BỘ ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ 1 TOÁN 9 PHẦN 2

Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

BỘ 15 ĐỀ
Kiểm tra giữa kì 1 toán 9
ĐỀ 16
ĐỀ KIỂM GIỮA HỌC KÌ I

TRƯỜNG THCS VẠN PHÚC

MƠN TỐN 9 (2020 – 2021)
Thời gian: 90 phút
Bài 1:

(2 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:

(

1
2+ 2
+
−
b) 2 − 3 1 + 2

)

2
1
16. − 3 8 − 2. 2 − 1
a)
2

c)
Bài 2:

3

)

2

sin 25°
+ sin 2 35° − ( 2023 − cos 2 35° )
d) cos 65°

− 27 + 2. 8

(1,5 điểm) Giải phương trình

a)

Bài 3:

(

2− 3

(

)

2

x−3 = 2

b)

(2,5 điểm) Cho các biểu thức:
a) Tính giá trị biểu thức

B

khi

b) Đặt

P = A : B , rút gọn P

c) Tìm

x

để

A=

2 4x − 4 −

1
9x − 9 − 6 = 0
3

1
1
1− x
−
B=
x+2 x
x + 2 và
x + 4 x + 4 với

x> 0; x≠ 1

x= 4

P> 2

d) Tìm GTNN của

P+ x

Bài 4:

(1 điểm) Ở một thời điểm trong ngày, một cột cờ cao 11m có bóng trên mặt đất dài
giữa tia sáng mặt trời và bóng cột cờ là bao nhiêu? (Làm trịn đến phút).

Bài 5:

(2,5 điểm) Cho hình chữ nhật

ABCD

có

AB = 9cm , BC = 12cm . Kẻ AH

6m. Hỏi góc

vng góc với

H.
a) Tính
b) Kẻ

BD , AH

HI

và số đo

vng góc với

c) Đường thẳng

AH

cắt

ABD ?

AB . Chứng minh: AI .AB = DH .DB .

BC

tại

M

và cắt

DC

tại

(làm tròn kết quả độ dài đến chữ số thập phân thứ
Ngô Nguyễn Thanh Duy

N . Chứng minh HA2 = HM .HN .

3 , số đo góc đến độ)

Trang 1

BD

tại


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy
Bài 6:

(0,5 điểm) Tìm

x, y

thỏa mãn phương trình

36
4
+
= 28 − 4 x − 2 − y − 1
x− 2
y −1

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 2


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1:

(2 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:

(

1
2+ 2
+
−

b) 2 − 3 1 + 2

)

2
1
16. − 3 8 − 2. 2 − 1
a)
2

c)

3

(

2− 3

)

2

sin 25°
+ sin 2 35° − ( 2023 − cos 2 35° )
d) cos 65°

− 27 + 2. 8

Lời giải

a)

16.

= 16.

(

)

2
1
− 3 8 − 2. 2 − 1
2

(

2
− 3.2 2 − 2 3 − 2 2
2

)

= 8 2 − 6 2 − 6+ 4 2 = 6 2 − 6
1
2+ 2
+
−
b) 2 − 3 1 + 2
=

(

(

2− 3

)

2

)

2 1+ 2
2+ 3
+
− 2− 3
4− 3
1+ 2

= 2+ 3 + 2 −

(

3− 2

) (vì

3 − 2 > 0)

= 2 + 3 + 2 − 3 + 2 = 2 + 2 2.
c)

3

− 27 + 2. 8 = −3 + 16 = −3 + 4 = 1.

sin 25°
sin 25°
+ sin 2 35° − ( 2023 − cos2 35° ) =
+ sin 2 35° − 2023 + cos35°
d) cos 65°
sin 25°

= 1 + ( sin 2 35° + cos 2 35° ) − 2023 = 1 + 1 − 2023 = − 2021.
Bài 2:

(1,5 điểm) Giải phương trình

a)

(

)

2

x−3 = 2

b)

2 4x − 4 −

1
9x − 9 − 6 = 0
3

Lời giải

a)

(

)

2

x −3 = 2 ⇔ x −3 = 2

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 3


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

 x −3= 2
 x=5
⇔
⇔

⇔
x
−
3
=
−
2
x
=
1


Vậy

b)

S = { 25;1}

2 4x − 4 −

Điều kiện:

 x = 25
x = 1


.

