lời giải z. A'. D'. B'. C '. M y. A D x. B. C. b Tọa độ điểm C ( a; a; 0), C '( a; a; b), M (a; a; ) . 2 b BA ' (-a; 0; b), BD (-a; a;0), BM (0; a; ) . 2 2 BA ', BD (ab; ab; b 2 ) nên VBDA ' M 1 BA ', BD .BM a b . 6 4 3. 64 32 8 a a 2b Ta có: a.a.(2b) . a 2b VBDA ' M 3 27 27 27 Câu 34.. (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Cho hình lập phương ABCD. ABC D cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AB . Mặt phẳng MND ' chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm C gọi là H . Tính thể tích khối H .. A.. 55a 3 . 72. B.. 55a 3 . 144. 181a 3 . 486 Lời giải C.. D.. 55a 3 . 48. Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(672)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Thể tích khối lập phương bằng a3 . Mặt phẳng MND cắt cạnh DC tại E thỏa EC . 1 1 DC ; cắt BB tại P sao cho BP BB . 4 3. Khi đó V H VC .DNPME VC .CEM VC .BPN . 1 a 2a a 3 Có VB.C NP a. . 6 2 3 18 1 a a a3 a. . . 6 4 2 48 Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ; lấy đơn vị trên trục 1 đơn vị bằng a . 1 1 1 1 Ta có C 0;0;0 , C 0;0;1 , E ; 0;0 , M 0; ;0 , R 0;0; , Q ;1;0 , D 1;0;1 . 4 2 3 4 VC .C ME . Mặt phẳng MND :. 4 29 x y z 1 4 x 2 y 3 z 1 0 d C , MND 1 1 1 29 4 2 3. 29 1 29 11 29 4 12 4 48 1 11 d C , MND .S DNPME a 3 . 3 36 55 3 a . 144. S MPNDE S EQND S PMQ VC . DNPME. Vậy V H Câu 35.. (Chuyên Thăng Long - Đà Lạt - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật. ABCD. ABC D có A trùng với gốc tọa độ O các đỉnh B m;0;0 , D 0; m;0 , A 0;0; n với m, n 0 và m n 4. Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Khi đó thể tích tứ diện BDAM đạt giá trị lớn nhất bằng A.. 9 . 4. B.. 64 . 27. C.. 75 . 32. D.. 245 . 108. Facebook Nguyễn Vương 33.
<span class='text_page_counter'>(673)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải z n a. A'. D'. C'. B'. M D y m. A m x. B. C. n M m; m; 2 BA m;0; n Ta có BD m; m;0 n BM 0; m; 2 BA; BD mn; mn; m 2 n 3 BA; BD .BM m2 n m2 . m2 n 2 2. VBADM Câu 36.. 3 1 1 2 1 2 1 1 8 64 . BA; BD .BM m n m 4 m m.m 8 2m . . 6 4 4 8 8 3 27. (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Cho hình lập phương ABCD. ABC D có độ dài cạnh bằng 1. Gọi. M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DD . Gọi thể tích khối tứ diện MNPQ là phân số a tối giản , với a, b * . Tính a b . b A. 9 . B. 25 . C. 13 . D. 11 . Lời giải Chọn C. Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(674)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Thiết lập hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, gốc O B . Khi đó:. 1 1 1 1 M 0; ;1 , N ;0;1 , P 1; ; 0 , Q 1;1; . 2 2 2 2 1 1 1 1 MN ; ; 0 , MP 1; 0; 1 , MQ 1; ; . 2 2 2 2 Suy ra VMNPQ Câu 37.. 1 6. 1 MN , MP .MQ a 1; b 12 a b 13 . 12. Trong không gian Oxyz ,tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn x y z 2 và x 2 y z 2 là một khối đa diện có thể tích bằng. A. 3 .. B. 2 .. 8 . 3 Lời giải C.. D.. 4 . 3. Chọn D. Tập các điểm M x; y; z có tọa độ thỏa x y z 2 là bát diện đều tâm O , các đỉnh có tọa độ 2;0;0 , 2;0;0, 0;2;0 , 0; 2;0 , 0;0; 2 , 0;0; 2 . Tập các điểm M x; y; z có tọa độ thỏa x 2 y z 2 là bát diện đều tâm A 2;0;0 , các đỉnh có tọa độ 0;0;0, 4;0;0 , 2; 2;0 , 2; 2;0 , 2;0; 2 , 2;0; 2 Facebook Nguyễn Vương 35.
