PHÂN DẠNG HÌNH HỌC 8 TOÁN 8

MỤC LỤC

1


CHUYÊN ĐỀ I. TỨ GIÁC
CHỦ ĐỀ 1. TỨ GIÁC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
* Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD và DA; trong đó bất kỳ
hai đoạn thẳng nào cũng không nằm trên một đường thẳng.
* Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường
thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác.
* Chú ý: Khi nói đến tứ giác mà khơng chú thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác
lồi.

a) Tứ giác lồi

b) Tứ giác không lồi

a) Tứ giác không lồi

b) Không phải tứ giác

* Định lý: Tổng các góc của một tứ giác bằng 3600.
* Mở rộng: Tổng bốn góc ngồi ở bốn đỉnh của một tứ giác bằng 3600.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1. Tính số đo góc
Phương pháp giải: Sử dụng định lý tổng bốn góc trong một tứ giác. Kết hợp các
kiến thức đã học về tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tốn tổng hiệu... để tính ra
số đo các góc.

1A. Cho tứ giác ABCD biết

µA : B
µ :C
µ :D
µ

=4 : 3 : 2 : 1 .
2


a) Tính các góc của tứ giác ABCD.
b) Các tia phân giác của

µ
C

cắt nhau tại E. Các đường phân giác của góc
· D
· D.
CE
CF
ngồi tại các đỉnh C và D cắt nhau tại F. Tính
và
1B. Tính số đo các góc
µ = 2D
µ.
C

µ

C

và

µ
D

và

µ
D

của tứ giác ABCD biết

µA

= 120°,

µ
B

= 90° và

Dạng 2. Tìm mối liên hệ giữa các cạnh, đường chéo của tứ giác
Phương pháp giải: Có thể chia tứ giác thành các tam giác để sử dụng bất đẳng
thức tam giác.
2A. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh:
a) Tổng hai cạnh đối nhỏ hơn tổng hai đường chéo;
b) Tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.
2B. Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác. Chứng

minh:
a) MA + MB + MC + M D ≥ A B + CD;
1
2

b) MA + MB + MC + MD ≥

(AB + BC + CD + DA).

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
3.Cho tứ giác ABCDcó AB = AD, CB = CD (ta gọi tứ giác ABCD trong trường
hợp này là tứ giác có hình cánh diêu).
a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD.
b) Tính

µ ,D
µ
B

biết

µA

= 100°,

4. Tứ giác ABCD có

= 60°.

µA − B

µ = 500.

= 115 . Tính các góc
0

µ
C

µA, B
µ

Các tia phân giác của

µ ,D
µ
C

cắt nhau tại I và

·
CID

.

5. a) Chứng minh trong một tứ giác có hai đường chéo vng góc, tổng bình
phương của hai cạnh đối này bằng tổng các bình phương của hai cạnh đối kia.

3

b) Tứ giác ABCD có AC vng góc với BD. Biết AD = 5cm, AB = 2 cm, BC = 10
cm. Tính độ dài CD.
6. Cho tứ giác ABCD có

µA = B
µ

và BC = AD. Chứng minh:

a) ∆DAB = ∆CBA, từ đó suy ra BD = AC;
b)

·ADC = BC
· D;

c) AB // CD.
7. Cho tứ giác ABCD, AB Cắt CD tại E, BC cắt AD tại F. Các tia phân giác của
µ
F
và cắt nhau tại I. Chứng minh

a)

·ABC + ·ADC
·
EIF
=
;
2

b) Nếu

·
BAD
= 1300

và

·
BCD
= 500

thì

IE ⊥ IF .

HƯỚNG DẪN

1A. a) Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng
nhau.

µA = 1440 , B
µ = 1080 , C
µ = 720 , D
µ = 360

b) Sử dụng tổng ba góc trong tam giác tính
·
CED
= 1260

được
.
Chú ý hai phân giác trong và ngồi tại mỗi
góc của một tam giác thì vng góc nhau,
cùng với tổng bốn góc trong tứ giác, ta tính
·
CFD
= 540
được
1B. HS tự chứng minh:

4

µ
E


µ = 500 , C
µ = 1000
D
2A. a) Sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong
một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các
tam giác OAB, OBC,OCD và ODA.
b) Chứng minh tổng hai đường chéo lớn hơn
nửa chu vi tứ giác sử dụng kết quả của a).
Chứng minh tổng hai đường chéo nhỏ hơn
chu vi tứ giác sử dụng tính chất tổng hai
cạnh trong một tam giác thì lớn hơn cạnh
còn lại cho các tam giác ABC, ADC, ABD và
CBD.

