HSG lop 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ LỚP 9-THCS NĂM 2011. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH. MÔN TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút Ngày thi : 23.03.2011. ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 : (4 điểm) Thu gọn các biểu thức: (2  a ) 2  (3  a ) 2 2 a 1 a) A = với a 0 . 1 với a> 0 ,a ≠ 1 . a √ a+a+ √ a a − √ a Bài 2 : (4 điểm) a) Chứng minh ad+ bc ≤ √ a2 +b 2 . √ c2 + d2 với a, b, c, d là các số thực. b) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 3 3 3 a b c + + ≥ ab+bc+ca . b c a b) B =. √ a+ 1. :. 2. Bài 3: (3 điểm) 2 2 Cho phương trình: x −(3 m− 2) x+ 2m − 5 m−3=0 ( x là ẩn số) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương. c) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm. Bài 4: (3 điểm) ¿ 1 1 1 + + =2 x y z 2 1 a) Giải hệ phương trình − 2 =4 . xy z ¿{ ¿ b) Chứng minh rằng số có dạng n4 + 6n3 +11n 2 +6n nhiên n.. chia hết cho 24 với mọi số tự. Bài 5 : (4 điểm) Trên hai cạnh Ox, Oy của góc vuông xOy ta lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB. Một đường thẳng đi qua A cắt OB tại M (M ở trong đoạn thẳng OB). Từ B kẻ đường vuông góc với AM, cắt AM tại H, cắt AO kéo dài tại I. a) Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHI là tứ giác nội tiếp được. b) Từ O kẻ đường vuông góc với BI tại K. Chứng minh OK = KH. Điểm K di động trên đường cố định nào khi M di động trên OB? Bài 6 : (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại B và góc ABC bằng 80 o. Lấy điểm I trong tam giác ABC sao cho góc IAC bằng 10o và góc ICA bằng 30o. Hãy tính góc AIB. HẾT.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN Bài 1 : (4 ñieåm) Thu gọn các biểu thức: (2  a ) 2  (3  a ) 2 2 a 1 a)A = với a 0 . b)B = Giải:. √ a+ 1. 1 a √ a+a+ √ a a − √ a (2 . a) A =. :. 2. với a> 0 ,a ≠ 1 .. a ) 2  (3  a ) 2 5(  1  2 a )   5 2 a 1 2 a 1. 1 với a> 0 ,a ≠ 1 a √ a+a+ √ a a − √ a ( a 1)(a 2  a ) a 2 a  a  a 2  a a 2  a  a a  1   a a  a  a a a  a  a a  a 1 B= a 2  a  a a  1 a 2  a  a  a  a a  1 a 2  a a  a  (a  a  1)    a  1 a  a 1 a  a 1 a  a 1 b) B =. √a+ 1. Bài 2 : (4 điểm) a)Chứng minh. :. 2. ad+ bc ≤ √ a2 +b 2 . √ c2 + d2 với a, b, c, d là các số thực.. Giải: Nếu ad + bc < 0 : Bất đẳng thức đúng. Nếu ad + bc  0 : 2 2 2 2 2 Bất đẳng thức tương đương với : (ad + bc)  (a +b )(c +d )  a 2d 2 + b 2 c2 + 2abcd  a 2c 2 + a 2 d 2 + b 2c 2 + b 2d 2  2abcd a 2 c 2 + b 2 d 2  (ac  bd) 2 0 ( đúng) 3. b)Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:. 3. 3. a b c + + ≥ ab+bc+ca . b c a. Giải: a3 a 3  a 2 b  ab 2  b3 (a  b) 2 (a  b) a 2  ab  b2  0  0 b b Ta có : b ( đúng) a3 a 2  ab  b 2 Nên : b b3 c3 2 2 b  bc  c c 2  ca  a 2 Tương tự ta cũng có : c và a Cộng ba kết quả trên ta có đpcm. Bài 3: (3 điểm) Cho phương trình: x 2 −(3 m− 2) x+ 2m2 − 5 m−3=0 ( x là ẩn số) a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 2 2 2 2   (3m  2)  4(2m  5m  3) m  8m  16 (m  4) 0 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì :   0  m  4.