1
9x − 9 − 6 = 0

3

x≥1

⇔ 4 x −1 − x −1 = 6
⇔ 3 x −1 = 6 ⇔ x −1 = 2

⇔ x− 1= 4 ⇔ x = 5

(thoả mãn)

Vậy phương trình có nghiệm

Bài 3:

x= 5

(2,5 điểm) Cho các biểu thức:
a) Tính giá trị biểu thức

B

khi

b) Đặt

P = A : B , rút gọn P

c) Tìm

x

để

A=

1
1
1− x
−
B=
x+2 x
x + 2 và
x + 4 x + 4 với

x> 0; x≠ 1

x= 4

P> 2

d) Tìm GTNN của

P+ x
Lời giải

a) Thay

B=

x= 4

(thoả mãn điều kiện) vào biểu thức

B

ta được:

1− 4
1− 2
−1
=
=
4 + 4 4 + 4 4 + 8 + 4 16

−1
Vậy khi x = 4 thì giá trị biểu thức B là 16 .
1  1− x
 1
P = A: B = 
−
÷:
b) Ta có:
x + 2 x+ 4 x + 4
 x+ 2 x

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 4

Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy



1
1 ÷ 1− x

=
−
:
 x x+2
x + 2÷ x + 2



(

)

1− x

=

x

Vậy

(

x+2

P=

c) Ta có:

⇔

)

(
.

(

x+2

x+2
x với
P>2⇔

x+2
x

=

x > 0 ; x ≠ 1.
x +2
x +2
x +2−2 x

>2⇔
−2>0⇔
>0
x
x
x

2− x
>0
vì x > 0 với mọi
x

d) Ta có:

x> 0

nên

2− x > 0 ⇔ x < 2 ⇔ x < 4.

0 < x < 4, x ≠ 1

x +2
2
+ x= x+
+1
x
x

P+ x =

x > 0 , Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 2 số dương ta có:

x+

2
x

⇒ x+

Hay

≥2

x.

2
x

=2 2

2
+1 ≥ 2 2 +1
x

P + x ≥ 2 2 + 1 . Dấu “=” xảy ra

Vậy GTNN của
Bài 4:

2

1− x

Kết hợp ĐKXĐ ta có:

Vì

)

)

2

P+ x

là

⇔ x=

2
⇔ x=2
(thoả mãn).
x

2 2 + 1 tại x = 2 .

(1 điểm) Ở một thời điểm trong ngày, một cột cờ cao 11m có bóng trên mặt đất dài
giữa tia sáng mặt trời và bóng cột cờ là bao nhiêu? (Làm trịn đến phút).

6m. Hỏi góc

Lời giải

Ngơ Nguyễn Thanh Duy

Trang 5


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

Xét

∆ ABH

vng tại

tan α =

H , ta có

11
⇒ α = 61° 23′
.
6

Vậy góc giữa tia sáng mặt trời và bóng cột cờ là
Bài 5:

(2,5 điểm) Cho hình chữ nhật

ABCD

có

61° 23′ .

AB = 9cm , BC = 12cm . Kẻ AH

vng góc với

H.
a) Tính
b) Kẻ

BD , AH

HI

và số đo

vng góc với

c) Đường thẳng

AH

cắt

ABD ?

AB . Chứng minh: AI .AB = DH .DB .

BC

tại

M

và cắt

DC

tại

(làm tròn kết quả độ dài đến chữ số thập phân thứ

N . Chứng minh HA2 = HM .HN .

3 , số đo góc đến độ)

Lời giải

a) Tính

BD , AH

Ngơ Nguyễn Thanh Duy

và số đo

ABD ?
Trang 6

BD

tại


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

ABCD là hình chữ nhật

Vì

 AB = CD = 9cm
⇒
 AD = BC = 12cm
Xét
+)

∆ ABD

vuông tại

A

BD 2 = AB 2 + AD 2 (định lí Pytago)

BD 2 = 92 + 122 = 225

BD = 15 ( cm )
+)

sin ABD =

b) Kẻ

HI

AD 12 ·
= ⇒ ABD ≈ 530
.
BD 15

vuông góc với

AB . Chứng minh: AI .AB = DH .DB .

Xét

∆ ABD

vng tại

A , đường cao AH

có:

AH 2 = DH .BH

Xét

∆ AHB

vng tại

H , đường cao HI

có:

AH 2 = AI .AB

⇒ AI . AB = DH .DB
c) Đường thẳng
Ta có:

⇒

AH

(điều phải chứng minh)
cắt

∆ BHM ∽ ∆ NHD

BC

tại

M

và cắt

DC

tại

N . Chứng minh HA2 = HM .HN .

(g – g)

BH BM HM
=
=
NH ND HD (cặp cạnh tương ứng)

⇒ HM .HN = BH .HD
Mà

AH 2 = DH .BH (chứng minh trên)

⇒ HA2 = HM .HN
Bài 6:

(0,5 điểm) Tìm

(điều phải chứng minh)

x, y

thỏa mãn phương trình

36
4
+
= 28 − 4 x − 2 − y − 1
x− 2
y −1
Lời giải
Đặt

x − 2 = a ; y − 1 = b ( a, b > 0 )

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 7


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

⇒

36 4
+ = 28 − 4a − b
a b

 36
 4 
⇔  + 4a ÷ +  + b ÷ = 28
 a

 b 

VT ≥ 2

36
4
.4a + 2 .b = 28
a
b

 36
 a = 4a

a = 3 ⇒
4 = b ⇔ 
Dấu “=” xảy ra khi  b
b = 2

Ngô Nguyễn Thanh Duy

 x − 2 = 3  x = 11

⇔
 y − 1 = 2  y = 5 (thoả mãn)

Trang 8


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

ĐỀ 17
TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ
Câu 1.

