Chuyên đề 1: Hệ phương trình ÔN TUYỂN SINH 10 TOÁN

Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

CHUN ĐỀ 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I.Lí thuyết
1.Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

(d )
 ax  by  c
Định nghĩa : Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: 
(I)
'
a ' x  b ' y  c ' (d )
2. Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm
+ Nếu (d) cắt (d’) hệ có nghiệm duy nhất khi:

a b

a' b'

+ Nếu (d) song song với (d’) thì hệ vơ nghiệm khi:

+ Nếu (d) trùng (d’) thì hệ vơ số nghiệm khi:

a b c
 
a' b' c'

a b c
 
a' b' c'

Lưu ý: Các hệ số a, a’,b,b’ phải khác 0
II. Các dạng bài tập
Dạng 1: Giải hệ phương trình cơ bản
Phương pháp: sử dụng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số
Phương pháp cộng đại số
Bước 1: Nhân hai vế của phương trình trong hệ với một hệ số thích hợp.
Bước 2: Cộng hoặc trừ từng vế của hai p/trình để được phương trình chỉ cịn x hoặc y.
Bước 3: Giải tìm x, y.
Bước 4: Kết luận.
Phương pháp thế
Bước 1: Từ một phương trình của hệ rút x theo y hoặc y theo x.
Bước 2: Thế vào phương trình cịn lại.
Bước 3: Giải hệ phương trình mới.
Ngơ Nguyễn Thanh Duy

Trang 1


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

Bước 4: Kết luận.
Bài tập minh họa giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
3x  2 y  5
.
2 x  y  8

Bài 1: Giải hệ phương trình sau: 
Hướng Dẫn:
3 x  2 y  5


2 x  y  8

(1)
(2)

Nhận xét: Ta nên rút y theo x ở phương trình hai của hệ, vì hệ số của y là 1.
Ta có: (2)  y  8  2 x .
Thay y  8  2 x vào (1) ta được: 3x  2  8  2 x   5  7 x  16  5  7 x  21  x  3 .
Với x  3 thì y  8  2.3  2 .
Vậy nghiệm của hệ phương trình là  x; y    3; 2  .
 x  2 y  1 .(1)
3 x  2 y  3 .( 2 )

Bài 2: Giải hệ phương trình: 
Hướng Dẫn:

Từ phương trình (1) ta biểu diễn x theo y (gọi là rút x) ta có: x  1  2 y.(*)
Thay x  1  2 y.(*) vào phương trình (2) ta được: 3(1  2 y )  2 y  3.(**)
x  1  2 y
3(1  2 y )  2 y  3

Thế phương trình (**) vào phương trình hai của hệ ta có: 

x  1  2 y
x  1  2 y
x  1  2 y
x 1


 

3(1  2 y )  2 y  3
3  6 y  2 y  3
y  0
y 0

Giải hệ: 

Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x = 1; y = 0).
3 x  2 y  7
2 x  y  4

Bài 3: Giải hệ phương trình 
Hướng Dẫn:

Từ phương trình dưới suy ra y  4  2 x . Thay vào phương trình trên ta có phương trình:
Ngơ Nguyễn Thanh Duy

Trang 2


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

3x  2  4  2 x   7  x  1  y  4  2.1  2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x; y   1; 2  .
2 x  y  3
3 x  y  7

Bài 4: Giải hệ phương trình 
Hướng Dẫn:

2 x  y  3

3 x  y  7

 y  2x  3
 y  2x  3 x  2
x  2




3 x  2 x  3  7
5 x  10
 y  2.2  3  y  1
x  2
y 1

HPT đã cho có nghiệm là: 

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x,y) = (2;1)
x  y  1
3x  2 y  3

Bài 5: Giải hệ phương trình sau: 
Hướng Dẫn:

x  y  1
3 x  2( x  1)  3 5 x  5
x  1





3 x  2 y  3  y  x  1
 y  x 1  y  0

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất  x; y   1;0  .
Bài 6: Giải các hệ phương trình:
( 2  1) x  y  2

3x  y  5
;
5x  2 y  23

a) 

b) 

.

 x  ( 2  1) y  1

Hướng Dẫn:
a) Từ PT đầu  y = 3x - 5. Thay vào PT tìm được x = 3
Thay x = 3 vào y = 3x - 5 tìm được y = 4.
Vậy nghiệm của HPT là (3; 4)
 2 3 1
; 
2
2



b) Tương tự ý a), nghiệm của HPT là 

Bài tập minh họa giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 3


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

3x  2 y  5
.
2 x  y  8

Bài 1: Giải hệ phương trình sau: 
Hướng Dẫn:
3 x  2 y  5

2 x  y  8

(1)
(2)

Giải bằng phương pháp cộng đại số
Nhận xét: Bằng phương pháp cộng đại số, bài tốn có hai hướng làm:
Để hệ số x bằng nhau ta nhân hai vế của (1) với 2, nhân hai vế của (2) với 3.
Để hệ số y bằng nhau đối nhau ta nhân hai vế của (2) với 2.

