Tài liệu Một số mô hình của cơ học_chương 5 docx

Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
64
Chương 5. MỘT SỐ MÔ HÌNH CỦA CƠ HỌC
CÁC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC
A. VẬT RẮN ĐÁN HỒI - LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH:
I. Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng - Định luật Hooke:
Trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính dịch chuyển u
i
và gradient dịch chuyển được giả
sựí đủ nhỏ để cho không có sựü khác biệt nhau về tenxơ biến dạng giữa mô tả theo
Lagrange và mô tả theo Euler. Ten xơ biến dạng tuyến tính được cho bởi:
()
i,jj,i
i
j
j
i
i
j
j
i
ijij
uu
2
1
x
u
x
u
2
1

X
u
X
u
2
1
l
+=








+=








+==
∂
∂
∂
∂

∂
∂
∂
∂
ε
Nếu quá trình biến dạng xảy ra trong điều kiện đoạn nhiệt và đẳng nhiệt, thì phương
trình cơ bản cho vật thể đàn hồi tuyến tính liên hệ giữa ten xơ biến dạng và tenxơ
ứng suất có dạng.
kmijkmij
C
εσ
= :biểu thị định luật Hooke tổng quát. [5.21]
Trong đó tenxơ hằng số đàn hồi
ijkm
C có 81 thành phần. Vì ten xơ ứng suất và ten
xơ biến dạng đều đối xứng do đó hằng số đàn hồi
ijkm
C chỉ còn lại 36 thành phần
phân biệt. Vậy nhằm mục đích biểu diển định luật Hooke cho 36 thành phần khác
nhau nầy ta thay hệ thống hai chỉ số (với khoảng cuả mổi chỉ số là 3) của tenxơ ứng
suất và tenxơ biến dạng thành hệ thống 1 chỉ số, với khoảng của chỉ số là 6. Theo
các ký hiệu sau :
σ
11
= σ
1
σ
22
= σ
2

σ
33
= σ
3
σ
23
= σ
32
= σ
4
σ
31
= σ
13
= σ
5
σ
21
= σ
12
= σ
6
ε
11
= ε
1
ε
22
= ε
2

ε
33
= ε
3
2ε
23
= 2ε
32
= ε
4
2ε
13
= 2ε
31
= ε
5
2ε
21
= 2ε
12
= ε
6
Định luật Hooke có thể được viết:
MKMK
C
ε
σ
= (K, M: 1, 2, 3, 4, 5, 6).[5.22]
Trong đó C
KM

biểu diển cho 36 hằng số đàn hồi.
[]




















=
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
KM

CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
C [5.23]
II. Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi:
1.Phương trình năng lượng biến dạng:
Theo định lý năng lượng ở chương 4 ta có:
∫∫∫∫∫∫
−++=+
∧
•
S
ii
VV
ii
S
)n(
ii
VV
ii
dSnCZdVdVbvdStvdVudV
2
vv
dt
d
ρρρρ
Rút gọn ta được:

Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
65
()
∫∫∫∫∫
−++=








+
V
i,i
VV
ii
V
j,
jii
V
2
dVCZdVdVbvdVvdVu
2
v
dt
d
ρρσρ
Suy ra:

()
i,iii
j,
jii
2
C
1
Zbvv
1
u
2
v
dt
d
ρ
σ
ρ
−++=








+
()
i,iii
j,

jiiii
C
1
Zbvv
1
vv
dt
du
ρ
σ
ρ
−++=+
•
Cộng cho:
iij,jiiii
bvv
1
vv −−=−
•
σ
ρ
(phương trình chuyển động)
---------------------------------------------------------
⇒
i,ij,iji
C
1
Zv
1
dt

du
ρ
σ
ρ
−+=
Hay
i,iijji
C
1
ZD
1
dt
du
ρ
σ
ρ
−+= [5.24]
Nếu ảnh hưởng của nhiệt không đáng kể, ta có phương trình cân bằng năng lượng:
ij
ijijji
1
D
1
dt
du
•
==
εσ
ρ
σ

ρ
[5.25]
được gọi là phương trình năng lượng biến dạng ( cơ năng)
ta có:
ijij
d
1
du
εσ
ρ
= [5.26]
Nếu đặt u là hàm số của tenxơ biến dạng
ε
ij
: u = u
(ε
ij

)
, ta có:
ij
ij
d
u
du
ε
∂ε
∂
=
Suy ra:

ij
ij
1u
σ
ρ∂ε
∂
=
Đặt u
*
=
ρ
u , ta có:
ij
*
ij
u
∂ε
∂
σ
= [5.27]
(u* là năng lượng biến dạng trên đơn vị thể tích)
Dạng đơn giản nhất của hàm năng lượng biến dạng để dẫn tới quan hệ biến dạng và
ứng suất là tuyến tính là:
kmijijkm
*
C
2
1
u
εε

