20 bài toán hình vui dành cho HSG tiểu học

20 BÀI TỐN HÌNH VUI DÀNH CHO HSG TIỂU HỌC
I . Dạng bài gấp-cắt trên các tờ giấy
Bài 1: Một tờ giấy hình vng có diện tích là 72 cm2 thì đường chéo của tờ giấy đó dài bao
nhiêu ?
Bài giải: Gọi tờ giấy hình vng là ABCD. Nối hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O (hình
vẽ bên). Hình vng được chia thành 4 tam giác vng nhỏ có
diện tích bằng nhau.
Diện tích tam giác AOB là: 72 : 4 = 18 (cm2).
Vì diện tích tam giác AOB bằng (OA x OB) : 2, do đó (OA x
OB) : 2 = 18 (cm2). Suy ra OA x OB = 36 (cm2).
Vì OA = OB mà 36 = 6 x 6 nên OA = 6 (cm).
Bài 2: Cho một tờ giấy hình vng. Bạn làm thế nào để cắt lấy một hình vng có diện tích
bằng 5 / 8 diện tích của tờ giấy hình vng cho trước.
Cách giải:
Giả sử có tờ giấy vng MNPQ: Chia các cạnh của tờ giấy
hình vng đó làm 4 phần bằng nhau (gấp đơi liên tiếp). Diện
tích cả hình vng MNPQ là 16 ơ vng nhỏ (Hình 1a)
Lần lượt trên các cạnh QM, MN, NP và PQ, đánh dấu vào các
điểm A, B, C, D sao cho MA=NB=PC=DQ=1/4 mỗi cạnh. Sau
đó cắt theo các đường AB, BC, CD, DA. Ta được hình vng
ABCD có diện tích 10 ơ vng nhỏ (phần mầu xanh- Hình 1a)
 S(ABCD)/S(MNPQ) = 10/16 = 5/8
(Đúng yêu cầu bài tốn)
Ta có thể kiểm tra đếm lại: Các tam giác cắt bỏ AMB, BNC, CPD,
DQA ghép từng đôi một với nhau có tổng diện tích = 6 ơ vng
nhỏ (Hình 1b)  ABCD = 10
 Bài 3:

1

Cho mảnh bìa hình vng ABCD. Hãy tìm cách cắt từ mảnh bìa đó một hình CHỮ NHẬT có
chiều dài = 2 chiều rộng và sao cho diện tích bằng 4/9 diện tích của
mảnh bìa đã cho.
Giải: a/ Giả sử hình vng ABCD chia mỗi cạnh 6 ơ nhỏ thì diện tích
ABCD = 36 ơ nhỏ. Hình phải tìm có DT = 4/9 = 16 ô vuông nhỏ.
Nhưng với 16 ô vuông nhỏ thì không thể ghép thành hình chữ nhật có
chiều dài gấp 2 chiều rộng, mà chỉ có thể
thành hình vng 4 x4 = 16 ơ.
b/ Ta phải chía ABCD thành 9 ơ vng nhỏ như hình dưới đây
Nối các đường chéo của các ô vuông nhỏ như hình vẽ ta được
hình chữ nhật có chiều dài/chiều rộng theo đúng yêu cầu bài toán
Bài 4:
Từ một tờ giấy kẻ ô vuông (4x4 ô vuông nhỏ), người ta cắt ra một hình sao bốn
cánh như hình bên (màu đỏ).
Hình sao này có diện tích tương đương mấy ơ vng nhỏ?
Bài giải : Có nhiều cách làm, xin giới thiệu 2 cách để các bạn tham khảo.
Cách 1: Diện tích hình sao đúng bằng diện tích hình vng gồm 16 ơ vng trừ đi diện tích
bốn hình tam giác bằng nhau. Mỗi tam giác này có diện tích là 2 ơ vng. Do đó diện tích hình
sao là : 16 - 2 x 4 = 8 (ô vuông).

Cách 2 : Cắt ghép để từ hình sao ta có hình mới mà hình này diện tích đúng bằng 8 ơ vng.

2


Bài 5:
Một tờ giấy hình chữ nhật được gấp theo đường chéo như hình
vẽ bên.