Ở bài này, làm theo hướng 2:
3 x  2 y  5
3 x  2 y  5
.


2 x  y  8
4 x  2 y  16

Cộng các vế tương ứng của hai phương trình ta có: 7 x  21  x  3 .
Thay vào phương trình (2) ta được: 6  y  8  y  2 .
Vậy nghiệm của hệ phương trình là  x; y    3; 2  .





 2  1 x  y  2 (1)

Bài 2: Giải hệ phương trình 
.
(2)
x  2 1 y  1






Hướng Dẫn:

Nhân cả hai vế của (1) với











2  1 ta được:



 

 2 1 x  y  2
 2  1 2 1 x 





x  2 1 y  1
x  2 1 y  1













2 1 y  2



   x  

x  


2 1

Cộng các vế tương ứng của hai phương trình ta có: 2 x  3  2  x 

Ngô Nguyễn Thanh Duy


2  1 y  1

2 1 y  2  2

3 2
.
2

Trang 4


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

Thay x 

3 2
vào (1):
2

 3 2 


 2 



 3 2 
2  1  y  2  y  

 2 





1
2 1  2   .
2



 3 2 1 
;   .
2
2


Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   
3x  y  3
2 x  y  7

Bài 3: Giải hệ pt: 
Hướng Dẫn:

Nhận thấy: các hệ số của ẩn y là đối nhau => Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ
được phương trình mới chỉ chứa ẩn x
3x  y  3 3x  y  3  y  3


5 x  10
x  2
x  2

Hệ  

2 x  5 y  8
2 x  3 y  0

Bài 4: Giải hệ pt: 
Hướng Dẫn:

Nhận thấy: các hệ số của ẩn x là bằng nhau => Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ
được phương trình mới chỉ chứa ẩn y
3

2 x  5 y  8  2 x  5 y  8
x 


Hệ  
2
2 x  3 y  0 8 y  8
 y  1

 5 x  2 y  4
 6 x  3 y  7

Bài 5: Giải hệ pt: 

(1)
(2)

Hướng Dẫn:
Nhận thấy: các hệ số của ẩn x cũng như các hệ số của ẩn y là không bằng nhau

Cách 1: (Cân bằng hệ số của ẩn x) Nhân 2 vế phương trình (1) với 6, nhân hai vế
phương trình (2) với 5 => Được hệ mới có hệ số của ẩn x đối nhau.

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 5


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

2

x
 5 x  6 y  4


30
x

12
y

24

30
x

12
y


24




3
Hệ  



11
30 x  15 y  35
3 y  11
 y  3
 y  11
3


Cách 1: (Cân bằng hệ số của ẩn y) Nhân hai vế phương trình (1) với 3, nhân hai vế
phương trình (2) với 2 => Được hệ mới có hệ số của ẩn x đối nhau.
11

y
 5 x  2 y  4

15 x  6 y  12
15 x  6 y  12


3

Hệ  



2
12
x

6
y


14

3
x


2
2
x




x 
3

3
3 x  2 y  11

x  2 y  1

Bài 6: Giải hệ phương trình: 
Hướng Dẫn:

4 x  12
x  3

 x  2 y  1  y  1

Cộng hai phương trình lại với nhau, ta có: 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y    3; 1
 x  2 y  3
x  y  3

Bài 7: Giải hệ phương trình: 
Hướng Dẫn:

3 y  6
 y  2

x  y  3 x  1

Trừ phương trình trên cho phương trình dưới của hệ, ta có: 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1; 2  .
x  3y  4
3x  4 y  1

Bài 8: Giải hệ phương trình: 

Hướng Dẫn:
x  3y  4

3 x  4 y  1

(1)
(2)

Nhân hai vế phương trình (1) với 3 ta được 3x  9 y  12 (3)
Lấy (3) – (2) ta được: 13 y  13  y  1 .
Thay y  1 vào (1) ta được x  4  3 y  4  3.1  1 .
Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 6


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

Vậy hệ phương trình có một nghiệm  x; y   1;1 .
2 x  y  5
x  y  1

Bài 9: Giải hệ phương trình sau: 
Hướng Dẫn:

2 x  y  5
3x  6
x  2
x  2





x  y  1
x  y  1 x  y  1  y  1

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất  x; y    2;1 .
 2 x  5 y  3
3 x  y  4

Bài 10: Giải hệ phương trình sau: 
Hướng Dẫn:

2 x  5 y  3 17 x  17
x  1



3 x  y  4
3x  y  4
 y  1

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất  x; y   1; 1 .
 x  7 y  26
5 x  3 y  16

Bài 11: Giải hệ phương trình sau: 
Hướng Dẫn:

 x  7 y  26

5 x  35 y  130
 x  7 y  26
 x  5




5 x  3 y  16
5 x  3 y  16
38 y  114
y  3

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất  x; y    5;3 .
3 x  2 y  11
x  2 y  1

Bài 12: Giải hệ phương trình sau: 
Hướng Dẫn:

3 x  2 y  11 4 x  12
x  3



x  2 y  1
 x  2 y  1  y  1

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất  x; y    3; 1 .
2 x  3 y  1
4 x  y  9

Bài 13: Giải hệ phương trình sau: 
Hướng Dẫn:

2 x  3 y  1 2 x  3 y  1
2 x  3 y  1  x  2




4 x  y  9
12 x  3 y  27
14 x  28
y 1
Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 7


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất  x; y    2;1 .
x  2 y  8
 x  y  1

Bài 14: Giải hệ phương trình: 
Hướng Dẫn:

x  2 y  8
 3 y  9




 x  y  1
 x  y  1

 y  3


 x  (3)  1

 y  3
.

x  2

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất  x; y    2; 3 .
2 x  y  1
x  y  1

Bài 15: Giải hệ phương trình: 
Hướng Dẫn:

2 x  y  1
x  0
x  0
.




x  y  1
x  y  1
y 1

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất  x; y    0;1 .
3 x  y  5
5 x  2 y  23

Bài 16: Giải hệ phương trình: 
Hướng Dẫn:
3 x  y  5


5 x  2 y  23

6 x  2 y  10


5 x  2 y  23

11x  33

3 x  y  5

x  3
.

y  4

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất  x; y    3; 4  .

2 x  y  3
3 x  y  7

Bài 17: 

Hướng Dẫn:
2 x  y  3
5 x  10
x  2
x  2




3 x  y  7
3 x  y  7
3.2  y  7
y 1
x  2
y 1

HPT đã cho có nghiệm là: 

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất  x; y    2;1 .

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 8

Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

2 x  3 y  2
5 x  2 y  6

Bài 18: 

Hướng Dẫn:
Để giải loại HPT này ta thường sử dụng PP cộng cho thuận lợi.
2 x  3 y  2
10 x  15 y  10
11 y  22
 y  2
x  2





5 x  2 y  6
10 x  4 y  12
5 x  2 y  6
5 x  2.(2  6)
 y  2
x  2
 y  2

HPT có nghiệm là 
Bài tập tự luyện

3 x  y  10
Bài 1: Giải hệ phương trình 
.
2
x

3
y

3

Hướng Dẫn:

3 x  y  10
 y  10  3x
 y  10  3 x
x  3
Ta có 
.



11x  33
 y 1
2 x  3 y  3
2 x  3(10  3 x)  3
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x, y )  (3;1) .
3x  2y  1
Bài 2: Giải hệ phương trình: 
.

2x  y  3


Hướng Dẫn:
3x  2y  1
3x  2y  1





2x  y  3
4x  2y  6



3x  2y  1 x  1
 
 
7x  7
y  1



Vậy hệ phương trình có nghiệm 1; 1 .
Bài 3:Giai hệ phương trình sau
Hướng Dẫn:
3x  2y  1
3x  2y  1


 

2x  y  3
4x  2y  6


Ngô Nguyễn Thanh Duy

3x  2y  1 x  1
 
 
7x  7
y  1


Trang 9


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

Vậy hệ phương trình có nghiệm 1; 1 .

2x  4
Bài 4: Giải hệ phương trình 

x  y  5

Hướng Dẫn:
2x  4
x  2

 

x  y  5
y  3


3x  2 y  10
x  3y  7

Bài 5: Giải hệ phương trình sau: 
Hướng Dẫn:

3 x  2 y  10
3 x  2 y  10 (1)


x  3y  7
3 x  9 y  21 (2)

(1) – (2) từng vế ta được: y  1
Thay y  1 vào (1) ta được x  4
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là x  4; y  1 .
3 x  2 y  5
2 x  y  8.