= [5.28]
hay:
ijij
*
2
1
u
εσ
= [5.29]
Theo hệ thống chỉ số đơn, phương trình trên trở thành:
MKKM
*
C
2
1
u
εε
= : hàm số năng lượng biến dạng. [5.30]
Vì C
KM
= C
MK
(đối xứng) nên hằng số đàn hồi có tối đa 21 trị số khác nhau.
2. Hằng số đàn hồi của môi trường đẳng hướng:
a.
Môi trường đẳng hướng:
Vật thể có tính đàn hồi giống nhau cho mọi hướng bao hàm tính chất đối xứng hoàn
toàn được gọi là đẳng hướng. Mọi mặt phẳng cũng như mọi trục đều là mặt đối xứng
hay là trục đối xứng đàn hồi.
b. Hằng số đàn hồi của môi trường đẳng hướng:

Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
66
Chỉ còn lại 2 hằng số độc lập
λ
và
µ
gọi là hằng số Lamê.
[]
()
()
()





















+
+
+
=
µ
µ
µ
µλλλ
λµλλ
λλµλ
00000
00000
00000
0002
0002
0002
C
KM
[5.31]
Vậy định luật Hooke cho môi trường đẳng hướng được viết:
ijkkijij
2
µεελδσ
+= [5.32]
hay:
()
ijkkijij
2
1

232
σ
µ
σδ
µλµ
λ
ε
+
+
−
= [5.33]
Đối với trạng thái ứng suất đơn trục đơn giản theo một phương, giả sử theo hướng
x
1
. Hằng số kỹ thuật E gọi là mô đun đàn hồi Young và hệ số Poisson
ν
được đưa
vào cho môi trường đẳng hướng thay cho các hằng số đàn hồi, ta có:
Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng cùng phương như sau:
1111
E
εσ
= [5.34]
và quan hệ giữa biến dạng theo phương x
1
với biến dạng theo 2 phương vuông góc
còn lại:
113322
νεεε
−== [5.35]

So sánh các công thức xác định ứng suất và xét quan hệ giữa các biến dạng ta rút
ra:
()( )
νν
ν
λ
211
E
−+
= và
()
ν
µ
+
=
12
E
[5.36]
hay:
()
()
()
2
m
N
:
2
23
E
µλ

µλ
µ
+
+
= và
()
µλ
λ
ν
+
=
2
[5.37]
Các công thức xác định ứng suất và biến dạng lúc này trở thành:






−
+
+
=
kkijijij
211
E
εδ
ν
ν

ε
ν
σ
[5.38]
vaì
kkijijij
EE
1
σδ
ν
σ
ν
ε
−
+
= [5.39]
Đối với trạng thái áp suất thủy tĩnh đồng nhất của ứng suất, mô đun khối được định
nghĩa là tỉ số giữa áp suất và sự co giãn thể tích:
ii
p
K
ε
−= là :
)21(3
E
K
ν
−
= hoặc
3

)23(
K
µλ
+
= [5.40]
Đối với trạng thái thuần ứng suất cắt, mô đun cắt G là quan hệ giữa các thành phần
ứng suất tiếp và biến dạng trượt.
()
ν
µ
+
==
12
E
G [5.41]
III. Bài toán Tĩnh đàn hồi và Động lực đàn hồi:
1. Bài toán Tĩnh đàn hồi:
Đối với vật thể đồng chất đẳng hướng dựa vào các phương trình sau đây:
a. Phương trình cân bằng:
Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
67
0b
ij,ji
=+
ρσ
b. Định luật Hooke:
ijkkijij
2
εµελδσ
+=

c. Quan hệ biến dạng và chuyển vị:
()
i,jj,iij
uu
2
1
+=
ε
Thay phương trình (c) vào (b) sau đó thay vào (a) ta được phương trình Navier -
Cauchy:
()
0buu
iji,jjj,i
=+++
ρµλµ
[5.42a]
Nghiệm của bài toán là vectơ chuyển vị u
i
phải thỏa mản phương trình trên với các
điều kiện biên được cho đầy đủ dưới dạng chuyển vị:
( )
Xgu
ii
r
= [5.42b]
2. Bài toán đàn hồi động lực:
Phương trình cân bằng được thay thế bằng phương trình của chuyển động:
iij,ij
vb
&