Diện tích hình nhận được bằng 5/8 diện tích hình chữ nhật ban
đầu. Biết diện tích phần tơ màu là 18 cm2. Tính diện tích tờ
giấy ban đầu.
Bài giải: Khi gấp tờ giấy hình chữ nhật theo đường chéo
(đường nét đứt) thì phần hình tam giác được tơ màu bị xếp chồng lên nhau.
Do đó diện tích hình chữ nhật ban đầu lớn hơn diện tích hình nhận được chính là diện tích tam
giác được tơ màu.
Diện tích hình chữ nhật ban đầu giảm đi bằng 1 - 5/8 = 3/8 diện tích hình chữ nhật ban đầu.
 Diện tích tam giác tơ màu bằng 3/8 diện tích hình chữ nhật ban đầu, hay 3/8 diện tích hình
chữ nhật ban đầu bằng 18 cm2.
Vậy diện tích hình chữ nhật ban đầu là : 18 : 3/8 = 48 (cm2)
Bài 6: Một tờ giấy hình chữ nhật chiều dài gấp 2 chiều rộng.
Hãy cắt ghép thành 1 hình vng có diện tích tương đương

Giải: Chia đơi hình chữ nhật thành 2 hình vng
Cắt theo đường chéo hình vng, ta có 4 tam giác vng bằng
nhau.
Ghép 4 tam giác vng lại như hình bên ta được hình vng mới có
diện tích bằng hình chữa nhật ban đầu

3


Bài 7 : Một tờ giấy hình chữ nhật (S1) đã bị
khuyết đi ở một góc một hình cũng là chữ nhật
(S2). Làm thế nào để chỉ cần một nhát cắt thẳng
có thể chia tờ giấy khuyết (S1) thành 2 phần có
diện tích bằng nhau. (hình bên)
Giải: Chỉ cần các bạn biết được tính chất:

Mọi đường thẳng đi qua tâm của hình chữ nhật đều chia hình chữ nhật thành hai phần có diện
tích

bằng

nhau.

Có thể chia được bằng nhiều cách:

Bạn có thể “Kiểm chứng” bằng việc so sánh các cặp tam giác nhỏ 1, 2, 3, 4, 5, 6 màu vàng và
1,2,3,4,5,6 màu trắng tại cách 1 và cách 2. Với cách 3 thì hai phần chia ra đều chịu diện tích
khuyết bằng nhau.
II. Dạng bài đo đạc ruộng đất
Bài 9:
Một mảnh đất hình chữ nhật được chia thành 4
hình chữ nhật nhỏ hơn có diện tích được ghi

4


như hình vẽ. Hãy tính diện tích hình chữ nhật cịn lại là bao nhiêu m2?
Bài giải: Hai hình chữ nhật AMOP và MBQO có chiều rộng bằng nhau và có diện tích hình
MBQO gấp 3 lần diện tích hình AMOP (24 : 8 = 3 (lần)),
 Chiều dài hình chữ nhật MBQO gấp 3 lần chiều dài hình chữ nhật AMOP
(OQ = PO x 3). (1)
Hai hình chữ nhật POND và OQCN có chiều rộng bằng nhau và có chiều dài hình OQCN gấp
3 lần chiều dài hình POND (1).
 Diện tích hình OQCN gấp 3 lần diện tích hình POND.
 Vậy diện tích hình chữ nhật OQCD là : 16 x 3 = 48 (cm2).
Bài 9: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 120 m. Người ta mở rộng khu vườn như hình

vẽ để được một vườn hình chữ nhật lớn hơn. Tính diện tích phần mới mở thêm.

Bài giải: Nếu ta “dịch chuyển” khu vườn cũ ABCD vào một góc của khu vườn mới EFHD ta
được hình vẽ bên. Kéo dài EF về phía F lấy M sao cho FM = BC thì diện tích hình chữ nhật
BKHC đúng bằng diện tích hình chữ nhật FMNK. Do đó phần diện tích mới mở thêm chính là
diện tích hình chữ nhật EMNA.
Ta có AN = AB + KN + BK vì AB + KN = 120 : 2 = 60 (m) ; BK = 10 m
 AN = 70 m.  Vậy diện tích phần mới mở thêm là : 70 x 10 = 700 (m2)
Bài 10: Một thửa ruộng hình chữ nhật được chia thành 2 mảnh, một mảnh nhỏ trồng rau và
mảnh còn lại trồng ngơ (hình vẽ). Diện tích của mảnh trồng ngơ gấp 6 lần diện tích của mảnh
trồng rau. Chu vi mảnh trồng ngô gấp 4 lần chu vi mảnh trồng rau. Tính diện tích thửa ruộng
ban đầu, biết chiều rộng của nó là 5 mét.