Bài 6: giải hệ phương trình 
Hướng Dẫn:

3 x  2 y  5
3 x  2 y  5

7 x  21
x  3
x  3
Bài 7:





2 x  y  8
4 x  2 y  16
2 x  y  8
2 x  y  8
y  2

2 x  y  3
Bài 8: Giải hệ phương trình:  2
.
x  y  5
Hướng Dẫn:
2 x  y  3  x 2  2 x  8  x 2  2 x  8  0 (1)


 2
(2)
x  y  5
2 x  y  3
 y  2x  3

Giải (1):  '  9 ; x1  2 , x2  4

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 10


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

Thay vào (2):
Với x  2 thì y  2.2  3  1
Với x  4 thì y  2.(4)  3  11
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  x, y    2;1 ,  4; 11 .
7 x  3 y  4

Bài 9: Giải hệ phương trình : 

4 x  y  5

Hướng Dẫn:
7 x  3 y  4
7 x  3 y  4
19 x  19
x  1




4 x  y  5
12 x  3 y  15
4 x  y  5
y 1

Vậy hệ phương trình có nghiêm duy nhất (x;y)=(1;1)
3 x  2 y  11
x  2 y  1

Bài 10: Giải hệ phương trình: 
Hướng Dẫn:

3x  2 y  11 4 x  12
x  3


x  2 y  1
 x  2 y  1  y  1

Giải hệ phương trình: 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;-1)
x  3y  4
3x  4 y  1

Bài 11: Giải hệ phương trình: 
Hướng Dẫn:
 x  3 y  4(1)
(I )

3 x  4 y  1(2)

Nhân 2 vế phương trình (1) với 3 ta được 3x + 9y = 12 (3)
Lấy (3) – (2) ta được: 13y = 13 ⇔ y = 1.

Thay y = 1 vào (1) ta được x = 4 – 3y = 4 – 3.1 = 1.
Vậy hệ (I) có một nghiệm (x; y) = (1;1).
Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 11


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

2 x  3 y  1
4 x  y  9

Bài 12: Giải hệ phương trình 
Hướng Dẫn:

2 x  3 y  1 2 x  3 y  1
2 x  3 y  1  x  2




4 x  y  9
12 x  3 y  27
14 x  28
y 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2;1)
 x  2 y  3
x  y  3

Bài 13: Giải hệ phương trình: 
Hướng Dẫn:
3 y  6
 y  2


x  y  3 x  1

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; -2)
3x  2 y  3
 x  2 y  17

Bài 14: Giải hệ phương trình 
Hướng Dẫn:

4 x  20
x  5
x  5
. Hệ có nghiệm duy nhất (5;6)



 x  2 y  17
 x  2 y  17
x  6
2 x  3 y  13
3 x  y  3

Bài 15: Giải hệ phương trình: 
Hướng Dẫn:

2 x  3 y  13
2 x  3 y  13
11x  22
x  2
x  2
 
 
 
 

3 x  y  3
9 x  3 y  9
3 x  y  3
3.2  y  3
y  3

Vậy hệ phương trình có nghiệm: x = 2 và y = 3.
x  2 y  8
 x  y  1

Bài 16: Giải hệ phương trình: 
Hướng Dẫn:

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 12


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

x  2 y  8
 3 y  9
 y  3
 y  3
<=> 
 
 

 x  y  1
 x  y  1
 x  (3)  1
x  2

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (2;-3)
2 x  y  1
x  y  1

Bài 17: Giải hệ phương trình: 
Hướng Dẫn:

2 x  y  1
x  0
x  0
 
 
x  y  1
x  y  1
y 1

Ta có: 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (0; 1)
3 x  y  5
5 x  2 y  23

Bài 18: giải hệ phương trình: 
Hướng Dẫn:

3 x  y  5
6 x  2 y  10
11x  33
x  3
<=> 
 
 
5 x  2 y  23
5 x  2 y  23
3x  y  5
y  4

Hệ pt 

Vậy hệ pt có nghiệm x=3; y = 4
8 x  y  6

Bài 19: Giải hệ phương trình: 

2
 x  y  6

Hướng Dẫn:
8 x  y  6

8 x  y  6
8 x  y  6
x  6
x  2
  2
  2
 
hoặc 
 y  42
 y  10
 x  y  6
 x  y  6
 x  8 x  12  0

Ta có: 

2

2 x  y  0
3x  2 y  1

Bài 20: Giải hệ phương trình 
Hướng Dẫn:

2 x  y  0
4 x  2 y  0

 x  1
 x  1
<=> 
 
 

3 x  2 y  1
3 x  2 y  1
3(1)  2 y  1
 y  2

Hệ có nghiệm duy nhất (–1;–2)
Bài 21: Bài tập tự luyện

3x  y  10
1. 
 2x  3y  3

Ngô Nguyễn Thanh Duy

 2x  4
2. 
x  y  5

3x  y  1
3. 
 x  2y  5

 2x  y  5  0
4. 

  x  5y  3  0

Trang 13


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

x  y  3
5. 
 3x  2y  8

 7x  3y  4
6. 
 4x  y  5

8x  y  6
9.  2
 x  y  6

 4x  5y  7
10. 
3x  y  9

 x  3  2y
13. 
 y  1  2x

 3x  y  8
14. 
7x  2y  23

 4 x  3 y  6
2 x  5 y  16

 x  3 y  10
 2 x  y  1

17. 