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I – NĂM HỌC 2020-2021. MƠN: TỐN 9
(1,5 điểm). Tính giá trị các biểu thức sau:
a)

A = 52 + 122

b)

B= 2 3+ 2 − 3 3− 2

(

D=

Câu 2.

)

(

)

5 +1
5 −1
−
5 +2 5 −2

c)
(1,5 điểm). Giải các phương trình sau:
a)

x −1 + 4 x − 4 = 9

b)

x2 − 9 − x + 3 = 0

c)

( x + 2 ) ( x + 3) − 2

Câu 3. (2 điểm ) Cho

A=

a ) Tính giá trị của

c ) Tìm
d ) Với

−3 x + 1
x −3

;B =

3 x −2

x−5 x +6

−

1
x −2

+

3 x −2

3 − x với x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9.

A với x = 16 .

B=

b ) Chứng minh

x2 + 5x + 3 = 6

−3 x + 1
x −2 .

x để B > − 3 .
x > 9 , đặt

P=

A

B . So sánh

P

và 1 .

Câu 4. (4,5 điểm)
1. Tòa nhà Burj Khalifa tại Dubai (các tiểu vương quốc Ả Rập thống nhất) được khánh thành ngày
4/1/2010 là một cơng trình kiến trúc cao nhất thế giới. Khi tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc

370

thì bóng của tịa nhà trên là 1098,79 m. Tính chiều cao của tòa nhà (kết quả cuối cùng được làm
tròn đến phần nguyên, các kết quả khác được làm trịn hai chữ số thập phân).

ABC vng tại A , đường cao AH . Kẻ HE ⊥ AB
HC = 16 cm, HB = 9 cm . Tính AB, AC , AH .

2. Cho tam giác
a) Cho

b) Chứng minh
c) Chứng minh

Ngô Nguyễn Thanh Duy

tại

E

và

HF ⊥ AC

AB. AC 2
HF =
và
BC 2 .

AB. AE = AF .AC
BE 2 + CF 2 ≥ EF 2 . Khi nào dấu bằng xảy ra?
Trang 9

tại

F.


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

Câu 5.

(0,5 điểm).

a, b, c ≥ 0

và thỏa mãn

( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 8 chứng minh ab + bc + ca ≤ 3 .
 HẾT 

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. (1,5 điểm). Tính giá trị các biểu thức sau:
a)

A = 52 + 122

b)

B= 2 3+ 2 − 3 3− 2

c)

(

D=

)

(

)

5 +1
5 −1
−
5 +2 5 −2
Lời giải

a)

A = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 13

b)

B = 2 3 + 2 − 3 3 − 2 = 6 + 2 − 3+ 6 = 2 6 −1

(

)

(

5 +1
5 −1
D=
−
=
c)
5+2 5−2

(

)(

)

5 +1

5−2

1

) −(

)(

5 −1

1

Câu 2. ( 1, 5 điểm ) . Giải các phương trình sau:
a)

x −1 + 4 x − 4 = 9

b)

x2 − 9 − x + 3 = 0

c)

( x + 2 ) ( x + 3) − 2

5+2

) = 5−

5 − 2 − 5 − 5 + 2 = −2 5

x2 + 5x + 3 = 6
Lời giải

a)

x −1 + 4 x − 4 = 9

Đk:

x≥1

⇔ x − 1 + 4 ( x − 1) = 9
⇔ x −1+ 2 x −1 = 9 ⇔ 3 x −1 = 9

⇔ x − 1 = 3 ⇔ x − 1 = 9 ⇔ x = 10 ( tm )
Vậy tập nghiệm của phương trình là
b)

S = { 10}

x2 − 9 − x + 3 = 0

⇔ x2 − 9 = x − 3

đk

x≥ 3

⇔ x 2 − 9 = ( x − 3) ⇔ ( x − 3) ( x + 3) − ( x − 3) = 0
2

Ngô Nguyễn Thanh Duy

2

Trang 10


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

⇔ ( x − 3 ) ( x + 3 − x + 3) = 0 ⇔ 6 ( x − 3) = 0 ⇔ x − 3 = 0 ⇔ x = 3
Vậy nghiệm của phương trình là
c)

( x + 2 ) ( x + 3) − 2

( tmđk)

x= 3

x2 + 5x + 3 = 6

đk : x 2 + 5 x + 3 ≥ 0

⇔ x2 + 5x + 6 − 2 x2 + 5 x + 3 − 6 = 0

(

)

