PHÂN DẠNG HÌNH HỌC 8 TOÁN 8

MỤC LỤC
CHUYÊN ĐỀ I. TỨ GIÁC ............................................................................................................... 3
CHỦ ĐỀ 1. TỨ GIÁC ................................................................................................................... 3
CHỦ ĐỀ 2. HÌNH THANG ........................................................................................................ 7
CHỦ ĐỀ 3. HÌNH THANG CÂN ............................................................................................ 10
CHỦ ĐỀ 4. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG ............. 14
CHỦ ĐỀ 5. ĐỐI XỨNG TRỤC ................................................................................................ 21
CHỦ ĐỀ 6. HÌNH BÌNH HÀNH ............................................................................................. 24
CHỦ ĐỀ 7. ĐỐI XỨNG TÂM .................................................................................................. 28
CHỦ ĐỀ 8. HÌNH CHỮ NHẬT I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT ............................................... 31
CHỦ ĐỀ 9. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO
TRƯỚC ......................................................................................................................................... 36
ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ I ................................................................................................ 38
CHỦ ĐỀ 10. HÌNH THOI ......................................................................................................... 43
CHỦ ĐỀ 12-13-14. ÔN TẬP CHƯƠNG I và KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ ............................. 48
CHUYÊN ĐỀ II. ĐA GIÁC ........................................................................................................... 56
CHỦ ĐỀ 1. ĐA GIÁC - ĐA GIÁC ĐỀU ................................................................................. 56
CHỦ ĐỀ 2. DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT ........................................................................ 62
CHỦ ĐỀ 3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC ...................................................................................... 67
CHỦ ĐỀ 4. DIỆN TÍCH HÌNH THANG ............................................................................... 73
CHỦ ĐỀ 5. DIỆN TÍCH HÌNH THOI .................................................................................... 78
CHỦ ĐỀ 6. DIỆN TÍCH ĐA GIÁC ......................................................................................... 82
CHỦ ĐỀ 7. DIỆN TÍCH ĐA GIÁC ......................................................................................... 87
CHỦ ĐỀ 8-9. ƠN TẬP CHƯƠNG II ....................................................................................... 91
ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ II ............................................................................................... 97
CHUYÊN ĐỀ 3. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG .......................................................................... 101
CHỦ ĐỀ 1. ĐỊNH LÝ TA – LÉT ............................................................................................. 101
CHỦ ĐỀ 2. ĐỊNH LÝ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ TA – LET ............................ 107
CHỦ ĐỀ 3. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA MỘT TAM GIÁC ................. 112
CHỦ ĐỀ 4. KHÁI NIỆM HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG ............................................ 118
1

CHỦ ĐỀ 5. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT ................................................ 123
CHỦ ĐỀ 6. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ HAI .................................................... 126
CHỦ ĐỀ 7. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA ...................................................... 130
CHỦ ĐỀ 8. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG .......... 134
ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ 3 ......................................................................................................... 140
ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ 3 .............................................................................................. 142
CHUYÊN ĐỀ 4. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HỈNH CHÓP ĐỀU ....................................... 148
CHỦ ĐỀ 1. HÌNH HỘP CHỮ NHẬT ................................................................................... 148
CHUYÊN ĐỀ 4. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HỈNH CHĨP ĐỀU ....................................... 153
CHỦ ĐỀ 1. HÌNH HỘP CHỮ NHẬT ................................................................................... 153
CHỦ ĐỀ 2. THÊ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT ................................................... 159
CHỦ ĐỀ 3. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG ............................................................................... 163
CHỦ ĐỀ 4. DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
...................................................................................................................................................... 166
CHỦ ĐỀ 5. HÌNH CHĨP ĐỂU VÀ HÌNH CHĨP CỤT ĐỂU .......................................... 170
CHỦ ĐỀ 6. DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THÊ TÍCH CỦA HÌNH CHĨP ĐỂU .. 174
ƠN TẬP CHUN ĐỀ 4 ......................................................................................................... 178
ĐỂ KIÊM TRA CHUYÊN ĐỀ 4 .............................................................................................. 182

2


CHUYÊN ĐỀ I. TỨ GIÁC
CHỦ ĐỀ 1. TỨ GIÁC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
* Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD và DA; trong đó bất kỳ hai đoạn
thẳng nào cũng không nằm trên một đường thẳng.
* Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất

kỳ cạnh nào của tứ giác.
* Chú ý: Khi nói đến tứ giác mà khơng chú thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi.