18. 

 2x  y  2  2
20. 
2 2 x  y  2 2  2

x  3  2 y
21. 
 y  1  2 x

3x  y  5
7. 
3  x  y

 2x  y  3
8.  2
x  y  5

3x  2y  7
11. 
 2x  y  4

 x  2y  8
12. 
 x  y  1

 x  3 y  10
 x  5 y  16

15. 

3 x  2 y  8
2 x  3 y  12

16. 

 x 2  y 3  1
19. 
5x 2  4y 3  8
 x( x  1)  y ( y  1)  6
x  y  3

22. 

Dạng 2: Giải hệ phương trình biến đổi để đưa về cơ bản
Bài tập minh họa
3 x  2  2 y  1  0
.
3 x  2 y  2  7  x 

Bài 1: Giải hệ phương trình sau: 

Hướng Dẫn:
Nhận xét: Hệ phương trình chưa có dạng bậc nhất hai ẩn nên bước đầu tiên chúng ta
rút gọn các phương trình của hệ đưa về phương trình bậc nhất hai ẩn.
3 x  2  2 y  1  0
3 x  4 y  2
3 x  4 y  2
3 x  4 y  2
.




3
x

2
y

2
x

14
5
x

2
y

14

10
x

4
y

28
3
x

2
y

2
7

x







Cộng các vế tương ứng của hai phương trình ta có: 13x  26  x  2 .
Thay x  2 vào phương trình thứ hai: 5.2  2 y  14  y  2 .
Vậy nghiệm của hệ phương trình là  x; y    2; 2  .
Chú ý: Ta cũng có thể dùng phương pháp thế để giải hệ phương trình.

Ngơ Nguyễn Thanh Duy

Trang 14


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

 x  y    x  2 y   2
.
3
x

y

x

2
y

1






Bài 2: Giải hệ phương trình: 

Hướng Dẫn:
 x  y    x  2 y   2
 x  x  y  2 y  2

2 x  3 y  2 (1)



(2)
3x  x  3 y  2 y  1 4 x  y  1
3  x  y    x  2 y   1
(2)  y  1  4 x .

1
2

Thay y  1  4 x vào (1) ta được: 2 x  3 1  4 x   2  10 x  5  x  .

Với x 

1
1
thì y  1  4.  1 .
2
2

1
2

Vậy hệ phương trình có nghiệm là  x; y    ; 1 .


 x  y  5   2 y  xy  9
.

 3 x  1 2 y  1  6 xy

Bài 3: Giải hệ phương trình: 

Hướng Dẫn:
 x  y  5   2 y  xy  9
 xy  5 x  2 y  xy  9
5 x  2 y  9 (1)


.

6 xy  3x  2 y  1  6 xy
3x  2 y  1 (2)
 3x  1 2 y  1  6 xy

Trừ các vế tương ứng của hai phương trình ta có: 8 x  8  x  1 .
Thay x  1 vào phương trình thứ nhất: 5.1  2 y  9  y  2 .
Vậy hệ phương trình có nghiệm là  x; y   1; 2  .
Hệ phương trình chưa có dạng bậc nhất hai ẩn nên bước đầu tiên chúng ta rút gọn các
phương trình của hệ đưa về phương trình bậc nhất hai ẩn. Rút gọn xy ở cả hai vế của hai
phương trình.
2 x  | y | 4
4 x  3 y  1

Bài 4: Giải hệ phương trình: 

Nhận xét: Đối với bài tốn chứa dấu trị tuyệt đối ta sử dụng công thức:
Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 15


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

 A Neu A  0
A 
  A Neu A < 0

Hướng Dẫn:
13

x

2 x  y  4

10
 
(TM )
Nếu y  0 ta được hệ: 
4 x  3 y  1
y  7

5
11

2 x  y  4
x 
 
Nếu y<0 ta được hệ: 

2 (L)
4 x  3 y  1
 y  7

13

 x  10
Vậy nghiệm của hệ phương trình là 
y  7

5
3( x  1)  2( x  2 y )  4
4( x  1)  ( x  2 y )  9

Bài 5: Giải hệ phương trình 
Hướng Dẫn:

Hệ phương trình tương đương với:
3 x  3  2 x  4 y  4
5 x  4 y  1
5 x  4 y  1



4 x  4  x  2 y  9
3 x  2 y  5
6 x  4 y  10
11x  11
x  1



6 x  4 y  10
 y  1

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất  x; y   1; 1 .
Bài 6: Giải các hệ phương trình sau:
2( x  1)  3( y  2)  5( x  y )  17
4( x  3)  ( y  2)  y  2  6 x

a) 