2B. a) HS tự chứng minh
b) Tương tự 2A a)
3. a) HS tự chứng minh
b) Sử dụng tổng bốn góc trong tứ giác và chú
µ =D
µ
B
ý
4. Tính tổng

µ +D
µ
C

5. a) Sử dụng Pytago
b) Áp dụng a)
6. a) HS tự chứng minh
b) HS tự chứng minh
c) Sử dụng a), b) và tổng bốn góc trong tứ
giác
7) a) Gọi

IF ∩ CD = { N }

Theo định lý về góc ngồi của tam giác
VNIE

có

µ

E
·
·
FIE
= FNE
+
2

;

5


VDNF

Vậy

có

µ
·
µ +E
FNE
=D
2

µ µ
·
µ + E + F (1)
FIF

=D
2

;

.

∆ADE có
µ = 1800 − ( D
µ +µ
E
A1 );

VDFC

có

µ = 1800 − ( D
µ +C
µ );
F
1

µ +F
µ = 3600 − (2 D
µ +µ
µ)
⇒E
A1 + C
1

µ +C
µ +D
µ − (2 D
µ +µ
µ )=B
µ −D
µ;
=µ
A1 + B
A1 + C
1
1
1
1

Thay vào
(ĐPCM)

(1)

được

µ µ µ µ
·
µ + B1 − D = D + B1
EIF
=D
2
2

b) Áp dụng a).

CHỦ ĐỀ 2. HÌNH THANG
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
* Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
Hình thang ABCD (AB // CD):
AB: đáy nhỏ
CD: đáy lớn
AD, BC: cạnh bên.
* Nhận xét:
- Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau.
- Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song
và bằng nhau.
6


Hình thang ABCD (AB // CD):
AD//BC ⇒ AD = BC; AB = CD
AB = CD ⇒ AD // BC; AD = BC.

* Hình thang vng là hình thang có một góc vng.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1. Tính số đo góc
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song và tổng bốn
góc của một tứ giác. Kết hợp các kiến thức đã học và tính chất dãy tỉ số bằng
nhau, toán tổng hiệu … để tính ra số đo các góc.
1A. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có

µ = 600.

D

a) Tính chất

b) Biết

µ 4
B
= .
µ 5
D

Tính

µ
B

và

µ.
C

1B. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có
thang.

µA − D
µ = 200 , B
µ = 2C
µ.

Tính các góc của hình

Dạng 2. Chứng minh hình thang, hình thang vng
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hình thang, hình thang vng.
µ
D

2A. Tứ giác ABCD có BC = CD và DB là tia phân giác
. Chứng minh rằng
ABCD là hình thang và chỉ rõ cạnh đáy và cạnh bên của hình thang.
2B. Cho tam giác ABC vng cân tại A. Vẽ về phái ngồi tam giác ACD vng
cân tại D. Tứ giácABCD là hình gì ? Vì sao?
7


Dạng 3. Chứng minh mối liên hệ giữa các cạnh, tính diện tích của hình
thang, hình thang vng
µ
B

µ
C

3A. Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD) hai tia phân giác của và
cắt
nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, CD lần lượt ở E và F.
a) Tìm các hình thang.
b) Chứng minh rằng tam giác BEI cân ở E và tam giác IFC cân ở F.
c) Chứng minh EF = BE + CF.
3B. Cho hình thang vng ABCD có

BH vng góc với CD tại H.

µA = D
µ = 900

, AB = AD = 2 cm, DC = 4 cm và

a) Chứng minh ∆ABD = ∆HDB.
b) Chứng minh tam giác BHC vuông cân tại H.
c) Tính diện tích hình thang ABCD.