a) Tứ giác lồi

a) Tứ giác không lồi

b) Tứ giác không lồi

b) Không phải tứ giác

* Định lý: Tổng các góc của một tứ giác bằng 3600.
* Mở rộng: Tổng bốn góc ngồi ở bốn đỉnh của một tứ giác bằng 3600.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1. Tính số đo góc
Phương pháp giải: Sử dụng định lý tổng bốn góc trong một tứ giác. Kết hợp các kiến thức
đã học về tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tốn tổng hiệu... để tính ra số đo các góc.
 :C
 :D
 =4 : 3 : 2 : 1 .
1A. Cho tứ giác ABCD biết A : B
3


a) Tính các góc của tứ giác ABCD.

 cắt nhau tại E. Các đường phân giác của góc ngồi tại các
 và D
b) Các tia phân giác của C



đỉnh C và D cắt nhau tại F. Tính CE
D và CF
D.
 của tứ giác ABCD biết A = 120°, B
 = 90° và C
 và D
  2D
.
1B. Tính số đo các góc C
Dạng 2. Tìm mối liên hệ giữa các cạnh, đường chéo của tứ giác
Phương pháp giải: Có thể chia tứ giác thành các tam giác để sử dụng bất đẳng thức tam
giác.
2A. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh:
a) Tổng hai cạnh đối nhỏ hơn tổng hai đường chéo;
b) Tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.
2B. Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác. Chứng minh:
a) MA + MB + MC + M D ≥ A B + CD;
b) MA + MB + MC + MD ≥

1
(AB + BC + CD + DA).
2

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
3.Cho tứ giác ABCDcó AB = AD, CB = CD (ta gọi tứ giác ABCD trong trường hợp này là tứ
giác có hình cánh diêu).
a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD.

, D
 biết A = 100°, C
 = 60°.
b) Tính B
, D
 cắt nhau tại I và CID
  500. Các tia phân giác của C
 = 1150.
4. Tứ giác ABCD có 
A B
 .
Tính các góc 
A, B
5. a) Chứng minh trong một tứ giác có hai đường chéo vng góc, tổng bình phương của
hai cạnh đối này bằng tổng các bình phương của hai cạnh đối kia.
b) Tứ giác ABCD có AC vng góc với BD. Biết AD = 5cm, AB = 2 cm, BC = 10 cm. Tính độ
dài CD.

 và BC = AD. Chứng minh:
6. Cho tứ giác ABCD có 
A B
a) ∆DAB = ∆CBA, từ đó suy ra BD = AC;
4



ADC  BC
D;
b) 
c) AB // CD.

 và F
 cắt
7. Cho tứ giác ABCD, AB Cắt CD tại E, BC cắt AD tại F. Các tia phân giác của E
nhau tại I. Chứng minh
 
  ABC  ADC ;
a) EIF
2

  1300 và BCD
  500 thì IE  IF .
b) Nếu BAD

HƯỚNG DẪN

1A. a) Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

  1080 , C
  720 , D
  360
A  1440 , B
b) Sử dụng tổng ba góc trong tam giác tính được
  1260 .
CED
Chú ý hai phân giác trong và ngoài tại mỗi góc của
một tam giác thì vng góc nhau, cùng với tổng bốn
  540
góc trong tứ giác, ta tính được CFD
1B. HS tự chứng minh:

  500 , C
  1000
D
2A. a) Sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một
tam giác thì lớn hơn cạnh cịn lại cho các tam giác
OAB, OBC,OCD và ODA.
b) Chứng minh tổng hai đường chéo lớn hơn nửa
chu vi tứ giác sử dụng kết quả của a).
Chứng minh tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi tứ
giác sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam
giác thì lớn hơn cạnh cịn lại cho các tam giác ABC,
5


ADC, ABD và CBD.
2B. a) HS tự chứng minh
b) Tương tự 2A a)
3. a) HS tự chứng minh
b) Sử dụng tổng bốn góc trong tứ giác và chú ý
D

