DE THI HSG

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN :TOÁN LỚP 7 Bài 1: (1,5 điểm): So sánh hợp lý:. a). 1 16. 200. ( ). và. 1 2. 1000. (). b) (-32)27 và (-18)39. Bài 2: (1,5 điểm): Tìm x biết: a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 c) ||x +3|−8|=20 2006 2 2008 Bài 3: (1,5 điểm): Tìm các số x, y, z biết : a) (3x - 5) +(y - 1) + (x - z) 2100 = 0 x. y. z. b) 2 = 3 = 4 và x2 + y2 + z2 = 116 Bài 4: (1,5 điểm): Cho đa thức A = 11x4y3z2 + 20x2yz - (4xy2z - 10x2yz + 3x4y3z2) - (2008xyz2 + 8x4y3z2) a/ Xác định bậc của A. b/ Tính giá trị của A nếu 15x - 2y = 1004z.. x y z t Bài 5: (1 điểm): Chứng minh rằng: M = x+ y + z + x + y +t + y + z+ t + x + z +t có giá trị không phải là số tự nhiên.( x, y, z, t N ❑ ). Bài 6: (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng: a) BH = AI. b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi. b) Đường thẳng DN vuông góc với AC. c) IM là phân giác của góc HIC..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> TRƯỜNG THCS THÔNG NHẤT 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - NĂM HỌC 2011 MÔN: TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao. đề) Họ và tên: ………………………… Lớp: 7/…………….. SBD: ………………………. Bài 1: (1,5 điểm): So sánh hợp lý: a). 1 16. 200. ( ). và. 1 2. 1000. (). 27. b) (-32) và (-18)39 X Bài 2: (1,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C =. + 2. với x là nguyên. |x|. a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0 x. y. z. b) 2 = 3 = 4 và x2 + y2 + z2 = 116 Bài 4: (1,5 điểm): Cho đa thức A = 11x4y3z2 + 20x2yz - (4xy2z - 10x2yz + 3x4y3z2) - (2008xyz2 + 8x4y3z2) a/ Xác định bậc của A. b/ Tính giá trị của A nếu 15x - 2y = 1004z. Bài 5: (1 điểm): Cho x, y, z, t N ❑ . x y z t Chứng minh rằng: M= x+ y + z + x + y +t + y + z+ t + x + z +t có giá trị không phải là số tự nhiên. Bài 6: (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng: a) BH = AI. b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi. c) Đường thẳng DN vuông góc với AC. d) IM là phân giác của góc HIC..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> TRƯỜNG THCS THỐNG NHẤT ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MÔN TOÁN 7 Bài 1: (1,5 điểm): 1 200 1 4 . 200 1 800 1 1000 = a) Cách 1: = > 16 2 2 2 200 200 5 .200 1 1 1 1 1000 = Cách 2: 16 > 32 = 2 2 5 27 b) 3227 = 2 ¿¿ = 2135 < 2156 = 24.39 = 1639 < 1839 ⇒ -3227 > -1839 ⇒ (-32)27 > (-18)39. ( ) ( ). () () () ( ) () (). Bài 2: (1,5 điểm): Xét các trường hợp: - Xét x −2 thì C 1 - Xét x = -1 thì C = 1. - Xét x 1 . Khi đó A =. x +2 x. 2. (0,75đ) (0,5đ) (0,25đ). = 1 + x . Ta thấy C lớn nhất. 0,5đ Chú ý rằng x là số nguyên dương nên. 2 x. lớn nhất. ⇔. ⇔. 2 x. 0,25đ. 0,25đ. lớn nhất,. x nhỏ nhất , tức là x = 1, khi đó C =. 3. ( 0,25đ) So sánh các trường hợp trên ta suy ra : GTLN của C bằng 3 khi và chỉ khi x = 1.. ( 0,25đ). Bài 3: (1,5 điểm): a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0 ⇒ (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = 0 ⇒ 3x - 5 = 0; y2 - 1 = 0 ; x - z = 0. (0,25đ). 