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

4. Tính các góc của hình thang ABCD (AB//CD) biết rằng: có

µA = 1 D
µ ,B
µ −C
µ = 500.
3

µA = 3D
µ ,B
µ =C
µ,

5. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có
AB = 3cm, CD = 4 cm. Tính
đường cao AH của hình thang và tính diện tích hình thang.
6. Cho hình thang ABCD (AB//CD ) có CD = AD + BC. Gọi K là điểm thuộc đáy

CD sao cho KD = AD. Chứng minh rằng:
a) AK là tia phân giác cùa

µA

;

b) KC = BC;
c) BK là tia phân giác của

µ
B

.

7. Cho tam giác ABC vng cân tại A có AB = 4 cm. Vẽ về phía ngồi tam giác
ACD vng cân tại D. Tính diện tích tứ giác ABCD.

8


HƯỚNG DẪN

1A. a) HS tự làm> Tìm được  = 1200
b) HS t lm. Tỡm c
1B. Chỳ ý

ảA , àD

v

à = 480
B

ả ,C
à
B

v

à = 1320
C

l cỏc cp gúc trong cựng phía.

µA = 1000

,

µ = 800
D

,

µ = 1200 C
µ = 600
B
,
2A. Chú ý tam giác CBD cân tại C. Khi đó cùng với DB là phân giác góc S ta
·ADB = CBD

·
chứng minh được
.
2B.HS tự chứng minh tứ giác ABCD là hình thang vng.
3A.a) HS tự tìm
b) Sử dụng các cặp góc so le trong của hai đường thẳng song song và tính chất
tia phân giác.
c) Suy ra từ b)

3B. HS tự chứng minh.
4. Tương tự 1B. Ta tính được

µA = 450 , µD = 1350 , B
µ = 1150 , C
µ = 650
µA = 1350 , B
µ = 900 , C
µ = 900 , D
µ = 450

5. Tương tự 1B. Tính được số đo của
, từ đó suy ra
⇒ BC ⊥ DC
ABCD là hình thang vng
. Vận dụng nhận xét hình thang ABCH
(AB//CH) có hai cạnh bên song song thì hai cạnh đáy bằng nhau, để tính được
CH = 3cm, từ đó suy ra DH = 1cm.
Chứng minh được ∆AHD vuông cân tại H ⇒ AH = 1cm
9

⇒ diện tích hình thang ABCD là 3,5cm2
6. a) Sử dụng các cặp góc so le trong và tính chất tam giác cân.
b) HS tự chứng minh.
c) Tương tự a).
7. Tương tự 2B. Ta chứng minh được ABCD là hình thang vng. Từ đó tính
được diện tích ABCD là:
S ABCD = s ABC + s ACD =

1
1
1
1
AC . AB + CA.DH = .4.4 + .4.2 = 12cm 2
2
2
2
2

(Với DH là đường cao tam giác ACD)

CHỦ ĐỀ 3. HÌNH THANG CÂN
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Khái niệm
Hình thang cân là hình thang có

A

hai góc kề một đáy bằng nhau.

B

2. Tính chất
D

- Trong hình thang cân, hai cạnh
bên bằng nhau.

C

- Trong hình thang cân, hai đuờng
chéo bằng nhau.
3. Dấu hiệu nhận biết
- Hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân.
- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau khơng phải ln là hình thang
cân.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1. Tính số đo góc, độ dài cạnh và diện tích hình thang cân
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hình thang cân về cạnh góc, đường chéo
và cơng thức tính diện tích hình thang để tính tốn.
10


1A. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có
cân.
1B. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có
cân.

µA = 2C

µ

µA = 3D
µ

. Tính các góc của hình thang

. Tính các góc của hình thang

2A. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AH và BK là hai đường cao của hình
thang.

a) Chứng minh DH =

CD − AB
.
2

b) Biết AB = 6 cm, CD = 14 cm, AD = 5 cm, tính DH, AH và diện tích hình
thang cân ABCD.
µA = B
µ = 600

2B. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có
, AB = 4,5cm; AD = BC = 2
cm. Tính độ dài đáy CD và diện tích hình thang cân ABCD.
Dạng 2. Chứng minh hình thang cân
Phương pháp giải: Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thang cân.
3A. Cho tam giác ABC cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến của tam
giác. Chứng minh BCDE là hình thang cân.