B
D

4. Tính tổng C
5. a) Sử dụng Pytago
b) Áp dụng a)
6. a) HS tự chứng minh
b) HS tự chứng minh

c) Sử dụng a), b) và tổng bốn góc trong tứ giác
7) a) Gọi IF  CD   N 
Theo định lý về góc ngồi của tam giác

  FNE
E ;
 NIE có FIE
2

D
E ;
 DNF có FNE
2
 
D
  E  F (1) .
Vậy FIF
2

ADE có
  1800  ( D

E
A1 );
  1800  ( D
 C
 );
 DFC có F
1
F

  3600  (2 D

)
E
A1  C
1
 C
D
  (2 D

)  B
D
;

A1  B
A1  C
1
1
1
1

6


   
D
  B1  D  D  B1 (ĐPCM)
Thay vào (1) được EIF
2
2

b) Áp dụng a).

CHỦ ĐỀ 2. HÌNH THANG

I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
* Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
Hình thang ABCD (AB // CD):
AB: đáy nhỏ
CD: đáy lớn
AD, BC: cạnh bên.
* Nhận xét:
- Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau.
- Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng
nhau.
Hình thang ABCD (AB // CD):
AD//BC  AD = BC; AB = CD
AB = CD  AD // BC; AD = BC.

* Hình thang vng là hình thang có một góc vng.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
7


Dạng 1. Tính số đo góc
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song và tổng bốn góc của một
tứ giác. Kết hợp các kiến thức đã học và tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tốn tổng hiệu …
để tính ra số đo các góc.
  600.

1A. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có D
a) Tính chất
b) Biết

 4
B
 và C
.
 . Tính B
 5
D

  200 , B
  2C
 . Tính các góc của hình thang.
1B. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có 
A D
Dạng 2. Chứng minh hình thang, hình thang vng
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hình thang, hình thang vng.

 . Chứng minh rằng ABCD là hình
2A. Tứ giác ABCD có BC = CD và DB là tia phân giác D
thang và chỉ rõ cạnh đáy và cạnh bên của hình thang.
2B. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ về phái ngồi tam giác ACD vng cân tại D.
Tứ giácABCD là hình gì ? Vì sao?
Dạng 3. Chứng minh mối liên hệ giữa các cạnh, tính diện tích của hình thang, hình
thang vng

 và C
 cắt nhau ở I.

3A. Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD) hai tia phân giác của B
Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, CD lần lượt ở E và F.
a) Tìm các hình thang.
b) Chứng minh rằng tam giác BEI cân ở E và tam giác IFC cân ở F.
c) Chứng minh EF = BE + CF.
  900 , AB = AD = 2 cm, DC = 4 cm và BH
3B. Cho hình thang vng ABCD có A  D
vng góc với CD tại H.
a) Chứng minh ∆ABD = ∆HDB.
b) Chứng minh tam giác BHC vuông cân tại H.
c) Tính diện tích hình thang ABCD.

8


III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
1  
4. Tính các góc của hình thang ABCD (AB//CD) biết rằng: có 
A D
, B  C  500.
3

, B
 C
 , AB = 3cm, CD = 4 cm. Tính đường cao
5. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có 
A  3D
AH của hình thang và tính diện tích hình thang.
6. Cho hình thang ABCD (AB//CD ) có CD = AD + BC. Gọi K là điểm thuộc đáy CD sao cho
KD = AD. Chứng minh rằng:

a) AK là tia phân giác cùa 
A;
b) KC = BC;

 .
c) BK là tia phân giác của B
7. Cho tam giác ABC vng cân tại A có AB = 4 cm. Vẽ về phía ngồi tam giác ACD vng
cân tại D. Tính diện tích tứ giác ABCD.

HƯỚNG DẪN

1A. a) HS tự làm> Tìm được  = 1200

  480 và C
  1320
b) HS tự làm. Tìm được B
, 
, C
 là các cặp góc trong cùng phía. 
  800 , B
  1200 ,
1B. Chú ý A
D và B
A  1000 , D
  600
C
2A. Chú ý tam giác CBD cân tại C. Khi đó cùng với DB là phân giác góc S ta chứng minh
.
được 
ADB  CBD

2B.HS tự chứng minh tứ giác ABCD là hình thang vng.
3A.a) HS tự tìm
b) Sử dụng các cặp góc so le trong của hai đường thẳng song song và tính chất tia phân
giác.
c) Suy ra từ b)
9


3B. HS tự chứng minh.

