Đa thức trêbưsep và xấp xỉ trêbưsep

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

PHẠM MINH ĐẠO

ĐA THỨC TRÊBƯSEP
VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn: PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn
Hà Nội - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

PHẠM MINH ĐẠO

ĐA THỨC TRÊBƯSEP
VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn: PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn

Hà Nội - 2014


Mục lục
Phần mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1. Đa thức Trêbưsep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3. Một vài ứng dụng của đa thức Trêbưsep . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3.1. Độ lệch của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3.2. Định lí Berstein- Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Chương 2. Xấp xỉ Trêbưsep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.1. Xấp xỉ một hàm số bởi đa thức Trêbưsep . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.2. Chuỗi Trêbưsep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.3. Hệ số Trêbưsep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.4. Tính chất tối ưu của khai triển Trêbưsep. . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

54
55

PHẦN MỞ ĐẦU

Đa thức Trêbưsep (P.L. Chebyshev) có vị trí rất đặc biệt trong tốn
học. Nó xuất hiện ngay trong các bài toán trong toán học sơ cấp, đặc biệt
trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế. Đa thức Trêbưsep
cũng có rất nhiều ứng dụng trong toán học như Lý thuyết xấp xỉ, lý
thuyết nội suy,.... Vì đa thức Trêbưsep rất quan trọng, nên có rất nhiều
bài báo và các cơng trình tốn học nghiên cứu về nó. Chính vì thế nên
tơi được thầy hướng dẫn là PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn giao cho làm
luận văn thạc sỹ khoa học với tên đề tài
"ĐA THỨC TRÊBƯSEP VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP"
Luận văn này được trình bày để làm rõ thế nào là đa thức Trêbưsep
loại 1, loại 2 và một ứng dụng của đa thức Trêbưsep trong chứng minh
định lí Berstein- Markov, xấp xỉ Trêbưsep .
Ngồi phần mở đầu luận văn gồm hai chương, phần kết luận và danh
mục tài liệu tham khảo.
Chương 1. Đa thức Trêbưsep.
Chương này giới thiệu định nghĩa về đa thức Trêbưsep loại 1, loại 2
và một số tính chất của nó như tính chất trực giao,...
Phần cuối của chương này là một số ứng dụng của đa thức Trêbưsep
là độ lệch của đa thức và chứng minh định lí Berstein- Markov.
Chương 2. Xấp xỉ Trêbưsep.
Chương này giới thiệu xấp xỉ một hàm số bởi đa thức Trêbưsep, chuỗi
Trêbưsep, hệ số Trêbưsep và tối ưu của khai triển Trêbưsep.
Luận văn được trình bày dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo
PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn. Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn1) − sn,λ (1) =

fk (λ).

k=n+1

(2.26)


51

Ta có
1

2
Aj (f ) =
π

f (x)Tj (x) √
−1
1

dx
1 − x2

∞

2
=
π

dx

(λ)

k=0

−1

fk (λ)pk (x) Tj (x) √



∞

fk (λ) 

=
k=0
∞

1 − x2

1

2
π

(λ)

pk (x)Tj (x) √
−1

dx

1 − x2

(λ)




(2.27)

fk (λ)aj,k ,

=
k=j

trong đó a(λ)
j,k được xác định trong (2.21) và số hạng - bằng - số hạng
phép lấy tích phân là khẳng định bằng hội tụ của ( 2.24 ) mang trong
tâm trí của chúng ta về sự chuẩn hóa của p(λ)
k . Ngồi ra, từ (2.21) ta có
1 (λ)
(λ)
(λ)
a + a1,k + · · · + an,k = 1;
2 0,k

vì vậy
n

∞

∞

fk (λ).

fk (λ) =
n
j=0

∞
(λ)

fk (λ)aj,k
k=n+1

+
j=n+1

∞

Aj (f ),

=C+
j=n+1

theo (2.27), với C ≥ 0.
Từ Aj (f ) ≥ 0 với j = n + 1, . . . , bởi (2.27), ta có
∞

Aj (f ) = Sn (f ; 0)
j=n+1

(λ)

fk (λ)aj,k

k=0 k=n+1

∞
′

=

∞
′

=

j=0

k=n+1

k=n+1

∞
′ (λ)
aj,k




∞
(λ)

k=j



fk (λ)aj,k 

(2.28)


52

và phần thứ nhất của định lý đã được chứng minh.
(λ)
Nếu f ∈
/ Pn sao cho, chẳng hạn như fm (λ) > 0 với m > n, thì từ a0,m

