de hsg toan vong ii binh giang

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG. ĐỀ CHÍNH THỨC. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG II NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN - LỚP 9 (Thời gian làm bài: 150 phút). Câu 1 (2,0 điểm): 1) Rút gọn A  3  5  3  5  8 2 4 2) Xác định các hệ số a, b để đa thức x  1 chia hết cho đa thức x  ax + b Câu 2 (2,0 điểm):  x  7  y 1  y  7  x 1 1) Giải hệ phương trình:  5mx   m 2  6  y 5 2) Tìm m để đường thẳng tạo với trục hoành một góc 0 bằng 45 . Câu 3 (2,0 điểm): 2 x 9 a 3 x  2 có giá trị nguyên. 1) Tìm số thực x không âm để 1 x  y  1  z  2   x  y  z 2 2) Tìm x, y, z thoả mãn: Câu 4 (3,0 điểm): 1) Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác nhọn ABC (AB > AC > BC). Đoạn thẳng AO, BO, CO cắt đường tròn (O) thứ tự tại H, I, K. So sánh các cung HI, IK, KH của đường tròn (O). 2) Cho đường tròn (O; R) nội tiếp tam giác ABC. Đường tròn (O) tiếp xúc với BC tại D, kẻ đường kính DE của đường tròn. Tiếp tuyến tại E của đường tròn cắt AB, AC thứ tự ở M, N; AE cắt BC tại K. Chứng minh rằng: a) BD. ME = R2 b) BD = CK. mx  y 1  x  my  2 Câu 5 (1,0 điểm): Tìm giá trị nguyên của m để hệ phương trình:  có nghiệm (x; y) là cặp số nguyên. Hết.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 9 VÒNG II Câu 1: (2,0 điểm) 1) A  3  A 2. . 5. . Điểm 3 5  8  A 2  6 2 5 . 2. 51 . . . 2. 2) Ta có. 2. 5 1  4  5  1 . . 0,5. 62 5 4. 5  1  4 2  A  2. 0,5. . 0,5. . x 4  1  x 2  1  2x 2  x 2  x 2  1 x 2  x 2  1.  x 2  ax  b x 2  x 2  1  a  2; b 1   x 4  1  x 2  ax  b      x 2  ax  b x 2  x 2  1  a  2; b 1 Câu 2: (2,0 điểm) 2  7  y 1  y  7  1 x 0    y  7  1    y  6 1) ĐK: x, y  0 . Vì với (Vô lí)   x  7  y 1  x  7  y  y  7  x  x  7  y  7  x  y  1     y  7  x 1  y  7  x 1  y  7  x 1  2      x  y x y 1 1     x  y    0  x 7  y 7 x 7  y7 x y x  y   Từ (1)  x y thay vào PT (2) ta có x  7  x 1  x  7  x  1  x  7 x  1  2 x. . 0,5. . . 0,25. . x 3  x 9 (TM)  y 9 . Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (9; 9) 5 y 5mx   m2  6  y 5 6 > 0 là đường thẳng 2) Nếu m = 0 thì đường thẳng có dạng 0 song song trục hoành nên không tạo với trục hoành góc 45 suy ra m = 0 loại. . 5   A 0; 2   2 5mx   m  6  y 5 Nếu m 0 thì đường thẳng cắt trục tung tại  m  6  , cắt trục 1  B  ;0  0 hoành tại  m  . Do góc tạo bởi của đường thẳng với trục hoành là 45 nên AOB vuông cân tại O suy ra OA = OB. 5 1 0 0 m0 2 y Do m  6 nên m từ đó: 5mx+(m2+6)y=5 A 5 1 1 OA  2 , OB   m 6 m m mà OA = OB 5 1  2   m 2  5m  6 0 B x O m 6  m  m  2   m  2   m  3 0    m  3. 0,25 0,25 0,25. 0,25. 0,25. 0,5 Câu 3: (2,0 điểm) 2 x 9 a  a  Z   2 x  9  3 x  2 a  3 x  2 1) Đặt. . . x. 9  2a 3a  2. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 9  2a 2 9 0  a  3a  2 3 2 mà a  Z nên a = 1; 2; 3; 4 Với a = 1 thì x = 49; Với a = 2 thì x = 25/16 ; Với a = 3 thì x = 9/49; Với a = 4 thì x = 1/100 2) ĐK: x 0, y 1, z 2 . Do. x 0 nên. x  y 1 z 2 . Ta có:. 1  x  y  z  2. 2. . 0,5 0,25. 2.  .  . x1 . y 1 1 . . 2. z  2  1 0. x  1 0; y  1  1 0; z  2  1 0  x 1; y 2; z 3 Suy ra Câu 4: (3,0 điểm) ¶ ¶ µ ¶ ¶ ¶ 1) Ta có A = A , B = B , C = C (T/c tiếp tuyến). A. 1. 1 2. 2. nên:. O B. I. (. 2. 1. 1. (. 1. ). ). 2. K. 1 2. (. 2. 1. ). · ¶ +C ¶ = BOC = 180 - B 0. C. 2. 2. µ. $. (. ) = 180 + Cµ. µ +$ 360 - A B 0. 2. (. 2 $ +C µ 360 - B 0. µ. (. 2. 0. 2. µ +C µ 360 - A 0. · ¶ +C ¶ = AOC = 180 - A 0. 2. 1. · ¶ +B µ = AOB = 180 - A 0. H. 1. 1,0. ) = 180 + $B 0. 2. ) = 180 + Aµ 0. 2. 0,5. Mà AB > AC > BC Þ C > B > A (Quan hệ góc và cạnh đối diện trong tam giác). Do đó: µ 180 + $ µ 180 + C B 180 + A > > · · · Þ AOB > AOC > BOC 2 2 2 0. 0. 0. Trong đường tròn (O): cung HI > cung HK > cung IK. 0,5. 2) A. E. M. N. F O. B. C D. K.   a) Chứng minh: MOE OBD  OEM ( g.g.) Chứng minh:  BDO s OD BD   BD.ME OD.OE R 2  ME OE b) Chứng minh CD. NE = R2..  BD.ME = CD.NE. . ME NE ME  NE MN    CD BD CD  BD BC. NE MN  Chứng minh CK BC NE NE   BD CK  CK BD Câu 5: (1,0 điểm). 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> mx  y 1  x  my  2 tìm được: Giải hệ pt: . m 2 2m  1   ;y  2 x  2  m 1 m  1  (*) . 2m  4 2m  1 5 2x  y  2  2  2 m 1 m 1 m 1 Do nghiệm (x; y) là cặp số nguyên nên 2x  y  Z , có: 5 2  2  Z  m2  1 m 1  Ư(-5) mà m2 + 1  1  m  1   1; 5  m 2   0; 4  m   0; 2;  2 thay m = 0; 2; -2 vào (x; y) ở (*) ta chọn được m = 0; 2 thỏa mãn nghiệm (x; y) là cặp số nguyên. Chú ý: - Giáo viên có thể chia nhỏ biểu điểm hơn để chấm. - Học sinh có lời giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.. 0,25 0,25. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>