Bai tap on thi lop 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span>I. CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT Phần 1: Các bài toán liên quan đến rút gọn biểu thức 1 1 x3 − x + +√ √ x − 1− √ x √ x −1+ √ x √ x − 1. Bµi 1: Cho biÓu thøc H =. a. Rót gän biÓu thøc H. 53 b. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc H víi x =. 9− 2 √ 7 c. Tìm x để H = 16. d. Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña x sao cho x > 1 ta cã H 0 . 2√x Bµi 2: Cho biÓu thøc K = 1+ √ x : 1 − x +1 √ x − 1 x √ x+ √ x − x − 1 a. Rót gän biÓu thøc K. b. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc K víi x = 4 + 2 √ 3 . c. Tìm x để K > 1. Bµi 3: Cho biÓu thøc Q = √ x −1 − 1 + 8 √ x : 1− 3 √ x −2 3 √ x − 1 3 √ x+1 9 x −1 3 √ x +1 a. Rót gän biÓu thøc Q. b. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc Q víi x = 6 + 2 √ 5 . c. Tìm x để Q = 6 .. (. )(. ). (. )(. ). 5. Bµi 4: Cho biÓu thøc T = 1:. ( x √x +2x −1 + x +√√x +1x +1 − √xx+1 −1 ). a. Rót gän biÓu thøc T. b. Chøng minh T > 3 víi mäi gi¸ trÞ x > 0 vµ x 1. Bµi 5: Cho biÓu thøc U = 5 √ x − 11 + 3 √ x −2 − 2 √ x +3 x +2 √ x −3 1− √ x √ x+3 a. Rót gän biÓu thøc U. b. Tìm x để U = 1 . 2 c. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña U vµ gi¸ trÞ t¬ng øng cña x. Bµi 6: Cho biÓu thøc V = 1 − √ x : √ x +3 + √ x +2 + √ x+2 1+ √ x √ x − 2 3− √ x x −5 √ x+ 6 a. Rót gän biÓu thøc V. b. Tìm x để |V | = - V. Bµi vn: Cho biÓu thøc A = 2 √ x − 9 − √ x +3 − 2 √ x+ 1 x −5 √ x+6 √ x −2 3 − √ x a. Rót gän biÓu thøc A. b. Tìm x để A < 1. c. T×m x nguyªn sao cho A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. (. Bµi 7: Cho biÓu thøc A =. )(. 1. +. 1. 2( 1+ √ x +2) 2(1− √ x+2). 1. Tìm x để biểu thức A có nghĩa. 2. Rót gän biÓu thøc A 3. T×m x nguyªn sao cho A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 8: Cho biÓu thøc B = 1. Rót gän biÓu thøc B. 2. Tìm x để B > 2. 3. So s¸nh B víi 1,5. Bµi 9: Cho biÓu thøc C = 1. Rót gän biÓu thøc C. 2. Tìm x để C < - 1 . 2. 3 3 x x+x + + √ √ x − 3 − √ x √ x −3+ √ x √ x +1. ( 2√√xx+3− 1 + √ √x −3x − 3xx−+39 ): ( 2√√xx−−32 −1). ).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña C. Bµi 10: Cho biÓu thøc P =. (. 2. √ x −2 − √ x+2 : √2 x −1 x +2 √ x +1 1 − x. )( ). 1. Rót gän biÓu thøc P. 2. Chøng minh r»ng nÕu 0 < x < 1 th× P > 0. 3. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P. 4. Bµi 11: Cho biÓu thøc E =. 1− x ¿ ¿ √x ¿ ¿. 3. a. Rót gän biÓu thøc E. b. XÐt dÊu biÓu thøc P = x(E - 1 ).. (. Bµi 12: Cho biÓu thøc F =. 2 √ x −1 − √ x +1 : √ x+ 1 √ x − 1. )(. √ x−. 1 √x. 2. ). a. Rót gän biÓu thøc F. b. Có giá trị nào của x để F = 0 không?. c. Tìm giá trị x để |F| = F . Bµi 13: Cho biÓu thøc P =. ( √1x + √ √x x+1 ): √ √x+x x. a. Rót gän biÓu thøc P. b. T×m gi¸ trÞ nµo cña P khi x = 4. c. Tìm giá trị x để P = 7 . 2. Bµi 14: Cho biÓu thøc P = x √ x −1 − x √ x +1 + x +1 x−√ x x +√ x √ x a. Rót gän biÓu thøc P. b. Chøng tá r»ng P = |P| víi x > 0 , x 1. c. Tìm giá trị x để P = 9 . 2. Bµi 15: Cho biÓu thøc Q = 1 − 2 √ x + √ x +1 : 9 √ x +6 −3 3 √ x +1 9 x − 1 3 √ x+1 a. Rót gän biÓu thøc Q. b. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc Q víi x = 6 + 2 √ 5 . c. Tìm x để Q = 6 . 5 d. Tìm x để Q >1 √ x + √ x : 2 − 2− x Bµi 16: Cho biÓu thøc P = √ x −1 x − 1 x x √ x+ x a. Rót gän biÓu thøc P. b. Tìm x để P < 1. c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña √ P 1 1 x +1 √ x +2 Bµi 17: Cho biÓu thøc F = − : √ − √ x −1 √ x √ x −2 √ x − 1 a. Rót gän biÓu thøc F. b. T×m gi¸ trÞ F t¹i x = 25 .. (. )(. (. )(. ). )(. (. ). ). 