3B. Cho tam giác ABC cân tại A có BH và CK là hai đường cao của tam giác.
Chứng minh BCHK là hình thang cân.
Dạng 3. Chứng minh các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau trong hình
thang cân
4A. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD ). Gọi O là giao điểm của AD
và BC; Gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a) Tam giác AOB cân tại O;
b) Các tam giác ABD và BAC bằng nhau;
c) EC = ED;
d) OE là trung trực chung của AB và CD.
4B. Cho tam giác ABC cân tại A và điểm M tùy ý nằm trong tam giác. Kẻ tia Mx
song song vói BC cắt AB ở D, tia My song song với AC cắt BC ỏ E. Chứng minh
µA
·
DME
= 900 + .
2

11


III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
5. Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên BC. Chứng minh CA là
·
BCD
.
tia phân giác của
6. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có E và F lần lượt là trung điểm hai đáy
AB và CD. Chứng minh EF vng góc với AB.
7. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có hai đường chéo vng góc với nhau.

Chứng minh chiều cao của hình thang cân bằng nửa tổng độ dài hai cạnh đáy.
8. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có đường chéo BD vng góc với cạnh
·ADC.
bên BC và đồng thời DB là tia phân giác của
a) Tính các góc của hình thang cân ABCD.
b) Biết BC = 6 cm, tính chu vi và diện tích của hình thang cân ABCD.

HƯỚNG DẪN
1A. Ta có
Suy ra

µA + D
µ = 180 0

và

µA = 2C
µ = 2D
µ

µ =D
µ = 600 , µA = B
µ = 1200
C

1B. Tương tự bài 1A. Ta có:

µ =D
µ = 450 , µA = B
µ = 1350

C

2A. a) Chứng minh
∆ADH = ∆BCK (ch-gnh)
⇒ DH = CK
Vận dụng nhận xét hình thang ABKH (AB//KH) có AH//BK ⇒ AB = HK
DH =
b) Vậy

CD − AB
2

c) DH = 4cm, AH = 3cm; SABCD = 30cm2

12


2B. Hạ CH và DK vng góc với AB
Ta có:
1
AK = BH = AD = 1cm
2
Từ đó: CD = 2,5cm
CH = 3cm
S ABCD =

( AB + CD ) .CD = 7
2

3

2

cm 2

3A. Sử dụng tính chất đường trung bình, ta chứng minh được DE//BC.
3B. Chứng minh ∆BKC = ∆CHB (ch-gnh)
Suy ra CK = BH & AK = AH.

Từ đó

0
·
·AKH = 180 − KAH = ·ABC hay KH / / BC .
2

·
·
OAB
= OBA
4A. a)
suy ra ∆OAB cân tại O.
b) HS tự chứng minh.
·ADB = BCA
·
·
·
EDC
= ECD
c)
, suy ra

hay ∆ECD cân tại E.
d) ta có: OA = OB, EA = EB, suy ra
OE là đường trung trực của đoạn
AB.
Tương tự có OE cũng là đường
trung trực của đoạn CD. Vậy OE là
đường trung trực chung của AB và
CD.
·
·
MD / / BC ⇒ DME
+ MEB
= 1800
4B. Do
·
·
DME
= 1800 − MEB
Suy ra
µA
= 1800 − ·ACB = 900 +
2

13


5. Chứng minh:
·ACB = CAB
·
·

= DCA

. Suy ra CA là tia phân giác của

·
BCD

6. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Chứng minh: OE ⊥ AB.
Tương tự, có OF ⊥ CD.
Suy ra OF ⊥ AB. Vậy EF ⊥ AB.
7. Xét hình thang ABCD có các đường cao AH và BK. Từ A kẻ đường thẳng song
song với BD cắt CD ở E ⇒ AB = ED.