⇔ x2 + 5 x + 3 − 2 x2 + 5 x + 3 − 3 = 0

x2 + 5x + 3 = t ( t ≥ 0 )

Đặt

Khi đó ta có phương trình ẩn

t − 3 = 0
⇔
⇔
t + 1 = 0
Với

2
2
t : t − 2t − 3 = 0 ⇔ t − 3t + t − 3 = 0 ⇔ ( t − 3) ( t + 1) = 0

 t = 3 ( tm )

 t = − 1 ( ktm )

t = 3 ⇒ x 2 + 5 x + 3 = 3 ⇔ x2 + 5x + 3 = 9

⇔ x 2 + 5 x − 6 = 0 ⇔ x 2 + 6 x − x − 6 = 0 ⇔ ( x + 6 ) ( x − 1) = 0
x + 6 = 0
⇔
⇔
x
−

1
=
0


 x = −6
x = 1


+) Với

x = 1 ⇒ 12 + 5.1 + 3 = 9 > 0 ⇒ x = 1 ( tm đk)

+) Với

x = − 6 ⇒ ( − 6 ) + 5. ( − 6 ) + 3 = 9 > 0 ⇒ x = − 6 ( tm đk)
2

Vậy tập nghiệm của phương trình là

Câu 3. Cho

A=

−3 x + 1
3 x −2
1
3 x −2
;B =
−

+
x −3
x −5 x + 6
x − 2 3 − x với x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9.

a ) Tính giá trị của

b ) Chứng minh

A với x = 16 .

B=

−3 x + 1
x −2 .

x để B > − 3 .

c ) Tìm
d ) Với

S = { 1; − 6}

x > 9 , đặt

P=

A
B . So sánh

P

và 1 .
Lời giải

a ) Thay

A=
Vậy

x = 16

( tmđk ) vào biểu thức

A , ta có :

−3 16 + 1 −3.4 + 1
=
= −11
4−3
16 − 3

x = 16

thì

Ngơ Nguyễn Thanh Duy

A = − 11

Trang 11


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

3 x−2
1
3 x−2 =
B=
−
+
b)
x − 5 x + 6 x − 2 3− x
=

(
( x − 2) (

3 x − 2− x +3−

)(
x − 3)

x −2 3 x −2

(

3 x−2
x−2

) =2

)(

x−3

)

−

1
3 x−2
−
x−2
x−3

x + 1 − 3x + 8 x − 4

( x − 2 ) ( x − 3)
−3x + 10 x − 3 ( −3 x + 1) ( x − 3) ( −3 x + 1)
=
=
=
( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 2 ) ( x − 3) ( x − 2 )
B=

Vậy :

c)

⇔

−3 x + 1
x−2

B > −3 ⇔

−3 x + 1
−3 x + 1
> −3 ⇔
+3> 0
x−2
x−2

−5
>0 ⇔ x −2<0
(vì − 5 < 0 )
x −2

⇔ x < 2 ⇔ x < 4 kết hợp đk ⇒ 0 ≤ x < 4
Vậy 0 ≤ x < 4 thì B > − 3
d ) Có

P=

A −3 x + 1 − 3 x + 1
x −2
=
:
=

B
x −3
x −2
x −3

x−2
x − 2− x + 3
1
−1=
=
x−3
x−3
x−3
1
x > 9 ⇒ x −3 > 0 ⇒
> 0 ⇒ P −1 > 0 ⇒ P > 1
Vì
x −3
P −1=

Câu 4.

1. Tịa nhà Burj Khalifa tại Dubai (các tiểu vương quốc Ả Rập thống nhất) được khánh thành ngày

4/1/2010 là một cơng trình kiến trúc cao nhất thế giới. Khi tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc

370

thì bóng của tịa nhà trên là 1098,79 m. Tính chiều cao của tịa nhà (kết quả cuối cùng được làm
tròn đến phần nguyên, các kết quả khác được làm trịn hai chữ số thập phân).

Lời giải

Ngơ Nguyễn Thanh Duy

Trang 12


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

Gọi

A là chân tòa nhà, C

là đỉnh tòa nhà và

B

là bóng của

C

A , µA = 37°

Khi đó

∆ ABC

tan B =

AC

⇒ AC = AB.tan B = 1098,79.tan 37° ≈ 828,00 ( m )
AB

vng tại

trên mặt đất.

Vậy tịa nhà Burj Khalifa cao

828m .

ABC vuông tại A , đường cao AH . Kẻ HE ⊥ AB
HC = 16 cm, HB = 9 cm . Tính AB, AC , AH .

2. Cho tam giác
a) Cho

b) Chứng minh
c) Chứng minh

tại

E

và

HF ⊥ AC

AB. AC 2
HF =

và
BC 2 .