  1150 , C
  650
D  1350 , B
4. Tương tự 1B. Ta tính được A  450 , 
  900 , C
  900 , D
  450 , từ đó suy ra ABCD
A  1350 , B
5. Tương tự 1B. Tính được số đo của 
là hình thang vng  BC  DC . Vận dụng nhận xét hình thang ABCH (AB//CH) có hai
cạnh bên song song thì hai cạnh đáy bằng nhau, để tính được CH = 3cm, từ đó suy ra DH
= 1cm.
Chứng minh được AHD vuông cân tại H  AH = 1cm
 diện tích hình thang ABCD là 3,5cm2
6. a) Sử dụng các cặp góc so le trong và tính chất tam giác cân.
b) HS tự chứng minh.
c) Tương tự a).
7. Tương tự 2B. Ta chứng minh được ABCD là hình thang vng. Từ đó tính được diện
tích ABCD là:
S ABCD  s ABC  s ACD 

1
1
1
1
AC. AB  CA.DH  .4.4  .4.2  12cm 2
2
2
2
2

(Với DH là đường cao tam giác ACD)

CHỦ ĐỀ 3. HÌNH THANG CÂN

I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Khái niệm
Hình thang cân là hình thang có

A

hai góc kề một đáy bằng nhau.
10

B


2. Tính chất
- Trong hình thang cân, hai cạnh bên
bằng nhau.

- Trong hình thang cân, hai đuờng chéo
bằng nhau.
3. Dấu hiệu nhận biết
- Hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân.
- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau khơng phải ln là hình thang cân.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1. Tính số đo góc, độ dài cạnh và diện tích hình thang cân
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hình thang cân về cạnh góc, đường chéo và cơng thức
tính diện tích hình thang để tính tốn.
 . Tính các góc của hình thang cân.
1A. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có 
A  2C
 . Tính các góc của hình thang cân.
1B. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có 
A  3D
2A. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AH và BK là hai đường cao của hình thang.
a) Chứng minh DH =

CD  AB
.
2

b) Biết AB = 6 cm, CD = 14 cm, AD = 5 cm, tính DH, AH và diện tích hình thang cân
ABCD.
  600 , AB = 4,5cm; AD = BC = 2 cm. Tính
2B. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có A  B
độ dài đáy CD và diện tích hình thang cân ABCD.
Dạng 2. Chứng minh hình thang cân
Phương pháp giải: Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thang cân.

3A. Cho tam giác ABC cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến của tam giác.
Chứng minh BCDE là hình thang cân.
3B. Cho tam giác ABC cân tại A có BH và CK là hai đường cao của tam giác. Chứng minh
BCHK là hình thang cân.
11


Dạng 3. Chứng minh các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau trong hình thang cân
4A. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD ). Gọi O là giao điểm của AD và BC;
Gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a) Tam giác AOB cân tại O;
b) Các tam giác ABD và BAC bằng nhau;
c) EC = ED;
d) OE là trung trực chung của AB và CD.
4B. Cho tam giác ABC cân tại A và điểm M tùy ý nằm trong tam giác. Kẻ tia Mx song
song vói BC cắt AB ở D, tia My song song với AC cắt BC ỏ E. Chứng minh

  900  A .
DME
2
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
5. Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên BC. Chứng minh CA là tia phân
.
giác của BCD
6. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có E và F lần lượt là trung điểm hai đáy AB và CD.
Chứng minh EF vng góc với AB.
7. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có hai đường chéo vng góc với nhau. Chứng
minh chiều cao của hình thang cân bằng nửa tổng độ dài hai cạnh đáy.
8. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có đường chéo BD vng góc với cạnh bên BC và
đồng thời DB là tia phân giác của 

ADC.
a) Tính các góc của hình thang cân ABCD.
b) Biết BC = 6 cm, tính chu vi và diện tích của hình thang cân ABCD.