9. c. Tìm giá trị x để |F| = F . Bµi 18: Cho biÓu thøc P =. (. 1 x +3 √ x − 4 √ x +1 − : x+1 ( x − 1)( √ x +4 ) x √ x + x − √ x. a. Rót gän biÓu thøc P. b. Tìm x để P = 2.. ).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> c. Tìm m để P = m có nghiệm. Bµi 19: Cho biÓu thøc P= 1 2√ x 1 √x+x − : + √ x −1 x √ x − x + √ x −1 x √ x + x + √ x +1 x +1 a. Rót gän biÓu thøc P. b. Tìm x để P = √ x − 2. c. Tìm m để có x thỏa mãn ( √ x + 1)P = m – x . 1 2 x Bµi 20: Cho biÓu thøc P = − : 1− √ x +1 √ x −1 x √ x − x + √ x −1 a. Rót gän biÓu thøc P. b. Chứng minh rằng P > 0 với mọi x để P có nghĩa. c. Tìm tất cả các giá trị x để P nhận gía trị nguyên . 3 x−3 x +2 x Bµi 21: Cho biÓu thøc P = −√ : − √ √ x −1 x −1 x+ √ x −2 √ x +2 a. Rót gän biÓu thøc P. b. T×m gi¸ trÞ P t¹i x = 4 − 2 √ 3 . c. Tìm x để P = √ x − 1. d. Tìm tất cả các giá trị x để P nhận gía trị nguyên . Bµi 22: Cho biÓu thøc P = 1− x √ x +√ x : 1+ x √ x − √ x 1− √ x 1+ √ x a. Rót gän biÓu thøc P. b. Tìm x để P < 7 – 4 √ 3 . Bµi 23: Cho biÓu thøc P = 2 √ x + √ x+1 + 3 −11 √ x √ x +3 √ x − 3 9− x a. Rót gän biÓu thøc P. b. T×m gi¸ trÞ P t¹i x = 14 −6 √5 c. Tìm x để P< 1. Bµi 24: Cho biÓu thøc P = 15 √ x −11 + 3 √ x −2 − 2 √ x +3 x +2 √ x −3 1− √ x √ x+3 a. Rót gän biÓu thøc P. b. Chøng minh r»ng P 2 .. (. )(. ). )(. (. (. ). )(. (. )(. ). ). 3. c. Tìm m để x thoả mãn P( √ x+3 ¿=m . Bµi 25: Cho biÓu thøc P = x √ x +26 √ x − 19 − 2 √ x + √ x −3 x+2 √ x −3 √ x −1 √ x+ 3 a. Rót gän biÓu thøc P. b. Tìm m để x thoả mãn P( √ x+3 ¿=m √ x . c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P. Bµi 26: Cho biÓu thøc P =. ( x −13 + √ x1+1 ) : √ x1+1. a. Rót gän biÓu thøc P b. Tìm các giá trị của x để P ¿ 5 . 4. c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M = Bµi 27: Cho biÓu thøc F =. ( √ x1−1 + √ x+1 1 ): (1+ √1x ). x+12 1 . √x− 1 P. a. Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức F. 1 b. T×m gi¸ trÞ F t¹i x = 4 . c. Tìm giá trị x để √ F > F . 2 Bµi 28: Cho biÓu thøc F = √ x − 1 4 4√x. (. ) ( √√xx−+11 − √√xx−1+1 ).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> a. Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức F. 1 b. T×m gi¸ trÞ F t¹i x = 4 .. c. Tìm giá trị x để 2 F + √ x= 5 . 4.  a a  1 a a 1 a  2 A    : a  a a  a   a 2 Bài 12: Cho biểu thức:. a) Với giá trị nào của a thì biểu thức A không xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Với giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên? HD: a) A không xác định  a < 0, a = 0, 1, 2. b) Với a > 0, a ≠ 1, a ≠ 2:. A. 2(a  2) a  2 ; c) có duy nhất a = 6 thỏa. mãn. B. x. . 2x . x. x1 x x Bài 29: Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị của B khi x 3  8 c) Với giá trị nào của x thì B > 0? B< 0? B = 0? HD: a) ĐK x > 0, x ≠ 1: B  x  1 2. b) x 3  8 ( 2  1) : B  2 ; c) B > 0  x > 1; B < 0  x < 1; B = 0  x = 1 . 1   1 1  1  1     :  Bài 30: Cho biểu thức A =  1  x 1  x   1  x 1  x  1  x. a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3 c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất A. HD: a) ĐK: x ≥ 0, x ≠ 1. Rút gọn ta được b). x 7  4 3 (2  3) 2 : A . c) min A = 4 khi. x. 1 x (1 . x). 1 (3 3  5) 2. 1 4.  x 2 x  2   1 x  P   . x  1 x  2 x  1   2   Bài 31: Cho. 2. 1) Rút gọn P . 2) Chứng minh : Nếu 0 < x < 1 thì P > 0. 3) Tìm giá trị lớn nhất của P. HD: 1) Điều kiện để P có nghĩa : x ≥ 0 và x ≠ 1. Kết quả: P  x (1  x ) 2) Nếu 0 < x < 1 thì : 0  x  1  P > 0..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 2. 