AB. AE = AF .AC
BE 2 + CF 2 ≥ EF 2 . Khi nào dấu bằng xảy ra?
Lời giải

a) Cho
Xét

HC = 16 cm, HB = 9 cm . Tính AB, AC , AH .

∆ ABC

vng tại

A , đường cao AH

có:

+)

BC = HC + HB = 16 + 9 = 25 ( cm )

+)

AH 2 = HB.HC = 9.16 = 144 ⇒ AH = 12 ( cm )

+)

AB 2 = BH .BC = 9.25 = 225 ⇒ AB = 15 ( cm )

+)

AC 2 = CH .BC = 16.25 = 400 ⇒ AC = 20 ( cm )
AB. AC 2
HF =
và
BC 2 .

Có

AB. AE = AF .AC
AH ⊥ BC tại H ⇒ ∆ AHB vuông tại H

Xét

∆ AHB

b) Chứng minh

vuông tại

AH 2 = AE.AB
Xét

∆ AHC

∆ AHC

H , đường cao HE ( HE ⊥ AB )

vng tại

H.

có:

(hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông)

vuông tại

Ngô Nguyễn Thanh Duy

và

H , đường cao HF ( HF ⊥ AC )

( 1)

có:
Trang 13

tại

F.


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

AH 2 = AF .AC (hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) ( 2 )
Từ ( 1) và ( 2 ) ⇒ AE. AB = AF . AC
HF ⊥ AC 
 ⇒ HF / / AB
Có AB ⊥ AC 

HF HC
=
AB BC (Hệ quả của định lí Ta - lét) ( 3)

⇒

AC 2 CH .BC CH
=
=
Mặt khác BC 2
BC 2
BC ( 4 )
Từ

( 3)

và

( 4) ⇒

c) Chứng minh
Ta có:

HF AC 2

AB. AC 2
=
⇒ HF =
AB BC 2
BC 2

BE 2 + CF 2 ≥ EF 2 . Khi nào dấu bằng xảy ra?

2
2
2
2
2
2
2
2
BE 2 + CF 2 = BH − EH + CH − FH = ( BH + CH ) − ( EH + FH )

= ( BH 2 + CH 2 ) − EF 2 = ( BH 2 + CH 2 ) − AH 2

⇒ BE 2 + CF 2 = ( BH 2 + CH 2 ) − AH 2

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, có:

BH 2 + CH 2 ≥ 2 BH .CH = 2AH 2

⇒ ( BH 2 + CH 2 ) − AH 2 ≥ 2 AH 2 − AH 2

Hay BE 2 + CF 2 ≥ AH 2

" = " xảy ra khi BH = CH .
Vậy ∆ ABC có AH là đường cao và là đường trung tuyến. Do đó ∆ ABC
Vậy ∆ ABC vng cân tại A .
Dấu

Câu 5.

(0,5 điểm).

a, b, c ≥ 0

và thỏa mãn

cân tại

A.

( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 8 chứng minh ab + bc + ca ≤ 3 .
Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho các số không âm, ta được:
+

a + b ≥ 2 ab , dấu bằng xảy ra khi: a = b

+

b + c ≥ 2 bc , dấu bằng xảy ra khi: b = c

+

a + c ≥ 2 ac , dấu bằng xảy ra khi: a = c

⇒ ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 8abc ⇒ 8 ≥ 8abc ⇒ abc ≤ 1 Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c .

Lại có:

Ngơ Nguyễn Thanh Duy

Trang 14


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

abc ≤ 1 ⇒ 8 + abc ≤ 9
⇒ ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) + abc ≤ 9
⇒ ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ≤ 9

⇒ ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ≤ 81
2

2

Mà:

( *)

a 2 + b2 + c 2 ≥ ab + bc + ca

⇒ ( a + b + c ) ≥ 3 ( ab + bc + ca )

2

⇒ ( ab + bc + ca ) ( a + b + c ) ≥ 3 ( ab + bc + ca )
2

Từ

( *)

và

2

3

( **)

( **) ⇒ 3 ( ab + bc + ca ) 3 ≤ 81 ⇒ ab + bc + ca ≤ 3 , Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c = 1
 HẾT 

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 15


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

ĐỀ 18
TRƯỜNG THCS NGÔ SĨ LIÊN

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG SỐ I- TOÁN 9

Năm học: 2018- 2019

Thời gian: 90 phút

Bài 1. (2 điểm) Tính:

B = 27 − 6

A = 18 − 2 50 + 3 8
Bài 2. (2 điểm) Tìm

1
3 −3
+
3
3

x , biết:

a) x + 9 = 7

b) 4 2 x + 3 − 8 x + 12 +

1
18 x + 27 = 15
3

c) x + 3 + 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 5

P=

Bài 3 (2 điểm).Cho biểu thức
a) Tính giá trị của P tại x = 9

b) Chứng minh:

M=

x +5
x −1 5 x − 2
Q=
−
x − 2 và
x + 2 4 − x với x ≥ 0; x ≠ 4

x
x−2

Q=

Q
1
M<
P . Tìm các giá trị của x để
2

c) Cho
d) Tìm các giá trị ngun của x để M có giá trị nguyên.