5. ⇒. x = z = 3 ;y = -1;y = 1. x. y. (0,25đ). z. b) 2 = 3 = 4 và x2 + y2 + z2 = 116 Từ giả thiết ⇒. x 2 y 2 z 2 x 2+ y 2+ z 2 116 = = = = =4 4 9 16 4+ 9+16 29. Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = 8 ); (x = - 4; y = - 6; z = - 8 ) Bài 4: (1,5 điểm): a/ A = 30x2yz - 4xy2z - 2008xyz2 ⇒ A có bậc 4 b/ A = 2xyz( 15x - 2y - 1004z ) ⇒ A = 0 nếu 15x - 2y = 1004z. (0,5đi) (0,5đ) (0,5đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,5đ).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài 5: (1 điểm):. x. x. x. Ta có: x + y + z +t < x+ y+ z < x + y. ⇒. (0,25đ). y y y < < x + y + z +t x+ y+ t x + y z z z < < x + y + z +t y + z+t z +t t t t < < x + y + z +t x+ z +t z +t x + y + z +t x y z t < M <¿ ( + )+( + ) x + y + z +t x+ y x+ y z +t z +t. (0,25). (0,25đ). hay: 1 < M < 2 . Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên Bài 6: (3 điểm): a. AIC = BHA  BH = AI b. BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 c. BHM = AIM  HM = MI và BMH = IMA mà :  IMA + BMI = 900  BMH + BMI = 900  HMI vuông cân  HIM = 450 mà : HIC = 900 HIM =MIC= 450  IM là phân giác HIC B. (0,25đ) (0,75đ) (0,75đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,25đ) (0,25đ). H D. M I N. C. A. Đáp án Toán 7 Bài 1: (1,5 điểm): a) Cách 1: Cách 2:. 1 16 1 16. 200. ( ) ( ). 200. = >. 1 2. 4 . 200. 1 2. 800. 1 2. 1000. () () () (321 ) = ( 12 ) =( 12 ) =. 200. >. 5 .200. 1000. (0,75điểm) 5 27 b) 3227 = 2 ¿¿ = 2135 < 2156 = 24.39 = 1639 < 1839 18)39 Bài 2: (1,5 điểm):. ⇒ -3227 > -1839 ⇒ (-32)27 > (-.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> a) (2x-1)4 = 16 .Tìm đúng x =1,5 ; x = -0,5 (0,25điểm) 4 6 b) (2x+1) = (2x+1) . Tìm đúng x = -0,5 ; x = 0; x = -15 (0,5điểm) c) ||x +3|−8|=20 ||x +3|−8|=20 ⇒ |x +3|−8=20 ; |x +3|−8=−20 ⇒ x = 25; x = - 31 |x +3|−8=20 ⇒ |x +3|=28 |x +3|−8=−20 ⇒ |x +3|=−12 : vô nghiệm Bài 3: (1,5 điểm): a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0 ⇒ (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = 0 ⇒. x. 3x - 5 = 0; y2 - 1 = 0 ; x - z = 0 y. ⇒. 5. x = z = 3 ;y = -1;y = 1. z. b) 2 = 3 = 4 và x2 + y2 + z2 = 116 Từ giả thiết ⇒. x 2 y 2 z 2 x 2+ y 2+ z 2 116 = = = = =4 4 9 16 4+ 9+16 29. Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = 8 ); (x = - 4; y = - 6; z = - 8 ) Bài 4: (1,5 điểm): ⇒ A có bậc 4 a/ A = 30x2yz - 4xy2z - 2008xyz2 ⇒ A = 0 nếu 15x - 2y = 1004z b/ A = 2xyz( 15x - 2y - 1004z ) Bài 5: (1 điểm): x. x. x. Ta có: x + y + z +t < x+ y+ z < x + y. ⇒. B. y y y < < x + y + z +t x+ y+ t x + y z z z < < x + y + z +t y + z+t z +t I t t t < < x + y + z +t x+ z +t z +t x + y + z +t x y z t < M <¿ ( + )+( + A ) x + y + z +t x+ y x+ y z +t z +t. (0,25điểm). H D. (0,25điểm). M. N C. hay: 1 < M < 2 . Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên Bài 6: (3 điểm): d. AIC = BHA  BH = AI e. BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 f. AM, CI là 2 đường cao cắt nhau tại N  N là trực tâm  DN AC g. BHM = AIM  HM = MI và BMH = IMA mà :  IMA + BMI = 900  BMH + BMI = 900  HMI vuông cân  HIM = 450 mà : HIC = 900 HIM =MIC= 450  IM là phân giác HIC. (0,25điểm) (0,25điểm) (0,5điểm) (0,75điểm) (0,75điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ĐỀ TH CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011- 2012 MÔN TOÁN LỚP 7: Thời gian làm bài 120 phút Bài 1: Tính giá trị của biểu thức.  1  1   62 4    3 3 .2, 6  19,5  : 4 3  .  75  25   .   A =  1 1 1 1 .  1  2   .  1  2  3  .  1  2  3  4    1  2  3  4  16  3 4 16 B=1+2. Bài 2: Tìm x biết.  42   22  1   a) 3 + 2 =  x  1 x  5 x 1   4 c) 2000 2016 1006 x–1. b). x  x  2012 2012. .. 2b  c  a 2c  b  a 2a  b  c   a b c Bài 3: a) Cho a, b, c > 0 và dãy tỉ số:  3a  2b  .  3b  2c  .  3c  2a    3a  c  .  3b  a  .  3c  b . Tính M b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = - 5 -  y  5. 2.  2x  3  2 1 x. Bài 4: Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa A và B. Trên cùng một nữa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác đều ACD và BCE . a) Chứng minh: AE = BD. b) Gọi M, N là trung điểm của AE và BD. Chứng minh CMN là tam giác đều. c) Chứng minh rằng: Đường trung trực của đoạn thẳng DE và hai tia phân giác của hai góc DAC và EBC đồng quy. Bài 5: Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện: x.f(x - 2) = ( x2 – 1).f(x) . Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất ba nghiệm. ...................................Hết................................. Họ và tên: .....................................................SBD.....................

<span class='text_page_counter'>(7)</span>

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Phòng gd & đt sơn dơng đề thi chọn học sinh năng khiếu lớp 7 Trêng thcs HåNG TH¸I N¨m häc 2011 - 2012 M«n thi : TOÁN Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao nhận đề ) C©u 1:(3®iÓm): a) So s¸nh hai sè : 330 vµ 520 163.310  120.69 6 12 11 b) TÝnh : A = 4 .3  6. C©u 2:(2®iÓm): Cho x, y, z lµ c¸c sè kh¸c 0 vµ x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy. Chøng minh r»ng: x = y = z C©u 3:(4®iÓm) x 1 x 2 x 3 x 4    a) T×m x biÕt : 2009 2008 2007 2006. b) Cho hai đại lợng tỉ lệ nghịch x và y ; x1, x 2 là hai giá trị bất kì của x; y1, y2 lµ hai gi¸ trÞ t¬ng øng cña y. TÝnh y1, y2 biÕt y12+ y22 = 52 vµ x1=2 , x 2= 3. C©u 4:(2®iÓm) Cho hµm sè : f(x) = a.x2 + b.x + c BiÕt. víi a, b, c, d Z. f (1)3; f (0)3; f ( 1) 3 .Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3. C©u 5:(3®iÓm) Cho ®a thøc A(x) = x + x2 + x3 + ...