HƯỚNG DẪN

  2D

  1800 và 
1A. Ta có 
A  2C
A D
D
  600 , A  B
  1200
Suy ra C

D
  450 , A  B
  1350
1B. Tương tự bài 1A. Ta có: C
2A. a) Chứng minh
12


ADH = BCK (ch-gnh)
 DH = CK
Vận dụng nhận xét hình thang ABKH (AB//KH) có AH//BK  AB = HK
b) Vậy DH 

CD  AB
2

c) DH = 4cm, AH = 3cm; SABCD = 30cm2

2B. Hạ CH và DK vng góc với AB
Ta có:
1
AD  1cm
2
Từ đó: CD = 2,5cm
AK  BH 

CH  3cm
S ABCD 

 AB  CD  .CD  7
2

3
2

cm 2

3A. Sử dụng tính chất đường trung bình, ta chứng minh được DE//BC.
3B. Chứng minh BKC = CHB (ch-gnh)
Suy ra CK = BH & AK = AH.

1800  KAH
 hay KH / / BC.

Từ đó 
AKH 
 ABC
2

  OBA

4A. a) OAB
suy ra OAB cân tại O.
b) HS tự chứng minh.
 , suy ra EDC
  ECD
 hay
c) 
ADB  BCA
ECD cân tại E.
d) ta có: OA = OB, EA = EB, suy ra OE là
đường trung trực của đoạn AB.
Tương tự có OE cũng là đường trung
13


trực của đoạn CD. Vậy OE là đường
trung trực chung của AB và CD.
  MEB
  1800
4B. Do MD / / BC  DME
  1800  MEB

Suy ra DME


A
 1800  
ACB  900 
2
5. Chứng minh:

  DCA
 . Suy ra CA là tia phân giác của BCD

ACB  CAB
6. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Chứng minh: OE  AB.
Tương tự, có OF  CD.
Suy ra OF  AB. Vậy EF  AB.
7. Xét hình thang ABCD có các đường cao AH và BK. Từ A kẻ đường thẳng song song với
BD cắt CD ở E  AB = ED.
AB  CD
Chứng minh 
ACH  450 . Do EAC vuông cân ở A nên AH  CH  EH 
2

  2 BDC

a) DBC vng
có BCD

  600 và DAB
  CBA
  1200

ADC  BCD

nên

b) Tính được DC = 2.BC = 12cm, suy ra PABCD
= 30cm.
Hạ đường cao BK, ta có BK = 3 3cm .
Vậy SABCD = 27 3cm 2

CHỦ ĐỀ 4. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG

I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Đường trung bình của tam giác
* Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam
giác.
14


* Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh
thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
* Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa
cạnh ấy.
2. Đường trung bình của hình thang
* Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên
của hình thang.
* Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song
vói hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
* Định lí 4: Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai
đáy.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bìn của tam giác để chứng minh
Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình của tam giác, Định lí 1, Định lí 2
để suy ra điều cân chứng minh.
1A. Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC. Kẻ tií Mx song song với AC
cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh:
a) EF là đường trung bình của tam giác ABC;
b) AM là đường trung trực của EF.
1B. Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC. Trên cạnh AB lấy điểm D và E
sao cho AD = DE = EB. Đoạn CD cắt AM tại I. Chứng minh:
a) EM song song vói DC;
b) I là trung điểm của AM;
c) DC = 4DI.
Dạng 2. Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bình của hình thang để chứng
minh
Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình của hình thang, Định lí 3, Định lí 4
để suy ra điều cần chứng minh.

15


2A. Cho hình thang vng ABCD tại A và D. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC.
Chứng minh:
a) AFD cân tại F;

  CDF
.
b) BAF

 cắt nhau tại
2B. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Các đường phân giác ngoài của 

A và D
 và C
 cắt nhau tại F. Chứng minh:
E, các đường phân giác ngoài của B
a) EF song song với AB và CD;
b) EF có độ dài bằng nửa chu vi hình thang ABCD.
Dạng 3. Sử dụng phối hợp đường trung bình của tam giác và đường trung bình của
hình thang đê chứng minh
Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình của tam giác, Định nghĩa đường
trung bình của hình thang và các Định lí : 1, 2, 3, 4 để suy ra điều cần chứng minh.
3A. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BD,
AC, BC. Chứng minh:
a) M, N, P, Q cùng nằm trên một đường thẳng;
b) NP =