Bài 4. (3,5 điểm) Cho

∆ ABC vuông tại A , đường cao AH

của tam giác

ABC ( H ∈ BC )

3
sin ACB = ; BC = 20cm
1. Nếu
. Tính các cạnh AB, AC , BH và góc
5
đến độ)

2. Đường thẳng vng góc với

3. Kẻ tia phân giác
4. Lấy

K

BE

thuộc cạnh

Chứng minh rằng:

của

BC tại B

DBA ( E

AC , kẻ KM

AC

thuộc cạnh

tại

D . Chứng minh AD. AC = BH .BC

DA ). Chứng minh

vng góc với

(Số đo góc làm trịn

HC

tại

M , KN

tan EBA =

AD

AB + BD

vng góc với

AH

HN .NA + HM .MC = KA.KC

Bài 5: (0,5 điểm). Cho hai số

x, y

thay đổi thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ngơ Nguyễn Thanh Duy

cắt

ABC

0 < x < 1,0 < y < 1 .

P = x + y + x 1− y2 + y 1− x2 .

Trang 16

tại

N.


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

Hướng dẫn giải
Bài 1. (2 điểm) Tính:

A = 18 − 2 50 + 3 8

B = 27 − 6

1
3 −3
+
3
3
Giải

A = 18 − 2 50 + 3 8 = 9.2 − 2 25.2 + 3 4.2 = 3 2 − 2.5 2 + 3.2 2 = − 2

(

)

3 1− 3
1
3−3
6
B = 27 − 6 +

=3 3− 3+
= 3 3 − 2 3 + 1 − 3 =1
3
3
3
3
C=

(

)

5 7− 2
5
− 8− 2 7 + 2 =
−
7− 2
7+ 2

Bài 2. (2 điểm) Tìm

(

)

2

7 −1 + 2

= 7 − 2 − 7 +1+ 2 = 1

x , biết:

a) x + 9 = 7
b) 4 2 x + 3 − 8 x + 12 +

1
18 x + 27 = 15
3

c) x + 3 + 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 5
Giải.

a) x + 9 = 7

( x ≥ −9)

⇔ x + 9 = 49
⇔ x = 40 ( tm )
b) 4 2 x + 3 − 8 x + 12 +

1
3

18 x + 27 = 15  x ≥ − ÷
3
2


⇔ 4 2 x + 3 − 2 2 x + 3 + 2 x + 3 = 15

⇔ 3 2 x + 3 = 15
⇔ 2x + 3 = 5
⇔ 2 x + 3 = 25
⇔ 2 x = 22
⇔ x = 11 (tm)

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 17


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

( x ≥ 1)

c) x + 3 + 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 5
⇔
⇔

(
(

)

(

2

x − 1 + 2. x − 1.2 + 4 +
x −1 + 2

)

2

+

(

x −1 − 3

)

2

)

2

x − 1 − 2. x − 1.3 + 9 = 5
=5

⇔ x − 1 + 2+ | x − 1 − 3 |= 0
Th1: x − 1 − 3 ≥ 0 ⇔ x − 1 ≥ 9 ⇔ x ≥ 10
Pt ⇔ x − 1 + 2 + x − 1 − 3 = 5
⇔ 2 x −1 = 6
⇔ x −1 = 3
⇔ x = 10 (tm)
Th 2 : x − 1 − 3 < 0 ⇔ x − 1 < 9 ⇔ x < 10

⇒ 1 ≤ x < 10

Kết hợp điều kiện xác định

Pt ⇔ x − 1 + 2 − x − 1 + 3 = 5

(ln ln đúng

Vậy nghiệm của phương trình là 1 ≤

∀ 1 ≤ x < 10 )

x ≤ 10 .

x +5
x −1 5 x − 2
Q=
−
x − 2 và
x + 2 4 − x với x ≥ 0; x ≠ 4

P=

Bài 3 (2 điểm).Cho biểu thức
a) Tính giá trị của P tại x = 9

b) Chứng minh:

M=

Q=

x
x−2

Q
1
M<
P . Tìm các giá tri của x để
2

c) Cho
d) Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên.
GIẢI

a) Thay x = 9 (tmđk) vào P ta có
b)

Q=
=
=

P=

9+5
=8
9−2 .

x −1 5 x − 2
x −1 5 x − 2

−
=
+
4− x
x−4
x+2
x+2

( x − 1)( x − 2)