+ x99 + x100 . a) Chøng minh r»ng x=-1 lµ nghiÖm cña A(x) 1 b)TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc A(x) t¹i x = 2. C©u 6:(6®iÓm) Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , trên cạnh BC lần lợt lấy hai điểm M và N sao cho BM = MN = NC . Gäi H lµ trung ®iÓm cña BC . a) Chøng minh AM = AN vµ AH  BC b) Tính độ dài đoạn thẳng AM khi AB = 5cm , BC = 6cm c) Chøng minh MAN > BAM = CAN -------------------------------------------------HÕt--------------------------------------------------C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Híng dÉn chÊm to¸n 7 C©u. Néi dung 3 10.  . a )330   3. 4 3. 2 10.  . 2710 ;520   5 .   2  .3  3.2.5.2 . 2.3 b) A    2  .3   2.3. 1. 10. 2 6. . 2. 12. 2510  2710  330  520. 9. 11. . 12 10 212.310  310.212.5 2 .3  1  5   212.312  211.311 211311  2.3 1. 1.5®. 6.212.310 4.211.311 4   7.211.311 7.211.311 7. V× x, y, z lµ c¸c sè kh¸c 0 vµ x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy . 2. §iÓm 1.5®. 1®. x z y x z y x y z  ;  ;     y x z y x z y z x .¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau . 1®. x y z xyz    1  x  y  z y z x yzx. 3 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4      1  1  1 1 2009 2008 2007 2006 2009 2008 2007 2006. a. x  2010 x  2010 x  2010 x  2010     2009 2008 2007 2006 . 1®. x  2010 x  2010 x  2010 x  2010    0 2009 2008 2007 2006. 1 1 1   1   x  2010       0  2009 2008 2007 2006   x  2010 0  x 2010. 1®. Vì x, y là hai đại lợng tỉ lệ nghịch nên: 2. b. 2. x1 y2 y 2 y y y 2 y 2 y 2  y2 2 52 y  y    2   2  1   2   1   1  2  1  4 x2 y1 y1 3 2 3 9 4 9 4 13  2   3. 1®. ) y12 36  y1 6. Víi y1= - 6 th× y2 = - 4 ; Víi y1 = 6 th× y2= 4 . Ta cã: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c. 1® 1®. ) f (0)3  c 3 ) f (1)3  a  b  c 3  a  b3  1. 4. ) f ( 1)3  a  b  c 3  a  b 3  2 . Tõ (1) vµ (2) Suy ra (a + b) +(a - b) 3  2a 3  a 3 v× ( 2; 3) = 1  b3 Vậy a , b , c đều chia hết cho 3. 1®.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 5 A(-1) = (-1)+ (-1)2 + (-1)3+...+ (-1)99 + (-1)100 a. = - 1 + 1 + (-1) +1 +(-1) +...(-1) + 1 = 0 ( v× cã 50 sè -1 vµ 50 sè 1) Suy ra x = -1 lµ nghiÖm cña ®a thøc A(x) 1 1 1 1 1 1 1  2  3  ...  98  99  100 2 2 2 Víi x= 2 th× gi¸ trÞ cña ®a thøc A = 2 2 2. b. 1.5®. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  2  3  ...  98  99  100 1   2  3  ...  98  99  2. A 2 ( 2 2 2 2 2 2 )= 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1  2  3  ...  98  99  100  2 A  A  1  100 100  2 A =( 2 2 2 2 2 2 ) +1 - 2 2  A 1 . 1 2100. A. B. M. H. N. C. 6 K. Chứng minh ABM = ACN ( c- g- c) từ đó suy ra AM =AN a. b. c. 2®. Chứng minh ABH = ACH ( c- g- c) từ đó suy ra AHB =AHC= 900  AH  BC TÝnh AH: AH2 = AB2 - BH2 = 52- 32 = 16  AH = 4cm. 2®. TÝnh AM : AM2 = AH2 + MH2 = 42 + 12 = 17  AM = 17 cm Trªn tia AM lÊy ®iÓm K sao cho AM = MK ,suy ra AMN= KMB ( c-. 2®. g- c)  MAN = BKM vµ AN = AM =BK .Do BA > AM  BA > BK  BKA > BAK  MAN >BAM=CAN DuyÖt BGH P. HiÖu trëng. Th©n thÞ thuý hoµn. Ngời ra đề. T¡NG B¸ DòNG.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>