1  1 1 P   x   4  2 4 . Dấu "=" xảy ra  3) 1 1 max P   x  4 4 1. B. . 1 1 x  x 2 4 . Vậy:. 1. . x3  x. x 1 x x  1 x x1 Bài 32: Cho biểu thức a) Tìm điều kiện để biểu thức B xác định b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm giá trị của x khi B = 4 d) Tìm các giá trị nguyên dương của x để B có giá trị nguyên HD: a) x > 1 b) B  x  2 x  1 c) B = 4  x = 10 d) B nguyên x = m2 + 1 (m  Z)  1 1  x 1 A   : x  1  x  2 x 1 x x Bài 33: Cho biểu thức:. a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa, rút gọn A. b) So sánh A với 1 HD: a) Điều kiện: x > 0 và x ≠ 1. Ta có: A. 1 x x ( x  1). .. ( x  1) 2 x 1. x1. . x x1 x. b) Xét hiệu: A – 1 = 1. x. x. . 1 x. 0. . Vậy: A < 1. 1. 0 x vì: x Phần 2: Các bài toán liên quan đến hàm số y = ax ❑2 và y = ax+ b.. Cách 2: Dễ thấy: A =. 1. x  1.  1. 1. Bài 1: Cho hai đờng thẳng y = x+1 và x+ 2y + 4 = 0 a. Vẽ đồ thị hai đờng thẳng trên cùng một mặt phẳng toạ độ. b. Tìm toạ độ điểm A giao điểm hai đờng thẳng trên. c. Tìm a trong hàm số y = ax², biết đồ thị hàm số đi qua A. Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm đợc , gọi đồ thị đó là P d. Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với P tại A 2. Bµi 2: Cho parabol (P): y=− x vµ ®iÓm M (1; 2) 4 a. Viết phơng trình đờng thẳng (D) đi qua điểm M có hệ số gãc m b. Chøng minh (D) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B khi m thay đổi. c. Gọi x A , x B lần lợt là hoành độ của A và B. Xác định giá trị của m để x 2 x B+ x A x 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3: Cho hàm số y = x+m (D) . Tìm m để (D) a. §i qua ®iÓm A(1; 2010). b. Song song với đờng thẳng x – y + 3 = 0. A. B. c. TiÕp xóc víi (P) : y=− x 2. 2. 4. Bài 4: Cho parabol (P): y=x và đờng thẳng (D): y=2 x+ m 2+1 a. Chøng minh r»ng víi mäi m (D) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> b. Gọi x A , x B lần lợt là hoành độ của A và B. Xác định giá trị của m để x 2 + x 2 =10 . Bµi 5: Cho parabol (P): y=ax 2 vµ ®iÓm A (2; -1) a. Xác định a biết (P) luôn đi qua điểm A. Rồi vẽ (P). b. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm M(0;1) và có hÖ sè gãc m. c. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. d. Chứng minh rằng có hai đờng thẳng đi qua M và tiếp xúc víi (P) HD: (d): y = mx +1 tx (P) khi Δ ' =0 ⇔ m=±1 . Có hai đờng thẳng là y=x+1 vµ y=-x+1 Bài 6: Cho parabol (P): y=x 2 − mx +2 và đờng thẳng (D): y=2 x − m a. Tìm m để (D) tiếp xúc với (P). b. Gäi x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x 2 − mx+2=0 . TÝnh x 2 + x 2 theo m. Bài 7: Cho parabol (P): y=ax 2 và đờng thẳng (D): y=(m− 1) x −(m −1) víi m 1 a. T×m a vµ m biÕt (P) ®i qua ®iÓm I(-2 ;4) vµ tiÕp xóc víi (P). b. Chứng minh rằng (P) luôn đi qua một điểm cố định với mọi gi¸ trÞ cña m. c. Vẽ (P) và (D) tìm đợc ở câu a trên cùng một hệ trục toạ độ. Bài 8: Cho parabol (P): y=x 2 và đờng thẳng (D): y=mx− m+1 a. Chøng minh r»ng (P) vµ (D)lu«n cã ®iÓm chung víi mäi m. b. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× (D) c¾t (P) tiÕp xóc nhau. c. Vẽ (P) và (D) tìm đợc ở câu b trên cùng một hệ trục toạ độ. Bài 9: Cho parabol (P): y=x 2 và đờng thẳng (D): y=x +m a. T×m m sao cho (D) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. b. Tìm phơng trình đờng thẳng (d) vuông góc với (D) và (d) tiÕp xóc víi (P). c. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A vµ B. Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng ( D1) : y =-2(x+1) a. Giải thích vì sao A nằm trên đờng thẳng (D 1) . b. Tìm a trong hàm số y=ax 2 có đồ thị là (P) đi qua A. c. Viết phơng trình đờng thẳng ( D2) đi qua A và vuông góc víi (D 1) . d. Gäi A, B lµ giao ®iÓm cña (P) vµ (D 1) , C lµ giao ®iÓm cña (D 1) với trục tung, tìm toạ độ điểm B,C. Tính diện tích tam gi¸c ABC. Bài 11: Xác định hệ số a, b của hàm số y = ax + b trong mỗi trường hợp sau: a) Đồ thị hàm số là một đường thẳng có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm A(−1 ; 3) b) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm B(2 ; 1) và C(1 ; 3) c) Đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1 ; 3) và song song với đường thẳng y = 3x − 2 ĐS: a) (a ; b) = (3 ; 6). b) (a ; b) = (−2 ; 5). c) (a ; b) (3 ; 0) Bài 12: Cho Parabol (P): y = 2x2 và hai đường thẳng: (d1): mx − y − 2 = 0 và (d2): 3x + 2y − 11 = 0 a) Tìm giao điểm M của (d1) và (d2) khi m = 1 b) Với giá trị nào của m thì (d1) song song với (d2) c) Với giá trị nào của m thì (d1) tiếp xúc với (P). A. 1. 2. B.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> m . 3 2. HD: a) M(3 ; 1); b) c) (d1) tiếp xúc với (P)  2x2 − mx + 2 = 0 có nghiệm kép   =  m 4  0  m2 = 16   m  4. Lưu ý: Khai thác việc tìm tham số m để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau Bài 13: Cho hàm số : y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) : a) Đi qua điểm A (1 ; 2003) ; b) Song song với đường thẳng x - y + 3 = 0 ; c) Tiếp xúc với parabol y = –1/4.x2 Bài 14: Cho hai hàm số y = 2x + 3m và y = (2m + 1)x + 2m − 3. Tìm điều kiện của m để: a) Hai đường thẳng cắt nhau b) Hai đường thẳng song song với nhau c) Hai đường thẳng trùng nhau PhÇn 3: Phương trình và hệ phương trình (6 tiết) Bài 1: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x + m2 = 0 (1) a) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và trong hai nghiệm đó có một nghiệm bằng −2 m. 1 2. HD: a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt  b) m = 0 hoặc m = 4 Bài 11: Cho phương trình (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 (1) a) Chứng minh rằng m ≠ −1 phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu HD: a) Chứng minh ' > 0 b) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu  m < −1 hoặc m > 3 Bài 2: Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m − 4 = 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 1 b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m c) gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Chứng minh rằng A = x1(1 − x2) + x2(1 − x1) không phụ thuộc vào giá trị của m HD: a) Khi m = 1: PT có hai nghiệm x 2 2 7 b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10  A không phụ thuộc vào m Bài 3: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − 3=0 a) Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức P = (x 1)2 + (x2)2 theo m b) Tìm m để P nhỏ nhất HD: a) P = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 4(m − 1)2 − 2(m − 3) = 4m2 − 10m + 10.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> (2m  5) 2 . 15 15 5  m 4 4 . Dấu "=" xảy ra  2. c) P = Bài 4: Cho phương trình x2 − 6x + m = 0 (m là tham số) (1) a) Giải phương trình (1) với m = 5 b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1 và x2 thỏa mãn 3x1 + 2x2 = 20 HD: a) Với m = 5  x1 = 1, x2 = 5 b) Đáp số: m = −16 (x1 = 8, x2 = −2) Bài 5: Cho phương trình x2 − 4x + k = 0 a) Giải phương trình với k = 3 b) Tìm tất cả các số nguyên dương k để phương trình có hai nghiệm phân biệt HD: a) Với m = 3: x1 = 1, x2 = 3 b) ' = 4 − k > 0  k < 4. ĐS: k  {1 ; 2 ; 3} Bài 6: Cho phương trình : x2 − (m + 5)x − m + 6 = 0 (1) a) Giải phương trình với m = 1. b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = −2. HD: a) ĐS: x1 = 1, x2 = 5 b) ĐS: m = − 20 Bài 7: Cho phương trình: (m − 1)x2 + 2mx + m − 2 = 0. (*) a) Giải phương trình (*) khi m = 1. b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt. x. 1 2;. 