Hướng Dẫn:
2( x  1)  3( y  2)  5( x  y )  17

4( x  3)  ( y  2)  y  2  6 x
2 x  2  3 y  6  5 x  5 y  17
3 x  8 y  9


4 x  12  y  2  y  2  6 x
x  y  8

Giải ra ta được: (x; y) = (11; -3)
Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 16


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

1
3
 4 x  y  2
b) 
x  3 y  1

4

Hướng Dẫn:
1
3
 4 x  y  2
3 x  4 y  2
9 x  12 y  6



4 x  3 y  4
16 x  12 y  16
x  3 y  1

4

Giải ra ta được (x; y) = (

10 4
;
)
7 7

x y 2
 3  3  3
c) 
 4x  y  x  1
 6
4

Hướng Dẫn:
x y 2
 3  3  3
x  y  7
2 x  2 y  14



11x  2 y  12
 4 x  y  x  1 11x  2 y  12
 6
4

Giải ra ta được (x; y) = (2; 5)
Bài 7: Giải các hệ phương trình:
3( y  5)  2( x  3)  0
;
7( x  4)  3( x  y  1)  14  0

a) 

Hướng Dẫn:
2 x  3 y  21

10 x  3 y  45

HPT đã cho  

Từ đó tìm được nghiệm của HPT là (3; 5)
( x  1)( y  1)  ( x  2)( y  1)  1
.
2( x  2) y  x  2xy  3

b) 

Hướng Dẫn:
2 x  3 y  2
x  4 y  3

HPT đã cho  

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 17


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

 17 4 

Từ đó tìm được nghiệm của HPT là  ; 
 11 11 
Bài 8: Giải các hệ phương trình sau
 2x  3

1

c.  3 y  2
3(3 y  2)  4( x  2 y )  0


Hướng Dẫn:
 2x  3
1
2 x  3  3 y  2
 x  2,3
2

(3 y  2  0  y  )  

(tm)
3y  2
3
9 y  6  4 x  8 y  0
 y  3, 2
3(3 y  2)  4( x  2 y )  0

( x  2)(6 y  1)  (2 x  3)(3 y  1)
(2 x  1)(12 y  9)  (4 x  1)(6 y  5)

d. 

Hướng Dẫn:
( x  2)(6 y  1)  (2 x  3)(3 y  1)
 x  2



(2 x  1)(12 y  9)  (4 x  1)(6 y  5)
y 1
 2x  3 y x  y 1
 2x  y 1
 4 
5
e. 
 4x  y  2  2x  y  3  x  y 1

4
6
3

Hướng Dẫn:
2
 2x  3y x  y 1

 2x  y 1
x
 4 

5(2 x  3 y )  4( x  y  1)  20(2 x  y  1)

5
3




3(4 x  y  2)  2(2 x  y  3)  4( x  y  1)
 4x  y  2  2x  y  3  x  y 1
 y  4


4
6
3
3

Bài 9: Giải các hệ phương trình sau
 2 x  2 3 y  14

a. 

3 3 x  2 y  3(4  3 2)

Hướng Dẫn:

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 18


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy


4 3  3 6  3 3x
y 
 2 x  2 3 y  14

 x(9  2)  9 2  2

2





3 3 x  2 y  3(4  3 2)
 y  2 3
 2 x  2 3( 4 3  3 6  3 3 x )  14

2
 x   2

 y  2 3
( 3  1) x  y  3
b. 
 x  ( 3  1) y  1

Hướng Dẫn:

4 3
 x 
( 3  1) x  y  3
 y  ( 3  1) x  3
 y  ( 3  1) x  3
3





 x  ( 3  1).x.[( 3  1) x  3]=1 3 x  4  3
 y  1
 x  ( 3  1) y  1

3

2 3 x  3 5 y  21

c. 

4 x  2 3 y  2 3(2  5)

Hướng Dẫn:

4 3  2 15  2 3 y
)  3 5 y  21
2 3(
2 3x  3 5 y  21
4

 x  3



 x  4 3  2 15  2 3 y
4 x  2 3 y  2 3(2  5)
 y   5


y
( x  1) 2  ( y  2) 2  ( x  1) 2  1  ( y  1) 2
2
2
( x  y  3)  ( x  y  1)

d. 