1
DC  AB .
2

3B. Cho hình thang ABCD (AB//CD) với AB = a, BC = b, CD = c và DA = d. Các tia phân
 và C
 cắt nhau tại F. Gọi
giác của góc A và góc D cắt nhau tại E, các tia phân giác của B
M, N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC.
a) Chứng minh M, E, N, F cùng nằm trên một đường thẳng.
b) Tính độ dài MN, MF, FN theo a, b, c, d.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
4. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ tia Hx vuông góc với AB tại
P và tia Hy vng góc vói AC tại Q. Trên các tia Hx, Hy lần lượt lấy các điếm D và E sao
cho PH = PD, QH = QE. Chứng minh:

a) A là trung điểm của DE;
b) PQ =

1
DE;
2

c) PQ = AH.
16


5. Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến ứng vói BC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho
1
AD = C. Kẻ Mx song song với BD và cắt AC tại E. Đoạn BD cắt AM tại I. Chứng minh:
2
a) AD = DE = EC;
b) SAIB = SIBM;
C)SABC = 2SIBC.

6. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC.
a) Chứng minh EK song song với CD, FK song song với AB.
b) So sánh EF và

1
( AB + CD).
2

c) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để ba điểm E, F, K thẳng hàng. Từ đó chứng
1
minh EF = (AB + CD).

2
7. Cho tứ giác ABCD. Có G là trung điểm của đoạn nối các trung điểm của hai đường
chéo AC và BD. Gọi m là một đường thẳng không cắt cạnh nào của hình thang ABCD; Gọi
A', B', C’, D’, G' lần lượt là hình chiếu của A, B, C, D, G lên đường thẳng m. Chứng minh
1
GG' = (AA'+BB'+CC'+DD’).
2
HƯỚNG DẪN
1a. a) Mx đi qua trung điểm M của BC và song song
với AC. Suy ra Mx đi qua trung điểm E của AB
(theo Định lí 1).
Tương tự, ta được F cũng là trung điểm của AC.
Khi đó EF trở thành đường trung bình của tam giác
ABC;
b) Do ME và MF cũng là đường trung bình nên có
ME = MF = AE = AF. Suy ra AM là đường trung
trực của EF.
1B. a) Ta có EM là đường trung bình của tam giác
BCD  ĐPCM.
b) DC đi qua trung điểm D của AE và song song
với EM  DC đi qua trung điểm I của AM.
c) Vì DI là đường trung bình của tam giác AEM nên
17


DI =

1
EM.(1)
2

Tương tự, ta được: EM =

1
DC (2)
2

Từ (1) và (2)  DC = 4DI
2A. a) Ta có È là đường trung bình của hình thang
ABCD.
 EF//AB.
Suy ra EF  AD
Khi đó EF vừa trung tuyến, vừa là đường cao của
tam giác AFD  ĐPCM.

  EDF

b) Tam giác AFD cân tại F nên EAF
  CDF

Suy ra FAB
2B.

a) Gọi M và N lần lượt là giao điểm của AE, BF với CD.
1
1
Ta có: 
ngồi, DAE
ADE  D
A ngồi.

2
2

 ngồi = 1800 (do AB//CD)
Mà A ngoài + D
  900 , tức là tam giác ADE vuông tại E.

ADE  DAE
Khi đó, tam giác ADM cân tại D (do có DE vừa là đường phân giác, vừa là đường cao) và
E là trung điểm của AM.
Chứng minh tương tự, ta được F olaf trung điểm của BN.
Từ khó, suy ra EF là đường trung bình của hình thang ABNM và ta được ĐPCM
1
b) Từ ý a), EF  ( AB  BC  CD  DA)
2

Lưu ý: Có thể sử dụng tính chất đường phân giác để chứng minh.

18


3A. a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác
ABD
 MN / / AB

Tương tự, ta được MP//CD và MQ//AB, CD.
Như vậy, MN, MP, MQ cùng song song AB 
ĐPCM.
b)
Ta

1
1
DC  AB  2MP  2MN  MP  MN  NP
2
2

có:

3B.a)Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của AE, AF
với CD.
Chứng minh tương tự 2B.
b) Ta có:
MN 

1
1
( AB  CD )  ( a  c )
2
2

Lại có:
c = CD = CQ + QD = BC + QD = b + QD (do tam giác
BCQ cân)  QD = c - b.
Trong hình thang ABQD có M là trung điểm của AD và MF//DQ nên chứng minh được F
là trung điểm của BQ, từ đó chứng minh MF là đường trung bình của hình thang ABQD.
Vì MF là đường trung bình của hình thang ABQD.
1
1
 MF  ( AB  DQ )  (a  c  b)
2