2 m  , m 1 3 b) ĐS: .. HD: a) Khi m = 1: Bài 8: Cho phương trình x2 − 2mx + (m − 1)3 = 0 a) Giải phương trình với m = −1 b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng bình phương của nghiệm còn lại. HD: a) Với m = −1  x1 = 2, x2 = −4 b) m = 0 hoặc m=3 PhÇn 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình (4 tiết) Bài 1: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h. Khi đến B, người đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình 25km/h. Tính quãng đường AB, biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút. HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 0). x x 1 5   5 6 . Giải ra ta được: x = 75 (km) Ta có phương trình: 30 25 3. Bài 2: Hai canô cùng khởi hành một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Canô I chạy với vận tốc 20km/h, canô II chạy với vận tốc 24km/h. Trên đường đi, canô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy với vận tốc như cũ. Tính chiều dài quãng sông AB, biết rằng hai canô đến bến B cùng 1 lúc. HD: Gọi chiều dài quãng sông AB là x km (x > 0) x x 2   Ta có phương trình: 20 24 3 . Giải ra ta được: x = 80 (km).

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Bài 3: Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ôtô đi với vận tốc đó, khi còn 60km nữa thì đi được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quãng đường còn lại, do đó ôtô đến tỉnh B sớm hơn 1giờ so với dự định. Tính quãng đường AB. HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 120) x x  x    60  : 40    60  : 50   1 40  2  Ta có phương trình:  2 . Giải ra ta. được: x = 280 (km) Bài 4: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8giờ 20phút. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h. HD: Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là x km/h (x > 0) 80 80 1 4  8 x1  5 Ta có phương trình: x  4 x  4 3 . Giải ra ta được:. (loại), x2 = 20 (km) Bài 5: Một ca nô và một bè gỗ xuất phát cùng một lúc từ bến A xuôi dòng sông. Sau khi đi được 24 km ca nô quay trở lại và gặp bè gỗ tại một địa điểm cách A 8 km. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng biết vận tốc của dòng nước là 4 km / h. HD: Gọi vận tốc canô khi nước yên lặng là x km/h (x > 4) 24 16  2 Ta có phương trình: x  4 x  4 . Giải ra ta được x1 = 0 (loại),. x2 = 20 (km/h) Bài 6: Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp. HD: Gọi vận tốc xe đạp là x km/h (x > 0) 50 50   (1,5  1) x 2,5x Ta có phương trình: . Giải ra ta được: x = 12. (thỏa mãn) Bài 7: Nhà trường tổ chức cho 180 học sinh khối 9 đi tham quan di tích lịch sử. Người ta dự tính: Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở một lượt hết số học sinh thì phải điều ít hơn nếu dùng loại xe nhỏ 2 chiếc. Biết rằng mỗi xe lớn có nhiều hơn mỗi xe nhỏ là 15 chỗ ngồi. Tính số xe lớn, nếu loại xe đó được huy động 180 180  15 HD: Gọi số xe lớn là x (x  Z ). Ta có PT: x x  2  x1 = 4; x2 +. = –6 (loại) Bài 8: Một đội xe cần chuyên chở 100 tấn hàng. Hôm làm việc, có hai xe được điều đi làm nhiệm vụ mới nên mỗi xe phải chở thêm 2,5 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe? (biết rằng số hàng chở được của mỗi xe là như nhau) HD: Gọi x (xe) là số xe của đội (x > 2 và x  N).