5


Bài giải: Diện tích mảnh trồng ngơ gấp 6 lần diện tích mảnh trồng rau mà hai mảnh có chung
một cạnh nên cạnh cịn lại của mảnh trồng ngơ gấp 6 lần cạnh còn lại của mảnh trồng rau. Gọi
cạnh cịn lại của mảnh trồng rau là a thì cạnh cịn lại của mảnh trồng ngơ là a x 6. Vì chu vi
mảnh trồng ngơ (P1) gấp 4 lần chu vi mảnh trồng rau (P2) nên nửa chu vi mảnh trồng ngô gấp 4
lần nửa chu vi mảnh trồng rau.
Nửa chu vi mảnh trồng ngô hơn nửa chu vi mảnh trồng rau là :
a x 6 + 5 - (a + 5) = 5 x a.
Ta có sơ đồ :

Độ dài cạnh còn lại của mảnh trồng rau là : 5 x 3 : (5 x a - 3 x a) = 7,5 (m)
Độ dài cạnh còn lại của mảnh trồng ngô là : 7,5 x 6 = 45 (m)
Diện tích thửa ruộng ban đầu là : (7,5 + 4,5) x 5 = 262,5 (m2)
Bài 11: Người ta ngăn thửa đất hình chữ nhật thành 2
mảnh, một mảnh hình vng, một mảnh hình chữ nhật.

Biết chu vi ban đầu hơn chu vi mảnh đất hình vng là 28
m. Diện tích của thửa đất ban đầu hơn diện tích hình
vng là 224 m2. Tính diện tích thửa đất ban đầu.
Bài giải:
Nửa chu vi hình ABCD hơn nửa chu vi hình AMND là :28 : 2 = 14 (m).
Nửa

chu

vi

hình

ABCD

là

AD

+

AB.

Nửa

chu

vi

hình

AMND

là

AD

+

AM.

14

(m).

Do

đó

:

MB

=

AB

Chiều

rộng

BC

của

hình

ABCD

là

AM
:224

=
:

14

=

16

(m)

6


Chiều

dài

AB

của

hình

ABCD

là

:16

+

14

=

30

(m)

Diện tích hình ABCD là :30 x 16 = 480 (m2).
Bài 12: Bác thợ nhơm kính có hai tấm kính hình chữ nhật. Chiều rộng của mỗi tấm kính
bằng 1/2 chiều dài của nó và chiều dài của tấm kính nhỏ đúng bằng chiều rộng của tấm kính to.
Bác ghép hai tấm kính sát vào nhau và đặt lên bàn có diện tích 90 dm 2 thì vừa khít. Hãy tính
kích thước của mỗi tấm kính đó.

Bài giải:
Theo đầu bài, coi chiều rộng của tấm kính nhỏ
là 1 đoạn thì chiều dài của nó là 2 đoạn như vậy
và chiều rộng của tấm kính to cũng là 2 đoạn,
khi đó chiều dài của tấm kính to là 4 đoạn như
vậy.
Nếu Bác thợ ghép khít hai tấm kính lại với nhau sẽ được hình chữ nhật ABCD (hình vẽ), trong
đó AMND là tấm kính nhỏ, MBCN là tấm kính to.
Diện tích ABCD là 90 dm2. Chia hình chữ nhật ABCD thành 10 hình vng nhỏ, mỗi cạnh là
chiều rộng của tấm kính nhỏ thì diện tích của mỗi hình vng nhỏ là 90 : 10 = 9 (dm2).
Ta có 9 = 3 x 3, do đó cạnh hình vng là 3 dm. Tấm kính nhỏ có chiều rộng 3 dm, chiều dài là
3 x 2 = 6 (dm). Tấm kính to có chiều rộng là 6 dm, chiều dài là 6 x 2 = 12 (dm).
Bài 13: Người ta dự định xây dựng một khu vui chơi cho trẻ em trong xã. Vì thế họ đã mở
rộng một mảnh đất hình chữ nhật để diện tích gấp ba lần diện tích ban đầu. Chiều rộng mảnh
đất chỉ có thể tăng lên gấp đôi nên phải mở rộng thêm chiều dài. Khi đó mảnh đất trở thành
hình vng. Hãy tính diện tích khu vui chơi đó. Biết
rằng chu vi mảnh đất ban đầu là 56 m.
Bài giải: Gọi mảnh đất hình chữ nhật lúc đầu là
ABCD, khi mở rộng mảnh đất hình chữ nhật để
được mảnh đất hình vng APMN có cạnh hình
7