2
1
1
Mặt khác, FN là đường trung bình của tam giác BCQ, tức là FN  CQ  b.
2
2

19


4. a) Chứng minh được tam giác ADH và AEH
cân tại A.
  HAP

  HAQ
 và AD = AH =
, EAQ
Khi đó: DAP
AE.
Từ đó, suy ra được A, A, E thẳng hàng và A là
trung điểm DE.
b) PQ là đường trung bình của tam giác DHE 
ĐPCM.
c) Có AH = AD = AE =

1
1
DE, mà PQ = DE 
2
2

AH = PQ.
5. a) Theo định lý 1, trong tam giác BDC có: M là
trung điểm của BC, ME//BD  E là trung điểm
1
của DC  DE = EC =
DC.
2
Suy ra AD = DE = EC.
b) Từ ý a) D là trung điểm của AE. Suy ra ID là đường trung bình của tam giác AME hay
IA = IM.
Vậy SAIB= SIBM.
c) Hạ hai đường cao AH và IK của tam giác ABC và IBC
Chứng minh được IK là đường trung bình của tam giác AHM  IK =

1
AH.
2

Xét hai tam giác ABC và IBC có chung đáy BC và hai đường cao AH = 2IK  ĐPCM.
6. a) HS tự chứng minh.
b) Xét tam giác
1
1
1
EFK : EF  EK  KF  CD  AB  ( AB  CD );
2
2
2
c) Để E, F, K thẳng hàng, khi đó EF đồng thời

song song với AB và CD. Tức là tứ giác ABCD
là hình thang (AB//CD)
Theo định lý 4, EF 

1
( AB  CD ).
2

7. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD; E' và F' lần lượt là hình chiếu của E, F
trên đường thẳng m.
20


Khi đó, GG' là đường trung bình của hình thang EE'F'F

 GG ' 

1
EE' +FF').
2

Mà EE' và FF' lần lượt là đường trung bình của hình thang AA'C'C và BB'D'D.
 EE ' 

1
1
(AA' +CC') và FF '  (BB' +DD')
2
2

Thay vào (1) ta được ĐPCM.

CHỦ ĐỀ 5. ĐỐI XỨNG TRỤC

I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
• Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng: Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua
đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thảng nối hai điểm ấy.
A đối xứng với A' qua d
 d là trung trực của AA'.
Khi đó ta cịn nói:
A' đối xứng với A qua d.
Hoặc
A và A' đối xứng nhau qua d.
* Quy ước. Một điểm nằm trên trục đối xứng thì điểm đối xứng với nó qua trục đối xứng
là chính nó.

21


* Hai hình đối xứng qua một đường thẳng: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường
thẳng d nếu một điểm bất kì thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua
đường thẳng d và ngược lại.
* Nhận xét: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thắng
thì bằng nhau.
* Hình có trục đối xứng: Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xúng
với mỗi điểm thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H
* Định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của
hình thang cân đó.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN

Dạng 1. Chứng minh hai điểm hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một đường thẳng
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hai điểm đối xúng hoặc hai hình đối xứng với nhau
qua một đường thẳng.
1A. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao AH. Lấy các đi K theo thứ tự trên AB, AC
sao cho AI = AK. Chứng minh hai điếm I, K đối xứng với nhau qua AH.
1B. Cho tam giác cân ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC. Chứng minh rằng cạnh AB
đối xứng vói AC qua AM.
Dạng 2. Sử dụng tính chất đối xứng trục để giải tốn
Phương pháp giải: Sử dụng nhận xét hai đoạn thẳng (góc, giác) đối xứng vói nhau qua một
đường thẳng thì bằng nhau.

A = 90°). Lấy M bất kì trên cạnh Gọi E, F lần lượt là các điếm đối
2A. Cho tam giác vuông ABC( 
xứng với M qua AB và AC. Chứng minh: A là trung điểm của EF.
2B. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B (như hình vẽ). Tìm vị điểm C trên d để chu vi
tam giác ABC nhỏ nhất.