<span class='text_page_counter'>(675)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Giao của hai bát diện đều trên là một bát diện đều có tâm H 1;0;0 , các đỉnh là:. O 0;0;0 , A2;0;0 , B 1;0;1 , C 1; 1;0 , D 1;1;0 , E 1;0; 1 . Ta có AD 2, BH 1 .. 1 4 Thể tích khối đa diện: V 2. .BH . AD 2 . 3 3 Câu 38.. (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D ' có AB 1; AD 2; AA 3 . Mặt phẳng ( P) đi qua C và cắt các tia AB; AD; AA lần lượt tại E; F ; G (khác A ) sao cho thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất. Tổng của AE AF AG bằng.. A. 18 .. B. 17 .. C. 15 . Lời giải. D. 16 .. Chọn A. Trong không gian xây dựng hệ toạ độ Oxyz sao cho A O; B(1;0;0); D(0;2;0);A(0;0;3) Khi đó ta có C (1;2;3) Giả sử mặt phẳng ( P) cắt các trục Ox; Oy; Oz lần lươt tại E(a;0;0); F (0; b;0); G(0;0; c) , với. a 0; b 0; c 0 . Khi đó phương trình mặt phẳng ( P) là. x y z 1, a b c. Do mặt phẳng ( P) đi qua C(1;2;3) .. Nên ta có. 1 2 3 6 1 2 3 abc 162 . 1 hay 1 3 3 a b c abc a b c. 1 2 3 a b c 1 Mặt khác thể tích khối tứ diện AEFG là V abc 27 , dấu " " xảy ra khi . 6 1 2 3 1 a b c Tức là a 3; b 6; c 9 .. Vậy tổng AE AF AG 18 .. Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(676)</span> Câu 39.. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi K là trung điểm AB , gọi. M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của K lên AD , AC . Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp K .CDMN .. A.. a 3 . 4. B.. a 2 . 4. 3a 3 . 8 Lời giải C.. D.. 3a 2 . 8. Chọn D. Coi a 1 , ta có: KC . 3 6 1 3 , DH ; AN AC ; HK . 2 3 4 6. 3 6 1 3 Chọn hệ trục Oxyz sao cho K O 0;0;0 , A 0; ; 0 , C ;0; 0 , D ;0; . 3 2 2 6 1 3 3 Ta có: AN AC N ; ; 0 . 4 8 8 Ta có: Tứ giác CDMN là hình thang cân. Do đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp K .CDMN cũng chính là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện KCDN .. Giả sử mặt cầu S ngoại tiếp tứ diện KCDN có phương trình: x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 a 2 b 2 c 2 d 0 .(1). d 0 3 a 3a 4 b 0 Vì K , C , D , N S 3 2 6 3 3 a 3 c 4 c 3 3 3 d 0 4 a 4 b 16 Vậy R Câu 40.. 3 4 R a2 b2 c2 d 6 8. 3 2 . 8. 3a 2 . 8. (Chuyên Thái Bình -2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .CMN bằng. A.. a 93 . 12. B.. a 29 . 8. C.. 5a 3 . 12. D.. a 37 . 6. Facebook Nguyễn Vương 37.
<span class='text_page_counter'>(677)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải. Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ.. 3 1 1 1 M 1;0;0 , N ; ;0 , C 1; ;0 , S 0;0; . 2 2 2 2 Gọi I x ; y ; z là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .CMN MI NI CI SI .. 1 1 1 3 Ta có: MI x 1; y ; z , NI x ; y ; z , CI x 1; y ; z , SI x ; y ; z . 2 2 2 2 Từ MI NI CI SI ta có hệ: 2 2 1 1 2 3 x 1 y 2 z 2 x y z 2 2 2 x 4 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 . x y z x 1 y z y 2 2 2 4 2 2 5 3 1 3 2 z 2 2 2 x 1 y z x y z 12 2 2 . 3 1 5 3 1 1 5 3 I ; ; IM ; ; . 4 4 12 12 4 4 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .CMN là: R IM Câu 41.. 93 . 12. (Chuyên KHTN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 5; 0;0 và B 3; 4;0 . Với. C là điểm nằm trên trục Oz , gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Khi C di động trên trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng. A.. 5 . 4. B.. 3 . 2. 5 . 2 Lời giải C.. D.. Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 3..
<span class='text_page_counter'>(678)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 z C. H. y. O K. B E. Ax. Ta có C 0;0; c . Dễ thấy tam giác ABC cân tại C . Gọi E 4; 2;0 là trung điểm của AB . Ta AB OC có mặt phẳng OCE vuông góc với AB (do ) và là mặt phẳng cố định. AB CE Gọi K là trực tâm tam giác OAB , do A , B và K cùng nằm trong mặt phẳng Oxy nên x 3 OK . AB 0 x. 2 y.4 0 3 3 . Tìm được K 3; ;0 . 2 x 3 0 BK .OA 0 y 2 AB OEC HK AB Ta chứng minh được KH CAB do . CA BHK HK CA Suy ra. 90 . Suy ra KHE. d B, SCD . thuộc mặt cầu đường kính. KE 1 . 1 5 và 4 2. 3 d H , SCD thuộc mặt phẳng OCE cố định. Vậy H luôn thuộc một 2. đường tròn cố định có bán kính R Câu 42.. H. 5 . 4. (Chuyên Vinh - 2018) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A , B , C (không trùng O ) lần lượt thay đổi trên các trục Ox , Oy , Oz và luôn thỏa mãn điều kiện: tỉ số giữa diện tích của tam giác ABC và thể tích khối tứ diện OABC bằng. 3 . Biết rằng mặt phẳng ABC luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, 2. bán kính của mặt cầu đó bằng. A. 3.. B. 2.. C. 4. Lời giải. D. 1.. Facebook Nguyễn Vương 39.