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 100 100 5   Ta có phương trình: x  2 x 2 . Giải ra ta được: x1 = −8 (loại),. x2 = 10 (thỏa mãn) Bài 9: Để làm một chiếc hộp hình hộp không nắp, người ta cắt đi 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc của một miếng nhôm hình chữ nhật dài 24cm, rộng 18cm. Hỏi cạnh của các hình vuông đó bằng bao nhiêu, biết rằng 2 tổng diện tích của 4 hình vuông đó bằng 5 diện tích đáy hộp?. HD: Gọi x (cm) là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt ( 0 < x < 9) 2 4x 2  (24  2x)(18  2x) 5 Ta có phương trình: . Giải ra ta được: x1 =. −18 (loại), x2 = 4 (thỏa) Bài 10: Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần, nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được một số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho HD: Gọi số phải tìm là xy (0 < x, y ≤ 9 và x, y  Z) 6(x  y) 10x  y   xy  25  10y  x  Ta có hệ:.  x 5   y 4 . Vậy số phải tìm là 54. Bài 11: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 2 phút thì đầy 5 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải bao lâu mới. đầy bể. HD: Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của vòi I, II lần lượt là x, y phút (x, y > 80)  80 80  x  y 1  x 120      y 240 10  12  2 Ta có hệ:  x y 15. Bài 12: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3giờ và người thứ hai làm 6giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc. HD: Gọi x, y (giờ) là thời gian người thứ nhất, hai làm một mình xong công việc (x > 0, y > 16) 16 16  x  y 1  x 24     y 48  3  6 1  x y 4 Ta có hệ: (thỏa mãn điều kiện đầu bài). Bài 13: Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của mỗi dãy đều bằng nhau. Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy cũng tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế? HD: Gọi số dãy ghế trong phòng họp là x dãy (x  Z, x > 0).

<span class='text_page_counter'>(11)</span>  360  (x  1)   1 400  x  Ta có phương trình: . Giải ra ta được: x1 = 15,. x2 = 24 ĐS: 15 dãy với 24 người/dãy, 24 dãy với 15 người/dãy. Bài 14: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy, trong thời gian qui định họ đã vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch. HD: Gọi x, y là số sản phẩm của tổ I, II theo kế hoạch (x, y  N*) Ta có hệ phương trình:  x  y 600  x 200    0,18x  0, 21y 120  y 400. Bài 14: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì đến sớm hơn 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/h thì đến muộn 1 giờ. Tính vận tốc dự định và thời gian dự định HD: Gọi thời gian dự định là x và vận tốc dự định là y (x, y > 0). Ta có hệ: (x  1)(y  4) xy   (x  2)(y  14) xy.  x 6   y 28. PhÇn 5: Một số bài toán hình học tổng hợp Bài 1: Cho ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O là trung điểm của IK a) Chứng minh rằng bốn điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) c) Tính bán kính của đường tròn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm HD: a) K B^ I + K C^ I =180° (Tính chất phân giác)  BICK nội tiếp (O) ^ 1 +O C ^ I =C ^ 2+ I^ 1=90 °  OC  AC  AC là tiếp tuyến của b) C (O) 2 2 2 2 c) AH  AC  HC  20  12 16 (cm). 2. OH . A I B. 1. 2. 1. C. H O. K. 2. CH 12  9 AH 16 (cm) 2. 2. 2. 2. Vậy: OC = OH  HC  9  12  225 15 (cm) Bài 2: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K A a) Chứng minh rằng BHCD là tứ giác nội tiếp b) Tính góc CHK. c) Chứng minh KC.KD = KH.KB d) Khi điểm E chuyển động trên cạnh BC thì điểm H chuyển động trên đường nào? D ^ D=90 °  BHCD nội tiếp ^ D=B C HD: a) B H ^ B=D ^BC=45 °=> C ^ H K=45° b) D H c) KCH KDC (g.g)  KC.KD = KH.KB ^ D=90°=> Khi E chuyển động trên đoạn BC BH d). B. H. E. C. K.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> thì H chuyển động trên cung BC. Bài 3: Cho đường tròn (O, R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (khác O). Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở điểm P. Chứng minh rằng: a) Tứ giác OMNP nội tiếp b) Tứ giác CMPO là hình bình hành c) Tích CM.CN không phụ thuộc vị trí điểm M d)* Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định ^ P=O ^ N P=90 °  ONMP nội tiếp HD: a) O M b) OC // MP (cùng vuông góc với AB), MP = OD = OC M Suy ra: CMPO là hình bình hành A c) COM CND (g.g) Suy ra: 1 1. CM CO  CD CN  CM.CN = CO.CD = Const ^ P=90° . d) ONP = ODP (c.g.c)  O D. C 1. O. B. 1. N E. P. D. F. Suy ra: P chạy trên đường thẳng cố định. Vì M  [AB] nên P  [EF] Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Từ A kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F. a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp b) AM ∩ OE ≡ P, BM ∩ OF ≡ Q. Tứ giác MPOQ là hình gì? tại sao? c) Kẻ MH  AB (H  AB). Gọi K ≡ MH ∩ EB. So sánh MK với x KH ^ A+O ^ M E=180 °  AEMO nội tiếp HD: a) E O b) MPOQ là hình chữ nhật vì có ba góc vuông. M c) EMK Mặt khác: ABE. EM EF EM EF E   EFB: MK BF do MF = BF  MK MF EA AB EF AB   HBK: HK HB . Vì: MF HB (Talet). A. y F. Q. K P H. O. B. EM EA   MK KH . Vì: EM = AE  MK = KH.. M. Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. Điểm I nằm giữa A 2 AI  AO 3 và O sao cho . Kẻ dây MN  AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý E. thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt A MN tại E. I a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp. N. O' O. C B.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> b) Chứng minh AME. ACM và AM2 = AE.AC. c) Chứng minh AE.AC − AI.IB = AI2 0   HD: a) Dễ thấy BIE  ECB 180  IECB nội tiếp.     b) Ta có AM AN  AME ABM  AME. ACM (g.g).  AM2 = AE.AC (1) c) Ta có: MI2 = AI.IB (2). Theo (1) và (2) và ĐL Pitago: AI2 = AM2 − MI2 = AE.AC − AI.IB . 0. Bài 6: Cho ABC có các góc đều nhọn, A 45 . Vẽ các đường cao BD và CE của ABC. Gọi H là giao điểm cảu BD và CE. a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp b) Chứng minh HD = DC c) Tính tỉ số DE : BC d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC. CM: OA  DE. 0   E HD: a) Ta có: AEH  ADH 180  đpcm 0 A 450 ACD  45 DCH vuông cân x b) v.AEC có  tại D  HD = HC. O. B. DE AE AE 2    ABC (g.g)  BC AC AE. 2 2 .. D. c) ADE. A . H C. . d) Dựng tia tiếp tuyến Ax với đường tròn (O), ta có BAx BCA      AED mà BCA AED (cùng bù với DEB )  BAx  DE // Ax  OA  DE. Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB. Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh: a) Tứ giác CBMD nội tiếp được trong đường tròn   b) Khi điểm D di động trên đường tròn thì BMD  BCD không đổi c) DB.DC = DN.AC HD: a) CBMD nội tiếp trong đường tròn đường kính CD b) Khi điểm D thay đổi, tứ giác CBMD luôn là D 0   tứ giác nội tiếp  BMD  BCD 180 N 0  c) Ta có: ANB 90 (gt)  N  (O) M    Mặt khác: BDN BAN (Cùng chắn BN ) A B   O BAN ACD (So le trong)   Suy ra: BDN ACD .     Lại có: DAC DAN DBN (Cùng chắn DN ). C.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Vậy: ΔACD. ΔBDN (g.g)  đpcm. Bài 8: Cho ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật b) Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp c) Chứng minh AE.AB = AF.AC d)* Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn HD: a) AEHF có ba góc vuông  AEHF là hình chữ nhật    b) B E1 F1  BEFC nội tiếp O B c) AEF ACB (g.g)  AE.AB = AF.AC . . . . A E 2 1. 1 2. H. 1. O2 C. 0. d) E1  E 2 H1  H 2 90  EF là tiếp tuyến của (O1). Tương tự: EF là tiếp tuyến của (O2) Bài 9. Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Hai tiếp tuyến tại C và D với đường tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và A CD; AD và CE a) Chứng minh BC // DE O b) Chứng minh các tứ giác CODE và APQC nội tiếp c) Tứ giác BCQP là hình gì? B C HD: a) BC và DE cùng vuông góc với OD  BC // DE ^ E=180°  CODE nội tiếp ^ E+O C E b) O D D Ta có: P ^A Q=P C^ Q (Do cungBC=cungCD ) APQC nội tiếp P Q c) BCQP là hình thang. Vì: Ta có: Q P^ C=C ^A Q (Cùng chắn cung QC của (APQC) Lại có: Q ^A C=Q ^A P và Q ^A P=B C^ P (cùng chắn cung BD)  BC // PQ Bài 10. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Các tiếp tuyến tại A của các đường tròn (O) và (O’) cắt đường tròn (O’) và (O) theo thứ tự tại C và D. gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các dây AC và AD. Chứng minh: a) ΔABD ΔCBA O ^ D= A P ^B b) B Q c) Tứ giác APBQ nội tiếp    'B HD: a) Ta có: DAB ACB (Cùng chắn An ) ADB BAC   Lại có: (Cùng chắn AnB ) Suy ra: ΔABD ΔCBA. A n'. n. Q D. F. 1. P O'. B C.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> AD BD DQ   ΔCBA  CA BA AP (Do P, Q là trung điểm của. b) ΔABD. AC, AD)   Và: BDQ BAP . Suy ra: ΔBQD. .   ΔAPB  BQD APB. . c) Do BQD APB suy ra: APBQ nội tiếp Bài 11: Cho ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt S đường tròn tại cá điểm thứ hai F, G. Chứng minh: a) ABC EBD F. b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp c) AC // FG d)* Các đường thẳng AC, DE, BF đồng qui  HD: a) ABC EBD (Hai tam giác vuông có B1 chung). A 1. 2. D. 1. 1. B. G. 1. E. C. b) Học sinh tự chứng minh . . . c) C1 F1 ( E1 )  AC // FG d) Gọi S ≡ BF ∩ CA  BSC có D là trực tâm.  S, D, E thẳng hàng rồi  BF, CA, ED đồng qui tại S. Bài 12: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10cm, CB = 40cm. Vẽ về một phía AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) ở E. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đường tròn (I), (K) a) Chứng minh rằng EC = MN E b) CmR: MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I), (K) c) Tính độ dài MN S d) Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn M 2 1 HD: a) Chứng minh CMEN là hình chữ nhật  EC = MN 2 3 4 1 0     b) Gọi S ≡ MN ∩ EC: M1  M 2 C1  C 2 90  MN  MI A I C N1  N  2 C  3 C  4 900 Tương tự:  MN  NK  MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn c) MN = EC = AC.BC  10.40 20(cm) .  1πAB S  2 4. 2. πAC  4. 2. πBC  4. 2. d).  2  100π(cm ) . Bài 13: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy một điểm H bất kì (H ≠ O, B). Trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn. MA, MB theo thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. N 3. 2 1. 1. K. B.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> a) Chứng minh rằng tứ giác MCID nội tiếp b) Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng qui tại I c) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, chứng minh rằng KCOH nội tiếp 0   C HD: a) MCI MDI 90  MCID nội tiếp 4 b) Chứng minh I là trực tâm của MAB rồi suy ra đường cao MH đi qua I c) Xét hai tam giác cân OCA và KCM, chứng minh: A C1  C  4 900  C  2 C  3 900 , từ đó suy ra KCOH nội tiếp.. M K 1 2 3. I. O. H. D. B. Bài 14: Cho ABC vuông tại A. Dựng ở miền ngoài tam giác các hình vuông ABHK và ACDE a) Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng b) Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại F, chứng minh rằng FBC vuông cân . 0. c) Cho biết ABC  45 . Gọi M là giao điểm của BP và ED, chứng minh rằng năm điểm B, K, E, M, C cùng thuộc một đường tròn d) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (ABC) K 0   HD: a) Từ gt chứng minh: HAB DAC 45 rồi chứng 0    A F Minh: HAB  BAC  DAC 180  H, A, D thẳng hàng . 0. . II. NHỮNG VẤN ĐỀ HỌC SINH HAY BỊ TRỪ ĐIỂM KHI LÀM BÀI..   . M D. 0. b) Chứng minh FBC 45 , BFC 90 . Suy ra H BFC vuông cân 0    B c) Chứng minh BKC BEC BMC 45 , từ đó suy ra B, K, E, M, C cùng thuộc một đường tròn. Chú ý đến FMDC là tứ giác nội tiếp 0  d) Chứng minh FCM vuông cân, FCM 45 . Từ đó ta có:   MCF  FCB 900 hay: MC  BC  MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ABC.. . E. Quên đối chiếu ĐKXĐ khi giải các câu liên quan tới biến trong các bài toán rút gọn biểu thức chứa biến và các bài toán giải bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Đối với các bài toán phường trình bậc hai khi các câu trong bài có sử dụng hệ thức vi-ét học sinh quên xét Δ hoặc Δ ' Với các bài toán liên quan đến hàm số cần lưu ý học sinh phương trình hoành độ giao điểm để đương về dạng phương trình bậc hai. Còn về phần hình học cần luuw ý học sinh dùng từ ngữ chính xác khi chứng minhcác tứ giác nội tiếp và các câu khác trong bài khi dùng kí hiệu cần chặt chẽ và chính xác .. C.

<span class='text_page_counter'>(17)</span>

<span class='text_page_counter'>(18)</span>