Hướng Dẫn:
2
2
2
2
 x  1, 5
( x  1)  ( y  2)  ( x  1)  1  ( y  1)


2
2
( x  y  3)  ( x  y  1)
 y  0,5

Bài tập tự luyện
 x  2 y  10

Bài 1: Giải hệ phương trình:  1
 2 x  y  1

Hướng Dẫn:

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 19


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

 x  2 y  10
x  6

có nghiệm 
(HS tự giải)
1
y  2
 2 x  y  1

3
 2 x  y  6
Bài 2: Giải hệ phương trình 
 1  2 y  4
 x

Hướng Dẫn:
ĐK : x ≠ 0. Ta có :

3
 2 x  y  6
3  3xy  12 x
8 x  4
 

 

1  2 xy  4
1  2 xy  4
 1  2 y  4
 x
1

1
1


 x  2  0(TM )
x 
x 
 
 
 
2
2
1  2. 1 . y  4. 1
1  y  2
 y  3

2
2
1

x 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất 

2
 y  3

3( x  1)  2( x  2 y )  4
4( x  1)  ( x  2 y )  9

Bài 3: Giải hệ phương trình 

Hướng Dẫn:
3 x  3  2 x  4 y  4
5 x  4 y  1
5 x  4 y  1
 
 

4 x  4  x  2 y  9
3 x  2 y  5
6 x  4 y  10
11x  11
x  1
 
 
6 x  4 y  10
 y  1

2 x  y  3  0

Bài 4: Giải hệ phương trình sau:  x y
 4  3  1

Hướng Dẫn:
Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 20


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

2 x  y  3  0

x y
 4  3  1

2 x  y  3
2 x  y  3
8 x  4 y  12
11x  0
x  0
 
 
 
 
 
3 x  4 y  12
3x  4 y  12
3x  4 y  12
3 x  4 y  12
y  3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (0;3)

 x  2 y  2014

Bài 5: Giải hệ phương trình sau:  x y
 2  3  1

Hướng Dẫn:
 x  2 y  2014
 x  2 y  2014

 
 4 x  2020
x y
3
x

2
y

6


1

 2 3
1509
 x  505  y 
2

Bài 6: Giải các hệ phương trình sau

 2x  y  5  0
1. 
  x  5y  3  0

 2x  y  3
2.  2
x  y  5

(x  y)  (x  2y)  2
3. 
3(x  y)  (x  2y)  1

8x  y  6
4.  2
 x  y  6

 x  2y  2014

5.  x y
 2  3  1

 x  3  2y
6. 
 y  1  2x

 2x  y  4
(x  3)(y  2)  7  xy
7. 
8. 
(x  1)(y  1)  xy  2

 4x  3y  1
2 x  y  x  3 y  3
3x  3 y  9

11. 

2 x  y  3x  20
4 x  y  x  2 y  12

14. 

10. 

13. 

 x  y  2( x  1)
7 x  3 y  x  y  5

12. 

 x  2 y  4( x  1)
5 x  3 y  ( x  y )  8

6(x  y)  8  2x  3y
15. 
5(y  x)  5  3x  2y

y
x
 2(2x  1)  1,5  3(y  2)  6x

  1
16. 
17.  5
15
11,5  4(3  x)  2y  (5  x)
 2x  5y  10
Ngô Nguyễn Thanh Duy

 x - 1 + y = 0
 x + 3y - 3 = 0

9. 

2 x  5 y   ( x  y )
6 x  3 y  y  10

 4x  3y  1

18.  2x  1 9  5y
 6  8
Trang 21


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

1
1
 x y20
19.  3
4

5x  y  11

1
1
 x y0
20.  5
6
5x  4y  2

 4x  5y  10  0

21.  x y 1
 5  3  3  0

 2x  y  450

22.  x  80 3
 y  10  4


4x  3

 x  y  5
23. 
 x  3y  15  9y

14

 x 2y
4

 
24.  2 3
3x  2y  6

3(x  7)  4(y  5)
25. 
 4x  3y  8  0

x  2 y  x
 7  4  2x  8
26. 
27.
2y

3x

 2y  3x  4
 3

x 2
 
28.  y 3
 x  y  10  0


y  27
 2y  5x

5


 2x
 3
4
29. 
30.
x

1
6y

5x

y
 3
7

4x  3

x

y


5

 x  3y  15  9y

14

x  y x  y

 5  3
31. 
 x  y 1
 4 2

 5x 2y
 3  5  19
32. 
 4x  3y  21

2

 2x  5y  7

33. 
2y
3x  3

x  2 y  4
34.  2
2
x  4 y  8

 2x  5y  1 x  2y

 16

11
3
35. 

 7x  y  2(x  1)  31
 5
3

 4y  x  8

36.  y x
 3  4

 2x  3 y  13
37. 
3x  y  3

y  x  1
38. 
 2x  y  1

6x  2 y  3

39.  4
 x 3 y  7
3
1 1
 x  y  5
41. 
 x  y  2xy
 2 3

y  x  x  2  3
40. 