<span class='text_page_counter'>(679)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. S ABC S ABC 3 VOABC 1 S .d O, ABC d O, ABC ABC 3 S 3 Mà ABC nên d O, ABC 2 . VOABC 2 Ta có. Vậy mặt phẳng ABC luôn tiếp xúc mặt cầu tâm O , bán kính R 2 . Câu 43.. (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 đường thẳng. x 1 y 1 z 1 x 3 y 1 z 2 x 4 y 4 z 1 , d2 : , d3 : . Mặt cầu bán kính 2 1 2 1 2 2 2 2 1 nhỏ nhất tâm I a; b; c , tiếp xúc với 3 đường thẳng d1 , d 2 , d3 . Tính S a 2b 3c .. d1 :. A. S 10 .. B. S 11 .. C. S 12 . Lời giải . d1 đi qua điểm A 1;1;1 có VTCP u1 2;1; 2 . d 2 đi qua điểm B 3; 1; 2 có VTCP u2 1; 2; 2 . d3 đi qua điểm C 4; 4;1 có VTCP u3 2; 2;1 .. D. S 13 .. B d2. I. Ta có u1.u2 0 , u2 .u3 0 , u3 .u1 0. d1 , d 2 , d 3 đôi một vuông góc với nhau. u1 , u2 . AB 0 , u2 , u3 .BC 0 , u3 , u1 .CA 0 . A C d3. d1 d1 , d 2 , d 3 đôi một chéo nhau. Lại có: AB 2; 2;1 ; AB. u1 0 và AB. u2 0 nên d1 , d 2 , d3 chứa 3 cạnh của hình hộp chữ nhật như hình vẽ. Vì mặt cầu tâm I a; b; c tiếp xúc với 3 đường thẳng d1 , d 2 , d3 nên bán kính R d I , d1 d I , d 2 d I , d 3 R 2 d 2 I , d1 d 2 I , d 2 d 2 I , d 3 2 2 2 AI , u BI , u CI , u 1 2 3 , với u 2 u 2 u 2 9 , R2 1 2 3 u1 u2 u3 AI a 1; b 1; c 1 , AI , u1 2b c 1; 2a 2c 4; a 2b 1 . BI a 3; b 1; c 2 , BI , u2 2b 2c 6; 2a c 4; 2a b 7 . Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(680)</span> CI a 4; b 4; c 1 ,. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. CI , u3 b 2c 6; a 2c 2; 2 a 2b 16 . . 2 9 R 2 AI , u 1 2 2 2 2 9 R BI , u2 27 R AI , u1 2 9 R 2 CI , u 3 . 2 BI , u2 . 2 CI , u3 . 27 R 2 18 a 2 b 2 c 2 126a 54b 54c 423 2. 2. 2. 7 3 3 243 243 27 R 2 18 a 18 b 18 c 2 2 2 2 2 7 3 3 7 3 3 Rmin khi a , b c I ; ; . 2 2 2 2 2 2 Khi đó S a 2b 3c 11 . Câu 44.. Cho hình chóp S . ABCD cs đáy là hình thang vuông tại A và B , AD 2 AB 2 BC 2a , cạnh bên. SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA 2a . Gọi E là trung điểm cạnh AD . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .CDE .. A.. a 3 . 2. B.. a 11 . 2. a 6 . 2 Lời giải C.. D.. a 3 . 4. Chọn B. S. E. A. B. D. C. Dễ tính được AB BC AE a. . . . . Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ Oxyz với O A , AB i , AE j , AS 2k Khi đó ta có E 0;1;0 , C 1;1;0 , D 0; 2;0 , S 0;0; 2 Gọi I a; b; c là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta có: 2. IE IC a 2 b 1 c 2 . 2. a 1 b 1. 2. c2 2a 1 0 a . 1 2. Facebook Nguyễn Vương 41.
<span class='text_page_counter'>(681)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2. 2. IE ID a2 b 1 c2 a 2 b 2 c2 2b 3 0 b 2. 2. 3 2. IE IS a2 b 1 c 2 a 2 b2 c 2 4c 2b 3 0 c 1 3 3 2 2 2. Vậy I ; ; suy ra bán kính mặt cầu cần tìm là R IE . 2b 3 3 4 2. 11 2. Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(682)</span>