22


III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
3. Cho tam giác ABC có AB < AC, gọi d là đường trung trực của BC. Vẽ K đối xứng với A
qua d.
a) Tìm đoạn thẳng đối xứng với đoạn thẳng AB qua đường thẳng d; tìm đoạn
thẳng đối xứng với đoạn thẳng AC qua đường thẳng d.
b) Tứ giác AKCB là hình gì?
4. Cho tam giác ABC, có A = 60°, trực tâm H. Gọi M là điểm đối xứng với H qua BC.
a) Chứng minh ∆BHC = ∆BMC.
.
b) Tính BMC

5. Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên đường phân giác của góc ngoài đỉnh C. Chứng
minh AC + CB < AM + MB.
6. Cho tam giác nhọn ABC. Lấy M bất kì trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là các điểm đối
xứng vói M qua AB và AC. Gọi I, K là giao điểm của EF với AB và AC.

.
a) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của IMK
b) Khi M cố định, tìm vị trí điểm P  AB và Q  AC để chu vi tam giác MPQ đạt
giá trị nhỏ nhất.

HƯỚNG DẪN

1A. Sử dụng tính chất của tam giác cân chỉ ra được AH là
 . Tiếp tục chỉ ra được AH là đường
phân giác của góc IAK
trung trực của IK. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
1B. Chứng minh được B đối xứng với C qua AM, A đối xứng
với chính A qua AM. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
2A. Sử dụng tính chất đối xứng trục  AE = AF (=AM) (1).
;
Sử dụng tính chất của tam giác cân  
A A
A 
A . Từ đó
1

2

3

4

  1800  A, E , F thằng hàng (2).
chỉ ra được EAF
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
2B. Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d  A' cố định.
Vì C  d  CA = CA' (tính chất đối xứng trục). Ta có:
23


PABC = AB + AC + BC
= AB + (CA' + CB) ≥ AB + BA' (không đổi. Dấu "=" xảy ra tức là
chu vi tam giác nhỏ nhất khi C là giao điểm của d và BA'.
3. a) Đoạn thẳng đối xứng với AB, AC qua đường thẳng d lần
lượt là KC, KB.
b) ta có AK//BC (vì cùng vng góc với d) và AC = KB (tính
chất đối xứng trục)  tứ giác AKCB là hình thang cân.
4. a) Chứng minh được BHC = BMC (c.c.c).
b) Gọi {C'} = CH AB. Sử dụng định lý tổng 4 góc trong tứ

giác AB'HC' ta tính được B
' HC '  1200


Ta
có
B
' HC '  BHC
(đối
  BMC

 (do BHC BMC )  BMC
  1200
BCH

đỉnh)

và

5. Trên tia đối của tia CB lấy điểm A' sao cho CA' = CA. Sử
dụng tính chất của tam giác cân ta có được CM là đường
trung trực của AA'  MA = MA'. Sử dụng bất đẳng thức
trong tam giác A'MB ta có: CA + CB = CA' + CB = BA' MB  CA + CB < MA + MB.
6. a) Sử dụng tính chất đối xứng trục kết hợp với chứng minh
M
 và F
M
 , mà
tam giác bằng nhau ta có được E
1

1

1

2

F
 (Tính chất tam giác cân)
E

1
1
M
  ĐPCM.
M
1
2
b) Sử dụng tính chất đối xứng trục ta có PM = PE; QM = QF.
Theo bất đẳng thức trong tam giacs MPQ, ta có:
PMPQ = MP + PQ + QM= (PE + PQ) + QF ≥ EQ + QF ≥ EF.
Do M cố định, tam giác ABC cố định  E, F, I, K cố định. Vậy
(PMPQ)min = EF  P  I, Q  K.

CHỦ ĐỀ 6. HÌNH BÌNH HÀNH

I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
• Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song.

24


Tứ giác ABCD là
hình bình hành
 AB / /CD

 AD / / BC
* Tính chất: Trong hình bình hành:
- Các cạnh đối bằng nhau.
- Các góc đối bằng nhau.
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

* Dấu hiệu nhận biết:
- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.
- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh tính chất hình học
Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của
hình bình hành.
1A. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điếm của AD, F là trung điểm của BC.
Chứng minh:

;
ABE  CDF
a) BE = DF và 

b) BE // DF.

1B. Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.
Gọi M v à N lần lượt là giao điểm của AI và CK với BD. Chứng minh:
a)  ADM =  CBN;
  NCA
 và IM//CN;
b) MAC
c) DM = MN = NB.
Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành
25