Chứng minh

·ACH = 450

a) ∆DBC vng có
·ADC = BCD
·
= 600

và

AH = CH = EH =

. Do ∆EAC vuông cân ở A nên
·
·

BCD
= 2 BDC

AB + CD
2

nên

·
·
DAB
= CBA
= 1200

b) Tính được DC = 2.BC = 12cm,
suy ra PABCD = 30cm.
Hạ đường cao BK, ta có BK =
.
Vậy SABCD =

3 3cm

27 3cm 2

CHỦ ĐỀ 4. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Đường trung bình của tam giác
* Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai
cạnh của tam giác.
* Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song

song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
* Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và
bằng nửa cạnh ấy.
14


2. Đường trung bình của hình thang
* Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm
hai cạnh bên của hình thang.
* Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và
song song vói hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
* Định lí 4: Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và bằng
nửa tổng hai đáy.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bìn của tam
giác để chứng minh
Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình của tam giác, Định lí
1, Định lí 2 để suy ra điều cân chứng minh.
1A. Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC. Kẻ tií Mx song
song với AC cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh:
a) EF là đường trung bình của tam giác ABC;
b) AM là đường trung trực của EF.
1B. Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC. Trên cạnh AB lấy điểm
D và E sao cho AD = DE = EB. Đoạn CD cắt AM tại I. Chứng minh:
a) EM song song vói DC;
b) I là trung điểm của AM;
c) DC = 4DI.
Dạng 2. Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bình của hình
thang để chứng minh
Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình của hình thang, Định

lí 3, Định lí 4 để suy ra điều cần chứng minh.
2A. Cho hình thang vng ABCD tại A và D. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của
AD, BC. Chứng minh:
a) ∆AFD cân tại F;

b)

·
·
BAF
= CDF
.

µA

µ
D

2B. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Các đường phân giác ngồi của
và
µ
µ
C
B
cắt nhau tại E, các đường phân giác ngoài của
và cắt nhau tại F. Chứng
minh:
15

a) EF song song với AB và CD;
b) EF có độ dài bằng nửa chu vi hình thang ABCD.
Dạng 3. Sử dụng phối hợp đường trung bình của tam giác và đường
trung bình của hình thang đê chứng minh
Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình của tam giác, Định
nghĩa đường trung bình của hình thang và các Định lí : 1, 2, 3, 4 để suy ra
điều cần chứng minh.
3A. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của
AD, BD, AC, BC. Chứng minh:
a) M, N, P, Q cùng nằm trên một đường thẳng;

b) NP =

1
DC − AB .
2

3B. Cho hình thang ABCD (AB//CD) với AB = a, BC = b, CD = c và DA = d. Các
µ
µ
C
B
tia phân giác của góc A và góc D cắt nhau tại E, các tia phân giác của
và
cắt nhau tại F. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC.
a) Chứng minh M, E, N, F cùng nằm trên một đường thẳng.
b) Tính độ dài MN, MF, FN theo a, b, c, d.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
4. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ tia Hx vng góc
với AB tại P và tia Hy vng góc vói AC tại Q. Trên các tia Hx, Hy lần lượt lấy

các điếm D và E sao cho PH = PD, QH = QE. Chứng minh:
a) A là trung điểm của DE;

b) PQ =

1
DE;
2

c) PQ = AH.
5. Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến ứng vói BC. Trên cạnh AC lấy điểm
1
2

D sao cho AD =
C. Kẻ Mx song song với BD và cắt AC tại E. Đoạn BD cắt AM
tại I. Chứng minh:
a) AD = DE = EC;
b) SAIB = SIBM;
16


C)SABC

= 2SIBC.

6. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC.
a) Chứng minh EK song song với CD, FK song song với AB.

b) So sánh EF và

1
2

( AB + CD).

c) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để ba điểm E, F, K thẳng hàng. Từ đó

chứng minh EF =

1
2

(AB + CD).

7. Cho tứ giác ABCD. Có G là trung điểm của đoạn nối các trung điểm của hai
đường chéo AC và BD. Gọi m là một đường thẳng không cắt cạnh nào của hình
thang ABCD; Gọi A', B', C’, D’, G' lần lượt là hình chiếu của A, B, C, D, G lên

đường thẳng m. Chứng minh GG' =

1
2

(AA'+BB'+CC'+DD’).

HƯỚNG DẪN
1a. a) Mx đi qua trung điểm M của BC và
song song với AC. Suy ra Mx đi qua trung
điểm E của AB (theo Định lí 1).