+

5 x −2

( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2)
x+2 x
( x + 2)( x − 2)

c) Ta có

M=

=

=

x−3 x +2+5 x −2
( x + 2)( x − 2)

x

x −2

Q
x
=
P
x +5

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 18


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

Để

x
1
x−5
< ⇔
<0
x + 5 2 2( x + 5)

1
2 =>

M<

x+ 5> 0

Ta có

x ≥ 0; x ≠ 4 )

( vì

x − 5 < 0 ⇔ x < 5 ⇔ x < 25
Kết hợp điều kiện x ≥ 0; x ≠ 4
=>

Vậy

0 ≤ x < 25; x ≠ 4

d) Ta có

thì

M<

1
2

x
5
= 1−
∈Z
x +5
x +5

M=

=> x + 5 ∈ Ư(5)= { ± 1; ± 5} (Chọn +1 và +5 vì
Bảng giá trị:

x+5
x
x

1

5

-4

0

Vơ lí

0(tm)

x + 5> 0

)

Vậy x=0 thì M có giá trị nguyên.
Bài 4. (3,5 điểm) Cho

∆ ABC vuông tại A , đường cao AH

của tam giác

ABC ( H ∈ BC )

3
sin ACB = ; BC = 20cm
1. Nếu
. Tính các cạnh AB, AC , BH và góc
5
đến độ)

2. Đường thẳng vng góc với

3. Kẻ tia phân giác

BE

của

BC tại B

DBA ( E

cắt

AC

thuộc cạnh

tại

K

DA ). Chứng minh

thuộc cạnh

(Số đo góc làm trịn

D . Chứng minh AD. AC = BH .BC

AC , kẻ KM vng góc với HC
Chứng minh rằng: HN .NA + HM .MC = KA.KC
4. Lấy

ABC

tại

M , KN

tan EBA =

AD
AB + BD

vng góc với

AH

Giải

Ngơ Nguyễn Thanh Duy

Trang 19

tại

N.


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

3
sin ACB = ; BC = 20cm
1. Nếu
. Tính các cạnh AB, AC , BH và góc
5
đến độ)

ABC

(Số đo góc làm trịn

- Xét ∆ ABC , có:

sin ACB =

AB 3 AB

⇒ =
⇒ AB = 3.20 : 5 = 12(cm)
BC 5 20

- Áp dụng định lý Pitago cho

∆ ABC

vuông tại A, ta có:

BC 2 = AB 2 + AC 2
⇒ 202 = 122 + AC 2 ⇒ AC 2 = 400 − 144 = 256 ⇒ AC = 16(cm)
- Áp dụng hệ thức lượng trong

∆ ABC

vng tại A, ta có:

AB 2 = BH .BC ⇒ 122 = BH .20 ⇒ BH = 144 / 20 = 7,2(cm)
- Ta có:

·ACB + ·ABC = 900 ⇒ sin ·ACB = cos ·ABC

3
⇒ cos ·ABC = ⇒ ·ABC ≈ 530
5
2. Đường thẳng vng góc với

BC tại B

cắt

AC

- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

tại

D . Chứng minh AD. AC = BH .BC

∆ ABC , ta có:

BC.BH = AB 2
-Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng

∆ DBC , ta có:

AD. AC = AB 2
Vậy

AD.AC = BH .BC

3. Kẻ tia phân giác
Ngô Nguyễn Thanh Duy

BE

của

DBA ( E

thuộc cạnh

DA ). Chứng minh

tan EBA =

AD
AB + BD
Trang 20


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

- Do

BE

AE ED
=
là tia phân giác của DBA nên: AB BD

- Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

AE ED AE + ED
AD
=
=
=
AB BD AB + BD AB + BD

Mà

Vậy

tan EBA =

AE
AB

tan EBA =

AD
AB + BD

AC , kẻ KM vng góc với HC
Chứng minh rằng: HN .NA + HM .MC = KA.KC
4. Lấy

K

thuộc cạnh

- Nhận xét: T giỏc
Nờn

-

ti

M , KN

vuụng gúc vi

AH

ả = Nà = 900 )
HMKN là hình chữ nhật (Vì Hµ = M

HM = NK ; NH = MK

∆ ANK : ∆ KMC ⇒

AN NK AK
NA HM AK
=
=
⇒
=
=
KM MC KC HN MC KC

NA HM AK
=
=
= m ⇒ NA = m.HN ; HM = m.MC ; AK = m.KC
Đặt HN MC KC
HN .NA + HM .MC = HN .m.HN + MC.m.MC = m.HN 2 + m.MC 2
HN .NA + HM .MC = m.( HN 2 + MC 2 ) = m.( MK 2 + MC 2 ) = m.KC 2
KA.KC = m.KC.KC = m.KC 2
⇒ HN .NA + HM .MC = KA.KC

Vậy

HN .NA + HM .MC = KA.KC

Bài 5: (0,5 điểm). Cho hai số

x, y

thay đổi thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

0 < x < 1,0 < y < 1 .