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> b)Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương. Do câu trên ta có hai nghiêm của phương trình là : x1 2m  1 ; x 2 m  3 1 m 2 Để phương trình có ít nhất một nghiệm dương: c)Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm. Để phương trình có ít nhất một nghiệm âm: m  3 Bài 4 : (3 điểm) 1 1 1  x  y  z 2 (1)    2  1 4 (2) 2  a)Giải hệ phương trình  xy z . 1 1 1 2  (  ) x y (1) : z 2 1 1 2 1 1 1 1 2  [2  (  )]2 4   [4  4(  )  2  2  ] 4 x y xy x y x y xy Thay vào (2) : xy 1 1 4 4 1 4 1 4 1 1  2  2   8  2   4  2   4 0  (  2) 2  (  2) 2 0 x y x y x x y y x y 1 1  x y  2 ; z= 2 b)Chứng minh rằng số có dạng n4 + 6n3 +11n 2 +6n nhiên n:. chia hết cho 24 với mọi số tự. 4 3 2 Ta phân tích được :A= n  6n  11n  6n n(n 1)(n  2)(n  3) Trong hai số n và n+1 có một số chẵn nên A chia hết cho 2 Trong ba số liên tiếp n, n+1 và n+2 có một số là bội của 3 nên A chia hết cho 3. Trong bốn số liên tiếp n, n+1 , n + 2 và n+3 có một số là bội của 4 nên A chia hết cho 4. Vậy A là bội của 24. ( đpcm). Bài 5 : (4 điểm) Trên hai cạnh của góc vuông xOy ta lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB. Một đường thẳng đi qua A cắt OB tại M (M ở trong đoạn thẳng OB). Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H, cắt AO kéo dài tại I. a)Có nhận xét gì về hai đoạn OI và OM, về tứ giác OMHI? Chứng minh những nhận xét đó. b)Từ O kẻ đường vuông góc với BI tại K. Chứng minh OK = KH. Điểm K di động trên đường cố định nào khi M di động trên OB?.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Giải bài 5:. a) Ta có MI vuông góc với BA vì M là trực tâm của tam giác ABI và góc MIO bằng với góc JAI vì góc JAI bằng 45o. Vậy góc MIO cũng bằng 45o. Suy ra tam giác vuông MOI là tam giác vuông cân cho ta OM=OI. Ta có tứ giác OMHI có hai góc vuông đối diện là MOI và MHI nên là tứ giác nội tiếp được. b). Do tứ giác OMHI là tứ giác nội tiếp được nên góc OHI bằng với góc OMI và bằng 45o. Vậy tam giác vuông OKH là tam giác vuông cân cho ta OK = KH. Ta có điểm K di động luôn nhìn đoạn cố định OB dưới một góc vuông nên K lưu động trên đường tròn cố định đường kính OB.. Bài 6 : (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại B và góc ABC bằng 80 o. Lấy điểm I trong tam giác ABC sao cho góc IAC bằng 10o và góc ICA bằng 30o. Hãy tính góc AIB. Giải. Vẽ đường phân giác của góc BAI, đường này cắt CI tại K. Ta có góc BAC bằng 50o và góc IAC bằng 10o nên góc BAI bằng 40o. Vậy góc KAI bằng 20o.Suy ra góc KAC bằng 30o bằng với góc KCA. Hai điểm B và K cùng cách đều hai điểm A và C nên BK là đường trung trực và cũng là đường phân giác của góc ABC. Ta có góc AKC bằng 120o bằng với góc AKB nên hai tam giác AKB và AKI bằng nhau.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> .. (g-c-g) cho ta AB = AI . Suy ra tam giác AIB cân tại A . Vì góc BAI bằng 40o nên suy ra góc AIB bằng 70o. HẾT.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>