Tương tự, ta được F cũng là trung điểm của
AC. Khi đó EF trở thành đường trung bình
của tam giác ABC;
b) Do ME và MF cũng là đường trung bình
nên có ME = MF = AE = AF. Suy ra AM là
đường trung trực của EF.
1B. a) Ta có EM là đường trung bình của tam
giác BCD ⇒ ĐPCM.
b) DC đi qua trung điểm D của AE và song
song với EM ⇒ DC đi qua trung điểm I của
AM.
c) Vì DI là đường trung bình của tam giác
1
2
AEM nên DI =
EM.(1)
1
2
Tương tự, ta được: EM = DC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ DC = 4DI
2A. a) Ta có È là đường trung bình của hình
thang ABCD.
⇒ EF//AB.
17


Suy ra EF ⊥ AD
Khi đó EF vừa trung tuyến, vừa là đường cao
của tam giác AFD ⇒ ĐPCM.
·

·
EAF
= EDF
b) Tam giác AFD cân tại F nên
·
·
FAB
= CDF
Suy ra
2B.

a) Gọi M và N lần lượt là giao điểm của AE, BF với CD.

Ta có:
Mà

µA

·ADE = 1 D
µ
2

ngồi +

ngồi,

µ
D

·

⇒ ·ADE + DAE
= 900

1
·
DAE
= µA
2

ngồi.

ngồi = 1800 (do AB//CD)
, tức là tam giác ADE vng tại E.

Khi đó, tam giác ADM cân tại D (do có DE vừa là đường phân giác, vừa là
đường cao) và E là trung điểm của AM.
Chứng minh tương tự, ta được F olaf trung điểm của BN.
Từ khó, suy ra EF là đường trung bình của hình thang ABNM và ta được ĐPCM
EF =

b) Từ ý a),

1
( AB + BC + CD + DA)
2

Lưu ý: Có thể sử dụng tính chất đường phân giác để chứng minh.
3A. a) Ta có MN là đường trung bình của tam
giác ABD
⇒ MN / / AB

Tương tự, ta được MP//CD và MQ//AB, CD.
Như vậy, MN, MP, MQ cùng song song AB ⇒
ĐPCM.
18


b)

Ta

có:

1
1
DC − AB = 2MP − 2 MN = MP − MN = NP
2
2

3B.a)Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của AE,
AF với CD.
Chứng minh tương tự 2B.
b) Ta có:
1
1
MN = ( AB + CD ) = (a + c )
2
2
Lại có:
c = CD = CQ + QD = BC + QD = b + QD (do
tam giác BCQ cân) ⇒ QD = c - b.

Trong hình thang ABQD có M là trung điểm của AD và MF//DQ nên chứng minh
được F là trung điểm của BQ, từ đó chứng minh MF là đường trung bình của
hình thang ABQD.
Vì MF là đường trung bình của hình thang ABQD.

⇒

1
1
MF = ( AB + DQ ) = (a + c − b)
2
2

Mặt khác, FN là đường trung bình của tam giác BCQ, tức là
4. a) Chứng minh được tam giác ADH và
AEH cân tại A.
·
·
·
·
DAP
= HAP
, EAQ
= HAQ
Khi đó:
và AD = AH
= AE.
Từ đó, suy ra được A, A, E thẳng hàng và
A là trung điểm DE.
b) PQ là đường trung bình của tam giác

DHE ⇒ ĐPCM.
1
1
2
2
c) Có AH = AD = AE = DE, mà PQ = DE
⇒ AH = PQ.
5. a) Theo định lý 1, trong tam giác BDC
có: M là trung điểm của BC, ME//BD ⇒ E là
19

1
1
FN = CQ = b.
2
2


1
2

trung điểm của DC ⇒ DE = EC =
DC.
Suy ra AD = DE = EC.
b) Từ ý a) D là trung điểm của AE. Suy ra ID là đường trung bình của tam giác
AME hay IA = IM.
Vậy SAIB= SIBM.
c) Hạ hai đường cao AH và IK của tam giác ABC và IBC

Chứng minh được IK là đường trung bình của tam giác AHM ⇒ IK =

1
2

AH.