vng gấp 2 lần chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ABCD và diện tích gấp 3 lần diện tích
mảnh đất hình chữ nhật ấy. Khi đó diện tích của các mảnh đất hình chữ nhật ABCD, DCHN,
BPMH bằng nhau.
Mảnh đất hình chữ nhật BPMH có độ dài cạnh BH gấp 2 lần độ dài cạnh AD nên

Nửa chu vi mảnh đất ban đầu là 56 m nên AD + AB = 56 : 2 = 28 (m).
Ta có : Chiều rộng mảnh đất ban đầu (AD) là : 28 : (3 + 4) x 3 = 12 (m).

Cạnh hình vuông APMN là : 12 x 2 = 24 (m).
Diện tích khu vui chơi là : 24 x 24 = 576 (m2).
Bài 14: Hãy tính chu vi của hình có từ một hình vng bị cắt mất đi một phần bởi một
đường gấp khúc gồm các đoạn song song với cạnh hình
vng.
Bài giải : Ta kí hiệu các điểm như hình vẽ sau :
Nhìn hình vẽ ta thấy: CE + GH + KL + MD = CE + EI =
CI.
EG + HK + LM + DA = ID + DA = IA.
Từ đó chu vi của hình tơ màu chính là :
AB + BC + CE + EG + GH + HK + KL + LM + MD + DA = AB + BC + (CE + GH +
KL + MD) + (EG + HK + LM + DA) = AB + BC + CI + IA = AB x 4.
Vậy chu vi của hình tơ màu là : 10 x 4 = 40 (cm).
Bài 15: Cho 4 hình thang vng (1), (2), (3), (4) có kích
thước bằng nhau.
Biết rằng PQ = 4 cm.
Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

Bài giải: Vì các hình thang vng PQMA, QMBC, QPNC,

8


PNDA bằng nhau nên : MQ = NP = QP = 4 cm và CN = AD.
Mặt khác AD = NP + QM = 4 + 4 = 8 (cm)
Do đó : CN = AD = 8 cm.
Diện tích hình thang vuông PQCN là:
(CN + PQ) x NP : 2 = (8 + 4) x 4 : 2 = 24 (cm2) Diện tích hình chữ nhật ABCD là : 24 x 4 =
96 (cm2)
Bài 16 : Bạn có thể cắt hình dưới đây:

thành 16 hình:
Hãy nói rõ cách cắt như thế nào!
Bài giải:
Tổng số ô vuông là : 8 x 8 = 64 (ơ)
Khi ta cắt hình vng ban đầu thành các phần nhỏ (hình chữ T),
mỗi phần gồm 4 ô vuông thì
sẽ được số hình là : 64 : 4 = 16 (hình)
Ta có thể cắt theo nhiều cách khác nhau.
Xin nêu một cách cắt như hình bên =:
Bài 17: Tơ màu Hình bên gồm 6 đỉnh A, B, C, D, E, F và các cạnh nối một số đỉnh với nhau.
Ta tô màu các đỉnh sao cho hai đỉnh được nối bởi một cạnh phải
được tô bởi hai màu khác nhau. Hỏi phải cần ít nhất là bao nhiêu
màu để làm việc đó?

9


Bài giải:
Tất cả các đỉnh A, B, C, D, E đều nối với đỉnh F nên đỉnh F phải tô màu khác với các đỉnh còn
lại. Với 5 đỉnh còn lại thì A và C tơ cùng một màu. B và D tô cùng một màu, E tô riêng một
màu, như vậy cần ít nhất 3 màu để tơ 5 đỉnh sao cho 2 đỉnh được nối bởi một cạnh được tơ bởi
2 màu khác nhau. Vậy cần ít nhất 4 màu để tơ 6 đỉnh của hình theo u cầu của đề bài.
Bài 18. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD. Biết rằng diện tích phần màu vàng là 20cm2 và
I là điểm chia AB thành 2 phần bằng nhau.
Lời giải. Kí hiệu S là diện tích của một hình. Nối D với I. Qua I và C vẽ các đường thẳng IP và
CQ vng góc với BD, IH vng góc với DC.