(λ)
(λ)
hoặc a(λ)
1,m là dương theo ( 2.22), hay fm (λ)a0,m hoặc fm (λ)a1,m là dương
và đại lượng C trong ( 2.28 ) là dương, khi đó (2.25) làm xảy ra bất đẳng
thức.
Chú ý 1. Thực tế (2.25) có thể được thay thế bởi

Sn (f ; µ) ≥ Sn (f ; 0),

(2.29)

0 ≤ µ ≤ λ.
1
2

Để thấy rõ điều này, chúng ta cần phải thơng tin rằng nếu − < µ ≤ λ
và

n
(λ)
pn (x)

(λ,µ) (µ)

aj,n pn (x)

=
j=0

thì
(λ,µ)

aj,n

≥ 0,

j = 0, . . . , n; n = 0, 1, 2, . . . .

Do đó tương tự ( 2.27 ) cho
∞

(λ,µ)

fk (λ)aj

fj (µ) =

,

(2.30)

k=j

do đó fk (λ) ≥ 0 với k > n kéo theo fk (λ) ≥ 0 với k > n, và định lý được
áp dụng với λ thay thế bởi µ, với điều kiện là
∞

k=0

fk (µ) < ∞.

Điều này được suy ra từ sự tương tự của (2.28) (với a(λ)
j,k được thay thế

bởi a(λ,µ)
và tương tự như trên).
j,k
Chú ý 2. Định lý còn lại đúng nếu hệ số fk (λ) xen kẽ dấu với k > n.
Quan sát, ta thấy rằng p(λ)
k là hàm chẵn với k chẵn và hàm lẻ với k lẻ;
do đó áp dụng định lý cho f (−x) chứng minh kết quả tương tự cho các

hệ số xen kẽ liên tiếp.


53

Chú ý 3. Nếu các hệ số không dương và khơng xen kẽ dấu, (2.29) khơng
3
2

cần phải giữ, như ví dụ f (x) = x3 − x2 − x; λ = ∞; n = 0, chứng tỏ điều

này. Ta có, với 0 ≤ α < ∞
1

f0 (α) =

−1

f (x)(1 − x2 )α−1/2 dx
1
−1

=

−

(1 − x2 )α−1/2 dx

3 1 2
x (1 − x2 )α−1/2 dx

2 −1
1
−1

(1 − x2 )α−1/2 dx

Một tính toán nhỏ cho
S0 (f ; 0) = 0.89 . . . ,
S0 (f ; ∞) = 1.5,
S0 (f ; 0.1) = 0.82 . . . .

=−

3 1
.
41+α


Kết luận

Trong luận văn này tơi đã trình bày khái niệm về Đa thức Trêbưsep
và xấp xỉ Trêbưsep.
Luận văn đã đạt được
1 .Tổng quan về đa thức Trêbưsep loại 1, loại 2 và các tính chất như
tính chất nghiệm của đa thức, tính chất trực giao,....
Một số ứng dụng của đa thức Trêbưsep là chứng minh định lí
Berstein- Markov.
2 .Trình bày xấp xỉ Trêbưsep như xấp xỉ một hàm số bởi đa thức
Trêbưsep, đánh giá hệ số của đa thức Trêbưsep và tính chất tối ưu
của khai triển Trêbưsep.

Luận văn có thể phát triển trong lí thuyết xấp xỉ, Lý thuyết nội
suy,....
Tuy nhiên do thời gian thực hiện luận văn khơng nhiều và do trình
độ có hạn nên khơng thể tránh khỏi sai sót. Tơi rất mong nhận được sự
góp ý của quý thầy cô và bạn đọc.


Tài liệu tham khảo
[1] Theodore J. Rivlin, The Chebyshev polynomials, John Wiley & Sons,
1974.
[2] G.Poslya G. Szego, Problems and Theorems in Analysis (Volume
II), Springer- Verlag, 1976.
[3] Phan Đức Chính, Bất đẳng thức, NXB Văn hóa thơng tin, 2006.
[4] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số & Phân thức hữu tỉ, NXBGD,
2002.
[5] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh, Giới hạn Dãy số &Hàm
số, NXBGD, 2002.
[6] Nguyễn Văn Mậu, Phạm Thị Bạch Ngọc, Một số bài toán chọn lọc
về lượng giác, NXBGD, 2006.

55