Xét hai tam giác ABC và IBC có chung đáy BC và hai đường cao AH = 2IK ⇒
ĐPCM.
6. a) HS tự chứng minh.
b) Xét tam giác
EFK : EF ≤ EK + KF =

1
1
1
CD + AB = ( AB + CD );
2
2
2

c) Để E, F, K thẳng hàng, khi đó EF
đồng thời song song với AB và CD. Tức
là tứ giác ABCD là hình thang (AB//CD)
EF =

Theo định lý 4,

1
( AB + CD).
2

7. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD; E' và F' lần lượt là hình chiếu
của E, F trên đường thẳng m.
Khi đó, GG' là đường trung bình của hình thang EE'F'F

20


⇒ GG ' =

1
EE' +FF').
2

Mà EE' và FF' lần lượt là đường trung bình của hình thang AA'C'C và
BB'D'D.
1
⇒ EE ' = (AA' +CC')
2

FF' =
và

1
(BB' +DD')
2

Thay vào (1) ta được ĐPCM.

CHỦ ĐỀ 5. ĐỐI XỨNG TRỤC

I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
• Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng: Hai điểm được gọi là đối xứng với
nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thảng nối hai
điểm ấy.
A đối xứng với A' qua d
⇔ d là trung trực của AA'.
Khi đó ta cịn nói:
A' đối xứng với A qua d.
Hoặc
A và A' đối xứng nhau qua d.
* Quy ước. Một điểm nằm trên trục đối xứng thì điểm đối xứng với nó qua trục
đối xứng là chính nó.
* Hai hình đối xứng qua một đường thẳng: Hai hình gọi là đối xứng với nhau
qua đường thẳng d nếu một điểm bất kì thuộc hình này đối xứng với một điểm
thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại.
* Nhận xét: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một
đường thắng thì bằng nhau.
* Hình có trục đối xứng: Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu
điểm đối xúng với mỗi điểm thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình
H
* Định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối
xứng của hình thang cân đó.
21


II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh hai điểm hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một
đường thẳng
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hai điểm đối xúng hoặc hai hình đối
xứng với nhau qua một đường thẳng.

1A. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao AH. Lấy các đi K theo thứ tự
trên AB, AC sao cho AI = AK. Chứng minh hai điếm I, K đối xứng với nhau qua
AH.
1B. Cho tam giác cân ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC. Chứng minh rằng
cạnh AB đối xứng vói AC qua AM.
Dạng 2. Sử dụng tính chất đối xứng trục để giải toán
Phương pháp giải: Sử dụng nhận xét hai đoạn thẳng (góc, giác) đối xứng vói
nhau qua một đường thẳng thì bằng nhau.
µA

2A. Cho tam giác vng ABC( = 90°). Lấy M bất kì trên cạnh Gọi E, F lần lượt là
các điếm đối xứng với M qua AB và AC. Chứng minh: A là trung điểm của EF.
2B. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B (như hình vẽ). Tìm vị điểm C trên d để
chu vi tam giác ABC nhỏ nhất.

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
3. Cho tam giác ABC có AB < AC, gọi d là đường trung trực của BC. Vẽ K đối
xứng với A qua d.
a) Tìm đoạn thẳng đối xứng với đoạn thẳng AB qua đường thẳng d; tìm
đoạn thẳng đối xứng với đoạn thẳng AC qua đường thẳng d.
b) Tứ giác AKCB là hình gì?
4. Cho tam giác ABC, có
BC.

µA

= 60°, trực tâm H. Gọi M là điểm đối xứng với H qua

22

a) Chứng minh ∆BHC = ∆BMC.
b) Tính

·
BMC

.

5. Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên đường phân giác của góc ngoài đỉnh C.
Chứng minh AC + CB < AM + MB.
6. Cho tam giác nhọn ABC. Lấy M bất kì trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là các
điểm đối xứng vói M qua AB và AC. Gọi I, K là giao điểm của EF với AB và AC.
a) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của

·
IMK

.

b) Khi M cố định, tìm vị trí điểm P ∈ AB và Q ∈ AC để chu vi tam giác
MPQ đạt giá trị nhỏ nhất.