P = x + y + x 1− y2 + y 1− x2 .

Giải
Có

P = x + y + x 1 − y 2 + y 1 − x2

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 21

tại

N.

Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

⇒ P 3 = 3 ( x + y ) + x 3 − 3 y 2 + y 3 − 3x 2
x 2 + 3 − 3 y 2 y 2 + 3 − 3x 2
≤ 3 ( x + y) +
+
2
2
=-x 2 + 3 x − y 2 + 3 y + 3
2

2


3 
3 9 9
= −  x −
−
y
−
÷

÷
÷ 
÷ +2≤2
2
2

 


⇒

MaxP =

3 3
3
x= y=
2 khi
2

Ngơ Nguyễn Thanh Duy

Trang 22


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

ĐỀ 19
ĐỀ KS GIỮA KỲ I NĂM HỌC 2020 – 2021 – TOÁN 9 – ĐỀ 2
TRƯỜNG THCS PHAN CHU TRINH
Bài 1.

(1,0 điểm) Thực hiện phép tính:

a)

(

)

45 − 125 + 2 3 5 − 60

2
+ 4− 2 3 +
c) 3 − 2
Bài 2.

8
− 45 +
b) 6

(

)

2 3 − 11

(

)

1
6

2

6−5 +

2

(1,5 điểm) Giải phương trình
a)

x − 4x + 4 + 2 = 3
2

b)

2 4x − 8 −

2
5
49 x − 98 + 81x − 162 − 14 = 0
7
9

2 x−3
1
=−
c)
2
x −1
Bài 3.

(1,5 điểm)
1) Rút gọn biểu thức:

cos 2 60° .sin 2 45° + sin 2 60° .cos 2 45° − tan 35° .tan 55°

2) Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 6,5 m, tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ
Tính chiều cao của cột đèn.

Bài 4.

(2,5 điểm) Cho hai biểu thức
(ĐK:

1 
x +1
 1
x
B=
+
÷:
x −1  x − 2 x + 1
x + 2 và
 x− x

x > 0;x ≠ 1 )

a) Tìm giá trị của A khi
c) Tìm

x

để

B≤

x = 36

b) Rút gọn B.

1
3 .

d) Với các biểu thức
ngun.
Bài 5.

A=

44° .

A,B

nói trên hãy tính giá trị của

x

để biểu thức

P = A.B

nhận giá trị là số

ABC vuông tại C , đường cao CK . Cho biết AB = 10cm , AC = 8cm .
a) Tính BC , CK , BK , AK
b) Gọi H và I theo thứ tự là hình chiếu của K trên BC và AC .

Chứng minh: CB.CH = CACI
.
(3,0 điểm) Cho tam giác

c) Gọi

M

là chân đường vng góc kẻ từ

Ngơ Nguyễn Thanh Duy

K

1
1
1
=
+
xuống IH . Chứng minh KM 2 CH 2 CI 2
Trang 23


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

Bài 6.

AI AC 3
=
d) Chứng minh BH BC 3

(0,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(

)

2
2
P = 1 + 2a + 1 + 2b 1 ≤ a + b ≤ 2; a + b = 1

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 24


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1.

(1 điểm) Thực hiện phép tính

a)

(

)

45 − 125 + 2 3 5 − 60

b)

2
+ 4− 2 3 +
c) 3 − 2

(

)

2 3 − 11

8
− 45 +
6

(

)

2

6−5 +

2

Lời giải

a)

(

)

45 − 125 + 2 3 5 − 60
b)

(
)
= ( − 2 5 + 2 3 ) 5 − 2 15

= 3 5 − 5 5 + 2 3 5 − 2 15

(

) ( 1− 3 )

= −2 3 + 2 +

2

)

2

6−5 +

1
6

4 6
6
− 3 5 + 5− 6 +
3
6
6
=
−3 5 +5
2

= − 10

(2

(

=

= − 10 + 2 15 − 2 15
2
+ 4− 2 3 +
c) 3 − 2

8
− 45 +
6

)

3 − 11

2

+ 11 − 2 3

= −2 3 − 4 + 3 − 1 + 11 − 2 3
= −3 3 + 6
Bài 2.

(1,5 điểm) Giải phương trình
a)

x − 4x + 4 + 2 = 3
2

b)

2 4x − 8 −

2
5
49 x − 98 + 81x − 162 − 14 = 0
7
9

2 x−3
1
=−
c)
2

x −1
Lời giải
a)

x2 − 4 x + 4 + 2 = 3

⇔

( x − 2)

2

=1

⇔ x− 2 = 1
x− 2 = 1
⇔
⇔
 x − 2 = −1

Ngô Nguyễn Thanh Duy

x = 3
x = 1


Trang 25

1
6