ρρσ
=+
Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên được xác định trước. Phương trình động lực
đàn hồi có dạng:
()
iiji,jjj,i
ubuu
&&
ρρµλµ
=+++ [5.43]
Nghiệm của bài toán có dạng
()
t,xuu
ii
r
= phải thỏa các điều kiện ban đầu của
chuyển động:
()
0,xuu
ii
r
= và )0,x(uu
ii
r
&&
= [5.44]
và điều kiện biên dưới dạng chuyển vị:
()
t,xgu
ii

r
= [5.45]
hoặc dưới dạng ứng suất mặt:
()
t,xtt
)n(
i
)n(
i
r
))
= [5.46]
IV. Định lý độc lập tác dụng - Tính duy nhất nghiệm:
1. Định lý độc lập tác dụng: ( định lý cộng tác dụng)
Vì những phương trình đàn hồi tuyến tính là những phương trình tuyến tính.
Nên các nguyên lý độc lập tác dụng được phát biểu như sau: Nếu
)1(
i
)1(
ij
u,
σ
đặc trưng
cho 1 nghiệm của hệ phương trình (a), (b), (c) với lực khối là b
i
(
1
)
và
)2(

i
)2(
ij
u,
σ
đặc
trưng cho 1 nghiệm của hệ phương trình (a), (b), (c) với lực khối là b
i
(
2
)
thì:



+=
+=
)2(
i
)1(
ii
)2(
ij
)1(
ijij
uuu
σσσ
của hệ phương trình đối với lực khối
)2(
i

)1(
ii
bbb +=
2. Tính duy nhất nghiệm:
Nghiệm của bài toán tĩnh đàn hồi tổng quát của vật thể đàn hồi có tính duy
nhất. Tính duy nhất nghiệm này được chứng tỏ bởi nguyên lý độc lập tác dụng cùng
với định luật bảo toàn năng lượng.
3. Nguyên lý St. Venant:
Phát biểu về sựü khác biệt xãy ra trên ứng suất và biến dạng tại các vị trí
khác nhau bên trong vật rắn đàn hồi như sau: “ Đối với những vị trí đủ xa miền
đặt tải trọng, những sự khác biệt nói trên là không đáng kễ “.
Tức là nếu tác dụng lên một bộ phận của vật thể một hệ tải trọng tự cân bằng
thì hệ tải trọng nầy chỉ gây nên những ứng suất cục bộ giảm rất nhanh theo khoảng
cách đến vị trí đặt tải trọng.
Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
68
Tại các điểm của vật rắn có khoảng cách đủ xa đến miền đặt tải trọng, ứng
suất rất ít phụ thuộc vào cách đặt lực cụ thể. ( Tải trọng phân bố trên miền nhỏ của
bề mặt vật thể có thể thay bằng lực tập trung.)
V. ĐÀN HỒI HAI PHƯƠNG. ỨNG SUẤT PHẲNG VÀ BIẾN DẠNG PHẲNG:
Nhiều bài toán đàn hồi có thể giải hai phương hoặc bằng lý thuyết đàn hồi phẳng.
Thường có hai dạng bài toán:
-Bài toán ứng suất phẳng, dạng hình học của vật thể phải là dạng bản mỏng, có kích
thước của một chiều rất nhỏ hơn hai chiều còn lại. Tải trọng tác dụng đều lên chiều
dày của bản và có phương song song với mặt bản.
- Bài toán biến dạng phẳng, dạng hình học của vật thể phải là hình trụ hoặc lăng
trụ với một chiều có kích thước phải lớn hơn nhiều so với hai chiều còn lại. Tải
trọng tác dụng phân bố đều lên cạnh dài nhất và có phương vuông góc với nó.
5.1. Bài toán ứng suất phẳng:
Trong đó các thành phần ứng suất bao gồm

231333
,,
σσσ
được lấy = 0 ở mọi nơi, các
thành phần còn lại có giá trị là các hàm số của
x
1
, x
2
mà thôi.
)2,1,(;)x,x(
21
==
βασσ
αβαβ
[5.47]
Tương ứng, các phương trình cơ bản cho bài
toán ứng suất phẳng là:
a. 0b
,
=+
αβαβ
ρσ
[5.48]
b.
γγαβαβαβ
σδ
ν
σ
ν

ε
EE
1
−
+
= [5.49]
αα
σ
ν
ε
E
33
=
()
αββααβ
ε
,,
uu
2
1
+= [5.50]
Trong đó













∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
2
2
1
2
2
1
1
1
,
x
u
x
u
x
u
x
u

u
βα
;










=
000
0
0
2212
1211
σσ
σσ
σ
αβ
và











=
33
2212
1211
00
0
0
ε
εε
εε
ε
αβ
Do dạng đặc biệt của ten xơ biến dạng trong trường hợp ứng suất phẳng, sáu
phương trình tương thích (chương 3) có thể giãm còn 1 phương trình với độ chính
xác hợp lý cho bản rất mỏng:
12,1211,2222,11
2
εεε
=+ [5.51]
Theo thành phần chuyển vị u
α

, nếu kết hợp các phương trình cơ bản lại ta có
phương trình chủ đạo như sau:
0bu
)1(2

E
u
)1(2
E
,
2
=+
−
+∇
+
αβαβα
ρ
νν
[5.52]
5.2. Bài toán biến dạng phẳng:
x
2
x
1
x
3
x
2
Hình 5-1.