HƯỚNG DẪN

1A. Sử dụng tính chất của tam giác cân chỉ ra được
·
IAK
AH là phân giác của góc
. Tiếp tục chỉ ra được AH

là đường trung trực của IK. Từ đó suy ra điều phải
chứng minh.
1B. Chứng minh được B đối xứng với C qua AM, A đối
xứng với chính A qua AM. Từ đó suy ra điều phải
chứng minh.
2A. Sử dụng tính chất đối xứng trục ⇒ AE = AF
(=AM) (1).
⇒ ¶A 1 = ¶A2 ; µ
A3 = ¶A 4
Sử dụng tính chất của tam giác cân
.
·
EAF
= 1800 ⇒ A, E , F
Từ đó chỉ ra được
thằng hàng (2).
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
2B. Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d ⇒ A' cố
định.
Vì C ∈ d ⇒ CA = CA' (tính chất đối xứng trục). Ta có:
P∆ABC = AB + AC + BC
= AB + (CA' + CB) ≥ AB + BA' (không đổi. Dấu "="
xảy ra tức là chu vi tam giác nhỏ nhất khi C là giao
điểm của d và BA'.
3. a) Đoạn thẳng đối xứng với AB, AC qua đường
thẳng d lần lượt là KC, KB.
b) ta có AK//BC (vì cùng vng góc với d) và AC = KB
(tính chất đối xứng trục) ⇒ tứ giác AKCB là hình
thang cân.
23

4. a) Chứng minh được ∆BHC = ∆BMC (c.c.c).
b) Gọi {C'} = CH ∩ AB. Sử dụng định lý tổng 4 góc
· ' HC ' = 1200
B
trong tứ giác AB'HC' ta tính được
· ' HC ' = BHC
·
B
Ta
có
(đối
đỉnh)
và
0
·BCH = BMC
·
·
(do VBHC =VBMC ) ⇒ BMC = 120
5. Trên tia đối của tia CB lấy điểm A' sao cho CA' =
CA. Sử dụng tính chất của tam giác cân ta có được
CM là đường trung trực của AA' ⇒ MA = MA'. Sử dụng
bất đẳng thức trong tam giác A'MB ta có: CA + CB =
CA' + CB = BA' 6. a) Sử dụng tính chất đối xứng trục kết hợp vi
à =M
ả
E
1

1
chng minh tam giỏc bng nhau ta cú c
à =M
ả
à =F
à
F
E
1
2
1
1
v
, m
(Tớnh cht tam giỏc cõn)
ả =M
ả
M
1
2
PCM.
b) S dụng tính chất đối xứng trục ta có PM = PE; QM
= QF. Theo bất đẳng thức trong tam giacs MPQ, ta
có:
P∆MPQ = MP + PQ + QM= (PE + PQ) + QF ≥ EQ + QF ≥
EF.
Do M cố định, tam giác ABC cố định ⇒ E, F, I, K cố
định. Vậy (P∆MPQ)min = EF ⇔ P ≡ I, Q ≡ K.

CHỦ ĐỀ 6. HÌNH BÌNH HÀNH

I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
• Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song.
Tứ giác ABCD là
hình bình hành

 AB / / CD
⇔
 AD / / BC
* Tính chất: Trong hình bình hành:
- Các cạnh đối bằng nhau.
- Các góc đối bằng nhau.
24


- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
* Dấu hiệu nhận biết:
- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.
- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình
hành.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh tính chất
hình học
Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường
chéo của hình bình hành.
1A. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điếm của AD, F là trung điểm của
BC. Chứng minh:
a) BE = DF và

·ABE = CDF
·
;

b) BE // DF.

1B. Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của các cạnh AB
và CD. Gọi M v à N lần lượt là giao điểm của AI và CK với BD. Chứng minh:
a)
b)

∆

ADM =

∆

·
MAC
= ·NCA

CBN;

và IM//CN;

c) DM = MN = NB.
Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành
Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác
là hình bình hành.

2A. Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vng góc với BD
ở H và ở K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.
2B. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD.
Qua điểm O, vẽ đường thẳng a cắt hai đường thẳng AD, BC lần lượt tại E, F.
Qua O vẽ đưòng thẳng b cắt hai cạnh AB, CD lần lượt tại K, H. Chứng minh tứ
giác EKFH là hình bình hành.
25