Ta có SADB = SCDB = 1/2 SABCD SDIB = 1/2 SADB (vì có chung đường cao DA, IB = 1/2 AB),
SDIB = 1/2 SDBC.

Mà 2 tam giác này có chung đáy DB  IP = 1/2 CQ.
SIDK = 1/2 SCDK (vì có chung đáy DK và IP = 1/2 CQ) SCDI = SIDK + SDKC = 3SDIK.
Ta có : SADI = 1/2 AD x AI,

SDIC = 1/2 IH x DC

Mà IH = AD, AI = 1/2 DC, SDIC = 2SADI  SADI = 3/2 SDIK
Vì AIKD là phần được tô màu vàng  SAIKD = 20(cm2)
SDAI + SIDK = 20(cm2)
SDAI + 2/3 SADI = 20(cm2)
SDAI = (3 x 20)/5 = 12 (cm2)
Mặt khác SDAI = 1/2 SDAB (cùng chung chiều cao DA, AI = 1/2 AB)
= 1/4 SABCD
 SABCD = 4 x SDAI = 4 x 12 = 48 (cm2).
Bài 19: Một dãy có 7 ơ vuông gồm 3 ô đen và 4 ô

10


trắng được sắp xếp như hình vẽ.
Cho phép mỗi lần chọn hai ô tùy ý và đổi màu chúng (từ đen sang trắng và từ trắng sang đen).
Hỏi rằng nếu làm như trên nhiều lần thì có thể nhận được dãy ơ vng có màu xen kẽ nhau như
sau hay khơng ?

Bài giải: Nhìn vào hình vẽ ta thấy ở hình ban đầu có 3 ơ đen và 4 ơ trắng, cịn hình lúc sau có 4
ơ đen và 3 ô trắng.
Khi chọn hai ô tùy ý để đổi màu của chúng (từ đen sang trắng và từ trắng sang đen) thì có ba
khả năng xảy ra:
- Chọn hai ơ trắng: Khi đó hai ơ trắng được chọn sẽ đổi thành hai ô đen, số ô đen
tăng lên 2 ô.

- Chọn hai ơ đen : Khi đó hai ơ đen được chọn sẽ đổi thành hai ô trắng,
 số ô đen giảm đi 2 ô.
- Chọn một ô đen và một ơ trắng : Khi đó ơ trắng đổi thành ô đen và ô đen đổi thành ô
trắng, do đó số ô đen giữ nguyên.
Do vậy khi thực hiện việc chọn hai ơ để đổi màu của chúng thì số lượng ô đen hoặc
tăng lên 2 ô, hoặc giảm đi 2 ơ, hoặc giữ ngun. Điều đó có nghĩa là nếu chọn hai ô tùy
ý và đổi màu chúng nhiều lần thì số ơ đen vẫn ln ln là một số lẻ.
Vì hình sau có 4 ơ đen nên khơng thể thực hiện
được.
Bài 20: Cho hai hình vng ABCD và MNPQ như trong
hình vẽ. Biết BD = 12 cm. Hãy tính diện tích phần gạch
chéo.
Bài giải: Diện tích tam giác ABD là:
(12

x

(12

:

2))/2

Diện tích hình vng ABCD là:

=

36

(cm2)

36 x 2 = 72 (cm2)

Diện tích hình vng AEOK là:
72
:

OE

:
x

OK

4
=

18

(cm2)

=


(cm2)

18
r

x

r

=

18

(cm2)

 Diện tích hình tròn tâm O là:
11


18
Diện
Diện

x
tích
tích

MON
hình

3,14
=

r

vng

x

=
r

MNPQ

:

(cm2)

56,92

2

=

18

là:

9

x

:

2
4

=
=

9
36

(cm2)
(cm2)

Vậy diện tích phần gạch chéo là:
56,52 - 36 = 20,52 (cm2)

12