 2x  y  1

41. 

 x  1  y  1  5
42. 
 x  1  4y  4

 x  2y x  y
 3  4  26
43. 
 4x  2y  1  x  2  22

7
13

 y  2 x  3  0
 y  x  3  0

 2(x  y)  5(x  y)

20
 20

x  y x  y  7


6x  6y  5xy

44.  4 3

.
x  y 1


Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 22


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

Bước 1: Đặt điều kiện của phương trình.
Bước 2: Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ. Đưa hệ ban đầu về hệ mới.
Bước 3: Giải hệ mới tìm ẩn phụ.
Bước 4: Thay giá trị vào ẩn phụ tìm x và y.
Bước 5: Kết luận.
Bài tập minh họa
4 x  y  2  3
 x  2 y  2  3

Bài 1: Giải hệ phương trình: 

(I).

Hướng Dẫn:
Đặt t  y  2 (điều kiện: t  0 )
4 x  t  3
8 x  2t  6

9 x  9
x  1
(thỏa mãn).



 x  2t  3  x  2t  3
 x  2t  3 t  1

Ta có hệ: 

y  2 1
 y  1
.

 y  2  1  y  3

Với t  1 thì y  2  1  

Vậy hệ phương trình có nghiệm là 1; 1 , 1; 3 .
Phân tích hướng giải: Vì cả hai phương trình đều có y  2 nên ta sẽ sử dụng phương
pháp đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ phương trình có trị tuyệt đối
nên ta có thể chia hai trường hợp dể phá dấu trị tuyệt đối để được hệ phương trình bậc nhất
hai ẩn (nhưng cách này sẽ dài hơn cách đặt ẩn phụ).
 x  1  3 y  2  2

Bài 2: Giải hệ phương trình: 

.

2 x  1  5 y  2  15

Hướng Dẫn:
Điều kiện xác định: x  1; y  2 .
Đặt a  x  1; b  y  2  a  0; b  0  .
Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 23


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

a  3b  2
2a  6b  4
11b  11
b  1
(thỏa mãn).



2a  5b  15
2a  5b  15
a  3b  2
a  5

Ta có hệ: 

a  5  x  1  5
 x  1  25
 x  26

.




b  1
 y  1
 y  2  1  y  2  1

Vậy hệ phương trình có nghiệm là  26; 1 .



Bài 3: Giải hệ phương trình: 



1
4
11


x3 y 2 6
5
2
11


x3 y 2 6

.

Hướng Dẫn:
Điều kiện xác định: x  3; y  2 .
Đặt a 

1
2
; b
 a  0; b  0  .
x3
y 2

11
11
11
1
1





2  2b  6
 a  2b  6
11a  2
a  2
a  2
Ta có hệ: 
(thỏa





5a  b  11
10a  2b  22
a  2b  11
2b  11  1
b  2





6
6 2
3
6
6

mãn).
a

x  3  2
 x  1
1
 x3  2  

2
 x  3  2

 x  5

b

y  5
2
.
 y 23 y 5 
3
 y  5

Vậy hệ phương trình có nghiệm là  1;5  ,  1; 5  ,  5;5  ,  5; 5  .
21
1
 4
 2x  y  x  y  2

Bài 4: Giải hệ phương trình: 
.
7x y
 3

1
 2 x  y
x y

Hướng Dẫn:
Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 24

Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

Nhận xét: Cả hai phương trình đều có

Ta biến đổi:

1
nên đặt được ẩn phụ.
2x  y

7
7  x  y 7   x  y
7


 1 . Vậy đặt
 b,
x y
x y
x y
x y

1
a.
2x  y

Điều kiện xác định: 2x  y và x   y .
21

1
21
1
21
1
 4
 4
 4
 2x  y  x  y  2
 2x  y  x  y  2
 2x  y  x  y  2






7x y
7   x  y
3
7
3
 3

1 

1  1

1 
 2 x  y

 2x  y
 2 x  y x  y
x y
x

y

21
1
 4
 2x  y  x  y  2


7
 3

2
 2 x  y x  y

Đặt a 

1
7
; b
,  a  0 .
x y
2x  y

1
1



1
1
13
a
a





4a  3b 
4a  3b 
13a 


2
2 (thỏa mãn).
Ta có hệ: 

2
2
2 
3a  b  2
9a  3b  6
3a  b  2
3  b  2
b  1
 2


2
1
 1
1


a



2   2 x  y 2   2 x  y  4  3 x  18   x  6 (thỏa mãn).





 x  y  14
 y  14  x
y  8
b  1
 7 1
 x  y 2

2

Vậy hệ phương trình có nghiệm là  6;8 .
 2
 x 1 


Bài 5: Giải hệ phương trình sau: 
 2 
 x  1

3
 1
y
5
 1
y

Hướng Dẫn:
Đối với HPT ở dạng này ta có thể sử dụng hai cách giải sau đây:
Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 25